Министерство образования и науки
Российской Федерации
Московский государственный университет
геодезии и картографии
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Москва
2014
Министерство образования и науки Российской Федерации
Московский государственный университет
геодезии и картографии
Г.П. Емгушева
Интегральное исчисление функций
одной переменной
Рекомендовано
учебно-методическим объединением вузов
Российской Федерации по образованию
в области геодезии и фотограмметрии
в качестве учебно-методического пособия
для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по направлениям подготовки
21.03.03 – Геодезия и дистанционное зондирование
с присвоением квалификации бакалавр,
21.05.01 – Прикладная геодезия
с присвоением квалификации инженер-геодезист
Москва
2014
УДК 517.3
Рецензенты:
кандидат техн. наук, доцент О.А. Баюк;
доктор техн. наук, доцент И.П. Торшина
Составитель: кандидат физико-математических наук, доцент Г.П. Емгушева
Интегральное исчисление функций одной переменной: учебно-методическое пособие по курсу «Математика». — M.: МИИГАиК, 2014–44 с.
Пособие содержит необходимые сведения: теоретический и практический материал по теории
неопределенного и определенного интеграла. В двух первых пунктах §1. «Неопределенный интеграл» вводится определение и свойства неопределенного интеграла, указаны основные методы его
вычисления, приводятся подробные решения различных типов интегралов. В третьем пункте даны
контрольные теоретические вопросы и индивидуальные задания в двадцати пяти вариантах для
самостоятельной работы. §2 посвящен изложению основных понятий определенного интеграла,
его геометрического и физического смысла. Рассматриваются основные формулы интегрирования
определенного интеграла, интегрирование нечетных и четных функций в симметрических промежутках, несобственные интегралы. Приводятся геометрические приложения определенного интеграла.
Теоретические сведения сопровождаются решениями типичных примеров. В последнем пункте
§2 приводятся контрольные теоретические вопросы по данной теме и индивидуальные задания в
двадцати пяти вариантах. В завершение указан список используемой литературы.
Контрольные вопросы и индивидуальные задания, отмеченные звездочкой, рекомендуются
для углубленного изучения материала.
Для студентов первых курсов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям
подготовки «Геодезия и дистанционное зондирование» с присвоением квалификации (степени)
бакалавр, «Прикладная геодезия» с присвоением квалификации (степени) инженер-геодезист, а
также полезно для самообразования
Электронная версия учебно-методического пособия размещена на сайте библиотеки
МИИГАиК http://library.miigaik.ru
§1. Неопределенный интеграл
Пункт 1. Определение и свойства неопределенного интеграла.
Таблица основных интегралов. В дифференциальном исчислении рассматривалась задача: по данной функции y = f(x) найти производную
y = f ′(x). В интегральном исчислении рассматривается обратная задача:
по данной производной F′(x)= f(x) найти функцию y= F(x), которую называют первообразной.
Определение 1.1. Функция F(x) называется первообразной функции f(x)
на интервале (a, b), если для любого x ∈ (a, b) выполняется равенство
F′(x)= f(x).
(1.1)
Определение 1.2. Совокупность всех первообразных {Ф(x)} функции
f(x) удовлетворяющих условию (1.1), т.е. Ф′(x)= f(x), называется неопределенным интегралом функции f(x) и обозначается ∫ f(x)dx.
Утверждение. Пусть F(x) первообразная функции f(x) для всех
x ∈ (a, b). Тогда справедливо равенство ∫ f(x)dx=F(x)+C, где C — произвольная константа.
Свойства неопределенного интеграла
1. Дифференциал интеграла. d(∫ f(x)dx)=f(x)dx.
2. Интеграл от дифференциала. ∫ dF(x)dx=F(x)+C.
3. Линейность. ∫ (αf(x)+βg(x))dx=α∫ f(x)dx+β∫ g(x)dx, α≠0, β≠0.
4. Инвариантность формулы интегрирования. Пусть F(x) первообразная функции f(x), u= φ(x) произвольная функция, для которой производная φ′(x) непрерывна для всех x ∈ (a, b), тогда ∫ f(u)du=F(u)+C.
Таблица основных интегралов
u α+1
du
+ C , α ≠ −1
2. ∫
= ln u + C , u ≠ 0
du
α +1
u = ln u + C , u ≠ 0
2.
∫u
au
3. ∫ a u du =
+ C , a > 0, a ≠ 1 ⇒ ∫ eu du = eu + C
ln a
− cos u + C
5. ∫ sin u ⋅ du =
− cos u + C
5. ∫ sin u ⋅ du =
4. ∫ cos u ⋅ du= sin u + C
7. ∫ chu ⋅ du = shu + C
7. ∫ chu ⋅ du = shu + C
6. ∫ chu ⋅ du = shu + C
du
−ctgu + C
9. ∫ 2 =
du u
du
sin
−ctgu + C
9. ∫ 2 =
8. ∫
= tgu + C
sin u
cos 2 u
1. ∫ u α=
du
3
10.
du
∫ ch =
u
2
12.
∫
14.
∫
thu + C
u
arcsin + C
du
a
=
2
2
a −u
− arccos u + C
a
du
= ln u + u 2 + a + C
2
u +a
11.
du
∫ sh=
u
2
cthu + C
u
1
arctg + C
du
a
a
13. ∫ 2
=
u
a + u2 1
− arcctg + C
a
a
du
1
a+u
15.=
∫ a 2 − u 2 2a ln a − u + C
Пункт 2. Методы интегрирования. Перечислим основные методы
интегрирования.
1. Табличное (непосредственное) интегрирование.
2. Замена переменной (подстановка).
3. Интегрирование по частям.
4. Интегрирование рациональных функций:
A
;
1. интегрирование простейших рациональных дробей: a)
x−a
Bx + C
Bx + C
A
; г) 2
, k ≥ 2, k ∈ N ;
, k ≥ 2, k ∈ N ; в) 2
б)
k
x + px + q ( x + px + q ) k
( x − a)
2) интегрирование рациональных дробей.
5. Интегрирование тригонометрических функций: а) универсальная
тригонометрическая подстановка; б) интегралы вида ∫ sin m x cos n xdx;
в) применение тригонометрических преобразований.
6. Интегрирование иррациональных функций: а) квадратичные иррациональности; б) дробно-линейная подстановка; в) тригонометрическая
подстановка; г) интегралы вида ∫ R ( x; ax 2 + bx + c )dx ; д) интегрирование
дифференциального бинома.
Перейдем теперь к более детальному изложению основных методов
интегрирования.
1. Табличное (непосредственное) интегрирование рассмотрим на
следующих примерах.
Пример 1.1. Вычислить интеграл ∫ (4 x + 15)9 dx.
Решение. Данный интеграл можно свести к табличному, выделив под
знаком дифференциала выражение, стоящее под скобкой, имеем
4x 1
9
9
9
∫ (4 x + 15) dx.= ∫ (4 x + 15) d ( 4 ) = 4 ∫ (4 x + 15) d (4 x + 15) =
1 (4 x + 15)10
(4 x + 15)10
= ⋅
+C =
+ C.
4
10
40
4
Пример 1.2. Вычислить интеграл
∫
dx
16 − 9 x 2
.
Решение. Выделим под знаком дифференциала переменную с коэффициентом, как в примере 1, и сведем интеграл к табличному,
3x
d( )
dx
d (3 x)
1
1
3x
3
=
= arcsin + C.
∫=
∫
∫
2
2
2
2
2
3
3
4
16 − 9 x
4 − (3 x)
4 − (3 x)
2. Замена переменной (подстановка).
Теорема 1.1. Интегрирование заменой переменной (подстановка).
Если 1) функция x= φ(t) монотонна, ее производная φ′(t) непрерывна на
некотором промежутке изменения переменной t;
2) функция f(x) непрерывна на интервале области значения функции
x= φ(t), то дифференциал переменной x примет вид dx= φ′(t)dt и справедлива формула замены переменной в интеграле
∫ f ( x)dx = ∫ f (ϕ(t ))ϕ′(t )dt.
Пример 1.3. Вычислить неопределенный интеграл
(1.2)
∫x
x − 7 dx .
Решение. При вычислении интеграла воспользуемся заменой переt
x − 7 , откуда x=7+t2, значит dx=2tdt. Следовательно, после
менной=
несложных преобразований, интеграл сведется к табличному
t3 t5
+ ) + C.
