Математика экзамен

Основные понятия теории множеств Определения, термины и
символы
Множество – совокупность различимых между собой объектов, объединяемых в целое
некоторым общим признаком.
Обозначения: A, B, C,… – множества, a, b, c,… – элементы (точки) множеств.
Изображение:
Круги или диаграммы
Эйлера-Венна.
Принадлежность:
–a принадлежит множеству S (или входит в S);
–а не принадлежит множеству S (или не входит в S).
Задание – два основных способа:
1. Перечисление: А={3; 8,2; 5}; В={b1; b2; b9; b7}; С={1; 3;...2× n – 1}.
При факторном рассмотрении множества могут выделяться его отдельные части. Это
называется выделением подмножеств:
Множество В называется подмножеством множества А, если все
элементы В принадлежат и А: В  А – В включено (или содержится) в А. Если хотя бы один
элемент В не содержится в А, то
–В не подмножество (не включено в) А.
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым, обозначается
символом  и аналогично понятию нуля в арифметике. Оно является подмножеством
любого множества. Вообще, множество можно разбить на подмножества самыми разными
способами. Так, из A={3; 8}, можно получить подмножества: , {3}, {8}, {3; 8}. При этом  и
{3; 8} называются несобственными подмножествами А, остальные
- собственными подмножествами А.
Операции над множествами
1. Множества А и В равны, А = В, тогда и только тогда, когда А  В и В  А, т.е. состоят из
одинаковых элементов, причем порядок следования элементов не имеет значения:
если А = {1; 2; 3}, а В = {2; 1; 3}, то А = В.
2. Пересечением множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов,
принадлежащих одновременно и А, и В:
.
3. Объединением (или суммой) множеств А и В называется множество С всех элементов,
входящих либо в А, либо в В. Причем общие элементы учитываются только один раз:
.
4. Разностью множеств А и В называется множество С, состоящее из тех элементов
множества А, которые не содержатся в множестве В:
чтоА\В не равно В\А.
. Отметим,
Заметим, что на втором рисунке В  А. В этом случае
разность А\В называется дополнением множества В до множества А и
обозначается САВ=А\В.
В процессе получения количественных результатов мы постоянно имеем дело с
множествами чисел. Приведем классификацию числовых множеств:
1. Натуральные числа N={n}={1; 2; 3;…; n;…}.
2. Неотрицательные числа
.
3. Целые числа
4. Рациональные числа
5. Действительные числа
иррациональных чисел.
Очевидно:
следующего.
.
, где
.
, полная совокупность рациональных и
, т.е. каждое числовое множество является подмножеством
Все эти числовые множества обладают свойством упорядоченности, т.е. для любых двух
элементов a и b любого множества можно указать, что либо
, либо
. Для трех
различных элементовa, b и c выполняется свойство транзитивности: из
и
следует, что
.
Ясно, что все числовые множества – бесконечны, причем N,
,Z и Q – счетные (т.е.
элементы этих множеств можно перенумеровать), R – несчетное множество.
При практических расчетах мы достаточно часто имеем дело не со всем числовым
множеством, а с его некоторой частью, т.е. подмножеством. Изображение подмножеств
числовых множеств удобно иллюстрировать с помощью числовой оси, которая в этом
случае является вариантом диаграммы Эйлера-Венна. Напомним, что числовой осью
называется линия (чаще всего – прямая), на которой указаны: начало отсчета, направление
отсчета и единица измерения. Для удобства примем, что если конец интервала является
элементом описываемого множества, то он обозначается кружочком, а если нет, то –
крестиком. Тогда основные типы интервалов определяются следующим образом:
(a, b) или
–ограниченный
открытый
интервал (или открытый
промежуток), концы a и b не
принадлежат данному множеству точек;
или
, или
,
аналогично
или
, или
–неограниченные открытые
интервалы;
или
–ограниченный
замкнутый интервал,
концы a и b принадлежат данному
множеству точек (другие
названия: отрезок,
сегмент, замкнутый промежуток);
или
–полуоткрытый
интервал. И другие аналогичные
варианты. Легко заметить, что
квадратная скобка соответствует
нестрогому знаку неравенства или ,
а круглая скобка – строгому знаку < или
>.
Для оценивания множеств на практике удобно использовать дополнительные
характеристики. Пусть A – произвольное, но не пустое множество. Число
называется максимумом множества A, если
и любые другие элементы множества не
превосходят этого числа:
. Аналогично определяется и минимум множества
.
Множество A называется ограниченным сверху, если существует число k, такое, что для
всех элементов множества справедливо
. Это число назовем верхней гранью (или
мажорантой) множества A. Минимально возможное значение k называется точной
верхней гранью множества A и обозначается
(supremum A).
Множество A называется ограниченным снизу, если существует число p, такое, что что
для всех элементов множества справедливо
. Это число назовем нижней
гранью (или минорантой) множества A. Максимально возможное
значение p называется точной нижней гранью множества A и обозначается
(infimum A).
Числовые промежутки. Окрестность точки.
Ответ - Множество (-∞;+∞) называется числовой прямой, а любое число — точкой этой
прямой. Пусть a — произвольная точка числовой прямой и δ
— положительное число. Интервал (a-δ; a+δ) называется δ-окрестностью точки а.
Множество Х ограничено сверху (снизу), если существует такое число c, что для любого x ∈
X выполняется неравенство x≤с (x≥c). Число с в этом случае называется верхней(нижней)
гранью множества Х. Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется ограниченным.
Наименьшая (наибольшая) из верхних (нижних) граней множества называется точной
верхней (нижней) гранью этого множества.
Числовым промежутком называется связанное множество действительных чисел, то есть
такое, что если 2 числа принадлежат этому множеству, то все числа заключенные между
ними также принадлежат этому множеству. Существует несколько в некотором смысле
различных типов непустых числовых промежутков: Прямая, открытый луч, замкнутый луч,
отрезок, полуинтервал, интервал
Числовая прямая
Множество всех действительных чиселназывают ещё числовой прямой. Пишут
.
На практике нет необходимости различать понятие координатной или числовой прямойв
геометрическом смысле и понятие числовой прямой, введённое настоящим определением.
Поэтому эти разные понятия обозначаются одним и тем же термином.
Открытый луч
Множество чисел таких, что
или
или соответственно:
называют открытым числовым лучом. Пишут
.
Замкнутый луч
Множество чисел таких, что
или
или соответственно:
называют замкнутым числовым лучом. Пишут
.
Отрезок
Множество чисел
таких, что
называют числовым отрезком.
Замечание. В определении не оговаривается, что
. Предполагается, что случай
возможен. Тогда числовой промежуток превращается в точку.
Пишут
.
Интервал
Множество чисел
Пишут
, таких что
называют числовым интервалом.
.
Замечание. Совпадение обозначений открытого луча, прямой и интервала не случайно.
Открытый луч можно понимать как интервал, один из концов которого удалён в
бесконечность, а числовую прямую — как интервал, оба конца которого удалены в
бесконечность.
Полуинтервал
Множество чисел
полуинтервалом.
Пишут
, таких что
или
называют числовым
или, соответственно,
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИЙ.
Пусть X и Y – некоторые числовые множества и пусть каждому элементу x X по
какомулибо закону f поставлен в соответствие один элемент y Y . Тогда будем
говорить, что определена функциональная зависимость y от x по закону y f x . При
этом x называют независимой переменной (или аргументом), y – зависимой
переменной, множество X - областью определения (существования) функции,
множество Y – областью значения (изменения) функции. Совокупность точек
координатной плоскости Oxy, удовлетворяющих уравнению y f
x , называется графиком этой функции.
Для обозначения функции и независимой переменной могут быть использованы
и другие буквы. Примерами записи функций: y y x , y F x , y g x .
СПОСОБ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИЙ.
Задать функцию – значит указать закон, по которому, согласно определению,
каждому значению аргумента из области определения ставится в соответствие
(вычисляется) значение зависимой переменной из области значений функции.
Существует три основных способа задания функций: табличный, аналитический и графический.
Табличный способ. Этот способ имеет широкое применение в разных отраслях
знаний и приложениях: ряды экспериментальных измерений, социологические
опросы, таблицы бухгалтерской отчетности и банковской деятельности и т.п. Как
правило, в таких таблицах по крайней мере одну из переменных можно принять за
независимую (например, время), тогда другие величины будут функциями от этого
аргумента. По сути дела, базы данных основаны на табличном способе задания,
хранения и обработки информации, а значит, и на табличной форме функциональной
зависимости.
Аналитический способ. Этот способ состоит в задании связи между
аргументом и функцией в виде формул. Следует подчеркнуть, что функция может
определяться и набором формул: разным участкам области определения функции
соответствуют разные формулы.
Графический способ. Здесь соответствие между аргументом и функцией
задается посредством графика. Этот способ обычно используется в
экспериментальных измерениях с употреблением самопищущих приборов
(осциллографы, сейсмографы и т.п.).
Основные характеристики функций.
Опр. Функция
, определенная на множестве
любого
выполняется условие
и
любого
выполняется условие
и
называется четной, если для
; нечетной, если для
.
График четной функции симметричен относительно оси Оy, нечетной – относительно
начала координат.
Например:
функции;
Опр. Пусть функция
значений
- четные функции; а
- нечетные
- функции общего вида, т.е. не четные и не нечетные.
определена в промежутке
, из неравенства
. Если для любой пары
следует неравенство,
называется возрастающей на данном промежутке, если
называется неубывающей.
функция
– функция
Иными словами – значения возрастающей функции увеличиваются одновременно со
значением аргумента.
Опр. Если для любых
и
из промежутка
называется убывающей в интервале
вытекает
, то функция
, если
- невозрастающей.
Например, функция, заданная графиком (рис.1), убывает на интервале (-2;1), не убывает на
интервале (1; 5), возрастает на интервале (3; 5).
Опр. Возрастающие, невозрастающие, убывающие и неубывающие
называются монотонными, а возрастающие и убывающие – строго монотонными. На
рисунке (рис.1) функция строго монотонна на (-2;1) и (3; 5); монотонна на (1; 3).
Опр. Функция
, определенная на множестве D, называется ограниченной, если
существует такое число М>0. что для всех
выполняется неравенство
.
График ограниченной функции лежит между прямыми
и
(рис.2).
Опр. Функция
называется периодической на множестве D, если существует такое
число Т>0, что при каждом значении
и
. При этом
число Т называется периодом функции.
Опр. Пусть задана функция
с областью определения D и множеством значений Е.
