Кузьмичев Сергей Дмитриевич 1 СОДЕРЖАНИЕ ЛЕКЦИИ №7 1. Закон всемирного тяготения. Напряжённость гравитационного поля. Потенциальная энергия. 2. Теорема Гаусса. 3. Гравитационное поле Земли: напряжённость, потенциал. 4. Движение в центральном поле тяготения. Искусственные спутники и планеты. Законы Кеплера. Космические скорости. Параметры орбит. 5. Примеры. 2 Закон всемирного тяготения Закон всемирного тяготения: любые два тела (материальные точки) притягиваются друг к другу с силами, пропорциональными произведению их масс и обратно пропорционально квадрату расстояния между ними: Fтяг m1m2 G 2 r Гравитационная постоянная G 6 , 673 1011 Н м2 / кг 2 3 Напряжённость поля тяготения Fтяг M r Fтяг g Mm G 3 r r Напряжённость поля точечной массы M m тяготения массы Fтяг M g G 3 r m r 4 Принцип суперпозиции Гравитационное поле, возбуждаемое какой-либо массой, не зависит от нали- m1 чия других масс. Напряжённость гравитационного поля создаваемого несколькими телами, равно геометрической сумме напряженностей полей, возбуждаемых этими телами в отдельности: g Σ g1 g2 g1 g2 gΣ m2 gN 5 Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух точечных масс m1m2 П G r Полная энергия «легкой» материальной точки массой m , движущейся в поле тяготения «тяжелой» материальной точки массой M M m mv 2 Mm EKП G 2 r 6 2. Теорема Гаусса Поток вектора напряжённости g гравитационного поля через замкнутую поверхность равен Φ gdS 4πGm, масса внутри замкнутой поверхности. m - 7 Примеры применения теоремы Гаусса g а) Сферическая симметрия: однородный шар радиусом R , массой m и постоянной плотности ρ - при r R (внутри шара) - 4πGρ r g r , g g0 , 3 R при r R (вне шара) g0 0 r=R r Gm g0 2 R 2 Gm r R g 2 , g g0 2 r r r 8 б) Симметрия относительно плоскости: однородный слой толщиной d и постоянной плотности ρ при x d / 2 (внутри слоя) g x 4πGρx, g0 2πGρd - при x d / 2 (вне слоя) x gx g0 d/2 -d/2 0 -g0 x g x g0 , x d / 2 , g x g0 , x d / 2 9 3. Гравитационное поле Земли: напряженность и потенциал. Напряженность GM З r g 2 , r RЗ r r GM З 2 gЗ 9 ,8 м / с 2 RЗ Потенциал и потенциальная энергия GM З φ , r RЗ , r GM З m П mφ r 10 11 4. Движение в центральном поле тяготения. Искусственные спутники и планеты. Законы Кеплера. Космические скорости. Параметры орбит. Полная энергия планеты (или спутника) массой m в поле тяготения «неподвижного m тяжелого центра» массой M M mv GMm E const 2 r 2 12 Момент импульса L планеты относительно «центра тяготения» сохраняется . L r , mv r , m vr vφ const , vr r , vφ rφ, v 2 vr2 vφ2 , L L mr φ const 2 Полную энергию можно записать как сумму кинетической энергии «радиального» движения и «эффективной» потенциальной энергии E K r П эфф , mv Kr , 2 2 r 2 П эфф mM L G r 2mr 2 13 Условия эллиптического, параболического и гиперболического движений E 0 Π r - гиперболическое движение, E 0 параболическое движение, E0 эллиптическое движение E 0 2 L 2mr 0 r1 2 r r2 E 0 G mM r 14 Параметры эллиптической орбиты Большая полуось эллипса a GMm / 2 E , E0 Малая полуось эллипса bL/ 2 Em a F1 r1 b F2 r2 Период обращения по эллипсу S πab T Sсек L / 2m 2 4 π T2 a3 GM 15 Законы Кеплера I. Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. II. Радиус-вектор планеты в равные времена описывает равные площади. III. Квадраты времен обращения планет относятся как кубы больших осей эллиптических орбит, по которым они движутся вокруг Солнца. T22 a23 3 2 T1 a1 16 Космические скорости I. Первая космическая скорость - скорость движения спутника по круговой орбите радиусом, равном радиусу Земли v1,К GM gRЗ 7 , 9 км / с RЗ II. Вторая космическая скорость – минимальная скорость, которую нужно сообщить телу, чтобы оно никогда не вернулось на Землю* v2 ,К GM 2 2 gRЗ 11, 2 км / с RЗ 17 5. Примеры. Пример 1. На большом расстоянии от Земли метеорит движется относительно неё со скоростью v0 . При каком наибольшем расстоянии l метеорит будет «захвачен» Землей? 2 mv0 mv 2 Закон сохранения энергии: mgR 2 2 Закон сохранения момента импульса (для касательной траектории): mv0 l mvR v 2 gR l R 1 2 R 1 v0 v 2 2 ,К 2 0 18 19 Пример 2. Кто дальше? С полюса Земли запускают две ракеты, одну вертикально вверх, другую горизонтально. Начальные скорости обеих ракет равны v0 , причем больше первой космической скорости и меньше второй. Какая из ракет удалится дальше от центра Земли? Сопротивлением воздуха пренебречь. а) Первая ракета. Из закона сохранения энергии mv02 RЗ2 mgRЗ mg , 2 r1 2 З 2 gR r1 . 2 2 gRЗ v0 20 б) Вторая ракета. Точка удаления от центра Земли – апогей. Из закона сохранения энергии наибольшего mv02 RЗ2 mv22 mgRЗ mg 2 2 r2 Из закона сохранения момента импульса mv0 RЗ mv2 r2 v RЗ r2 2 2 gRЗ v0 2 0 2 r1 2 gRЗ v2 ,К 2 1 r2 v0 v0 21 Пример 3. Орбита космического корабля «ВОСТОК», на котором летал Ю. Гагарин, имела высоту в перигее rп 181 км , а в апогее – rа 327 км . Определите период обращения корабля вокруг Земли. Период обращения спутника вокруг Земли при движении с первой космической скоростью 2 RЗ RЗ T0 2 1 ч 24 ,4 мин v1,К g По третьему закону Кеплера 2a1 2 RЗ rп rа T T T0 T0 3/ 2 3/ 2 T 2a0 2 RЗ 2 1 2 0 3/ 2 3/ 2 1 ч 29 ,1 мин 22 Пример 4. Космический корабль движется вокруг Солнца по той же круговой орбите, что и Земля, причем настолько далеко от Земли, что её влиянием можно пренебречь. Какую дополнительную скорость в направлении своего движении нужно сообщить кораблю, чтобы он смог достичь орбиты Марса, двигаясь по траектории, касающейся орби8 ты Марс? Радиус орбиты Земли R1 1,5 10 км , радиус орбиты Марса R2 2 ,28 108 км . 1) Скорость корабля на круговой орбите вокруг Солнца GM с v1 30 км / с, R1 GM с m E1 2 R1 23 2) Так как отношение длин больших осей эллипсов орбит обратно пропорционально отношению энергий, то GM m с 2a2 R1 R2 E1 2 R1 = = 2a1 2 R1 E2 mv22 GM с m 2 R1 2GM с R2 v2 v v2 v1 2 ,9 км / с R1 R1 R2 Время перелёта 0 ,5TЗМ . По третьему закону Кеплера R1 R2 TЗМ 2aЗМ 3/ 2 3/ 2 TЗ 2 aЗ 2 R1 3/ 2 3/ 2 , τ 260 суток 24 25
