ТЕМА: КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 1. Понятие комплексного числа Мнимая единица: 𝑖 = −1 (𝑖 2 = −1) Комплексное число: 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ 𝑎 = 𝑅𝑒 𝑧 – действительная часть 𝑏 = 𝐼𝑚 𝑧 – мнимая часть Любое действительное число является комплексным числом с нулевой мнимой частью: 𝑎 =𝑎+0∙𝑖 𝑧 = 𝑏𝑖 – чисто мнимое число (𝑎 = 0) Числа 𝑧1 = 𝑎1 + 𝑏1 𝑖 и 𝑧2 = 𝑎2 + 𝑏2 𝑖 называются равными ⇔ 𝑎1 = 𝑎2 , 𝑏1 = 𝑏2 . Между комплексными числами не существует соотношений вида «больше» и «меньше». Комплексное число 𝑧 = 𝑎 − 𝑏𝑖 называется сопряженным для числа 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, и наоборот. Числа 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 и 𝑧 = 𝑎 − 𝑏𝑖 называются взаимно сопряженными. Множество комплексных чисел обозначается ℂ. Соотношение между числовыми множествами: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ. Уникальные свойства комплексных чисел и функций нашли широкое применение для решения многих практических задач в различных областях математики, физики и техники: в обработке сигналов, теории управления, электромагнетизме, теории колебаний, теории упругости и многих других. Преобразования комплексной плоскости оказались полезными в картографии и гидродинамике. 2. Действия с комплексными числами Пусть заданы 2 комплексных числа: 𝑧1 = 𝑎1 + 𝑏1 𝑖 и 𝑧2 = 𝑎2 + 𝑏2 𝑖 . Сумма, разность, произведение и частное комплексных чисел также являются комплексными числами. 1) сложение и вычитание: 𝑧1 ± 𝑧2 = 𝑎1 + 𝑏1 𝑖 ± 𝑎2 + 𝑏2 𝑖 = = 𝑎1 ± 𝑎2 + 𝑏1 ± 𝑏2 𝑖 2) умножение: 𝑧1 ∙ 𝑧2 = (𝑎1 + 𝑏1 𝑖) 𝑎2 + 𝑏2 𝑖 = = 𝑎1 𝑎2 + 𝑎1 𝑏2 𝑖 + 𝑎2 𝑏1 𝑖 + 𝑏1 𝑏2 𝑖 2 = = 𝑎1 𝑎2 − 𝑏1 𝑏2 + 𝑎1 𝑏2 + 𝑎2 𝑏1 𝑖 3) деление: 𝑧1 𝑎1 + 𝑏1 𝑖 (𝑎1 + 𝑏1 𝑖)(𝑎2 − 𝑏2 𝑖) = = = 𝑧2 𝑎2 + 𝑏2 𝑖 (𝑎2 + 𝑏2 𝑖)(𝑎2 − 𝑏2 𝑖) 𝑎1 𝑎2 − 𝑎1 𝑏2 𝑖 + 𝑎2 𝑏1 𝑖 − 𝑏1 𝑏2 𝑖 2 = = 2 2 2 𝑎2 − 𝑎2 𝑏2 𝑖 + 𝑎2 𝑏2 𝑖 − 𝑏2 𝑖 𝑎1 𝑎2 + 𝑏1 𝑏2 + 𝑎2 𝑏1 − 𝑎1 𝑏2 𝑖 = = 2 2 𝑎2 + 𝑏2 𝑎1 𝑎2 + 𝑏1 𝑏2 𝑎2 𝑏1 − 𝑎1 𝑏2 = + 𝑖 2 2 2 2 𝑎2 + 𝑏2 𝑎2 + 𝑏2 Пример. Для чисел 𝑧1 = 2 + 3𝑖, 𝑧2 = 4 − 7𝑖 найти сумму, разность, произведение и частное. Решение 1) сумма: 𝑧1 + 𝑧2 = 2 + 3𝑖 + 4 − 7𝑖 = 6 − 4𝑖 2) разность: 𝑧1 − 𝑧2 = 2 + 3𝑖 − 4 − 7𝑖 = −2 + 10𝑖 3) произведение: 𝑧1 ∙ 𝑧2 = (2 + 3𝑖) 4 − 7𝑖 = = 8 − 14𝑖 + 12𝑖 − 21𝑖 2 = 8 + 21 − 2𝑖 = 29 − 2𝑖 4) частное: 𝑧1 2 + 3𝑖 = = 𝑧2 4 − 7𝑖 (2 + 3𝑖)(4 + 7𝑖) 8 + 14𝑖 + 12𝑖 + 21𝑖 2 = = = 2 2 (4 − 7𝑖)(4 + 7𝑖) 4 − (7𝑖) 8 − 21 + 26𝑖 −13 + 26𝑖 = = = 2 16 − 49𝑖 65 13 26 1 2 =− + 𝑖=− + 𝑖 65 65 5 5 Ответ: 𝑧1 + 𝑧2 = 6 − 4𝑖; 𝑧1 − 𝑧2 = −2 + 10𝑖; 𝑧1 ∙ 𝑧1 1 2 𝑧2 = 29 − 2𝑖; = − + 𝑖. 𝑧2 5 5 3. Свойства сопряженных комплексных чисел Пусть 𝑧1 = 𝑎1 + 𝑏1 𝑖 и 𝑧2 = 𝑎2 + 𝑏2 𝑖 . 1) 𝑧1 + 𝑧2 = 𝑧1 + 𝑧2 Доказательство. 𝑧1 + 𝑧2 = 𝑎1 + 𝑏1 𝑖 + 𝑎2 + 𝑏2 𝑖 = = 𝑎1 + 𝑎2 + (𝑏1 + 𝑏2 )𝑖 = 𝑎1 + 𝑎2 − 𝑏1 + 𝑏2 𝑖 = = 𝑎1 − 𝑏1 𝑖 + 𝑎2 − 𝑏2 𝑖 = 𝑧1 + 𝑧2 Свойство доказано. 2) 𝑧1 ∙ 𝑧2 = 𝑧1 ∙ 𝑧2 Доказательство. Рассмотрим отдельно обе части равенства и покажем, что левая часть равна правой. 𝑧1 ∙ 𝑧2 = (𝑎1 + 𝑏1 𝑖) 𝑎2 + 𝑏2 𝑖 = = 𝑎1 𝑎2 − 𝑏1 𝑏2 + 𝑎1 𝑏2 + 𝑎2 𝑏1 𝑖 = = 𝑎1 𝑎2 − 𝑏1 𝑏2 − 𝑎1 𝑏2 + 𝑎2 𝑏1 𝑖 𝑧1 ∙ 𝑧2 = 𝑎1 − 𝑏1 𝑖 𝑎2 − 𝑏2 𝑖 = = 𝑎1 𝑎2 − 𝑏1 𝑏2 − 𝑎1 𝑏2 + 𝑎2 𝑏1 𝑖 Таким образом, 𝑧1 ∙ 𝑧2 = 𝑧1 ∙ 𝑧2 . Свойство доказано. 3) 𝑧1 𝑧2 = 𝑧1 𝑧2 Доказательство аналогично доказательству 2го свойства. 4) Произведение комплексного числа и сопряженного ему числа есть действительное число: ∀𝑧 ∈ ℂ 𝑧 ∙ 𝑧 ∈ ℝ. Доказательство. Пусть 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖. 𝑧 ∙ 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑎 − 𝑏𝑖 = = 𝑎2 − 𝑎𝑏𝑖 + 𝑎𝑏𝑖 − 𝑏 2 𝑖 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 ∈ ℝ Свойство доказано. 5) ∀𝑧 ∈ ℂ 𝑧 = 𝑧 . 4. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Модуль и аргумент комплексного числа Комплексное число 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 можно изобразить точкой 𝑀(𝑎; 𝑏) на комплексной плоскости (ось Ох при этом называется действительной осью, ось Оу – мнимой осью). Вектор 𝑂𝑀, соединяющий начало координат О с точкой М, называется радиус-вектором. Длина этого вектора 𝑟 = 𝑎2 + 𝑏 2 называется модулем комплексного числа 𝑧 и обозначается 𝑧 : 𝑧 = 𝑎2 + 𝑏2 , а угол 𝜑 между вектором 𝑂𝑀 и осью Ох называется аргументом комплексного числа 𝑧 и обозначается arg 𝑧 . Свойства модуля: 1) 𝑧 ∙ 𝑧 = 𝑧 2 ; 2) 𝑧1 ∙ 𝑧2 = 𝑧1 ∙ 𝑧2 ; 3) 𝑧1 𝑧2 = 𝑧1 𝑧2 ; 4) 𝑧 = 𝑧 ; 5) 𝑧 𝑛 = 𝑧 𝑛 . Любое комплексное число можно представить в виде: 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑟 𝑎 𝑟 + 𝑏 𝑖 𝑟 = 𝑟 cos 𝜑 + 𝑖 sin 𝜑 . Такая форма записи комплексного числа называется тригонометрической. При этом 𝑟 = 𝑎2 + 𝑏 2 , cos 𝜑 = 𝑎 𝑟 = 𝑎 𝑎2 +𝑏 2 , sin 𝜑 = 𝑏 𝑟 = 𝑏 𝑎2 +𝑏 2 . Пример. Записать в тригонометрической форме комплексные числа: а) −1 + 𝑖 3; б) −3 − 4𝑖. Решение. а) Т.к. 𝑎 = −1, 𝑏 = 3, то 𝑟 = 𝑎2 + 𝑏2 = cos 𝜑 = 𝑎 𝑟 Отсюда 𝜑 1 =− , 2 2𝜋 = . 3 (−1)2 +( 3)2 = 4 = 2, sin 𝜑 = Ответ: −1 + 𝑖 3 = 2 𝑏 𝑟 = 2𝜋 cos 3 + 3 , 2 2𝜋 𝑖 sin 3 . б) т.к. 𝑎 = −3, 𝑏 = −4, то 𝑟 = 𝑎2 + 𝑏2 = cos 𝜑 = 𝑎 𝑟 (−3)2 +(−4)2 = 25 = 5, = 3 − , 5 sin 𝜑 = 𝑏 𝑟 = Ответ: −3 − 4𝑖 = 5(cos 𝜑 + 𝑖 sin 𝜑), где cos 𝜑 = 3 − , 5 sin 𝜑 = 4 − . 5 4 − . 5 5. Действия с комплексными числами в тригонометрической форме Пусть заданы 2 числа: 𝑧1 = 𝑟1 cos 𝜑1 + 𝑖 sin 𝜑1 , 𝑧2 = 𝑟2 cos 𝜑2 + 𝑖 sin 𝜑2 . 1) умножение: 𝑧1 𝑧2 = 𝑟1 cos 𝜑1 + 𝑖 sin 𝜑1 ∙ 𝑟2 cos 𝜑2 + 𝑖 sin 𝜑2 = = 𝑟1 𝑟2 (cos 𝜑1 cos 𝜑2 + 𝑖 cos 𝜑1 sin 𝜑2 + +𝑖 sin 𝜑1 cos 𝜑2 − sin 𝜑1 sin 𝜑2 ) = = 𝑟1 𝑟2 (cos 𝜑1 + 𝜑2 + 𝑖 sin 𝜑1 + 𝜑2 ) 2) деление: 𝑧1 𝑟1 cos 𝜑1 + 𝑖 sin 𝜑1 = = 𝑧2 𝑟2 cos 𝜑2 + 𝑖 sin 𝜑2 𝑟1 = (cos 𝜑1 − 𝜑2 + 𝑖 sin 𝜑1 − 𝜑2 ) 𝑟2 3) возведение в степень выполняется по формуле Муавра: если 𝑛 ∈ ℤ, то 𝑛 𝑛 𝑧 = 𝑟 cos 𝜑 + 𝑖 sin 𝜑 = = 𝑟 𝑛 (cos 𝑛𝜑 + 𝑖 sin 𝑛𝜑) Пример. Вычислить 𝜋 𝑖 sin ). 𝑧10 , если 𝑧 = 𝜋 2(cos 5 5 Решение. 𝑧 10 = 10 =2 𝜋 2(cos 5 10𝜋 cos 5 + 𝜋 10 𝑖 sin ) 5 + 10𝜋 𝑖 sin 5 = = = 210 cos 2𝜋 + 𝑖 sin 2𝜋 = 210 . Ответ: 210 . + 4) извлечение корня: если 𝑛 ∈ ℤ, то 𝑛 𝑛 𝑧 = 𝑟 cos 𝜑 + 𝑖 sin 𝜑 = = 𝑛 𝜑 + 2𝜋𝑘 𝜑 + 2𝜋𝑘 𝑟 cos + 𝑖 sin , 𝑛 𝑛 где 𝑘 = 0, 1, 2, … , 𝑛 − 1. Пример. Найти все значения корней: 3 а) −1, б) 𝑖. Решение. Представим заданные числа в тригонометрической форме. а) т.к. −1 = cos 𝜋 + 𝑖 sin 𝜋 , то −1 = cos 𝜋 + 𝑖 sin 𝜋 = 𝜋+2𝜋𝑘 cos 2 𝜋+2𝜋𝑘 + 𝑖 sin , 2 где 𝑘 = 0; 1. При 𝑘 = 0 при 𝑘 = 1 𝜋 𝜋 𝑧0 = cos + 𝑖 sin = 𝑖; 2 2 3𝜋 3𝜋 𝑧0 = cos + 𝑖 sin = −𝑖. 2 2 Ответ: −1 = 𝑖; −𝑖. б) т.к. 𝑖 = 3 𝑖= 3 𝜋 cos 2 𝜋 cos 2 + + 𝜋 𝑖 sin , 2 𝜋 𝑖 sin 2 то = cos 𝜋 +2𝜋𝑘 2 + 𝑖 sin 3 𝜋 +2𝜋𝑘 2 3 где 𝑘 = 0; 1; 2. При 𝑘 = 0 𝑧0 = при 𝑘 = 1 𝑧1 = при 𝑘 = 2 𝑧2 = 3 Ответ: 𝑖 = 3 2 + 𝜋 cos 6 + 𝜋 𝑖 sin 6 = 5𝜋 5𝜋 cos + 𝑖 sin 6 6 3𝜋 3𝜋 cos + 𝑖 sin 2 2 1 3 𝑖; − 2 2 + 1 𝑖; 2 3 2 + =− 3 2 = −𝑖. −𝑖. 1 𝑖, 2 + 1 𝑖, 2 , 6. Экспоненциальная форма записи комплексного числа Формула Эйлера: 𝑒 𝑖𝜑 = cos 𝜑 + 𝑖 sin 𝜑 . Экспоненциальная форма записи: 𝑧 = 𝑟 cos 𝜑 + 𝑖 sin 𝜑 = 𝑟𝑒 𝑖𝜑 Действия с комплексными числами в экспоненциальной форме Пусть даны 2 числа: 𝑧1 = 𝑟1 𝑒 𝑖𝜑1 , 𝑧2 = 𝑟2 𝑒 𝑖𝜑2 . 1) умножение: 𝑧1 𝑧2 = 𝑟1 𝑟2 𝑒 𝑖(𝜑1+𝜑2) ; 2) деление: 𝑧1 𝑧2 = 𝑟1 𝑖(𝜑 −𝜑 ) 𝑒 1 2; 𝑟2 для комплексного числа z = 𝑟𝑒 𝑖𝜑 : 3) возведение в степень: 𝑧 𝑛 = 𝑟 𝑛 𝑒 𝑖𝑛𝜑 ; 4) извлечение корней: 𝑛 𝑧= 𝑛 𝑟𝑒 𝑖 𝜑+2𝜋𝑘 𝑛 , 𝑘 = 0, 𝑛 − 1. 7. Корни из единицы Представим число 1 в тригонометрической форме: 1 = cos 0 + 𝑖 sin 0 . Тогда по формуле Муавра получим выражение для k-го корня из 1: 𝑢𝑘 = 2𝜋𝑘 cos 𝑛 + 2𝜋𝑘 𝑖 sin , 𝑛 𝑘 = 0,1, … , 𝑛 − 1. Корни из 1 можно также представить в экспоненциальной форме: 𝑢𝑘 = 2𝜋𝑘𝑖 𝑒 𝑛 , 𝑘 = 0,1, … , 𝑛 − 1. Точки 𝑢𝑘 являются вершинами правильного nугольника, вписанного в окружность единичного радиуса с центром в начале координат. Пример. Корни 5-й и 8-й степеней из 1: Одной из вершин такого многоугольника всегда является 1. Вещественных корней может быть 2 (1 и -1, если n четно) или 1 (если n нечетно). В любом случае невещественных корней четное количество, они располагаются симметрично относительно горизонтальной оси (т.е. если 𝑢𝑘 - корень из 1, то 𝑢𝑘 - тоже корень из 1). Корни 3-й степени из 1: 1 1; − 2 + 3 1 𝑖; − 2 2 Корни 4-й степени из 1: 1; −1; 𝑖; −𝑖 − 3 𝑖 2 8. Решение квадратных и биквадратных уравнений Рассмотрим квадратное уравнение 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 с действительными коэффициентами. Если 𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 < 0, то уравнение имеет два комплексных корня: −𝑏 ± 𝑖 4𝑎𝑐 − 𝑏 2 𝑥1,2 = . 2𝑎 Пример. Решить уравнение 3𝑥 2 + 2𝑥 + 1 = 0. Решение. 𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = 22 − 4 ∙ 3 ∙ 1 = −8 < 0 −2 + 𝑖 8 −2 + 2𝑖 2 𝑥1 = = = −1 + 𝑖 2; 2 2 −2 − 𝑖 8 −2 − 2𝑖 2 𝑥2 = = = −1 − 𝑖 2. 2 2 Ответ: −1 + 𝑖 2; −1 − 𝑖 2.
