МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
(МИНТРАНС РОССИИ)
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА
(РОСАВИАЦИЯ)
ФГБОУ ВО «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ»
Ю.И. ПАЛАГИН
ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ НА ТРАНСПОРТЕ
АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
В ТРАНСПОРТНО-ЛОГИСТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
Аналитические методы и имитационное моделирование
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ
Санкт-Петербург
2017 г.
2
Разрешено к изданию в качестве учебного пособия для студентов
направления подготовки (специальности) 190700 «Технология транспортных
процессов» профиля подготовки «Транспортная логистика», квалификация
(степень) выпускника «бакалавр».
УДК 519.2
Палагин Ю. И. Анализ процессов массового обслуживания в транспортнологистических системах. Аналитические методы и имитационное моделирование: Учебное пособие. / С-Пб Госуниверситет ГА. С.-Петербург, 2017.
Издается в соответствии с общеобразовательной программой дисциплины «Б1.В.06. Исследование операций на транспорте». Изложены методы статистической обработки, моделирования и анализа, применяемые при исследованиях процессов массового обслуживания в транспортно-логистических системах, управлении транспортным процессом с использованием различных видов транспорта: автомобильного, водного, авиационного и железнодорожного.
Приводятся варианты индивидуальных заданий для выполнения курсовой
работы студентов.
Предназначены для студентов Госуниверситета ГА, обучающихся по
профилям направления «Технология транспортных процессов», а также близких профилей и направлений подготовки.
Ил. 3. Табл. 10. Библ. 6 назв.
Рецензенты:
В.А. Бородавкин, д–р техн. наук, проф., первый проректор Балтийского
государственного технического университета «Военмех»;
Е.Н.Зайцев, д-р техн. наук, проф., каф. «Организации и управления в
транспортных системах», университет ГА
©Санкт- Петербургский государственный
университет гражданской авиации, 2017.
3
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение.....................................................................................................................5
Глава 1. Обслуживающие аппараты и входные потоки заявок, их описание,
характеристики …………
1.1. Основные элементы СМО, их определения………
1.2. Время обслуживания заявки, его характеристики……..
1.3.Входной поток заявок, его описание. Простейший пуассоновский поток………
1.4.Алгоритмы обработки……….
Глава 2. Характеристики процессов в простейших типовых системах массового
обслуживания
2.1. Характеристики многоканальной СМО без накопителя.
2.2. Оптимизация параметров автостоянки по критерию максимума средней
прибыли.
2.3. Характеристики системы массового обслуживания с конечной емкостью
накопителя.
2.4. Выбор оптимального числа обслуживающих аппаратов и емкости накопителя в СМО с конечной емкостью.
2.5. Условие того, что СМО справляется с обслуживанием потока.
2.6.
Характеристики СМО с неограниченной емкостью накопителя.
2.7.
Расчет характеристик обслуживания пассажиропотока транспортным
агентством по продаже билетов.
2.8.
Морские и речные порты как системы массового обслуживания. Расчет
характеристик, оптимизация количества причалов.
4
Глава 3. Статистическое моделирование случайных параметров транспортнологистических систем
3.1.
Датчики случайных чисел
3.2. Моделирование случайных событий и дискретных случайных величин.
3.3. Моделирование непрерывных случайных величин
3.4. Моделирование пуассоновского и связанным с ним потоков.
3.5.
Глава
Статистическая обработка потоков, контроль моделирования.
4.
Статистическое
имитационное
моделирование
транспортно-
логистических процессов массового обслуживания.
4.1. Общая схема моделирования процессов обслуживания……….
4.2. Модель процесса обслуживания потока прибывающего автотранспорта на
грузовом складе аэропорта…………
4.3. Алгоритм моделирования процесса обслуживания входного потока на грузовом складе аэропорта…….
4.4. Указания к выполнению курсовой работы……..
Литература..................................................................................................................47
Приложение 1. Процедуры моделирования типовых распределений …….
Приложение 2. Индивидуальные задания по курсовой работе ………………61
5
ВВЕДЕНИЕ
Разработка и практическое применение современных технологий в области
транспорта, принятие эффективных решений по организации транспортного
обслуживания требуют использования широкого арсенала существующих прикладных математических методов и моделей.
Федеральный государственный стандарт высшего образования по направлению подготовки 23.03.01 «Технология транспортных процессов» (уровень
бакалавриата) [1] содержит ряд требований по общепрофессиональным (ОПК)
и профессиональным компетенциям (ПК), которым должен удовлетворять бакалавр направления. В частности, выпускник должен обладать:
- способностью понимать научные основы технологических процессов и
применять систему фундаментальных знаний (математических, естественнонаучных,
инженерных
и
экономических)
для
идентификации, формули-
рования и решения технических и технологических проблем в области технологии, организации, планирования и управления технической и коммерческой
эксплуатацией транспортных систем (ОПК 2, ОПК 3);
- способностью к поиску путей повышения качества транспортнологистического обслуживания грузовладельцев …(ПК-7);
- способностью определять параметры оптимизации логистических транспортных цепей и звеньев с учетом критериев оптимальности (ПК-9).
Эти компетенции формируют необходимую теоретическую базу и подготавливают будущих специалистов-транспортников к самостоятельной деятельности на транспорте. Особое внимание уделяется вероятностным методам и
моделям, в частности, описанию процессов функционирования транспортных
систем методами теории массового обслуживания (ТМО).
Роль понятий, методов и моделей ТМО тем более значима сегодня для
специалистов в области транспортной логистики. Если перефразировать классическую фразу, то единство транспортных процессов проявляется "в поразительной аналогичности" понятий, аппарата, характеристик, используемых для
6
описания транспортных процессов на различных видах транспорта. Все эти понятия формулируются на языке вероятностных моделей. Термин "входной поток заявок" описывает поток пассажиров или транспортных средств (воздушных и водных судов, автомобилей, ж/д поездов), контейнеров, тары, груза, багажа, товарные потоки и спрос на товары в логистике и т.д. Понятие "канал
обслуживания" охватывает функции погрузочно-разгрузочных устройств и механизмов, причалов, касс, продающих билеты и т.д. Системой массового обслуживания (СМО) являются морской, речной или аэропорт, железнодорожная
станция, транспортный терминал, касса по продаже билетов, автомобильная
компания по перевозке мебели или контейнеров, автозаправочная станция и т.д.
Все случаи применения вероятностных моделей в области эксплуатации транспорта трудно перечислить.
Одним из основных методов исследования процессов функционирования
транспортных систем, анализа различных технологических схем обработки грузов и пассажиропотоков, оценки качества и эффективности систем массового
обслуживания стал метод статистического имитационного моделирования. Общепризнанны его достоинства: возможность учесть в полном объеме стохастический характер и нелинейные свойства исследуемой системы обслуживания,
технологического процесса, специфику информационных каналов, действующих случайных возмущений и помех. Метод статистического моделирования
позволяет решать сложные задачи анализа технических систем, недоступные
аналитическим методам.
Широкие возможности метода статистического моделирования (метода
Монте-Карло) делают обязательным изучение его основ при подготовке современного специалиста, работающего в области транспортной логистики, чья деятельность связана с управлением и организацией транспортных процессов, использующих различные виды транспорта.
Настоящее учебное пособие содержат минимум теоретического материала
по анализу и моделированию процессов обслуживания, а также индивидуальные задания для самостоятельной курсовой работы.
7
ГЛАВА 1. ОБСЛУЖИВАЮЩИЕ АППАРАТЫ И ВХОДНЫЕ ПОТОКИ
ЗАЯВОК, ИХ ОПИСАНИЕ, ХАРАКТЕРИСТИКИ
1.1. Основные элементы СМО, их определения.
Общие определения. Обслуживанием называется процесс удовлетворения
какой-либо общественной потребности, например, продажи авиабилетов пассажиру, регистрации пассажира, перевозки груза, заправки горючим, погрузки,
разгрузки, хранение и т.д. Общественная потребность выражается в виде заявки на обслуживание. Заявки – требование на выполнение на выполнение какого-либо обслуживания. Заявки отождествляются с их носителями - транспортными средствами, пассажирами, грузами, контейнерами, тарой и т.д. Заявки,
поступающие последовательно, одна за другой на обслуживание образуют
входной поток заявок. В логистике под входными потоками понимаются – потоки транспортных средств, пассажиров (пассажиропотоки), контейнеров (контейнеропотоки), грузов (грузопотоки), тары.
Устройства (технические средства, системы, оборудование, обслуживающий персонал), которые непосредственно реализуют функцию обслуживания
называются обслуживающими аппаратами (например, касса, регистрационная
стойка, бензоколонка, стояночное место, место хранения, причал и т.д.).
Обслуживающий аппарат (ОА) образует канал обслуживания. Системы
массового обслуживания (СМО) называются много или одноканальными по
числу каналов обслуживания.
Дисциплина обслуживания – порядок обслуживания поступивших заявок.
Обслуживанием без приоритета называется обслуживание заявок по мере их
поступления.
Поступившая заявка может обслуживаться немедленно или встать в очередь. Место, где заявки ожидают начала обслуживания, называется накопителем (зал пассажиров, часть автомобильной дороги, подъездные пути, склад, область на диске ЭВМ).
8
Если заявка покидает СМО, не получив (или не дождавшись) обслуживания, то говорят, что заявка получила отказ в обслуживании.
Поток заявок, покидающих систему, называется выходным потоком. Выходной поток состоит из потока отказов и потока обслуженных заявок.
Система – это совокупность элементов, связанных между собой и функционирующих совместно для достижения общей цели. СМО – это система, элементами которой являются: входной и выходной потоки, обслуживающие аппараты, очередь, накопитель, дисциплина обслуживания.
Целью СМО является обслуживание потока заявок с наилучшим качеством, эффективностью. Количественные показатели качества обслуживания
называются критериями эффективности. Такими критериями являются вероятность отказа в обслуживании, затраты на обслуживание, прибыль, доход,
время ожидания обслуживания, их вероятностные характеристики – математическое ожидание, дисперсия.
1.2. Время обслуживания заявки, его характеристики.
Время обслуживания – основная характеристика обслуживающих аппаратов в теории массового обслуживания. Временем обслуживания называется
время , в течении которого обслуживается одна заявка. Время обслуживания случайная величина (СВ). Для непрерывных СВ её полной характеристикой
является плотность распределения f(x). Плотность распределения f(x) определяет вероятность попадания СВ на любой заданный промежуток времени [a, b]
P
Закон распределения случайной величины определяется конкретным видом плотности распределения. Для показательного закона плотность распределения имеет вид
(х) = е
- х
, х 0,
(1.1)
9
где - параметр закона распределения.
Средним временем обслуживания называется математическое ожидание m
времени обслуживания. Эта величина для показательного закона равна:
М =
1
.
Интенсивностью обслуживания μ называется среднее число заявок, обслуженных одним обслуживающим аппаратом в единицу времени. Интенсивность обслуживания является величиной, обратной среднему времени обслуживания:
μ =
1
М
= β
Таким образом, параметр β в выражении для плотности показательного закона распределения равен интенсивности обслуживания.
Случайная величина имеет гамма-распределение с параметрами α, β, если
плотность распределения имеет вид
x 1 x
e ,
c
f(x) =
0,
x 0,
(1.2)
x0
Здесь С - нормирующая постоянная, равная
с
( )
,
1 t
где ( ) t e dt - гамма функция. При целых значениях параметра
0
гамма-функция равна
Г(n) = ( n-1 )! = 1*2*....*(n-1).
Дисперсия случайной величины определяется как математическое ожидание
σ2 = M (γ – m)2
квадрата уклонения. Среднеквадратическое отклонение (СКО) σ случайной
величины – это корень квадратный из дисперсии. Для случайных величин ча-
10
сто используется «правило 3-ех σ» - с вероятностью близкой к единице значения, принимаемые случайной величиной, располагаются на промежутке
[m-3σ, m+3σ]
центром, которого является математическое ожидание m. Длина промежутка пропорциональна среднеквадратическому отклонению. Дисперсия и СКО
являются характеристиками разброса значений случайных величин.
Коэффициент вариации определяется (для СВ с ненулевым математическим
ожиданием) как отношение
Kv = σ / m
среднеквадратического отклонения к математическому ожиданию.
Математическое ожидание, дисперсия и коэффициент вариации гаммараспределения равны:
m
, 2 2 ,
Kv
1
(1.3)
:
Частным случаем гамма-распределения при целых значениях параметра
α = k является закон распределения Эрланга. Его плотность распределения, математическое ожидание, дисперсия и СКО равны
x k 1 x
e
,
f(x) = c
0,
M =
k
x 0,
(1.4)
x0
, 2
k
2
, Kv
1
;
k
(1.5)
Частным случаем гамма распределения при α = 1 является показательный закон распределения с плотностью (1.1). Его характеристики определяются
формулами
M =
1
, 2
1
2
, K v 1.
(1.6)
11
1.3. Входной поток заявок, его описание. Простейший пуассоновский
поток
Простейший пуассоновский поток (t ) определяется как количество заявок, обращающихся за обслуживанием промежутке (0, t). В начальный момент времени t = 0 количество заявок полагается нулевым (0) 0 . Пуассоновская модель предполагает, что заявки появляются в случайные моменты времени
0 < t1 < t2 ,…, < tk-1 < tk . . .,
которые и образуют случайный поток заявок. Одновременное появление
двух и более заявок исключается.
В теории массового обслуживания входной поток заявок описывается
также в терминах интервалов между прибытиями заявок:
1, 2, 3, …, к
где к – промежутки времени между последовательными заявками (например, прибытиями пассажиров в аэропорт, воздушных судов, прибывающих на посадку). Величины 1, 2,… - являются случайными.
Пуассоновский случайный процесс обладает следующими свойствами:
1. Интервалы τ1, τ2 ,…,τk, между поступлениями заявок являются независимыми случайными величинами с показательным законом распределения (1.1).
2. Пуассоновский случайный процесс характеризуется единственным параметром – интенсивностью потока заявок. Математическое ожидание интервалов между появлениями заявок
М K
1
1
.
12
Отсюда следует, что значение параметра β
плотности распределения
равно интенсивности входного потока заявок.
3. Количество заявок (спрос), поступивших на промежутке [t, t + t] имеет
пуассоновский закон распределения с параметром а, т.е. вероятность того, что
на промежутке [t, t + t], появится ровно k заявок равна
Pk e
-a
ak
,
k!
к = 0, 1, 2, …
(1.7)
Закон распределения дискретной случайной величины вида (1.7) называется пуассоновским. Среднее значение количества прибывающих заявок на промежутке [t, t+ t] (математическое ожидание) равно
a t .
(1.8)
Отсюда следует, что интенсивность пуассоновского процесса равна среднему количеству заявок, обращающихся за обслуживанием в единицу времени.
г) Количество заявок обращающихся на промежутке [t, t+ t] не зависит от
числа заявок за предшествующей промежуток времени [0, t), т.е. предыстории
процесса. Это свойство называется отсутствие последействия.
д) Закон распределения поступивших заявок на промежутке [t, t+ t] (вероятности Рk в формуле (1.7) ) не зависит от момента времени t, а зависит только от длины интервала t. Это свойство называется свойством стационарности процесса.
График реализации процесса представляет собой лестницу с высотой каждой ступени равной единице, ширина каждой ступени - случайна.
13
Поток заявок называется потоком с ограниченным последействием, если
все величины к – независимы между собой. Простейший (или пуассоновский),
входной поток имеет закон распределения интервалов к – показательный с
плотностью распределения:
(х) = е
-х
, х 0,
где >0 – параметр - интенсивность потока.
Пример 1.1. Поток пассажиров, прибывающих в аэропорт для отправления, образует простейший поток с интенсивностью =2 пассажира в минуту. Найти:
a) Вероятность того, что в течение интервала t = 10 минут не прибудет
ни одного пассажира;
b) Среднее количество пассажиров, прибывших за 1 час работы аэропорта.
Решение. По свойству простейшего потока, число пассажиров, прибывающих в
аэропорт, имеет закон распределения Пуассона с параметром:
а = t.
a)
В данном случае значение параметра равно:
а = 2 пас/мин * 10 мин = 20 пас.
Вероятность отсутствия пассажиров в течение 10-минутного промежутка равна:
Р0 = е-а = е-20
b)
Среднее число пассажиров равно:
а = t = 2 пас / мин * 60 мин = 120 пас
Если из пуассоновского потока отбросить нечетные заявки, оставив толь-
ко четные, то получим новый поток. Этот поток называется потоком Эрланга
порядка k = 2.
14
Если оставить заявки с номерами, кратными k= 3 получим поток Эрланга
третьего порядка. Поток Эрланга m-го порядка получается путем отбрасывания
заявок с номерами, которые не делятся нацело на число k.
Итак, поток Эрланга характеризуется двумя параметрами: и k.
Пуассоновский поток может рассматриваться как частный случай потока Эрланга при k = 1.
1.4.Алгоритмы обработки.
Основной первичный источник исходной информации о транспортных
процессах - обработка экспериментальных данных, полученных в процессе эксплуатации транспортной системы. Полученные данные записываются в массив
: 1, 2, …, n ,
который далее обрабатывается методами математической статистики. Массив
называется выборкой, число данных n - объемом выборки. Требуется по выборке определить вероятностные характеристики параметров транспортных систем:
- математическое ожидание
m= M ;
- дисперсию
2 = M ( - m )2 ;
- коэффициент вариации
Kv = / m , (m 0);
- функцию распределения
F(x)=P{ <x};
- плотность распределения
f(x)= dF/dx,
15
а также подобрать подходящее описание (аналитическое выражение) для распределения в виде формулы
f ( x ) = f ( x, 1, 2, …,m ) ,
зависящей от конечного числа параметров и определить значения αi. Здесь М символ математического ожидания случайной величины; Р{A} -вероятность события А.
Это типичная задача математической статистики, где разработаны и
обоснованы соответствующие алгоритмы обработки, называемые статистическими оценками. Оценки математического ожидания и дисперсии имеют вид:
~ 1 ;
m
K
n k 1
n
~n2
(1.9)
n
~n
1
~
2
~
K
(
m
)
;
k
v
n
~
m
( n 1 ) k 1
n
(1.10)
Оценка (1.8) называется среднеарифметической, оценка (1.9) – среднеквадратической. Оценки дают приближенные значения истинных параметров. Свойство
состоятельности гарантирует при неограниченном увеличении объема выборки (n -> ) сходимость оценок к точным значениям. В обозначении оценок указывается индекс n и вводится знак "~" сверху.
Наиболее распространенной оценкой плотности является гистограмма.
Для построения гистограммы область возможных значений случайной величины (СВ) разбивается на промежутки
~ i , m
~ ( i 1 ) ],
[m
i
n
n
~ .
