УДК 531.8(075.8) ББК 34.44 Т34 Авторы: Г.А. Тимофеев, Л.А. Черная Рецензенты: заведующий кафедрой «Теория механизмов и машин» МГОУ д-р техн. наук, проф. В.Д. Плахтин; доцент кафедры «Основы конструирования машин» МГТУ им. Н.Э. Баумана канд. техн. наук В.В. Лычагин Теория механизмов и машин. Курсовое проектирование: учеб. пособие / Т34 под ред. Г.А. Тимофеева. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017.- __с. : ил. SBN 978-5-7038-3389-6 В краткой форме изложены основные разделы дисциплины «Теория механизмов и машин», охватывающие структурный анализ и метрический синтез механизмов, их кинематическое и динамическое исследования, синтез зубчатых зацеплений и проектирование планетарных и кулачковых механизмов, позволяющие разработать алгоритмы как графоаналитического, так и численного их исследования. Приведены примеры выполнения листов курсового проекта с использованием математического пакета Mathсad и графических пакетов AutoCAD и КОМПАС. Содержание учебного пособия соответствует курсу лекций, читаемому в МГТУ им. Н.Э. Баумана. Для студентов 3-го курса машиностроительных специальностей, выполняющих курсовой проект (курсовую работу) по дисциплине «Теория механизмов и машин». УДК 531.8(075.8) ББК 34.44 При оформлении обложки использована фотография модели паровой машины Пафнутия Львовича Чебышева, изготовленной в мастерских Императорского Московского технического училища в 1870 г. Учебное издание Тимофеев Геннадий Алексеевич (главы 5, 6) Черная Людмила Александровна (главы 1, 2, 3, 4, 7, Приложения 5, 6) Лушников Александр Анатольевич (Приложения 1, 2, 3, 4, 7) 1 ПРЕДИСЛОВИЕ ________________________________________________________ Учебное пособие предназначено студентам высших учебных заведений, изучающим дисциплину «Теория механизмов и машин» и обучающимся по машиностроительным направлениям подготовки и специальностям. При выполнении курсового проекта (работы) студент использует знания и навыки, полученные им при изучении теоретической части дисциплины, выполнении лабораторных работ и домашних заданий, а также предшествующих дисциплин: физики, математики, информатики и теоретической механики. Основная цель учебного пособия – формирование у студентов навыков исследования и проектирования механизмов, объединенных в одном машинном агрегате, с использованием современных программных (или компьютерных) средств. Для достижения указанной цели большое внимание уделено осмыслению и алгоритмизации решаемых в курсовом проектировании задач. В пособии изложены графоаналитические и аналитические методы исследования и проектирования, ориентированные на применение персональных компьютеров. Приведены примеры использования системы Mathcad как средства численной реализации полученных алгоритмов в сочетании с графической визуализацией результатов и систем AutoCAD и Компас для решения задач графоаналитическими методами. Все это, по мнению авторов, позволит значительно повысить уровень знаний студентов, привить им необходимые умения и навыки для решения практических задач в последующей их инженерной и научной деятельности. В течение многих лет коллективом кафедры разрабатывалась методология и создавалось программное обеспечение, объединенное в систему автоматизированных расчетов (САРКП), с которой можно ознакомиться на сайте кафедры: http://tmm-umk.bmstu.ru. Авторы с признательностью отмечают тот труд, который вложили в разработку существующей методологии курсового проектирования несколько поколений преподавателей. Среди них академик К.В. Фролов, профессора В.А. Гавриленко, Н.В. Умнов, С.А. Попов, И.В. Леонов, доценты Д.М. Лукичев, И.Н. Ермакова, В.В. Каганова, А.К. Мусатов, В.Б. Тарабарин, И.Н. Чернышова, В.В. Кузенков и многие другие преподаватели кафедры. Авторы признательны ................. за рекомендации и критические замечания, которые были учтены при окончательной доработке рукописи. Авторы выражают благодарность студенту А.А. Лушникову за помощь в техническом оформлении работы. Предложения и замечания по улучшению книги можно направлять по адресу: 107005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, кафедра ТММ МГТУ им. Н.Э. Баумана или по электронному адресу: timga@bmstu.ru. 2 ВВЕДЕНИЕ Курсовой проект по дисциплине «Теория механизмов и машин» - первый проект, выполняемый студентами – в значительной мере отражает реальную практику проектирования современных машин. При создании новой техники выделяют пять последовательных этапов проектирования: техническое задание, технические предложения, эскизный проект, технический проект и рабочий проект. Исследования и разработки, проводимые студентами при выполнении курсового проекта, относятся к первым двум этапам проектирования и в малой степени – к третьему этапу. На этой стадии проектирования создаются структурные схемы, отражающие принцип работы машины, задаются входные и некоторые выходные параметры. Оценка инерционно-массовых параметров элементов машины проводится эмпирически на основе опыта проектирования аналогичного типа машин. Полученная информация позволяет методами теории механизмов проанализировать динамику проектируемой машины, оценить силовые факторы, возникающие в ее звеньях и кинематических парах, что позволит далее обоснованно проводить прочностные расчеты и проектировать подшипниковые узлы. Некоторые элементы конструкции машины (планетарные зубчатые и кулачковые механизмы) даже на начальном этапе проектируются с максимально возможной точностью. И еще с одной особенностью проектирования знакомит курсовой проект – с многовариантностью. Этап сравнения и выбора вариантов по тем или иным критериям является определяющим на начальной стадии проектирования. Исходные данные к курсовому проекту содержатся в специальных сборниках заданий к курсовому проектированию, а также на сайте кафедры «Теория механизмов и машин» МГТУ им. Н.Э. Баумана: http://tmm-umk.bmstu.ru. Все задания носят комплексный характер и базируются на реально существующих машинах, в которых иногда с целью упрощения выделен только один из ее механизмов и частично изменены исходные данные. В первом разделе проекта решаются задачи синтеза и анализа плоского рычажного механизма - механизма с низшими кинематическими парами, во втором – задачи синтеза механизмов с высшими кинематическими парами: зубчатых и кулачкового. Исследование рычажного механизма составляет содержание первых двух листов курсового проекта и включает в себя четыре последовательных этапа: 1) проектирование кинематической схемы (метрический синтез) (см. гл. 1); 2) структурный и кинематический анализ (см. гл. 2); 3) анализ движения механизма в составе машины под действием заданных внешних сил (см. гл. 3); 4) кинетостатический анализ (см. гл. 4). Третий и четвертый листы проекта посвящены синтезу механизмов с высшими кинематическими парами: - планетарного зубчатого механизма с заданной структурной схемой и выбору параметров зубчатого зацепления открытой зубчатой передачи (см. гл. 5, 6); - кулачкового механизма с вращающимся кулачком и качающимся или поступательно перемещающимся остроконечным или роликовым толкателем (см. гл.7). Все выполненные по курсовому проекту исследования оформляются в виде соответствующего раздела пояснительной записки, приложения и четырех листов формата А1 или А2. Примеры выполнения листов курсового проекта в системах AutoCAD или Компас приведены в приложении П.7 Пояснительная записка должна содержать техническое задание на КП. В каждом подразделе ПЗ необходимо: 3 выполнить постановку задачи с указанием допущений, исходных данных, метода решения и определяемых величин; построить расчетные схемы для вывода формул и описания порядка решения задачи; привести результаты решения в виде таблиц или отдельных величин с указанием размерности; сделать выводы. Замечание: графики из Mathcad-программы в пояснительной записке не приводятся. Разработанные при исследовании и проектировании механизмов Mathcadпрограммы оформляются в виде Приложения и предъявляются на защите КП в электронном виде (на флеш-накопителе или CD-диске). Использование системы Mathcad при исследовании и проектировании механизмов приведено в приложениях П.1 П.6 4 Оглавление ПРЕДИСЛОВИЕ ............................................................................................................................ 2 ВВЕДЕНИЕ .................................................................................................................................... 3 Раздел I. Синтез и анализ механизмов с низшими кинематическими парами ........................ 8 1. Метрический синтез плоских рычажных механизмов........................................................... 8 1.1 Кривошипно-ползунные механизмы ............................................................................... 10 1.1.1. Проектирование кривошипно-ползунного механизма по двум заданным положениям кривошипа и ходу ползуна ........................................................................... 12 1.1.2. Синтез механизма по средней скорости движения ползуна ................................. 13 1.1.3. Синтез механизма по заданному углу давления .................................................... 14 1.2. Четырехшарнирные механизмы ...................................................................................... 14 1.2.1. Определение длин звеньев по двум крайним положениям механизма ................15 1.2.2. Определение длин звеньев по двум крайним положениям механизма и коэффициенту изменения средней угловой скорости коромысла .................................. 17 1.2.3. Определение длин звеньев по трем положениям механизма ................................ 18 1.2.4. Проверка угла давления в четырехшарнирном механизме ................................... 20 1.3. Четырехзвенные кулисные механизмы .......................................................................... 20 1.3.1. Проектирование механизма с качающейся кулисой .............................................. 21 1.3.2. Проектирование механизма с качающимся цилиндром ........................................ 22 1.4. Шестизвенные механизмы............................................................................................... 26 1.4.1. Расчет координаты направляющей ползуна по заданному углу давления ..........26 1.4.2. Синтез механизма по ходу ползуна и коэффициенту изменения его средней скорости ................................................................................................................................ 27 1.4.3. Синтез механизма с вращающейся кулисой ........................................................... 28 2. Структурный и кинематический анализ плоских рычажных механизмов ........................30 2.1. Структурный анализ механизма ..................................................................................... 30 2.2. Кинематический анализ механизма ................................................................................ 31 2.2.1. Геометрические характеристики преобразования движения в механизме.......... 32 2.2.2. Кинематика входного звена механизма .................................................................. 34 2.2.3. Метод векторных контуров в кинематике механизмов ......................................... 34 3. Анализ движения машины под действием заданных сил ................................................... 37 3.1. Анализ сил, действующих в машине .............................................................................. 37 3.2. Механические характеристики двигателей.................................................................... 38 3.2.1. Двигатели внутреннего сгорания (ДВС). ................................................................ 40 3.2.2. Электрические роторные двигатели. ....................................................................... 42 3.2.3. Пружинный двигатель. ............................................................................................. 44 3.3. Механические характеристики рабочих процессов ...................................................... 44 3.4. Аппроксимация и интерполяция данных в Mathcad ..................................................... 48 3.5. Уравнения движения и динамическая модель машины ............................................... 49 3.5.1. Уравнение Лагранжа. Динамическая модель машины. ......................................... 49 3.5.2. Уравнение движения в дифференциальной форме ................................................ 51 3.5.3. Характерные режимы движения машины ............................................................... 52 3.5.4. Уравнение движения в интегральной форме .......................................................... 54 3.6. Исследование движения машины в установившемся режиме. .................................... 55 3.6.1. Условия поддержания установившегося движения ............................................... 55 3.6.2. Расчет постоянного приведенного момента сил .................................................... 56 3.6.3. Ограничение периодической неравномерности хода машины ............................. 60 3.6.3.1. Метод Н.И. Мерцалова. ......................................................................................... 60 3.6.3.2. Альтернативный метод расчета приведенного момента инерции I-ой группы звеньев. ................................................................................................................................. 63 5 3.6.4. Определение момента инерции дополнительной маховой массы (маховика) .... 65 3.6.5. Габариты и масса маховика ...................................................................................... 66 3.7. Динамика машины при неустановившемся движении ................................................. 67 3.7.1. Исследование на базе уравнения движения в интегральной форме.....................68 3.7.2. Исследование на базе уравнения движения в дифференциальной форме ...........69 3.7.3. Численное интегрирование ОДУ в системе Mathcad ............................................. 71 3.7.4. Режим движения «пуск-останов» ............................................................................ 73 4. Кинетостатический силовой анализ механизма ................................................................... 77 4.1. Принцип Д’Аламбера в силовом расчете механизмов ................................................. 78 4.2. Формирование алгоритма кинетостатического силового расчета по группам ..........79 4.2.1. Группа Ассура IIВВВ(2,3) ........................................................................................... 81 4.2.2. Группа Ассура IIВВП(2,3) ........................................................................................... 84 4.2.3. Группа Ассура IIВПВ(2,3) ........................................................................................... 87 4.2.4. Группа Ассура IIПВП(2,3)........................................................................................... 91 4.2.5. Группа Ассура IIВПП(2,3)........................................................................................... 95 4.2.6. Первичный механизм IВ(0,1) .................................................................................... 98 Раздел II. Синтез механизмов с высшими кинематическими парами. ................................. 101 5. Синтез трехзвенных плоских зубчатых зацеплений .......................................................... 101 6. Проектирование планетарных зубчатых механизмов с цилиндрическими колесами .... 101 7. Проектирование кулачковых механизмов .......................................................................... 101 7.1. Выбор закона движения толкателя и построение кинематических диаграмм ......... 104 7.2. Метрический синтез кулачкового механизма.............................................................. 110 7.2.1. Механизм с поступательно перемещающимся толкателем ................................ 112 7.2.2. Механизм с качающимся толкателем .................................................................... 117 7.3. Синтез профиля кулачка ................................................................................................ 122 Приложение 1. Метрический синтез плоских рычажных механизмов ................................ 127 П.1.1. Проектирование кривошипно-ползунного механизма по двум заданным положениям кривошипа и ходу ползуна ............................................................................. 127 П.1.2. Определение длин звеньев четырехшарнирного механизма по двум крайним положениям ............................................................................................................................ 128 П.1.3. Определение длин звеньев по двум крайним положениям механизма и коэффициенту изменения средней угловой скорости коромысла .................................... 129 П.1.4. Определение длин звеньев по трем положениям механизма ................................. 130 П.1.5. Проектирование механизма с качающимся цилиндром ......................................... 131 Приложение 2. Проектирование механизма четырехтактного двигателя внутреннего сгорания ...................................................................................................................................... 135 П.2.1. Метрический синтез механизма ................................................................................ 137 П.2.2. Кинематический анализ механизма .......................................................................... 137 П.2.3. Определение сил, действующих в механизме ......................................................... 140 П.2.4. Определение параметров динамической модели .................................................... 144 П.2.5. Решение задачи динамики ......................................................................................... 146 П.2.6. Кинетостатический силовой анализ механизма ...................................................... 149 Приложение 3. Проектирование механизма строгального станка ....................................... 157 П.3.1. Метрический синтез механизма ................................................................................ 159 П.3.2. Кинематический анализ механизма .......................................................................... 160 П.3.3. Определение сил, действующих в механизме ......................................................... 165 П.3.4. Определение параметров динамической модели .................................................... 167 П.3.5. Решение задачи динамики ......................................................................................... 168 П.3.6. Кинетостатический силовой анализ механизма ...................................................... 172 Приложение 4. Проектирование механизма пресса ............................................................... 179 П.4.1. Метрический синтез механизма ................................................................................ 180 П.4.2. Кинематический анализ механизма .......................................................................... 180 6 П.4.3. Определение сил, действующих в механизме ......................................................... 182 П.4.4. Определение параметров динамической модели .................................................... 183 П.4.5. Решение задачи динамики с учетом МХД ............................................................... 185 П.4.6. Решение задачи динамики без учета МХД .............................................................. 188 Приложение 5. Проектирование механизма пневмоцилиндра ............................................. 190 П.5.1. Метрический синтез механизма ................................................................................ 191 П.5.2. Кинематический анализ механизма .......................................................................... 192 П.5.3. Определение параметров динамической модели .................................................... 195 П.5.4. Решение задачи динамики ......................................................................................... 197 Приложение 6. Синтез кулачковых механизмов .................................................................... 199 П.6.1. Фазовые углы .............................................................................................................. 200 П.6.2. Кинематические диаграммы ...................................................................................... 200 П.6.3. Кинематические функции контактной точки толкателя......................................... 201 П.6.4. Расчет основных параметров механизма с поступательно перемещающимся толкателем .............................................................................................................................. 202 П.6.4.1. Геометрическая интерпретация формулы угла давления ................................ 202 П.6.4.2. Приближенный расчет основных параметров .................................................. 204 П.6.4.3. Точный расчет ...................................................................................................... 205 П.6.4.4. График угла давления ......................................................................................... 208 П.6.4.5. Построение профиля кулачка ............................................................................. 208 П.6.5. Расчет основных параметров механизма с качающимся толкателем.................... 210 П.6.5.1. Расчет координат центра вращения кулачка. Метод "линии уровня" ............210 П.6.5.2. Геометрическая интерпретация формулы угла давления ................................ 211 П.6.5.3. График угла давления ......................................................................................... 212 7 Раздел I. Синтез и анализ механизмов с низшими кинема‐ тическими парами 1. Метрический синтез плоских рычажных механизмов Цель метрического синтеза плоского рычажного механизма-определение постоянных параметров кинематической схемы механизма по известной его структурной схеме. При проектировании механизма принят ряд допущений. Допущение 1: звенья механизма представляют собой абсолютно твердые тела. Допущение 2: независимо от особенностей конструктивного выполнения, все шарнирные соединения считаем вращательными кинематическими парами, а все соединения, допускающие прямолинейное относительное движение звеньев поступательными парами, поэтому все пары рычажного механизма – одноподвижные пары V класса. Допущение 3: зазоры в кинематичеких парах отсутствуют. Допущение 4: силами трения пренебрегаем. Необходимость предварительного выполнения метрического синтеза рычажного механизма обусловлена тем, что в техническом задании к курсовому проектированию приведены не все его геометрические размеры. Как правило, в курсовом проекте решают одну типовую задачу синтеза плоского рычажного механизма с одной степенью свободы. Размеры звеньев механизма можно определить, например, по крайним положениям ведомого звена или по трем заданным положениям ведущего и ведомого звеньев, по средней скорости одного из звеньев или по заданному коэффициенту изменения его средней скорости. Для получения работоспособного механизма при синтезе требуется выполнить некоторые обязательные условия, такие как условие существования механизма на заданном интервале движения входного звена, условие постоянства сборки и т. п. В рычажных механизмах с непрерывным вращением кривошипа, кроме того, необходимо обеспечить условие проворачиваемости кривошипа. Помимо обязательных возможен ряд дополнительных условий, связанных, например, с ограничением размеров заданными пределами или с требованием благоприятных условий передачи сил от ведущего звена к ведомым звеньям, оцениваемых углами давления. Углом давления называется угол между вектором силы, с которой ведущее звено действует на ведомое, и вектором скорости точки ведомого звена, к которой приложена сила. Если силами трения пренебречь, то угол давления есть угол между контактной нормалью и вектором скорости контактной точки ведомого звена. В Пособии рассмотрим задачи метрического синтеза для разных видов плоских рычажных механизмов II класса, приведенных в заданиях к курсовому проектированию. Расчетные алгоритмы синтеза получим, используя метод замкнутых векторных контуров, разработанный проф. В.А.Зиновьевым. В этом методе связи в механизме, определяемые как видом кинематических пар, так и размерами звеньев, выражаются в форме условий замкнутости векторных контуров, построенных на базе кинематической схемы механизма. В скалярной форме соответствующие зависимости получим, проецируя контуры на оси координат. На базе полученной системы двух уравнений формируется расчетный алгоритм большинства задач синтеза, что приводит к системе 4-х и более трансцендентных уравнений. Для их решения используются итерационные методы с заданной степенью точности. Эффективное применение итерационных методов 8 существенно зависит от удачного выбора начального приближения и быстроты сходимости процесса. Предлагается использовать систему Mathcad как средство численной реализации полученных алгоритмов в сочетании с графической визуализацией результатов. Почти все встроенные функции MathCad, предназначенные для решения нелинейных алгебраических уравнений, нацелены на нахождение корней, которые уже приблизительно заданы. Приближенные значения корней (начальные приближения) могут быть известны из физического смысла задачи, из решения аналогичной задачи при других исходных данных или найдены графическим способом. Для решения систем уравнений в MathCAD строится так называемый решающий блок, имеющий следующую структуру: • Начальные условия • Given • Уравнения • Ограничительные условия • Выражение, содержащее функцию для решения системы Рассмотрим назначение каждого из элементов структуры: • Начальные условия – определяют начальные значения искомых переменных и задаются обычным присваиванием; • Уравнения – задаются с применением жирного знака равенства (панель инструментов Boolean) между левой и правой частями уравнения; • Ограничительные условия – задаются в виде неравенств или равенств (панель инструментов Boolean), которые должны выполняться при решении системы уравнений; • Выражение, содержащее функцию для решения системы – может быть представлено одной из функций: Find, Minerr, Maximize, Minimize, Odesolve, Pdesolve. Рассмотрим функции Find и Minerr: • Find (x1,x2, …,xn) – возвращает значение одной или ряда переменных x1,x2, …,xn для точного решения системы; число аргументов должно быть равно числу неизвестных. Внутри решающего блока недопустимы следующие выражения: • ограничения со знаком ; • дискретный аргумент или выражения, содержащие дискретный аргумент в любой форме; • неравенства вида a < b < c; • блоки решения уравнений не могут быть вложены друг в друга, каждый блок может иметь только одно ключевое слово Given и имя функции Find. Функция, которая завершает блок решения уравнений, может быть использована аналогично любой другой функции. Можно произвести с ней следующие три действия: • можно вывести найденное решение, напечатав выражение вида: Find(var1, var2,…) =; • определить переменную с помощью функции Find: a := Find(x) – скаляр или var := Find(var1, var2,…) вектор. • определить другую функцию с помощью Find: f(a, b, c, …) := Find(x, y, z, …) - эта конструкция удобна для многократного решения системы уравнений для различных значений некоторых параметров a, b, c,…,непосредственно входящих в систему уравнений. Сообщение об ошибке (решение не найдено) при решении уравнений появляется, когда: • поставленная задача может не иметь решения; • для уравнения, которое не имеет вещественных решений, в качестве начального приближения взято вещественное число и наоборот; • в процессе поиска решения последовательность приближений попала в точку локального минимума невязки (для поиска искомого решения нужно задать другие начальные приближения). 9 • возможно, поставленная задача не может быть решена с заданной точностью (в этом случае можно попробовать увеличить значение TOL). Точность вычислений в системе Mathcad задается встроенной переменной TOL. По умолчанию ее значение равно 0,001. Это значение можно изменить либо через меню Math/Options/Built–In Variables или непосредственно в тексте документа, например: TOL : 10 9 . • Minerr(x1,x2, …,xn) – возвращает значение одной или ряда переменных x1,x2, …,xn для приближенного решения системы с минимальной ошибкой. Разница между этими функциями заключается в том, что первая используется, когда решение F(x1,x2, …,xn)=0 реально существует, вторая пытается найти такие значения переменных x1,x2, …,xn, при которых функция F(x1,x2, …,xn) будет максимально приближена к нулю. Например, если функция F(x1,x2, …,xn) такова, что при заданной точности вычислений Find выдаст сообщение о том, что решения не существует, то Minerr выдаст значения переменных x1,x2, …,xn, но с меньшей точностью. 1.1 Кривошипно‐ползунные механизмы Кривошипно-ползунный механизм (рис. 1.1) применяется для преобразования вращательного движения кривошипа в возвратно-поступательное движение ползуна и наоборот. Смещение центра вращения кривошипа А относительно оси ползуна называется эксцентриситетом (е). При этом механизм называется дезаксиальным (рис. 1.1, а). Если е = 0, то механизм называется аксиальным или центральным механизмом (рис. 1.1,б). Аксиальный механизм применяют как при ведущем кривошипе (звено 1), так и при ведущем ползуне (звено 3). Геометрические параметры механизма: l1 длина кривошипа AB ; l 2 длина шатуна BC ; e эксцентриситет (внеосность). В расчетах удобно использовать относительные величины: 2 l 2 / l1 относительную длину шатуна 2; e e / l1 относительную внеосность. На рис. 1.1 показаны направление вращения кривошипа с угловой скоростью 1 и угол давления между шатуном и ползуном. Здесь и далее приняты обозначения: i - интервал изменения угловой координаты i ; j - угол, имеющий начало отсчета, направление и конец отсчета. 10 а б Рис. 1.1 Звено 1 будет кривошипом, если выполнено условие проворачиваемости кривошипа: l 2 l1 e . При несоблюдении этого условия механизм становится коромыслово-ползунным. В крайних положениях механизма кривошип 1 и шатун 2 располагаются на одной прямой. Перемещение ползуна 3 из одного крайнего положения C н в другое C к происходит при повороте кривошипа на угол пр. х , а обратный ход – при повороте кривошипа на угол обр. х . Углы пр. х и обр. х есть фазовые углы соответственно прямого (рабочего) и обратного (холостого) ходов. Рабочий ход механизма H расстояние между крайними положениями ползуна 3, т.е. расстояние между крайними положениями C н и C к вращательной кинематической пары C на рис.1.1. В дезаксиальном механизме углы пр. х и обр. х не равны (рис. 1.1, а), как правило пр. х > обр. х . Введем вспомогательный угол , называемый углом перекрытия. В 11 течение времени t пр. х прямого хода кривошип повернется на угол пр. х , а в течение времени обратного хода t обр. х на угол обр. х . Коэффициент скорости выходного звена 3 K v есть отношение его средних vобр. х H / t обр. х . Из скоростей при обратном vобр. х и прямом v пр. х ходах: K v v пр. х H / t пр. х изменения средней формулы следует, что Kv коэффициент характеризует продолжительности прямого пр. х и обратного обр. х также отношение пр. х ходов: K v . Угол обр. х Kv 1 . В дезаксиальном механизме (рис.1.1,а) значение K v 1 . Kv 1 В аксиальном механизме (рис.1.1,б) пр. х = обр. х = , угол перекрытия K v 1 , перекрытия рабочий ход равен двум длинам кривошипа H 2l1 . Введем еще одно понятие: ход hC ползуна есть расстояние между положениями C н и C к ползуна 3 при движении кривошипа из положения 1н в положение 1k . 1.1.1. Проектирование кривошипно‐ползунного механизма по двум за‐ данным положениям кривошипа и ходу ползуна Заданы относительная длина шатуна 2 ; относительная внеосность e ; угловые координаты кривошипа 1 в двух положениях: начальном 1н и конечном 1k , причем не обязательно они будут соответствовать крайним положениям механизма; ход hC ползуна 3 при движении кривошипа из положения 1н в положение 1k (рис. 1.2,а), координата y C e . В соответствии с определением ход ползуна hC xCн xCк xC (1н ) xC (1к ) , где xC1 , xC 2 координаты точки C в начальном и конечном положених. а 12 б Рис.1.2 Используя рис.1.2,а, составим замкнутый векторный контур ABCA (рис.1.2,б). Запишем для него условие замкнутости: l1 l 2 rC , проецируя которое на оси x и y для двух углов 1н и 1к , получим систему уравнений, определяющих линейные координаты точек и угловые координаты звеньев механизма в начальном и конечном положениях: l1 cos 1н l 2 cos 2 н xCн , l1 sin 1н l 2 sin 2 н e, l1 cos 1к l 2 cos 2 к xCк , (1.1) l1 sin 1к l 2 sin 2 к e. С учетом условий связи 2 l 2 / l1 и e e / l1 из 2-го уравнения найдем 2 н arcsine sin 1н / 2 , из 4-го уравнения найдем 2 н н , 2 к arcsine sin 1к / 2 . 2 к к есть углы давления между шатуном и ползуном в начальном и конечном положениях. Длину кривошипа l1 найдем, если из уравнения 1 вычтем уравнение 2: l1 hC /cos 1н cos 1к 2 (cos 2 н cos 2 к ) , где hC xCн xCк . Длина шатуна l 2 2 l1 . Решение данной задачи синтеза в системе Mathcad приведено в П.1.1. 1.1.2. Синтез механизма по средней скорости движения ползуна Чаще всего этот вариант синтеза применяют при проектировании аксиального кривошипно-ползунного механизма (см. рис. 1.1, б). Здесь дополнительно заданы: средняя скорость движения ползуна v ср , м/c, и частота вращения кривошипа n1 , с-1. Кривошип совершает один оборот n1 в течение времени, равного времени полного цикла работы механизма t ц , t ц 1 / n1 . Учитывая, что механизм движется с одинаковой средней скоростью в прямом и обратном направлениях, найдем рабочий ход ползуна: H vср t ц / 2 . Как уже указывалось, для центрального кривошипно-ползунного механизма H 2l1 , тогда длина кривошипа l1 vср /(4n1 ) , м, а длина шатуна l 2 2 l1 , м. 13 1.1.3. Синтез механизма по заданному углу давления Для работы механизма в соответствии с условиями передачи сил в кинематических парах необходимо, чтобы максимальное значение угла давления во вращательной кинематической паре на ползуне не превышало допустимого значения : max . Ориентировочно 30o при прямом (рабочем) ходе и 45o при обратном (холостом) ходе. В центральных кривошипно-ползунных механизмах поршневых машин угол давления обычно находится в диапазоне значений 10o…20o. В кривошипно-ползунных механизмах (рис. 1.1) угол давления принимает максимальное значение при углах поворота кривошипа 1 90o или 1 270o, т.е. max arcsin(l1 e) / l 2 или иначе max arcsin1 /(2 e ) . Эти формулы можно использовать как при проверочном расчете, так и при метрическом синтезе для определения недостающих размеров кривошипно-ползунного механизма в случаях, когда он входит в состав более сложного механизма. 