Численное моделирование сейсмической активности

See discussions, stats, and author profiles for this publication at: https://www.researchgate.net/publication/274020844
Численное моделирование сейсмической активности сеточнохарактеристическим методом
Article in Журнал вычислительной математики и математической физики · January 2013
DOI: 10.7868/S0044466913100062
CITATIONS
READS
3
150
3 authors:
Vasily Golubev
Petrov Igor
Moscow Institute of Physics and Technology
Moscow Institute of Physics and Technology
95 PUBLICATIONS 547 CITATIONS
255 PUBLICATIONS 1,424 CITATIONS
SEE PROFILE
SEE PROFILE
Nikolay I. Khokhlov
Moscow Institute of Physics and Technology
103 PUBLICATIONS 641 CITATIONS
SEE PROFILE
Some of the authors of this publication are also working on these related projects:
The exploration of the Arctic shelf with the presence of different ice constructions View project
Multiscale modeling of hemodynamics for patient-specific medical treatments in cardiology, vascular neurology and oncology View project
All content following this page was uploaded by Vasily Golubev on 18 December 2020.
The user has requested enhancement of the downloaded file.
Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
В. И. Голубев, И. Б. Петров, Н. И. Хохлов, Численное моделирование сейсмической активности сеточно-характеристическим методом, Ж. вычисл. матем.
и матем. физ., 2013, том 53, номер 10, 1709–1720
DOI: https://doi.org/10.7868/S0044466913100062
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и
согласны с пользовательским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement
Параметры загрузки:
IP: 93.175.28.18
18 декабря 2020 г., 10:20:25
ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2013, том 53, № 10, с. 1709–1720
УДК 519.634
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СЕЙСМИЧЕСКОЙ АКТИВНОСТИ
СЕТОЧНОХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ1)
© 2013 г. В. И. Голубев, И. Б. Петров, Н. И. Хохлов
(141700 Долгопрудный, М.о., Институтский пер., 9, МФТИ)
e+mail: w.golubev@mail.ru
Поступила в редакцию 21.02.2013 г.
Целью данной работы является исследование сейсмической активности в геологических вме
щающих массивах различной структуры: однородном и слоистом. Авторами предложена чис
ленная механикоматематическая модель гипоцентра, которая позволяет описать полный
спектр упругого возмущения, распространяющегося из очага землетрясения. Проведено
сравнение синтетических расчетных сферограмм для различной ориентации плоскости раз
лома с аналитическим решением для случая однородной среды. На основании детального
анализа волновых картин и синтетических сейсмограмм проведено сравнение сейсмической
активности в однородном вмещающем массиве и в слоистой среде. Авторами ставится задача
по анализу влияния отдельных компонент сейсмического возмущения на устойчивость бор
тов карьеров. В работе используется сеточнохарактеристический метод на трехмерных
структурных параллелепипедных и криволинейных сетках с постановкой граничных условий
на границах области интегрирования и корректных контактных условий в явном виде. Библ. 18.
Фиг. 11. Табл. 1.
Ключевые слова: гиперболические уравнения, сеточнохарактеристический численный ме
тод, математическое моделирование, гетерогенные среды.
DOI: 10.7868/S0044466913100062
ВВЕДЕНИЕ
В современном мире все больше внимания уделяется оценке и обеспечению безопасности на
селения. Активно развиваются методы имитационного моделирования (см. [1], [2]), позволяю
щие провести всесторонний анализ рисков и выделить наиболее значимые из них, на снижении
которых необходимо сконцентрироваться. Очевидно, что любое моделирование основывается
на некотором приближении (модели) реальных физических процессов. Если ранее модели, в ос
новном, были простыми, обеспечивающими решение определяющих уравнений аналитически
ми методами, то с развитием высокопроизводительных вычислительных систем произошло их
качественное изменение. Все больше усложняется постановка задач, включающая описание
движения отдельных атомов и молекул, с целью моделирования таких макроскопических явле
ний, как течение воды в реках (см. [3]), сход оползневых тел (см. [4]) и т.д.
