Вынужденные колебания
Основные теоретические сведения
Вынужденные механические колебания. Дифференциальное
уравнение вынужденных колебаний
Колебания, возникающие в системе после того как она была выведена из
состояния равновесия и предоставлена самой себе называются свободными. Как уже
подчеркивалось, в результате действия сил трения и сопротивления, которые всегда
присутствуют в реальных колебательных системах, механическая энергия системы
в процессе свободных колебаний убывает, превращаясь в тепло. Поэтому свободные
колебания, возникшие в системе в результате первоначального толчка, с течением
времени затухают. Для того, чтобы возбудить в системе незатухающие колебания,
необходимо компенсировать потери энергии, обусловленные трением и
сопротивлением среды. Такая компенсация может производиться за счет внешних
по отношению к колебательной системе сил. Энергия системы пополняется за счет
работы внешней силы.
Вынужденными колебаниями называется движение колебательной системы под
действием внешней периодической силы и происходящие в такт с изменением этой силы.
Переменная внешняя сила, приложенная к системе и вызывающая ее вынужденные колебания,
называется вынуждающей, или возмущающей силой. В простейшем случае на систему может
действовать внешняя сила Fвнеш , изменяющаяся по гармоническому закону Fвнеш = F0 cos ωt ,
где F 0 –амплитуда силы, ω – циклическая частота. Если внешняя сила описывается
гармонической функцией с циклической частотой ω, то вынужденные колебания в системе также
будут происходить с частотой ω.
Получим уравнение вынужденных колебаний, воспользовавшись моделью механической
системы в виде тела (материальной точки) массы m, связанного со спиральной пружиной
жесткости k и движущегося в вязкой среде вдоль оси
x , параллельной оси пружины. Кроме силы упругости
k
Fупр m
F
на тело действует сила сопротивления среды и
V внеш
внешняя
периодическая
сила
F
x
внеш , направленная
Fсопр
вдоль оси x . На рисунке представлена такая
0
x
механическая модель системы, совершающей
вынужденные колебания под действием внешней
силы Fвнеш .
Рассмотрим данную механическую систему. Пусть в системе совершаются малые
колебания. Тогда на материальную точку действуют силы:
Fупр = −kx - сила упругости пружины,
Fсопр = −rυ - сила сопротивления среды, при малых колебаниях пропорциональная
скорости,
Fвнеш = F0 cos ωt - внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону
По второму закону Ньютона: ma = − kx − rυ + F0 cos ωt
Дифференциальное уравнение движения материальной точки в проекции на ось
Тогда уравнение движения запишется следующим образом:
d 2x
dx
m 2 = −kx − r + F0 cos ωt
dt
dt
Разделив это уравнение на m, и перенеся члены с х и
dx
в левую часть, получим
dt
неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка:
d 2x
dx
+
2
β
+ ω02 x = f 0 cos ωt ,
2
dt
dt
F
k
r
где f 0 = 0 , β =
- коэффициент затухания, ω0 =
- собственная частота
m
2m
m
колебаний системы.
Решение неоднородного дифференциального уравнения равно сумме общего решения
соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.
В теории линейных дифференциальных уравнений показывается, что решение
неоднородного дифференциального уравнения имеет вид: x = x * + x * * , где x* - общее
d 2x
dx
2
+
β
+ ω02 x = 0 , x** 2
dt
dt
2
d x
dx
частное решение неоднородного дифференциального уравнения
+ 2β + ω02 x = f 0 cos ωt .
2
dt
dt
решение однородного дифференциального уравнения типа
Общее решение однородного дифференциального уравнения является решением
уравнения затухающих колебаний и имеет вид:
x* = A0 e −βt cos(ω′t + ϕ 0 ) - уравнение затухающих колебаний,
где ω′ = ω0 − β , а А0 и ϕ 0 - начальная амплитуда, и начальная фаза колебаний.
Частное решение уравнения - это вынужденные колебания с циклической частотой ω,
равной частоте вынуждающей силы. Частное решение представим в виде:
x * * = А cos(ωt + ϕ) , где А - амплитуда вынужденного колебания, φ – сдвиг по фазе
между внешней вынуждающей силой и вызываемым этой силой смещением.