∆ - длиной с центром разбиения в точке m
i = 0, 1,…,
16
Значения гистограммы вычисляются по формуле
~
f n ( x ) i , x [ xi , xi + ∆],
n
(1.11)
где i - число выборочных значений, попавших в i-ый промежуток,
i / n - относительная частота, являющаяся оценкой для вероятности Pi = P(∆i)
попадания СВ в i-ый промежуток. Шаг выборки определяется по формуле [ ]
∆=CГ
~n
3
n
(1.12)
где CГ - коэффициент пропорциональности. Для нормального и показательного
закона значения коэффициента равны соответственно
СГН 3.49 ,
СГП 2.29 ;
для гамма-распределения значения приведены ниже в табл.1.1.
После построения гистограммы осуществляется ее аппроксимация какойлибо подходящей параметрической моделью. Случайные величины, описывающие транспортные процессы, как правило, неотрицательны. Для описания используется гамма-распределение с плотностью вида (1.4). Значения α, β параметров гамма-распределения находятся методом моментов путем приравнивания теоретических моментов (математического ожидания и дисперсии) их выборочным значениям - статистическим оценкам:
~ ,
m
n
~n2 2
(1.13)
Решения системы (1.10) имеют вид:
~ 2 ~
m
~
~ n K v2 ;
n
~
~
~
m
n
(1.14)
17
Полученные оценки отличаются от истинных значений параметров α, β,
однако при n-> их пределы равны точным значениям. Подстановка оце~
нок ~ , в формулы (1.4), (1.6) или (1.8) дает параметрические оценки плотности. Значение коэффициента CГ в выражении (1.3) для гамма-распределения
вычисляется по формуле
CГ=
1
3
6 4 1 Г 2
,
1 Г 2 3
1.5
(1.12)
В табл. 1.1 представлены числовые значения, рассчитанные по формуле
(1.12) для целых значений параметра (распределение Эрланга). Асимптотически при гамма-распределение переходит в нормальный закон. Поэтому
lim CГ(α)=3.49
Табл.1.1
α
2
3
4
6
8
10
∞
CГ
2.03
2.64
2.88
2.93
3.01
3.07
3.49
18
ГЛАВА 2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРОЦЕССОВ В ПРОСТЕЙШИХ
ТИПОВЫХ СИСТЕМАХ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
2.1. Характеристики многоканальной СМО без накопителя.
Исходными характеристиками системы массового обслуживания (СМО)
являются:
- n – число обслуживающих аппаратов;
- - интенсивность входного потока заявок;
- - интенсивность обслуживания.
Модель обслуживания заключается в следующем. Если в момент появления очередной заявки имеются свободные обслуживающие аппараты, то заявка
становится на обслуживание в одном из свободных ОА. В противном случае заявка покидает систему, получая отказ в обслуживании.
Здесь и далее в настоящей главе предполагается, что входной поток заявок
является пуассоновским простейшим потоком, а время обслуживания имеет показательный закон распределения.
Вероятность Р0 того, что в СМО в заданный момент времени отсутствуют
заявки (система свободна) вычисляется по формуле:
2
n
...
Р0 = 1
n!
1! 2!
где
1
(2.1)
- относительная интенсивность.
Вероятность Рк того, что в СМО в данный момент времени на обслуживании находится к заявок равна:
Рк =
к
к!
* Р0 , к = 1, 2, 3,…, n.
Вероятность отказа заявке в обслуживании равна:
(2.2)
19
n
Ротк = Рn =
P0
n!
.
Вероятность обслуживания заявки равна:
Робсл = 1-Ротк
Пропускная способность СМО и интенсивность потока отказов находится
по формулам:
А = *Робсл,
Аотк = *Ротк .
(2.3)
Здесь пропускная способность А определяется как среднее число заявок,
получивших обслуживание за единицу времени, а интенсивность потока отказов – как среднее число заявок, получивших отказ в обслуживании за единицу
времени. Вероятность Рк того, что в СМО в данный момент времени заняты обслуживанием к обслуживающих аппаратов определяется формулами (2.1),(2.2).
Среднее число загруженных ОА вычисляется по формуле:
K загр ОА = ρ Робсл .
Пример 2.1. Расчет характеристик службы приема заявок. Транспортная
компания имеет службу приема заявок. Среднее время приема заявок 5 мин,
заявки поступают с интенсивностью 5 заяв/час. Требуется определить характеристики СМО, предполагая, что обслуживание происходит без устройств
накопления.
Решение. Исходные данные для данной задачи равны:
n=1, 5 заяв/час,
1
1 заяв
заяв
12
5 мин
час
Вычисляя относительную интенсивность
5
,
12
находим по формулам (2.1), (2.2) вероятности состояния:
20
1
12
0.706 ,
1 17
5
Р1
0.294 .
1 17
Р0
Вероятности отказа и обслуживания равны
Ротк Р1 0.246 ,
Робс 0.706 ,
Пропускная способность, интенсивность потоков отказов принимают значения
А Робс 3.5 заяв / час
Аотк Ротк 1.5 заяв / час,
К заг рОА Робсл Р1 0.294
Видно, что в данном случае компания теряют около 30% обращающихся заявок, не смотря на то, что обслуживающий аппарат загружен в среднем на 30%.
Обслуживание может считаться неудовлетворительным.
Задача. Насколько улучшится обслуживание, если компания увеличит количество приемщиков заявок до n =2 и n =3 единиц?
2.2. Оптимизация параметров автостоянки по критерию максимума средней прибыли.
Автостоянка является типичным примером СМО без накопителя. Примем, что доход компании формируется в виде платы Q [$/место сут] за одно место стоянки в течение суток, а расходы – только в виде арендной платы собственнику земли по тарифу q [$/сут м²] за каждый квадратный метр площади,
отнесенный к одним суткам работы, S а – площадь одного стояночного места, Т
= 1 сут – время работы.
Максимальный доход компания получит. если в течении суток все n мест
будут заняты:
Д max nTQ
21
Расходы и прибыль составят величину
С=n q S а T ,
П max Д max C nT ( Q qS a ) nTqS a ( 1 ) ,
где параметр
Q
1
qSa
характеризует превышение доходов с одного стояночного места над расходами.
Фактически доходы и прибыль имеют случайный характер. Они определяются входным потоком и случайным временем обслуживания. Математическое ожидание дохода равно
МД = Q T К загрОА Робсл Q T
Среднее значение получаемой прибыли определяется формулой
МП = МД-С = T q S a ( Робсл n )
(2.4)
Оптимальное число n стояночных мест находится из условия максимум
целевой функции
z МП f ( n ) max ,
как функция от числа n обслуживающих аппаратов при заданных значениях
остальных параметров.
2.3. Характеристики системы массового обслуживания с конечной емкостью накопителя.
Емкость накопителя m определяется как максимальное количество заявок, которое может быть в нем размещено.
Вероятность того, что в момент времени t в системе (т.е. в накопителе
или в обслуживающих аппаратах) находится к заявок равна
22
P
k
k
P ,
k! 0
k 0 ,1,...,n;
(2.5)
n
P0 q l , k n l , l 1,...,m ,
n!
где = /μ; q = ρ /n,
Pо - вероятность того, что СМО свободна (т.е.
заявки отсутствуют, как в очереди, так и в обслуживающих аппаратах), вычисляемая по формулам:
P
0
1
1
1!
2
2!
...
n
n!
n
n!
.
(2.6)
S
Здесь S – сумма геометрической прогрессии
S = q + q2 + q3 +…+ qm ,
определяемая формулами
m , если q 1,
S =
m
q (1 - q ) / ( 1 q ),
если
q 1.
Вероятность отказа в обслуживании равна
P
Pn m q
отк
m
n
P.
n! 0
Отсюда определяется вероятность обслуживания Pобсл 1 Pотк .
Пропускная способность и интенсивность потока отказов вычисляются
по формулам (2.3).
Очередь в СМО представляет собой случайную дискретную величину,
закон распределения которой характеризуется таблицей
23
Табл. 2.1.
Число заявок в очереди
0
Вероятности
Р0 Р1 ... Рn
2
…
m
Рn 2
…
Рn m
1
Р n 1
Средняя длина очереди является математическим ожиданием закона распределения табл. 2.1. Вычислить ее значение можно по формуле:
L
оч
= 1*Pn+1 +2* Pn+2 +3* Pn+3 +… + m*Pn+m
или по формуле:
Lоч
q n P0 1( m 1 )q m mq m 1
n! ( 1 q )2
.
(2.7)
Вычислив значение средней длины очереди, определяем значения среднего времени ожидания обслуживания t
ож
заявок в очереди и среднее время
пребывания t пр в СМО
tож Lоч / ,
t пр tож Pобсл /
,
Характеристики загрузки обслуживающих аппаратов – среднее число КзагрОА
занятых ОА и простаивающих аппаратов КпростОА определяются по фор-
мулами
К загрОА p1 2 p2 ... ( n 1 ) pn 1 n( Pn Pn 1 ... Pn m );
K простОА n К загр .
(2.8)
Характеристики загрузки накопителя - вероятность того, что накопитель
простаивает свободным Рпрост.н , среднее число занятых Кзагр.н и свободных
Кпрост.н
мест накопителя вычисляются так:
24
Pпрост.н P0 P1 ... Pn ;
K загр .н 1Pn 1 2 Pn 2 ... mPn m ;
(2.9)
K прост.н m K загр .н .
Пример. 2.2. Рассмотрим автозаправочную станцию с n = 2 бензоколонками, обслуживающую поток автомашин интенсивности 12 авт/час. Среднее время обслуживания одной машины – 5 мин. На подъездных путях АЗС
может размещаться не более m = 3 автомашин. Машина, прибывшая в момент,
когда подъездные пути заняты полностью – покидает АЗС. Требуется найти вероятностные характеристики процесса обслуживания:
- вероятности состояния АЗС;
- вероятность отказа в обслуживании;
- вероятность обслуживания;
- пропускную способность АЗС;
- среднее число занятых каналов;
- среднее число автомашин в очереди;
- среднее время ожидания обслуживания и пребывания на АЗС;
- характеристики загрузки бензоколонок и подъездных путей;
Решение: Состоянием S к
АЗС является число автомобилей, находя-
щихся на обслуживании (в накопителе и обслуживающих аппаратах). Система
имеет 1+n+m = 1+2+3=6 возможных состояний: S 0 – отсутствуют автомобили; S 1 – в СМО находится 1 автомобиль (на заправке); S 2 – на заправке 2 автомобиля (очередь отсутствует); S 3 S 4 S 5 – заправляются 2 автомобиля и очередь
составляет соответственно 1 автомобиль (состояние S 3 ), 2 автомобиля (состояние S 4 ) и 3 автомобиля (состояние S 5 ). В состоянии S 5 заняты полностью все
подъездные пути. Других состояний АЗС не имеет.
Параметры системы равны:
1
авт
авт
n 2; m 3;
12
,
5 мин
час
час
25
12
1;
12
q
n
0.5 1
Вероятность Р0 состояния S 0 определяется по формуле (2.6)
2 2 S
Р0 1
2
2
1
1 7
1 1 0.5
2 8
1
16
.
47
Здесь S = q + q2 + q3 = 7/8. Вероятности других состояний вычисляются с
помощью формул (2.5)
Р1
Р2
Р3
Р4
Р5
1!
2
2!
3
2!2
4
2!4
5
2!8
Р0 Р0
16
,
47
Р0 0.5 Р0
8
,
47
Р0 0.25Р0
4
,
47
Р0
1
2
Р0
,
8
47
Р0
1
1
.
Р0
16
47
Эти расчеты показывают, что за промежуток Т = 47 час работы АЗС в
среднем в течение 16 час будут простаивать обе бензоколонки, в течение 16 час
– ровно 1 бензоколонка. В течении оставшихся 15 час будут загружены обе колонки, при этом в течение 8 час отсутствует очередь; очередь из одной, двух и
трех машин буде наблюдаться в течении 4 час, 2 час и одного часа соответственно.
Вероятности отказа в обслуживании и обслуживания автомобиля равны
Ротк Р5
1
;
47
Робсл 1 Ротк
46
47
26
Средняя длина очереди вычисляется по формуле (2.7)
1 4 3
3
Р0
4 ( 1 4 0.5 3 3 0.5 4 ) 11
2
2
2
2
2 2!
47
47
1
0
.
5
1
2
3
L оч
4
Среднее время ожидания в очереди равно
t ож
Lоч
11
11 60
час
мин 1.2 мин
47 12
47 12
Среднее время пребывания автомобиля на АЗС находится по формуле:
t СМО 1.2
46 60
6.2 мин
47 12
Пропускная способность АЗС и среднее число автомобилей, получивших отказ
равны
А Робсл
46
авт
,
12 11.75
47
час
Аотк Ротк
1
авт
12 0.25
.
47
час
Характеристики загрузки бензоколонок и подъездных путей выражаются
через вероятности состояний с помощью формулы (2.8), (2.9). Средние значения загруженных БК и мест на подъездных путях равны
К заг рОА 1 Р1 2( Р2 Р3 Р4 Р5 )
К заг р.н Lоч
46
1,
47
11
0.22
47
Отсюда находится среднее число простаивающих колонок и мест на подъездных путях
К простОА n К загр 2 1 1
К прост .н m К загр.н 3 0.22 2.78
Вероятность того, что подъездные пути не используются равна
Рпрост .н Р0 Р1 Р2
40
47
27
т.е. в течение 40 час из Т=47час времени работы АЗС подъездные пути
остаются не использованными.
Пример 2.3. Расчеты, выполненные в предыдущем примере, показывают,
что АЗС работает с недогрузкой. Менеджер компании может попытаться
уменьшить число работающих бензоколонок до n = 1. Найти характеристики
АЗС в этом случае.
Решение. Число состояний уменьшаются до 5. Вероятность Р 0 того, что в
АЗС отсутствует на обслуживании автомобили, находится (т.к. q = / n 1,
S=3) по формуле (2.6):
Р0 { 1 2 3 } 1
1
.
5
Вероятности состояний S 1 S 5 равны
Р1 Р0
1
,
5
1
Р2 Р3 Р4 Р0 .
5
Вероятности отказа в обслуживании и обслуживания изменяются так:
1
Ротк Р4 ;
5
Робсл 0.8
Для расчета средней длины очереди воспользуемся формулой (2.7)
Lоч
2 Р0
1
m
( m 1) 1
4 6
3
2
5
2 5
Среднее время ожидания и пребывания автомобиля на АЗС увеличилось
t ож
6
6 мин ,
5
t СМО 6 0.8 5 10 мин
Уменьшилась пропускная способность
А=0.8 12=9.6 авт/час
и увеличился поток автомобилей, получивших отказ
Аотк 12 9.6 2.4 авт/час.
Увеличилась загрузка бензоколонок и подъездных путей
28
К загрОА 0.8 ,
К заг р.н Lоч
6
.
5
Вероятность, того, что подъездные пути не используются (накопитель свободен), уменьшилась
Рпрост .н Р0 Р1
2
.
5
Т.о. уменьшив число бензоколонок, менеджер увеличит загрузку каналов
АЗС, однако увеличится и поток автомобилей, получивших отказ в обслуживании. Поэтому качество обслуживания только ухудшится.
Как найти оптимальные значения параметров СМО (в частности, числа
бензоколонок)? Ответ на вопрос зависит от того, какой критерий оптимальности принять. В следующем параграфе рассматривается задача оптимального
выбора параметров n и m по критерию максимума прибыли.
2.4. Выбор оптимального числа обслуживающих аппаратов и емкости
накопителя в СМО с конечной емкостью.
С помощью приведенных формул определяются экономические показатели СМО - математические ожидания прибыли П, дохода Д и затрат С за принятое расчетное время Т = nмес месяцев:
П Д C;
Д С Амес n мес ;
кл
C ( С0 nCОА mCн С ) n мес ,
(2.10)
где Скл ($/клиент) - средний доход, приносимый одним клиентом за обслуживание, Амес [1/мес] – пропускная способность за месяц, СОА - затраты на содержание в течение месяца одного обслуживающего аппарата, СН - затраты на содержание в течение месяца одного места в накопителе, Со- постоянная часть затрат, не зависящая от числа каналов и емкости накопителя.
Модель (2.10) при условии ΔС = 0 предполагает, что затраты не зависят
от того загружены ли ОА или простаивают, свободен накопитель или нет. В
29
том случае, если часть затрат определяется фактическим (случайным) числом
занятых ОА или мест в накопителе, то вводятся дополнительные слагаемые:
С
k
Ci ;
i 1
С1 C загрОА K загр.ОА ;
(2.11)
С2 С загр.Н K загр.Н .
В формулах (2.11) величины ΔСi учитывают возрастание затрат за счет
дополнительных факторов; к - число факторов; СзагрОА, Сзагр.Н - дополнительные затраты за счет фактической загрузки каналов обслуживания (обслуживающих аппаратов) и мест накопителя.
Если компания, заинтересованная в притоке клиентов, предложит,
например, компенсацию Скомп за каждый отказ в обслуживании, то появляется
дополнительное слагаемое
С С
P .
комп отк
з
(2.12)
Подстановка формул (2.3), (2.5) в (2.10) приводит к следующему выражению для средней прибыли
nm
П С кл 1
Р
С
С
n
С
m
С
n мес
0
ОА
н
m 0 мес
n
!
n
(2.13)
Здесь мес - интенсивность входного потока за один месяц. Величина средней
прибыли
зависит
мес , / , n, m
согласно
и
формуле
(2.13)
от
стоимостных
параметров
СМО:
коэффициентов
-
Скл , С0 , СОА , Сн , СзагрОА, Сзагр.Н , Qкомп .
Таким образом, выражение (2.13) является полностью замкнутым. Оптимальное значение параметров n, m находятся численным методом, исходя из
условия
П П( n,m ) max
максимальной прибыли. Проиллюстрируем методику с помощью примера.
30
Пример.2.4. Найдем оптимальное число n бензоколонок и вместимость m
подъездных путей для АЗС. Интенсивность потока автомашин и обслуживания
равны
6 авт/час
Среднее значение дохода приносимого одним обслуженным клиентом
С кл 1$ ; значение других стоимостных параметров:
С0 300$ / мес , СОА 100$ / мес , Сн 50$ / мес , С 0.
В месяц АЗС работает 300 час. Интенсивность месячного потока машин равна:
мес 6 авт час 300 час 1800 автомобилей
При заданных значениях параметров выражение (2.13) прибыли (в долларах), получаемой за месяц работы АЗС принимает вид
Р
П 1800 1 0 m 300 100n 50m,
n! n
Здесь величина Р 0 равна
1
m
1
1 1
n , n 2
1
1
1
1
...
Р0
1
!
2
!
n
!
n n! 1 1
n
1
2 m
,n 1
В табл.2.2 представлены значение вероятности отказа в обслуживании
Ротк
Р0
n!n m
(индекс “отк” – опущен) и месячной прибыли при различных значениях n
и m. Из таблицы следует, что оптимальным является n=2 бензоколонки и емкость подъездных путей, рассчитанная на m=2 автомобиля. При этих значениях
параметров достигается наибольшее значении прибыли П max 1121 $ в месяц.
