Konspekt po TOE-2 (1)

Экзаменационные вопросы по курсу ТОЭ (весенний семестр)
1. Расчет цепей методом комплексных амплитуд. Качественное построение векторной
диаграммы.
2. Мощность в установившемся синусоидальном режиме. Энергетические характеристики
элементов цепи.
3. Мощность в комплексной форме. Баланс мощностей.
4. Резонанс в электрических цепях.
5. Комплексная функция произвольного двухполюсника. Частотные характеристики цепей.
6. Периодические сигналы. Тригонометрические формы ряда Фурье. Ряд Фурье в
комплексной форме.
7. Дискретные спектральные характеристики периодического сигнала.
8. Анализ установившихся периодических режимов в цепях. Мощность, действующие
значения токов и напряжений в установившемся периодическом режиме.
9. Спектральный анализ цепей при периодическом воздействии.
10. Спектральный анализ цепей при апериодическом воздействии (воздействии конечной
длительности, импульсном сигнале). Частотные характеристики с точки зрения спектров.
11. Спектральные характеристики апериодического сигнала (на примере прямоугольного
сигнала).
12. Ширина спектра и её связь с длительностью и крутизной сигнала.
13. Классификация фильтров по типу избирательности.
14. Условие не искажения сигнала цепью. Дифференцирующие и интегрирующие цепи.
15. Особенности расчета цепей с магнитными связями.
16. Последовательное соединение индуктивно-связанных элементов.
17. Эквивалентное исключение индуктивных связей.
1. Расчет цепей методом комплексных амплитуд. Качественное
построение векторной диаграммы.
Из тригонометрии известно, что синусоидальную функцию времени можно
получить как проекцию вектора, вращающегося против часовой стрелки с
угловой скоростью 𝜔, равной угловой частоте функции, причем длина
вектора равна амплитуде функции, а начальное положение вектора при 𝑡 = 0
определяется начальной фазой 𝛼.
Проекция такого вектора на ось абсцисс комплексной плоскости дает
косинусную форму записи синусоидальной функции, а на ось ординат —
синусную форму записи этой функции. Например,
𝑢(𝑡) = 𝑈𝑚 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝛼𝑢 ) и 𝑖(𝑡) = 𝐼𝑚 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝛼𝑖 ).
Если элементов в цепи немного, то можно так и считать через косинусы, но
когда элементов становится хотя бы 10 — расчет превращается в ад. Тогда
умные люди для удобства придумали новый метод расчета — метод
комплексных амплитуд, в ходе которого косинусы заменяются на
экспоненты.
Как это происходит?
Есть формула Эйлера: 𝑒 𝑖𝜓 = 𝑐𝑜𝑠 𝜓 + 𝑖 ⋅ 𝑠𝑖𝑛 𝜓
Было: 𝑈 = 𝑈𝑚 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝛼)
Стало: 𝑈 = 𝑈𝑚 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝛼) + 𝑈𝑚 ⋅ 𝑖 ⋅ 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝛼), т.е мы просто взяли и
приплюсовали 𝑈𝑚 ⋅ 𝑖 ⋅ 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝛼)
Тогда упрощаю и получаю: 𝑈 = 𝑈𝑚 [𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝛼) + 𝑖 ⋅ 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝛼)] =
𝑈𝑚 𝑒 𝑖(𝜔𝑡+𝛼)
И метод амплитуд работает тогда, когда не смешиваются мнимая и
действительная части. То есть спокойно можно умножать/делить на
действительное число; складывать и вычитать выражения; интегрировать и
дифференцировать по действительному параметру.
Пример 1:
U,I
𝑈 = 𝑈𝑚 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑)
𝐼 = 𝐼𝑚 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜓)
Тогда перепишем в экспоненциальной форме и получим:
𝑈 = 𝑈𝑚 𝑒 𝑖𝜑 ⋅ 𝑒 𝑖𝜔𝑡 , где 𝑈𝑚 𝑒 𝑖𝜑 - комплексная амплитуда
𝐼 = 𝐼𝑚 𝑒 𝑖𝜓 ⋅ 𝑒 𝑖𝜔𝑡 , где 𝐼𝑚 𝑒 𝑖𝜓 - комплексная амплитуда
тогда введем что-то типа комплексного сопротивления: 𝑧 =
𝑈𝑚
𝐼𝑚
𝑈𝑚 𝑒 𝑖𝜑
𝐼𝑚 𝑒 𝑖𝜓
=
𝑒 𝑖(𝜑−𝜓)
Такая величина z называется импеданс, причем Re(z) - это активное
сопротивление, а Im(z) - реактивное сопротивление.
Векторная диаграмма для колебательного процесса пример:
I
m
U
_
φm
ω
R
e
Пример 2:
𝐼 = 𝐼0 𝑒 𝑖𝜓 ⋅ 𝑒 𝑖𝛺𝑡 => комплексная амплитуда 𝐼̂ = 𝐼0 𝑒 𝑖𝜓
Запишем 2 закон Кирхгофа: 𝑈𝐶 + 𝑈𝑅 + 𝑈𝐿 = 𝜀0 𝑐𝑜𝑠(𝛺𝑡)
Перепишем в экспоненциальной форме: 𝑈𝐶 + 𝑈𝑅 + 𝑈𝐿 = 𝜀0 𝑒 𝑖𝛺𝑡
𝑈𝐶 =
𝑞
𝐶
1
1
1
= ∫ 𝐼 𝑑𝑡 =
⋅ 𝐼0 𝑒 𝑖𝜓 ⋅ 𝑒 𝑖𝛺𝑡 =
⋅ 𝐼 =>
𝐶
𝑖𝛺𝐶
𝑖𝛺𝐶
𝑈𝑅 = 𝐼 ⋅ 𝑅 =>
𝑧𝐶 =
1
𝑖𝛺𝐶
𝑧𝑅 = 𝑅
𝑈𝐿 = 𝐿 ⋅ 𝐼 ∙ = 𝑖𝛺𝐿 ⋅ 𝐼0 𝑒 𝑖𝜓 ⋅ 𝑒 𝑖𝛺𝑡 = 𝑖𝛺𝐿 ⋅ 𝐼 =>
𝑧𝐿 = 𝑖𝛺𝐿
Мнимая единичка в импедансах показывает сдвиг фаз между током и
напряжением в рассматриваемом элементе.
Соединим все и получим: 𝜀0 𝑒 𝑖𝛺𝑡 = 𝑧𝐶 ⋅ 𝐼̂ ⋅ 𝑒 𝑖𝛺𝑡 + 𝑧𝑅 ⋅ 𝐼̂ ⋅ 𝑒 𝑖𝛺𝑡 + 𝑧𝐿 ⋅ 𝐼̂ ⋅ 𝑒 𝑖𝛺𝑡
Сокращаем на 𝑒 𝑖𝛺𝑡 :
𝜀0
= ( 𝑧𝐶 + 𝑧𝑅 + 𝑧𝐿 ) ⋅ 𝐼̂
𝐼̂ =
𝐼0 = |𝐼̂| =
𝜀0
𝜀0
= 𝐼0 𝑒 𝑖𝜓
1
𝑅 + 𝑖𝛺𝐿 +
𝑖𝛺𝐶
𝜀
⋅𝛺
𝐿
=
√𝑅2 + (𝛺𝐿 − 1 )2
𝛺𝐶
√4𝛺2 𝛿 2 + (𝛺2 − 𝜔02 )2
,
𝜔02 =
1
𝑅
, 2𝛿 =
𝐿𝐶
𝐿
В дальнейшем в МКА это 𝑒 𝑖𝛺𝑡 не используют, ведь он не несет никакой
новой информации. Этот множитель называют оператором вращения, ведь
он превращает неподвижный вектор комплексной амплитуды во
вращающийся.
