#Расчёт балок в системе Maple с использованием обобщённых функций

Расчёт балок в системе Maple с использованием
обобщённых функций
Мы не будем обсуждать методы расчета балок, основанные на построении эпюр
изгибающих моментов, определении площадей и моментов площадей этих эпюр, так как эти,
несомненно, полезные методы изучаются в курсах элементарного сопротивления материалов.
Кроме того, методы сопротивления материалов не пригодны для исследования более сложных
конструкций, например, двумерных конструкций типа пластин и оболочек. Вместо этого мы
будем использовать математические решения дифференциальных уравнений.
Рассмотрим прямую балку, нагруженную симметрично относительно вертикальной
плоскости симметрии zx (рис. 1), так что перемещения будут иметь место главным образом в этой
плоскости. Нагрузка q(x), действующая на балку, направлена вниз и равномерно распределена по
ширине. В центре тяжести торцов может быть приложена также и сила Fx. При таком нагружении
балка приобретает малое поперечное перемещение w(x) в направлении оси z.
q(x)
q(x)
x
Fx
y
h
dz
z (w)
z (w)
Рис. 1.
Основное дифференциальное уравнение изгиба балки может быть записано в виде
d2 
d 2w 
d 2w
.
EJ

q

F
 y 2 
x
dx 2 
dx 
dx 2
(1)
В случае действия только поперечной нагрузки (Fx = 0) уравнение (7) принимает вид
d2 
d 2w 
 EJ y 2   q  x  .
dx 2 
dx 
(2)
Уравнение (1) (или (2)) представляет собой условие равновесия приходящихся на единицу длины
балки сил, стремящихся вызвать и стремящихся не допустить возникновения прогибов в слабом
(поперечном) направлении. Это уравнение является главным соотношением для классической
теории балок.
Страница 1 из 8
Интегрирование уравнения изгиба балки
Интегрированию уравнения (2) посвящена большая литература, хотя с математической
точки зрения вопрос представляется элементарным. Вся трудность состоит в том, что правая часть
обычно не является аналитической функцией от координаты x, выражение ее меняется от участка
к участку. Поэтому при обычном способе интегрирования приходится на каждом участке вводить
свои константы интегрирования и определять их из условий сопряжения.
Метод интегрирования уравнения (2), который мы здесь рассмотрим, применялся еще
О.Л. Коши; для изгиба балок он был детально разработан А.Н. Крыловым.
Отметим, что в курсах сопротивления материалов обычно изучается дифференциальное
уравнение изгиба балки второго порядка
 EJ y
d 2w
 Mx .
dx 2
(3)
Однако, как отмечал академик А.Н. Крылов, еще Пуассон показал преимущество уравнения (2)
перед уравнением (3). Метод Пуассона не получил до сих пор в технике большого
распространения, видимо потому, что сам Пуассон рекомендовал разлагать предварительно
функцию q(x) в тригонометрический ряд, затем производить четырехкратное повторное
интегрирование и в заключение по граничным условиям определять константы интегрирования.
Главное достоинство метода Пуассона состоит в том, что при разрывной нагрузке нет
необходимости подразделять балку на отдельные участки и составлять условия сопряжения для
граничных точек отдельных участков. Однако разложение в ряды и затем суммирование этих
рядов в подавляющем большинстве случаев вносит напрасное затруднение, от которого легко
избавиться, написав общий интеграл уравнения (2) в виде
EJ y w  x   A  Bx  C
 x    d
x2
x3
 D   q  
.
2
6 0
6
x
3
(4)
Общее решение уравнения (2) в форме (4) было дано еще Л. Эйлером в 1778 году. Это
решение легко может быть получено методом Лагранжа вариации произвольных постоянных.
Заметим по поводу формулы (4), что функции 1, x, x2/2, x3/6 суть фундаментальные решения
однородного уравнения, соответствующего уравнению (2), обладающие так называемой
единичной матрицей в точке x = 0. А именно, если обозначить функции L(x) = 1, M(x) = x, N(x) =
x2/2, K(x) = x3/6, то
Страница 2 из 8

 L  x


M  x


 N  x


 K  x

dL  x 
d 2L  x
dx
dM  x 
dx 2
d 2M  x 
dx
dN  x 
dx 2
d 2N  x
dx
dK  x 
dx 2
d 2K  x
dx
dx 2
d 3L  x  

dx 3 
1
d 3M  x  
0

dx 3 


3
0
d N  x 


dx 3 
0
3
d K  x 

dx 3  x 0
0 0 0
1 0 0 
.
0 1 0

0 0 1
Представление общего интеграла основного уравнения изгиба балок в виде (4) вносит
значительное упрощение в расчеты, придает единообразную форму этим расчетам, применимую
во всех случаях, причем нет необходимости прибегать ни к теореме трех моментов, ни к началу
наименьшей работы, когда имеет место многократная статическая неопределимость. Общий
интеграл уравнения (2) состоит из общего интеграла соответствующего однородного уравнения
A  Bx  C
x2
x3
D
2
6
и какого-нибудь частного решения неоднородного уравнения, которое мы запишем в виде
 x    d ,
  x    q  
6
3
x
(5)
0
так что будем иметь
EJ y w  x   A  Bx  C
x2
x3
 D    x .
2
6
Отметим, что независимо от вида функции q(x) имеют место равенства: (0) = (0) =
(0) = (0) = 0. Следовательно, каковы бы ни были условия закрепления балки на границе x =
0, функция (х) в эти условия входить не будет. Это свойство позволяет составлять интеграл
уравнения (2), удовлетворяющий условиям закрепления конца x = 0 балки, причем в этом
интеграле всегда будут содержаться только две произвольные постоянные. А именно,
когда конец x = 0 подперт:
EJ y w  x   Bx  D
x3
   x ;
6
когда конец x = 0 заделан:
x2
x3
EJ y w  x   C  D    x  ;
2
6
когда конец x = 0 свободен:
EJ y w  x   A  Bx    x  .
Страница 3 из 8
Входящая в выражение (5) функция q(x) подчинена лишь одному требованию: она должна
быть интегрируема, т. е. чтобы интеграл (5) имел вполне определенное конечное значение;
таковым он будет для всех встречающихся на практике видов нагрузки.
Легко выписать функцию (x) для основных видов разрывных нагрузок, встречающихся
при расчете балок на изгиб; таких видов нагрузки всего три: сосредоточенная сила,
сосредоточенный изгибающий момент и распределенная нагрузка на части балки (не по всей
длине балки).
В случае сосредоточенной силы P, действующей в точке с координатой x0, интенсивность
нагрузки определяется по формуле q(x) = P(x–x0), и, следовательно,
x
  x    P    x0 
 x  
3
6
0
 x  x0 
d  P
3
6
  x  x0  ,
где (x–x0) — дельта-функция Дирака, (x–x0) — единичная функция Хэвисайда.
В случае сосредоточенного момента М, действующего в точке с координатой x0,
интенсивность нагрузки определяется по формуле q(x) = М(x–x0), и, следовательно,
x
  x    M     x0 
 x  
6
0
3
x
d    M     x0 
 x  
0
2
2
 x  x0 
d  M
2
2
  x  x0 
где (x–x0) — производная дельта-функции Дирака.
И, наконец, в случае, когда на балку действует распределенная нагрузка f(x), начало
которой в точке с координатой x1, а конец — в точке с координатой x2, интенсивность ее
определяется по формуле q(x) = f(x)((x–x1) – (x–x2)), и, следовательно,
x
  x    f         x1       x2  
 x  
6
0
3
d 
x
x  

 x    d ;
  f  
d    f  
6
6
3
x
x1
3
x2
в частности, если q(x) = q = const, то
x
  x    q      x1       x2  
 x  
6
0

q  x  x1 
24
4
  x  x1  
q  x  x2 
24
4
3
d 
  x  x2  .
Примечание. Точки x0, x1, x2 — внутренние точки отрезка [0, L], где L — длина балки, причем x1
< x2.
Страница 4 из 8
Изгиб балок ступенчато-переменного сечения
Обычно, при определении деформации ступенчатой балки (рис. 2), необходимо записать
дифференциальное уравнение изгиба для каждой из ступеней, изгибные жесткости поперечных
сечений которых соответственно равны EJ1 , EJ 2 , …:
d 4 w1 q  x  d 4 w 2 q  x  d 4 w 3 q  x 

,

,

,
dx 4
EJ1
dx 4
EJ 2
dx 4
EJ 3
(6)
.
Затем каждое из перечисленных уравнений необходимо проинтегрировать в своей области, в
пределах которой жесткость балки остается неизменной. В результате будем иметь K+1 (где K —
количество скачков жесткости) функций wi(x), каждая из которых описывает прогиб балки на
EJ1
EJ2
соответствующем участке с жесткостью EJi. Эти
EJ3
функции будут содержать 4K+4 произвольных
x
постоянных интегрирования, которые определяются
из граничных условий (по два условия на каждом
конце балки, например, при x = 0 и x = a) и условий
x=0
x = a1
x = a2
сопряжения на стыках участков в сечениях, где
x=a
жесткость балки меняется скачком (например, при x
Рис. 2.
= a1, x = a2). Таким образом, решение задачи
получается «склейкой» решений на отдельных участках.
Однако оказывается, что те же самые результаты достигаются при применении для расчёта
балок указанного типа метода, основанного на использовании некоторых весьма простых свойств
обобщённых функций — дельта функции Дирака (x), функции единичного скачка Хэвисайда
(x) и их производных. Этот метод легко обобщается и на более сложные задачи, связанные с
расчетом пластин и оболочек.
Запишем изгибную жесткость балки единым выражением
K
EJ  x   EJ1    EJ k 1  EJ k    x  ak  .
(7)
k 1
Дифференциальное уравнение изгиба балки переменной жесткости, очевидно, имеет вид
d2 
d2 w 
EJ
x



  q  x.
dx 2 
dx 2 
(8)
Подставим выражение (7) в уравнение (8) и выполним дифференцирование. Получим следующее
уравнение изгиба балок ступенчато переменной жесткости
d 4 w K  J k 1  J k   d 3 w