Если каждому значению
соответствует единственное значение
, то определена
функция
с областью определения Е и множеством значений D. Такая функция
называется обратной к функции
и записывается
.
Функции
и
обратную к функции
это возможно).
являются взаимно обратными. Чтобы найти функцию
достаточно решить уравнение
относительно х (если
Пример:
1. Для функции
2. Для функции
обратной является функция
;
, обратной функцией является
.
Замечание: Любая строго монотонная функция имеет
обратную. При этом, если функция возрастает (убывает),
то обратная тоже возрастает (убывает). Если
функцииy=f(x) и x=g(y) являются взаимно обратными, то
они выражают одну и ту же связь между
переменными x и y. Поэтому графиком их является одна
и та же кривая. Но если аргумент обратной функции мы
обозначим снова через x, а функцию через y и построим
их в одной системе координат, то получим уже два
различных графика. Легко заметить, что графики будут
симметричны относительно биссектрисы 1-го
координатного угла.
Опр. Пусть функция
множестве
множестве
определена на множестве D, а функция
на
, причем для
соответствующее значение
. Тогда на
определена функция
, которая называется сложной
функцией от х (или функцией от функции). Переменную
аргументом сложной функции.
называют промежуточным
Например, Функия
есть сложная функция
с промежуточным
аргументом
. Сложная функция может иметь несколько промежуточных аргументов.
Основные элементарные функции и их графики.
Определение 2. Основными элементарными функциями принято называть степенную,
показательную, логарифмическую, тригонометрические и обратные тригонометрические
функции. Ниже приведены графики этих функций, которые наглядно характеризуют их
основные свойства.
1) Показательная функция y = αx, a>0, a 1;
Рис. 1
2) Степенная функция y = x α , α ∈ R .
Графики степенных функций, соответствующих различным показателям степени,
представлены на рис. 2
Рис. 2
3) Логарифмическая функция y = logax, a> 0, a 1;
Рис. 3
4) Тригонометрические функцииy = sinx, y = cosx,
Рис. 4
y = tgx, y = ctgx
Рис. 5
5) Обратные тригонометрические функции
y = arcsinx, D (f) = [-1; 1], E (f) =
;
y = arccos x, D (f ) = [- 1; l], E (f) =
y = arctg x, D (f) = R, E (f) =
;
;
y = arcctg x, D (f) = R, E (f) =
Рис. 6
Функция, задаваемая одной формулой, составленной из основных элементарных функций и
постоянных величин с помощью конечного числа арифметических операций сложения,
вычитания, умножения, деления и операций взятия функции от функции,
называется элементарной функцией.
Примерами элементарных функций являются:
у = ax + b–линейная функция a,b∈ R;
у = ax + bx + c– квадратичная функция a, b, с ∈ R;
у=
– целая рациональная функция или многочлен степениn,
;
–дробно‒рациональная функция; частным случаем дробно‒рациональной функции
является дробно‒линейная функция
,
.
Предел последовательности. Числовые последовательности.
Пределчисловойпоследовательности.
Пусть каждому натуральному числу n поставлено в соответствие действительное число xп.
Тогда говорят, что задана последовательность чисел x1, x2, x3, …, xn, … .
Числа x1, x2, x3, …, xn, будем называть элементами (или членами)
последовательности, xn–общимчленомпоследовательности. Сокращенно
последовательность обозначается
.
Например:
1) 1, 3, 5, …, 2n – 1 – арифметическая прогрессия.
d = 2;xn= 2n – 1; x100 = 2 ·100 – 1 = 199.
d =x2 – x1 = x3– x2 = … – разность прогрессии.
– геометрическая прогрессия.
2)
– знаменатель прогрессии.
q=
x5=
;
3)
xn=
;
Определение 1. Последовательность {xn} называется ограниченной, если она ограничена и
сверху и снизу, то есть существуют числа mиMтакие, что любой элемент этой
последовательности удовлетворяет неравенствам:
Пример:
В противном случаи последовательность {xn} называется неограниченной.
Пример:
1, 2, 3, …, n – неограниченная последовательность.
Определение 2. Числоa называется пределом числовой последовательности {xn}, если
для любого сколь угодно малого ε> 0найдетсячисло N (номер), зависящее от ε, такое, что
для всех натуральных чисел n>Nвыполняется неравенство:
Тогда последовательность {xn} называется сходящейся,и в этом случае пишут:
Пример:
Для любого
Так как
, то
Пусть
, тогда
Следовательно
.
99.
Например:
, тогда
.
Числовая последовательность. Предел числовой
последовательности.
Рассмотрим множество натуральных чисел 1, 2, 3, 4, …..n,…
Пусть каждому натуральному числу по некоторому правилу или закону поставлено в
соответствие действительное число х1, х2, х3, … хn, … Тогда говорят, что на множестве
натуральных чисел задана числовая последовательность {xn}.
Числовая последовательность считается заданной, если указано правило, по которому
может быть вычислен любой член последовательности, если только известен его номер.
Это правило называется формулой n членапоследовательности.
Например: хп = n2
Предел последовательности
Число а называется пределомпоследовательности {xn}, если для всякого ε > 0 найдётся
числоN(ε) такое, что для всехn>Nвыполняется неравенство │хп- а│< ε. Обозначают .
Последовательности имеющие предел называются сходящимися.
Неравенство │хn-a│< ε равносильно неравенству а – ε < хn<a+ ε, то есть точки хn€ (a– ε,a+ ε )
или ε – окрестности точки а. Учитывая это замечание определение предела
последовательности можно сформулировать так:
Число а называется пределом последовательности, если для любого ε>0 найдется такое
число N(ε), что все члены последовательности с номерамиn>Nпопадут в ε – окрестность
точки а. Вне этой окрестности либо не имеется точек хп, либо имеется конечное их число.
Теорема 1. Если последовательность имеет предел, то он единственный.
Доказательство:
Пусть последовательность имеет два различных предела а и b. Рассмотрим окрестности
точек а и b такой малой величины, что они не пересекаются. Воспользуемся вторым
определением предела последовательности. Поскольку число а является пределом
последовательности, то существует такая окрестность точки а, что все члены
последовательности за исключением может быть их конечного числа попадут в ε –
окрестность точки а. Так как число b является пределом последовательности, то все члены
последовательности за исключением лишь их конечного числа попадут в ε – окрестность
точки b. Таким образом, все члены одного бесконечного множества попали в окрестности
двух различных точек, чего быть не может. Получили противоречие. Следовательно,
предел единственный и теорема верна.
Основные свойства пределов
Предел алгебраической суммы конечного числа последовательностей равен
алгебраической сумме пределов последовательностей слагаемых, если последние
пределы существуют.
Предел произведения конечного числа последовательностей равен произведению
пределов последовательностей сомножителей, если последние пределы существуют.
Предел частного последовательностей равен частному пределов числителя и
знаменателя, если последние пределы существуют и предел последовательности
знаменателя отличен от нуля.
Докажем, например, первое утверждение.
Пусть имеются две последовательности {xn} и {yn} и их сумма {xn +yn}. Требуется доказать,
что
Воспользуемся определением предела последовательности.
Пусть
что│xn -a│<
. Это значит, что для любого ε>0 существует число N, такое
,
и│yn - b│<
.
Составим модуль разности между n членом последовательности суммы и числом (а+b) и
воспользуемся для него свойствами модуля и указанными выше неравенствами.
Будем иметь │(xn-yn ) – (a+b)│= │(xn–a) + (yn–b)│<│xn-a│+│yn -b│<
+
=ε
Тогда по определению предела последовательности, утверждение о пределе суммы
последовательностей верно.
Аналогично доказываются остальные утверждения.
Предел функции.
Пусть функция
определена в некоторой окрестности точкиа за исключением может
быть лишь самой точки а. Рассмотрим поведение функции при стремлении аргумента х к
значению а.
Определение 1. Число А называется пределом функции
при стремлении х к а, если
для любой последовательности значений аргументов
из области
определения функции стремящейся ка, соответствующая последовательность значений
функции
стремится кА.
Обозначают это так:
Если последовательность значений функции
при стремлении
или
.
стремится к
к значению а, то говорят, что предел функции равен
Обозначают это так:
или
Предел функции
или
при стремлении
можно определить по-другому.
Определение 2. Число А называется пределом функции
в точке а, если
для
, существует
такое, что для всех х, удовлетворяющих
неравенству
выполняется неравенство
.
Легко доказать, что оба определения предела функции эквивалентны.
Графически определение предела можно представить так:
Как только значения аргумента х попадают в –окрестность точки а, соответствующие
значения у попадают в –окрестность точки А, при этом для существования предела
функции при
:
1. необязательно, чтобы функция была определена в точке а;
2.
–окрестность точки а должна удовлетворять условиям симметричности, а –
окрестность точки А при заданной
не обязательно должна удовлетворять этому
требованию.
Определение 3. Число А есть предел функции
некоторое число М такое что неравенство
при
если для
существует
выполняется для всех
х удовлетворяющих неравенству
Основные теоремы о пределах функций.
Пусть а-число или один из символов ∞; -∞;+∞.
Теорема1. Предел от постоянной величины равен этому постоянному:
Теорема2. Если функция f(x) и g(x) имеют конечный предел,
то
Теорема3. Если функция f(x) и g(x) имеют конечный предел,
то
Теорема4. Если функция f(x) и g(x) имеют конечный предел,
то
.
Теорема5. Если в окрестности точки а выполняется неравенство
.
Теорема 6. Функция не может иметь более одного предела.
Бесконечно малые функции и их свойства.
Определение. Функция f(x) называется бесконечно малой при х→а (а – число или один из
интервалов ∞, +∞, -∞), если
.
Пример: Функция y=sin x, при х→0 бесконечно малая, т.к.
.
Теорема. Число А является пределом функции y=f(x) при х→а, тогда и только тогда, если в
окрестности точки а выполняется условие f(x)=A+λ(x). где λ(x) →0, при x →а.
Теоремы о бесконечно малых
Теорема1. Сумма фиксированного числа бесконечно малых при x →а функций есть
функция бесконечно малая при x →а.
Теорема2. Произведение фиксированного числа бесконечно малых функций при x →а есть
функция бесконечно малая при x →а.
Теорема3. Произведение функции бесконечно малой при x →а, на функцию, ограниченную
в окрестности точки а, есть функция бесконечно малая
при x →а.
Теорема4. Частное от деления бесконечно малой функции на функцию предел которой
при x →а конечен и отличен от нуля, есть функция бесконечно малая.