1.2. Четырехшарнирные механизмы Четырехшарнирный механизм ABCD (иначе шарнирный четырехзвенник) – механизм, все четыре пары которого вращательные (рис.1.3). а б в Рис.1.3 В зависимости от видов движений звеньев различают три разновидности этого механизма: кривошипно-коромысловый (рис. 1.3, а), где одно звено непрерывно вращается, а другое совершает возвратно-вращательное движение; двухкривошипный, в котором ведущее и ведомое звенья совершают полный оборот (рис. 1.3, б); 14 двухкоромысловый (рис. 1.3, в) с возвратно-вращательным движением обоих звеньев. Двухкривошипный механизм (рис. 1,б) применяется для передачи вращения с одного вала А на другой D. При равномерном вращении ведущего звена 1 ведомое 3 будет вращаться неравномерно, т.е. двухкривошипные механизмы имеют переменное передаточное отношение, среднее значение которого всегда равно единице. Геометрическими параметрами механизма являются длины его звеньев ( l1 , l 2 , l 3 ) и координаты x D и y D неподвижной кинематической пары D . Положения звеньев 1 и 3 в системе координат XAY определяются их угловыми координатами ( 1 и 3 ). Условие существования кривошипа. Согласно правилу Грасгофа самое короткое звено 1 кривошипно-коромыслового механизма (рис. 1.3, а) будет кривошипом, если сумма длин самого короткого 1 и самого длинного 0 звеньев меньше суммы длин звеньев 2 и 3. Кривошипами двухкривошипного механизма (рис. 1.3, б) служат звенья, соединенные с самым коротким звеном 0, являющимся в этом случае стойкой механизма, а сумма длин стойки и самого длинного звена меньше суммы длин двух других звеньев. В остальных случаях (рис. 1.3, в) механизм является двухкоромысловым. Далее будем рассматривать кривошипно-коромысловый механизм (рис. 1.3 а), выходным звеном которого является коромысло 3. Геометрическими параметрами механизма являются длины его звеньев ( l1 , l 2 , l3 ) и координаты x D и y D неподвижной кинематической пары D в неподвижной системе координат XAY . Положения звеньев 1 и 3 в выбранной системе координат определяются их угловыми координатами 1 и 3 соответственно. Используя рис. 1.3 а, составим замкнутый векторный контур ABCDA (рис. 1.4). Запишем для него векторное условие замкнутости l1 l 2 rD l3 , проецируя которое на оси X и Y , получим систему двух скалярных уравнений: l1 cos 1 l 2 cos 2 x D l 3 cos 3 , (1.2) l1 sin 1 l 2 sin 2 y D l 3 sin 3 . Полученную систему будем использовать для решения задач метрического синтеза четырехшарнирных механизмов. Рис. 1.4 1.2.1. Определение длин звеньев по двум крайним положениям механиз‐ ма Расчетная схема приведена на Рис. 1.5. В крайних положениях механизма кривошип 1 и шатун 2 располагаются на одной прямой. Угол качания звена 3 (угловой ход коромысла) обозначим , к н . Заданы координаты точки D , длина l3 коромысла 3 и соответствующие положениям кривошипа 1н и 1к угловые координаты н и к 15 коромысла в крайних положениях. Искомые величины: длина кривошипа l1 , длина шатуна l 2 , начальный угол 1н и угол . Здесь, как и выше (см. 1.1), угол угол перекрытия. В течение времени t пр. х прямого хода кривошип повернется на угол пр. х , а в течение времени t обр. х обратного хода на угол обр. х . Сумма углов пр. х обр. х 2 . Коэффициент изменения средней угловой скорости выходного звена K есть отношение средних угловых скоростей качания кулисы при обратном обр. х и прямом пр. х ходах: K обр. х / t обр. х пр. х . пр. х / t пр. х обр. х Выразим отсюда угол перекрытия : K 1 . Обычно значение K 1 . K 1 Рис. 1.5 Составим аналогичную (1.2) систему скалярных уравнений для двух положений механизма 1н и 1к 1н l1 cos 1н l 2 cos 1н x D l3 cos н , l1 sin 1н l 2 sin 1н y D l3 sin н , l1 cos(1н ) l 2 cos(1н ) x D l3 cos к , l1 sin(1н ) l 2 sin(1н ) y D l3 sin к . После приведения: (l1 l 2 ) cos 1н x D l3 cos н , (l1 l 2 ) sin 1н y D l3 sin н , (l 2 l1 ) cos(1н ) x D l3 cos к , (1.3) (l 2 l1 ) sin(1н ) y D l 3 sin к . 16 Решая систему (1.3), найдем четыре неизвестные величины: длину кривошипа l1 , длину шатуна l 2 , начальный угол 1н и угол перекрытия . Решение данной задачи в системе Mathcad приведено в П1.2. Решение задачи может быть получено в любом графическом пакете (см. рис. 1.5). Точки C н и C к , соответствующие крайним положениям коромысла, в которых шатун и кривошип сливаются в одну линию, соединяют с неподвижной точкой A кривошипа 1. На отрезке AC н от точки A откладывают длину отрезка AC к , полученный отрезок C н C делят пополам и получают точку C 0 . Отрезок C 0 C н равен длине кривошипа l1 , отрезок AC 0 длине шатуна l 2 , углы 1н и снимают с чертежа. 1.2.2. Определение длин звеньев по двум крайним положениям механиз‐ ма и коэффициенту изменения средней угловой скорости коромысла Заданы длина l3 коромысла, угловые координаты н и к коромысла в крайних положениях соответствующие положениям кривошипа 1н и 1к , координата y D , коэффициент K изменения средней угловой скорости коромысла. K 1 ; решая систему (1.3), найдем Порядок решения: зная K , определим K 1 длину кривошипа l1 , длину шатуна l 2 , начальный угол 1н и координату x D точки D . Решение данной задачи в системе Mathcad приведено в П1.3. Графическое решение задачи, которое может быть выполнено в любом графическом пакете, приведено на рис. 1.6. Решение основано на теореме, согласно которой угол, вписанный в дугу окружности, равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. В равнобедренном треугольнике C н OC к угол C н OC к 2 . Окружность радиусом r OC н геометрическое место искомого центра вращения кривошипа, поскольку в любой точке этой окружности вписанный угол C н AC к равен половине центрального угла C н1OC к 2 , значит угол C н AC к . Точка A центра вращения кривошипа 1 может располагаться в любой точке окружности. На рис.1.6 она соответствует точке пересечения окружности радиусом r с горизонтальной оью. Радиус DC к sin( / 2) r может быть найден из треугольников OFC к и DFC к по формуле r , sin где DC к l 3 . Полученный в результате построения отрезок AD равен координате x D точки D в системе координат XAY . Длины кривошипа 1 и шатуна 2 могут быть найдены по формулам: l1 ( AC н AC к ) / 2 , l 2 ( AC н AC к ) / 2 ; угол 1н снимают с чертежа. 17 Рис. 1.6 1.2.3. Определение длин звеньев по трем положениям механизма Заданы (см. рис. 1.7) длина l3 коромысла 3; координаты x D , y D кинематической пары D ; углы поворота 1 , 2 , 3 коромысла 3, соответствующие трем положениям механизма; углы поворота кривошипа при его переходе из начального 1н положения во второе 12 и третье 13 соответственно. Рис. 1.7 18 Составим аналогичную (1.2) систему скалярных уравнений для трех заданных положений механизма: l1 cos 1н l 2 cos 21 x D l3 cos 1 ; l1 sin 1н l 2 sin 21 y D l3 sin 1 ; l1 cos(1н 12 ) l 2 cos 22 x D l 3 cos 2 ; l1 sin(1н 12 ) l 2 sin 22 y D l 3 sin 2 ; l1 cos(1н 13 ) l 2 cos 23 x D l3 cos 3 ; l1 sin(1н 13 ) l 2 sin 23 y D l3 sin 3 , где 21 , 22 и 23 угловые координаты шатуна 2 в трех заданных положениях механизма. Эта система уравнений может быть решена относительно шести неизвестных: l1 длина кривошипа; l 2 длина шатуна; 1н угол, соответствующий начальному положению кривошипа; 21 , 22 и 23 угловые координаты шатуна 2 в соответствующих положениях. Решение данной задачи в системе Mathcad приведено в П1.4. Графическое решение задачи может быть выполнено в любом графическом пакете методом обращения движения (рис.1.8). Положение шарнира B1 по заданным параметрам найдем, сообщив всему механизму относительно шарнира A угловую скорость 1 . В результате чего звено 1 кривошип станет неподвижным, а вместо него в противоположном направлении будет вращаться звено 0 стойка. Порядок решения задачи: в системе координат xAy построим положение C1 D1 коромысла 3 с углом поворота 1 ; повернем кинематическую цепь AC1 D1 на угол 12 , где 12 ( 2 н ) , построим положение C 2 D2 коромысла 3 для угла 2 (после такого поворота положение кривошипа AB1 остается неизменным); наконец, поворачивая кинематическую цепь AC1 D1 на угол 13 , где 13 ( 3 н ) , построим положение C 3 D3 коромысла 3 для угла 3 . Шарнир B1 является центром окружности, проходящей через точки C1 , C 2 и C 3 , его положение определяется стандартным методом как точка пересечения перпендикуляров F12 и F23 к серединам отрезков соответственно C1C 2 и C 2 C 3 . Окончательно, зная положение пары B1 в системе координат xAy , найдем длину l 2 шатуна 2, длину l1 кривошипа и начальный угол поворота 1н кривошипа 1. 19 Рис. 1.8 1.2.4. Проверка угла давления в четырехшарнирном механизме При движении механизма угол давления меняется. Во избежание чрезмерного возрастания в кинематической паре C реакции коромысла 3 со стороны шатуна 2 (или даже заклинивания механизма) необходимо, чтобы максимальное значение угла давления в этой паре не превышало допустимого значения, max ; ориентировочно можно считать: 45 при прямом и 60 при обратном ходах. Очевидно, угол давления имеет максимальное значение в положении кривошипа AB0 (см. рис. 1.6), т. е. в положении, когда кривошип лежит на прямой, соединяющей оси вращения кривошипа A и коромысла D . 1.3. Четырехзвенные кулисные механизмы Четырехзвенные кулисные механизмы (рис.1.9) имеют две модификации: механизм с качающейся кулисой (рис. 1.9, а), в котором длина кривошипа l1 меньше расстояния l 0 между осями вращения кривошипа A и кулисы C (обычно l1 / l 0 0,5 ), и кулиса 3 совершает возвратно-вращательное движение; механизм с вращающейся кулисой (рис. 1.9, б), в котором длина кривошипа l1 больше l 0 (обычно l1 / l 0 2 ), и кулиса 3 за один оборот кривошипа также поворачивается на один оборот. 20 Кулисные механизмы обладают полезным свойством – с учетом допущения 4 передача силы с кривошипа на кулису через ползун 2 происходит при нулевом значении угла давления, 0 . а б Рис. 1.9 1.3.1. Проектирование механизма с качающейся кулисой Выходным звеном в таких кулисных механизмах является кулиса (рис. 1.10). Заданы расстояние l 0 между осями вращения кривошипа и кулисы и коэффициент K изменения средней угловой скорости качания кулисы. Неизвестным размером является длина l1 кривошипа. Напомним, коэффициент K равен отношению углов поворота кривошипа при пр. х , где прямом пр. х и обратном обр. х ходе кулисы 3 (см. 1.2.1): K обр. х угол перекрытия; сумма углов пр. х обр. х 2 . Угол пр. х можно выразить через K . В крайних положениях кулисы 1 K кривошип и кулиса перпендикулярны, поэтому выражая угол качания кулисы K 1 пр. х через коэффициент K , получим: . Из рис. 1.10 найдем K 1 длину кривошипа 1 l1 l 0 sin( / 2) . коэффициент K следующим образом: пр. х 2 21 Рис. 1.10 1.3.2. Проектирование механизма с качающимся цилиндром Модификацию кулисного механизма с качающейся кулисой широко используют в гидроприводах. На рис.1.11 изображена конструктивная схема, отличающаяся от схемы на рис.1.10 большей детализацией поступательной пары. В таких механизмах обобщенная координата (независимая функция времени) h есть относительное перемещение подвижных звеньев: поршня 2, движущегося поступательно в качающемся цилиндре 3 [11]. При изменении h от hmin до hmax ведомое звено – коромысло 1, поворачивается на угол . Геометрические параметры механизма: длина l1 коромысла 1, координаты x D и y D вращательной пары D в системе координат XAY , длина l шт штока поршня 2. Реальный размер l шт штока поршня выбирают из конструктивных соображений, задаваясь его относительной длиной k , определяемой максимальным ходом hmax поршня: l шт k hmax , k 1 . В качестве критерия синтеза, как правило, выбирают угол давления во вращательной кинематической паре B . 22 Рис. 1.11 Используя рис. 1.11, составим замкнутый векторный контур ABСDA (рис. 1.12). Запишем для него векторное условие замкнутости l1 rD (h l шт ) , проецируя которое на оси X и Y , получим систему скалярных уравнений, связывающих геометрические параметры механизма и обобщенную координату h ; к полученным уравнениям системы добавим уравнение, связывающее угол давления в паре B с угловыми параметрами механизма: l1 cos 1 x D (l шт h) cos 3 , l1 sin 1 y D (l шт h) sin 3 , 1 2 (1.4) 3. 23 Рис. 1.12 Далее рассмотрим три варианта решения задачи метрического синтеза с использованием системы уравнений (1.4). Варианты отличаются набором исходных данных и, значит, количеством определяемых параметров синтеза. Вариант 1. Заданы: длина l шт штока поршня, координата y D точки D ; угол поворота коромысла 1 из начального положения 1н в конечное 1к при изменении обобщенной координаты от hmin до hmax ; требуемый угол давления к в конечном положении механизма. Параметры синтеза: длина l1 коромысла, координата x D точки D ; угловые параметры 1н звена 1, 3н и 3к звена 3. Воспользуемся (1.4) и составим систему скалярных уравнений синтеза для двух положений механизма 1н и 1к 1н : l1 cos 1н x D ( l шт h min ) cos 3 н , l1 sin 1н y D ( l шт h min ) sin 3 н , l1 cos( 1н ) x D ( l шт h max ) cos 3 к , l1 sin( 1н ) y D ( l шт h max ) sin 3 к , к 1н 2 (1.5) 3к , где к требуемый угол давления в паре B в конечном положении механизма. После того, как решена система (1.5) и найдены геометрические параметры механизма, угол давления н в начальном положении механизма может быть вычислен по формуле: н 1н 2 3н . 24 Вариант 2. Заданы: длина l шт штока поршня; угол поворота коромысла 1 из начального положения 1н в конечное 1к при изменении обобщенной координаты от hmin до hmax ; требуемый угол давления к в конечном положении механизма. Параметры синтеза: длина l1 коромысла, координаты x D и y D точки D ; угловые параметры 1н звена 1, 3н и 3к звена 3. Для решения воспользуемся системой уравнений (1.5). После того, как система (1.5) решена и найдены геометрические параметры механизма, угол давления н в начальном положении механизма может быть вычислен по формуле: н 1н 3н . 2 Вариант 3. Заданы: длина l шт штока поршня; угол поворота коромысла 1 из начального положения 1н в конечное 1к при изменении обобщенной координаты от hmin до hmax ; требуемый угол давления н в начальном положении механизма. Параметры синтеза: длина l1 коромысла, координата x D точки D ; угловые параметры 1н звена 1, 3н и 3к звена 3. Воспользуемся (1.4) и составим систему скалярных уравнений синтеза для двух положений механизма 1н и 1к 1н : l1 cos 1н x D (l шт hmin ) cos 3н , l1 sin 1н y D (l шт hmin ) sin 3н , l1 cos(1н ) x D (l шт hmax ) cos 3к , (1.6) l1 sin(1н ) y D (l шт hmax ) sin 3к , н 1н 3н , 2 где н требуемый угол давления в паре B в начальном положении механизма. После того, как решена система (1.6) и найдены геометрические параметры механизма, угол давления к в конечном положении механизма может быть вычислен по формуле: к 1н 3к . 2 Решение всех трех вариантов данной задачи в системе Mathcad приведено в П1.5. Из анализа полученных решений видно, что результат зависит как от постановки задачи (какие параметры задаются, а какие необходимо найти в процессе решения), так и от начальных приближений. Начальные приближения могут быть найдены из анализа расчетной схемы (рис. 1.13). 25 Рис. 1.13. Считаем заданными угол качания коромысла ; длину l шт штока поршня; значения обобщенной координаты hmin и hmax ; требуемый угол давления к в конечном положении механизма, в точке Bк . Расположим кинематическую пару D на продолжении отрезка Вк Вн длина которого l ВкВн hmax hmin . Тогда из треугольника Вк АВн найдем длину коромысла l1 hmax hmin . Межосевое расстояние l 0 выразим из 2 sin / 2 треугольника DABн : l 0 l AD l12 (l шт hmin ) 2 2l1 (l шт hmin ) sin( / 2) . Зная l0 , можно назначить начальные приближения для координат x D и y D точки D . 1.4. Шестизвенные механизмы Для расширения кинематических возможностей механизма исходный четырехзвенный механизм дополняют группой Ассура II класса (диадой) любого из пяти видов, получая при этом шестизвенный рычажный механизм второго класса. 1.4.1. Расчет координаты направляющей ползуна по заданному углу дав‐ ления Дополним кулисный механизм с качающейся кулисой (рис. 1.10), размеры которого известны, диадой II ВВП (4,5) с внешней поступательной кинематической парой E (рис. 1.14). Формула строения полученного механизма: I В (0,1) II ВПВ (2,3) II ВВП (4,5) . Заданы размеры кулисного механизма: длина l3 кулисы 3, координата y C кинематической пары C , угол качания кулисы ; допустимый угол давления во вращательной паре E присоединенной диады. Угол давления принимает максимальное значение в крайних положениях E н и E к выходного звена механизма 5. Если не 26 задан, его назначают из рекомендованного в 1.1.3 диапазона: ориентировочно 30o при прямом (рабочем) ходе и 45o при обратном (холостом) ходе. Рис. 1.14. Подлежат определению длина l 4 шатуна 4 и координата y E направляющей ползуна 5. Используя рис. 1.14, найдем величину величину стрелки дуги, описываемой точкой D : l 3 1 cos( / 2) . Тогда координата y E направляющей ползуна 5 может быть рассчитана по формуле y E l 3 / 2 y C , а длина l 4 шатуна 4 найдена из соотношения: l 4 /(2 sin ) . 1.4.2. Синтез механизма по ходу ползуна и коэффициенту изменения его средней скорости Пусть для механизма рис. 1.14 заданы: координата y C кинематической пары C , коэффициент K v изменения средней скорости ползуна 5 и величина рабочего хода ползуна H . Необходимо найти длину l1 кривошипа 1 и l3 длину кулисы 3. Коэффициент изменения средней скорости выходного звена 5 K v есть отношение его средних скоростей при обратном и прямом ходах: vобр. х v пр. х 27 Kv vобр. х v пр. х H / t обр. х H / t пр. х t пр. х t обр. х . С другой стороны, коэффициент изменения средней угловой скорости кулисы 3 (см. 1.2.1) K есть отношение средних угловых скоростей качания кулисы при обратном и прямом ходах: обр. х пр. х K обр. х / t обр. х пр. х , пр. х / t пр. х обр. х где угловой ход кулисы, угол перекрытия. Из сопоставления формул следует, во-первых, что K v K , во-вторых, зная K 1 коэффициент K v , определим угловой ход кулисы v . Далее, из рис. 1.14 найдем Kv 1 H длину кривошипа 1 l1 y C sin( / 2) и длину кулисы 3 l3 . 2 sin( / 2) 1.4.3. Синтез механизма с вращающейся кулисой Сформулируем задачу синтеза для механизма рис. 1.15. При вращении кривошипа 1 кулисный камень 2 скользит по кулисе 3, при этом параметры механизма l1 и межосевое расстояние a выбраны так, что кулиса совершает непрерывное вращательное движение, то есть также является кривошипом. Крайние положения ползуна 5, определяющие его ход H , соответствуют точкам пересечения B1 и B2 направляющей ползуна с траекторией точки B кривошипа. Центр вращения C кулисы 3 лежит на середине отрезка B1 B2 . Перемещение ползуна из положения E1 в положение E 2 (прямой ход) соответствует повороту кривошипа из положения AB1 в положение AB2 на угол пр. х . Перемещение ползуна из E 2 в E1 (обратный ход) соответствует дальнейшему повороту кривошипа на угол обр. х . Рис. 1.15. Для описанного механизма заданы: коэффициент K v изменения средней скорости ползуна 5, величина рабочего хода ползуна H , расстояние a между осями вращения 28 кривошипа и кулисы. Из решения задачи необходимо найти: длину кривошипа l1 , длину кривошипа дополнительной группы lCD , длину шатуна l 4 . Порядок расчета. Зная коэффициент K v , найдем (см. 1.4.2) угол перекрытия Kv 1 . Затем из треугольника OB2 C (см. рис. 1.15) вычислим длину кривошипа Kv 1 l1 a / sin( / 2) . Длина кривошипа lCD в аксиальном кривошипно-ползунном механизме дополнительной группы равна половине хода ползуна, поэтому l CD H / 2 . Длина l 4 шатуна 4 должна быть такой, чтобы выполнялось условие max , где допускаемый угол давления во вращательной паре E . В кривошипно-ползунных механизмах угол давления принимает максимальное значение, когда кривошип l H перпендикулярен направляющей ползуна. Отсюда следует, что sin max CD , т. е. l4 2l 4 H l4 . Если max не задан, его назначают из рекомендованного в 1.1.3 диапазона: 2 sin max ориентировочно 30o при прямом (рабочем) ходе и 45o при обратном (холостом) ходе. Задачи метрического синтеза плоского рычажного механизма, описанные в этой главе, рассчитаны как на графическое решение, так и на решение с использованием пакета Mathcad. Решение некоторых задач синтеза в системе Mathcad приведено в Приложении П1. 29 2. Структурный и кинематический анализ плоских рычаж‐ ных механизмов Структурный анализ позволяет выявить особенности строения механизма, определяющие последовательность проведения его кинематического и далее (см. гл. 4) кинетостатического исследования. 2.1. Структурный анализ механизма Анализ выполняется на базе структурной схемы исполнительного рычажного механизма, заданной в Техническом задании на курсовое проектирование (КП). Допущение 1: все пары рычажного механизма являются одноподвижными и относятся к пятому классу. Цель структурного анализа: определить число степеней свободы механизма и выбрать начальные кинематические пары; декомпозировать механизм на простейшие кинематически и статически определимые кинематические группы, записать символическую формулу строения механизма. Учитывая Допущение 1, число степеней свободы W плоского рычажного механизма можно вычислить по формуле П.Л.Чебышева: W 3n 2 pн , (2.1) где n число подвижных звеньев, p н число одноподвижных кинематических пар (пятого класса), вращательных или поступательных. Степени свободы это совокупность линейно независимых координат, полностью определяющих положение (а вместе с их производными по времени и движение) механической системы в выбранной системе координат. Такие координаты в общем случае называются обобщенными координатами qi qi (t ) (i W ) . (2.2) При W 1 обобщенная координата q q (t ) приписывается начальной кинематической паре. Начальная кинематическая пара (НКП) – кинематическая пара, в которой относительное перемещение образующих ее звеньев есть обобщенная координата q q (t ) . Если одно из звеньев НКП – стойка, то второе, подвижное, звено называют начальным (или входным). Начальное звено может совершать относительно стойки поступательное движение (ползун) или вращательное движение (коромысло или кривошип). Определение степени подвижности рычажного механизма имеет смысл проверочного расчета, так как в исходных данных к типовому заданию на КП начальное (входное) звено указано: как правило, это звено образует со стойкой вращательную кинематическую пару. Припишем обобщенную координату этой кинематической паре: (2.3) q (t ) . Кинематическая группа – простейшая кинематически и статически определимая кинематическая цепь, содержащая минимальное число звеньев и кинематических пар (включая и те кинематические пары, которыми она присоединяется к механизму), степень подвижности которой равна числу НКП, входящих в данную кинематическую группу. Группа Ассура – подмножество множества кинематических групп: степень подвижности группы Ассура равна нулю, в ее составе нет НКП. Результатом структурного анализа является символическая формула строения механизма. В курсовом проекте исследуется рычажный механизм, в состав которого входит условный механизм 1-го класса (кинематическая группа, степень подвижности которой равна 1) и 30 только группы Ассура II класса. Эта же формула, как правило, используется при формировании алгоритма кинематического анализа, т.е. является алгоритмической формулой. Подробно методика структурного анализа изложена в [11]. Решение задач структурного анализа выполняется в пояснительной записке к КП. Рассмотрим Пример структурного исследования типового рычажного механизма из сборника заданий на КП, расчетная схема которого приведена на Рис. 2.1. Рис. 2.1. По формуле (2.1) найдем степень подвижности механизма: W 3n 2 pн 3 3 2 4 1 . Отсюда следует, что требуется одна обобщенная координата q q (t ) . На рис. 2.1. указано входное звено механизма – кривошип 1, образующий со стойкой 0 вращательную кинематическую пару O . Припишем угловую обобщенную координату q (t ) начальной кинематической паре O . Выделим в составе механизма условный механизм 1-го класса (стойку и кривошип), степень подвижности которого равна 1, и группы Ассура (кинематические группы с нулевой степенью подвижности). Запишем символическую формулу строения механизма: IВ(0,1) IIВВП(2,3), (2.4) где: IВ(0,1) – обозначение условного механизма 1-го класса, состоящего из звеньев с номерами 0 и 1 и вращательной пары (нижний индекс); IIВВП(2,3) – обозначение группы Ассура 2-го класса с одной внешней поступательной парой (нижний индекс), в состав которой входят звенья 2 и 3 (числа в скобках). На основании формулы (2.4) заключаем, что механизм Рис. 2.1 является механизмом 2-го класса, так как в его составе нет групп Ассура выше 2-го класса. Полученную формулу будем использовать при формировании алгоритма кинематического анализа. 2.2. Кинематический анализ механизма В этом подразделе проекта движение механизма исследуется в геометрическом аспекте, без учета причин, его вызывающих. Целью исследования является построение функций, исчерпывающе описывающих преобразование движения в механизме. Параметрами (константами) таких функций являются размеры звеньев, а переменными – координаты, характеризующие относительное расположение звеньев. 31 Исходными данными задачи кинематического анализа являются структурная схема механизма, размеры звеньев, включая размеры, определяющие положения центров масс звеньев. Числовые значения длин звеньев приведены в таблицах исходных данных в Техническом задании на КП, недостающие размеры должны быть найдены при решении задачи метрического синтеза в Разделе 1. Допущение 2: звенья механизма представляют собой абсолютно твердые тела. Допущение 3: отсутствуют зазоры в кинематических парах. Сформулируем задачу кинематического анализа: считая схему и размеры звеньев механизма заданными, установить закон преобразования движения входных звеньев в движения выходных звеньев механизма, если движения входных звеньев определены. 2.2.1. Геометрические характеристики преобразования движения в ме‐ ханизме Будем рассматривать механизм с одной степенью подвижности W 1 , с вращающимся входным звеном, угол есть обобщенная координата механизма (2.3). Положение звеньев механизма зависит лишь от его обобщенной координаты, поэтому для звена номер j и точки M на нем можно записать (2.5) j j ( ) x ( ), rM rM ( ) M (2.6) yM ( ); здесь j угол поворота j -го звена; rM радиус-вектор точки M в выбранной системе координат (Рис. 2.2). Сформулируем формальные правила, которые в дальнейшем будем соблюдать: - выберем правую декартовую систему координат S XOY , начало которой O совпадает с неподвижной точкой начального звена (НКП); - правило отсчета углов: угол j будем отсчитывать от положительного направления оси X до положительного направления соответствующего вектора, двигаясь против хода часовой стрелки. Рис. 2.2 Функции (2.5), (2.6) есть функции положения. Дифференцируя их по времени с учетом (2.3), получим выражения для угловой скорости j j -го звена и скорости v M точки M : j d j d qj , d dt (2.7) 32 vM drM d vqM ; d dt (2.8) d (t ) обобщенная угловая скорость механизма. dt Для определения углового ускорения j j -го звена и ускорения a M точки M продиф- здесь ференцируем по времени скорости (2.7) и (2.8): d 2 j 2 d j j qj 2 qj , 2 d d aM d 2 rM 2 drM aqM 2 vqM ; d 2 d (2.9) (2.10) d 2 (t ) обобщенное угловое ускорение механизма. d 2 Входящие в выражения (2.7)-(2.10) производные j и rM по обобщенной координате носят названия аналогов скоростей и ускорений [1, 2, 3, 5, 7,11] или кинематических передаточных функций (КПФ) [6, 7, 8, 9]: d 2 j d j аналог угловой скорости; qj аналог углового ускорения; qj d d 2 здесь d 2 rM drM a vqM аналог линейной скорости; qM аналог линейного ускорения. d 2 d Размерность аналогов определяется размерностью обобщенной координаты. Если обобщенная координата есть угол поворота, то аналоги угловой скорости и углового ускорения, как следует из (2.7), (2.9), безразмерны, а аналоги линейной скорости и линейного ускорения (2.8), (2.10) имеют размерность длины. 1 Отметим, что аналоги численно равны скоростям и ускорениям, если 1 , с 0 . Конкретный вид функций положения (2.5) и (2.6) и аналогов, входящих в выражения (2.7)(2.10), определяется строением механизма и размерами звеньев; эти функции являются геометрическими характеристиками преобразования движения в механизме. Определение перечисленных характеристик механизма является целью кинематического анализа на данном этапе выполнения курсового проекта (1-й лист КП). Задача о положениях состоит в определении функций положения вида (2.5), (2.6); задача о скоростях заключается в отыскании функций аналогов угловых и линейных скоростей qj ( ) , vqM ( ) ; задача об ускорениях заключается в отыскании функций аналогов угловых и линейных ускорений qj ( ) , aqM ( ) . Основной и наиболее сложной является первая из этих задач задача о положениях. Аналитически она обычно описывается нелинейными уравнениями. Решение двух других задач сводится к дифференцированию по обобщенной координате функций положения или уравнений, которыми эти функции описываются. В последнем случае получают уравнения, линейные относительно искомых аналогов. Дифференцирование может быть выполнено с использованием стандартных процедур в среде Mathcad. При формировании расчетного алгоритма в пояснительной записке к КП строятся расчетные схемы, приводятся необходимые векторные уравнения и уравнения в проекциях, результатом решения которых являются искомые функции положения. Результаты исследования представляются в виде листинга Mathcad-программы с необходимыми для контроля графиками. На 1-м листе КП обязательно приводятся три графика для выходного звена механизма: перемещения, аналога скорости и аналога ускорения. 33 2.2.2. Кинематика входного звена механизма Обобщенная координата как аргумент функций положения и аналогов задается на отрезке [0, 2 ] . Очевидно, что обобщенная угловая скорость величина неотрицательная. Знак угловой скорости кривошипа 1 соответствует направлению вращения ( 1 0 при вращении против хода часовой стрелки, 1 0 по ходу часовой стрелки). Согласно (2.7) угловая скорость кривошипа связана с обобщенной скоростью соотношением: 1 q1 , где q1 sign(1 ) аналог угловой скорости входного звена. Очевидно, q1 равняется 1 или 1 (аналог углового ускорения q1 0 ). Воспользуемся схемой, изображенной на рис. 2.3. Зададим начальное положение входного звена-кривошипа углом 1н , соответствующее, например, началу рабочего хода механизма. Введем функцию углового положения кривошипа 1 ( ) . Углы 1 ( ) и 1н отсчитываются в соответствии с формальным правилом. Обобщенную координату будем отсчитывать в направлении вращения кривошипа: если кривошип вращается против хода часовой стрелки (Рис. 2.3,а), то его угловое положение определяется по формуле 1 ( ) 1н ; если кривошип вращается по ходу часовой стрелки (Рис. 2.3,б), то его угловое положение определяется по формуле 1 ( ) 1н . В общем виде угловое положение кривошипа представим так: (2.11) 1 ( ) 1н q1 а б Рис. 2.3. 2.2.3. Метод векторных контуров в кинематике механизмов Кинематическому анализу механизма предшествует задача структурного анализа. Результатом структурного анализа является символическая формула строения механизма. Эта же формула, как правило, определяет последовательность формирования алгоритма кинематического анализа, т.е. является алгоритмической формулой. Смысл ее в следующем: как механизм на стойке собирается путем последовательного присоединения кинематических групп, так и алгоритм кинематического анализа формируется последовательным соединением расчетных модулей, каждый из которых позволяет выполнить кинематическое исследование соответствующей группы. При этом результаты исследования одной группы становятся исходными данными для анализа следующих. Построенный для кинематической группы модуль является универсальным и не зависит от того, в какой механизм кинематическая группа данного вида входит и какое место в нем занимает [11]. 34 Исследование плоских рычажных механизмов удобно проводить методом замкнутых векторных контуров, разработанным проф. В.А.Зиновьевым [2]. В этом методе связи в механизме, определяемые как видом кинематических пар, так и размерами звеньев, выражаются в форме условий замкнутости векторных контуров, построенных на базе кинематической схемы механизма. В скалярной форме соответствующие зависимости получают, проецируя векторные контуры на оси координат. При выполнении 1-го листа курсового проекта необходимо решить задачу кинематического анализа плоского рычажного механизма, в состав которого входят двухзвенные группы с нулевой подвижностью (группы Ассура) и группы со степенью подвижности 1. Векторные контуры составляют для каждой входящей в механизм группы Ассура. Построенные на базе векторных контуров расчетные модули объединяют в единый расчетный алгоритм согласно алгоритмической формуле, полученной при решении задачи структурного анализа механизма. Далее выполним расчет кинематических параметров кривошипно-ползунного механизма. Схема механизма показана на рис. 2.1. Формула его строения IВ(0,1) IIВВП(2,3). Необходимо получить кинематические функции для условного механизма 1-го класса IВ(0,1) и диады IIВВП(2,3). Аргумент функций – обобщенная координата (в дальнейшем подразумевается, но не пишется), приписанная начальной кинематической паре O . Анализ группы IВ(0,1). Считаем известными: длину lOA кривошипа 1, аналог угловой скорости кривошипа q1 1 , 1н угол, соответствующий задаваемому начальному положению входного звена в составе механизма. Искать будем функцию положения точки A x ( ) rA ( ) A y A ( ) Угловое положение кривошипа определим в соответствии с (2.11): 1 ( ) 1н q1 Далее запишем формулы для расчета координат точки A : x A ( ) lOA cos[1 ( )] ; y A ( ) lOA sin[1 ( )] . Анализ диады IIВВП(2,3). Воспользуемся расчетным модулем 2.2.4. для левой сборки шатунно-ползунной группы [11] Рис. 2.4. x A ( ); lBA const; yB const (рис. 2.4). Дано: rA ( ) y A ( ); 35 Найти: функцию положения 2 ( ) звена 2 и функцию перемещения xB ( ) ползуна 3. Условие замкнутости векторного контура: rA rB lBA . x A xB lBA cos(2 ); В проекциях на оси координат: y A yB lBA sin(2 ). Получим расчетные формулы для неизвестных 2 ( ) и x B ( ) . Из второго уравнения сиy yB , затем cos( 2 ) 1 sin 2 ( 2 ) (знак плюс перед радикастемы найдем sin( 2 ) A l BA лом соответствует левой сборке группы Ассура, угол 2 изменяется в пределах / 2 2 / 2 ). Функция 2 ( ) в системе Mathcad может быть найдена с помощью стандартной функции atan 2( x, y ) atan 2 cos(2 ),sin(2 ) . Из первого уравнения системы найдем выражение для x B ( ) : x B x A l BA cos( 2 ) . Расчет координат центра масс шатуна (точки S 2 ). Воспользуемся [11] модулем 2.2.12 и построим вспомогательный контур. Рис. 2.5. Вспомогательный контур [11, 2.2.12] предназначен для расчета кинематических параметров присоединительных пар и характерных точек. xB ( ); Дано: rB ( ) ; lBS 2 d ; угловое положение 2 ( ) шатуна. y ; B xS 2 ( ); Найти: rS 2 ( ) yS 2 ( ). xS 2 xB d cos(2 ); В проекциях на оси системы координат: yS 2 yB d sin(2 ). Решение двух других задач (о скоростях и ускорениях) сводится к дифференцированию полученных функций положения по обобщенной координате , которое может быть выполнено с использованием стандартных процедур дифференцирования в среде Mathcad. Расчет кинематических параметров кривошипно-ползунного механизма в системе Mathcad приведен в П2.