Бугаевский Л.М. - Математическая картография - 1998

JI. М. Бугаевский
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
КАРТОГРАФИЯ
Рекомендовано Министерством
общего и профессионального
образования Российской Федерации
в качестве учебника для студентов
высших учебных заведений, обучающихся
по направлению “Геодезия ”,
специальности “Картография ”.
Москва “Златоуст” 1998
ББК 26.1
Б 91
УДК 528.235
Бугаевский Л .М .
Математическая картография:
М.: 1998.- 400с ил. 65
У чебн ик д л я в у зо в .—
И з л о ж е н а общ ая т е о р и я м а т е м а т и ч е с к о й к а р т о г р а ф и и , в к л ю ч а ю щ а я
общ ую теорию к ар т о гр а ф и ч е с к и х про екц и й и основные п о л о ж е н и я т е о ­
рии дру ги х эл е м ен т о в м ат ем ат и ч е с к о й основы к ар т , в том чи сл е общие
п о л о ж ен и я о т о б р а ж е н и я повер хн о сти З е м л и и др уги х небесн ы х т ел на
плоскости, т е о р и я и с к а ж е н и й и о т о б р а ж е н и я одних п овер хн остей на
д р у г и е , о п р е д е л е н и е и и с п о л ь з о в а н и е м а с ш т а б н ы х р я д о в к а р т , их
компоновок, р азграф ок, координатны х сеток, и ном ен клатур.
Р ас с м о т р е н а тео р и я классов к а р т о г р а ф и ч е с к и х проекций, их к л а с с и ­
ф и к а ц и и , д ан ы к о н к р ет н ы е ф о р м у л ы н аиб ол ее и зв е с т н ы х проекций.
П р и в ед е н ы п р оекц и и д л я с о зд а н и я р а зн о о б р а зн ы х к а р т к онкретного
н азначен ия: топограф ических, морских, аэронавигационны х,
и спользуем ы х в различн ы х странах, проекции, прим еняем ы е для
обработки гео дези ческ и х и зм ер ен и й , с ф о р м у л а м и р е д у к ц и й и другие.
И з л о ж е н ы те о р е т и ч е с к и е основы н аи л у ч ш и х п ро екц и й и к о н к р ет н ы е
способы п о л у ч ен и я наиболее р азр а б о т а н н ы х из них — р ав н оу го л ь н ы х
проекций, реш ения прямой и обратной зад ач м атем ати ческой
картограф и и. Описаны методы ан ал иза, выбора, и зы ск ан ия, о п ознав ан ия
и п р е о б р а з о в а н и я к а р т о г р а ф и ч е с к и х п р о екц и й , в том ч и с л е п л ан о в
м ас ш т аб а 1:500 -1:2 ООО, сост ав лен н ы х в п р ямоугольной р а з г р а ф к е , в
про екц и ю Г а у с с а-К р ю г е р а , п ер е х о д а из зоны в зону этой п роекции;
рассмотрены н аправлени я автом атизаци и в математической картограф ии.
Д л я с т у д е н т о в в у зо в , а с п и р а н т о в , о б у ч а ю щ и х с я по с п е ц и а л ь н о с т и
« К а р т о г р а ф и я ».
Рецензенты:
проф., д-р техн. наук С. В. Лебедев (кафедра выс­
шей геодезии, Московский Государственный Уни­
верситет геодезии и картографии);
канд. техн. наук В. М. Богипский (зав. отделом
картографии, Центральный научноисследова­
тельский институт геодезии, аэрофотосъемки и
картографии.)
Б Q4Q3QQQQQ0-107
5Р4(03) - 98
ISBN - 5-7259-0048-7
© JI. М. Бугаевский, 1998
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящий учебник написан в соответствии с Государст­
венным образовательным стандартом “Требования к минимуму
со дер жа ни я и уровню подготовки инженера по специальности
300400 - К а р т о г р а ф и я ”, Государственным образовательным
стандартом “Государственные требования к минимуму
со дер жан ия и уровню подготовки магистра по направлению
5523 00 - Г е о д е з и я ” , у т в е р ж д е н н о м у Г о с у д а р с т в е н н ы м
комитетом Российской Фе дерации по высшему образованию,
в соответствии с учебными программами подготовки и н ж е н е ­
ров, магистров и аспирантов вузов России по дисциплине
“М ате мат иче ска я к а р т о г р а ф и я ”.
Книга п р е д н а з н а ч е н а д л я об уч ен ия с ту д е нт о в вузов,
магистров и аспирантов кар тографической специальности.
Основной целью данного издания я в л яе тс я освещение и
передача учащимся системы знаний по теории и практическим
вопросам математической кар тограф ии, которая позволила
бы им самостоятельно выполнять выбор и изыскание опти­
мал ьн ы х к а р т о г р а ф и ч е с к и х проекций и д руг их эл ементов
мат ема тич еск ой основы д л я соз дан ия ра зн оо б ра зн ы х к а р ­
то гр аф ических произведений, ре шать раз ли чны е з а дач и по
к а р т а м с у ч е т о м с в о й с т в п р о е к ц и й , о с у щ е с т в л я т ь их
преобразование и сравнительный анализ.
Полнота изло же ния в книге вопросов математической к а р ­
тографии обеспечивает студентам, аспирантам, п р е п о д ав а те ­
лям вузов и специалистам других уч реж ден ий проведение
самостоятельных исследований на основе рассмотренных поло­
жений.
Учебник может быть использован как пособие в работе
научных сотрудников и инженеров при решении научных и
пр актических за д ач как картографии, так и других наук и
отраслей производства, использующих ап па ра т м ат е м а ти ч е с ­
кой ка ртографии, карты и космические снимки.
При написании учебника использовались тр уд ы ученых,
главным образом, российской школы математической к а р т о ­
графи и: Ф. Н. Красовского, В. В. Каврайского, Н. А. У рм ае в а,
М. Д.Соловьева, Г.А.Гинзбурга, JI. А.Вахрамеевой, Г. А. М е щ е ­
рякова, Г. И. Конусовой и других.
Ряд вопросов этой научно-технической дисциплины и з л о ­
жен в учебнике впервые.
А в т о р в ы р а ж а е т сво ю б л а г о д а р н о с т ь р у к о в о д с т в у
МИИГАиК за помощь в издании данного учебника.
ВВЕДЕНИЕ
Одним из ва жн ы х фак торов успешного р е ш ен ия многих
научных, практических и хозяйственных задач является
и с п о л ь з о в а н и е к а р т р а з л ич но го н а з н а ч е н и я , с о д е р ж а н и я ,
масштабов и территориального охвата.
В св яз и с д ал ьн ей ше м ра зв и т и ем отраслей науки, в о з­
никновением новых технических средств, таки х как а вт о ма ­
тические системы управления и навигации , появлением новых
н а пр а вл е ни й науки, тре бующих картографо-геодезического
обеспечения, как например, наук, связанных с освоением кос­
моса, изучением и исследованиями небесных тел, более углуб­
ленным изучением Зем ли и ее недр, процессов и явлений пр и­
роды и общества, в частности экологической обстановки в
мире, р а зр а б а ты ва ю т с я новые типы спец иальных карт, соз­
д а ю т с я р а з л и ч н ы е т е м а т и ч е с к и е к а р т ы и способы их ис ­
пользования.
По к а р т а м в ы п о л н яю тс я р а з л и ч н ы е и з м е р е н и я и с п е ­
циа льные исследования, целью которых я в л я е т с я получение
р а з л и ч н ы х колич ественных пок а за те л ей и дополнительной
информации, например, для районирования (дифференциации)
те рриторий и объектов, установления взаимосвязей, изучения
динамики, определения прогнозных характеристик, выявления
новых закономерностей реального мира. По к а р т а м можно
решать навигационные, картометрические, морфометрические,
многокомпонентные и другие задачи.
Возможность использования ка рт в этих и других целях
основана на том, что они создаются на строгой математической
основе, изучение и разр або тк а которой я вл я е т с я предметом
м атематической картографии.
Математическая картография изучает и разрабаты вае т ма­
тематическую основу карт, включающую в себя теорию кар то­
гр аф ич ес ки х проекций, их применение, масштабы и компо­
новки, р а зг ра ф ки , координатные сетки и номенклатуры карт.
Пр ое ктирование математической основы карт — один из
пе рвых этапов в процессе создания карт.
Р а з р а б о т к и матема тич еск ой ка р т о г р а ф и и на ход ят п р и ­
ложе ние к обработке ре зу льт ато в геодезических измерений,
в применении методов решения задач сферической геометрии,
астрономии, кри с та л л ог ра фи и и других наук.
Основными задачам и математической к ар то гр аф и и
являются:
- р а з в и т и е теории м ате ма ти ч еск ой ка р то гр а ф и и , п р е ж д е
вс е г о , в о б л а с т и п о л у ч е н и я н а и л у ч ш и х и и д е а л ь н ы х
проекций;
- исследование ра зл ич ны х ка рт огр аф ич ес ки х проекций, их
сущности, свойств, в за и м ос вя зи и целе сообразности п р и ­
мен е ни я на п р а к т и к е д л я с о з д а н и я к о н к р е т н ы х к а р т на
конкретные террит ории;
- соверш енствование имеющихся картограф ических
проекций, их ун и ф и к а ц и я и с та нд ар тиз ац ия, ра зр або тк а но­
вых р соответствии с требованиями науки и производства,
в частности, дл я создания ра знооб разных те ма тич еск их и
комплексных карт;
- ра зра бот ка математи че ски х моделей кадровых, ска нерных
и радиолокационных снимков, способов их применения с у ч е ­
том геометрических свойств этих снимков в к а р то г р а ф и и и
других науках;
- разр або тк а ка рт ог ра ф иче ски х проекций дл я отображ ени я
реаль ных поверхностей;
- разрабо тк а новых классов карт огр аф иче ск их проекций дл я
с оз дан ия н е с та нд ар т ны х к а р т о г р а ф и ч е с к и х изо б ра же ни й,
например,ан амо рф иро ван ны х карт;
- с о в е р ш е н с т в о в а н и е методов выбора и и з ы с к а н и я к а р ­
тогра фи чес ких проекций;
- р а з р а б о т к а элем ентов м атем ати ч еск о й основы к ар т
(масштабов, компоновок, р а з г р а ф о к и н ом енклатур),
необходимых для создания многолистных карт;
- ра зви ти е способов и средств выполнения ра зл ич ны х и з ­
мерений и исследований по карта м с учетом свойств к а р т о ­
гр аф ических проекций;
- исследование и решение за дач математического х а р а к т е ­
ра, возникающих при составлении карт (например, методов
преобраз ов ан ия ка р то г р а ф ич е с ки х проекций, космических
снимков, способов построения ка рт огр аф иче ски х сеток и др).
- р а з р а б о т к а т е о р и и и методов а в т о м а т и з а ц и и в м а т е ­
матической картографии.
Решение этих многообразных задач математической к а р то ­
графии позволяет создавать математическую основу карты,
обеспечивающую возможность оптимального ре ше ния по ним
вопросов, вытекающих из назначения карт.
При этом основным элементом математической основы я в ­
ляют ся ка рто гр аф иче ски е прооекции. Их свойства влияют на
выбор главных масштабов карт и их компоновок, что и опреде­
л я е т тесную взаимосвязь всех этих элементов, образующих
единое целое.
Перв ые известные карты, появившиеся за 3-4 тыс. лет до
н а ш е й э р ы , не и м е л и м а т е м а т и ч е с к о й осн овы . Н а ч а л о
разр або тк и математической картограф ии, пр еж де всего, тео­
рии ка р то гр аф и че ск и х проекций, было положено более двух
тыся ч лет на за д греческими учеными и было тесно связано с
р а зви ти ем представлений о фи гур е Земли и о производстве
астрономо-геодезических измерений.
За шесть веков до нашей эры Пифагор вы ск аз ал гипотезу
о том, что З е м л я яв л я е т с я шаром. Позднее эту гипотезу д о к а ­
за л Галлилей. В III веке до нашей эры Эратосфен впервые
определил радиус земного шара.
В основу о т о б р а ж е н и я З е м л и и зв е зд н о г о неба были
введены понятия о линиях меридианов и па ра лл е л е й (работы
А н а к с и м а н д р а , Ги п п ар ха , Апполония, Эра тос фен а) . Б ы л и
п р е д л о ж е н ы гномоническая, с т е р е о г р а ф и ч е с к а я , о р то г р а фи ч е с к а я проекции, ра вн опром ежуточна я вдоль меридианов
к в ад р а тн а я цил инд рическая проекция. С их использованием
были созданы карты, по которым стало возможным выполнять
п р о с т е й ш и е и з м е р е н и я , о с у щ е с т в л я т ь о р и е н т и р о в к у на
местности, визуальную оценку расстояний, направлений, форм
и площадей.
Большое значение для развития картографии того времени
имел кап ита ль ны й тру д Птолемея “Г ео гр а ф и я ” (II век нашей
эры), в котором нар яд у с описанием способов создания карт и
оп ре деления размеров Зе мли рассмотрены карт огр аф иче ски е
проекции: простая ра вно пр ом е жу то ч на я вдоль меридианов
коническая проекция шара, коническая ра вно промеж уточная
составная проекция и другие.
В последующие годы уровень знаний по математической
к а р т о г р а ф и и о с т а в а л с я б ез и з м е н е н и й . И с к л ю ч е н и я м и
являлись работы армянских ученых по картографии в VII веке,
зн авш их о тру де Птолемея, а так же исследования на рубеже
X - XI веков Ал ь-Б ируни, жившего в Хорезме (территория
современного Узбекистана), предложившего шаровую глобу­
ля рну ю проекцию, которая спустя четыре века была вновь
открыта Николози.
Усиленное ра звити е ка рто гра фи и началось в эпоху Воз­
ро жд ен ия - эпоху великих географических открытий, когда
стали необходимы точные, достоверные карты для упр авления
т е р р и т о р и я м и , в о е н н ы х по х о д о в , р а з в и т и я т о р г о в л и и
мореплавания. Так ие кар ты могли быть созданы только с ис­
пользованием м атем ати ч еск о й основы и р е зу л ь т а т о в
съемочных работ.
В XVI в е к е Апи ан , Л о р и ц и д р у г и е п р е д л о ж и л и р я д
проекций д л я со здания р а зл и чн ы х карт.
З н а ч и т е л ь н ы м собы тием в д а л ь н е й ш е м р а з в и т и и к а р ­
то гр а ф ии явилось создание ни де рла нд ски ми к а р т о г р а ф а м и
О р т е л и е м и М е р к а т о р о м в конце X V I - н а ч а л е X V II вв.
географических атласов. Меркатор в 1569 г. разр або тал и п р и ­
менил равноугольную цилиндрическую проекцию ш ара,
кот орая ис по ль зу етс я до настоящего времени д л я морских и
д р у г и х кар т. В 1581 г. П о с т е л ь п р е д л о ж и л р а в н о п р о м е ­
жут очн ую вдоль меридианов а з им ут а ль ну ю проекцию.
В это время д ля ка рт мира и зна чи т е ль ны х по р а зм е р а м
тер риторий широко использовались трапе цие вид на я проекция
и проекция Апиана, по сл ужи вши е прообразом ра зра бот ан ных
позднее псевдоцилиндрических проекций. В XVII в. новую с и­
нусоидальную псевдоцилиндрическую проекцию для карт мира
пр е д ло ж ил Н. Сансон.
XVIII
век ха ра к те р и зу е тс я началом планомерного топогра­
фического и з у чен ия Зе м ли и созданием более точных карт. В
ка р то г р а ф и че с ку ю пр а кт ик у были введены новые проекции,
п р е д л о ж е н н ы е Р. Бонном, И. Л а м б е р то м , Ж. Л а г р а н ж е м ,
Л. Эйлером, Н. Делилем и другими картогр аф ами .
В конце XVII века в России у же имелись карты, на которых
была изоб ра жен а сетка меридианов и па ра лл е л е й (карты Рос­
сии Ф. Годунова, Г. Геритса, И. Массы, Н. Витсена). В XVIII в.
по у ка з а н и ю Пет ра I началось проведение системати чес ких
съемок д л я у д о вл етв ор ен и я н уж д ф лот а и составления гене­
ральной ка р т ы России. В это врем я российские ка р т ы соста в­
лял и сь в цилиндрической, тра пециевидной (псевдоцилиндрической), с тер ео гра фич еск ой и конической проекциях.
В 1734 г. был опубликован “Атлас Всероссийской и м пе ри и”
И. Кирилова, большинство карт которого было составлено в
ра вно промежуточной конической проекции с д вум я главными
п а р алл ел ям и.
Д а ль не йш ее р а з ви т и е теории к а рт ог ра ф ич е с ки х проекций
в России тесно связано с деятельностью Российской Академии
наук. В 1745 г. был выпущен в свет “Атлас Ро сс ийс кий ”, все
карты которого были составлены в трапециевидных (псевдоци­
линдрических) и равнопромежуточных конических проекциях.
Наиболее значительные успехи в развит ии картогр аф ии
во второй половине XVIII в. были с вяз ан ы с именем М. В. Ло ­
моносова. В этот период созданы кар ты всего мира и России
(с включением акватории Северного Ледовитого океана), при
составлении которых были использованы равноугольная ци­
л индрическая, косая стер ео гр аф и ч еская и норм альная
а з и м у т а л ь н а я равно про ме жут оч на я проекции. В первом томе
“Т р у д о в ” Петербургской Академии наук помещены три работы
Л. Эйлера, посвященные вопросам теории кар то гр а ф ич е с ки х
проекций. Впервые (1778 г.) была разр або тан а общая теори я
равноугольного ото бражения поверхности шара на плоскость.
В 1781 г. Ж. Л аг р а н ж опубликовал общую теорию ра вноуголь­
ного изображения поверхности вращения на плоскость, ее при­
л о ж е н и я в карто гр аф ии, пр е д ло ж ил равноугольную п ро ек ­
цию, в к о т о р о й м е р и д и а н ы и п а р а л л е л и я в л я ю т с я о к ­
ружностями. В первые годы XIX в. началось создание военных
топ ографических карт, д ля которых мат ем а ти ч е ск ая основа
имеет особо важное значение. В 1825 г. К. Гаусс впервые решил
з а д а ч у равноугол ьного ото б р аж ен ия одной поверхности на
другую, что послужило основанием для получения целого ряда
равноугольных проекций. В это же время появились работы
Н. Тиссо, разработавшего общую теорию искажений к а р то гр а ­
фических проекций. Определение ряда равновеликих проекций
почти одновременно выполнили И. Ламберт и Л.Эйлер. Первый
п р е д л о ж и л а з и м у т а л ь н у ю (1772 г.) и и з о ц и л и н д р и ч е с к у ю
ра вновеликие проекции Л. Эйлер, ра зра бо т ал общую теорию
равновеликих проекций шара с ортогональной ка рт о гр а ф ич е с ­
кой сеткой.
Несколько позднее Г. Альберс р а зр а бо т ал равно вел ику ю
ко н и че ск ую проекц ию с д в у м я гл авн ым и п а р а л л е л я м и , а
Мольвейде — равновеликую эллиптическую псевдоцилиндрическую проекцию, наш едш ую широкое применение для
создания ряд а кар т мира. П.Гуд пр ед лож ил способ получения
п с е в д о ц и л и н д р и ч е с к и х проекц ий, о б е с п е ч и ва ю щ их м ал ы е
в е л и ч и н ы и с к а ж е н и й на к о н т и н е н т а х ( о к е а н а х ) за с че т
образования разр ыво в на океанах (континентах).
С XVIII в. ка р ты стал и и с п о л ьз о ва ть ся не только д л я
реш ен ия пра ктических вопросов, но и дл я выполнения н а у ч ­
ных исследований, в частности, некоторые о тк ры ти я А. Гумбольта, В. В. Докучаева, Д. Н. Анучина, А. А.Тилло сделаны по
картам.
В конце XVIII - XIX в. в России вопросами создания кар т
и их математической основы занимались военные геодезисты,
cS
к а р т о г р а ф ы , а с т р о н о м ы (Ф. И. Ш у б е р т , Ф . Ф . Ш у б е р т ,
А.П.Болотов и др.).
В 1822 были образованы Корпус военных топографов и
Гидрографическое управление, под руководством которых в
д аль ней ш ем выполнялись все к а р т о г р а ф о - г е о д е з и ч е с к и е и
гидрографические работы.
В 1848 г. сп ец иальная комиссия, созданная при Корпусе
военных топографов, приняла для крупномасштабных русских
топографических ка рт многогранную проекцию Мюфлинга, в
которой земная поверхность изображалась отдельными т р а п е ­
циями, ограниченными дугами меридианов и параллелей.
Новый этап в развитии русской и мировой математической
ка р т о г р а ф и и св яз а н с именем знаменитого русского м а т е ­
матика П. JI. Чебышева. Стремление согласовать очертания изокол (линий равных искажений) со схемати зированными оч ер ­
таниями изображаемой на карте области в определенной мере
проявилось в работах Ламберта, Эйлера, Гаусса и др., но только
П.JI.Чебышев полностью оценил важность опре деления таких
проекций. В 1853 г. он сфо рм улировал теорему:“ Наивыгодней­
шая равноугольная проекция для и зоб ра же ни я какой-нибудь
части земной поверхности на карте есть та, в которой на грани­
це и з об ра же ния масштаб сохраняет одну и ту ж е величину ”...
Эту теорему д ок аз ал в 1894 г. Д. А.Граве. Он провел т а к ж е
ряд исследований по теории и практике получения равн ов ели ­
ких и других ка р то гр аф ич ес ки х проекций.
И с с л е д о в а н и я м и в об л аст и т е о р и и к а р т о г р а ф и ч е с к и х
п р о е кц и й в н а ч а л е XX в. з а н и м а л и с ь и з в е с т н ы е уч е н ы е
А. А. Михайлов, Н. Я.Цингер, Д. А. Айтов, Е. Гаммер и другие.
Е. Гаммер разработал по методу Д. А. Айтова производную р а в ­
новеликую проекцию, ставшую одной из наиболее ра сп р о ст р а ­
ненных на ка рт ах мира.
На за р у б е ж н ы х ка рта х мира до сих пор часто применяют
псевдоцилиндрические проекции М. Эккерта (1906) и производ­
ную проекцию О. Винкеля (1921). Н. Я. Цингер исследовал спо­
собы равноугольного и равновеликого отображения эллипсоида
на шаре, высказал гипотезу о наилучших равновеликих проек­
циях.
Важным событием в ра звитии теории ка р то гр аф ич ес ки х
проекций я в и л а с ь книга В. В. Витковского “ К а р т о г р а ф и я ” ,
опубликованная в 1907 г.
В 20-40 г. XX столетия большой вклад в мат ематическ ую
картографию и, в частности, в теорию картогр афи ческих про­
екций внесли профессора — Ф. Н.Красовский, В.В .Ка вра йс кий, Н.А.Урмаев, М. Д. Соловьев и другие.
В 1921 г. Ф. Н. Красовский ра зр або тал две оригинальные
ра вно п р о м е жу то ч ны е конические проекции, п р е д н а з н а ч а в ­
шиеся для создания мелкомасштабных карт Европейской части
и всего СССР. В. В. Каврайский опубликовал монографию с ис­
следованиями по математической картогр аф ии, ра зр а бо т ал
способ получения конических проекций, обеспечивающих ми­
нимальные и с ка же ния в пред ела х ка рт огр аф ир уе мо й т е р р и ­
тории, р а з ра бот ал ряд псевдоцилиндрических проекций, ис­
следовал гипотезу Н. Я. Цингера о наилучших равновеликих
проекциях. М. Д, Соловьев ра зр аботал ряд перспективных про­
екций, особо выгодных для создания школьных карт.
В 1928 году для создания отечественных топографических
карт масштабов 1 : 200 ООО и крупнее была принята проекция
Гаусса - Крюгера, а с 1939 г. ее стали применять для создания
кар т масштаба 1:500 ООО. В настоящее время ее используют
та к ж е при создании карт масштаба 1: 1 ООО ООО.
Р а з н о о б р а з н ы е и с сле до ван ия в области м ат е м а ти ч е ск о й
ка р то гр аф и и выполнили отечественные ученые в период 40 70-х годов.
Н.
М. Волков ра зр аботал теоретические положения и мето­
дику выполнения картометри чес ких измерений, получил р а з ­
личные варианты проекций для создания карт Большого а т л а ­
са мира, впервые провел исследования по определению м а т е ­
матических моделей кадровых космических снимков.