 3
dx 4 k 1
Jk
 dx
x  ak
d2 w
  x  ak  
dx 2
x  ak
 q  x
  x  ak   
.
 EJ  x 
(9)
Страница 5 из 8
При записи уравнения (9) воспользовались фильтрующим свойством первой производной дельта
функции
a  x    x     a      x     a      x   
и учли связь между единичной функцией и дельта функцией:   x     x  .
Построим общее решение уравнения (9) методом Стеклова-Фубини. Для этого перепишем
уравнение (9) в следующем виде
K
q  x
 J k 1  J k   d 3 w
d4 w


 J
3
dx 4
EJ  x  k 1
 dx
k
  x  ak  
x  ak
d2 w
dx 2
x  ak

  x  ak   .

(10)
Будем рассматривать правую часть уравнения (10) как известную функцию и построим решение
этого уравнения методом Лагранжа вариации произвольных постоянных. Не останавливаясь на
несложных преобразованиях, приведем окончательную формулу общего решения уравнения (10)
w  x   C1
K

k 1
x3
x2
 C2  C3 x  C4  w *q  x  
6
2
 J k 1  J k   d 3 w
3
 dx
Jk
k  x  
x  ak
d2 w
dx 2
x  ak

 k   x   ,

(11)
где wq*(x) –– частное решение уравнения
d 4 w *q
dx 4

q  x
EJ  x 
,
а функции k  x  и  k   x  определяются по формулам

*
k
 x
 x  ak 

6
3
 x  ak   x  a
  x  ak  ,    x  

k
2
2
*
k
и являются частными решениями уравнений
d 4 *k
d 4 *k 
   x  ak  ,
   x  a k  .
dx 4
dx 4
Частное решение wq*(x) удобно вычислять по формуле
x
w *q ( x)  
0
q (t )  x  t 
dt .
EJ (t ) 6
3
Общее решение уравнения (10) содержит 2K+4 неизвестных константы: Ci , w   ak  ,
w  ak  , i = 1, 2, 3, 4; k = 1, 2, …, K. Эти константы определяются из граничных условий при x =
0 и x = a и условий на скачках при x = ak. Отметим, что общее решение однородного уравнения,
соответствующего уравнению (10) и входящее в решение (11), обладает так называемой
Страница 6 из 8
единичной матрицей при x = 0. Это означает, что две из четырех констант Ci всегда будут равны
нулю (конечно, если рассматриваются классические условия — жесткое защемление, шарнир или
свободный край). Таким образом, всего неизвестных, подлежащих определению, будет 2K+2.
Выпишем явно систему уравнений для определения указанных констант. Пусть, для
определенности, конец балки x = 0 будет жестко защемлен, а другой конец x = a имеет
шарнирную опору, как показано на рис. 2. В этом случае C3 = 0, C4 = 0; для определения
остальных констант будем иметь (j = 1, 2, …, K)
w   a j  
K

Jj
J j 1
 J k 1  J k   w

Jk
k 1
w
3
C x  C  w   x  
1
j
*
q
2
j

 ak  k 2  x j   w  ak  k3  x j   ;

(12)
 a   J C  w    x  
Jj
j
1
*3
q
j
j 1
K

 J k 1  J k   w

Jk
k 1

 ak  k3  x j   w  ak  k 4  x j   ;

(13)
a3
a2
0  C1  C2

6
2
K

k 1
 J k 1  J k   w 

Jk
 ak  k  a   w   ak   k   a   ;
(14)
0  C1a  C2  w *q  a  
K

k 1
 J k 1  J k   w 
Jk

 ak  k 2  a   w   ak  k3  a   .
(15)
Таким образом, решение задачи изгиба балки ступенчато переменной жесткости
полностью определяется формулой (11), в которой константы — суть решения системы
уравнений (12) – (15). Формула (11) дает решение задачи сразу во всей области.
Рассмотрим пример расчета балки ступенчато-переменного сечения методом, изложенным
выше. Пусть балка состоит из трех участков (рис. 2) и имеет следующие характеристики: общая
длина балки a = 6 м; длина каждой ступени a/3 = 2 м. Таким образом, a1 = 2 м, a2 = 4 м; моменты
инерции участков — J1 = 6550 см4, J2 = 12430 см4,
J3 = 6550 см4. Модуль упругости материала
E = 2105 МПа. Нагрузка — равномерное давление q0=5 кН/м.
С целью сравнения результатов рассмотрим решение задачи двумя методами — методом
«склейки» решений, полученных на отдельных участках с постоянной жесткостью, и
предлагаемым методом.
Ниже, на графиках, приведены результаты этих решений.
Страница 7 из 8
Как и следовало ожидать, решения полностью совпадают.
Страница 8 из 8