Заметим, что при каждом фиксированном числе бензоколонок существует оптимальное значение
mопт емкости подъездных путей. Из таблицы 2.2
следует, что величина mопт равна 4 для n=1, двум для n=2 и единице (для n 3).
31
Табл.2.2.
n
m=1
m=2
m=3
m=4
m=5
Р
П
Р
П
Р
П
Р
П
Р
П
1
1
3
750
1
4
850
1
5
890
1
6
900
1
7
890
2
1
11
1085
1
23
1121
16
47
1100
1
95
1092
1
192
1041
3
1
49
1113
1
148
1087
0.002
1045
0
1000
0
950
4
96
261
1043
0.003
995
0
950
0
900
0
850
2.5. Условие того, что СМО справляется с обслуживанием потока.
Это условие имеет вид неравенства:
< n = AСМО ,
(2.14)
где -интенсивность входного потока заявок, n – число обслуживающих аппаратов, - интенсивность обслуживания.
Здесь произведение n характеризует суммарную производительность обслуживающих аппаратов - среднее количество заявок, которое могут обслужить
все n обслуживающих аппаратов. Величина AСМО = n называется пропускной
способностью СМО.
Условие (2.14) означает, интенсивность входного пото-
ка должна не превышать пропускную способность СМО. Выражение (2.14)
называется также условием конечности очереди. Если это условие не выполняется, в СМО наблюдается неограниченный рост очереди. В этом случае говорят, что СМО не справляется с обслуживанием входного потока.
32
Пример.2.5. Агентство по продаже авиабилетов располагает n=2 кассами.
Среднее время продажи билетов одним кассиром равно γ = 3 мин, интенсивность входного потока равна =3 пас/мин.
1.
Справляется ли агентство с обслуживанием пассажиропотока?
2.
Какое число касс минимально необходимо, чтобы агентство справлялось с обслуживанием?
Решение. Интенсивность обслуживания равна:
=
1
_
1
пас/мин
3
Условие того, что система массового обслуживания справляется с обслуживанием, имеет вид неравенства (2.14). Поскольку правая часть неравенства
равна 2/3, то, очевидно, что неравенство не выполняется. Таким образом,
агентство при n=2 работающих касс не справляется с обслуживанием пассажиропотока заданной интенсивности. Минимально необходимое число касс должно удовлетворять неравенству
n >
3
9
1
3
Следовательно, минимально необходимо n = 10 касс.
2.6. Характеристики СМО с неограниченной емкостью накопителя.
Если СМО справляется с обслуживанием потока, т.е. при выполнении неравенства (2.14) или равносильного ему условия:
q = ρ / n < 1,
вероятности состояния определяются теми же самыми формулами (2.5), что и
для СМО с конечной емкостью накопителя, где, однако, надо положить
m=∞,
S = q / (1 – q ).
(2.15)
33
Вероятности обслуживания и отказа равны соответственно единице и нулю.
Интенсивность потока отказов равна нулю, а пропускная способность равна интенсивности входного потока. Остальные характеристики – те же, что и в п.2.3.
Пример 2.6. Рассчитаем характеристики АЗС с двумя бензоколонками
при интенсивности потока автомашин 12 авт
час
и среднее время обслужи-
вания одной машины 5 мин . В примере 2.2 эта задача решалась нами при
емкости подъездных путей, не более m=3 автомобилей. Найдем теперь характеристики АЗС при неограниченной емкости.
Решение. Параметры системы равны
n 2 , 12 авт
час
, 1, q 1
2
1 ..
Поскольку выполнено условие (2.14), то АЗС справляется с обслуживанием потока автомашин заданной интенсивности. Найдем вероятности состояний. По формуле (2.5.)получаем
11
Р0 1 1 0.5
41 0.5
1
1
.
3
Вероятности того, что на АЗС находятся в заданный фиксированный момент времени к машин равны
1
Р1 Р0 ;
3
Р2
2
2!
Р0
3
1
Р3
Р0 0.25Р0
;
2!2
12
Р5
5
2!8
Р0
1
;
6
Р4
4
2!4
1
1
Р0
;
8
24
1
1
Р0
;
16
48
Мы видим, что полученные вероятности очень близки к значениям примера 2.2 . Средняя длина очереди находится по формуле (2.7):
Lоч
1
1
3
2
3
2 2! 1 0.5
Среднее время ожидания в очереди на заправку и пребывания автомобиля
на АЗС равны
34
t ож
5
мин;
3
t СМО
5
5 6.7 мин
3
Вероятность того, что все бензоколонки загружены равна
1
Р заг р 1 Р0 Р1 .
3
В среднем загружена
K загрОА 1 Р1 2 Pзагр 1
одна бензоколонка. Вероятность возникновения очереди равна
Роч Рзаг р Р2
1
.
6
Поскольку в данном примере интенсивность потока слабая (q=0.5) емкость накопителя не используется в полной мере. Поэтому результаты расчетов
характеристик СМО с конечной и бесконечной емкостью накопителя практически совпали.
2.7.Расчет характеристик обслуживания пассажиропотока транспортным
агентством по продаже билетов.
Средние характеристики очереди. Транспортное агентство имеет n = 3
кассы К 1 , К 2 , К 3 продажи билетов на все направления. Кассы должны обеспечить продажу билетов всем желающим их приобрести. Потери заявок исключены. В результате статистического обследования установлено, что среднее время
продажи билета одни кассиром равно
45сек 0.75 мин
Поток пассажиров имеет интенсивность 3 пасс мин . Найдем характеристики очереди пассажиров:
среднюю длину очереди;
среднее время ожидания в очереди и пребывания пассажиром в
кассах;
Величина интенсивности обслуживания равна
35
1
4
мин 1
3
По условию агентство является системой массового обслуживания без
потерь. Проверим, будет ли очередь ограниченной. Воспользуемся условием
(2.14) в форме
n
3
2.25 . .
43
Поскольку оно выполняется (величина n = 3), то неограниченное возрастание очереди исключается. Заметим, что если бы работали только две кассы
(например, в случае болезни одного из кассиров), то в нашем случае очередь
пассажиров стала бы бесконечной.
Само по себе выполнение неравенств (2.14) не гарантирует качества обслуживания. Нужны более основательные расчеты.
Значение параметра q равно q = 0.75. Вероятность отсутствия заявок
(см. формулу (2.6)) равна
2.25 2 2.253 2.253 0.75
Р0 1 2.25
2
!
3
!
3
!
0
.
25
1
0.075
С помощью формулы (2.7) вычисляем среднюю длину очереди
Lоч
2.25 4 0.75
3 3! 1 0.75
2
1.7 пасс
и среднее время ожидания
t ож 1.7 0.57
3
Среднее время пребывания пассажиров в кассе равно
t СМО 0.57 0.75 1.33 мин
Мы видим, что средние значения характеристик, очереди имеют вполне
приемлемые значения.
Вместимость
кассового
зала.
Рассчитанная
нами
величина
Lоч 1.7 определяет лишь только то среднее значение, относительно которого
длина очереди будет колебаться, отклоняясь в большую или меньшую сторону.
36
Поскольку вероятности состояния Рк отличны от нуля, то в принципе не исключаются (и даже будут происходить) отдельные выбросы. Например, с положительной вероятностью очередь может достигнуть значения 20 или даже
100 человек. Зал должен быть рассчитан на то, чтобы с вероятностью
Рвм 1
,
близкой к единице, вмещать всех желающих пассажиров. Здесь - заданное
малое число – параметр. Значение ε может быть равным 0.01 или 0.001.
Математически это означает, что искомая вместимость N должна быть
найдена из условия
Р0 Р1 ... Р N Рвм
(2.16)
Конечно, нас интересует наименьшее значение параметра N , при котором условие (2.16) выполняется. Если положить
N n L,
где n – число пассажиров, покупающих билеты (т.е. обслуживающихся у касс),
а L – искомая расчетная длина очереди, то неравенство (2.16) может быть переписано так
РL1 РL 2 ... Рк .
к L 1
Данное неравенство в нашем случае решается аналитически. Подставим
формулы (2.5):
n Р0
к L 1
n!
Рк
q
k
к L 1
и воспользуемся, как это уже не раз было, формулами суммы геометрической прогрессии
Рк
к L 1
n Р0 q L 1
n! 1 q
.
Отсюда логарифмируя, находим величину L из неравенства:
L 1
1
ln
ln q
(1 - q) n!
n
P
0
(2.17)
37
В нашем примере при ε = 0.01 неравенство (2.17) имеет вид
L 1
1
0.01 0.25 3!
ln
14.05
3
ln 0.75
0.075 2.25
и расчетная длина очереди равна L = 14. С учетом того, что n = 3 человека покупают билеты вместимость зала нужно рассчитывать на N = 17 человек.
Проведенные расчеты означают следующее. Если в течении заданного
времени Т (например, T =8 час 60мин=480мин), поток пассажиров будет сохранять неизменное, принятое при расчетах значение 3 час мин , то в течение
Т 0.01 480 4.8 мин
кассовый зал будет переполнен. Такое превышение вместимости ввиду малости
времени считается допустимым. В течение остального времени количество
пассажиров, покупающих билеты, будет не более 17 человек. В частности, в
течение промежутка
Р0 Т 0.075 480 36 мин
зал будет полностью пустым.
Если значение 4.8 мин является слишком большим, то необходимо повторить расчеты при других значения параметра . Приняв =0.001 (что соответствует интервалу переполнения зала 0.48 мин) получаем значении параметров
L = 22 пас,
Критическое
значение
интенсивности
N = 25 пас.
пассажиропотока.
Простейшие
наблюдения показывают, что пассажиропоток, как правило, не является стационарным. Его интенсивность зависит от сезона, дня недели, времени суток.
Летом наблюдается большие значения интенсивности, чем зимой, в праздничные и предвыходные дни поток также возрастает. Это и понятно. Ведь люди
стремятся ехать на дачу, в лес, отдохнуть на природе. Развитие городского
строительства и рост городского населения также увеличивает пассажиропоток.
38
Поэтому при проектировании кассовых залов, а также и других систем массового обслуживания, необходимо проводить расчеты при различных значениях
параметра .
Критическим кр назовем то значение интенсивности входного потока,
при котором начинается неконтролируемый рост очереди в СМО. Из формулы
(2.14) следует, что величина кр определяется следующим равенством
кр n .
В нашем случае получаем
кр =3 4 3 4 пасс мин .
Определение числа кассовых аппаратов, исходя из заданного среднего времени ожидания. В связи с застройкой нового микрорайона отдел планирования мэрии прогнозирует увеличение интенсивности пассажиропотока до
уровня =5.5 пасс мин .
Какое количество касс нужно запланировать, чтобы
обеспечить необходимое качество обслуживания при продаже билетов?
Найдем необходимое количество кассовых аппаратов. Во первых, нужно,
чтобы очередь была ограниченной. Поэтому число касс должно удовлетворять
неравенству
n
5.5
4.125 .
43
Округляя в большую сторону, получаем неравенство n ≥ 5. Значение параметра n выберем из того, чтобы среднее время ожидания пассажиров в очереди не превосходило
t ож t 1.2 мин
заданного значения
t , которое гарантирует достаточно быстрое обслуживания.
Используя формулу (2.7) получаем неравенство
n 1 Р0 , n
f , , n
t
n n! 1 q 2
(2.18)
39
для определения n. Здесь нужно помнить, что в левой части вероятность Р0 зависит также от n (см. формулу (2.6)).
Поскольку функция f , , n в левой части неравенства (2.18) стремится
к нулю при n , достаточно быстро убывая, то искомое значение параметра
n всегда найдется.
Алгоритм определения n представлен на рис.2.1, где функция Ц(x) означает целую часть числа x. Алгоритм заключается в последовательном переборе
значений n=5,6,…; вычислении значения функции f , , n и проверке выполнения неравенства (2.18), по которому осуществляется выход из цикла.
Ввод , ,t
n:=ц ( х ) 1
Вычисление
f , , n
f t
n:=n+1
КОНЕЦ
Рис.2.1.
В табл. 2.3. представлены результаты расчетов функции f (ее размерность – мин) при различных значениях параметра n. Ясно, что в данном случае
значение n=5, при котором среднее время ожидания ровно tож 0.51мин является искомым.
40
Табл. 2.3.
Число касс n
Время ожидания
f(·),
5
6
0.51
0.126
мин
Более полный анализ возникающей очереди и проверку обоснованности
выбора количества касс нужно выполнять методом статистического моделирования (см. следующую главу).
Планирование числа работающих касс. В табл. 2.4 представлен пример
данных по интенсивности (пас/мин) пассажиропотока в различное время года и
дни недели. Видно, что интенсивность меняется на порядок.
Табл. 2.4
Время года
Будни дни
Выходные
дни
Зима
0.5
3
Лето
2.2
5.5
Для обслуживания пикового потока интенсивности max 5.5 пасс мин
(лето, выходные дни) требуются, как мы только что видели, n = 5 касс. Ясно,
что нет необходимости в работе всех касс при малых потоках. Возникает задача
планирования числа работающих касс, исходя из заданных характеристик пассажиропотока.
Эта задача решается по схеме изложенной выше. Для различных значений , представленных в табл. 2.4, проводились расчеты параметра n из условия (2.17). Результаты расчетов приведены в табл.2.5.
41
Табл. 2.5.
Время года
Будни дни
Выходные
дни
Зима
1
3
Лето
2
4
2.8. Морские и речные порты как системы массового обслуживания. Расчет характеристик, оптимизация количества причалов.
Порт (морской или речной) является с точки зрения теории массового обслуживания многоканальной СМО без потерь заявок. Входной поток заявок образует поток судов, прибывающих в порт на разгрузку. Функция обслуживания
заявки заключается в разгрузке судов. Обслуживающими аппаратами являются
причалы, включая не только место швартовки, но и все причальное погрузочно-разгрузочное оборудование (краны). Для применения аналитических формул, приведенных выше, предположим, что поток судов обладает свойствами
пуассоновского потока и имеет интенсивность суд сут . Порт имеет n причалов. Время разгрузки каждого судна – случайная величина. Ее закон распределения примем показательным со средним значениям [ сут ].
Если в момент прибытия очередного судна имеются свободные причалы,
то судно поступает на один из них под разгрузку. В противном случае оно становится на рейд, где дожидается своей очереди.
Рассчитаем в качестве примера характеристики порта с n=3 причалами
при разгрузке потока судов интенсивности 0.8 суд сут . Среднее время
разгрузки 1.5 суток .
Значения интенсивности обслуживания причала и параметра равны
1 2 3 ; 0 ,8 3 2 1.2
42
Величина
q
n 1,2 3 0.4 1
гарантирует конечность очереди судов на рейде, ожидающих обслуживания.
Вероятность того, что в порту отсутствуют суда (причалы и рейд простаивают)
определяется выражением
Р0
1
1.2 1.2 2 1.2 3
1
1!
2!
3!
0.4
1
1 0.4
1
0.294
3.4
Вероятности Р к загрузки причалов вычисляем по формулам (2.5 ):
Р1 Р0 1.2 0.294 0.352
Р2
Р3
2
3
Р1 0.6 0.352 0.211
Р2 0.4 0.211 0.0847
Вероятность наличия очереди судов на рейде равна
Роч 1 Р0 Р1 Р2 Р3 0.058
С помощью формул (2.7), (2.8) находим:
среднюю длину очереди
Lоч
1.2 4 0.294
0.094 ,
3 3!( 1 0.4 )2
среднее время ожидания
t ож
0.094
0.118сут 2.8час ,
0.8
среднее число загруженных причалов
K загрОА 1 0.352 2 0.211 3( 1 P0 P1 P2 ) 1.2.
среднее время пребывания в порту (ожидание на рейде и разгрузка)
t сист 1.5 24 2.8 38.8час
43
Вместимость рейда находится из условия (2.17), означающего, что вероятность очереди более L судов должна быть не более заданного малого уровня .
По формуле (2.17) при =0.001 находим:
0.001 0.6 6
n
0.294 1.2 3
L1
5.4
n0.4
Т.о. с вероятностью Р=0.999 длина очереди менее или равна 5 судов.
Оптимальное число причалов.
Введем следующие экономические показатели, характеризующие затраты
на обслуживание судов в порту:
пр
С заг
р $ сут - стоимость суточной эксплуатации одного причала при вы-
полнении погрузочно-разгрузочных работ;
пр
С прост
$ сут - стоимость суток простоя причала;
суд
С прост
$ сут - стоимость суток простоя одного судна на рейде.
Тогда средние суточные затраты характеризует критерий:
суд
пр
пр
С tож Спрост
К заг рОА С заг
р n К заг рОА Спрост
(2.19)
Здесь величины tож , К заг рОА определяется с помощью формул (2.5)-(2.9) по
входным параметрам , , n . Если значения параметров и - заданы, то нетрудно рассчитать зависимость затрат
С = С(n)
от числа причалов. Оптимальное число причалов n опт находится из условия
C(n) min
минимума функции (2.19), где n > .
В табл. 2.6 приведены суммарные затраты и отдельные составляющие для
рассмотренного выше примера при следующих значениях параметров
суд
С прост
1000$ сут ;
пр
пр
С прост
1000$ сут С загр
2000$ сут .
44
Табл.2.6.
Количество
Составляющие затрат
Суммарные
Простой
Эксплуат. при-
Простой при-
затраты
судна
чала
чала
2
675
2400
800
3875
3
95
2440
1780
4320
4
15
2400
2800
5210
причалов
Поскольку должно быть выполнено условие n 1.2 , то оптимальное
число причалов отыскивается среди значений n=2,3,… . С ростом n уменьшаются затраты на простой судов, но возрастают издержки, связанные с простоем
причалов. Поскольку в данном примере простой судов обходится значительно
дешевле эксплуатации причала, то оптимальное значение n равно двум.
В табл.2.7 представлены результаты расчетов при более высокой стоимосуд
сти простоя судна, где принято С прост
2000$ сут. Значения остальных па-
раметров – те же, что и в табл.2.6. Поскольку относительный вес затрат на простой судов увеличился, то стало выгодным уменьшать очередь на обслуживание, что достигается увеличением числа причалов. Оптимальное число причалов стало равным трем.
Табл.2. 7.
Количество причалов
Затраты на простой су-
Суммарные затраты
дов
2
1350
4540
3
190
4390
4
22
5220
45
ГЛАВА 3. СТАТИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПАРАМЕТРОВ ТРАНСПОРТНО-ЛОГИСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
1.1.
Датчики случайных чисел
Статистическим (или вероятностным) моделированием случайной величины
называется процесс получения на компьютере ее значений
: 1, 2, …, n .
С этой целью используются датчики случайных (псевдослучайных) чисел
(ДСЧ). Датчиком случайных чисел называется компьютерная программа (процедура), позволяющая при каждом обращении к ней получать (считывать или
вычислять) новое значение моделируемой случайной величины. В качестве исходных данных принимается закон распределения СВ в виде функции F ( x )
или плотности f ( x ) распределения.