П о л у ч и л и всеобщее п р и з н а н и е п с е в д о ц и л и н д р и ч е с к и е
проекции Н.А.Урмаева, В. В. Каврайского, Ф. А. Старостина и
и ЦНИИГАиК, п с евд оазимут альные и поликонические про­
екции ЦН ИИ ГА иК (исследования Г. А. Гинзбурга, Т. Д .С а л ­
мановой, В. М. Богинского, JI. С. Ледовской). Во второй половине
40-х годов Н. А. Урмаев р а зр або тал ряд способов вычисления
проекции Чебышева, провел исследования и ра зр а бо т ал кон­
кретные ва ри ан ты цилиндрических, псевдоцилиндрических и
других проекций, получил две ф у н д а м е н т а л ь н ы е системы
д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х уравнений в частных производных, н а з ­
ванных позднее системами Эйлера-У рма ева и Тиссо-Урмаева,
обеспечивающие принципиально новый подход к изысканию
проекций.
Г. А. Мещеряков разр або тал теорию оп ределения на и л у ч ­
шей р а вн ов ели кой проекции д ля к а р т о г р а ф и р о в а н и я т е р ­
риторий земных полушарий. Г. И. Конусова сфо рм ул ир ов ал а
и до ка за л а теорему о существовании на илучших проекций
минимаксного типа дл я заданной ограниченной области и
рассмотрела ряд аспектов определения проекций с
ортогональной картографической сеткой.
В работах JI. Д. Белоновского, А. И. Динченко, В. В. Кав рай ского, Н.Я. Виленкина, JI. М.Бугаевского, JI. А .Вахрамеевой,
Г.И.Конусовой,А. А. Кузнецова, А. С. Лисичанского, Ю. М. Ю з е ­
фовича, М. А. Топчилова и других были разрабо тан ы способы
получения проекции Чебышева, равноугольных проекций с
п р и с п о с о б л я е м о й и з о к о л о й и б л и з к и х к ним п р о е к ц и й ,
аспекты определения проекций с другим характером
искажений.
Дальн ей ша я разработка теории и практических вопросов
математической кар тограф ии в последние д е сят ил ети я шла
по направлениям получения наилучших проекций, совер ше н­
ствования проекций ра зл ичн ых классов и ха ра к т е р а ис к а ­
жений, их использования для ка рто гр аф иро ван ия различн ых
территорий, разработки теории и способов выбора, изыскания
проекций и автоматизации в математической картографии,
способов получения проекций для создания анаморфированных
карт и карт реальных поверхностей, определения м ат е м а т и ­
ческих моделей космических снимков, применения в картог ра ­
фии способов численного анализа и аппроксимации и т.д., а
т а к ж е разработки других элементов математической основы
карт.
Свой вклад в решение этих и других задач математической
к а р т о г р а ф и и внесли многие отечест вен ные и з а р у б е ж н ы е
ученые.
Кр аткие сведе ния о работах многих из них, а та к ж е биб­
лиография о картографических проекциях, даны в книгах [7],
[8 ], [40].
В целом можно отметить, что в настоящее время состояние
и развитие теории математической картографии обеспечивает
решение задач, стоящих перед нею. Но вместе с тем, до сих
пор многие из ее проблем не нашли еще достаточно полного
решения. Сущность этих проблем в определенной мере будет
раскрыта в главах данной книги.
РАЗДЕЛ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
КАРТОГРАФИИ
В отличие от других учебников, в которых ра с с м а т р и в а ­
ется только общая теория ка р тог ра ф иче ски х проекций, в
настоящей книге излагается общая теория математической
картографии, которая включает общую теорию к а р т о г р а ф и ­
ческих проекций (п.п. 1-4) и основные пол оже ния теории
других элементов математической основы кар т (п. 5).
1.1. З А К О Н О М Е Р Н О С Т И И О Б Щ И Е П О Л О Ж Е Н И Я
ОТОБРАЖ ЕН ИЯ П ОВЕРХНОСТЕЙ НЕБЕСНЫХ
ТЕЛ Н А П Л О С К О С Т И
1.1.1. ПОНЯТИЕ О ФИЗИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
И ПОВЕРХНОСТЯХ ОТНОСИМОСТИ
Ф из ич ес ка я поверхность Земли, как и других небесных
тел, имеет сложную форму. Её изучение явл я е тс я первоосно­
вой для многих наук, в том числе математической к а р то г р а ­
фии.
При этом используется понятие о поверхности геоида, кото­
рое ввел в 1873 году немецкий ф и зи к Листинг. В настоящее
время под поверхностью геоида понимают уровенную поверх ­
ность, проходящую через точку начала отсчета высот.
Уровенной поверхностью на зыв ает ся поверхность, ортого­
нальная к отвесным линиям, по которым в каждой точке по­
верхности данного небесного тела направлен вектор силы т я ­
жести. Строгое определение геоида связано со знанием строе­
ния земной коры.
М. С. Молоденский предлож ил вместо геоида определять
поверхность квазигеоида, которую можно строго определить
без привлечения ра зличны х гипотез о строении земной коры
и которая совпадает с поверхностью геоида на морях и океанах
и отступает от неё до 2 метров на континентальной части
Земли.
Представ ле ния ученых о фигуре Земли менялись с т е ч е ­
нием времени. С VI века до н. э. до конца XVII века Землю
принимали за шар, с конца XVII века до второй половины
XIX века — фи гуру, близкую к эллипсоиду вращения; со
второй половины XIX века до сороковых годов XX столетия
— трехосным эллипсоидом, явл яющимся лишь приближенным
отображением более сложной формы — геоида. С сороковых
годов до настоящего времени фигурой Земли считают сложное
тело, ограниченное физической поверхностью Земли.
В геодезии измерения, выполненные на фи зической по­
верхности, переносят на математическую, наиболее близкую
к ф и з и ч е с к о й , к о т о р а я м о ж е т бы т ь о п и с а н а с о о т в е т с т ­
вующими уравнениями. В этой связи изучают и используют
общеземной эллипсоид и референц-эллипсоиды.
Эллипсоид вращения, плоскость экватора и центр которого
совпадает с плоскостью экватора и центром масс Земли и наи ­
лучшим образом аппроксимирует поверхность геоида (к ва зи ­
геоида) в пл ан етарном масштабе, н а з ы в а е т с я общеземным
эллипсоидом.
Эллипсоид, на поверхность которого отобража ют ся м а т е ­
р и а л ы ас тро но м о- ге од ез и че с ки х работ и то по гр а ф и ч е с к и х
съемок, и который наиболее полно соответствует поверхности
геоида на соответствующие терри тор ии Земли, н а з ы в ае т ся
референц-эллипсоидом. Эти поверхности назыв ают ся так ж е
поверхностями относимости. В раз ных странах приня ты свои
референц- элли пс оид ы, ра зл ич а ющ ие с я своими п ар ам етр ам и
(значения некоторых из них приведены в приложении 1 ).
В математической картографии, чтобы отобразить на плос­
кости ф и зи ч е с к у ю поверхность З е м л и и д руг их р е а л ь н ы х
поверхностей, необходимо от этих поверхностей перейти к
математическим. В качестве таких поверхностей принимают
поверхности шара, эллипсоида вращения, и в отдельных с л у ­
чаях — трехосного эллипсоида.
В теоретических исследованиях ра ссма триваются вопросы
отображения и более сложных, ре гул ярн ых поверхностей.
Вместе с тем, в настоящее время р а з ра ба ты ва ю т с я и ис­
пользуются ка рто гра фи чес кие проекции, дающие о то б р а ж е ­
ние реаль ных поверхностей.
П р и м е н е н и е э тих п ро е кц ий не д а ё т в о з м о ж н о с т и в ы ­
полнять изм ери те льн ые работы по картам, но они позволяют
получить пр е д ст а вл е ни е о ф ор м а х к а р т о г р а ф и р у е м ы х по­
верхностей небесных тел.
При изучении картографических проекций в мат ема тич ес ­
кой к а р то гр а ф и и исходят из того, что п а р а м е т р ы ис пол ь­
зуемого рефер ен ц- элл ипс оид а, исходные геодезические даты
(и их аналогичные величины), а при необходимости и данные
о ф и гу ра х и па ра ме тр а х реа льн ых небесных тел, полученные
по р е зу л ьт а та м астрономических, гравиметрических и геоде­
зических работ, а та кж е по матери ала м космического зонди­
рования, известны.
1.1.2. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ, ПРИМЕНЯЕМЫЕ В
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ КАРТОГРАФИИ
В математичес кой картогр аф ии применяются прос тра нс т­
в ен н ы е п р я м о у г о л ь н ы е , к р и в о л и н е й н ы е , п л ос ки е п р я м о ­
угольные и полярные системы координат.
1.1.2.1.
ГЕОГРАФИЧЕСКАЯ (ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ) И
ГЕОЦЕНТРИЧЕСКАЯ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
Из бесчисленного м н о ж е ст ва п а р а м е т р и ч е с к и х линий,
к о т о р ы е мо жн о у с т а н о в и т ь на п о в е р х н о с т и э л л и п с о и д а
(сферы), выбирем семейство географических п а ра лл е л е й и
меридианов, составляющих географическую систему коорди­
нат: (р = const и Л = const.
В произвольной точке A (<pt A) эллипсоида проведем нор­
маль АО' к этой поверхности (рис. 1 ), через которую можно
провести бесчисленное множество нормальных сечений. Из
них мы в ы б и р е м два г л а в н ы х : с е ч е н и е , с о в п а д а ю щ е е с
Рис .1 Геодезическая и геоцентрическая пространственная система
координат
плоскостью м е р и д и а н а РАР\ н а з ы в а е м о е м е р и д и а н н ы м , и
с е че н и е , о р т о г о н а л ь н о е п е р в о м у в то ч к е А, н а з ы в а е м о е
сечением первого вертикала.
Радиусы кривизны этих нормальных сечений будут равны:
М = а ( 1 - е 2) / ( 1 - е 2 sin 2 (p)3/2;
( 1)
N = а / ( 1 - е 2 sin 2 <р) |/2 ;
(2)
1 /2
- первый эксцентриситет,
а, b — большая и м ала я полуоси эллипсоида вращения.
Рассмотрим пр ос транственную геоцентрическую ситему
координат ОХг Y Z , в которой начало совмещено с центром
масс З е м л и (с ц е н т р о м э л л и п с о и д а в р а щ е н и я ) , ось Z r направлена на средний северный полюс Земли, ось Хг - в
точку пересечения Гринвичского меридиана с экватором, ось
Yг - на восток.
Тогда с вя зь ге оцентрической и ге ог ра фи че ск ой систем
координат может быть записана в виде:
X = N cos^cosA ,
(3 )
Y = N cos^sinA ,
Z p = N ( l - e 2) s i n ^ .
1.1.2.2. ТОПОЦЕНТРИЧЕСКАЯ (ГОРИЗОНТНАЯ) И ПОЛЯРНАЯ
СФЕРОИДИЧЕСКАЯ (СФЕРИЧЕСКАЯ) СИСТЕМЫ
КООРДИНАТ
Топоцентрической горизонтной системой координат
(рис. 2 ) будем назыв ать систему, в которой начало совмещено
с произвольной точкой пространства Q0 (<р0,Л0, Н 0), ось X ле ж и т
в плоскости меридиана точки Q и направлена на северный
( с р е д н и й ) по л юс , ось Z с о в п а д а е т с н о р м а л ь ю 0 ' Q {) к
поверхности эллипсоида в точке Q, ось Y - дополняет систему
до левой.
Для установления связи этой системы QqX Y Z и геоцент­
рической системы координат
OXri YrZ
,
l l r перенесем параллельно
к аж ду ю из них в точку О . Тогда :
Zr = Zr +e2N0sm%;
Z = Z + N {) + H0.
F*
Рис. 2. Топоцентрическая горизонтная и сфероидическая (сферическая)
полярные системы координат
П о в е р н у в с и с т е м у к о о р д и н а т Q'XvYrZ[ на у г л ы
и
9 0 ° - ^ , получим ф орм ул ы связи ука за нн ых систем координат
в следующем виде:
X
(ХЛ
Уг
\Z fj
=А
Y
'
0
0
-
KZ + N 0 + H qj
<e2N 0 sin(po,
и
o
Y = A'
~
yr
KZ + e ’N t* n 9, j
0
(5)
где А, А'
— соответственно матрица и транспонированная
к А мат рицы вращения:
- cos А,0 sin ф0 - sin XQ cos X0 cos cp0
А = - sin X0 sin ф0 cos XQ sin X0 cos ф0
cos ф0
0
( 6)
sin ф0
С учетом ( 3 ) - ( 6 ) ф о р м у л ы с в я з и т о п о ц е н т р и ч е с к о й и
географической систем координат принимают вид:
X = (N + А^Ш фсозфо - c o s ф sin ф0 cos(k - А.0)] +
+ e 2( N о sin фо - N 8Шф)со8ф0;
Y = ( N + h) cos q> sin(A - Я0) ;
(7)
Z = ( N + /i)[sin ф sin фо + c o s ф c o s ф0 cos(k - X0)\ +
+ e2( N 0 sin фо - N sin ф) sin ф0 - (jV0 + # 0) ;
где h - превы шен ия точек (при отображении поверхности
Зе м ли все И=0)
Теперь введем сф ероидическую полярную систему
координат z = const, а = const, где а - углы между но р м ал ь­
ными п л о с к о с т я м и в т о ч к е по люса Q, Z - у г л ы м е ж д у
нормалью O'Q0и напра вле ния ми в точке О ' на теку щи е точки
С. , л е ж а щ и е в со отв ет с тв у ю щ и х но р м ал ь н ы х пл ос кос тях
( рис .2 ). Обозначим С О ' - N'Qи из рисунка 2 следует:
X = N о sin z cos а •
Y = Nq sin z sin a •
(8)
Z = Nq cos z - N 0 '
Если в точке С провести нормаль СО"к эллипсоиду, которая
пересечется с осью вращения эллипсоида в точке О, то образу­
ется треугольник О О С .
Учитывая широту данной точки, значения сторон О С= N q
’;
0"C=N', 0 0* = e2(Nsin<p-A^0sin^0) и значение N из ф о рму лы
( 2 ), получаем по теореме косинусов:
€2
е2
N(> = N 0{1 - — (siny - sin ф0)2[ 1 + — ( 5 sin2 ф + sin2 ф0 +
+ 2sin<psin<p0 - 4]+...}.
(9)
Аналогично
N q = N 1 + e 2(sin (p- sin<p0)jsin<p + ^-(sin 9 ~ s in 9 0)(l - 2 s in 2 ф|
П р ир ав ня в в ы р а ж е ни я (7) и ( 8 ) и у чи тыв ая (9) и (10), по­
лучаем следующие ф ор мул ы связи полярных сфероидических координат z, Д и географических (геодезических) ср и А:
(H)
где:
/j = s in фсо8ф0 - c o s ф sin ф0 cos(>, - A,0);
t2 = sin<psin<p0 (sin<p + sinq>o) + (мпф - sin<p0 )(3sin 2 ф - 1);
r3 = sin 2 ф - l/2 sin фо (sin ф - sin ф 0);
t4 = cos<psin(A. - A,0);
t5 = sin ф sinф 0 + созфсо 5 ф 0 cos(A, - Х0);
( 12)
т = sin ф - sinф0.
В большинстве случаев при выполнении вычислений дос­
т а т о ч н о у д е р ж а т ь в ф о р м у л а х ( 9 ) - ( 1 1 ) ч л е н ы до е 2
включительно.
В этом случае:
sin z cos а = tj + e2r{t] sin q> - cos <p0)+- • • »
sin^sinfl = r4( l + e 2rsin^)+... ;
c o s z = /5 +
sin cp - sin ^0) + *• •
При отображении поверхности ша ра получим:
sin z cos а = г,; sin г sin а = /4; cos z = t51.1.2.3. ПОЛЯРНАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ
Полярными геодезическими координатами точки С ( (р , А )
н а зы в ает ся длина геодезической линии s от полюса полярной
системы координат Q0 ( ^ 0>>^0) до данной точки и а зи му т а
линии Q0C в точке Q0 (рис 3). В этой системе семействами ко­
ординатных линий являются:
а * const — пучок геодезических линий из полюса ,
s =» const — ге од езические окр ужности, ортогональные
первому семейству, не яв л яю щ ие с я геодезическими линиями
и пред ста вля ющи е собой сложные кривые двойной кривизны.
1.1.2.4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
Любую ка р тог ра ф ир уе му ю поверхность можно определить
при помощи уравнений вида:
Ф (х,у,г)= 0 ;
где х, у, z , — прямоугольные пространственные координаты:
x = F l(u,v) ;
y = F2(u,v) ;
Z = Fi(u,v).
Рис. 3. Полярная геодезическая система координат
Рис. 4. Система эллиптических
координат
Независимые переменные и, v яв ля ю тся криволинейными
координатами, определяющими положение точки на к а р т о ­
гра фируемой поверхности.
В основу получения эллиптических координат положены
две системы софокусных сфери че ских эллипсов (Н.А.Урмаев,
1962 г., Л.А. Вахрамеева, 1986 г.).
Сфериче ски м эллипсом на зы в ае т ся геометрическое место
точек на поверхности шара, сумма расстояний которых от
двух неподвижных точек (фокусов) постоянна.
На рис. 4 фокус F я в л яе тс я общим для сферического э л ­
липса МС, который имеет второй фокус в точке F , и для
сферического эллипса M B , второй фокус которого находится
в точке Fv
П о л о ж е н и е п р о и з в о л ь н о й точки М о п р е д е л я е т с я у д а ­
лением ее от ближа йш их фокусов: FM= а и F М = Ь. Если Я —
долгота точки Л/, отнесенная к плоскости начального м ер и д и ­
ана РСАРХ п е р п е н д и к у л я р н о й плоскости ч е р т е ж а FPP r то
по фо рм ул а м сферической тригонометрии:
cos я = sin (рsin (ро- cos(pcos<pQsin Я ;
cos b = sin <ps\n <pQ+ cos^ cos^ 0sin Я .
где
q>Q- широта точки фокуса.
Примем дугу А С = и и дугу A B = v за эллиптические коор­
динаты. З н а я а и Ь} можно найти эллипти ческие координаты
и и v по формулам:
а+b
sin и sin (pQ= c o s —- — ;
а- b
sin v COS (pn = s in ------- .
2
Контрольная ф ормула : cos и cos v = cos cp cos Я .
При ве ден ны е ф о р м у л ы показывают, что эл лип тич еск ие
координаты з а ви ся т от положения на поверхности ш ара ф о ­
кусов с фер ич еск их эллипсов (F\F ,FXyFx ). По этому пр изнаку
э л л и п т и ч е с к и е коорд ин аты п о д р а з д е л я ю т с я на р а з л и ч н ы е
системы, в частных случаях определяют координаты Гюйу,
Пирса, Адамса.
Э л л и п т и ч е с к и е к о о р д и н а т ы Гюйу, в к о т о р ы х ш и р о т а
л
полюса <р0 =
, вычисляются по формулам:
4
cosa = — (sin 40 - cospsinA) ;
2
v 2 /.
v
cos b = — (sin <p + cos <pcos A) ;
sin и = V2 cos
;
a+b
2
ra- b
sinu = V2 s in ------- .
2
Если фокусы сферического эллипса расположить на э к ­
ваторе симметрично относительно среднего или начального
з _ л
меридиана АР и положить, что * о - —, то получают систему
4
эллиптических координат Пирса, вычисляемые по формулам:
cosa = cos<pcos^ + Х\;
cos b =
COS ф
cos
a +b
sin w = V2 cos-
nr
a- b
sint; = V2 cos-------.
В случае, когда фокусы сферического эллипса рас по лаг а­
ю т с я в п о л ю с е и на э к в а т о р е , п о л у ч а ю т у р а в н е н и я
поверхности шара в эллиптических координатах Адамса:
X = cos ^ cos А= cos wcost? ;
У = cos^sin А =
sinuy/l + cos 2v + si n W l + cos 2 и j ;
Z = sin(p - —(sinuyl 1+ cos 21; - sin W l + cos 2wJ .
1.1.2.5. ЭЛЕМЕНТЫ СФЕРОИДИЧЕСКОЙ ТРАПЕЦИИ,
ИЗОМЕТРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ
Рассмотрим на поверхности эллипсоида в р а щ е н и я в ы ­
пуклую тра пе цию A B C D , ограниченную дв ум я бесконечно
близкими меридианами и па ра лле ля ми с разностью широт d(p
и долгот dA соответственно (рис.5).
С точностью до бесконечно малых величин более высокого
порядка малости примем эту трапецию за плоский бесконечно
малый прямоугольник.
Элементами этой трапеции являются:
бесконечно малый отрезок меридиана dsx - АВ = Mdcp,
бесконечно малый отрезок па раллели -
(15)
ds2 = ВС = rdA,
линейный элемент эллипсоида -
(16)
(17)
аз имут линейного элемента , ( rdA \
а = arctg ------’ Mdcp’ ’
(18)
площадь бесконечно малой трапеции dS = dslds2 = MrdcpdA,
(19)
где г - Ncosq? - радиус кривизны пар алл ел и с широтой (р.
Учитывая (16), длина дуги паралле ли равна
( 20)
Из этих ф о р м у л видно, что при ра вен ств е д и ф ф е р е н ­
циалов d<p=dA бесконечно малые дуги d s ] и ds2 не равны, т.к.
г * М . Это обстоя тел ьст во в р я д е случа ев, особенно при
получении равноугольных проекций, не совсем удобно.
Ра ссмотрим систему координат, называемую из ом етричес­
кой, в которой при равенстве ди фф е р е н ц и ал о в аргументов
равны между собой соответствующие бесконечно малые дуги
меридианов и параллелей.
За п и ш ем ф о рм ул у кв адр ата линейного элемента (17) в
виде:
Введем обозначение:
dq
=
М
— d(p ,
г
(21)
тогда ф о р м у л а ( 20 )
принимает вид:
ds 2 = r 2[dq2 + d%]
Теперь, при р а вен ст­
ве д и ф ф е р е н ц и а л о в
dq = dA д л и н ы б е с ­
конечно
малых
отр ез ков м ери ди ан а
и параллели будут
равны.
Рис. 5. Элементы сфероидической трапе­
Зд е с ь q, Л - и з о ­
ции
метрические коорди­
наты. При этом Я —
одновременно изо метр ическ ая и геодезическая долгота. И з о ­
метрическую широту q можно найти, проинтегрировав в ы р а ­
же ни е ( 21) :
q, -= J j—
* d(p + C .
J г
Учтя зн ачения М и г; получим
J
а ( 1 - е 2)
\ 3/2
( l - e 2sin2 ср}'
(l —е 2 sin2 <е>)'Пd<p
+С=
acoscp
(1 - e 2)d<p
л
+С .
( l - e 2sin2 <p)cos<p
Умножим в числителе е 2 на тригонометрическую единицу
и составим два интеграла:
dcp
cos <р
[ е cos (р d<p
+С
" ( l - e 2 sin2 ^)
Введем обозначение:
sin у = е sin <р
cos if/dip = е cos (pdcp
( 22 )
d<P
f d¥
^
------ -- e --------+ C.
cos cp
cos у/
Учтя стоящие в этом вы ра же ни и табличные интегралы,
получим:
_
q — Inc/,
tg(45°+<p/2)
и —------------------ .
n'U
tg e (45°+v)//2)
(23)
где С - пос тоянная инт е гр ир ов а ни я, р а в н а я нулю при
условии, что на экваторе при (р = 0 изометрическая широта
<7=0.
В случае отображения поверхности шара форму ла изо­
метрической широты с учетом (22), (23) принимает вид:
Яш ~ 1п<& (45" + <рш /
(24)
При использовании полярных систем координат изо м етр и­
ческие широты будут равны:
А) В случае отображения поверхности эллипсоида:
Я = 1п
«
tg (v /2 )
; V = arccos {eco&z)
,
(25)
где z, a - полярные координаты, определяемые:
а) при расположении полюса в любой точке эллипсоида
по фо рму ла м (11)-(14),
б) при расположении полюса системы в географическом
полюсе - по формулам:
Z =
90" -
(р
;
а = -Л
.
Б) В случае отображения поверхности шара - из в ы р а ж е ­
ния:
q = \n tg (z lu/ 2 ) .
1.1.3. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ ТРЕХОСНОГО
ЭЛЛИПСОИДА
При картографировании поверхностей некоторых небесных
тел, например спутников Марса — Фобоса и Деймоса, воз ­
никает необходимость в качестве поверхности относимости
использовать поверхность трехосного эллипсоида.
В целях разработки картографических проекций для
отображения таких поверхностей используют, главным обр а­
зом, пространственную прямоугольную, пл а не т о ц е н т р и ч е с ­
кую, э л лип тич еск ую Л яме и геодезическую систему коор­
динат.