3 5
Возвращаясь к старой переменной, получим окончательно
2
2
4
2 (7
∫ x x − 7dx =∫ (7 + t )t 2tdt =2∫ (7t + t )dt =⋅
14
2
( x − 7)3 +
( x − 7)5 + C.
3
5
3. Интегрирование по частям.
∫x
x − 7 dx
=
Теорема 1.2. Интегрирование по частям. Пусть функции u=u(x),
v=v(x) дифференцируемы на множестве X, а их производные u′(x),
v′(x) непрерывны на X, тогда справедлива формула интегрирования по
частям
(1.3)
∫ udv = u ⋅ v − ∫ vdu.
Таким образом, формула интегрирования по частям (1.3) позволяет
свести вычисление интеграла ∫ udv =к uболее
интегралу
= u ⋅ v − ∫ vdu.
⋅ v − ∫простому
vdu.
∫ udv
5
Типы интегралов, для которых удобно применение формулы
интегрирования по частям
1. Пусть Pn(x) многочлен степени n, a ∈ R — некоторое число, тогда
в интегралах
ax
∫ Pn ( x)e dx, ∫ Pn ( x) cos axdx, ∫ Pn ( x)sin axdx
удобно принимать u=Pn(x), dv — остальное выражение.
2. В интегралах
∫ P ( x) arcsin xdx, ∫ P ( x) arccos xdx, ∫ P ( x) arctg xd
∫ P ( x) arcctg xdx, ∫ P ( x) ln xdx
n
n
n
n
n
удобно положить dv = Pn ( x)dx, за u — оставшуюся функцию.
3. Интегралы
ax
ax
число,
∫ e sin bxdx, ∫ e cos bxdx, ãäå b ∈ R некоторое
ax
нужно интегрировать дважды, положив u=e (однако, за u можно выбрать и тригонометрическую функцию).
Пример 1.4. Вычислить интеграл ∫ x 2 cos xdx.
Решение. Воспользуемся формулой (1.3) интегрирования по частям. Интеграл относится к первому типу, где многочлен P2 ( x) = x 2,
поэтому здесь удобно выбрать в качестве функции=
u u=
( x) x 2 , тогда дифференциал функции v=v(x) имеет вид dv = cos xdx . Откуда
=
du 2=
xdx, v ∫ cos
=
xdx sin x (здесь константа C опускается). Тогда
интеграл примет вид ∫ x 2 cos
=
xdx x 2 sin x − 2 ∫ x sin xdx .
Таким образом, данный интеграл свелся к вычислению более
простого интеграла dv = sin xdx , к которому применим снова формулу
интегрирования по частям. Примем в качестве функции u(x)=x, тогда
dv = sin xdx . Откуда du=dx, v = ∫ sin xdx = − cos x. Следовательно, получим
∫x
2
cos =
xdx x 2 sin x − 2 ∫ x sin =
xdx x 2 sin x − 2(− x cos x + ∫ cos xdx
=
)
= x 2 sin x + 2 x cos x − sin x + C.
.
4. Интегрирование дробно-рациональных функций. Рассмотрим
общее правило интегрирования дробно-рациональной функции или рациональной дроби.
1. Представить неправильную дробь в виде суммы многочлена и
правильной дроби.
2. Разложить знаменатель рациональной дроби на множители.
6
3. Представить рациональную дробь в виде суммы простейших
рациональных дробей и воспользоваться методом неопределенных
коэффициентов.
4. Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших
дробей.
Замечание 1. При использовании 3 пункта общего правила интегрирования рациональных дробей, применяют следующую теорему о
разложении правильной рациональной дроби на простейшие.
P ( x)
Теорема 1.3. Пусть n
, n < m — правильная рациональная
Qm ( x)
дробь, где Pn ( x), Qm ( x) — многочлены степени соответственно n-й, m-й.
s
Многочлен Qm ( x) =( x − x1 ) k1 ( x − x2 ) k2 ...( x 2 + p1 x + q1 ) s1 ...( x 2 + p j x + q j ) j
разложен на множители, здесь x1 , x2 ,... — корни многочлена Qm(x), соответственно, кратностей –k1, k2,... Тогда рациональная дробь единственным
образом представляется в виде суммы простейших дробей
Ak1
Pn ( x)
A1
A2
B1
B2
. + ...
=
+
+ ... +
+
+
k1
2
Qm ( x) x − x1 ( x − x1 )
x − x2 ( x − x2 ) 2
( x − x1 )
(1.4)
Csv x + Dsv
Bk2
Cs1 x + Ds1
C1 x + D1
,
+
+
+ ... + 2
+ ... + 2
( x − x2 ) k2 x 2 + p1 x + q1
( x + p1 x + q1 ) s1
( x + pv x + qv ) sv
где A1 , A2 , ..., Ak1 , ..., B1 , B2 , ..., Bk2 , ..., C1 , D1 , ..., Cs1 , Ds1 , ..., Csv . Dsv — неопределенные действительные коэффициенты.
Для нахождения неопределенных коэффициентов используют метод
сравнения — метод неопределенных коэффициентов:
1. Правую часть равенства (1.4) приводят к общему знаменателю Qm(x):
Pn ( x)
S ( x)
, где S(x) — многочлен с неопределенными коэффи=
Qm ( x) Qm ( x)
циентами.
2. Из равенства числителей полученной дроби Pn(x)=S(x) составим
систему линейных уравнений относительно неопределенных коэффициентов, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x.
Замечание 2. При интегрировании простейших рациональных дроBx + C
(см. пункт 2, 4), 1. с)) используется замена переменбей вида 2
x + px + q
ной после выделения полного квадрата в знаменателе дроби.
Поясним сказанное на примере.
7
Пример 1.5. Вычислить интеграл ∫
x 4 − 3x3 + 2 x 2 + x + 1
dx.
x3 − x 2 + x
x 4 − 3x3 + 2 x 2 + x + 1
.
x3 − x 2 + x
является неправильной дробью, то произведем деление числителя
x 4 − 3 x 3 + 2 x 2 + x + 1 на знаменатель x 3 − x 2 + x :
Решение. Так как подынтегральная функция
_ x 4 − 3x3 + 2 x 2 + x + 1
x3 − x 2 + x
x−2
x 4 − x3 + x
_ − 2 x3 + x 2 + x + 1
.
−2 x 3 + 2 x 2 − 2 x
− x 2 + 3x + 1
Тогда интеграл примет вид
x 4 − 3x3 + 2 x 2 + x + 1
x2
− x 2 + 3x + 1
(
2
)
dx
x
dx
=
−
+
=
− 2x +
∫
∫
2
x3 − x 2 + x
x3 − x 2 + x
(1.5)
( − x 2 + 3 x + 1)
dx.
+∫
x( x 2 − x + 1)
Рассмотрим подынтегральную функцию полученного интеграла,
− x 2 + 3x + 1
(здесь знамекоторая представляет собой правильную дробь
x( x 2 − x + 1)
натель разложен на множители), представим ее в виде суммы простейших
дробей и применим метод неопределенных коэффициентов. Имеем
− x 2 + 3x + 1 A
Bx + C
=
+ 2
.
(1.6)
2
x( x − x + 1) x x − x + 1
Приведем дроби к общему знаменателю, затем отбросим его, получим равенство − x 2 + 3 x +=
1 Ax 2 − Ax + A + Bx 2 + Cx . Откуда, сравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях x, составим систему линейных
уравнений относительно неопределенных коэффициентов A,B,C.
x 2 : −1 = A + B
x : 3 =− A + C .
x 0 : 1 = A
8
Решим систему, получим A =
1, B =
−2, C =
4.
