Загрузил anna-semenova76

Hetyre-zamechatelnye-tochki-treugolnika

реклама
Геометрия, 8 класс
К учебнику Л.С.Атанасяна
СВОЙСТВО БИССЕКТРИСЫ УГЛА
точка
ТЕОРЕМА. Каждая
неразвернутого угла
от его сторон.
Дано : ВАС ,
В
АР  биссектриса, М  АР,
К
А
МК  АВ, МТ  АС
Доказать : МК  МТ
М
1
2
Р
Т
биссектрисы
равноудалена
КАМ  ТАМ (Почему ?)
С
МК = МТ
СВОЙСТВО БИССЕКТРИСЫ УГЛА
ОБРАТНАЯ
ТЕОРЕМА.
Каждая точка, лежащая внутри
угла и равноудаленная от сторон
угла, лежит на его биссектрисе.
В
К
Дано : ВАС , М  ВАС ,
М
А
Т
МК  АВ, МТ  АС , МК  МТ
Доказать : АМ  биссектриса
С
КАМ  ТАМ (Почему ?)
∠ КАМ = ∠ ТАМ
АМ - биссектриса
Биссектрисы треугольника
пересекаются в одной точке.
СЛЕДСТВИЕ.
О – точка пересечения
биссектрис АА1 и ВВ1
ОМ⏊АВ, ОН⏊АС, ОК⏊ВС
В
О  АА1  ОМ  ОН

О  ВВ1  ОМ  ОК
М
О
А
В1 Н
А1
К
 ОМ  ОН  ОК
Так как ОН = ОК, то точка О
равноудалена от сторон угла С,
значит точка О лежит на
биссектрисе угла С.
С
ВЫВОД: СО – биссектриса,
следовательно, все три биссектрисы
пересекаются в одной точке О.
Серединный перпендикуляр к отрезку
Серединным
перпендикуляром
к
отрезку
называется
прямая,
проходящая через середину данного
отрезка и перпендикулярная к нему.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
К
АС = СВ
КС ⏊ АВ
А
С
В
КС – серединный
перпендикуляр
к отрезку АВ
Серединный перпендикуляр к отрезку
ТЕОРЕМА
Каждая
точка
серединного
перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка
К
М
Дано : АС  СВ, КС  АВ, М  КС
Доказать : МА  МВ
АМС  ВМС (Почему ?)
А
С
В
МА = МВ
Серединный перпендикуляр к отрезку
ОБРАТНАЯ
ТЕОРЕМА
Каждая точка, равноудаленая от
концов
отрезка,
лежит
на
серединном перпендикуляре к нему.
К
Дано : АС  СВ, КС  АВ, МА  МВ
М
Доказать : М  КС
Δ АМВ – равнобедренный.
Проведем отрезок МС.
А
С
ВЫВОД:
В
МС  АВ


 КС  АВ
МС – медиана, а значит …
МС и КС совпадают,
значит точка М лежит
на прямой КС
Серединные
перпендикуляры
к
сторонам треугольника пересекаются в
одной точке.
СЛЕДСТВИЕ
m - серединный перпендикуляр к АВ
n - серединный перпендикуляр к АC
m∩n=O
В
О  m  ОА  ОВ
 ОА  ОВ  ОС

О  n  ОА  ОС
p
m
Так как ОВ = ОС, то точка О
равноудалена от концов отрезка ВС,
значит
точка
О
лежит
на
серединном перпендикуляре p к ВС
О
А
n
С
ВЫВОД: все три серединных
перпендикуляра m, n, p
пересекаются в точке О.
Теорема о
пересечении высот
треугольника
В
С2
А2
С
В1
А2В2 ǁ АВ
 АВ  СА2
 СА2  СВ2

АВ

СВ
2

С – середина отрезка А2В2
Аналогично:
А – середина отрезка В2С2
В – середина отрезка А2С2
А1
С1
А
Высоты
их
АА1 треугольника
ВС , ВВ1  АС, СС(или

АВ
1
продолжения) пересекаются в
одной Доказать
точке. : АА1 , ВВ1 , СС1
пересекаются в одной точке
СС1  АВ
 СС1  А2 В2

АВ
||
A
B
2 2

СС1 – серединный перпендикуляр к А2В2
А2С2 ǁ АС
В2С2 ǁ ВС
В2
Аналогично:
АА1 – серединный перпендикуляр к В2С2
ВВ1 – серединный перпендикуляр к А2С2
ВЫВОД: Высоты АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в одной точке
Свойство медиан треугольника
Задача. Доказать, что медианы треугольника пересекаются в
одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2 :1,
считая от вершины.
МN  АС
В
M
 1  2, 3  4
АОС  NOM 
4
2
N
АО : ОN  2 : 1
О
AO
CO
AC 2



NO
MO NM 1
CО : ОM  2 : 1
Аналогично, точка пересечения медиан
СМ и ВК делит каждую из них в
А
С
К
отношении 2 : 1. считая от вершины, и
следовательно,
совпадает
с
точкой О.
Вывод: Все три медианы треугольника АВС пересекаются в точке О и
делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершины.
1
3
АО : ОN  2 : 1
CО : ОM  2 : 1
ВО : ОК  2 : 1
ЧЕТЫРЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ
ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА
1 точка – точка пересечения биссектрис
2 точка – точка пересечения медиан
3 точка – точка пересечения высот
4 точка – точка пересечения серединных
перпендикуляров к сторонам треугольника
Скачать