Презинтация на тему комплексное число в ЭиЭ

Выполнил студент 424 группы
Удмуртского Государственного Аграрного Университета
Гетманов М.В.
Применение комплексных чисел к расчету
электрических цепей
переменного тока
1
Из курса математики известно, что любое комплексное число А можно представить :
1.
2.
3.
4.
A  A' jA' '
в алгебраической форме:
в тригонометрической форме: A  А cos   A sin 
A  Ae j
в показательной форме:
вектором на комп. плоскости.
j  1
j 2  1
-мнимая единица
A'  Re( A)  A cos 
A' '  Im( A)  A sin 
- реальная часть комплексного числа А
- мнимая часть комплексного числа А
+j (Im)
A  ( A' ) 2  ( A' ' ) 2 -модуль к. числа
A  Ae j
A’’
j
e  cos   j sin  -формула Эйлера
  arg(A)
-аргумент комп. числа

0
+1 (Re)
A’
2
A ''
  arctg ' ,  0; если A'  0
A
A ''
  arctg ' ,  0; если A'  0
A
e j -оператор поворота
Умножение любого числа на ej поворачивает вектор на угол 
Умножение любого числа на ej/2 поворачивает вектор на угол 90° против(по)
часовой стрелки
+j
A  Ae j
A1  Ae
j
e
j
2

+1
0
A2  Ae j  e
j

2
3
Два числа имеющие одинаковые модули и разнознаковые
аргументы называются сопряженными числами.
Комплексное число:
Сопряженное число:
Умножение:
 )  A' jA' '  Ae j
A(A
*
A  A' jA' '  Ae  j
*
 A  A2
A
При сложении (вычитании) комплексных чисел удобно воспользоваться
алгебраической формой записи:
jarctg 1418
2
2  j 52
 j 52


A1  14  18 j  A1 e
 14  18 e
 22,8e
jarctg 37
2
2 j 58
j 58
23


A 2  23  37 j  A 2 e
 23  37 e
 43,57e
j 27 


A1  A 2  14  23  j (18  37)  37  j19  41,2e
При умножении и делении удобнее пользоваться показательной
формой записи
B  140e j 78
1
  17,5e j 36
B
1
j 78
B
140 j ( 7836)
j ( 42 ) 
B  1  140e

e
 8e
 8 cos 42  j8 sin 42  5,95  j 5,35

3

B
17,5e j 36 17,5
2
В векторной форме:
+j
A2  43,57e j 58
37
A1  A2  41,2e j 27
19
14
+1
23
0
-18

37
A1  22,8e  j 52

5

Ток и напряжение в комплексной форме:
Рассмотрим синусоидальный ток
i (t )  I m sin( t   i )
Комплексное число
I m e j (t  i )  I m e j i  e jt  Im  e jt
Обведенные выражения соответствуют
максимальному току Im и начальной фазе i
которая вращается с угловой скоростью .
Если воспользуемся формулой Эйлера
I m e j (t  i )  I m cos(t   i )  jI m sin(t   i )
И сравним полученное выражение с мгновенным током i(t)
i (t )  mI m e j (t  i )  mIm e j (t )
+j

I m e j (t  i )
  t   i
+1
Синусоидальный ток равен проекции на мнимую ось (+j) вращающегося вектора
на комплексной плоскости
6
Образы тока, напряжения и ЭДС
Мгновенное значение
i (t )  I m sin( t   i )
u (t )  U m sin(t   u )
Комплексное число
I
I  m e j  I cos i  jI sin i
2
U m j u

U
e
 U cos u  jU sin u
2
E m j e

E
e  E cos e  jE sin e
2
e(t )  Em sin(t   e )
Действующие значения
I
Im
2
U
Um
2
E
Em
2
7
Закон Ома для активного сопротивления, индуктивности и емкости в комплексной форме
i  2 I sin(t   i )
I  Ie j (t  i )
U r  Ie j (t  i )  r
u  U sin(t   u )  I m sin(t   i )  r
Закон Ома для r в комплексной форме
dI sin(t   i )
uL  L m
dt
j (t  i )

d
I
dIe
U  L  L
 jLIe j (t  i )  Ie j (t  i )  jx L
dt
dt
Закон Ома для L в комплексной форме
1
uC 
I m sin(t   i )dt
C

U r  I  r
U L  I  jx L
1
1
U 
Ie j (t  i ) dt 
Ie j (t  i )  Ie j (t  i )  ( jxC )
C
j C

Закон Ома для C в комплексной форме
U L   I  jxC
8
Законы Кирхгофа в комплексной форме
Первый Закон Кирхгофа в комплексной форме
Сумма комплексных токов в узле равно нулю
n

I3
I1
Ik  0
k 1
I1  I2  I3  0
I2
I1  3,4  j 5,7
I2  7,0  j 2,2
I3  I1  I2  3,4  j 5,7  7,0  j 2,2  3,6  j 7,9
Второй Закон Кирхгофа в комплексной форме
Сумма комплексных ЭДС в замкнутом контуре равна сумме комплексных падений
напряжения в этом контуре.
p
n
 E  U
k
k 1
m
m 1
9
Расчёт электрических цепей комплексными числами
i  2 I sin(t   i )
Составим второй закон Кирхгофа для мгновенных значений напряжений:
di 1
u  u r  u L  uC  ri  L 
idt
dt C

Составим второй закон Кирхгофа для образов мгновенных значений напряжений:
U  U r  U C  U L  Ir  I  jx L  I( jxC ) 
 I(r  jx  jx )  I(r  j ( x  x ))  I  Z
L
C
L
C
Закон Ома в комплексной форме для действующих значений

U
I 
Z
Z –комплексное сопротивление
Z  r  j ( xL  xC )  r  jx
10
Последовательное соединение активного сопротивления, реальной
катушки индуктивности и реального конденсатора
Комплексные сопротивления
элементов:
Z1=r
Z2=rC - jxC
Z3=rk+jxL
Zэкв= Z1+ Z2 + Z3 = r+ rC - jxC + rL + jxL
Zэкв= (r + rL + rC )+j(xL - xC )
rэкв
xэкв
rэкв
xэкв
Комплексное эквивалентное сопротивление:
Zэкв =rэкв +jxэкв
Zэкв
Последовательное соединение активного сопротивления, реальной
катушки индуктивности и реального конденсатора (пример)
i  7,07 sin(314t  30 )
R  27 Ом;
rC  3 Ом;
rL  10 Ом;
xC  67 Ом;
xL  37 Ом;
Найти u(t)
Комплекс действующего тока
I 
Im
2

Комплекс напряжение найдем по закону Ома

e j 30  5e j 30 А
Экв. комплексное сопротивление
Z  ( R  rC  rL )  j ( xL  xC ) 
 (27  3  10)  j (37  67)  40  j 30 Ом
Мгновенное значение u(t)

U  I  Z  5e j 30  (40  j 30) 
 5e
j 30
 50e
 j 37 
 250e
 j 7
Амплитуда Um
U m  U 2  250 2  353,55 B
u  353,55 sin(314t  7  )