Отчет по теме Практическое применение производной Курбангулов Д.Д. итог1.docx

Министерство образования Республики Башкортостан
Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение
УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ,
ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И БЕЗОПАСНОСТИ
ОТЧЕТ
по индивидуальному проекту
По дисциплине «Математика»
Тема:
«Практическое применение производной.»
Специальность 09.02.07 «Информационные системы и
программирование»
Курс
1
Семестр
2
Оценка ________________
Консультант:
___________Идрисова Г.Р.
«___» ____________ 2021 г.
Исполнитель
студ. гр. 9ИСП-11-20
________Курбангулов Д.Д.
«___» ___________ 2021 г.
Уфа - 2021
Министерство образования Республики Башкортостан
Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение
УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ,
ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И БЕЗОПАСНОСТИ
ЗАДАНИЕ
на индивидуальный проект
по дисциплине «Математика»
Студент Курбангулов Д.Д. Группа 9ИСП-11-20 Консультант Идрисова Г.Р.
Фамилия И.О.
Номер акад. гр.
Фамилия И.О.
1. Тема индивидуального проекта:
«Практическое применение производной.»
2. Содержание проекта: титульный лист, содержание, введение, основные
понятия производной, история производной, физический смысл
производной, геометрический смысл производной, производная в
физике, экономике, химии, биологии, географии, демографии,
заключение, список используемой литературы.
Руководитель ____________
Дата окончания ___________
(подпись)
2
Содержание:
1. Введение.
2. Основная часть
2.1. Основные понятия производной
2.2. История производной
2.3. Физический смысл производной
2.4. Геометрический смысл производной
2.5. Производная в физике
2.6. Производная в экономике
2.7. Производная в химии
2.8. Производная в биологии
2.9 Производная в географии
2.10 Производная в демографии
3. Заключение
4. Список используемой литературы.
3
1. Введение
Данный
индивидуальный
проект
посвящен
теме
«Практическое
применение производной».
Задачей проекта является ознакомление аудитории с тем, что производная
– это не только математический инструмент, она позволяет решать многие
задачи и применяется человеком в различных сферах деятельности.
Цель исследования состоит в изучении и доказательстве широкого
использования производной в разных сферах деятельности человека на
примере прикладных задач.
Гипотеза: производная – это не исключительно математический
инструмент, она также позволяет решать многие задачи в различных областях
и применима в жизни человека.
В целях достижения поставленных задач в исследовательской работе
используются следующие методы: анализ литературы, разбор прикладных
задач, собеседование со старшими людьми, практическая работа.
Актуальность данной работы заключается в том, что производная широко
используется в различных областях деятельности человека, поэтому умение
прогнозировать,
решать,
имеет
огромное
деятельности.
4
значение
в
практической
2. Основная часть
2.1.
Основные понятия производной
Производная функции — это отношение приращения функции к
приращению аргумента при бесконечно малом приращении аргумента.(рис.1)
у'(x)=Δу/Δx при Δx→0
Рис.1 Производная функции
То,
насколько
изменился
аргумент (x) при продвижении
вдоль
оси
OХ,
приращением
называется
аргумента
и
обозначается Δx.
То, насколько изменилась
функция (высота) при продвижении вперед вдоль оси OУ, называется
приращением функции и обозначается Δу.
Процесс нахождения производной называется дифференцированием.
Для производной используются обозначения: f′(x)=y′(x)=df/dx=dy/dx
2.2. История производной.
История возникновения формулы производной начинается ещё в 15 веке.
Великий итальянский математик Тартальи, рассматривая и развивая вопрос на сколько зависит дальность полёта снаряда от наклона орудия - применяет
её в своих трудах. Формула производной часто встречается в работах
известных математиков 17 века. Её применяют Ньютон и Лейбниц.
Исаак Ньютон (1643-1727) один из создателей дифференциального
исчисления. Ньютон ввёл понятие производной, изучая законы механики, тем
самым раскрыл её механический смысл.
5
Готфрид Лейбниц (1646-1716). Лейбниц пришёл к понятию производной,
решая задачу проведения касательной к любой кривой заданной своим
уравнением, объяснив этим ее геометрический смысл.