Подставим найденные коэффициенты A,B,C в равенство (1.6) и проинтегрируем левую и правую части, получим
− x 2 + 3x + 1
dx
(−2) x + 4
(−2) x + 4
+∫ 2
dx =
dx =
ln x + ∫ 2
dx. (1.7)
2
∫
− x + 1)
x
x − x +1
x − x +1
∫ x( x
(−2) x + 4
dx . Для его вычисления
2
− x +1
выделим полный квадрат в знаменателе подынтегральной функции
x 1 3
1
3
x 2 − x + 1 = ( x 2 − 2 ⋅ + ) + = ( x − )2 + ,
2 4 4
2
4
Осталось вычислить интеграл
∫x
(−2) x + 4
(−2 x + 4)
dx = ∫
dx , теперь воспользуемся заменой
2
1 2 3
− x +1
(x − ) +
2
4
1
1
переменной x − =t ⇒ x = + t , dx =dt , имеем
2
2
получим
∫x
(−2) x + 4
∫ x 2 − x + 1 dx = ∫
3⋅ 2
3
arctg
1
(−2( + t ) + 4)
3 − 2t
dt
tdt
2
dt = ∫
dt = 3∫
− 2∫
=
3
3
3
3
2
2
2
2
t +
t +
t +
t +
4
4
4
4
2t
2t
3
2x −1
d (t 2 )
−=
− ln t 2=
+ + C 2 3 arctg
−
2 3 arctg
∫
3
4
3
3
3
t2 +
4
− ln x 2 − x + 1 + C ,
в последнем равенстве вернулись к старой переменной. Подставим вычисленный интеграл в равенство (1.7), затем полученное равенство — в
(1.5), тогда окончательно имеем
x 4 − 3x3 + 2 x 2 + x + 1
x2
2 x −1
dx
=
− 2 x + ln x + 2 3arctg
− ln x 2 − x + 1 + C.
3
2
∫ x −x +x
2
3
5. Интегрирование тригонометрических функций. Рассмотрим интеграл ∫ R (cos x,sin x)dx , где R — рациональная функция своих аргументов
— тригонометрических функций cos x, sin x. Общим способом вычислеx
ния такого интеграла является универсальная подстановка tg = t .
2
9
Пример 1.6. Вычислить интеграл
dx
∫ sin x − cos x + 1 .
Р е ш е н и е . Применим тригонометрическую подстановку
x
2dt
tg =t ⇒ x =2arctgt ⇒ dx =
. В силу тригонометрических формул
2
1+ t 2
x
x
1 − tg 2
2tg
2 , sin x
2 и, используя подстановку, получим
=
cos x =
2 x
2 x
1 + tg
1 + tg
2
2
sin x
=
2t
1− t 2
,cos
. Тогда данный интеграл примет вид
x
=
1+ t 2
1+ t 2
dx
=
∫ sin x − cos x + 1 2∫
dt
dt
=
2=
2
∫
2t
1− t
2t − 1 + t 2 + 1 + t 2
(1 + t 2 )(
−
+ 1)
2
2
1+ t 1+ t
dt
dt
= 2=
∫ 2t 2 + 2t ∫ t 2 + t .
Чтобы вычислить получившийся интеграл, разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби методом неопределенных коэффициентов (см. пример 5).
1
1
A B
=
=
+
⇒ 1 = A(t + 1) + Bt.
2
t + t t (t + 1) t t + 1
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t в левой и праt1 : 0= A + B
вой частях полученного равенства, получим 0
. Следовательно,
t : 1 = A
коэффициенты A= 1, B= –1. Таким образом, интеграл примет вид
dt
dt
dt
t
= ∫ − ∫ = ln t − ln t + 1 + C= ln
+ C.
+t
t
t +1
t +1
Вернемся к старой переменной, имеем окончательно
∫t
2
x
tg
dx
2 + C.
ln
∫ sin x −=
x
cos x + 1
tg + 1
2
10
Замечание 1. Универсальная подстановка всегда приводит к результату, но вычисление интеграла иногда бывает громоздким. На практике
применяют более простые подстановки в зависимости от вида и свойств
подынтегральной функции. Рассматривают следующие случаи:
1. Если функция R (cos x,sin x) нечетна относительно
R (cos x,sin x,) то есть
R (cos x, − sin x) =
− R(cos x,sin x) , то используется подстановка cos x =t.
2. Если функция R (cos x,sin x) нечетна относительно cos x, то есть
R (− cos x,sin x) =
− R (cos x,sin x), то используется подстановка sin x =t.
3. Если функция R (cos x,sin x) четна относительно sin x, cos x,
R(cos x, sin x) , то используется подстановка
то есть R (− cos x, − sin x) =
tg x = t или cos 2x = t .
Замечание 2. При рассмотрении интеграла вида
∫ sin
m
x ⋅ cos n xdx, m, n ∈ Z ,
(1.8)
пользуются следующим правилом:
1. Если число n > 0 нечетное, то используется подстановка sin x= t.
2. Если число m > 0 нечетное, то используется подстановка cos x= t.
3. Если числа m,n ≥ 0 четные, то используются формулы понижения
степени.
4. Если число (m+n)<0 и целое, то используется подстановка tg x = t .
Пример 1.7. Вычислить интеграл
∫ sin
3
dx
.
x ⋅ cos x
Решение. Данный интеграл вида (1.8), где m + n =−3 − 1 =−4. Применим
подстановку tg x = t .
dt dt
t t
1 1
x =
⇒⇒
dx
=dx
=
x =
,sin,sin
=
x =
. .
xarctgt
arctgt
= 2 ,cos
,cos
x
x
Откуда =
2
2
2 2
2
1 +1t + t
1 +1t + t
1 +1t +
t
Тогда интеграл примет вид
dx
∫ sin 3 x ⋅ cos x = ∫
(t 2 + 1)
=
−
dt
t3
2 3
( 1+ t )
⋅
1
=∫
1+ t 2
dt
dt
dt = ∫ 3 + ∫ =
3
t
t
t
1+ t 2
1
1
+ ln t + C =
−
+ ln tgx + C.
2t 2
2tg 2 x
11
Замечание 3. Если подынтегральные функции имеют вид
sin αx ⋅ cos βx,sin αx ⋅ sin βx,cos αx ⋅ cos βx , то при интегрировании используются тригонометрические преобразования.
6) Интегрирование иррациональных функций. При интегрировании
иррациональных функций различают пять основных видов. Для каждого
из них применяется определенная подстановка. Изобразим сказанное в
следующей схеме.
Интегрирование иррациональных функций
1
∫ R(
2
ax + b α β
ax + b δ γ
) ,...,(
) )dx,
cx
d
cx
+
+d
∫
a, b, c, d ∈ R, α, β,...., δ, γ ∈ N .
2
ax + bz + c )dx, a, b, c ∈ R.
Используется подстановка
x + b (2a ) =
t
R ( x,(
Используется дробно-линейная
подстановка
ax + b k
(
) = t , k = Í Î Ê (β,..., γ )
cx + d
3
∫ R ( x,
∫ R ( x,
a 2 − x 2 )dx, ∫ R ( x, a 2 + x 2 )dx,
x 2 − a 2 )dx.
4
∫ R ( x,
ax 2 + bx + c )dx.
Используется подстановка x +
Используются тригонометрические
x = a sin t ,
x = a sin t , подстановки соответa
=
=
,x
ственно:
a x atgt
sin t
=
=
x atgt
,x
sin t
b
=
t
2a
Интеграл 4 типа сводится к 3 типу
Рассмотрим отдельно пятый тип иррациональности — интегрирование дифференциального бинома
∫x
m
(a + bx n ) p dx, a, b ∈ R, m, n ∈ Q.
(1.9)
Теорема 1.3 Чебышева П.А. Дифференциальный бином интегрируm +1 m +1
ется лишь в случае, когда хотя бы одно из чисел p,
,
+ p∈ Z,
n
n
при этом используются следующие подстановки
1) если p ∈ Z ⇒ x= t k , k= HOK (знаменателей дробей m, n);
m +1
∈ Z ⇒ a + bx n =
t s , s — знаменатель дроби p;
2) если
n
12
m +1
+ p ∈ Z ⇒ a + bx n =
x n t s , s — знаменатель дроби p.
n
Следствие. Если не выполняется ни одно из условий теоремы Чебышева, то интеграл (1.9) не вычисляется.
dx
.
Пример 1.8. Вычислить интеграл ∫
2
2x + 4x + 1
Решение. Выделим полный квадрат в подкоренном выражении
1
1
1
2
2 x + 4 x + 1= 2( x 2 + 2 x + ) = 2(( x 2 + 2 x + 1) − 1 + ) = 2(( x + 1) 2 − ), тогда
2
2
2
dx
dx
интеграл примет вид ∫
.= ∫
. Теперь вос1
2 x2 + 4 x + 1
2
2(( x + 1) − )
2
пользуемся заменой переменной x + 1 = t ⇒ x = t − 1, dx = dt , поэтому
3) если
∫
dx
=.
