Комплексные числа Докладчик: студент гр.2г21, Михайлова Ксения Томск 2013 Комплексные числа — расширение поля вещественных чисел, обычно обозначается «С». Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма X+iY, где X и Y — вещественные числа, i — мнимая единица. Комплексное число Z можно определить как упорядоченную пару вещественных чисел (x,y). Введём операции сложения и умножения таких пар следующим образом: Комплексные числа можно также определить как семейство вещественных матриц вида с обычным матричным сложением и умножением. Действительной единице будет соответствовать мнимой единице — Ошибочно определение числа как единственного числа, удовлетворяющего уравнению , т.к число также удовлетворяет этому уравнению. Следует также заметить, что выражение , ранее часто использовавшееся вместо , не вполне корректно, т.к алгебраический корень определяется над множеством неотрицательных чисел. Вплоть до конца XIX века запись вроде считалась допустимой, но в настоящее время, во избежание ошибок, принято записывать это выражение как Пример возможной ошибки при неосторожном использовании устаревшей записи: В то время как правильная запись приводит к иному ответу: Сравнение: a+bi = c+di означает, что a=c и b=d (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части). Сложение: (a+bi)+(c+di)=(a+c)=(b+d)i. Вычитание: (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. Умножение: Деление: Запись комплексного числа z в виде x+iy, где xи - алгебраическая форма комплексного числа. Если вещественную X и мнимую Y части комплексного числа выразить через модуль r=|z| и аргумент ( , ), то всякое комплексное число Z, кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме Также может быть полезна показательная форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической через формулу Эйлера: где — расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени. Отсюда вытекают следующие широко используемые равенства: Впервые, по-видимому, мнимые величины появились в известном труде «Великое искусство, или об алгебраических правилах» Кардано, который счёл их непригодными к употреблению. Пользу мнимых величин, в частности, при решении кубического уравнения, в так называемом неприводимом случае (когда вещественные корни многочлена выражаются через кубические корни из мнимых величин), впервые оценил Бомбелли . Он же дал некоторые простейшие правила действий с комплексными числами.