Первый закон Кирхгофа:
∑ 𝑖𝑘 (𝑡) = 0,
где 𝑖𝑘 (𝑡) = 𝐼𝑚𝑘 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝛼𝑖𝑘 )
(𝑘)
Также сохраняется равенство: ∑(𝑘) 𝐼 ∙ 𝑘 = 0
Второй закон Кирхгофа:
∑ 𝑢𝑘 (𝑡) = 0,
где 𝑢𝑘 (𝑡) = 𝑈𝑚𝑘 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝛼𝑢𝑘 )
(𝑘)
Также сохраняется равенство: ∑(𝑘) 𝑈 ∙ 𝑘 = 0
Следует обратить внимание на то, что полученные законы Кирхгофа в
комплексной форме справедливы именно для комплексных амплитуд и не
справедливы для амплитуд токов и напряжений. Это обстоятельство
отражает тот факт, что длина суммарного вектора не равна сумме длин
слагаемых векторов. На практике часто пользуются понятиями комплексных
действующих значений напряжения и тока
∙
𝑈 =
𝑈∙𝑚
√2
,
∙
𝐼 =
𝐼∙ 𝑚
√2
Качественное построение векторной диаграммы.
В основе метода векторных диаграмм лежит тот факт, что любую
меняющуюся величину, которая изменяется по синусоидальному закону
определяется, как проекция на выбранное направление вектора,
вращающийся вокруг своей начальной скорости, равной угловой частоте
колебаний изображаемой переменной величины.
Рассмотрим электрическую цепь
По идее, если цепь более сложная, то начинаем строить цепь с наиболее
отдаленного от источника участка.
У нас соединение последовательное, значит ток будет одинаковым для всех
элементов.
I_R = I_C = I_L = I
У R разность фаз напряжения и тока = 0 |=> вектор тока сонаправлен с
вектором напряжения.
U_R
I_R = I_C = I_L
=I
Теперь разберемся с напряжениями C и L.
Чтобы запомнить напряжение или ток опережает по фазе, есть
мнемоническое правило ULICU. То есть для L: напряжение U опережает ток
I на 90∘ , а для C ー ток I опережает напряжение U на 90∘ .
U
I_R = I_C =_
R
I_L = I
U_
C
U_
L
U
I_R = I_C_=
I_L = I R
U
_
C
Теперь нужно изобразить напряжение цепи U:
U_
L
U
I_R = I_C =_
R
I_L = I
U
U_
C
Вот и готово.
2. Мощность в установившемся синусоидальном режиме.
Энергетические характеристики элементов цепи.
Пусть через RLC-двухполюсник протекает синусоидальный ток 𝑖(𝑡) =
𝐼𝑚 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝛼𝑖 ) и приложено синусоидальное напряжение 𝑢(𝑡) =
𝑈𝑚 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝛼𝑢 ). Для определенности положим, что ток отстает от
напряжения на угол 𝜑 = 𝛼𝑢 − 𝛼𝑖 .
Мгновенная мощность будет
𝑝(𝑡) = 𝑢𝑖 = 𝑈𝑚 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝛼𝑢 )𝐼𝑚 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝛼𝑖 ) =
=
𝑈𝑚 𝐼𝑚
𝑈𝑚 𝐼𝑚
𝑐𝑜𝑠(𝛼𝑢 − 𝛼𝑖 ) +
𝑐𝑜𝑠(2𝜔𝑡 + 𝛼𝑢 + 𝛼𝑖 ) =
2
2
= 𝑈𝐼𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑈𝐼𝑐𝑜𝑠(2𝜔𝑡 + 𝛼𝑢 + 𝛼𝑖 ).
Из этого следует, что p(t) совершает периодические колебания с двойной
частотой относительно постоянной составляющей.
Положительной мгновенной мощности соответствует процесс потребления
электрической энергии, часть которой необратимо расходуется в Rэлементах, а часть — запасается в электрическом и магнитном полях
реактивных элементов ДП. Отрицательной мгновенной мощности
соответствует процесс возврата двухполюсником энергии.
Активная (средняя) мощность записывается как:
1 𝑇
1 𝑇
1 𝑇
∫ 𝑝(𝑡) 𝑑𝑡 = ∫ 𝑈𝐼 𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑑𝑡 + ∫ 𝑈𝐼 𝑐𝑜𝑠(2𝜔𝑡 + 𝛼𝑢 + 𝛼𝑖 ) 𝑑𝑡
𝑇 0
𝑇 0
𝑇 0
= 𝑈𝐼 𝑐𝑜𝑠𝜑
𝑃 = 𝑃𝑎 = 𝑃ср =
Второй интеграл равен нулю как интеграл от синусоидальной функции за
время, кратное периоду. Таким образом, активная мощность, измеряемая в
ваттах.
В пассивном двухполюснике среднее значение мощности не может быть
отрицательным, следовательно, угол фазного сдвига не может выходить за
пределы
−𝜋/2 ≤ 𝜑 ≤ 𝜋/2
Выражение активной мощности можно преобразовать, пользуясь
соотношениями для составляющих комплексного сопротивления и
комплексной проводимости произвольного двухполюсника:
𝑍 = |𝑍|𝑒 𝑖𝜑 = |𝑍|𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑖|𝑍|𝑠𝑖𝑛𝜑 = 𝑟 + 𝑖𝑥
𝑌 = |𝑌|𝑒 𝑖𝜓 = |𝑌|𝑐𝑜𝑠𝜓 + 𝑖|𝑌|𝑠𝑖𝑛𝜓 = 𝑔 + 𝑖𝑏
используя 𝑈 = |𝑍|𝐼, 𝐼 = |𝑌|𝑈, получим:
𝑃 = 𝑃𝑎 = 𝑈𝐼 𝑐𝑜𝑠𝜑 = |𝑍|𝐼 2 𝑐𝑜𝑠𝜑 = |𝑌|𝑈 2 𝑐𝑜𝑠𝜑 = 𝑟𝐼 2 = 𝑔𝑈 2
Реактивная мощность произвольного двухполюсника вводится по аналогии с
тем, как это было сделано для L- и С-элементов, где она определялась
произведением действующих значений напряжения и тока, сдвиг по фазе
между которыми |𝜑| = 𝜋/2. Разложим вектор тока 𝐼 ∙ на две составляющие 𝐼𝑎∙
и 𝐼𝑝∙ . Составляющая 𝐼𝑎∙ совпадает по фазе с напряжением 𝑈 ∙ и называется
активной составляющей тока, а составляющую 𝐼𝑝∙ , перпендикулярную
вектору 𝑈 ∙ , называют реактивной составляющей тока. В общем случае
разложение тока на активную и реактивную составляющие не имеет
физического смысла. Очевидно, что 𝐼𝑝 = 𝐼 𝑠𝑖𝑛𝜑. Тогда реактивная мощность
произвольного двухполюсника будет:
𝑃𝑄 = 𝑈𝐼𝑝 = 𝑈𝐼 𝑠𝑖𝑛𝜑
Можно получить другие выражения для реактивной мощности через
компоненты комплексного сопротивления и комплексной проводимости:
𝑃𝑄 = 𝑈𝐼 𝑠𝑖𝑛𝜑 = |𝑍|𝐼 2 𝑠𝑖𝑛𝜑 = |𝑌|𝑈 2 𝑠𝑖𝑛𝜑 = 𝑥𝐼 2 = −𝑏𝑈 2
Реактивная мощность измеряется в вольт-амперах реактивных, она не имеет
того же физического смысла, что активная мощность, и является чисто
расчетной величиной, используемой на практике. Следует отметить, что
реактивная мощность может быть как положительной, так и отрицательной
величиной.
Если цепь имеет индуктивный характер, то 𝜑 > 0 и 𝑃𝑄 > 0. Если цепь имеет
емкостной характер, то 𝜑 < 0, и тогда 𝑃𝑄 < 0. Так, для L-элемента 𝜑𝐿 = 𝜋/2 и
𝑃𝑄𝐿 > 0, а для С-элемента — 𝜑𝐶 = −𝜋/2 и 𝑃𝑄𝐶 < 0. Таким образом, если в
цепи есть L- и С-элементы, то реактивные мощности могут взаимно
компенсироваться, что необходимо учитывать, составляя баланс мощностей
в цепи.