2x + 4x + 1
2
∫
dt
1
∫
2
=
1
2
2(t − )
2
dt
=
1
2
t −
2
1
1
=
ln t + t 2 − +
C
2
2
2
1
ln x + 1 + x 2 + 2 x + + C.
2
2
=
225 + x 2 dx
.
∫
x2
Решение. Данный интеграл относится к третьему типу иррациональ15dt
ности, поэтому воспользуемся заменой переменной x= 15tgt ⇒ dx=
.
cos 2 t
Получим
Пример 1.9. Вычислить интеграл
∫
225 + x 2 dx
=
x2
cos tdt
15 1 + tg 2t ⋅ 15dt
.
2
∫ 225tg=
t ⋅ cos 2 t
cos tdt
4=
∫ cos=
∫ sin 2t 2∫
t sin t
2
2
2
∫
1 + tg 2tdt
=
sin 2 t
dt
∫=
cos t sin t
2
cos td (2t )
d (sin 2t )
=
2∫ =
2
sin 2t
sin 2 2t
2
x
1+
2
2
2(1 + tg t )
225 + x 2
15
=
−
+C =
−
+C =
− +C =
−
+ C.
x
sin 2t
2tgt
15 x
15
13
3
3 + 4 x dx
.
∫
x
Решение. Имеем интеграл (1.9) от дифференциального бинома,
1
1−
1
1
1
m +1
2 = 2 ∈ Z (см. теорему
− ,n =
,p=
, так как
=
где m =
1
2
4
3
n
4
Чебышева), поэтому используем подстановку 3 + 4 x =
t 3 , откуда
3
4
2 3
3
x = (t − 3) ⇒ dx = 12t (t − 3) dt .
Получим
Пример 1.10. Вычислить интеграл
3 + 4 x dx
t 3 (t 3 − 3)3
12 7
.
=
12
dt = 12 ∫ (t 6 − 3t )dt =
t − 9t 4 + C , вернемся
3
2
∫
∫
(t − 3)
7
x
к старой переменной, получим окончательно
3
∫
3
3 + 4 x dx 12 3
.=
(3 + 4 x )7 − 9 3 (3 + 4 x ) 4 + C.
7
x
Пункт 3. Контрольные вопросы и индивидуальные задания для
самостоятельной работы.
Контрольные вопросы.
1. Что такое первообразная функции?
2. Что называется неопределенным интегралом, подынтегральной
функцией, подынтегральным выражением?
3. Какая операция называется интегрированием?
4. Назовите основные свойства неопределенного интеграла.
5. В чем заключается способ замены переменной в интеграле или
способ подстановки?
6. Сформулируйте метод интегрирования по частям. К каким типам
интегралов этот метод применим?
7. Приведите общее правило интегрирования дробно-рациональной
функции.
8. Как интегрируются простейшие рациональные дроби?
9. Назовите универсальную тригонометрическую подстановку при
вычислении интеграла ∫ R (cos x,sin x)dx . Укажите формулы перехода
тригонометрических функций в результате применения универсальной
тригонометрической подстановки.
14
10. Укажите простые тригонометрические подстановки в зависимости от поведения подынтегральной функции R (cos x,sin x).
11. Каким образом вычисляются интегралы вида
sin m x ⋅ cos n xdx, m, n ∈ Z ?
*12. Привести четыре вида интегралов основных иррациональных
функций и укажите подстановки, с помощью которых они сводятся к
более простым.
*13. Сформулировать теорему Чебышева П.А. об интегрировании
дифференциального бинома
m
n p
∫ x (a + bx ) dx, a, b ∈ R, m, n ∈ Q.
Задание 1.1. Используя непосредственное интегрирование, вычислить следующие интегралы
Задание 1.2. Применяя метод замены переменной, вычислить интегралы
15
Задание 1.3. С помощью метода интегрирования по частям вычислить интегралы
Задание 1.4. Вычислить интегралы от дробно-рациональной функции
16
Задание 1.5. Вычислить интегралы от тригонометрических функций
17
* Задание 1.6. Вычислить интегралы от иррациональных функций
§2. Определенный интеграл
Пункт 1. Определение и теорема существования определенного
интеграла. Геометрический и физический смысл определенного
интеграла. Пусть на отрезке [a, b], a < b вещественной оси определена
функция f(x). Разобьем этот отрезок произвольным образом на n частей точками a = x0 < x1 < ... < xk −1 < xk < ... < xn = b. Выберем на каждом
отрезке [xk–1, xk] точку ξk , k ∈ N . Длину отрезка [xk–1, xk] обозначим через
∆xk = xk − xk −1 , k ∈ N . Вычислим значение функции f(ξ k) и составим
сумму
n
∑ f (ξ
k =1
18
k
)∆xk .
(2.1)
Выражение (2.1) называется интегральной суммой Римана для
функции f(x) на отрезке [a,b]. Обозначим через λ наибольшую из длин
частичных отрезков ∆xk =
: λ max ∆ k .
k
Определение 2.1. Определенным интегралом Римана от функции f(x)
на отрезке [a,b] называется число равное пределу интегральной суммы
(2.1) при стремлении λ к нулю, при условиях, что предел существует,
конечен и не зависит от способа разбиения отрезка на части и от выбора
в них точек ξk , k ∈ N . Обозначение:
b
∫ f ( x) dx
a
Таким образом, по определению полагают
b
=
∫ f ( x)dx
lim
λ→ 0( n →∞ )
a
n
∑ f (ξ
k =1
k
)∆xk ,
(2.2)
Число a называют нижним пределом интегрирования, число b —
верхним пределом интегрирования, f(x) называется подынтегральной
функцией, f(x)dx — подынтегральным выражением. [a, b] называется
отрезком или областью интегрирования. Функция f(x), для которой
существует определенный интеграл (2.2) называется интегрируемой
функцией на отрезке [a,b]. Справедлива
Теорема 2.1 существования определенного интеграла. Если функция y= f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то существует определенный
интеграл (2.2).
Геометрический смысл определенного интеграла. Пусть функция
y= f(x)≥0 на отрезке [a,b]. Тогда определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции S, ограниченной кривой y=f(x),
вертикальными прямыми x=a, x=b и осью OX, т.е.
b
∫ f ( x)dx =S
a
(см. рис.)
(2.3)
Физический смысл определенного интеграла. Пусть материальная точка M движется под
действием переменной силы
F=F(x) вдоль оси OX, где x абсцисса точки M. Тогда определенный интеграл
b
∫ F ( x) dx выa
ражает работу A переменной
19
силы F, величина которой есть непрерывная функция F=F(x), действующей на отрезке [a,b].
Пункт 2. Основные свойства определенного интеграла. Формула Ньютона–Лейбница. Замена переменной и интегрирование по
частям в определенном интеграле. Интегрирование нечетных и
четных функций в симметрических промежутках.
Основные свойства определенного интеграла.
1. Если функция y=f(x) интегрируема на отрезке [a, b], C — произвольное число, то
b
b
a
a
C ∫ f ( x)dx.
∫ C ⋅ f ( x)dx =
2. Линейность. Если функции y =f(x), y= g(x) интегрируемы на отрезке [a,b], то для любых чисел αβ справедливо равенство
b
b
b
a
a
a
∫ (αf ( x) + βg ( x))dx = α ∫ f ( x)dx + β∫ g ( x)dx.
3. Аддитивность по области интегрирования. Если функция y=f(x)
интегрируема на отрезке [a,b], точка c ∈ (a, b) , то справедливо равенство
b
f ( x) dx
∫=
a
c
∫
a
b
f ( x) dx + ∫ f ( x) dx.
c
4. Теорема о среднем. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке
[a,b], то найдется точка ξ ∈ [a, b] такая, что
b
∫ f ( x)dx = f (ξ)(b − a).
a
b
1
f ( x)dx называется средним значением функции
Число f (ξ) =
b − a ∫a
y=f(x) на отрезке [a,b].