п2, П4.п2, расчет механизма, в состав которого входит диада IIВВВ приведен в П3.п2. Решение задач кинематики может быть выполнено в любом графическом пакете. Аналоги скоростей можно определить из плана возможных скоростей, построенного при угловой скорости начального звена 1 q1 для положения механизма, заданного координатой 1 . Так, на рис. 2.1 для кривошипно-ползунного механизма построен план возможных скоро36 стей. При этом длина отрезка Pv a , мм, известна или может быть измерена, тогда модуль аналога скорости точки B Pb v v vqB B B l1 v , Pv a 1 v A / l1 где l1 длина кривошипа 1, м; Pvb и Pv a отрезки, изображающие скорости vB и v A , мм. Результат, полученный графоаналитическим методом для конкретного положения механизма (конкретного значения обобщенной координаты ), может использоваться для контроля результатов численного анализа механизма в среде Mathcad. Найденные кинематические функции (положения, аналогов скоростей и ускорений (2.7)(2.10)) используются далее при построении динамической модели машины (см. 3.2). 3. Анализ движения машины под действием заданных сил В этом подразделе проекта рассматривается решение прямой задачи динамики машин – определяется закон движения машины по заданным действующим на нее силам. 3.1. Анализ сил, действующих в машине Все силы, действующие на звенья механизма, подразделяют на внешние (активные) и внутренние (реакции связей). Внешние силы совершают работу и изменяют кинетическую или потенциальную энергию машины. Внутренние силы действуют между звеньями механической системы. Работа этих сил не изменяет энергии системы. В механических системах такими силами будут реакции в кинематических парах. При решении прямой задачи динамики внутренние силы не учитываются. Определение реакций в кинематических парах – суть обратной задачи динамики машин. Ее решение будет рассматриваться в следующей главе 4. К внешним (активным) силам относятся: - движущие силы, направленные в сторону перемещений их точек приложения (скалярное произведение вектора силы и скорости точки приложения этой силы есть положительная величина); отсюда следует, что работа этих сил положительна (увеличивает энергию системы); - силы сопротивления, работа которых отрицательна (уменьшает энергию системы). Силы сопротивления в свою очередь делятся: а) на силы полезного (технологического) сопротивления, возникающие при выполнении машиной ее основных функций (работа по изменению координат, формы или свойств изделия и т. п.); приложены к исполнительным или рабочим звеньям машины и направлены против перемещений их точек приложения (скалярное произведение вектора силы и скорости точки приложения этой силы есть отрицательная величина); б) на силы трения (диссипативные), возникающие в месте связи в кинематической паре и определяемые условиями физико-механического взаимодействия между звеньями (их работа всегда отрицательна). В дальнейшем не будем учитывать силы трения. Допущение 4: пренебрегаем трением в кинематических парах и вредными сопротивлениями среды. - силы взаимодействия с потенциальными полями – потенциальные (позиционные) силы, возникающие при перемещении объекта в потенциальном поле различной природы. Характерная особенность потенциальных сил заключается в том, что их работа за цикл, т. е. при возврате системы в исходное положение, равна нулю. Силы упругости пружин яв37 ляются потенциальными силами. В гравитационном поле потенциальными будут силы тяжести звеньев. Силы тяжести могут оказаться в числе сил, совершающих положительную работу, если точка приложения этих сил опускается, и в числе сил, совершающих отрицательную работу, если точка приложения поднимается; в машинах циклового действия работа сил тяжести за полный оборот машины (цикл) равна нулю. - силы инерции, условно отнесенные к внешним силам. При добавлении этих сил к внешним силам, действующим в механической системе, в ней устанавливается квазистатическое равновесие, что позволяет использовать уравнения статики в силовом расчете. В данном разделе, при решении прямой задачи динамики, эти силы не учитываются. 3.2. Механические характеристики двигателей Двигатель предназначен для возбуждения механического движения в машине. Осуществление механических движений и силовых воздействий, необходимых для выполнения рабочих процессов, всегда сопровождается в машине преобразованием какоголибо вида энергии в механическую работу, передачей энергии от источника рабочим органам машины. Свойства двигателей, определяющие характер их взаимодействия с другими функциональными частями машины, описываются механическими характеристиками. Физический параметр, управляющий процессом преобразования энергии в двигателе, называется входным параметром двигателя – управляющим воздействием u (t ) . Положение выходного звена двигателя относительно его корпуса определяется обобщенной координатой q (t ) . В случае вращательного движения выходного звена двигатель называется роторным, а в случае поступательного движения – линейным. Обобщенную движущую силу, возникающую на выходном звене двигателя, обозначим через Q (t ) . В роторном двигателе это движущий момент, в линейном – движущая сила. Механической характеристикой двигателя называется функциональная зависимость между обобщенной скоростью выходного звена q (t ) , управляющим воздействием u (t ) и обобщенной движущей силой Q (t ) (рис. 3.1). Рис. 3.1. Каждый двигатель может описываться различными механическими характеристиками, в зависимости от того, какие его свойства представляются существенными. На холостом ходу, при Q 0 , поведение двигателя характеризуется идеальной механической характеристикой (3.1) q f (u ) , которая в общем случае может быть нелинейной. С помощью такой характеристики приближенно описываются свойства двигателей, у которых скорость в статических режимах слабо зависит от нагрузки (электродвигатели, гидравлические двигатели с объемным и дроссельным управлением). В тепловых двигателях внутреннего сгорания и пневмодвигателях входной параметр u предопределяет обобщенную движущую силу. Статические режимы в таких двигателях могут приближенно описываться идеальной силовой характеристикой (3.2) Q F (u ) . В общем случае при исследовании статических режимов используются статические характеристики вида 38 (3.3) q f s (u , Q ) , или в форме, разрешенной относительно Q : (3.4) Q Fs (u, q ) . Эти характеристики учитывают влияние нагрузки на обобщенную скорость, которое в большей или меньшей степени проявляется у всех реальных двигателей. Рабочие характеристики Q (q ) (рис. 3.2, а), получающиеся из (3.4) при u const , и регулировочные характеристики q (u ) (рис.3.2, б), получающиеся из (3.3) при Q const , вообще говоря, являются нелинейными. а б Рис. 3.2 Как правило, с ростом нагрузки обобщенная скорость q (t ) уменьшается, и рабочие характеристики оказываются «падающими». Величина Q s (3.5) q называется крутизной статической характеристики в данной точке; для падающей характеристики s 0 . Если обобщенная скорость слабо зависит от нагрузки, статическая характеристика двигателя называется жесткой (рис. 3.3,а); если же изменение скорости слабо влияет на величину силы, характеристика является мягкой (рис. 3.3,б). а б Рис. 3.3 Статические характеристики адекватно отражают свойства реальных двигателей только при статических режимах работы машины, то есть в тех случаях, когда параметры u , q , Q постоянны или изменяются незначительно и достаточно медленно. В более общем случае приходится учитывать инерционность физических процессов, происходящих в двигателе: (3.6) Q Q Fs (u , q ) . 39 Параметр называется собственной постоянной времени двигателя, а выражение (3.6) – его динамической характеристикой. Приведем примеры механических характеристик двигателей, входящих в состав рабочей машины, рассматриваемой в курсовом проектировании. 3.2.1. Двигатели внутреннего сгорания (ДВС). Для поршневых ДВС, в которых координата выходного звена (коленчатого вала) связана с координатой поршня нелинейной функцией положения, обобщенная движущая сила зависит не только от обобщенной скорости q , но и от обобщенной координаты q . При этом статическая характеристика представляется в форме Q Qs (u, q , q ) , причем Qs является периодической функцией от q . В заданиях к курсовому проектированию для таких двигателей механическая характеристика задается индикаторной диаграммой, описывающей изменение давления в цилиндре от перемещения поршня. В зависимости от типа двигателя полный цикл его работы может составлять или один, или два оборота коленчатого вала (соответственно два или четыре хода поршня; ход поршня равен рабочему ходу машины H ). а) Четырехтактный ДВС. Кинематическая схема одноцилиндрового четырехтактного ДВС изображена на рис. 3.4; его индикаторная диаграмма p p( S C ) – на рис. 3.5, где p давление рабочего тела в цилиндре двигателя, S C ( ) функция перемещения поршня. Цикл такого ДВС равен двум оборотам кривошипа ( ц 4 , рад), что соответствует 4 H ходам поршня. Рис. 3.4. 40 Рис. 3.5 Рабочий процесс в цилиндре двигателя происходит следующим образом: при движении поршня 3 (см. рис. 3.4) вправо (скорость поршня x C 0 ) в цилиндре происходит всасывание (участок cd); при движении влево ( x C 0 ) – сжатие (участок da); при повторном движении вправо ( x C 0 ) – расширение (участок ab); наконец, снова влево ( x C 0 ) – выхлоп (участок bс). На этом цикл заканчивается. Рабочая механическая характеристика двигателя имеет вид: (3.7) Fд Fд ( xC , sign x C ) , где Fд сила давления на поршень равная произведению площади поршня на давление, найденное из индикаторной диаграммы; xC координата поршня (проекция функции положения точки C на ось x , x C проекция скорости vC точки C на ось x , y C 0 ), sign функция "знак". Отсюда следует, что Fд ( ) есть сложная функция обобщенной координаты . Проекция силы Fд на ось x обозначим Fдx , проекция Fдy 0 . Тогда на участках ab и df сила Fд является движущей (скалярное произведение Fд vC Fдx x C 0 ), на всех остальных участках – силой сопротивления ( Fдx x C 0 ). б) Двухтактный ДВС. Кинематическую схему ДВС см. рис. 3.4. Цикл двухтактного ДВС равен одному обороту кривошипа ( ц 2 , рад) или 2 H ходам поршня. Рабочий процесс характеризуется индикаторной диаграммой (рис. 3.6) и происходит следующим образом: при движении поршня 3 (см. рис. 3.4) вправо ( x C 0 ) в цилиндре происходит два последовательных процесса: расширение (прямой ход) – участок ab и продувка – участок bс; при движении влево ( x C 0 ) – сжатие (обратный ход) – участок ca. На этом цикл заканчивается. 41 Рис. 3.6 Рабочая механическая характеристика двухтактного двигателя имеет вид (3.6). Сила Fд на участках ab и bс является движущей (произведение Fдx x C 0 ), на участке cd – силой сопротивления ( Fдx x C 0 ). 3.2.2. Электрические роторные двигатели. Положение вращающегося выходного звена двигателя (ротора) определяется обобщенной координатой (t ) . Обобщенный движущий момент обозначим M д (t ) . а) Двигатель постоянного тока с независимым возбуждением. Запишем статическую (3.3) характеристику двигателя, связывающую его входной ( u (t)) и выходные ( , M д ) параметры: М д М пуск s , М пуск r u (t ) . (3.8) dM д крутизна характеристики двигателя. Чем больше крутизна s , d тем слабее изменение нагрузки влияет на величину угловой скорости ротора (рис. 3.3,а). На рис. 3.7 построено семейство рабочих характеристик M д ( ) при различных Параметр s постоянных значениях управляющего воздействия u . Для одной из них известны: син частота вращения вала двигателя без нагрузки (синхронная частота), ном номинальная круговая частота вращения вала двигателя, номинальный крутящий момент М ном . 42 Рис. 3.7 В рассматриваемом случае эти характеристики являются линейными. Тогда рабочая механическая характеристика двигателя есть уравнение прямой, проходящей через две точки с координатами ( син ,0 ) и ( ном , М ном ): М д ( ) М ном (син ) / (син ном ) , (3.9) (3.10) М пуск М номсин / (син ном ) . б) Асинхронный электрический двигатель переменного тока. Статическая характеристика (рис. 3.8) такого двигателя имеет два участка: устойчивый участок bd и неустойчивый ab . Общая граница участков – точка b с координатами ( кр , М кр ), кр критическая угловая скорость, соответствующая критическому (максимальному) моменту М кр . На устойчивом участке bd характеристика линеаризована и описывается уравнением, аналогичным (3.9): М д ( ) М ном (син ) / (син ном ) . (3.11) Рис. 3.8 На всем диапазоне изменения характеристика асинхронного двигателя описывается более сложной приближенной формулой Клосса, в которой момент выражается через скольжение s: 2 М кр , (3.12) М д ( ) s ( ) / sкр sкр / s ( ) 43 где s ( ) 1 / син , а критическое скольжение sкр 1 кр / син . 3.2.3. Пружинный двигатель. Если в качестве двигателя используется пружина (например, спиральная), то в большинстве случаев рабочую часть (участок ab) ее механической характеристики (рис. 3.9) можно представить в виде линейной убывающей функции перемещения (угла поворота вала двигателя): M д ( ) M 0 k , где M 0 M пуск ; k коэффициент пропорциональности. Рис. 3.9 3.3. Механические характеристики рабочих процессов Кроме двигателя, в состав машинного агрегата входит исполнительный, как правило, рычажный механизм технологической машины, выходное звено которого непосредственно связано с выполнением рабочего процесса. При выполнении рабочего процесса возникают активные силы сопротивления, действующие на рабочие органы, например: сила резания в строгальном станке, сила давления сжимаемого газа в компрессоре, сила сопротивления грунта при перемещении ковша, вес транспортируемой детали. Как правило, эти силы зависят от параметров движения рабочих органов машины, их координат, скоростей и ускорений. Математические выражения этих зависимостей называются механическими характеристиками рабочих процессов. а) Поршневой компрессор. Механическая характеристика компрессора задается индикаторной диаграммой (рис. 3.10), описывающей изменение давления в цилиндре от перемещения поршня. 44 Рис. 3.10 Рабочий процесс в цилиндре компрессора имеет следующие фазы: всасывание (участок dc); сжатие (участок cb); нагнетание (участок ba); расширение остаточного воздуха (участок ad). Рабочую механическую характеристику компрессора представим в виде: Fс Fс ( xC , sign x C ) , (3.13) где Fс Fcx , Fcy сила полезного сопротивления, действующая на поршень, равная произ- ведению площади поршня на давление, найденное из индикаторной диаграммы (рис. 3.10); xC ( ) функция положения точки приложения силы от обобщенной координаты , y C ( ) 0 . Отсюда следует, что Fс ( ) есть сложная функция обобщенной координаты . Сила Fс на участках af и ce движущая ( Fcx 0, xC 0 , Fcx 0, xC 0 и Fсx x C 0 ); на участках fd и dc сила сопротивления ( Fcx 0, xC 0 и Fсx x C 0 ); на участках eb и ba – сила сопротивления ( Fcx 0, xC 0 и Fсx x C 0 ). б) Поршневой насос. Для описания механической характеристики насоса используют индикаторную диаграмму (рис. 3.11), где участок dc – всасывание (прямой ход поршня, соответствующий интервалу изменения обобщенной координаты пр.х. ), участок ba – нагнетание (обратный ход поршня, соответствующий интервалу изменения обобщенной координаты обр. х. ). Сила, действующая на поршень, равна произведению давления, взятого из диаграммы, на площадь поршня. Несмотря на то, что вектор силы меняет направление из-за изменения знака давления, одновременно меняется и направление движения поршня, поэтому работа силы, приложенной к поршню, всегда остается отрицательной (сила является силой сопротивления). 45 Рис. 3.11 в) Металлообрабатывающие станки. Механической характеристикой для металлорежущего станка F рез F рез S F ( ), пр. х. является сила сопротивления резанию, действующая со стороны обрабатываемой детали на резец. Внешняя сила, связанная с усилием на резце F рез , является функцией перемещения точки ее приложения S F ( ) , кроме того, процесс резания происходит только при движении резца в одном направлении (прямой ход, которому соответствует интервал изменения обобщенной координаты пр.х. ). Сопоставим график изменения силы резания F рез и силы трения Fтр с графиком перемещения S F выходного звена, например, строгального станка (см. рис. 3.12). Полный цикл работы станка ц делится на рабочий ход длительностью пр.х.. и холостой ход обр. х. . Максимальная ордината диаграммы S F ( ) равна рабочему ходу машины H . Процесс резания (преодоление силы сопротивления резанию F рез участок диаграммы cd ) соответствует интервалу рез пр. х. . На участках перебегов ab и ef и на холо- стом ходу f ' a ' преодолевается только сила трения Fтр . Перебеги резца в конце холостого хода и в начале рабочего необходимы для перемещения стола на величину подачи. Этим перебегам соответствуют угловые интервалы и . Эти углы входят в циклограмму работы кулачкового механизма (см. Главу 7). На границах участков перебега и резания характеристика имеет разрывы и сила F рез меняется скачком. 46 Рис. 3.12 г) Прессы, высадочные и штамповочные станки-автоматы. Механической характеристикой для таких машин F. Fвыс S F ( ), выс. является сила сопротивления движению ползуна усилие высадки (см. рис. 3.13). Эта сила действует только на интервале bc H прямого хода, которому соответствует интервал изменения обобщенной координаты выс пр.х. . На участке bc она меняется нелинейно от начального значения Fнач до максимального Fmax . На участке ab прямого хода и на обратном ходу сила сопротивления отсутствует. Рис. 3.13 д) Конвейеры и транспортеры (не вибрационные). Статическая характеристика конвейеров (например, пальцевых) различна на участках прямого и обратного ходов. Увеличение силы при прямом ходе связано с дополнительной нагрузкой при волочении заготовок. В некоторых конструкциях рабочая нагрузка прикладывается не с самого начала прямого хода, т.е. сила на участке прямого хода меняется скачком. Внезапное приложение силы в этих машинах также связано с мгновенным присоединением дополнительной мас- 47 сы перемещаемых заготовок. Ударными процессами при мгновенном присоединении массы обычно пренебрегают. е) Транспортные машины. Энергия двигателя в таких машинах затрачивается на перемещение самой машины; при этом возникают различные силы: трения (качения колес, в подшипниках), сопротивления воздуху и т.п. Общий момент сопротивления на валу транспортной машины в первом приближении принимают постоянным. Существуют и другие устройства, внешняя сила сопротивления в которых не зависит ни от перемещения, ни от скорости и остается постоянной в течение всего цикла работы машины. К ним относятся, например, грузоподъемные устройства, лифты и т.п. Генераторы электрического тока также имеют постоянный момент сопротивления вращению. Примеры задания механических характеристик двигателей и рабочих процессов приведены в П.2 п.3, П.3 п.3, П.4 п.3 3.4. Аппроксимация и интерполяция данных в Mathcad В заданиях на курсовое проектирование зависимости между параметрами механических характеристик, как двигателей, так и рабочих машин, задаются, как правило, в виде таблиц. Поэтому при проведении расчетов в курсовом проекте возникает необходимость компьютерного моделирования кусочно-непрерывных функций скалярного аргумента вида f(x), причем число заданных точек этих зависимостей ограничено. То есть, возникает задача приближенного вычисления значений функций в промежутках между узловыми точками (интерполяция) и за их пределами (экстраполяция). Эта задача решается аппроксимацией (интерполяцией) исходной зависимости, то есть ее заменой какойлибо достаточно простой функцией. В системе Mathcad аппроксимация выполняется двумя типами функций: кусочнолинейной и сплайновой. Простейшими видами интерполяции является линейная и квадратичная. При линейной интерполяции точки заданной функции соединяются линейными отрезками, и функция f(x) является ломаной с вершинами в данных точках. В качестве уравнения интерполяционного многочлена используются уравнения прямой, проходящей через две точки. При квадратичной интерполяции в качестве приближающей функции, соединяющей соседние точки, принимается квадратный трехчлен. Такая интерполяция называется параболической. Линейная интерполяция осуществляется с помощью встроенной функции linterp, имеющей следующий общий вид: linterp(VX,VY,x), где VX, VY – векторы координат узловых точек; x – переменная, от которой будет зависеть интерполирующая функция. Интерполяция с использованием кубических сплайн-функций. В MathCAD для проведения кубической сплайн-интерполяции предлагается три встроенные функции (VX, VY – векторы узловых точек): cspline(VX, VY) – возвращает вектор вторых производных (VK) при приближении в опорных точках к кубическому полиному; spline(VX, VY) – возвращает вектор вторых производных (VK) при приближении в опорных точках к параболической кривой; lspline(VX, VY) – возвращает вектор вторых производных (VK) при приближении в опорных точках к прямой. Интерполирующая функция строится с помощью стандартной функции interp, имеющей следующий общий вид: interp(VK,VX,VY,x), где VK – вектор вторых производных сплайна в опорных точках; x – произвольная точка, в которой вычисляется значение интерполирующей функции. Последовательность кубической сплайн-интерполяции такова: - создаются векторы VX и VY, содержащие координаты точек, через которые нужно провести кубический сплайн; - вычисляется вектор VK с использованием одной из перечисленных функций; 48 - вычисляется множество произвольных значений интерполирующей функции в нужном количестве точек с помощью стандартной функции interp. 3.5. Уравнения движения и динамическая модель машины В состав рабочей машины согласно функциональной схеме (рис. 3.14) входят: двигатель (Д), передаточный механизм (ПМ редуктор) и исполнительный механизм (ИМ) (как правило, рычажный механизм технологической машины). Рис. 3.14 Исполнительный механизм нагружен производственными сопротивлениями в виде силы Fпс (или момента M пс ) и приводится в движение двигателем, момент M д которого преобразуется передаточным механизмом в движущий момент M д на главном валу машины. Главным валом считаем выходной вал редуктора и входной вал исполнительного механизма, которые после сборки образуют единое звено. 3.5.1. Уравнение Лагранжа. Динамическая модель машины. Для механической системы с одной степенью свободы, в частности для машины с W 1 , уравнение движения можно записать в форме уравнения Лагранжа второго рода: d T T Q, (3.14) dt q q где T кинетическая энергия системы, Q обобщенная сила, q обобщенная координата, q обобщенная скорость. Обобщенная сила Q определяется как сила, совершающая на возможном перемещении системы (при любом возможном изменении координаты q ) работу, равную суммарной работе всех действующих в системе сил на соответствующих возможных перемещениях. Q имеет размерность силы, если q линейная величина, и размерность момента, если q угол. Припишем обобщенную координату q (t ) (см. 2.1) начальной кинематической паре, образованной стойкой и главным валом машины (а значит и начальным звеном кривошипом исполнительного механизма). Обобщенную скорость обозначим . Тогда обобщенная сила будет представлять собой момент M и уравнение (3.14) примет вид d T T M, (3.15) dt Кинетическая энергия T машины есть сумма кинетических энергий ее звеньев, поэтому (для случая плоского движения звеньев) можем записать: m j v Sj2 J Sj 2j 2 , T J I (3.16) 2 2 2 j где J I const момент инерции первой группы звеньев относительно оси главного вала машины, учитывающий инертность кривошипа рычажного механизма, ротора двигателя и подвижных звеньев редуктора; m j , J Sj масса и момент инерции (относительно цен49 тральной оси) j -го звена; v Sj , j скорость центра масс и угловая скорость j -го звена исполнительного механизма. Выделим в (3.16) член, не зависящий от скорости главного вала: 2 vSj 2 j 2 T JI mj JSj , j 2 (3.17) Основываясь на принятых в Главе 2 допущениях 2 и 3 о свойствах звеньев и кинематических пар, заключаем, что в машине все связи геометрические и стационарные. Но тогда отношения скоростей в (3.17) есть, согласно (2.7), (2.8) , аналоги соответствующих скоростей (КПФ), которые зависят лишь от обобщенной координаты . Поэтому, обозначив выражение в фигурных скобках J пр , формулу (3.17) перепишем в виде T ( ) J пр ( ) где 2 , 2 J пр ( ) J Iпр J IIпр ( ) , 2 J IIпр ( ) m j v qSj J Sj qj2 , (3.18) (3.19) (3.20) j Инерционную характеристику J пр ( ) машины, определяемую соотношениями (3.19), (3.20), называют приведенным к главному валу моментом инерции машины. Смысл этого названия в том, что согласно (3.18), главный вал, условно снабженный таким моментом инерции, будет иметь кинетическую энергию T пр , равную энергии всей машины: T пр T , (3.21) Главный вал при этом называется звеном приведения, а равенство (3.21) кинетических энергий – условием приведения масс. Постоянная составляющая J Iпр приведенного момента инерции характеризует инерционность тех вращающихся звеньев, которые имеют по отношению к главному валу постоянные передаточные отношения, как, например, ротор двигателя, либо образует с ним, как кривошип, единое целое. Инерционность прочих звеньев рычажного механизма оценивает составляющая J IIпр ( ) , переменность которой связана с изменением расположения звеньев в процессе движения, что учитывается входящими в (3.20) аналогами скоростей. Компонента J IIпр ( ) и весь приведенный момент инерции вследствие этого являются периодическими функциями угла с периодом 2 , тем же, что и у аналогов скоростей (КПФ). Аналогично приведенному моменту инерции обобщенная силовая характеристика M в уравнении движения (3.15) называется приведенным к главному валу моментом сил, или суммарным приведенным моментом M пр . Так как в машине перемещения реальные (которые входят в число возможных), то для подсчета M пр удобно пользоваться сравнением не элементарных работ на возможных перемещениях, а соответствующих им мощностей: потребуем, чтобы мощность P пр приведенного момента на звене приведения P пр M пр , (3.22) равнялась суммарной мощности P всех действующих в машине сил: (3.23) P M k k Fi vi , k i где M k , k момент с номером k и угловая скорость звена, к которому он приложен; Fi , vi сила с номером i и скорость точки ее приложения. Из условия приведения, то есть из условия равенства мощностей P пр P , (3.24) 50 после подстановки (3.22) и (3.23) в (3.24) получим M пр M k k k v Fi i , i или через аналоги скоростей (КПФ) M пр M k qk Fi v qi , k i (3.25) (3.26) Так как мы пренебрегаем силами трения в кинематических парах (допущение 4, принятое в 3.1), то реакции в кинематических парах мощности не развивают и не входят в число сил и моментов в (3.23), (3.25), (3.26). Из активных сил в (3.26) учитываем движущие силы, силы полезного сопротивления, силы тяжести подвижных звеньев и силы трения, если они заявлены как внешние силы сопротивления. Мощность движущих сил всегда положительна, сил сопротивления всегда отрицательна (сопротивления направлены против движения). В течение цикла движения силы тяжести могут явиться как сопротивлениями, так и движущими силами, в зависимости от направления перемещения центров масс звеньев. Анализ формул (3.23), (3.26) показывает, что выражение для приведенного момента пр M получается из выражения для мощности всех действующих сил, если в последнем скорости заменить аналогами скоростей. Аналогично, на основании формул (3.16), (3.19), (3.20), заключаем, что выражение для приведенного момента инерции J пр получается из выражения удвоенной кинетической энергии машины также заменой скоростей на их аналоги. Примеры определения приведенных моментов сил и приведенных моментов инерции приведены в П.2 п.4, П.3 п.4, П.4 п.4. 3.5.2. Уравнение движения в дифференциальной форме Для того чтобы представить уравнение движения (3.15) в виде, обычно используемом в динамике машин, возьмем производные от кинетической энергии: T J ( ) , (3.27) d T d dJ d d dJ 2 J ( ) J J , (3.28) dt dt d dt dt d T dJ 2 , (3.29) d 2 Подставив (3.27) (3.29) в (3.15), получим уравнение движения в дифференциальной форме dJ 2 J M, (3.30) d 2 По форме (3.30) есть уравнение движения вращающегося тела с переменным моментом инерции. В него входят только характеристики движения главного вала машины: обобщенная координата , обобщенная скорость и обобщенное ускорение . Используя уравнение (3.30), введем понятие о динамической модели машины. Динамической моделью машины назовем отдельно взятое звено приведения, обладающее переменным моментом инерции J и вращающееся под действием момента M (см. рис. 3.15). Если J и M определены для машины как приведенные величины M пр и J пр (по условиям приведения (3.21) и (3.24)), то движение динамической модели (с точностью до направления вращения) тождественно истинному движению главного вала в составе машины, так как эти движения описываются одним и тем же уравнением (3.30). Величины J пр и M пр называют параметрами динамической модели и уравнение (3.30) теперь может быть с учетом (3.18) – (3.20) и (3.26) записано в виде: 51 J пр dJ пр 2 M пр , d 2 (3.31) dJ пр dJ IIпр ( ) где 2 m j v qSj a qSj J Sj qj qj производная приведенного момента d d j инерции II -ой группы звеньев (3.20), скалярные произведения раскрываются по формуле v qSj a qSj v qSxj a qSxj v qSyj a qSyj . Рис. 3.15 Таким образом, задача о движении многозвенной машины сводится к рассмотрению движения одного условного звена – динамической модели машины. Определив из решения уравнения (3.31) закон движения модели, а, значит, и с точностью до направления вращения входного звена (кривошипа) рычажного механизма. Законы движения остальных звеньев найдем, пользуясь полученными при кинематическом анализе функциями положения и аналогами скоростей и ускорений (см. п. 2.2.). В левую часть уравнения (3.31) входят приведенный момент инерции J пр и его производная – функции только одного аргумента . Правая часть уравнения M пр зависит от силы полезного сопротивления и движущей силы. Каждая из них описывается соответствующей механической характеристикой (см. п.п. 3.2 и 3.3). В зависимости от вида механических характеристик, входящих в (3.31), получаются существенно разные по сложности дифференциальные уравнения движения. Их решение зависит от заданных начальных или граничных условий, физически отвечающих различным состояниям машины режимам ее движения. 3.5.3. Характерные режимы движения машины В уравнении движения машины (3.31) учтем, что M пр M cпр M дпр , где M дпр пусть, например, описывается статической характеристикой двигателя постоянного тока с независимым возбуждением в форме (3.8). Приходим к дифференциальному уравнению вида: dJ пр ( ) 2 J пр ( ) s r u (t ) M спр ( , ) , (3.32) d 2 dM дпр параметр s крутизна характеристики двигателя. d Это нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка, которое может быть продифференцировано при заданном u (t ) и заданных начальных или граничных условиях. Получим несколько частных решений, соответствующих различным режимам движения машины. Рассмотрим наиболее характерные из них (рис. 3.16). Установившееся движение. Характерно для машин, работающих при постоянной нагрузке, а также для цикловых машин, выполняющих циклически повторяющийся про52 цесс. Обычно в установившемся режиме u u 0 const ; при этом в машине с роторным двигателем устанавливается периодическое движение, при котором угловая скорость ротора остается близкой к некоторому среднему значению ср : ср (t ) , где (t ) ср (см. рис. 3.16). При установившемся движении соблюдается следующий баланс работ: AдTц AcTц ATц 0 . Рис. 3.16 Неустановившееся движение. Переходные процессы: разгон, торможение (выбег), изменение рабочей нагрузки. Процессу разгона соответствует частное решение уравнений движения, удовлетворяющее начальным условиям 0 при t 0 ; при этом происходит переход машины от состояния покоя к установившемуся движению. Баланс работ в этом режиме движения: AдTр AcTр ATр 0 . Выбег – переход от установившегося движения к состоянию покоя. При свободном выбеге двигатель отключается, и остановка машины происходит за счет сил сопротивления. При этом соблюдается следующий баланс работ: AдTв AcTв ATв 0 . В режиме торможения при отключении двигателя создается дополнительный тормозной момент, ускоряющий процесс выбега. При динамическом торможении кинетическая энергия машины рекуперируется, то есть возвращается источнику энергии. С изменением характеристик рабочего процесса в машине осуществляется переход от одного установившегося режима к другому. При этом происходит переходный процесс, связанный с изменением нагрузки. Пуск-останов. В таком режиме работает большое количество машин: подъемники, манипуляторы, механизмы управления летательными аппаратами, механизмы шасси, механизмы дверей и многие другие. Механизм начинает движение из состояния покоя, в конце цикла выходное звено механизма должно остановиться и зафиксироваться в заданном положении. Для того чтобы выполнить условия начала движения и остановки выходного звена в конечном положении необходимо соответствующим образом выбрать закон изменения движущих или управляющих сил. 53 3.5.4. Уравнение движения в интегральной форме Вернемся к уравнению (3.31). Представим его левую часть в виде полной производной по от кинетической энергии, для чего в него подставим угловое ускорение в форме d d d d , (3.33) dt d dt d тогда левая часть уравнения примет вид d d dJ пр 2 d пр 2 J T , J пр (3.34) d d 2 d 2 d Примем к принятым прежде допущениям 1 4 еще два допущения, которые позволят существенно упростить поставленную задачу: найти закон движения машины под действием заданных сил. Допущение 5: силы полезного сопротивления зависят лишь от положения механизма или могут быть постоянными. Допущение 6: рабочая характеристика двигателя роторного типа мягкая (см. рис. 3.3, б), в этом случае влиянием изменения движущего момента на изменение скорости можно пренебречь, т.