Из формулы видно, что активная мощность зависит от 𝑐𝑜𝑠𝜑. При 𝑐𝑜𝑠𝜑 = 1
активная мощность равна произведению действующих значений напряжения
и тока. Поэтому это произведение называют полной, или кажущейся
(располагаемой), мощностью и измеряется в вольт-амперах (ВА):
𝑃𝑠 = 𝑈𝐼 = |𝑍|𝐼 2 = |𝑌|𝑈 2
Очевидным являются следующие соотношения между активной, реактивной
и полной мощностями:
𝑃𝑠 = √𝑃𝑎 2 + 𝑃𝑄 2 ;
𝑃𝑎 = 𝑃𝑠 𝑐𝑜𝑠𝜑 ;
𝑃𝑄 = 𝑃𝑠 𝑠𝑖𝑛𝜑
Коэффициент мощности
Коэффициентом мощности называют 𝑐𝑜𝑠𝜑. Только при 𝑐𝑜𝑠𝜑 = 1 вся
располагаемая мощность реализуется как активная.
Выразим 𝑐𝑜𝑠𝜑 и получим:
𝑐𝑜𝑠𝜑 =
𝑃𝑎
=
𝑃𝑠
𝑃𝑎
√𝑃𝑎 2 + 𝑃𝑄 2
=
𝑃𝑎
𝑈𝐼
Чем больше 𝑐𝑜𝑠𝜑, тем больше степень использования полной мощности, тем
меньшим током при заданном напряжении можно доставить к потребителю
активную мощность. Действительно, действующее значение тока:
𝐼=
𝑃𝑎
𝑈𝑐𝑜𝑠𝜑
При заданной активной мощности 𝑃𝑎 и напряжении U ток I обратно
пропорционален 𝑐𝑜𝑠𝜑, а от значения I зависят сечения подводящих энергию
проводов, кабелей, линий передачи, которые, как правило, изготавливаются
из дорогостоящих цветных металлов. Кроме того, потери энергии в
подводящих энергию проводниках пропорциональны квадрату
действующего значения тока. Таким образом, увеличивая 𝑐𝑜𝑠𝜑, мы не только
снижаем потери в подводящих энергию проводниках, но и можем
использовать проводники меньшего сечения.
Для увеличения 𝑐𝑜𝑠𝜑 необходимо уменьшать реактивную мощность. При
𝑃𝑄 = 0 имеем 𝑐𝑜𝑠𝜑 = 1 . Так как 𝑃𝑄𝐿 > 0, a 𝑃𝑄𝐶 < 0, то для компенсации
реактивной мощности параллельно нагрузке, имеющей, как правило,
индуктивный характер, подключают компенсирующую емкость, значение
которой выбирают из условия
𝑃𝑄 = 𝑃𝑄𝐿 + 𝑃𝑄𝐶 = 0.
Энергетические характеристики элементов цепи.
1. Резистивный элемент.
2
𝑝𝑅 (𝑡) = 𝑅𝑖 =
2
𝑅𝐼𝑚
𝑐𝑜𝑠 2 (𝜔𝑡
2
𝑅𝐼𝑚
+ 𝛼𝑖 ) =
[1 + 𝑐𝑜𝑠2(𝜔𝑡 + 𝛼𝑖 )] =
2
= 𝑅𝐼 2 [1 + 𝑐𝑜𝑠2(𝜔𝑡 + 𝛼𝑖 )] ≥ 0
Из этого следует, что мощность колеблется с двойной частотой вокруг своего
среднего значения, оставаясь положительной. Среднее значение мощности за
период называют активной мощностью.
Для R-элемента активная мощность:
1 𝑇
1 𝑇
𝑃𝑎 = 𝑃ср = ∫ 𝑝𝑅 (𝑡) 𝑑𝑡 = ∫ 𝑝𝑅 (𝑡) 𝑑𝑡
𝑇 0
𝑇 0
1 𝑇 2
1 𝑇 2
= ∫ 𝑅𝐼 𝑑𝑡 + ∫ 𝑅𝐼 𝑐𝑜𝑠2(𝜔𝑡 + 𝛼𝑖 ) 𝑑𝑡 = 𝑅𝐼 2
𝑇 0
𝑇 0
или, используя очевидные соотношения, получим
𝑃𝑎 = 𝑅𝐼 2 = 𝐺𝑈 2 = 𝑈𝐼
Обобщая, получаем:
𝑃𝑅 = 𝑈𝐼 𝑐𝑜𝑠0 = 𝑅𝐼 2 ≥ 0
𝑃𝑄 = 0
𝑃𝑆 = 𝑃𝑅
2. Индуктивный элемент
𝑢=𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
𝑈𝑚 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝛼𝑢 ) = −𝜔𝐿𝐼𝑚 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝛼𝑖 ) = 𝜔𝐿𝐼𝑚 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝛼𝑖 + 𝜋/2)
Из этого следует, что 𝑈𝑚 = 𝜔𝐿𝐼𝑚 , а 𝛼𝑢 = 𝛼𝑖 + 𝜋/2
Коэффициент пропорциональности между амплитудой напряжения и
амплитудой тока имеет размерность сопротивления. Его называют
индуктивным сопротивлением 𝑋𝐿 , т. е
𝑋𝐿 =
𝑈𝑚
= 𝜔𝐿
𝐼𝑚
Индуктивной проводимостью 𝐵𝐿 называют величину, обратную
индуктивному сопротивлению:
𝐵𝐿 =
1
𝐼𝑚
1
=
=
𝑋𝐿 𝑈𝑚 𝜔𝐿
Тогда энергия, запасенная в индуктивности:
2
2
𝐿𝑖 2 𝐿𝐼𝑚
𝐿𝐼𝑚
1
2
𝑊𝐿 (𝑡) =
=
𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 + 𝛼𝑖 ) =
[1 + 𝑐𝑜𝑠2(𝜔𝑡 + 𝛼𝑖 )] =
2
2
2 2
𝐿𝐼 2
=
[1 + 𝑐𝑜𝑠2(𝜔𝑡 + 𝛼𝑖 )]
2
т. e. колеблется с двойной частотой относительно среднего значения
𝑊𝐿 ср
𝐿𝐼 2
=
2
дважды за период тока происходят накопление энергии в магнитном поле Lэлемента и ее возврат в остальную цепь.
Мгновенная мощность L-элемента будет:
𝑝𝐿 (𝑡) = 𝑢𝑖 =
𝑑𝑊𝐿
= −𝜔𝐿𝐼 2 𝑠𝑖𝑛2(𝜔𝑡 + 𝛼𝑖 )
𝑑𝑡
Следовательно, мощность изменяется с двойной частотой по
синусоидальному закону, следовательно, среднее значение мощности за
период (т. е. активная мощность) L-элемента равна нулю. Это отражает тот
факт, что энергия в L-элементе не потребляется, т. е. L-элемент является
реактивным элементом. Будем называть реактивной мощностью
экстремальную скорость поступления энергии в элемент, у которого ток и
напряжение сдвинуты на угол |𝜑| = 𝜋/2. Ей присваивается специальная
единица измерения — вольт-ампер реактивный (вар).
Реактивная мощность L-элемента
𝑃𝑄 = 𝑃𝑚𝑎𝑥 = 𝜔𝐿𝐼 2 = 𝑋𝐿 𝐼 2 = 𝑈𝐼 = 𝐵𝐿 𝑈 2
Обобщая, получаем:
𝑃=0
𝑃𝑄 = 𝜔𝐿𝐼 2 = 𝑋𝐿 𝐼 2 ≥ 0
𝑃𝑆 = 𝑃𝑄
3. Емкостной элемент.
