Основы языка и алгебры предикатов 1. Понятие предиката. Области определения и истинности предиката. 2. Построение отрицаний к предикатам, содержащим кванторные Формализация предложений с помощью логики предикатов операции. 1. Понятие предиката. Области определения и истинности предиката Предикат - (от лат. praedicatum — заявленное, упомянутое, сказанное) это утверждение, содержащее переменные. Предикаты часто обозначаются буквой P, например, P(N) = "В городе N живут более 2 миллионов человек". Если мы задаем конкретные значения переменных, предикат превращается в логическое высказывание. Например, для предиката P(N) полученное высказывание будет истинно для N = “Москва” и ложно для N = “Якутск”. Предикат, зависящий от одной переменной, — это свойство. Например, только что рассмотренный предикат P(N) характеризует свойство города. Предикаты: Простое(х) = "х — простое число" Студент(x) = "х – студент" Спит(х) = "х всегда спит на уроке" Предикаты могут зависеть от нескольких переменных: Больше(x,y) = "x больше y" Живет(x,y) = "x живет в городе y" Любит(x,y) = "x любит y" Область определения предиката- (называется множество, элементы которого могут быть подставлены в предикат, обозначается Х Множество истинности предикатаназывается множество, элементы которого подставленные в предикат, обращают его в истинное высказывание, обозначается Т Тождественно – истинным называется предикат, который принимает истинное значение на всей области определения (множество истинности совпадает с областью определения) Тождественно – ложным называется предикат, который принимает ложное значение на всей области определения (множество истинности пустое). Пример. Множество истинности двухместного предиката 1 2 2 S (x, y) = « x y 9 » , заданного на множестве R2 , есть множество всех таких пар действительных чисел, которые являются координатами точек плоскости, образующими окружность с центром в начале координат радиуса 3. Пример. Множеством истинности одноместного предиката А(х) = « | x | > 2 » , 2 2 , будет Логические операции над предикатами Логические операции над предикатами аналогичны операциям алгебры логики. Необходимо при этом для каждой операции устанавливать связь между множествами истинности исходных предикатов и множеством истинности предиката, полученного в результате выполнения логической операции. Пусть даны предикаты, заданные на множестве D, причем предикат A(X) - имеет множество истинности P В (Х) - имеет множество истинности Q. Отрицание предиката А(х) называется новый предикат, который принимает значение «истина» при всех значениях х, при которых предикат А(х) принимает значение «ложь», и принимает значение «ложь», если А(х) принимает значение «истина». Множеством истинности предиката, является дополнение Т' к множеству Т в множестве Х. 2 2 Пример. Отрицанием предиката sin x cos x 1 является предикат sin 2 x cos 2 x 1 , (x , y Є R). Конъюнкцией двух предикатов А(х) и В(х) называется новый предикат А(х)∧В(х) , который принимает значение «истина» при тех и только тех значениях х Є Т, при которых каждый из предикатов принимает значение «истина», и принимает значение «ложь» во всех остальных случаях. Множеством истинности Т предиката А(х) В(х), х Є Х является пересечение множеств истинности предикатов А(х) – Т1 и В(х) – Т2, т.е. Т= Т1 ∩Т2. Конъюнкция предикатов, используется при решении системам уравнений или неравенств, решение которых есть конъюнкция множеств истинности (множеств решений) каждого уравнения или неравенства. При нахождении области определения функции, состоящей из нескольких других функций, также используется конъюнкция предикатов. Пример. Конъюнкцией двух одноместных предикатов « x = 0 » и « y = 0 » , заданных на R , будет двухместный предикат x 0 y 0 x 0 y 0 , заданный на R2 Дизъюнкцией двух предикатов А(х) и В(х) называется новый предикат А(х)νВ(х), который принимает значение «ложь» при тех и только тех 2 значениях х Т, при которых каждый из предикатов принимает значение «ложь» и принимает значение «истина» во всех остальных случаях. Областью истинности предиката является объединение областей истинности предикатов А(х) и В(х). Дизъюнкция предикатов, например, используется при решении системам уравнений или неравенств, решение которых есть дизъюнкция. множеств истинности (множеств решений) каждого уравнения или неравенства. Пример. Дизъюнкцией двух одноместных предикатов « x ≠ 0 » и « y ≠0 » ,определенных на R , будет двухместный предикат x 0 y 0 Импликацией предикатов А(х) и В(х) называется новый предикат А(х) В(х), который является ложным при тех и только тех значениях х Т, при которых А(х) принимает значение «истина», а В(х) – значение «ложь» и принимает значение «истина» во всех остальных случаях. Читают: «Если А(х), то В(х)». Множеством истинности предиката А(х) В(х) является объединение множества Т2 – истинности предиката В(х) и дополнения к множеству Т1 истинности предиката А(х). Пример. А(х): «Натуральное число х делится на 3». В(х): «Натуральное число х делится на 4», можно составить предикат: «Если натуральное число х делится на 3, то оно делится и на 4». 2. Построение отрицаний к предикатам, содержащим кванторные операции. Формализация предложений с помощью логики предикатов Квантор (от лат. quantum - сколько) - это знак или выражение, обозначающее количество. Различают два вида кванторов: 1. Квантор общности - соответствует словам: любой, всякий, каждый и иными словам такого смысла. Обозначается символом . 2. Квантор существования - соответствует словам: существует, найдется, хотя бы один и иными словам такого смысла. Обозначается символом . Предикаты с кванторами можно записать в виде: (x)A(x) (.x)A(x) x P( x) И , если Р( х) тождествен но истинный предикат ; Л , если Р( х) опровержим ый предикат . x P ( x ) Л , если Р ( х ) тождествен но ложный предикат ; И , если Р ( х) выполнимый предикат . Пример. Пусть на множестве Х простых чисел задан предикат А(х)="Простое число x нечетное" 3 Поставим перед этим предикатом слово "всякое", тем самым получим высказывание "Всякое число x нечетное" - ложное, т.к. число 2 относится к четным числам. Поставим перед этим предикатом слово "существует", тем самым получим высказывание "Существует число x нечетное" - истинное, т.к., например число 5 – нечетное число. Действие квантора может распространяться, как на всю формулу, так и на ее часть. Часть формулы, на которую распространяется квантор, называется область действия квантора. Для установления области действия могут вводиться скобки. Если формула или ее некоторая часть находится непосредственно после квантора, то они входят в зону действия непосредственно и скобки могут быть опущенными. Переменные называются связанными, если они входят в зону действия квантора, остальные переменные называются свободными. Отрицания предикатов Пример. Имеются два утверждения: 1. Для лечения любого известного компьютерного вируса имеются программы. 2. Существуют новые (неизвестные) компьютерные вирусы, для лечения которых программы еще не разработаны Записать их с помощью формул логики предикатов. Решение. Введем обозначения элементарных формул: А(х) - известен компьютерный вирус х; В(х) - для лечения вируса х существует программа. С помощью логических связок и кванторов можно записать такие формулы как: х(А(х) - любой вирус известен; х( А(х)) - существуют новые (неизвестные) вирусы; x(A(x)→B(x))- если вирус давно известен, то имеется программа для его лечения. 4
