Задания по численным методам Работа №1. Решение систем линейных алгебраических уравнений Цель работы: Освоение прямых и итерационных методов решения систем линейных алгебраических уравнений. Получение навыков решения задач вычислительной математики на ЭВМ. Задание: 1. Разработайте программу решения СЛАУ методом Гаусса. 2. Зная, что коэффициенты исходной системы заданы точно, а свободные члены имеют абсолютную погрешность 0.001, найдите оценку абсолютной и относительной погрешности решения. 3. Преобразуйте систему AX B к виду X X + , необходимому для применения метода простых итераций. 4. Проверьте выполнение достаточного условия сходимости метода простой итерации 1. 5. Найдите необходимое количество итерационных шагов для решения системы методом простой итерации с точностью 107 . 6. Разработайте программу решения СЛАУ методами Якоби и Зейделя. В программе задается точность вычисления , выводится результат и число итераций. 7. Решите систему уравнений различными методами в математическом пакете Maple, MathCad, ….или вручную. 8. Сравните итерационные методы по числу итераций, по эффективности (трудность реализации метода, объема памяти, общие затраты времени) . 9. Ответьте на следующие вопросы. Варианты заданий: № Задание 1 2.047 x1 0.172 x2 0.702 x3 0.226 x4 0.514 № Задание 11 3.738 x1 0.195 x2 0.275 x3 0.136 x4 0.815 0.495 x1 4.093 x2 0.083 x3 0.390 x4 0.176 0.519 x1 5.002 x2 0.405 x3 0.283 x4 0.191 0.277 x1 0.368 x2 4.164 x3 0.535 x4 0.309 0.306 x1 0.381x2 4.812 x3 0.418 x4 0.423 0.766 x1 0.646 x2 0.767 x3 5.960 x4 0.535 0.272 x1 0.142 x2 0.314 x3 3.395 x4 0.352 5.482 x1 0.617 x2 0.520 x3 0.401x4 0.823 12 3.869 x1 0.512 x2 0.205 x3 0.164 x4 0.802 0.607 x1 4.195 x2 0.232 x3 0.570 x4 0.152 0.253x1 4.102 x2 0.156 x3 0.235 x4 0.591 0.367 x1 0.576 x2 8.193 x3 0.582 x4 0.625 0.416 x1 0.341x2 3.879 x3 0.189 x4 0.263 0.389 x1 0.356 x2 0.207 x3 5.772 x4 0.315 5.482 x1 0.358 x2 0.237 x3 0.409 x4 0.416 0.382 x1 0.425 x2 0.346 x3 4.351x4 0.671 13 2.898 x1 0.129 x2 0.257 x3 0.418 x4 0.102 0.580 x1 4.953x2 0.467 x3 0.028 x4 0.464 0.237 x1 3.921x2 0.421x3 0.352 x4 0.359 0.319 x1 0.372 x2 8.935 x3 0.520 x4 0.979 0.472 x1 0.302 x2 3.791x3 0.225 x4 0.631 0.043x1 0.459 x2 0.319 x3 4.778 x4 0.126 5.554 x1 0.252 x2 0.496 x3 0.237 x4 0.442 0.324 x1 0.265 x2 0.416 x3 4.512 x4 0.620 14 4.268 x1 0.529 x2 0.293x3 0.439 x4 0.252 0.580 x1 4.953x2 0.467 x3 0.028 x4 0.464 0.375 x1 4.219 x2 0.219 x3 0.526 x4 0.799 0.319 x1 0.372 x2 8.935 x3 0.520 x4 0.979 0.417 x1 0.102 x2 2.997 x3 0.251x4 0.871 0.043x1 0.459 x2 0.319 x3 4.778 x4 0.126 0.274 x1 0.435 x2 0.176 x3 4.092 x4 0.738 2 3 4 1 5.526 x1 0.305 x2 0.887 x3 0.037 x4 0.774 15 4.687 x1 0.297 x2 0.435 x3 0.392 x4 0.612 0.658 x1 2.453 x2 0.678 x3 0.192 x4 0.245 0.359 x1 5.193x2 0.279 x3 0.531x4 0.332 0.398 x1 0.232 x2 4.957 x3 0.567 x4 0.343 0.223x1 0.296 x2 3.971x3 0.517 x4 0.603 0.081x1 0.521x2 0.192 x3 4.988 x4 0.263 0.403x1 0.452 x2 0.293 x3 4.912 x4 0.564 2.591x1 0.512 x2 0.128 x3 0.195 x4 0.159 16 4.871x1 0.217 x2 0.365 x3 0.328 x4 0.082 0.203x1 3.469 x2 0.572 x3 0.162 x4 0.280 0.503x1 4.293x2 0.271x3 0.315 x4 0.236 0.256 x1 0.273x2 2.994 x3 0.501x4 0.134 0.246 x1 0.147 x2 2.981x3 0.175 x4 0.546 0.381x1 0.219 x2 0.176 x3 5.903 x4 0.864 3.910 x1 0.129 x2 0.283 x3 0.107 x4 0.395 0.328 x1 0.401x2 0.371x3 4.542 x4 0.384 17 2.998 x1 0.209 x2 0.315 x3 0.281x4 0.108 0.217 x1 4.691x2 0.279 x3 0.237 x4 0.432 0.163x1 3.237 x2 0.226 x3 0.307 x4 0.426 0.201x1 0.372 x2 2.987 x3 0.421x4 0.127 0.416 x1 0.175 x2 2.239 x3 0.159 x4 0.310 0.531x1 0.196 x2 0.236 x3 5.032 x4 0.458 5.103x1 0.293x2 0.336 x3 0.270 x4 0.745 0.287 x1 0.196 x2 0.325 x3 4.062 x4 0.084 18 2.923x1 0.220 x2 0.159 x3 0.328 x4 0.605 0.179 x1 4.912 x2 0.394 x3 0.375 x4 0.381 0.363x1 4.123x2 0.268 x3 0.327 x4 0.496 0.189 x1 0.321x2 2.875 x3 0.216 x4 0.480 0.169 x1 0.271x2 3.906 x3 0.295 x4 0.590 0.317 x1 0.165 x2 0.386 x3 3.934 x4 0.552 3.345 x1 0.329 x2 0.365 x3 0.203 x4 0.305 0.241x1 0.319 x2 0.257 x3 3.862 x4 0.896 19 4.003x1 0.207 x2 0.519 x3 0.281x4 0.425 0.125 x1 4.210 x2 0.402 x3 0.520 x4 0.283 