Задания к зачёту по анализу

Вопросы к зачёту.
1. Приращение аргумента и приращение функции.
2. В чём состоит геометрический смысл приращения аргумента ∆х и
приращения функции ∆у. Геометрическая интерпретация.
3. Понятие производной функции. Основное определение.
4. Геометрический смысл производной.
5. Напишите уравнение касательной к кривой в точке. Дайте пояснение.
6. Физический смысл производной.
7. Правило дифференцирования суммы двух функций, произведения
двух функций, частного двух функций.
8. Основные формулы дифференцирования.
9. Понятие сложной функции. Правило дифференцирования сложной
функции.
10.Производные тригонометрических функций.
11.Производная показательной и логарифмической функции.
12.Признаки монотонности функции.
13.Критические точки функции. Теорема существования экстремумов
функции.
14.Общая схема исследования функции.
15.Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке.
16.Дифференциал функции. Его геометрическая интерпретация.
17.Определение дифференциала. Приложение дифференциала к
приближённым вычислениям.
18.Что является основной задачей интегрального исчисления?
19.Определение первообразной. Первообразная определяется
неоднозначно. Как это нужно понимать?
20.Интегрирование функции 𝑦 = 𝑥 𝑛 . Поясните, в каких случаях можно
использовать эту формулу.
21.Неопределённый интеграл и его свойства.
22.Основные табличные интегралы.
23.Как проверить результат интегрирования функции. Приведите пример.
24.Интегрирование способом подстановки.
25.Нахождение из множества интегральных кривых одну по начальным
условиям. Нахождение постоянной интегрирования.
26.Определённый интеграл и его свойства.
27.Расшифруйте и прочитайте запись:
𝑏
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
Что означают символы в этой записи?
28.Правило нахождения неопределённого интеграла. Формула Ньютона –
Лейбница.
29.Геометрический смысл определённого интеграла.
Задания к зачёту.
1. Найдите производную функции 𝑦 =
2
3
√𝑥 2
2. Составить уравнение касательной к графику функции 𝑦 = 𝑥 3 в точке
𝑥0 = 2
3. Материальная точка движется по закону 𝑠 = 2𝑡 3 − 6𝑡 2 + 4𝑡. Найдите
её скорость в конце 3-й секунды.
4. Определить интервалы монотонности для функции 𝑦 = 𝑥 4 − 4𝑥
5. Докажите, что функция F(x) является первообразной для функции f(x) ,
если 𝐹(𝑥) =
1
𝑥2
− 𝑠𝑖𝑛𝑥 , 𝑓(𝑥) = −
1
𝑥3
− 𝑐𝑜𝑠𝑥
6. Найдите интеграл ∫ 𝑐𝑜𝑠5𝑥 𝑑𝑥
7. Найдите интеграл
𝜋
2
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥
0
8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
𝑦 = −4𝑥; 𝑥 = −3; 𝑥 = −1; 𝑦 = 0