𝑖=𝐶
𝑑𝑢
𝑑𝑡
𝐼𝑚 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝛼𝑖 ) = −𝜔𝐶𝑈𝑚 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝛼𝑢 ) = 𝜔𝐶𝑈𝑚 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝛼𝑢 + 𝜋/2)
Из этого следует, что 𝐼𝑚 = 𝜔𝐶𝑈𝑚 , а 𝜑 = 𝛼𝑢 − 𝛼𝑖 = −𝜋/2
Емкостное сопротивление:
𝑋𝐶 =
𝑈𝑚
1
=
𝐼𝑚
𝜔𝐶
Емкостная проводимость:
𝐵𝐶 =
1
𝐼𝑚
=
= 𝜔𝐶
𝑋𝐶 𝑈𝑚
Тогда энергия, запасаемая в емкости:
2
𝐶𝑈 2 𝐶𝑈𝑚
𝐶𝑈 2
2
𝑊𝐶 (𝑡) =
=
𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 + 𝛼𝑢 ) =
[1 + 𝑐𝑜𝑠2(𝜔𝑡 + 𝛼𝑢 )]
2
2
2
колеблется с двойной частотой вокруг своего среднего значения 𝑊𝐶 ср =
𝐶𝑈 2
2
;
дважды за период приложенного напряжения происходят накопление
энергии в электрическом поле С-элемента и ее возврат в остальную цепь.
Мгновенная мощность С-элемента:
𝑝𝐶 (𝑡) = 𝑢𝑖 =
𝑑𝑊𝐶
= −𝜔𝐶𝑈 2 𝑠𝑖𝑛2(𝜔𝑡 − 𝛼𝑢 )
𝑑𝑡
как и в L-элементе, изменяется с двойной частотой по синусоидальному
закону. Таким образом, 𝑃ср = 0, а реактивная мощность С-элемента:
|𝑃𝑄 | = 𝑃𝑚𝑎𝑥 = 𝜔𝐶𝑈 2 = 𝑋𝐶 𝐼 2 = 𝑈𝐼 = 𝐵𝐶 𝑈2
т. е. С-элемент является реактивным элементом. Аналогия выражений,
полученных для L- и С-элементов, объясняется дуальностью этих элементов.
Обобщая, получаем:
𝑃=0
𝑃𝑄 = 𝜔𝐶𝑈 2 = −𝑋𝐶 𝐼 2 ≤ 0
𝑃𝑆 = −𝑃𝑄
3. Мощность в комплексной форме. Баланс мощностей.
Так как расчет установившегося синусоидального режима ведется в
комплексной форме, целесообразно получить выражения мощности через
комплексные значения тока 𝐼 ∙ и напряжения 𝑈 ∙ . Для этого умножим комплекс
напряжения на сопряженный комплекс тока:
𝑈 ∙ 𝐼 ∗ = 𝑈𝑒 𝑖𝛼𝑢 𝐼𝑒 −𝑖𝛼𝑖 = 𝑈𝐼𝑒 𝑖(𝛼𝑢 −𝛼𝑖 ) = 𝑈𝐼 𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑖𝑈𝐼 𝑠𝑖𝑛𝜑 = 𝑃𝑎 + 𝑖𝑃𝑄
это произведение называют комплексной мощностью 𝑃𝑆 :
𝑃𝑆~ = 𝑈 ∙ 𝐼 ∗ = 𝑃𝑎 + 𝑖𝑃𝑄
Пример 3.
𝑈 ∙ = 30 + 𝑖40, 𝐼 ∙ = 2 + 𝑖2
Тогда 𝑃𝑆~ = (30 + 𝑖40)(2 − 𝑖2) = 140 + 𝑖20
Активная мощность 𝑃𝑎 = 140 Вт, реактивная мощность 𝑃𝑄 = 20 вар,
полная мощность 𝑃𝑠 = √𝑃𝑎 2 + 𝑃𝑄 2 = 141,4 ВА.
Баланс мощностей
По закону сохранения энергии сумма мгновенной, активной, реактивной и
комплексной мощностей всех k элементов цепи равна нулю
∑ 𝑝𝑘 (𝑡) = 0
∑ 𝑃𝑘
=0
∑ 𝑄𝑘
= 0,
то есть суммы отдаваемой и потребляемой энергии в цепи равны.
При этом, полагаем у источника несогласованную полярность и формулы его
мощностей записывают со знаком «минус»
𝑝(𝑡) = −𝑢(𝑡) ⋅ 𝑖(𝑡);
𝑃𝑆~ = −𝑈 ∙ ⋅ 𝐼 ∗ ;
𝑃 = −𝑈 ⋅ 𝐼 ⋅ 𝑐𝑜𝑠(𝛼𝑢 − 𝛼𝑖 ) ;
𝑃𝑄 = −𝑈 ⋅ 𝐼 ⋅ 𝑠𝑖𝑛(𝛼𝑢 − 𝛼𝑖 )
Для согласованной полярности источника формулы его мощностей имеют
вид:
𝑝(𝑡) = 𝑢(𝑡) ⋅ 𝑖(𝑡);
𝑃𝑆~ = 𝑈 ∙ ⋅ 𝐼 ∗ ;
𝑃 = 𝑈 ⋅ 𝐼 ⋅ 𝑐𝑜𝑠(𝛼𝑢 − 𝛼𝑖 ) ;
𝑃𝑄 = 𝑈 ⋅ 𝐼 ⋅ 𝑠𝑖𝑛(𝛼𝑢 − 𝛼𝑖 )
4. Резонанс в электрических цепях.
Так как формулы емкостного и индуктивного сопротивления имеют разные
знаки, то найдется частоты, при которых ZL и ZC компенсируют друг друга.
Это явление называется резонансом. При резонансе ток и напряжение,
приложенное к цепи, совпадают по фазе.
Сравним параметры контура при произвольный режиме и при резонансе
Произвольный режим
Входное сопр.
Z = r + jx
Φ = arctg x/r
Проводимость
Y = g + jb
Ψ = arctg b/g
Значит условие резонанса:
Резонанс
Z=r
Φ=0
Y=g
Ψ=0
Резонанс в последовательном RLC контуре (резонанс напряжений):
Входное сопротивление в нем
Из условия следует, что резонансная частота
Произвольный режим
Входное сопротивление
Резонанс
R
Действующий ток I =
Активная мощность Pа =
Напряжение UR =
Напряжение UL =
RI
ωLI
U
Напряжение UC =
UL
Чтобы оценивать превышения UL и UС по сравнению с Uисточника, вводят
понятие добротности:
При R = 0
Q -> ∞
5. Комплексная функция произвольного двухполюсника.
Частотные характеристики цепей.
Комплексной функцией цепи называется отношение комплекса реакции к
комплексу единственного в цепи воздействия.
̇
𝐹2𝑚
𝐹2̇
𝐻(𝑗𝑤) =
=
̇
𝐹1𝑚
𝐹1̇
Если воздействия в цепи – напряжение 𝑉1̇
𝐻(𝑗𝑤) =
𝑉2̇
𝑉1̇
𝐻(𝑗𝑤) =
𝐼2̇
𝑉1̇
- Функция передачи по току
𝐻(𝑗𝑤) =
𝐼1̇
𝑉1̇
- Входная проводимость цепи
𝐻(𝑗𝑤) =
V̇2
İ1
- Сопротивление передачи
𝐻(𝑗𝑤) =
𝐼2̇
𝐼1̇
- Функция передачи по току
𝐻(𝑗𝑤) =
𝑉1̇
𝐼1̇
- Входное сопротивление
- Функция передачи по напряжению
Частотные характеристики цепи 𝐻(𝑗𝑤) = |𝐻(𝑗𝑤)|𝑒 𝜑(𝑤) = 𝐵(𝑤) − 𝑗𝑀(𝑤)
ВЧХ МЧХ
АЧХ+ФЧХ=АФЧХ
Амплитудно-фазовые частотные характеристики представляют собой
геометрическое место концов векторов H(jw) на комплексной плоскости при
изменении частоты (годограф H(jw))
ВЧХ
МЧХ
6. Периодические сигналы. Тригонометрические формы ряда
Фурье. Ряд Фурье в комплексной форме.
Тригонометрические формы рядов Фурье
Периодический сигнал f(t), удовлетворяющий условиям Дирихле:
1. В пределах периода сигналы непрерывны или имеют разрывы первого рода.