0.416 x1 3.273x2 0.326 x3 0.375 x4 0.021 0.314 x1 0.251x2 4.531x3 0.168 x4 0.680 0.297 x1 0.351x2 2.997 x3 0.429 x4 0.213 0.197 x1 0.512 x2 0.302 x3 2.951x4 0.293 10 4.503x1 0.219 x2 0.527 x3 0.396 x4 0.553 0.412 x1 0.194 x2 0.215 x3 3.628 x4 0.946 20 4.247 x1 0.275 x2 0.397 x3 0.239 x4 0.721 0.259 x1 5.121x2 0.423x3 0.206 x4 0.358 0.466 x1 4.235 x2 0.264 x3 0.358 x4 0.339 0.413x1 0.531x2 4.317 x3 0.264 x4 0.565 0.204 x1 0.501x2 3.721x3 0.297 x4 0.050 0.327 x1 0.412 x2 0.203 x3 4.851x4 0.436 0.326 x1 0.421x2 0.254 x3 3.286 x4 0.486 5 7 8 9 Контрольные вопросы: 1. Назовите основные понятия, связанные с матрицами и векторами. 2. Что такое норма векторов и матриц? Приведите примеры норм векторов и матриц. 3. Что такое число обусловленности матрицы и как оно вычисляется? 4. Какие вы знаете группы методов решения систем линейных уравнений? 5. Какие методы относятся к прямым методам решения систем линейных уравнений? 6. Какие методы относятся к приближенным методам решения систем линейных уравнений? 7. Что значит решить систему уравнений? 8. Чем отличаются прямые методы от итерационных? 9. К какому виду приводится матрица коэффициента в прямом ходе метода Гаусса? 10. В каком случае нельзя применить метод Гаусса? 11. В чем заключается суть метода простой итерации для решения систем уравнений? 12. Как привести систему к виду с преобладающими диагональными коэффициентами? 13. В чем заключается суть метода Зейделя для решения систем уравнений? 14. Для каких систем применяется метод прогонки? 15. С каким методом схож метод прогонки? 16. Каково условие прекращения итерации в итерационных методах? 17. Как проверить являются ли полученные корни истинными или ложными? 2 Работа №2. Методы отделения корней уравнений с одной переменной Цель работы: Освоение различных численных методов решения нелинейных уравнений f x 0 . Решение проблемы отделения корней на отрезке. Подробное изучение различных методов для уточнения корня уравнения. Получение навыков решения задач вычислительной математики на ЭВМ. Задание: 1. Отделите корни трансцендентного уравнения графически, используя математический пакет Maple, MathCad, ….. 2. Напишите программу приближенного вычисления корня уравнения f x 0 методом половинного деления, Ньютона, простых итераций и хорд. В программе задается точность вычисления , начальное приближение x0 или отрезок a, b ; выводится результат решения x и число итераций n . 3. Решите уравнение в математическом пакете Maple, MathCad, …. с помощью встроенных функций или вручную. 4. Проведите сравнительную характеристику методов. Сравните число итераций до достижения заданной точности в различных методах. 5. Ответьте на вопросы. Варианты заданий: № Задание № Задание № Задание x ln( x) 5 cos 0 3 1 x3 3x 2 2 0 8 x5 2 x 1 0 15 2 4 x 8sin x 1 0 9 tg x 2 x 1 0 16 10ln( x) 3cos( x) 0 3 x 2cos x 1 0 10 e x 3x3 2 0 17 x3 3x 1 0 4 4 x2 sin x 3 0 11 x3 6 x 8 0 18 e x x2 0 5 3x ln x 5 12 x 6 3x 2 x 1 0 19 6 x 4cos2 x 3 13 ex 6x 3 0 20 x 1 sin x 4 4 2 arccos( x) x 0 7 2 x 1.3x 0 14 arcsin( x) 2 x 2 0 Контрольные вопросы: 1. Что называется корнем уравнения? 2. Что значить решить уравнение? 3. Каковы этапы решения уравнения с одной переменной? 4. Суть графического отделения корней уравнения. 5. Какие существуют методы решения уравнения с одной переменной? 6. Суть метода половинного деления. В чем заключается геометрический смысл метода половинного деления? 7. Суть метода золотого сечения. 8. Всегда ли позволяет метод половинного деления вычислить отделенный корень уравнения с заданной погрешностью? 9. Суть метода хорд. Графическая интерпретация метода. 10. Суть метода касательных. Графическая интерпретация метода. 11. Как выбирается начальное приближение в методе Ньютона? 12. Суть метода итераций. Графическая интерпретация метода. 13. К какому виду нужно преобразовать уравнение для метода итераций? 3 14. Каковы достаточные условия сходимости итерационного процесс при решении уравнения x x на отрезке a, b , содержащего корень, методом простой итерации? 