Посвящает целый трактат о роли производной в математике известный
учёный Галилео Галилей. Затем производная и различные изложения с её
применением стали встречаться в работах Декарта, французского математика
Роберваля и англичанина Грегори.
Большой вклад по изучению производной внесли такие умы, как
Лопиталь, Бернулли, Лангранж и другие.
Объединив всё то, над чем трудились великие математики, создается
таблица производных и выводятся правила дифференцирования.
Таблица №1. Таблица производных с производными основных
элементарных функций
6
2.3.
Физический смысл производной
Как известно, равномерным движением называют такое движение, при
котором тело в равные промежутки времени проходит равные по длине
отрезки пути. Путь, пройденный телом в единицу времени, называют
скоростью равномерного движения. Однако чаще всего на практике мы имеем
дело с неравномерным движением. Автомобиль, едущий по дороге, замедляет
движение у переходов и ускоряет его на тех участках, где путь свободен;
самолёт снижает скорость при приземлении и т.д. Поэтому чаще всего нам
приходится иметь дело с тем, что за равные отрезки времени тело проходит
различные по длине отрезки пути. Такое движение называют неравномерным.
Его скорость нельзя охарактеризовать одним числом.
Часто для характеристики неравномерного движения пользуются
понятием средней скорости движения за время ∆t٫ которое определяется
соотношением где ∆s – путь, пройденный телом за время ∆t.
Практически такая характеристика движения, как средняя скорость,
говорит о движении очень мало. Средняя скорость в течение первых двух
секунд не даёт никакого представления о том, как происходило движение:
когда тело двигалось быстрее, а когда медленнее. Ведь нетрудно понять, что в
течение этой 2-й секунды тело также движется по-разному: в начале
медленнее, в конце быстрее. А как оно движется где-то в середине этой 2-й
секунды? Иными словами, как определить мгновенную скорость?
Пусть движение тела описывается законом S=f(t). Рассмотрим путь,
пройденный телом за время от t до t+∆t, т.е. за время, равное ∆t. В момент t
телом пройден путь f(t), в момент t+∆t – путь f(t+∆t). Поэтому за время ∆t тело
прошло путь f(t+∆t)-f(t) и средняя скорость движения тела за этот промежуток
времени составит (f(t+∆t)-f(t))/∆t. Чем меньше промежуток времени ∆t, тем
точнее можно установить, с какой скоростью движется тело в момент t, так как
движущееся тело не может значительно изменить скорость за малый
7
промежуток времени. Поэтому средняя скорость при стремлении ∆t к нулю
приближается к действительной скорости движения и в пределе даёт скорость
движения
в
данный
момент
времени
t
(мгновенную
скорость).
V=S’=lim((f(t+∆t)-f(t))/∆t)
Таким образом, физический смысл производной:
Производная характеризует скорость изменения функции по отношению
к изменению независимой переменной
Производная функции y=f(x) в точке x0 – это скорость изменения функции
f(x) в точке x0
• Скорость есть производная от пути по времени: v(t) = S′(t)
• Ускорение есть производная скорости по времени: a(t) = v′(t) = S′′(t)
2.4.
Геометрический смысл производной.
Угловой
коэффициент
касательной
к
графику
функции
равен
производной этой функции, вычисленной в точке касания.(рис.2)
f′(x) = k = tga
рис.2 Геометрический смысл производной
Решение этой задачи имеет большое значение. Ведь скорость
движущейся точки направлена по касательной к её траектории, поэтому
8
определение скорости снаряда на его траектории, скорости любой планеты на
её орбите сводится, к определению направления касательной к кривой.
Производная – математическое понятие, используемое в различных
областях науки. Трудно представить выполнение технических расчётов без
использования законов математики.
Где же она нужна, эта самая производная?
Производная функции используется всюду, где есть неравномерное
протекание
процесса:
это
неравномерное
механическое
движение,
переменный ток, химические реакции, радиоактивный распад вещества и т.д.,
так как механический смысл производной — это мгновенная скорость.
2.5.
Производная в физике
Производная – математическая операция, в полной мере используемая в
физике для выведения физических формул.
Пусть закон движения тела задан уравнением S = S (t).