Уравнение трехосного эллипсоида в пространственной сис­
теме координат O X Y Z з а пи сы вае тся в виде:
X 2 Y2 Z 2
Т Г +Т Г + 2 - 1 ’
а
о
с
<26>
где а, by с, - полуоси трехосного эллипсоида.
Координатными линиями в планетоцентрической системе
я в л я е т с я п л а н е т о ц е н т р и ч е с к а я ш и р о т а Ф = const и п л а ­
нетоцентрическая долгота Я = const. При этом:
Ф - угол меж ду радиус-вектором из центра эллипсоида
на данную точку и плоскостью экватора,
Я - представляет собой двухгранный угол между плоскос­
тями, проходящими через ось эллипсоида, начальный и
тек ущ ий пункты.
Связь пространственных прямоугольных координат и п л а ­
нетоцентрических координат может быть представлена в виде
[ 1 ]:
Х = р(ф, A)cos<t>cosA ; К = р(Ф, A)cos<t>sinA;
Z = р (ct>,A)sin<t>;
где р ( Ф , А ) = [ ( а совФ cosA)2 + (/7cosO sinA)2+ ( y s i n O ) 2] ' ;
Эллиптические координаты и и V, пр ед лож енн ые Ляме,
в ы р а ж а ю тс я формулами:
и = b1+(а2- b 2)cos2и ,
v = Ь2- ( Ь 2- c 2)cos2v .
Связь этих координат с пространственными прямоу го ль­
ными с учетом (26) может быть записана в виде:
Введем обозначения:
X2 = (а 2 - Ь2)(а2 - с 2); X] = (Ь2 - с 2)(а2 - с 2); X2 + X] = 1.
Тогда
X = д/sinw ;
Y = bc osu cosv
Z = c ts i n v ,
где
Геодезическая система координат применительно к т р е х ­
осному эллипсоиду опре деляется неоднозначно.
В работах А. Кларка, Ф. Н. Красовского, Н.А. Бе спалова и
др. предложено н азывать широтой (р трехосного эллипсоида
дополнение до 90° угла между нормалью к поверхности и осью
вращения. Понятие меридиана опре дел яе тся двояко [1]:
- как кривая, в точках которой все нормали к трехосному
эллипсоиду пересекают плоскость экватора по некоторой,
для каждого меридиана постоянной кривой;
- как кривая, кас ательные к которой в любой точке на­
пра влены на север (или на юг).
Эти два определения не тождественны. Указанные авторы,
оставив за первым определением название меридиана, дали
название линии, ха ра кте ри зу ем ой вторым определением, л и ­
нией северного (южного) направления.
Ф орм улы связи пространственных координат X , Y , Z и гео­
дезических (р, Я представлены в виде:
X = a co s^ co sA / W ;
Y = a ( l - ^ j c o s ^ s i n A/ W ;
Z = a { \ - e 2) s m ( p / W ,
где
= y j l - e 2sin2(p - e 2acos2(p sin2Я ;
I l,
e z - (а ^- с * )\//a г ., e L= (i 0 L- 6vr \
)/fl
e,
- соответственно первые полярный и экваториальным
эксцентриситеты.
Согласно второй точке зр ен ия рассма три ваю т понятия об
условно-геодезической и геодезических широтах, геодезичес­
кой долготе, а т а к ж е о приведенной широте.
Геодезической долготой называют двухгранный угол между
плоскостями сечений, проходящих через ось эллипсоида, н а ­
чальный и текущий пункты (меридианами — линии сечения
этими плоскостями поверх­
ности т р е х о с н о г о э л л и п ­
соида).
Для вве ден ия понятий
о широтах, учитывают
следующее.
Пусть линия А К — нор­
маль к эллипсу PDPX в точ­
ке А (рис. 6 ). Для эллипсо­
ида вращ ен ия с полуосями
d и с эта нормаль была бы
одновременно нормалью к
его поверхности в точке А
и угол ср° п ре дст авл ял бы
собой геодезическую ш иро ­
ту данной точки. Однако,
для трехосного эллипсоида
линия А К не яв л я е т с я нор­
Рис. 6 . Система координат трехосного
эллипсоида
малью к его поверхности и
угол (ри не яв л я е т с я геоде­
зической широтой. Поэтому
назовем угол (р° меж ду нормалью А К к эллипсу РАР{ в точке
А и линией 0 D условно-геодезичесой широтой.
Угол (р пе ре сеч ени я нормали к поверхности трехосного
эллипсоида в точке А с плоскостью экватора ( z = 0 ) назовем
геодезической широтой.
Если провести в плоскости м еридиана PDP/ о кр уж нос ть
радиусом d = O D , то, по аналогии с эллипсоидом вращения,
угол “и ” м еж ду линиями ОА 9 и 0 D можно назват ь п ри ве д е н­
ной широтой данной точки трехосного эллипсоида.
Тогда поверхность трехосного эллипсоида в п а р а м е т р и ­
ческих ур авн ен ия х можно за д ат ь следующим образом:
X = </coswcosA;
У = dcosu sinA ;
^ 7)
Z = c sin a ,
где согласно рис. 6
d = b ( l - £ 2co s 2A )"l/2 i
2
,
42
к =l-(b/a) .
(28)
Обозначив
p 2 = l - ( c / d ) 2,
(29)
получают формулы связи условной геодезической и п р и ве ­
денной широт:
cos2w = cos 2< p ° /(l-/? 2sin 2<p°) ;
о d
(30)
Ч<Р = - t g n .
с
За пи са в уравне ни я нормали к поверхности трехосного э л ­
липсоида в данной точке и плоскости экватора Z — 0 , п о л у ча ­
ют по фор мул ам аналитической геометрии вы ра же ние для оп­
ределе ния геодезических широт:
sir\(p = dsin2и / <Jc2cos2w(l + z 2) + d 2sin2и
или
(31)
dk
к 2 sir\2X
Z = — f = ---------- 5-----5— ■
d
2(1 - £ cos k)
a2- b2
dx = - a b sin2A — - — [fl2sin2A + ft2cos2A ] 3/2
(33>
(34)
1.1.4. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ И
ВЫСОТ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ПРИ СОЗДАНИИ КАРТ
К элементам геодезической основы относят опорные п у н к­
ты, определённые в системе геодезических координат, п р и н я ­
той в данном государстве, и координатные сетки, связан ные
с этими опорными пунктами.
Геодезические системы координат включают:
- па ра м е тр ы ре фе ре нц -эл л ип со ид а (величина большой по­
луоси а или малой b, сж а ти е а или экс центриситет е );
- высоту геоида над референц- элл ипс оид ом в начальном
пункте;
- исходные геодезические даты (геодезические широта и
долгота начального пункта, азиму т на ориентирный пункт).
В работах по геодезии, топографии и кар тограф ии, в ы ­
пол няемы х в России, и с п ол ьзу етс я эллипсоид Красовского
( д = 6 3 7 8 2 4 5 м ; а = 1/298.3), н ачал ьн ы й пункт Пулково;
пре вышение геоида над рефер ен ц- элл ипс оид ом в начальном
пункте равно нулю.
Пр ин ят а Б а л т и й с к а я система высот. Счёт высот в этой
системе ведётся от нуля Кронштатского футштока. При со з­
дании карт на российские дальневосточные регионы иногда
применя ет ся система высот Охотского моря. В процессе в ы ­
полнения картосоставительских работ определяют геодезичес­
кую систему координат и систему высот, которые были п р и ­
няты при создании исходного картографического материала.
Это в ы я в л я е т с я по ф о р м у л я р а м листов ка рт или по л и т е р а ­
тур но- описательным источникам.
При отсутствии данных о системе геодезических коорди­
нат, которая была принята при создании исходного к а р т о г р а ­
фического м а т е ри ал а , её можно установить, если им еется
хотя бы три пункта в системе координат исходного материала.
При этом можно в о с п о л ь з о в а т ь с я г р а ф и ч е с к и м способом
преобразования геодезической системы координат исходного
картографического м атериала в геодезическую систему
к о о р д и н а т с о з д а в а е м о й ка рты . Дл я этого на п р о з р а ч н ы й
пластик в масштабе создаваемой карты наносят координатную
сетку, углы рамок трапеции и тригонометрические пункты в
принятой для создания карты системе геодезических
к о о р д и н а т , и з о б р а ж е н и е к о т о р ы х и м е е т с я на и с х о д н о м
ка рто графическом материале.
Этот пластик накладывают на исходный картографический
материал или на голубые копии с него, изготовленные на плас­
тике или на бумаге, наклеенной на жесткую основу. Совместив
идентичные пункты пластика и исходного мате ри ала , у с т а ­
навливают имеются ли смещения координатных сеток и углов
рамок трапец ии на пластике относительно их из об ра же ния
на ка рто графическом материале. Отсутствие так их смещений
свиде тел ьст ву ет о том, что исходный ка рт огр аф ич ес ки й м а ­
териа л и создаваемая карта имеют единую систему координат.
Если такие смещения имеются, то с пластика пе ре ка лы ва ю т
на исходный мат ер иал (голубые копии) углы рамок трапеции
и координатную сетку, что и обеспечивает ж ел аем ое преоб­
ра зов ание геодезических систем координат.
Более строго эта задача ре ш а ет ся ан алитически — путем
введения та к называе мых д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х поправок п е р ­
вого и в т о р о г о ро д а . Во м н о г и х к н и г а х по в ы с ш е й и
сфе рои ди чес кой геодезии даны ф о р м у л ы дл я о п р е дел ен ия
д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х п о п р а в о к п е р в о г о р о д а ( dB( ydL{ ),
учитывающих изменения начала координат и азимута в
н а ч а л ь н о м (исхо дном) п у н к т е , и вт орого рода (dB2 dL2 )f
учитывающих изменения сжа тия и большой полуоси исходного
и нового эллипсоидов.
1.1.5 ОТОБРАЖЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО-МАЛОЙ
СФЕРОИДИЧЕСКОЙ ТРАПЕЦИИ НА ПЛОСКОСТИ
Бесконечно м а л а я с ф е р о и д и ч е с к а я т р а п е ц и я A B C D эллипсоида (рис.5) отображается на плоскость бесконечно малой
косоугольной трапецией А В С D (рис.7), которую с точностью
до членов более высоких порядков малости можно приня ть за
бесконечно малый параллелограмм, а ее линейный элемент
d<j=A С — за бесконечно малый отрезок прямой.
Элементами этого и з об ра же ни я являются: бесконечно м а ­
лые отрезки изобра же ни я меридиана dcr]- А В и п а ра лле ли
d a 2 = A D ' , которые образуют с осью абсцисс X соответст­
венно углы у и у'\ линейный элемент d a , составляющий с
осью Л" угол у/ ; ази мут линейного элемента /?; углы / в точках
проекции между изобр ажен иями меридианов и па ра лле ле й
и площадь изо браж ения бесконечно малой сфероидической
трапеции dH.
1.1.5.1. ЛИ Н ЕЙ Н Ы Й ЭЛЕМЕНТ
Из рис. 7 имеем:
d a 2= d x 2+dy2
(35)
Полные д и ф ф е р е н ц и а л ы dx и dy можно п р е д ст а ви ть в
виде:
= jcgj dto
+хЛА
,
~
Я
dy=yv d(p +yxdX ,
где \ уххуУ<
р>Ул — обыкновенные или частные производные.
Подставив эти д и ф ф е р е н ц и а л ы в вы ра ж е ни е (35) и сгруп­
пировав члены при одинаковых д иф ф е р е н ц и а л а х , получим:
d a 2= ed(p2+ 2fd<pdA +gdtf,
где е, f g — к о эф фи ци ен ты Гаусса:
(36)
е = х (р2 + у* 2(р -» fJ = х х(р ,Я+ у J
у Я- »
(37)
По н а п р а в л е н и я м м е р и ­
дианов Х = const, dX = 0 и
п а р а л л е л е й <p=const, и
d(p= 0 , с л е д о в а т е л ь н о , с
учетом (36) :
rfcr = yfedcp ,
(38)
.
Рис.7 Элементы изображения бесконечно
малой сфероидической трапеции
Из рисунка 7 можно записать:
dy y vd(f> + y xdk
tg V
|f = — = — -------------dx
x^dy + x xdk
(39)
По направлению меридианов dA= 0, угол У = у и из (39)
получаем:
(40)
tg Y = —
х
— формул у сближения меридианов.
Соответственно по направлению па ра лле ле й dcp =- 0, у / —у
и
ftg у ' =—
ул
(41)
.
Из рисунка 7 та кж е видно что i = y ' - y . Отсюда
l + tgytgy
Подставив в это вы ра же ни е значения (40) и (41), найдём:
X у, - X V
tg/ =
(42)
X X, + у у,
Ч> А
* <Р*Я
Обозначим числитель А= x
- х^у
(43)=
и отметим, что он равен функциональному определителю:
А=
Уф Ух
=У х
Формула (42) принимает вид:
И
Определим значения cos г и sin /'. Для этого вначале составимм функцию
e g - f 2. Используя коэф фиц ие нты Гаусса (37),
функ
получим:
e g - f 2=h2
И ЛИ
h =4 e g ~ f 2 ■
(45)
При этом из двух знаков перед корнем берём знак плюс,
так как в математической кар тограф ии всегда используются
только положительное значение И.
Теперь, если записать
1
cos' / = -------—
1+ tg /
и подставить в это вы ра же ни е значения (44), (45), то в р е ­
зул ьт а т е найдем искомые функции:
/
cos i = —j = ;
(46)
4 eg
h
s in /= - т =
.
(47)
yl*g
В этих фо р му л а х угол / считается северо-восточным в том
же направлении, как идёт счёт азимутов. Его чет верть оп р е ­
де ля е тс я знаком при величине / .
Если / > 0, то / < 90° - угол л е ж и т в первой четверти.
Если / < 0, то / > 90° - угол л е ж и т во второй четверти.
При / =0 угол / = 90° - меридианы и п ар алл ел и и зо бр а­
жаются ортогональными линиями.
Таким образом, вы р а же н и е
fJ = x (Р х я+ уJ <PJу я= 0
(48)7
я в л я е т с я условием ор тог ональности к а р т о г р а ф и ч е с к о й
сетки на проекции.
Поскольку сетка часто изо бр аж ает ся неортогонально, то
нередко возникает вопрос о величине отклонения угла / от
прямого. Обозначим £ = /- 9 0 ° , тогда из ф ор му лы (44) :
tg£=-y .
И
(49)
З н а ч е н и е а зи м у т а р линейного элеме нта d a не трудно
определить, записав из рис. 7
Р = V-Y
и
.
п
.
,
I
te V '-tg )'
tgР = tg(iff-r) = ------------- .
1+ tg ^ tg y
Учитывая фор мул ы (39), (40) :
tg/3 =
^L- Ъ .
dx
хт
hdX
ed(p+ fdX
dx x<p
Отсюда найдём:
e dm
f
ctg /} = - - Z - + i - .
h dk
h
Но, из в ы р а ж е н и я (18) :
d<p
r
— = — ctga,
dk
M
следовательно, пр е д ы д у щ ая форму ла принимает вид:
ег
/
clgp = ~ — ctga + - .
hМ
h
(50)
Вы ражение (50) устанавливает связь азимутов Р и а л и не й­
ных элементов на плоскости и на поверхности эллипсоида
(шара) *.
1.1.5.4. ПЛОЩАДЬ ИЗОБРАЖЕНИЯ БЕСКОНЕЧНО МАЛОЙ
ТРАПЕЦИИ НА П РОЕКЦИИ
Для бесконечно малого па раллелограмма можно за писать :
d H - dc^da s'mi.
* В п. 1.1.7.2 также дана группа формул, выражающих связь азимутов ли­
нейных элементов
проекции
и
поверхностиэллипсоида (шара)
Исп ол ьзу я в ы р а ж е н и я (38), (47), получаем равенство
rfZ =hd(pdX.
(51)
Рас с мо т ре нн ы е в данном пункте 1.1.5. ф о р м у л ы имеют
большое значение д л я всех да льн ейш их исследований.
1.1.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КАРТОГРАФИЧЕСКОЙ
ПРОЕКЦИИ; УРАВНЕНИЯ МЕРИДИАНОВ И
ПАРАЛЛЕЛЕЙ; КАРТОГРАФИЧЕСКАЯ СЕТКА И
УСЛОВИЯ ЕЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ
Возьмём на поверхности эллипсоида (сферы) замкнутую,
од н о с вя зн у ю об лас ть
с гр а н и ц е й Г 1? у с т а н о в и м в ней
с и с т е м у к р и в о л и н е й н ы х к о о р д и н а т и, v , а на пл ос ко с ти
со отв етс тву ющ ую им область Д 2 с гра ницей Г2, в которой
установим систему прямоугольных координат х , у. П от ре бу­
ем, чтобы кажд ой точке А области
эллипсоида (сферы)
соотв етствовала одна и только одна точка А области Д2 на
плоскости, а при бесконечно малом перемещении на ds этой
точки А на эллипсоиде (сфере) точка А на плоскости т а к ж е
пер еме ща лас ь на бесконечно малую величину d a и наоборот.
Тогда можно установить взаимно-однозначное соответст­
вие точек обеих областей и выразить зависимости между коор­
динатами этих точек в виде:
х = / , (ы, v), у = / 2 («, v) ;
(52)
u = Ft ( x , y ),
(53)
v = F2(x,y).
Здесь и, v - в частности могут быть геодезическими (р, Л ;
изометрическими q, Я; планетоцентрическими Ф, Я и другими
криволинейными координатами. Не н а р у ш а я общности иссле ­
дований, в да льне йшем будем принимать их за геодезические
координаты сру Л .
f v / 2; Fj, F 2 - функции конечные, не прерывные вместе со
своими частными производными первого и второго порядков
(т. е. д ва ж д ы непрерывно ди фф ер ен ци руе м ые ), однозначные
.
,
<?( х, У)
и независимые (якобиан п = --------- во всех точках ка ртограф ид(ц>А
руемой области не должен равн ят ься нулю).
Уравнения (52), (53) вы р а ж а ю т собой в общем виде у р а в н е ­
ния картог ра фи чес ких проекций. Их свойства з а ви с ят от у к а ­
занных функций / г / 2; Fj, F2. Э ти функции могут иметь р а з ­
личный вид. Следовательно, и множество ка рт огр аф иче ски х
проекций будет обладать разнообразными свойствами.
Из сказанного вытекают два определения:
1. Картографической проекцией называется математически
в ыр аже нны й способ отображения поверхности Зем ли или
других небесных тел, принимаемых за эллипсоид, с фе р у
или иные регу л ярн ые поверхности, на плоскости.
2. Карто графи ческой проекцией на зыв ает ся способ у с т а ­
новления взаимно-однозначного соответствия точек ото­
бражае мо й поверхности и плоскости.
При этом ура внения (52) за даю т так называемое прямое
от об ра же ние данной поверхности на плоскость, в котором
прямоугольные координаты вы р а ж е н ы в функ ци и геод ези ­
ческих координат, а уравнен ия (53) - обратное отображение,
в котором геодезические
координаты представлены в
ф ункции оп ределяемы х прямоугольных координат.
В ы р а ж ен и я (53) вместе с тем пре дставляют собой у р а в н е ­
ния па ра лл е л е й и меридианов. Уравнения этих координатных
линий можно представить т а к ж е в других формах:
- исключив из (52) последовательно долготы и широты,
получим в неявном виде:
Ф|(.х\д>,ф) = 0 - уравнение параллелей,
Ф 2(л\.уА) = 0 - уравнение меридианов;
- используя в ы р а ж е ни я (52) будем иметь в п а р а м е т р и ч е с ­
кой форме:
x = f t (<p0AY, у = А(<р0Л ) ,
(55)
х = /t
у = / 2(<рЛ0),
- ур авнение пар алл ел и с широтой <р{) и уравнение
меридиана с долготой А0 соответственно.
И зоб ра же ние на ка рта х линий меридианов и па ра лл е л е й
в принятой картографической проекции называется ка рт огр а­
фической сеткой. Частота её линий устанавливается в за ви с и ­
мости от на значения карты. Вид кар тографической сетки з а ­
висит от уравнений данной проекции.
Если л: = / , ( ^ ) и у = / 2 (Л)- па ра лл е л и и меридианы изо б ра ­
жаются двумя системами взаимно-перпендикулярных прямых.
В случае, когда х = /,(#>) и у = / 2(<р,Л) - п а р алл ел и изобра-
жа ю т с я прямыми , п а р а л л е л ь н ы м и оси у , а м е р и д и а н ы —
кривыми.
Ес ли х = / ] (<р,Я)у у = / 2 (Я) - п а р а л л е л и и з о б р а ж а ю т с я
кривыми линиями, а меридианы - прямыми.
Если .V = / (<р,Я),)> =
- паралле ли и меридианы изо­
бражаю тся ра зличными кривыми.
Географический полюс на картах может изображаться точ­
кой, отрезками прямой или кривой линией.
Условиями соответствующего его изоб ра же ния являются:
а) при изображении полюса точкой:
ХР = / | ( ф ^ Д ) = c°™t, Ур = 0;
б) при изображении полюса отрезком прямой:
ХР = А(ч>рЛ ) = const, у р = / 2(фрА);
в) при изображении полюса отрезком кривой:
(56)
х р = / |( ф рЛ) , Ур = / г ( ф р А ) :
Меридианы и па ра лл е л и картографической сетки могут
и з о б р а ж а ть с я на к а рт а х линиями, симметричными относи­
тельно среднего прямолинейного меридиана , относительно
изобра же ни я линии экватора, относительно обеих этих линий
или асимметрично.
Условиями соответствующего их из об ра жен ия являются:
а) для проекций, симметричных относительно среднего
прямолинейного меридиана:
х(фД) = х(ц>-Х);
-
у (р, Я) = - у (<р, -Я) -
л =0
\ адЯ
я /'я=о
^о
0
абсциссы должны быть чёт­
ными функциями относитель­
но долготы;
ординаты должны быть не­
чётными функциями относи­
тельно долготы;
пр и
(57)
я о= 0 ;
- условие пересечения среднего меридиана па раллелями
под прямымыми углами;
б) дл я проекциий, симметричных относительно и з о б р а ж е ­
ния линий экватора:
х((р,Л) = -х(-^>,Я ) - абсциссы должны быть не­
чётными ф у н к ц и я м и отно­
сительно широты;
у((р,Л) = у(-<р,Л)-
*0= 0
ординаты дол жны быть
четными функциями относительно широты;
-
1дУ\
— 1 = 0п
' d<pl9.o
(58)
при <р= О ;
-
условие пересечения линии экватора
меридианами под прямыми углами ;
Для проекций, ка р то гра ф иче ски е сетки которых одновре­
менно симметричны и относительно среднего п ря м ол ин е й­
ного м е р и д и а н а и и з о б р а ж е н и я лини и э к в а т о р а , д о л ж н ы
в ы п о л н я т ь с я все ус л ов ия (57) и (58). В с л у ч а я х , если не
в ы п о л н я е т с я х о т я бы о дн о из п р и в е д е н н ы х у с л о в и й ,
картограф и чески е сетки рассм атриваем ы х проекций
аси мметричны относительно одной из соответствующих или
обеих у ка з а н н ы х линий.
К а р т о г р а ф и ч е с к а я сетка испо льз уе тся для опре дел ен ия
координат точек, нанесения точек на карты по их коо рд ина ­
там, оп ределения взаимного ра зм е щ е ни я территорий, р е ш е ­
ния картометрических и других задач по картам. Кроме ка рто ­
гра фических сеток на картах, главным образом, крупных мас­
штабов нередко дают координатные сетки, пр е дст авл яю щи е
собой систему взаимно пер пе нд ик ул яр ны х линий, провед ен­
ных ч е р е з з а д ан н ы е и н т е р в а л ы п а р а л л е л ь н о осям п р я м о ­
угольной системы координат данной проекции.
Кроме этих сеток на некоторых к а р т а х дают и другие
сетки (см. п. 1.5.З.).
1.1.7. МАСШТАБЫ
В теории ка рт огр аф иче ски х проекций ра ссм атр ив аю тся
понятия и ф ормулы линейных масштабов и масштабов
площадей. Линейные масштабы по д р аз дел яю тся на главный
(общий) и частные масштабы длин.
1.1.7.1
ГЛАВНЫЙ МАСШТАБ
Главный масштаб длин п ок аз ыв ает степень общего у м ен ь­
шения линейных размеров всего эллипсоида (сферы) или его
части до о т о б р а ж е н и я к а р т о г р а ф и р у е м о й пове рхн ос ти на
плоскости.