15. Какое условие является критерием достижения заданной точности при решении нелинейного уравнения методом хорд, касательных, итераций? 4 Работа №3. Приближенное вычисление корней системы нелинейных уравнений Цель работы: Освоение методов приближенного вычисления корней системы нелинейных уравнений. Получение навыков решения задач вычислительной математики на ЭВМ. Задание: 1. Отделите корни системы уравнений графически, используя математический пакет Maple, MathCad, …., MathCad, ….. 2. Напишите программу приближенного вычисления корней системы уравнений методом простых итераций и Ньютона. В программе задается точность вычисления , начальное приближение x0 , y0 ; выводится результат x, y и число итераций n . 3. Решите систему уравнений в математическом пакете Maple, MathCad, …. с помощью встроенных функций или вручную. 4. Проведите сравнительную характеристику методов. Сравните число итераций до достижения заданной точности в различных методах. 5. Ответьте на вопросы. Варианты заданий: № № 1 sin( x 1) - y 1.2; 11 2 2 x cos( y ) 2. cos(x -1)+y =0.5; 12 cos( x) y 1.2; 2 x sin( y 0.5) 2. sin( x - 0.6) y 1.6; 3 x-cos(y )=3. sin( x) 2 y 2; 13 3x cos( y) 0.9. sin( x 0.5) y 1; 4 cos( y -1) x 0.7. cos( x -1) y 1; sin( y ) 2 x 1.6. 14 5 sin x y 1.32; 15 2 y sin( x 0.5) 1. cos y x 0.85. 6 sin( x - 0.6) - y 1.6; 7 3x - cos y 0.9. cos( y ) x 1.5; cos( y 2) x 0. sin( x) 2 y 2; cos( y 1) x 0.7. cos( y ) x 1.5; 16 17 2 y sin( x 0.5) 1. sin x 2 y 3; cos( y 1) x 0.8 sin y 2 x 2; 8 cos( x 0.5) y 1; 18 9 sin( y ) 2 x 2. sin( x 2) y 1.5; 19 cos( x 1) y 0.7. x cos( y 1) 0.8; y cos( x) 2. cos( x 0.5) y 1; 10 x cos( y 2) 0.5. sin( x) 2 y 1.6; 20 sin( y ) 2 x 2 cos( x 0.4) y 1; cos( y 1) x 1. sin( y 1) 2 x 2. Контрольные вопросы: 1. Какие вы знаете методы решения систем нелинейных уравнений? 2. В чем заключается суть метода Ньютона для решения систем нелинейных уравнений? 3. В чем заключается суть метода простых итераций для решения систем уравнений? 5 Работа №4. Интерполирование функций Цель работы: Сформировать у студентов представления о применении интерполирования функций для решения жизненных задач. Привить умения составлять и применять интерполяционные формулы Лагранжа, Ньютона, сплайны, а также оценивать их погрешности. Дать навыки в использовании программных средств для проверки полученных результатов. Задание: а) 1. Используя в качестве узлов интерполяции точки: x0 , x2 , x4 , x6 , x8 , x10 , построить интерполяционный многочлен Лагранжа, интерполяционные формулы Ньютона. 2. Используя интерполяционный многочлен Лагранжа, вычислить значения функции y f x при заданных значениях аргумента. 3. Используя первую или вторую интерполяционные формулы Ньютона, вычислить значения функции y f x при заданных значениях аргумента. Обосновать выбор интерполяционной формулы. 4. Построить графики интерполяционных функций. 5. Построить интерполяционный многочлен в Maple, MathCad, …. с помощью встроенной функций. 6. Построить график построенной интерполяционной зависимости и аппроксимируемые данные в Maple, MathCad, ….. б) 1. Построить интерполяционный многочлен Ньютона. 2. Вычислить значения функции y f x при заданных значениях аргумента. 3. Осуществить кусочно-линейное интерполирование. 4. Построить интерполяционный многочлен и различные сплайны в Maple, MathCad, …. с помощью встроенных функций или вручную. 5. Построить графики построенных приближений и исходные данные в Maple, MathCad, ….. Варианты заданий а) х у 1.415 0.888551 1.420 1.425 1.430 1.435 1.440 1.445 1.450 1.455 1.460 1.465 0.889599 0.890637 0.891667 0.892687 0.893698 0.894700 0.895693 0.896677 0.897653 0.898619 № варианта 1 11 21 Таблиця №1 Значения аргумента x1 1.4161 1.4179 1.4263 x2 1.4625 1.4633 1.4675 x3 1.4135 1.4124 1.410 x4 1.470 1.4655 1.4662 Таблица №2 х у 0.101 1.26183 0.106 0.111 1.27644 1.29122 № варианта 2 12 Значения аргумента x1 0.1026 0.1035 x2 0.1440 0.1492 x3 0.099 0.096 x4 0.161 0.153 6 0.116 0.121 0.126 0.131 0.136 0.141 0.146 0.151 1.30617 1.32130 1.33660 1.35207 1.36773 1.38357 1.39959 1.41579 22 0.1074 0.1485 0.1006 0.156 Таблица №3 № варианта х у 0.15 0.860708 