2. В пределах периода сигналы ограничены по уровню и имеют конечное число
максимумов и минимумов.
Может быть разложен в сходящийся гармонический ряд Фурье (РФ) в
диапазоне
Причём частоты гармоник (синусоид) ряда
Кратны частоте первой (основной гармоники)
Это означает, что период основной гармоники равен периоду сигнала. Число
гармоник бесконечно, при этом сумма РФ равна f(t) в точках непрерывности
и полусумме пределов f(t) слева и справа в точках разрыва первого рода.
Синусно-косинусная форма ряда Фурье:
Значение 𝑡0 произвольно, а постоянная составляющая ряда Фурье равна:
Она соответствует среднему значению f(t) за период, т.е. высоте
прямоугольника, имеющего равновеликую площадь f(t) за период.
Пример:
Для данного сигнала:
а0
2
1
= ∗6=3
2
Преобразование синусно-косинусной формы к косинусной:
Причём согласно рисунку
Т.е. 𝐴𝑘 определяет амплитуду, а Ф𝑘 – начальную фазу результирующей
гармоники. Таким образом ряд Фурье в косинусной форме:
Важные свойства:
1. Ряд Фурье чётных сигналов не содержит косинусоид.
2. Ряд Фурье нечётных сигналов не содержит синусоид.
3. Ряд Фурье сигналов, симметричных относительно t при сдвиге на половину
периода не содержат гармоник чётных номеров:
Ряд Фурье в комплексной форме:
Применим формулу Эйлера к общему виду ряда Фурье:
Чтобы сюда воткнуть комплексные амплитуды отсюда
Учтём, что
Тогда, подставив, получим
Упростим, обозначив
и переходя к суммированию
𝑘 = −∞ до 𝑘 = +∞ , запишем с учётом (7.5 – выше) ряд Фурье в
комплексной форме:
Причём
.
7. Дискретные спектральные характеристики периодического
сигнала.
Множество комплексных амплитуд 𝐴𝑘̇ ряда Фурье в комплексной форме
(последняя формула предыдущего пункта, называют дискретным спектром
периодического сигнала f(t). А множество амплитуд 𝐴𝑘 и начальных фаз Ф𝑘
называют дискретными амплитудными и фазовыми спектрами.
Амплитудный спектр:
Является чётной функцией k, а фазовый спектр нечётной.
Рассмотрим пример:
В качестве примера рассматривается спектр периодического сигнала рисунка
На интервале от 0 до T график представляет собой 𝑓(𝑡) = 𝑒 −2𝑡 ÷ 𝐹(𝑠) =
1
1
. Можно записать 𝐹(𝑗𝑤) =
причём
(𝑠+2)
(𝑗𝑤+2)
Графики этих функций по порядку соответственно:
Перейдём к трактовке дискретных спектров. Преобразуем, использовав
формулу Эйлера, запись ряда Фурье в комплексной форме для вещественной
функции f(t):
Где равенство нулю мнимой части объясняется тем, что по условию f(t) –
вещественная функция и, кроме того, sin(𝑘 … ) + sin(−𝑘 … ) = 0.
Таким образом, согласно этой формуле, дискретный спектр характеризует
представление периодического сигнала суммой гармоник, при этом
амплитудный дискретный спектр 𝐴𝑘 определяет амплитуды гармоник, а
фазовый спектр Ф𝑘 - их начальные фазы.
8. Анализ установившихся периодических режимов в цепях.
Мощность, действующие значения токов и напряжений в
установившемся периодическом режиме.
Алгоритм:
1) Построить комплексную схему замещения
2) Определить параметры схемы
ω = kω, где k = 0,1,2, …
3) Вывести формулы для определения искомых величин
4) Найти искомые величины последовательно подставляя kω для всех k
Есть и другой способ, но для него на лекции был только пример:
Алгоритм из учебника Бычкова, по которому нам ведут лекции:
Основная идея расчёта: ряд Фурье воздействия можно трактовать как сумму
элементарных воздействий и по методу наложения, используя метод
комплексных амплитуд, найти реакцию от каждой гармоники воздействия в
отдельности.
Рассмотрим детально последовательность анализа.
Мощность в УПР:
Пусть пассивный двухполюсник (ДП), изображённый на рисунке а),
находится в УПР, а его напряжение и ток разложены в ряд Фурье:
Мгновенная мощность в ДП записывается как
Средняя мощность за период (активная мощность):
3. В (7.20) необходимо учитывать только произведения гармоник с
одинаковыми номерами.
В результате получим:
Интеграл от последнего слагаемого равен нулю, поэтому, используя переход
от амплитудных значений к действующим можем записать:
Мощность в УПР равна сумме мощностей от каждой гармоники в
отдельности.
Действующее значение в УПР.
Действующее значение переменной в УПР равно корню квадратному из
суммы квадратов действующих значений отдельных гармоник разложения
этой переменной в ряд Фурье.
9. Спектральный анализ цепей при периодическом
воздействии.
Постановка задачи:
Имеем входной сигнал 𝑓1 и выходной 𝑓2
Необходимо определить 𝑓2 и спектры 𝑓2
Запишем формы рада Фурье.
1)𝑓(𝑡) =
𝑎0
2
+ ∑∞
𝑘=1(𝑎𝑘 cos 𝑘𝜔1 𝑡 + 𝑏𝑘 sin 𝑘𝜔1 𝑡), где
сигнала за период, а 𝜔1 =
2𝜋
𝑇
𝑎0
2
– это среднее значение
= 2𝜋𝒻
Данная форма называется синусно-косинусной формой
2) сделав преобразование к комплексным амплитудам, мы можем перейти к
косинусной форме ряда Фурье:
𝑓(𝑡) =
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(
𝑎0
2
−𝑏𝑘
𝑎𝑘
∞
+ ∑𝑘=1(𝐴𝑘 cos( 𝑛𝜔1 𝑡 + 𝛼𝑘 )),
),
𝑎0
2
=
где
𝐴𝑘 = √𝑎𝑘 2 + 𝑏𝑘 2 ,
𝐴0
2
3) Комплексная форма:
1
∞
𝑓(𝑡) = + ∑𝑘=−∞(𝐴𝑘̇ 𝑒 𝑗𝑘𝜔1 ), где комплексный дискретный спектр:
2
𝛼𝑘 =
𝐴𝑘̇ = 𝐴𝑘 𝑒 𝑗𝛼𝑘
Алгоритм спектрального анализа:
1) Находим изображение сигнала 𝑓1 на его периоде. Как? Методом
последовательного дифференцирования
2) Находим комплексный дискретный спектр сигнала 𝑓1
̇ =
𝐴𝑘1
2
𝐹 (𝑆)| 𝑠 = 𝑗𝑘𝜔1 , 𝑘 = 0,1, … , 𝑁
𝑇 1им
3) Формируем периодический входной сигнал
∞
𝐴0,1
𝑓(𝑡) =
+ ∑(𝐴𝑘,1 cos(𝑘𝜔1 𝑡 + 𝛼𝑘,1 )
2
𝑘=1
Помним, каждое слагаемое – гармоника
4) Находим дискретные спектры входного сигнала
̇ ∗ 𝐻(𝑗𝑘𝑤1 ) = 𝐴𝑘,2
̇
𝐴𝑘,1
̇ 𝑒 𝑗𝛼𝑘,1 ∗ АЧХ(𝑘𝜔1 )𝑒 𝑗ФЧХ (𝑘𝜔1 ) = 𝐴𝑘,2
̇ 𝑒 𝑗𝛼𝑘,2
𝐴𝑘,1
̇ = 𝐴𝑘,1
̇ АЧХ(𝑘𝜔1 )
𝐴𝑘,2
𝛼 𝑘,2 = 𝛼 𝑘,1 + ФЧХ(𝑘𝜔1 )
5) Получаем периодический выходной сигнал
∞
𝐴0,2
𝑓(𝑡) =
+ ∑(𝐴𝑘,2 cos(𝑘𝜔1 𝑡 + 𝛼𝑘,2 )
2
𝑘=1
10. Спектральный анализ цепей при апериодическом
воздействии (воздействии конечной длительности, импульсном
сигнале). Частотные характеристики с точки зрения спектров.
