Измерение физических величин в квантовых системах. МГТУ, 2001

Московский государственный технический университет
им. Н.Э. Баумана
Л.К.Мартинсон, Е.В.Смирнов
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ
РАЗДЕЛ “ИЗМЕРЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
В КВАНТОВЫХ СИСТЕМАХ”
Под редакцией Л.К.Мартинсона
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2001
Рецензент:
Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. Методические указания к решению задач по курсу общей физики: Раздел “Измерение физических величин в квантовых системах”/Под ред. Л.К.Мартинсона. - М.: Изд-во МГТУ им.
Н.Э.Баумана, 200_, ____ с.
Содержится краткий обзор основных понятий и соотношений теории,
необходимых для решения задач по одному из разделов квантовой механики.
Изложена методика решения типовых задач.
Для студентов II курса всех специальностей.
2
I. ПОСТУЛАТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
Квантовая механика принципиально отличается от классической механики в подходе к вопросу о результатах измерения физических величин в
квантовых системах.
Прежде всего, в квантовой механике физическая величина может
иметь дискретный спектр значений, тогда как в классической механике все
физические величины изменяются непрерывно.
Кроме того, результаты измерения в квантовой системе имеют вероятностный характер. Это означает, что в общем случае в процессе измерения
наблюдаемой физической величины в квантовой системе с определенной вероятностью может реализоваться одно из нескольких возможных значений
этой величины. Говорят, что в таком квантовом состоянии физическая величина не имеет определенного значения. В этом случае, зная волновую функцию, описывающую квантовое состояние, мы должны уметь предсказывать
среднее значение наблюдаемой физической величины, полученное из ряда
измерений.
Такой подход к вопросу о результатах измерения наблюдаемых физических величин в квантовой механике базируется на представлении физических величин операторами и разработке адекватного математического аппарата.
Сформулируем основные постулаты квантовой механики:
I. Каждому состоянию квантовой системы соответствует волновая
функция Ψ(x, y, z, t), определяющая это состояние. Волновая функция находится из решения уравнения Шредингера.
II. Каждой наблюдаемой физической величине f в квантовой механике
ставится в соответствие некоторый линейный самосопряженный (эрмитов)
оператор Φ̂ , действие которого на волновую функцию задается при его оп3
ределении. Соотношения между квантовомеханическими операторами аналогичны соотношениям, связывающим в классической механике соответствующие физические величины.
III. Единственным возможным результатом измерения наблюдаемой
физической величины f может быть только собственное значение fn соответствующего ей оператора Φ̂ .
Собственные значения оператора Φ̂ находятся из решения уравнения
Φ̂ Ψn = f n Ψn .
(1.1)
Это уравнение имеет набор собственных функций Ψn и собственных значений fn. В случае дискретного спектра физической величины этот набор представляет собой счетное множество (n=1, 2, ...).
Система собственных функций оператора любой физической величины
представляет собой полную ортонормированную систему функций. Поэтому
любую волновую функцию Ψ всегда можно разложить в ряд по таким собственным функциям:
Ψ = ∑ C n Ψn ,
(1.2)
n
причем коэффициенты этого разложения можно определить по формуле
Cn =
∫ Ψn ΨdV .
∗
R
(1.3)
N
Здесь интегрирование ведется по всей области RN изменения пространственных переменных размерности N. При использовании декартовой системы
координат в одномерных задачах dV=dx для N=1, в двумерных задачах
dV=dxdy для N=2 и в трехмерных задачах dV=dxdydz для N=3.
Если для некоторого квантового состояния волновая функция Ψ не является собственной функцией оператора Φ̂ , то в этом квантовом состоянии
физическая величина f не имеет определенного значения. Вероятность Pn то-
4
го, что при измерении физической величины f в этом квантовом состоянии
будет получено численное значение fn, находится по формуле
2
Pn = C n ,
(1.4)
а среднее значение (математическое ожидание) физической величины по результатам большого числа измерений можно определить как
( )
ˆ Ψ dV .
f = ∑ Pn f n = ∫ Ψ ∗ Φ
n
(1.5)
RN
Необходимым и достаточным условием возможности одновременного
точного измерения двух физических величин a и b является коммутативность соответствующих им операторов Â и B̂ , то есть выполнение равенства
(1.6)
[Aˆ , Bˆ ] ≡ Aˆ Bˆ − Bˆ Aˆ = 0 .
Если же коммутатор [Aˆ , Bˆ ] двух операторов не равен нулю, то соответствующие им две физические величины не могут быть измерены одновременно и точно. Для таких физических величин справедливы соотношения
неопределенностей вида ∆a⋅∆b > 0, утверждающие что обе неопределенности ∆a и ∆b не могут одновременно стремиться к нулю.
5
II. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
ОПЕРАТОРАМИ
Приведем выражения для операторов основных физических величин
квантовой механики:
Операторы координат. Действие этих операторов на волновую функцию
сводится к умножению ее на координату. В операторной форме это можно
записать в виде равенств
xˆ = x , yˆ = y , zˆ = z .
(2.1)
Отметим, что операторами умножения на соответствующие координаты являются также операторы координат в цилиндрической и сферической системах координат.
Операторы проекций импульса. Эти операторы связаны с дифференцированием по соответствующим координатам, причем
pˆ x = −i!
∂
∂
∂
, pˆ y = −i! , pˆ z = −i! .
∂x
∂z
∂y
(2.2)
Используя известное соотношение классической механики, можно построить
оператор квадрата импульса по правилу
∂2 ∂2 ∂2 
2
2
2
pˆ 2 = ( pˆ x ) + (pˆ y ) + ( pˆ z ) = − ! 2  2 + 2 + 2 
∂y
∂z 
 ∂x
(2.3)
или, используя оператор Лапласа,
pˆ 2 = − ! 2 ∆ .
(2.4)
Операторы проекций момента импульса. С использованием классической
"
" "
формулы для момента импульса материальной точки L = [r , p ], можно построить операторы проекций момента импульса по правилам
6
 ∂
∂ 
Lˆ x = yˆ pˆ z − zˆpˆ y = −i! y − z 
∂y 
 ∂z
∂ 
 ∂
Lˆ y = zˆpˆ x − xˆpˆ z = −i! z − x  .
∂z 
 ∂x
 ∂
∂ 
Lˆ z = xˆpˆ y − yˆ pˆ x = −i! x − y 
∂x 
 ∂y
(2.5)
В сферической системе координат