Бесконечно большие функции
Определение. Предел функции f(x) при х→а (а – число) равен бесконечности, если для
любого числа Е>0, существует δ>0, такое, что для всех х, удовлетворяющих
условию
выполняется неравенство
. Обозначается
axaxax
Свойства бесконечно больших величин.
1) Произведение бесконечно больших функций при х→а есть функция бесконечно
большая при х→а.
.
2) Сумма бесконечно больших функций при х→а одного знака, есть функция бесконечно
большая при х→а.
3) Произведение бесконечно больших функций при х→а на функцию, имеющую конечный
предел отличный от нуля, есть функция бесконечно большая при х→а.
4) Сумма бесконечно большой функции на функцию ограниченную в окрестности точки а ,
есть функция бесконечно большая при х→а.
5) Частное от деления бесконечно большой функции на функцию, имеющую конечный
предел при х→а, есть функция бесконечно большая при х→а.
Определение. Предел функции f(x) при х→а равен +∞, если
, такое, что для всех х принадлежащих δ окрестности выполняется
условие
Определение. Предел функции f(x) при х→а, равен -∞, если
, такое что для всех
х, удовлетворяющих условию
, выполняется неравенство
.
Определение. Предел функции f(x) при х→∞ равен - ∞, если
всех х, удовлетворяющих условию
, выполняется неравенство
такое, что для
Теорема. (связь функций бесконечно малых и бесконечно больших) Если функция f(x)
бесконечно малая при х→а и f(x) ≠0, в окрестностях точки а, то функция бесконечно
большая при х→а, и обратно, если функция f(x), бесконечно большая при х→а, то
функция
бесконечно малая при х→а.
Теоремы о пределах.
1. Функция имеет не более одного предела. Пусть y=f(x) имеет два предела при
х→а:
.
По теореме (1) f(x)=A+α(x), где α(x)→0.
(2) f(x)=B+β(x), где β(x)→0.
Рассмотрим (1) – (2) 0=А+ α(x)-В- β(x) следовательно В – А = α(x) - β(x), т.к. α(x) - β(x) – есть
бесконечно малая функция при х→а, а В – А – число не равное нулю, по условию, то быть
равными они не могут, значит наше предположение не верно. Функция имеет не более
одного предела.
2. Предел алгебраической суммы двух функций при и х→а, равен алгебраической
сумме пределов этих функций при х→а.
;
3. Предел произведения двух функций имеющих конечный предел при х→а, равен
произведению пределов этих функций при х→а.
.
4. Предел от постоянной функции при х→а равен значению этих функций. у=с.
– константа.
.С
5. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.
6. Предел частного двух функций при х→а, равен частному пределов этих функций при
х→а, если предел делителя не равен нулю, т.е.
.
7. Если
сложная функцияy=f(u),
, то предел сложной функции
.
Сравнение бесконечно малых величин.
Пусть α(x); β(x);γ(x) – функции бесконечно малые при х→а. ( а – число или ∞; +∞; - ∞).
Бесконечно малые функции часто сравниваются по быстроте стремления к нулю.
Рассмотрим бесконечно малые величины
Если мы сравним друг с другом более далекие значения наших бесконечно малых величин,
то заметим, что они приближаются к нулю с разными
скоростями.
.
Ясно, что
быстрее, чем
,а
быстрее, чем
.
Определение. Если предел отношения
прих→а равен нулю, то говорят, что α –
бесконечно малая более высокого порядка, чем β.
Определение. Если предел отношения
прих→а конечен и отличен от нуля, то α и β
называются бесконечно малыми одного порядка малости.
Определение. Если предел отношения
прих→а равен ∞, то говорят, что α(х) бесконечно
малая низшего порядка малости, по сравнению с β(х)
Чтобы сравнить две бесконечно малые величины необходимо найти предел их отношения.
Не всякие бесконечно малые величины можно сравнить между собой.
- не существует.
Если предела отношения двух бесконечно малых величин не существует, то говорят, что
эти бесконечно малые величины не сравнимы.
Определение. Две бесконечно малые величины называются эквивалентными, если предел
их отношения равен 1.
- эквивалентные бесконечно малые величины.
Теорема. При раскрытии неопределенности вида
можно и числитель и знаменатель этой
неопределенности заменить величинами им эквивалентными.
Два замечательных предела.
Лемма. Если
, то справедливо неравенство
(ά в радианах).
Теорема. Предел отношения синуса бесконечно малого угла к величине этого угла в
радианах равен 1.
.
2) Второй замечательный предел.
Вычисление пределов функций. Раскрытие неопределенностей
Правило. Для вычисления предела функции
в точке
или при
надо
применить теоремы о пределах и подставить предельное значение аргумента.
Для всех основных элементарных функций в любой точке их области определения имеет
место равенство
.
Примеры
Найти пределы функций:
2.
;
3.
;
4.
5.
;
.
При вычислении пределов функций формальная подстановка вместо х предельного
значения
,
.
часто приводит к неопределенным выражениям вида:
Например,
Выражения вида
или
,
,
,
,
,
,
,
,
.
,
,
,
называютсянеопределенностями.
Вычисление предела функции в этих случаях называют раскрытием неопределенности.
Рассмотрим правила раскрытия таких неопределенностей.
Неопределенность вида
Если
и
при
(
), то говорят, что их частное
собой неопределенность вида
представляет
.
Правило. Чтобы раскрыть неопределенность вида
, заданную отношением двух
многочленов, надо и числитель и знаменатель разделить на самую высокую входящую в
них степеньх.
Например,
.
Рассмотрим дробно−рациональную функцию
(
),
представляющую собой отношение двух многочленов
относительно х степеней m и n соответственно, и исследуем поведение этой функции
при
.
При нахождении предела данной функции при
ответа:
могут иметь место три варианта
1.
, если
;
2.
, если
;
3.
, если
.
Из этого следует, что предел отношения двух многочленов при
пределу отношения их старших членов.
Неопределенность вида
во всех случаях равен
Если требуется найти
, где
), т.е.
и
− бесконечно малые функции при
, то в этом случае вычисление предела называют
раскрытием неопределенности вида
.
Рассмотрим возможные приемы раскрытия такой неопределенности.
Выделение критического множителя
Правило. Чтобы раскрыть неопределенность вида
, заданную отношением двух
многочленов, надо и в числителе и в знаменателе выделить критический множитель и
сократить на него дробь.
Примеры
Найти пределы функций:
1.
;
2.
;
Преобразование иррациональных выражений
Правило. Чтобы раскрыть неопределенность вида
, в которой числитель или
знаменатель, или тот и другой иррациональны, надо:
− перенести иррациональность из числителя в знаменатель, или из знаменателя в
числитель, домножив дробь на сопряженные выражения,
− либо сделать замену переменной.
Замечание.
(
Если под знаком предела делается замена переменной, то все величины, входящие под
знак предела, должны быть выражены через эту новую переменную. Из равенства,
выражающего зависимость между старой переменной и новой, должен быть определен
предел новой переменной.
Применение первого замечательного предела
Правило. Для раскрытия неопределенности вида
, содержащей тригонометрические
выражения, используют первый замечательный предел:
или
где
и
,
.
Примеры
Найти пределы функций:
1.
;
2.
;
4.
.
Применение эквивалентных бесконечно малых величин
Правило. Для раскрытия неопределенности вида
заменить величинами им эквивалентными (п.2.12).
можно и числитель и знаменатель
Неопределенности вида
Если
и
при
неопределенность вида
Если
и
при
неопределенность вида
и
, то их разность
представляет собой
.
, то их произведение
.
− это
Правило. Неопределенности вида
сведения к неопределенностям вида
Неопределенности вида
,
и
раскрываются путем их преобразования и
или
.
,
Пусть функция имеет вид:
.
Если при
,
,а
, то имеем неопределенность вида
раскрытия этой неопределенности применяют второй замечательный предел:
;
. Для
;
или
;
Если при
Если
,а
,
и
при
.
, то имеем неопределенность вида
, то имеет место неопределенность
.
.
Для раскрытия неопределенностей вида
и
их преобразуют и сводят к
неопределенности вида
следующим образом:
.
В заключение отметим, что в дальнейшем будут рассмотрены более эффективные методы
вычисления пределов функций, основанные на использовании понятия производной.
Упражнения
Односторонние пределы. Найти пределы:
1.
2.
; Ответ:
;
; Ответ:
;
; Ответь:
;
; Ответ: 0.
Непосредственное вычисление пределов. Найти пределы:
3.
4.
5.
; Ответ: 15;
; Ответ:
.
; Ответ: 0.
Раскрытие неопределенности
6.
7.
8.
9.
. Найти пределы:
; Ответ: 0;
; Ответ: -2;
; Ответ:
;
; Ответ:
.
Раскрытие неопределенности
10.
11.
. Найти пределы:
; Ответ:
;
; Ответ: -2;
12.
; Ответ:
13.
; Ответ:
;
;
14.
; Ответ: -12;
15.
; Ответ:
16.
17.
18.
19.
20.
; Ответ:
.
;
; Ответ:
;
; Ответ:
; Ответ:
;
;
; Ответ:
.
Раскрытие неопределенностей
. Найти пределы:
21.
; Ответ:
;
22.
; Ответ:
;
23.
24.
; Ответ: 0;
; Ответ: 1.
Раскрытие неопределенности
25.
26.
; Ответ:
; Ответ:
. Найти пределы:
;
;
27.
; Ответ:
28.
; Ответ:
;
.
5. Первый и второй замечательные пределы
Теорема 1.
– первый замечательный предел. Читается: предел
отношения синуса к его аргументу равен единице, когда аргумент стремится к нулю.
Доказательство. Возьмем круг радиуса 1, обозначим
радианную меру угла МОВ через х. (см.рис.1). Пусть 0 <
x < . На рисунке |AM|=sinx, дуга МВ численно равна
центральному углу x, |BC| = tgx. Очевидно, имеем
SΔМОВ < Sсектора МОВ < SΔCОВ. На основании
соответствующих формул геометрии
получаем
Разделим неравенства
на
или
Так как
получим
и
,
то по признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов
(1)
Пусть теперь x < 0. Имеем
Поэтому
где –x >0
(2)
Рис.1. Из равенств (1) и (2) вытекает равенство
Следствия.
1.
.
2.
.
3.
.
Пример 1.
Пример 2.
Теорема 2.
– второй замечательный предел.
Доказательство. Рассмотрим переменную величину
действительного х, справедливо неравенство
. Так как для любого
, то, очевидно,
.
Легко показать (п. 2.5), что
,
,
а, значит, по теореме 3 (п. 4.2) о промежуточной переменной
,
где
– иррациональное число
.
Следствия.