Постановка задачи: найти спектры входного сигнала и выходного сигнала
(и сам выходной сигнал), зная входной апериодический сигнал. Метод,
который использовался для описания периодических сигналов здесь
недоступен, потому что в случае периодического сигнала частота была
фиксирована и равна 𝜔 =
2𝜋
𝑇
, но у апериодического сигнала период можно
считать бесконечным, что делает невозможным применения ряда Фурье.
Поэтому в данном случае используется другой математический аппарат –
преобразование Фурье.
Общие сведения о преобразовании Фурье.
Прямое преобразование Фурье:
+∞
F(𝑗𝜔) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑒 −𝑗𝜔𝑡 𝑑𝑡
−∞
Где 𝐹(𝑗𝜔) и 𝑓(𝑡) − изображение и оригинал соответственно.
Легко заметить сходство интеграла с интегралом, определяющим прямое
преобразование Лапласа:
+∞
𝐹(𝑠) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡
0
и это неспроста: формула прямого преобразования Лапласа может
рассматриваться как результат определенным образом построенного
обобщения одностороннего (нижний предел не −∞, а 0) преобразования
Фурье. Этим часто пользуются, находя изображение по Фурье через
преобразование Лапласа.
Обратное преобразование Фурье:
+∞
1
𝑓(𝑡) =
∫ 𝐹(𝑗𝜔)𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑑𝜔.
2𝜋
−∞
Условно факт преобразование обозначают
𝑓(𝑡) ÷ 𝐹(𝑗𝜔)
Замечания:
1) Преобразование Фурье математически «появляется» из ряда Фурье,
если устремить период к бесконечности. Это как раз то, что нам нужно
2) Без потери общности можем считать, что сигнал определен при
положительном t. Тогда достаточно применять односторонне
преобразование Фурье:
+∞
F(𝑗𝜔) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑒 −𝑗𝜔𝑡 𝑑𝑡
0
которое можно искать из прямого преобразование Лапласа, положив
𝑠 = 𝑗𝜔.
3) Для сходимости интеграла прямого преобразования Фурье
подынтегральная функция должна быть абсолютно интегрируемой, то
есть площадь модуля оригинала должна быть конечной. Таким
образом, спектр 𝐹(𝑗𝜔) имеет только абсолютно интегрируемые
функции 𝑓(𝑡).
Напомним: спектр – это комплексная функция частоты:
+∞
+∞
𝐹(𝑗𝜔) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑒 −𝑗𝜔𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝑓(𝑡)(cos(𝜔𝑡) − 𝑗𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡))𝑑𝑡,
−∞
−∞
То есть его можно представить в показательной форме:
𝐹(𝑗𝜔) = |𝐹(𝑗𝜔)|𝑒 𝑗𝑎𝑟𝑔(𝐹(𝑗𝜔)) = 𝐴(𝜔)𝑒 𝑗Ф(𝜔) , где
𝐴(𝜔) − амплитудный спектр
Ф(𝜔) − фазовый спектр.
Алгоритм решения поставленной задачи.
Будем считать, что 𝑓1 (𝑡) − входной сигнал. 𝑓2 (𝑡) – выходной сигнал.
1) Находим амплитудный и фазовый непрерывные спектры одиночного
импульса, применив преобразование Лапласа:
𝑓1 (𝑡) ÷ 𝐹1 (𝑠)
𝐹1 (𝑠)|{𝑠 = 𝑗𝜔} = 𝐹1 (𝑗𝜔) = |𝐹(𝑗𝜔)|𝑒 𝑗𝑎𝑟𝑔(𝐹(𝑗𝜔))
Обоснование непрерывности спектра следует из общего
математического описания на основе преобразования Фурье.
2) Переходим к выходному сигналу, умножив спектр на комплексную
функцию цепи:
𝐻(𝑠) =
𝐹2 (𝑠)
𝐹1 (𝑠)
, 𝐹2 (𝑠) = 𝐻(𝑠)𝐹1 (𝑠), где принимаем 𝑠 = 𝑗𝜔
𝐴1 (𝜔) = 𝐴1 (𝜔) ∙ 𝑒 𝑗Ф(𝜔) = АЧХ(𝜔)𝑒 𝑗ФЧХ(𝜔) ∙ 𝐴1 (𝜔)𝑒 𝑗Ф(𝜔)
𝐴2 (𝜔) = АЧХ(𝜔) ∙ 𝐴1 (𝜔)
Ф2 (𝜔) = ФЧХ(𝜔) + Ф1 (𝜔)
3) Получим выходной сигнал 𝑓2 (𝑡), применив обратное преобразование
Лапласа:
𝐹2 (𝑠) ÷ 𝑓2 (𝑡)
Итак: Непрерывные сигналы имеют непрерывные спектры, описываются
преобразованием Фурье. (Периодические сигналы имеют дискретные
спектры, описываемые рядом Фурье)
11. Спектральные характеристики апериодического сигнала
(на примере прямоугольного сигнала).
Рассмотрим прямоугольный импульс:
𝑓(𝑡)
𝐹и
𝜏и
0) Для начала найдем аналитическое выражение для импульса (например,
методом дифференцирования):
𝑓(𝑡) = 𝐹и 𝛿1 (𝑡) − 𝐹и 𝛿2 (𝑡 − 𝜏и )
(здесь считаем, что сигнал начинается из нуля).
1) Найдем спектры:
1
1
𝐹и
𝐹(𝑠) = 𝐹и ∙ − 𝐹и ∙ 𝑒 −𝜏и𝑠 = (1 − 𝑒 −𝑠𝜏и )
𝑠
𝑠
𝑠
𝑗𝜔𝜏и
𝑗𝜔𝜏и
𝐹и
𝐹
и −𝑗𝜔𝜏и
𝐹(𝑗𝜔) =
𝑒 2 (𝑒 2 − 𝑒 − 2 )
(1 − 𝑒 −𝑗𝜔𝑠𝜏и ) =
𝑗𝜔
𝑗𝜔
2𝐹и
𝜏
𝜏и
sin (𝜔 и) ∙ 𝑒 −𝑗𝜔 2 . Откуда
𝜔
2
2𝐹и
𝜏и
𝐴(𝜔) = |𝐹(𝑗𝜔)| =
|sin (𝜔 )|
𝜔
2
𝜏и
𝜏и
Ф(𝜔) = arg(𝐹(𝑗𝜔)) = −𝜔
+ arg (sin (𝜔 ))
2
2
где стоит понимать, что фаза может принимать только значения на
=
𝜏
промежутке [0, 2𝜋], а arg (sin (𝜔 и)) равен либо 0 либо 𝜋.
2
Для построения найдет нули синуса:
𝜏и
sin (𝜔уз + ) = 0 ↔
2
𝜏и
↔ 𝜔уз = 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ ℤ+
2
2𝜋𝑘
𝜏и
Заметим, что при нулевой частоте не определен амплитудный спектр.
Однако, неопределенность устранимая:
𝜔𝜏 𝜏
2Fи cos ( и ) и
0
2 2 =𝐹𝜏 =𝑆
𝐴(0) = [ ] = lim
и и
сигнала
𝜔→0
0
1
↔
2)
12. Ширина спектра и её связь с длительностью и крутизной
сигнала.
Ширина спектра
Энергия сигнала находится по формуле:
∞
𝑊𝑓 = ∫ 𝑓 2 (𝑡)𝑑𝑡 ;
−∞
Если считать, что 𝑓(𝑡) = 𝑖(𝑡) – ток, протекающий по сопротивлению R, то
под интегралом 𝑅𝑖 2 – потребляемая в R-элементе мощность.