∂
∂ 
Lˆ x = −i! sin ϕ
+ ctg θ cos ϕ

∂θ
∂ϕ 

∂
∂ 

Lˆ y = −i! cos ϕ
− ctg θ sin ϕ
.
∂θ
∂ϕ 

∂
Lˆ z = −i!
∂ϕ
(2.6)
Оператор L̂z имеет дискретный спектр собственных значений
L z = m h, где m=0, ±1, ±2, ...
(2.7)
каждому из которых соответствует собственная функция
Ψm (ϕ) =
1 imϕ
e
2π
(2.8)
Эти собственные функции ортонормированы, так что
1, ecли n = m
*
Ψ
Ψ
=
.
∫ m (ϕ) n (ϕ) d ϕ 
0
0, ecли n ≠ m
2π
Для оператора квадрата момента импульса
2
 ∂
∂

Lˆ = Lˆ + Lˆ + Lˆ = − !  z − y  +
∂z 
 ∂y
2
2
x
2
y
2
z
2
2
∂   ∂
∂ 
 ∂
+  x − z  +  y − x 
∂x   ∂x
∂y 
 ∂z
2

.

(2.9)
В сферической системе координат оператор Лапласа
∆ = ∆r +
1
∆ Θ,ϕ
r2
может быть записан с выделением его радиальной части
7
∆r =
1 ∂  2 ∂

