Проект на тему: “Застосування показникової і логарифмічної функції в економіці” Фоменко Валентин 11-А Відомості про використання логарифмів: Логарифмічна функція моделює такі процеси: • закон зміни роботи газу; • закон зміни сили відчуття від сили збудження (психофізичний закон Вебера); • закон зміни тиску від зміни висоти; • тривалість хімічної реакції; • залежність збільшення величини банківського вкладу від пройденого часу. Цікаві приклади галузей використання: • К.Ціолковський вивів формулу для розрахунку абсолютної швидкості, якої досягне ракета, коли з неї витече все паливо. Ця формула містить логарифм. • Властивості будови слухового апарату людини відповідають властивостям логарифмічної функції. Тому діапазон звуків, що сприймає вухо, низький – від шелесту листя до гуркоту грому. • Під час будівництва ставків необхідно враховувати кількість води, що буде прибувати в ставок у період повені. Розрахунки проводяться за допомогою логарифмів. Сьогодні ми будемо вивчати способи застосування показникової і логарифмічної функції в економіці . Історія та цікаві факти: Ще за стародавніх часів було широко поширене лихварство — віддавання грошей у позику під відсотки. Селянин у разі неврожаю, ремісник, майно якого знищила пожежа, розорений торгівець змушені були йти до лихваря, обіцяючи наступного року повернути суму значно більшу, ніж узята в позику. Наприклад, у Давньому Вавилоні лихварі брали по 20 % лихви на рік. При цьому, якщо боржник не міг повернути борг наступного року, йому треба було платити відсотки не тільки з позиченого капіталу, а й з відсотків, що виросли за рік. Тому через 2 роки слід було заплатити не 40 %, а 44 % лихви, адже 1,22 = 1,44. За 5 років сума боргу збільшувалася в 1,25 разів, тобто майже в 2,5 рази, а за 10 – років більш ніж у 6 разів. Зрозуміло, що більшість боржників були не в змозі повернути борг і, давно виплативши основну суму боргу, були змушені все життя працювати на те, щоб виплатити все зростаючі відсотки. Нарешті зубожілі боржники ставали рабами хижого лихваря. У XIV—XV ст. у Західній Європі почали з'являтися банки (від фр. banque — лава, контора) — установи, які давали гроші в позику князям та купцям, фінансували за великі відсотки далекі мандрівки та завойовницькі походи. Щоб полегшити розрахунки складних відсотків, склали таблиці, за якими відразу можна було дізнатися, яку суму треба виплатити через t років, якщо була взята сума А0 під p% річних. Легко підрахувати, що сума, яку треба заплатити, виражається формулою: А = А0(1+р/100)t Якщо р — стале, то А є функцією від t. Такі таблиці давали значення показникової функції при різних значеннях основи (1+р/100) і натуральних значеннях n. Останнє обмеження було не дуже зручним: Іноді гроші бралися в борг не на ціле число років, а, наприклад, на 2 чи 6 місяців. Так виникла ідея степеня з дробовим показником. Ця ідея належала ще Архімеду, але вона не була зрозумілою його сучасникам. І лише через 1,5 тисячоліття почали розглядати піднесення чисел до степеня з дробовим показником. Степінь з ірраціональним показником розглянув Ісаак Ньютон в XVII ст. Після цього Йоганн Бернуллі розглянув степінь зі змінним дійсним показником, тобто ввів показникову функцію. А тепер розглянемо способи застосування показникової і логарифмічної функції в економіці на прикладах. Задача 1. Вкладник поклав на рахунок 1500 грн. Яка сума буде в нього через 5 років, якщо відсоткова ставка 10% річних. І спосіб 1) 1500 ∙ 0,1 = 150 (грн) – 10% від суми на рахунку 2) 1500 + 150 = 1650 (грн) – на рахунку через рік 3) 1650 + 1650 ∙ 0,1 = 1815 (грн) – через 2 роки на рахунку 4) 1815 + 1815∙ 0,1 = 1996,5 (грн) – через 3 роки на рахунку 5) 1996,5 + 1996,5∙ 0,1 = 2196,15 (грн) – через 4 роки 6) 2196,15 + 2196,15∙ 0,1 = 2415,765 (грн) – через 5 років ІІ спосіб Через рік початкова сума 1500 грн збільшиться на 10%, тому нова сума складе 110% від початкової, таким чином початкова сума збільшиться в 1,1 рази. В наступному році сума теж збільшиться в 1,1 рази, таким чином через 2 роки початкова сума збільшиться в 1,12 рази. Тому через 5 років на рахунку буде: 1,15 ∙ 1500 = 1,61051 ∙ 1500 = =2415,765 (грн) В загальному вигляді задачу можна розв’язати за формулою: Sn 1 p 100 n S p% нараховує банк річних; S сума , яку вніс вкладник; S n сума , яку отримає вкладник через n років. Задача 2. При оформлені кредиту в розмірі 10 000 тис. грн на півроку під 10% річних були утримані комісійні в розмірі 1% від суми кредиту. Яка фактично використана сума кредиту і під який відсоток річних був фактично оформлений кредит. 1) 10 000 тис. грн ∙ 0,01 = 100 тис. грн – сума комісійних 2) 10 000 тис. грн – 100 тис. грн = 9 900 тис. грн – фактично використана сума кредиту 3) 10 000 тис. грн ∙ 0,05 = 500 тис. грн – за використання кредиту в розмірі 9900 тис. грн на протязі півроку нараховане відсотків 4) 9 900 тис. грн - 100% 500 тис. грн - x % x 500 тис. грн 100% 5, 05% 9900 тис. грн - фактична ставка банківського відсотку за надання кредиту в розмірі 9900 тис. грн на півроку 5) 5,05 ∙ 2 = 10,1% - фактичний відсоток річних, під який був отриманий кредит Задача 3. 1 січня 2012 року бізнесмен вирішив питання про придбання копіювально-розмножувальної техніки на суму 55 млн. грн. Термін придатності техніки – 3 роки, після чого вона повністю зношується. Щорічний прибуток від використання – 25 млн. грн. Щорічні витрати на її використання розподіляються за роками наступним чином: 2, 3 та 4 млн. грн. При цьому прибуток отримуємо в кінці року, а відповідні витрати на використання виплачуються відразу при отриманні прибутку. Техніку, що придбали продати не можливо. Чи є глузд у придбанні техніки при умові, що ставка банківського прибутку за депозитом (виплачується один раз на рік) до 1 січня 2015 року буде постійною та складає 10% на рік? Інфляція у розрахунок не приймається. 1) 2) 3) 4) 55 ∙ (1 + 0,1)3 = 73,205 (млн. грн) – на депозиті через 3 роки 25 – 2 = 23 (млн. грн) – дохід на 1 січня 2013 року, якщо купити техніку 23 ∙ 1,1 + (25 - 3) = 47,3 (млн. грн) – на депозиті на 1 січня 2014 року 47,3 ∙ 1,1 + (25 - 4) = 73,030 (млн. грн) – на депозиті на 1 січня 2015 року Відповідь: Більш вигідніше покласти гроші на депозит, ніж придбання техніки. Поклавши гроші на депозит, на 1 січня 2015 р. маємо більшу суму грошей у порівнянні з тою, що отримаємо від придбання та використання техніки. Задача 4. Вкладник поклав до банку 10 000 грн під 12% річних. Через скільки років сума на рахунку подвоїться? Гроші накопичуються на рахунку за формулою: p S A 1 100 n S - кінцева сума вкладу; A – початкова сума вкладу; p – річні відсотки; n – термін зберігання вкладу в роках n 12 n 20000 10000 1 2 1 0,12 100 lg 2 0,3012 n log1,12 2 6,11 lg(1,12 ) 0,04692 p S A 1 100 n Вклад подвоїться через 6 років Логарифмуємо це рівняння за основою 10 (даною основою зручно користуватися під час розрахунків) n n p p lg S lg 1 lg S lg A lg 1 A 100 100 p lg S lg A lg S lg A n lg 1 n p 100 lg 1 100 Висновки за проектом: На цій презентації ми дізналися галузі застосування показникової і логарифмічної функції, а саме в економіці. Дослідили історію використання функцій в банківській справі. А також розібрали декілька показових прикладів. З всього розгляненного матеріалу можу зробити висновок, що застосування показникової і логарифмічної функції набагато полегшуе ведення розрахунків в банківській справі та іншиз галузях. Використані джерела: • • • https://naurok.com.ua https://svitppt.com.ua https://ppt-online.org