е. считать момент, развиваемый двигателем, постоянным на всем периоде движения машины; для линейных двигателей движущая сила зависит лишь от положения входного звена двигателя или постоянна. Теперь, когда все действующие силы, а значит, согласно (3.26), и приведенный момент M пр зависят только от положения машины (от обобщенной координаты ) , в уравнении (3.31) легко разделить переменные, воспользовавшись представлением (3.34) его левой части: 2 ( ) M пр ( )d , (3.35) d J пр ( ) 2 Интегрируя (3.35) на интервале от н до и обозначив А ( ) M пр ( )d , (3.36) н получим уравнение, определяющее зависимость угловой скорости главного вала от угла его поворота : J ( ) 2 ( ) н2 J ( н ) A ( ) , (3.37) 2 2 где J пр ( н ) и н приведенный момент инерции и угловая скорость главного вала в пр пр начальном положении; A ( ) суммарная работа всех действующих в машине сил на интервале изменения обобщенной координаты от н до . Обозначив через T , Tн и T значения кинетической энергии в текущем и начальном положениях и ее приращение на интервале от н до , перепишем (3.37) в виде T T н T A , (3.38) Уравнение движения машины в форме (3.37) или (3.38), уравнение движения в интегральной форме, выражает теорему об изменении кинетической энергии механической системы. Из уравнения (3.37) функцию ( ) можно выразить в явном виде: ( ) 2 A ( ) J пр ( н ) н2 J пр ( ) , (3.39) 54 Подставив в (3.39) выражение для угловой скорости d и разделив переменdt ные, получим: 2 A ( ) J пр ( н ) н2 . (3.40) J пр ( ) Интегрированием (3.40) можно найти зависимость между t и и, следовательно, вычислить время движения машины на любом интересующем нас интервале н . Вычислив угловую скорость по формуле (3.39), угловое ускорение главного вала можно определить из уравнения (3.31): dJ пр ( ) 2 ( ) 1 пр M ( ) , ( ) пр (3.41) d 2 J ( ) Полученные выше уравнения (3.30) и (3.38) движения машины (и ее динамической модели) при принятых допущениях (1-6) справедливы для любого режима движения. Однако допущение о зависимости внешних сил только от положения механизма, позволяющее вычислить работу A ( ) по формуле (3.36) и угловую скорость ( ) по формуле (3.39), оправдано лишь при сравнительно небольших колебаниях угловой скорости. dt d : 3.6. Исследование движения машины в установившемся режиме. Установившимся называется движение машины, в течение которого она не замедляет и не ускоряет в целом своего хода. Темп движения машины принято оценивать скоростью ее главного вала. Из приведенного выше определения, однако, не следует, что при установившемся движении скорость главного вала обязательно постоянна. Более строго следует сказать, что в режиме установившегося движения обобщенная скорость машины есть периодическая функция времени, а значит и периодическая функция обобщенной координаты . Период изменения скорости по времени называется циклом установившегося движения. По углу период ц обычно равен некоторому целому числу k оборотов главного вала: ц 2k . Изменение скорости внутри цикла удобно отсчитывать от ее средней величины ср , вычисляемой по наименьшему min и наибольшему max значениям за цикл: ср min max , (3.42) 2 тогда можно записать ( ) ср ( ) , где ( ) - отклонение скорости главного вала от средней величины, имеющее период ц . 3.6.1. Условия поддержания установившегося движения Установившееся движение возможно при выполнении двух условий: 1) Приведенный момент M пр должен быть периодической функцией. 2) Суммарная работа всех сил за цикл Aц должна равняться нулю: Aц 0 , (3.43) dJ пр d (3.31) как периодические функции угла принимают одно и то же значение через каждый оборот главного вала, значит и через k оборотов. Точно так же при установившемся движении скорость и ее производная повторяются через период – через те же k обо- Действительно, приведенный момент инерции J пр (3.19) и его производная 55 ротов. Но тогда в уравнении движения (3.30) все члены левой части будут принимать одно и то же значение с периодом 2k . Одновременно с левой обязана повторяться и правая часть уравнения – приведенный момент M пр , что и свидетельствует о его периодическом характере. Анализируя формулу (3.18), видим, что и кинетическая энергия T ( ) машины в установившемся движении изменяется периодически: T ( н ц ) T н ( н ) , (3.44) так как J пр ( ) и ( ) периодические функции. Применяя к циклу движения теорему об изменении кинетической энергии (3.38), придем, с учетом (3.44), к условию (3.43). Другими словами, изменение кинетической энергии машины за цикл установившегося движения равно нулю (3.45) T ц 0 , что обеспечивается балансом работ действующих сил. Переменность момента M пр (3.26) определяется двумя факторами: периодическим (с периодом 2 ) изменением аналогов скоростей и изменением действующих в машине сил. Из всех рассматриваемых сил переменными, зависящими от обобщенной координаты (согласно допущениям 5 и 6), являются полезное сопротивление в рабочих машинах и движущие силы в машинах-двигателях. Если силы изменяются периодически с периодом 2 k , то и момент M пр будет периодической функцией. В любом случае периодическое изменение приведенного момента M пр , при выполнении условия (3.43), порождает установившееся движение с тем же периодом. 3.6.2. Расчет постоянного приведенного момента сил Представим приведенный к главному валу машины момент M пр (3.26) с учетом принятых о силах допущениях 5 и 6 как алгебраическую сумму постоянного приведенного момента M Iпр const (приведенного момента от нагрузок, приложенных к звеньям I -ой группы) и периодически изменяющегося приведенного момента M IIпр ( ) (приведенного момента от нагрузок, приложенных к звеньям II -ой группы): M пр M Iпр M IIпр ( ) , (3.46) В заданиях на курсовое проектирование к исследованию предлагается два типа машин: рабочие машины (станки, компрессоры, насосы, прессы и высадочные станкиавтоматы, транспортеры) и машины-двигатели (двигатели внутреннего сгорания и детандеры). Для рабочих машин полезное сопротивление задано в виде механической характеристики (графика функции от положения выходного звена рычажного механизма на интервале, соответствующем одному обороту главного вала) (см. п.3.3). Поэтому цикл установившегося движения отвечает одному обороту главного вала и изучение движения машины за такой оборот достаточно для полной характеристики установившегося режима. Цикл установившегося движения в машинах-двигателях может быть равен двум, четырем и более оборотам кривошипа (главного вала) (см. п.3.2). Основываясь на рассмотренных выше условиях установившегося движения, определим момент M Iпр const , необходимый для поддержания такого движения, если момент M IIпр ( ) известен. Определим необходимую величину постоянного приведенного момента M Iпр исходя из условия (3.43) установившегося движения. Представим суммарную работу A действующих в машине сил в виде A AI AII , (3.47) 56 где AI работа момента M Iпр , AII работа момента M IIпр ( ) . Для цикла установившегося движения уравнение (3.47), с учетом (3.43), примет вид AIц AIIц , (3.48) пр Работа постоянного момента M I пропорциональна углу поворота главного вала, а для переменного момента M IIпр ( ) определяется интегрированием: AI ( ) M Iпр ( н ) , (3.49) AII ( ) M IIпр ( )d , (3.50) н где н значение угла в положении, принятом за начало цикла; здесь и далее работу отсчитываем от начала цикла, так что при н имеем AI ( н ) AII ( н ) 0 , (3.51) Работы AIц и AIIц за весь цикл получим, подставив в (3.49) и (3.50) значение н ц : AIц M Iпр ц , н ц A ц II M пр II ( )d , (3.52) (3.53) н Из (3.52) и (3.53) найдем постоянный приведенный момент на главном валу машины Aц (3.54) M Iпр II , ц Для машин-двигателей момент (3.54) M Iпр будет постоянным приведенным к главному валу моментом сопротивления M cпр исполнительного механизма. На кривошипе этот момент может быть вычислен по формуле: M 1с q1 M Iпр , (3.55) где q1 - аналог угловой скорости начального звена исполнительного механизма, характеризующий его направление вращения (см. п.2). Для рабочих машин момент M Iпр (3.54) будет постоянным приведенным к главному валу машины движущим моментом M дпр . Среднюю за цикл мощность двигателя (без учета потерь в редукторе) вычислим по формуле: Pд M дпр cр . (3.56) Формула (3.55) является точной, если под ср понимать истинную среднюю скорость, и приближенной, если ср среднеарифметическая скорость. Приведенный движущий момент M 1д , обеспечивающий вращение кривошипа рычажного механизма с угловой скоростью 1 , будет равен M 1прд q1 M Iпр . (3.57) Реализация полученного алгоритма возможна в любом графическом пакете. Удобна такая последовательность определения AII , AI и M Iпр . График работы AII ( ) (см. рис. 3.17) строят для одного цикла движения графическим интегрированием [10] графика момента M IIпр ( ) , выполненного в следующих масштабах: по оси абсцисс b (3.58) , мм / рад , 2 где b выбранная база графика, мм; 57 по оси ординат М ( y M ) max , мм / Н м . M IIпр max (3.59) Масштаб построенного графика AII ( ) (3.60) A M , мм / Дж , K где К отрезок интегрирования. График работы AI ( ) , согласно (3.49) и (3.51), представляет собой наклонную прямую, проходящую через начало координат. Как следует из (3.48), в конце цикла ординаты графиков AI ( ) и AII ( ) равны по величине и обратны по знаку. График AI ( ) , как будет видно ниже, удобно строить, изменив знак работы на противоположный – тогда не только начала, но и концы графиков AI ( ) и AII ( ) совпадут (рис. 3.17). Искомую величину приведенного момента M Iпр теперь легко построить, графически продифференцировав [10] работу AI ( ) (как и AI ( ) , M Iпр будет изображен с обратным знаком). При исследовании движения машины кроме уже найденных величин необходимо знать также суммарную работу A ( ) и приведенный момент M пр ( ) , которые используются при расчете скорости ( ) и ускорения ( ) главного вала (см. (3.39) и (3.41)). Зависимости M пр ( ) и A ( ) , при указанном способе построения предыдущих графиков, также легко определить графически. Так как ординаты графиков AI ( ) и AII ( ) имеют разные знаки, то их алгебраическая сумма (3.47) есть просто расстояние между этими кривыми, которое и является величиной ординаты графика A ( ) (рис. 3.17) при том же значении . Ординаты нового графика положительны в тех точках, в которых AI ( ) по модулю больше AII ( ) и отрицательны в противном случае. Еще проще выполнить графическое сложение величин M Iпр и M IIпр ( ) . Их алгебраическая сумма (3.46) – приведенный суммарный момент M пр ( ) будет представлена той же кривой, что и M IIпр ( ) , но в новой системе координат с началом в точке O , ось которой совмещена с линией M Iпр const . 58 Рис. 3.17 59 3.6.3. Ограничение периодической неравномерности хода машины Колебания угловой скорости главного вала машины в режиме установившегося движения называют периодическими. Их амплитуду принято оценивать безразмерным коэффициентом : min max , (3.61) ср называемым коэффициентом неравномерности хода машины (обозначения в (3.61) те же, что и в (3.42)). Неравномерность хода машины вызывает повышенные инерционные нагрузки на звенья, снижает ее долговечность. Часто большая неравномерность хода недопустима по технологическим соображениям, например, она вызывает погрешности обработки на металлорежущем станке. Отрицательно сказывается неравномерность хода также на работе двигателя. Поэтому для большинства машин неравномерность хода при проектировании лимитируется (для металлорежущих станков 0,02 0,05 ). Из уравнения (3.39) следует, что при заданных силах, определяющих работу A ( ) , диапазон изменения угловой скорости зависит от суммарного приведенного момента инерции J пр ( ) J Iпр J IIпр ( ) (3.19). Практически его изменение обусловлено только приведенным моментом инерции первой группы звеньев J Iпр . Для машины, совершающей установившееся движение под действием приведенного момента сил M пр ( ) , всегда можно подобрать такой J Iпр , что неравномерность хода ее будет отвечать наперед заданному значению коэффициента . Для решения этой задачи в теории машин и механизмов используются графоаналитические методы: приближенный метод Н.И. Мерцалова и методы Ф. Виттенбауэра и Б.М. Гутьяра, отнесенные к точным методам. С появлением ЭВМ и персональных компьютеров любой из них может быть реализован численно. 3.6.3.1. Метод Н.И. Мерцалова. Метод определения дополнительной маховой массы был предложен Н.И. Мерцаловым в 1914 году. Он основан на выделении из кинетической энергии машины кинетической энергии маховика, как имеющего постоянный приведенный момент инерции. Прежде всего найдем выражения для min и max через ср и . Решая (3.42) и (3.61) как систему уравнений относительно искомых скоростей, получим: min ср (1 / 2) , max ср (1 / 2) . (3.62) Получим формулу, связывающую заданные ср и с моментом инерции J Iпр и изменением кинетической энергии машины. Кинетическую энергию первой группы звеньев с учетом (3.19) и (3.38) можно записать TI ( ) A ( ) TII ( ) Tн . Обозначив TI ( ) TI ( ) Tн , запишем TI ( ) A ( ) TII ( ) , (3.63) Найдем наибольшее за цикл установившегося движения изменение кинетической энергии TI : 2 2 J Iпр max min max min ср J Iпр min J Iпр max J Iпр ср2 , (TI ) нб ср 2 2 2 отсюда момент инерции первой группы звеньев (T ) J Iпр 2 I нб . (3.64) ср Если допустить (допущение впервые предложено Н.И. Мерцаловым), что при расчете кинетической энергии второй группы звеньев колебаниями угловой скорости главно60 го вала можно пренебречь (принять ( ) ср ), то в формуле (3.63) TII ( ) может быть найдена по формуле TII ( ) J IIпр ( ) ср2 . (3.65) 2 Рассмотрим графоаналитическую интерпретацию метода Мерцалова. Построим в масштабе A диаграмму работы суммарного приведенного момента A ( ) (см. рис. 3.18), воспользовавшись либо численным расчетом по формулам (3.47), (3.49), (3.50), либо графическим алгоритмом (см. рис. 3.17). Так как полная кинетическая энергия машины (3.38) T A Tн , где Tн const кинетическая энергия в начальном положении, то для получения графика зависимости T ( ) следует ось абсцисс перенести вниз на ординату, соответствующую Tн . Значение Tн не известно, поэтому новое положение оси абсцисс показано на рис. 3.18 условно. Рис. 3.18 Согласно уравнению (3.18) кинетическая энергия машины равна сумме кинетических энергий ее звеньев. С учетом разделения звеньев на группы можно записать T TI TII . Тогда кинетическая энергия первой группы звеньев TI T TII . Следовательно, при построении на рис. 3.18 кривой TI ( ) необходимо из ординат кривой T ( ) в каждом положении i вычесть отрезки, изображающие кинетическую энергию второй группы звеньев TII ( ) (3.65) в масштабе A . Длины yTIIi вычитаемых отрезков определяются соотношением: 61 yTII i TII ( i ) A , (3.66) Учитывая, что кинетическая энергия TII ( ) пропорциональна приведенному моменту инерции J IIпр ( ) (см. (3.65)), вычитаемые отрезки yTIIi могут быть найдены следующим образом: yTII i y J II i A , T T II II 2 J ср2 , где J , мм/кгм масштаб графика приведенного момента инерции второй группы звень2 ев J IIпр ( ) . Полученная кривая TI ( ) относительно оси есть кривая TI ( ) . Кривая зависимости TI ( ) A ( ) TII ( ) приближенная, так как получена вычитанием из точной кривой A ( ) (3.36) приближенных значений TII ( ) ( 3.65). На кривой зависимости TI ( ) найдем точки Q и N , соответствующие максимальному TI max и минимальному TI min значениям функции TI ( ) . Измерив непосредственно по графику разность ординат точек Q и N , найдем наибольшее изменение кинетической энергии первой группы звеньев за цикл y TI нб TI нб , А где (yTI ) нб l QN отрезок, изображающий TI нб в масштабе A , мм/Дж. Теперь необходимый момент инерции J Iпр может быть найден по формуле (3.64): (T ) J Iпр 2 I нб . ср Кривая TI ( ) изображает также изменение обобщенной угловой скорости ( ) J Iпр ( ) 2 (входящий в формулу расчета кинетической энергии TI ( ) момент инерции 2 первой группы звеньев J Iпр есть величина постоянная (см. 3.64)). В точках Q и N угловая скорость ( ) имеет соответственно значения min , max . Горизонтальная штриховая линия на рис. 3.18 является линией средней угловой скорости ср и линией средней кинетической энергии TI ср . lQN Разность ординат точек Q и N , измеренная непосредственно по графику, равна в мм . Тогда масштаб графика угловой скорости с учетом (3.61) будет равен l QN max min l QN ср , масштаб графика TI ( ) с учетом (3.64) и (3.67): lQN l QN пр 2 пр , TI TI нб J I ср J I ср (3.67) (3.68) Учитывая, что функции ( ) и TI ( ) изображаются одной и той же кривой, можно, с учетом равенства (3.68), записать расчетную формулу для функции ( ) : (3.69) ( ) ср ( ) , где ( ) TI ( ) TI ср J пр I ср , TI ср TI max TI min . 2 62 Формула (3.69) используется для численной реализации метода Мерцалова в среде Mathcad (см. П.2 п.5, П.3 п.5). Теперь, сняв с графика ( ) приращение угловой скорости i со знаком относительно прямой ср в каждом положении i на всем интервале изменения обобщенной координаты ц , найдем значение i по формуле: i ср i , (3.70) где i отрезок в мм , мм /( рад с 1 ) . Так, угловая скорость в начальном положении будет равна (см. рис.3.18): н , н ср (3.71) Кинетическую энергию машины в начальном положении вычислим по формуле: Tн J Iпр J IIпр ( н ) 2 2 н , (3.72) где J IIпр ( н ) приведенный момент инерции второй группы звеньев (3.20) в начальном положении. Определив значение Tн , функцию ( ) на всем интервале ц изменения обобщенной координаты можно так же найти по формуле (3.39): 2[ A ( ) Tн ] . J пр ( ) Далее, зная ( ) , по формуле (3.41) можно рассчитать обобщенное угловое ускорение ( ) : ( ) ( ) J пр I пр dJ IIпр ( ) ( ) 2 1 ( ) M d 2 J IIпр ( ) Ординату в мм средней угловой скорости ср , (3.73) от оси абсцисс найдем по фор- муле yср ср . 3.6.3.2. Альтернативный метод расчета приведенного момента инерции I‐ ой группы звеньев. Потребуем [3], [4], чтобы наименьшее и наибольшее значения скорости главного вала в точности равнялись величинам (3.62). Пусть min достигается в положении b , а max в положении a главного вала. Запишем для интервала a , b с учетом (3.19) уравнение движения машины в форме теоремы о кинетической энергии (3.38): ( J ( a ) J ) пр II пр I 2 max ( J ( b ) J ) пр II пр I 2 min Aab , (3.74) 2 2 где J IIпр ( a ) , J IIпр ( b ) значения приведенного момента инерции второй группы звеньев в положениях а и b ; Aab суммарная работа всех сил на интервале a , b . Остается выразить из (3.63) искомый момент инерции J Iпр : 2 2 J IIпр ( b ) min 2 Aab J IIпр ( a ) max J Iпр , 2 2 max min (3.75) 63 Формула (3.75) позволяет по заданным скоростям min и max определить необходимый приведенный момент инерции первой группы звеньев J Iпр . Но коэффициенты J IIпр ( a ) , J IIпр ( b ) , Aab в ней примут определенные численные значения лишь тогда, когда будут найдены углы а и b положения главного вала, в которых эти скорости достигаются; при вычислении Aab по известному M пр ( ) углы а и b являются пределами интегрирования – см. (3.36). Отыскание положений машины с наименьшей min и наибольшей max угловыми скоростями главного вала может быть выполнено различными методами. Мы рассмотрим метод моментов, предложенный И.И. Артоболевским [1], [3]. Так как в положениях а и b скорость главного вала имеет экстремумы, то ускорение его здесь равно нулю. Подставляя пары значений min , 0 и max , 0 в уравнение движения машины (3.31), получим два трансцендентных уравнения для определения а и b : 2 dJ IIпр ( ) min M пр ( ) , (3.76) d 2 2 dJ IIпр ( ) max M пр ( ) . (3.77) d 2 Каждое из них на интервале изменения обобщенной координаты равном н , н ц имеет несколько корней. Чтобы найти единственный корень, надо задать соответствующее начальное приближение. Для их задания воспользуемся результатами исследования по методу Н.И. Мерцалова. Предполагая, что существенной разницы в результатах исследования по методу Мерцалова и альтернативным методом не будет, в качестве начальных приближений для углов b и a могут быть назначены углы, соответствующие значениям max и min на графике ( ) , полученном по методу Мерцалова. Теперь, зная положения a и b , момент инерции J Iпр , можно рассчитать по формуле (3.75) и далее найти обобщенную скорость в любой точке цикла положив в (3.39) н a и добавив J Iпр к J IIпр ( ) : 2 2A ( ) A ( a ) max J Iпр J IIпр ( a ) , J Iпр J IIпр ( ) ( ) (3.78) Положив в (3.78) н , найдем угловую скорость главного вала машины в момент начала цикла н начальную угловую скорость: н 2 2A ( н ) A ( a ) max J Iпр J IIпр ( a ) , J Iпр J IIпр ( н ) и начальную кинетическую энергию: Tн J Iпр J IIпр ( н ) 2 2 н (3.79) . Далее, зная ( ) , по формуле (3.73) можно рассчитать обобщенное угловое ускорение ( ) : ( ) J пр I пр dJ IIпр ( ) ( ) 2 1 ( ) M d 2 J IIпр ( ) Расчет необходимого момента инерции J Iпр ми приведен в П.2 п.5, П.3 п.5 , (3.80) первой группы звеньев двумя метода- 64 Резюме. При исследовании движения машины в установившемся режиме при принятых допущениях были последовательно решены четыре задачи: - найден постоянный момент на главном валу машины M Iпр из условия поддержания периодически неравномерного установившегося движения; - решена задача определения величины минимально необходимого момента инерции первой группы звеньев J Iпр , обеспечивающего при заданной средней скорости ср заданную неравномерность хода для систем с нулевой жесткостью статической характеристики, т. е. для случая, когда действующие силы не зависят от скорости; - получены функции движения главного вала машины: обобщенные угловая скорость ( ) и угловое ускорение ( ) , которые позволяют найти законы движения всех остальных звеньев машины; - с целью обеспечения заданной величины средней угловой скорости ср за цикл установившегося движения найдены значения обобщенной угловой скорости и кинетической энергии машины в момент начала цикла: н ( н ) , Tн T ( н ) . 3.6.4. Определение момента инерции дополнительной маховой массы (маховика) J пр I Приведенный к главному валу машины момент инерции первой группы звеньев обеспечивает изменение угловой скорости главного вала в интервале значений, за- данных допустимым коэффициентом неравномерности . В первую группу звеньев кроме начального звена механизма часто входят и другие звенья: роторы электрических двигателей, зубчатые колеса, подвижные части редукторов, муфты и т.д. Все эти вращающиеся звенья, связаны со звеном приведения постоянным передаточным отношением. Если сумма приведенных моментов инерции вращающихся звеньев J врпр оказывается меньше необходимого момента инерции J Iпр , то в состав первой группы звеньев следует ввести дополнительную маховую массу (маховик), момент инерции которой J доп J Iпр J врпр . В качестве примера на рис. 3.19 показана та часть механизмов машинного агрегата, которая представляет собой первую группу звеньев. Начальное звено 1 коленчатый вал b основного механизма – тихоходное. Поэтому между ним и электрическим двигателем (ЭД) находится понижающая передача, состоящая из планетарного редуктора (ПР) и пары зубчатых колес z 2 и z1 . Используя условие приведения масс (3.21), приведем инертности этой группы звеньев к главному валу. Момент инерции начального звена 1 равен J A J b J z1 . Приведем инертности остальных звеньев: 2 2 2 пр 2 J J z 2 2 J z 2u21 J рот J дв J рот u дв2 1 , uдв1 u ПР u21 , J z2 1 , 1 1 2 где u дв1 , u ПР и u 21 передаточные отношения. Далее найдем момент инерции дополнительной маховой массы (маховика) на главном вапр пр J рот ). лу машины: J доп J Iпр ( J A J zпр2 J ред пр z2 Применение маховиков для уменьшения периодических колебаний не всегда целесообразно. При уменьшении требуемого значения момент инерции маховика, а значит его масса и размеры резко возрастают. Для понижения величины J доп маховик можно установить не на главном валу, а на более быстроходном, связанном с главным валом зуб маховика на быстроходном валу можно уменьчатой передачей. Момент инерции J доп шить: J доп J доп / u дв2 1 65 Однако, удлинение кинематической цепи между звеном, к которому приложено переменное полезное сопротивление, и звеном, на котором установлен маховик, нежелательно. При недостаточной жесткости этой цепи в ней могут возникнуть крутильные колебания, значительно большие, чем рассмотренные выше для машины с жесткими звеньями периодические колебания. Отрицательно сказывается увеличение инерционности машины за счет маховика в режимах разгона и торможения. Поэтому применение маховиков рационально в машинах, длительно работающих в режиме установившегося движения. Рис. 3.19 3.6.5. Габариты и масса маховика Конструктивно маховик, момент инерции которого обозначают J доп , выполняется в форме обода со ступицей (рис. 3.19, а) или в форме сплошного диска (рис. 3.19, б). В осевом сечении обод маховика имеет форму прямоугольника, стороны которого ограничиваются наружным D2 , внутренним D1 диаметрами и толщиной b . Соотношения между D b и h 1 . размерами записывают в виде безразмерных коэффициентов b D2 D2 Из конструктивных соображений обычно принимают b 0,2 ; h 0,6...0,8 . Плотность материала маховика 7800 кг/м3. При значениях b 0,2 и h 0,8 расчетные формулы имеют вид: 1) маховик – обод со спицами и ступицей (см. рис. 3.20, а): наружный диаметр D2 0,437 5 J доп , м, внутренний диаметр D1 0,8 D2 , м, ширина обода b 0,2 D2 , м, масса обода m 6123( D22 D12 ) b , кг; 2) маховик-диск (см. рис. 3.20, б): диаметр D 0,366 5 J доп , м, ширина b 0,2 D , м, масса m 1230 D 3 , кг. Если расчетные размеры маховика получаются неконструктивными (слишком большими) исходя из требований по габаритам, то устанавливают один или несколько маховиков на более быстроходных валах. В этом случае момент инерции маховика J доп уменьшается пропорционально квадрату передаточного отношения частоты вращения соответствующих валов. 66 Рис. 3.20 3.7. Динамика машины при неустановившемся движении Неустановившейся режим имеет место при переходных процессах, когда агрегат пускают в ход и он, набирая скорость, выходит на установившейся режим (режим разгона), а также когда для остановки машины её двигатель отключают и она продолжает двигаться за счёт накопленного запаса кинетической энергии (режим выбега); при этом машина постепенно теряет скорость из-за действия сил трения или других сил сопротивления, в том числе и специальных тормозных сил. В этих случаях необходимо знать, насколько быстро происходит переход из неподвижного состояния в рабочее и обратный процесс до полной остановки. Подобная задача является весьма распространенной. В качестве примеров можно привести механизмы дизель – компрессоров, буровых станков и подъемных кранов с приводом от двигателей внутреннего сгорания, различных устройств с пневмоприводом, приборов с пружинными двигателями и др. Применительно к транспортным и грузоподъёмным машинам это важно для определения времени разбега и выбега (торможения), расчёта длины тормозного пути. Разгон и торможение могут происходить с большим ускорением. Это вызывает значительное динамическое нагружение за счет сил инерции, что, в свою очередь, может привести к поломкам. Во время разгона и выбега угловая скорость многих машин может проходить через критическую (резонансную) зону. Во избежание динамической перегрузки механизма и возможной аварии проход этой зоны должен быть достаточно быстрым, что надо обеспечить при проектировании, сделав расчёт обеих фаз неустановившегося режима. Перечисленные выше задачи относятся к прямой задаче динамики: определение закона движения машины при заданных внешних силовых воздействиях (как сил и моментов сопротивления, так и движущих или управляющих сил). Для определения закона движения механизма при неустановившемся режиме должны быть заданы: кинематическая схема машинного агрегата; массы и моменты инерции его подвижных звеньев, механические характеристики двигателя и рабочей машины, начальные условия движения (числовые значения этих параметров приведены в таблицах исходных данных в техническом задании на КП); а также известны результаты кинематического анализа рычажного механизма (см. 2.2). Способ решения поставленной задачи зависит от характеристик действующих в машине сил. Если силы зависят только от обобщенной координаты , то возможно использовать приближенный графоаналитический метод на основе уравнения движения в энергетической (интегральной) форме. Если же в механическую характеристику силы кроме входит еще и обобщенная скорость , то следует использовать дифференциаль67 ную форму уравнения движения, и искать решение численным методом с использованием системы Mathcad. 3.7.1. Исследование на базе уравнения движения в интегральной форме Рассмотрим механизм, недостающие размеры звеньев которого найдены из решения задачи метрического синтеза (п.1). Силы сопротивления и движущие силы являются заданными. Они описываются своими механическими характеристиками (см. п.п. 3.2 и 3.3) и, в силу допущений 5 и 6, зависят только от обобщенной координаты или постоянны. Считаются известными так же характеристики геометрии масс всех подвижных звеньев и начальные условия движения. Требуется определить: обобщенные угловую скорость ( ) и угловое ускорение ( ) , которые с точность до коэффициента q1 определяют закон движения входного звена кривошипа исполнительного механизма; время движения механизма из начального положения в заданное конечное положение. Решение задачи в среде Mathcad приведено в П.4 п.6. Решая задачу графоаналитическим методом, обобщенную угловую скорость ( ) будем искать из уравнения движения машины в интегральной (энергетической) форме (3.39): 2[ A ( ) Tн ] , (3.81) J пр ( ) где A ( ) - суммарная работа всех действующих в машине сил на интервале цикла неустановившегося движения от н до к ; Tн кинетическая энергия машины в начальном положении; J пр ( ) суммарный приведенный момент инерции всех звеньев машины. Последовательность решения задачи: 1) Решить задачу кинематики: найти функции положения, аналоги (КПФ) скоростей и ускорений (см. П.4 п.2). 2) Определить параметры динамической модели: M пр ( ) суммарный приведенный момент сил и J пр ( ) суммарный приведенный момент инерции (см. П.4, пп. 34). Суммарный приведенный момент инерции J пр ( ) J Iпр J IIпр ( ) рассчитать из условия приведения масс в машине (3.24). При этом инертность каждого звена исполнительного механизма привести отдельно и отобразить в виде соответствующего графика. Суммарный приведенный момент сил M пр ( ) найти, учитывая механические характеристики действующих в машине сил (включая силы веса и силы трения если они заданы). По условию приведения сил в машине (3.21) вывести расчетные формулы для приведенных движущего момента M дпр и момента сопротивления M спр , которые могут зависеть лишь от обобщенной координаты или быть постоянными. Записать суммарный приведенный момент сил M пр ( ) M дпр ( ) M cпр ( ) . Построить диаграммы моментов M дпр ( ) , M cпр ( ) и суммарного момента M пр ( ) . 3) Интегрируя суммарный приведенный момент M пр ( ) (численно в системе Mathcad или используя способ графического интегрирования определить суммарную работу всех действующих в машине сил по формуле (3.36): А ( ) M пр ( )d , (3.82) н 4) По заданным начальным условиям ( н , н ) найти значение суммарной кинетической энергии машины в начальном положении (3.72) 68 Tн J Iпр J IIпр ( н ) 2 2 н , (3.83) где J IIпр ( н ) приведенный момент инерции второй группы звеньев (3.20) в начальном положении. 5) По формуле (3.81) построить зависимость ( ) . 6) Обобщенное угловое ускорение найти по формуле (3.73). 7) Определить время движения машины на интервале н к интегрированием обратной функции (3.40) 1 t ( ) d , (3.84) н ( ) Если по заданным начальным условиям н 0 (режим пуска), то формула для расчета обобщенной угловой скорости примет вид 2 A ( ) , (3.85) ( ) J пр ( ) и нижний предел интеграла в формуле t ( ) 1 ( ) d при численном расчете необхо- н димо задать н 10 . Возможно выполнить интегрирование графическим методом (рис. 3.21). 6 Рис. 3.21 3.7.2. Исследование на базе уравнения движения в дифференциальной форме Усложним задачу, рассмотренную в п. 3.7.1. Будем исследовать движение технологической машины, приводимой в движение от электродвигателя с жесткой статической характеристикой. Пусть теперь приведенный момент сил зависит не только от положения, но и от скорости. Различие моментов сопротивления при прямом и обратном ходе обу69 словливает зависимость приведенного момента M cпр ( ) от положения, а наличие электродвигателя с жесткой статической характеристикой (рис. 3.3,а) – зависимость M дпр ( ) . Тип двигателя подбирается по каталогу (справочнику). Здесь параметры механической характеристики двигателя считаем заданными. Суммарный приведенный момент сил в этом случае будет равен M пр ( , ) M дпр ( ) M cпр ( ) . Считаются известными так же характеристики геометрии масс всех подвижных звеньев и начальные условия движения. Требуется определить: обобщенные угловую скорость ( ) и угловое ускорение ( ) , которые с точность до коэффициента q1 определяют закон движения входного звена кривошипа исполнительного механизма; время движения механизма из начального положения в заданное конечное положение. Задачу будем решать численным методом, выбрав уравнение движения в дифференциальной форме (3.31): dJ пр ( ) 2 J пр ( ) M дпр ( ) М спр ( ) , (3.86) d 2 где величины J пр ( ) J Iпр J IIпр ( ) и M пр ( , ) M дпр ( ) M cпр ( ) параметры динами- ческой модели (см.3.5.2.), dJ пр dJ IIпр ( ) производная приведенного момента инерции d d II -ой группы звеньев. Последовательность решения задачи: 1) Решить задачу кинематики: найти функции положения, аналоги (КПФ) скоростей и ускорений (п.2). 2) Определить параметры динамической модели: M пр суммарный приведенный момент сил и J пр суммарный приведенный момент инерции. Суммарный приведенный момент сил M пр найти, учитывая механические характеристики действующих в машине сил (включая силы веса и силы трения если они заданы). По условию приведения сил в машине (3.21) вывести расчетную формулу для приведенного момента сопротивления M спр ( ) , который может зависеть лишь от обобщенной координаты или быть постоянным. Используя условие (3.21), привести механическую характеристику двигателя к звену приведения, получить формулу M дпр ( ) . Записать суммарный приведенный момент сил M пр ( ) M спр ( ) M дпр ( ) . Построить диаграмму момента M cпр ( ) и приведенную механическую характеристику двигателя M дпр ( ) Суммарный приведенный момент инерции J пр ( ) J Iпр J IIпр ( ) рассчитать из условия приведения масс в машине (3.24), найти его производную пр пр dJ dJ ( ) II 2 m j v qSj a qSj J Sj qj qj . При этом инертность каждого звена исполd d j нительного механизма привести отдельно и отобразить в виде соответствующего графика. Реализация в системе Mathcad приведена в П.4, пп. 34. 3) Сформулировать задачу Коши: дано уравнение движения динамической модели в виде обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) второго порядка: M пр ( ) М спр ( ) dJ IIпр ( ) 2 ( , ) д , (3.87) 2 J пр ( ) d J пр ( ) 70 с заданными начальными условиями для обобщенной координаты (0) н и обобщенной скорости (0) н ; требуется найти функции (t ) , (t ) , удовлетворяющие уравнению (3.87) и начальным условиям. 4) Подобрать стандартную процедуру решения ОДУ в Mathcad. 5) Определить время движения машины на интервале н к Реализация в системе Mathcad приведена в П.4, п.5 3.7.3. Численное интегрирование ОДУ в системе Mathcad Вычислительный процессор Mathcad может работать только с нормальной формой ОДУ. Нормальная форма ОДУ – это ОДУ, разрешенное относительно производной y f ( x, y ) . Нормальная форма ОДУ высшего порядка имеет вид Y n f x, y, y ,..., y n 1 . Если не заданы начальные условия, то дифференциальное уравнение n – го порядка имеет бесконечное множество решений, при задании начальных условий y ( x0 ) y 0 , y ( x0 ) y 0,1 , y ( x0 ) y 0, 2 ,..., y ( n 1) ( x0 ) y 0,n 1 решение становится единственным (задача Коши). Задача Коши для дифференциального уравнения n – го порядка может быть сведена к задаче Коши для нормальной системы n дифференциальных уравнений 1 го порядка, которая в векторной форме имеет вид Y F ( x, Y ), Y ( x0 ) Y0 Y ( x0 ) Y0 вектор начальных условий; Y ( y1 , y 2 ,..., y n ) вектор первых производных; F ( x, Y ) ( y 2 , y 3 ,..., y n , f ( x, y1 ,..., y n ) вектор правых частей; Y ( y 2 , y 3 ,..., y n ) вектор искомого решения. Эта система получается в результате следующей замены: y y1 y1 y 2 y y y 1 2 y y y y y 2 3 2 3 y 3 y 4 где y y y 3 4 ... ... ............ y n 1 y n y ( n 1) y n 1 y n (n) y n f ( x, y1 , y 2 ,..., y n ) y y n f ( x, y1 , y 2 ,..., y n ) Для численного интегрирования ОДУ в Mathcad имеется выбор – либо использовать вычислительный блок Given/Odesolve, либо встроенные функции. Функция Odesolve(x, b, [nstep]) возвращает решение ОДУ с заданными начальными (задача Коши) или граничными (краевая задача) условиями. Функция Odesolve используется совместно с ключевым словом Given, организующим «вычислительный блок». Параметры: x – независимая переменная; b – конечная точка решения (начальная точка указывается внутри вычислительного блока); [nstep] – необязательный параметр, задающий количество шагов интегрирования (по умолчанию используется значение 1000). Чем больше step, тем с лучшей точностью будет получен результат, но тем больше времени будет затрачено на его поиск. 71 Альтернативный метод решения ОДУ заключается в использовании одной из встроенных функций: rkfixed, Rkadapt, или Bulstoer. Все они решают задачу Коши для системы дифференциальных уравнений первого порядка. Функция rkfixed(ic,a,b,nstep,D) возвращает решение обыкновенного дифференциального уравнения (или системы уравнений) первого порядка с заданными начальными условиями. Функция использует метод Рунге-Кутты 4-го порядка точности с фиксированным шагом. Функция Bulstoer (ic,a,b,nstep,D) возвращает решение обыкновенного дифференциального уравнения (или системы уравнений) первого порядка с заданными начальными условиями. Функция использует метод Булирша-Штера. Этот метод более эффективен, чем метод Рунге-Кутты, в случае если решение является плавной функцией. Назначение аргументов в этих встроенных функциях следующее: ic –вектор начальных условий; а – начальное значение независимой переменной; b – конечное значение независимой переменной; nstep –параметр, задающий количество шагов интегрирования; D – вектор правых частей дифференциальных уравнений. В Mathcad 14 появилось несколько новых встроенных функций для решения как жестких, так и нежестких ОДУ, основанных на более современных численных алгоритмах: Adams(у0,t0,t1,M,F,[асc]) – алгоритм Адамса (применяется для нежестких систем ОДУ); BDF(у0,t0,t1,M,F,[J,асc]) – алгоритм BDF (применяется для жестких систем ОДУ); AdamsBDF(у0,t0,t1,M,F,[J,асc]) – универсальный гибридный метод Адамса-BDF, применяемый для любых (как жестких, так и нежестких) систем ОДУ (численный алгоритм сам решает, насколько жесткой является система, и какую из разновидностей метода следует использовать): y0 – вектор начальных значений в точке t0; t0,t1 – начальная и конечная точки расчета; M – число шагов численного метода; F – векторная функция F(t,у) размера 1N, задающая систему ОДУ; J – Якобиан (матричная функция Якоби) J(t,y) размера NN, составленная из векторов частных производных векторной функции F(t,у); асc – погрешность вычисления; Перечисленные функции предусматривают как обязательные, так и опциональные аргументы. Необязательные аргументы заключены в квадратные скобки. Рекомендации по выбору численного алгоритма. Все численные методы решения ОДУ основаны на аппроксимации дифференциальных уравнений разностными аналогами. В зависимости от конкретной формы аппроксимации получаются алгоритмы различной точности и быстродействия. В Mathcad использован наиболее популярный алгоритм Рунге-Кутты четвертого порядка, описанный в большинстве книг по методам вычислений. Он обеспечивает малую погрешность для широкого класса систем ОДУ, за исключением жестких систем. Поэтому в большинстве случаев стоит применять функцию rkfixed. Если по различным причинам время расчетов становится критичным или точность неудовлетворительна, стоит попробовать вместо rkfixed другие функции, тем более, что сделать это очень просто благодаря одинаковому набору параметров. Для этого нужно только поменять имя функции в программе. Функция Rkadapt может быть полезна в случае, когда известно, что решение на рассматриваемом интервале меняется слабо, либо существуют участки медленных и быстрых его изменений. Метод Рунге-Кутты с переменным шагом разбивает интервал не на равномерные шаги, а более оптимальным способом. Там, где решение меняется слабо, шаги выбираются более редкими, а в областях его сильных изменений – частыми. В результате для достижения одинаковой точности требуется мень72 шее число шагов, чем для rkfixed. Метод Булирша-Штера Bulstoer часто оказывается более эффективным для поиска гладких решений. Имея в виду сделанные замечания, приведем краткую сводку алгоритмов решения задач Коши для ОДУ, отмечая, какие из встроенных функций следует использовать в конкретных случаях: - если вы пользуетесь Mathcad 14, применяйте универсальную функцию AdamsBDF, которая способна автоматически выбирать жесткий или нежесткий численный алгоритм; - для решения единственного уравнения (любого порядка) используйте вычислительный блок Given/odesolve (помните о том, что в последних версиях Mathcad допускается выбирать для этого блока численный алгоритм (в том числе, жесткий) из контекстного меню); - для стандартных нежестких систем используйте алгоритм Булирша-Штера Bulstoer; - для систем с участками быстро и медленно меняющихся решений используйте адаптивный алгоритм Рунге-Кутты Rkadapt; - для решения несложных задач можно использовать алгоритм Рунге-Кутты с фиксированным шагом Rkfixed; - для получения решения в одной конечной точке интервала используйте (в зависимости от перечисленных классов задач) одну из встроенных функций с именем, начинающимся со строчной буквы. Пример. Вернемся к уравнению (3.87). Преобразуем исходное уравнение в систему дифференциальных уравнений первого порядка: d dt , Y , , сформируем вектор дифференциальных уравнений D(t , Y ) 1 (Y0 , Y1 ) d ( , ) dt 0 запишем вектор начальных условий y , зададим пределы интегрирования t 0 и t ц .0 (конечное значение подбирается в процессе отладки программы), назначим число расчетных точек N . Для численного расчета в системе Mathcad применим функцию Adams(у0,t0,t1,M,F). Листинг программы см. П.4 п.5 3.7.4. Режим движения «пуск‐останов» Существует большое количество машин и механизмов: гидроподъемники, манипуляторы, механизмы управления летательными аппаратами, механизмы шасси, механизмы автоматических дверей и многие другие, исполнительное звено которых перемещается из начального положения в конечное. При этом в начале и в конце цикла движения исполнительное звено неподвижно. Такой режим движения механизма принято называть режимом "пуск-останов". Механизм начинает движение из состояния покоя, в конце цикла выходное звено механизма должно остановиться и зафиксироваться в заданном положении. Возможны три варианта остановки выходного звена: 1) остановка с жестким ударом: к 0 , к ; 2) остановка с мягким ударом: к 0 , к 0 ; из уравнения движения в интегральной форме ( ) 2 A ( ) следует, что в конечном положении к ( к ) 0 только в том J пр ( ) случае, если Aк A ( к ) 0 , где к значение обобщенной координаты в конце цикла движения; 73 3) безударная остановка или остановка с удержанием в конечном положении: к 0 , к 0 . В этом случае к рассмотренному выше условию к 0 добавляется условие к 0. Из уравнения движения в дифференциальной форме dJ IIпр ( ) ( ) 2 1 пр M ( ) d 2 J пр ( ) следует, что в конечном положении к 0 и пр к 0 только в том случае, если M к M пр ( к ) 0 . Итак, при остановке с мягким ударом необходимо выполнить условие: к 0 Aк 0 , а при безударной остановке и фиксации объекта в конечном положении ( ) требуется выполнить одновременно два условия: к 0 Aк 0 и к 0 M прк 0 . Описанный режим движения, так же как разгон и торможение, относится к неустановившимся. Приходим к прямой задаче динамики: определить закон движения машины при заданных внешних силовых воздействиях. Эта задача относится к задачам анализа, поэтому должны быть заданы: кинематическая схема; характеристики геометрии масс всех подвижных звеньев; механические характеристики сил и моментов; начальные условия движения. Для того чтобы обеспечить заданные условия начала движения и остановки выходного звена в конечном положении, необходимо подобрать закон изменения движущих (управляющих) сил. Вид диаграммы управляющей силы содержится в исходных данных. Определение величин сил на этих диаграммах осуществляется из рассмотренных выше условий. 1. Определение величины силы Fдн по условию начала движения н 0 . Из условия возможности начала движения работа движущей силы Fдн должна быть больше суммарной работы сил сопротивления Aд Ac . Следовательно, в начале движения приведенный момент движущей силы должен превосходить суммарный приведенный момент сил сопротивления M днпр M снпр . Обычно принимают M днпр К M снпр , где К 1,05...2 коэффициент запаса по моменту для разгона системы. 2. Определение величины силы Fдк по условию удержания объекта в конечном положении к 0 . Конечное значение силы Fдк определяют из условия равенства приведенного момента движущей силы и суммарного приведенного момента сил сопротивления M дкпр M скпр . 3. Определение величины силы Fд (или перемещения поршня S ) по условию безударного останова к 0 . Перемещение S поршня, соответствующее действию силы Fдк или Fд , рассчитывают из условия безударного останова: в конце цикла движения угловая скорость к 0 при равенстве работ Aдц Aсц за цикл. 4. Для определения силы Fдвер в положении, когда звено приведения вертикально, записывают условие его прохождения через вертикальное положение Aдвер Aсвер . Для выполнения условия прохождения звена приведения через вертикальное положение, рекомендуется силу, найденную из равенства Aдвер Aсвер , увеличить на 15…20(%). Приведем пример исследования механизма пневмоцилиндра, работающего в режиме «пуск-останов». Пневмоцилиндр представляет собой трехзвенную группу с начальной кинематической парой (НКП), образованной двумя подвижными звеньями: цилиндром и поршнем [11, П.4]. Относительное перемещение звеньев в НКП задается линейной обобщенной координатой s . Пневмоцилиндр входит в состав подъемного устройства. Пе74 ремещение поршня в цилиндре при подъеме груза обеспечивается движущей (управляющей) силой. Вид диаграммы управляющей силы см. Рис. 3.22. Рис. 3.22 Последовательность решения задачи: 1. Решить задачу кинематики: найти функции положения, аналоги (КПФ) скоростей и ускорений от обобщенной координаты s (см. П.5, п.2). 2. Найти приведенную массу механизма mпр ( s ) из условия равенства кинетических энергий: T пр T . В механизмах с одной степенью подвижности кинетическая энергия 1 T пр всегда может быть представлена в форме: T пр Вq q 2 . Если q s линейная 2 пр обобщенная координата, то коэффициент В (q ) m ( s ) называется приведенной массой механизма (см. П.5.п.3). 3. Используя условие приведения сил (3.24), записать функцию приведенной силы сопротивления FCпр ( s ) (см. П.4.п.3). 4. Зависимость движущей силы от перемещения поршня Fд ( s) задана кусочнолинейной функцией (см. Рис. 3.22). Найдем начальное и конечное значения силы при безударной остановке и фиксации объекта в конечном положении. Зададим величину s c перемещения поршня под действием постоянной силы. Конечное значение движущей силы Fдк Fд ( s max ) рассчитаем по условию удержания объекта в конечном положении: обобa s 0 ; для этого достаточно выполнить равенство щенное ускорение пр пр Fд ( s max ) FC ( s max ) Fдк FCпр ( s max ) . Начальное значение движущей силы Fдн найдем из условия равенства ее работы за цикл работе сил сопротивления: F Fдн s max sc AC . Расчет управляющей силы Fдпр ( s) по заданным услоFдн s c дк 2 виям см. П.5 п.3. 5. Записать суммарную приведенную силу Fпр ( s ) Fдпр ( s ) Fcпр ( s) . Построить диаграммы сил Fдпр ( s ) , Fcпр ( s ) и суммарной приведенной силы Fпр ( s ) . 6. Обобщенную скорость V ( s ) будем искать из уравнения движения механизма в интегральной (энергетической) форме (3.39): 2 A ( s ) , V (s) mпр ( s ) где A (s ) суммарная работа всех действующих в механизме сил на интервале цикла движения от s min до s max ; 7. Обобщенное ускорение найдем по формуле (3.73): dmпр V 2 ( s ) пр a s Fпр ( s ) / m ( s ) . ds 2 75 s min 8. Определим время работы пневмоцилиндра на интервале перемещения поршня от до s max интегрированием обратной функции s t ( s) 1 V (s) ds . s min Решение рассмотренной задачи в системе Mathcad см. П.5. Силовой расчет механизма с начальной кинематической парой и линейной обобщенной координатой приведен в Указаниях [11]. Выводы. В главе 3 Пособия рассмотрено решение прямой задачи динамики машин для различных режимов ее движения: найти закон движения машины по заданным действующим на нее силам. Решение этой задачи составляет содержание 1-го листа курсового проекта. Был рассмотрен режим установившегося движения (как основной режим работы машины) и переходные режимы: режим разгона (выбега) и пуск-останов. Показано, что для механической системы с одной степенью свободы, в частности для машины с W 1 , задача о движении многозвенной машины может быть сведена к рассмотрению движения лишь одного условного звена – динамической модели машины. Динамическая модель машины это есть отдельно взятое звено приведения - главный вал машины, условно снабженное переменным моментом инерции J и вращающееся под действием момента M . Если J и M определены для машины как приведенные величины M пр и J пр (по условиям приведения), то движение динамической модели тождественно истинному движению главного вала в составе машины. Определив закон движения модели (обобщенную скорость и обобщенное ускорение ), законы движения остальных звеньев могут быть найдены, пользуясь полученными при кинематическом анализе (см. Главу 2) аналогами скоростей и ускорений. Зная истинное движение звеньев механизма, можно выполнить его кинетостатический силовой расчет. При анализе установившегося движения, кроме того, рассчитывается постоянный момент на главном валу машины M Iпр из условия поддержания периодически неравно- мерного установившегося движения. Для машин-двигателей момент M Iпр будет постоянным приведенным к главному валу моментом сопротивления M cпр исполнительного механизма. На кривошипе этот момент может быть вычислен по формуле: M 1с q1 M Iпр . Для рабочих машин момент M Iпр будет постоянным приведенным к главному валу машины движущим моментом M дпр . Приведенный движущий момент M 1д , обеспечивающий вращение кривошипа рычажного механизма с угловой скоростью 1 , будет равен M 1прд q1 M Iпр . Показано, что при анализе неустановившегося режима работы можно использовать уравнение движения как в энергетической, так и в дифференциальной форме. Способ решения поставленной задачи зависит от характеристик действующих в машине сил. Если в механическую характеристику силы кроме обобщенной координаты входит еще и обобщенная скорость, то следует использовать дифференциальную форму уравнения движения, и искать решение численным методом в системе Mathcad. Рассмотрен пример исследования в режиме «пуск-останов» механизма пневмодвигателя с линейной обобщенной координатой. 76 4. Кинетостатический силовой анализ механизма Силовой расчет рычажного механизма составляет содержание 2-го листа курсового проекта. Исходными данными при кинетостатическом силовом анализе механизма являются: структурная схема механизма; массы звеньев и их моменты инерции относительно осей, проходящих через их центры масс; внешние силы, заданные по величине и направлению (числовые значения этих параметров приведены в таблицах исходных данных в техническом задании на КП). Кроме того должны быть известны (см. П. 2.2) кинематические функции исследуемого механизма (положения, аналогов скоростей и ускорений звеньев и характерных точек), а также найденные при решении задачи динамики (см. Раздел 3) характеристики движения главного вала машины: обобщенные угловая скорость и угловое ускорение . Зная обобщенную угловую скорость и обобщенное угловое ускорение, истинные законы движения остальных звеньев механизма могут быть найдены по следующим формулам (см. 2.2): j qj , v M v qM ; j qj 2 qj , a M a qM 2 vqM , где qj vqM d j d аналог угловой скорости; qj d 2 j d 2 аналог углового ускорения; d 2 rM drM a аналог линейной скорости; qM аналог линейного ускорения. d 2 d Аналоги (передаточные функции) для исследуемого механизма использовались при построении динамической модели машины (см. 3.5). Угловое ускорение входного звена механизма (пусть это будет звено 1) рассчитывается по формуле: 1 qj , где q1 аналог угловой скорости начального звена исполнительного механизма, характеризующий направление его вращения (см. 2.2.2). Допущение 7. Связи в механизме стационарные, удерживающие и голономные. Допущение 8. Система сил плоская (звенья механизма однородные твердые тела, имеют плоскость симметрии и движутся параллельно этой плоскости). Задачи подраздела: определить реакции связей в кинематических парах механизма методом кинетостатики и уравновешивающую силу или момент, приложенные к ведущему звену. Эта сила или момент характеризуют в рабочих машинах общее действие сил сопротивления на ведущее звено, а в машинах-двигателях – действие движущих сил на главный вал машины или кривошип. Величина момента и характер его изменения за цикл работы рабочей машины позволяет определить необходимую мощность двигателя. Реакции используются при проектировании для расчёта деталей и узлов машины на прочность, жесткость, долговечность и т.д. Метод кинетостатики основан на принципе Д’Аламбера (Jean le Rond d'Alembert). Используя уравнения мгновенного условного равновесия сил, можно сформировать расчетные модули для каждой входящей в механизм статически определимой кинематической цепи (как будет показано ниже, статически определимой кинематической цепью является 77 кинематическая группа (см. 2.1)). Построенные таким образом расчетные модули объединяются в единый расчетный алгоритм согласно алгоритмической формуле, записанной для исследуемого механизма после анализа исходных данных и принятых допущений. Полученный алгоритм может быть реализован как графоаналитическим методом, так и численно в системе Mathcad. Разработанная Mathcad-прграмма позволяет выполнить силовое исследование механизма на заданном интервале его движения (для цикловых механизмов – за цикл). Найденные реакции в кинематических парах представляются в виде диаграмм и годографов, анализируя которые можно получить информацию о том, работает ли звено механизма на растяжение или сжатие, определить максимальную реакцию в каждой кинематической паре с целью возможности дальнейших расчетов при проектировании механизма. Особенность графоаналитического исследования в том, что расчет выполняется лишь для одного, заданного обобщенной координатой , положения. Этот расчет и его результаты удобно использовать при отладке Mathcad-программы. 4.1. Принцип Д’Аламбера в силовом расчете механизмов Под принципом Д’Аламбера понимается общий метод решения задач, при котором уравнения динамики принимают вид уравнений статики. Этот метод решения задач иначе называют методом кинетостатики. Применительно к механизмам его можно сформулировать так: при добавлении сил инерции к внешним силам, действующим на систему в ней устанавливается мгновенное статическое равновесие и ее можно рассчитывать, используя уравнения статики: k n Fi i 0 ; i 1 i 1 k n i 1 i 1 M F i M i 0 , (4.1) где F i внешние силы, приложенные к звеньям механизма; M F i внешние моменты сил, действующие на звенья механизма; i инерционные силы; M i моменты сил инерции, приложенные к звеньям механизма. Система сил инерции твердого тела: - при поступательном движении силы инерции твердого тела приводятся к главному вектору, проходящему через центр масс тела, и равному по модулю произведению массы тела на модуль ускорения его центра масс, и направленному противоположно этому ускорению; - если тело вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через центр масс тела, то силы инерции приводятся к главному моменту, лежащему в плоскости, перпендикулярной оси вращения. - при плоском движении тела система сил инерции приводится к главному вектору, приложенному в центре масс, и к главному моменту, направление которого противоположно угловому ускорению тела. Расчет сил инерции графоаналитическим способом и пучок линейных ускорений и сил инерции приведен в П.7 Момент сил инерции входного звена (звена 1) рассчитывается по формуле: M 1 J Iпр1 , где J Iпр const приведенный момент инерции I-ой группы звеньев, 1 угловое ускорение начального звена механизма. 78 Условие статической определимости плоской кинематической цепи. Для каждого звена, расположенного в плоскости, можно составить три независимых уравнения статики. Если в кинематической цепи имеется n подвижных звеньев, то в совокупности для этой цепи можно записать 3n независимых уравнений статики (равновесия). Под силой будем понимать равнодействующую распределенной нагрузки в месте контакта звеньев, образующих кинематическую пару. Сила как векторная величина характеризуется тремя параметрами: точкой приложения, величиной и направлением. Рассмотрим с этих позиций реакции в кинематических парах (КП) плоских рычажных механизмов. Согласно Допущению 1, в плоский рычажный механизм входят только одноподвижные вращательные (шарниры) и поступательные (соединение ползуна с направляющей) кинематические пары. По Допущению 5 расчет ведется без учета сил трения. В поступательной КП связи, наложенные на относительное движение звеньев, разрешают относительное поступательное движение только вдоль оси КП. Перемещаться же поперек направляющей и поворачиваться ползун не может, поэтому в поступательной паре возникает реактивный момент, препятствующий повороту ползуна, и реакция, направленная перпендикулярно направляющей. При расчете этой КП определяются реактивный момент и величина реакции (точка ее приложения – геометрический центр КП, направление – нормаль к контактирующим поверхностям звеньев), т.е. число неизвестных при силовом расчете ns 2 . Во вращательной КП усилие между звеньями может передаваться в любом направлении, поэтому у реакции в шарнире неизвестными являются величина и направление (точка приложения силы – центр вращательной КП), т.е. число неизвестных при силовом расчете ns 2 . Если кинематическая цепь имеет в своем составе p н низших кинематических пар, то для определения реакций во всех этих парах необходимо составить 2 pн уравнений статики. Таким образом, из 3n независимых уравнений статики 2 pн уравнений используются для определения реакций в низших КП. Оставшиеся уравнения используются для определения неизвестных внешних сил, действующих на звенья механизма. Пусть X – число уравнений, оставшихся для определения неизвестных внешних сил, тогда X 3n 2 p н , но эта формула совпадает с формулой Чебышева для определения числа степеней свободы плоской кинематической цепи. В результате можно сформулировать условие статической определимости кинематической цепи следующим образом: кинематическая цепь статически определима в том случае, если число неизвестных внешних сил, действующих на ее звенья, не превышает числа степеней свободы этой цепи. Отсюда следует, что кинематическая группа (см. 2.1) – статически определимая система. 4.2. Формирование алгоритма кинетостатического силового рас‐ чета по группам Примем следующие формальные правила: 1) сохраним абсолютную правую декартовую систему координат, связанную с неподвижной точкой начального звена S XOY ; в этой системе координат были рассчитаны кинематические параметры механизма; 2) силы в расчетных схемах разложим по положительным осям системы координат S XOY ; моменты сил, направленные против хода часовой стрелки, будем считать положительными; 79 3) статически определимую систему уравнений равновесия сил составим для каждой группы Ассура и кинематической группы I-го класса согласно алгоритмической формуле, полученной для исследуемого механизма; 4) момент силы в уравнениях равновесия запишем относительно точки O системы координат S XOY следующим образом: i M O ( FA ) rA F x A Fx j yA Fy k 0 k ( FX y A FY xA ) 0 где rA x A , y A радиус-вектор т. A в системе координат S XOY , FA FX , FY вектор силы, приложенной в точке A ; FX , FY положительные проекции FA в S XOY . Реакции в КП будем обозначать следующим образом. Во вращательной паре: реакции R AX , R AY в кинематической паре A , RDX , RDY в кинематической паре D и т. д.; в поступательной паре: реакция R ПВ и момент M ПВ в кинематической паре B и т. д. Замечание 1. Далее, при анализе групп Ассура графоаналитическим методом исследования в обозначении реакций во внешних КП группы сохраним буквенный индекс, помня о том, что эти реакции есть реакции со стороны отброшенных звеньев конкретного механизма, в который группа входит, на звенья рассматриваемой группы. Для внутренней КП группы введем цифровой индекс по стандартному правилу. Порядок расчета: 1) Используя найденные при решении задачи кинематического анализа аналоги скоростей и ускорений (передаточные функции), рассчитаем ускорения центров масс и угловые ускорения звеньев. 2) Найдем главный вектор и главный момент сил инерции для звеньев, для которых заданы массы и моменты инерции относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости движения (сокращенно – осевые моменты инерции). 3) Для каждого входящего в кинематическую группу (см. 2.1) звена построим расчетную схему, запишем уравнения статики. 4) Для полученной системы линейных уравнений группы сформируем матрицу коэффициентов при неизвестных A и вектор свободных членов B . 5) Решим систему средствами Mathcad с использованием стандартной процедуры lsolve( A, B) (уже «знакомой» процедуры Find , или других, имеющихся в библиотеке стандартных процедур системы Mathcad, дающих решение системы линейных алгебраических уравнений вида A x B ). Далее, считая, что расчеты п.п. 1, 2 выполнены, построим расчетные схемы для групп Ассура 2-го класса различных модификаций и механизма I-го класса. Для каждой кинематической группы сформируем систему линейных уравнений статики: составим уравнения силового равновесия в проекциях на оси координат и уравнение моментов сил относительно т. О системы координат S XOY . Если заданы другие внешние силы и моменты (полезного сопротивления или движущие), действующие на звенья механизма, их необходимо поместить на расчетные схемы. Сформируем матрицу коэффициентов при неизвестных A и вектор свободных членов B . Разработанный для соответствующей группы алгоритм будет справедлив в независимости от того, в какой механизм данная группа входит и какое место в нем занимает. 80 4.2.1. Группа Ассура IIВВВ(2,3) Рис. 4.1 Дано: rA , rB, rС , rS2, rS3, 2 , 3 , G 2 , G 3 , M 2 , M 3 (рис. 4.1). Найти: R CX , R CY , R BX , R BY , R AX , R AY . Точки приложения реактивных сил — центры вращательных КП. Рис. 4.2 Для звена 3 (рис. 4.2) запишем: FX(3) R BX R CX 3X 0; FY(3) R BY R CY 3Y G 3 0; M (3) O R BX y B R BY x B R CX y C R CY x C 3X yS3 ( 3Y G 3 )x S3 M 3 0. Рис. 4.3 81 Для звена 2 (рис. 4.3) имеем: FX(2) R BX R AX 2X 0; FY(2) R BY R AY 2Y G 2 0; M (2) O R BX y B R BY x B R AX y A R AY x A 2X yS2 ( 2Y G 2 )x S2 M 2 0. Матрица А Вектор В R CX R CY R BX R BY R AX R BY FX(3) FY(3) FX(2) FY(2) M(3) O (2) MO 1 0 0 0 y C 0 0 1 0 0 xC 1 0 1 0 yB 0 1 0 1 xB 0 0 1 0 0 0 yB x B yA 3X G 3 3Y 2X G 2 2Y ( G ) x y M 3Y 3 S3 3X S3 3 ( 2Y G 2 ) x S2 2X yS2 M 2 . x A 0 0 0 1 0 Графоаналитический расчет На рис. 4.4 показана расчетная схема группы Ассура IIВВВ(2,3). Рис. 4.4 Заданы: действующие на звенья группы инерционные силы 2 , 3 , моменты сил инерции M 2 , M 3 , силы тяжести G2 , G3 . Если на звенья группы действуют еще какие-либо внешние силы, их также надо поместить на расчетную схему. Неизвестными являются реакции во внешних кинематических парах R A , RC и во внутренней паре RB . Точки приложения реактивных сил центры вращательных КП. Замечание 2. Здесь и далее при расчете графоаналитическим методом для реакции во вращательной кинематической паре должны быть найдены величина и угловая координата R относительно положительного направления оси X (см. рис. 4.5). Последовательность расчета. 82 1). Рассматривая звено 2, удалим связь в паре B и заменим ее реакцией R23 (со стороны отброшенного 3-го звена на 2). Разложим реакцию R23 на две составляющие: нормальную R23n , направленную вдоль звена, и тангенциальную R23 , перпендикулярно ему. Покажем их противодействие R32n R23n и R32 R23 . 2). Составим уравнение моментов относительно точки А, из которого найдем R23 : M A( 2 ) 2 , G2 , M 2 , R23 0 R23 . 3). Отбросим звено 2 и, заменив R23 противодействующей R32 , составим уравнение моментов относительно точки С, решив которое, найдем R32n : M С( 3) 3 , G3 , M 3 , R32 , R32n 0 R32n . 4). Запишем уравнение равновесия сил для звена 3; из плана сил (см. Рис.4.5) найдем реакцию RC со стороны отброшенного входящего в кинематическую пару С звена; здесь же, сложив R32n и R32 , получим полную реакцию R32 в КП B F (3) 3 G3 R32n R32 RC 0 RC , RB R32 Рис. 4.5 5). Учтем, что R23 R32 ; запишем уравнение равновесия сил для звена 2, из которого, решив задачу графически (см. Рис.4.6), найдем полную реакцию R A со стороны отброшенного входящего в кинематическую пару А звена: F (2) 2 G2 R23 RA 0 R A . 83 Рис. 4.6 4.2.2. Группа Ассура IIВВП(2,3) Рис. 4.7 Дано: rA , rB, h , rS2, rS3, 2 , 3 , G 2 , G 3 , M 2 , M 3 (рис. 4.7). Найти: R ПВ , М ПВ , R BX , R BY , R AX , R AY . Точка приложения реакции между ползуном 3 и смежным с ним звеном — точка S3 . Рис. 4.8 Для звена 3 (рис. 4.8) запишем: 84 FX(3) R BX 3X R ПВ cos h 0; 2 FY(3) R BY 3Y R ПB sin h G 3 0; 2 M (3) O R BX y B R BY x B R ПB sin(h )yS3 R ПB cos(h )x S3 3X yS3 ( 3Y G 3 )x S3 M 3 M ПB 0. Рис. 4.9 Для звена 2 (рис. 4.9) имеем: FX(2) R BX R AX 2X 0; FX(2) R BY R AY 2Y G 2 0; M (2) O R BX y B R BY x B R AX y A R AY x A 2X yS2 ( 2Y G 2 )x S2 M 2 0. Матрица А: R СX R СY R AX R AY FX(3) FY(3) FX(2) FY(2) M (3) O (2) M O 1 0 1 0 yB yB 0 1 0 1 xB xB 0 0 1 0 0 yA 0 0 0 1 0 xA R ПВ М ПВ sin( h ) cos( h ) 0 0 sin( h ) yS3 cos( h ) x S3 0 0 0 0 . 0 1 0 Вектор В: 3X G 3 3Y 2X . G 2 2Y ( 3Y G 3 ) x S3 3X yS3 M 3 ( 2Y G 2 ) x S2 2X yS2 M 2 85 Графоаналитический расчет На рис. 4.10 показана расчетная схема группы Ассура IIВВП(2,3). Рис. 4.10 Заданы: действующие на звенья группы инерционные силы 2 , 3 , моменты сил инерции M 2 , M 3 , силы тяжести G2 , G3 . Если на звенья группы действуют еще какие-либо внешние силы, их также надо поместить на расчетную схему. Неизвестными являются реакции во вращательных кинематических парах R A , RB и во внешней поступательной паре реакция R ПВ и реактивный момент M ПВ . Пусть реакция R ПВ между ползуном 3 и смежным с ним звеном приложена в точке S 3 (именно в этой точке приложена реакция R ПВ для численного расчета в системе Mathcad). Последовательность расчета. 1). Разложим реакцию в паре A на две составляющие: нормальную R An , направленную по звену 2, и тангенциальную R A , перпендикулярную ему. Рассматривая равновесие звена 2, составим уравнение моментов относительно точки B , решив которое найдем R A : M В( 2 ) 2 , G2 , M 2 , R А 0 R А . 2). Запишем уравнение равновесия сил для группы и из плана сил (см. Рис.4.11) найдем две неизвестные величины: R An и R ПВ и суммарную реакцию R A в паре A : F (2,3) RAn RA 2 G2 3 G3 RПВ 0 R ПВ , R An 86 Рис. 4.11 3). Составим уравнение моментов относительно точки B для звена 3, решив которое найдем момент M ПВ : M B(3) 3 , G3 , R ПВ , M 3 , M ПВ 0 M ПВ . Замечание 3. Здесь и далее при расчете графоаналитическим методом вместо реактивного момента в поступательной кинематической паре следует искать ее точку приложения К. Используя рис. 4.10, Рассмотрим равновесие звена 3 и составим уравнение моментов относительно точки B , решив которое, найдем h BK : M В(3) 3 , G3 , M 3 , R ПВ h 0 h . 4). Отбросим звено 2, заменив его действие реакцией R32 в кинематической паре B, которую и найдем графически (см. рис. 4.12) из уравнения равновесия действующих на звено 3 сил: F (3) 3 G3 RПВ R32 0 R32 Рис. 4.12 4.2.3. Группа Ассура IIВПВ(2,3) Рис. 4.13 Дано: rA , rB, rС , 3, rS2, rS3, 2 , 3 , G 2 , G 3 , M 2 , M 3 (рис. 4.13). Найти: R ПВ , М ПВ , R CX , R CY , R AX , R AY . Точка приложения реакции между звеньями 2 и 3 — точка В. 87 Рис. 4.14 Для звена 3 (рис. 4.14) запишем: FX(3) R CX 3X R ПВ cos 3 0; 2 FY(3) R CY 3Y R ПB sin(3 ) G 3 0; 2 (3) M O R CX yC R CY x C R ПB sin(3 )y B R ПB cos(3 )x B 3X yS3 ( 3Y G 3 )x S3 M 3 M ПB 0. Рис. 4.15 Для звена 2 (рис. 4.15) имеем: FX(2) R AX 2X R ПВ sin (3 ) 0; FY(2) R AY 2Y G 2 R ПВ cos(3 ) 0; M (2) O R AX y A R AY x A R ПВ sin (3 )y B R ПВ cos(3 )x B 2X yS2 ( 2Y G 2 )x S2 M 2 M ПВ 0. 88 Матрица А: R CX R CY R AX R AY FX(3) FY(3) FX(2) FY(2) M (3) O (2) M O 1 0 0 0 yC 0 R ПВ 0 1 0 0 0 0 sin( 3 ) cos( 3 ) 0 0 xC 0 1 0 0 yA 0 1 0 xA sin( 3 ) cos( 3 ) sin( 3 ) y B cos( 3 ) x B sin( 3 ) y B cos( 3 ) x B М ПВ 0 0 0 . 0 1 1 Вектор В: 3X G 3 3Y 2X . G 2 2Y ( 3Y G 3 ) x S3 3X yS3 M 3 ( 2Y G 2 ) x S2 2X yS2 M 2 Графоаналитический расчет На рис. 4.16,а показана расчетная схема группы Ассура IIВПВ(2,3). а 89 б Рис. 4.16 Заданы действующие на звенья группы инерционные силы 2 , 3 , моменты сил инерции M 2 , M 3 , силы тяжести G2 , G3 . Если на звенья группы действуют еще какие-либо внешние силы, их также надо поместить на расчетную схему. Неизвестными являются реакции во вращательных кинематических парах R A , RС и во внутренней поступательной паре В реакция R ПВ и реактивный момент M ПВ . Последовательность расчета. 1). Разложим реакцию в паре A на две составляющие: нормальную R An , направленную вдоль линии АС, и тангенциальную R A перпендикулярную этой линии. Рассматривая равновесие группы, составим уравнение моментов относительно точки С , решив которое найдем R A : M С(2,3) 2 , G2 , 3 , G3 , M 2 , M 3 , RА 0 R А . 2). Отбросим звено 3, заменив его действие на звено 2 реакцией R23 перпендикулярно направляющей. Запишем уравнение равновесия действующих на звено 2 сил, решив которое графически (см. рис. 4.17), найдем R An и R23 , здесь же найдем и суммарную реакцию R A в паре A : F (2) RAn RA 2 G2 R23 0 R An , R23 , 90 Рис. 4.17 3). Пусть реакция R32 R23 между ползуном 3 и смежным с ним звеном 2 приложена в точке В (именно в этой точке приложена реакция R23 для численного расчета в системе Mathcad). Рассмотрев равновесие звена 3 (рис.4.16,б), составим уравнение моментов относительно точки С , из которого найдем момент M 32 в поступательной паре В M C(3) 3 , G3 , M 3 , R32 , M 32 0 M 32 . 