Этот масштаб подписывается на карте, но он со храняется
только в отдельных точках или на некоторых ли ния х карты.
Изменение главного масштаба не влияют на свойства исполь­
зуемой проекции и поэтому при выполнении исследований
его обычно принимают за единицу.
Главный масштаб яв л яе тся одним из самостоятельных эл е­
ментов математической основы карт. От его выбора за висит
полнота и подробность их содержания. Более подробно этот
вопрос рассмотрен ниже в п. 1.5.1.
1.1.7.2 ЧАСТНЫЕ МАСШТАБЫ ДЛИН
Частным масштабом длин отображения в данной точке
ло данному направлению на зы в ае т ся отношение бесконечно
малого отрезка на проекции к соответствующему бесконечно
малому отрез ку на поверхности эллипсоида (сферы):
da
ds
У читывая кв а д р а т ы линейных элементов (17), (36) :
2 edy2 + 2 fdydk + gdk2 _ edcp2 + 2 fdcpdl + gdk2
^ ~
ттт
m
~
7
2*2
‘
r dk
1+
m W
M 2dq>
Поделим почленно числитель на знаменатель, уч ит ы в а я
1
r 2d l2
2
2
(18) tg а = — г— - и ф о р м у л у sec а = 1+ tg а.
М d<p
Фо рм ула частного масштаба длин примет вид:
^
f
Я
fj2 = — - c o s 2а + ------sin2a + — sin2а .
(59)
Ф ор м у л а (59) п р е д с т а в л я е т з на че ни я ч астных масштабов
длин по любому направлению.
Из этого в ы р а ж е н и я с ледует, что час тные мас шт аб ы длин
з а в и с я т от п ол оже ния точек на проекции ( значений Л/, г и
к о э ф ф иц ие нт ов Гаусса е, f g) и от а з имут ов а.
По на пр ав ле ни ю мерид иа нов а —0. Из ф о р м у л ы (59), под­
с т а в л я я к о э ф ф и ц и е н т ы Гаусса (37), найдем:
т= /i
1 у
> |/>
= — = — (х +у ) / ,
М М *
9
(60)
- ф о р м у л у частных масштабов длин вдоль меридианов.
По направлению п а р а л л е л е й а = 90°. Из ф о р м у л ы (59)
аналогично получим:
т
,
- ф о р м у л у частных масштабов длин вдоль па ра ллелей.
Подставив в ы р а ж е н и я (60), (61) в (59) и у ч и т ы в а я / и з (37),
находим:
fj} = ая2cos 2or + /илcos/sin 2 а + л 2sin 2 а ,
(62)
- еще одну ф о рм ул у частных масштабов длин по любому
направлению.
Ф ор м ул ы (59) и (62) в ы р а ж е н ы как ф ун кци и от азимутов
на поверхности эллипсоида (сферы).
Для получения аналогичных формул, но в фу нкц ии а з и ­
мутов Р на проекции, в начале рассмотрим еще группу формул
связи азимут ов на эллипсоиде (сфере) а и на плоскости /? .
Выше была получена фо р му л а (50):
е г
/
ctg/? = ------- ctga + —
h М
h
И с по л ьз у я ранее полученные вы р а ж е н и я
е = т 2М 2 ; g = n 2r 2\ f = cosiJeg; h = s\nijeg , запишем:
т
(63)
ctg/J = —cosec / ctg a + ctg i .
Отсюда следует:
tg /J = -
n sin / tga
/w+Aicos/tga
и
tg a =
m sin/7
*
.
Д. ■
(64)
Св яз ь аз имутов можно опре делить та к ж е по формулам:
nsinisina
т
M
М
п
sin /3 = -------------- ; c o s / ? = — c o s a + — cos/sin a ;
М
* Урмаев Н.А. Математическая картография. М., 1941
40
c o s (/ ~P ) = ^77 c o s / c o s a +-^-sina ;
H'
H’
sin ( / - / ? ) = —■sin /c o sa .
Теперь получим группу фо рмул частных масштабов длин
в функции азимутов
на проекции.
Из в ы р а ж е н и я (63) запишем:
•ч п . .
c tga = (ctg Р - ctg /) — sin /.
т
Отсюда получаем:
2
coseca
sin (/ —Р) /I
,
= ------ —— —г- + 1;
sin р т
2
т2sin2р
sin а = ---- ;------------;----- :-----—
sin ( i - f 5 ) n +т sin р •
2
cos а =
sin2 ( i ~P ) п2
sin2(i-/3 ) n 2 + m 2sin2/? ’
ran sin /7 sin(i - /?)
sin2(i - P)n2 + m 2 sin 2 /?
Подставив в фо р му л у (62) полученные зн аче ни я тригометрических функций, получим:
sin a cos а -
m 2n 2^sin2(t - /7) + 2 cos г sin /7sin(i - /7) + sin 2
2
^
77i 2 sin 2 /? + n 2 sin2(г - /3)
После преобразования чи слителя будем иметь
2_
^
т2п 2 sin2 /
т2 sin2 р + п2 sin2(/ - Р ) '
Отсюда можно т а к ж е записать
1
, г 1
— = cosec2/ Г— sin2/? + — sin2(/ —>3)1 .
fi
vп
т
J
Наконец^ р а с с м а т р и в а я т р е у г о л ь н и к A B C ( р и с . 7) и
полагая А С = ju (см. п. 1 .2 . 1.), получим по теореме синусов:
Подставив эти значе ния в ф ор м у л у (108), получим еще
одну ф ор му л у частных масштабов длин:
1 _ sin2( i ~ p )
ju2
/я2sin2/
sin2/?
/I2sin2
(67)
Полученные формулы, как отмечалось выше, показывают
что з н а ч е н и я ч а с т н ы х м а с ш т а б о в д л и н з а в и с я т к а к от
координат точек проекции, так и от азимутов на пра влений а
или /3 линейных элементов.
Н а й д е м з н а ч е н и я а з и м у т о в , по к о т о р ы м ч а с т н ы е
масштабы экстремальны.
1.1.7.3. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ЧАСТНЫХ МАСШТАБОВ
ДЛИН, ГЛАВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ.
П р о д и ф ф е р е н ц и р у е м ф о р м у л у (62) по а и полученную
производную (при обозначении а = а ()) прира вня ем нулю.
Тогда
Imncosi
( 68 )
Поскольку период тангенса равен /г, это ура внение дает
два корня a Q и а ()+ 9 0 \ т.е. д а ет зн а ч е н и я а з и м у т о в дв ух
н а п р а в л е н и й , по к о т о р ы м ч а с т н ы е м а с ш т а б ы д л и н
экстремальны. Эти на пра вления ортогональны и назыв ают ся
главными. При этом экс тремальные масштабы обозначаются
буквами “д” - наибольший, “ 6 ” - наименьший масштабы.
Т е п е р ь н а й д е м под к а к и м угл ом п е р е с е к а ю т с я н а п ­
ра вле ния на проекции, соответствующие главным н а п р а в л е ­
ниям на эллипсоиде.
Используя ф орм ул у (63), напишем ф орм ул ы азимутов на
проекции Ро и Ро , соответствующие аз имутам на эллипсоиде
m
n
л,
т
ctg р = —
cosec/ tga + ctg/ .
n
Перемножив эти уравнения, учи тыв ая что
ctg a - tg a = 2 c t g 2 a = —----- — ,
пт cos /
(70)
получаем:
ctg/Lctg/j' = - Д - cosec2/ + т ~ п cosec2/ + ctg2/ =
0
0
п
п
= - c o s e c 2/ + ctg2/ = - 1 ,
т.е. на пр авления /?0и
= /?0 + 90° на проекции т а к ж е орто­
гональны.
Найдем эти экстремальные значения азимутов.
Составим сумму уравнений (69):
Ctg/J0+ ctgj30' = ^ co se c/(ctga 0- t g a 0) + 2ctg/.
Учитыва я (70), получим:
2 (т2 + п2cos 2i )
ctg PQ+ ctg/JQ= ■
Так как ctg>30 = - tgP0 и ctg>30 -tg>30 = 2ctg2 /?0 , t o
n 2sin 2/
/w +/i i----cos2f •
182 Л> = ~
(71)
Формула (71) дает значения азимутовД, и Д+90* на проеккции, вдоль которых частные масштабы длин экстремальны.
Вычислив по полученным фо рмулам значения азимутов
а {] и а ( + 90° ; и /?(|, /?()+90°, легко из (59), (62) и (71) найти
экстремальные частные масштабы длин.
Однако, в этих це л я х удобнее в о с п о л ь з о в а т ь с я д в у м я
теоремами Аполлония о сопряженных полудиаметрах
эллипса:
- сумма квадратов сопряженных полудиаметров эллипса есть
в е л и ч и н а п о с т о я н н а я , р а в н а я с у м м е к в а д р а т о в его
полуосей, т.е.
-
т2 +п 2 - а 2 +Ь2\
площадь параллелограмма, построенного на со пр яженных
по лудиаметрах эллипса, — величина постоянная, равная
площади прямоугольника, построенного на его полуосях,
т.е.
mnsini = a b .
Р е ш а я эти два ур авнения совместно, получаем:
а 2 + 2ab + Ь2 = т2 + п2 + 2/n/icose;
а 2 - 2ab + Ь2 = т2 + п2 - 2/n/icose,
и
А" = а + b = 4т 2 + п2 + 2/nwcose;
В" - а - b = 4т 2 + г г - 2mnoost.
Отсюда экстрем аль ны е частные масштабы длин равны:
.« _/f
_»
А +В
А -В
а =----------; Ь=--------------------------------------------------------.(73)
2
2
Из ф о р м у л ы (72) сл еду ет, что если к а р т о г р а ф и ч е с к а я
с е т к а о р т о г о н а л ь н а , то э к с т р е м а л ь н ы е
масш табы длин
совпадают с частными масштабами длин вдоль меридианов и
па ра ллелей.
Ис по ль зу я вы р аж ен и е (73), ф о рм ул у частных масштабов
длин по любому направлению можно представить еще в виде:
f i 2 = a 2cos2( a - a Q) + b 2sin2( a - a Q) .
(74)
Анало ги чн о можно по лу чит ь общие ф о р м у л ы ча с т н ы х
масштабов длин вдоль вертикалов //, и а л ьм у к ан т ар а т о в //,
для случаев использования косых и поперечных сфероидических (с ф е р и ч е с к и х ) систем
координат, вы раж енны х,
например, формул ами (11), (12), (13) и (14). Запишем с точностью
до членов с <?4 к в а д р а т линейного эл еме нта э лли пс ои да в
виде
Л 2=
где
+ sin2zrffl21 ,
Р = /Vo{ ] - — | si nj cosf l cos^0+sinv>0( c
(75)
o
s
^
-
(76)
Ф ор м у лы частных масштабов длин вдоль в е р т и ка ло в и
а л ьм ук ан тар ат ов соответственно принимают вид:
- при отображении поверхности эллипсоида:
- при отображении поверхности шара:
R
'
(78)
1.1.7.4. ЧАСТНЫЕ МАСШТАБЫ ПЛОЩАДЕЙ
Частным масштабом площадей в данной точке на зы в ае т ся
отношение бесконечно малой тр а п е ц и и на проекции к со­
ответствующей бесконечно малой трапеции на поверхности
эллипсоида (сферы):
dZ
Р= —
(79)
У чит ыв ая вы р а ж е н и я (19) и (51), будем иметь:
П р и н и м а я во в н и м а н и е з н а ч е н и я h из ( 4 3 ) , ч а с т н ы х
масштабов т, п из (60) и (61), получим:
(81)
р = /wisin/' = mncose - ab .
(82)
Если вместо широты <р ввести новую переменную 5 по
уравнению dS = Mrd<p, то вы ра же ние (81) принимает вид:
При использовании косой (поперечной) системы координат
с учетом ( 11 ) - (14) :
/;= //(//2cos6\
(84)
где
.VZ х a + JуZ уJ а
£ =-
х Z уJ a - у ZX а
1 . 1 . 8. У С Л О В И Я Р А В Н О У Г О Л Ь Н О Г О ,
РАВНОВЕЛИКОГО И
РАВНОПРОМ ЕЖ УТОЧНОГО ОТОБРАЖ ЕНИЯ
П О В Е Р Х Н О С Т И Э Л Л И П С О И Д А ( С Ф Е Р Ы ) НА
ПЛОСКОСТИ
Карто гра фи чес кие проекции могут быть равноугольными,
равновеликими и произвольными (в частных сл у ча я х р авн о­
промежуточными) по х а р а к т е р у искажений. При получении
этих проекций необходимо добиться, чтобы их у р а в н е н и я
удовлетв ор яли соответствующим условиям отображения.
1.1.8.1. УСЛОВИЯ РАВНОУГОЛЬНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
Равноугольными проекциями называют такие, в которых
о тсу тству ю т и скаж ен и я углов и ази м у то в л и н ей н ы х
элементов, т.е. в которых выполняется тождество:
Р = а
.
(85)
Из вы р а ж е н и я (50) следует, что это условие выполняется
только в случае, когда
( 86)
Отсюда с учетом (47) будем иметь:
В ы р а ж ен и я (86 ) и (87) можно рассматри ват ь как две пары
условий равноугольности, из которых вытекает, что в ра вн о­
угольных проекциях частные масштабы длин не з а ви с я т от
направлений (сохраняется подобие бесконечно малых фигур)
и что в них ка р то гр аф и че ск ая сетка ортогональна. Пр инимая
во в н и м а н и е в ы р а ж е н и я (60), (61) и (37) п о л у ч а ю т е щ е
следующие пары условий равноугольности:
т = п ; £=0;
(88 )
—
= - t ( * j 2 +уЯ] ); ^ Ях 7’*,+<рУЯ
д ^ т(*2
2 у <р +j;2)
7 q>’
г
_
У(р'
*я = -
=0 .
* ipJ Я
г
Х(р ^при отобРажен ии
эллипсоида);
cos<j£>; у А= +х^со$(р (при отображении
поверхности шара).
Учитывая ф ор му лу
(89)47
(90)
(91)
М j
dc>
ал д - —
а<р (21), и что У ^ - У ----,
^
dcp
dq
х =х — , дополнительно получим:
9
q dtp
*я = - \ ;
Уа = х я -
(92)
К аж ду ю из последних трех групп форму л на зывают еще
у с л о в и я м и Коши - Р и м а н а (в них с о х р а н е н а к о м б и н а ц и я
знаков, при которой й > 0 ).
1.1.8.2. УСЛОВИЕ РАВНОВЕЛИКОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
При получении к а р т о гр а ф и ч е с к и х проекций р а с ­
с м а т р и в а ю т от о б р а ж е н и е од носвязной з а м к н у т о й области
эллипсоида (сферы) А 1с контуром Т 1 на область Д2 плоскости,
ограниченной контуром Г2.
Площади этих областей или их частей с учётом (19) и (51)
определяются фор мул ами :
S = l\\ frd (p dX ,
(93)
Y.= \\hd(pdX,
I
(94)
где двойные интегра лы соответственно ра с п р о ст р а н ен ы по
пл ощадям S и I.
Равнов ели ким и проекциями наз ыв ают ся такие, в которых
п л о щ а д и S и I у к а з а н н ы х о б л а с т е й на п о в е р х н о с т и
э л л и п с о и д а ( сф ер ы) и на пл оскости т о ж д е с т в е н н о ра вны
(пропорциональны), т. е.
L =S .
(95)
Тогда с учётом
принимает вид :
h = M r.
(93), (94) у с л о в и е
равновеликости
(96)
У ч и т ы в а я в ы р а ж е н и я (43), (61), (62), э т о
в ы р а ж а ю т т а к ж е следующими формулами:
У
г хЛ
условие
= Мг
(97)
- при отображении эллипсоида;
ХрУх-х хУр =я2со$2(Р
- при отображении поверхности шара.
тп sin/'= mnc os e = \ ,
(98)
(99)
p = ab= 1.
(100)
Для проекции шара в косой ориентировке будем иметь:
= * 2s i i u ,
р= //(fJ^ COS£ = 1.
(101)
( 102)
1.1.8.3. УСЛОВИЯ РАВНОПРОМЕЖУТОЧНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
Ра вно промеж уточными наз ыв ают ся проекции, с о х р а н я ю ­
щие дл ины по одному из главных на пра влений. Наиболее
часто к ним относят проекции с ортогональной к а р т о г р а ф и ­
ческой сеткой. В этих слу чая х главными будут на пр авл ен ия
вдоль меридианов и параллелей. Соответственно оп р е д ел яю т­
ся р а в н о п р о м е ж у т о ч н ы е п р о е к ц и и вдоль одного из этих
направлений.
Равнопромежуточные проекции вдоль меридианов
(вертикалов)
В этих проекциях должны выполнятся тождества:
т = 1 или //, = 1 .
(ЮЗ)
Отсюда с учётом (60), (77), (78) искомые условия принимают
вид:
x 2v + y 2v = M 2 и х ] + у 2 = Р 2,
(104)
где М и Р оп ределяются по ( 1) и (76).
Равнопромежуточные проекции вдоль параллелей
(альмукантаратов)
В этих про ек ци ях соответственно д о л ж н ы вы п о л н я ть с я
тождества:
п = 1 или
JU2= 1 .
(105)
Отсюда с учётом (61), (77), (78) р а с см атр ив аем ые условия
равнопромежуточности принимают вид:
х л2+ ул2 = г 2 и х а2+ у а2 = P 2si nz ,
(106)
где г, Р - соответственно опре деляются из (20 ) и (76).
Аналогично при отображении поверхности шара имеем:
x l
+ у у = R 2 c o s 2 ф;
х]
+ у]
-
R 2 s i n 2 z-
1. 2. Т Е О Р И Я И С К А Ж Е Н И Й
Важнейш им фактором выбора и использования к а р т о г р а ­
фических проекций являю тся величины и характер
и с к а ж е н и й и с п о л ьз у е м ы х проекций. Их а н а л и з п о зв ол яе т
оценить достоинства ра ссм атр ив аем ых проекций и использо­
вать полученные данные для решения ряда практи че ск их и
научных задач.
Обычно отмечается, что на ка рта х имеют место два вида
искажений:
— и ск аж ен ия длин во всех проекциях; углов и площадей
-во всех проекциях, кроме соответственно равноуг ол ь­
ных и р а в н о в е л и к и х п р о е к ц и й , в о з н и к а ю щ и е и з - з а
измене ни й ча с т н ы х мас штабов в т о ч ка х про ек ци й и
дающие х а р а к те р и с ти к у отображений в этих точках;
— ис ка же н и я в длинах конечных прямолинейных отрезков
и у гл ах м еж ду ними, а т а к ж е в а з и м у т а х этих
направлений, возникающие при выполнении измерений
на ка рт ах из- за кривизны изобра же ния геодезических
линий.
Вместе с тем, в ряде случаев достоинства ка р т о г р а ф и ч е с ­
к и х п р о е к ц и й о п р е д е л я ю т с я не т о л ь к о и не с т о л ь к о
величинами и характером ук аз ан ных искажений, а другими
свойс твами проекций, напр име р, видом ка р т о гр а ф и ч е с к о й
сетки (кр иви зн ой м ер ид иа нов и п а р а л л е л е й ), х а р а к т е р о м
и з о б р а ж е н и я лини й по л о ж е н и я , их кр ив из но й, н а л и ч и е м
э ф ф е к т а сферичности и т. п. Отсюда возникает необходимость
р а с с м а т р и в а т ь и с к а ж е н и я в более широком плане — как
величины отклонений показателей, харак тер и зу ю щ и х
р е а л ь н ы е с в о й с т в а п р о е к ц и й , от ж е л а е м ы х ( и д е а л ь н о
возможных) их значений, например, величин, пок азывающих
отклонение и з о б р а ж е н и я ортодромий или ло ксодромии на
проекции от прямых и т.п.. Учёт таких величин отклонений
д а ё т в о з м о ж н о с т ь р а з р а б а т ы в а т ь об о б щ ен н ы е к р и т е р и и
оценки достоинств ка рто гра фи чес ких проекций и использо­
в а т ь эти к р и т е р и и д л я вы б ор а и и з ы с к а н и я п р о е к ц и й ,
оптимально уд о вл етв оря ющ их всем п р е д ъ я в л я е м ы м к ним
т р е б о в а н и я м , в ч аст н ос ти и м ею щ и х ж е л а е м у ю к р и в и з н у
изображений геодезических линий, локсодромии, м е р и д и а ­
нов и па ра лл ел ей и т. п.
Частично эти вопросы рассмотрены ниже в р а зд ел е 4.
О т м е т и м , ч то б о л ь ш о й в к л а д в р а з в и т и е т е о р и и
ис кажений внесли JI. Эйлер, М. Тиссо, Эйри, Иордан. Позднее
эти вопросы нашли отр аже ние в тру д а х В. В. Каврайского,
H. А. Урмаева, Г. А. Мещерякова, Г. И. Конусовой и других.
I .2 . 1 . Э Л Л И П С И С К А Ж Е Н И Й .
Н А И БО Л ЬШ И Е И СКАЖ ЕНИ Я УГЛОВ
Пусть на эллипсоиде взя т а бесконечно ма л а я тр а п е ц и я
A B C D , к о т о р у ю с д о с т а т о ч н о й т оч но с ть ю п р и н и м а е м за
п л о с к и й б е с к о н е ч н о м а л ы й п р я м о у г о л ь н и к ( р и с . 8 ).
И зоб ра же ние этой трапеции A B C D на плоскости с той же
точнос тью прим ем за бесконечно м алы й п а р а л л е л о г р а м м
(р и с. 9). У с т а н о в и м в к а ж д о й т о ч к е на п о в е р х н о с т и
эллипсоида, например, в точке А системы координат £А т] и
%Ari
и в соответствующих точках плоскости - системы х А у
Рис. 8. Бесконечно малые окружность
и трапеция на эллипсоиде
и х'А'у' , в
п а р а лл е л е й
точки А на
радиусом R
Рис. 9. Схема построения
эллипса искажений
к о т о р ы х оси н а п р а в л е н ы вдо ль м е р и д и а н о в ,
и по главным направлениям. Проведем вокруг
поверхности эллипсоида (сферы) окружность с
= АС :
(107)
4 2 + n 2= R 2-
Учитывая значения частных масштабов длин вдоль м ер и ­
дианов:
х_
S ’
т= м .
АВ
и параллелей:
п=
АР
AD
У_
Л
вы р а же н и е (107) на плоскости принимает вид:
2п2
771 К
п 2К 2
= 1.
( 108 )
Отсюда следует, что в общем случае бесконечно малая
о к р у ж н о с т ь (107) на п о в е р х н о с т и э л л и п с о и д а ( с ф е р ы )
из об ражается на плоскости бесконечно малым эллипсом (108).
Из ф ор мул ы (108) т а к ж е следует, что в частных случаях, а
именно в равноугольных (конформных) и полуконформных
п роекциях, в которых частные масш табы длин вдоль
меридианов и паралл ел ей равны (т = п), бесконечно малая
окружность на поверхности эллипсоида (сферы) изображается
на плоскости подобной бесконечно малой окружностью.
Отметим, что для геометрической интерпретации и с к а ж е ­
ний удобнее использовать не бесконечно малые, а конечные
величины. Исходя из этого, эллипсом искажений или инд ика­
трисой (у ка за т е л ь н и ц е й ) Тиссо н а з в а л и эллипс конечных
размеров (например, при радиусе окружности (107) R = 1 ),
соответствующий бесконечно малому эллипсу (108).
Для его пос троения до статочно вы чи сл ит ь в заданн ой
точке зн а ч е н и я частных масштабов длин т , п или а, b и
углов / (или £) и /?, а з а т е м о т л о ж и т ь по н а п р а в л е н и я м
м е р и д и а н о в , п а р а л л е л е й и г л а в н ы м н а п р а в л е н и я м на
про ек ци и о т р е з к и п р о п о р ц и о н а л ь н ы е з н а ч е н и я м час т н ых
масштабов.
Т е п е р ь из рис. 8 и 9 з а п и ш е м з н а ч е н и я у г л о в на
эллипсоиде (сфере) и проекции от главных направлений:
/'-Л
и = arctg
у
v=arctg(—)•
х
а т а к ж е и с ка же ни я углов на проекции: \ ~ u - v .
(109)
Использу я значения экстре мальн ых частных масштабов
длин а = — ; b = jjy , нетрудно определить ф орм ул у связи этих
углов:
z; = arctg(-tg и).
( 110)
Это позволяет представить азимут ы линейных элементов
в виде:
a = u +a Q и Р = v + .
