Загрузил absolutemscross

Komplexnye chisla

реклама
Комплексные числа.
Определение:
Комплексным числом z называется упорядоченная пара (x, y)
действительных чисел, первое из которых x называется
действительной частью, а второе y – мнимой частью этого
комплексного числа.
При этом число (1,0) =1, (0,1) = i (мнимая единица);
x (1,0) =(x,0) =x, y (0,1) = (0, y) =i y; (x,0) + (0, y) = (x, y) = x +i y.
Алгебраическая форма комплексного числа
Выражение вида
(1), где
х, у
, называется алгебраической формой комплексного числа.
х - действительная часть и обозначается
,а у – мнимая
часть и обозначается
.
Если
, то
– чисто мнимое число.
Если
, то
.
Определение:
Два комплексных числа
и
называются взаимно
сопряжёнными. Они отличаются друг от друга только знаками
мнимой части.
Определение:
Два комплексных числа
и
называются
равными, если соответственно равны их мнимые и действительные
части.
Замечание: 1. Для комплексных чисел не существует
отношений больше или меньше.
2. Комплексное число равно 0 тогда и только
тогда, когда действительная и мнимая части равны 0.
Действия с комплексными числами в алгебраической форме
Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел производится
по тем же правилам, что и действия с многочленами, учитывая при
этом, что
.
Пусть
, тогда
,
.
Пример:
,
;
,
Для того, чтобы разделить два комплексных числа в алгебраической
форме, необходимо числитель и знаменатель умножить на число,
сопряжённое знаменателю.
Комплексные числа в алгебраической форме можно возводить в
любую степень и извлекать корни любой степени.
Определение:
n-ной степенью комплексного числа Z называется произведение n
сомножителей, каждое из которых равно Z.
Из определения следует, что при возведении в степень комплексных
чисел можно использовать изученные в средней школе формулы
сокращённого умножения.
Пример: выполнить действия:
Тригонометрическая форма комплексного числа.
Пусть дано комплексное число z=(x,y) или
Z
. Геометрически каждое
М(х;у)
уМ
комплексное число изображается точкой
M(x,y) координатной плоскости OXY.
Проведём радиус-вектор
.
Таким образом, любое комплексное число
геометрически также представляет собой
, координаты
х радиус-вектор точки
которой соответственно – действительная и
0
хМ
мнимая части.
Точки, лежащие на Оу изображают чисто мнимые комплексные числа. Ось
Оу называется мнимой осью
у
Определение:
Модулем комплексного числа Z называется длина радиус-вектора
задающего это комплексное число. Обозначается
,
.
Определение:
Аргументом комплексного числа Z называется угол, образованный
радиус-вектором с положительным направлением оси Ох. Обозначается
.
Аргумент Z считается положительным, если отсчёт ведётся против
часовой стрелки, и отрицательным, если отсчёт ведётся по часовой
стрелке.
При решении задач условимся считать
в промежутке
Причём для вычисления аргумента удобно пользоваться
формулами:
Тригонометрическая форма комплексного числа.
Из геометрического изображения комплексного числа следует, что
Подставим эти значения в алгебраическую форму комплексного числа:
Таким образом, любое комплексное число полностью определяется своими
модулем r и аргументом :
Пример: Дано комплексное число
аргумент.
у
Z
х
2
0
. Найти модуль и
Ответ:
;
;
.
Из арифметических действий, производимых над тригонометрической
формой комплексного числа, наиболее интересными являются действия
умножения, деления, возведения в степень и извлечение корня.
Пусть даны
и
. Тогда
Правило:
Чтобы умножить два комплексных числа в тригонометрической форме,
необходимо перемножить их модули, а аргументы сложить.
Возведение в степень.
Из определения n-ной степени комплексного числа и правила произведения
следует, что для того, чтобы возвести комплексное число в
тригонометрической форме в n- ую степень, необходимо в эту степень
возвести модуль, а аргумент увеличить в n раз.
Деление.
Пусть даны
и
. Тогда
Извлечение корня.
Рассмотрим формулу, позволяющую извлекать корни различной степени из
комплексного числа.
Определение:
Корнем n-ной степени из комплексного числа Z называется такое
комплексное число, n-ная степень которого равна подкоренному
выражению.
Найдём это число Z1. Пусть
,а
. Из определения n-ной степени из комплексного
числа Z следует, что
, отсюда
Из периодичности функций sin и cos следует, что аргументы равных
комплексных чисел отличаются на число, кратное .
где
Таким образом, имеет место равенство
Скачать