Одним из процессов, притягивающих внимание научного сообщества, является естественная
сейсмичность, выраженная в происхождении землетрясений. Только лишь за последние два года
во всем мире произошло более 10 крупных землетрясений (Китай, Турция, Япония), причинив
ших огромные материальные убытки и приведших к гибели тысяч человек. Таким образом, акту
альность исследования процесса сейсмической активности с целью ее прогноза и быстрой оцен
ки возможных разрушений не вызывает сомнений. Для этого по всей планете расположено мно
жество специальных сооружений (сейсмостанций), в которых ведется непрерывная регистрация
движений поверхности Земли. Наиболее плотные сети измерений расположены в Калифорнии
и Японии. Как правило, измеряется зависимость вектора скорости или ускорения (или части их
проекций) от времени в точке расположения сейсмического датчика (сейсмометра). При иници
ации землетрясения из его очага, расположенного обычно на глубинах 5–30 км, начинают рас
1)
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, со
глашение 14.132.21.1809 и РФФИ (код проекта 120731028).
1709
1710
ГОЛУБЕВ и др.
север
⎡θ
u
λ
δ
Фиг. 1. Модель гипоцентра землетрясения вида подвижка по разлому.
пространяться объемные упругие волны, которые, достигая поверхности, приводят к разруше
нию строений.
На настоящий момент разработано множество методов, позволяющих определять географи
ческие координаты и глубину гипоцентра по показаниям сейсмоприемников (см. [5]). К сожале
нию, к их недостаткам следует отнести тот факт, что они, в основном, опираются на описание
распространения сейсмических волн в толще Земли в лучевом приближении. Причиной этого
является большая вычислительная сложность задачи по полноволновому моделированию дина
мических процессов в геологической среде. Настоящая работа направлена на развитие числен
ных методов и параллельных алгоритмов, позволяющих за приемлемое время провести расчет
распространения упругих волн в гетерогенной среде из очага землетрясения к дневной поверх
ности, процесса образования поверхностных волн Рэлея и Лава (см. [6]), а также их воздействия
на наземные сооружения (см. [7]).
1. МЕХАНИКОМАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ГИПОЦЕНТРА ЗЕМЛЕТРЯСЕНИЯ
Одной из исследовательских задач, решаемых в данной работе, является разработка числен
ной механикоматематической модели гипоцентра, позволяющей описать процесс инициации
сейсмической активности в геологической среде. Стоит отметить, что в геофизике существует
множество различных моделей очага землетрясения (см., например, [8]). Имеющиеся экспери
ментальные факты не позволяют однозначно выбрать наилучшую из них. Кроме того, чем слож
нее используемая модель возмущения, тем больше свободных параметров она содержит, и, соот
ветственно, усложняется процедура их определения по данным наземных измерений. В настоя
щей работе было решено взять за основу максимально простую, но в то же время физически
корректную модель, называемую подвижка по разлому.
Основой данной модели является геофизическое представление о землетрясении, как о про
цессе постепенного накопления упругих напряжений в земной коре, состоящей из отдельных
блоков. Поскольку разломы между блоками заполнены брекчией (сцементированной горной
породой, сложенной из угловатых обломков размерами от 1 см), а также существенны нормаль
ные сжимающие региональные напряжения, эффективная сила трения между бортами достаточ
но велика. Однако при достижении некоторого порога происходит проскальзывание гранича
щих блоков вдоль разлома и, соответственно, резкий спад напряжений. При этом вблизи разло
ма могут наблюдаться как упругие, так и пластические и хрупкопластические процессы.
На большом удалении от места инициации возмущения существенны лишь упругие процессы,
которые выражаются в распространении упругих волн через геологическую среду.