( 111)
Составим отношение:
sin(u - v) _ sin и cos v sin(u + v) sin и cos v +
cos и sin v _
cos и sin v
tg u - tg v
tgu + tg v '
Подставим в это соотношение значение v из в ы р а ж е н ия
(НО):
sin(w-i;) = sin (u + v )
1 -4
7- .
'4
Обозначим по В. В. Витковскому наибольшие ис ка ж е ни я
со
углов - = uQ- v Q и учитывая, что наибольшие их величины
будут при uQ+vQ= 90°, получаем:
со
а -b
s in T2 = а—
+ ЬI ;
со 2>[аЬ
C0ST2 = д—+ 6Г ;
со
а -Ь
2
2у/д£
<112>
Исходя из сделанных обозначений, можно записать з н а ­
чения углов, при которых достигаются у к аз ан ны е наиболь­
шие их искажения:
« 0 = 45 °+ ^-;
v 0 = 45°-^-.
Учитывая фо рму лу (110), получаем:
/)|Гп о . Ь , АГп соч
tg(45°——) = —tg(45°+ —),
4
а
4
но
tg( 4 5° -y ) = ctg(45°+-^-).
4
4
Поэтому
,лг~ о).
Ь
со.
ctg(45°+ —) = —tg(45°+ —)
4
а
4
или
tg wo = tg(45°+—) = у —.
Аналогично
соч
b
tg^o = tg(45°-—) = д/--
С учетом (111) имеем:
а 0+
V
И
Р с о = max = Л )
(ИЗ)
+ ”о
1 .2 .2 . И С К А Ж Е Н И Я А З И М У Т О В
И з ф о р м у л с в я з и а з и м у т о в р на п р о е к ц и и и а на
поверхности эллипсоида (63), (64) и им аналогичных следует,
что разность
Аа - р - а
(114)
пр е д ст а вл яе т собой ис каж ен ия азимутов ( Н. А.Урмаев, 1962 ).
Величина этой разности меняется в зависимости от на п р а в л е ­
ния. За пи ше м ф орм ул у связи азимутов в виде (см. п. 1.7.2.):
_
n sin i t g a
----т + п cos г tg a
1ё Р = -----------------
.
v
(115)
}
Из этого в ы р а ж е н и я следует, что азимут ы не ис ка жа ют ся
при а = р = 0. В случае, когда р = а , получим:
n sin г tg а
tg а = ------------- 5------ .
т + n cos г tg а
Отсюда на пр авления не искаженных азимутов равны:
n sin г - т
71 cos г
т - п cos е
тг sin £
t g « = ------------- — = ---------:---------
.
(116)
Теперь перейдем к нахождению наибольшего искаж ен ия
азимутов. В данной точке величина Аа зависит только от нап­
равления. Поэтому про д иф ф е ре нц ир уе м (114) по Р и п р о и з­
водную при равняем нулю. Получим:
dAa _ ,
d/i =
da
da
d / T ° ’ ° т к УДа — = 1 -
Произв одная по P от в ы р а ж е н и я (64) равна:
da
mnsini
dp
/72sin2(/ —P) + m 2 s m 2P
Поделив (65) на это выра же ни е, найдем:
Та ки м образом, в р а вн о в е л и к и х про ек ци ях , в которых
р = 1 , вдоль н ап р авл ен и й с наиболее искаж ен н ы м и
а зи мут ами длины сохраняются (/и = 1 ).
Для о п р е д е л е н и я н а п р а в л е н и й на иб ол ь ши х и с к а ж е н и й
азимутов в любой проекции подставим (117) в (62). Получим :
р = m 2cos2a + 2 т л cos /si nac os a + /j2sin2a .
и
далее
р(\ + tg 2 а) = т 2 + I m n c o s i t g a + п 2 tg 2 а.
Отсюда фо рм ул а на пра влений с наиболее ис каженными
а зи мут ами принимает вид:
( я 2- р ) tg2a + 2 /яя cos/ tgа + ( т 2- р ) = 0 .
(118)
Между искажениями азимутов и углов существует за ви си ­
м о с т ь , к о т о р у ю с у ч е т о м (109), (111) и (114) м о ж н о
пре дставить в виде;
/}- а = (Р0- а 0) - (u - v )
ИЛИ
А а = ( Р 0- а д) - А и .
Следовательно, в неравноугольных проекциях д а ж е при
отсутствии искажений углов Аи имеют место ис ка же ни я а з и ­
мутов Аог = (/?о_ а о) и > наоборот, при отс утствии ис кажений
а з и м у т о в и м е ю т с я и с к а ж е н и я у г л о в , р а в н ы е то й ж е
величине:
Аи = р 0- а 0.
1.2.3. И С К А Ж Е Н И Я Д Л И Н НА П Р О Е К Ц И И
Р а зл ич а ю т относительные ис каж ен ия длин в данной точке
п р о е к ц и и по д а н н о м у н а п р а в л е н и ю , о т н о с и т е л ь н ы е
и с к а ж е н и я длин в данной точке по всем н а п р а в л е н и я м и
с р е д н е к в а д р а т и ч е с к и е ( с р е д н е а р и ф м е т и ч е с к и е ) в е л ич ин ы
искажений в пред елах всей изображаемой области.
За меры относительных искажений длин в данной точке
по данному направлению принимают следующие величины:
Все эти величины ра зличаютс я между собой лишь малыми
второго или более высоких порядков малости относительно
самих их величин.
За общую меру относительных искажений длин в данной
точке по всем на правлениям принимают формулы, предло­
женные ра зл ичн ым и учеными и на зы вае м ые критер иям и по
их именам:
= ^[(й - О2 + (4 - О2];
(ab-lf
Ез_*= 2 [ ' и 2*7 +1п2^]
(120)— критерии Эйри;
(121) — критерии ЭйриКаврайского;
1 ~П
и ~ 2л
(122)— критерий Иордана;
о
2п
Zи к ~
271
(123)— критери й Иорданао
Каврайского;
гк ~
(124)— критерий Клингача;
Р(о +
в котором с помощью весовых коэ ффицие нтов р и. и р р у с т а ­
н а в л и в а е т с я ж е л а ем о е соотнош ение и с ка ж е н и й углов
площадей;
а = arctg
(125)— критерий Конусовой,
при помощи которого о це ни ва етс я или з а д а е т с я х а р а к т е р
искажений проекций:
а =0
— для равноугольных проекций,
для равновеликих проекций,
для проекций произвольных
по характеру искажений.
Кроме указанных, для оценки достоинств ка р т о г р а ф и ч е с ­
ких проекций были та кж е предложены и использовались д р у ­
гие критерии (Вебера, Эйзенлора, Фролова и др.).
Заметим, что для проекций с ортогональной к а р т о г р а ф и ­
ческой сеткой во всех у ка за нн ых кри т ер ия х экстр ем аль ны е
частные масштабы «д» и« 6 » принимают значения частных мас­
штабов длин т и п .
Величины искажений длин в пределах всей изо бражаемой
области оцениваются при помощи кри териев минимаксного
или вар иа ционного типов. К р и т е р и е м минимаксного типа
я вл я е т с я критерий П. JI. Чебышева, согласно которому для
и с с л е д у е м о й п р о е к ц и и о п р е д е л я е т с я (в п р е д е л а х всей
и з о б р а ж а е м о й области) отношение на ибольш его з н а ч е н и я
частного масштаба длин 4ц max к наименьш ему* значению гц тт. .
При использовании критер ие в вариационного типа о пр е д е л я ­
ется для рассматриваемой проекции (в пределах всей изоб ра ­
жаемой территории) значения одного из функционалов Е 2 :
(126)
где 82 вы числяется по одному из кри териев (120)-(125) и ил
аналогичным. С достаточной для практики и выполнения ис
следований точностью зна чен ие этого ф ун кц ио на ла можн<
н а й т и с л е д у ю щ и м об ра зо м. К а р т о г р а ф и р у е м у ю облает]
р а зд ел яю т н а ”fc” малых участков , в каждой средней точю
которых вычисляют значения е 2 по одной из ф орм ул (120)
(125), а затем определяют
(127)
или
1/2
Е = [ * § • . ']
•
1 .2 .4 . И С К А Ж Е Н И Я П Л О Щ А Д Е Й НА П Р О Е К Ц И И
От но сительные и с к а ж е н и я пл ощадей оп р е д ел яю тс я из
выражения:
v р= p - l = a b - \ = mncosE - 1 .
(128)
Для проекций с ортогональной кар тог ра фи чес кой сеткой
можно за писать:
v p= m n - \ .
(129)
Следовательно, для равноугольных проекций:
v =т 2 - 1 .
1 .2 .5 . С О О Т Н О Ш Е Н И Я И С К А Ж Е Н И Й У Г Л О В И
П Л О Щ А Д Е Й НА П Р О Е К Ц И И
Перепи шем ф орм ул ы наибольших искаже ний углов (112) и
ис кажений площадей (128) в виде :
со а - Ъ
vy - v0
sin — = --------- ------ z
2
a+b 2+
+ v 2)
v p = a b - 1 = (l + UjXl + i ^ ) - 1,
где v {= a - 1 ; v 2= b - l - ис ка же ни я длин по главным н а п р а в ­
лениям.
Из этих ф орм ул получают приб лиженные з а в и с и м о с т и :
Q) ss v
—
1
v •
2’
^2-
(130)
Для равноугольных проекций со-0, о = Ь , ^ , = ^ 2 и из (130)
находят v р- 2 v , т.е. ис ка же ни я площадей в этих проекциях
как бы удваиваются.
В равновеликих проекциях
v р= 0 и из (130) будем иметь
v2 = ~v \ и C0 ~ 2 v, т. е. ис ка же ни я углов в этих проекциях
как бы удваиваются.
В ра вноп ромеж уточных проекциях соответственно по лу ­
чают:
при b= l , i >2 = 0
при
а - 1 ,^ = 0
и c o = v ] = v]
v = v x = v\
и a ) = - v 2 = v\ vp = v 2= v ,
т. е. в этих проекциях и ска же ни я углов и площадей примерно
одинаковы.
Приведенные соотношения величин искажений позволяют
сделать три вывода:
— уменьшение ис кажений углов на проекции неизбежно
пр иво ди т к у ве л и ч ен и ю и с к а ж е н и я п л ощ а де й в этой
проекции и наоборот;
— в случаях, когда в равной степени н е ж е л ат е л ь н ы и ис­
ка ж е н и я углов и площадей, целесообразно использо­
вать проекции, близкие к равнопромежуточным ;
— ка рто гр аф иче ски е проекции необходимо выбирать под
условием, чтобы они не только обеспечивали минимум
искажений, но и чтобы х а р а к те р их ис каже ний обеспепечивал оптимальные условия ре шения за д ач по к а р ­
там, вытекающие из их назначения.
1 .2 .6 .
КРИВИЗНА
М Е Р И Д И А Н О В НА П Р О Е К Ц И Я Х
Как известно, крив изна плоских кривых опр ед ел яе тс я в
общем случае формулами:
у'хп - х’
у
(131)
О б оз н а ч им :
ц = тМ и
v = пг ,
и уч иты ва я в ы р а ж е н и я (60) и (61) запишем:
х(р = ц. coscp ;
у^ = -/и sm<p;
= vsin(y+ е);
ук = vcos(y + е ).
Тогда из (133) получим:
tgy = - xv
sec у -Ур = -----------5------ж!
или
=
.
И ч 4 )
Но из (133), (60) имеем:
,
1/2
* - [ * * ] •
П одели в п р е д ы д у щ е е в ы р а ж е н и е на п о сл е д у ю щ е е и
у ч и т ы в а я (131) будем и м еть ф о р м у л у д л я о п р е д е л е н и я
кривизны и зображ ен и я меридианов в к ар то гр а ф и ч е ск и х
проекциях (см. раздел 4 п.2.2.3) :
_У'Р _
Лм _
1
(/ил s e c e + vv t g e ) - +
(134)
Для проекций с ортогональной картографической сеткой
получим :
Км = ~
1 .2.7. К Р И В И ЗН А П А РА Л Л ЕЛ ЕЙ НА П Р О Е К Ц И Я Х
Из (133) можно записать:
Отсюда
tg(r+e)=-^-.
ук
sec2(у + е)(у + г)х =
(Г + е)л =
х ллУл ~ У л л х л
(Х1 +Ух)
Но, из (133) такж е имеем:
Поделив предыдущее выражение на последнее и учиты­
вая (131), получаем формулу кривизны изображения п ар ал ­
лелей в картографических проекциях (см. раздел 4 п.1.2):
к п = ( / + £) х / у = ~ (р* * 2 £ + yv seC£) ~ + £Л
(135)
В случае, когда проекции имеют ортогональную к ар то гра­
фическую сетку, получим:
K n = r j v =In- ^ .
1.2.8. И С КА Ж ЕН И Я £ У ГЛ О В i М ЕЖ ДУ
И ЗО БРА Ж ЕН И ЯМ И М ЕРИ ДИ АН О В И
П А РА Л Л ЕЛ ЕЙ В ТО ЧКАХ П Р О Е К Ц И И
Отклонения углов е от прямых определяется формулой
(49) (см. п. 1.1.5. 2.):
е = arctgj - £ - \ = - arctg
Эти и с к а ж е н и я
могут о п р е д е л я т ь с я по о т к л о н е н и я м
к о о р д и н а т т о ч е к ф и г у р д а н н о й п р о е к ц и и от к о о р д и н а т
соответствующих точек фигур стереографической проекции,
в которой отсутствуют ис каж ен ия форм (см. ра зд ел 2 п. 2 .2 . 2 .).
Пусть
<РГ
- координаты центра окружности р = С =2 tg-~ стер ео­
графической проекции,
Аа
- заданный шаг изменения азимута,
(р,, Яо - координаты точек, заданной окружности в стереогра­
фической проекции, определяемые по формулам:
Z = 2 arctg|-yj;
a = aQ+Aa (можно вз ят ь aQ= О );
<Р2 = arcsin(sinz cos a cos^j + c o s z s in ^ ) ;
L 2 = L {+ arcsin[sin^ sinfl sec ^ 2].
Тогда в исследуемой проекции нетрудно вычис ли ть по
^ 1,Я| - н а ч а л ь н о й точки и р я д а точе к с
значения
координат х ^ у 1 и х . уу..
После этого будем иметь в стереографической проекции :
1 - [sincp, sin ф 2 + c o s ф, c o s ф 2 cos (к2 ~ ^ i )]2
p = C = 2tg^ = 2
2
1 + [вШф, sin У 2 + СО$ф, С05ф2 COS(>-2 - А.|)
= const,
и в исследуемой проекции по соответствующему г н а п р а в л е ­
нию:
Р/ = ^ ( x i - x i ) 2 + ( у , - у , ) 2
Тогда величина ис каж ен ия форм в j точке будет равна:
ЛР; =
~ СУ
П
/= 1
В п р е д е л а х всей области к а р т о г р а ф и р о в а н и я с ре дн ие
AR = j - £ A Pj
к ,=1
При этом предполагается, что значения
определяются
в сетке точек изображаемой области.
1.2 .1 0 . И С К А Ж Е Н И Я И П О П Р А В К И ЗА СЧЕТ
К РИ ВИ ЗН Ы ИЗОБРАЖ ЕНИЯ
Г Е О Д Е З И Ч Е С К О Й Л И Н И И НА П Р О Е К Ц И И
Пусть на рис. 10
криволинейный
отрезок
и з о б р а ж е н и я геодезической
линии;
d n - ее хорда;
&dn - дирекционный угол
хорды d n \
Р 12 - ази мут на проекции
геодезической линии
1-2 в точке 1 ;
У - сближение меридианов в
точке 1 ;
8 п - поправка в аз имут
за кривизну изображе
0
ния геодезической
Рис. 10 Азимут и дирекционный уголЛи
НИИ.
на проекции
С в я з ь у к а з а н н ы х углов
(см. рис. 10 ) можно представить в виде:
^ 12= a d,+ У ' 8 1 2
-
Величины дир екционных углов направлений 1-2 и сбли­
ж е н и й м е р и д и а н о в в т о ч к а х п р о е к ц и й , з а д а н н ы х их
уравнениями, могут быть легко определены по формулам:
I У2~ У\ \
° Ч ; = arct 8 l - у — г ) '
где x v у х\ х 2, у 2 - прямоугольные координаты в 1 и 2
точках данного отрезка на п р о е к ц и и ;
х Уу
- частные производные в точке 1.
Основную трудность в нахож дении ази м ута р
на
проекции составляет определение поправки 8п • Для
расстояний S n < R - радиуса шара рассматриваемого
небесного тела можно во с п о л ь зо в ат ь с я сл ед ую щ им и
фо р му л ам и (Н.А. Урмаев, 1955):
>dS2
s - d ~ Т 4 К У и * T4K ' ^
S ‘' *
(136)
„ ( d £ \ ( d 2K \
где A.j, у rfs J И i ^ 2 1 - крив изна из об ра же ния геодезической
l
^ l
линии и ее производные в первой точке.
В общем случае геодезическая кривизна на плоскости и зо ­
б ра жен ия геодезической линии поверхности эллипсоида (сфе ­
ры) опр е д ел яе тс я формулой ( Г. А. Мещеряков, 1968):
д{т)
dm
„ di .
ч
——-co sl/ - Р) - Г---- c o s p ------- Sin(/ - Р)
'
’
дХ
dq
’
г 2Р dq
дг
-sin а
dq'
г 2ц 3
Для проекций с ортогональной сеткой будем иметь :
dm
К = ±-p [-rsin < psin pn + r - ^ - s i n p - r ^ c o s p ]
+
[г sin^ sin а ]
При отображении шара получим:
Ис пол ьзу я у ра вн ен ия ортодромии можно получить допол­
нительные в ы р а ж е н и я д ля определ ен ия зн аче ния кри визны
и величин аналогичных (136).
О п р е д е л е н и е п о п р а в о к в и з м е р е н н ы е в е л и ч и н ы по
приведенным формулам в общем случае весьма з а т р у д н и т е л ь ­
но.
Однако, п р а к ти ч е с к и и з м е р е н и я углов и длин, как
п р а в и л о , о с у щ е с т в л я ю т с я по к а р т а м , с о с т а в л е н н ы м в
равноугольных проекциях.
В этих случаях кривизна конформного изо браж ения геоде­
зической линии оп ре д ел яе тс я по формуле:
(137)
где q, Я - изометрические координаты.
Ф о рм ул а (137) я в л я е т с я общей. На ее основе получают
ф о р м у л ы д ля кон кретны х ра вноугольны х проекций. Такие
ф о р м у л ы д ля некоторых из них приведены в курсах сфероидической геодезии [28].
1 .2 .1 1 . К Р И В И З Н А
ПРОЕКЦИИ
Л О К С О Д Р О М И И В ТОЧКАХ
Из ур авн ен ия л ок с о д р о м и и :
я - я 0= t g a ( l n U - l n U 0),
получаем:
“Л = t* g a ---Г = t *g a coscp
I
+ e ,2cos 3ср \;
—
dcp
М
'
'
иу
Крив изн а из об ра же ния локсодромии с учетом в ы р а ж е н и я
(131) равна
/
Поправки в локсодромические азимут и расстояния за счет
кр ив из ны и з об ра же ни я локсодромии Кл в данной проекции
могут быть вычислены по ф ор му ла м (136).
1 .2 .1 2 . О Р А С П Р Е Д Е Л Е Н И И И С К А Ж Е Н И Й НА
КАРТОГРАФИЧЕСКИХ П РО ЕК Ц И ЯХ.
Пр и в ы б о р е и и с п о л ь з о в а н и и к а р т о г р а ф и ч е с к и х
проекций необходимо добиваться, чтобы на созданных карта х
о б е с п е ч и в а л и с ь м и н и м а л ь н ы е и с к а ж е н и я и л у ч ш и е их
ра сп р ед ел ен и я в пределах изображаемой территории.
Известно, что всякая фу н кц ия вблизи своего экстремума
и з м е н я е т с я медленнее, чем м ал ы е из м е н е н ия аргументов.
Применительно к картограф ическим проекциям назовем
центральными линию и точку, в которых и ск аж ен ия длин,
углов, азимутов и площадей проходят через свой экстремум
(минимум). Следовательно, в окрестностях центральной линии
или ц е н т р а л ь н о й т о ч к и и с к а ж е н и я на п р о е к ц и и б у д у т
изм еняться медленно.
Отсюда выбор или и з ы с к а н и е прое кци и д л я с о з д а н и я
карты на конкретные терри то рии необходимо ос уще ствлять
под условием, чтобы цен тра льн ая точка проекции ра с по ла га ­
лась п ри мер но в средней точке из о б р а ж а е м о й области, а
центра ль на я линия находилась в середине и была направлена
вдо ль н а и б о л ь ш е г о р а с п р о с т р а н е н и я к а р т о г р а ф и р у е м о й
территории.
У ч и т ы в а я с во й с т в а к а р т о г р а ф и ч е с к и х п р о е к ц и й (см.
раздел 2 ) центральными являются:
в цилиндрических проекциях - изображ ение линии
э к в а т о р а н о р м а л ь н о й или косой ( п оп ер е ч но й) с ис тем
координат;
в конических проекциях - линия и з о б ра ж е ни я средней
па ра лл е л и (альмукантарата);
в а з и м у т а ль н ы х проекциях - точка полюса.
1 .3 . Т Е О Р И Я О Т О Б Р А Ж Е Н И Я О Д Н И Х
ПОВЕРХНОСТЕЙ НА ДРУГИЕ, ПРОЕКЦИИ
«Д В О Й Н О Г О » («Т Р О Й Н О Г О »)
ОТОБРАЖ ЕНИЯ.
При создании карт м елких масш табов ( м ельче
1:10 ООО ООО) Землю, как правило, принимают за шар, так
ка к в этом с л у ч а е и з о б р а ж а ю т с я к р у п н ы е по п л о щ а д и
территории, в пределах которых искаж ения проекции
значительно превосходят искажения, возникающие в
р е з у л ь т а т е з а м е н ы в к а ч е с т в е п о ве рх н о с ти относим ос ти
эллипсоида шаром. В случае создания карт более крупных
масштабов поверхность Земли аппроксимируют поверхностью
эллипсоида.
Однако к а р т о г р а ф и ч е с к и е проекции непосредственного
о т о б р а ж е н и я э л л и п с о и д а на п л о с к о с т ь н е р е д к о и м е ю т
г р о м о з д к и е ф о р м у л ы и, чт о с а м о е г л а в н о е , не в с е г д а
обеспечивают возможность получения изображ ения с
минимальными и ск аж ен иям и и лучшим их распределением.
В таких случа ях используют т.н. «двойные» («тройные»)
проекции, для получения которых необходимо реш ить
сл едующие задачи:
- о с у щ е с т в и т ь о т о б р а ж е н и е п о в е р х н о с т и э л л и п с о и д а на
поверхность ша ра с за дан ны м ха р а к т е р о м и с ка ж е н ий и
получить соответствующие сферические координаты с
полюсом системы координат в географическом полюсе;
- определить координаты полюса новой полярной сферической
системы координат;
- осущ ествить преобразование сф ерической системы
координат ср} Я с полюсом в географическом полюсе в по­
ля рную систему с ф ер ич еск их координат z, а с полюсом в
заданной (полученной) точке;
- определить ка рт ог ра ф и чес кую проекцию ш ар а заданного
класса с соответствующим характером искажений.
1 .3 .1 . О Б Щ И Е П О Л О Ж Е Н И Я О Т О Б Р А Ж Е Н И Я
О Д Н И Х П О ВЕ РХ Н О С Т Е Й НА Д РУ ГИ Е .
П у с т ь д а н ы две р е г у л я р н ы е п о в е р х н о с т и S и а , на
которых установлены две системы криволинейных координат
и = cons t , v = const и v = const, 3 = const соответственно.
П о л о ж и м , что на п е р в о й из них в ы д е л е н а о д н о с в я з н а я
з а м к н у т а я облас т ь
Aj , которой на вто рой с о о т в е т с т в у е т
область Д2.
Потребуем, чтобы каждой точке первой области соответст­
вовала одна и только одна точка во второй, а при бесконечно
малом перемещении данной точки на ds в первой области
соответствующая ей точка во второй области пе ре мещ ала сь
бы т а к ж е на бесконечно малую величину d a и наоборот.
Тогда уравнения отображения области Aj поверхности S
на область Д2 поверхности а в общем виде можно записать
следующим образом
i/= /!(u ,u );
d = f 2 (u,v),
где / , f 2 - ф унк ции однозначные, не пр е ры вн ы е вместе со
своими частны ми производны м и первого и
второго порядков, а якобиан
»9)
^ во всех точках
отображаемой области не равен нулю.
