Загрузил arturokoneshnikov

2021 Семинар 2

реклама
Тема:Точечные группы
симметрии. Взаимодействие
элементов симметрии.
Фигура симметрична, если существуют преобразования,
переводящие ее в саму себя. Они называются
операциями симметрии.
У операций симметрии есть геометрический «символ»:
ось, плоскость или центр инверсии
Действие операций симметрии:
геометрические представления
поворот
+
+
+
+
+
–
инверсия
отражение
• Симметрию конечных фигур (молекул,
полиэдров) описывают точечные группы.
• Точечные группы могут описывать также
симметрию окружения точки или
повторяющегося фрагмента в бесконечных
фигурах
• Точечные группы содержат только
закрытые элементы симметрии.
• В результате действия закрытых элементов
симметрии хотя бы одна точка фигуры
остается неподвижной.
Для описания симметрии конечного объекта
существует только два вида закрытых
преобразований симметрии:
1. Собственные вращения: повороты
фигуры как единого целого.
Соответствующий элемент симметрии –
поворотная ось N
2. Несобственные вращения: перестановка
одинаковых частей фигуры (отражение,
инверсия и их комбинация с поворотами).
Им соответствуют элементы симметрии:
Зеркально-поворотная ось Sn или
Инверсионная ось -N
Точечные группы
символика
Шёнфлиса
• Поворотные
оси Сn
• Зеркальноповоротные
оси Sn
символика
Германа-Могена
• Поворотные
оси N
• Инверсионные
оси N
РАЗНЫЕ геометрические образы
для несобственного вращения
Поворотная ось порядка n - прямая, при повороте вокруг
которой на угол 360о/n, фигура самосовмещается.
При вращении вокруг оси на угол 360о фигура n раз
совместится сама с собой.
Обозначения Cnk или Nk указывают, что относительно
исходного положения фигура повернулась на угол
k·360о/n, где k = 1, 2, …, (n-1) (кратность поворота)
по Шёнфлису (n=N) Cn:
по Герману-Могену N :
C1=e C2 C3 C4 C5 C6 ...
1
2
3
4
5
6 ...
Графический символ:
Вертикальная ориентация
Горизонтальная ориентация
C∞
∞
Инверсионная ось N - прямая, несущая
особую точку, при повороте вокруг которой
на угол 360о/n и последующей инверсии в
особой точке, фигура самосовмещается.
Операция инверсии: инверсионная
ось первого порядка 1
+
(x, y, z) → (x,y,z)
–
Графический образ – центр инверсии
Графические обозначения
для несобственного вращения
m
по Герману-МогенуN:1 2 3 4 5 6 7 8 ...∞
m
вертикальная
ориентация
горизонтальная
ориентация
Зеркально-поворотная ось Sn - прямая, при повороте
вокруг которой на угол 360о/n и последующем отражении в
перпендикулярной плоскости, фигура самосовмещается.
Обозначение Snk указывает, что операция поворота и
последующего отражения была выполнена k раз
относительно исходного положения фигуры. k = 1, 2, …, (n-1)
Несобственное вращение тетраэдра:
поворот с отражением на 90о
+
S4
−
−
N
+
катион тетраэтиламмония
N(C2H5)4+
Графические обозначения
для несобственного вращения
m
по Герману-МогенуN:1 2 3 4 5 6 7 8 ...∞
m
вертикальная
горизонтальная
ориентация
ориентация
по Шёнфлису Sn, но
S2=i
S6
S1=σ
S4
S10
S8...
S14 ... S
∞
S3
...