1.
2.
.
.
– следует из 2.
3.
4.
– следует из 3.
– следует из 4.
5.
Пример 3.
=
=
=
Пример 4.
=
=
=
=
.
=
=
=
=
Односторонние пределы. Непрерывность и разрывы функции.
Односторонние пределы
Определение
Односторонний предел— предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к
предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левым и
правым пределами.
Левый и правый пределы функции
Определение
Число называетсяправым пределом функции
в точке , если для
что для любого
и
, выполняется неравенство
такое,
(рис. 1).
Правый предел обозначается
Число называетсялевым пределом функции
в точке , если для
для любого
и
, выполняется неравенство
такое, что
(рис. 2). Левый
предел обозначается
Левый и правый пределы функции называются односторонними пределами.
Теорема
Если существуют
и
, причем
, то существует и
. Обратное утверждение также верно.
В случае, если
, то предел
не существует.
Точка , в которой нарушено хотя бы одно из трех условийнепрерывности функции, а
именно:
1. функция
определена в точке и ее окрестности;
2. существует конечный предел функции
в точке ;
3. это предел равен значению функции в точке , т.е.
называется точкой разрыва функции.
Пример
Функция
не определена в точке
указанной функции.
, а значит, эта точка является точкой разрыва
Точка разрыва первого рода
Определение
Если в точке существуют конечные пределы
и
то точка называетсяточкой разрыва первого рода.
Пример
, такие, что
,
Функция
в точке
имеет разрыв первого рода, так как
,а
Точка разрыва второго рода
Определение
Если хотя б один из пределов
или
не существует или равен бесконечности,
то точка называетсяточкой разрыва второго рода.
Пример
Для функции
точка
- точка разрыва второго рода, так как
.
Точка устранимого разрыва
Определение
Если существуют левый и правый пределы функциив точке и они равны друг другу, но не
совпадают со значением функции
в точке :
или функция
не
определена в точке , то точка называетсяточкой устранимого разрыва.
Пример
Рассмотрим функцию
функции в точке
:
Так как
устранимого разрыва.
. Найдемодносторонние пределыи значение
и не равны значению функции в точке, то точка
- точка
46. Определение производной. Геометрический смысл, механический
смысл производной. Уравнения касательной и нормали к кривой и точке.
Пусть функция у = f(x) определена на некотором интервале (а; b). Проделаем следующие
операции:
- аргументу х
(а; b) дадим приращение ∆х: (х + ∆х) (а; b);
- найдем соответствующее приращение функции: ∆у = f(x+∆x) - f(х);
- составим отношение приращения функции к приращению аргумента:
;
- найдем предел этого отношения при ∆х → 0:
Если этот предел существует, то его называют производной функции f(x) и обозначают
одним из символов
;f'(x); у';
;
.
Производной функции у = f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения
функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.
Итак, по определению
y′ =
илиf′(x0) =
.
Функция у = f(х), имеющая производную в каждой точке интервала (а; b), называется
дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции
называется дифференцированием.
Значение производной функции у = f(х) в точке х = x0 обозначается одним из
символов:
илиy'(x0).
Пусть материальная точка (некоторое тело) М движется неравномерно по некоторой
прямой. Каждому значению времени t соответствует определенное расстояние ОМ = S до
некоторой фиксированной точки О. Это расстояние зависит от истекшего времени t, т. е. S =
S(t).
Это равенство называют законом движения точки. Требуется найти скорость движения
точки.
Если в некоторый момент времени t точка занимает положение M, то в момент времени t +
∆ t (∆t — приращение времени) точка займет положение M1, где ОМ1 = S + ∆S (∆S —
приращение расстояния) (см. рис. 1). Таким образом, перемещение точки М за
время ∆t будет ∆S = S(t + ∆t) – S(t).
Рис. 1.
Отношение
Vср.=
.
выражает среднюю скоростьдвижения точки за время∆t:
Средняя скорость зависит от значения ∆t: чем меньше ∆t, тем точнее средняя скорость
выражает скорость движения точки в данный момент времени t.
Предел средней скорости движения при стремлении к нулю промежутка
времени ∆t называется скоростью движения точки в данный момент времени(или
мгновенной скоростью). Обозначив эту скорость через V,получим
, или
. (7.4)
Если функция y=f(x) описывает какой-либо физический процесс, то производная
скорость протекания этого процесса.
есть
Возьмем на непрерывной кривой L две точки М и М1(см. рис. 2).
Прямую MM1, проходящую через эти точки, называют секущей.
Пусть точка М1, двигаясь вдоль кривой L, неограниченно приближается к точке М. Тогда
секущая, поворачиваясь около точки М, стремится к некоторому предельному
положению МТ.
Касательной к данной кривой в данной точке М называется предельное
положение МТ секущей MM1, проходящей через точку М, когда вторая точка
пересечения М1 неограниченно приближается по кривой к точке М.
Рис. 2. Рис. 3.
Рассмотрим график непрерывной кривой у = f(x), имеющий в точке
М(x; у)невертикальную касательную. Найдем ее угловой коэффициент k= tg α,где α — угол
касательной с осью Ох.
Для этого проведем через точку М и точку М1графика с абсциссой х + ∆x; секущую (см. рис.
3). Обозначим через φ — угол между секущей МM1 и осью Ох. На рисунке видно, что
угловой коэффициент секущей
kсек.=tg φ=
=
.
При ∆x → 0 в силу непрерывности функции приращение ∆у тоже стремится к нулю; поэтому
точка M1 неограниченно приближается по кривой к точке М, а секущая ММ1, поворачиваясь
около точки М, переходит в касательную. Угол φ → α, т. е.
.
Следовательно,
Поэтому угловой коэффициент касательной равен
k = tg α =
=
=
. (7.5)
Следовательно, угловой коэффициент касательной
, то есть производная
в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции
в
точке, абсцисса которой равна . В этом заключается геометрический смысл производной.
Если точка касания
имеет координаты
касательной есть
(рис.4), то угловой коэффициент
. Пользуясь уравнением прямой, проходящей через заданную
точку в заданном направлении
, можно записать уравнения касательной:
.
Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормалью к кривой.
Так как нормаль перпендикулярна касательной, то ее угловой
коэффициент
Поэтому уравнение нормали имеет вид
(если
).
Теорема. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней.
Непрерывность функции. Классификация точек разрыва.
Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если
(1)
Это означает, что функция f(x) удовлетворяет следующим условиям:
1. определена в точке х0 (т.е. существует f(x0));
2. имеет конечный предел функции при х→х0;
3. этот предел равен значению функции в точке х0, т.е.
Т.к.
=x0, то равенство (1) можно придать следующую форму:
- т.е. предел функции равен значению функции от предела
аргумента. Т.о. для непрерывной функции возможна перестановка символов предела
и функции.
Определение 2. Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если любому, сколь
угодно малому, >0 можно указать такое число δ>0 (зависящее от , δ=δ()), что для всех
хХ таких, что |x-x0|<δ выполняется неравенство |f(х)- f(x0)|<.
>0
δ=δ()
x: |x-x0|<δ
|f(х)- f(x0)|<
(Здесь нет запрета х≠х0).
Определение 3 (в терминах окрестности). Функция f(x) называется непрерывной в точке х0,
если для любого сколь угодно малого числа >0 найдется такое число δ=δ(Е), что для всех
х, попадающих в -окрестность точки х0, соответствующие значения функции попадают в окрестность величины f(x0) (здесь окрестность не выколотая):
W(f(x0))
V(x0):
x
V(x0)
f(х)
W(f(x0)) (рисунок)
Определение 4 (в терминах последовательности). Функция f(x) называется непрерывной в
точке х0, если для любой последовательности {xn}, сходящейся к х0, последовательность
{f(xn)} соответствующих значений функции сходится к f(x0). (Здесь нет запрета xn≠x0).
Пример.
а) у=
в точке х=0 не определена.
б) у=
не существует предела в точке х=0 (существуют только односторонние
пределы: слева
и справа
в) у=
).
=1.
г) у=х2 – непрерывная функция в точке х=0, т.к. выполнены все 3 условия непрерывности.
Примеры разрывных функций.
1) f(x)=sign x, f(x)=
Не существует
. В точке х0=0 функция разрывна.
Замечание. Пусть х0Х и хХ и пусть х=х0+∆х, следовательно ∆х=х-х0.
Величина ∆х называется приращением аргумента (∆х может быть как положительной, так
и отрицательной).
Пусть у0=f(x0), y=f(x)=f(x0+∆x).
Величина ∆y=f(x)-f(x0)=f(x0+∆x)-f(x0) называется приращением функции f(x) в точке х0,
соответствующим приращению аргумента х (∆у может быть как положительной, так и
отрицательной).
Предположим, что функция f(x) – непрерывна в точке х0. Это означает, что
или
=0, или
.
Следовательно, можно сказать, что
Теорема. Функция у=f(x) будет непрерывной в точке х0 тогда и только тогда, когда
бесконечно малому приращению аргумента х соответствует бесконечно малое
приращение функции у, т.е.
=0.
Эта теорема дает эквивалентное определение непрерывности.
Аналогично определению правостороннего и левостороннего пределов функции f(x), можно
определить правостороннюю и левостороннюю непрерывность функции f(x) в точке х0.
Определение. Функция f(x) называется непрерывной справа в точке х0, если
.
Функция f(x) называется непрерывной слева в точке х0, если
.
Утверждения. 1) Если функция f(x) непрерывна в точке х0 в обычном смысле, то она
непрерывна в этой точке одновременно и справа, и слева.
2) Если функция f(x) непрерывна в точке х0 одновременно и справа, и слева, то она
непрерывна в этой точке и в обычном смысле.
Определение. Функция f(x) непрерывна на множестве Х, если она непрерывна в каждой
точке этого множества.
Определение. Пусть функция f(x) определена на отрезке [a,b]. Функция f(x) непрерывна на
[a,b], если она непрерывна в обычном смысле в каждой внутренней точке этого промежутка
и если она непрерывна справа в точке а и непрерывна слева в точке b.
Определение производной.
Механический и геометрический смысл
производной.
Понятие производной является одним из самых важных понятий математического
анализа.Оно возникло еще в 17 веке. Формирование понятия производной исторически
связано с двумя задачами: задачей о скорости переменного движения и задачей о
касательной к кривой.
Эти задачи, несмотря на их различное содержание, приводят к одной и той же
математической операции, которую нужно провести над функцией.Эта операция получила в
математике специальное название. Она называется операцией дифференцирования
функции. Результат операции дифференцирования называется производной.