4). Составив уравнение равновесия сил, действующих на звено 3, решим его графически; из плана сил (см. рис. 4.18) найдем реакцию RС в паре С: F ( 3) 3 G3 R32 RC 0 RC Рис. 4.18 4.2.4. Группа Ассура IIПВП(2,3) Рис. 4.19 Дано: rA , rB, 2, 3, rS2, rS3, 2 , 3 , G 2 , G 3 , M 2 , M 3 (рис. 4.19). Найти: R ПВ , М ПВ , R ПС , М ПС , R AX , R AY . Точки приложения реакций в поступательных кинематических парах — точки В и С. 91 Рис. 4.20 Для звена 3 (рис. 4.20) запишем: FX(3) R AX 3X R ПC cos 3 0; 2 FY(3) R AY 3Y R ПC sin 3 G 3 0; 2 M (3) O R AX y A R AY x A R ПC sin(3 )y C R ПC cos(3 )x C 3X yS3 ( 3Y G 3 )x S3 M 3 M ПC 0. Рис. 4.21 Для звена 2 (рис. 4.21) имеем: FX(2) R AX 2X R ПВ cos 2 0; 2 FY(2) R AY 2Y G 2 R ПВ sin 2 0; 2 M (2) O R AX y A R AY x A R ПВ sin(2 )y B R ПВ cos(2 )x B 2X yS2 ( 2Y G 2 )x S2 M 2 M ПВ 0. 92 Матрица А: R AX R AY R ПС R ПВ 1 0 1 FY(2) 0 y A M (3) O (2) y A M O 0 1 0 1 xA x A sin(3 ) cos(3 ) 0 0 sin(3 ) y C cos(3 ) x C 0 0 0 sin(2 ) cos(2 ) 0 sin(2 ) y B cos(2 ) x B FX(3) FY(3) FX(2) М ПС М ПВ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 Вектор В: 3X G 3 3Y 2X . G 2 2Y ( 3Y G 3 ) x S3 3X yS3 M 3 ( 2Y G 2 ) x S2 2X yS2 M 2 Графоаналитический расчет На рис. 4.22 показана расчетная схема группы Ассура IIПВП(2,3) Рис. 4.22 Заданы: действующие на звенья группы инерционные силы 2 , 3 , моменты сил инерции M 2 , M 3 , силы тяжести G2 , G3 . Если на звенья группы действуют еще какие-либо внешние силы, их также надо поместить на расчетную схему. Неизвестными являются реакции во внешних поступательных кинематических парах R ПВ , R ПС и реактивные моменты M ПВ и M ПС в них же и реакция во внутренней вращательной паре А реакция R А . Пусть реакция R ПВ между ползуном 2 и смежным с ним отброшенным звеном механизма, в состав которого группа входит, приложена в точке В , а реакция R ПС между ползуном 3 93 и смежным с ним отброшенным звеном в точке С R23 . Именно в этих точках приложены реакции R ПВ и R ПС для численного расчета в системе Mathcad. Последовательность расчета. 1). Из уравнения равновесия сил в группе сразу можно найти реакции R ПВ и R ПС во внешних поступательных парах (см. рис. 4.23): F (2,3) RПВ G2 2 G3 3 RПС 0 R ПВ , R ПС . Рис. 4.23 2). Рассматривая равновесие звена 3, составим уравнение моментов относительно точки А , из которого найдем момент M ПС в поступательной паре С : M А(3) 3 , G3 , M 3 , R ПС , M ПС 0 M ПС . 3). Решив уравнение равновесия сил, действующих на звено 3 графически (рис. 4.24), из плана сил найдем реакцию R32 во внутренней кинематической паре А: F (3) G3 3 RПС R32 0 R32 Рис. 4.24 94 4). Рассматривая равновесие звена 2, составим уравнение моментов относительно точки А , из которого найдем момент M ПВ в поступательной паре В : M А( 2 ) 2 , G2 , M 2 , R ПВ , M ПВ 0 M ПВ . 4.2.5. Группа Ассура IIВПП(2,3) Рис. 4.25 Дано: rA , α = const, rS2, rS3, 2 , 3 , G 2 , G 3 (рис. 4.25). Найти: R П3 , М П3 , R П2 , М П2 , R AX , R AY . Звено 3 движется поступательно вдоль оси X. Точка приложения реакции R П2 в поступательной КП между звеньями 2 и 3 — точка A; реакции R П3 в поступательной КП между звеном 3 и смежным с ним звеном — точка S3 . 95 Рис. 4.26 Для звена 3 (рис. 4.26) запишем: FX(3) R П2 cos 3x 0; 2 FY(3) R П2 sin R П3 G 3 0; 2 M (3) O R П2 sin( )y A R П2 cos( )x A 3x yS3 R П3 x S3 G 3 x S3 M П2 M П3 0. Рис. 4.27 Для звена 2 (рис. 4.27) имеем: FX(2) R П2 sin( ) R Ax 2x 0; FY(2) R П2 cos( ) R Ay 2y G 3 0; M (2) O R П2 sin( )y A R П2 cos( )x A R Ax y A R Ay x A 2x yS2 ( 2y G 2 )x S2 M П2 0. Матрица А: R П2 FX(3) FY(3) FX(2) FY(2) M (3) O (2) M O sin( ) cos( ) sin( ) cos( ) sin( ) y A cos( ) x A sin( ) y A cos( ) x A R П3 R AX R AY М П2 М П3 0 1 0 0 x S3 0 0 0 1 0 0 yA 0 0 0 1 0 xA 0 0 0 0 1 1 0 0 0 . 0 1 0 Вектор В: 3X G3 2X . G 2 2Y G 3 x S3 3X yS3 ( 2Y G 2 ) x S2 2X yS2 96 Графоаналитический расчет На рис. 4.28,а показана расчетная схема группы Ассура IIВПП(2,3). а б Рис. 4.28 Заданы: приложенные к звеньям группы инерционные силы 2 , 3 и силы тяжести G2 , G3 . Неизвестными являются реакция R А во внешней вращательной паре А, реакция и момент R ПВ и M ПВ во внешней поступательной паре В, реакция и момент R ПА и M ПА во внут- ренней поступательной паре А. Последовательность расчета. 1). Отбросив звено 2, из уравнения равновесия сил, действующих на звено 3, сразу можно найти реакции R ПВ во внешней и R ПА R32 во внутренней поступательных парах (см. рис. 4.2.29): 97 F (3) RПВ 3 G3 R32 0 R ПВ , R32 . Рис. 4.29 2). Рассматривая равновесие сил звена 2 с учетом реакции R23 R32 , из плана сил (рис. 4.30) найдем реакцию R А во внешней вращательной паре А: F (2) 2 G2 R23 RA 0 R А Рис. 4.30 3). Поместим реакцию R23 в точку А звена 2, составим уравнение моментов относительно точки А , из которого найдем момент M ПА M 23 в поступательной паре А M А( 2) 2 , G2 , M 23 0 M ПА M 23 . 4). Поместим уже найденные реакции R ПВ и R32 в точку S 3 и в точку А звена 3 соответственно, составим уравнение моментов относительно точки S 3 , из которого найдем момент M ПB в поступательной паре В: M S( 33) R32 , M ПВ 0 M ПB . 4.2.6. Первичный механизм IВ(0,1) Силовой расчет этой группы (см. 2.1) выполняется на заключительном этапе, после определения реакций во всех кинематических группах, входящих в механизм. На расчетной схеме (рис. 4.2.30) в точке А показана найденная на предыдущем этапе расчета реакция R A со стороны отброшенного звена на звено 1. 98 Рис. 4.31 Дано: rA , rS1 , G1, M 1 , 1. (рис. 4.31). Найти: М ур , R OX , R OY . Имеем: FX(1) R AX R OX 1X 0; FY(1) R AY R OY 1Y G1 0; M (1) O R AX y A R AY x A 1X yS1 (1Y G1 )x S1 M 1 M ур 0. Матрица А: Вектор В: R OX R OY M1 FX(1) FY(1) M (1) O 1 0 0 0 1 0 0 0 1 R AX 1X R AY 1Y G1 . R y R x y ( G )x M AY A 1X S1 1Y 1 S1 1 AX A Графоаналитический расчет На рис. 4.32 показана расчетная схема группы IВ(0,1). Эта кинематическая группа состоит из одного звена (входного звена механизма) и стойки, образующих между собой вращательную кинематическую пару. Рис. 4.32 Заданы: инерционная сила 1 и инерционный момент M 1 , сила тяжести G1 , приложен- ная в точке А найденная на предыдущем этапе расчета сила R А , представляющая собой реакцию отброшенного звена на звено 1. 99 Неизвестными являются реакция RО во вращательной паре О, и уравновешивающий мо- мент M ур . Последовательность расчета. 1). Составим уравнение моментов относительно точки О , из которого найдем уравновешивающий момент M ур : M О 1 , G1 , R A , M 1 , М ур 0 M ур . 2). Из уравнения равновесия сил в группе найдем реакцию R10 во вращательной паре О (см. рис. 4.33): F (1) 1 G1 ( RA ) R10 0 R10 . Рис. 4.33 Выводы. В главе 4 рассмотрена методика силового расчета плоского рычажного механизма 2-го класса. Представленная методика позволяет выполнить кинетостатический силовой анализ заданного в исходных данных на КП плоского рычажного механизма, что составляет содержание 2-го листа курсового проекта. Этот лист может быть выполнен в двух вариантах: а) графоаналитическим методом [1], [8], [9] для одного положения начального звена механизма (при заданном значении обобщенной координаты ); при расчете этим методом необходимо учесть замечания 2 и 3; б) численным методом в системе Mathcad [7], [11] за весь цикл движения. Полученное в результате силового расчета значение уравновешивающего момента сравнивается: а) при анализе установившегося движения со значением постоянного обобщенного момента сил на главном валу машины M Iпр ; б) при исследовании неустановившегося движения с одной из активных заданных в машине сил (или движущей, или сопротивления), что зависит от принятого алгоритма силового исследования. Примеры выполнения 2-го листа проекта приведены в П.2.п.6, П.3 п.6. 100 Раздел II. Синтез механизмов с высшими кинематическими парами. 5. Синтез трехзвенных плоских зубчатых зацеплений 6. Проектирование планетарных зубчатых механизмов с цилиндрическими колесами 7. Проектирование кулачковых механизмов В данном подразделе выполняется проектирование плоского кулачкового механизма, который является составной частью проектируемой машины. В первой части проектирования решается задача метрического синтеза: определение основных размеров механизма, обеспечивающих заданный закон движения толкателя при ограничениях на угол давления и габариты. Для реализации полученных при решении задачи метрического синтеза алгоритмов в сочетании с графической визуализацией результатов используется система Mathcad. Во второй части выполняется профилирование кулачка по заданному закону движения толкателя и найденным в результате метрического синтеза его основным размерам. Профилирование выполняется в любом графическом пакете. Кулачковый механизм предназначен для преобразования возвратно-вращательного (возвратно-поступательного) движения в возвратно-поступательное или возвратновращательное движение по требуемому закону с возможными остановками выходного звена. Его можно использовать как основной механизм, но чаще – как вспомогательный для выполнения технологической операции, последовательность и продолжительность которой согласуется с движением звеньев основного механизма. В двигателях внутреннего сгорания кулачковые механизмы перемещают впускные и выпускные клапаны, в станках используются в механизмах подачи заготовки, в конвейерах и транспортерах управляют механизмами дозаторов или концевых выключателей, в кузнечно-прессовых машинах перемещают заготовки или готовые изделия. В механизмах с гидравлическим приводом они применяются для регулирования подачи жидкости. Плунжерные насосы на основе кулачковых механизмов используются в смазочных системах механизмов и редукторов. Ведущим (начальным) звеном механизма является кулачок, ведомым (выходным) звеном – толкатель, образующие между собой высшую кинематическую пару зацепление. В техническом задании на КП рассматриваются механизмы, в которых ведущим звеном является дисковый кулачок 1, угол его поворота 1 есть обобщенная координата механизма, ведомым – толкатель 2 остроконечный, с роликом или грибовидный. Толкатель может совершать поступательное схема 1 (рис. 7.1), или вращательное – схема 2 (рис. 7.2), движение. Закон движения толкателя есть функция обобщенной координаты. 101 Большинство кулачковых механизмов относится к цикловым механизмам с периодом цикла равным 2 . В цикле движения толкателя в общем случае можно выделить четыре фазы: удаления из самого близкого (по отношению к центру вращения кулачка) в самое дальнее положение, дальнего стояния (или выстоя в самом дальнем положении), сближения (возвращения из самого дальнего положения в самое близкое) и ближнего стояния (выстоя в самом ближнем положении). В соответствии с этим, углы поворота кулачка или фазовые углы делятся на: угол удаления 1 у , угол дальнего стояния 1д , угол сближения 1с , угол ближнего стояния 1б , которые назначаются в соответствии с циклограммой, отражающей согласованность перемещений исполнительных звеньев механизма. Сумма 1 у 1д 1с 1 р угол рабочего профиля кулачка (см. рис. 7.1 и 7.2). Рис. 7.1 102 Рис. 7.2 Исходные данные к проектированию: 1) структурная схема механизма (рис. 7.1) или (рис. 7.2) , показывающая тип кулачка, вид толкателя, их относительное расположение и характер движения толкателя; 2) некоторые размеры механизма, которые необходимо выдержать при проектировании: максимальное перемещение контактной точки B толкателя – ход hB толкателя (см. рис.7.1) или угол поворота толкателя (см. рис.7.2), рассчитываемый по ходу hB точки B , осуществляемому по дуге; 3) длина l 2 в случае вращательного движения толкателя, внеосность e в случае его поступательного движения (чаще всего этот параметр не задан, он может быть определен при решении задачи метрического синтеза); 4) фазовые углы: угол 1 р рабочего профиля кулачка и его составляющие в фазах удале- ния 1 у , дальнего стояния 1д и сближения 1с ; 5) закон движения толкателя (как правило, это график аналога ускорения); 6) допустимое значение угла давления в фазах удаления и сближения; 7) направление вращения кулачка. В целом решение задачи проектирования кулачкового механизма можно представить как последовательное выполнение четырех этапов: 1. Построение цикловых диаграмм кинематических и геометрических характеристик; 2. Метрический синтез КМ (определение основных размеров механизма по допустимому углу давления); 3. Кинематический синтез КМ (построение центрового и конструктивного профилей кулачка); 4. Построение цикловой диаграммы угла давления для спроектированного кулачка. Далее последовательно рассматривается выполнение этих шагов для представленных на рис. 7.1 и 7.2 механизмов. 103 7.1. Выбор закона движения толкателя и построение кинематиче‐ ских диаграмм Выбор закона движения толкателя диктуется технологическим процессом. На практике для проектирования чаще всего задан закон изменения ускорения толкателя в зависимости от угла поворота кулачка. Это связано с тем, что динамика кулачкового механизма, в основном, определяется изменением ускорения за счет сил инерции, которые учитываются, например, при силовом расчете пружин, расчете напряжений в деталях механизма, при анализе износа и долговечности кулачка и т.д. Иногда задаваемая функция ускорения на границах фаз имеет точки разрывов первого рода, в которых претерпевает конечный скачок. Конечный скачок на функции ускорения вызывает в механизме так называемый «мягкий» удар кулачка о толкатель. Если функция ускорения имеет точку разрыва второго рода (бесконечный скачок функции) – в механизме «жесткий» удар. При проектировании кулачковых механизмов используют типовые законы изменения ускорения толкателя. В табл. 7.1 приведены некоторые наиболее распространенные на практике законы изменения аналогов ускорения a qB толкателя на фазе удаления. Все зависимости представлены в виде функций относительного угла k поворота кулачка, который меняется от 0 до 1, т. е. k / 1 у , где текущее значение обобщенной координаты механизма (угла поворота кулачка). Исходными данными для использования таблиц служат ход hB толкателя и углы 1 у и 1с фаз удаления и сближения соответственно. Характерные (особые) точки на графике аналога ускорения отмечены в относительных долях угла поворота кулачка некоторыми постоянными величинами k1 , k 2 . В «симметричных» графиках величина k 2 отдельно не задана, а выражена через k1 : k 2 1 k1 . На фазе сближения также можно использовать графики табл. 7.1, только отсчет относительного угла поворота кулачка следует проводить в обратную сторону, т. е. от конца фазы сближения к ее началу. Таблица 7.1 № варианта. Наименование графика 1. Прямоугольный несимметричный с нулевым участком График аналога ускорения на фазе удаления толкателя Аналитическая зависимость аналога ускорения Диапазон изменения значений k 2 k1 (1 k1 k2 ) 0 k k1 2 2. Косинусоидальный с нулевым участком k1 k k2 0 2 (1 k2 )(1 k1 k2 ) 1 2 k1 ( 2 k1 4k1 ) cos( k 2 k1 k2 k 1 0 k k1 ) 0 k1 k k2 104 k2 1 k1 2 1 2 k1 ( 2 k1 4k1 ) cos( 1 k 2 k1 ) 6 , Zn 1 2k1 2k12 Zn 6 1 2k Zn 1 2k1 3. Прямоугольная трапеция k2 1 k1 k2 k 1 6 Zn 0 k k1 k1 k k2 k2 k 1 2 4. Прямоугольник с косинусоидой , Zn Zn 2(1 2k1 ) 2 2 k1 (1 k1 ) 0 k k1 1 2k sin Zn 2 1 2k1 k1 k k2 2 k2 1 k1 k1 5. Синусоидальный несимметричный 6. Синусоидальный симметричный с нулевым участком k2 1 k1 1 k1 2 k2 k 1 Zn sin sin k k1 (1 k ) 1 k1 k1 k 1 1 k sin 2 k1 (1 k1 ) k1 0 k k1 0 k1 k k2 1 (1 k ) sin 2 k1 (1 k1 ) k1 k k12 k k 8 1 2 k1 8 7. Треугольный несимметричный 0 k k1 8 k k1 (1 k1 ) 2 8 1 k (1 k1 ) 2 k2 k 1 0k k1 2 k1 k k1 2 1 k1 k1 k 2 1 k1 k 1 2 В некоторых заданиях фазовые углы для кулачка не заданы, их надо определить из циклограммы работы машинного агрегата. Рассмотрим определение фазовых углов на примере циклограммы работы долбежного станка с качающейся кулисой. Долбежный станок предназначен для строгания вертикальных поверхностей, долбления пазов и внутренних кана- 105 вок в отверстиях деталей. Резание металла осуществляется резцом, закрепленным в резцовой головке, при его возвратно-поступательном движении в вертикальном направлении. Во время перебега резца в конце холостого и начале рабочего ходов (см. циклограмму на рис.7.3) осуществляется перемещение стола на величину подачи с помощью ходового винта. Рис. 7.3 Поворот винта производится посредством храпового механизма и толкателя (рис. 7.4). Рис. 7.4 Поворот толкателя осуществляется от дискового кулачка, закрепленного на одном валу с кривошипом исполнительного механизма. Пусть при проектировании кулачкового механизма необходимо осуществить подачу во время верхнего (в конце холостого и начале рабочего ходов) перебега резца в соответствии с циклограммой (рис. 7.3) и обеспечить заданный закон изменения ускорения толкателя (рис. 7.5.): в фазе удаления вариант 5, в фазе сближения – вариант 1 из Таблицы 7.1. Для использования графиков таблицы 7 в исходных данных к проектированию должны быть заданы или относительные углы k1 и k 2 , или коэффициент пропорциональности 106 максимальных ординат на соответствующих участках (как правило, задается коэффициент пропорциональности). Рис. 7.5 Порядок расчета кинематических параметров. 1. Из анализа циклограммы (см. рис.7.3) найдем фазовые углы: угол 1 р рабочего профиля кулачка и его составляющие в фазах удаления 1 у , дальнего стояния 1д и сближения 1с . 2. Построение цикловых графиков начнем с определения фазовых углов для рабочего участка профиля. Рабочий фазовый угол разделим на пять участков: два участка на фазе удаления – разгон и торможение, участок дальнего выстоя, два участка на фазе сближения – разгон и торможение. а Используя коэффициенты пропорциональности (заданы в исходных данных) у 2 и а1 а с 4 , на каждом участке найдем значения фазовых углов f i , соответствующие относиа3 тельным углам k i (см. рис. 7.5): a а f 0 0 ; f1 2 1 у ; f 2 1 у ; f 3 у1 1д ; f 4 f3 4 1с ; f 5 1 р . a1 a2 а3 а4 3. В фазе сближения на границах участков (в точках f 3 , f 4 и f 5 ) функция аналога ускорения претерпевает разрыв первого рода. Для ее описания используем функцию Хевисай0, x 0; Запишем формулы для расчета аналога ускорения: да вида: ( x) 1, x 0. - фаза удаления: sin( f ),0 f1 ; 1 1 f (7.1) a qBу ( ) sin 2 , f 1 f 2 f f f f 1 2 1 2 0, f f ; 3 2 107 - фаза сближения: aqBc ( ) a3 ( f 3 ) (a3 a4 ) ( f 4 ) a4 ( f 5 ) , f 3 f 5 (7.2) - на интервале 0,2 с учетом (7.1) и (7.2) a qBу ( ),0 f 3 ; a qB ( ) a qBс ( ), f 3 f 5 ; (7.3) 0, f 5 2 . Моделирование функции аналога ускорения в среде Mathcad см. Приложение 7, п. 1, 2. Функцию аналога скорости получим интегрированием аналога ускорения (7.3): v qB ( ) a qB ( )d (7.4) 0 функцию перемещения интегрированием аналога скорости (7.4): S В ( ) v qB ( )d (7.5) 0 4. Кулачковые механизмы – это механизмы программно-циклового движения. В течение полного цикла движения толкатель кулачкового механизма должен переместиться из начального положения на расстояние, соответствующее ходу hB , а затем возвратиться в исходное положение, т. е. перемещение контактной точки толкателя в фазе удаления равно его перемещению в фазе сближения. Следовательно, имея функцию перемещения S В ( ) и зная ход hB толкателя (см. рис.7.1) (или угол поворота толкателя (см. рис.7.2)), можно в фазе удаления найти масштабный коэффициент aq , в фазе сближения уточнить коэффициенты пропорциональности a3 и a4 безразмерных функций ускорения, далее пересчитать кинематические функции (7.3), (7.4), (7.5) и построить их графики. Для графического представления функции перемещения в Mathcad, с целью сокращения времени построения графика, следует предварительно выполнить кусочно-линейную интерполяцию функции аналога скорости. Моделирование функций аналога ускорения, аналога скорости и перемещения на всем интервале изменения обобщенной координаты 0,2 и их графическое представление в среде Mathcad см. Приложение 7, п.3. Если из заданий к курсовому проектированию известна угловая скорость кулачка 1 , то можно найти истинные скорость и ускорение толкателя (см. 2.1): v B v qB 1 ; a B a qB 12 , где 1 угловая скорость кулачка, рад/с. График аналога скорости v qB одновременно является и графиком скорости v B , аналога ускорения a qB графиком ускорения a B . Масштабы графиков скорости и ускорения можно найти формулам: v vq / 1 ; a aq / 12 . При расчете и построении соответствующих графиков фазовые углы 1 у , 1с и угол 1 р рабочего профиля кулачка удобно выражать в градусах. Поэтому масштабный коэффициент графиков по оси абсцисс будет о b / 1 р , мм/град. Графики кинематических функций можно получить и методом графического интегрирования. Пример такого интегрирования приведен на рис. 7.6. 108 Рис. 7.6 Согласно этому методу вначале в произвольном масштабе изображают график аналога ускорения толкателя. Размер (базу) графика b по оси абсцисс выбирают в диапазоне 150....240 мм и по формуле b / 1 р , мм/рад, находят масштабный коэффициент графиков ( 1 р угол рабочего профиля кулачка). Далее, произвольно задавшись отрезками интегрирования К1 и К2, дважды проводят графическое интегрирование (см. [........]) для определения налога скорости и перемещения толкателя. По полученной в результате интегрирования максимальной ординате на графике перемещений y S B max и зная ход hB толкателя, находят масштабный коэффициент графика y S max S B , мм/м. (7.6) hB Масштабные коэффициенты графиков аналога скорости и ускорения определяют по формулам vq S K 2 / , мм/м, аq vq K 1 / , мм/м (7.7) Отметим, во-первых, углы поворота при вычислении задаются в радианах, отрезки К1 и К2 в миллиметрах, во-вторых, если выбрать отрезок интегрирования К2 численно равный масштабному коэффициенту , масштабный коэффициент графика аналога скорости будет равен коэффициенту графика перемещений: vq S . 109 7.2. Метрический синтез кулачкового механизма Задача метрического синтеза: определить основные размеры механизма, обеспечивающие заданный закон движения толкателя при ограничениях на угол давления и габариты. Связь угла давления с характеристиками движения и параметрами механизма. Углом давления называется угол между вектором силы, с которой ведущее звено действует на ведомое, и вектором скорости точки ведомого звена, к которой приложена сила. От величины угла давления зависят реакции в кинематических парах, силы трения, КПД и надежность механизма. Если силами трения можно пренебречь, то угол давления есть угол между контактной нормалью и вектором скорости контактной точки ведомого звена. Из определения следует, что ограничивать угол давления имеет смысл только в фазе удаления, когда сила, действующая на толкатель со стороны кулачка, является движущей силой. При проектировании реверсивного механизма (когда фаза сближения при одном направлении вращения кулачка станет фазой удаления при другом) ограничение по углу давления необходимо вводить в обеих фазах. Допущение: силами трения пренебрегаем. Формальные правила, принятые при алгоритмизации задач: - расчетные схемы построены в правой декартовой системе координат S XOY , начало которой совпадает с неподвижной точкой начального звена механизма кулачка; - за обобщенную координату принят угол поворота кулачка против хода часовой стрелки; - направление вращение кулачка задано значением его аналога угловой скорости q1 : если против хода часовой стрелки, то q1 1 , если по ходу часовой стрелки, то q1 1 . В кулачковых механизмах (рис. 7.1 и 7.2) угол давления есть угол между вектором силы, действующей со стороны кулачка на толкатель по нормали n , проведенной в точке касания звеньев, и вектором скорости v В 2 контактной точки толкателя (далее буквенный индекс в обозначении скорости опустим). Пусть кулачок звено 1 вращается, а толкатель звено 2 движется как угодно сложно. Известен вектор абсолютной скорости v 2 контактной точки B толкателя (см. рис. 7.7). Проведем нормаль n и касательную t к поверхности кулачка в точке B . Покажем угол давления . Построим план скоростей в общей точке контакта B (см. рис. 7.7). Запишем уравнение плана скоростей: v 21 v 2 v1 , (7.8) где v 21 вектор относительной скорости, лежит в касательной плоскости, параллелен касательной t в точке B к профилю кулачка: v21 t ; v1 вектор абсолютной (окружной) скорости контактной точки кулачка. 110 Рис. 7.7 Выберем специальную систему координат S xOy с началом в точке О , такую, что ось y этой системы координат будет параллельна вектору v 2 : Oy v2 . Перенесем в точку О из плана скоростей вектор v 21 . Но тогда угол между вектором v 21 и осью Ox равен углу давления (углы равны, как углы с взаимно-перпендикулярными сторонами). Запишем: v 21 y tg (7.9) v 21x Найдем проекции вектора v 21 , спроецировав векторное равенство (7.8) на оси системы координат S xOy : v 21x v1x , v 21 y v 2 v1 y , (7.10) где v1x , v1 y проекции вектора окружной скорости контактной точки кулачка. Найдем их: i v1 rB 0 xB отсюда j 0 yB v1x y B , k yB i xB j , 0 v1 y x B . (7.11) Подставив (7.10) и (7.11) в (7.9), получим: v x B vq 2 x B , (7.12) tg 2 yB yB v где v q 2 2 v qВ аналог скорости контактной точки толкателя, v qB v qB ( ) (7.4), x B x B ( ) , y B y B ( ) координаты контактной точки кулачка. Из формулы (7.12) следует, что угол давления зависит лишь от обобщенной координаты 111 tg ( ) v qВ ( ) x B ( ) y B ( ) . (7.13) 7.2.1. Механизм с поступательно перемещающимся толкателем На (Рис. 7.8) в системе координат S xOy , в которой ось Oy vqB , в некотором произвольном положении показан механизм с вращающимся кулачком и остроконечным поступательно перемещающимся толкателем: e const эксцентриситет расстояние от оси вращения кулачка до траектории контактной точки B толкателя; v qB аналог линейной скорости толкателя; r0 радиус начальной окружности кулачка (минимальный радиус кулачка). В xB e , системе координат S xOy координаты контактной точки кулачка: y B ( ) S 0 S В ( ) , где S 0 r02 e 2 начальное положение толкателя, S В ( ) функция перемещения контактной точки толкателя. Рис. 7.8 Подставив x B e и y B ( ) S 0 S В ( ) в (7.13), получим формулу угла давления: v qB ( ) e . (7.14) tg ( ) S 0 S В ( ) Если учесть и левое расположение толкателя, то формула (7.14) примет вид v qB ( ) e tg ( ) . (7.15) S 0 S В ( ) В формуле (7.15) знак "-" соответствует правому от оси вращения кулачка расположению толкателя, знак "+" левому. Эксцентриситет e rmin и начальный радиус кулачка r0 основные параметры механизма с поступательно перемещающимся толкателем. Геометрическая интерпретация формулы угла давления. 112 На рис. 7.9 показан центр вращения кулачка О , произвольное положение точки В толкателя относительно точки О и ее аналог скорости v qB . Рис. 7.9 Выполним некоторые построения: повернем вектор v qB вокруг точки В на 90о по направлению угловой скорости кулачка. Из точки О к полученной прямой BF проведем перпендикуляр OD , длина его, очевидно, равна S 0 S В . v qB e . Полученное выражение совпадает с (7.14). Следовательно Запишем tgFOD S0 SВ FOD . Угол давления в КМ с поступательно перемещающимся толкателем есть угол между траекторией контактной точки толкателя и лучом, проведенным из центра вращения кулачка в конец повернутого на 90о по направлению угловой скорости 1 вектора v qB . Отрезок OF есть отрезок нормали к профилю кулачка в точке В (контактной нормали). Полученный результат лежит в основе как численного, так и графического методов расчета основных параметров механизма e и r0 . Определение основных параметров. Для решения этой задачи должны быть известны: функции перемещения S B S ( ) (7.5) и аналога скорости v qB v q 2 ( ) контактной точки толкателя (7.4). Заданы направление вращение кулачка и допустимый угол давления в фазе удаления у и, если проектирует- ся реверсивный кулачок, то и в фазе сближения с . Если при работе механизма реверсивное движение кулачка не предусмотрено (кулачок вращается только в одном направлении), то в фазе сближения не вводят ограничение угла давления или допустимый угол давления принимают равным или большим, чем в фазе удаления. Порядок решения. 1) На основании геометрической интерпретации формулы угла давления, учитывая направление вращения кулачка, построить диаграмму зависимости S B v qB ( ) в прямо- угольной системе координат с началом в точке B0 . При этом необходимо руководство113 ваться правилом знаков: аналог скорости v qB при удалении толкателя положительная величина, при сближении – отрицательная. 2) Провести касательные к полученной кривой S B v qB ( ) в фазе удаления под углом , в фазе сближения под углом . Точка пересечения касательных есть координата у с O1 оси вращения кулачка в системе координат [ S B , v qB ] . 3) Определив координату O1 , найти основные параметры: эксцентриситет e и начальный радиус кулачка r0 , соответствующие исходным данным на проектирование кулачкового механизма. Графоаналитическое решение. Решая задачу графоаналитическим методом (см. рис.7.10, а и рис. 7.10, б), необходимо учесть, что масштабные коэффициенты по осям диаграммы S B v qB ( ) должны быть оди- наковыми, т. е. vq S . а 114 б Рис. 7.10 3) Касательные, проведенные к диаграмме S B v qB ( ) , делят плоскость на две области: допустимую (ОДР), в любой точке которой может быть выбрано положение оси вращения кулачка O1 и при этом будет выполнено условие i , и недопустимую (на рис.7.10 а и рис. 7.10, б не заштрихована). 115 После того, как положение оси O1 выбрано, могут быть найдены начальное положение B E OB толкателя S 0 0 и основные параметры: r0 1 0 начальный радиус кулачка, S e O1 E S S эксцентриситет. На рис. 7.10, б показаны ОДР, позволяющие понять логику выбора положения оси вращения кулачка: ОДР – вращение кулачка реверсивное, допустимые углы давления при удалении и сближении одинаковы; ось вращения кулачка O1 , искомые параметры: e , r0 ; ОДР1 – вращение кулачка реверсивное, но значения допустимых углов давления в фазах удалении и сближении различны; ось вращения кулачка O11 , искомые параметры: e1 , r01 ; ОДР2 – кулачок вращается только против часовой стрелки, предельное значение угла давления при сближении не регламентировано; ось вращения кулачка O12 , искомые параметры: e2 , r02 ; ОДР3 – кулачок вращается только по часовой стрелке, предельное значение угла давления при сближении не регламентировано; ось вращения кулачка O13 , искомые параметры: e3 , r03 ; ОДР4 – вращение кулачка реверсивное, смещение направляющей относительно оси вращения кулачка не допускается; ось вращения кулачка O14 , искомые параметры: e 0 , r04 . Численное решение задачи определения основных параметров механизма с поступательно перемещающимся толкателем в системе Mathcad приведено в Приложении 7. П 4. Замечания. 1. Представленная Mathcad–программа носит учебно-демонстрационный характер. 2. В программе реализованы два способа расчета основных параметров и визуализации полученных результатов при сложном законе ускорения толкателя. Очевидно, что для решения конкретной задачи метрического синтеза достаточно использовать один. 3. Если функция ускорения имеет особые точки или точки разрыва (в них функция скорости имеет экстремумы), диаграмма S B v qB ( ) в этих положениях также имеет особые точки. Пусть это будут положения со значениями фазовых углов f i в фазе удаления и f j в фазе сближения. В них углы давления будут равны допускаемым у и с . В этом случае для определения неизвестных e , S 0 достаточно решить систему двух уравнений vq 2 ( f i ) e tg[ у ] S0 S ( fi ) , ( ) v f e 2 q j tg[ ] с S0 S ( f j ) затем найти r0 S 02 e 2 . Если фазовые углы 1 у и 1с равны, то e=0 и r0 S 0 vq 2 ( f i ) e S( fi ) . tg ( ) 4) Несложно найти параметры e , S 0 в любом графическом пакете, если построена диаграмма S B v qB ( ) . Достаточно провести к диаграмме касательные под углами у и с , найти точку их пересечения (ось вращения кулачка) и с учетом требований к проектированию графически определить e , S 0 . 116 7.2.2. Механизм с качающимся толкателем На рис. 7.11 в некотором произвольном положении показан механизм с вращающимся кулачком и качающимся толкателем-коромыслом: l 2 длина толкателя; а w расстояние между осями вращения кулачка и толкателя; 20 2 ( ) угол, определяющий положение толкателя относительно межцентровой линии ОА , 20 const начальный угол; v qB аналог линейной скорости контактной точки B толкателя ( v q 2 АВ ); B0 начальная точка контакта; r0 радиус начальной окружности кулачка (минимальный радиус кулачка). Рис. 7.11 Выберем специальную систему координат S xOy , в которой ось Oy vqB , ось Ox l2 . На базе треугольника OAB построим замкнутый векторный контур и запишем условие его замкнутости: rB l 2 L . (7.16) Спроецировав векторное равенство (7.15) на оси системы координат S xOy , получим: x B l 2 a w cos 20 2 l 2 a w cos 20 2 , . (7.17) y B a w sin 20 2 a w sin 20 2 . Подставим (7.17) в (7.13) и получим формулу угла давления в кулачковом механизме с качающимся толкателем: v qB ( ) l 2 a w cos( 20 2 ( )) tg ( ) . (7.18) a w sin( 20 2 ( )) Выразим угол 20 из треугольника BAB0 по теореме косинусов: cos 20 l 22 a w2 r02 . 2l 0 a w (7.19) 117 20 начальный угол, образованный толкателем l 2 с межцентровой линией ОА в начальном положении. Аналог линейной скорости контактной точки толкателя может быть найден по формуле v qB ( ) q 2 ( )l 2 , где q 2 ( ) аналог угловой скорости толкателя. В формулы (7.18) и (7.19) входят основные параметры КМ с качающимся толкателем: r0 rmin начальный радиус кулачка, l 2 длина толкателя, a w расстояние между осями вращения кулачка и толкателя. При решении задачи метрического синтеза один из параметров задается в исходных данных, это или длина толкателя l 2 , или межосевое расстояние a w . Геометрическая интерпретация формулы угла давления. На рис. 7.12 показаны: центр вращения кулачка О ; произвольное положение толкателя AB длиной l 2 , которое задано углом 20 2 относительно линии центров OA ; аналог скорости v qB контактной точки В толкателя, v qB AB . Рис. 7.12 Выполним некоторые построения. Повернем вектор v qB вокруг точки В на 90о по направлению угловой скорости 1 кулачка: против хода часовой стрелки ( q1 1 ) – получим на прямой AB точку D , по ходу часовой стрелки ( q1 1 ) – точку D . Из точки О к прямой AB проведем перпендикуляр OE . Отметим угол . Из ODE выразим tg : DE AE AD AE (l 2 v qB ) . (7.20) tg OE OE OE Из AOE найдем AE и OE : AE a w cos( 20 2 ) , OE a w sin( 20 2 ) , подставив которые в формулу (7.20), получим выражение, совпадающее с (7.18) v qB ( ) l 2 a w cos( 20 2 ( )) tg ( ) . (7.21) a w sin( 20 2 ( )) Значит, отмеченный на Рис. 7.12 угол есть угол давления. С учетом направления вращения кулачка формулу (7.21) перепишем в виде: 118 tg ( ) q1 v qB ( ) l 2 a w cos( 20 2 ( )) , a w sin( 20 2 ( )) (7.22) где q1 аналог угловой скорости кулачка. Угол давления в КМ с качающимся толкателем есть угол между перпендикуляром к толкателю AB и лучом, проведенным из центра вращения кулачка в конец отрезка ( AB q1v qB ) : это луч ОD и угол давления , если q1 1 ; луч ОD и угол давления если q1 1 . Отрезки ОD и ОD отрезки контактной нормали в положении механизма, заданном обобщенной координатой . Полученный результат лежит в основе как численного, так и графического методов расчета основных параметров механизма, как правило, a w и r0 (длина толкателя l 2 известна). Определение основных параметров. Для решения этой задачи должны быть известны (7.21), (7.22): функция углового перемещения толкателя 2 ( ) и аналог скорости v qB v qB ( ) контактной точки толкателя; зада- но направление вращение кулачка и допустимый угол давления в фазе удаления у и, если проектируется реверсивный кулачок, то и в фазе сближения с . Часто циклограммой задается аналог углового ускорения толкателя q 2 ( ) и угол качания коромысла (угловой ход) t 2 max . Интегрируя q 2 ( ) дважды, определяют функцию аналога угловой скорости q 2 ( ) и угловое перемещение толкателя 2 ( ) , рассчитывают функцию перемещения S B ( ) 2 ( ) l 2 и аналог линейной скорости v qB ( ) q 2 ( ) l 2 контактной точки толкателя. Если при работе механизма реверсивное движение кулачка не предусмотрено (кулачок вращается только в одном направлении), то в фазе сближения не вводят ограничение угла давления или допустимый угол давления принимают равным или большим, чем в фазе удаления. Порядок решения. 