Средней скоростью движения материальной точки называется отношение
длины пути, пройденного телом, ко времени, за которое этот путь был
пройден: Vср.= (S(t+Δt)-S(t))/Δt
Мгновенной скоростью в момент времени t называется предел средней
скорости движения за промежуток времени (t;t+Δt), когда Δt стремится к нулю
V=lim((S(t+Δt)-S(t))/Δt)=S’(t)
Механический смысл производной заключается в том, что производная
от координаты по времени есть скорость, а также производная от скорости по
времени –ускорение.
Скорость неравномерного движения тела в данный момент времени равна
производной пути по времени, т.е.: V= S'(t);
а ускорение: a= V’(t)=S”(t)
9
Через координату точки х = х(t) и ее производные можно выразить другие
механические величины:

угловая скорость – есть производная производной угла поворота
по времени;

сила тока - является производной заряда по времени;

мощность - выступает как производная работы по времени;

теплоемкость – это производная теплоты по температуре и другие.
Таблица № 2. Производные применяемые в физике
Задача 1: При извержении вулкана камни горной породы выбрасываются
перпендикулярно вверх с начальной скоростью v0 =120 м/с.
Какой наибольшей высоты достигнут камни, если сопротивлением ветра
пренебречь?
10
Решение: Вещество выбрасывается перпендикулярно вверх. Высота
камня h, как функция времени такова: h(t) = v0t - (gt2)/2, (h в метрах; t в
секундах). Отсюда следует:
h’(t)=v(t)=v0-gt
В верхней точке: v(t)=0. Известно, что g = 9,8 м/с2. Следовательно,
0 = 120 - 9,8*t и отсюда t=12,2сек.
Продолжительность подъёма составляет 12,2 сек.
Тогда h(12,2) = 120*12,2 – (9,8 *12,22)/2 = 735м. т. е. камни горной породы
достигнут уровня 735 м от края вулкана.
Задача 2: На какой высоте h над центром круглого стола радиусом r =1м
нужно повесить лампочку, чтобы освещенность на краю стола была
максимальной?
Решение:
освещенность
определяется
расстояние l до источника и угол e:
E=(I*cose)/l2 (1)
cose =h/l (2)
l= √(h2+r2) (3)
Подставим (3) и (4) в (1):
E=(I*h)/((h2+r2)*√(h2+r2)) = Ih/(h2+r2)3/2
Для точек экстремума dE/dh=0
dE/dh=(I(h2+r2)3/2−Ih*3/2√(h2+2r2h))/(h2+r2)3=0
I(h2+r2)3/2−3Ih2(h2+r2)1/2=0
(h2+r2)1/2(h2+r2-3h2)1/2=0
Так как h>0 и r>0, то h2+r2≠0.
11
через
силу
света,
Значит r2−2h2=0 h=r/√2=r√2/2 h=√2/2=0,707м
Ответ: на высоте 0,707м освещенность по краям стола будет максимальна.
2.6.
Производная в экономике
Экономический смысл производной состоит в том, что она выступает как
скорость изменения некоторого экономического процесса с течением времени
или по отношению к другому исследуемому фактору. Многие законы теории
производства и потребления, спроса и предложения оказываются прямыми
следствиями математических теорем.
С помощью производных можно решить такие задачи, как нахождение
скорости роста населения, роста производительности труда, скорости
расходов ресурсов, предельной выручки и скорости износа оборудования
Какое же отношение экономика имеет к производной?
Для ответа на этот вопрос рассмотрим следующую ситуацию:
Пусть предприятие «А» производит Х единиц продукции.
К - суммарные затраты или издержки производства.
Производственная функция, описывающая зависимость затрат от объёма
производства имеет вид: К=f(х).
Теперь рассмотрим понятие предельных издержек производства:
Предельные издержки производства – это дополнительные затраты,
которые несёт предприятие при увеличении объёма производства на
бесконечно малую величину. А это не что иное, как предел среднего
приращения затрат при стремлении к нулю. Так вычисляется значение
производной функции в точке.
Таким образом, получили не что иное, как ещё одно понятие
производной, а точнее её экономический смысл.
12
Значение производной функции в данной точке есть предельные
издержки производства при данном его объёме.
Таким образом у нас появилась ещё одна трактовка понятия производной
к уже имеющимся.
