Кузьмичев Сергей Дмитриевич
реклама
Кузьмичев Сергей Дмитриевич 2 СОДЕРЖАНИЕ ЛЕКЦИИ №7 1. Закон всемирного тяготения. Напряжённость гравитационного поля. Потенциальная энергия. 2. Теорема Гаусса. 3. Гравитационное поле Земли: напряжённость, потенциал. 4. Движение в центральном поле тяготения. Искусственные спутники и планеты. Законы Кеплера. Космические скорости. Параметры орбит. 5. Примеры. 3 1.1. Закон всемирного тяготения. Закон всемирного тяготения: любые два тела (материальные точки) притягиваются друг к другу с силами, пропорциональными произведению их масс и обратно пропорционально квадрату расстояния между ними: mm Fтяг G 1 2 2 r Гравитационная постоянная G 6 , 673 10 11 Н м 2 / кг 2 4 1.2. Напряженность поля тяготения. Fтяг M Fтяг r g G Mm r 3 r m Напряженность поля тяготения массы точечной массы M g Fтяг m M G 3 r r 5 1.3. Принцип суперпозиции. Гравитационное поле, возбуждаемое какой-либо массой, не зависит от наличия других масс. Напряженность гравитационного поля создаваемого несколькими телами, равно геометрической сумме напряженностей полей, возбуждаемых этими телами в отдельности. gΣ g1 g2 gN g1 m1 g2 gΣ m2 6 1.4. Потенциальная энергия взаимодействия Потенциальная точечных масс энергия П m1m2 G r взаимодействия двух Полная энергия «легкой» материальной точки массой m , движущейся в поле тяготения «тяжелой» материальной точки массой M mv 2 Mm E K П G 2 r 7 2. Теорема Гаусса 2.1. Поток вектора напряженности g гравитационного поля через замкнутую поверхность равен Φ gdS m масса поверхности. 4πGm , внутри замкнутой 8 2.2.Примеры применения теоремы Гаусса а) Сферическая симметрия: однородный шар радиусом R , массой m и постоянной плотности ρ - при r R (внутри шара) 4πGρ r r , g g0 , 3 R Gm g0 R2 при r R (вне шара) g - g Gm r , g 2 r r R2 g0 2 r g g0 0 r=R r 9 б) Симметрия относительно плоскости: однородный слой толщиной d и постоянной плотности ρ - при x d / 2 (внутри слоя) 4πGρx, g0 gx - при x gx gx x 2πGρd gx d / 2 (вне слоя) g0 , x g0 , x d / 2, d/2 g0 d/2 -d/2 0 -g0 x 10 3. Гравитационное поле Земли: напряженность и потенциал. Напряженность GM З r , r 2 r r g RЗ GM З 2 gЗ 9 , 8 м / с RЗ2 Потенциал и потенциальная энергия φ П GM З , r RЗ , r GM З m mφ r 11 4. Движение в центральном поле тяготения. Искусственные спутники и планеты. Законы Кеплера. Космические скорости. Параметры орбит. 4.1. Полная энергия планеты (или спутника) массой m в поле тяготения «неподвижного тяжелого центра» E mv 2 2 GMm r 12 Момент импульса L планеты относительно «центра тяготения» сохраняется . L r , mv vr r , vφ L L r , m vr vφ , rφ, v 2 vr2 vφ2 , mr 2 φ const Полную энергию можно записать как сумму кинетической энергии «радиального» движения и «эффективной» потенциальной энергии E Kr mvr2 , 2 Kr П эфф П эфф , mM G r L2 2mr 2 13 4.2. Условия эллиптического, параболического и гиперболического движений E 0гиперболическое движение, E 0 параболическое движение, E 0 эллиптическое движение Π r E 0 2 L 2mr 2 0 r1 r r2 E G mM r 0 14 4.3. Параметры эллиптической орбиты. Большая полуось эллипса a GMm / 2 E , E Малая полуось эллипса b L/ 2 Em Период обращения по эллипсу 4π 2 3 2 T a GM 0 a F1 r1 b F2 r2 15 4.4. Законы Кеплера. I. Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. II. Радиус-вектор планеты в равные времена описывает равные площади. III. Квадраты времен обращения планет относятся как кубы больших осей эллиптических орбит, по которым они движутся вокруг Солнца. 3 2 2a 2 T2 T12 2a1 3 16 4.5. Космические скорости. I. Первая космическая скорость - скорость движения спутника по круговой орбите радиусом, равном радиусу Земли GM v1,К gRЗ 7 , 9 км / с RЗ II. Вторая космическая скорость – минимальная скорость, которую нужно сообщить телу, чтобы оно никогда не вернулось на Землю* v2 ,К GM 2 RЗ 2 gRЗ 11, 2 км / с III. Третья космическая скорость – минимальная скорость, которую нужно сообщить телу, чтобы оно навсегда покинуло пределы Солнечной системы . Она зависит от того, в каком направлении космический корабль выходит из зоны действия земного тяготения. 17 5. Примеры. Пример 1. На большом расстоянии от Земли метеорит движется относительно неё со скоростью v0 . При каком наибольшем расстоянии l метеорит будет «захвачен « Землей? Закон сохранения энергии mv02 mv 2 mgR 2 2 Закон сохранения момента импульса (для касательной траектории) mv0l mvR l 2 gR R 1 v02 v22,К R 1 v02 18 Пример 2. Кто дальше? С полюса Земли запускают две ракеты, одну вертикально вверх, другую горизонтально. Начальные скорости обеих ракет равны v0 , причем v0 больше первой космической скорости и меньше второй. Какая из ракет удалится дальше от центра Земли? Сопротивлением воздуха пренебречь. а) Первая ракета. Из закона сохранения энергии mv02 2 mgRЗ r1 RЗ2 mg , r1 2 gRЗ2 . 2 2 gRЗ v0 19 б) Вторая ракета. Точка наибольшего удаления от центра Земли – апогей. Из закона сохранения энергии mv02 RЗ2 mv22 mgRЗ mg 2 2 r2 Из закона сохранения момента импульса mv0 RЗ r2 r1 r2 2 gRЗ v02 mv2 r2 v02 RЗ 2 gRЗ v02 v2 ,К v0 2 1 20 Пример 3. Орбита космического корабля «ВОСТОК» , но котором летал Ю. Гагарин, имела высоту в перигее rп 181 км , а в апогее – rа 327 км . Определите период обращения корабля вокруг Земли. Период обращения спутника вокруг Земли при движении с первой космической скоростью 2 RЗ RЗ T0 2 1 ч 24,4 мин v1,К g По третьему закону Кеплера 2 1 2 0 T T T T0 2a1 2a0 3/ 2 3/ 2 T0 2 RЗ rп 2 RЗ rа 3/ 2 3/ 2 1 ч 29 ,1 мин 21 Пример 4. Космический корабль движется вокруг Солнца по той же круговой орбите, что и Земля, причем настолько далеко от Земли, что её влиянием можно пренебречь. Какую дополнительную скорость в направлении своего движении нужно сообщить кораблю, чтобы он смог достичь орбиты Марса, двигаясь по траектории, касающейся орбиты Марса? Радиус орбиты Земли R1 1,5 108 км , радиус орбиты Марса R2 2,28 108 км . 1) Скорость корабля на круговой орбите вокруг Солнца v1 GM с R1 30 км / с , E1 GM с m 2 R1 22 2) Так как отношение длин больших осей эллипсов орбит обратно пропорционально отношению энергий, то GM с m 2 R1 mv22 GM с m 2 R1 2a2 R1 R2 E1 = = 2a1 2 R1 E2 v2 2GM с R2 R1 R1 R2 v v2 v1 2,9 км / с 0,5TЗМ . По третьему закону Кеплера Время перелета TЗМ TЗ 2a ЗМ 2a З 3/ 2 3/ 2 R1 R2 2 R1 3/ 2 3/ 2 , τ 260 суток