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.818731 0.778801 0.740818 0.704688 0.670320 0.637628 0.606531 0.576950 0.548812 0.522046 3 13 23 Значения аргумента x1 0.1511 0.1535 0.1525 x2 0.6250 0.6333 0.6730 x3 0.1430 0.100 0.1455 x4 0.780 0.7540 0.785 Таблица №4 № варианта х у 0.180 5.61543 0.185 0.190 0.195 0.200 0.205 0.210 0.215 0.220 0.225 0.230 5.46693 5.32634 5.19304 5.06649 4.94619 4.83170 4.72261 4.61855 4.51919 4.42422 4 14 24 х 3.50 у 33.1154 № варианта 3.55 3.60 3.65 3.70 3.75 3.80 3.85 3.90 3.95 34.8133 36.5982 38.4747 40.4473 42.5211 44.7012 46.9931 49.4024 51.9354 5 15 25 Значения аргумента x1 0.1817 0.1827 0.1873 x2 0.2275 0.2292 0.2326 x3 0.175 0.1776 0.1783 x4 0.2475 0.240 0.245 Таблица №5 x1 3.522 3.543 3.575 Значения аргумента x3 x2 4.176 3.475 4.184 3.488 4.142 3.45 x4 4.25 4.30 4.204 7 4.00 54.5982 Таблица №6 х 0.115 у 8.65729 № варианта 0.120 0.125 0.130 0.135 0.140 0.145 0.150 0.155 0.160 0.165 8.29329 7.95829 7.64893 7.36235 7.09613 6.84815 6.61659 6.39986 6.19658 6.00551 6 16 26 x1 0.1217 0.1168 0.1175 Значения аргумента x3 x2 0.1636 0.1141 0.1645 0.1100 0.1647 0.1134 x4 0.1750 0.1725 0.1800 Таблица №7 х у 1.340 4.25562 1.345 1.350 1.355 1.360 1.365 1.370 1.375 1.380 1.385 1.390 4.35325 4.45522 4.56184 4.67344 4.79038 4.91306 5.04192 5.17744 5.32016 5.47069 № варианта 7 17 27 Значения аргумента x1 1.3617 1.3463 1.3432 x2 1.3921 1.3868 1.3936 x3 1.3359 1.335 1.3365 x4 1.400 1.3990 1.3975 Таблица №8 х 0.01 у 0.991824 № варианта 0.06 0.11 0.16 0.21 0.26 0.31 0.36 0.41 0.46 0.51 0.951935 0.913650 0.876905 0.841638 0.807789 0.775301 0.744120 0.714193 0.685470 0.657902 8 18 28 х 0.15 у 4.4817 0.16 0.17 0.18 4.9530 5.4739 6.0496 x1 0.027 0.1243 0.0830 Таблица №9 № варианта x1 9 0.1539 19 0.1732 29 0.1648 Значения аргумента x3 x2 0.5050 0.008 0.4920 0.0094 0.5054 0.0075 x4 0.610 0.660 0.573 Значения аргумента x3 x2 0.2469 0.14 0.2444 0.1415 0.2450 0.1387 x4 0.2665 0.27 0.28 8 0.19 0.20 0.21 0.22 0.23 0.24 0.25 6.6859 7.3891 8.1662 9.0250 9.9742 11.0232 12.1825 Таблица №10 х 0.45 у 20.1946 № варианта 0.46 0.47 0.48 0.49 0.50 0.51 0.52 0.53 0.54 0.55 19.6133 18.9425 18.1746 17.3010 16.3123 15.1984 13.9484 12.5508 10.9937 9.2647 10 20 30 б) Вариант 1, 11 2, 12 3, 13 Исходные данные х0=0.35 у0=1.419 х1=0.48 у1=1.616 х2=0.97 у2=2.637 х3=1.08 у3=2.944 х4=1.18 у4=3.254 х5=1.40 у5=4.055 х6=1.71 у6=5.528 х7=1.74 у7=5.697 х8=2.09 у8=8.084 х9=2.46 у9=11.704 х10=2.69 у10=14.731 х=0.58; х=1.58; х0=0.32 у0=1.377 х1=0.73 у1=2.075 х2=0.97 у2=2.637 х3=1.13 у3=3.095 х4=1.52 у4=4.572 х5=1.57 у5=4.806 х6=2.02 у6=7.538 х7=2.52 у7=12.428 х8=2.96 у8=19.297 х9=3.40 у9=29.964 х10=3.79 у10=44.256 х=2.80; х=3.80 х0=0.32 у0=1.377 х1=0.48 у1=1.616 х2=0.97 у2=2.637 х3=1.11 у3=3.034 x1 0.455 0.4732 0.4675 Вариант 6, 16 7, 17 8, 18 Значения аргумента x3 x2 0.5475 0.44 0.5468 0.445 0.5411 0.4423 x4 0.5674 0.57 0.58 Исходные данные х0=0.38 у0=1.462 х1=0.49 у1=1.632 х2=0.99 у2=2.691 х3=1.09 у3=2.974 х4=1.19 у4=3.287 х5=1.40 у5=4.055 х6=1.71 у6=5.528 х7=1.72 у7=5.584 х8=2.04 у8=7.690 х9=2.38 у9=10.804 х10=2.53 у10=12.553 х=2.95; х=1.95 х0=0.14 у0=1.150 х1=0.28 у1=1.323 х2=0.57 у2=1.768 х3=1.00 у3=2.718 х4=1.22 у4=3.387 х5=1.36 у5=3.896 х6=1.73 у6=5.640 х7=1.74 у7=5.697 х8=2.11 у8=8.248 х9=2.49 у9=12.061 х10=2.74 у10=15.486 х=0.80; х=1.80 х0=0.38 у0=1.462 х1=0.40 у1=1.491 х2=0.81 у2=2.247 х3=1.25 у3=3.490 9 4, 14 5, 15 х4=1.25 у4=3.490 х5=1.53 у5=4.618 х6=1.94 у6=6.958 х7=2.14 у7=8.499 х8=2.25 у8=9.487 х9=2.56 у9=12.935 х10=2.97 у10=19.491 х=1.34; х=2.34; х0=0.09 у0=1.094 х1=0.41 у1=1.506 х2=0.83 у2=2.293 х3=1.06 у3=2.886 х4=1.22 у4=3.387 х5=1.61 у5=5.002 х6=1.65 у6=5.206 х7=2.08 у7=8.004 х8=2.56 у8=12.935 х9=2.96 у9=19.297 х10=3.35 у10=28.502 х=1.75; х=2.75 х0=0.17 у0=1.185 х1=0.64 у1=1.896 х2=0.78 у2=2.181 х3=0.89 у3=2.435 х4=1.14 у4=3.126 х5=1.50 у5=4.481 х6=1.62 у6=5.053 х7=2.10 у7=8.166 х8=2.19 у8=8.935 х9=2.25 у9=9.487 х10=2.41 у10=11.133 х=1.35; х=2.35 9, 19 10,. 