Известно, что для получения отображ ени я одной п ов е р х ­
ности на другой достаточно з а д а в а т ь эти вз а им но -от об раж аемые поверхности их первыми кв адр ати чн ым и формами, кото­
рые можно запис ать в виде
ds2 = Edu2 + 2Fdudv + Gdv2 »
(138)
d o 1 = E'dv2 + 2Fdvdd + G'dS2 ,
(139)
где E , F , G , E ' , F ' , G ' - к о э ф ф и ц и е н т ы Гаусса обеих п о в е р х ­
ностей
Е = X 2 + Yu2 + Z 2;G = X 2 + Y 2 + Z 2;F = XUX„ + Y„Y„ + ZUZ„
(140)
И
E' = x 2v + y 2v + z l \ G ' = x l + y l + * 9 : F' = x vx s + y vy 9 + z vZa. (141)
О д н а к о , и с п о л ь з о в а н и е в ы р а ж е н и й (1 3 8 ), (13 9) в
метрической форме для отобра же ни я сложных поверхностей
п р е д ст а вл я е т большие трудности. Более просто эта задач а
р е ш а е т с я при и с п о л ь з о в а н и и и з о м е т р и ч е с к и х систем
координат.
Положим, что кв ад р аты линейных элементов поверхнос­
тей в изометрической форме имеют вид:
- на первой поверхности
ds 2 = P 2[d £2 + d ^ j ;
(142)
- на второй поверхности
d a 2 = T 2| d x 2 + d y 2J.
(143)
Тогда частные масштабы длин по любому нап ра вле ни ю
при отображении первой поверхности на вторую в ы р а ж а ю т с я
форму ло й
п2
(144)
s = - -(ecos 2 а + / s i n 2а + gsin 2 а).
и
Р2
Теперь нетрудно аналогично рассмотренному выше
получить и все другие общие ура вне ни я теории ото бражения
поверхностей. Но, чтобы воспользоваться этими уравнениями,
н ео б х о д и м о п р е д в а р и т е л ь н о в ы п о л н и т ь п р е о б р а з о в а н и я
метрических форм в изометрические.
При отображении поверхностей эллипсоида вра ще ни я и
шара решение этой зад ачи затр уд не ний не в ы зы в ае т (см. п.
1.2.5.). В сл у ча я х ото бр аж ен ия трехосного эллипсоида и более
с л о ж н ы х п ов ер хн ос тей исходные с ис тем ы к р и в о л и н е й н ы х
к о о р д и н а т не о р т о г о н а л ь н ы , в с в я з и с чем п р и в е д е н и е
д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х форм вида (138), (139) к изометрическому
в и д у , н а п р и м е р , (1 4 2 ), ( 14 3) с о п р я ж е н о с б о л ь ш и м и
трудностями. До сих пор эта проблема нашла лиш ь частичное
освещение в математической и специальной л ит ер ату ре .
К.Якоби, р а с с м о т р е в в общем виде способ п о л у ч е н и я
р а в н о у г о л ь н ы х и з о б р а ж е н и й э л л и п с о и д а на п л о с к о с т и ,
к ос ну лс я пробл емы п о л у ч е н и я и з о м е т р и ч е с к и х ко орд ин ат
лишь частично.
К . Ф . Г а у с с в 1825 г о д у р а з р а б о т а л о б щ у ю т е о р и ю
равноугольного ото бр аже ния одних поверхностей на другие,
где в общем виде рассмотрен способ получения изом ет ри че с ­
ких к о о р д и н а т р а з л и ч н ы х п о в е р х н о с т е й . Г . А . М е щ е р я к о в
показал (1968) пр актиче скую однозначность для получения
и з о м е т р и ч е с к и х к о о р д и н а т сп о с о б а Г а у с с а и с п о с о б а ,
вытекающего из теории гармонических функций. В первом
случае необходимо найти реш ение д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х
ур авн ен ий
Edu
+
±
i^EG
-
F 2^jdv
= 0
|i = V - l j
(1 4 5 )
Во в т о р о м с л у ч а е д л я у с т а н о в л е н и я и з о м е т р и ч е с к и х
к о о рд ин а т надо по л у ч и т ь на по вер хно сти г а р м он ич е с ку ю
функцию (р и затем со пряженную с ней другую гармоничес­
кую функцию ^ .
Условиями сопряж енности служ ит полная система
у р а в н е н и й с ч ас т ны ми пр ои зв од ны ми первого по ря д ка , в
которой частные производные связан ы с условием Б е л ь тр а м и
[27, с тр.9].
Условия Коши -Р им ан а яв ля ю тся частным случаем условий
Бельтрами.
Решение поставленной задачи по второму способу в ко­
нечном счете сводится к интегрированию уравнений (145).
Указанные способы дают общее решение данной задачи,
но до сих пор конкретные фо рм ул ы перехода от м ет р ич е с ­
кого вида линейных элементов сложных поверхностей к их
изометрическому виду полностью не разработаны.
Пр им ен ите льн о к ото бр аже нию поверхности трехосного
э л л и п с о и д а в р а з д е л е 3 р а с с м о т р е н од и н из сп о с о б о в
определения изометрических координат этой поверхности.
1 .3 .2 . О Т О Б Р А Ж Е Н И Е Э Л Л И П С О И Д А В Р А Щ Е Н И Я
НА П О В Е Р Х Н О С Т И Ш А Р А
Ур авнения отображения эллипсоида на поверхности шара
в общем виде можно зап ис ать следующим образом
(146)
где (р, Я; (р\ Я' - географические координаты соответствен­
но эллипсоида и сферы,
/ 1? / 2 - отображающие функции, на которые н а к л а д ы в а ю т ­
ся ук а за нн ые выше ограничения.
В настоящее время ра зра бот ан ы ра зличные способы таких
отображений, например, способы геодезических отображений
(в том ч и с л е способ Б е с с е л я ) , способы с о о т в е т с т в и я по
нормалям и др.
Н а иб ол е е простым я в л я е т с я способ, в котором можно
пренебречь полярным с жа тие м и предположить, что широты
и долготы ша ра и эллипсоида равны, т.е. (р* = (р и Я' = Я • В
этом с л у ч а е р а д и у с ш а р а , з а м е н я ю щ е г о э л л и п с о и д , д л я
умень шен ия искажений оп ре дел яе т либо как средний радиус
к р и в и з н ы на с р е д н е й п а р а л л е л и щ к а р т о г р а ф и р у е м о й
территории
R = ylM0N 0 ,
либо как средний радиус кри ви зны на крайних п а р а л л е л я х
<рю и (рс этой территории.
В не ко то р ы х с л у ч а я х ш а р б е р е т с я ра вн ы м по объему
земному эллипсоиду и тогда
Здесь М, N - радиусы кри визны меридианного сечения и
сечения первого вертикала, опре дел яе мые по фо рм ул а м ( 1 ),
( 2 ),
а, Ь - полуоси эллипсоида вращения.
У казанный способ отображ ени я может применя ть ся при
с о з д а н и и м е л к о м а с ш т а б н ы х к а р т , когда п р е д с т а в л я е т с я
возможным пренебречь искажениями данного отображения.
В математической картографии наибольшее распростране­
ние п о л у ч и л и способы равн о уг ол ьн ог о, р а в н о в е л и к о г о и
равнопромежуточного отображений.
Кроме них, иногда ис пол ьзу етс я способ о то бр аж ен и я с
сохранением длины осевого (среднего) меридиана, а та кж е
с п о с о б ы п е р с п е к т и в н о г о о т о б р а ж е н и я э л л и п с о и д а на
поверхности шара. В последних способах при сохранении
точности вычислений до членов с е 4 (вполне достаточной для
р е ш е н и я абсолютного бо льшинс тва з а д а ч м ат е ма ти ч е ск о й
картографии и фотограмметрии) линии вертикалов (а = const)
и альму ка нт ара то в (z = const) из ображаются на поверхности
шара та кж е ортогонально.
Во всех наиболее часто используемых способах п ре дп ола ­
гается, что плоскости экваторов эллипсоида враще ния и шара
и их центры совпадают, па раллели эллипсоида изображаются
п а р а л л е л я м и ш а р а , их с р е д н и е м е р и д и а н ы с ов п а д а ю т и
имеют долготу равную нулю, а долготы прочих меридианов
пропорциональны, т.е. меридианы и па ра лл е л и эллипсоида
вращен ия из ображаются на поверхности шара ортогонально
и, с л е д о в а т е л ь н о , г л а з н ы е н а п р а в л е н и я в и з о б р а ж е н и и
совпадают с меридианами и параллелями.
За пи ше м кв ад р аты линейных элементов эллипсоида ds2
и шара d a 2 в виде
ds2 = M 2d(p2 + r 2dA2;
d a 2 = R 2d(p’2 + R 2 cos 2 <p'dA2,
где R - радиус шара, Rcos<p' - радиус кривизны пар алл ел и
на шаре.
Тогда фор мул ы частных масштабов длин принимают вид
- для любого на правления
2 _ R 2d(p'2 + R 2 cos 2 cp'dX’2
~ M2d<p2 + N 2 cos 2 <p dA2 ’
(147)
- по направлениям меридианов и па ра лле ле й
Rd(p'
(148)
N cosydk
N cos<p ’
(149)
где а - “ г г - коэ ффициент пропорциональности долгот.
ал
1.3.2.1. РАВНОУГОЛЬНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ
ЭЛЛИПСОИДА НА ПОВЕРХНОСТИ ШАРА
Учит ывая условия равноугольности т = п , £ = 0 и в ы р а ­
ж е н и я ( 1 4 8 ), ( 14 9), п о л у ч а ю т д и ф ф е р е н ц и р о в а н н о е
уравнение, интегрирование которого дает
g f = a q + Inc
или в развернутом виде
= a lntgl 45°+ £— I - elntgl 45°+ — I + In с ; (150)
где q',q
Л* = а Л,
- и з о м е т р и ч е с к и е ш и р о ты п о в е рх но с ти ш а р а и
эллипсоида вращения, определяемые соответст­
венно по фо рмулам (24) и (22), 23;
у/ = arcsin(esin ср)
а , с - постоянные параметры, в зависимости от условий
нахож дения которых получают различны е
способы этих отображений.
Способ Мольвейде (предложен в 1807 г.)
Х а р а к т е р и з у е т с я с лед ую щим и на ча л ьн ы ми условиями:
д л и н ы с о х р а н я ю т с я на э к в а т о р е , ш и р о т ы и д о л г о т ы
э л л и п с о и д а и ш а р а на э к в а т о р е и с р е д н е м м е р и д и а н е
соответственно равны: при (р = 0 и <р* = 0 ; при Я = 0 и Д' = о •
Постоянные па раметры принимают значения
a - с = 1.
Р а з л о ж и в в ряд Тейлора левую сторону и второй член
правой стороны в ы р а ж е н и я (150) получим ф о р м у л у связи
широт данного отображения
<p' = cp - A sin 2(p + В sin 4<p - С sin 6(p ,
где
4 - e b+... = 0,003356073 = 692",234;
/
— е4 + — e6+...l = 0,000004693 = 0",963 ; (152)
= 0,000 ООО 008 = 0",002.
Наибольшая разность широт ср’ - (р составляет 1Г32.23"
на п а р а л л е л и (р - 45°. ( Ч и с л е н н ы е з н а ч е н и я д а н ы д л я
эллипсоида Красовского).
Формулы частных масштабов длин и площадей записываю­
тся следующим образом:
(153)
а
где R = а = 6378245 м.
Максимальное иска жени е длин v m = 0,3% достигается на
полюсах; наибольшая разность сфероидической и с ф е р и ч е с ­
ких широт - на па ра лле ли с широтой (р = 45°.
Способы К .Ф .Г а усса (предложены: первый в 1822 г.,
второй в 1844 г.)
В п е р во м способе н а ч а л ь н ы м и у с л о в и я м и я в л я ю т с я :
масштаб равен единице на средней па ра лле ли отображаемой
о б л а с т и ; пр и Л = 0 и Д' = 0 ; в с р е д н е й т о ч к е о б л а с т и
с ф е р о и д и ч е с к и е и с ф е р и ч е с к и е ш и р о т ы р а в н ы (р$ = <р^ ,
радиус ша ра R = N 0 - ра ди усу кр ив изн ы сечения первого
ве рт ика ла на п а р а лле ли с широтой
Учи т ыв а я эти н ача ль ны е условия, из в ы р а ж е н и я (150)
получаем
а = 1;
С=
Во втором способе начальными условиями являются: при
Л = 0 и Л '= 0 , в средней точке области соблю даю тся
d m
drrA
= 0 .
(154)
----- = 0 и
d<p2
■d(p \
Дл я у к а з а н н ы х способов о т о б р а ж е н и й В.П.Морозовым
пред лож ены следующие конкретные ф ор мул ы (Морозов В.П.
1969, 1979)
По первому способу
требования: m 0 = 1 ;
<р' = <р0 + Ъ + Р03Ь3 - Р 04Ь4 - Р0ЪЬ5 ’
(155)
Л' = Я
где
. о
Ь=
W0
_т £_.
03
6 ’
_
04 ~
4l
tg»>o
24
2\
*
0' ’
р05 = ^ т ( 4 " 3 t6 2 П + 3По - 2477о t g 2 <Ро + 47о - 24т704 t g 2 <р0);
120
70 = е ' ‘ c o s * ;
s,s0 - длины дуг меридианов от экватора до данной и средней
п а р а л л е л и области соответственно, опр е д ел яе мы е по
ф о р м у л е (156).
s=
п'2
1 + п9 1 + Т
пА
+ 6 4 +"
а- Ъ
п = -------а +Ь’
а, Ь - полуоси эллипсоида вращения;
е ' - второй эксцентриситет эллипсоида вращения.
По второму способу
ф' = ф0 + Ь - / 0464 - / >05А5+...;
Я = Р0А,
где
(156)
0
;
Vn
V o = V1 + %
1.3.2.2. РАВНОВЕЛИКОЕ И РАВНОПРОМ ЕЖ УТОЧНЫЕ
ОТОБРАЖЕНИЯ ЭЛЛИПСОИДА НА ПОВЕРХНОСТИ ШАРА
Равновеликое отображ ение
По условию р = m n = 1. Учит ывая вы р а ж е н и я (148), (149),
получают д и ф ф е р е н ц и а л ь н о е выражение.
a 2(l - с2)
cos<р dcp
cosсрп dcp" = -------- 5— • -------------------Г
а R
(l - е 2 sin 2 <pf
интегрирование которого дает
.
„
Б Ш ф =
—
а 2( 1 - е 2) ( .
-—
^—
sin c P +
aR
V
2 2
. з
~ ^е s in
3
Ф
+
3 4 •5
~
е
s in
5
)
Ф + --. I +
г
С
9
(15 9 )
)
где а ,С и R - постоянные п а р а м е т р ы ира ди ус шара, в
з а в и с и м о с т и от у с л о ви й о п р е д е л е н и я к о т о р ы х п о л у ч а ю т
р аз ли чны е способы равновеликих отображений.
Так, для способа, в котором п ринял и следую щ ие
н а ч а л ь н ы е у с л о в и я : на э к в а т о р е и на п о л ю с е ш и р о т ы
<p" = <pQ= O f ^ 0 = ^ 9 0 = 90°, все д о л г о т ы Д" = Я , п о л у ч а е м
а = 1 ; С = 0 и далее с точностью до членов с е4.
R = а
V
е2
17
5
360
4
(160)
е +.
ф" = ф - А ] sin 2ф + /?, sin 4 ф + ...,
(161)
где
,
е2
31
4
А> = Т + т е +- ;
„ 1 7
4
1 = збое +
(162)
С учетом элементов эллипсоида Красовского имеем
Л, =461",797;
В, = 0",436;
R» = 6371116м.
Частны е масштабы длин и наибольшие и ск а ж ен и я длин с
т о ч н о с т ь ю до ч л е н о в с е4 б у д у т
Р а с х о ж д е н и я ш и р о т (р и <р" д о с т и г а ю т н а и б о л ь ш и х
значений на паралл ел и с (р = 45° и равны 7'43",8 . М а к с и м а л ь­
ные ис ка же ни я длин и углов возникают в точках экватора
(л>
) и составляют величины v п= - 0 1
, 0 0 1 ; v in= 0 ’, 0 0 1 1
; со = 3',84
\т= 0 /
1 .
Равнопромежуточные отображения
О т о б р а ж е н и я поверхн ос ти эл ли п со ид а на по ве рхн ос ти
шара могут быть равнопромежуточными вдоль меридианов и
вдоль параллелей.
Отображение, равнопромежуточное вдоль меридианов
По условию т =1. Учитыв ая вы ра ж е ни е (148), получают
д иф ф е ре нц иа л ьн о е уравнение d(p” - - - M d ( p } интегрирование
R
которого дает
Ф " '= - ^ + с,
(164)
где s - д л и н а д у г и м е р и д и а н а от э к в а т о р а до д а н н о й
паралл ели , опр е д ел яе ма я по фо рм ул е (156);
с - постоянный пар аметр (обычно полагают с = 0 );
R - радиус шара.
П о с т а в и в у с л о в и е , чтоб ы д л и н ы д уг м е р и д и а н о в от
э кв а т ор а до полюсов на ш а ре и эл лип сои де были равны,
получают
R =
,
1 +п'
я '2
« '4
4
64
1+ — +
у
(165)
Применительно к эллипсоиду Красовского Я = 6 367558,5 м.
частные масштабы длин по п а ра лл е л ям и площадей, а т а к ж е
на ибольш их и с ка ж е ни й углов с точностью до членов с е 4
можно найти по фо рмулам
Отображение, равнопромежуточное вдоль параллелей
Из услов ия n = 1 пол учаем с учетом (149) у р а вн е н и е
Qoscp
/V
1
= ——Ncos(py откуда получаем
(
COS0
IV
а
= —-
aR
в2 . 2
3 4 . 4
1 + — sin ф + - е sin ф+... cos ф .
(167)
V
В зависимости от значений а , R и задав аем ой начальной
па ра лле ли получают группу таких изображений. В частности,
если принять начальные условия: широты экватора и полюса
= 0 : <Рж = <Рж = 90° - Д о л г о т ы
R = a и с учетом (167) будем иметь
я w = Л , то
(168)
t g < p ,v = ( l - e 2f 2 tg<p,
т.е. широ та
а = 1,
/v данного о то б р а ж е н и я п р е д с т а в л я е т собою
приведенную широту и.
Ф о р м у л ы час т н ых мас штабов длин вдоль мери ди ан ов,
площадей и наибольших искажений углов принимают вид
е2
е4
2
о'
т = р = 1 + — co s2 ф + — (3 - 2 sin 2 ф - sin 4 ф)+...;
е2
2
о ' = — p'cos ф.
2
'
(169>
1.3.2.3. НЕКОТОРЫЕ СПОСОБЫ ОТРАЖЕНИЙ, В КОТОРЫХ
МЕРИДИАНЫ И ПАРАЛЛЕЛИ ЭЛЛИПСОИДА НЕ СОВПАДАЮТ
С ИХ ИЗОБРАЖЕНИЯМИ НА СФЕРЕ.
Равноугольное отображ ение с сохранением длины осевого
меридиана.
Начальными условиями приняты: изо браж ение я вл яе тс я
си мм е тр и ч н ым относительно среднего м ер и д и ан а; долготы
средних меридианов Я0 = Яд = 0 ; о то б р а ж а е м а я область имеет
малое п р о т я ж е н и е по долготе; широ ты эк ва то р а и полюса
^ ' = ^ о = 0 , ^ 90 = ^ 90 = 90° ; и з о б р а ж е н и е я в л я е т с я р а в н о ­
угольны м , длины дуг средн его (осевого) м е р и д и а н а
сохраняются.
Р а з л о ж и в (146) в ря д Тейл ора по степеням ? = ( Я - Я 0) и
у ч и т ы в а я пр ин ят ы е условия, пол учаем ши рот ы и долготы
данного от об ра же ния (В.П.Морозов, 1967):
ф' = Ф'м + a 2{2 + а 414 +...;
(170)
Я/ = Д|/ + #з / 3 +
где
ф*
=
ф
-
- ^ я 'з+- ) sin 2(р +
(Ц
sin4cp -
- I - | § ” ' 3- " - | 51п 6 ф +" * ;
п' п'2
аI = 1 + — + — -
\
'.
2
4
96
Л,3+.,
( V п'2 5 ,3 1
4- -- --------------- п +... c o s 29
12
/
8
12
J
-
- I \ п ' 2 + ■Д-л'3+---|соб4ф + [ — л ' 3+ . . . | cos 6 9 +...;
8
.V
96
21
,,
а2 = Ь 2г + Т
327 Л
24
25 ,3
)
.
.
( п'
3
+ ~Пп
+--~ 5| п 2 Ф+ v +
64
х sin 4ф —I ~~t}'2
— п '2 +
+ - ^ - я ’3+... Isin 6ф+...;
32
192
V
31
~ ' 24 + 96
”'! + " ) +( т + ¥ " ' !+'" ) “ 52ф
+ | y + ^ | « ' 2 + - " | c° s 4 9 +
п'2
48 +'"
cos 6ф+...;
,2
15
,3
.
- Т32Г Я +--- х
fl5 =
a- b
a +b '
Могут быть по л у чен ы р а вн о у го л ьн ы е о то б р а ж е н и я
повер хности э л ли п сои да на поверхности ша ра , исходя из
других условий, а т а к ж е отображ ени я с иным ха ра кт е р о м
искажений.
1.3.2.4. ПЕРСПЕКТИВНЫ Е ОТОБРАЖЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ
ЭЛЛИПСОИДА НА ПОВЕРХНОСТИ ШАРА.
Различаю т отображения с негативным и позитивным
изображением (см. с тр. 184).
Перспективное негативное отображение
Пусть поверхность шара касается эллипсоида вра ще ния в
заданной точке (?о(фоАо) » я в л я ю щ е й с я полюсом полярной
сфероидической системы координат (рис. 11 ).
Введем обозначения
O'Q 0 —N o ; O'С - N'q ; S ^ O ' — DH
и из рис .11 запи шем
(172)
Р а з л о ж и в это в ы р а ж е н и е в р я д Т е й л о р а по ст е пе ня м
А 2 = \г сф ” 2) , получим с точностью до членов с е4 ф ор му лу
связи сферической и сфероидической широт
Рис. И П ер сп ек т и в н о е о т о б р а ж е н и е э л л и п с о и д а на с ф е р е
е2 г
,
ч]2
Dsi nz
г сф = 2 - V s i n z c o s a c o s <i’o + sin<P0(c o sz - 1) X —— — ---------,(1 7 3 )
^
Z 1
1
ГЧQ + и COS z
где 2 , a - оп ре деляются по ф о р м у л а м (11), (12), (13),
N q - вычисляются по (9).
С той же степенью точности частные масштабы длин вдоль
вертикалов
и а л ь м у к а н т а р а т о в ц 2 в ы ч и с л я ю т с я по
формулам:
=
jl
f
+ — [sin z cos a cos щ + s in p 0(cosz e2 r
fu2 = Y + — [sin z cos a cos
l)]
j
•
,
vi2 1 sin %сф
+ s i n p 0 (,cos2 - Щ > ^
.
(174)
(175)
Из ф о р м у л (172) - (175) следует, что в зависимости от
п о л о ж е н и я точ ки з р е н и я ( в е л и ч и н ы D) мо жно п о л у ч и т ь
совокупность р азл и ч н ы х персп ективн ы х отображ ений.
Н а п р и м е р , п р и D = О - п р о е к т и р о в а н и е из ц е н т р а с ф е р ы ,
и м ее м %сф = z ;
т.е. с т о ч н о с т ь ю д о ч л е н о в с е 4 д а н н о е п е р с п е к т и в н о е
о т о б р а ж е н и е п о в е р х н о с т и э л л и п с о и д а на п о в е р х н о с т ь ш а р а ,
касательного к эллипсоиду в заданной точке, я в л я е т с я
равноугольным.
Это п о з в о л я е т об общ и ть в ы в о д В .В .К а в р а й с к о г о о
с в о й с т в а х ц е н т р а л ь н о й п е р с п е к т и в ы и о т м е т и т ь , что в с я к а я
п е р с п е к т и в а э л л и п с о и д а на п о ве р х но с т ь ш а р а п ри р а с п о л о ж е ­
н и и т о ч к и з р е н и я в ц е н т р е ш а р а и в н е з а в и с и м о с т и от
у д а л е н и я этого ц е н т р а по оси в р а щ е н и я от ц е н т р а э л л и п с о и д а
и от п о л о ж е н и я п олю са п о л я р н о й с ф е р о и д и ч е с к о й с и с т е м ы
к о о р д и н а т д а е т о т о б р а ж е н и е , б л и з к о е к р а в н о у г о л ь н о м у (с
т оч н о с т ь ю до ч ле н о в с е4).