r
r 2 ∂r  ∂r 
и угловой части
∆θ ,ϕ
1 ∂ 
1 ∂2
∂ 
sin
θ
.
=

+
sin θ ∂θ 
∂θ  sin 2 θ ∂ϕ 2
В таких обозначениях оператор квадрата момента импульса в сферической системе координат преобразуется к виду
Lˆ2 = − ! 2 ∆θ ,ϕ .
(2.10)
Спектр собственных значений оператора L̂2 является дискретным
L2 = ! 2l (l + 1) , l=0, 1, 2, ....
(2.11)
причем каждому собственному значению с заданным значением l соответствуют (2l + 1) собственных функций Ψlm=Ylm(Θ,ϕ), отличающихся значениями
целочисленного параметра m=0, ±1, ±2, ..., ±l. Каждому значению m соответствуют определенные значения проекции момента импульса Lz, которые определяются формулой (2.7).
Функции Ylm(Θ,ϕ) называются шаровыми или сферическими функциями. Приведем явный вид нескольких первых нормированных сферических
функций:
Y 0, 0 =
1
3
3
, Y1, 0 =
cos θ , Y1, ± 1 =
sin θ e ± iϕ .
4π
8π
4π
(2.12)
Эти функции нормированы условием
2π
π
0
0
∫ ∫ Y l,mY l,m sin θ d θ d ϕ = 1.
*
Операторы энергий.
Оператор кинетической энергии определим, пользуясь классической
формулой связи кинетической энергии частицы массы m0 и ее квадрата им-
8
пульса: E K =
p2
. Аналогичное соотношение связывает операторы в кван2m0
товой механике. Поэтому, с учетом (2.4), получаем
pˆ 2
!2
Eˆ K =
=−
∆
2m0
2m0
(2.13)
Оператор потенциальной энергии представляет собой оператор умножения на функцию U=U(x, y, z), определяющую потенциальную энергию
частицы в стационарном силовом поле, то есть
Uˆ = U (x, y , z ) .
(2.14)
Оператор полной энергии в квантовой механике называют оператором
функции
Гамильтона
или
просто
гамильтонианом.
Гамильтониан
H$ определяется как сумма операторов кинетической и потенциальной энергий и имеет вид
!2
Hˆ = Eˆ K + Uˆ = −
∆ + U (x, y , z ) .
2m0
(2.15)
Выражение (2.15) можно использовать и в случае нестационарных силовых полей, понимая под Uˆ = U (x, y , z, t ) силовую функцию, связанную с си"
лой, действующей на частицу, соотношением F = −∇U .
9
III. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 1. Докажите, что оператор проекции импульса p̂ x является линейным самосопряженным (эрмитовым) оператором.
Решение. Линейность оператора pˆ x = −i!
∂ !∂
очевидна, поскольку
≡
∂x i ∂x
дифференцирование является линейной операцией. Покажем, что оператор
p̂ x является эрмитовым оператором, то есть для него выполняется условие
самосопряженности
∫ Ψ ( pˆ Ψ )dV = ∫ Ψ ( pˆ Ψ ) dV .
*
1
R
*
x
2
2
N
R
x
(3.1)
1
N
Здесь Ψ1 и Ψ2 - две произвольные функции, для которых выполнены все условия, накладываемые на волновые функции. В частности, эти функции
должны обращаться в нуль вместе с производными на границе рассматриваемой области.
Для упрощения выкладок ограничиваемся рассмотрением одномерного
случая, когда функции Ψ1 и Ψ2 зависят только от одной пространственной
координаты x. Тогда имеем
+∞
+∞
+∞
+∞
∂Ψ
∂Ψ *
!
!
I = ∫ Ψ ( pˆ x Ψ2 )d x = ∫ Ψ1* 2 d x = Ψ1*Ψ2 + i! ∫ Ψ2 1 d x .
i −∞
i
∂x
∂x
−∞
−∞
−∞
*
1
Поскольку по условию Ψ1 (m∞) = Ψ2 (m∞) = 0 , то
+∞
+∞
 ∂Ψ1* 
∂Ψ1*
I = i! ∫ Ψ2
d x = ∫ Ψ2  i!
 d x =
∂x
 ∂x 
−∞
−∞
=
+∞
*
+∞
∂Ψ 
*

∫−∞Ψ2  − i! ∂x1  d x = −∫∞Ψ2 ( pˆ x Ψ1 ) d x.
Таким образом, показано выполнение условия самосопряженности
+∞
*
∫ Ψ1 ( pˆ x Ψ2 )d x. =
−∞
для оператора проекции импульса.
10
+∞
∫ Ψ ( pˆ Ψ ) d x
*
2
−∞
x
1
Задача 2. Стационарное квантовое состояние частицы массы m0, движущейся в одномерной потенциальной яме ширины a с абсолютно непроницаемыми стенками, описывается волновой функцией
 2
nπx
 sin
Ψn (x ) =  a
a