5. Знакопостоянство. Если функция y=f(x) сохраняет знак на отрезке
b
[a,b], то и интеграл ∫ f ( x)dx сохраняет знак на этом отрезке.
a
6. Монотонность. Если функции y=f(x), y=g(x) непрерывны на отрезке [a,b] и выполняется неравенство f(x)≤g(x) для любых x ∈ [a, b], то
b
∫
a
20
b
f ( x) dx ≤ ∫ g ( x) dx.
a
7. Оценка модуля интеграла. Если функция y= f(x) непрерывна на
отрезке [a,b], то модуль интеграла не превосходит интеграла от модуля
b
∫
a
b
f ( x)dx ≤ ∫ f ( x) dx.
a
Теорема 2.2. Формула Ньютона–Лейбница. Пусть функция y= f(x)
непрерывна на отрезке [a,b] и F(x) первообразная f(x) функции на отрезке [a,b], т.е. ( F ( x))′ = f ( x), тогда справедливо равенство
b
)dx
∫ f ( x=
a
b
(2.4)
F (=
x) a F (b) − F (a ).
0
Пример 2.1. Вычислить интеграл
−
∫
dx
.
9 + x2
3
Решение. Согласно формуле Ньютона–Лейбница (2.4) данный интеграл примет вид
0
0
− 3 1 π π
dx
1
x
1
=
= arctg0 − arctg
arctg
= ⋅ = .
∫ 9 + x2 3
3
3
3
3
−
3 6 18
− 3
При вычислении определенного интеграла, как и при вычислении
неопределенного интеграла, широко применяются методы замены переменной и интегрирования по частям.
Теорема 2.3. Замена переменной в определенном интеграле (подстановка). Если 1) функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b],
2) функция x = φ(t) монотонная, и ее производная φ′(t) непрерывна
на отрезке [α,β],
3) [a,b] является множеством значений функции x= φ(t) при t ∈ [α, β]
, причем a= φ(α), b= φ(β), то справедлива формула замены переменной
b
∫
a
β
f ( x)dx =
∫ f (ϕ(t ))ϕ′(t )dt.
α
Пример 2.2. Вычислить интеграл
3
∫
x 2 dx
.
9 − x2
Решение. Воспользуемся заменой переменной x = 3sin t. Тогда
dx = 3cos tdt , при этом пределы интегрирования изменятся: если x= 0, то
π
t= 0, если x= 3, t = . Имеем
2
π
π
π
0
3
∫
0
x2 dx
π
2
9sin2 t ⋅ 3cos tdt
92
9 sin 2t 2 9π
2
=
=
9
sin
tdt
=
(1 − cos2t )dt =−
t
=.
∫
∫
∫
2
2
20
2
2 0 4
9− x 0
9 − 9sin t
0
2
21
Замечание. При замене переменной в неопределенном интеграле
следует вернуться к старой переменной после вычисления интеграла,
при замене переменной в определенном интеграле изменяются и пределы интегрирования, значит, интеграл вычисляется с новыми пределами
интегрирования.
Теорема 2.4. Интегрирование по частям в определенном интеграле.
Если функции u=u(x), v=v(x) непрерывно дифференцируемы на отрезке
[a,b], тогда справедлива формула
b
b
b
= uv a − ∫ vdu.
∫ udv
a
(2.5)
a
π
6
Пример 2.3. Вычислить интеграл ∫ x cos xdx.
0
Решение. Применим формулу интегрирования по частям (2.5). По=
u x=
, dv cos x, тогда=
du dx
=
, v ∫ cos =
xdx sin x . Имеем
ложим
π
6
π
6
0
π
6
∫ x cos xdx = x sin x − ∫ sin xdx =
0
=
0
π
π
π
π 1
π
sin + cos x 06 = ⋅ + cos − cos 0 =
6
6
6 2
6
π
3
1
+
−=
1
(π + 6 3) − 1.
12 2
12
Теорема 2.5. Интегрирование нечетных и четных функций в симметрических промежутках. Если функция y= f(x) непрерывна на отрезке
[–a,a], то справедливо равенство
0, åñëè − f ( x) − íå÷åòíàÿ
a
a
∫− a f ( x)dx = 2∫ f ( x)dx, åñëè − f ( x) − ÷åòíàÿ .
0
Пункт 3. Несобственные интегралы. Несобственные интегралы
являются обобщением определенного интеграла на случаи, когда 1) областью интегрирования являются полуоси или ось, и 2) функция f(x)
неограниченная на отрезке [a,b].
Определение 2.2. Пусть функция f(x) непрерывна на полуоси [a,+∞).
b
Если существует конечный предел lim ∫ f ( x)dx, то этот предел называется
b →∞
a
несобственным интегралом I рода от функции f(x) на полуоси [a,+∞).
22
Таким образом, по определению, имеем
b
+∞
f ( x)dx = lim ∫ f ( x)dx.
∫
b →∞
a
(2.6)
a
Если предел в (2.6) существует, то несобственный интеграл I рода
сходится, если же предел не существует или равен бесконечности, то
интеграл
+∞
∫
f ( x)dx расходится.
a
Аналогично определяется несобственный интеграл I рода от функции f(x) на полуоси (–∞,b]:
b
∫
b
f ( x)dx = lim
a →−∞
−∞
∫ f ( x)dx.
(2.7)
a
Несобственный интеграл с бесконечными пределами интегрирования определяется формулой
c
+∞
f ( x)dx
∫=
∫
−∞
f ( x)dx +
+∞
∫
f ( x)dx , где c произвольное число.
c
−∞
Определение 2.3. Пусть функция f(x) непрерывна на полуинтервале
[a,b) и имеет бесконечный разрыв в точке x=b. Если существует конечный предел lim
ε→ 0
b −ε
∫
f ( x)dx , то этот предел называется несобственным
a
интегралом II рода от функции f(x) и обозначают
b
∫
f ( x)dx = lim
ε→ 0
a
b −ε
∫
(2.8)
f ( x)dx.
a
Если предел в (2.8) существует, то несобственный интеграл II рода
сходится, если же предел не существует или равен бесконечности, то
b
несобственный интеграл ∫ f ( x)dx расходится.
a
Аналогично, если функция f(x) непрерывна на полуинтервале (a,b]
и имеет бесконечный разрыв в точке x=a, то
b
∫
f ( x)dx = lim
a
ε→ 0
b
∫
f ( x)dx .
a +ε
Если функция f(x) имеет бесконечный разрыв во внутренней точке
c ∈ [a, b], то
b
f ( x)dx
∫=
a
c
∫
a
b
f ( x)dx + ∫ f ( x)dx.
(2.9)
c
23
Несобственный интеграл II рода в (2.9) называется сходящимся, если
оба несобственных интеграла справа в (2.9) сходятся.
Пример 2.4. Сходится ли интеграл
0
dx
∫ 4+ x
−∞
2
?.
Решение. Рассматриваемый интеграл является несобственным интегралом I рода, согласно определению 2.2 и формуле (2.7) имеем
0
o
0
dx
dx
1
x
1
b
π
=
)
.
lim arctg = lim (arctg0 − arctg =
2
∫−∞ 4 + x=2 blim
∫
→−∞ 4 + x
b →−∞ 2
2 b b →−∞ 2
2
4
b
Следовательно, интеграл сходится.
1
dx
при различных значениях p?
xp
0
Решение. Рассмотрим случаи 1) p ≤ 0, 2) 0< p < 1, 3) p ≥ 1.
1) Пусть p ≤ 0, тогда данный интеграл собственный. В случае p < 0
1
dx
1 1− p 1
1
=
.
x
интеграл
∫0 x p 1=
0
−p
1− p
Пример 2.5. Сходится ли интеграл ∫
1
Если p = 0, интеграл примет вид ∫ dx = 1.
0
2) Пусть 0< p < 1, тогда данный интеграл несобственный II рода, так
1
как подынтегральная функция f ( x) = p непрерывная на полуинтервале
x
1
(0,1] и имеет бесконечный разрыв в точке x = 0 : lim p = ∞ . Согласно
x →0 x
формуле (2.9), имеем
1
1
dx
dx
1
1
1
1− p 1
p
=
=
ε1− =
)
.
x
lim
lim
∫0 x p ε→0 ∫ε x p 1 − p ε→0 =ε 1 − p (1 − lim
ε→ 0
1− p
Следовательно, интеграл сходится.