20 х4=1.59 у4=4.903 х5=1.86 у5=6.423 х6=1.98 у6=7.242 х7=2.36 у7=10.590 х8=2.37 у8=10.697 х9=2.76 у9=15.799 х10=3.16 у10=23.570 х=1.72; х=2.72 х0=0.18 у0=1.197 х1=0.65 у1=1.915 х2=0.80 у2=2.225 х3=0.92 у3=2.509 х4=1.20 у4=3.320 х5=1.59 у5=4.903 х6=1.77 у6=5.870 х7=1.83 у7=6.233 х8=2.07 у8=7.924 х9=2.38 у9=10.804 х10=2.43 у10=11.358 х=2.14; х=1.14 х0=0.40 у0=1.491 х1=0.66 у1=1.934 х2=0.83 у2=2.293 х3=1.27 у3=3.560 х4=1.37 у4=3.935 х5=1.40 у5=4.055 х6=1.54 у6=4.664 х7=1.71 у7=5.528 х8=2.02 у8=7.538 х9=2.50 у9=12.182 х10=2.79 у10=16.281 х=1.61; х=2.61 Ответьте на вопросы: 1. Что такое интерполяция? 2. Что такое узлы интерполяции? 3. В чем заключается задача отыскания интерполирующего многочлена? 4. Как построить интерполяционный многочлен Лагранжа? 5. Как определить погрешность метода интерполяции с помощью формулы Лагранжа? 6. Полиномом, какой степени, является интерполяционный полином Лагранжа при n+1 узлах? 7. Может ли метод Лагранжа применяться для экстраполяции? 8. Что влияет на точность интерполяции в методе Лагранжа? 9. Можно ли добавлять новые узлы интерполяции при использовании метода Лагранжа? 10. К какому классу функций относится функция, задаваемая интерполяционной формулой Лагранжа? 11. Как образуются разделенные разности? Свойства разделенной разности. 12. Как связаны разделенные разности и производная? 13. Интерполяционная формула Ньютона 14. Что такое конечная разность первого порядка? Как она находится? Что такое конечная разность второго порядка? Как она находится? Что такое конечная разность n-го порядка? Как она находится? 15. Первая интерполяционная формула Ньютона для равноотстоящих узлов. 10 16. Вторая интерполяционная формула Ньютона для равноотстоящих узлов. 17. Как находится погрешность метода интерполирования с помощью формул Ньютона? 18. Что значит ”интерполирование вперед”, “интерполирование назад”? 19. Как повлияет дополнительная n 1 точка исходных данных внутри отрезка x0 , xn на точность интерполяции? 20. Как влияет количество узлов интерполяции на точность интерполяции? 21. Каким путем в общем случае можно повысить точность интерполяции? 22. Интерполирование с кратными узлами. 23. Интерполяционный многочлен Эрмита. 24. Частные случаи многочлена Эрмита. 25. Кусочно-линейное и кусочно-квадратичное интерполирование. 26. Кубические сплайны дефекта 1. 11 Работа №5. Аппроксимация функций. Методы обработки экспериментальных данных Цель работы: Сформировать у студентов представление о подходе к решению задачи о среднеквадратичном приближении функции, заданной таблично; привить знания о методах аппроксимации элементарными функциями; дать навыки в использовании программных средств для проверки полученных результатов. Задание: Функция y f x задана в виде таблицы своих значений в 10 точках a 1 x 1. Для законов: y ax b , y axb , y ab x , y a ln x b , y b , y , y , x ax b ax b y a2 x 2 a1x a0 составьте нормальную систему уравнений, решив которую найдете параметры этих законов. Для каждого из аппроксимирующих законов найдите невязку. 2. Постройте графики 8 законов в месте с аппроксимируемыми данными в Maple, MathCad, ….. 3. С помощью аналитического способа подберите наилучший аппроксимирующий закон. a 4. Построить законы y ax b , y b , y a2 x 2 a1 x a0 в Maple, MathCad, …. с x помощью встроенной функций. Варианты заданий Вариант Исходные данные 1 х у 0.43 1.63597 0.48 1.73234 0.55 1.87686 0.62 2.03345 0.70 2.22846 0.75 2.35973 0.78 2.45691 0.84 2.63854 0.91 2.89432 0.95 3.21748 2 х у 0.11 9.05421 0.15 6.61659 0.21 4.69170 0.29 3.35106 0.35 2.73951 0.40 2.36522 0.47 2.16830 0.52 1.90874 0.59 1.78439 0.64 1.59128 3 х у Вариант 6 7 8 Исходные данные х у 0.68 0.80866 0.73 0.89492 0.80 1.02964 0.88 1.20966 0.93 1.34087 0.99 1.52368 1.05 1.64278 1.12 1.87351 1.20 1.99732 1.25 2.19231 х у 1.375 5.04192 1.380 5.17744 1.385 5.32016 1.390 5.47069 1.395 5.62968 1.400 5.79788 1.400 5.97934 1.410 6.14371 1.415 6.33879 1.420 6.51268 х у 12 0.115 0.120 0.125 0.130 0.135 0.140 0.145 0.150 0.155 0.160 х 0.180 0.185 0.190 0.195 0.200 0.205 0.210 0.215 0.220 0.225 8.65729 8.29329 7.95829 7.64893 7.36235 7.09613 6.87908 6.59130 6.32198 6.09281 у 5.61543 5.46693 5.32634 5.19304 5.06649 4.94619 4.81938 4.69321 4.53428 