Перспективное позитивное отображение эллипсоида на
поверхности шара.
Обозначим S n O' = D t S n Q0 = Н
и и з р и с . 11 з а п и ш е м
sm г сф =
(177)
Р а з л о ж и в э т о в ы р а ж е н и е по с т е п е н я м
п о л у ч и м с т оч н о с т ь ю до ч л е но в с е4:
2
A z = г сф - z ,
Dsinz
N 0 - D c o s z ;(178)
(179)
Р = Mifh ’ (о = 2arcsin
\
H i ~ Hi \ .
+ Ml) ’
г = sin z cos a cos щ + sin
t1
(cos z - l)\
= cos 2 cos a cos q>Q - sin 2 sin tpQ.
1 .3 .3 . О П Р Е Д Е Л Е Н И Е К О О Р Д И Н А Т П О Л Ю С О В
КОСОЙ И П О ПЕРЕЧНОЙ ПОЛЯРНЫ Х
СФЕРИЧЕСКИХ СИСТЕМ КООРДИНАТ
П р и о п р е д е л е н и и к о о р д и н а т п о л ю с а <Э(^о>Л)) м о г у т
в стретиться три случая: в первом случае, который применим
для большинства ази м ута ль н ы х и п ер сп ек ти в н о -ази м у т а л ь ­
н ых п р о е к ц и й , полюс Q с о в м е щ а ю т м ы сл е н н о с ц е н т р а л ь н о й
т о ч к о й и з о б р а ж а е м о й т е р р и т о р и и . К о о р д и н а т ы этого полюс а
о п р е д е л я ю т н е п о ср ед ст в ен н о с к а р т ы (глобуса) или в ы ч и с л я ю т
к а к с р е д н и е з н а ч е н и я ш и р о т ы и д о л г о т ы то чек, р а с п о л о ж е н ­
н ых на г р а н и ц а х и з о б р а ж а е м о й т е р р и т о р и и .
При этом, если отд ел ьн ы е части к а р т о г р а ф и р у е м о й
т е р р и т о р и и н е р а в н о з н а ч н ы по с в о е м у э к о н о м и ч е с к о м у
з н а ч е н и ю , по р а з м е щ е н и ю н а с е л е н и я , о т р а с л е й н а р о д н о г о
х о з я й с т в а , п р и р о д н ы м у с л о в и я м и т.п., в к а ч е с т в е п о лю с а
в ы б и р а ю т с р е д н ю ю т о ч к у о б ж и т о й ч а ст и д а н н о й т е р р и т о р и и .
Во в т о р о м с л у ч а е , к к о т о р о м у п р и б е г а ю т в к о с ы х и
п о п е р е ч н ы х ц и л и н д р и ч е с к и х п р о е к ц и я х , к о о р д и н а т ы полюс а
Q н а х о д я т в с о о т в е т с т в и и с п о л о ж е н и е м д уг и б ол ьшо г о к р уг а ,
о т с т о я щ е г о от полюса на д е в я н о с т о г р а д у с о в ( э к в а т о р а косой
и ли п о п е р е ч н о й системы).
В п о п е р е ч н ы х п р о е к ц и я х э тот б о ль ш ой к р у г с о в п а д а е т с
меридианом.
В э т и х п р о е к ц и я х <р0 = 0° и
*о = *.с р ±90°,
где Яср - д о лг о т а с р е д н ег о м е р и д и а н а .
Е сл и с ч е т д о лг о т о т не с т и к с р е д н е м у м е р и д и а н у , то
Х 0 = ±90°.
В к о с ы х п р о е к ц и я х п ри о п р е д е л е н и и к о о р д и н а т п олю са Q
н ео б хо ди м о р е ш и т ь д ва с ф е р и ч е с к и х т р е у г о л ь н и к а .
С н а ч а л а н а х о д и м уг ол и х по ф о р м у л е
t gUi = t g (^2 - /l1) c o s xc os ec ( x - ^ ) ,
где х - в с п о м о г а т е л ь н ы й угол, о п р е д е л я е м ы й по ф о р м у л е
tg х = tg <р2 sec(/l2 - Aj) ,
Sin фо = COS ф! Sin и х\
tg(x 0 - X,) = cosec<Pi c tg щ .
^180^
В т р е т ь е м с л у ч а е к о о р д и н а т ы полю са косой с и ст е м ы
о п р е д е л я ю т с у ч е т о м п о л о ж е н и я ма ло го к р у г а , п р о х о д я щ е г о
ч е р е з с е р е д и н у и з о б р а ж а е м о й т е р р и т о р и и . У к а з а н н ы й способ
сл е д у е т и сп о л ьзо в ат ь , н ап рим ер , при п олуч ен и и косых
к о н и ч е с к и х п р о ек ци й.
З н ая н ап р авл ен и е малого круга, проходящ его через
середину изображаемой территории, нужно отыскать точку
п е р е с е ч е н и я б о л ь ш и х к р уг о в, о р т о г о н а л ь н ы х д а н н о м у м а л о м у
к р у г у и п о с т р о е н н ы х в т р е х его т о ч к а х с к о о р д и н а т а м и (р1у\ \
q>2,A2 и 4?3, А3 • У ч и т ы в а я ф о р м у л ы с в я з и п о л я р н ы х и
г е о г р а ф и ч е с к и х к о о р д и н а т , р а с с м о т р е н н ы х в п . 1.1.2.2.,
получаем
tg4> = “
;
(181)
А = s i n ^ 1(cos ^ 2 cos Л2 - cos<p3 cos А 3 ) + s in ^ 2(c o s ^3 c°sA 3 —cos (Pi cosAJ + s i n ^ 3(cos ^ 1 cos A! - cos <p2 cosA2);
В = sin (р^(cos(p2 sin A2 - cos ^ 3 sin A3) + sin <p2(cos<p3 sin A3 —cos(p\ sin A: ) + sin (p3(cos(pYsin Xx - coscp2 sin A2);
cosф 2 cos ( ^ 0 - ^ 2) “ cosф| cos ( ^ 0 “ ^|)
tg<Po = -------------- '---- :----- ----- :------------ '---------- 1 =
Sin Ф] - Sin ф2
cosф3 cos ( ^ 0 - ^ 3) - cosф 2 cos ( ^ 0 - ^ 2)
sinф 2 - 5Шф3
( 182)
Д ля контроля о п р ед ел ен и е ш ироты щ мож ет быть
в ы п о л н е н о д в а ж д ы , по п а р е д р у г и х т оч е к, н а п р и м е р , п е р в о й
и т р е т ь е й и ли в т о р о й и т р е т ь е й .
1 .3 .4 . О П Р Е О Б Р А З О В А Н И И С И С Т Е М
СФЕРИЧЕСКИХ КООРДИНАТ И ПОЛУЧЕНИИ
П Р О Е К Ц И Й Ш А РА .
П о с л е п о л у ч е н и я к о о р д и н а т нового п о л ю с а О ^ . А ^ )
осущ ествляют преобразование сферических координат,
вычисленных по ф орм ул ам п.1.3.2, в полярную сферическую
систему координат 2 , а, с полюсом в точке Q(^o»^)) * по
ф о рму ла м (11), (12), (13) и (14) (при е = 0) п.1.1.2.2.
Положив затем, что <р" = 90 - z и Я" = - а и приняв эти
з н а ч е н и я за с ф е р и ч е с к и е к о о р д и н а т ы
вычисляют
искомую проекцию шара заданного класса с соответствующим
ха рактеро м ис каж ен ия по формулам, которые рассмотрены
в п о с л е д у ю щ и х гл а в а х уч еб ни ка . В с л у ч а е о п р е д е л е н и я
азим утальны х проекций непосредственно используют
з на чен ия полученных полярных с ф ер ич еск их координат 2 ,
а.
При п о л у ч е н и и п р о е к ц и й “т р о й н о г о ” о т о б р а ж е н и я
ос уще ств ля ют дополнительное преобразование полученных
прямоугольных координат
В соответствии с поставленными условиями и определяют
окончательные значения прямоугольных координат и
х а р а к т е р и с т и к проекции (см. например, проекцию ГауссаКрюгера для широкой полосы - ра зд ел 3, п.3.1.5).
1 .4 . К Л А С С И Ф И К А Ц И Я К А Р Т О Г Р А Ф И Ч Е С К И Х
ПРОЕКЦИЙ
К а р т о г р аф и ч ес ки е проекции могут кл а с с и ф и ц и р о в а т ь с я
по р а з ли чны м пр изнакам:
- по ориенти ро вк е ка рто г р а ф и че с ко й сетки в зависимости
от положения точки полюса принятой системы координат;
- по в и д у н о р м а л ь н о й к а р т о г р а ф и ч е с к о й с е т к и л и н и й
(р = const , я = const ;
- по виду общих уравнений ка р то гр аф и чес ки х проекций;
- по х а р а к т е р у и скажений (свойствам изображения);
- по способам получения проекций и другим.
К л а с с и ф и к а ц и и п р о е к ц и й по эт им п р и з н а к а м б у д ем
р а ссм атр ив ать в последовательности их использования при
п о л у ч е н и и п р о е кц и й основным способом их и з ы с к а н и я классич еск им а н а лит иче ск им способом, сущность которого
ра ск рыт а в дальнейшем из лож ении теории многих проекций.
1.4 .1 . К Л А С С И Ф И К А Ц И Я П Р О Е К Ц И Й П О
О РИ ЕН ТИ РО ВК Е КАРТОГРАФИЧЕСКОЙ
С Е Т К И В З А В И С И М О С Т И ОТ П О Л О Ж Е Н И Я
ТОЧКИ ПОЛЮ СА П РИ Н Я ТО Й СИСТЕМ Ы
КООРДИНАТ.
В основу этого подраз дел ен ия положено значение широты
( <р0 ) точки полюса Q используемой системы координат.
П р и щ = 90° п о л ю с п р и н я т о й с и с т е м ы с о в п а д а е т с
ге о г р а ф и ч е ск и м полюсом - пол уча ем п р я м ы е проекции, в
которых сетка меридианов и па ра лл е л е й Я = c o n s t , (р - const
имеет наиболее простой вид; ее назыв ают нормальной. При
<р0 = 0 - получаем поперечные проекции, при 0° < Щ <90° косые.
В косых и поперечных проекциях нор м ал ьн ая сетка
совпа дает с сеткой вер тикалов и а л ьм ук ант ара то в, а линии
меридианов и паралл елей изображаются кривыми. Координат­
ными линиями в них яв л я ю тся линии вер ти кал ов а = const и
а л ь м у к а н т а р а т о в z = co ns t . В е р т и к а л ы д л я проекций ш а р а
я в л я ю т с я бо льшими круга ми , п е р е с е к а ю щ и м и с я в точ ка х
полюсов косой или поперечной систем.
Положение верти кал ов на картог ра фи чес кой поверхности
оп ре д еля етс я азимутом “а ”, который равен двугранному углу
между плоскостями текущего и начального вертикалов.
Начальным назы вается вертикал, который совпадает с
меридианом полюса косой или поперечной систем координат.
А л ь м у к а н т а р а т ы - дуги м а л ы х кругов, орт ог он а л ьн ы е
вертикалам; их положение на ка рто гра фи руе мой поверхности
о п р е д ел яе тс я зенитны м расстоянием 2 , равны м дуге
в е р т и к а л а от п о л ю с а п р и н я т о й с и с т е м ы к о о р д и н а т до
текущего ал ьм ук ан т ар а т а.
Переход от географических координат ср, X к полярным
сфери че ским 2 , а рассмотрен в п. 1. 1.2 .2 .
1 .4 .2 . К Л А С С И Ф И К А Ц И Я П Р О Е К Ц И Й П О В И Д У
Н О Р М А Л Ь Н О Й К А РТ О ГРА Ф И Ч Е С К О Й СЕТКИ
И ОБЩ ИХ УРАВНЕНИЙ
КАРТОГРАФИЧЕСКИХ П РО ЕК Ц И Й
К л а с с иф ик а ци я проекций по виду нормальной к а р т о г р а ­
фической сетки была разрабо тан а в 30-х годах В.В.Каврайским.
На ее основе с учетом современного состояния теории
к а рт огр аф иче ски х проекций в МИИГАиК предлож ена новая
а н а л о г и ч н а я к л а с с и ф и к а ц и я . Б у д е м ее р а с с м а т р и в а т ь
одновременно и совместно с к л а с с и ф и к а ц и е й проекций по
виду общих уравнений ка рто гра фи чес ких проекций, т.к. они
тесно с в я з а н ы и их с овм ест ное р а с с м о т р е н и е п о з в о л я е т
п олучить более наглядное и полное п р е д ст а в л е н и е о
ра зра ботанных проекциях, их свойствах; позволяет уяснить
с в яз ь т е о р е т и ч е с к и х за ко но м ер но ст ей р а з л и ч н ы х классов
проекций.
Все множество проекций по первому призн аку п о д р а з д е ­
ля етс я на два подмножества.
П е р в о е из них в к л ю ч а е т п р о е к ц и и с п а р а л л е л я м и
постоянной кр и в и з н ы , второе - пр ое кци и с п а р а л л е л я м и
переменной кривизны.
К л а с с и ф и к а ц и я проекций по виду их общих уравнен ий
в ы д е л я е т проекции, оп ис ыв аем ые неп ре рыв ны ми, д в а ж д ы
ди фф е р е н ц и р у ем ым и , независимыми ф ун кци ями одного или
двух аргументов, дающими непрерывное отображение
к а р т о г р а ф и р у е м о й области, и проекции трех и более
аргументов с нерегулярной кар тог рафической сеткой или с
измененной метрикой пространства (см. п.3.8).
Из уч ен ие проекций будем осуществлять, пр е ж д е всего,
исходя из вида их нормальной кар тограф ической сетки.
1.4.2.1. КАРТОГРАФИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ С ПОСТОЯННОЙ
КРИВИЗНОЙ ПАРАЛЛЕЛЕЙ
Это подмножество под ра зд е л яе тс я на три
семейства:
вп е р в о м
-п а р а л л е л и
п р я м ы е л и н и и , во в т о р о м концентрические окружности, в третьем - эксцентрические
окружности.
Первое семейство оп ис ыв ает ся уравнен иям и, в ы р а ж а е ­
мыми только в прямоугольной системе координат, и включает
четыре класса проекций.
Цилиндрические
1)
п р о е к ц и и ( р и с . 1 2 ), в
которых меридианы равноотстоящие па ра л-------------------------------------------------- лельные прямые, а п а ­
раллели - параллель­
ные п р я м ы е , о р т о г о -------------------------------------------------нальные меридианам.
Их общие ура вне-------------------------------------------------- ния имеют вид:
___________________________________ х = f(<p) ;
У =
Рис. 12 Цилиндрические
проекции
где р
- па р а ме тр проекции.
2)
Обобщенные
цилиндрические проекции
( р и с . 13), в к о т о р ы х
меридианы - неравно­
отстоя щи е п а р а л л е л ь н ы е
прямые, а параллели параллельны е прямые,
ортогональные м ериди­
анам.
Общие у ра вн ен ия этих
проекций можно п р е д с т а ­
вить в виде:
* =ЛЫ;
у = / 2(а ).
3)
Псевдоцилиндри­
ческие проекции, в кото­
рых п ар алл ел и п а р а л ­
л ель ные прямые, а мериРис.13 Обобщенные цилиндрические Ди а н ы к р и в ы е (р ис .1 4 а)
проекции
и л и п р я м ы е ( р и с . 146),
симметричные относи­
тельно среднего прямолинейного меридиана.
Их общие у ра вн ен ия имеют вид:
* = AW;
а)
б)
Рис. 14 Псевдоцилиндрические проекции
4) Ц и л и н д р и ч е с к о - к о н и ч е с к и е п р о е к ц и и , в к о т о р ы х
п а р а л л е л и и з о б р а ж а ю т с я пучком прям ых, а м е р и д и а н ы концентрическими окружностями. Эти проекции имеют только
тео ретический интерес, в пра кт ик е работ не используются
и в да льн ейш ем ра ссм а тр ив ат ьс я не будут.
Второе семейство в ы р а ж а е т с я одновременно в системах
плоских полярных и прямоугольных координат и вклю чае т в
себя 6 классов проекций:
1)
Конич ес кие про екции (р ис.15), в кото рых п а р а л л е л и
концентрические окружности, а м еридианы пучок прямых,
и с хо д ящ их из центра о кру жно ст и. При этом угл ы м е ж д у
м ери дианами на проекции 8 пропорциональны углам м еж ду
ними на поверхности эллипсоида (шара). В точке полюса Р
имеется р а зр ы в изображения.
Общие ура внения проекций имеют вид:
х = рю - p c os S;
у = psin 8 ;
P = i\(<P) ;
8 - аЛ ,
рю = const - полярный
радиус
южной
па р а ллели.
Здесь а - один из
параметров проекции.
2)
Обобщенные
конические
проекции
(рис.16), в которых п а р а л ­
лели концентрические ок­
ружности, а меридианы
пучок прямых, исходящих
из ц е н т р а о к р у ж н о с т е й ;
Рис. 15 Конические проекции
при этом углы 8 м еж д у
м е р и д и а н а м и на п р о е к ц и и
я в л я ю т с я ф у н к ц и я м и этих углов на эл липсоиде (шаре). В
полюсе Р имеется ра з р ыв изображения.
Общие уравнения проекции имеют вид:
х = р ю - р cos S ;
у = p s in S
р = М<р) ;
;
рю = const.
3) П с е в д о к о н и ­
ческие проекции
(рис.17), в которых
п а р алл ел и концент­
рические о к р у ж ­
ности, а меридианы
крив ые с имм етр ич ­
н ые о т н о с и т е л ь н о
среднего п р я м о л и ­
нейного меридиана.
Их
общие
уравнения прини­
мают вид:
х —рю —р cos 8 ;
о
У
Рис. 16 Обобщенные конические проекции
у =p sinS ;
р = f\(<p) ;
5 = / 2( м ) ;
О
Рис. 17. Псевдоконические проекции
Рк, = const.
4) А з и м у т а л ь ­
ные
проекции
(рис.18), в которых
п а р а лл е л и концент­
рические о круж ­
ности, а меридианы
пучок пр ям ых , и с ­
хо дящих из центра
окр у ж н о сти . При
этом в точке полюса
отсутствует ра зр ыв
и зо бр аж ен ия. Углы
между меридианами
( в е р т и к а л а м и ) на
проекции
равны
углам м е ж д у ними
на ш а р е ( э л л и п с о и д е ) .
Плоские
полярные
координаты вы ра жа ют ся в
функции
полярных
с ф е р о и д и ч е с к и х
(сферических) координат
z = const, а = const.
Общие у ра вне ния
проекции имеют вид:
х = pcosa;
у = psina;
Р = /(*) .
5)
Обобщенные а з и ­
мутальные
проекции
(рис.19), в которых п а р а л ­
лели концентрические
Рис. 18 Азимутальные проекции
окружности, а меридианы
пучок прямых, исходящих
из ц е н т р а о к р у ж н о с т е й , у г л ы м е ж д у н и м и я в л я ю т с я
ф у нкц ия ми этих углов на эллипсоиде (шаре), в точке полюса
отсутствует ра зр ы в изображения. Мериди аны с долготами 0°
и 360° совпадают.
Общие уравнения этих проекций можно предст ави ть в
виде:
х = pcosS;
у = psinS;
Р = /(г);
5 - ал- /(a) sin ка ,
где к - ц е л о ч и с л е н н ы й
параметр.
6) Псевдоазимутальные проекции (рис. 2 0 ), в
кот орых п а р а л л е л и ко н ­
центрические окружнос­
ти, в т о ч к е п ол ю с а нет
разрыва изображения,
Рис. 19 Обобщенные
азимутальные проекции
меридианы с долготами 0° и 360° совпадают и явля ют ся либо
прямыми, либо кривыми, в каждой точке которых они имеют
одинаковую кривизну, остальные мериди аны - прямые или
кривые линии.
Общие у р а вн е н и я эти х проекций можно п р ед ста ви ть в
виде:
x =pcosS;
р = f x(z) ;
y = psinS;
5 = а + f 2(z)sin ка ,
где к - целочисленный параметр.
Т р е т ь е с е м е йс тв о т а к ж е в ы р а ж а е т с я од но вр ем ен но в
плоских полярных и прямоугольных координатах и включает
два класса проекций:
1)
Поликонические проекции в широком смысле (рис.21),
в которых п ар алл ел и эксцентрические окружности, центры
ко то ры х н а х о д я т с я на ср е дн е м м ер и д и а н е , а м е р и д и а н ы
кривые симметричные относительно среднего п ря м ол ин е й­
ного меридиана.
Общие уравнения этих проекций имеют вид:
х - q - pcosS;
у = /?sin 8 ;
Рис.20 Псевдоазимутальные
проекции
Рис.21 Поликонические
проекции
д = Л(<г>);
р = / 2 (<р);
8 = / 3(<М)
2)
Поликонические проекции в узком смысле. Для этих
проекций дополнительно к предыдущ ему определению
н а к л а д ы в а ю т ся два условия: полярный радиус p = N c \ g c p \
ч а с т н ы й м а с ш т а б д л и н на с р е д н е м м е р и д и а н е и м е е т
постоянное значение т 0 = к , в частности га 0 = 1 .
1.4.2.2. КАРТОГРАФИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ С ПАРАЛЛЕЛЯМИ
ПЕРЕМ ЕННОЙ КРИВИЗНЫ
Это подмножество проекций включает пять семейств. В
первых трех из них расстояния между линиями к а р т о г р а ф и ­
ческих сеток монотонно изменяются. В четвертом и пятом
с еме йс тв ах рас сто яни я м еж д у линия ми к а р т о г р а ф и ч е с к и х
сеток могут меняться скачкообразно. К первому семейству
относят два класса.
1)
П о л и а з и м у т а л ь н ы е про екц ии, в ко то ры х п а р а л л е л и
изоб ра жаю тся эллипсами, а меридианы - пучком прямых или
к ри в ы х, и с хо д ящ и х из це нт ра эллипсов; в точке полюса
отсутствует ра зр ыв изоб ра жен ия (рис. 2 2 )
Общие уравнения проекций имеют вид:
х - pcosS;
у = psinS ;
Р =/i(M );
2)
Обобщенные п о л и а зи м у т а л ь н ы е проекции, в которых
п а ра лле ли - кривые произвольной кривизны, а мер идианы
пучок пр ям ых или кривых, исходящих из точки полюса, в
котором нет ра зр ы в а изображения.
Общие ур авнения проекций имеют вид:
х = pcos£;
у = psinS-,
Р = /i(M );
Рис.22 Полиазимутальные проекции
Второе
се­
мейство вк лю ча­
ет четыре класса
п ро екц ий, ко т о ­
рые можно н а з ­
вать обобщенны­
ми поликоническими, р а з л и ч а ю ­
щиеся и зо б ра ж е ­
нием п а р а л л е ­
лей; в виде э л ­
липсов, п а р а ­
бол, гипербол и
параллелями
произвольной
кривизны; м е­
ридианы изоб ра­
жа ют с я кривыми
линиями.
Общие у р а в ­
нения проекций
имеют вид:
х = q - pcosS;
y = q - р sin 8\
р = f x(<р, Л) ;
^
я) ;
Я = /з(<р) или
q = / 4( М ) .
проекции
Т р е т ь е
семейство вклю чает проекции, которые можно назвать
п о л и ц и л и н д р и ч е с к и м и . В них п а р а л л е л и и м е р и д и а н ы
изображаются кривыми произвольной или заданной кривизны,
в частности эллипсами, параболами или гиперболами.
Общие уравне ния проекций
X = Л (<р, Я);
У=
Ч е тв е р т о е семейство вк лю ча е т проекции пр оиз во льн ых
поверхно сте й, к а р т о г р а ф и ч е с к а я сетка кото рых о т р а ж а е т
фор му ка рто гра фи чес ких поверхностей.
В это семейство вход ят кл а с сы проекций, по л уч а е м ые
на о с н о в е о б о б щ е н и я а з и м у т а л ь н ы х , ц и л и н д р и ч е с к и х ,
конических и других проекций.
Общие ур а в н е н и я этих проекций можно пр е д с т а в и т ь в
виде
х = Л (<рЛМ\ у = f 2{<p,A,h),
где (р,Х - широты и долготы точек промежуточной по вер х­
н о с ти ( ш а р а ил и э л л и п с о и д а ) - п о в е р х н о с т и
относимости;
h - пре вышения точек реальной поверхности относи­
тельно промежуточной поверхности по нормалям
к ней.