Рассмотрим подробнее предложенную модель очага землетрясения. На фиг. 1 изображен кон
такт двух блоков (линия контакта – разлом). Ориентация плоскости в трехмерном пространстве
однозначно определяется заданием двух углов наклона. Один из них называется углом простира
ния (θ) и равен углу, который образуют линия пересечения плоскости разлома с горизонтальной
плоскостью и направление на север. Он лежит в диапазоне от 0° до 360° и отсчитывается в на
правлении по часовой стрелке, если смотреть сверху. Второй угол, называемый углом падения
(δ), образуется между плоскостью разлома и горизонтальной плоскостью и лежит в диапазоне от
0° до 90°. Модель предполагает, что отсутствует движение блоков, перпендикулярное плоскости
разлома. Таким образом, вектор скорости среды лежит в плоскости разлома. Для задания ориен
тации вектора, лежащего в плоскости, достаточно задать лишь один параметр. В качестве этого
параметра выступает угол между направлением вдоль линии пересечения плоскости разлома с
горизонтальной плоскостью (направление простирания) и направлением проскальзывания бло
ков (направление подвижки), называемый уклоном (λ). Он лежит в диапазоне от –180° до +180°,
причем при значении, равном 0, наблюдатель, стоящий на поверхности и смотрящий в направ
ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
том 53
№ 10
2013
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СЕЙСМИЧЕСКОЙ АКТИВНОСТИ
1711
−v
v
Фиг. 2. Задание постоянного (с инверсионным разрывом) по пространству вектора начальной скорости.
лении простирания, будет видеть, что правый борт разлома удаляется от него вдоль этого направ
ления. При значениях +–180° он же будет видеть, что правый борт разлома будет двигаться в
противоположном направлении. При положительных значениях уклона скорость правого борта
разлома имеет положительную вертикальную составляющую, а при отрицательных значениях –
отрицательную составляющую.
Одной из характеристик произошедшего землетрясения является его магнитуда (величина,
характеризующая энергию, выделившуюся при землетрясении в виде сейсмических волн), опре
деляющая величину смещений земной поверхности. В рассматриваемой модели в ограниченной
области вблизи контакта блоков в начальный момент времени задается ненулевой постоянный
(имеется инверсионный разрыв на разломе) по модулю и по направлению вектор скорости среды
(см. фиг. 2). С учетом сказанного выше остается еще неопределенным параметр величины ско
рости подвижки, который может быть оценен путем прямого моделирования процесса и сравне
ния расчетных значений смещений земной поверхности с экспериментальными данными. Кро
ме того, размеры области, в которой задается ненулевое значение скорости, выбираются таким
образом, чтобы максимально точно воспроизвести пространственную карту изолиний скоростей
смещений, которая может быть построена по экспериментальным данным.
Особый интерес представляет распространенный способ представления информации об оча
ге землетрясения в виде сферограммы (Beachball plot). Опишем подробно физическую суть дан
ного изображения. Окружим область очага землетрясения сферой некоторого радиуса, достаточ
ного для того, чтобы в начальный момент времени подвижки на всей ее поверхности были равны
нулю. В дальнейшем в ходе развития процесса будем регистрировать вектор смещения в каждой
точке на нижней половине поверхности сферы, точнее, его проекцию на радиусвектор, направ
ленный из центра сферы. Как только эта проекция впервые станет отличной от нуля, пометим
данную точку символом +, в том случае, если проекция положительна и символом –, если про
екция отрицательна. После того, как возмущение распространится за пределы наблюдаемой
сферы, у нас получится три класса точек (помеченные +, – и непомеченные). Если спроециро
вать нижнюю полусферу на плоскость с использованием стереографической проекции и поме
тить точки, соответствующие различным знакам, разными цветами, то получится сферограмма
для данного землетрясения.
На поверхности Земли располагается множество сейсмоприемников, регистрирующих ее
движения и связанных в сейсмические сети. Особое внимание уделяется регистрации первого
вступления – тому, как направлено первое ненулевое движение поверхности (от прихода Pвол
ны): от гипоцентра или к нему. Используется специальная процедура, позволяющая восстано
вить сферограмму по сейсмотрассам одного и того же события, записанным на нескольких сей
смостанциях. Отметим, что при численном моделировании значения скорости среды известны в
каждой точке среды в последовательные моменты времени, и, следовательно, сферограмма мо
жет быть получена непосредственно из ее определения.
2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ГЕОЛОГИЧЕСКОЙ СРЕДЫ
И ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
Для описания состояния бесконечно малого объема линейноупругой среды используются
уравнения линейной динамической теории упругости. Рассмотрим нестационарные уравнения
ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
том 53
№ 10
2013
1712
ГОЛУБЕВ и др.