4.38924 5 х 1.415 1.420 1.425 1.430 1.435 1.440 1.445 1.450 1.455 1.460 у 0.88551 0.89569 0.79052 0.77925 0.76241 0.75319 0.73924 0.72189 0.69412 0.66851 11 х х 4 0.43 0.48 0.55 0.62 0.70 0.75 0.78 0.84 0.91 0.95 12 0.150 0.155 0.160 0.165 0.170 0.175 0.180 0.185 0.190 0.195 х 0.210 0.215 0.220 0.225 0.230 0.235 0.240 0.245 0.250 0.255 6.61659 6.39989 6.19658 6.00551 5.82558 5.65583 5.40728 5.19103 4.78921 4.35159 у 4.83170 4.73361 4.61855 4.51819 4.42422 4.33337 4.25698 4.12395 4.02511 3.96714 10 х 0.05 0.10 0.17 0.25 0.30 0.36 0.42 0.47 0.53 0.60 у 0.050042 0.100335 0.171657 0.255342 0.309336 0.376403 0.456915 0.638541 0.894322 0.974845 у 1.73597 1.83234 1.97686 2.13345 2.22846 2.45973 2.55691 2.73854 2.99432 3.31748 16 х 1.675 1.676 1.677 1.678 1.679 1.680 1.681 1.682 1.683 1.684 у 9.5618 9.4703 9.3804 9.2923 9.2057 9.1208 9.0373 8.9554 8.8749 8.7559 у 17 х у 9 13 13 14 15 1.520 1.521 1.522 1.523 1.524 1.525 1.526 1.527 1.528 1.529 19.670 20.065 20.477 20.906 21.354 21.821 22.308 22.818 23.352 23.911 х 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 х 1.35 1.36 1.37 1.38 1.39 1.40 1.41 1.42 1.43 1.44 х 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 1.95 у 0.2887 0.3742 0.4518 0.5210 0.5818 0.6343 0.6792 0.7387 0.8732 0.9231 у 5.0419 5.1774 5.3201 5.4769 5.6968 5.7988 5.9734 6.4371 6.3879 6.5268 у 7.61659 7.39989 7.19658 7.00551 6.82558 6.65583 6.40728 5.19103 4.78921 4.35159 18 19 20 0.298 0.303 0.310 0.317 0.323 0.330 0.339 0.344 0.351 0.356 3.25578 3.17639 3.12180 3.04819 2.98755 2.91950 2.83598 2.75723 2.51891 2.34251 х 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 х 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 х 0.18 0.19 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 у 0.0996 0.1966 0.2887 0.3742 0.4518 0.5210 0.5818 0.6343 0.6792 0.7173 у 3.65729 3.29329 3.95829 3.64893 3.36235 3.09613 2.87908 2.59130 2.32198 2.09281 у 5.61543 5.46693 5.32634 5.19304 5.06649 4.94619 4.81938 4.69321 4.53428 4.38924 Контрольные вопросы: 1. Общая постановка задачи нахождения приближающей функции. 2. В чем суть приближения таблично заданной функции по методу наименьших квадратов? 3. Какие функции могут быть использованы в качестве приближающих? 4. Как найти приближающую функцию в виде линейной? 14 6. Как найти приближающую функцию в виде квадратичной функции? 7. Как привести показательную, степенную, логарифмическую функции к линейной? 8. Что такое коэффициент корреляции и как он находится? 10. Каковы границы значения коэффициента корреляции и что они показывают? 11. Что такое отклонение? 12. Как можно определить правильность вида выбранной функции. 15 Работа №6. Численное дифференцирование Цель работы: Сформировать у студентов представления о численном дифференцировании. Привить умения составлять и применять формулы численного дифференцирования с использованием интерполяционных многочленов Ньютона и Лагранжа, а также оценивать их погрешности. Дать навыки в использовании программных средств для проверки полученных результатов. Задание: а) 1. Найти значение первой и второй производной функции y f x , заданной на ba . n Вычислить первую и вторую производную в математическом пакете Maple, отрезке a, b с помощью многочлена Ньютона ( n 5 ) в точках xi a ih, i 0, n , h 2 MathCad, ... 3 Вычислить значение производных в точках xi a ih, i 0, n , применив функцию подстановки subs из математического пакета Maple, MathCad, ….. 3 Вычислить абсолютную погрешность. 4 Вычислить относительную погрешность. Выполнить данные задания в табличном редакторе Microsoft Excel или написать программу. Результатом является следующая таблица Абсолют. Относ. xi yi f '' xi Абсолют. Относ. f x'i f ' xi f x''i погреш. погреш. погреш. погреш. точное ' ' '' ( f '' ) f f f значение ( f ') ' ' ' fx производн f xi f x ой в точке xi i x0 y0 x1 y1 xn yn Варианты заданий: № варианта 1 2 3 4 5 6 7 8 i Задание x , a 1.5, b 2, m 1.55 2 x f ( x) cos , a 1.5, b 2, m 1.55 2 x f ( x) sin , a 2, b 2.5, m 2.06 2 x f ( x) cos , a 2, b 2.5, m 2.06 2 f ( x) lg x , a 2, b 2.5, m 2.04 x f ( x) ln , a 3, b 