Функция x* в сумме с x** даёт общее решение дифференциального уравнения,
описывающее поведение системы при вынужденных колебаниях. Слагаемое x* играет заметную
роль только в начальной стадии процесса при так называемом установлении колебаний .
2
2
Первое слагаемое, описывающее затухающие колебания
x*, с течением времени из-за экспоненциального
− βt
всё больше уменьшается, и через
множителя e
некоторое время t>τ практически прекратятся (время
релаксации τ =
x = x * * = A cos(ωt + ϕ) .
1
). Тогда x* можно пренебречь,
β
сохраняя в решении лишь слагаемое x**.
Система переходит в состояние установившихся
вынужденных колебаний, совершающихся с частотой
вынуждающей силы и описываемых уравнением:
Покажем, что установившиеся вынужденные колебания
будут гармоническими с
частотой ω, т.е. найдем такие значения А и φ, чтобы уравнение x = x * * = A cos(ωt + ϕ)
удовлетворяло дифференциальному уравнению вынужденных колебаний
d 2x
dx
+ 2β + ω02 x = f 0 cos ωt .
2
dt
dt
Выражения для амплитуды А и сдвига φ найдем, подставив в дифференциальное
уравнение частное решение:
t
x = A cos(ωt + ϕ)
dx
= − Aω sin (ωt + ϕ)
dt
d 2x
= − Aω2 cos(ωt + ϕ)
2
dt
Подставим полученные выражения в дифференциальное уравнение и
учитывая тригонометрические преобразования
sin (ωt + ϕ) = sin ωt cos ϕ + cos ωt sin ϕ
и
cos(ωt + ϕ) = cos ωt cos ϕ − sin ωt sin ϕ , получим:
Cгруппировав соответствующим образом члены уравнения, получим:
[A(ω − ω )cos ϕ − 2βAω sin ϕ]cos ωt −
− [A(ω − ω) sin ϕ + 2βAω cos ϕ]sin ωt = f
2
0
2
2
2
0
0
cos ωt
Для того, чтобы уравнение выполнялось при всех значениях t, необходимо, чтобы
коэффициенты при sin ωt и cos ωt в левой и правой частях уравнения были одинаковы. Отсюда
следуют два условия (коэффициент при sin ωt в правой части равен нулю):
)
А(ω02 − ω cos ϕ − 2βAω sin ϕ = f 0
A(ω02 − ω2 )sin ϕ + 2βAω cos ϕ = 0
2
Из данной системы уравнений могут быть найдены значения А и φ, при которых функция
d 2x
dx
x = x * * = A cos(ωt + ϕ) удовлетворяет уравнению 2 + 2β + ω02 x = f 0 cos ωt .
dt
dt
Возведя оба уравнения в квадрат и складывая их друг с другом, получим:
A 2 ω02 − ω2 ) + 4β 2 A 2 ω2 = f 02 ,
откуда:
(
A=
(ω
f0
2
0
− ω2
Второе из уравнений даёт:
tgϕ = −
)2 + 4β 2 ω2
2βω
ω − ω2
2
0
Подставляя значения А и φ в частное решение неоднородного уравнения :
x=
(ω
f0
2
0
− ω2 )
2
2βω
cos ωt + arctg − 2
2
2 2
ω
−
ω
0
+ 4β ω
Таким образом, функция x описывает установившиеся вынужденные колебания. Они
представляют собой гармонические колебания с частотой, равной частоте вынуждающей силы.
Амплитуда вынужденных колебаний пропорциональна амплитуде вынуждающей силы. Для
данной колебательной системы (характеризующейся собственной частотой ω0 и коэффициентом
затухания β ) амплитуда зависит от частоты ω вынуждающей силы. Вынужденные колебания
сдвинуты по фазе на угол φ относительно вынуждающей силы, причём величина сдвига фаз φ
также зависит от частоты вынуждающей силы ω.
Методические рекомендации при решении задач
Для решения физических задач недостаточно просто выучить законы и
формулы. Необходимо прочное знание математического аппарата, обеспечивающее
решение любых задач по физике, а также умение думать, рассуждать, предвидеть
последующие результаты, которые могут вытекать из предыдущих действий. Этого
можно добиться при систематическом самостоятельном решении достаточно
большого количества задач. Но этого можно добиться, только усвоив методику
решения типовых задач, подобных тем, что приведены в данном пособии. Основной
упор в данном пособии сделан на методику решения задач и соответствующие
математические приемы с целью углубить понимание физических законов данной
темы и развить умение рассуждать.