теории упругости для случая трех переменных в некоторой ортонормированной системе коорди
нат (x1, x2, x3):
ρ ⋅ v i = ∇ j ⋅ σij ,
σ ij = qijkl ε kl + Fij .
(1)
Здесь ρ – плотность среды, v i – компоненты вектора скорости смещения, σ ij и ε kl – компо
ненты тензоров напряжений Коши и деформации, ∇ j – ковариантная производная по j й коор
динате, Fij – добавочная правая часть. Вид компонент тензора 4го порядка qijkl определяется
реологией среды. Для линейноупругого случая они имеют вид
qijkl = λδij δ kl + μ(δik δ jl + δil δ jk ) .
В этом соотношении, которое обобщает закон Гука, λ и µ – параметры Ляме, а δ ij – символ
Кронекера.
Первое векторное уравнение в системе (1) представляет три уравнения движения, второе –
шесть реологических соотношений. Вектор искомых функций, состоящий из 9ти компонент,
имеет вид
u = {v1,v 2,v 3, σ11, σ12, σ13, σ 22, σ 23, σ33}т.
Отметим, что система динамики деформируемого твердого тела (1) может быть записана в
матричном виде (см. [9]):
∂u =
∂t
3
∑A
j =1
j
∂u ,
∂x j
(2)
где A j – матрицы размера 9 на 9.
Для численного моделирования задач динамики деформируемого твердого тела широко при
меняется сеточнохарактеристический метод (см. [10], [11]). Вначале применяется метод рас
щепления по пространственным координатам, в результате чего получаются три одномерных
системы уравнений:
∂u = A ∂u , j = 1,2,3.
(3)
j
∂t
∂x j
Каждая из этих систем является гиперболической и обладает полным набором собственных
векторов с действительными собственными значениями. Каждую из систем можно переписать в
виде
∂u = Ω −1Λ Ω ∂u ,
j
j
j
∂t
∂x j
где Ω j – матрица, составленная из собственных векторов, Λ j – диагональная матрица, элемен
тами которой являются собственные значения. Для всех координат матрица Λ имеет вид
Λ = diag{c p, −c p, cs , −cs , cs , −cs ,0,0,0},
где c p = (λ + 2μ)/ ρ – продольная скорость звука в среде, c s = μ/ ρ – поперечная скорость звука.
После замены переменных ν = Ω u каждая из систем (3) распадается на девять независимых
скалярных уравнений переноса (индекс j далее опускается, где это возможно)
∂v + Λ ∂v = 0.
∂t
∂x
Одномерные уравнения переноса решаются с помощью метода характеристик либо обычны
ми конечноразностными схемами.
После того, как все компоненты ν перенесены, восстанавливается само решение
u
n +1
− 1 n +1
=Ω ν
.
В данной работе применяются TVDразностные схемы 2го порядка точности (см. [12]):
umn+1 = umn − σ( f m+1/2 − f m−1/2 ),
здесь f m+1/2 и f m−1/2 – антидиффузионные потоки:
ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
том 53
№ 10
2013
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СЕЙСМИЧЕСКОЙ АКТИВНОСТИ
1713
f m+1/2 = umn − 0.5φ(rm )(1 − σ)(umn +1 − umn ),
f m−1/2 = umn −1 − 0.5φ(rm−1)(1 − σ)(umn − umn −1).
Функция φ(rm ) называется ограничителем или лимитером. Параметр rm вычисляется по формуле
um − um−1
.
um+1 − um
В программе реализовано 15 различных лимитеров (см. [13]). В расчетах в основном исполь
зовались ограничители suprebee (см. [14]) и MC (monotonized central) (см. [15]), которые показа
ли себя наилучшим образом:
rm =
φ sb(r ) = max[0, min(2r,1), min(r,2)],
φ MC (r ) = max[0, min(2r,0.5(1 + r ),2)].
