УДК 517.914
АВТОМОРФИЗМЫ K-ПЕРЕСЕКАЮЩЕГОСЯ ГИПЕРГРАФА
И.О. Володин
Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.,
Саратов, Россия, ivan.ol.volodin0@gmail.com
Аннотация. В статье рассматривается вывод комбинаторной формулы для расчета
количества автоморфизмов строго k-пересекающегося гиперграфа.
Ключевые слова: гиперграф, автоморфизм, k-пересекающийся гиперграф.
AUTOMORPHISMS OF A K-INTERSECTING HYPERGRAPH
I. O. Volodin
Yuri Gagari State Technical University of Saratov,
Saratov, Russia, ivan.ol.volodin0@gmail.com
Abstract. In the paper we derived the combinatorial formula for calculating the number of
automorphisms of a strict k-intersecting hypergraph
Keywords: hypergraph, automorphism, k-intersecting hypergraph.
В последнее время наблюдается возросший интерес к изучению задач и
методов теории гиперграфов [1–4]. Это связано с тем, что гиперграфы нашли
применение в задачах управления большими системам, при моделировании сложных
технических систем и процессов и во многих других сферах. К тому же гиперграф —
это естественное обобщение понятий графа, конечной плоскости, разбиения
множества.
Многие авторы значительное внимание уделяли исследованию полугрупп
эндоморфизмов и полугрупп автоморфизмов графов и их обобщений — гиперграфов
[3, 5, 6], так как, исследуя свойства таких полугрупп отображений, можно изучать
свойства исходного объекта.
Рассмотрим ряд необходимых определений [4, 7, 8].
Гиперграфом H=(V,E) называется пара (V,E), где V — это некоторое конечное
множество, элементы которого называются вершинами гиперграфа, а Е — набор
произвольных подмножеств множества V, называемых ребрами (или гиперребрами)
гиперграфа.
Гиперграф H=(V,E) называется конечным, если множество его вершин V
является конечным множеством, то есть состоит из конечного числа элементов.
Гиперграф H=(V,E) называется бесконечным, если множество его вершин бесконечно.
В настоящей работе рассматриваются только конечные гиперграфы.
Вершины гиперграфа называются смежными, если они принадлежат одному
ребру. Множество вершин, содержащееся в некотором ребре, называется
ограниченным, или не ограниченным — в противном случае.
Автоморфизм гиперграфа H=(V,E) — это взаимно однозначное отображение λ
множества вершин V на себя, которое сохраняет смежность, т.е. удовлетворяет
условию:
.
Другими словами, автоморфизм гиперграфа — это подстановка на множестве
его вершин, оставляющая без изменения его список ребер.
На рисунке 1 изображены примеры автоморфизмов одного и того же
гиперграфа H=(V,E), V={A,B,C,D,E}, E={{A,B,C},{A,D,E}}.
Рис.1. Пример автоморфизма
Множество всех автоморфизмов данного гиперграфа H образует группу
относительно операции композиции автоморфизмов, которую принято обозначать
AutH.
K-пересекающийся гиперграф — это гиперграф, любые два ребра которого
содержат не менее k общих вершин, т.е. выполняется условие
.
Очевидно, что у k-пересекающегося гиперграфа каждое ребро содержит не
менее k-вершин.
Строго k-пересекающийся гиперграф — это гиперграф, ребра которого
содержат ровно k общих вершин, т.е. выполняется условие
.
Заметим, что строго k-пересекающийся гиперграф является также k-пересекающимся гиперграфом, обратное в общем случае неверно.
Пример строго 1-пересекающегося гиперграфа представлен на рисунке 2,
общей вершиной для всех его ребер является вершина 0: X={0}. Заметим также, что
гиперграф, изображенный на рисунке 1, также является строго 1-пересекающимся,
так оба ребра данного гиперграфа содержат вершину А.
Рис.2. Строго 1-пересекающийся гиперграф
В следующей теореме определяется число автоморфизмов строго kпересекающегося гиперграфа, ребра которого имеют разную мощность.
Теорема. Пусть дан строго k-пересекающийся гиперграф H=(V,E), множество
ребер которого состоит из m элементов. Пусть ni-количество вершин в ребре ei,
i=1,2,…,m, причем ni≠nj при i≠j, i,j=1,2,…,m. Тогда количество автоморфизмов
гиперграфа H равно
.
Доказательство. По условию теоремы ребра гиперграфа H содержат разные
количества вершин. Следовательно, всякий автоморфизм данного гиперграфа может
отображать вершины произвольного ребра e гиперграфа H только в вершины этого же
ребраe.
Поскольку гиперграф H=(V,E) — строго k-пересекающийся, то в гиперграфе H
имеется множество вершин X={v1,v2,…,vk} такое, что всякое ребро e содержит это
множество:
. Это означает, что вершины v1,v2,…,vk можно отображать
только в вершины множества X, так как в противном случае вершины из множества X
не будут смежны с вершинами других ребер, что противоречит определению
автоморфизма. Из этого следует, что всякий автоморфизм λ гиперграфа H
удовлетворяет свойству: для любого ребра
множество
может быть
отображено только на множество X, а множество вершин e\Х — на множество e\X.