3) Пусть p ≥ 1, тогда данный интеграл, также как и в случае 2), несобственный II рода. Рассмотрим здесь два подслучая a) p = 1, b) p >1.
a) Пусть p = 1, тогда имеем
1
1
1
dx
dx
=lim ln x ε =(0 − lim ln ε) =∞. Следовательно, интеграл
∫0 x =lim
∫
ε→ 0
ε→ 0
x ε→0
ε
расходится.
b) Пусть p >1, имеем
24
1
1
dx
dx
1
1
1− p 1
=
=
−
−
∞.
x
(1 − limε1− p ) =
lim
lim
∫0 x p ε→0 ∫ε x p p −1 ε→0 ε =
ε→ 0
p −1
Следовательно, интеграл сходится.
Таким образом, при p ≤ 0 собственный интеграл сходится, при
p > 0 — интеграл несобственный II рода, причем при 0 < p < 1 он сходится, а при p ≥ 1 — расходится.
Для исследования несобственных интегралов применяется следующий признак сходимости.
Теорема 2.6 (признак сравнения несобственных интегралов). Если
функции f(x) и φ(x) непрерывны на полуоси [a,+∞) и удовлетворяют на
нем условию 0 ≤ f ( x) ≤ ϕ( x), то из сходимости интеграла
+∞
∫ ϕ( x)dx
(2.10)
a
следует сходимость интеграла
+∞
∫
f ( x)dx,
(2.11)
a
а из расходимости интеграла (2.11) следует расходимость интеграла (2.10).
Замечания. 1) Аналогичный признак сравнения имеет место для
несобственных интегралов второго рода.
2) При исследовании на сходимость несобственных
интегралов применяют и предельный признак сравнения.
Пункт 4. Геометрические приложения определенного интеграла.
Определенный интеграл широко используется в геометрии при вычислении площадей плоской фигуры, длины дуги, объема тела, объема тела
и площади поверхности вращения, в физике — при вычислении массы
неоднородного стержня, работы переменной силы. Рассмотрим более подробно основные геометрические приложения определенного интеграла.
1. Площадь плоской фигуры. В силу геометрического смысла определенного интеграла (см. пункт 1, формула (2.3)), имеем
b
∫ f ( x)dx =S , где
a
S — площадь криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной
кривой y=f(x)>0, прямыми x= a, x= b, и осью OX. В случае, если криволинейная трапеция, ограничена непрерывной кривой y=f(x)<0, прямыми
x= а, x= b и осью OX, то ее площадь определяется по формуле
25
b
S = − ∫ f ( x)dx.
a
Рассмотренные формулы можно объединить в одну:
S=
b
∫ f ( x)dx ,
(2.12)
a
где y = f(x) — знакопостоянная непрерывная функция на отрезке [a, b].
Рассмотрим еще случаи вычисления площади плоской фигуры более
общего вида в декартовых координатах, в полярных и параметрических
координатах.
1) Пусть плоская фигура задана в декартовых координатах
и ограничена прямыми x = а,
x=b, кривыми y = f(x), y = g(x), где
f(x)≤ g(x) для всех x ∈ [a, b],
тогда площадь криволинейной
трапеции вычисляется по формуле
=
S
b
∫ ( g ( x) − f ( x))dx.
(2.13)
a
Замечание 1. Если плоская
фигура ограничена прямыми
y = c, y = d и кривыми x = φ(y),
x = ψ(y), где φ(y)≤ψ(y) для всех,
y ∈[c, d ]
тогда площадь криволинейной
трапеции вычисляется по формуле
S=
d
∫ (ψ( y) − ϕ( y))dy.
c
Замечание 2. Если плоская фигура имеет сложную форму, то ее
следует разбить прямыми, параллельными оси OX или оси OY, на части
и применить известные формулы.
Пример 2.6. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
y=
( x + 1) 2 , y =
1 − x2 .
26
Решение. Построим графики
данных функций, они пересекаются в точках (–1;0), (0;1), эти точки
легко получить, решая систему
уравнений
y= ( x + 1) 2
y= ( x + 1) 2
.
2
y = 1− x
Площадь полученной фигуy = 1 − x2 .
ры обозначим через S. Для вычисления S, применим формулу
(2.13), где нижний предел интегрирования a = – 1, верхний предел
интегрирования b = 0, получим
0
0
2
2
∫ (1− x − ( x +1) ) dx = S =
S=
∫ (1− x
−1
0
00
2
− ( x +1)2 ) dx =
−1
0
0
2
2 3 0 2
3
2
3
=∫ (1 − x − x − 2 x −1) dx =
=∫ (1
(−−2 xx −
(−1)22x=
− 2x x)−dx
−1) dxx=−∫ x(−2 x2=
− 2(x−)1)
=−
− x2 = (
dx +
2 x=−
3 −1 −1 3
−1
−11
3
−1 3
−
2
1
2
1
=− +1 = .
=− +1 = .
3
3
3
3
2) Пусть плоская фигура
r = r2(φ)
ограничена кривыми, заданными в полярных координатах
r = r1(φ)
S
r = r1 (ϕ), r = r2 (ϕ), r1 (ϕ) ≤ r2 (ϕ) и
лучами
ϕ = α, ϕ = β, α < β, тогда
β
α
ее площадь вычисляется по формуле
β
1
=
S
(r2 2 (ϕ) − r12 (ϕ)) d ϕ.
2 ∫α
2
2
22
2
Пример 2.7. Найти площадь фигуры, ограниченной лемнискатой
=
r 2 9cos 2ϕ.
Бернулли
y
π π 3π 5π
ϕ∈ − ; ∪ ;
4 4 S 4 4
.
x
4
3
Решение. Построим график
=
r 2 9cos 2ϕ. лемнискафункции
ту Бернулли. График функции
лемнискаты Бернулли определен при условии cos 2ϕ ≥ 0, зна27
π π 3π 5π
чит, ϕ∈ − ; ∪ ; . Следовательно, для нахождения искомой
4 4 4 4
S
площади достаточно вычислить .
4
Имеем
π
4
π
S 1
9 1
9
π 9
4=
d
=
9cos
2
ϕ
ϕ
=
⋅
sin
2
ϕ
sin = . Îòêóäà S = 9.
∫
0
4 20
2 2
4
2 4
3) Пусть криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной в
x = x(t )
параметрических координатах
, t ∈ [α, β] , где y(t) непрерывна, а
y = y (t )
x(t) строго монотонная и непрерывно дифференцируемая на отрезке [α, β],
тогда площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле
β
S=
∫ y(t ) x′(t )dt .
(2.14)
α
Замечание. Формула (2.14) легко получается из (2.12) заменой пере) a, x(β=
) b
менной x=x(t) при этом, если x(t) монотонно возрастает, то x(α=
, если x(t) монотонно убывает, то
Y
x(α=
) b, x(β=
) a.
Пример 2.8. Найти площадь
фигуры, ограниченной эллипсом
=
x 3cos
=
t , y 4sin t.
X
Решение. Для изображения
фигуры, перепишем данные
x2 y 2
1, коуравнения в виде 2 + 2 =
3
4с учетом
торое легко выводится
основного тригонометрического
2
2
1.
тождества cos t + sin t =
S
Найдем четвертую часть площади фигуры . Так как переменная
4
π
x ∈ [0,3], то параметр t меняется от до 0. Следовательно, применяя формулу
2
(2.14), получим
28
S
S
=
=
4
4
0
0
t ⋅ (−3sin=
t ) dt
∫∫4sin
4sin t ⋅ (−3sin=
t ) dt
π
π
2
2
0
0
π
π
2
2
π
sin 2t 2π
π
=−12 ∫ sin tdt =6 ∫ (1 − cos 2t ) dt =6(t − sin 2t) 2 =6 ⋅ π =π
3 . Îòêóäà S =
12π.
=−12π∫ sin tdt =6 ∫ (1 − cos 2t ) dt =6(t − 2 )0 =6 ⋅ 2 =π
3 . Îòêóäà S =
12π.
0
2 0
2
π
0
2
2
2
2
2. Длина дуги для плоских кривых. Дифференциал дуги. Пусть кривая
=
y f ( x), x ∈[a, b].