Случайная величина γ имеет равномерный закон распределения на промежутке [a, b], если ее плотность постоянна
(3.1)
на этом промежутке. Математическое ожидание и дисперсия равномерного
закона равны
,
(3.2)
Для стандартного равномерного закона распределения промежуток [a, b]
равен [0, 1]. Вероятность попадания на промежуток
P
(3.3)
равна длине ∆ = α – β промежутка. Математическое ожидание стандартного
равномерного распределения равно 1/2, а дисперсия – 1/12.
Датчики стандартного равномерного распределения используются в качестве первичных источников для моделирования случайных факторов. Суще-
46
ствует ряд датчиков равномерного распределения. В приложении 1 приведено
описание процедуры Rav [ 3]. Для ее использования необходимо заранее задать
(в теле основной программы) начальные значения
u1:=3.14159265;
u2:=0.542101887
ее входных параметров. При каждом обращении к процедуре Rav вычисляется
новое значение gamma псевдослучайного числа со стандартным равномерным
распределением. Равномерный закон на произвольном промежутке [a, b ] моделируется по алгоритму
Rav;
: = a + (b – a) * gamma;
Пример 3.1. Необходимо получить n = 100 значений времени прибытия груза
на терминал (мин). Случайная величина - время прибытия имеет равномерный закон распределения в течении суток. Выборку записать в массив Data.
Выборка моделируется алгоритмом
For i:=1 to n do
begin Rav; : = 1440 * gamma; Data[ i ]:= ; end;
Здесь и далее для сохранения преемственности в обозначениях используется
греческий алфавит. При программировании необходимо заменить греческие
буквы на латиницу.
3.2. Моделирование случайных событий и дискретных случайных величин.
Случайное событие A, вероятность P которого задана, и его противоположное Â моделируются алгоритмом
Rav;
if gamma ≤ P then A else  ;
Здесь моделируется факт осуществления или неосуществления случайного
события. Случайным исходам A и Â должны соответствовать значения соответствующих переменных программы либо процедуры.
Закон распределения дискретной случайной величины задается табл. 3.1.
47
Таблица 3.1
Возможные
значения
Вероятности
1
2
...
n
Р1
Р2
...
Pn
Здесь Рк - вероятности P{ = k} того, что случайная величина примет
значение k. Здесь вероятности Рк – заданные положительные числа, их сумма
равна единице.
Моделирование осуществляется следующим образом. Промежуток [0, 1]
разбивается на n промежутков ∆1, ∆2, …, ∆n длиной Р1, Р2,…, Рn соответственно. Обращаемся к датчику случайных чисел (процедура Rav):
if gamma ∈ ∆k then = k .
Rav;
Если случайное число попадет на промежуток ∆k , то моделируемой величине присваивается значение k .
Пример 3.1. Суточные отгрузки товара (по позиции «Холодильники») для
склада имеют закон распределения, приведенного в табл. 3.2,
Таблица 3.2
Возможные
значения
Вероятности
1
2
3
0,5
0,3
0,2
Здесь вероятности Рк означают, что из N =100 поступивших заявок в среднем N Р1 = 50 содержат требование на одну единицу товара, N Р2 = 30 - ровно
две единицы, а в оставшейся части N Р3 = 20 требуется ровно три единицы товара. Моделирующий алгоритм имеет вид
Rav;
if gamma ≤ 0.5 then = 1 else
if gamma ≤ 0.8 then = 2 else = 3.
Моделирование закона распределения Пуассона. Дискретная случайная
величина данного вида принимает значения 0, 1,2,…,k,… c вероятностями
48
(1.7). Закон распределения характеризуется параметром a - средним значением
случайной величины. Моделирующий алгоритм приведен в приложении 2.
Моделирование жеребьевки. Пусть имеется n= 32 команд – участниц соревнования (например, чемпионата мира). Требуется распределить их по группам. Распределение осуществляется путем присваивания каждой командеучастнице случайного номера. В результате жеребьевки должна быть сформирована перестановка из номеров
(i1, i2, …, in ).
Согласно регламенту чемпионата в соответствие со случайным номером
команде присваивается код одной из восьми групп A,B,…,H и номер (от 1 до 4)
внутри группы. Алгоритм жеребьевки приведен в Приложении 1.
3.3. Моделирование непрерывных случайных величин
Закон распределения непрерывной случайной величины задается плотностью f(x) или функцией F(x) P x распределения. Эти характеристики связаны между собой соотношениями
,
(3.4)
Метод обращения. Моделирующий алгоритм имеет вид
Rav;
F(x) = gamma;
(3.5)
Последнее выражение означает, что значение моделируемой величины
находится, как решение уравнения (3.5). Повторяя вычисления с различными
значениями псевдослучайных чисел gamma, вычисляемые ДСЧ, получаем
различные значения моделируемой случайной величины.
Моделирование показательного закона распределения. Показательный
закон имеет плотность распределения (1. 1). Его функция распределения равна
.
(3.6)
49
Приравнивая это выражение случайному числу gamma, получаем моделирующий алгоритм
Rav;
= - Ln (gamma )/ β.
(3.7)
Моделирование закона распределения Эрланга. Плотность распределения
(1.4) случайной величины, имеющей закон распределения Эрланга, определяется параметрами β и k = 2,3,… Случайную величину с распределением Эрланга
можно представить в виде суммы
= 1 + 2 + …+ k
k значений случайной величины с показательным распределением (и тем же
значением параметра β). Из этого свойства следует моделирующий алгоритм
= - [ Ln (gamma1) + Ln (gamma2) + …+ Ln (gammak) ] / β.
(3.8)
Для моделирования одного значения СВ с законом распределения Эрланга
(например, при k =10) потребуется k (десять) псевдослучайных чисел, вычисляемых ДСЧ. Более экономичным с вычислительной точки зрения является
следующая модификация формулы (3.8)
= - [ Ln (gamma1 × gamma2 × …× gammak) ] / β,
использующая известные свойства логарифма. Здесь логарифм вычисляется
только один раз.
Моделирование нормального закона. Случайная величина имеет нормальный
(или гауссов или гауссовский) закон распределения с параметрами m и σ2, если
его плотность распределения имеет вид
(3.9)
Параметр m имеет смысл математического ожидания, σ2 означает дисперсию.
График функции (3.9) называется гауссоидой, он имеет форму колокола. Гауссоида и выражение (3.9) вместе с портретом К.Ф. Гаусса
– выдающегося
50
немецкого ученого, автора закона были изображены на купюре ФРГ достоинством 10 марок.
Стандартный нормальный закон распределения имеет нулевое математическое ожидание и единичную дисперсию, m = 0, σ2 =1. Моделирование стандартного нормального закона распределения построено на центральной предельной теореме теории вероятностей. Теорема утверждает, что сумма n независимых случайных величин имеет в пределе при n→∞ нормальный закон распределения. Отсюда следует алгоритм моделирования
n = (gamma1 + gamma2 + …+ gamman - n/2) / (n/12) 0.5,
(3.10)
использующий n значений датчика случайных чисел. Здесь из суммы вычитается ее математическое ожидание - n/2, а результат делится на среднеквадратическое отклонение (n/12)
0.5
. Поэтому случайная величина имеет нулевое среднее
и единичную дисперсию, а при достаточно большом значении n имеет и нормальный закон распределения. В частности при n =12 получаем алгоритм
n = gamma1 + gamma2 + …+ gamma12 - 6
В приложении1 процедура function NORM использует этот алгоритм. Произвольный нормальный закон моделируется алгоритмом
NORM; :=m + σ× norm1.
Пример. Требуется получить выборку n=100
значений нормальной случай-
ной величины – количества заправляемого топлива на АЗС, л с математическим ожиданием m = 40л и СКО σ = 10л. Результат записать в массив Data.
Моделирующий алгоритм имеет вид
m:=40; σ :=10; n:=100;
begin
for i:=1 to n do
NORM; :=m + σ× norm1; Data[i]:= ; end;
По правилу «3-ех сигма» с вероятностью P =0.997 значение (одно) должно лежать на промежутке [10; 70]л. Однако для всех n=100 значений вероятность
попасть на этот промежуток другая
P = 0.997n = 0.997100 = 0.74,
51
а вероятность выхода (хотя бы одного значения) за пределы этого интервала
Pвых = 1- 0.997n = 1- 0.74 = 0.26.
Это означает, что в каждой четвертой выборке объема n=100 будут попадаться
значения, выходящие за пределы промежутка [10; 70]л.
3.4. Моделирование пуассоновского и связанным с ним потоков.
Рассмотрим сначала простейший пуассоновский поток. Пусть моделируется, например, поток автотранспортных средств, прибывающих под разгрузку
на грузовой двор. Задана интенсивность потока = 5 грузовиков в час. Требуется получить реализации потока длительностью Т = 8 час в течение N = 22 рабочих дней календарного месяца.
На языке теории моделирования параметр N называется числом независимых реализаций, Т - длина реализации. Моделирование заключается в получении моментов появления заявок (здесь автомобилей)
t1 = 1 < t2 = t1 +2 ,…, < tk = tk-1 +к-1 .,
Здесь величины 1, 2, 3, …, к – интервалы между прибытиями автомобилей имеют показательный закон распределения с параметром β = λ, равным
интенсивности потока. Для моделирования интервалов к используется алгоритм (3.7). Получаемые величины имеют размерность – час.
Используя правило «3-ех сигма» с параметрами
m = λ T = 40 = σ2
можно оценить диапазон, в котором должно находиться количество автомобилей пребывающих на обслуживание [21,59]авт.
Потоки Эрланга k-го порядка с параметром β моделируются по той же
схеме, но только реализации интервалов к вычисляются по алгоритму (3.7).
С помощью потоков Пуассона и Эрланга моделируются потоки более
сложной структуры.
52
Пусть в рассмотренной задаче поток грузовиков формируется из двух потоков - грузовики без прицепов (поток П1) интенсивности 1 грузовиков в час и
грузовики с прицепом (поток П2) интенсивности 2 грузовика в час. Требуется
получить N реализаций смешанного потока.
Моделирующий алгоритм несколько усложнится. Необходимо моделировать две последовательности случайных величин:
1( 1 ) , 2( 1 ) ,..., k( 1 )
1( 2 ) , 2( 2 ) ,..., k( 2 )
и соответственно две последовательности моментов прибытия.
Здесь верхние индексы отнесены соответственно к потокам П1, П2. Появятся также два счетчика заявок и несколько усложнятся условия перехода.
Модель обобщенного пуассоновского процесса. Является естественным
развитием простейшего пуассоновского потока заявок. Используется для описания случайного спроса на товары в логистике запасов [5 ]. Примем, что в
моменты t1, ... , tк появления заявок запрашивается случайное количество
единиц товара ξ 1, ξ 2,… ξ k . Значение k определяет количество товара (размер
партии), указанное в каждой заявке. Положим, что величины k независимы
между собой и имеют одну и ту же функцию распределения
F(x) = P k x.
Пример закона распределения величин приведен в таблице 3.2.
Данная модель описывается парой характеристик и F(x). Ее вероятностное моделирование осуществляется комбинацией изложенных моделей. В
начале разыгрываются реализации моментов появления заявок t1, ... , tк . Далее
в каждый момент tк по заданной функции распределения F(x) разыгрываются
случайное количество запрашиваемого товара.
53
Случайные процессы и поля.
В аксиоматике теории вероятностей ака-
демика А.Н. Колмогорова случайной величиной называется функция ξ = ξ ( ω )
от элементарного случайного события ω. При имитационном статистическом
моделировании в качестве элементарного случайного события можно считать
точку - значение ω = gamma на отрезке [0,1], выдаваемое датчиком случайных чисел. Рассмотренные выше моделирующие алгоритмы могут рассматриваться как способ представления функции ξ = ξ ( ω ) в явном виде.
Случайным процессом называется множество (семейство) случайных величин ξ ( t ), зависящих от времени t ∈ [0,T]. В аксиоматике случайный процесс рассматривается как функция ξ ( t ) = ξ (ω ,t ) двух переменных - случайного события ω и времени t. Если зафиксировать случайное событие ω = ω*,
наблюдаемая на практике функция ξ ( t ) = ξ (ω* ,t ) называется реализацией
случайного процесса.
функция
Аналогично
случайное
поле рассматривается как
ξ ( x) = ξ (ω ,x ) двух переменных - случайного события ω и n-
мерной величины x. Двумерные случайные поля (n = 2) описывают (холмистый или гористый) рельеф земной поверхности, перемещающийся в пространстве рельеф морского ветрового волнения, неоднородную структуру изображений. Трехмерные (n =3) случайные поля представляют атмосферную турбулентность, как входное воздействие на летательные аппараты. Если зафиксировать случайное событие ω = ω*, то функция ξ ( x) = ξ (ω* , x )
простран-
ственного аргумента x называется реализацией случайного поля. Методы моделирования (т.е. получения на компьютере) реализаций случайных процессов и
полей подробно описаны в книге [ 3 ].
54
3.5.
Статистическая обработка потоков, контроль моделирования.
Статистическая обработка реализаций потоков является отправной точкой для построения математической модели потока, проверки гипотез о типе
потока, оценивании его параметров. Обработка реализаций, полученных на
компьютере, и сравнение полученных оценок с заданными параметрами позволяет осуществить контроль моделирования. Рассмотрим кратко методику контроля моделирования пуассоновского потока грузовиков, интенсивность потока = 5 груз/ч.
Контроль осуществляется путем прогонки на ЭВМ реализации достаточной длины Т (теоретически должно быть Т = ). Практически Т выберем из
условия
T n0
(3.9)
где n0 = 100-500 достаточный объем независимой выборки. Величина λТ гарантирует в среднем n0 значений заявок. В нашем случае значения параметров,
определяющих контроль моделирования следующие
T=100/5=20 часов,
n0 =100;
Полученные выборочные значения интервалов
τ1, τ2, …, τn
между прибытиями заявок подвергаются обработке стандартными методами
математической статистики:
~ и среднеквадратиче1. Проводится оценивание математического ожидания m
n
ского отклонения. Оценка интенсивности вычисляется по формуле
~
~ .
n 1 / m
n
55
2.
Осуществляется проверка независимости величин τk . С этой целью оценивается коэффициент корреляции
j
M k j M k j k M k
[ k j ] [ k ]
между величинами τk+j, τk. Здесь j = 1,2,... -параметр сдвига. При j =1 проверяется наличие корреляции между соседними значениями τk, при j =2 корреляция через 1 и т.д. Величина ρj оценивается по формуле
~ m
~
k j m
n
k
n
n j
~ j k 1
~n2
.
Теоретическое значение коэффициента корреляции ρj=0. Если полученные оценки коэффициента корреляции ρj малы, то моделируемые значения интервалов между прибытиями τk - некоррелированы и можно предполагать их
независимость.
3. Строится гистограмма выборки τk и сравнивается с теоретическим законом распределения (показательным законом с λ =5 груз/час).
Близость оценок и теоретических значений дает основание считать алгоритм и программу надежно проверенными.
56
Глава 4. Статистическое имитационное моделирование транспортнологистических процессов массового обслуживания.
4.1. Общая схема моделирования процессов обслуживания
Если в описании входного потока заявок, характеристик обслуживания
или СМО в целом имеются особенности, не позволяющие использовать аналитические методы, применяется метод имитационного статистического моделирования. Другое название – метод Монте-Карло.
Суть метода заключается в построении для конкретной рассматриваемой
системы ее модели (так называемой имитационной модели), описывающей по
возможности детально процесс ее работы (функционирование). При этом описываются: структура системы, ее элементы, связи между элементами, входные возмущения и механизм их воздействия на элементы системы. Существенной особенностью метода Монте-Карло являются использование для моделирования случайных факторов датчиков случайных чисел.
Под системой в зависимости от конкретной задачи понимается транспортн-логистический процесс (например, как в заданиях на курсовые работы процесс разгрузки автомобилей на грузовом складе аэропорта или судов в морском порту, продажи билетов в кассе аэро- или железнодорожного вокзала и
др.), транспортная коммуникация (автодорожная или речная магистраль), потоки транспортных средств (например, воздушных или морских судов, автомобилей или др.).
Моделью входного воздействия является многомерная случайная величина или их последовательность - случайный поток (случайный процесс). Имитационная модель связывает входные случайные воздействия с выходной величиной
y = L ( ).
Величина L (.) называется оператором системы. Само по себе определение оператора представляет трудную задачу. Как правило, оператор задается
алгоритмически, т.е. в виде строго формализованных и описанных на матема-
57
тическом языке последовательности операций, которые в конечном итоге определяют форму связи входных и выходных величин. Пример имитационной модели и способа задания оператора L (.) рассматривается в последующих разделах.
С выходными величинами связывается числовой показатель или несколько показателей, характеризующих качество или эффективность работы всей системы в целом. Такими показателями являются экономические критерии – доход, прибыль или затраты, характеристики качества организации процесса обслуживания – параметры очереди, времени пребывания заявки в СМО, потери
времени на ожидание в очередях. Такого типа показатели можно представить в
виде математического ожидания
Kr = M φ (y)→ opt (max, min)
(4.1)
функции φ (y) от выходных величин. Структура и параметры процесса
обслуживания должны быть выбраны так, чтобы обеспечить критерию (4.1) оптимальные (максимальные или минимальные) значения.
Общая схема анализа системы методом имитационного моделирования
заключается в следующем:
1)разыгрываются N независимых реализаций i входного возмущения,
i =1,2,...,N;
2)моделируется система, вычисляются значения yi = L(i) выходных величин и функции (yi);
3)по выборке (yi),…, (yN) производится оценка показателя эффективности системы (4.1). Для критерия (4.1) используется среднеарифметическая
оценка
Kr
1 N
( yi ).
N i 1
(4.2)
Фундаментальные теоремы теории вероятностей, объединенные общим
названием закона больших чисел, гарантируют сходимость оценки (4.2) к истинному значению критерия эффективности (4.1).
58
4.2. Модель процесса обслуживания потока прибывающего автотранспорта на грузовом складе аэропорта
В качестве примера рассмотрим модель обслуживания входного потока
автомобилей, доставляющих грузы на грузовой склад аэропорта. Для описания
оператора системы необходимо задать алгоритм работы каждого обслуживающего аппарата, дисциплину обслуживания, описать входной поток (моменты
появления) автомобилей, процесс отказов в обслуживании. Описание каждого
из этих элементов СМО, представляющих в совокупности оператор (модель)
системы может быть сложным и представляет самостоятельную задачу. Мы
рассмотрим лишь простейшие модели.
Модель входного потока автомобилей. Примем простейшую модель
пуассоновского потока с интенсивностью (1/мин) автомобилей в минуту. Как
на ЭВМ получаются реализации входного потока, мы рассматривали в предыдущей главе.
