План курсовой работы
Введение
1.1 § Банаховы алгебры;
1.2 § Инволютивные алгебры. Банаховы *-алгебры;
1.3 § С*-алгебры. Пример банаховых алгебр, которые не являются С*алгебрами;
1.4 § *-представление С*-алгебр;
1.5 § Теорема Гельфанда-Наймарка о *-представлении коммутативных
С*-алгебр.
Список использованной литературы
Введение
Решения
проблем,
возникающих
в
результате
научно-прикладных
исследований области точных наук, часто сводятся к исследованию
физических (динамических) систем и задач квантовой механики, теория
которых тесно связана с теорией операторных алгебр. Согласно этой связи,
наблюдаемой
данной
физической
системе
соответствует
линейный
самосопряженный оператор, действующий в некотором гильбертовом
пространстве Н, а всякому состоянию рассматриваемой динамической
системы соответствует матрица плотности, действующая в Н. Поскольку
операторные алгебры, в частности (вещественные и комплексные) С*-, W*алгебры, являются именно такими математическими моделями квантовой
механики и динамических систем, то каждый результат, полученный в этом
направлении, имеет свою интерпретацию и применение в квантовой механике.
Следовательно, теория операторных алгебр очень важна как в теоретическом,
так и в практическом смысле и является одним из актуальных направлений
современной математики.
Теория алгебр операторов, действующих в гильбертовом пространстве,
возникла в 1930-е годы в основополагающих статьях фон Неймана и Мюррея.
Они подробно изучили структуру операторных алгебр, которые теперь
называются алгебрами фон Неймана, или W*-алгебрами. Это слабо замкнутые
комплексные *-алгебры операторов в гильбертовом пространстве. В
настоящее время теория W*-алгебр достигла глубокого развития и
многочисленных приложений, которым посвящено множество работ.
Настоящая курсовая работа посвящена ознакомлению основы теории С*- и
W*-алгебр. В работа приведена теорема Гельфанда-Наймарка, которая
полностью описывает коммутативные С*-алгебры.
[1-20]
2
1.1 § Банаховы алгебры
Определение 1. Линейное пространство X называется алгеброй, если в
нем введена еще одна операция – умножение, которое удовлетворяет
следующим аксиомам:
(1) ( xy ) z = x( yz ) .
(2) x( y + z ) = xy + xz , ( y + z ) x = yx + zx .
(3) ( xy ) = ( x) y = x( y ) .
(4) Если существует элемент e X такой, что ex = xe = x для всех x X , то
e называется единицей алгебры X , а сама алгебра называется алгеброй с
единицей.
Заметим, что единица в алгебре всегда единственна, ибо если бы элемент
e также обладал бы свойством (4), то мы бы получили e = ee = e .
(5) Если операция умножения коммутативна, т.е. если выполняется аксиома
xy = yx , то алгебру X называют коммутативной алгеброй.
Коммутативные алгебры с единицей и будут, в основном, предметом
нашего изучения. Всюду в этой лекции числовое поле, над которым
рассматриваются наши алгебры, это поле комплексных чисел C .
Определение
2.
Нормированное
пространство
X
называется
нормированной алгеброй, если оно является алгеброй с единицей, и при этом
выполнены еще две аксиомы:
|| e ||= 1 .
|| xy |||| x || || y || .
Если еще нормированная алгебра X полна (т.е. является банаховым
пространством), то она называется банаховой алгеброй.
Отображение F : X → Y называют гомоморфизмом алгебры X и Y ,
если выполнены условия
1. F ( x + y ) = Fx + Fy ,
2. F ( x) = Fx ,
[4]
3
3. F ( xy ) = Fx Fy .
Две алгебры, X и Y , называются (алгебраически) изоморфными, если
существует
взаимно
однозначное
отображение
F , удовлетворяющее
условиям 1) – 3).
Нормированные пространства X и Y называют изометричными, если
существует взаимно однозначное отображение F : X Y , удовлетворяющее
условиям (1) и (2) и, кроме того, условию
|| Fx ||Y =|| x || X .
Определение 3. Две банаховы алгебры
X
и Y
называются
изометрически изоморфными, если существует алгебраический изоморфизм
F : X Y , являющийся изометрией X и Y как нормированных пространств.
[1-4]
1.2 § Инволютивные алгебры. Банаховы * алгебры
Инволютивная алгебра - это алгебра А над полем комплексных чисел
вместе с отображением *: A→ A , которое обладает следующими свойствами:
1. ( x* ) = x для всех x A (так что отображение является инволюцией).
*
2. ( x + y ) = x* + y* для всех x, y A .
*
3. ( x)* = λ x* для любого λ из C и любого x из A; здесь обозначает
комплексно сопряженное к λ.
4. ( x y ) = y* x* для всех x, y в A.
*
Инволютивные
алгебры
обобщают
идею
системы
счисления,
снабженной сопряжением, например комплексными числами и комплексным
сопряжением , матрицами над комплексными числами и сопряженным
4
транспонированием , а также линейными операторами над гильбертовым
пространством и эрмитовыми сопряженными элементами .
Пример 1.1. В линейной алгебре инволюция - это линейный оператор T
в векторном пространстве, такой что . За исключением характеристики 2,
такие операторы можно диагонализовать для заданного базиса с помощью
только 1 и −1 на диагонали соответствующей матрицы. Если оператор
ортогонален
(ортогональная
инволюция),
то
он
ортонормированный
диагонализуемый. T 2 = I
Пример 1.2. Любое коммутативное кольцо становится * -кольцом с
тривиальной ( тождественной ) инволюцией. Самый известный пример * кольца и * -алгебры над вещественными числами - это поле комплексных
чисел C, где * - это просто комплексное сопряжение . [5]
Банахова * -алгебра A - это банахова алгебра над полем комплексных
чисел вместе с отображением *: A→ A , которое обладает следующими
свойствами:
1. ( x* ) = x для всех x A (так что отображение является инволюцией).
*
2. ( x + y ) = x* + y* для всех x, y A .
*
3. ( x)* = λ x* для любого λ из C и любого x из A; здесь обозначает
комплексно сопряженное к λ.
4. ( x y ) = y* x* для всех x, y в A.
*
x* = x (1.2.1)
Другими словами, банахова * -алгебра - это банахова алгебра, которая
также является * -алгеброй.
Пример 1.3. Комплексные числа { z} – простейший пример * банаховой
алгебры, если ввести норму формулой || z ||=| z |= x2 + y 2 , ( z = x + iy ).
5
1.3 § С*-алгебры. Пример банаховых алгебр, которые не
являются С*-алгебрами;
C * алгеброй называется такая инволютивная банахова алгебра A что
выполняется условие
x* x = x x* (1.3.1)
Замечание. В силу свойства (1.2.1) имеем x* = x . Тогда условие (1.3.1)
можно заменить на x* x = x
2
Если А – C* алгебра, то каждая замкнутая инволютивная подалгебра А есть
C * алгебра. В частности если H - гильбертово пространство, то каждая
замкнутая инволютивная подалгебра B( H ) есть C * алгебра.
Пусть ( Ai )iI - семейство C * - алгебр. Пусть A - множество таких ( xi )iI
таких, что xi Ai для каждого i I и sup x + . Очевидно, что A есть C *
i
iI
алгебра относительно операций:
1. ( xi ) + ( yi ) = ( xi + yi )
2. ( xi ) = ( xi )
3. ( xi )( yi ) = ( xi yi )
( )
4. ( xi ) = xi*
*
5. ( xi ) = sup xi
A называется C * - алгеброй-произведением Ai . Приеме во внимание, что
множество A не есть произведение множеств Ai
Пусть А – C* алгебра. Сохраним операции и норму за исключением
умножения
( x, y ) → xy ,
которое заменим умножением
6
( x, y ) → yx .
Иначе
говоря
рассмотрим
инволютивную
нормированную
алгебру
А0
противоположную A . Очевидно что А0 есть C * - алгебра
Пример 1.4. Пусть A - банахова алгебра, снабженная такой инволюцией
что
*
x x* x . Отсюда получаем x x • x* и x x* , заменяя x на x ,
2
2
видим что x = x* Тогда из условия следует,
x xx* x
2
2
поэтому А – C* алгебра
Существуют банаховы * алгебры не являющейся C * алгебрами то есть для
данных алгебр не выполняется условие x* x = x x*
Пример 1.5. Пусть задана банахова * алгебра
A = l1 ( ) = c = cn nZ : cn : cn
nZ
со следующей нормой с 1 = cn и операцией сопряжения сn* = c− n .
nZ
Рассмотрим элемент c = (...0, −1,1,1,0...) , то есть с1 = с0 = с−1 = 1 сn = 0
n 1,0, −1
Тогда c* = (...0,1,1, −1,0...) и умножая по координатно сс* = (...0, −1,1, −1,0...)