0

0< x < a
,
,
(3.2)
, x < 0, x > a
где n = 1, 2, ... - квантовое число, определяющее состояние частицы.
Определите: а) среднее значение координаты частицы x , б) среднее
значение проекции импульса < px > и в) среднее значение квадрата импульса
частицы < p2 >.
Решение. а) Согласно (1.5), учитывая, что Ψn* = Ψn , находим
+∞
a
x = ∫ Ψ (x ){xˆΨn (x )}d x = ∫ Ψn (x )⋅ x ⋅ Ψn (x )d x .
*
n
−∞
0
Подставляя выражение для волновой функции частицы (3.2), получаем
a
a
a
nπx
2
1 
2nπx 
x = ∫ x sin 2
d x = ∫ x 1 − cos
dx = .
a 
a0
a
a0 
2
Этот результат физически достаточно очевиден. Частица движется в пространстве между непроницаемыми стенками ямы x=0 и x=a, отражаясь от
них. Поэтому среднее значение координаты частицы должно соответствовать центру ямы.
б) Аналогично, используя выражение (2.2) для оператора p$x , находим
среднее значение проекции импульса
+∞
 ! ∂Ψn 
p x = ∫ Ψn* (x ){pˆ x Ψn (x )}d x = ∫ Ψn (x )
d x =
i
x
∂


0
−∞
a
a
nπ x
! ∂Ψ 2
!
= ∫ n d x = sin 2
= 0.
2i 0 ∂x
ia
a 0
a
Отметим, что значение < px >=0 для частицы в яме получается и в
классической механике. Для классической частицы этот результат очевиден,
11
так как частица движется вдоль оси x, отражаясь от стенок ямы, а ее импульс
направлен то в одну, то в другую, противоположную сторону. Поэтому среднее значение проекции импульса частицы на ось x оказывается равным нулю.
в) Найдем теперь среднее значение квадрата импульса < p2 >. Поскольку мы имеем дело с одномерным случаем, то из (2.3) следует, что
∂2
pˆ = pˆ = − !
∂x 2
2
2
x
2
Очевидно, что хотя среднее значение проекции импульса < px > равно
нулю, среднее значение квадрата импульса < p2 > у движущейся частицы
должно быть отличным от нуля. Какое же в среднем значение квадрата импульса будет получено в серии измерений? Согласно (1.5)
p
2
+∞
a
2! 2
nπ x ∂ 2  nπ x 
sin
= ∫ Ψ (x ){pˆ Ψn (x )}d x = −
 sin
d x =
a ∫0
a ∂x 2 
a 
−∞
*
n
2
a
=
2 ! 2 n 2π 2
nπ x
2 ! 2 n 2π 2 a
dx =
⋅ 2 ∫ sin 2
⋅ 2 ⋅ .
a
a 0
a
a
a
2
Таким образом, в состоянии частицы с квантовым числом n
2
p
π 2 h2 2
= 2 n .
a
В том, что значение < p2 > найдено правильно, можно убедиться и другим способом. Действительно, покажем, что волновая функция (3.2) является
собственной функцией оператора p̂ 2 . Подействовав на нее оператором квадрата импульса
pˆ 2 Ψn (x ) = − ! 2
∂2
∂x 2
 2
nπ x  π 2 ! 2 n 2


 a sin a  = a 2


2
nπ x π 2 ! 2 n 2
sin
=
Ψn (x ) ,
a
a
a2
мы получаем в результате такого действия ту же волновую функцию, умноженную на некоторое число
π 2 h2 n2
, которое является собственным значеa2
нием оператора квадрата импульса.
12
Согласно общим положениям квантовой механики, этот результат показывает, что в квантовых состояниях, описываемых волновыми функциями
(3.2) при любых значениях n квадрат импульса частицы имеет определенное
значение, равное соответствующему собственному значению оператора p̂ 2 .
Поэтому при измерении p2 всегда будет получаться одно и то же значение
π 2 h2 n2
.
p =
a2
2
Следовательно, эта же величина определит и среднее значение квадрата импульса в серии измерений, то есть
2
p
π 2 h2 2
= 2 n .
a
Задача 3. Частица в некоторый момент времени находится в состоянии, описываемом волновой функцией, координатная часть которой имеет
вид
 x2