Модель обслуживания входного потока. Обслуживающим аппаратом
(ОА) в данной задаче является приемные площадки склада, где происходит выгрузка и приемка груза, пересчет, обмер, взвешивание и др. необходимые операции, обслуживающий персонал – грузчики, кладовщик и др. Обслуживающие
аппараты, работающие параллельно, образуют каналы обслуживания. Нам
необходимо описать всю последовательность действий всех участников процесса приемки-сдачи – водителя, грузчиков, их производительность, определяющие время обслуживания автомобиля. Но мы ограничимся описанием всего
процесса заправки лишь одной величиной - длительностью разгрузки. В теории массового обслуживания эта величина называется временем обслуживания.
Примем, что - случайная величина, имеющая закон распределения Эрланга с
параметрами k, и средним значением =k/ времени разгрузки.
Обслуживание входного потока осуществляется n параллельно работающими ОА, которые полностью идентичны. Поэтому величины k и полностью описывают процесс приемки-сдачи груза на складе.
59
Накопитель и модель дисциплины обслуживания. Накопителем является
часть грузового двора, предназначенная для стоянки автомобилей, стоящих в
очереди в ожидании обслуживания. Емкость накопителя является его важнейшей характеристикой. Она должна быть рассчитана с тем, чтобы разместить максимальную длину очереди. Примем, что автомобили обслуживаются
на складе в порядке поступления. Поступившая заявка обслуживается на первой освободившейся приемной площадке. Все каналы равноправны. В случае
простоя нескольких ОА появившийся автомобиль направляется на обслуживание в тот, который освободился ранее других.
Модель отказов в обслуживании обслуживание. Примем, что поступивший автомобиль дожидается в очереди обслуживания. Отказов не происходит. Возникающие здесь потери времени на ожидание в очереди являются непроизводительными потерями. Время ожидания обслуживания является одной
из характеристики качества организации обслуживания.
В прилагаемых вариантах заданий на КУР предусмотрены различные
модели отказов, например, отказ по времени (ресурсу) ожидания в очереди. В
заданиях этого типа предполагается, что водитель (при наличии очереди) обладает некоторым ресурсом ожидания, по истечении которого он обязан покинуть
очередь. Величина ресурса случайна. Ее закон распределения может быть определен путем опроса водителей, покинувших очередь, и обработкой статистических данных о времени ожидания. В варианте, где рассматривается автостоянка, накопители не предусматриваются. Отказ в обслуживании происходит, если
в момент появления заявки (автомобиля) все ОА (стояночные места) заняты.
Модель доходов или затрат на обслуживание. Примем, что доход D (руб)
от операции на приемных площадках формируется в виде платы Спрр (руб/кг),
взимаемой с каждого килограмма выгружаемого груза
D = Спрр G.
Здесь G(кг ) – вес (тоннаж) принимаемой отправки. Примем, что тоннаж является случайной величиной с нормальной случайной величиной, заданными математическим ожиданием m и дисперсией σ2.
60
В варианте заданий, где рассматривается процесс обслуживания на АЗС
модель дохода аналогична. Доход АЗС формируется в виде процента от проданного количества бензина D = С V, где С-[$/литр] - доход АЗС с одного литра горючего, V – количество бензина заправляемого в машину. Величина V
может рассматриваться как случайная. В зависимости от марки автомобиля, от
возможностей или желания клиента эта величина варьируется. Ее закон распределения определяется с помощью гистограммы путем обработки статистики заправки на БК. Примем, что величина V имеет нормальный закон с параметрами
m - математическое ожидание, σ - среднеквадратическое отклонение.
Имитационная модель должна проиграть на ЭВМ количество прибывающих на заданном временном интервале [0,T] (сутки) машин, просуммировать
общее количество доставленного груза, просчитать доходы, собрать и обработать статистику по времени ожидания и длине очереди автомобилей.
Постановка задач исследования. Владельцу СМО (здесь менеджеру
складского комплекса), как лицам, заинтересованным в максимальной эффективности работы, представляется важным получить количественные оценки ее
характеристик. Их интересуют следующие вопросы:
- каков доход СМО в течение, например, Т=8 часов ее работы (среднее
значение, среднеквадратическое отклонение, максимальная и минимальная
величины);
- какую часть доходов компания теряет за счет отказа в обслуживании (если такие отказы возникают);
- какова средняя загрузка ОА, длины очередей, загруженность накопителей
(подъездных путей);
- можно ли уменьшить количество ОА без ухудшения качества обслуживания или, наоборот, нужно ли увеличить количество ОА?
Предположим, что ожидаются изменения входного потока (в результате
спада производства или, наоборот, экономического оживления). Прогнозируется увеличение ( или уменьшение) интенсивности в 3-5 раз от заданных номи-
61
нальных значений. Справляется ли СМО с увеличенными потоками? Имеет ли
смысл ставить дополнительные ОА?
На все эти вопросы должен быть получены ответы в результате моделирования.
4.3. Алгоритм моделирования процесса обслуживания входного потока на
грузовом складе аэропорта
Для моделирования случайных воздействий (входного потока) и случайных параметров процесса обслуживания используются подпрограммы: датчики
равномерного закона на промежутке [0,1], нормального закона, показательного
распределения (Приложение1). Нормальный закон моделирует тоннаж грузов,
доставляемых прибывшим для разгрузки автомобилем. Показательный закон
описывает интервалы между прибытиями - поток автомобилей, время обслуживания (приема-сдачи груза).
На рис.4.1 представлена блок-схема программы моделирования процесса
обслуживания, позволяющая рассчитывать статистические характеристики дохода и очереди за Nсм смен работы.
В блоке 1 вводятся исходные данные задачи - параметры входного потока
(интенсивность потока λ), времени обслуживания (интенсивность μ), расчетное
время работы Т = 8 час (для одной смены) или Т = 24 час, число Nсм =30 смен в
течении которых собирается статистика, Спрр – получаемый доход с одного килограмма выгруженного груза, dt =1с - шаг дискретизации процесса обслуживания по времени, n-число каналов обслуживания (приемных площадок вместе
с обслуживающей бригадой, осуществляющих параллельно операции приемки
груза), параметры грузовой партии – математическое ожидание m и среднеквадратическое отклонение σ.
Выбор шага дискретизации по времени dt обсуждается ниже. После выбора значения dt (здесь секунды) все параметры задачи, имеющий временной
смысл (λ, μ, Т, t) переводятся в те же самые единицы измерения (с).
62
63
64
В блоке 2 задаются начальные условия (НУ) датчика равномерного закона; счетчику реализации jр :=0 (смен работы) присваивается начальное значение.
Далее программа состоит из двух частей: блока имитационного моделирования (блоки 3-8) и блока 9 статистической обработки.
В блоке 3 формируются НУ на начало jр-го дня работы - присваиваются
нулевые значения следующим параметрам:
-текущему времени t (измеряется в секундах);
-счетчику jвх заявок;
-счетчику k длины очереди отказов в обслуживании;
-счетчику d (руб) выручки за смену;
-максимальным значениям текущей длины kmax и времени tож
ожидания в очереди;
-массивам ω[1:n], tko[1:n].
Элементами массива tko являются моменты окончания обслуживания на
каждом обслуживающем аппарате. Переменная ω[i] характеризует два возможных состояния ОА – «занят»( ω[i] =1) или «свободен» ( ω[i] =0) . Параметр
tвх - момент появления автомобиля. Оператор Rav реализует процедуру обращения к датчику случайных чисел с равномерным законом распределения на
промежутке [0,1]; в результате вычисляется новое случайное число gamma.
Блок 4 моделирует перевод стрелки часов, текущему времени t присваивает новое значение.
Блок 5 моделирует формирование очереди в накопителе. Момент появления очередного автомобиля и его порядковый номер записаны в массивы tpr,
jpr.
В блоке 6 моделируется процесс обслуживания в обслуживающих аппаратах. По условию
t > tko[i]
65
определяется в данный момент времени t свободный канал. Если накопитель
загружен (т.е. k > 0) в i-ом обслуживающем аппарате начинается обслуживание
первого стоящего в очереди автомобиля. Вычисляются:
-случайное время обслуживания tobsl;
-время ожидания в очереди tож;
-случайное количество выгружаемого груза ξ; кг,
-текущее значение выручки d.
Блок 6 вычисляет максимальные значения длины очереди и времени
ожидания обслуживания (везде на рис.4.1 индексы max).
Если текущее время t меньше длительности смены T, в блоке 7 осуществляется переход к блоку 4.
В блоке 8 накапливается и записывается в массивы masd, mastosh, masож
дневная выручка и максимальные значения времени ожидания в очереди и длины очереди.
В блоке 9 осуществляется статистическая обработка информации накопленной за N дней работы АЗС.
Выбор шага дискретизации по времени. Выбор основан на чисто качественных соображениях. Промежуток dt должен быть настолько мал, чтобы на
промежутке [t, t + dt] в моделируемой системе не происходило изменений ее
параметров состояния. Процессы на этом интервале, как бы замораживаются. В
частности для входного потока должны быть исключены появления на этом
промежутке новых заявок. Если эти заявки появятся, то программа при вычислениях их «не замечает», заявки теряются. По свойству пуассоновского потока
вероятность отсутствия заявок на промежутке [t, t + dt] равна
P0 = e -
λ dt
= P потерь ≈ 1
Шаг дискретизации нужно выбирать так, чтобы эта вероятность
Pпотерь была бы близкой к единице
dt = Ln(P 0потерь )/ (-λ ) ≈ 0.01 / λ .
Здесь приведенные численные значения соответствуют вероятности отсутствия
потерь заявок 99%. В частности для интенсивности потока автомобилей λ =10
66
авт/час величина шага дискретизации равна 3.6 сек. Для высоких значений потоков
авиапассажиров,
характерных
для
современных
аэропортов
λ
=3600пас/час шаг дискретизации должен быть равен 0.01 с.
4.4. Указания к выполнению курсовой работы
Варианты индивидуальных заданий приведены в приложении. Работа состоит из трех частей.
В первой части предлагается провести расчет характеристик процессов
обслуживания аналитическими методами теории массового обслуживания. При
необходимости по согласованию с преподавателем в каждом варианте могут
быть сделаны дополнительные упрощающие предположения. Расчет проводится по формулам, приведенным в пособии или с помощью аналогичных формул, изложенных в лекциях. Обязательно использование Интернет-источников,
в частности для описания и сбора данных по конкретным системам, которые
моделируются в предложенных вариантах.
Во второй части необходимо провести анализ процессов обслуживания
методом имитационного моделирования. Студентом разрабатываются имитационная модель и программа. Примеры приведены в п.4.3.
В третьей части проводится моделирование. Получаются оценки статистических характеристик эффективности (качества) процессов обслуживания.
Студент должен предложить свои ответы на вопросы, поставленные в задании.
Пояснительная записка должна содержать:
1. Индивидуальное задание. Постановку задач.
2. Расчет характеристик СМО аналитическими методами с необходимыми пояснениями.
3. Блок-схему программы с комментариями.
4. Текст программы (оформляется как приложение).
5. Результаты моделирования (таблицы, графики).
6. Выводы по работе.
67
7. Список литературы.
Пример моделирования. Моделировался процесс обслуживания потока автотранспортных средств, прибывающих с грузом на склад аэропорта. Модель
п.4.2 и алгоритм п.4.3 реализованы в программе, написанной в среде Дельфи.
На рис. 4.2 приведена входная форма задания исходных данных.
Рис. 4.2.
Расчеты выполнялись при следующих исходных данных:
- интенсивность входного потока λ = 4.00 авт/час;
-интенсивность обслуживания μ = 3.00 авт/час;
- количество ОА (приемных площадок) n = 2;
- продолжительность смены = 8.0 час;
- количество смен = 5;
- шаг дискретизации по времени dt = 1.00 сек ;
- доход от кг груза = 10.00 руб/кг;
- средний вес грузовой партии = 200.00 кг ;
среднее кв. отклонение σ = 40.00 кг.
68
Результаты расчетов по программе следующие.
1. Имитационное статистическое моделирование (Метод Монте-Карло)
Результаты работы за Nsm = 10 смен:
Массив доходов (посменно), тыс руб:
59.3
60.8
55.0
61.2
68.5
65.2
66.8
73.1
42.8
56.1
Массив max времени ожидания автомобилей разгрузки, мин:
42.8 31.4
7.3 35.6 26.9 42.9 42.9 45.2 27.6 58.5
Массив max длинны очереди за смену, авт:
4 3 2 3 3
3 4 5 1 6
Массив поступивших на обслуживание заявок (вх. поток), авт:
30
31
28
34
32
35
31
37
21
28
37
21
26
Массив обслуженных заявок (вых. поток), авт:
30
31
28
32
32
33
31
Массив заявок, ожидающих обслуживания в момент окончания моделирования(в накопителе), авт:
0
0
0
2
0
2
0
0
Средний доход за смену, руб:
60942руб;
Среднее время ожидания, min:
7.274
Средняя длина очереди, avt:
0
2
0.483
2. Расчет по аналитическим формулам
СМО с бесконечной емкостью накопителя без потерь заявок справляется
с обслуживанием входного потока. Максимальное (c вероятностью P = 99.9 % )
количество автомобилей на складе = 17авт., длина очереди -15 авт. Вероятности состояний:
P[0] = 20.00%, P[1] = 26.67%, P[2] = 17.78% , P[3] = 11.85%,
69
P[4] = 7.90% , P[5] = 5.27%, P[6] = 3.51%, P[7] = 2.34%,
P[8] = 1.56%,
P[9] = 1.04%,
P[10] = 0.69% , P[11] = 0.46%, …,
P[16] = 0.06% P[17] = 0.04%
Вероятность P отсутствия очереди - 64.44% , Вероятность P наличия
очереди - 35.56% , средняя длина очереди - 1.07 avt, среднее время ожидания в
очереди - 16.00 мин.
Если интенсивность входного потока увеличится до значения λ = 5.00
авт/час, то очереди и потери времени автомобилей на складе аэропорта на ожидание обслуживания возрастают. Результаты моделирования за 10 смен работы:
Массив max времени ожидания , мин:
57.9 36.4 24.7 29.2 42.2 53.6 32.5 31.0 54.7 93.3
Массив max длинны очереди, авт:
5 4 3 4 6
8 7 5 6 10.
Для улучшения качества обслуживания потребуется дополнительная
приемная площадка и привлечение еще одной бригады грузчиков. Студентам
будет необходимо повторить расчеты при большем числе обслуживающих аппаратов.
70
ЛИТЕРАТУРА
1.
Федеральный государственный образовательный стандарт высшего
профессионального образования по направлению подготовки 190700 «Технология транспортных процессов».
2. Палагин Ю. И. Анализ процессов в системах массового обслуживания
транспортных потоков: Учебное пособие. / С-Пб Госуниверситет ГА. С.Петербург, 2006.
3.
Шалыгин А.С.,Палагин Ю.И.
Прикладные методы статистического
моделирования . Л:Машиностоение, 1986.
4.
Капитонов Ю.А., Палагин Ю.И., Шалыгин А.С. Анализ точности непара-
метрических методов оценивания плотности распределения.
Изв. АН
ССР. сер. Технич. кибернетика, 1987, N6, с.191-197.
5. Палагин Ю.И. Логистика – планирование и управление материальными потоками. – СПб.: ОАО «Издательство «Политехника»», 2009.
.
71
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Процедуры моделирования типовых распределений
1.1.Датчик равномерного распределения на промежутке [0,1]
u1:=3.14159265; u2:=0.542101887; (начальные условия)
procedure Rav;
begin
u:=u1+u2;
u1:=u2;
if u>4 then u:=u-4;
u2:=u;
gamma:=u/4;
end;
Прим. Начальные условия – значения параметров u1, u2 должны присваиваться в первых строках основной программы. Выходные значения gamma процедуры представляют собой псевдослучайные числа.
1.2.Закон распределения Пуассона
Function Puass: integer;
begin
k:=0;
p:=exp(-a); sp:=p; Rav;
repeat
gamma:=gamma-sp;
begin
if gamma>=0 then
sp:=sp*a/(k+1);
k:=k+1;
end;
until gamma<0;
Puass:=k;
end;
Прим. Параметр a (тип вещественный) представляет собой среднее значение
случайной величины. Выходная величина Puass (тип целочисленный) является
значением, принимаемым случайной величиной.
72
1.3.Стандартное нормальное распределение
function NORM: Real;
var
x: integer;
begin
sum:=0;
for x:=1 to 12 do
begin
RAV;
sum:=sum + gamma;
end;
norm1:=sum-6;
end;
Прим. Выходная величина norm1 представляет собой моделируемое значение
стандартной нормальной случайной величины.
3.6.
Процедура жеребьевки
procedure CastingLots;
var c,s: real;
i,k,f: integer; Label M1;
{ n0:=32; n:=n0;
SetLength ( SvobNom, 2, n0+1 );
SetLength ( P, n0+1 );
SetLength ( BackCasL , n0+1 );
SetLengt h(CasL, n0+1 ); for i:=1 to n0 do
begin
SvobNom[0, i]:=1 ; SvobNom[1, i]:=i ;P[i]:=1/n0; end;
Begin
k:=0;
repeat
k:=k+1;
s:=0 ; i:=0;
Rav;
}
73
repeat
i: =i+1;
s:=s+P[i];
until gamma < s ;
f:=0; for j:=1 to n0 do
begin if SvobNom[0, j]=1 then f:=f+1 ;
if f=i then
begin SvobNom[0, j]:=0; CasL [k]:= SvobNom[1 ,j];
BackCasL [CasL [k]]:=k; Goto M1;
end;
end;
M1:
n:=n-1; if n>0 then for i:=1 to n do
P[i]:=1/n;
until k=n0;
end;
Прим. Описания переменных и операторы, заключенные в фигурные скобки,
должны выполняться в теле основной программы. Параметр n0:=32 означает
количество команд, участвующих в жеребьевке. В результате жеребьевки
участнику с номером i присваивается случайный номер CasL [i]. Результаты
жеребьевки записаны в массив CasL. Одновременно вычисляются значения обратной функции BackCasL. Массив BackCasL[i] содержит последовательно
коды команд, получившие в ходе жеребьевки номера 1, 2, …. , n0:=32.
74
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Индивидуальные задания по курсовой работе
ВАРИАНТ №1. Расчет характеристик и оптимизация количества причалов морского порта методами ТМО и моделирования
Постановка задачи. Исходные данные. Морской порт имеет n причалов
для разгрузки сухогрузных грузов. В среднем в порт в течение месяца поступает [суд/мес] судов большого тоннажа. Поступление судов носит случайный
характер, образует простейший пуассоновский поток.
Время разгрузки является случайной величиной с показательным законом
распределения. В среднем на разгрузку судна тратится tср дней.
Простой каждого судна обходится Qc условных единиц в сутки. Месячный простой причала из-за несвоевременного прихода судов обходится Qпр
условных единиц в месяц. Стоимость месячной эксплуатации причала Qэ. Численные значения приведены в таблице В-1
ТРЕБУЕТСЯ:
1. Расчетным путем определить основные характеристики загрузки причала и очередей: вероятности загрузки к причалов, к = 0,1,...,n, длины очереди
(закон распределения), средние значения: занятых причалов, длины очереди,
времени ожидания.