Также использовались сеточнохарактеристические монотонные разностные схемы (см. [16],
[17]). В программе реализованы схемы 2–4 порядка точности. Большинство расчетов проводи
лось с использованием схемы 4го порядка точности. Приведем ее для численного решения од
номерного линейного уравнения переноса ut + λ u x = 0, σ = λ τ/h :
umn+1 = umn − σ(Δ1 − σ(Δ 2 − σ(Δ 3 − σΔ 4 )),
(
)
Δ1 = 1 −2umn +2 + 16umn +1 − 16umn −1 + 2umn −2 ,
24
Δ 2 = 1 −umn +2 + 16umn +1 − 30umn + 16umn −1 − umn −2 ,
24
Δ 3 = 1 2umn +2 − 4umn +1 + 4umn − 2umn −2 ,
24
n
n
n
n
n
Δ 4 = 1 um+2 − 4um+1 + 6um − 4um−1 + um−2 .
24
Кроме того, используется сеточнохарактеристический критерий монотонности [16]. В слу
чае положительного значения λ критерий монотонности имеет следующий вид:
(
)
(
)
(
)
{
}
{
}
min umn , umn −1 ≤ umn+1 ≤ max umn , umn −1 .
Для отрицательных значений λ он будет симметричен. В простейшей реализации в случае не
выполнения данного критерия монотонности применяется корректировка решения вида
{
{
}
}
{
{
{
}
}
⎧max umn , umn −1 , umn+1 > max umn , umn −1 ,
⎪⎪
n+1
n
n
n+1
n
n
um = ⎨min um, um−1 , um < min um, um−1 ,
⎪ n+1
n
n
n+1
n
n
⎪⎩um , min um, um−1 ≤ um ≤ max um, um−1 .
Данный ограничитель сохраняет 4й порядок в областях, где решение ведет себя достаточно
гладко (выполняется характеристический критерий). В случае больших градиентов решения по
рядок схемы понижается до 3го (см. [16]).
В случае, когда расчетная область не является параллелепипедом или комбинацией паралле
лепипедов, в программе реализована возможность использования криволинейных структурных
сеток. Криволинейные сетки строятся путем отображения физической области интегрирования
на область параллелепипеда с равномерной сеткой.
Расщепление по координатам производится в этом случае не в физическом, а в преобразован
ном пространстве. Исходная система уравнений (2) преобразуется к виду
∂u =
∂t
3
A j ∂u ,
∂ξ j
j =1
∑
}
A j =
3
∂ξ j
∑ ∂x
i =1
{
}
Ai .
i
Теперь для каждого шага расщепления для направления ξ j матрица Λ будет иметь вид
Λ = diag{ c1l j , −c1l j , c2l j , −c2l j , c2l j , −c2l j ,0,0,0}.
8 ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
том 53
№ 10
2013
1714
(a)
ГОЛУБЕВ и др.
(б)
Фиг. 3. Сравнение аналитических (а) и расчетных (б) сферограмм для случая однородного вмещающего масси
ва. Простирание равно 70°, падение равно 90°, уклон равен 0°.
(a)
(б)
Фиг. 4. Сравнение аналитических (а) и расчетных (б) сферограмм для случая однородного вмещающего масси
ва. Простирание равно 90°, падение равно 20°, уклон равен 0°.
Здесь l j = v j = (v1j )2 + (v 2j )2 + (v 3j )2 , а v j = ∇ ⋅ ξ j . Матрицы преобразования Ω и Ω −1 также из
меняются. Для определения коэффициентов v j вычисляется матрица, обратная к матрице Яко
би. Отметим, что ее необходимо вычислять в каждой ячейке. Коэффициенты могут быть вычис
лены аналитически, в случае, когда преобразование задано ξ = ξ(x) , либо численно, используя
формулы второго порядка точности (v ij )m = ((ξ j )m+1 – (ξ j )m−1)/ Δxi .
Структура расчетной области задается набором из m параллелепипедных блоков с ребрами,
∪
m
параллельными осям декартовой системы координат: Ω =
Ω . Любой из блоков Ω k характе
k =1 k
ризуется своим набором параметров среды, граничных и контактных условий. В каждом блоке Ω k
строятся прямоугольные сетки с постоянным внутри блока шагом hk = {hk1, hk 2, hk3}. При этом в
соседних блоках, при условии наличия контактной границы, сетки должны быть согласованы.