1) На основании геометрической интерпретации формулы угла давления, учитывая направление вращения кулачка, построить диаграмму зависимости S B v qB ( ) в правой декартовой системе координат SxAy с началом в точке А . При этом необходимо руководствоваться правилом знаков: аналог скорости v qB при удалении толкателя положительная величина, при сближении – отрицательная. Фаза удаления (см. рис. 7.13) на диаграмме S B v qB ( ) справа, что соответствует вращению кулачка по ходу часовой стрелки q1 1 . 119 Рис. 7.13 2) Построить допустимые углы давления у и с соответственно в точках k1 и n1 с максимальным v qB max v qB ( f 2 ) и минимальным v qB min v qB ( f 4 ) значениями аналога скорости. Стороны углов продлить до пересечения в точке О1 и ОДР1 (как это показано на рис. 7.13). Провести через эту точку «линию уровня» Y1 . 3) В каждой точке диаграммы построить допустимые углы давления. Найти точку пересечения стороны угла и линии Y1 . 4) Для дальнейшего анализа оставить те прямые, которые для фазы удаления пересекают линию Y1 правее, а для фазы сближения – левее точки О1 . 5) Найти точку О2 пересечения прямых угла давления, максимально отдалённых от точки О1 на линии Y1 (допустим, они будут проходить через точки k 2 и n2 диаграммы) и ОДР2. 6) Провести через точку О1 новую «линию уровня» Y2 и повторить для неё изложенную процедуру, начиная с шага 4. Решение считается найденным, если результат предыдущего шага совпадет с результатом последнего. 7) В правильности полученного решения необходимо убедиться, построив диаграмму углов давления ( ) . Расчетный алгоритм ) . ) Формализацию алгоритма в курсовом проекте выполнил Сафронов Илья, и термин «линия уровня» принадлежит ему же. В общем уравнении прямой y kx b коэффициент k есть тангенс угла наклона прямой к оси OX . Нас будут интересовать прямые (назовем их «прямые допустимого угла давления»), проведенные к диаграмме S B [v qB ( )] под углом 2 ( ) / 2 [ у ] справа (фаза удаления), под углом 2 ( ) / 2 [с ] слева (фаза сближения) (см. рис. 7.13), 2 2 ( ) – функция углового перемещения толкателя, 2 ( ) S B ( ) / l 2 . 120 Уравнение этих прямых: YFi ki X Fi bi , (7.23) где, с учетом направления вращения кулачка: в фазе удаления kri tg ( 2 / 2 q1[ ]) ; в фазе сближения kli tg ( 2 / 2 q1[ ]) ; X Fi , YFi координаты i -ой точки диаграммы S B [v qB ( )] в системе координат SxAy , q1 аналог угловой скорости кулачка. Из (7.23) выразим bi YFi ki X Fi . (7.24) Запишем формулы расчета координат X , Y точки, где какая-либо «правая» прямая пересечётся с «левой» прямой. Используя формулу (7.23), запишем уравнение kr X br kl X bl и найдем b b X l r . (7.25) kv k r Подставив в формулу Y kl X bl выражение (7.25), получим kb k b Y l r r l. (7.26) kl k r Отметим точки k1 с максимальным vqB max vqB ( f 2 ) и n1 с минимальным v qB min v qB ( f 4 ) значениями аналога скорости. Вычислим по формуле (7.24) в этих точках значения bl , br и проведем в них «прямые допустимого угла давления». Используя формулы (7.25) и (7.26), найдем координаты X 1 ,Y1 точки O1 пересечения этих прямых; построим «линию уровня» Y1 . Для всех точек диаграммы S B [v qB ( )] проведем прямые (7.23) с учетом (7.24). Найдём для каждой прямой координату X i ее пересечения с прямой y Y1 и вычтем из полученного выражения координату X 1 точки O1 : Y b X i 1 i X1 . (7.27) ki Теперь, если построить график f ( x) X Vi ( ) , то интересующие нас прямые (которые дополнительно ограничивают ОДР центра вращения кулачка) для фазы удаления будут лежать выше оси АX , а для фазы сближения – ниже этой оси. Найдем координаты r и l максимально удаленных прямых, анализируя функцию (7.27) на экстремумы. Подставим r и l в (7.25) и (7.26), найдем координаты X 2 ,Y2 центра вращения кулачка O2 и ОДР2, построим «линию уровня» Y2 (как это показано на рис. 7.13). Для контроля полученного решения построить диаграмму углов давления ( ) (7.22): q1 v qB ( ) l 2 a w cos( 20 2 ( )) . (7.28) ( ) arctg a w sin( 20 2 ( )) Повторение процедуры повышает точность определения ОДР. Как показывает опыт решения задач, достаточно одной итерации (построить прямую Y2 ) и точность по условию ограничения угла давления будет практически 100%. Зная X 2 и Y2 , найти: межосевое расстояние a w X 22 Y22 ; начальный угол положе- ния толкателя относительно межцентровой линии 20 arctg Y2 / X 2 . Реализация описанного алгоритма определения основных параметров механизма с качающимся толкателем в системе Mathcad приведена в Приложении 7. П 5.1 (кулачок враща121 ется против хода часовой стрелки), в Приложении 7. П 5.2 (при вращении кулачка по ходу часовой стрелки). Графоаналитическое решение задачи метрического синтеза механизма с качающимся толкателем показано на Рис. 7.14. Определяемые параметры: a w и r0 (длина толкателя l 2 известна). Рис. 7.14 7.3. Синтез профиля кулачка Профилирование кулачка задача кинематического синтеза кулачкового механизма. Исходные данные при решении этой задачи: схема механизма, закон движения контактной точки толкателя (задан циклограммой (см. п. 7.1)), основные параметры (найдены при решении задачи метрического синтеза (см. п. 7.2)). Требуется найти функцию, описывающую профиль кулачка. Закон движения контактной точки толкателя задан в неподвижной системе координат, относительно стойки. Уравнение профиля кулачка будем искать в подвижной системе координат, положение которой относительно неподвижной зададим параметром . При каждом значении параметра контактные точки кулачка и толкателя образуют общую точку контакта. Теперь, формально, задачу кинематического синтеза сформулируем так: переписать функцию положения контактной точки толкателя из неподвижной системы координат в подвижную. Запишем уравнения преобразования координат: x k x( ) cos y ( ) sin x k ( ); , (7.29) y k x( ) sin y ( ) cos y k ( ), где x k ( ) , y k ( ) , x( ) , y ( ) координаты одной и той же точки в разных системах координат: x k ( ) , y k ( ) координаты профиля кулачка в подвижной системе координат; 122 x( ) , y ( ) координаты контактной точки толкателя в неподвижной системе координат. Уравнения (7.29) – уравнение профиля кулачка в параметрической форме. Именно они вводятся в станок с программным управлением. С ними связывается фреза, обрабатывающая кулачок. Очевидно, в эти уравнения входят основные параметры механизма: r0 и e для механизма с поступательно перемещающимся толкателем, r0 , a w и l 2 с качающимся толкателем. Это означает, что одному и тому же закону движения толкателя отвечают различные по форме профиля кулачки. Т. е. форма профиля кулачка определяется не только требуемым движением, но и ранее выбранными (на этапе метрического синтеза) его основными параметрами. В Приложении 7. П. 4.5 приведен пример профилирования кулачка в механизме с внеосным поступательно движущимся толкателем. Уравнения (7.29) для координат центрового профиля будут иметь вид: xC ( ) x B cos q1 y B sin ; , (7.30) y C ( ) q1 x B sin y B cos , где: x B e , y B ( ) S 0 S В ( ) , S 0 r02 e 2 координаты контактной точки толкателя в неподвижной системе координат, q1 аналог угловой скорости кулачка. Формулы для расчета координат рабочего профиля кулачка приведены в Приложении 7. П. 4.5.2 без вывода. Графоаналитическая интерпретация формулы (7.29) сводится к следующему: и кулачку и толкателю условно сообщают угловую скорость 1 . При этом кулачок станет неподвижным, а толкатель будет совершать обращенное движение относительно кулачка с угловой скоростью 1 , (равной, но противоположно направленной, угловой скорости кулачка). Профилирование кулачка с внеосным поступательно движущимся толкателем показано на Рис. 7.15. Из центра O1 проводят окружности радиусами r0 и e в выбранном произвольно масштабе l . К окружности радиусом e проводят касательную (траекторию контактной точки толкателя) с учетом полученного при расчете в правой декартовой системе координат знака эксцентриситета (начало системы координат совпадает с осью вращения кулачка). Точку пересечения касательной с окружностью радиусом r0 (точку B0 ) соединяют с центром O1 . От полученного луча O1 B0 в направлении 1 откладывают угол рабочего профиля кулачка 1 р . Дугу, соответствующую углу 1 р , делят на части в соответствии с делением оси 1 на графике S B (1 ) (см. рис.7.5). Через точки деления 1, 2, 3... по касательной к окружности радиусом e проводят лучи, определяющие положения толкателя в обращенном движении. От точек 1, 2, 3... , лежащих на окружности радиусом r0 , вдоль проведенных лучей откладывают в масштабе l перемещения толкателя в каждой i -ой позиции. Соединяя полученные точки плавной кривой, получают центровой профиль кулачка. 123 Рис. 7.15 Профилирование кулачка с качающимся толкателем выполнено на Рис. 7.16. Из центра O1 в выбранном произвольно масштабе l проводят окружности радиусами r0 и a w . Точку O1 соединяют с произвольно выбранной точкой O20 на окружности радиусом a w . От луча О1O20 в направлении 1 откладывают угол рабочего профиля кулачка 1 р . Дугу, соответствующую углу 1 р , делят на части в соответствии с делением оси 1 на графике S B (1 ) (см. рис.7.5. Из точек O20 , O21 , O22 ,... проводят дуги радиусом l 2 от точек 0, 1, 2,... на окружности радиусом r0 . От точек 0, 1, 2,... по дугам в масштабе l откладывают перемещения S B i точки В толкателя. Соединяя полученные точки плавной кривой, получают центровой профиль кулачка. 124 Рис. 7.16 Часто в кулачковых механизмах с целью уменьшения трения при взаимодействии толкателя и кулачка устанавливают ролик. Радиус ролика R рол (0,25...0,4) r0 или ц ц R рол 0,8 min , где min минимальный радиус кривизны центрового профиля. Для получения конструктивного (рабочего) профиля кулачка строят эквидистантный профиль, отстоящий от центрового на расстояние, равное радиусу ролика. Рабочий профиль кулачка получается как огибающая к дугам, проведенным из множества точек центрового профиля радиусом ролика (см. рис. 7.15 и 7.16). Выводы. В главе 7 Пособия рассмотрено проектирование плоского кулачкового механизма, который является составной частью проектируемой машины. Подчеркивается, что проектирование выполняется в два последовательных этапа. На первом этапе проектирования решается задача метрического синтеза: определение основных размеров механизма, обеспечивающих заданный закон движения толкателя при ограничениях на угол давления и габариты. На втором выполняется профилирование кулачка по заданному закону движения толкателя и найденным в результате метрического синтеза его основным размерам. Рассмотрены методы решения задач для механизмов с поступательно перемещающимся и с коромысловым толкателем, остроконечным и с роликом. Описаны численные методы расчета основных параметров механизма в системе Mathcad. Приведенные в Приложении Mathcad-программы носят, скорее, учебно- 125 демонстрационный характер, позволяющий уяснить суть предлагаемых методов и выбрать тот, который необходим при решении конкретной задачи курсового проекта. Приведены графоаналитические методы решения задачи кинематического синтеза. Рекомендуется профилирование выполнять в системе AutoCad. Примеры выполнения листа 4 КП см. П..... СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Артоболевский И.И. Теория механизмов и машин. М.: Наука. 2001 – 640 с. 2. Зиновьев В.А. Курс теории механизмов и машин: учебное пособие для втузов / В. А. Зиновьев. - 3-е изд., стер. - М. : Наука, 1975. - 384 с. 3. Исследование рычажных механизмов с применением ЭВМ. Метод. указания к курс. проект. по теории механизмов и машин / Л.А.Черная, Б.А. Черный.- Хаб.ПИ, 1979-60 с. 4. Коловский М.З. Динамика машин. Л.: Машиностроение. Ленингр. отдние, 1989. - 263 с. 5. Колчин Н.И. Механика машин: В 2 т. Изд. 3-е, пераб. Л.: Машиностроение, 1971. Т.1.- 560 с. 6. Механика машин: Учеб. пособие для втузов/ И.И. Вольфсон, М.Л. Ерихов, М.З. Коловский и др.; Под ред. Г.А. Смирнова. – М. : Высш. шк., 1996. – 511с. 7. Силовой расчет механизмов: Учеб. пособие / Тимофеев Г.А., Тарабарин В.Б., Черная Л.А. и др.; Под ред. В.Б. Тарабарина. – М.: Издво МГТУ им. Н.Э.Баумана. 2000 – 88 с. 8. Тимофеев Г. А. Теория механизмов и машин. Курс лекций. М.: Изд-во Высшее образование. 2009 – 352 с. 9. Теория механизмов и механика машин: учеб. для вузов / Под ред. К.В. Фролова. – 5-е изд., стер. – М.: Высш. школа, 2005. – 496с. 10. Теория механизмов и механика машин. Учеб. пособие для студентов вузов / М. З. Коловский, А. Н. Евграфов, Ю. А. Семенов, А. В. Слоущ Изд-во: Академия. 2008.- 560 с. 11. Черная Л.А. Кинематическое и кинетостатическое исследование плоских рычажных механизмов в системах Mathcad и AutoCAD. Методические указания по теории механизмов и механике машин: – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана. 2017 – 88 с. 12. Mathcad 14 для студентов и инженеров. Русская версия Валерий Очков. Изд-во БХВ-Петербург, 2009. 126 Приложение 1. Метрический синтез плоских рычажных ме‐ ханизмов П.1.1. Проектирование кривошипно‐ползунного механизма по двум заданным положениям кривошипа и ходу ползуна Исходные данные: 2 3.5 e 0.4 1н 60deg Начальные приближения: l1 0.2 1к 150deg h C 0.3 2н 0 2к 0 XCн 0.7 Given l1 sin 1н l1 2 sin 2н l1 cos 1к l1 2 cos 2к l1 sin 1к l1 2 sin 2к l1 cos 1н l1 2 cos 2н XCн l1 e XCн h C l1 e l1 2н 0.225 deg 7.652 2к 1.637 deg 0.891 X Cн l1 2н Find l1 2н 2кXCн 2к X Cн Длина шатуна: l2 l1 2 0.786 Внеосность: e l1 e 0.09 Xн 0 l1 cos 1н Xк 0 l1 cos 1к Yн XCн T XCн h C e T e T Yн 0 l1 sin 1н T Yк 0 l1 sin 1к 0.2 Yк 0.1 0 0.5 0 0.5 1 Xн X к 127 П.1.2. Определение длин звеньев четырехшарнирного механизма по двум крайним положениям Исходные данные: н 70deg Начальные приближения: к 130deg l1 0.2 XD 0.8 l2 0.5 YD 0.1 1н 30deg l3 0.5 30deg Given l1 l2 cos 1н XD l3 cos н l1 l2 sin 1н YD l3 sin н l2 l1 cos 1н XD l3 cos к l2 l1 sin 1н YD l3 sin к l2 Find l1l2 1н 1н 0 l cos 1 1н Xн l l cos 1 2 1н XD 0 l sin 1 1н Yн l l sin 1 2 1н YD 0 l cos 1 1н Xк l l cos 2 1 1н XD 0 l sin 1 1н Yк l l sin 2 1 1н YD l1 Yн l2 0.242 1н 0.798 20.851 deg 9.747 deg l1 0.2 Yк 0 0.2 0.5 0 0.5 1 Xн X к 128 П.1.3. Определение длин звеньев по двум крайним положениям ме‐ ханизма и коэффициенту изменения средней угловой скорости ко‐ ромысла Исходные данные: н 50deg Угол перекрытия: Начальные приближения: к 110deg K 1 0.286 K 1 l1 0.2 deg YD 0.1 l3 0.5 K 1.2 16.364 l2 0.5 1н 30deg XD 0.5 Given l1 l2 cos 1н XD l3 cos н l1 l2 sin 1н YD l3 sin н l2 l1 cos 1н XD l3 cos к l2 l1 sin 1н YD l3 sin к 0.187 l2 0.682 1н 19.012 deg 0.512 XD l1 l2 Find l1l2 1н 1н X D 0 l1 cos 1н Xн l l cos 1 2 1н XD 0 l1 sin 1н Yн l l sin 1 2 1н YD 0 l1 cos 1н Xк l l cos 2 1 1н XD 0 l1 sin 1н Yк l l sin 2 1 1н YD l1 0.2 Yн 0.1 Yк 0 0.1 0.2 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Xн X к 129 П.1.4. Определение длин звеньев по трем положениям механизма Исходные данные: 1 70deg XD 0.5 2 80deg YD 0.1 l3 0.5 3 120deg 12 30deg 13 120deg Начальные приближения: l1 0.2 l2 0.5 1н 30deg 21 10deg 22 20deg 23 30deg Given l1 sin 1н l2 sin 21 l1 cos 1н l2 cos 21 YD l3 sin 1 XD l3 cos 1 l1 sin 1н 12 l2 sin 22 YD l3 sin 2 l1 sin 1н 13 l2 sin 23 YD l3 sin 3 l1 cos 1н 12 l2 cos 22 l1 cos 1н 13 l2 cos 23 XD l3 cos 2 XD l3 cos 3 l1 l2 1н Find l l 1 2 1н 21 22 23 21 22 23 0.236 l2 0.539 1н 41.286 deg l1 0 l1 cos 1н X1 X l cos D 3 1 XD 0 l1 sin 1н Y1 Y l sin D 3 1 YD 0 l1 cos 1н 12 X2 X l cos D 3 2 XD 0 l1 sin 1н 12 Y2 Y l sin D 3 2 YD 0 l1 cos 1н 13 X3 X l cos D 3 3 XD 0 l1 sin 1н 13 Y3 Y l sin D 3 3 YD 130 Y1 0.2 Y2 Y3 0 0.2 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 X 1 X2 X 3 П.1.5. Проектирование механизма с качающимся цилиндром Вариант 1 (5 уравнений, 6 неизвестных; ордината точки D зафиксирована; регламентируется угол давления в конечном положении) Исходные данные: н 10deg h min 0.05 к 50 deg h max 0.3 YD 0.05 60 deg lшт 1.3h max 0.39 Начальные приближения: XD 2h max l1 h max 1 90deg 3н 120deg 3к 150 deg Given XD hmax lшт cos 3к l1 sin 1 YD h max lшт sin 3к l1 cos 1 XD h min lшт cos 3н l1 sin 1 YD h min lшт sin 3н l1 cos 1 к 1 2 3к XD 0.507 l1 0.277 1 Find XD l1 1 3н 3к 1.138 2.666 3н 2.883 3к 131 Угол давления в начальном положении: A 1 н 1 3н 0.043 2 н deg 2.435 T н к 1 3н 3к XD l1 YD deg deg deg deg deg XD XD h min cos 3н Xн XD lшт hmin cos 3н 0 YD YD h min sin 3н Yн YD lшт hmin sin 3н 0 XD XD hmax cos 3к Xк XD lшт h max cos 3к 0 YD YD hmax sin 3к Yк YD lшт h max sin 3к 0 0.3 0.2 Yн Yк 0.1 0 0.2 0 0.2 0.4 0.6 Xн X к Вариант 2 (5 уравнений, 6 неизвестных; регламентируется угол давления в конечном положении) Исходные данные: н 10deg h min 0.05 к 50 deg h max 0.3 60 deg lшт 1.3h max 0.39 Начальные приближения: XD 2h max l1 h max 1 90deg 3н 120deg 3к 150 deg YD 0 132 Given XD hmax lшт cos 3к l1 sin 1 YD h max lшт sin 3к l1 cos 1 XD h min lшт cos 3н l1 sin 1 YD h min lшт sin 3н l1 cos 1 к 1 2 3к XD 0.495 l1 0.277 1 Find X l Y 0.801 D 1 1 3н 3к D 2.329 3н 2.546 3к 0.121 Y D Угол давления в начальном положении: A 2 н 1 3н 0.043 2 н deg 2.435 T н к 1 3н 3к XD l1 YD deg deg deg deg deg XD XD h min cos 3н Xн XD lшт hmin cos 3н 0 YD YD h min sin 3н Yн YD lшт hmin sin 3н 0 XD XD hmax cos 3к Xк XD lшт h max cos 3к 0 YD YD hmax sin 3к Yк YD lшт h max sin 3к 0 0.3 0.2 Yн Yк 0.1 0 0.1 0.2 0.2 0 0.2 0.4 0.6 Xн X к 133 Вариант 3 (5 уравнений, 6 неизвестных; регламентируется угол давления в начальном положении) Исходные данные: н 10deg h min 0.05 к 50 deg h max 0.3 60 deg lшт 1.3h max 0.39 Начальные приближения: XD 2h max l1 h max 1 90deg 3н 120deg 3к 150 deg YD 0 Given XD hmax lшт cos 3к l1 sin 1 YD h max lшт sin 3к l1 cos 1 XD h min lшт cos 3н l1 sin 1 YD h min lшт sin 3н l1 cos 1 н 1 2 3н XD 0.444 l1 0.292 1 Find X l Y 0.699 D 1 1 3н 3к D 2.095 3н 2.371 3к 0.193 Y D Угол давления в конечном положении: 3к 0.946 к 1 2 A 3 к deg 54.198 T н к 1 3н 3к XD l1 YD deg deg deg deg deg XD XD h min cos 3н Xн XD lшт hmin cos 3н 0 YD YD h min sin 3н Yн YD lшт hmin sin 3н 0 XD XD hmax cos 3к Xк XD lшт h max cos 3к 0 YD YD hmax sin 3к Yк YD lшт h max sin 3к 0 134 0.3 0.2 Yн Yк 0.1 0 0.1 0.2 0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Xн X к Приложение 2. Проектирование механизма четырехтактно‐ го двигателя внутреннего сгорания Основным механизмом двигателя является кривошипно-ползунный механизм. С кривошипами OA и OD коленчатого вала, расположенными под углом 180о, соединены шатуны 2 и 4. При таком устройстве поршни 3 и 5 всегда двигаются в противоположных направлениях. Рабочий цикл в каждом цилиндре двигателя совершается за два оборота коленчатого вала. Индикаторная диаграмма задана в П.2 п.3. Рис. П.2.1 Чередование процессов, протекающих в левом и правом цилиндрах 6 и 6 , происходит следующим образом: Первый оборот Второй оборот коленчатого вала коленчатого вала Левый цилиндр Всасывание Сжатие Расширение Выпуск Правый цилиндр Расширение Выпуск Всасывание Сжатие В состав машинного агрегата кроме двигателя входит исполнительный механизм с постоянным моментом сопротивления и редуктор. Анализируется установившееся движение машинного агрегата. Этапы расчета. 1. Метрический синтез механизма. Заданные условия синтеза: средняя скорость поршня, число оборотов коленчатого вала двигателя, отношение длины шатуна к длине кривошипа (см. 1.1.2 – синтез механизма по средней скорости движения ползуна). 2. Кинематический анализ. Направление вращения кривошипа задается аналогом его угловой скорости q1 1 ; обобщенная координата 0,4 ; начальное значение обоб135 щенной координаты 0 . Функции положения рассчитываются методом замкнутых векторных контуров, кинематические аналоги определяются численным дифференцированием функций положения. 3. С использованием индикаторной диаграммы строится функциональная зависимость движущей силы в каждом цилиндре. 4. Определяются параметры динамической модели: приведенный момент сил и приведенный момент инерции II-ой группы звеньев. 5. Решается задача динамики: определяются обобщенная скорость ( ) , обобщенное ускорение ( ) , находится приведенный момент сопротивления M Спр const , приведенный момент инерции дополнительной маховой массы I Iпр const и рассчитывается начальное значение угловой скорости н ( 0 ) . 6. Выполняется кинетостатический расчет основного механизма. При заданном значении f обобщенной координаты рассчитываются реакции в кинематических парах и уравновешивающий момент. Этот результат сравнивается с результатом силового расчета, выполненного графоаналитическим методом (см. П.6) в заданном положении. 6 Исходные данные Средняя скорость поршня: Диаметр цилиндра: TOL 10 VBcp 5 6 CTOL 10 м с d 0.078 м Число оборотов вала двигателя: n 1 1300 Ускорение свободного падения: g 9.81 об мин м с 2 Масса шатуна: m2 0.34 кг m4 0.34 кг Масса поршня: m3 0.36 кг m5 0.36 кг Момент инерции шатуна: I2S 0.002 кг м Максимальное давление в цилиндре: 2 I4S I2S 5 p max 11 10 Па Коэффициент неравномерности вращения коленвала: 1 18 0.056 Приведённый момент инерции вращающихся деталей привода: Iпр0 0.1 кг м 2 136 П.2.1. Метрический синтез механизма Время одного оборота коленвала: Ход поршня: H VBcp T 2 T 60 n1 0.046 0.115 Длина кривошипа: H 0.058 lOA 2 lOD lOA Длина шатуна: lAB 3.8 lOA 0.219 lDF lAB Положение ЦТ шатуна: YB 0 lAS2 0.3 lAB 0.066 lDS4 lAS2 YF 0 П.2.2. Кинематический анализ механизма Обобщенная координата: 0 1deg 720deg Направление вращения кривошипа: q1 1 Начало отсчёта обобщённой координаты: 0 Расчётное положение механизма: f 60deg Функции положения 1) Первичный механизм: 1( f ) 1( ) 0 q1 XA ( ) lOA cos 1( ) deg 120 YA ( ) lOA sin 1( ) XD ( ) lOD cos 1( ) YD( ) lOD sin 1( ) 2) Группа IIВВП (2,3): sn2 ( ) YA ( ) YB cs2 ( ) 1 sn2 ( ) lAB 2( f ) 2( ) atan2 ( cs2 ( ) sn2 ( ) ) XB( ) XA ( ) lAB cos 2( ) deg 2 13.174 137 Рис. П.2.2 3) Группа IIВВП (4,5): sn4 ( ) YF YD( ) cs4 ( ) 1 sn4 ( ) lDF 4( f ) 4( ) atan2 ( cs4 ( ) sn4 ( ) ) XF ( ) XD ( ) lDF cos 4( ) deg 2 13.174 Рис. П.2.3 4) Вспомогательные контуры: XS4( ) XD ( ) lDS4 cos 4( ) XS2( ) XA ( ) lAS2 cos 2( ) YS4( ) YD( ) lDS4 sin 4( ) YS2( ) YA ( ) lAS2 sin 2( ) 138 План механизма и траектории точек (в силу симметрии, выполнено для половины механизма) X 0 XA ( f ) XS2( f ) XB( f ) T Y 0 YA ( f ) YS2( f ) YB T 0.1 Y 0.05 YA ( ) 0 YS2( ) YB 0.05 0.1 0.3 0.2 0.1 0 X XA ( ) XS2( ) X B( ) Аналоги скоростей Линейные: VqS2X( ) d XS2( ) d VqS4X( ) d XS4( ) d VqBX( ) d XB( ) d VqS2Y( ) d YS2( ) d VqS4Y( ) d YS4( ) d VqFX( ) d XF ( ) d 0.1 VqS2X( ) VqS2Y( ) 0.05 VqS4X( ) VqS4Y( ) 0 VqBX( ) VqFX ( ) 0.05 0.1 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 deg 139 Угловые: q2( ) d 2( ) d q4( ) d 4( ) d 0.4 0.2 q2( ) q4( ) 0 0.2 0.4 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 deg Аналоги ускорений Угловые: q2( ) d 2 d 2 2( ) q4( ) d 2 d ( ) 2 4 Линейные: aqS2X( ) aqS2Y( ) d 2 d d X ( ) 2 S2 2 d Y ( ) 2 S2 aqS4X( ) aqS4Y( ) d 2 d d X ( ) 2 S4 2 d Y ( ) 2 S4 aqBX( ) aqFX( ) d 2 X ( ) 2 B d d 2 d X ( ) 2 F П.2.3. Определение сил, действующих в механизме Силы тяжести: G2Y m2 g 3.335 G4Y m4 g 3.335 G3Y m3 g 3.532 G5Y m5 g 3.532 140 Определение сил давления Перемещения поршней: s 3( ) XB( ) XB( 0) s 5( ) XF ( 0) XF ( ) 0.15 s3( ) 0.1 s5( ) 0.05 0 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 deg Зависимость давления в цилиндре от перемещения поршня: Фаза расширения: 0 0.025 0.05 0.1 0.2 0.3 A Hрасш 0.4 H 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0 0 1 2.885·10-3 2 5.769·10-3 3 0.012 4 0.023 5 0.035 6 0.046 7 0.058 8 0.069 9 0.081 10 0.092 11 0.104 12 0.115 0.29 1 0.9 0.71 0.5 0.36 A Pрасш 0.29 p max 0.24 0.19 0.165 0.135 0.115 0.05 0 0 3.19·105 1 1.1·106 2 9.9·105 3 7.81·105 4 5.5·105 5 3.96·105 6 3.19·105 7 2.64·105 8 2.09·105 9 1.815·105 10 1.485·105 11 1.265·105 12 5.5·104 Фаза выпуска: 0 0 A Hвып 0.9 H 0.104 1 0.115 8.8 104 0.08 A Pвып 0.08 p max 8.8 104 0.05 5.5 104 141 Фаза всасывания: 8.8 104 0.08 0 0 p A Pвс max 3 0.008 8.8 10 0.008 3 8.8 10 0 0 2.885 10 3 0.025 H A Hвс 0.05 5.769 10 3 1 0.115 Фаза сжатия: 0 0.025 0.05 0.1 0.2 0.3 A Hсж 0.4 H 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0 0 1 2.885·10-3 2 5.769·10-3 3 0.012 4 0.023 5 0.035 6 0.046 7 0.058 8 0.069 9 0.081 10 0.092 11 0.104 12 0.115 0.29 0.23 0.2 0.157 0.097 0.064 A Pсж 0.043 p max 0.029 0.014 0.007 0 0.004 0.008 0 0 3.19·105 1 2.53·105 2 2.2·105 3 1.727·105 4 1.067·105 5 7.04·104 6 4.73·104 7 3.19·104 8 1.54·104 9 7.7·103 10 0 11 -4.4·103 12 -8.8·103 Интерполяция: Vрасш cspline A Hрасш A Pрасш Vсж cspline A Hсж A Pсж p расш ( h ) interp Vрасш A Hрасш A Pрасш h p вып( h ) linterp A Hвып A Pвып h p вс( h ) linterp A Hвс A Pвс h h 0 H 200 p сж( h ) interp Vсж A Hсж A Pсж h H 6 1.510 p расш( h) p вып( h) p вс( h) p сж( h) 6 110 5 510 0 0 0.05 0.1 h 142 Силы давления в зависимости от обобщенной координаты: 0 1deg 720deg F3X( ) F5X( ) d 2 if p сж s 3( ) if 2 p расш s 3( ) if 2 3 p вып s 3( ) if 3 4 p вс s 3( ) 4 d 2 4 p расш s 5( ) p вып s 5( ) p сж s 5( ) p вс s 5( ) if if 2 if 2 3 if 3 4 3 510 F3X( ) F5X( ) 0 3 510 0 60 120 180 240 300 360 420 480 540 600 660 720 deg 143 П.2.4. Определение параметров динамической модели Приведённые моменты сил M прG2( ) G2Y VqS2Y( ) M прF3( ) F3X( ) VqBX( ) M прG4( ) G4Y VqS4Y( ) M прF5( ) F5X( ) VqFX( ) 0.2 M прG2 ( ) 0.1 0 M прG4 ( ) 0.1 0.2 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 deg Приведенный движущий момент: M прД ( ) M прG2( ) M прG4( ) M прF3( ) M прF5( ) Приведённый момент сопротивления: 4 M прД ( ) d 0 M прС 17.511 4 150 M прД( ) 100 M прF3 ( ) M прF5 ( ) 50 M прС 0 50 0 60 120 180 240 300 360 420 480 540 600 660 720 deg 144 Приведённые моменты инерции Iпр2( ) I2S q2( ) m2 VqS2X( ) VqS2Y( ) 2 Iпр4( ) I4S q4( ) m4 VqS4X( ) VqS4Y( ) 2 2 2 2 2 Iпр3( ) m3 VqBX( ) Iпр5( ) m5 VqFX( ) 2 2 IпрII( ) Iпр2( ) Iпр3( ) Iпр4( ) Iпр5( ) Интерполяция (для ускорения вычислений): N 1440 A M M прД A i 4 dI( ) cM lspline A A M i A I IпрII A i i i 0 N N A ( i) i cI lspline A A I d IпрII( ) d M прД ( ) interp cM A A M IпрII( ) interp cI A A I M пр ( ) M прД ( ) M прС 3 510 3 IпрII ( ) 410 Iпр2 ( ) 310 Iпр3 ( ) Iпр5 ( ) 3 3 210 3 110 0 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 deg 145 П.2.5. Решение задачи динамики Рассмотрим один оборот кривошипа (цикл работы ДВС - 2 оборота). Переопределим обобщённую координату: 0 1deg 360deg Работа внешних сил: A ДВ( ) A C( ) M прС M прД ( ) d 0 A ( ) A ДВ( ) A C( ) A ( 2 ) 0 200 150 A ( ) AC( ) 100 AДВ( ) 50 0 50 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 deg Средняя угловая скорость коленвала: cp Кинетическая энергия второй группы звеньев: n 1 2 60 136.136 TII( ) IпрII( ) cp 2 2 50 40 T II( )30 20 10 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 deg 146 Приращение кинетической энергии первой группы звеньев: T I( ) A ( ) TII( ) 150 100 T I( ) 50 A ( ) 0 50 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 deg Регулирование движения по методу Мерцалова Наибольшее изменение кинетической энергии первой группы звеньев за цикл: t 0 deg Given tmin tmax tmin Minimize T I t deg 7.229 T I tmin 14.294 159.58 T I tmax 124.915 t 180 deg Given tmax Maximize T I t deg T Iнб T I tmax T I tmin 139.209 Момент инерции первой группы звеньев: I прI Колебания обобщённой скорости: Обобщённая скорость: ( ) ( ) cp ( ) T Iнб 2 0.13521 cp T I( ) T I tmax T I tmin 2 cp IпрI ( 0) 132.433 147 Регулирование движения альтернативным методом max cp 1 min cp 1 139.917 2 132.354 2 Экстремумы: 2 u 1 A M пр A dI A A 180deg A root u 1 A A A deg u 2 B M пр B dI B B B root u 2 B B deg 2 160.082 B 0deg max 2 min 2 7.106 Момент инерции первой группы звеньев: IпрI max2 IпрII A min2 IпрII B 2 A B A A 2 2 0.13366 min max Суммарный приведенный момент инерции: Обобщённая скорость: ( ) Iпр ( ) IпрII( ) IпрI max2 Iпр A 2 A ( ) A A Iпр ( ) ( 0) 132.433 140 138 ( ) cp 136 134 132 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 deg 148 Обобщенное ускорение: ( ) M пр ( ) dI( ) ( ) 2 2 Iпр ( ) 3 110 500 ( ) 0 500 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 deg Габариты и масса маховика Момент инерции маховика: IM IпрI Iпр0 0.03366 Используем маховик в виде диска. 5 Диаметр: D 0.366 IM 0.186 Ширина: b 0.2 D 0.037 Масса: mM 1230 D 7.882 3 G1Y mM g 77.324 П.2.6. Кинетостатический силовой анализ механизма Определение кинематических функций: 2 1( ) q1 ( ) 1( ) 0 ( ) q1 ( ) 2( ) q2( ) ( ) 2( ) q2( ) ( ) q2( ) ( ) 4( ) q4( ) ( ) 4( ) q4( ) ( ) q4( ) ( ) 2 2 149 2 VBX( ) VqBX( ) ( ) aBX( ) aqBX( ) ( ) VqBX( ) ( ) VFX( ) VqFX( ) ( ) aFX( ) aqFX( ) ( ) VqFX( ) ( ) VS2Y( ) VqS2Y( ) ( ) aS2Y( ) aqS2Y( ) ( ) VqS2Y( ) ( ) VS2X( ) VqS2X( ) ( ) aS2X( ) aqS2X( ) ( ) VqS2X( ) ( ) VS4Y( ) VqS4Y( ) ( ) aS4Y( ) aqS4Y( ) ( ) VqS4Y( ) ( ) VS4X( ) VqS4X( ) ( ) aS4X( ) aqS4X( ) ( ) VqS4X( ) ( ) 2 2 2 2 2 Силы инерции: 3X( ) m3 aBX( ) 2X( ) m2 aS2X( ) 2Y( ) m2 aS2Y( ) 5X( ) m5 aFX( ) 4X( ) m4 aS4X( ) 4Y( ) m4 aS4Y( ) 600 2X ( ) 400 2Y( ) 4X ( ) 4Y( ) 200 0 3X ( ) 200 5X ( ) 400 600 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 deg Моменты сил инерции: M 2( ) I2S 2( ) M 4( ) I4S 4( ) M 1( ) IпрI 1( ) 150 100 50 M 1( ) M 2( ) 0 M 4( ) 50 100 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 deg Группа IIВВП(4,5) Вектор свободных членов: 5X( ) F5X( ) G5Y 4X( ) B( ) G4Y 4Y( ) G5Y XF ( ) 5X( ) F5X( ) YF G ( ) X ( ) ( ) Y ( ) M ( ) 4X S4 4 4Y S4 4Y 1.741 103 3.532 175.395 B( f ) 219.983 0.856 5.928 Матрица коэффициентов: 0 1 0 A ( ) 0 XF ( ) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 YF XF ( ) 0 0 YF XF ( ) YD( ) XD ( ) 1 0 0 0 0 1 0 A(f) 0 0.242 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0.242 0 0 0 0.242 0.05 0.029 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 151 Рис. П.2.4 Решение СЛАУ: T DR( ) lsolve ( A ( ) B( ) ) R50 M 50 R54X 3 DR( f ) 364.884 0 1.741 10 R54Y R41X R41Y 3 368.415 1.566 10 588.399 Реакции в кинематических парах: R50Y( ) DR( ) 0 R54X( ) DR( ) 2 R54Y( ) DR( ) 3 R41X( ) DR( ) 4 R41Y( ) DR( ) 5 R14X( ) R41X( ) R14Y( ) R41Y( ) Группа IIВВП(2,3) Вектор свободных членов: 3X( ) F3X( ) G3Y 2X( ) B( ) G2Y 2Y( ) G3Y XB( ) 3X( ) F3X( ) YB G ( ) X ( ) ( ) Y ( ) M ( ) 2X S2 2 2Y S2 2Y 193.23 3.532 175.395 B( f ) 213.313 0.856 5.308 Матрица коэффициентов: 0 1 0 A ( ) 0 XB( ) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 A(f) 0 0.242 YB XB( ) 0 0 YB XB( ) YA ( ) XA ( ) 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0.242 0 0 0.242 0.05 0.029 0 0 0 152 Рис. П.2.5 Решение СЛАУ: R30 M 30 R32X R32Y R21X DR( ) lsolve ( A ( ) B( ) ) R21Y T DR( f ) ( 78.791 0 193.23 82.323 368.625 130.989) Реакции в кинематических парах: R30Y( ) DR( ) 0 R32X( ) DR( ) 2 R32Y( ) DR( ) 3 R21X( ) DR( ) 4 R21Y( ) DR( ) 5 R12X( ) R21X( ) R12Y( ) R21Y( ) Группа ВI (0,1) Вектор свободных членов: R12X( ) R14X( ) R12Y( ) R14Y( ) G1Y B( ) Y ( ) R ( ) X ( ) R ( ) Y ( ) R ( ) X ( ) R ( ) M ( ) 12X A 12Y D 14X D 14Y 1 A 1.934 103 B( f ) 534.734 17.511 Матрица коэффициентов: 1 0 0 A ( ) 0 1 0 0 0 1 153 Рис. П.2.6 Решение СЛАУ: T DR( ) lsolve ( A ( ) B( ) ) R10X R10Y 3 DR( f ) 1.934 10 M1 R10X( ) DR( ) 0 Реакции в кинематических парах: M 1( ) DR( ) 534.734 17.511 2 R10Y( ) DR( ) 1 Уравновешивающий момент: M 1( f ) 17.511 M прС 17.511 21 M 1( ) 20 19 M прС18 17 16 0 60 120 180 240 300 360 420 480 540 600 660 720 600 660 720 deg 600 400 R30Y( ) 200 0 R50Y( ) 200 400 600 0 60 120 180 240 300 360 420 480 540 deg 154 R54X( ) R54Y( ) R54( ) R54( ) 2 2 R54( ) atan2 2 2 R41( ) atan2 2 2 R32( ) atan2 2 2 R21( ) atan2 2 2 R10( ) atan2 R54( ) R54X( ) R54Y( ) R41( ) R41X( ) R41Y( ) R32( ) R32X( ) R32Y( ) R21( ) R21X( ) R21Y( ) R10( ) R10X( ) R10Y( ) R41X( ) R41Y( ) R41( ) R41( ) R32X( ) R32Y( ) R32( ) R32( ) R21X( ) R21Y( ) R21( ) R21( ) R10X( ) R10Y( ) R10( ) R10( ) 0 60deg 720deg R54( ) R41( ) 0 R54( ) 1.064·103 -0.066 R41( ) 693.005 0.323 R50Y( ) 4.758 60 1.78·103 11.948 1.673·103 20.597 -364.884 120 981.418 12.345 1.241·103 21.027 -206.29 180 561.687 -0.079 914.527 0.049 4.309 240 675.746 -12.134 928.026 -23.254 145.575 300 278.643 -5.955 261.57 -65.191 32.44 360 39.643 -178.231 410.827 179.457 4.755 420 210.828 -156.424 392.794 159.796 87.856 480 209.845 9.295 488.087 33.507 -30.361 540 256.828 -0.174 609.668 0.073 4.309 600 244.082 -10.295 508.481 -31.803 47.153 660 193.261 -2.736 219.252 -83.281 12.756 720 1.064·103 -0.066 693.004 0.32 4.752 deg deg deg 155 R32( ) 0 60 R21( ) -1.12 R21( ) 410.809 210.035 23.076 120 210.178 180 0.106 R30Y( ) 4.307 391.206 -19.562 -78.791 -170.167 485.525 -146.953 39.426 256.83 -179.727 609.68 179.634 4.755 240 243.733 170.168 510.957 147.752 -38.089 300 193.175 177.857 223.89 96.58 -3.692 360 1.064·103 -179.958 692.994 179.936 4.309 420 1.78·103 -167.989 1.671·103 -159.553 373.948 -159.175 215.355 deg R32( ) 39.631 deg deg 480 981.848 -167.541 1.24·103 540 561.688 -179.875 914.535 179.756 4.755 600 675.328 168.032 929.879 156.482 -136.51 660 278.443 174.455 265.816 114.387 -23.376 720 39.631 -1.129 410.809 0.111 4.312 156 Приложение 3. Проектирование механизма строгального станка Станок предназначен для строгания поверхностей. Основным механизмом является кривошипно-коромысловый механизм, состоящий из кривошипа 1, шатуна 2, коромысла 3, ползунов 4 и 5. Диаграмма действующей на ползун 5 силы резания приведена в П.3 п.3. В направляющих ползуна действует сила трения. Число двойных ходов ползуна 5 в минуту, равное числу оборотов кривошипа ( n1 об/мин), найти по заданной скорости резания, коэффициенту изменения скорости k v 5 k 3 и ходу ползуна H. В состав машинного агрегата кроме исполнительного механизма входит электрический двигатель с мягкой статической характеристикой (принимается М д const ) и редуктор. Анализируется установившееся движение машины. Рис. П.3.1 Этапы расчета. 1. Метрический синтез механизма (см. 1.2.2 – определение длин звеньев по двум крайним положениям механизма и коэффициенту изменения средней угловой скорости коромысла). 2. Кинематический анализ. Направление вращения кривошипа задается аналогом его угловой скорости q1 1 ; обобщенная координата 0,2 ; начальное значение обобщенной координаты 0 находится при решении задачи метрического синтеза. Функции положения рассчитываются методом замкнутых векторных контуров, кинематические аналоги определяются численным дифференцированием функций положения. 