Таблица № 3. Производные в экономике
№
Формула
Примечание
1
П(t) = υ ' (t)
определение производительности труда, где υ (t) - объем
продукции
2
J(x) = y ' (x)
определение предельных издержек производства,
где y – издержки производства в зависимости от объема
выпускаемой продукции x
Задача 3: Предприятие производит x единиц некоторой однородной
продукции в месяц. Установлено, что зависимость финансовых накопления
предприятия от объема выпуска продукции выражается формулой:
f(x)=-0,02x3 + 600x -1000.
Исследовать потенциал предприятия.
Решение: Функция исследуется с помощью производной.
f ’(x)= -0.06x2+600=0, следовательно x=100
Получаем, что при x=100 функция достигает максимума.
f(x)= -0,02*1000000+60000-1000=39000 ден.ед.
Вывод: финансовые накопления предприятия растут с увеличением
объема производства до 100 единиц, при х =100 они достигают максимума и
объем накопления равен 39000 денежных единиц. Дальнейший рост
производства приводит к сокращению финансовых накоплений.
13
Задача 4: Вычислить производительность труда во время каждого часа
работы, при условии, что объем продукции у в течение рабочего дня
представлен функцией: у = -2t³ +10t² +50t – 16, t– время (ч).
Решение: Найдем производную у´(t) = -6t² +20t + 50
Найдем значение производной в течение каждого часа,
t=1 y’(1) = -6*1² +20*1 + 50= 64
t=2 y’(2) = -6*2² +20*2 + 50= 66
t=3 y’(3) = -6*3² +20*3 + 50= 56
t=4 y’(4) = -6*4² +20*4 + 50= 34
t=5 y’(5) = -6*5² +20*5 + 50= 0
После второго часа работы производительность работы начинает
падать. Такой результат является следствием усталости, ухудшением
условий
в
помещении
и
много
других
факторов,
влияющих
на
производительность труда.
2.7.
Производная в химии
Производную в химии используют для определения очень важной вещи –
скорости химической реакции, одного из решающих факторов, который
нужно учитывать во многих областях научно-производственной деятельности.
Если C(t) – закон изменения количества вещества, вступившего в
химическую реакцию, то скорость V(t) химической реакции в момент времени
t равна производной:
V(t) = C‘(t)
Химия изучает свойства веществ и их зависимость от условий температуры, давления, концентрации. Поэтому химикам часто приходится
исследовать функции одной или нескольких переменных. Скорость
14
химической реакции показывает, насколько быстро увеличивается количество
продуктов реакции и уменьшается количество исходных веществ.
Таблица № 4. Производная в химии
Понятие на языке химии
Обозначение
Понятие на языке математики
Количество в-ва в момент
времени t0
c = c(t)
Функция
Интервал времени
∆t = t2 – t1
Приращение аргумента
Изменение количества в-ва
∆c = c(t + t ) – c(t)
Приращение функции
Средняя скорость химической
реакции
∆c/∆t
Отношение приращён. функции
к приращён. аргументу
Задача 5: Пусть количество вещества, вступившего в химическую
реакцию задается зависимостью: c(t) = t 2 /2 + 3 t –3 (моль).
Найти скорость химической реакции через 3 секунды.
Решение: v(t) = с‘(t) ; v(t) = t + 3; v(3) = 3+3 = 6.
Ответ: 6 моль\с.
Задача 6: Реакция организма на введённое лекарство может выражаться
в повышении кровяного давления, уменьшении температуры тела, изменении
пульса или других физиологических показателей. Степень реакции зависит от
назначенного лекарства, его дозы. Предположим, что x - обозначает дозу
назначенного лекарства, а степень реакции – y описывается функцией
y=f(x)=x2(a-x), где a – некоторая положительная постоянная. При каком
значении x реакция максимальна?
Решение: Очевидно, 0<x<a. Имеем f ’(x)=2ax-3x2.
Следовательно, f ’(x)=0 при x=2a/3.
В этой точке f ’’(2a/3)= -2a<0, то x=2a/3 тот уровень дозы, который даёт
максимальную реакцию
15
2.8.