AB задана в прямоугольных координатах уравнением
Определение 2.4. Длиной дуги AB называется предел длины ломаной
линии, вписанной в дугу при неограниченном стремлении к бесконечности числа звеньев ломаной, то есть при стремлении длины наибольшего
звена ломаной к нулю.
1) Если функция y=f(x) непрерывна вместе с производной f′(x) на
отрезке [a, b], то длина дуги вычисляется по формуле
=
l
b
∫
1 + ( f ′( x)) 2 dx.
(2.15)
a
2) Пусть кривая AB задана параметрическими уравнениями
x
=
x(t )
, t ∈[α,β] , где x(t), y(t) — непрерывные функции вместе со своими
y = y (t )
производными на отрезке [α,β], x(t) — монотонно возрастающая функ) a, x(β=
) b, то длина дуги вычисляется по формуле
ция, то есть x(α=
β
=
l
∫
( x′(t )) 2 + ( y ′(t )) 2 dt.
(2.16)
α
Замечание. Если x(t) — монотонно убывающая функция, то есть
x(α=
) b, x(β=
) a , то длина дуги вычисляется по формуле
=
l
α
∫
( x′(t )) 2 + ( y ′(t )) 2 dt.
β
3) Пусть кривая AB задана в полярных координатах уравнением
r= r (ϕ), ϕ∈ [α, β] , где функции r (ϕ), r ′(ϕ) непрерывные на отрезке [α,β],
то длина дуги вычисляется по формуле
β
l
=
∫
r 2 (ϕ) + (r ′(ϕ)) 2 d ϕ.
(2.17)
α
Следствия. Из формул (2.15), (2.16), (2.17) следует, что дифферен29
циал соответствующих дуг в декартовых, параметрических и полярных
координатах вычисляется по формулам
2
2 dx;
11 +
))
+ ((( fff ′′′((( xxx))
1+
)) 2 dx
dx;;
2
2
2 + ( y ′(t )) 2 dt ;
(( xx′′((tt ))
+ (( yy ′′((tt ))
dt ;;
( x′(t ))
)) 2 +
)) 2 dt
2
2
rr 22 ((ϕ
ϕ) + ((rr ′′((ϕ
ϕ)) 22 dd ϕ
ϕ.
r (ϕ)) +
)) d ϕ..
+ (r ′(ϕ))
dl
=
dl
=
dl
=
dl
=
=
dl
dl
=
dl
=
dl
=
dl
=
(2.18)
(2.19)
(2.20)
ππ
ππ
xx =
=
от=
.
доx x
Пример 2.9. Найти длину дуги кривой y = ln sin x =
33
22
Решение. Для вычисления длины дуги воспользуемся формулой
(2.15). Из данного уравнения y = ln sin x вычислим производную
y ′ = (lnsin x)′ =
1
cos 2 x
1
⋅ cos x = ctgx ⇒ 1 + y ′2 = 1 + ctg 2 x = 1 + 2 =
.
sin x
sin x sin x
Тогда в силу формулыπ (2.15)
B
dx
.
π sin x
2
длина дуги примет вид l = ∫
3
Для вычисления интеграла воспользуемся замеx
A
, тогда
ной переменной tg
= t=
x 2arctgt, dx
x
2dt 2
. Опредеtg
= t=
x 2arctgt,=
dx
2
1+ t2
лим нижний и верхний пределы
π
2
интеграла после замены переπ π
1 1
π π
=
=
=
=
x x=
t t =
x; x
менной: если
, то
3 3
2 2
3 3
π
1
π
=
x =
t если
=
x
, то t = 1. Получим
3
2
3
1
1
1
dx
2dt 1 + t 2
dt
1
1
ln3
=
=
− ln
=
l=
ln t 1 =
ln1 − ln
ln 3 =.
∫π sin x ∫1 1+ t 2 ⋅ 2t =
∫1 t =
2
3
3
3
3
3
3
Пример 2.10. Найти длину одной дуги аст роиды
3
=
x 2cos
=
t , y 2sin 3 t ,см. рис
Решение. Для вычисления
длины дуги воспользуемся фор30
O
a
X
мулой (2.16). Из рисунка видно, что при построении одной дуги астроиды
π
1
π
=
x меняться
=
t
от точки А до точки В параметр t будет
от=
0 xдо . Из уравнения
3
2
3
астроиды найдем
x′ =
−6cos 2 t ⋅ sin t , y ′ =
6sin 2 t ⋅ cos t ⇒ x′2 + y ′2 =
6 cos t sin t =
3 sin 2t .
=36cos 4 t sin 2 t + 36sin 4 t cos 2 t =
Подставим найденные выражения в формулу (2.14), получим
π
2
π
3
3
l = 3∫ sin 2t dt = − cos 2t 02 = − (cos π − 1) = 3.
2
2
0
Пример 2.11. Найти длину
Y
дуги логарифмической спирали
=
r ae 2 ϕ , ϕ∈ [0 : 2π].
y =f(x)
X
a
0
b
Решение. Для вычисления
длины дуги логарифмической спирали, воспользуемся формулой
(2.17):
l
=
2π
∫
r 2 (ϕ) + (r ′(ϕ)) 2 d ϕ.
0
Н а й д е м
п р о и з r ′(ϕ) =2ae 2 ϕ
в о д н у ю
. То гд а
r 2 (ϕ) + (r ′(=
ϕ)) 2
a 2e4ϕ + 4
(r ′(=
ϕ)) 2
2 4ϕ
a 2 e 4 ϕ + 4a=
e
ae 2 ϕ 5 , подставим найденное выражение в форму2π
2π
a
a 5 4π
2ϕ
лу l a 5 =
=
5 e2ϕ
(e − 1).
∫0 e d ϕ 2 =
0
2
3. Объем тел вращения. Пусть тело образовано вращением вокруг
оси OX криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной линией
y = f(x) ≥ 0, отрезком [a, b] и прямыми x=a и x= b.
Фигура, полученная вращением, называется телом вращения. Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси OX, есть круг с
радиусом y=f(x). Значит, площадь этого сечения выражается формулой
S ( x) = πf 2 ( x).
Известно, что если тело имеет площадь поперечного сечения S(x),
непрерывного на отрезке [a, b], то его объем может быть вычислен по
формуле
31
b
V = ∫ S ( x)dx.
(2.21)
a
Подставим выражение площади поперечного сечения в (2.21), получим формулу объема тела вращения относительно оси OX:
b
VX = π ∫ f 2 ( x)dx.
(2.22)
a
Замечание. Если тело образовано вращением вокруг оси OY криϕ( y ) ≥ 0,
волинейной трапеции, ограниченной непрерывной линией x =
отрезком [c, d] и прямыми y=c и y=d, то объем тела вращения относительно оси OY выражается формулой
d
VY =π∫ ϕ2 ( y )dy.
c
Пример 2.12. Найти объем тела, образованного вращением фигуры,
π
π
ограниченной линиями
≤ x ≤ вокруг оси OX.
=
y cos
=
2 x, y 0, где
−4
4
Решение. Для вычисления объема тела, образованного вращением
фигуры вокруг оси OX, воспользуемся формулой (2.22). В силу теоремы
2.5 — интегрирование нечетных и четных функций в симметрических
промежутках, имеем
π
4
π
4
π
4
π
sin 4 x 4
π ∫ cos 2 2 xdx =
π ∫ (1 + cos 4 x) dx =
π x +
VX =
2π ∫ cos 2 2 xdx =
=
4 0
π
0
0
−
4
π π2
.
= π⋅ =
4 4
4. Площадь поверхности вращения. 1) Пусть поверхность σ образована вращением вокруг оси OX дуги AB, заданной уравнением
=
y f ( x), x ∈ [a, b], где y = f(x) ≥ 0 — непрерывно дифференцируемая на
отрезке [a, b] функция. Тогда площадь поверхности вращения вычисляется по формуле
b
SX =
2π ∫ f ( x) 1 + f ′2 ( x)dx.