3. По заданной диаграмме сил сопротивления строится функциональная зависимость силы резания от перемещения выходного звена, затем от обобщенной координаты. 4. Определяются параметры динамической модели: приведенный момент сил и приведенный момент инерции II-ой группы звеньев. 5. Решается задача динамики для установившегося движения: определяются обобщенная скорость ( ) , обобщенное ускорение ( ) , находится приведенный движущий момент M дпр const , приведенный момент инерции дополнительной маховой массы I Iпр const и рассчитывается начальное значение угловой скорости н ( 0 ) . 6. Выполняется кинетостатический расчет механизма за цикл установившегося движения. рассчитываются реакции в кинематических парах и уравновешивающий момент. Реакции 157 в поступательных парах представляются в виде диаграмм, во вращательных – в виде годографов. Показано, что годографы могут быть представлены как в полярной системе координат, так и в декартовой. На годографе отмечено заданное расчетное положении f и приведены числовые значения модуля реакции и угол ее наклона к оси абсцисс. Уравновешивающий момент сравнивается с моментом движущим, полученным при анализе установившегося движения. Исходные данные Ход ползуна: H 0.3 м Длина перебега резца: l пер 0.05H 0.015 м Угловая скорость ротора электродвигателя: ДВ 950 2 60 99.484 рад с Коэффициент изменения скорости: K 1.4 V5 м VРЕЗ 0.5 с Отношение длин звена 3: 1.4 Скорость резания: Длина коромысла: lBC 0.5 м lCD lBC 0.7 м Межосевое расстояние: lOC 0.3 м Координата ЦТ ползуна: lS5 0.164 м Вылет резца: l 0.09 p м Ускорение свободного падения: g 9.81 Сила трения: FТР 100 Н Масса ползуна 5: с 2 m5 60 кг Масса коромысла 3: Масса шатуна 2: м m3 38 кг m2 25 кг Момент инерции коромысла: I 1.2 кг м 2 3S Момент инерции шатуна: I 0.6 кг м 2 2S Коэффициент неравномерности вращения кривошипа: 1 20 0.05 Приведённый к валу э.д. момент инерции вращающихся деталей: I0 0.2 кг м 2 158 П.3.1. Метрический синтез механизма Интервал холостого хода: 2 XX 2.618 KV5 1 Интервал рабочего хода: PX 2 XX 3.665 Угол качания коромысла: asin 0.216 2 lCD H XX deg PX deg deg 150 210 12.374 Рис. П.3.2 159 Начальные приближения: lOA 0.1 lAB 0.3 45 deg 0 45deg Given 2 lOA lAB sin 0 lOC sin ( ) lBC sin 2 lOA lAB cos 0 PX lOC cos ( ) lBC cos 2 lOA lAB sin 0 PX lOC sin ( ) lBC sin 2 lOA lOA lAB 0 lAB cos 0 lOC cos ( ) lBC cos Find lOA lAB 0 X C lOC cos ( ) 0.199 Ордината ползуна: lAB 0 deg deg 0.062 0.342 40.762 48.358 YC lOC sin ( ) 0.224 YS5 YC lCD Положения ЦТ звеньев: lOA lAS2 lAB 2 lCD ( 1 cos ( ) ) 2 0.171 0.468 lCS3 lCD 2 0.35 П.3.2. Кинематический анализ механизма Обобщённая координата: 0 0.5deg 360deg Направление вращения кривошипа: q1 1 Начало отсчёта обобщённой координаты: 0 0 PX 4.377 Расчётное положение механизма: f 90deg 0 deg 250.762 Функции положения 1) Первичный механизм: 1( f ) 1( ) 0 q1 XA ( ) lOA cos 1( ) deg 160.762 YA ( ) lOA sin 1( ) 160 2) Группа IIВВВ (2,3): Начальные приближения: 2 0 3 Given XA ( ) lAB cos 2 YA ( ) lAB sin 2 2 XC lBC cos 3 YC lBC sin 3 2( ) Find 2 3 3( ) 2( f ) deg 3( f ) 48.014 deg 93.363 Рис. П.3.3 Интерполяция (для ускорения вычислений): N 7200 i 0 N 2 2( ) interp c 2 A A 2 3( ) interp c 3 A A 3 c 2 cspline A A 2 A 3 3 A i i c 3 cspline A A 3 i A 2 2 A i i A i N 161 80 110 70 100 2( ) 60 3( ) deg 50 deg 80 40 30 90 0 100 200 70 300 0 100 200 deg deg 300 3) Вспомогательные контуры: XS2( ) XA ( ) lAS2 cos 2( ) XS3( ) XC lCS3 cos 3( ) YS2( ) YA ( ) lAS2 sin 2( ) YS3( ) YC lCS3 sin 3( ) YB( ) YC lBC sin 3( ) YD( ) YC lCD sin 3( ) XB( ) XC lBC cos 3( ) XD ( ) XC lCD cos 3( ) 4) Группа IIВПП(4,5): XE( ) XD ( ) XS5( ) XE( ) lS5 План механизма и траектории точек: X 0 XA ( f ) XS2( f ) XB( f ) XC XS3( f ) XD ( f ) Y 0 YA ( f ) YS2( f ) YB( f ) YC YS3( f ) YD( f ) T T 162 0.6 0.4 Y YA( ) YS2( ) 0.2 YB( ) YS3( ) YD( ) YS5 0 0.2 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 X XA ( ) XS2( ) X B( ) XS3( ) X D( ) X S5( ) Аналоги скоростей Линейные: VqS2X( ) d XS2( ) d VqS3X( ) d XS3( ) d VqS2Y( ) d YS2( ) d VqS3Y( ) d YS3( ) d VqS5X( ) d XS5( ) d 163 0.1 VqS2X( ) VqS2Y( ) 0 VqS3X( ) VqS3Y( ) VqS5X( ) 0.1 0.2 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 270 300 330 360 deg Угловые: q2( ) d 2( ) d q3( ) d 3( ) d 0.4 0.2 q2( ) q3( ) 0 0.2 0.4 0 30 60 90 120 150 180 210 240 deg Аналоги ускорений Линейные: d aqS2X( ) 2 d d aqS2Y( ) X ( ) 2 S2 2 d Y ( ) 2 S2 d aqS3X( ) 2 d d aqS3Y( ) X ( ) 2 S3 aqS5X( ) d 2 d X ( ) 2 S5 2 d Y ( ) 2 S3 Угловые: q2( ) d 2 d 2 2( ) q3( ) d 2 d ( ) 2 3 164 П.3.3. Определение сил, действующих в механизме Силы тяжести: G2Y m2 g 245.25 G3Y m3 g 372.78 G5Y m5 g 588.6 Определение сил сопротивления Перемещение ползуна: s 5( ) XS5( ) XS5( 0) 0.3 0.2 s5( ) 0.1 0 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 deg Интервалы изменения обобщенной координаты, соответствующие перебегам: Начало рабочего хода: t 10deg ' root s 5( t) lпер t 0.511 ' ' ' 0 0.511 deg ' deg 29.268 29.268 Конец холостого хода: t 350deg '' root s 5( t) lпер t 5.838 '' 2 '' 0.445 пер '' ' 0.956 '' deg '' deg 334.497 25.503 пер deg 54.771 (будет использовано при синтезе кулачкового механизма) Сила трения: FTPX( ) FТР if VqS5X( ) 0 FТР if VqS5X( ) 0 0 otherwise 165 Сила резания в зависимости от перемещения выходного звена: 0 0 lпер 0.015 6 lпер 10 0.015 0.105 0.35 H A H H l 10 6 0.285 0.285 пер H lпер 0.3 H s 0 H 1000 0 0 400 A F 800 600 0 0 H 800 600 FРЕЗ( s)400 200 0 0 0.025 0.05 0.075 0.1 0.125 0.15 0.175 0.2 0.225 0.25 0.275 0.3 s Сила резания в зависимости от обобщенной координаты: FРЕЗX( ) FРЕЗ s 5( ) if VqS5X( ) 0 0 otherwise 200 0 FРЕЗX ( ) 200 FTPX ( ) 400 600 800 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 deg Главный вектор сил сопротивления: F5X( ) FРЕЗX( ) FTPX( ) Главный момент сил сопротивления: M 5( ) FРЕЗX( ) lp 166 П.3.4. Определение параметров динамической модели Приведенные моменты сил M прG2( ) G2Y VqS2Y( ) M прG3( ) G3Y VqS3Y( ) M прFрез ( ) FРЕЗX( ) VqS5X( ) M прFтр( ) FTPX( ) VqS5X( ) Приведенный момент сопротивления: M прС( ) M прG2( ) M прG3( ) M прFрез ( ) M прFтр( ) Приведённый движущий момент: M прД 2 M прС( ) d 0 2 38.199 0 M прС ( ) M прFрез ( ) M прFтр ( ) M прG2 ( ) 50 M прG3 ( ) M прД 100 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 deg Приведённые моменты инерции Iпр2( ) I2S q2( ) m2 VqS2X( ) VqS2Y( ) 2 Iпр3( ) I3S q3( ) m3 VqS3X( ) VqS3Y( ) 2 2 2 2 Iпр5( ) m5 VqS5X( ) 2 2 IпрII( ) Iпр2( ) Iпр3( ) Iпр5( ) 167 Интерполяция (для ускорения вычислений): A I IпрII A i i A M M прС A cI cspline A A I i dI( ) d IпрII( ) d IпрII( ) interp cI A A I cM cspline A A M i M прС( ) interp cM A A M M пр ( ) M прС( ) M прД 4 IпрII ( )3 Iпр2 ( ) Iпр3 ( ) 2 Iпр5 ( ) 1 0 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 deg П.3.5. Решение задачи динамики Работа внешних сил: A С( ) A Д( ) M прД M прС( ) d 0 A ( ) A Д( ) A С( ) A ( 2 ) 0.017 100 0 A ( ) AС( ) 100 AД( ) 200 300 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 deg 168 Средняя угловая скорость кривошипа: cp Кинетическая энергия второй группы звеньев: PX H V РЕЗ 6.109 TII( ) IпрII( ) cp 2 2 60 T II( ) 40 20 0 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 deg Приращение кинетической энергии первой группы звеньев: T I( ) A ( ) TII( ) 50 0 T I( ) A ( ) 50 100 150 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 deg 169 Регулирование движения по методу Мерцалова Наибольшее изменение кинетической энергии первой группы звеньев за цикл: t 150 deg Given tmin tmax tmin Minimize T I t deg 168.442 T I tmin 110.388 29.274 T I tmax 9.864 t 30 deg Given tmax MaximizeT I t deg T Iнб T I tmax T I tmin 120.252 Момент инерции первой группы звеньев: Колебания обобщённой скорости: Обобщённая скорость: IпрI T Iнб 2 cp T I( ) ( ) 64.4511 T I tmax T I tmin 2 cp IпрI ( ) cp ( ) ( 0) 6.234 Регулирование движения альтернативным методом max cp 1 min cp 1 6.261 2 5.956 2 Экстремумы: A 29deg u 1 A M пр A dI A A root u 1 A A A deg B root u 2 B B B deg 2 29.273 u 2 B M пр B dI B B 150deg 2 max 2 min 2 169.574 170 Момент инерции первой группы звеньев: IпрI max2 IпрII A min2 IпрII B 2 A B A A 2 2 63.9664 min max Суммарный приведенный момент инерции: Обобщённая скорость: ( ) Iпр ( ) IпрII( ) IпрI max2 Iпр A 2 A ( ) A A ( 0) 6.235 Iпр ( ) 6.3 6.2 ( ) cp 6.1 6 5.9 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 deg Обобщенное ускорение: ( ) M пр ( ) dI( ) ( ) 2 2 Iпр ( ) 2 1 ( ) 0 1 2 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 deg 171 Габариты и масса маховика 2 ДВ IпрM IпрI I0 10.9215 cp Приведённый момент инерции маховых масс: 2 12 IM IпрM 3.249 22 Разместим маховик на выходном валу планетарного редуктора: Используем маховик в виде обода со спицами. 5 Наружный диаметр: D2 0.437 IM 0.553 Внутренний диаметр: D1 0.8D2 0.443 Ширина: b 0.2 D2 0.111 Масса: mM 6123 D2 D1 2 2 b 74.614 П.3.6. Кинетостатический силовой анализ механизма Определение кинематических функций: 2 VS5X( ) VqS5X( ) ( ) aS5X( ) aqS5X( ) ( ) VqS5X( ) ( ) VS2Y( ) VqS2Y( ) ( ) aS2Y( ) aqS2Y( ) ( ) VqS2Y( ) ( ) VS2X( ) VqS2X( ) ( ) aS2X( ) aqS2X( ) ( ) VqS2X( ) ( ) VS3Y( ) VqS3Y( ) ( ) aS3Y( ) aqS3Y( ) ( ) VqS3Y( ) ( ) VS3X( ) VqS3X( ) ( ) aS3X( ) aqS3X( ) ( ) VqS3X( ) ( ) 1( ) q1 ( ) 1( ) 0 ( ) q1 ( ) 2( ) q2( ) ( ) 2( ) q2( ) ( ) q2( ) ( ) 3( ) q3( ) ( ) 3( ) q3( ) ( ) q3( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 172 Силы инерции: 2X( ) m2 aS2X( ) 3X( ) m3 aS3X( ) 2Y( ) m2 aS2Y( ) 3Y( ) m3 aS3Y( ) 5X( ) m5 aS5X( ) 200 600 400 2X ( ) 100 200 2Y( ) 0 3X ( ) 5X ( ) 0 3Y( ) 200 100 400 200 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 600 360 330 deg Моменты сил инерции: M 2( ) I2S 2( ) M 3( ) I3S 3( ) M 1( ) IпрI 1( ) 20 150 100 10 M 2( ) M 3( ) 50 M 1( ) 0 0 10 20 50 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 100 360 deg Массив значений аргумента: 2 N 360 NK 12 360 K NK N i 0 N i j 0 NK k K j j i f 90 173 Массивы значений функций: XA XA i i YS2 YS2 i i YD YD i i 2Y 2Y i M 1 M 1 5X 5X i i i YS3 YS3 i i F5X F5X i i i 3X 3X i i i XS5 XS5 i i i 2X 2X YB YB i i XS3 XS3 i i XD XD i i XB XB i i XS2 XS2 i i i YA YA i i i i M 2 M 2 i i 3Y 3Y i M 3 M 3 i i M 5 M 5 Группа IIВПП (4,5) i Вектор свободных членов: 5X F5X i i G5Y 0 B i 0 G5Y XS5i 5Xi F5Xi YS5 M5i 0 952.315 588.6 0 B f 0 184.079 0 Матрица коэффициентов: R50 M 50 R54 M 54 R43X R43Y 0 1 0 A 0 i XS5i 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 YD 1 i 0 YD 1 i 0 0 0 1 1 0 0 0 YD XD i i 0 0 0 1 0 A f 0 0.322 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0.475 1 0 0.475 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0.475 0.158 0 0 Рис. П.3.4 174 Решение СЛАУ: R50 DR1 lsolve A B i i i DR1 f T M 50 R54 M 54 R43X R43Y ( 588.6 78.201 952.315 0 952.315 0 ) Реакции в кинематических парах: R50Y DR1 ( i) i 0 R43X DR1 ( i) i 4 M 50 DR1 i ( i) 1 R43Y DR1 ( i) i 5 R54X DR1 ( i) i 2 R34X R43X i i R34Y R43Y i i Группа IIВВВ(2,3) Вектор свободных членов: 3X R34X i i G3Y 3Y R34Y i i 2X i B i G2Y 2Y i G3Y 3Yi XS3i 3Xi YS3i R34Yi XD i R34Xi YDi M3i G2Y 2Y XS2 2X YS2 M 2 i i i i i 970.265 360.717 35.811 B f 228.988 391.272 9.864 Матрица коэффициентов: R30X R30Y R32X R32Y R21X R21Y 1 0 0 A 0 i YC 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 XC YB XB i i 0 YB XB YA XA i i i i 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 A f 0 0 0 1 0 1 0.224 0.199 0.275 0.17 0 0 0 0.275 0.17 0.021 0.059 0 Рис. П.3.5 175 Решение СЛАУ: DR2 f T DR2 lsolve A B i R30X R30Y i i R32X 3 315.698 962.963 1.286 10 R32Y R21X 3 1.322 10 1.324 10 R21Y 3 3 1.553 10 Реакции в кинематических парах: R30X DR2 ( i) i 0 R30Y DR2 ( i) i 1 R32X DR2 ( i) i R21X DR2 ( i) i 4 R21Y DR2 ( i) i 5 R12X R21X i i R32Y DR2 ( i) i 2 3 R12Y R21Y i i Группа ВI (0,1) Вектор свободных членов: R12X i R12Y B i i R12Y XA R12X YA M1 i i i i i 1.322 103 B 3 f 1.553 10 38.199 1 0 0 A 0 1 0 i 0 0 1 Матрица коэффициентов: Рис. П.3.6 Решение СЛАУ: DR3 lsolve A B i i i DR3 f T R10X R10Y 3 1.322 10 Реакции в кинематических парах: M1 3 1.553 10 R10X DR2 ( i) i 0 38.199 M 1 DR3 i R10Y DR2 ( i) i ( i) 2 1 176 Уравновешивающий момент: M 1 38.199 M прД 38.199 f M прД M 1 i i Расчёт погрешноти: 4 max max( ) 4.937 10 11 8.593 10 OTH f max M прД 0.00129% 37 37.5 M1 38 38.5 39 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 deg 80 60 40 M 50 20 0 20 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 deg 3 110 500 R54X 0 500 3 110 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 deg 177 r30Y R30Y j k r30X R30X j k j j 3 310 3 210 R30Y 3 110 r30Y R30Y f 0 3 110 3 210 400 200 0 200 400 600 R30X r30X R30X f 2 2 R30 R30Xf R30Yf 1.013 10 R30 i R30X R30Y i i 2 r30 R30 j kj R30Xf R30Yf R30 atan2 R30 R30 3 2 R30 deg 108.151 R30X R30Y i i R30 R30 i i R30 atan2 i R30 R30 j kj 90 120 150 3 2 10 60 30 3 1 10 R30 r30 180 0 0 R30 f 210 330 240 300 270 R30 R30 R30 f 178 Приложение 4. Проектирование механизма пресса Пресс предназначен для изготовления деталей горячей объемной штамповкой. От вала электродвигателя 1 (рис. П.4.1) через клиноременную передачу движение передается на зубчатое колесо 5. Кинематическое замыкание цепи 1-5 с основным кривошипноползунным механизмом осуществляется с помощью пневматической муфты. Пресс работает в режиме единичных ходов. При выключенной муфте основной механизм пресса неподвижен, причем ползун находится с крайнем верхнем положении. При мгновенном включении муфты ползун движется вниз, деформирует поковку и поднимается в исходное положение, после чего муфта выключается, электродвигатель разгоняет маховик и совершается следующий ход основного механизма. Зависимость технологического усилия от хода ползуна задана в П.4 п.3. Механическая характеристика двигателя описывается формулой Клосса (см. 3.2.2). Анализируется неустановившееся движение: - с учетом МХД; интегрирование дифференциального уравнения движения производится методом Адамса; - без учета МХД; движущий момент принят постоянным и равным критическому моменту на валу электродвигателя. Рис. П.4.1 Этапы расчета. 1. Определяются размеры звеньев. 2. Выполняется кинематический анализ механизма. Направление вращения кривошипа задается аналогом его угловой скорости q1 1 ; обобщенная координата 0,2 ; начальное значение обобщенной координаты 0 / 2 . Функции положения рассчитываются методом замкнутых векторных контуров, кинематические аналоги определяются численным дифференцированием функций положения. 3. Рассчитываются силы, действующие в машине. 4. Определяются параметры динамической модели: приведенный момент сил и приведенный момент инерции II-ой группы звеньев. 5. Записывается приведенная характеристика двигателя 6. Решается задача динамики неустановившегося движения в двух вариантах: с учетом МХД и без учета МХД. Результат исследования: обобщенная угловая скорость ( ) , обобщенное угловое ускорение ( ) и время работы пресса за один ход основного механизма t ( ) . 179 Исходные данные Наибольшее усилие деформирования, Н: Ход ползуна, м: 6 Fmax 35 10 H 0.4 3 Массы звеньев, кг: 3 m3 50 10 m2 30 10 Передаточное число редуктора: Моменты инерции, кг*м2 : u ред 18.6 3 3 IпрI 140 10 I2S 5 10 Синхронная частота вращения ротора электродвигателя, об/с: n 0 16.7 Критическая частота вращения ротора электродвигателя, об/с: n K 12.3 3 Критический момент на валу электродвигателя, Н*м: Ускорение свободного падения, м/с2 : M K 5.24 10 g 9.81 П.4.1. Метрический синтез механизма Длина кривошипа: H 0.2 lOA 2 Длина шатуна: lAB 4.7 lOA 0.94 Положение ЦТ шатуна: 2 lAS2 lAB 0.627 3 XB 0 П.4.2. Кинематический анализ механизма Обобщенная координата: 0 1deg 360deg Направление вращения кривошипа: q1 1 Начало отсчета обобщённой координаты: 0 Расчётное положение механизма: f 120deg 2 Функции положения 1) Первичный механизм: 1( f ) 1( ) 0 q1 XA ( ) lOA cos 1( ) deg 30 YA ( ) lOA sin 1( ) 180 2) Группа IIВВП (2,3): XB XA ( ) cs2 ( ) sn2 ( ) 1 cs2 ( ) lAB 2( f ) 2( ) atan2 ( cs2 ( ) sn2 ( ) ) deg YB( ) YA ( ) lAB sin 2( ) 2 100.618 XS2( ) XA ( ) lAS2 cos 2( ) YS2( ) YA ( ) lAS2 sin 2( ) Рис. П.4.2 Аналоги скоростей Линейные: VqS2X( ) d XS2( ) d VqS2Y( ) d YS2( ) d VqBY( ) d YB( ) d Угловые: q2( ) d 2( ) d 0.3 0.3 VqS2X( ) 0.2 0.1 VqS2Y( ) 0 0.2 VqBY( ) 0.1 0.2 0.1 0.3 0.1 0 q2( ) 0.2 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 0.3 360 deg 181 Аналоги ускорений Линейные: d aqS2X( ) 2 d X ( ) 2 S2 aqS2Y( ) d 2 d Y ( ) 2 S2 aqBY( ) d 2 d Y ( ) 2 B Угловые: q2( ) d 2 d ( ) 2 2 П.4.3. Определение сил, действующих в механизме Силы тяжести: 5 G2Y m2 g 2.943 10 5 G3Y m3 g 4.905 10 Определение силы полезного сопротивления Сила полезного сопротивления в зависимости от перемещения выходного звена: 0 0 0 0 6 A F 0.1 Fmax 3.5 10 7 106 0.2 1 3.5 107 0 0 0.6 0.24 A H 0.62 H 0.248 0.75 0.3 1 0.4 f3Y( h ) linterp A H A F h h 0 H 400 H 7 410 7 310 f3Y( h) 2107 7 110 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 h 182 Перемещение выходного звена: h ( ) YB( ) YB( 0) h ( f ) 0.284 0.4 0.3 h( ) 0.2 0.1 0 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 deg Сила полезного сопротивления в зависимости от обобщённой координаты F3Y( ) f3Y( h ( ) ) if VqBY( ) 0 0 otherwise 7 410 7 310 F3Y( ) 2107 7 110 0 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 deg П.4.4. Определение параметров динамической модели Приведенные моменты сил M прG2( ) G2Y VqS2Y( ) M прG3( ) G3Y VqBY( ) M прF3( ) F3Y( ) VqBY( ) Приведенный момент сопротивления: M прС( ) M прG2( ) M прG3( ) M прF3( ) Интерполяция (для ускорения вычислений): N 10000 A M M прС A i i 2 N i 0 N cM lspline A A M A ( i) i M прС( ) interp cM A A M 183 0 M прС ( ) 6 M прF3 ( ) 110 M прG2 ( ) M прG3 ( ) 2106 6 310 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 deg Приведенная характеристика двигателя: K 2 n K u ред n ( ) u ред 4.155 0 2 n 0 u ред 5.641 M прДВ( ) 2 max 15 0 1000 u ред 5.979 u ред M д( n ( ) ) if 0 10 0 2 n 0 otherwise max 110 5 510 4 K uред M K 0 M прДВ ( ) 0 510 4 0 2 4 Суммарный приведённый момент сил: M пр ( ) M прС( ) M прДВ( ) 184 Приведённые моменты инерции Iпр2( ) I2S q2( ) m2 VqS2X( ) VqS2Y( ) 2 2 2 Iпр3( ) m3 VqBY( ) 2 IпрII( ) Iпр2( ) Iпр3( ) Интерполяция (для ускорения вычислений): N 10000 2 A I IпрII A i i dI( ) i 0 N N A ( i) i cI lspline A A I d IпрII( ) d IпрII( ) interp cI A A I Iпр ( ) IпрI IпрII( ) 3 410 3 310 IпрII ( ) Iпр2 ( ) 3 210 Iпр3 ( ) 3 110 0 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 deg П.4.5. Решение задачи динамики с учетом МХД Решаем дифференциальное уравнение второго порядка: ( ) M пр ( ) Iпр ( ) 2 2 Iпр ( ) dI( ) Вектор дифференциальных уравнений: Y0 Y1 D( t Y) Y 1 Пределы интегрирования ДУ (подбираются в процессе отладки): t0 0 Вектор начальных условий (с учетом мгновенного включения муфты): Число расчётных точек: N 10000 tц 3 0 0 0 5.641 y 185 Интегрирование методом Адамса: R Adams y t0 tц N D T R 0 1 R 2 R Сплайновая интерполяция: c lspline( T ) ( t) interp c T t c lspline( T ) ( t) interp c T t ( t) ( ( t) ( t) ) Определение времени цикла: t 0 tц root ( ( t) 2 t) 2.958 t 0 tц 1000 tц 300 ( t ) 200 deg 100 0 0 1 2 t 6 0 5 4 ( t) ( t ) 10 3 2 1 20 0 1 2 t 0 1 2 t 186 N 10000 t tц i 0 N N A ( t i) A ( t i) i c lspline A A i ( ) interp c A A 0 ( ) 10 20 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 deg N 10000 t tц i 0 N N A ( t i) A ( t i) i c lspline A A i ( ) interp c A A 6 0 5 K 4 ( ) 3 2 1 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 deg 187 Приведенный движущий момент: M прДВ( ) M прДВ( ( ) ) 5 110 4 510 M прДВ( ) 0 4 510 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 deg П.4.6. Решение задачи динамики без учета МХД 3 Момент на валу электродвигателя, Н*м: Приведенный движущий момент: M ДВ 5.24 10 4 M прДВ M ДВ u ред 9.746 10 M пр ( ) M прС( ) M прДВ Работа внешних сил: A C( ) A ДВ( ) M прДВ M прС( ) d 0 6 A ( 2 ) 1.775 10 A ( ) A ДВ( ) A C( ) 6 110 0 A ( ) AC( ) 6 110 AДВ( ) 6 210 6 310 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 deg 188 Начальное значение обобщённой скорости: нач 2 n 0 u ред 5.641 Обобщённая скорость: 2 2 A ( ) A ( 0) нач Iпр ( 0) ( ) ( 2 ) 2.557 Iпр ( ) 7 6 5 ( ) 4 3 2 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 deg Обобщённое ускорение: ( ) M пр ( ) dI( ) ( ) 2 2 Iпр ( ) 0 ( ) 10 20 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 deg 189 Время движения механизма: t( ) 1 ( ) d t( 2 ) 1.864 0 2 1.5 t( ) 1 0.5 0 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 deg Приложение 5. Проектирование механизма пневмоцилин‐ дра Пневмоцилиндр пневматический двигатель, позволяющий преобразовать энергию сжатого воздуха в поступательное движение выходного звена. Пневмоцилиндр представляет собой трехзвенную группу с начальной кинематической парой (НКП), образованной двумя подвижными звеньями: цилиндром и поршнем (см. рис. П.5.1). Относительное перемещение звеньев в НКП задается линейной обобщенной координатой s . Пневмоцилиндр входит в состав подъемного устройства. Перемещение поршня в цилиндре при подъеме груза обеспечивается движущей (управляющей) силой. Вид диаграммы управляющей силы см. Рис. 3.22. Анализируется неустановившееся движение «пуск-останов». Рис. П.5.1. Этапы расчета. 1. Решается задача метрического синтеза (см. 1.3.2). 2. Выполняется кинематический анализ механизма. Линейная обобщенная координата s меняется в пределах от s min до s max . Замкнутый векторный контур для расчета функций положения строится для трехзвенной кинематической группы; кинематические аналоги определяются численным дифференцированием функций положения по s . 190 3. Управляющее воздействие задается кусочно-линейной функцией. Координаты управляющей силы рассчитываются по условиям удержания объекта в конечном положении и безударного останова. 4. Определяются параметры динамической модели: приведенная сила и приведенная масса. 6. Решается уравнение движения механизма в интегральной форме. Результат исследования: обобщенная угловая скорость V (s) , обобщенное ускорение a(s ) и время работы пневмоцилиндра t (s ) . Исходные данные Масса груза, кг: 8 TOL 10 M 100 Массы звеньев, кг: m1 10 Моменты инерции звеньев, кг*м2 : m2 10 m3 10 I1S 1 Ускорение свободного падения, м/с2 : I2S 0.5 I3S 2 g 9.81 Интервал изменения обобщенной координаты, м: h min 0.05 Угол качания коромысла 1: к 50 deg lшт 1.3h max 0.39 lшт 0.195 lCS2 2 YD 0.05 h max 0.3 60 deg Угол давления в конечном положении: Длина штока, м: 8 CTOL 10 lAK 0.2 150deg П.5.1. Метрический синтез механизма Начальные приближения: XD 2h max lAB h max 1 90deg 3н 120deg 3к 150 deg Given XD hmax lшт cos 3к lAB sin 1 YD h max lшт sin 3к lAB cos 1 XD h min lшт cos 3н lAB sin 1 YD h min lшт sin 3н lAB cos 1 к 1 2 3к XD 0.507 lAB 0.277 1 Find XD lAB 1 3н 3к 1.138 2.666 3н 2.883 3к 191 Угол давления в начальном положении: н 1 3н 2 н deg 2.435 П.5.2. Кинематический анализ механизма Обобщенная координата: s max h max h min Изменение бобщенной координаты Расчетное положение механизма: s max 0.25 s 0 0.005 s max f 0.15 Функции положения Начальные приближения: 3 1 2 Given YD h min s lшт sin 3 lAB sin 1 1( s ) Find 1 3 3( s ) 1( f ) XD h min s lшт cos 3 lAB cos 1 deg 97.934 3( f ) deg 157.648 Рис. П.5.2 192 1( s) deg 140 170 120 165 3( s) 100 deg 80 60 160 155 0 0.1 150 0.2 0 0.1 s XB( s ) lAB cos 1( s ) YB( s ) lAB sin 1( s ) 0.2 s YC( s ) YD h min s sin 3( s ) XC( s ) XD h min s cos 3( s ) XS2( s ) XC( s ) lCS2 cos 3( s ) YS2( s ) YC( s ) lCS2 sin 3( s ) XK ( s ) lAK cos 1( s ) YK( s ) lAK sin 1( s ) План механизма и траектории точек: X XK ( f ) 0 XB( f ) XS2( f ) XC( f ) XD Y YK( f ) 0 YB( f ) YS2( f ) YC( f ) YD T T 0.3 Y 0.2 YB( s ) YC( s ) 0.1 YS2( s ) 0 YK( s) 0.1 0.2 0.2 0 0.2 0.4 0.6 X XB( s) XC( s) XS2( s) XK ( s ) 193 Аналоги скоростей Угловые: q1( s ) d 1( s ) ds q3( s ) d 3( s ) ds 6 2 1.5 5 q1( s ) q3( s ) 1 4 3 0.5 0 0.1 0 0.2 s 0 0.1 0.2 s Линейные: VqS2X( s ) d XS2( s ) ds VqKX( s ) d XK ( s ) ds VqS2Y( s ) d YS2( s ) ds VqKY( s ) d YK( s ) ds 2 VqS2X( s ) 1 VqS2Y( s) VqKX ( s) 0 VqKY( s ) 1 2 0 0.1 0.2 s 194 Аналоги ускорений Угловые: q1( s ) d 2 ds 2 1( s ) q3( s ) d 2 ds (s ) 2 3 Линейные: d aqS2X( s ) 2 ds d aqS2Y( s ) X (s ) 2 S2 2 ds Y (s ) 2 S2 aqKX( s ) aqKY( s ) d 2 ds d X (s ) 2 K 2 ds Y (s ) 2 K П.5.3. Определение параметров динамической модели Приведённые массы mпр1( s ) I1S q1( s ) 2 mпр2( s ) I2S q1( s ) m2 VqS2X( s ) VqS2Y( s ) mпр3( s ) I3S q3( s ) 2 M пр ( s ) M VqKX( s ) VqKY( s ) 2 2 2 2 2 ãðóçà mпр ( s ) mпр1( s ) mпр2( s ) mпр3( s ) M пр ( s ) Интерполяция (для ускорения вычислений): N 1000 i 0 N cm lspline A s A m dm( s ) s h max h min A s s i N i mпр ( s ) interp cmA s A ms A m mпр A s i i d mпр ( s ) ds 200 mпр ( s) mпр1 ( s ) mпр2 ( s ) 150 100 mпр3 ( s ) M пр ( s) 50 0 0 0.1 0.2 s 195 3 210 3 1.510 3 110 dm( s) 500 0 0 0.1 0.2 s Приведение сил Силы тяжести: G1Y m1 g 98.1 G2Y m2 g 98.1 G3Y m3 g 98.1 GY M g 981 Приведенные силы сопротивления: FпрG2( s ) G2Y VqS2Y( s ) FпрG( s ) GY VqKY( s ) FпрС( s ) FпрG2( s ) FпрG( s ) Работа сил сопротивления: s max FпрС( s ) ds 114.47 A С 0 Расчет управляющей силы Перемещение поршня под действием постоянной силы: s c 0.18 Конечное значение движущей силы F к рассчитаем по условию удержания объекта в конечном положении: Fк FпрС s max 944.086 Начальное значение движущей силы F н найдем из условия равенства ее работы за цикл работе сил сопротивления: Fн 100 Given Fн s c Fк Fн 2 s max s c A С Fн Find Fн 378.731 Управляющее воздействие (для обеспечения безударной работы механизма): зависимость силы от перемещения поршня кусочно-линейной функцией 0 0 A S s c 0.18 s 0.25 max Fн 378.731 A Fд Fн 378.731 F 944.086 к 196 Интерполяция (для ускорения вычислений): A F FпрС A s i i FпрДВ( s ) linterp A S A Fдs FпрС( s ) interp cF A s A F s Суммарная приведенная сила: Fпр ( s) cF lspline A s A F Fпр ( s ) FпрС( s ) FпрДВ( s ) 500 FпрС ( s ) FпрG2 ( s) 0 FпрG ( s) FпрДВ ( s ) 500 3 110 0 0.1 0.2 s П.5.4. Решение задачи динамики Работа внешних сил: s A C( s ) FпрС( s ) ds 0 A ( s ) A C( s ) A ДВ( s ) s A ДВ( s ) FпрДВ( s ) ds 0 8 A s max 1.594 10 15 A ( s )10 5 0 0 0.1 0.2 s 197 Обобщённая скорость: 2 A ( s ) V( s ) V( 0) 0 mпр ( s ) V s max 0 0.6 0.4 V( s ) 0.2 0 0 0.1 0.2 s Обобщённое ускорение: a( s ) Fпр ( s ) dm( s ) mпр ( s ) V( s ) 2 2 a( 0) 3.322 10 a s max 7.435 10 4 2 a( s) 0 2 4 0 0.1 0.2 s 198 Время движения механизма: s 1 ds t( s ) V( s ) 0 1.5 1 t ( s) 0.5 0 0 0.1 0.2 s Приложение 6. Синтез кулачковых механизмов 5 5 TOL 10 CTOL 10 Исходные данные Угол рабочего профиля: р 330 deg Угол удаления: у 120 deg Угол сближения: с 180 deg Угол дальнего выстоя: д р у с д deg 30 Коэффициенты пропорциональности ускорений в фазах удаления и сближения (см. Рис. 7.5): у 3 с 2.5 Примем a1 1 Вычислим a3 1 a2 a1 у 3 Ход толкателя: a4 a3 с 2.5 h 0.08 Угол давления: у 30 deg (удаление) с 50 deg (сближение) Угол передачи: у 1.047 у 2 с с 0.698 2 Аналог угловой скорости кулачка, характеризующий направление его вращения: 1 q1 199 П.6.1. Фазовые углы Соответствуют относительным углам ki на графиках Табл. 7.1 f0 0 a2 у f1 f0 90 deg a1 a2 f2 у 120 deg f3 у д 150 deg a4 с 278.571deg f4 f3 a3 a4 f5 р 330 deg П.6.2. Кинематические диаграммы Аналог ускорения В фазе удаления: aqу ( ) if 0 f 1 f1 f1 f2 sin if f1 f2 f2 f1 f2 f1 sin 0 if f2 f3 Функция Хевисайда: ( x) 0 if x 0 1 if x 0 В фазе сближения: aqс ( ) a3 f3 a3 a4 f4 a4 f5 if f3 f5 0 otherwise На интервале изменения обобщенной координаты от 0 до 2?: aq ( ) aqу ( ) if 0 f3 aqс ( ) otherwise 0 .001 2 4 2 0 aq( ) 2 4 6 0 100 200 300 deg 200 Аналог скорости и функция перемещения v q ( ) S( ) a q ( ) d 0 v q ( ) d 0 П.6.3. Кинематические функции контактной точки толкателя Фаза удаления Максимальная ордината функции перемещения: Масштабный коэффициент: у Hу h Hу S f2 2.094 26.18 Фаза сближения Максимальное перемещение: Hс S f3 S f5 3.525 Уточнение коэффициентов пропорциональности: a3 a3 h Hс 0.023 a4 a4 a3 0.057 Функция аналога ускорения Фаза удаления: sin f1 f1 if 0 f aqу ( ) 1 у f2 f f sin f f 2 1 2 1 if f f 1 2 у 0 if f2 f3 Фаза сближения: a3 f3 a3 a4 f4 a4 f5 if f3 f5 aqс ( ) 0 otherwise На интервале изменения обобщенной координаты от 0 до 2?: aq ( ) aqу ( ) if 0 f3 aqс ( ) otherwise Функция аналога скорости v q ( ) a q ( ) d 0 201 Интерполирование (для ускорения вычислений): N 240 A vq v q A i i 2 i 0 N N A i i v q ( ) linterp A A vq Функция перемещения S( ) v q ( ) d S f2 0.08 S f3 0.08 0 0.1 0 vq ( ) S( ) 0.1 aq( ) 0.2 0.3 0 100 200 300 deg П.6.4. Расчет основных параметров механизма с поступательно перемещающимся толкателем П.6.4.1. Геометрическая интерпретация формулы угла давления Аналог угловой скорости кулачка: q1 1 Максимальное значение аналога скорости при подъеме достигается при f 90 deg 1 Максимальное значение аналога скорости при спуске достигается при f 278.571deg 4 v q ( ) v q ( ) q1 202 0 Траектория контактной точки толкателя: X тр 0 0 Yтр h Для левой и правой наиболее удаленных точек: fл f1 if q1 fп 1 f4 otherwise л у if q1 f4 if q1 f1 otherwise п 1 с otherwise л у if q1 1 с if q1 1 у otherwise п 1 с otherwise с if q1 1 у otherwise 0.1 0.08 S( ) S fл S fп 0.06 0.04 Yтр 0.02 0 0.1 0.05 0 0.05 0.1 vq ( ) vq fп vq fл X тр 203 П.6.4.2. Приближенный расчет основных параметров Изначально задано, что касательная пройдет через точки 1f и f4 Начальные приближения: s h 0.08 0 e 0 Given v q fп e tan п v q fл e tan л s 0 S fл s 0 S fп s 0пр Find s 0 e eпр Приближенные значения основных параметров: s 0пр 0.037 2 eпр 0.021 2 r0пр s 0пр eпр 0.042 Уравнение прямой, проходящей через заданную точку под углом ? xп( y ) eпр tan п y s 0пр Слева: xл( y ) eпр tan л y s 0пр Справа: y s 0пр 0.001 h 0 .001 2 0.1 S( ) S fп S fл 0.05 y y 0 Yтр 0.05 0.1 0.05 0 0.05 vq ( ) vq fл vq fп xл( y ) xп( y ) Xтр 204 П.6.4.3. Точный расчет Расчет значений обобщенной координатыл?и ?п в точках касания (в которых угол давления равен допустимому) Уравнение касательной, из которого находится параметр?п точки касания (касательная к кривой справа): vq( ) Kп( ) tan п aq ( ) Начальное приближение: п fп 6 89.75 deg Given 5 Kп п 10 п Minerr п 73.9 deg Уравнение касательной, из которого находится параметр?л точки касания (касательная к кривой слева): vq( ) Kл( ) tan л aq ( ) Начальное приближение: л fл 6 278.321deg Given Kл л 5 10 л Minerr л 281.924deg Способ 1 Начальные приближения: Y s 0 0.08 X 0 Given Y S п tan п X v q п Y S л tan л X v q л 7 10 7 10 s0 Find( Y X ) e 205 Точные значения основных параметров: s 0 0.041 2 e 0.025 2 r0 s 0 e 0.047 Уравнение прямой, проходящей через заданную точку под углом ? xп( y ) e tan п y s 0 Слева: xл( y ) e tan л y s 0 Справа: y s 0 0.001 h 0 .001 2 0.1 S( ) S л S п 0.05 y y 0 Yтр 0.05 0.1 0.05 0 0.05 0.1 vq ( ) vq п vq л xп( y ) xл( y ) Xтр Способ 2 Начальные приближения: s 0 0.02 e 0 Given s 0 S п v q л e tan л s 0 S л tan п vq п e s0 Find s 0 e e 206 Точные значения основных параметров: s 0 0.041 2 e 0.025 2 r0 s 0 e 0.047 Уравнение прямой, проходящей через заданную точку под углом ? xп( y ) e tan п y s 0 Слева: xл( y ) e tan л y s 0 Справа: y s 0 0.001 h 0 .001 2 0.1 S( ) S л S п 0.05 y y Y тр 0 0.05 0.1 0.05 0 0.05 0.1 v q ( ) v q п v q л xп ( y ) xл ( y ) X тр Проверка полученных результатов Приближенный расчет: r0пр 0.042 eпр 0.021 Точный расчет: r0 0.047 e 0.025 Погрешность: r r0 r0пр r0 11.172% e e eпр e 16.277% 207 П.6.4.4. График угла давления tg( ) vq( ) e s 0 S( ) ( ) atan ( tg( ) ) 50 ( ) deg у 0 deg с deg 50 0 100 200 300 deg П.6.4.5. Построение профиля кулачка Уравнение окружности, радиус которой равен эксцентриситету: xA ( ) e cos ( ) y A ( ) e sin ( ) Уравнение окружности минимального радиуса: xB( ) xA ( ) s 0 sin ( ) y B( ) y A ( ) s 0 cos ( ) Уравнения центрового профиля, полученные преобразованием координат y C( ) q1 e sin ( ) s 0 S( ) cos ( ) xC( ) e cos ( ) q1 s 0 S( ) sin ( ) 0.05 0 y C( ) 0.05 y B( ) 0.1 0.15 0.15 0.1 0.05 0 0.05 0.1 xC( ) xB( ) 208 Построение конструктивного профиля Радиус ролика: rрол 0.02 Уравнения конструктивного профиля: xK( ) q1 q1 xC( ) rрол cos 2 y K( ) y C( ) rрол sin 2 q1 ( ) q1 ( ) Уравнения окружности ролика: f 0 xр ( ) xC( f ) rрол cos ( ) y р ( ) y C( f ) rрол sin ( ) Уравнения прямой толкателя: xC( f ) xC( f ) h sin ( f ) X 0 24 y C( f ) y C( f ) h cos ( f ) Y 2 0.2 0.1 y A( ) y B( ) y C( ) y K( ) 0 yр( ) Y 0 0.1 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0.05 0.1 xA( ) xB( ) xC( ) xK( ) xр ( ) X 0 209 П.6.5. Расчет основных параметров механизма с качающимся тол‐ кателем Расчет производится для ранее заданного закона движения контактной точки и регламентированных допустимых углов давления Аналог угловой скорости кулачка, характеризующий направление его вращения: 1 q1 Длина толкателя: lт 0.15 Угловое перемещение толкателя: ( ) 2 S( ) lт ( ) lт v q ( ) q1 Координаты контактной точки: Nx( ) ( ) cos 2( ) XB( ) lт cos 2( ) YB( ) lт sin 2( ) Ny ( ) ( ) sin 2( ) Yr( XxFi) tan 2( Fi) Xx Nx( Fi) Ny ( Fi) П.6.5.1. Расчет координат центра вращения кулачка. Метод "линии уров‐ ня" Угловые коэффициенты касательных: kVi( ) у q1 if f0 f2 2 tan 2( ) с q1 if f3 f5 2 tan 2( ) (удаление) (сближение) 0 otherwise Максимальное значение аналога скорости при подъеме достигается при f 90 deg 1 Максимальное значение аналога скорости при спуске достигается при f 278.571deg 4 fп f4 if q1 fл 1 f1 otherwise Уравнение прямой: f1 if q1 1 f4 otherwise b Vi( ) Ny ( ) kVi( ) Nx( ) Координаты точки пересечения прямых (первое приближение): kVi fл b Vi fп kVi fп b Vi fл 0.03 Y1 kVi fл kVi fп b Vi fл b Vi fп X1 0.145 kVi fл kVi fп 210 Вспомогательный график XVi( ) Y1 b Vi( ) kVi( ) X1 0.2 0.1 XVi( ) 0 0.1 0 100 200 300 deg Левый экстремум: Начальное приближение: Vmin 50 deg Given XVi Vmin 0.1 60 deg Vmin 130 deg Vmin Minerr Vmin 67.5 deg Правый экстремум: Начальное приближение: Vmax 245 deg Given XVi Vmax 220 deg Vmax 320 deg 0.1 Vmax Minerr Vmax 279 deg Координаты точки пересечения прямых (второе приближение): 0.136 b Vi Vmax b Vi Vmin X2 kVi Vmax kVi Vmin Y2 kVi Vmax kVi Vmin kVi Vmax b Vi Vmin kVi Vmin b Vi Vmax 0.041 П.6.5.2. Геометрическая интерпретация формулы угла давления j 0 2 x1 Nx fп 0 y1 Ny fп 0 x2 Nx Vmin 0 y2 Ny Vmin 0 x1 X1 1 y1 Y1 1 x2 X2 1 y2 Y2 1 x1 Nx fл 2 y1 Ny fл 2 x2 Nx Vmax 2 y2 Ny Vmax 2 211 0.1 Ny ( ) 0 Ny fп Yr X fп Yr X fл Ny fл 0.05 YB( ) 0 y1 j y2 j 0.05 0 0.05 0.1 2 2 0.15 N x( ) 0 Nx f1 N x f4 X X XB( ) x1j x2j Межосевое расстояние: aw X2 Y2 0.142 Начальный угол толкателя: 20 atan Y2 16.776deg X2 П.6.5.3. График угла давления vq ( ) q1 aw cos 20 2( ) lт aw sin 20 2( ) ( ) atan 50 ( ) deg у deg 0 с deg 50 0 100 200 300 deg 212 Проверка ограничения угла давления i1 60 deg Given Given i2 i1 i2 270 deg 40 deg 30 deg i1 90 deg 60 deg 240 deg i2 300 deg Vmin 30 deg min Minerr i2 max Minerr i1 Vmax 50 deg max 30.083deg min 50 deg Ограничение соблюдается, точность решения можно считать достаточной. Координаты центра вращения кулачка: Межосевое расстояние: 2 Xк X2 0.136 Yк Y2 0.041 2 aw X2 Y2 0.142 Минимальный радиус кулачка: r0 Xк lт2 Yк2 0.043 213