Производная в биологии:
Популяция – это совокупность особей данного вида, занимающих
определённый
участок
территории
внутри
ареала
вида,
свободно
скрещивающихся между собой и частично или полностью изолированных от
других популяций, а также является элементарной единицей эволюции
Производная в биологии Р = х‘ (t)
Таблица № 5. Производная в биологии
Понятие на языке биологии
Обозначение
Понятие на языке математики
Численность в момент времени t1
x = x(t)
Функция
Интервал времени
∆t = t2 – t1
Приращение аргумента
Изменение численности
популяции
∆x = x(t2) – x(t1)
Приращение функции
∆x/∆t
Отношение приращения
функции к приращению
аргумента
Скорость изменения численности
популяции
Относительный прирост в данный
момент
Lim
t
∆x/∆t
0
Производная
Пусть популяция бактерий в момент t(с) насчитывает x(t) особей.
Скорость роста популяции в произвольный момент t определяется:
P = x’(t)
Задача 7: Пусть популяция бактерий в момент t (с) насчитывает x(t)
особей. x(t) = 3000 + 100t2
Найти скорость роста популяции:
а) в произвольный момент t,
б) в момент t = 1 c.
16
Решение: P = x’(t) = 200t;
P(1) = 200 (k/с).
Ответ: 200 k/с.
Задача 8: Закон накопления сухой биомассы у винограда сорта Шасла
определяется уравнением у=0,03x- 0,0004x2 ,
где x – число дней от распускания почек, y – накопление биомассы в кг
на 1 куст.
Равенство отражает зависимость величин x и y как средний результат
массовых наблюдений.
Как изменится сухая биомасса при изменении x от 50 до 60 дней.
Решение: Изменение биомассы – это приращение биомассы, заменим его
дифференциалом: y= dy=(0,03x-0,0004x2)’dx=(0,03-0,0008x)dx .
Подставляем числовые значения x=50, dx=10.
Имеем dy=(0,03-0,0008*50)*10 = -0,1кг.
Биомасса уменьшится на 0,1 кг.
2.9.
Производная в географии
Производная помогает рассчитать:
1. Некоторые значения в сейсмографии
2. Особенности электромагнитного поля земли
3. Радиоактивность ядерно- геофизических показателей
4.Многие значения в экономической географии
Задача на радиоактивный распад 9. Какое количества радиоактивного
вещества останется через 100 лет, если период полураспада равен 1600 годам?
Решение: Пусть t – время (в годах), x(t) – количество радиоактивного
вещества в момент времени t.
17
Так как скорость радиоактивного вещества пропорционально наличному
количеству вещества, составим уравнение: dx/dt=kx
При начальных условиях: t0=0, x0=m, t1=1600 лет Найти x-?
Получаем: dx/x=kdt
ʃ(dx/x)=kt
ln|x|=kt+lnC
x=Cekt – общее решение
по условию: t0=0, x0=m получаем: m=Ce0, C=m,
x=mekt – частное решение
При t1= 1600, x=m/2, получаем, m/2=me1600k
½=e1600k
1600k=-ln2
k=-ln2/1600
Тогда x=me-tln2/1600
При t=100: x=me-ln2/16
x/m=e-0.04=1/1,04=0,96
Ответ: останется 96% вещества.
2.10.
Демография – наука о закономерностях воспроизводства
населения, изучающая численность, территориальное размещение и состав
населения.
Идея социологической модели Томаса Мальтуса состоит в том, что
прирост населения пропорционально числу населения в данный момент
времени t через N(t), N‘(t) =kN(t).
В эпоху Мальтуса был принят `оптимистический` взгляд на развитие
общества, и многие экономисты были убеждены, что рост народонаселения
18
является благоприятным процессом, обеспечивающим мощь государства.
Мальтус предложил диаметрально противоположный подход: рост населения
далеко не всегда желателен, и рост этот идёт быстрее, чем растут возможности
обеспечения населения продовольствием. В первоначальной формулировке
Мальтуса,
численность
населения
увеличивается
в
геометрической
прогрессии (1, 2, 4, 8, 16 и т.д.), а производство продуктов питания - в
арифметической прогрессии (1, 2, 3, 4, 5 и т.д.). По Мальтусу, именно этот
разрыв и является причиной многих общественных бед - бедности, голода,
эпидемий, войн. Модель Мальтуса неплохо действовала для описания
численности населения США с 1790 по 1860 годы.
