1. Доказать методом математической
индукции:
1) Для n=1 выражение справедливо.
1*4=1*(1+1)2
2) Допустим, что выражение справедливо для n:
а) 1*4+2*7+3*10+...+n*(3n+1)=n*(n+1)22
докажем что из этого следует и для n+1.
б) 1*4+2*7+3*10+...+n*(3n+1)+(n+1)*(3(n+1)+1=(n+1)*(n+2)2
разложим правую часть б)
(n+1)*(n+2)2 = (n+1)*((n+1)2+2(2+1)+1) =
n*(n+1)2+(n+1)2+2(n+1)2+n+1=
= n*(n+1)2+3(n+1)2+n+1 = n*(n+1)2+(n+1)*(3*(n+1)+1)
подставим в б)
в) 1*4+2*7+3*10+…+n*(3n+1)+(n+1)*(3*(n+1)+1) = n*(n+1)2 +
(n+1)*(3*(n+1)+1
вычтем из в) а):
Г) (n+1)*(3*(n+1)+1) = (n+1)*(3*(n+1)+1
г) - справедливо, поэтому 2) доказано.
3) из 1) и 2) следует что выражение справедливо для всех n, согласно
методу мат. инд.
2. Решить комбинаторное уравнение:
натуральные числа.
C2xx+1/Cx_12x+1=2/3
,x–
3. А) Первоначальный граф такой:
Задача не решается, так как в любом случае при любом построении
тропинок к колодцам пересекаются хотя бы две из них единожды. Эту
задачу можно решить лишь в трехмерном измерении, но не в
двухмерном.
Б) Граф является планарным, так как его гра пересекаются где-либо
еще, кроме вершин.
В) Эйлеров цикл тут присутствует, замкнутый путь, проодящий через
каждое ребро по одному разу. Гамильтонов цикл так же есть,
замкнутый путь, проходящий через каждую вершину по одному разу.
4. Является ли система булевых функций F={(10010100).
x→y} функционально полной системой? Ответ обосновать.
Проверим f(x,y,z) на принадлежность к классам Поста.
f(0,0,0) = 1 ⇒ f ∉ T0; f(1,1,1) =1 ⇒ f ∉ T1;
(0,0,0) ⪯ (0,0,1) и f(0,0,0) > f(0,0,1) ⇒ f ∉ M;
(0,0,1) и (1,1,0) — противоположные наборы,
f(0,0,1) = f(1,1,0) ⇒ f ∉ S;
f(x,y,z) = (x + 1)(y + 1)(z +1) + (x + 1)yz + x(y + 1)z =
= 1 + x+y + z + xy + xz + yz + xyz + xyz + yz + xyz + xz =
= 1 + x+y + z + xy + xyz.
Так как в полиноме функции f присутствуют конъюнкции, то f ∉ L.
Итак, мы видим, что функция f(x,y,z) не принадлежит ни одному из
классов Поста, значит, система {f} функционально полна.
5. Записать сокр. ДНФ для булевой функции:
6) Для взвешенного графа, заданного списком ребер, найти
минимальное остовное дерево, воспользовавшись алгоритмом
Краскала. (Указание: в первой и второй строках таблицы указаны
концевые вершины ребер, а в третьей – веса соответствующих
ребер).