Ψ(x ) = A exp − 2 + ikx  , −∞ < x < +∞
 a

(3.3)
где A и a - некоторые постоянные, а k - заданный параметр, имеющий размерность обратной длины. Определите среднее значение проекции импульса
< px > частицы в этом состоянии.
Решение. Так как для волновой функции (3.3)
pˆ x Ψ = −i!
2! 
∂Ψ 
=  k! + 2 x  Ψ (x )
a 
∂x 
то по правилу (1.5) нахождения среднего значения имеем
+∞
px
+∞
= ∫ Ψ (x ){pˆ x Ψ (x )}d x = k! ∫ Ψ * (x )Ψ (x )d x +
*
−∞
+
−∞
+∞
2!
2!
xΨ * (x )Ψ (x )d x = k!I 1 + 2 I 2 .
2 ∫
a −∞
a
Из условия нормировки волновой функции
13
I1 =
+∞
*
∫ Ψ (x )Ψ(x ) d x = 1.
−∞
Во втором интеграле подынтегральная функция является нечетной функцией
координаты x, а интегрирование проводится в симметричных пределах от -∞
до +∞. Поэтому этот интеграл равен нулю, то есть
+∞
+∞
 2x 2 
I 2 = ∫ x Ψ (x )Ψ(x ) d x = A ∫ x exp − 2  d x = 0 .
 a 
−∞
−∞
*
2
Поэтому, окончательно, находим отличное от нуля среднее значение
проекции импульса частицы
px = k h.
Задача 4. Найдите среднее значение потенциальной энергии квантового осциллятора с частотой ω0 в первом возбужденном состоянии, описываемом волновой функцией
 m ⋅ ω 0x 2 
Ψ(x ) = Ax exp −
 , −∞ < x < +∞ .
2h 

(3.4)
Здесь A - некоторая нормировочная постоянная, а m - масса частицы.
Решение. Так как потенциальная энергия осциллятора
kx 2 m ⋅ ω 0 x 2
=
U (x ) =
,
2
2
то в соответствии с (1.5) и (2.14) среднее значение потенциальной энергии
осциллятора находим по формуле
{
+∞
}
+∞
U = ∫ Ψ * (x ) UˆΨ (x ) d x = ∫ Ψ (x )U (x )Ψ (x )d x =
−∞
=
m ⋅ω
2
−∞
2 +∞
0
 m ⋅ω0 x 2 
2 4
 −
 d x.
A
x
exp
∫
!


−∞
Интегрируя один раз по частям, получим
14
+∞
 m ⋅ ω0x 2 
m ⋅ ω 20
h
2 2
U =
3 ∫ A x exp −
⋅
dx .
h 
2
2m ⋅ ω 0 −∞

Так как по условию нормировки волновой функции
+∞
∫ Ψ (x )
−∞
2
+∞
 m ⋅ ω0x 2 
d x = ∫ A x exp −
 d x = 1,
h


−∞
2
2
то для средней потенциальной энергии осциллятора получаем, окончательно,
значение
3
U = hω 0 .
4
Правильность полученного результата можно обосновать следующим образом. Как и при гармонических колебаниях классического осциллятора, средняя потенциальная энергия квантового осциллятора равна его средней кинетической энергии, а их сумма составляет полную энергию осциллятора.
В квантовой механике полная энергия осциллятора определяется известной формулой
1

E n = hω 0  n +  , n=0, 1,2, .... .

2
Для первого возбужденного состояния (n=1) полная энергия осциллятора
3
равна E1 = hω 0 . Тогда для средней потенциальной энергии такого кванто2
вого осциллятора получаем значения
1
3
U = E1 = hω 0 .
2
4
Задача 5. В основном состоянии атома водорода волновая функция
электрона имеет вид
 r
Ψ(r) = A exp −  , 0≤ r<∞
 r1 
(3.5)
15
где A - нормировочная константа, а r1 - значение боровского радиуса. Найдите для этого состояния средние значения:
а) модуля кулоновской силы, действующей на электрон;
б) потенциальной энергии взаимодействия электрона с ядром;
в) кинетической энергии движущегося электрона.
Решение. Константу A найдем из условия нормировки волновой функции, которое в сферической системе координат запишется в виде
A
2
∞
 2r 
∫ exp − r1  4πr
2
d r = 1.
0
Отсюда
2  r1 
4πA  
 2
3∞
∫ξ
2 −ξ
e d ξ = 1.
0
Интегрируя по частям, находим
∞
∞
∞
I = ∫ ξ e d ξ = 2∫ ξe d ξ = 2∫ e− ξ d ξ = 2
0
2 −ξ
−ξ
0
0
и вычисляем нормировочную константу
A=
1
π ⋅ r13
.
а) В сферической системе координат модуль кулоновской силы зависит от
расстояния r электрона до ядра, причем
e2
F (r) =
.
4πε 0r 2
Оператор модуля кулоновской силы F̂K есть оператор умножения на функцию F(r).
Среднее значение модуля кулоновской силы вычисляем по формуле
(1.15):
16
{
∞
}
∞
F = ∫ Ψ (r ) FˆK Ψ (r ) 4πr 2 d r = ∫ Ψ (r )F (r )Ψ (r )4πr 2 d r =
*
0
=
0
2 ∞
∞
 2r 
e
e  r1  −ξ
e2
2