2. Определить методами статистического имитационного моделирования
оптимальное число причалов. Критерий - среднее значение квартальных затрат
на содержание порта (90 суток). Разработать программу. Провести сравнение
расчетных значений, полученных моделированием и с помощью аналитических
методов.
3. Найти: максимальное значение допустимого потока судов исходя
из заданной максимально допустимой длины очереди неразгруженных судов L
= 5 и вероятности ее превышения, равной p = 0,01.
75
ТАБЛИЦА В-1
№ ВАРИАНТОВ
ПАРАМЕТР
Исходное кол-во
Обоз-
Единица
наче-
измере-
ние
ния
1-1
1-2
1-3
1-4
1-5
n
ед.
2
4
3
1
2
суд/мес
40
50
30
10
6
tср
дней
1
0,8
1,2
2
1,6
Qс
усл.ед./
400
300
200
100
200
500
300
600
200
400
1500
900
2000
700
800
причалов
Интенсивность
потока судов
Среднее время
разгрузки
Стоимость
простоя судна
Стоимость
сут.
Qпр
простоя причала
Стоимость
эксплуатации
усл.ед./
сут.
Qэ
усл.ед./
сут.
причала
ВАРИАНТ №2. Расчет характеристик
порта
и оптимизация затрат морского
при разгрузке караванов барж
Постановка задачи. Исходные данные. В грузовом порту имеется n при-
чалов, которые оснащены оборудованием для слива нефти с нефтеналивных
барж. Производительность оборудования позволяет разгрузить в среднем на
каждом причале барж в сутки. Баржи в порт поступают караванами, каждый
из которых состоит из m однотипных (одинаковых по тоннажу) барж. Караваны
барж поступают неравномерно, образуя простейший пуассоновский поток со
средним караванов в день. Каждая баржа может разгружаться на любом из
свободных причалов. Закон распределения времени разгрузки - показательный.
76
Простой каждой баржи обходится Qб единиц в сутки. Месячный простой
причала из-за несвоевременного прихода судов обходится Qпр в месяц. Стоимость месячной эксплуатации причала Qэ. Численные значения приведены в
таблице В-2.
ТРЕБУЕТСЯ:
1. Расчетным путем для m=1 определить основные характеристики загрузки причала.
2. Разработать имитационную модель, позволяющую определять методом
моделирования характеристики загрузки причала и показатели экономической
эффективности - среднее значение затрат за 90 суток работы порта.
Дать сравнение для m = 1 расчетных оценок и оценок, полученных моделированием.
3. Для заданного в таблице значения параметра m определить методом
статистического моделирования основные характеристики работы порта. Найти
оптимальное значение числа причалов по критерию минимума затрат.
4. Найти максимальное значение числа допустимого потока караванов
исходя из заданной максимально допустимой длины очереди неразгруженных
барж, L = 10 барж.
ТАБЛИЦА В-2
№ ВАРИАНТОВ
ПАРАМЕТР
Исходное число
Обоз-
Единица
наче-
измере-
ние
ния
2-1
2-2
2-3
2-4
2-5
n
ед.
3
2
1
2
1
кар/мес
240
160
120
180
100
m
ед.
3
2
2
2
3
барж./
10
8
12
10
15
причалов
Интенсивность
потока караванов
Число барж
в караване
Среднее число
барж, разгр.
сут.
77
1 причалом
Стоимость
Qб
усл.ед./
простоя
100
80
60
120
150
200
120
90
150
250
1400
1000
900
1200
1800
сут.
баржи
Стоимость
Qпр
усл.ед./
простоя причала
Стоимость
сут.
Qэ
усл.ед./
эксплуатации
сут.
причала
ВАРИАНТ №3. Анализ процесса обслуживания потока на автостоянке
Постановка задачи.
Исходные данные. Автостоянка, расположенная
вблизи историко-культурного центра, предназначена для обслуживания индивидуального автотранспорта и туристических автобусов. Ее площадь рассчитана на стоянку n1 = 4 легковых автомобилей и n2 =3
автобусов. Предваритель-
ные исследования показали, что потоки автотранспортных средств являются
простейшими пуассоновскими с интенсивностями 1 = 3авт/ч
, 2 = 3авт/ч
соответственно.
Под стоянку 1 легкового автомобиля отводится площадь S а=15м2, под
стоянку автобуса - 50м2. Расходы компании (налоги, эксплуатационные,
накладные) составляют q =0.1 $
доллара на 1м2 площади стоянки в сутки.
Плата за стоянку составляет Q1 =3
дол/ч за 1 место легкового автомобиля и
Q2 =20 дол/ч за 1 место автобуса.
Стоянка принимает машины на обслуживание круглосуточно. По результатам статистического исследования потоков установлено, что закон распределения времени стоянки автотранспортных средств экспоненциальный со средним временем ожидания t1 =1ч.
, t2 =2ч.
ТРЕБУЕТСЯ:
1. Расчетным путем определить основные характеристики автоcтоянки.
78
2. Разработать алгоритм и определить методом имитационного моделирования закон распределения прибылей компании за сутки работы, математическое ожидание и дисперсию прибыли.
3. Какая часть прибыли не дополучена в силу:
-отказа транспортным средствам в приеме на стоянку;
-наличия свободных мест на стоянке.
ВАРИАНТ №4. Погрузочно-разгрузочные работы на складе.
Постановка задачи. Исходные данные. На грузовой двор складского
комплекса автомобилями типа ГАЗ-51 доставляются на хранение 2 типа грузов:
тяжелые ящики весом 2.5 т и универсальные контейнеры. Поступление грузов
носит случайный характер - образует простейший пуассоновский поток интенсивности я (ящиков/ч) и к (контейнеров/ч). Каждый автомобиль привозит либо ящик, либо контейнер. Время работы склада с 9 до 18 ежедневно в течение
рабочей недели (5 дней).
Выгрузка грузов осуществляется n однотипными кранами. Время выгрузки и размещения груза имеет для обоих типов экспоненциальный закон распределения со средними значениями t я и t к соответственно. Грузовой двор позволяет разместить не более заданного количества m грузовиков.
Фирма ПТО-ЛИМИТЕД, занимающаяся разгрузкой и погрузкой, арендует двор и подъемно-транспортное оборудование. Арендная плата составляет:
Qгр - дол/сут за 1 место на грузовом дворе и Qпто - дол/сут за единицу подъемно-транспортного оборудования (ПТО). Арендная плата вносится постоянно,
вне зависимости от того, эксплуатируется ПТО или нет, свободны арендуемые
m мест грузового двора или нет.
По условию договора компании с перевозчиком, если по прибытию автомобиля с грузом все m мест окажутся занятыми, автомобиль отвозит груз на
другой склад, причем за счет фирмы ПТО-ЛИМИТЕД оплачиваются расходы
Qштр за каждый отказ в приеме груза. Кроме того, ПТО-ЛИМИТЕД оплачивает
79
простой под разгрузкой и ожидание разгрузки согласно тарифу Qпр дол/ч за
грузовик.
Доход фирмы формируется за счет операций погрузки-разгрузки.
При этом каждый разгруженный контейнер приносит доход Qк, а ящик - Qя
долларов.
Значения параметров приведены в таблице В-4.
ТРЕБУЕТСЯ:
1. Для случая обслуживания (разгрузки) грузов без приоритета провести
расчеты средних характеристик загрузки ПТО: законы распределения, число
занятых единиц оборудования, длину очереди грузовиков.
Принять упрощающее предположение:
-среднее время разгрузки ящиков и контейнеров одно и то же
t=0.5 (tя+tк).
2. Для условий n.1 провести моделирование и сравнить данные расчетов и
моделирования.
3. Провести полное моделирование задачи при условии, что потоки грузов обрабатываются без приоритета. Дать статистику доходов, расходов и прибыли за неделю работы. Построить законы распределения. Найти математическое ожидание и дисперсию.
4. Менеджера интересуют следующие вопросы:
а) Можно ли повысить доходы (и на сколько) за счет организации приоритетов в обслуживании контейнеров. Прибывший транспорт с контейнером
дожидается первого освободившегося крана и несмотря на очередь грузовиков
с ящиками идет под погрузку.
б) Можно ли уменьшить заданное число единиц дорогостоящего ПТО.
Как это повлияет на прибыль?
в) Можно ли сократить число мест, арендуемых под стоянку, и тем самым
уменьшить расходы?
г) Можно ли предложить Грузоотправителю уменьшить плату за разгрузку в обмен на увеличение грузопотока?
80
ТАБЛИЦА В-4
N ВАРИАНТОВ
ПАРАМЕТР
Обоз-
Единица
наче-
измере-
ние
ния
4-1
4-2
4-3
4-4
4-5
я
ед/ч
5
6
5
5
5
к
ед/ч
2
3
1
5
5
Число единиц ПТО
n
ед.
3
3
2
2
2
Среднее время
tя
мин
20
20
10
3
5
tк
мин
10
10
5
5
3
m
ед.
10
5
5
10
5
Qгр
$/м.сут.
2
5
5
5
5
Qпто
$/ед.сут.
25
25
50
50
50
Qштр
$/груз.
10
10
20
20
30
Qпр
$/г.ч..
1
3
1
2
1
Qя
$/ящик
6
4
2
3
3
Qк
$/конт.
14
14
10
5
5
Интенсивность
поступления
ящиков
Интенсивность
потока контейнеров
Разгрузки ящика
Среднее время
разгрузки контейн.
Число мест, арендуемых под стоянку
грузовиков
Арендная плата за
1 место стоянки
Арендная плата за
пользование
еди-
ницей ПТО
Штраф за отказ в
разгрузке
Оплата простоев
грузовиков
Доход от разгрузки
ящика
Доход от разгрузки
контейнера
81
ВАРИАНТ №5. Анализ процесса обслуживания грузового транспорта на
фронте разгрузки дистрибьюционного центра
Постановка задачи. Исходные данные. На грузовой двор дистрибьюционного центра грузы доставляются автотранспортом. Поступление грузовиков
носит случайный характер - образует простейший пуассоновский поток интенсивности = 6 авт/час. Время выгрузки и приемки грузовой партии имеет для
обоих типов экспоненциальный закон распределения со средними значениями t
= 20 мин.
ТРЕБУЕТСЯ:
1. Определить необходимое количество разгрузочных площадок, исходя
из приемлемых характеристик качества обслуживания (времени ожидания грузовиков разгрузки, средней длины очереди).
2. Для случая обслуживания (разгрузки) грузов провести расчеты средних
характеристик: законы распределения, число занятых единиц оборудования,
длину очереди грузовиков.
2. Для условий n.1 провести моделирование и сравнить данные расчетов и
моделирования.
ВАРИАНТ №6. Менеджер компании, эксплуатирующей автозаправочную станцию.
Постановка задачи. Исходные данные.
Определить характеристики
процесса обслуживания потока автотранспортных средств на АЗС при следующих исходных данных (см. табл.): - интенсивность потока,
[авт/час]; μ
- интенсивность обслуживания, [авт/час]; n - число бензоколонок (БК) .
ТРЕБУЕТСЯ определить:
- вероятности состояний, отказа в обслуживании, вероятности обслуживания;
- характеристики загрузки бензоколонок и накопителя;
82
- время ожидания, обслуживания, пребывания транспортного
средства на АЗС.
Построить граф состояний.
Провести аналитические расчеты характеристик АЗС, используя модель без
отказов в обслуживании (с бесконечной емкостью накопителя). Дать сравнение
со случаем конечной емкости накопителя.
При моделировании учесть возможность отказов в обслуживании при превышении времени ожидания в очереди заданного значения tр.
ТАБЛИЦА В-6
№ ВАРИАНТОВ
ПАРАМЕТР
Интенсивность
Обоз-
Единица
наче-
измере-
ние
ния
6-1
6-2
6-3
6-4
6-5
1/мин
0,20
0,10
0,05
0,01
0,20
μ
1/мин
0,20
0,10
0,05
0,01
0,20
n
ед.
3
2
1
3
2
k
-
1
2
1
3
2
tр
мин
20
10
5
6
2
C
$/л
0,02
0,01
0,02
0,01
0,01
mv
л
40
40
60
60
60
v
л
10
10
20
15
12
nсм
-
30
10
20
10
10
Т
ч
8
6
8
24
8
потока автомашин
Интенсивность обслуживания
Число
бензоколо-
нок
Параметр закона
распр. Эрланга
Среднее время
ресурса ожидания
Доход от литра
продан. бензина
Среднее кол-во
заправл. бензина
Среднеквадратичое
отклонение
Число смен
Расчетное время
83
ВАРИАНТ №7. Обслуживание пассажиропотока в агентстве по продаже
билетов.
Постановка задачи. Исходные данные. Компания БАЗ-ЛИМИТЕД планирует открыть бюро (агентство) по продаже билетов на рейсовые междугородние автобусы дальнего следования. По договору с перевозчиком - автобусной компанией доход компании БАЗ-ЛИМИТЕД формируется в виде процента
7% от стоимости проданного билета.
Поток пассажиров, желающих пользоваться услугами автобусной компании, как выяснилось в результате предварительного статистического обследования, подчиняется пуассоновскому закону заданной интенсивности =90
[пас/час]. Время оформления заказа кассиром подчиняется показательному закону распределения со средним временем t = 2[мин]. Средняя стоимость одного
купленного билета C = 400 руб. (Число кассовых аппаратов – n = 2).
Расходы компании формируются из расходов на содержание касс и плату
за пользование залом ожидания. В течение месяца содержание одной кассы
(включая зарплату кассира, эксплуатацию оборудования) обходится Qк =45000
руб. Содержание зала ожидания стоит в месяц Qож =45000 рублей.
Менеджера компании интересуют следующие вопросы:
1.
Какое количество кассовых аппаратов требуется для обслуживания пассажиропотока?
2.
Какова средняя загрузка кассовых аппаратов, средняя длина
очереди?
3.
Какова прибыль компании? Ее закон распределения, математическое ожидание, дисперсия?
3.
Можно ли сократить число касс и емкость зала ожидания без
ухудшения качества обслуживания? На сколько при этом возрастет прибыль?
4.
На случай спада спроса на перевозки какова должна быть предель-
ная допустимая интенсивность пассажиропотока, обеспечивающая компании
покрытие расходов при заданных таблицей условиях?
84
5.
Каковы предельные значения пассажиропотока, с обслуживани-
ем которых не справляется компания?
6. Какие максимальные значения очереди могут наблюдаться в процессе
обслуживания?
ВАРИАНТ № 8. Анализ потока транспортных средств через железнодорожный шлагбаум
Постановка задачи. Исходные данные. Автодорога с двусторонним движением пересекает железнодорожный шлагбаум. Движение в каждую сторону
дороги происходит по одной полосе. Оба потока ( по каждой полосе) - независимые между собой пуассоновские потоки с интенсивностью [1/мин].
Интенсивность железнодорожного движения характеризуется потоками,
образованными двумя случайными величинами: 3 - промежуток времени, в течение которого шлагбаум закрыт (ж/д поезд проходит); 0 - промежуток времени, в течение которого шлагбаум открыт (интервал между последовательными
поездами). Реализации величин 3, 0, взаимно разделяющие друг друга, образуют случайный поток. Законы распределения 3, 0, - показательные со средними значениями з , о (мин).
Движение автомобилей через шлагбаум определяется: средней скоростью
V [км/ч] и длиной lш проезжей части шлагбаума. Средний размер автомобиля
- L[м], безопасное расстояние между автомобилями, стоящими в очереди lбп[м]. Шлагбаум работает круглосуточно.
Значения параметров приведены в ТАБЛИЦЕ В-8.
ТРЕБУЕТСЯ дать ответы на следующие вопросы:
1.Какова средняя длина очереди, закон ее распределения, время проезда
шлагбаума (включая и ожидание в очереди);
-каково максимальное значение max интенсивности автомобильного
движения, при котором происходит не контролируемый рост очереди (длина
очереди превосходит величину Lдоп ) ?
85
2. При =max, если расширить пропускную способность шлагбаума путем введения двух дополнительных полос (по дополнительной полосе на каждую сторону). Какова должна быть ее вместимость?
3. Железная дорога планирует увеличение интенсивности движения на
этом участке, при этом величина 0 уменьшится в два раза:
-на сколько увеличатся длина очереди и время проезда автотранспортных
средств шлагбаума?
-превысит ли длина очереди допустимые значения?
-нужно ли строить дополнительную полосу?
Таблица В-8
№ ВАРИАНТОВ
ПАРАМЕТР
Интенсивность
движения
Обоз-
Единица
наче-
измере-
ние
ния
8-1
8-2
8-3
8-4
8-5
1/мин
1
2
3
1
2
з
мин
8
8
8
5
5
о
мин
10
12
10
8
8
V
км/ч
10
10
10
10
10
Lпр
м
50
50
100
50
100
L
м
8
8
8
8
8
Lбп
м
1,5
1,5
1,5
1,5
1,5
автомо-
билей
Средняя длит.
закрытия шлагбаума
Средняя длит.
открытия шлагбаума
Средняя скорость
движения АТС
через шлагбаум
Длина проезжей
части шлагбаума
Средний размер
автомобиля
Среднее расстояние
между
лями
автомоби-
86
Максимально
пустимая
до-
Lдл
ед.
25
25
20
20
25
длина
очереди
ВАРИАНТ №9. Менеджер таскопарка
Постановка задачи. Исходные данные. Автотранспортная компания имеет n автомобилей - такси, осуществляющих перевозки пассажиров в пределах
крупного города. Входной поток заявок на перевозки формируется клиентурой
двух типов. Первый тип составляют клиенты, которые не могут ждать. В этом
случае, если в момент поступления от них заявки свободных машин не окажется, то происходит отказ. Интенсивность потока составляет Pλ[выз/ч], P - доля
клиентов первого типа в общем потоке вызовов, P[0,1].
Второй тип составляют клиенты, которые могут ждать некоторое время
t[час]. Это время индивидуально, определяется субъективными, личными обстоятельствами и является случайной величиной. Она имеет закон распределения Эрланга к-го порядка со средним tр.
Отказ этим клиентам может происходить, если их располагаемое время
ожидания tp. в момент оформления заказа, меньше значения времени t*, предложенного диспетчером;
Интенсивность вызовов второго типа составляет (1-р)λ [выз/ч]; оба потока случайны, независимы между собой, имеют пуассоновский закон распределения. В случае возникновения очереди, клиенты второго типа обслуживаются
в порядке поступления заявок. Время обслуживания одного вызова случайно,
определяется Эрланговским законом распределения порядка Кобсл и средним
tобсл.
Расходы компании Qпр [$/ч] на одну машину, ("пр"- индекс простоя машины). При обслуживании с клиента взимается плата Q1 [$/ч] - за немедленное
обслуживание и Q2 [$/ч] - за обслуживание с ожиданием (Q2<Q1). Плата начинается с момента, когда машина направлена клиенту.