Итак, производной функцииy=f(x) в точкеx0 называется предел (если он существует)
отношения приращения функции
при
.
к приращению аргумента
Производную принято обозначать так:
.
Таким образом, по определению
.
Для обозначения производной употребляются также символы
Механический смысл производной.
.
Если s=s(t) – закон прямолинейного движения материальной точки, то
этой точки в момент времениt.
есть скорость
Геометрический смысл производной.
Если функция y=f(x) имеет производную в точке
, то угловой коэффициент касательной к
графику функции в точке
.
равен
Пример.
Найдите производную функции
1) Дадим точке
в точке
=2 приращение
=2:
. Заметим, что
2) Найдем приращение функции в точке
.
=2:
3) Составим отношение приращения функции к приращению аргумента:
.
Найдем предел отношения при
:
.
Таким образом,
.
Дифференциал функции
Если функция
дифференцируема в точке
в виде суммы двух слагаемых
, то её приращение можно представить
, где
. Эти слагаемые являются бесконечно малыми функциями при
.Первое
слагаемое линейно относительно
,второе является бесконечно малой более высокого
порядка, чем
.Действительно,
.
Таким образом второе слагаемое при
приращения функции
.
быстрее стремится к нулю и при нахождении
главную роль играет первое слагаемое
или (так как
)
Определение. Главная часть приращения функции
в точке
, линейная
относительно
,называется дифференциалом функции в этой точке и
обозначается dy или df(x)
. (2)
Таким образом, можно сделать вывод: дифференциал независимой переменной совпадает
с её приращением, то есть
.
Соотношение (2) теперь принимает вид
(3)
Замечание. Формулу (3) для краткости часто записывают в виде
(4)
Геометрический смысл дифференциала
Рис.2
Рассмотрим график дифференцируемой функции
. Точки
и
принадлежат графику функции. В точкеМ проведена
касательная К к графику функции, угол которой с положительным
направлением оси
обозначим через . Проведем прямыеMN параллельно
оси Ox и
параллельно осиOy. Приращение функции равно длине отрезка
прямоугольного треугольника
, в котором
, получим
. Из
.
Изложенные выше рассуждения позволяют сделать вывод:
Дифференциал функции
в точке
изображается приращением ординаты
касательной к графику этой функции в соответствующей её точке
Связь дифференциала с производной
Рассмотрим формулу (4)
.
Разделим обе части этого равенства на dx , тогда
.
Таким образом, производная функции равна отношению её дифференциала к
дифференциалу независимой переменной.
.
Часто это отношение
рассматривается просто как символ, обозначающий производную
функцииу по аргументу х.
Удобными обозначениями производной также являются:
и так далее.
,
Употребляются также записи
,
,
особенно удобные, когда берется производная от сложного выражения.
Производные и дифференциалы высших порядков
3.3.1. Дифференцирование явной функции
производные высших порядков
Рассмотрим функцию , заданную явно и имеющую конечную производную
в любой
точке промежутка . Если функция имеет производную (конечную или бесконечную) в каждой
точке
, то эту производную называют производной 2-го порядка (второй
производной) функции и обозначают
Если в свою очередь функция
имеет производную
называется производной 3-го порядка (третьей
производной):
, то ее производная
Аналогично берутся производные более высоких порядков.
Если в каждой точке промежутка существует конечная производная (п−1)-го
порядка
, то производная n-го порядка по определению равна
производной от производной
-го порядка:
(3.13)
Порядок производной − число п − определяет число операций дифференцирования,
которому подвергается функция. Поэтому естественно за производную нулевого порядка
принять саму функцию:
. Таким образом, допустимы следующие значения
числа п: 0; 1; 2;…; k;… Производные, порядки которых больше единицы (
),
называют производными высших порядков.
Для производной n-го порядка в произвольной точке используют следующие
обозначения:
Круглые скобки в знаменателе обычно не пишут.
Если порядок производной − конкретное число, то его обозначают штрихами (для
производных до третьего порядка включительно), а также записывают римской цифрой без
скобок или арабской в скобках:
Если производная п-го порядка функции в точке существует, то ее значение − число
(собственное (конечное) или несобственное
), которое обозначается одним из
следующих способов:
Если производная п-го порядка конечна в точке , то в некоторой ее окрестности
определены и непрерывны и сама функция , и все ее производные до
-го порядка
включительно. Это утверждение можно доказать, опираясь на теорему 3.2.
В граничных точках отрезка производные высших порядков по аналогии с первой
производной определяются через значения односторонних производных таких же порядков.
Заметим, что у линейной функции
первая производная
равна постоянной, а
все последующие производные равны нулю:
(
. У квадратичной
функции
первая производная
является линейной функцией,
вторая производная
− постоянной, а все последующие производные, начиная с
третьей производной, равны нулю. Обобщая наблюдения, можно доказать, что все
производные многочлена п-й степени
, начиная с производной
-го порядка,
тождественно равны нулю:
Механический смысл второй производной
Пусть − время, − путь, пройденный материальной точкой при прямолинейном движении за
время . В разделе 3.1.2 ускорение движения
было определено как скорость
изменения скорости движения и описано формулой
Так как
,
то ускорение равно второй производной пути по времени:
Ускорение является важной характеристикой движения. Если ускорение равно нулю на
некотором временном промежутке, то движение − равномерное. Если ускорение является
положительной фиксированной величиной на временном промежутке, то движение −
равноускоренное; если ускорение − отрицательная фиксированная величина, то движение −
равнозамедленное.
Вернемся к примеру 3.5, в котором путь, пройденный материальной точкой по прямой за
время t, описывался формулой
движения
равна
постоянно:
. Ускорение
Первая производная пути по времени
вторая производная
Значит, на всем пути ускорение
. Так как
, то движение − равноускоренное.
Дифференциалы высших порядков
Продолжим изучение функции , имеющей конечные производные до п-го порядка
включительно в каждой точке промежутка
По теореме 3.3 эта функция
дифференцируема на и ее дифференциал вычисляется по формуле
.
Назовем его первым дифференциалом, или дифференциалом первого порядка. В
частности, в точке
первый дифференциал равен
.
Дифференциалом 2-го порядка (вторым дифференциалом) функции в точке
называется дифференциал первого дифференциала, который
равен:
. Вычислим второй дифференциал в точке , полагая что −
независимая переменная (
множитель):
рассматриваем как постоянный
. Отсюда
имеем:
.
Если − произвольная точка
промежутка
то
или
Тогда
. Получено
соотношение, которое использовали для обозначения второй производной.
Дифференциалом 3-го порядка (третьим дифференциалом) функции в точке
называется дифференциал второго дифференциала, который
равен
. Если
− независимая переменная, то
Продолжим процедуру дифференцирования функции. Дифференциал дифференциала (
−1)-го порядка функции в точке называют дифференциалом п-го порядка и
обозначают
Отсюда, обобщая формулы для дифференциалов 2го и 3-го, получим связь между производной и дифференциалом п-го
порядка:
компактно записать в виде
. Эту формулу для дифференциала п-го порядка можно
(3.14)
Отсюда
(3.15)
Таким образом, выражение
является не только обозначением производной п-го
порядка, но и в случае независимой переменной х формулой для нахождения п-й
производной как частного п-го дифференциала и п-й степени
дифференциала :
Можно доказать, что дифференциалы высших
порядков
в общем случае не обладают инвариантным свойством в отличие от
дифференциалов 1-го порядка.
Функцию, имеющую дифференциалы до -го порядка включительно в точке , называют раз
дифференцируемой в этой точке. Функцию, раз дифференцируемую в каждой точке
промежутка, называют раз дифференцируемой на этом промежутке.
.
Пример 3.17. Найти третью производную
и третий
дифференциал
функции
и вычислить их в точке
□ Сначала найдем все производные до третьего порядка включительно:
Потом по формуле (3.14) при
получим:
.
Подставляя
в выражения для и , имеем:
В точке
третья производная равна числу, а третий дифференциал является степенной функцией
дифференциала . ■
Пример 3.18. Вывести формулу для производной п-го порядка
функции
.
□ Выполним последовательное дифференцирование функции
при
:
;
;
В результате получим
,
■
Применения производной Вычисление пределов по правилу
Лопиталя
В задачах по пределам часто встречаются неопределенные отношения или
приводимые к ним
и некоторые другие. Быстро раскрыть такие
неопределенности помогает следующее правило Лопиталя:
, а также
и т.д.,
т.е. отношение функций заменяется отношением их производных до тех пор, пока
неопределенность не исчезнет. Очень важно запомнить, что при отсутствии
неопределенности правило Лопиталя применять нельзя.
Пример:
.
К отношениям двух функций легко приводятся и неопределенности типа
произведения вида f(x)g(x), где lim f(x)=0, lim g(x)=
или
. Легко перейти к дробям
и использовать правило Лопиталя обычным образом.
Степенные неопределенности типа
прологарифмировать. Еслиу=
отношению
, т.е.
или
и т.п., т.е. функции вида
, то
удобно сначала
, и используем приведение к
, после чего правило Лопиталя не вызывает затруднений.
Возрастание и убывание функции
Поясним сущность процесса изменения функции графически.
Из геометрии известно, что для острого угла
>0, для тупого
<0. Так как производная
, то на участке 1-2, где >0 - функция возрастает, а на участке 2-3, где <0,
функция убывает.
Таким образом, доказана важная теорема: если производная функции положительна в
пределах интервала, то функция у=f(х) на этом интервале возрастает, если
производная отрицательна, то функция на интервале убывает.
Особое значение имеет точка 2, в которой касательная параллельна оси оХ и
Такие точки называютсястационарными и часто характеризуют момент смены
возрастания на убывание и наоборот. Этих точек может быть и несколько.
Экстремумы функции
Среди стационарных точек выделим экстремальные: функция
имеетмаксимум
(минимум) в точке х=а, если вблизи этой точки всем значениям х соответствуют
меньшие (большие), чем
. По нашему чертежу точка 2 является точкой экстремума, в
данном случае - максимума.
Сформулируем необходимое условие экстремума: если функция
имеет экстремум
в точкех=а, то в этой точке ее производная
либо равна 0, либо бесконечна, либо не
существует.
Отметим, что необходимое условие экстремума еще не гарантирует присутствие
экстремума. Кроме того, оно не дает ответа о типе экстремума - минимуме или максимуме.
И, наконец, оно может соблюдаться и не в экстремальных точках, что и показано на
рисунке.
