Геометрический смысл производной

18.12.2021
Геометрический
смысл
производной.
Повторение:
Графиком линейной функции у
является прямая
= kх+b
Число
k=tgα
называют угловым
коэффициентом прямой,
α
α=0
α
где α – угол между прямой
и положительным
у = кх+в,
у =оси
кх+в,
у = кх+в,
направлением
Ох
где к>0
где к<0
где к=0
Угловой коэффициент прямой:
Р(5;3)
1
уkx
Прямая проходит через
начало координат и точку
Р(5; 3). Чему равен ее угловой
коэффициент?
1
k  0,6
3  5k
3
k
5
Найдите угловые коэффициенты:
1
2
1
4
2
3
3
4
Геометрический смысл производной:
«Если продолжить одно
из маленьких звеньев
ломаной,
составляющей кривую
линию, то эта
продолженная таким
образом сторона будет
называться
касательной к кривой.»
Готфрид Вильгельм
Лейбниц
Касательная к кривой.
Термином «касательная» мы уже пользовались (на
интуитивном уровне) в курсе алгебры 7 – 9 класса
Переведем
наглядное
представление
Касательной к кривой в точке М
касательной
на более
точныйсекущей
язык:
называют
предельное
положение
y  f(x)
y
Р1
y
y
М

0
х0
 х0х

х
х
Угловой коэффициент секущей МР, т.е. тангенс угла
Геометрический смысл
между секущей и осью х, вычисляется по формуле
производной
y
kсек  tg

Производная от функции
в данной
Δx
Δ
точке
равна
угловому
y  f(x)
y
Т.к. касательная есть
коэффициенту
касательной,
Р предельное положение
f(a + ∆x)
проведенной к графику
функции
секущей
в этой точке.
y
y
f(a)
0
y  kx  b
М

а х
kкас
y
 lim
 f x0 
Δ x 0
Δx
Δ
х
а + ∆x
х
k = f '(x₀)=tg
угловой
коэффициент
касательной
значение
производной
в точке Х₀
тангенс угла
наклона
касательной к
положительном
у направлению
оси ОХ
Геометрический смысл производной:
1. На рисунке изображен график функции y=f(x)
и касательная к нему в точке с абсциссой x0.
Найдите значение производной в точке x0.
y
x0
1
0 1
- острый
tg α>0 f '(x0)>0
Найдем тангенс этого угла.
Для этого подберем
tg α = с6/4
= –
треугольник
катетами
целыми числами. Этот
0
треугольник не подходит.
= 1,5 = f '(x )
Можно найти несколько
удобных треугольников,
например,….
Геометрический смысл производной:
1. На рисунке изображен график функции y=f(x)
и касательная к нему в точке с абсциссой x0.
Найдите значение производной в точке x0.
y
- острый
3
tg α>0 f '(x0)>0
y=f(x)
tg α = 3/1 =
= 3 = f '(x0)
1
x0 0 1
1
x
Геометрический смысл производной:
2. На рисунке изображен график функции
y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой
x0. Найдите значение производной в точке x0.
- тупой
y
3
tg <0 f '(x0)<0
y=f(x)
1
0 1
tg  = - tg 
tg  = - 3/2 =
= - 1,5 = f '(x0)


2x
0
x
Геометрический смысл производной:
3. На рисунке изображен график функции
y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой
x0. Найдите значение производной в точке x0.
y
1

x
010
x
=0
tg α = 0
f '(x0) = 0
Касательная
параллельна
оси ОХ.
Геометрический смысл производной:
4. Найдите угловой коэффициент
касательной, проведенной к графику функции
y = cos 2x в точке с абсциссой х0 = π/4.
Решение.
k = f '(x₀) = tg 
y  (cos 2 x)   sin 2 x  (2 x)  2 sin 2 x


k = y( )  2 sin( 2  )  2
4
4
Угловой коэффициент касательной
равен -2 .
Геометрический смысл производной:
5. Найдите абсциссу точки х0, в которой
касательная к графику функции y=ln(1 –
имеет угловой коэффициент равный  1.
1
Решение.
5x)
k = f '(x₀) = tg 
1
5
5
y 
(1  5 x)  

1  5x
5x 1 5 x  1
Получаем уравнение:
5
 5 x  1;
1
 4  5 x;
=
x  0,8
x0 = -0,8
6. Прямая пересекает ось абсцисс при
х=5, касается графика функции y=f(x) в
точке А(1;–5). Найдите y=f ′(1) .
y
1 x y=f(x) 5
0
0 1
-5
Решение.
острый
tg >0
f '(x0)>0
-

x
Противолежащ
ий катет равен
5, прилежащий
катет равен 4.
tg  = 5/4 =
= 1,25 = f '(1)
А(1;-5)
Уравнение касательной к графику
функции
1. Запишите уравнение прямой с угловым
коэффициентом k, проходящую через
точку ( х0 ; у0 )
у=у0+k(x-x0)
2. Замените k на f | ( xo ) , а у 0 на f ( x0 )
у  f ( x0 )  f ( x0 )( x  x0 )
|
Алгоритм составления уравнения
касательной
1. Запишите уравнение касательной к
графику функции у  f (x) в точке с
абсциссой х0 в общем виде.
2. Найдите производную функции у  f (x) .
3. Вычислите значение производной
у0  f | ( x0 )
4. Вычислите значение функции в точке
у0  f ( x0 )
5. Подставьте найденные значения в
уравнение касательной
х0
Задача 1
Напишите уравнение касательной к
графику функции у=f(x) в точке с
абсциссой х0 .
3
2
f ( x)  x  x  1, x0  1.
1. y  f ( x0 )  f ( x0 )( x  x0 );
|
2. f ( x)  3 x  2 x;
|
2
3. f (1)  3 1  2 1  5;
|
2
4. f (1)  3;
5. y  3  5( x  1);
y  5 x  2.
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной
на интервале (−10; 2). Найдите количество точек, в которых
касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = −2x − 11
или совпадает с ней.
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту
касательной. Поскольку касательная параллельна прямой y = −2x − 11
или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны –2. Найдем
количество точек, в которых это соответствует количеству точек
пересечения графика производной с прямой y = −2. На данном
интервале таких точек 5.
На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в
точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в
точке x0.
Прямая y = 3x + 1 является касательной к графику функции ax2 +
2x + 3. Найдите a.
Прямая
является касательной к графику функции
в
точке тогда и только тогда, когда
одновременно и
В нашем случае имеем: