Теория упругости и механика разрушения

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
(НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) НЕФТИ
И ГАЗА ИМЕНИ И.М.ГУБКИНА»
Реферат №1
по дисциплине «Теория упругости и механика
разрушения»
на тему «Плоская задача теории упругости в
декартовых координатах»
Выполнил студент группы
МА-15-7 Шалатов А. О.
Проверил профессор, д.т.н.,
Евдокимов А. П.
Москва 2017
1.Вступление
Теория упругости – это раздел механики сплошной среды, посвященный
определению напряжений и деформаций, возникающих в теле под действием
механических или температурных нагрузок. При этом в основе теории
упругости не лежат недоказанные гипотезы и предположения (как, например,
в случае сопротивления материалов), что позволяет получать более точные и
строгие решения задач для тел произвольной формы.
Основы теории упругости необходимы при постановке и решении задач во
многих областях науки и техники [ ]. Кроме того, при решении задач
численными методами, в частности методом конечных элементов, без базовых
знаний в области теории упругости невозможно корректно задать все
необходимые граничные и контактные условия и, зачастую, просто понять
суть проблемы. Таким образом, знание основ теории упругости необходимо
при использовании конечно-элементных программных пакетов, позволяющих
решать соответствующие классы задач.
2
2.Плоская деформация
Все уравнения теории упругости значительно упрощаются в тех случаях, когда
задачу можно свести к отысканию функций только двух переменных,
например x и y. В упругом теле плоская деформация возникает, если
перемещения происходят только параллельно плоскости хОу:
(а)
Такие
перемещения
возникают
в
длинном
призматическом
или
цилиндрическом теле, продольная ось которого параллельна оси Оz, при
действии нагрузки, перпендикулярной этой оси и постоянной вдоль
нее. Близкими к этому случаю являются задачи о длинной подпорной
стенке или плотине (рис. 1, а), тоннеле метрополитена (рис. 1, б),
длинном цилиндрическом катке (рис. 1, в), длинной пластинке
(рис. 1, г) при условии, что нагрузка не меняется вдоль оси Оz. В таких
задачах приходится иметь дело с деформациями, которые возникают
только в плоскости хОу. Подставляя составляющие перемещения (а)
в формулы
И получаем
(б)
3
Отсутствие линейных деформаций в направлении оси Оz ведет тем не менее к
появлению нормальных напряжений 𝜎𝑧 . Эти напряжения зависят от
напряжений, действующих в плоскости хОу. Действительно, из третьей
формулы закона Гука
при отсутствии деформации 𝜀𝑧 следует, что
Откуда
(1.1)
Подставляя это соотношение в первые две формулы в
И находим
(в)
Из анализа формул (б), (в) и
следует, что
4
На основании соотношения (1.1) напряжение 𝜎𝑧 также является функцией
только двух координат:
Основные уравнения теории упругости в случае плоской деформации
упрощаются следующим образом. Из дифференциальных уравнений
Равновесия
остаются только два:
(1.2)
т
Рис. 1
а третье обращается в тождество. Так как на боковой поверхности во всех
точках направляющий косинус n=0, то из условий на поверхности
остаются также только два:
(1.3)
Шесть геометрических соотношений Коши
5
сводятся к трем:
(1.4)
Из шести уравнений неразрывности деформаций
остается только одно:
(1.5)
А остальные обращаются в тождества.
Из шести формул закона Гука
6
с учетом соотношений (б), (в) и
остаются только три:
(г)
Если ввести новые упругие постоянные
(1.6)
то
эти
формулы
примут
более
удобный
вид:
(1.7)
причем значение коэффициента пропорциональности в третьем уравнении не
меняется:
3. Обобщенное плоское напряженное состояние
В задаче о тонкой пластинке, нагруженной по боковой поверхности силами,
параллельными ее основаниям и равномерно распределенными по толщине
(рис. 2), возможны упрощения, аналогичные упрочнениям в задаче о плоской
7
деформации. В этом случае, называемом обобщенным плоским напряженным
состоянием, напряжения 𝜎𝑧 , 𝜏𝑦𝑧 и 𝜏𝑥𝑧 на основаниях пластинки равны нулю.
Так как пластинка тонкая, то можно считать, что эти напряжения равны нулю
и по всему объему пластинки. По той же причине остальные напряжения
можно считать постоянными по толщине пластинки, т, е. не зависящими от
координаты z, и, таким образом, возникает приблизительно следующее
напряженное состояние:
Замечаем, что в отношении напряжений обобщенное плоское напряженное
состояние отличается от плоской деформации лишь условием 𝜎𝑧 =0. Переходя
к деформациям, с помощью третьей формулы закона Гука
получаем, что составляющая
не равна нулю. Следовательно, основания пластинки будут несколько
искривляться.
При этих предположениях основные уравнения плоской деформации —
дифференциальные уравнения равновесия (1.2), условия на поверхности (й.3),
геометрические соотношения Коши (1.4) и уравнение неразрывности
деформаций (1.5) — сохраняют такой же вид и в задаче об обобщенном
плоском напряженном состоянии, а формулы закона Гука, упоминаемые
ранее, принимают следующий вид:
8
(1.8)
Последние отличаются от формул закона Гука для плоской деформации (1.7)
только значениями упругих постоянных. Следовательно, при решении задач о
плоской деформации и обобщенном плоском напряженном состоянии можно
пользоваться одними и теми же уравнениями и объединять обе задачи в одну:
плоскую задачу теории упругости.