следовательно норма сс* = 3 , однако c = 3: c* = 3 и с с* = 9 . Условие С*
алгебры не выполняется значит банахова * алгебра А не является С* алгеброй
[5-8]
1.4 *-представление С*-алгебр;
Пусть А есть С * алгебра. , Н - *представлением алгебры А , если - *
гомоморфизм из А в B ( H ) , где Н – гильбертово пространство, то есть
выполняются следующие условия:
7
1. ( a + b) = ( a ) + (b )
2. ( ab ) = ( a ) (b )
3. ( a* ) = ( a ) a, b A, ,
*
Если существует вектор Н такой что ( А) = Н , тогда называется
циклическим вектором для , Н , и представление , Н называется
циклическим.
* - представление , Н называется точным, если ( а ) = 0 подразумевает
что a = 0 [9-11]
Два представления
1 , Н1 и 2 , Н2 унитарно эквивалентны и
обозначаются 1, Н1 2 , Н2 , если есть унитарный оператор u из H 1 в H 2
такой что
u1 ( a ) u −1 = 2 ( a ) a A
Предложение 1: Пусть , Н есть * представление C* алгебры А. Тогда
1 ,и пусть π сохраняет порядок то есть π ( А+ ) В ( Н )+ . Более того если π
точное, тогда π изометрия, и
π −1 (( π ( А+ ) ) = А+
Доказательство: Возьмем ( А + ) , и пусть (1) = 1H . Таким образом мы
можем предположить что А имеет единицу 1 , и (1) = 1H . Тогда
( ( a ) ) (a ) a A
( h ) = sup | ( ( h ) ) sup | ( h ) = , h = h* A
1
Следовательно ( a ) = ( a*a ) ( a*a ) 2 = a a A то есть 1 Очевидно что
1/2
π ( А + ) В ( Н )+
Теперь пусть будет точным. Если существует такое e A ( e) = 1H , тогда
e единственный единичный элемент в A . Если 1H ( A) , с учетом ( А +
8
), и
вложения (1) = 1H , тогда также является точным на ( А + ) . Другими
словами , мы можем предполагать что A имеет единицу, и (1) = 1H .
Пусть А есть С * алгебра, и S ( A) . Внесем
L = a A | ( a*a ) = 0
L
называется левым ядром . По неравенству Шварца, L - замкнутый левый
идеал А. Пусть
a → a = a + L ,
(a A)
является фактор отображением из A в A / L . На A / L определим следующую
операцию
( )
a , b = b*a a, b A
Тогда , вполне определенно, и является внутренним продуктом на A / L
Обозначим с помощью Н дополнение ( A / L , , ). Для любого a A обозначим
линейное отображение
: A / L → A / L следовательно ( a ) b = ( ab ) b A
Так как b*a*ab a2b*b из этого следует
( a ) b 2 = ( b*a*ab ) a 2b 2 b A
Поэтому ( a ) может быть единственным образом продолжен в замкнутый
линейный оператор на Н , все еще обозначается как ( a )
Предложение 2: Пусть А есть С * алгебра, и S ( A)
1) Если , Н есть * представление А порожденное , тогда , Н
принимает циклический вектор , и может выть выбран таким
образом что ( a ) = a ( a ) = ( a ) , a A
2) Пусть
натуральное расширение
( a + ) = ( a ) + a A, ) , и
9
на
( А + ) (то есть
, Н будет * представлением
( А + ) порожденным . Тогда существует унитарный оператор
Н
u из
в Н такой что u ( a ) u −1 = ( a ) a A
Доказательство: Определим ua = a . Тогда u
может быть продолжен до
изометрии из Н в Н .
По предположению 2.3.4 [1] , существует такая последовательность an A+ с
an 1 , n , такое что
( an ) → 1. По неравенству Шварца ( an ) = ( an ) ( an2 ) 1
1/2
(
)
из этого следует что ( an2 ) → 1 . Далее (1 − an ) → 0 то есть u ( an ) → 1 в Н .
2
Поэтому, u является унитарным инъективным оператором из Н в Н . Более
того из-за того что u ( a ) = u ( ab ) = ( ab )ˆ = ( a ) b = ( a ) u b a, b A , мы имеем
u ( a ) u −1 = ( a ) a A
Наконец, поберем циклический вектор = u −11
подмножество S ( A) такое что
Предложение 3: Пусть А есть С * алгебра, и
sup ( a ) |
= a, a А
+
. Тогда
= H = H
есть точное * представление A
Доказательство: Для a A по предложению 1 и 2
a2
(a)
2
= sup ( a*a ) |
sup ( a a ) ,
*
|
= sup ( a a ) | = a
*
2
Поэтому, a = ( a ) a А [12-17]
1.5 Теорема Гельфанда-Наймарка о *-представлении
коммутативных С*-алгебр.