Под согласованием сеток понимается равенство шагов сетки в плоскости контакта и совпадение
ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
том 53
№ 10
2013
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СЕЙСМИЧЕСКОЙ АКТИВНОСТИ
(a)
1715
(б)
Фиг. 5. Сравнение аналитических (а) и расчетных (б) сферограмм для случая однородного вмещающего масси
ва. Простирание равно 90°, падение равно 50°, уклон равен 0°.
(a)
(б)
Фиг. 6. Сравнение аналитических (а) и расчетных (б) сферограмм для случая однородного вмещающего масси
ва. Простирание равно 90°, падение равно 90°, уклон равен 75°.
координат узлов в прилегающих сетках. Для расчета искомых функций на границах сеток в со
седних блоках в программном комплексе реализованы два типа граничных условий – условие
полного слипания и условие скольжения.
3. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
3.1. Сравнение численных расчетов с аналитическим решением
в случае однородного вмещающего массива
В настоящей работе было проведено прямое моделирование динамических процессов, проис
ходящих в трехмерном геологическом массиве при распространении упругих волн из гипоцен
тра, моделируемого “подвижкой по разлому”. При этом вмещающая среда считалась упругой,
однородной и изотропной. Задавались следующие характеристики: плотность среды задавалась
2000 кг/м3, скорость продольной волны равна 2000 м/с, скорость поперечной волны задавалась
ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
том 53
№ 10
2013
8*
ГОЛУБЕВ и др.
1716
Фиг. 7. Распределение модуля скорости в однородной упругой среде при землетрясении. Простирание равно
90°, падение равно 0°, уклон равен 0°.
1300 м/с. В ходе численного моделирования, для построения расчетной сферограммы, отслежи
вались значения на нижней половине сферы, окружающей гипоцентр землетрясения и находя
щейся полностью в упругой среде. Необходимо отметить, что в данном приближении возможно
также построение сферограммы аналитическими методами (см. [18]). Примеры сравнения ана
литического решения с результатами численных расчетов приведены на фиг. 3–6. Неравномер
ность расположения точек на расчетной сферограмме обусловлена использованием грубой рас
четной сетки и особенностями последующего построения стереографической проекции.
Как видно из приведенных иллюстраций, достигается высокая точность воспроизведения
аналитического решения при численном расчете. Необходимо отметить, что даже в простейшем
случае однородной среды не представляется возможным получить аналитическое решение, опи
сывающее распределения напряжений и скоростей в среде как функций координат и времени.
Результаты распределения модуля скорости в среде в фиксированный момент времени при чис
ленном расчете приведены на фиг. 7. Детальный анализ (см. [7]) показывает, что из гипоцентра к
поверхности Земли распространяется набор упругих волн: 2 продольные и 2 поперечные. По
скольку скорость продольных волн существенно выше скорости поперечных волн, постепенно
происходит их разделение, и именно продольные волны первыми достигают поверхности и ини
циируют первые вступления на сейсмотрассах. Однако амплитуда поперечных волн оказывается
намного больше и именно они приводят к появлению поверхностных волн Рэлея и Лава, кото
рые и вызывают основные разрушения строений.
3.2. Динамика волновых процессов в геологическом массиве при землетрясении.
Сравнение однородных и слоистых сред
Одним из преимуществ компьютерного моделирования сейсмической активности является
возможность детального анализа характеристик волновых процессов в зависимости от геомет
Характеристики слоистой среды
Слой
Толщина, м
Плотность,
кг/м3
Скорость продольной
волны, м/с
Скорость поперечной
волны, м/с
1
2
3
4
300
400
500
1600
2500
2500
2500
2500
4190
4650
5250
5850
2793
3100
3500
3900
ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
том 53
№ 10
2013
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СЕЙСМИЧЕСКОЙ АКТИВНОСТИ
(a)
1717
(б)
Фиг. 8. Сравнение волновых картин в последовательные моменты времени в однородном (а) и слоистом (б)
вмещающем массиве. Простирание равно 90°, падение равно 0°, уклон равен 0°.