Преобразуем формулу, используя обратное преобразование Фурье:
∞
∞
1 ∞
𝑊𝑓 = ∫ 𝑓(𝑡)𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 ∙
∫ 𝐹(𝑗𝜔)𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑑𝜔 =
2𝜋 −∞
−∞
−∞
∞
∞
1
1 ∞
𝑗𝜔𝑡
=
∫ 𝐹(𝑗𝜔)𝑑𝜔 ∙ ∫ 𝑓(𝑡)𝑒 𝑑𝑡 =
∫ 𝐹(𝑗𝜔)𝐹(−𝑗𝜔)𝑑𝜔
2𝜋 −∞
2𝜋
−∞
−∞
𝐹(−𝑗𝜔) – прямое преобразование Фурье по аргументу (−𝑗𝜔). Произведение
сопряженных функций 𝐹(𝑗𝜔)𝐹(−𝑗𝜔) равно квадрату модуля функции, т.е. в
данном случае – квадрату амплитудного спектра. В результате получена
формула Релея:
∞
𝑊𝑓 = ∫ 𝑓
−∞
2 (𝑡)𝑑𝑡
1 ∞ 2
=
∫ 𝐴 (𝜔)𝑑𝜔
2𝜋 −∞
Квадрат амплитудного спектра 𝐴2 (𝜔) характеризует относительное
распределение энергии сигнала в спектре.
На формуле Релея базируется энергетический критерий ширины спектра.
Ширина спектра ∆𝜔 – диапазон частот около максимума 𝐴2 (𝜔), причём в
этом диапазоне сосредоточены n% энергии сигнала (обычно n=90 или 95%)
На рисунке 8.6 изображены график «прямоугольного» импульса и график
квадрата его амплитудного спектра (качественно).
Энергетический критерий является строгим, но трудоёмким, потому на
практике применяют нестрогий, но простой амплитудный критерий ширины
спектра сигнала.
Ширина спектра ∆𝜔 – диапазон частот в районе максимума амплитудного
спектра 𝐴(𝜔), причём вне этого диапазона 𝐴(𝜔) < 𝑛𝐴𝑚𝑎𝑥 (обычно n = 0,05
или 0,1)
Связь ширины спектра с длительностью сигнала
На рисунке 8.7 рассмотрим некоторый одиночный импульс 𝑓1 (𝑡)
длительностью 𝑡и , спектр которого 𝐹1 (𝑗𝜔) имеет ширину ∆𝜔 (пусть 𝑓1 (𝑡) –
чётная функция).
Также имеется второй сигнал 𝑓2 (𝑡) подобной формы, но иной длительности:
𝑓2 (𝑡) = 𝑓1 (𝛼𝑡), для определённости на рисунке 8.7 𝛼 = 2, следовательно,
импульс 𝑓2 в 2 раза короче, чем 𝑓1 .
1
𝑗𝜔
По теореме подобия находим спектр 𝐹2 (𝑗𝜔) = 𝐹1 ( ), т.е. на рисунке 8.7 у
𝛼
𝛼
второго сигнала значения амплитудного спектра уменьшились в 2 раза, но
спектр стал в 2 раза шире, т.е. чем короче сигнал, тем шире его спектр.
Связь ширины спектра с крутизной сигнала
На рисунке 8.8 рассмотрим три сигнала одинаковой длительности, но
различной крутизны (различной степени гладкости), и найдём их
изображения по Лапласу, а затем – спектры:
𝑓(𝑡) ÷ 𝐹(𝑠) ÷ 𝐹(𝑗𝜔)
Для наиболее крутого из рассматриваемых сигналов (кусочно-постоянного)
имеем следующие преобразования:
1
1
[… ],
𝑓1 (𝑡) ÷ 𝐹1 (𝑠) = [… ], 𝐹1 (𝑗𝜔) =
𝑠
𝑗𝜔
где в квадратных скобках выделена неанализируемая часть изображения и
спектра сигнала.
Для сигнала кусочно-линейной формы получим следующие преобразования:
𝑓2 (𝑡) ÷ 𝐹2 (𝑠) =
1
1
[…
],
(𝑗𝜔)
𝐹
=
[… ]
2
(𝑗𝜔)2
𝑠2
Для наиболее гладкого сигнала кусочно-параболической формы имеем
следующие преобразования:
𝑓3 (𝑡) ÷ 𝐹3 (𝑠) =
1
1
[… ], 𝐹3 (𝑗𝜔) =
[… ]
3
(𝑗𝜔)3
𝑠
Можно заметить, что даже у самого крутого сигнала 𝑓1 (𝑡) амплитудный
спектр убывает достаточно быстро, что в явной форме свидетельствует о
высокой сходимости спектра (преобразования Фурье). А поскольку спектр
одиночного импульса является огибающей дискретного спектра
периодического сигнала, то ряд Фурье тоже быстро сходится.
Степень гладкости сигнала оценивается по степени разрывности его
производной, так, у 𝑓3 (𝑡) самый гладкий сигнал из рассматриваемых, т.к. у
него разрывной производной будет вторая, а 𝑓1 (𝑡) – самый крутой сигнал,
поскольку у него разрывной является нулевая производная, т.е. сам сигнал.
Чем круче сигнал, тем шире его спектр. Самым крутым из рассматриваемых
в теории цепей сигналов является дельта-функция 𝛿(𝑡) ÷ ∆(𝑗𝜔) = 1, и её
ширина спектра бесконечна.
13. Классификация фильтров по типу избирательности.
Фильтром называется четырехполюсник (ЧП), у которого в некоторой полосе
частот в районе максимума АЧХ 𝐴(𝜔), называемой полосой пропускания
(ПП) или зоной неискажения (зоной прозрачности), сигналы проходят на
выход с малых затуханием 𝛼, а в остальной полосе частот, называемой
полосой задерживания (ПЗ), сигналы на выход практически не проходят или
проходят с большим затуханием.
При идеализации частотных характеристик фильтров часто используют
понятие идеальных фильтров, у которых в ПП АЧХ 𝐴(𝜔) = 𝑘 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 или
𝐴̂(𝜔) = 1 (𝛼 = 0), а в полосе задерживания 𝐴̂(𝜔) = 0 (а = ∞). Идеальные
фильтры физически нереализуемы, т.к. их частотная характеристика 𝐻(𝑗𝜔)
не является дробно-рациональной функцией частоты 𝑗𝜔.
Классический фильтр – реактивный ЧП, находящийся в согласованном
режиме, у которого в полосе пропускания затухание 𝛼 = 0 (АЧХ = const), а в
полосе задерживания 𝛼 ≠ 0. Граничные частоты полосы пропускания
называют частотами среза 𝜔ср .
Фильтры применяются для:
1) выделения полезной части из 𝑓1 (𝑡), искажаемого в линейной цепи
2) нахождения некоторых шумов и их удаления
Обычно фильтры классифицируют следующим образом:
1. Фильтры нижних частот (ФНЧ), имеют ПП в области нижних частот (НЧ)
0 ≤ 𝜔 ≤ 𝜔ср , а ПЗ – в области высоких частот (ВЧ) 𝜔ср ≤ 𝜔 < ∞. На рисунке
12.4а приведена АЧХ идеального ФНЧ, на рисунке 12.4б – АЧХ
классического фильтра, на рисунке 12.4в – его коэффициент затухания.
2. Фильтры верхних частот (ФВЧ) имеют ПП на ВЧ, а ПЗ – на НЧ. АЧХ
идеального ФВЧ изображена на рисунке 12.7а, АЧХ классического фильтра –
на рисунке 12.7б, его коэффициент затухания – на рисунке 12.7в.
3. Полосовой пропускающий фильтр (ППФ) пропускает сигналы в некоторой
полосе между частотами среза 𝜔ср1 и 𝜔ср2 . АЧХ идеального ППФ приведена
на рисунке 12.9а, характеристики классического ППФ – на рисунках 12.9б,в.
4. Полосовой заграждающий фильтр (ПЗФ) или режекторный фильтр (РФ) в
идеале не пропускает сигналы в некоторой области частот между 𝜔ср1 и 𝜔ср2
(рис. 12.11а). Характеристики классического РФ приведены на рисунках
12.11б,в.