exp
d
e
d
.
A
r
ξ
−
=
=
 
 r 
2πε 0 r12
ε 0 ∫0
πε 0 r13  2  ∫0
 1 
2
б) Потенциальная энергия электрона в поле ядра
e2
,
U (r ) = −
4πε 0r
а оператор потенциальной энергии Û есть оператор умножения на функцию
U(r).
Поэтому
{
∞
}
∞
U = ∫ Ψ * (r ) UˆΨ (r ) 4πr 2 d r = ∫ Ψ (r )U (r )Ψ (r )4πr 2 d r = −
0
0
e2
I1 .
4πε 0
Здесь
∞
 2r 
1
4π  r 
I1 = ∫ A exp −  4πr 2 d r = 3  1 
r
 r1 
πr1  2 
0
2
2∞
∫ ξe
−ξ
0
dξ =
1
.
r1
Таким образом, среднее значение потенциальной энергии электрона в основном состоянии атома водорода равно
e2
.
U =−
4πε 0r1
в) В сферической системе координат для волновой функции (3.5)
 r
!2
!2 1 d  2 d Ψ 
!2  2 1 
 −  A exp −  .
Eˆ K Ψ = −
r
∆Ψ = −
⋅ 2⋅ 
=
2m0
2m0 r d r  d r  2m0 r1  r r1 
 r1 
Поэтому вычисляя среднее значение кинетической энергии электрона по
формуле (1.15), получим
∞
{
}
E K = ∫ Ψ * (r ) Eˆ K Ψ (r ) 4πr 2 d r =
0
−
∞
 2r 
1
!2
A2 exp − 4πr 2 d r −
∫
m0 r1 0
r
 r1 
∞
 2r 
!
!2
!2
2
2


A
exp
4
r
d
r
I
I2.
−
=
−
π
1
 r 
2m0 r12 ∫0
m0 r1
2m0 r12
 1 
2
17
Первый интеграл I1 был вычислен в пункте б) , причем I1=1/r1. Второй интеграл I2=1 в силу условия нормировки волновой функции (3.5). Следовательно, среднее значение кинетической энергии электрона равно
EK
h2
h2
h2
=
−
=
.
m0r12 2m0r12 2m0r12
Для проверки найденных значений U и E K заметим, что их сумма
должна быть равна полной энергии электрона в основном состоянии атома
водорода
E1 = −
m 0 e4
.
32π 2 ε 20 h2
Если учесть, что боровский радиус
r1 =
4 πε 0 h2
,
m 0 e2
то для полученных значений U и E K
действительно имеет место равен-
ство
U + EK
m 0 e4
h2
e2
=−
+
=−
= E1 .
4πε 0r1 2m0r12
32π 2 ε 20 h2
Задача 6. Определите возможные результаты измерений квадрата модуля момента импульса L2 и его проекции Lz на выделенное направление для
частицы, находящейся в состоянии, описываемом волновой функцией
Ψ(θ, ϕ) = A sin θ cos ϕ ,
(3.6)
где θ - полярный угол, ϕ - азимутальный угол, а A - некоторая нормировочная постоянная.
Решение. В сферической системе координат уравнение Шредингера
допускает разделение переменных. В этом случае оказывается возможным
исследовать зависимость волновой функции от угловых переменных, отвле18
каясь от ее зависимости от радиальной переменной. Именно такой случай
рассматривается в данной задаче.
Условие нормировки для волновой функции Ψ(θ,ϕ) имеет вид
2π
π
0
0
*
∫ ∫ Ψ (θ, ϕ)Ψ(θ, ϕ) sin θ d θ d ϕ = 1 .
Подставляя в эту формулу волновую функцию вида (3.6), получим
A
2
2π
∫ cos
0
2
π
ϕ d ϕ ∫ sin 3 θ d θ = 1 .
0
Поскольку
2π
∫ cos
2
π
ϕdϕ = π ,
а
0
∫ sin
0
то для константы A получаем значение A =
3
θd θ =
4
,
3
3
.
4π
Используя формулу Эйлера, представим cosϕ в комплексной форме
cosϕ =
(
)
1 iϕ
e + e− iϕ .
2
Тогда нормированную волновую функцию (3.6) можно представить в виде
разложения в ряд по собственным функциям (2.12) оператора L̂2 :
3
1
1
3
1
3
1