Значения параметров приведены в таблице В-9.
87
Менеджера компании интересуют следующие вопросы:
1. Какова прибыль компании за 24ч непрерывной работы: закон распределения, математическое ожидание, дисперсия?
2. Какова потеря прибыли по причине отказа клиентам в обслуживании?
3. Предполагается , что клиенты 1 и 2-го типов обслуживаются без приоритета.
Можно ли, повысить прибыль, закрепив часть автопарка (n1 машин )
только за клиентами 1-го типа?
4. Как влияет предложение клиентам время ожидания t* на величину прибыли? Можно ли, уменьшив t*, увеличить прибыль?
5. В условиях падения спроса на перевозки, какова величина интенсивности заявок, обеспечивающая покрытие расходов?
Таблица В-9
№ ВАРИАНТОВ
ПАРАМЕТР
1
Интенсивность
Обоз-
Единица
наче-
измере-
ние
ния
9-1
9-2
9-3
9-4
9-5
2
3
4
5
6
7
8
1/ч
5
10
5
10
15
р
_
0,5
0,5
0,1
0,1
0,8
tp
ч
1,0
1,0
2
2
3
k
_
1
1
2
1
1
t*
ч
1
0,5
0,5
1
0,5
потока клиентов
Относительная доля клиентов
1-го типа
Средний ресурс
ожидания клиента
2-го типа
Параметр закона
распределения
времени ожидания
Время ожидания,
предложенное
диспетчером
88
Параметр закона
Кобсл
_
1
1
2
1
1
tобсл
ч
1
1,5
1
0,5
1
Qпр
$/ч
8
8
10
8
8
Q1
$/ч
15
15
20
15
15
Q2
$/ч
10
10
10
10
10
n
_
5
5
10
10
10
распределения
времени обслуживания
Среднее время
обслуживания
Затраты компании
на одну машину
в час
Тариф
за
немед-
ленное обслуживание
Тариф за обслуживание с ожиданием
Число автомобилей
ВАРИАНТ №10. Менеджер компании по подвозке и хранению контейнеров в порту
Постановка задачи. Исходные данные. Речной порт имеет n причалов для разгрузки контейнеров. Каждый причал имеет небольшую площадку для временного хранения контейнеров ограниченной емкости - Мпл [контейнеров]. Поток
контейнеров, поступающий на каждую из n площадок, случайный, пуассоновский с интенсивностью [контейн/ч].
Операции хранения на складе, подвозки с площадки временного хранения
на склад и погрузки контейнеров на автомобиль для последующей доставки
клиенту осуществляет компания ГУГА-ЛИМИТЕД.
Подвозка на склад осуществляется Nк.тр контейнерами транспортерами.
Время операции подчинено распределению Эрланга к-го порядка со средним
tк.тр [ч].Затраты на содержание одного транспортера составляют Ск.тр [$/сут].
Склад может вместить Мхр контейнеров. Затраты на содержание места для хра-
89
нения одного контейнера составляют Схр [$/конт.сут]. Доходы с операции хранения контейнера составляют Дхр [$/конт.сут].
Погрузка на автомобиль осуществляется nпогр погрузчиками. Время погрузки одного контейнера одним погрузчиком распределено по показательному
закону со средним tпогр [ч]. Затраты на содержание одного погрузчика составляет Спогр [$/сут], доходы Дпогр [$/погруз].
Поток автомобилей, приехавших на момент времени за контейнерами,
подчиняется пуассоновскому закону с интенсивностью а [авт/ч]. На каждый
автомобиль грузится na контейнеров. Поток автомобилей согласован с входным
потоком контейнеров условиями
а na n
к . тр
/ tк .тр nпогр / tпогр
(П.1)
Все операции организованы круглосуточно.
Значения параметров приведены в таблице В-10.
ПРИМЕЧАНИЕ: число транспортных средств и их средняя производительность на каждой операции согласованны уравнением (П.1).
Менеджера компании интересуют следующие вопросы:
1. При заданных номинальных значениях параметров:
а) Какова прибыль компании? Закон ее распределения, математическое
ожидание, среднеквадратичное отклонение?
б) Какова доля прибыли по различным видам деятельности подвозка,
хранение, погрузка?
в) Не произойдет ли переполнение площадок для временного хранения и
складов?
По условию договора с администрацией порта компания АГА-ЛИМИТЕД
подвергается за каждый контейнер сверх имеющейся емкости значительному
штрафу Qштр [$/конт]=20 Qхр, превышающему в 20 раз доходы от хранения контейнера.
г) Имеются ли резервы (свободные места) на складе, которые можно было бы использовать для других видов деятельности? Какую часть склада можно
использовать под другие операции?
90
2. В результате сезонных колебаний интенсивность входного потока увеличилась вдвое. Насколько быстро будет происходить переполнение складских
площадей при неизменных параметрах системы? Будет ли у менеджера время
для организации соответствующих изменений в технологическом процессе?
Какие изменения потребуются?
3. В результате собственных внутренних проблем автомобильная компания, осуществляющая доставку контейнеров клиенту, не смогла обеспечить
требуемые номинальные значения потока автомобилей. Поток автомобилей
уменьшится на 25%.
Какие изменения в системе произойдут? Каковы целесообразные действия менеджера?
Таблица В-10
ПАРАМЕТР
1
Число причалов
Емкость площадки
Обоз-
Единица
наче-
измере-
ние
ния
№ ВАРИАНТОВ
1
2
3
n
_
Мпл
конт.
20
конт/ч
Nк.тр
ед.
tк.тр
ч
2
3
4
3
3
1
20
20
5
3
5
5
4
5
врем. хранения
Интенсивность потока
Число
контейнер-
ных транспортеров
Среднее
время
Величина tк.тр определяется
транспортировки
Параметр
распре-
условием (П.1)
Kк.тр
_
1
1
2
Cк.тр
$/сут
200
200
100
Дтр
$/тр
5
8
10
деления Эрланга
Затраты на содер.
1 транспортера
Доходы от одной
операции
портера
транс-
91
Емкость склада
Mхр
конт.
60
60
Затраты на хране-
Cхр
$/конт.сут
3
6
5
Дхр
$/конт.сут
5
12
3
Число погрузчиков
nпогр
_
5
2
3
Среднее время по-
tпогр
ч
50
ние контейнера
Доходы с операции
складирования
контейнеров
грузки контейнера
величина tпогр
определяется уравнением (П.1)
ВАРИАНТ №11. Обслуживание потоков автомобилей на АЗС (модель
отказов по оцениваемой длине очереди)
Постановка задачи. Исходные данные.Автозаправочная станция (АЗС)
имеет n однотипных заправочных бензоколонок (БК). Входной поток автомобилей, приезжающих на заправку - случайный пуассоновский с интенсивностью [1/мин]. Время заправки автомобиля на каждой бензоколонке описывается законом распределения Эрланга к-го порядка со средним временем обслуживания t. Значение к=1 соответствует показательному закону.
Все колонки имеют идентичные подъездные пути – накопители бензоколонок Н1, Н2, …,Нn, на каждом из которых могут разместиться m автомобилей,
ожидающих своей очереди. Кроме того, имеется общий накопитель Н, где выстраивается перед въездом на подъездные пути очередь.
При выборе БК, т.е. в момент въезда в накопители Н1, Н2, …,Нn, водитель
руководствуется следующей логикой: выбирается та БК, очередь Кi к которой
минимальна. Здесь К1,..., Кn - число автомобилей, стоящих в очереди на каждую
БК; 0<Ki<m. Если несколько бензоколонок имеют одинаковую длину очереди,
то выбирается наудачу равновероятно одна из них. Покидать очередь или переезжать с одного пути на другой по условиям планировки пути запрещается.
В момент подъезда к АЗС, если очередь окажется слишком большой, водитель может принять решение о незаправке, отъезде на другую АЗС, принад-
92
лежащую конкурирующей компании. Алгоритм действий водителя следующий.
Он вычисляет длину
mink i , е с ли1 0;
L
m 1 / n, е с ли1 0
очереди, приходящейся на одну бензоколонку. Здесь l - длина общей очереди в
накопителе Н перед подъездными путями. Если выполнено условие L>N*, то
очередь представляется водителю слишком длинной, и он покидает АЗС. Здесь
целочисленный параметр N* определяет индивидуальный "порог терпимости"
водителя - максимальную длину очереди, которую он согласен переждать.
Величина N* - субъективная, для каждого водителя своя. Она может рассматриваться как дискретная случайная величина. Прием распределения N *
пуассоновским со средним значением N*. Значение N*=2 соответствует "нетерпеливому клиенту", N*=50 - "бесконечно терпеливому", N*=5-10 - типичному
среднему водителю. Примем, что прибыль Q[долл] с каждой обслуженной машины постоянна.
Значения параметров представлены в таблице В-11.
АЗС принадлежит компании «Ойл-ТрансЛоджистик». Менеджера компании интересуют следующие вопросы:
1.Какова средняя загрузка БК, длины очередей, загруженность подъездных транспортных путей?
2.Какова прибыль компании за 8 часов работы АЗС; закон распределения,
математическое ожидание, дисперсия?
3.Какую часть прибыли компания теряет за счет оттока необслуженных
клиентов? Как потеря зависит от интенсивности входного потока?
4.Известно, что пиковые (наибольшее и наименьшее) значения интенсивности входного потока отличаются от приведенного в таблице номинала в 3-5
раз. Как АЗС справится с обслуживанием пиковых потоков.
Таблица В-11
93
№ ВАРИАНТОВ
ПАРАМЕТР
Интенсивность
потока
Обоз-
Единица
наче-
измере-
ние
ния
11-1
11-2
11-3
11-4
11-5
1/мин
0.2
2
3
1
2
n
ед.
3
2
3
2
3
k
_
1
1
1
2
1
t
мин.
5
7
10
5
8
m
ед.
3
5
5
5
3
N*
_
8
5
5
10
10
Q
$/маш.
4
0,3
0,3
0,2
0,3
автомоби-
лей
Число БК
Параметр
закона
распр. времени заправки
Среднее время
заправки
Число машин, размещаемых на подъездных путях
Порок терпимости
водителя
Прибыль компании
с одной обслуженной машины
ВАРИАНТ №12. Характеристики системы обслуживания вылетающих
пассажиров в аэровокзале аэропорта (многофазовое обслуживание).
Постановка задачи. Исходные данные. Система обслуживания вылетающих пассажиров в международном аэропорту включает три фазы: регистрацию,
посты таможенного и паспортного контроля. Время обслуживания на каждой
фазе имеет показательный закон распределения со средними значениями ti,
i=1,2,3. Входной поток пассажиров - пуассоновский с интенсивностью
[пасс/мин]. Метод регистрации свободный. На каждой фазе обслуживания запланировано ni стоек. Значения параметров приведены в ТАБЛИЦЕ В-12.
94
Менеджера службы организации пассажирских перевозок интересуют
следующие вопросы:
1.Каковы статистические данные о фактическом времени обслуживания
пассажиров?
2.Какова загрузка системы на различных ее фазах?
Имеются ли большие очереди пассажиров (или простои) на отдельных
фазах? Нужно ли изменить число обслуживающих аппаратов, чтобы уменьшить
среднее время обслуживания?
3.На какую вместимость рассчитывать объемы накопителей на каждой
фазе?
4. Какое количество стоек нужно расположить на каждой фазе для обеспечения качественного обслуживания пассажиропотока заданной интенсивности.
Таблица В-12
№ ВАРИАНТОВ
ПАРАМЕТР
Интенсивность
Обоз-
Единица
наче-
измере-
ние
ния
12-1
12-2
12-3
12-4
12-5
пас/мин
10
5
15
3
1
t1
мин.
1
0,5
1
0,5
1,5
t2
мин.
0,5
0,5
1
2
3
t3
мин.
0,5
0,25
0,5
0,3
2
n1
_
3
20
2
2
n2
_
8
3
20
8
пассажиропотока
Среднее время регистрации
Среднее время таможенного досмотра
Среднее
прохождения
стов
время
по-
паспортного
контроля
Число регистрационных стоек
Число таможенных
4
95
стоек
Число постов пас-
n3
_
8
2
8
2
3
портного контроля
ВАРИАНТ №13. Определение параметров (характеристик входных веток)
сортирующей системы багажа авиапассажиров.
Постановка задачи. Исходные данные. Сортирующая система предназначена для автоматической сортировки багажа улетающих авиапассажиров
(включая и транзитных) с использованием штрихового кодирования. Элемент
системы (простейший модуль) представлен на рис.
λ1
λ2
П1
П2
ОА
Н1
Н2
Здесь П1, П2 – точки приема багажа авиапассажиров (регистрации); λ1,
λ2 – интенсивности входного потока багажа (λ2≥ λ1), Н1, Н2 – накопитель; обслуживающим аппаратом является устройство (ОА) суммирующее потоки багажа и направляющее их далее по конвейеру для последующей сортировки.
Производительность ОА – 3600 ед. баг./час. Время обслуживания - не
случайно. По условию входные потоки обслуживаются (т.е. пропускаются обслуживающим аппаратом) с приоритетом. Приоритет отдается потоку с большей интенсивностью (в данном случае λ2).
ТРЕБУЕТСЯ:
1. Для заданных значений λ1 = 1; 3; 5; 10; 20; 30 баг./мин. Найти значения
максимальной интенсивности λ2 обеспечивающих приемлемые значения качества процесса транспортировки (малые очереди и время ожидания в накопителях Н1, Н2).
96
2. Определить емкость (баг.) и длину (м) конвейерной линии накопителей
Н1, Н2.
Ответ дать методом статистического имитационного моделирования.
Примечание: Длина багажного контейнера – 1м; скорость транспортировки V=12м/сек.
97
ВАРИАНТ №14. Моделирование потоков автотранспорта через железнодорожный шлагбаум.
А
В
Шоссе
Ж/Д дорога
Рис.
Постановка задачи. Исходные данные. Планируется строить автомобильную
дорогу АВ, соединяющую шоссе с поселком. Ожидаемая интенсивность потока
автомобилей λ [авт/мин]. Автомобильная дорога пересечет ж/д пути. В месте
пересечения ж/д будет установлен шлагбаум. Анализ статистических данных
показывает, что время открытия 0 и время закрытия 3 шлагбаума являются
случайными величинами с показательным законом распределения и математическим ожиданием
τ и τ соответственно. При закрытом шлагбауме на участке
0
3
АВ формируется очередь. Расстояние между соседними автомобилями с учетом безопасного расстояния l =2м. Скорость проезда шлагбаума V=20км/час.
ТРЕБУЕТСЯ ОПРЕДЕЛИТЬ:
98
При заданных номинальных значениях параметров характеристики очереди – ее среднее и максимальное значения. Будет ли очередь автомобилей выходить за пределы участка АВ на шоссе?
Ожидается увеличение интенсивности дорожного движения в два раза.
Будет ли очередь в этих условиях выходить за пределы участка АВ на шоссе?
Нужно ли вводить дополнительные полосы.
Дать ответы на вопросы методом моделирования.
Таблица В14
Параметр
Интенсивность
автомобильного
движения
Длина участка дороги
Число полос
Среднее значение
интервала открытия
Среднее значение
интервала закрытия
Обозначения
Единица
измерения
Авт/мин
1
5
L
м
300
300
200
400
n
1
10
1
5
2
5
2
5
5
5
10
20
τ
0
Ед.
мин
τ
3
мин
№ вариантов
2
3
10
5
4
15
ВАРИАНТ №15. Анализ процессов обработки железнодорожных составов
на сортирующей горке.
Постановка задачи. Исходные данные. Железнодорожная сортирующая
горка предназначена для рассортировки ж/д составов. Входной поток образован
составами двух типов – со скоропортящимися грузами ( интенсивность потока
1) и грузами обычного типа (интенсивность 2). Обслуживающим аппаратом
является сортирующая горка, интенсивность обслуживания .
Прибывающие составы поступают в накопители соответственно Н1, Н2,
емкость которых – ограничена. Поезда первого типа (со скоропортящимися
грузами) имеют приоритет в обслуживании. Их время ожидания в очереди –
99
ограничено значением Тож. Если фактическое время ожидания превысит значения Тож, то в системе происходит отказ.
ТРЕБУЕТСЯ:
1. Провести имитационное моделирование процесса обслуживания.
2. Определить характеристики качества обслуживания:
- длину очередей;
- времени ожидания в очереди вероятность отказа в обслуживании
3. При каком соотношении потоков 1/2 поток поездов со скоропортящимся грузов «запирает» обработку составов с обычным грузом?
Таблица В – 15.
Параметр
Интенсивность
потока ж/д составов со скоропортящимся
грузов
Интенсивность
потока ж/д составов с обычным грузом
Интенсивность
обслуживания
на горке
Максимально
допустимое
время ожидания
в очереди на обслуживание
Продолжительность работы
Обозначение
1
Единица
измерения
Состав/сут
1
10
№ варианта
2
3
4
20
5
10
5
10
2
Состав/сут
20
10
30
30
40
Состав/час
5
4
3
6
4
Тож
час
2
3
2
3
4
Т
час
8
16
8
16
8
ВАРИАНТ №16. Анализ системы обслуживания потоков прилетающих
пассажиров в аэропорту. Модель пуассоновского потока.
100
Постановка задачи. Исходные данные. Предварительным статистическим обследованием установлено, что поток прилетающих пассажиров является пуассоновским с интенсивностью = 10 пас/мин. Доставка пассажиров к ближайшей линии метро осуществляется автобусами. Все автобусы однотипны.
Требуется:
1. Выбрать тип автобуса, подобрать его пассажировместимость.
2. Определить расчетным путем интервал ∆T подачи автобуса.
3. Провести имитационное моделирование процесса вывоза пассажиров
из аэропорта. Оценить длину возникающей очереди и время ожидания
пассажиров посадки на автобус.
Уточнить рекомендации по выбору интервал ∆T подачи, исходя из
допустимого значения максимального времени ожидания пассажиров.
4. Определить необходимое количество автобусов на линии, исходя из
заданного времени выполнения кругового рейса Тц
= 40мин,
1час,1,5часа и 2 часа.
ВАРИАНТ №17. Анализ системы обслуживания потоков прилетающих
пассажиров в аэропорту. Моделирования прибытия по расписанию пуассоновского потока.
Постановка задачи. Исходные данные. Выбрать и ввести в компьютер
массив расписания ТприбВС [ j ] прибытия воздушных судов в аэропорт. Студенту
предлагается свобода в выборе модели расписания.
Модель 1 (простейшая). Воздушные суда прибывают в аэропорт так, что
моменты прибытия образуют пуассоновский поток с интенсивностью λ = 6
ВС/час. Воздушные суда однотипны. Выбрать загрузку пассажирами ВС. Чтобы не было одновременного прибытия на автобусную стоянку всей прибывшей
данным рейсом группы пассажиров предусмотреть модель «рассасывания» потока за счет разбиения группы на перронном автотранспорте, получения багажа.