1. Приступая к решению задач, предварительно ознакомьтесь
с
соответствующим теоретическим материалом по вузовскому учебнику либо по
лекциям. В начале данного пособия приведены только краткие сведения из
теоретического материала.
2. Внимательно прочитайте условие задачи
3. При необходимости, выполните рисунок. Расставьте силы, действующие на
колеблющееся тело.
4. Запишите начальные и граничные условия задачи.
5. Решите задачу в общем виде, выразив посредством соответствующей
формулы в буквенных обозначениях искомую величину, и после этого произведите
необходимые арифметические действия.
Примеры решения задач
Задача 1. Маятник совершает затухающие колебания с начальной амплитудой 10 см
и нулевой начальной фазой. Коэффициент затухания равен 1,5 с-1. На него действует
внешняя периодически изменяющаяся сила, в результате чего устанавливаются
вынужденные колебания, уравнение которых имеет вид x = 4 sin(10πt − 0,75π ) см.
Написать уравнение собственных колебаний маятника.
Решение задачи
Запишем уравнение собственных колебаний маятника в виде x1 = A0e − βt sin ω ′t .
Согласно уравнению вынужденных колебаний сдвиг фаз между собственными и
вынужденными колебаниями равен (−0,75π ) . Поскольку tg (−0,75π ) = −
2 βω
= 1 , то
ω02 − ω 2
собственная частота колебаний маятника ω0 = ω 2 + 2βω , а частота затухающих
колебаний ω ′ = ω02 − β 2 . Подставляя числовые значения, получим ω ′ =10,38π.
Тогда уравнение собственных колебаний маятника имеет вид x1 = 10 e −1,5t sin 10,38πt .
Ответ: x1 = 10 e −1,5t sin 10,38πt .
Задача 2. Осциллятор массы m движется по закону x=asin ωt под действием силы
F x =F 0 cos ω t. Найти коэффициент затухания осциллятора.
Решение задачи
Представим уравнение смещения точки в виде
π
x= a sin ωt = a cos( ωt- ) .
(1)
2
При резонансе смещения сдвиг фаз между колебаниями смещения и вынужденной силой
равен
π
.
2
Следовательно
π
2 βω
=
=∞.
2 ω02 − ω 2
Поэтому частота вынужденных колебаний
ω=ω0
Отсюда амплитуда вынужденных колебаний
F0
F0
a=
=
.
2
2 2
2 2
2
βω
m
0
m (ω 0 − ω ) + 4 β ω
Из (4) коэффициент затухания
F0
β=
.
2ω 0 ma
F0
Ответ: β=
.
2ω 0 ma
tg
(2)
(3) .
(4)
(5)
Задача 3. Найти разность фаз между смещением и вынуждающей силой при резонансе
смещения, если собственная частота колебаний ω 0 = 50c −1 и коэффициент трения β=5,2 с-1.
Решение задачи
Сдвиг фаз между смещением и вынуждающей силой находится по формуле
2 βω
tgα=.
ω02 − ω 2
Резонансная частота
ω рез = ω 0 2 − 2 β 2 .
При резонансе
2β ω 0 − 2β 2
2
tgα= Ответ: tgα=-
ω02
− 2.
β2
(2)
ω= ωрез .
Подставив (3) в (1), получим
2β 2
=-
(1)
(3)
1
ω 0 − 2 β =2
β
2
ω02
− 2.
β2
(3)
α=89,40.
Задача 4. Найти отношение амплитуды смещения при резонансе к статическому смещению при
малом β (β<<ω0 ).
Решение задачи
Амплитуда вынужденных колебаний находится из соотношения
f0
a=
.
2
2 2
2 2
(ω 0 − ω ) + 4 β ω
Резонансная частота
ω рез = ω 0 2 − 2 β 2 .
(1)
(2)
Подставив (2) в (1), получим при малом β
a рез =
f0
2β ω 0 − 2β 2
2
.
(3)
При статическом смещении
a ст =
f0
ω02
.
Найдем отношение смещения при резонансе к статическому
(4)
a рез
a cn
Ответ:
a рез
a cn
ω02
ω
π
2π
=
= 0 =
= = Q.
