ОСОБЕННОСТИ НАХОЖДЕНИЯ НАИБОЛЬШИХ И НАИМЕНЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ В ЗАДАЧАХ ЕГЭ М. В. Скурихин ФГБОУ ВПО «Шадринский государственный педагогический институт», г. Шадринск Руководитель: к. п. н., доцент Чикунова О. И. Находить наибольшие и наименьшие значения функций учащиеся начинают еще в основной школе при изучении линейной функции, без труда отыскивая их для возрастающих и убывающих на отрезке функций. При изучении квадратичной функции наибольшие и наименьшие значения отыскиваются также на отрезках, содержащих единственную точку экстремума, не называя ее естественно таковой. Однако, в старшей школе после знакомства с общим алгоритмом исследования функции на наибольшее и наименьшее значения на отрезке, он неоправданно остается единственным средством. При подготовке к единому государственному экзамену по материалам открытого банка заданий можно встретиться с задачами на отыскание наибольших и наименьших значений функций, при решении которых не всегда требуется использование общего алгоритма. Например, задачи на исследование функций, содержащих линейные и тригонометрические выражения, типа 3 19 y 6 3 cos x 3 3x 21 на отрезке 0; ; y 19tgx 19 x 14 на 2 4 2 отрезке ; . Если при отыскании наибольшего значения первой функции 4 4 не воспользоваться теоремой о единственной точке экстремума, то придется вычислять и сравнивать значения функции в трех точках x 0, x и x , 6 2 что приведет к громоздким выкладкам и отнимет много времени. Рассмотрим решение первой задачи подробнее: 1) y 6 3 sin x 3 3 , 2) найдем критические точки и отметим их на отрезке 0; . 2 1 k D y R; y 0, sin x , x 1 k , k Z y 2 6 y 2 на 0; x - единственная критическая точка. 3 xm ax 6 2 2 3) Определим знак производной на промежутках. 1 3 6 2 0 0; , y0 0; ; , y 0. y 6 3 6 2 3 Так как в точке x y меняет знак с «+» 0 0 x 6 на «-», то функция x max - единственная точка максимума, следовательно, в ней 6 достигает наибольшего значения : 6 3 3 3 3 3 21 30 . 2 6 2 При исследовании второй функции на наименьшее значение, обнаруживается, что в единственной критической точке x=0 «неподтвержденный экстремум», то есть на отрезке исследования функция остается монотонной и ее наименьшее значение достигается на конце отрезка, и очень легко вычисляется. 19 1) y 19 , cos 2 x 2) Найдем область определения производной 1 cos 2 x D y : x k , k Z ; y 19 0, cos x 1, x k , k Z на ; 2 2 cos x 4 4 x 0 - критическая точка. y 3) Определим знак на промежутках: 4 ; 0 , 0; , y 0. 6 4 6 4 6 y 4) В точке x 0 y 0 , производная знака 6 yнаиб не меняет, т.е. в ней нет экстремума, и функция возрастает на ; , следовательно, достигает 4 4 наибольшего значения на левом конце отрезка: yнаим y 5. 4 Рассмотри еще один пример, найдем наибольшее значение функции y 4tgx 8x 2 15 на отрезке ; с 3 3 помощью общего алгоритма. 4 1) y 8, cos 2 x 2 , 2) D y : x k ,k Z ; y 0, cos x 2 2 ; x x k ,k Z , на 3 3 4 2 критическая точка. 8 2 15 7 ,2; 3) y 4 3 3 3 0 0 x 3 2 6 y 4 x 2 2 3 y 4 3 0 4 8 y 4 2 15 4 19 6,4 ; 4 4 8 y 4 3 2 15 10 ,2; 3 3 8 y 4 2 15 11. yнаим 11. 4 4 4 Ответ: -11. Рассмотренные примеры иллюстрируют возможности использования разных схем исследования функций на наибольшее и наименьшее значения и подтверждают тезис о том, что одного общего алгоритма недостаточно. Кроме того общим алгоритмом не воспользоваться для решения целого класса задач на отыскание наибольших и наименьших значений функций по графику производной. БИБЛИОГРАФИЯ 1. Бобровская, А.В., Чикунова, О.И. Практикум. Функции и графики: учеб.– метод. пособие для учащихся 9–11 классов. – Изд. 2-е./ А.В. Бобровская, О.И. Чикунова– Шадринск: Шадр. Дом Печати, 2012- 60 с.