14. Условие не искажения сигнала цепью. Дифференцирующие
и интегрирующие цепи.
𝑓1 (𝑡) → цепь → 𝑘 ∙ 𝑓1 (𝑡 − 𝑡з )
𝐹2 (𝑠) 𝑘 ∙ 𝐹1 (𝑠) ∙ 𝑒 −𝑠𝑡з
𝐻(𝑠) =
=
= 𝑘 ∙ 𝑒 −𝑠𝑡з
𝐹1 (𝑠)
𝐹1 (𝑠)
АЧХ(𝜔) = 𝑘
ФЧХ(𝜔) = −𝑡з 𝜔
𝐻(𝑗𝜔) = 𝑘 ∙ 𝑒 −𝑗𝜔𝑡з
Дифференцирующие и интегрирующие цепи
Дифференцирующие и интегрирующие цепи используются как фрагменты
описания цепи с произвольными частотными характеристиками
Дифференцирующая цепь
𝑓2 (𝑡) =
𝑑𝑓1 (𝑡)
𝑑𝑡
𝐹2 (𝑠) = 𝑠 ∙ 𝐹1 (𝑠) − 𝑓1 (0)
Интегрирующая цепь
𝑓2 (𝑡) = ∫ 𝑓1 (𝑡)𝑑𝑡
𝐹2 (𝑠) =
𝐹1 (𝑠)
𝑠
𝐻(𝑠) =
𝐹2 (𝑠)
𝑠 ∙ 𝐹1 (𝑠)
[ННУ] =
=𝑠
𝐹1 (𝑠)
𝐹1 (𝑠)
𝐻(𝑗𝜔) = 𝑗𝜔 = 𝜔𝑒 90°
АЧХ(𝜔) = 𝜔
ФЧХ(𝜔) =
𝜋
2
𝐻(𝑠) =
𝐻(𝑗𝜔) =
1
𝑠
1
𝑗
= − = 𝜔𝑒 −90°
𝑗𝜔
𝜔
1
𝜔
𝜋
ФЧХ(𝜔) =
2
АЧХ(𝜔) =
15. Особенности расчета цепей с магнитными связями.
Рассмотрим пару примеров цепей с магнитными связями.
Начнем с последовательного соединения.
Комплексная схема замещения
ZM=jωM
Заметим, что включение согласное, значит ZM=jω|M|
Для определения тока в цепь составим уравнение Кирхгофа
ZR1I˙+(ZL1+ZM)I˙+(ZL1+ZM)I˙+ZR2I˙=0
R1I˙+(jωL1+jω|M|)I˙+(jωL2+jω|M|)I˙+R2I˙=0
Отсюда Rэкв=(R1+R2) +jω(L1+L2 +2|M|)
Если включение будет встречным(б), то ZM= -jω|M|
И Rэкв=(R1+R2) +jω(L1+L2 -2|M|)
Рассмотрим теперь параллельное соединение.
Запишем уравнение Кирхгофа для правого участка
−[I˙1ZL1+I˙2ZM]+[I˙2ZL2+I˙1ZM]=0
В данной цепи включение согласное, значит ZM=jω|M|=j|ZM|
−[I˙1 * jωL1+I˙2*jω|M|]+[I˙2*jωL2+I˙1*jω|M|]=0
Если включение будет встречным, то ZM= -jω|M|=--j|ZM|
Теперь рассмотрим цепь с трансформатором.
По Кирхгофу
Включение встречное, значит ZM= -jω|M|=--j|ZM|
16. Последовательное соединение индуктивно-связанных
элементов.
Пусть две катушки, обладающие сопротивлениями R1 и R2, индуктивностями
L1 и L2 и взаимной индуктивностью M, соединены последовательно (рис.1).
Рис.1 - Последовательное состояние индуктивно связанных элементов
Возможны два вида их соединения – согласное и встречное. Если считать,
что звездочками отмечены начала обмоток, то при согласном включении
начало второй подключается к концу первой (рис.1, а). Токи в обеих
катушках направлены одинаково относительно одноименных зажимов: от
начала к концу. При встречном включении катушек конец второй
присоединяется к концу первой (рис.1, б).
Индуктивность двух последовательно соединенных индуктивно связанных
элементов
где
и
- потокосцепления первого и второго элементов, причем
;
. Знак плюс относится к согласному, а знак минус к
встречному включению. Следовательно,
Напряжение на каждой из катушек содержит три составляющих: падение
напряжения на активном сопротивлении, напряжение самоиндукции и
напряжение взаимной индукции:
(1)
Последние имеют одинаковые знаки при согласном включении и разные при
встречном. Напряжение на входе цепи равно сумме этих двух напряжений:
(2)
Входное комплексное сопротивление цепи получим из совместного
рассмотрения трех последних уравнений:
где Z1 и Z2 – комплексные сопротивления катушек, а ZM – комплексное
сопротивление взаимной индукции:
Из формулы выше вытекают формулы, определяющие общую индуктивность
цепи и суммарное индуктивное сопротивление:
причем
т.е.
Можно определить результирующее индуктивное сопротивление каждой
катушки. У первой оно равно X1 ± XM. И здесь при согласном включении оно
больше, чем при встречном. Физически это объясняется тем, что в первом
случае магнитный поток, охватывающий каждую катушку, больше, чем во
втором; например, для первой катушки ФIсогл=Ф1+Ф21, а ФIвстр=Ф1-Ф21.
Вследствие этого ЭДС электромагнитной индукции, оказывающая току
индуктивное сопротивление, при согласном включении больше, чем при
встречном.
На рис.2 изображены векторные диаграммы, построенные по уравнениям (1)
и (2).
Рис.2 - Векторные диаграммы последовательной цепи при согласном (а) и
встречном (б) включениях
При встречном включении возможен так называемый "емкостный" эффект,
когда у одной из катушек напряжение на зажимах отстает по фазе от тока
(напряжение на рис.1, б). Это имеет место, когда индуктивность катушки
меньше величины взаимной индуктивности. В этом случае результирующая
индуктивность рассматриваемой катушки (с учетом взаимной индукции)
отрицательна: L2 - M < 0. Для всей цепи такой эффект невозможен. Ее
индуктивность всегда положительна, и цепь носит активно-индуктивный
характер.
17. Эквивалентное исключение индуктивных связей.
На рисунке 9.10а приведены две индуктивное связанные катушки, имеющие
общий узел, к которому они подключены однополярный зажимами.
На рисунке 9.10б показана цепь без индуктивной связи. Необходимо
определение значения Lэ1, Lэ2 и Lэ3, при которых токи в ветвях и
напряжения между узлами будут такими же, как и в исходной цепи. Система
уравнения для цепи (рис 9.10а) записывается так.
Исключим из второго уравнения ток i2 = i3 – i, а из третьего i1 = i3 – i2.
Тогда уравнения (9.14) можно записать следующим образом.
Для цепи(рис 9.10б) имеем систему уравнений.
Сравнивая 9.15 и 916, приходим к заключению, что цепи 9.10 будут
эквивалентны, если Lэ1 = L1 - |M|, Lэ2 = L2 - |M|, Lэ3 = |M|. Взаимная
индуктивность записана по модулю, тк полученные выражения для
эквивалентных индуктивной не зависит от характера включения и будут
такими при подключения индуктивно связанных катушек к общему узлу
однополярными зажимами и при M>0, и при M<0.
Если элементы подключены будут к общему узлу разнополярными
зажимами, то аналогичным образом можно показать, что если Lэ1 = L1 + |M|,
Lэ2 = L2 + |M|, Lэ3 = -|M|. Отрицательная индуктивность, включаема в
третью ветвь, является чисто расчетной величиной, не имеющей физического
смысла. В уст-ся синусоидальном режиме в этом случае Zэ3 = -jw|M|.
Если индуктивно связанные катушки не имеют общего узла, то такое
исключения индуктивных связи невозможно.
Для примера на рисунке 9.11а приведена цепь с индуктивной связью, а
на рисунке 9.11б – ей эквивалентная без индуктивной связи.