НЕСОБСТВЕННОЕ ВРАЩЕНИЕ
Поворот с инверсией (N) и зеркальный поворот (Sn)
N = 4k
n=N
нет ни m,
ни1
Тетраэдр
S4
+
−
−
+
вершины
антипризмы
с поворотной
осью
четного
порядка
4
+
−
−
+
Тетрагональная антипризма
8 S8
НЕСОБСТВЕННОЕ ВРАЩЕНИЕ
Поворот с инверсией (N) и зеркальный поворот (Sn)
N = 4k +2
±
S3
N = n /2
есть плоскость m
6=3/m
±
±
вершины
призмы,
в основании
которой
правильный
n-угольник,
n – нечетное
НЕСОБСТВЕННОЕ ВРАЩЕНИЕ
Поворот с инверсией (N) и зеркальный поворот (Sn)
N=2k+1
n = 2N
есть1
(центр инверсии)
S6
+
−
−3:
+
+
3 и1
−
вершины
антипризмы
с поворотной
осью
нечетного
порядка
Связь поворота с инверсией (N) и зеркальный поворота (Sn):
N=2k+1
N ᴝ N,1
+
N=4k
N ᴝ N/2
m┴ 1
N=4k+2
N ᴝ N/2, m┴
±
−
−
+
+
+
−
−
±
±
+
−
3: 3 и1
S6 n=2N
вершины
антипризмы
6=3/m
S3 n=N/2
вершины
призмы
4
S4
n=N
вершины
антипризмы
Тетрагональная пирамида:
Операции симметрии: отражения и
повороты на 90°, 180° и 270°
(вид сверху)
Элементы симметрии:
4 плоскости и
поворотная ось 4-го порядка
Совокупность всех операций симметрии
фигуры называется ее группой симметрии.
Графическое изображение всех элементов
фигуры называется графиком группы.
Молекула Н2О2
группа C2 (2)
Молекула Н2О
z
y
x
Молекула Н2P−PH2
вид «сверху»
К одной и той же точечной группе относятся многие фигуры
(в частности, разные молекулы).
группа C2v (mm2)
Н2P−PH2
Н2О
СН2Cl2
Взаимосвязь элементов симметрии:
геометрический аспект
Две взаимно-перпендикулярные
плоскости
Взаимосвязь элементов симметрии:
геометрический аспект
Взаимно-перпендикулярные ось 2-го
порядка и плоскость
+
–
–
Возникающий элемент симметрии можно
найти построением (размножением точек)
+
–
+
–
+
–
–
+
+
+
+
+
Найти все элементы
симметрии группы и
изобразить их графически
помогают правила
взаимодействия элементов
симметрии
Взаимодействие 2-х осей симметрии 2-го порядка,
поворотных или инверсионных (= плоскость
зеркального отражения), приводит к
возникновению третьей оси симметрии,
проходящей через точку их пересечения.
Если исходные оси одинаковые (обе поворотные
или обе инверсионные), то результирующей
будет поворотная ось.
Если исходные оси разного типа (одна поворотная
и одна инверсионная), то результирующая будет
инверсионная ось.
1. Пересечение плоскостей
360º / n = 2α
α – угол между пересекающимися плоскостями
n – порядок поворотной оси
α
α = 60º
360º / n = 2 α
360º / n = 120º
n=3
Следствие: если через поворотную ось
порядка n проходит хоть одна плоскость, то
таких плоскостей будет n
2. Пересечение двух
поворотных осей 2-го порядка
360º / n = 2α
α
α = 30º
360º / n = 2 α
360º / n = 60º
n=6
Следствие: если перпендикулярно
поворотной оси порядка n проходит
хоть одна ось второго порядка, то
таких осей будет n
3. Пересечение поворотной оси
2-го порядка и плоскости
Sn 360º / n = 2α
N N = 360º / (180º - 2 α )
α
Sn 360º / n = 60º; n = 6
α = 30º
N = 360º / (180º - 60º)
N = 3
Sn 360º / n = 2α
α
α = 45º
Sn 360º / n = 90º ; n = 4
N
N = 360º / (180º - 2 α ) = 4
Взаимодействие элементов
симметрии: геометрический аспект
А
Д
Б
Е
В
Ж
Г
З
Система Германа – Могена
для обозначения точечной
симметрии
Символы групп – из символов операций,
«привязанных» к системе координат
Низшая категория
Средняя категория
N, N, N/m
42m
4mm
3m
Скачать