рии и параметров вмещающего массива. Поскольку при расчете известны значения скоростей и
напряжений в каждой точке упругого тела, для наглядной визуализации результатов удобно ис
пользовать трехмерные волновые картины, в которых в каждой точке цветом изображается мо
дуль скорости среды. Однако в полевых экспериментах возможны измерения лишь на поверхно
сти Земли в точках расположения сейсмометров. Эти приборы, как правило, измеряют горизон
тальную или вертикальную проекцию вектора скорости или ускорения, и лишь иногда – их
полные векторы. По результатам измерений отдельных сейсмометров (сейсмотрасс) строятся
обобщенные графики для нескольких приемников, называемые сейсмограммами. По оси орди
нат в таком случае откладывается время от начала регистрации, возрастающее вертикально вниз.
В настоящей работе было проведено численное моделирование распространения упругого
возмущения из очага землетрясения через однородную упругую среду, а также через слоистую
упругую среду. Параметры однородной среды: плотность равна 2500 кг/м3, скорость продольной
волны равна 5850 м/с, скорость поперечной волны равна 3900 м/с. Слоистая среда состояла из
ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
том 53
№ 10
2013
1718
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
ГОЛУБЕВ и др.
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
Фиг. 9. Сравнение сейсмограмм для однородного (слева) и слоистого (справа) вмещающего массива. Прости
рание равно 90°, падение равно 0°, уклон равен 0°.
Фиг. 10. Описание геометрии расчетной области с использованием криволинейных структурных сеток.
четырех слоев с различными упругими характеристиками, значения которых приведены в табли
це. Результаты численного моделирования приведены на фиг. 8 (изображено вертикальное сече
ние) в виде последовательности волновых картин.
Основным качественным различием является появление множества переотраженных волн
вследствие различия упругих характеристик слоев. Кроме того, часть энергии уносится обратно
в глубь среды отраженными волнами, что приводит к ослаблению проходящих к поверхности
волн.
Также по результатам расчетов были построены синтетические сейсмограммы для обоих типов
сред. На них четко видна разница во времени прихода соответствующих типов волн, обусловленная
вертикальной вариацией упругих характеристик в слоистой среде.
3.3. Воздействие отдельных компонент возмущения на устойчивость бортов карьера
Одной из особенностей используемого сеточнохарактеристического метода является воз
можность задания произвольной трехмерной геометрии расчетной области и постановки гра
ничных условий в явной форме. В настоящей работе была построена трехмерная криволинейная
расчетная сетка, описывающая геометрию карьера конической формы (фиг. 10). Она состоит из
ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
том 53
№ 10
2013
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СЕЙСМИЧЕСКОЙ АКТИВНОСТИ
1719
Фиг. 11. Волновые картины сейсмического воздействия на карьер в последовательные моменты времени.
13 сеток, каждая из которых является структурной. В местах их контактов используется условие
полного слипания, что обеспечивает отсутствие паразитных артефактов в виде низкоамплитуд
ных отраженных волн. Использование большого числа сеток позволяет обеспечить небольшое
отношение длины максимального ребра элемента сетки к минимальному ребру, что положитель
но сказывается на точности расчетов. Материал каждой сетки обладал следующими упругими
характеристиками: плотность равна 2000 кг/м3, скорость продольной волны равна 2000 м/с, ско
рость поперечной волны равна 1300 м/с. В качестве начального возмущения использовалась
продольная волна (одна из компонент сейсмического сигнала из очага землетрясения), распро
страняющаяся из глубины массива к поверхности. На фиг. 11 приведены волновые картины в по
следовательные моменты времени.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В настоящей работе разработана численная механикоматематическая модель гипоцентра,
позволяющая проводить компьютерное моделирование сейсмической активности. С использо
ванием сеточнохарактеристического метода получено численное решение задачи об инициа
ции землетрясения в однородной среде, проведено сравнение синтетических сферограмм с ана
литическими сферограммами для различных ориентаций плоскости разлома.
Авторами было проведено сравнение распространения полного спектра возмущения из очага
землетрясения к дневной поверхности для случая однородной и слоистой сред при полноволно
вом моделировании. На основе анализа синтетических сейсмограмм показано ослабление про
ходящих волн за счет множественных переотражений от границ слоев, обладающих различной
акустической жесткостью.