3.5, m 3.03 2 f ( x) lg x , a 70, b 90, m 73 x f ( x) ln , a 4.5, b 10, m 5.03 2 f ( x) sin 16 x 2 9 f ( x) e , a 3.4, b 4.4, m 3.6 x 10 f ( x) e 2 , a 0.5, b 1.5, m 0.63 x 2 11 f ( x) 3 , a 5.4, b 6, m 5.6 x 12 f ( x) 3 2 , a 6, b 7.5, m 6.12 f ( x) lg x , a 3, b 6, m 3.04 13 14 f ( x) ln 15 f ( x) tgx , a 3, b 6, m 3.04 16 17 f ( x) ctgx , a 3, b 6, m 3.04 x , a 5, b 7, m 5.03 2 x f ( x) sh , a 2, b 2.5, m 2.04 2 x f ( x) ch , a 2, b 2.5, m 2.04 2 18 19 f ( x) 1 x 2 , a 2, b 2.5, m 2.04 20 f ( x) 1 , a 2, b 2.5, m 2.04 x2 б) Пусть бесконечно гладкая функция y f x задана несколькими своими округленными значениями. 1 Вычислить приближенно значения первой производной функции y f x по формулам первого и второго порядка точности при i 0, n . 2 Вычислить приближенно значения второй производной функции y f x по формулам второго порядка точности при i 0, n . 3 Выполнить данные задания в табличном редакторе Microsoft Excel или написать программу. Результатом является следующая таблица i xi yi f ' xi первого f ' xi второго f '' xi второго порядка точности порядка точности порядка точности 0 x0 y0 По формуле (2) (5) (12) 1 2 3 x1 x2 x3 y1 y2 y3 (2) (2) (2) (5) (4) (6) (13) (13) (14) 4 (1) x4 y4 Варианты заданий: x № варианта (6) (14) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 1 y 1.3694 1.2661 1.1593 1.0472 0.9273 2 y 0.3948 0.5830 0.7610 0.9272 1.0808 17 3 y 0.5482 0.5974 0.6248 0.6703 0.7340 4 y 1.9852 1.8264 1.7187 1.6056 1.4517 5 y 2.1622 2.3115 2.3647 2.4401 2.5124 6 y 1.4812 1.5519 1.6781 1.8385 1.9615 7 y 1.6452 1.5760 1.4573 1.3689 1.2108 8 y 2.8845 2.7214 2.6541 2.5168 2.4289 9 y 1.0654 1.1342 1.2074 1.2613 1.3317 10 y 0.2881 0.3506 0.4112 0.5049 0.6138 11 y 1.6485 1.5747 1.4209 1.3738 1.2564 12 y 2.8845 2.7315 2.6642 2.5702 2.4863 13 y 0.1751 0.2378 0.3416 0.4723 0.5206 14 y 1.5478 1.5976 1.6305 1.7205 1.8057 15 y 2.5170 2.4615 2.3843 2.2844 2.2063 16 y 0.9868 0.8546 0.7402 0.6241 0.5614 17 y 1.5578 1.4726 1.3620 1.2477 1.1623 18 y 0.4523 0.5148 0.6489 0.6920 0.8045 19 y 2.4385 2.5747 2.6302 2.7055 2.7605 20 y 1.9758 1.8373 1.7485 1.7103 1.6478 Контрольные вопросы: 1 Дайте определение производной функции. 2 Как выглядит приближенная формула численного дифференцирования? 3 Что такое аппроксимация? 4 Интерполяционная формула Лагранжа для равноотстоящих узлов. 5 Формула численного дифференцирования на основе интерполяционной формулы Лагранжа. 6 Формула для оценки погрешности численного дифференцирования по формуле Лагранжа. 7 Формула численного дифференцирования на основе интерполяционных формул Ньютона. 8 Формула для оценки погрешности численного дифференцирования по формуле Ньютона. 9 Как влияет на точность численного дифференцирования величина шага h? 10 Метод неопределённых коэффициентов. 11 Как вычисляется полная вычислительная погрешность численного дифференцирования? 18 Работа №7. Приближенное вычисление определенных интегралов Цель работы: Освоение приближенных методов вычисления определенных интегралов. Получение навыков решения задач вычислительной математики на ЭВМ. Освоение умения анализировать результаты, полученные на компьютере и сравнивать методы. Задание: 1. Вычислить интеграл аналитически в математическом пакете Maple, MathCad, …. . 2. Вычислить интеграл приближенно в математическом пакете Maple, MathCad, …. . 3. Написать программу вычисления приближенного значения определенного интеграла методом прямоугольников, трапеций, Симпсона и Монте-Карло. 4. Вычислить интеграл по формуле Ньютона-Котеса. 5. Вычислить интеграл по формуле Гаусса при n=5. 6. Сделать выводы о применимости и целесообразности использования того или иного метода к приближенному вычислению данного интеграла. Варианты заданий: № варианта 1 1 sin x dx 2 1 x 0 2 1 x ln1 xdx № варианта 8 9 1 dx x 0 e 1 1 № варианта 15 1 0 4 0 0 6 7 1 3 1 x 2 16 1 x2 dx 4 11 x 1 17 3 1 x 1 dx 1 dx 2 1 x x 0 2 sin x dx 3 1 3 6x 5dx 1 cos x dx 2 18 1 0 14 2 cos x dx 2 x x 4dx 2 2 4 x dx 0 sin 2 x 1 cos x dx 0 19 20 sin x x dx 0 13 1 1 1 12 4 x e 1dx 0 dx 1 10 1 dx 2x x 1 x 2dx 0 11 1 3 5 x4 1 dx x6 1 0 0 3 1 1 3 0 1 x 21 e dx 1 2 ln xx 1 1 dx 1 Контрольные вопросы: 1. Сформулируйте задачу численного интегрирования. 