2 βω 0 2 β 2 βT ∆
(5)
= Q.
Задача 5. Амплитуды смещений вынужденных гармонических колебаний при частотах ω1 и ω 2
равны между собой. Найти частоту, при которой амплитуда смещения максимальна.
Решение задачи
Амплитуда вынужденных колебаний находится по формуле:
f0
a=
.
2
(ω 0 − ω 2 ) 2 + 4 β 2ω 2
(1)
Поскольку при частотах ω1 и ω2 амплитуды вынужденных колебаний a 1 =a 2 , то
из равенства знаменателей
(ω0 2-ω1 2) +4β2ω1 2=(ω0 2-ω 2 2) +4β2ω2 2.
Отсюда
(2)
ω1 4 − ω 2 4 − 2ω 0 2ω 1 2 + 2ω 0 2ω 2 2
β=
.
2
2
4(ω 2 − ω 1 )
(3)
ω рез = ω 0 2 − 2 β 2 .
(4)
2
Амплитуда вынужденных колебаний максимальна при резонансной частоте смещения
Подставив (3) в (4), получим после упрощений
ω рез =
Ответ: ω рез =
ω1 2 + ω 2 2
2
= 510 Гц.
(5)
ω1 2 + ω 2 2
= 510 Гц.
2
Задача 6. Тело массой m, подвешенное на невесомой пружине, совершает вынужденные
колебания с частотой ω .Собственная частота колебаний равна ω 0 . Найти среднюю за период
механическую энергию данного осциллятора.
Решение задачи
При вынужденных колебаниях амплитуда смещения от положения равновесия изменяется
по закону:
x=acos(ωt- α ).
(1)
Тогда скорость колебания
v=-aωsin(ωt-α).
(2)
Потенциальная энергия тела
kx 2
E=
(3)
.
2
где
k=mω0 2.
(4)
Полная механическая энергия в момент времени t:
kx 2 mv 2
E=E к +E p =
+
.
2
2
Используя тригонометрическую формулу
sin2(ωt-α)=1-cos2(ωt-α).
подставив (1) и (2) в (5), получим для энергии гармонического колебания
(5)
(6)
E=
mα 2 ω0 2 cos2 (ωt − α) − ω2 cos2 (ωt − α) mα 2 ω2
.
{
}+
2
2
(7)
Упростим выражение (7)
mα 2 (ω0 2 − ω2 ) cos2 (ωt − α) mα 2 ω2
.
{
}+
2
2
Учитывая, что среднее значение квадрата косинуса за период равно 1/2 , найдем после
несложных преобразований среднее значение энергии осциллятора за период
E= =
ma 2ω 0
ma 2
2
2
( ω 0 − ω 2 +2ω2)=
(ω 0 + ω 2 ) .
4
4
(7)
2
E=
(5)
ma 2ω 0
2
Ответ: E =
(ω 0 + ω 2 ) .
4
Задача 7. На материальную точку действует вынуждающая сила, изменяющаяся по закону
F=F 0 cosωt. Смещение материальной точки происходит по закону x= acos(ωt-α). Найти работу
вынуждающей силы за период колебания.
2
Решение задачи
Элементарная работа
d A=Fdx.
Продифференцировав выражение для смещения, найдем элементарное перемещение
dx=-aωsin(ωt-α).
Тогда элементарная работа
dA=-F 0 aωsin(ωt-α)cosωtdt.
Из тригонометрии известно, что
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.
Преобразуем (4)
dA=-F 0 aω[sinωtcosα-cosωtsinα)cosωtdt.
Для нахождения работы вынуждающей силы за период, проинтегрируем (5)
T
0
0
cos2ωt=
Тогда, интегрируя, получим
(2)
(3)
(4)
(5)
T
T
A = − ∫ F 0 aω[sinωt cosα-cosωωt sinα)cosωtdt=- ∫ F 0 aωsinωtcosωtdt+ ∫ cos2ωtsinαdt.
При интегрировании учтем, что
(1)
(6)
0
1 + cos 2ωt
.
2
(7)
T
A=-F 0 aωcosα
Ответ: πF 0 asinα.
1 + cos 2ωt
sin 2 ωt T
+F 0 aωsinα ∫
dt = πF0 α sin α .
2
2
0
o
(8)