101
Модели развития (модели1). Учесть в расписании прибытие различных
по типам ВС, образующих например, потоки с разной интенсивностью прибытия. Возможно учесть реальное расписание прибытия с указанием конкретных
типов ВС согласно расписанию. Обязательно учесть к принятой модели расписания поправку на фактическое прибытие (время опоздания или прибытие ранее расписания).
Доставка пассажиров к ближайшей линии метро осуществляется автобусами. Все автобусы однотипны.
ТРЕБУЕТСЯ:
1. Выбрать тип автобуса, подобрать его пассажировместимость.
2. Определить расчетным путем интервал ∆T подачи автобуса.
3. Провести имитационное моделирование процесса вывоза пассажиров
из аэропорта. Оценить длину возникающей очереди и время ожидания
пассажиров посадки на автобус.
Уточнить рекомендации по выбору интервал ∆T подачи, исходя из
Допустимого значения максимального времени ожидания пассажиров.
4. Определить необходимое количество автобусов на линии, исходя из
заданного времени выполнения кругового рейса Тц
= 40мин,
1час,1,5часа и 2 часа.
ВАРИАНТ №18. Анализ процесса обслуживания потоков грузовиков,
прибывающих на склад грузового терминала аэропорта
Постановка задачи. Исходные данные. Предварительным статистическим обследованием установлено, что поток прибывающего автотранспорта с
грузом на склад аэропорта является пуассоновским с интенсивностью = 12
авт/час. Среднее время обслуживания (разгрузки, приема груза и оформления
документов) составляет величину t = 20 мин.
Требуется:
102
1. Выбрать необходимое количество площадок и приемщиков груза,
исходя из требуемого качества обслуживания транспортного потока.
2. Провести имитационное моделирование процесса обслуживания.
Оценить длину возникающей очереди и время ожидания грузовиков для сдачи груза.
3. Определить емкость накопителя, необходимого для стоянки транспорта в ожидании разгрузки.
4. Как изменятся эти характеристики, если интенсивность потока увеличится в два раза, уменьшится в два раза?
ВАРИАНТ № 19. Анализ потока транспортных средств, проезжающих
через перекресток,
регулируемый светофором
Постановка задачи. Исходные данные. Автодорога пересекает перекресток, регулируемый светофором. Движение происходит по одной полосе. Интенсивность потока составляет величину = 30 авт/мин. Принять, что светофор
имеет только красный и зеленый сигналы. Время работы каждого из них – одинаково. Движение автомобилей через перекресток определяется средней скоростью V [км/ч]. Средний размер автомобиля - L[м], безопасное расстояние между
автомобилями, стоящими в очереди - lбп [м].
ТРЕБУЕТСЯ:
1.Определить частоту переключения светофора с тем, чтобы длина очереди и время проезда перекрестка были ограничены. Какова средняя длина очереди, закон ее распределения, время проезда перекрестка (включая и ожидание
в очереди)? Определить их разумные значения.
2. Как изменятся эти характеристики, если интенсивность дорожного
движения увеличится в два раза, три раза?
3. Как изменятся эти характеристики, если при заданной интенсивности
дорожного движения увеличить число полос до двух, трех?
Ответ и рекомендации дать методом имитационного моделирования.
103
ВАРИАНТ № 20. Анализ работы светофора на перекрестке при регулировании потоков транспорта в точке пересечения двух дорог
Постановка задачи. Исходные данные. Перекресток на пересечении двух
автодорог регулируется светофором. Движение на каждой дороге происходит
по одной полосе. Интенсивность потоков автомобилей составляет величины 1
= 5 авт/мин и 2 = 10 авт/мин соответственно. Принять, что светофор двухцветный, имеет только красный и зеленый сигналы. Движение автомобилей
через перекресток определяется: средней скоростью V [км/ч]. Средний размер
автомобиля - L[м], безопасное расстояние между автомобилями, стоящими в
очереди - lбп [м]. Левые повороты, развороты и повороты направо на каждой из
дорог при проезде перекрестка запрещены.
ТРЕБУЕТСЯ:
1.Определить частоту переключения светофора, время зеленого и красного сигналов, чтобы длина очереди и время проезда для каждой из дорог перекрестка были ограничены.
2. Какова средняя длина очереди, закон ее распределения, время проезда
перекрестка (включая и ожидание в очереди)?
Определить их разумные значения.
3. Как изменятся эти характеристики, если интенсивность дорожного
движения увеличится в два раза, три раза?
4. Как изменятся эти характеристики, если при заданной интенсивности
дорожного движения увеличить число полос до двух, трех?
Ответ и рекомендации дать методом имитационного моделирования.
ВАРИАНТ №21. Анализ процесса обслуживания и моделирование фронта разгрузки на дистрибьюционном центре
104
Постановка задачи. Исходные данные. На грузовой двор дистрибьюционного
центра грузы доставляются автотранспортом. Поступление грузовиков носит
случайный характер - образует простейший пуассоновский поток интенсивности = 10 авт/час. Время выгрузки и приемки грузовой партии имеет экспоненциальный закон распределения со средними значениями t = 20 мин.
ТРЕБУЕТСЯ:
1. Определить необходимое количество разгрузочных площадок, исходя
из приемлемых характеристик качества обслуживания (времени ожидания грузовиков разгрузки, средней длины очереди).
2. Для случая обслуживания (разгрузки) грузов провести расчеты средних
характеристик: законы распределения, число занятых единиц оборудования,
длину очереди грузовиков.
2. Для условий n.1 провести моделирование и сравнить данные расчетов и
моделирования.
ВАРИАНТ 22. Анализ и выбор параметров процесса обслуживания авиапассажиров при регистрации
Постановка задачи. Исходные данные. В аэропорту осуществляется свободная
регистрация вылетающих авиапассажиров. Каждый авиапассажир может регистрироваться на свой авиарейс на любой из регистрационных стоек (РС). Всего
пассажиропоток обслуживают n регистрационных стоек. Поток пассажиров
подчиняется пуассоновскому закону с
ожидаемой
интенсивностью =20
[пас/мин]. Время регистрации имеет показательный закон распределения со
средним временем t = 1.0 [мин].
Требуется:
1.Определить необходимое количество регистрационных стоек, которые должны обслуживать пассажиропоток с необходимым качеством. Количество РС
определить расчетным (аналитическим) методом и методом имитационного
моделирования. Время ожидания должно с вероятностью 100% не превышать
заданного значения Tmax = 15 мин
105
2. На сколько нужно увеличить число РС, чтобы время ожидания пассажира не
превысило Tmax = 10 мин?
3. Какова должна быть емкость накопителя для комфортного размещения пассажиров, ожидающих обслуживания?
4.Какова средняя загрузка РС, средняя длина очереди?
5.Если среднее время регистрации по причинам технологического характера
увеличится до t = 2 [мин], как это повлияет на характеристики обслуживания?
ВАРИАНТ №23. Анализ процесса обслуживания входного пассажиропотока на входных турникетах метрополитена. Однофазное обслуживание.
Постановка задачи. Исходные данные. Городские власти планируют открыть в
новом микрорайоне станцию метро. Ожидаемый поток пассажиров, желающих
пользоваться метро, как выяснилось в результате предварительного статистического обследования, подчиняется пуассоновскому закону с пиковой интенсивностью max =20[пас/мин].
ТРЕБУЕТСЯ:
1.Определить необходимое количество турникетов для пропуска пассажиров,
которые должны обслуживать пассажиропоток с необходимым качеством, если
среднее время пропуска составляет величину t = 5[сек]. Количество турникетов
определить расчетным (аналитическим) методом и методом имитационного
моделирования. Время ожидания должно с вероятностью 100% не превышать
заданного значения Tmax = 15 сек.
2.На сколько нужно увеличить число турникетов, чтобы время ожидания пассажира не превысило Tmax = 10 сек?
3.Какова должна быть емкость накопителя для комфортного размещения пассажиров, ожидающих обслуживания?
4.Какова средняя загрузка турникетов, средняя длина очереди?
5.Если среднее время обслуживания по причинам технологического характера
увеличится до t = 10[сек], как это повлияет на характеристики обслуживания?
106
ВАРИАНТ №23. Двухфазное обслуживание пассажиропотока в метрополитене
Постановка задачи. Исходные данные. Городские власти планируют открыть в
новом микрорайоне станцию метро. Ожидаемый поток пассажиров, желающих
пользоваться метро, как выяснилось в результате предварительного статистического обследования, подчиняется пуассоновскому закону пиковой интенсивностью max =30[пас/мин]. Станцию планируется оборудовать Nтур турникетами и
Nкасс кассами продажи жетонов.
Из опыта обслуживания на действующих станциях метро известно, что
среднее время пропуска турникета составляет величину tтур = 4[сек], а среднее
время обслуживания в кассах - tкасс = 15[сек].
Часть входного потока
α
= 40% имеет при себе купленные ранее жетоны и
проходит через турникеты «напрямую», минуя кассы. Остальные пассажиры
проходят двухфазное обслуживание – сначала обслуживаются в кассах, где
приобретают жетоны, а потом уже становятся в общую очередь для пропуска в
турникетах.
ТРЕБУЕТСЯ:
1.Определить необходимое количество Nтур турникетов и Nкасс касс продажи
жетонов для обслуживания пассажиров на станции метро. Количество обслуживающих аппаратов (ОА) определить расчетным (аналитическим) методом и
методом имитационного моделирования. Время ожидания в турникетах должно
с вероятностью 100% не превышать заданного значения Tmax = 15 сек, а в кассах Tmax = 3мин.
2.На сколько нужно увеличить число ОА, чтобы время ожидания пассажира в
турникетах не превысило Tmax = 10 сек, а в кассах Tmax = 1мин?
3.Какова должна быть емкость накопителя для комфортного размещения пассажиров, ожидающих обслуживания?
4.Какова средняя загрузка ОА, средняя длина очереди?
107
ВАРИАНТ №25. Анализ системы обслуживания автобусных и пассажирских потоков при перевозке на паромной переправе в порту Кавказ.
Постановка задачи. Исходные данные. Пассажиры, направляющиеся в Крым
паромом через порт Кавказ, прибывают на автобусах из близлежащих городов
Краснодарского края. Поток состоит из однотипных автобусов пассажировместимости Кавт
пасс (выбрать самостоятельно). Коэффициент заполнения К =
0.8. Предварительным статистическим обследованием установлено, что поток автобусов является пуассоновским с интенсивностью = 10 авт/час. Накопление автобусов осуществляется перед погрузкой в накопителе. Время кругорейса парома Тц =2 час, в том числе время стоянки в порту Тпогр =0.5 час
ТРЕБУЕТСЯ:
1. Выбрать тип автобуса и парома, подобрать их характеристики вместимости. Определить расчетным путем справляется ли с обслуживанием потока
1 паром.
2. Провести имитационное моделирование процесса обслуживания потоков.
Оценить длину возникающей очереди и время ожидания грузки автобусов.
3. Определить необходимое количество паромов, обслуживающих поток при
условии, что порт имеет два причала. Составить график движения паромов.
4. Определить максимальную длину очереди автобуса и необходимую емкость накопителя.
ВАРИАНТ 26. Анализ процесса обслуживания авиапассажиров в пунктах контроля безопасности на входе в аэропорт
Постановка задачи. Исходные данные. Служба безопасности в аэропорту осуществляет контроль безопасности на входе авиапассажиров в аэровокзал. Среднее время контроля составляет величину Tкбп = 0.3мин. Средняя частота от-
108
правления авиарейсов 40 рейс/час, средняя загрузка воздушного судна – 200
пас. Всего пассажиропоток обслуживают n пунктов контроля безопасности.
ТРЕБУЕТСЯ:
1.Определить необходимое количество пунктов контроля безопасности, которые должны обслуживать пассажиропоток с необходимым качеством. Количество n пунктов контроля безопасности определить расчетным (аналитическим)
методом и методом имитационного моделирования. Время ожидания должно с
вероятностью 100% не должно превышать заданного значения Tmax = 7 мин.
2.На сколько нужно увеличить число пунктов контроля безопасности, чтобы
время ожидания пассажира не превысило Tmax = 4 мин?
3.Какова должна быть емкость накопителя для комфортного размещения пассажиров, ожидающих обслуживания?
4.Какова средняя загрузка пунктов контроля безопасности, средняя длина очереди?
5.Если среднее время контроля безопасности по причинам технологического
характера увеличится до t = 0.6 [мин], как это повлияет на характеристики обслуживания?
6.Насколько нужно увеличить число пунктов контроля безопасности, если интенсивность полетов увеличится в два раза?
ВАРИАНТ 27. Анализ процесса обслуживания авиапассажиров в
пунктах
предполетного досмотра аэропорта
Постановка задачи. Исходные данные. Служба авиационной безопасности с
участием сотрудников органа внутренних дел в аэропорту осуществляет предполетный досмотр авиапассажиров, ручной клади и багажа. Среднее время
контроля составляет величину Tкбп = 0.5 мин. Средняя частота отправления
авиарейсов 10 рейс/час, средняя загрузка воздушного судна – 200 пас.. Всего
пассажиропоток обслуживают n пунктов досмотра.
109
ТРЕБУЕТСЯ:
1.Определить необходимое количество пунктов досмотра, которые должны обслуживать пассажиропоток с необходимым качеством.
2.Количество n пунктов досмотра определить расчетным (аналитическим) методом и методом имитационного моделирования. Время ожидания должно с
вероятностью 100% не должно превышать заданного значения Tmax = 7 мин.
3.Насколько нужно увеличить число пунктов досмотра, чтобы время ожидания
пассажира не превысило Tmax = 4 мин?
4.Какова должна быть емкость накопителя для комфортного размещения пассажиров, ожидающих обслуживания?
5.Какова средняя загрузка пунктов досмотра, средняя длина очереди?
6.Если среднее время досмотра по причинам технологического характера увеличится до t = 1[мин], как это повлияет на характеристики обслуживания?
7.Насколько нужно увеличить число пунктов досмотра, если интенсивность полетов увеличится в два раза?
ВАРИАНТ 28. Управление запасами на складе компании
Постановка задачи. Исходные данные.
Торговая компания, имеющая
склад в Санкт-Петербурге, занимается продажей товаров в Северо-западном регионе. Товары покупаются у поставщика в Московской области. Стоимость товара на складе поставщика (цена «франко-склад поставщика») – U=500 [руб/ед.
Стоимость доставки, включая затраты на обслуживание заказа, K = 60 тыс
руб/заказ . Интенсивность спроса на товар λ =20 ед/сут. Затраты на хранение
h = 1 руб/ед.сут. Штраф за отсутствие товара π =10 руб/ед.сут. Средний срок
поставки товара L =5 сут.
ТРЕБУЕТСЯ:
1. Найти оптимальные параметры заказа для случаев :
а) Отсутствие товара недопустимо (базисная модель);
110
б) - допустима отсрочка исполнения заказов клиентов при отсутствии
товара.
Рассчитать значение периода пополнения, суммарной стоимости затрат на закупку, хранение, штрафов в течении времени Т = 1 год, число полных заказов.
2.Выполнить имитационное моделирование.
Для случая пуассоновского процесса спроса определить значение критического
уровня запасов, гарантирующего с вероятностью =0.99 наличие товара на
складе.
3.Для модели спроса в виде обобщенного пуассоновского процесса рассчитать методом имитационного моделирования значение критического уровня.
Представить статистику по отсутствию товара при наличии запроса
клиентов, времени ожидания отгрузок,
штрафов за отсутствие товара в тече-
нии времени Т = 1 год.
ВАРИАНТ 29. Моделирование процесса обслуживания потоков прилетающих авиапассажиров на внутренних воздушных линиях как многофазный
процесс.
Постановка задачи. Исходные данные. Процесс обслуживания авиапассажиров в аэропорту рассматривать как многофазный.
Фаза 1. Прибытие воздушного судна и выгрузка пассажиров на перрон.
Выбрать и ввести в компьютер массив расписания ТприбВС [ j ] прибытия воздушных судов в аэропорт. Студенту предлагается свобода в выборе модели
расписания. Может быть рекомендована следующая Модель 1 (простейшая).
Воздушные суда прибывают в аэропорт так, что моменты прибытия образуют
пуассоновский поток с интенсивностью λ = 6 ВС/час. Воздушные суда однотипны. Выбрать загрузку пассажирами ВС. Процесс выгрузки характеризуется
интенсивностью λ выгр =30 пас/мин.
Фаза 2. Доставка автобусами в багажное отделение аэровокзала.
Процесс управляется диспетчером, в распоряжении которого Nавт
111
автобусов. Количество автобусов и их пассажировместимость выбрать
самостоятельно. Для каждого автобуса учесть циклический многофазный характер рейса и временные характеристики – стоянка перед багажным отделением, движение на перрон под посадку пассажиров, посадка пассажиров, обратное движение, высадка в багажное отделение. Процессы посадки и высадки
пассажиров учесть интенсивностями λ
погр,
λ
выгр.
При расчете времени стоянки
автобуса под погрузкой и выгрузкой учесть различную возможную логику водителя – ожидает до полной загрузки салона, ожидает в пределах заданного заранее отведенного времени.
Фаза 3. Выдача багажа в багажном отделении аэровокзала.
Багажное отделение имеет NБтр багажных транспортеров, закрепление
транспортеров за прибывшими рейсами определяется диспетчером. Время ТБвыд,
выдачи багажа для пассажиров рейса задано. Время забора багажа пассажиром
имеет равномерный закон распределения на промежутке [0, ТБвыд ].
Фаза 4. Переход пассажиров на стоянку автобусов.
Время Тпер пассажиров по линии «багажное отделение – автобусная стоянка» индивидуально, случайно и имеет равномерный закон распределения на
промежутке [Т1, Т2 ]. Автобусная стоянка рассматривается как накопитель, где
весь прибывающий пассажиропоток накапливается, формирует очередь в порядке прибытия и далее доставляется до ближайшей линии метро автобусами.
Все автобусы однотипны. Все остальные данные приведены в варианте №17.
Распределение пассажиропотока по другим типам транспортных средств
(такси, индивидуальный транспорт), а также увеличение пассажиропотока за
счет встречающих рассматривать по согласованию с преподавателем.
ТРЕБУЕТСЯ:
1.Выбрать аэропорт-аналог, сделать обзор и подобрать параметры процесса обслуживания на каждой фазе.
2. Определить расчетным путем номинальные значения количества обслуживающих аппаратов на фазах.
112
3. Разработать программу и провести имитационное моделирование
полного процесса обслуживания пассажиров в аэропорта.
4. Оценить длину возникающей очереди и время ожидания пассажиров
на каждой фазе.
5. Уточнить по результатам моделирования выбранные значения параметров процессов обслуживания.
6. Увеличить интенсивность пассажиропотока и дать рекомендации по
выбору параметров процесса обслуживания на фазах в зависимости от интенсивности пассажиропотока.