2. Постановка задачи численного интегрирования. 3. Какие существуют методы интегрирования функций? 4. Квадратурные формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона. 5. Графическая интерпретация метода трапеций. 19 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. Как оценить погрешность метода трапеций? Графическая интерпретация метода Симпсона. Как оценить погрешность метода Симпсона? Графическая интерпретация метода прямоугольников. Как оценить погрешность метода прямоугольников? Чем отличаются формулы метода трапеций и метода Симпсона? Как влияет на точность численного интегрирования величина шага h? Чем отличается вычисление погрешности метода трапеций и Симпсона? Квадратурные формулы интерполяционного типа в общем виде. Формулы Ньютона-Котеса. Численная устойчивость квадратурных формул. Квадратурные формулы Гаусса. Основная идея метода Монте-Карло? Генераторы случайных чисел Интегрирование с помощью метода Монте-Карло. 20 Работа №8. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка Цель работы: Сформировать у студентов представления о применении дифференциальных уравнений в различных областях. Привить умения решать задачу Коши для дифференциальных уравнений y ' f x, y на отрезке a, b при заданном начальном условии y x0 y0 различными методами. Развить навыки проверки полученных результатов с помощью прикладных программ. Задание: 1. Найдите решения дифференциального уравнения первого порядка, удовлетворяющего начальным условиям на промежутке a, b с шагом h различными методами (Эйлера, Рунге-Кутта, Адемса, Милна). В программе задается шаг h или n ; результат решения выводится в виде таблицы (первый столбец x , второй y ). 2. Решите дифференциальное уравнение в математическом пакете Maple, MathCad, …. с помощью встроенных функций, получив аналитическое и численные решения, решение разложенное в ряд. 3. Постройте графики решения дифференциального уравнения в математическом пакете Maple, MathCad, ….. 4. Проведите сравнительную характеристику методов. Варианты заданий: № Уравнение варианта 1 y ' 2 3 4 5 y x cos y 1,8 2.6 a, b 1.8; 2.8 y' y 0.6 0.8 0.6;1.6 y 1 1.5 1;0 y 1 2 y 1.7 5.3 2 ; 2 1 1.7; 2.7 y' y' y' 5 y x sin 10 y x2 2x x2 y x sin x x y x sin y x0 y0 y 1.6 4.6 1.6; 2.6 7 y 3 2 ' x y xy 1 y 1 0 8 y ' 1 0.2 y sin( x) y 2 y 0 0 9 y 0 0 10 cos( x) 0.5 y 2 x 1 ' y 1 0.4 y sin( x) 1.5 y 2 1; 2 0;1 0;1 11 y ' cos( x y) 0.7 x y 0 0 12 y ' 0.2 x 2 y 2 y 0 0.7 6 y ' x cos y' y 0 0 0;1 0;1 0;1 21 13 14 15 16 17 cos( y ) 0.3 y 2 x2 cos( y ) y' 0.3 y 2 x2 ' y 0.2 xy y 2 y 0 0 0;1 y 0 0 0;1 y 0 0.4 y y ' x cos 3 y ' cos x y 0.7 x y 0 1.4 0;1 0;1 y' y 0 0 y 0 1 19 y y ' x cos 2 y ' 1 0.2 y sin( x) y 2 20 y ' xy y 2 21 y ' 1 y 2 cos( x) 0.6 y y 0 0.6 18 y 0 0 y 0 0 0;1 0;1 0;1 0;1 0;1 Контрольные вопросы: 1. Что такое обыкновенное дифференциальное уравнение? 2. Что значит – решить задачу Коши для дифференциальных уравнений первого порядка? 3. Графическая интерпретация численного решения дифференциального уравнения. 4. Какие существуют методы решения дифференциального уравнения в зависимости от формы представления решения? 5. В чем заключается суть метода конечных разностей? 6. В чем заключается суть метода Эйлера? 7. Применение каких формул позволяет получить значения искомой функции по методу Эйлера? 8. Графическая интерпретация методов Эйлера. В чем отличие? 9. В чем заключается суть метода Рунге-Кутты? 10. Применение каких формул позволяет получить значения искомой функции по методу Рунге-Кутта? 11. Какие многошаговые методы вы знаете? 12. В чем заключается суть метода Адемса? 13. Применение каких формул позволяет получить значения искомой функции по методу Адемса? 14. В чем заключается суть метода Милна? 15. Применение каких формул позволяет получить значения искомой функции по методу Милна? Важное замечание Студентам специальности «математика» и тем, кто испытывает трудности в программировании и пользовании матпакетов, вычисления производить вручную!!! 22