Рассмотрим ребро e1 гиперграфа H. Это ребро содержит n1 вершин. Таким
образом, множество e1\{v1,v2,…,vk} должно отображаться только на это же множество,
которое состоит из (n1-k) вершин. Ясно, что количество таких отображений совпадает
с количеством перестановок данного множества. Действительно, переставляя первую
вершину в этом ребре, получим (n1–k) вариантов, переставляя вторую, — (n1–k–1)
вариантов и так далее, а переставляя (n1–k)-ю вершину, получим только один вариант.
Таким образом, в результате перестановок получим (n1–k)(n1–k–1)1=(n1–k)!
вариантов. Аналогичными рассуждениями находим число перестановок множеств
ei\{v1,v2,…,vk} для остальных ребер ei, i=2,3,..,m. В результате имеем: (ni-k)!.
Число перестановок множества {v1,v2,…,vk} равно k!.
Очевидно, что число допустимых перестановок вершин ребра ei составит
(ni–k)!k!, i=1,2,…,m.
Ясно, что каждая перестановка множества вершин гиперграфа H,
произведенная в соответствии с введенным правилом, определяет подстановку
множества вершин V, сохраняющую смежность вершин, следовательно, является
автоморфизмом гиперграфа H. А общее число автоморфизмов гиперграфа H
определяется по формуле:
. Теорема доказана.
Следствие. Группа автоморфизмов AutH гиперграфа H, удовлетворяющего
условию теоремы, состоит из
элементов.
Пример. На рис. 4 представлен
гиперграф H, количество автоморфизмов
которого можно рассчитать по теореме 2.
Множество ребер данного гиперграфа
состоит из трех ребер: u1, u2, u3, причем n1=5,
n2=6, n3=4. Гиперграф H является строго 2пересекающимся гиперграфом, вершины 0, 10
являются
общими
для
всех
ребер:
, то есть k=2,
X={0,10}. Следовательно, выполняются условия теоремы, и мы можем рассчитать количество автоморфизмов гиперграфа H по
Рис. 3. Гиперграф H
формуле:
.
Таким
образом,
число автоморфизмов гиперграфа H равно 576.
Библиографический список
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Блюмин, С. Л. "Полные гиперграфы. Спектры лапласианов. Мультиагентные системы".Управление
большими системами. No. 3,C. 5–23,2010.
Бондарь Е.А., Жучок Ю.В. "Представления моноида сильных эндоморфизмов конечных {N}-однородных
гиперграфов".Фундаментальная и прикладная математика.Т. 18, № 1, С. 21-34, 2013.
Хворостухина, Е.В. "О гомоморфизмах полугрупп эндоморфизмов гиперграфов". Известия Саратовского
университета. Математика. Механика. Информатика. Т. 9, No. 3, С. 70–75,2009
BrettoA. "Hypergraph Theory: An Introduction. Springer Science & Business Media", pp. 117, 2013.
Хворостухина, Е.В. "О конкретной характеризации универсальных гиперграфических автоматов".
Фундаментальная и прикладная математика. Т 14, № 7, С.223-231, 2008.
Bondar E.A, Zhuchok Y.V "Representations of the strong endomorphism monoid of finite N-uniform
hypergraphs", Journal of Mathematical Sciences, T. 201, No. 4, pp. 421-430, 2014.
Зыков, "А. А. Гиперграфы". Успехи математических наук.No. 6,С. 89–154, 1974
Харари, Ф. "Теория графов". М.: Едиториал,C. 296, 2003.
Замечания по оформлению:
1. Все формулы, выделенные зеленым цветом, должны быть набраны в редакторе Microsoft
Equation 3.0!!! Размер шрифта 12 пт.
2. Все латинские буквы, если они обозначают переменные или индексы, должны быть
набраны шрифтом Italic. Цифры и греческие буквы – прямым шрифтом.
3. Самые жесткие требования к оформлению библиографического списка. Ни одна из ссылок
не набрана правильно! Ниже даем примеры правильного оформления списка литературы.
Обязательно обратите внимание: там нет лишних, запятых, точек, наклонных линий и тире.
У Вас все должно быть аналогично!!!!!!!!!!!
Во всех монографиях должны быть указаны в нужной последовательности – город,
издательство, год издания, число страниц!!!!!!!!
Во всех статьях в журналах – название журнала, год издания, номер, том, выпуск (если они
есть в журнале), номер журнала и номера страниц, на которых напечатана цитируемая
статья!!!!
Порядок следования этих параметров нарушать нельзя!!!!
Если не знаете издательства, то ищите в Интернет!
Образцы.
ссылка на статью в журнале:
9.
Беляев, М.Ю. Возможные технологии управления транспортными грузовыми кораблями «Прогресс» при
проведении экспериментов в автономном полете / М.Ю. Беляев, Т.В. Матвеева, Д.Н. Рулев // Гироскопия и
навигация. – 2017. – Т. 25. – № 3 (98). – С. 32-48.
ссылка на монографию:
10. Беляев, М.Ю. Научные эксперименты на космических кораблях и орбитальных станциях / М.Ю. Беляев. –
М.: Машиностроение, 1984. – 264 с.