Таким образом, чтобы установить наличие экстремума и определить его тип, следует
сформулировать достаточные условия. На практике используют два основных условия:
Первое достаточное условие экстремума: если в стационарной
точке х=а производная
меняет свой знак с плюса на минус (с возрастания на убывание),
то функцияу=
в этой точке имеет максимум, если с минуса на плюс, то функция
имеет минимум.
Первое достаточное условие обычно используют в случаях, когда производная
имеет
громоздкий вид. Если же вторая производная вычисляется достаточно просто, то удобно
использовать следующее условие.
Второе достаточное условие: если в стационарной точке х=а вторая
производная
если же
положительна, то функция
в этой точке имеетминимум,
отрицательна, то функция имеетмаксимум.
Таким образом, приведем схему определения экстремумов функции
1. Определяем производную
:
.
2. Находим стационарные точки функции из анализа области определения производной и
уравнения
.
3. Выбираем первое или второе достаточное условие. В последнем случае
находим
4. Исследуем стационарные точки по достаточному условию, определяем наличие и вид
экстремума.
5. Вычисляем экстремальные значения функции уэкстр.=f(хстац.).
Заметим, что, если интервал изменения функции
ограничен, т.е.
, то часто
возникает задача отыскания наибольшего и наименьшего значений (глобальных
экстремумов) функции на этом интервале, причем они могут далеко не всегда совпадать
с локальными. Для решения проблемы сравниваются не только внутренние экстремумы,
но и проверяются значения функции
и
на концах интервала. На чертеже
показано, что глобальный и локальный минимумы совпадают и равны
максимум
не совпадает с локальным
, но глобальный
Общая схема исследования функции и построения графика
Для полного исследования функции и построения её графика рекомендуется использовать
следующую схему:
1) найти область определения функции;
2) найти точки разрыва функции и вертикальные асимптоты (если они существуют);
3) исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные и наклонные
асимптоты;
4) исследовать функцию на чётность (нечётность) и на периодичность (для
тригонометрических функций);
5) найти экстремумы и интервалы монотонности функции;
6) определить интервалы выпуклости и точки перегиба;
7) найти точки пересечения с осями координат, если возможно и некоторые
дополнительные точки, уточняющие график.
Исследование функции проводится одновременно с построением её графика.
Пример 9 Исследовать функцию
Решение:
и построить график.
1. Область определения :
;
2. Функция терпит разрывв точках
,
;
Исследуем функцию на наличие вертикальных асимптот.
;
,
;
,
─ вертикальная асимптота.
─ вертикальная асимптота.
3. Исследуем функцию на наличие наклонных и горизонтальных асимптот.
Прямая
─ наклонная асимптота, если
,
Прямая
,
.
.
─ горизонтальная асимптота.
4. Функция является четной т.к.
на симметричность графика относительно оси ординат.
. Чётность функции указывает
5. Найдём интервалы монотонности и экстремумы функции.
.
Найдём критические точки, т.е. точки в которых производная равна 0 или не
существует:
;
. Имеем три точки
;
всю действительную ось на четыре промежутка. Определим знаки
. Эти точки разбивают
на каждом из них.
На интервалах (-∞; -1) и (-1; 0) функция возрастает, на интервалах (0; 1) и (1 ; +∞) ─
убывает. При переходе через точку
производная меняет знак с плюса на минус,
следовательно, в этой точке функция имеет максимум
6. Найдём интервалы выпуклости , точки перегиба.
.
Найдём точки, в которых
равна 0, или не существует.
не имеет действительных корней.
Точки
знак
,
,
и
разбивают действительную ось на три интервала. Определим
на каждом промежутке.
Таким образом, кривая на интервалах
и
выпуклая вниз, на интервале (-1;1)
выпуклая вверх; точек перегиба нет, т. к. функция в точках
и
не определена.
7. Найдем точки пересечения с осями.
С осью
график функции пересекается в точке (0; -1), а с осью
график не
пересекается, т.к. числитель данной функции не имеет действительных корней.
График заданной функции изображён на рисунке 1.
Рисунок 1 ─ График функции
Неопределённый интеграл
Определение. Функция
называется первообразной от функции на отрезке
если во всех точках этого отрезка выполняется равенство
,
.
Теорема. Если
и
– две первообразные от функции на отрезке , то разность
между ними равна постоянному числу.
Из данной теоремы следует, что если является первообразной для функции , то
где
, также является первообразнй для функции
.
,
Определение. Если является первообразной для функции , то
выражение
называется неопределенным интегралом от функции и
обозначается символом
, т.е.
подынтегральной функцией,
, где называют
– подынтегральным выражением,
– знак интеграла.
Теорема (теорема существования). Если функция непрерывна на отрезке
интегрируема на этом отрезке.
Свойства неопределенного интеграла
Правила вычисления интегралов
Если
, то
Таблица основных интегралов
1)
8)
2)
9)
3)
10)
4)
11)
, то она
5)
12)
6)
13)
7)
14)
Методы интегрирования Метод непосредственного интегрирования
Этот метод основан на использовании правил интегрирования, свойств неопределенного
интеграла, таблицы основных интегралов и тождественных преобразований
подынтегральной функции.
Пример 1. Вычислить
Решение. Выделив полный квадрат в знаменателе подынтегральной функции, получим
табличный интеграл:
Пример 2. Вычислить
Решение. Используя свойства интегралов, таблицу основных интегралов и правила
интегрирования, получаем:
Метод замены переменной и внесение под знак дифференциала
Указанные операции применяются для того, чтобы упростить подынтегральное выражение.
Пример 3. Вычислить
Решение.
Пример 4. Вычислить
Решение.
Метод интегрирования по частям
Формула интегрирования по частям:
При использовании данного метода, наиболее часто встречаются следующие три основных
случая:
1. В подынтегральном выражении – две функции, от одной существует табличный
интеграл, а от другой – нет. В этом случае функцию, от которой не существует
табличного интеграла обозначают через u.
2. В подынтегральном выражении – две функции, от каждой из которых существуют
табличные интегралы, но одна из них представляет собой многочлен. В этом случае
через u обозначают многочлен.
3. В подынтегральном выражении – две функции, от каждой из которых существуют
табличные интегралы. При этом одна функция тригонометрическая,
например,
, а вторая не является многочленом. В этом случае для
единообразия, через u обозначают тригонометрическую функцию.
Пример 5. Вычислить
Решение. В подынтегральном выражении представлены две
функции
От функции
существует табличный интеграл,
от
– не существует. Этот пример относится к первому случаю формулы интегрирования
по частям. За u принимаем функцию, от которой нет табличного интеграла.
Пример 6. Вычислить
Решение. В подынтегральном выражении можно выделить две
функции
От обеих функций существует табличный интеграл,
но
является многочленом. В данной ситуации имеем второй случай формулы
интегрирования по частям.
Пример 7. Вычислить
Решение. Структура подынтегрального выражения
третьему случаю формулы интегрирования по частям:
приводит к
В результате применения интегрирования по частям, получаем уравнение относительно
исходного интеграла:
.
Откуда следует, что
или
и, окончательно:
Понятие определенного интеграла
Пусть дана функция
на
, определенная на отрезке
элементарных отрезков, шириной
, где
. Этот отрезок разобьем
- номер отрезка. В каждом из
этих элементарных отрезков выберем произвольную точку
. Значение функции в этой
точке
умножим на длину отрезка
, получим произведение
площади выделенного прямоугольника (см. рисунок).
, равное
Далее составим сумму всех таких произведений (сумму всех таких
прямоугольников):
Эта сумма называется интегральной суммой для функции
на отрезке
.
Определенным интегралом от функции
на отрезке
называется конечный
предел ее интегральной суммы, когда число элементарных отрезков неограниченно
возрастает, а длина их стремится к нулю.
Определенный интеграл обозначается символом
(читается:
определенныйинтеграл от до );
называется подынтегральной функцией,
переменной интегрирования, -нижним, -верхним пределом интегрирования.
Следовательно, по определению
Определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции,
ограниченной кривой
, прямыми
,
и осью
.
Теорема (существования определенного интеграла).
-
Если функция
непрерывна на
, то для нее существует определенный
интеграл, т.е. существует предел интегральной суммы, составленный для функции
на
, и этот предел не зависит от способа разбиения
на элементарные
части и от выбора в них точек
, при условии, что
и наибольший
.
Отметим, что определенный интеграл - это число, в то время как неопределенный интеграл
- это функция.
2. Основные свойства определенных интегралов
1.
.
2.
- интеграл от конечного числа алгебраической
суммы равен алгебраической сумме интегралов.
3.
пределов.
- определенный интеграл равен нулю при равенстве верхнего и нижнего
Замечание. До сих пор мы предполагали, что
интеграла распространяется и на случай, когда
4.
. Понятие определенного
(см. рисунок).
- при перемене верхнего и нижнего пределов интеграл меняет знак.
-постоянный множитель можно выносить
5.
за знак интеграла.
6.
и
и
если
- неравенство можно почленно интегрировать.
7.
- модуль от интеграла меньше или равен интегралу от модуля.
Этот пункт отражает известную теорему:Модуль суммы меньше или равен суммы
модулей.
\Теорема о среднем. Если функция
интегрируема на отрезке
выполняется неравенство
, то
3. Формула Ньютона-Лейбница
и для всех
Вычисление определенного интеграла как предела интегральной суммы очень сложно.
Ньютон и Лейбниц доказали теорему, связывающую два важных понятия математического
анализа - интеграла и производной. Эта теорема выражается соотношением (формула
Ньютона-Лейбница)
Таким образом, для того чтобы вычислить определенный интеграл от непрерывной
функции
на отрезке
, надо найти ее первообразную функцию
и взять
разность
значений этой первообразной на концах отрезка
.
Еще раз отметим, что определенный интеграл это число, в то время как неопределенный это функция. Поэтому совершенно все равно, по какой переменной (букве) ведется
интегрирование
Например, вычислить интеграл
Или, вычислить интеграл
. Имеем
. Имеем
Определенный интеграл с переменным верхним пределом
До сих пор мы рассматривали определенный интеграл с постоянными пределами
интегрирования
и . Если оставить постоянным нижний предел интегрирования
верхний
изменять так, чтобы
Интеграл вида
,а
, то величина интеграла будет изменяться.
называется определенным интегралом с переменным верхним пределом и является
функцией верхнего предела . Здесь для удобства переменная интегрирования
обозначена буквой , а верхний предел интегрирования — буквой .
С геометрической точки зрения, функция
в случае
0 представляет собой
площадь заштрихованной на рисунке криволинейной трапеции.
Найдем производную от
верхнему пределу.
по
, т. е. производную определенного интеграла по
Теорема. Производная определенного интеграла от непрерывной функции
no его
переменному верхнему пределу существует и равна подынтегральной функции, в которой
вместо переменной интегрирования подставлено значение верхнего предела:
.
Доказательство. Возьмем любую точку
чтобы
и придадим ей приращение
. Тогда
.
Используя аддитивность определенного интеграла, имеем
.
Применяя теорему о среднем, получаем
,
где
.
По определению производной, учитывая, что функция непрерывна, получим:
.
⊠
так,
Из теоремы следует, что определенный интеграл с переменным верхним
пределом
отрезке
является первообразной для подынтегральной функции
на
.
,
т. е. установлена связь между неопределенным и определенным интегралами.
Так как интеграл
существует для любого значения ,то данная теорема является
одновременно и теоремой о существовании первообразной у каждой непрерывной
функции
. Этой первообразной может быть определенный интеграл с переменным
верхним пределом.
Формула Ньютона-Лейбница
Теорема. Значение определенного интеграла на отрезке
от непрерывной
функции
равно разности значений любой ее первообразной, вычисленной
при
и
:
.
Доказательство. Пусть функция
, непрерывная на отрезке
она имеет на этом отрезке первообразную, например
, следовательно,
.
Пусть
— любая другая первообразная функция
на том же отрезке
. Так
как первообразные
и
отличаются друг от друга постоянным слагаемым, то
имеет место равенство
,
,
Подставляя в это равенство значение
.
, получим
.
Полагая
и обозначая переменную интегрирования через
формулу интегрального исчисления:
, получаем основную
.
которая называется формулой Ньютона — Лейбница.
⊠
Формула Ньютона — Лейбница позволяет избавиться от вычисления определенных
интегралов как пределов интегральных сумм, и задача вычисления определенного
интеграла сводится к задаче вычисления неопределенного интеграла.
Основные методы вычисления определенного интеграла
Вычисление простейших интегралов с помощью формулы Ньютона —
Лейбница. Если
— одна из первообразных непрерывной на
функции
справедлива формула Ньютона — Лейбница
, то
Эта формула позволяет свести вычисление определенного интеграла к вычислению
неопределенного.
Пример. Вычислить
.
Решение.
.
Замена переменной (подстановка) в определенном интеграле.
Этот метод, как и в случае неопределенного интеграла, позволяет упростить вычисления, т.
е. привести подынтегральное выражение к соответствующей табличной форме.
Применение замены переменной в определенном интеграле базируется на следующей
теореме.
Теорема. Если функция
функция
причем
интеграле:
непрерывна на отрезке
непрерывно дифференцируема на отрезке
,а
,
, то справедлива формула замены переменной в определенном
.
Доказательство. Пусть выполняются условия теоремы и
— первообразная для
функции
на отрезке
. По формуле Ньютона — Лейбница
⊠
Отметим, что при вычислении интеграла методом замены переменной одновременно с
преобразованием подынтегрального выражения изменяются соответственно и пределы
интегрирования.
Пример. Вычислить
.
Решение.
Интегрирование по частям в определенном интеграле. Пусть
и
дифференцируемые на отрезке
функции переменной . Тогда
—
.
Проинтегрируем обе части последнего равенства на отрезке
По формуле Ньютона — Лейбница
.
Следовательно,
Эта формула называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле.
Пример. Вычислить
.
Решение. Применим формулу интегрирования по частям в определенном интеграле
.
Вычисление площадей плоских фигур
в прямоугольной системе координат
Из геометрического смысла определенного интеграла следует, что если
, то площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой
прямыми
, может быть вычислена по формуле
r0
, осью
и
.
Если
0
, то
.
Если подынтегральная функция
конечное число раз меняет знак на отрезке
, то
площадь заштрихованной на рисунке фигуры
равна алгебраической сумме площадей
соответствующих криволинейных трапеций, лежащих над осью
(со знаком « + ») и под
этой осью (со знаком « — »).
Для того чтобы получить общую площадь заштрихованной отрезок
интегрирования
надо разбить на частичные отрезки, на которых
функция
сохраняет знак, то есть
.
Если надо вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
,
, то эту площадь рассматривают как разность площадей двух криволинейных
трапеций
и
. В этом случае
,
если

.
В случае, когда разность
не сохраняет знак на отрезке
разбивают на частичные отрезки, на каждом из которых функция
знак.
Пример. Определить площадь фигуры, ограниченной кривыми
, этот отрезок
сохраняет
,
,
.
Решение. Решив систему уравнений
найдем точки
Следовательно,
,
пересечения параболы
и прямой
.
(кв.ед.)
Вычисление площадей плоских фигур
в полярной системе координат
Пусть требуется вычислить площадь фигуры, ограниченной линией , заданной в полярной
системе координат
уравнением
,
  . За базовую фигуру в
полярной системе координат принимается криволинейный сектор — фигура, ограниченная
линией
и радиусами-векторами
,
. При этом криволинейный сектор
будем считать правильной фигурой, т. е. такой, что любой луч
,

 ,
исходящий из полюса
, пересекает линию
не более, чем в одной точке. Будем
также предполагать, что функция
непрерывна на отрезке
.
Для вычисления площади криволинейного сектора
применим алгоритм составления
интегральной суммы с последующим предельным переходом к определенному интегралу.
1. Разобьем отрезок
Обозначим
,
сектор
разобьется на
на
.
. Проведем лучи
,
. Тогда криволинейный
частичных криволинейных секторов.
2. На каждом частичном отрезке
найдем значения функции
частичных отрезков точками
, выберем произвольным образом точку
в этих точках:
и
.
3. Предположим, что на каждом из частичных
отрезков
функция
постоянна и совпадает со значением
каждый частичный криволинейный сектор можно заменить круговым сектором с
. Тогда
радиусом
и центральным углом
вычисляется по формуле
. Площадь такого кругового сектора
.
Тогда
. (1)
Приближенное равенство тем точнее, чем меньше частичные отрезки, т. е. чем больше
4. За точное значение площади S криволинейного сектора
интегральной суммы (1) при
можно принять предел
.
.
Таким образом, площадь криволинейного сектора вычисляется по формуле
.
Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
Решение. Найдем область определения данной функции.
0
0
0


при


,


,
при


при


,
,
,
0.
.

при

,
На интервале от 0 до
функция
график функции на рисунке.
определена на трех участках. Изобразим
Так как функция периодическая, то
Несобственные интегралы
Несобственные интегралы являются обобщением определенных интегралов в случаях
бесконечных промежутков интегрирования и неограниченных функций.
Несобственные интегралы с бесконечными
пределами интегрирования (первого рода)
Пусть функция
непрерывна на промежутке
любом конечном отрезке
,
. Для функции
вует определенный интеграл
. Тогда она будет непрерывной на
, непрерывной на
, сущест-
,
зависящий от верхнего предела интегрирования. Этот интеграл определяет некоторую
величину, например площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком
функции
0, прямыми
и осью
. Будем неограниченно увеличивать
верхний предел интегрирования (
+). При этом возможны два случая:
либо
при
+  имеет предел, либо не имеет.
Определение. Несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом
интегрирования от непрерывной функции
на промежутке
+)называется
предел
при
+:
(1)
Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом
интегрирования от непрерывной функции
на промежутке (–
:
(2)
Если пределы в правых частях формул (1) и (2) существуют и конечны, то соответствующие
несобственные интегралы называются сходящимися, если пределы не существуют или
бесконечны,— то расходящимися.
Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования от
непрерывной функции
на промежутке ]–;+[, обозначаемый
предварительно представляют в виде
,
,
Тогда по определению
(3)
причем этот несобственный интеграл называется сходящимся, если оба предела
существуют. Если хотя бы один из пределов не существует или бесконечен, то
несобственный интеграл
называется расходящимся.
Интегралы (1) — (3)называются также несобственными интегралами первого рода.
С геометрической точки зрения сходящийся несобственный интеграл
означает,
что фигура, ограниченная кривой
0, прямыми
, у = 0 и бесконечно вытянутая
в направлении оси
, имеет конечную площадь .
Аналогичная геометрическая интерпретация имеет место для сходящихся несобственных
интегралов (2) и (3).
Пример. Исследовать на сходимость интеграл
.
Решение.
.
Итак интеграл
сходится и определяет площадь
трапеции, изображенной на рисунке.
бесконечной криволинейной
Пример. Исследовать на сходимость интеграл
Решение.
–.
т. е. данный интеграл расходится. а площадь S бесконечной криволинейной трапеции,
изображенной на рисунке не ограничена.
Критерии сходимости несобственных интегралов первого рода
Приведем без доказательства три теоремы, с помощью которых можно исследовать вопрос
о сходимости некоторых несобственных интегралов первого рода.
Теорема. (признак сравнения). Если на промежутке [ ;+[ определены две
неотрицательные функции
и
, интегрируемые на каждом конечном
отрезке
, причем 0

для
[
;+[, то из сходимости
интеграла
следует сходимость интеграла
, а из расходимости
интеграла
следует расходимость интеграла
.
Теорема (предельный признак сравнения). Если на промежутке [ ;+¥[ определены две
положительные функции
и
, интегрируемые на любом конечном отрезке
,
и существует конечный предел
,
то несобственные интегралы
одновременно.
и
Теорема. Если на промежутке [
интеграл
сходятся или расходятся
;+¥[функция
меняет знак и несобственный
сходится, то сходится также и
Отметим, что несобственный интеграл
сходится интеграл
.
называют абсолютно сходящимся, если
.
Несобственные интегралы от
неограниченных функций (второго рода).
Определение. Несобственным интегралом от функции
, непрерывной на
промежутке
и имеющей бесконечный разрыв в точке
, или несобственным
интегралом второго рода называется предел интеграла
при
:
. (4)
Аналогично если функция
имеет бесконечный разрыв в точке
, то полагают
. (5)
Если же функция
имеет разрыв второго рода в некоторой внутренней точке
отрезка
, то, пользуясь свойством аддитивности определенного интеграла,
данный интеграл представляют в виде суммы двух интегралов:
.(6)
Если пределы в правых частях формул (4) — (6) существуют и конечны, то
соответствующие несобственные интегралы от разрывной функции в точках
,
и
называются сходящимися, в противном случае — расходящимися.
С геометрической точки зрения сходящийся несобственный интеграл второго рода
означает, что фигура, ограниченная кривой
0, прямыми
,
и
бесконечно вытянутая в направлении оси
имеет конечную площадь
.
Пример. Исследовать на сходимость несобственный интеграл
Решение. При
и при
.
подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв,
следовательно
Итак, несобственный интеграл сходится и определяет площадь
криволинейной трапеции, изображенной на рисунке.
Пример. Исследовать на сходимость несобственный интеграл
Решение. При
следовательно
определению
бесконечной
.
подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв,
является несобственным интегралом второго рода, тогда по
+.
т. е. несобственный интеграл расходится.
Геометрически это означает, что площадь криволинейной трапеции, изображенной на
рисунке, не ограничена.
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
В теме «Определенный интеграл» было рассмотрено понятие определенного
интеграла
для случая конечного промежутка
и ограниченной функции
(см. теорему 1 из §3). Теперь займемся обобщением этого понятия для случаев
бесконечного промежутка и неограниченной функции. Необходимость такого обобщения
показывают, например, такие ситуации.
1. Если, используя формулу для длины дуги, попытаться вычислить длину четверти
окружности
,
, то придем к интегралу от неограниченной функции:
, где
.
2. Пусть тело массой
движется по инерции в среде с силой сопротивления
, где
— скорость тела. Используя второй закон Ньютона (
, где
ускорение),
получим уравнение:
, где
. Нетрудно показать, что решением этого
(дифференциального!) уравнения является функция
Если нам потребуется
вычислить путь, пройденный телом до полной остановки, т.е. до момента, когда
, то
придем к интегралу по бесконечному промежутку:
§1. Несобственные интегралы 1-го рода
I Определение
Пусть функция
определена и непрерывна на промежутке
она интегрируема на промежутке
. Тогда для любого
, то есть существует интеграл
Определение 1. Конечный или бесконечный предел этого интеграла при
несобственным интегралом 1-го рода от функции
по промежутку
.
называют
и обозначают
символом
. При этом, если указанный предел конечен, то несобственный интеграл
называют сходящимся, в противном случае (
или не существует ) – расходящимся.
Итак, по определению
(1)
Примеры
1.
2.
.
.
3.
– не существует.
Несобственный интеграл из примера 1 сходится, в примерах 2 и 3 интегралы расходятся.
II Формула Ньютона – Лейбница для несобственного интеграла первого
рода
Пусть
— некоторая первообразная для функции
— непрерывна). Тогда
(сущест-вует на
, т.к.
Отсюда ясно, что сходимость несобственного интеграла (1) равносильна существованию
конечного предела
. Если этот предел обозначить
интеграла (1) формулу Ньютона-Лейбница:
, то можно написать для
, где
.
Примеры.
4.
.
5.
6. Более сложный пример:
Теперь можем найти интеграл
.
. Сначала найдем первообразную:
, учитывая, что
:
.
III Свойства
Приведем ряд свойств несобственного интеграла (1), которые вытекают из общих свойств
пределов и определенного интеграла:
1. интегралы
и
сходятся или расходятся одновременно;
2. если
, то интегралы
одновременно;
3. если интеграл
и
сходятся или рас-ходятся
сходится, то
.
IV Другие определения
Определение 2. Если
непрерывна на
, то
.
Определение 3. Если
непрерывна на
(
, то принимают по определению
– произвольное),
причем несобственный интеграл в левой части сходится, если только оба ин-теграла в
правой части сходятся.
Для этих интегралов, как и для интеграла (1) можно написать соответствующие формулы
Ньютона – Лейбница.
Пример 7.
§2. Признаки сходимости несобственного интеграла 1-го рода
Чаще всего несобственный интеграл вычислить по определению не-возможно, поэтому
используют приближенное равенство
(для больших
).
Однако, это соотношение имеет смысл лишь для сходящихся интегралов. Необходимо
иметь методы выяснения поведения интеграла минуя определение.
I Интегралы от положительных функций
. Тогда определенный интеграл
Пусть
на
как функция
верхнего предела есть функция возрастаю-щая (это следует из общих свойств
определенного интеграла).
Теорема 1. Несобственный интеграл 1го рода от неотрицательной функ-ции сходится тогда
и только тогда, когда функция
остается ограниченной при увеличении .
Эта теорема – следствие общих свойств монотонных функций. Практического смысла
теорема почти не имеет, но позволяет получить т.н. признаки сходимости.
Теорема 2 (1-й признак сравнения). Пусть функции
удовлетворяют неравенству
. Тогда:
1) если интеграл
сходится, то и
2) если интеграл
расходится, то и
и
непре-рывны на
и
сходится;
расходится.
Доказательство. Обозначим:
и
. Пусть интеграл
. Так как
, то
сходится, тогда (в силу теоремы 1) функция
‒ ограничена. Но тогда и
ограничена, а значит, интеграл
сходится. Аналогично доказывается и вторая часть теоремы.
тоже
Этот признак не применим в случае расходимости интеграла от
или сходимости
интеграла от
. Этот недостаток отсутствует у 2-го признака сравнения.
Теорема 3 (2-й признак сравнения). Пусть функции
неотрицательны на
. Тогда, если
при
и
и
непрерывны и
, то несобственные интегралы
сходятся или расходятся одновременно.
Доказательство. Из условия теоремы получим такую цепочку равно-сильных утверждений:
,
,
.
Пусть, например,
. Тогда:
.
Применим теорему 2 и свойство 1) из §1 и получим утверждение теоремы 3.
В качестве эталонной функции, с которой сравнивают данную, высту-пает степенная
функция
. Предлагаем студентам самим доказать, что интеграл
,
сходится при
и расходится при
Примеры. 1.
.
.
Рассмотрим подынтегральную функцию на промежутке
,
Интеграл
сходится, ибо
:
.
. По 2-му признаку сравнения сходится и интеграл
, а в силу свойства 2) из §1 сходится и исход-ный интеграл.
2.
Так как
переменной:
.
, тоcуществует
такое, что при
. Для таких значений
.
Известно, что логарифмическая функция растет медленнее степенной, т.е.
,
а значит, начиная с некоторого значения переменной, эта дробь меньше 1. Поэтому
.
Интеграл
сходится как эталонный. В силу 1-го признака сравнения сходится и
. Применяя 2-й признак, получим, что и интеграл
свойство 2) из §1 доказывает сходимость исходного интеграла.
сходится. И снова
Несобственный интеграл второго рода.
y
Как уже отмечалось выше для неограниченной на отрезке [a, b] ф-и интеграл Римана
смысла не имеет. Обобщим понятие определенного интеграла на ф-ю f(x) неограниченную
на полуинтервале [a, b), но ограниченную и интегрируемую на любом отрезке [a, b-ε], 0<ε<a.
Рассмотрим ф-ю F(ε)=
. (1)
Перейдем в (1) формально к пределу при ε→0
F(ε)= =
. (2).
Символ =
называют несобственным интегралом 2-го рода. При этом, если предел
(1) конечный, то несобственный интеграл 2-го рода называют сходящимся. Если предел
бесконечный или не сущ., то расходящимся. Точку x=b называют особой.
Аналогично определяются несобственные интегралы 2-го рода, если особой точкой
является левый конец отрезка [a, b] или внутренняя точка x=c отрезка [a, b].
==
=
(
,
+
). (3)
Величины ε1 и ε2 →0 независимо друг от друга.
Пример 1. Исследовать на сходимость интеграл
Решение. Пусть α=1. Тогда
расходится.
Пусть α≠1. Тогда =
α<1. Расходится, если α>1.
.
=
=
=- ln(b-x)
=(
-
= (ln(b-a)-lnε)=∞ => ряд
) => Сходится, если
Вывод: при α<1 интеграл сходится, при α≥1 интеграл расходится.
При некоторых ограничениях на ф-ю f(x) несобственный интеграл 2-го рода сводится к
несобственному интегралу 1-го рода.
Пусть f(x) непрерывна на [a, b) и b – особая точка. В интеграле сделаем замену.
=
=
. (4)
Перейдем в (4) к пределу при ε→+0. Получим
=
. (5)
Таким образом данная замена переводит несобственный интеграл 2-го рода в
несобсвенный интеграл 1-го рода. Ясно, что если интеграл в левой части (5) существует, то
существует и интеграл в правой части (5), и наоборот. Все признаки сходимости,
доказанные для несобственного интеграла 1-го рода, справедливы (с нек. исправлениями) и
для интеграла 2-го рода. Правила интегрирования также остаются прежними.
Пример 2. Вычислить несобственный интеграл
Решение. Согласно (2) имеем =
εlnε+ε)=-1-
=-1-
.
=
= (xlnx-x)
= = (-1-
=-1.
Пример 3. Исследовать на сходимость интеграл
.
Решение. Доопределим подыинтегральную ф-ю в точке x=0, т.е. положим
Особой точкой является x=1. Найдем предел
эквивалентность функций в точке x=1, т.е.
=0.
= x=1. Это означает
~
при x→1. Согласно предельному
признаку сравнения интеграла и
ведут себя одинаково. Но интеграл расходится (см.
пр. 1), => и данный интеграл расходится.
П 18. Главное значение несобственного интеграла.
Пусть ф-я f(x) определена на всей числовой оси и интегрируема на любом конечном отрезке
числовой оси. Тогда
=
(1) –
несобственный интеграл 1-го рода. Напомним, что a и b стремятся к ∞ независимо друг от
друга. Положим теперь b=-a. Если существует предел
, то говорят, что
несобственный интеграл сходится по Коши, а его значение называют главным значением
несобственного интеграла по Коши и обозначают
V.P. = . (2)
Ясно, что если интеграл (1) сходится, то он сходится к этому же значению по Коши. Однако
интеграл (1) может расходится, но иметь главное значение по Коши.
Пример 1. - расходится (см. пр.2 §9). Найдем его главное значение.
V.P. =
=- (cosa-cos(-a))=0.
Теорема 1. Если ф-я f(x) нечетная и интегрируема по Риману на любом конечном отрезке,
то ее главное значение равно нулю.
Док-во. =
+
=
нечетная V.P. = =0. Теорема доказана.
=-
=0, т.к. f(t)
=
Если любая особая точка c внутренняя для отрезка [a, b], то главное значение интеграла по
Коши можно ввести и для несобственного интеграла 2-го рода.
V.P. =
Пример 2. Интеграл
значение. V.P. = (
lnε)=
(
+
). (3)
, a<c<b расходится (см. пр.1 §12). Найдем его главное
+
)=
(ln|x-c|
+ln|x-c|
)= (lnε-ln|a-c|+ln(b-c)-
.
Пример 3. Интеграл
расходится. Найдем его главное значение. V.P.
(
+
)=- (
данного интеграла не существует.
+
)=- (-
+
+1- )=-∞. Главное значение
=