(2.23)
a
С учетом формулы (2.18) дифференциала дуги в декартовых координатах, формула площади поверхности вращения (2.23) примет более
компактный вид
b
SX =
2π ∫ f ( x) ⋅ dl.
a
32
Замечание. Если поверхность σ образована вращением вокруг оси
OY дуги CD, заданной уравнением x =
ϕ( y ), y ∈ [c, d ], где непрерывно
дифференцируемая на отрезке [c, d] функция. То площадь поверхности
вращения σ вычисляется по формуле
d
SY = 2π ∫ ϕ( y ) 1 + ϕ′2 ( y )dy.
c
2) Пусть поверхность σ образована вращением дуги AB, заданной
=
x x(t=
), y y (t ), t ∈ [α, β] где функции
параметрическими уравнениями
=
x x(t=
),на
y отрезке
y (t ), t ∈ [α, β] , x(t) — моноx(t), y(t) непрерывно дифференцируемы
тонная функция. Тогда площадь поверхности вращения σ относительно
оси OX вычисляется по формуле
β
S=
2π∫ y (t ) x′2 (t ) + y ′2 (t )dt. (2.24)
α
или с учетом формулы (2.19) — в
β
2π ∫ y (t ) ⋅ dl .
виде S =
α
3) В случае, если поверхность образована вращением
дуги AB, заданной в полярных
координатах r= r (ϕ), ϕ∈ [α, β] ,
где r=r(φ) — непрерывно диф=
x x(t=
),на
y отрезке
y (t ), t ∈ [α, β] функция. Тогда площадь поверхности
ференцируемая
вращения σ вычисляется по формуле
β
S = 2π ∫ r (ϕ)sin ϕ r 2 (ϕ) + r ′2 (ϕ)d ϕ
α
(2.25)
β
или с учетом формулы (2.20) — в виде S = 2π ∫ r (ϕ)sin ϕ ⋅ dl.
α
Пример 2.13. Найти площадь поверхности, образованной вращением
кардиоиды r = a (1 + cos ϕ) вокруг полярной оси Or.
Решение. Для вычисления площади поверхности вращения кардиоиды r = a (1 + cos ϕ) вокруг полярной оси Or применим формулу (2.25):
π
S = 2π∫ r (ϕ)sin ϕ r 2 (ϕ) + r ′2 (φ)d ϕ.
0
Найдем r ′(ϕ) =−a sin ϕ, тогда
33
вокруг оси OX.
r 2 (ϕ) + r ′2 (ϕ
)
=
a 2 (1 + cos ϕ) 2 + a 2 sin 2=
ϕ a 1 + 2cos ϕ + cos 2 ϕ + sin 2=
ϕ
ϕ
2 ϕ
2a 2cos
2a cos ⇒
=
2
2
2a 1 + =
cos ϕ
=
π
π
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
S = 4πa 2 ∫ (1 + cos ϕ)sin ϕ cos d ϕ = 8πa 2 ∫ cos3 ⋅ 2sin cos d ϕ =
2
2
2
2
0
0
π
π
ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
= 16πa 2 ∫ cos 4 sin d ϕ= 32πa 2 ∫ cos 4 sin d =
2
2
2
2 2
0
0
π
ϕ
ϕ
=
−32πa 2 ∫ cos 4 d cos =
2
2
0
π
ϕ
cos
32πa 2
2 =
.
=
−32πa 2
5
5
5
0
Пример 2.14. Найти площадь поверхности, образованной вращением
одной арки циклоиды x= a (t − sin t ), y= a (1 − cos t ),0 ≤ t ≤ 2π
Решение. Для вычисления площади поверхности вращения одной
арки циклоиды вокруг оси OX применим формулу (2.24):
2π
S=
2π ∫ y (t ) x′2 (t ) + y ′2 (t )dt. Найдем
0
34
x′(t ) =
a (1 − cos t ), y ′(t ) =
a sin t ⇒ x′2 (t ) + y ′2 (t ) =a 2 (1 − cos t ) 2 + a 2 sin 2 t =
t
= a 1 − 2cos t + cos 2 t + sin 2 t = a 2 ⋅ 1 − cos t = 2a sin .
2
Подставим найденное выражение в формулу, получим
2π
2π
2π
t
t
t
t
S=
2π ∫ a (1 − cos t )2a sin dt =
4πa 2 ∫ 2sin 2 ⋅ sin dt =
8πa 2 ∫ sin 3 dt =
2
2
2
2
0
0
0
2π
2π
t t
t
t
=
16πa 2 ∫ sin 3 d =
−16πa 2 ∫ sin 2 d cos =
2 2
2
2
0
0
2π
t
t
=
−16πa 2 ∫ 1 − cos 2 d cos =
2
2
0
2π
t
cos3
1
1 64πa 2
t
2
2
.
=
−16πa cos −
−16πa 2 −1 + − 1 + =
=
2
3
3
3
3
0
Пункт 5. Контрольные вопросы и индивидуальные задания для
самостоятельной работы.
Контрольные вопросы.
1. Что называется интегральной суммой Римана функции f(x) на
отрезке [a, b]?
2. Дайте определение определенного интеграла Римана от функции
f(x) на отрезке [a, b].
3. Что называется нижним и верхним пределом интегрирования?
Что называется отрезком или областью интегрирования? Какая функция
называется интегрируемой?
4. Сформулировать теорему о существовании определенного интеграла.
5. В чем заключается геометрический и физический смысл определенного интеграла?
6. Сформулировать основные свойства определенного интеграла.
7. Перечислите оценки интегралов.
8. Сформулируйте теорему о формуле Ньютона–Лейбница.
9. При каких условиях справедлива формула замены переменной в
35
определенном интеграле?
10. Почему при замене переменной в определенном интеграле можно
не возвращаться к старой переменной?
11. Сформулируйте теорему интегрирования по частям в определенном интеграле.
12. Сформулируйте теорему интегрирования нечетных и четных
функций в симметрических промежутках.
13. Дайте определение несобственного интеграла I рода на полуосях
[a, +∞),(−∞, b]. Какой интеграл называется несобственным интегралом
с бесконечными пределами интегрирования?
14. Дайте определение несобственным интегралам II рода.
15. Сформулируйте признак сравнения несобственных интегралов.
16. Что называется криволинейной трапецией?
17. По каким формулам вычисляются площади фигур: а) в прямоугольных координатах; б) в полярных координатах; в) в случае параметрического задания границы?
18. Что называется длиной дуги кривой?
*19. По каким формулам вычисляется длина дуги кривой: а) в
прямоугольных координатах; б) в полярных координатах; в) в случае
параметрического задания кривой?
*20. По каким формулам вычисляются дифференциал дуги кривой:
а) в прямоугольных; б) в полярных координатах; в) в случае параметрического задания кривой?
*21. Что такое тело вращения?
*22. По каким формулам вычисляется объем тела вращения: а) относительно оси OX; б) относительно оси OY?
*23. По каким формулам вычисляется площадь поверхности образованных вращением кривых, заданных: а) в прямоугольных координатах; б) в полярных координатах; в) в случае параметрического задания
кривой?
36
Задание 2.1. Вычислить интегралы, пользуясь формулой Ньютона–
Лейбница.
37
Задание 2.2. Используя соответствующую подстановку, вычислить
интегралы
Задание 2.3. Методом интегрирования по частям вычислить интегралы
38
Задание 2.4. Исследовать сходимость несобственных интегралов,
применив определения или признаки сходимости.
39
Задание 2.5. Найти площади фигур, ограниченных линиями, заданных в декартовых параметрических или полярных координатах
Задание 2.6. В вариантах 1–8 вычислить длины дуг кривых:
40
41
42
Список литературы
1. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. — М.:
Айрис-пресс, 2007.
2. Шипачев В.С. Основы высшей математики. — М.: Высшая школа,
1998.
3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление.
Т.1,2. — М.: Наука, 1985.
4. Ефимов А.В., Демидович Б.П. Сборник задач по математике для
ВТУЗов. — М.: Наука, 1981.
5. Берман Г.Н. Сборник задач по математическому анализу. — М.:
Наука, 1971.
6. Данко П.Е., Попов Ф.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика
в упражнениях и задачах. В двух частях. Ч.1. — М.: Высшая школа,
1986.
Оглавление
§1. Неопределенный интеграл.................................................................... 3
§2. Определенный интеграл...................................................................... 18
Список литературы.................................................................................... 43
Внутривузовское издание
Подписано в печать 19.12. 2014. Гарнитура Таймс
Формат 60×90/16 Бумага офсетная
Объем 3 усл. печ. л
Тираж 25 экз. Заказ № 200 Продаже не подлежит
Отпечатано в УПП «Репрография» МИИГАиК