Используемый численный метод на структурных параллелепипедных и криволинейных сет
ках позволяет проводить моделирование волновых процессов в областях со сложной геометрией
с постановкой граничных и контактных условий в явном виде. Было проведено моделирование
падения продольной волны на карьер с расчетом полного вектора скорости среды и тензора на
пряжений, позволяющее в дальнейшем проводить оценку устойчивости бортов карьеров.
ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
том 53
№ 10
2013
1720
ГОЛУБЕВ и др.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гаскин В.В., Соболев В.И. Имитационное моделирование сейсмических процессов в протяженных со
оружениях // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2005. № 5. C. 26–33.
2. Михеева Т.В. Обзор существующих программных средств имитационного моделирования при иссле
довании механизмов функционирования и управления производственными системами // Известия
Алтайского гос. унта, 2009. № 1. C. 87–90.
3. Семчуков А.Н. Численное моделирование нестационарных течений и качества воды в открытых руслах:
Решение прямой и обратной задач // Дисс. … к.физ.матем.н., 2004.
4. Хвостова О.Е., Куркин А.А. Математическое моделирование оползневых цунами методом частиц //
Вестн. БГТУ. 2009. № 4. С. 96–100.
5. Назарова З.А. Тестирование программ расчета координат гипоцентров землетрясений (DIMAS, ARC)
на точность и устойчивость в условиях камчатской сети радиотелеметрических станций // Сб. тез. На
учнотехн. конференции “Проблемы комплексного геофизического мониторинга Дальнего Востока
России”, 11–18 ноября 2007 г. Петропавловск–Камчатский. C. 191–195.
6. Петров И.Б., Хохлов Н.И. Моделирование сейсмических явлений сеточнохарактеристическим
методом // Труды МФТИ. 2011. Т. 3. № 3. C. 159–167.
7. Голубев В.И., Квасов И.Е., Петров И.Б. Воздействие природных катастроф на наземные сооружения //
Матем. моделирование. 2011. Т. 23. № 8. C. 46–54.
8. Балакина Л.М., Введенская А.В., Голубева Н.В. и др. Поле упругих напряжений Земли и механизм очагов
землетрясений. М.: Наука, 1972.
9. Петров И.Б., Холодов А.С. Численное исследование некоторых динамических задач механики дефор
мируемого твердого тела сеточнохарактеристическим методом // Ж. вычисл. матем. и матем. физ.
1984. Т. 24. Вып. 5. C. 722–739.
10. Магомедов К.М., Холодов А.С. Сеточнохарактеристические численные методы. М.: Наука, 1988.
11. Магомедов К.М., Холодов А.С. О построении разностных схем для уравнений гиперболического типа на
основе характеристических соотношений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1969. Т. 9. Вып. 2. C. 373–386.
12. Ami Harten. High resolution schemes for hyperbolic conservation laws // J. Comput. Phys. 1997. V. 135. № 2.
P. 260–278.
13. Петров И.Б., Хохлов Н.И. Сравнение TVD лимитеров для численного решения уравнений динамики
деформируемого твердого тела сеточнохарактеристическим методом // Математические модели и за
дачи управления // Сб. науч. трудов. Моск. физ.тех. инт. М., 2011. С. 104–111.
14. Roe P.L. CharacteristicBased Schemes for the Euler Equations // Annual Rev. Fluid Mec. 1986. № 18. P. 337–365.
15. Van Leer B. Towards the ultimate conservative difference scheme III. Upstreamcentered finitedifference
schemes for ideal compressible flow // J. Comp. Phys. 1977. V. 23. P. 263–275.
16. Холодов А.С., Холодов Я.А. О критериях монотонности разностных схем для уравнений гиперболиче
ского типа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2006. Т. 46. № 9. C. 1560–1588.
17. Холодов А.С. О построении разностных схем повышенного порядка точности для уравнений гипербо
лического типа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ.1980. Т. 20 № 6. С. 1601–1620.
18. Shahzad F. Software development for fault plane solution and isoseismal map // M. Sc. Thesis QuaidiAzam
Univ. Islamabad, 2006.
ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
View publication stats
том 53
№ 10
2013