Ныне эта модель в
большинстве стран не действует.
В дальнейшем Мальтус предложил несколько другое видение ситуации:
рост населения постоянно приближается к пределу, на котором оно все же
может существовать, и удерживается на этом уровне, т.к. начинаются голод,
войны и болезни.
Пример из демографии:
Выведем
формулу
для
вычисления
численности
населения
ограниченной территории в момент времени t.
Решение: Пусть у = у(t)- численность населения.
Рассмотрим прирост населения за: t = t-t0 ; y = k*y*t,
где к = кр – кс –коэффициент прироста
(кр – коэффициент рождаемости, кс – коэффициент смертности)
y/t=k*y
При t0 получим lim y/ t=у’
у’= к*у
19
на
Скорость изменения населения пропорциональна численности населения
умноженного на разность коэффициентов рождения (кр) и смертности (кс)
Задача 10. «В настоящее время для обеспечения пищей одного человека
необходима площадь 0,1 га. На земном шаре 4000 млн. га пахотной земли.
Поэтому население его должно быть, если не учитывать в будущем новых
источников пищи, ограничено количеством 40000 млн. человек. Когда будет
достигнут этот предел насыщения населения, если оно растет со скоростью 1,8
% в год?»
Решение. Закон роста населения можно выразить, используя формулу:
y(t)=y0 exp(pt/100). За точку начала отсчета t=0 выберем 1999 г., когда
население планеты насчитывало 6*109 e0.018t . Значит, y(t)= 6*109 e0.018t.
Найдем теперь такое значение времени t, при котором y(t)=40*109 , т.е.
40*109=6*109 e0.018t, следовательно e0.018t=(40*109)/( 6*109) = 6,667.
Находя
натуральный
логарифм
от
обеих
частей,
получим
0,018t=ln6,667=1,897. Значит, t=105 лет.
Следовательно, в районе в 2104 г. человечество должно было достичь
предела насыщения, если бы сохранились темпы его роста
Как бы быстро не увеличивалось производство продуктов питания и как
бы медленно не росло население, эти прямые пересекутся, то есть
определенное число людей будет неизбежно лишено продовольствия (рис.3)
Рис.3 Модель Мальтуса
20
3. Заключение.
Задачей данного проекта являлось показать применение производной в
различных сферах жизни человека. В ходе исследования, путем анализа
литературы, разбора прикладных задач в разных областях было установлено,
что при решении задач с применением производной во всех задачах можно
наблюдать следующее:
1. Функцией задан процесс или явление, т.е. их можно описать с помощью
уравнения.
2. Скорость изменения определенного процесса или явления - вычисляется
как производная от заданной функции
Исходя из приведенных примеров можно сказать, что производная
функции играет важную роль в естественно-научных и инженернотехнических исследованиях. Для многих отраслей науки она стала важным
орудием количественного расчета, методом точного исследования и
средством предельно четкой формулировки понятий и проблем.
Производная функции используется всюду, где есть неравномерное
протекание процесса: это и неравномерное механическое движение, и
переменный ток, а также и в географии, экономике, химии, биологии и т.д.
Человек в повседневной деятельности постоянно сталкивается с
решением задач на оптимизацию, которые могут быть полностью описаны с
помощью функций на математическом языке.
Таким образом, данная работа отражает важность изучения темы
«Практическое применение производной", ее роли в исследовании процессов
науки и техники, в возможности конструирования по реальным событиям
математические модели, и решать важные задачи.
21
4. Список литературы:
1. «Алгебра и начала математического анализа, геометрия»
(базовый и углубленный уровень.) Издательство «Просвещение», 2014
Мордкович А.Г., Семенов П.В.
2. http://revolution.allbest.ru/mathematics/00261749_0.html
3.
https://srcaltufevo.ru/proizvodnye-v-zhizni-cheloveka-referat-primenenie-
proizvodnoi-v-nauke.html
4. https://www.webmath.ru/poleznoe/formules_8_0.php
5. https://www.top-technologies.ru/ru/article/view?id=31986
22