В плоской задаче теории упругости неизвестными являются восемь функций:
три составляющие напряжений 𝜎𝑥 , 𝜎𝑦 , 𝜏𝑥𝑦 ; три составляющие деформаций
𝜀𝑥 , 𝜀𝑦 , 𝛾𝑥𝑦 и две составляющие перемещений u и v. Уравнений для решения
задачи также восемь: два дифференциальных уравнения равновесия (1.2), три
геометрических соотношения Коши (1.4) и три формулы закона Гука (1.7) или
(1.8).
Если по условию задачи перемещения искать не нужно, то остается шесть
неизвестных:
три
составляющие
напряжений
и
три
составляющие
деформаций. Для их определения достаточно остающихся шести уравнений:
двух дифференциальных уравнений равновесия (1.2), трех формул закона Гука
(1.7) или (1.8) и одного уравнения неразрывности деформаций (1.5).
4. Решение плоской задачи в напряжениях. Функция напряжений.
Решение плоской задачи в напряжениях сводится к отысканию трех
неизвестных функций 𝜎𝑥 (𝑥, 𝑦), 𝜎𝑦 (𝑥, 𝑦), 𝜏𝑥𝑦 (𝑥, 𝑦). Для этого имеются два
дифференциальных уравнения равновесия (1.2). К ним следует добавить
уравнение неразрывности деформаций (1.5), заменив в нем деформации на
напряжения посредством формул закона Гука (1.8) для обобщенного плоского
напряженного состояния. После упрощения получим
9
(а)
Исключим из этого уравнения касательное напряжение 𝜏𝑥𝑦 . Для этого первое
уравнение равновесия (1.2) продифференцируем по х, а второе - по y, и
почленно сложим. Считая, как и в пространственной задаче, объемные силы
постоянными, найдем
Подставив это соотношение в уравнение (а), получим
или короче
(1.9)
Таким образом, сумма нормальных напряжений в плоской задаче есть
гармоническая функция. Это условие носит название уравнения Леви и
выведено для обобщенного плоского напряженного состояния. Оно не
содержит упругих постоянных и поэтому в случае плоской деформации имеет
такой же вид.
Следовательно, решение плоской задачи теории, упругости при постоянстве
объемных сил сведено к интегрированию трех уравнений: двух уравнений
равновесия (1.2) и уравнения неразрывности деформаций (1.9) при
обязательном удовлетворении условий на поверхности (1.3).
Решение плоской задачи можно упростить, сведя ее к отысканию одной
функции 𝜑(𝑥, 𝑦), называемой функцией напряжений Эри. Ее выбирают с
таким расчетом, чтобы дифференциальные уравнения равновесия (1.2)
10
обращались в тождества. Эти условия будут удовлетворены, если напряжения
выразить через функцию Эри следующими соотношениями:
(1.10)
Действительно, подставляя эти выражения в уравнения равновесия (1.2),
получаем тождества, т. е. принятая функция напряжений 𝜑(𝑥, 𝑦) является
решением этих уравнений.
Подставляя теперь напряжения (1.10) в уравнение неразрывности деформаций
(1.9), находим
(б)
Выражение, стоящее в скобках, представляет собой оператор Лапласа над
функцией 𝜑(𝑥, 𝑦). Поэтому уравнение (б) может быть представлено с
помощью оператора Лапласа так:
или
Левая часть последнего уравнения читается как «набла четыре 𝜑» и
называется двойным оператором Лапласа над функцией 𝜑. Функция,
подчиняющаяся уравнению (в), называе1^ся бигармонической, а само
11
уравнение — бигармоническим уравнением. Представим его в развернутом
виде:
Произведем дифференцирование:
(1.11)
Выразим условия на поверхности для плоской задачи (1.3) через функцию
напряжений с помощью уравнений (1.10):
Итак, плоская задача теории упругости сведена к отысканию одной
бигармонической функции 𝜑(х, у), удовлетворяющей заданным
условиям на контуре.
5. Методы решения плоской задачи для прямоугольных односвязных
областей
Отыскание бигармонической функции, удовлетворяющей условиям на
контуре
прямоугольной
области,
возможно
различными
методами.
Ограничимся рассмотрением лишь некоторых из них: решением плоской
задачи в полиномах (целых функциях), в тригонометрических рядах, с
помощью конечных разностей.
 Решение в полиномах. Решение плоской задачи осуществимо
полуобратным методом, если сначала задаться аналитической формой
функции напряжений, удовлетворяющей бигармоническому уравнению
(1.11), а затем определить, каким нагрузкам на контуре она
12
соответствует. В качестве бигармонической функции можно принимать
алгебраические полиномы разных степеней.
С помощью алгебраических полиномов можно решить ряд простых
задач: задачу о чистом изгибе балки, изгибе балки на двух опорах под
действием равномерно распределенной нагрузки, задачу о треугольной
подпорной стенке.
 Метод тригонометрических рядов Рибьера-Файлона. В качестве
функции напряжений 𝜑(x, у) можно применять тригонометрические
ряды.
С помощью этого метода можно решить задачу об изгибе балки-стенки,
задачу о действии на пластинку нагрузок, распределенных вдоль
контура по любому закону (в том числе сосредоточенной силы).
 Метод
конечных
разностей
(метод
сеток).
Точное
решение
бигармонического уравнения плоской задачи во многих случаях
оказывается очень сложным. Для его упрощения можно применить
приближенный метод конечных разностей, который позволяет заменить
дифференциальное уравнение системой линейных алгебраических
уравнений.
Применение метода Конечных разностей особенно эффективно при
расчете сложных пластинок, когда контур непрямоугольный. когда
пластинка имеет отверстия и т. д.
13
Заключение
плоская задача теории упругости в декартовых координатах очень актуальна,
так как охватывает большое спектр применения как в строительстве, так и в
промышленности.
14
Список литературы:
1. В. И. Самуль «Основы теории упругости и пластичности»
15