sin θ e iϕ + e − iϕ  =
sin θeiϕ +
sin θe − iϕ =
2

4π
2
2 8π
2 8π
1
1
=
Y1, +1 (θ, ϕ) +
Y1, −1 (θ, ϕ).
2
2
Ψ(θ, ϕ) =
Поскольку в этом разложении присутствуют только собственные
функции оператора L̂2 , отвечающие значениям l=1, то с учетом (2.11) это означает, что результатом измерения квадрата момента импульса всегда будет
одно и то же значение L2 = 2h2 . Для модуля момента в результате измерения
получим L = 2h . Однако, два слагаемых в найденном разложении отличаются значениями m=+1 и m=-1. Следовательно, при измерении проекции мо19
мента импульса частицы, находящейся в рассматриваемом квантовом состоянии, будут реализовываться два значения
L z = +h
L z = −h .
и
Эти значения при измерениях будут получаться с вероятностями, которые определяются квадратами модулей коэффициентов C1 и C2 в разложении
волновой функции в ряд по собственным функциям оператора L̂2 . Так как в
1
, то эти вероятности одинаковы и равны
2
нашем случае C1 = C 2 =
P (+ h) =
1
2
P (− h) =
и
1
2
Среднее значение результатов измерения Lz при этом будет равно нулю, так как
1
1
L z = P (+ h)h + P (− h)(− h) = h − h = 0.
2
2
Этот результат можно получить и формальным вычислением по формуле
(1.15). Действительно
∂Ψ
Lˆ z Ψ = −i!
= i!A sin θ sin ϕ .
∂ϕ
Поэтому
Lx =
2π
π
0
0
2π
π
0
0
∫ ∫ Ψ (θ ,ϕ ){Lˆ Ψ (θ ,ϕ )}sinθ dθ d ϕ =
*
z
= i!A2 ∫
3
∫ sin θ sinϕ cosϕ dθ d ϕ =
π
2π
i!A2
sin 3 θ d θ ∫ sin 2ϕ d ϕ .
∫
2 0
0
Так как второй интеграл в полученном соотношении равен нулю, то следовательно и L z = 0 .
Задача 7. Покажите, что операторы проекций момента импульса связаны коммутационным соотношением
[Lˆ , Lˆ ]= i!Lˆ .
x
20
y
z
(3.7)
Решение. Коммутатор операторов L̂x и L̂y имеет вид
[Lˆ , Lˆ ]= Lˆ Lˆ
x
y
x
y
− Lˆ y Lˆ x
С учетом явного вида операторов (2.5) имеем
[Lˆ , Lˆ ]= −!  y ∂∂z − z ∂∂y  z ∂∂x − x ∂∂z  −  z ∂∂x − x ∂∂z  y ∂∂z − z ∂∂y  =
2
x
y
 




 ∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
= − ! 2  y + yz
− yx 2 − z 2
+ zx
− zy
+ z2
+
∂ z∂ x
∂z
∂y∂x
∂y∂z
∂x∂z
∂x∂y
 ∂x
2
+ xy
2
2
2
2
2
∂2
∂
∂2 
∂
∂ 
2
x
xz
−
−
 = − !  y − x  = i!Lˆ z .
2
∂z
∂y
∂z∂y 
∂y 
 ∂x
Точно также можно получить коммутационные соотношения для других пар операторов проекций момента импульса:
[Lˆ , Lˆ ]= i!Lˆ ;
y
z
[Lˆ , Lˆ ]= i!Lˆ .
x
z
x
y
Вывод: три проекции момента импульса Lx, Ly, Lz не могут быть одновременно точно измерены.
Задача 8. Докажите, что оператор квадрата момента импульса L̂2 коммутирует с операторами L̂x , L̂y и L̂z .
Решение. По определению оператора L̂2
Lˆ2 = Lˆ2x + Lˆ2y + Lˆ2z .
Следовательно
[Lˆ , Lˆ ]= [Lˆ , Lˆ ]+ [Lˆ , Lˆ ]+ [Lˆ , Lˆ ]
2
2
x
x
2
y
x
x
2
z
(3.8)
x
Для первого слагаемого в (3.8) находим
[Lˆ , Lˆ ]= Lˆ Lˆ
2
x
2
x
x
x
− Lˆ x Lˆ2x = Lˆ3x − Lˆ3x = 0 .
Второе и третье слагаемое в (3.8) преобразуем, воспользовавшись коммутационными соотношениями, полученными в задаче 7:
[Lˆ , Lˆ ] = −i!Lˆ ;
y
x
z
[Lˆ , Lˆ ]= i!Lˆ .
z
x
y
С учетом этих соотношений
21
[Lˆ , Lˆ ]= Lˆ Lˆ − Lˆ Lˆ = Lˆ Lˆ Lˆ − Lˆ Lˆ Lˆ + Lˆ Lˆ Lˆ − Lˆ Lˆ Lˆ =
= Lˆ [Lˆ , Lˆ ]+ [Lˆ , Lˆ ]Lˆ = −i!(Lˆ Lˆ + Lˆ Lˆ ),
[Lˆ , Lˆ ]= Lˆ Lˆ − Lˆ Lˆ = Lˆ Lˆ Lˆ − Lˆ Lˆ Lˆ + Lˆ Lˆ Lˆ − Lˆ Lˆ Lˆ =
= Lˆ [Lˆ , Lˆ ]+ [Lˆ , Lˆ ]Lˆ = i!(Lˆ Lˆ + Lˆ Lˆ ).
2
y
2
y
x
y
y
2
z
y
2
z
z
2
y
x
x
x
z
x
x
x
x
y
x
y
y
y
2
z
x
z
y
z
x
z
z
z
x
z
x
y
z
z
y
y
x
z
x
y
x
y
y
y
x
z
y
z
z
x
z
z
Подставляя полученные выражения в (3.8), получаем
[Lˆ , Lˆ ] = 0
2
x
то есть оператор L̂2 коммутирует с оператором L̂x .
Аналогично доказывается коммутативность оператора L̂2 с операторами L̂y и L̂z .
Вывод: квадрат момента импульса может быть одновременно точно измерен
только с одной из его проекций.
Задача 9. Докажите, что оператор квадрата импульса p̂ 2 коммутирует
с оператором квадрата момента импульса L̂2 .
Решение. В сферической системе координат
1


pˆ 2 = − ! 2 ∆ = − ! 2  ∆ r + 2 ∆θ ,ϕ 
r


2
2
Lˆ = − ! ∆ .
θ ,ϕ
Поэтому
[pˆ , Lˆ ] = ! [∆ , ∆ ]+ r1 [∆
2
2
4

r
θ ,ϕ
[
2
θ ,ϕ

, ∆θ ,ϕ ] .

]
]=∆ ∆
В этом выражении коммутатор ∆ θ,ϕ , ∆ θ,ϕ = ∆2θ,ϕ − ∆2θ,ϕ = 0 .
[
Также равен нулю и коммутатор ∆ r , ∆ θ,ϕ
r
θ ,ϕ
− ∆ θ,ϕ ∆ r = 0 , так как опе-
раторы ∆r и ∆θ,ϕ содержат дифференциальные операции по разным переменным, и результат их последовательного действия на волновую функцию не
зависит от порядка их следования. Тем самым мы доказали, что [pˆ 2 , Lˆ2 ] = 0 .
Равенство нулю этого коммутатора означает, что квадрат импульса и квадрат
момента импульса могут быть измерены одновременно точно.
22
23
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Врунов П.А., Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. Операторы в квантовой механике. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1994, 40 с.
2. Чертов А.Г., Воробьев А.А. Задачник по физике. М.: Высш. шк., 1988, 527
с.
3. Иродов И.Е. Задачи по общей физике. М.: ЗАО “Изд-во БИНОМ”, 1998,
448 с.
4. Иродов И.Е. Задачи по квантовой физике. М.: Высш. шк., 1991, 175 с.
5. Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики. М.: Высш. шк., 1961, 512 с.
6. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Краткий курс теоретической физики . Кн. 2.
Квантовая механика. М.: Наука, 1972, 367 с.
24
ОГЛАВЛЕНИЕ
1. Постулаты квантовой мехаки.......................................................... 3
2. Представление физических величин операторами.......................... 6
3. Примеры решения задач...................................................................... 10
Список литературы.................................................................................... 24
25