Построение доказательства первой теоремы Гельфанда-Наймарка
10
Пусть A - С * алгебра. Линейное отображение : А →
называется
характером
A
Назовем
(ab) = (a) (b)
следующее
множество
+ = − характеры множеством характеров и = − характеры : 0
Рассмотрим следующие свойства
1) Отображение 0 является характером
2) Если -характер, 0 то (1) = 1
3) Если + то - ограничен и его норма не превышает единицы
4) Множество характеров + лежит в
сопряженном пространстве
алгебры A , то есть + A*
5) + и хаусдорфовы пространства
Рассмотрим результат выполненной курсовой работы в виде доказательства
теоремы Гельфанда-Наймарка
Теорема 1 (Гельфанда-Наймарка): Если А абелева (коммутативная) С *
алгебра то А С0 () причем 1 А -компактно, где
С0 () = f : → ; непрерывно; f () = 0 . Здесь f () = 0 означает, что для
0; K (компакт) ;
f ( x) ; x / K
Докажем, что 1 C0 ( X ) X − компактно
Так как 𝕝(𝑥) = 1 (𝕝 ∙ 𝑓)(𝑥) = 𝕝(𝑥)𝑓(𝑥) (𝑓 ∙ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥), то
следовательно 1 C0 ( X ) отсюда ( 1) 0
𝜀, ∀𝑥 ∈ 𝑋\𝐾
K
X - компактно |𝕝(𝑥)| <
|1| < 𝜀 – противоречие 𝑋- компактно
𝑋- компактно тогда 0 . Положим K = X то |𝕝(𝑥)| < 𝜀 ∀𝑥 ∈ 𝑋\𝑋 = ∅
1 C0 ( X ) [18-20]
11
Список литературы
1) Аюпов Ш.А. Классификация и представление упорядоченных йордановых
алгебр. // Ташкент, Изд. "ФАН", 1986, .121 c.
2) Ayupov, Sh.A., Rakhimov, A.A. Real W*-algebras, Actions of groups and Index
theory for real factors. VDM Publishing House Ltd. Beau-Bassin, Mauritius.
ISBN 978-3-639-29066-0. (2010), 138p.
3) Ayupov, Sh. A., Rakhimov, A.A. and Usmanov, Sh. M. Jordan, Real and Lie
Structures in Operator Algebras; Kluw. Acad. Pub., MAIA: Vol. 418, 1997; 235
p. DOI: 10.1112/S0024609398305457.
4) Брателли
У.,
Робинсон
Д.
Операторные
алгебры
и
квантовая
статистическая механика. // М.: Мир, 1982, 511 с.
5) Диксмье Ж. C*-алгебры и их представления. // М.: Наука, 1974, 400 с.
6) Dixmier J. Les algebres d'operateurs dans l'espace Hilbertien. // Paris: GauthierVillars. 1969. 369 p.
7) Dixmier J. Quenlques propertietes des suites centrales dans les facteurs de type
. // Invent. math., 1969, Bd. 7, S. 215-225.
8) Dixmier J. Von Neumann algebras. // Amsterdam etc., North-Holland publ.,
1981, Vol. 36, 437 p.
9) Li B.R. Introduction to Operator Algebras. // World Sci. Pub. Co. Pte. Ltd.
Singapore, 1992, 738p.
10)
Li B.R. Real operator algebras. // World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd.
2003, 241p.
11)
Murray F., von Neumann J. On rings of operators. // I Ann. Math., 1936, Vol.
37. P. 116-229.
12)
Murray F., von Neumann J. On rings of operators. // II Trans. Amer. Math.
Soc., 1937, Vol. 41, P. 208-248.
13)
Murray F., von Neumann J. On rings of operators. // IV Ann. Math., 1943,
Vol. 44, P. 716-808.
12
14)
14. Sakai S. C*-algebras and W*-algebras. // Berlin: Springer, 1971, IX+256
p.
15)
15. Stratila S., Zsido L. Lectures on von Neumann algebras. // Bucuresti:
Editura Academiei; Tunbridge Wells: Abacus Press. 1979, 478 p.
16)
16. Takesaki M. Theory of operator algebras. // I, II, III. Berlin: Springer.
1979, VIII + 415 p., 518 p, 548 p.
17)
17. Фон Нейман Дж. Избранные труды по функциональному анализу. //
I., II Изд. "Наука" Москва, 1987, 376 c., 370 c.
18)
18. Фон Нейман Дж. Обобщение математического аппарата квантовой
механики методами абстрактной алгебры. // Ч.1. Мат. Сборник, 1936, т. 1,
N 4, С. 415-485.
19)
19.
Эмх Ж. Алгебраические методы статистической механики и
квантовой теории поля. // М., Мир,1976, 424
13