Пятое семейство вклю чает проекции для создания
анаморф ированны х карт, обладающих дополнительными
функци он аль ным и возможностями:
1 ) в а р и а в а л е н т н ы е п р ое кц ии , общие у р а в н е н и я ко т о р ы х
имеют вид:
х = fiitp,Я,А); у = / 2(<р,Я,А);
A = f 3(<p,A),
где А - ка рт ог ра ф ир уе мы й показатель;
2) П е р е м е н н о - м а с ш т а б н ы е п р о е к ц и и , в к о т о р ы х пр и
сохранении общего масштаба ка рт ы достигается сж а ти е
или р а с тя ж е н и е и зоб ра же ни я на ее отдельных участках,
ха ра кте риз ующ ихс я различным количеством и ра сп ре д е л е ­
нием отображае мых объектов.
Общие у ра вн е н и я этих проекций можно п р е д ст а ви ть в
виде
X = л [£(<Р, Я), п((р, А)]; у = / 2
Я), фр, Я)],
где £(40, Я), rj((p,A,) - ф у н к ц и и оп р е д ел я ю щ и е с ж а т и е или
р а с т я ж е н и е на отдельных уч ас т ка х изображения.
3) Проекции с измененной метрикой пространства, в которых
при их получении кроме эвклидовой метрики используются
и другие метрики (времени, стоимости, з а т р а т и т.п.).
Общие ур а вне ния этих проекций имеют вид
х = ^[и(<г>,Л),и(^,Л)]; у = F2[u((p,X),v(<P,X)\,
где и(фуA),v((p,A) - функции, оп ределяющ ие преобразование
(или дополнение) эвклидовой метрики в заданную.
Отметим, что т е ор ия многих проекций классов второго
подмножества еще почти не разработана. Поэтому в книге
б уд ут р а с с м о т р е н ы т о л ьк о н е к о т о р ы е п р о е к ц и и из этого
подмножества.
Отметим так ж е, что из состава всего множества проекций
при д а л ь н е й ш е м их и з л о ж е н и и в ы д е л я е т с я совокупн ос ть
проекций, имеющих конкретное назначение и ис пол ьзу ющ их­
ся дл я создания специальных карт.
Эта с о в о ку п н о сть м о ж ет быть о б ъ е д и н е н а общим
на зва ние м “К а р т о г р а ф и ч е с к и е проекции ка рт конкретного
н а з н а ч е н и я ” (см. ра зд ел 3).
К этой совокупности относятся:
- проекции топографических карт;
- проекции, ис пол ьзу ющ ие ся дл я обработки геодезических
измерений;
- проекции ном енклатурных ка рт масштабов 1:1 ООО ООО и
1:2 500 ООО;
- проекции для морских и аэронавигационных карт;
- проекции для ото бражения ре альных поверхностей;
- проекции для а на мор фи ров ан ных карт;
- проекции трехосного эллипсоида;
- проекции д ля карт глобусов и другие.
1 .4 .3 . К Л А С С И Ф И К А Ц И Я К А Р Т О Г Р А Ф И Ч Е С К И Х
П Р О Е К Ц И Й П О Х А РА К Т Е РУ И С К А Ж Е Н И Й .
По этому пр из на ку проекции по др аз дел яю тся на:
- равноугольные, в которых одновременно выполняются одна
из пар условий равноугольности (см. п. 1. 1.8 . 1 ).
В равноугольных проекциях кар то гр аф и ч еская сетка
о р т о г о н а л ь н а , ч а с т н ы е м а с ш т а б ы д л и н не з а в и с я т от
н а п р а в л е н и й , т.е. ra = n = a = b = / i , но и м е ю т с я б о л ь ш и е
ис ка же н и я площадей;
- равновеликие, в которых выполняется одно из условий равн о в е л и к о с т и (см. п . 1 . 1 . 8 . 2 ), с о х р а н я е т с я п о с т о я н н ы м
отношение площадей на поверхности эллипсоида (сферы)
или плоскости, но имеются большие ис ка же ни я углов;
-
п р о и з в о л ь н ы е по х а р а к т е р у и с к а ж е н и й пр ое кц ии , в
которых не выполняются ни условия равноугольности,
ни условия равновеликости.
Среди этих проекций выделя ют проекции, р а в н о п р о м е ж у ­
точные вдоль одного из главных направлений, по которому
экстр ем аль ны й частный масштаб длин а = 1 или Ъ = 1 .
Для проекций с ортогональной картог раф иче ско й сеткой
аналогично выделяют ра внопромежуточные вдоль м е р и д и а ­
нов или вдоль па раллелей, в которых соответственно частные
масштабы длин вдоль этих направлений равны га = 1 или
п = 1.
Количественную оценку х ар актер а искаж ений для
получения проекций с ра зными промежуточными свойствами
можно дать по критерию Г.И.Конусовой [21].
В к а ч ес тв е единого п о к а з а т е л я ве ли чи ны и х а р а к т е р а
ис каже ний в любой точке проекции ею был предло жен вектор
р , п р о е к ц и я м и которого я в л я ю т с я и с к а ж е н и я п л о щ а д е й
(р - 1 ) и форм (со- 1), где со = а/Ъ.
Длина вектора
p = ' j ( p ~ 1) 2
+ (й > -1 )2
принята за меру комплексного и ска же ни я форм и площадей
одновременно, а величина
- как количественная мера ха ра к т е р а искажений.
1 .4 .4 . К Л А С С И Ф И К А Ц И Я П Р О Е К Ц И Й П О
С П О С О Б А М ИХ П О Л У Ч Е Н И Я .
Все сп особы и з ы с к а н и я к а р т о г р а ф и ч е с к и х п р о е к ц и й
м ож н о р а с с м а т р и в а т ь к а к в а р и а н т ы р е ш е н и я п р я м о й и
обратной за д ач математической картографии.
При реш ении первой зад ач и вначале о п р ед ел я ю тся
о т о б р а ж а ю щ и е ф у н к ц и и , а з а т е м с их и с п о л ь з о в а н и е м
получают ф ор мул ы для вычисления частных масштабов длин,
площадей и других х а ра кт е ри с ти к проекции.
Из ыс кан ие проекции на основе решения обратной задачи
м ате матической кар то гр аф и и ос ущ ест вля етс я по заданным
з н а ч е н и я м х а р а к т е р и с т и к п ро е к ц и и (или ч ас т и этих
характеристик), в р е з у л ьт а те чего определяются прямоуголь­
н ые к о о р д и н а т ы и с к о м о й п р о е к ц и и и н е д о с т а ю щ и е ее
хара кте ри сти ки.
П р я м а я и обратная з а д ач и математической ка рто гр аф ии ,
а т а к ж е способы и з ы с ка ни я проекций достаточно подробно
рас см отрены в р а з д е л е 4.
Кроме рассмотренных к л а с си ф ик а ци й известны и другие,
например, к л а с си ф и ка ц и я проекций по виду д и ф ф е р е н ц и а л ь ­
ных уравнений, описывающих ка р то г ра ф ич е с ки е проекции,
о с н о в а н н а я на а н а л и з е с и с т е м ы д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х
уравнений в частных производных Э йлера-У рмаева и
вариан тов доо пре дел яющ их ее функции.
В кратком изл оже нии эта кл а с с и ф и к а ц и я рассмотрена в
р а з д е л е 4, полное ее из л о ж е ни е дано в работе Г.А.Мещеря­
кова “Теорети чес кие основы мат ематической к а р т о г р а ф и и ”,
М. “Н е д р а ”, 1968. [27]
Д ан на я к л а с с и ф и к а ц и я я в л я е т с я мате мат ич еск и строгой,
но г р о м о з д к о й , н е н а г л я д н о й , не о х в а т ы в а е т собой все
известное в настоящее вр ем я множество проекций.
1 .5 . О С Н О В Н Ы Е П О Л О Ж Е Н И Я Т Е О Р И И
ОПРЕДЕЛЕНИЯ ГЛАВНЫ Х М АСШ ТАБОВ,
КОМ ПОНОВОК И ДРУГИХ ЭЛЕМ ЕНТОВ
М АТЕМ АТИЧЕСКОЙ ОСНОВЫ КАРТ.
Для создания вы сококачественны х карт, которые
об е сп е ч ив а л и бы б л а го п р и я т н ы е ус ло ви я р е ш е н и я по ним
р а зн о о б р азн ы х задач, необходимо хорошо продуманное
ре ше ние вопросов выбора (изыскания) не только к а р т о г р а ф и ­
ч ес ки х про екций, но и д р у г и х элеме нто в м а т е м а т и ч е с к о й
основы карт.
1 .5 .1 . Г Л А В Н Ы Е М А С Ш Т А Б Ы КАРТ
1.5.1.1. ОБЩ ИЕ ПОЛОЖ ЕНИЯ
Главный (общий) масштаб карты, подписываемый на ее
по л ях , п о к а з ы в а е т во с к о л ь к о р а з у м е н ь ш е н ы л и н е й н ы е
р а з м е р ы земного э л лип сои да (шара) при его из о б р а ж е н и и
на карте. Он у с та на вл ив а ю тс я до опре де л ен ия к а р т о г р а ф и ­
ческой проекции.
При про ект ировании новой ка р ты или серии ка р т выбор
мас шт аба обусловлен н а зн а че ни е м и темой к а р т ы и тесно
с вя за н с форматом ка рт ы и ее компоновкой.
Выбор масшта ба ка р ты завис ит от та ких фак торов, как
т е р р и т о р и а л ь н ы й охват к а р т о г р а ф и р у е м о й тер р и т о р и и , от
н аз н ач ен и я карты, х а р а к т е р а ее использования, темы карты,
зн а чи м ос ти и зо б р а ж а ем ой те р р и т о р и и , ее г е о г р а ф и ч е ск и х
особенностей, н а и ме ньш их пл ощадей, которые могут быть
и з о б р а ж е н ы на ка р те, во зм ож но с ти наглядного и хорошо
читаемого изображ ения наиболее сложных участков
т е р р и т о р и и , необходимой и во зм ож но й ст е пе ни н а г р у з к и
к а р т ы э л е м е н т а м и общего сп ец и ал ьн ого с о д е р ж а н и я ,
обеспечения составления к а р т м ат е р и а л а м и в пр ие мл ем ых
масштабах.
Пр ин ципиально можно выд ели ть два основных подхода к
установлению масштаба карты, выте ка ющи е из на зна чен ия
ка рт ы и х а р а к т е р а ее использования.
Пер вы й подход - выбор масштаба для карт, по которым
п р ед п о л агается вы полнять к ар то м етр и ч еск и е работы.
Основное требование: обеспечить заданную точность
измерен ий по создаваемой карте.
Второй подход, когда требов ан ия к точности измерений
на к а р те не игра ют о п р е д ел я ю щ ей роли. Тогда основными
ф а к т о р а м и выбора м асшт аба я в л я ю т с я р а з м е р ы и ф о р м а т
созд ава емы х, в пр иня ты х проекциях, карт и атласов.
М а с ш т а б в ы б и р аю т и об ос нов ыв аю т в п р о е к т е к а р т ы ,
и с х о д я п р е ж д е в с е г о из т е р р и т о р и а л ь н о г о о х в а т а и
заданного ф ор м а та карты.
О с об ое в н и м а н и е п р и о б р е т а е т в ы б о р м а с ш т а б а д л я
о т о б р а ж е н и я конкретной те р р и т о р и и или а к в а т о р и и
(континента, стра ны, моря) в за д ан ны х рамках, об ус ла в ли ­
ваю щих ра зм е р ы карты, атласа.
Строго говоря, главный масштаб сохр ан яет свое зна чение
только в определенных точках или ли ни я х карты. Поэтому
целесообразно на полях к а рт ы у к а з ы в а т ь точки или линии,
на которых он сохраняется. Масштаб - обуславливает ра зм е ры
кар то гр аф и ческо го и зоб раж ен и я. При прочих равны х
у сл ови ях от него за в и с я т полнота и подробность к а р т о г р а ф и ­
ческого изоб ра жен ия, во зм ож на я точность измерений. Одной
картой, при всей обоснованности выбора ее масштаба, не л ьз я
уд ов ле тв ори ть разн ооб раз ие требований
потребителей.
П о э т о м у не об ход им р я д к а р т в р а з л и ч н ы х м а с ш т а б а х и
опр ед еле ние масштабного ря д а из расчета обеспечения этих
р а з н о о б р а з н ы х т р е б о в а н и й , п р е ж д е всего, по п о л н о т е и
подробности кар тог рафического изображения. В то ж е время
необходимо, чтобы масштабов было по возможности меньше.
О ч е ви д но , что нет н е об хо ди м ос ти с о з д а в а т ь к а р т ы в
близких масштабах, если переход из одного к другому можно
о с у щ е стви ть просты м уве л и ч ен и е м или ум ен ь ш ен и ем
из об ра жен ия.
П рактическим путем определены наивы годнейш ие
ко эф фи ц и е н ты пе рехода масштабов: 1:2; 1:2,5 иногда 1:3. При
этом облегчается сопоставление карт ра зн ых масштабов на
одну и ту ж е территорию.
При выборе м асш таба сл ед ует у ч и ты в а ть та к ж е:
соотношения меж ду масштабом создаваем ой карты и
масштабами родственных карт, чтобы в ы д е р ж а т ь равенство
или к р а т н о с т ь м а с ш т а б о в ; э к о н о м и ч е с к и е с о о б р а ж е н и я ,
за клю ча ющи ес я в э ф ф ек тив но м использовании к а р т о г р а ф и ­
ческой бумаги с т а н д а р т н ы х р а з м е р о в , на иб ол е е полному
использовании полезной площади печатных форм, выпуске
многолистовой кар ты на минимально возможном количестве
листов и т.п.
Р а зр а б о тк а м асш таб ных рядов д л я ко нкр ет ны х систем,
видов, типов к а р т в общем с л у ч а е п р е д с т а в л я е т ве с ьм а
сложную задачу. Приведем сведения об основных из них.
1.5.1.2. МАСШТАБНЫЕ РЯДЫ ТОПОГРАФИЧЕСКИХ КАРТ.
ТОПОГРАФИЧЕСКАЯ ИЗУЧЕННОСТЬ СТРАН МИРА.
Наиболее полно за д ач а установления масштабных рядов
решена для топографических карт, главные масштабы
которых регламен тир ов аны соответствующими положениями.
На к а р т а х Ро сс ии до 1934 года п р и м е н я л и с ь с т а р ы е
русские меры - версты (1,067 км), сажен и (2,134 м), дюймы
(2,54 см), свя занные следующим соотношением: одна верста
= 500 с а ж е н е й = 42 ООО д ю йм ов . В н а с т о я щ е е в р е м я
при меняется м етр иче ска я система мер. 17 июля 1934 г. был
установлен масштабный ря д топо гр а ф ич е с ки х ка р т СССР:
1:10 ООО, 1:25 ООО, 1:50 000, 1:100 000, 1:200 000, 1:500 000 и
1:1 000 000. Одновременно были ус тановлены с тан д ар тн ые
масштабы для выполнения съемок и изготовления то пог ра ф и­
ческих планов: 1:500, 1:1 000, 1:2 000, 1:5 000.
В з а р у б е ж н ы х с тр а н а х , согласно сводке о ф и ц и а л ь н ы х
данных, выполненной Экономическим и Социальным советом
ОО Н, т о п о г р а ф и ч е с к и е к а р т ы с т р а н м и р а в к л ю ч а ю т
м асш табы ч ет ы р е х м асш табн ы х групп: п е р в а я группа
1:1 250 - 1:31 680 (в нее входят масштабы 1:1 250, 1:2 500,
1:5 000, 1:10 000, 1:25 000 и др.); вторая группа 1:40 000 -
1:75 ООО (1:50 ООО); т р е т ь я группа 1:100 ООО - 1: 126 720;
ч ет в е р т а я группа 1:140 000 - 1:253 000 (1:200 000, 1:250 000).
Наиболее удобный и целесообразный ряд топографических
к а р т 1:5 000, 1:10 000, 1:25 000, 1:50 000, 1:1.00 000,
1:200 000 и 1:250 000 при ним ается большинством стран, но
его составляющие неодинаковы в различн ых странах. Р а с п р о ­
с т р а н е н н ы е в Е в р оп е ( Ф р а н ц и и , Б е л ь г и и , Н и д е р л а н д а х ,
Д а н и и ) м а с ш т а б ы 1:20 000 и 1:40 000 у с т у п и л и м ес т о
1:25 000 и 1:50 000, но в Ф инл яндии и Швеции сохранился
м асштаб 1:20 000. Нек оторые страны (Ш ри -Л ан к а, Индия,
И р л а н д и я , Н о в а я З е л а н д и я , Н е п а л и др.) п р о д о л ж а ю т
испо ль зо ват ь неметри чес кие масштабы. В Великоб ри тан ии
сохранились масштабы 1: 1 250, 1:10 560, 1:63 360.
Говоря о топографической изученности, можно отметить,
что мир в целом обеспечен карт ам и четвертой группы - более
70% площади.
Большинство европейских стран имеют карты в масштабах
1:25 000 и 1:50 000 и те пе рь создают к а р т ы в м ас шт аба х
1:10 000, 1:5 000 и крупнее.
В Азии наилучш ую обеспеченность к а рт а м и масштабов
1:25 000 и 1:50 000 и м е ю т Я п о н и я , Т у р ц и я , Л и в а н ,
А ф г а н и с т а н , И о р д а н и я , Ю ж н а я К о р е я , Л ао с , Т а и л а н д ,
Ф и л ип пи ны . Ш р и - Л а н к а и Ин д ия имеют к а р т ы мас шт аба
1:63 360 (в Индии - на 72% территории).
В А ф р и к е 20% т е р р и т о р и и п о к р ы т о к а р т а м и вто р о й
г р у п п ы , 15% - к а р т а м и т р е т ь е й г р у п п ы и око ло 70% ка р та м и четвертой группы.
В северной Америке ка рты четвертой группы имеются на
98% тер ри то ри и.
80% т е р р и т о р и и С Ш А п о к р ы т о к а р т а м и 1:24 000 и
1:62 500. В К а н а д е на 30% т е р р и т о р и и и м е ю т с я к а р т ы
масштаба 1:50 000, на города и их окрестности создаются
планы масштаба 1;25 000.
В Ю жно й Ам ер и ке бо ль ша я часть т е р р и т о р и и ли ше на
топ ографических карт.
А в с тр а л ия в целом имеет ка р ту масштаба 1:250 000.
Н о в а я З е л а н д и я б о л е е чем на 70% п о к р ы т а к а р т о й
масштаба 1:63 360.
Больш инство островов Океании хорошо обеспечены
топографическими картами [16].
1.5.1.3. ГЛАВНЫЕ МАСШТАБЫ МОРСКИХ И
АЭРОНАВИГАЦИОННЫХ КАРТ
Масштабы морских карт чрезвычайно разнообразны. Карты
ше л ьф а и внутренних водоемов создаются в нашей стране в
масштабах 1:10 ООО, 1:25 ООО, 1:50 ООО, 1:100 ООО, 1:200 000,
1:500 000 и 1:1 000 000, п л а н о в - в м а с ш т а б а х
1:2 000 и 1:5 ООО** , батиметрические карты, изобра жаю щие
дно м о р е й и о к е а н о в в и з о б а т а х и в о т м е т к а х гл у б и н
подразде ля ют ся на крупномасштабные (крупнее 1:500 000),
с р е д н е м а с ш т а б н ы е (1:500 000 - 1:2 000 000) и м е л к о ­
масштабные (мельче 1:2 000 0 0 0 ).
З а р у б е ж н ы е ба тим етрические карты нередко включают
в свой соста в к а р т ы ш е л ь ф а ( н а п р и м е р , в Японии) и в
зависимости от на значения и территориального охвата имеют
р а з н о о б р а з н ы е м а с ш т а б ы в п р е д е л а х от 1 :1 0 0 0 0 до
1:3 000 000 (в ряде случаев и мельче).
М о р с к и е н а в и г а ц и о н н ы е к а р т ы **] по н а з н а ч е н и ю и
масштабам под раздел яются на генеральные карты (масштабы
от 1:500 000 до 1:5 000 000), путевые кар ты (масштабы от
1:100 000 до 1:500 000). ч а с т н ы е к а р т ы ( м а с ш т а б ы от
1:25 000 до 1:75 000), планы (масштабы от 1:500 до 1:25 000),
специ аль ны е навигационные ка рт ы - ради она ви га цио нны е
( м а с ш т а б ы (1:75 000 до 1:3 500 000) , н а в и г а ц и о н н о ­
промысловые (масштабы 1:5 000 000 и мельче). Кроме того,
создаются обзорные, общие навигационные, вспомогательные
и справочные кар ты в ра зл ичн ых масштабах, включающие
в с е б я р а з н о о б р а з н ы е по т е м а т и к е к а р т о г р а ф и ч е с к и е
издания, и сп ользуем ы е для оп р ед ел ен и я обобщенных
х а р а к т е р и с т и к и д л я получения сведений, отсут ствующ их
на навигационных картах.
Так, например, обзорные карты создаются в масштабах
от 1:500 000 до 1:20 000 000, к а р т ы р а д и о м а я к о в и
радиостанций - от 1:1 000 000 до 1:500 000.
Система масштабов аэронавигационных карт колеблется
от 1:250 000 (1:200 000) до 1:20 000 000, в зависимости от их
назна чения.
Карт ы для пл анирования (выбор маршрутов, п р е д в а р и ­
тельные расчеты и т.п.), используемые только в работе на
*] Инструкция по созданию топографических карт шельфа и внутренних
водоемов, М., ЦНИИГАИК, 1982.
**)А.В.Павлова “Морские навигационные карты”, изд-во Ленинградского
университета, 1961.
З е м л е , с о з д а ю т с я в м а с ш т а б а х от 1:2 ООО ООО до
1:20 ООО ООО** , п о л е т н ы е к а р т ы - в м а с ш т а б а х от
1:250 ООО (1:200 ООО) до 1:3 ООО ООО - 1:4 ООО ООО, специальные
аэронавигационные карты - от 1:1 ООО ООО до 1:10 000 000.
Ка рт ы подходов и карты обеспечения взлета и посадки - в
масштабах 1:250 000 (1:200 000) и крупнее.
ИКАО (меж дународная организация граж данской
авиации), .дополнительно р е к о м е н д у е т с л е д у ю щ и е п л а н ы схемы: захода на посадку масштаба 1:200 0 0 0 ; аэродромных
п ре пя тст ви й от 1:25 000 до масштаба 1:10 000; аэродрома
для п ер едв иж ен ия самолетов, р ул е жн ых дорожк ах и перроне
масштаба 1:10 000 .
1.5.1.4. ГЛАВНЫЕ МАСШТАБЫ ДРУГИХ СИСТЕМ И ТИПОВ КАРТ
При создании нестандартных карт главный масштаб этих
к а р т м ож но у с т а н о в и т ь , и с х о д я из г е о м е т р и ч е с к и х
соображений [29]:
- заданной точности измерений по карте координат точек
и длин линий
* = 1000 ^
=710^.
Afc
Д/с
- полной пере дачи объектов, локализованных по пунктам
- изобра жен ия площадных объектов (выделов) заданного
минимального раз мер а
Здесь: N - зна менатель численного масштаба карт;
М - именованный масштаб, выра жен ный числом кило­
метров в 1 см;
А к - ср. кв. ошибка в положении на карте предметов
и контуров (в мм.);
m /c»m d " СР- к в - ошибки в оп ре д ел е н и и коо р д и н а т
отдельных точек и расстояний м еж д у ними по
картам (в м.);
+) А.М.Комков “Аэронавигационные карты США”, М., 1958.
q - густота в н а ту ре объектов, л о к а л и з о в а н н ы х по
пунктам (число объектов на 100 км 2 местности);
п 0 - целесообразная нагрузка карты точечными объек­
тами (число объектов на 100 см2);
Р, р - соответственно минимальные выделы в натуре
(в км2) и на карте (в см2).
В целях составления серии карт преимущ ественно
устана вли вае тся единый масштаб или несколько масштабов,
но, как правило, кратны х. Н ап рим ер , д л я серии учебных
карт частей света, за исключением Европы и Азии, принят
главный масштаб 1:6 ООО ООО, а кар ты отдельных государств
и групп государств Европы изд аю тся в м асш табах
1:1 ООО ООО - 1:1 500 000 (кроме самых малых государств).
При с о з д ан и и а т л а с о в г л а вн ы е м а с ш т а б ы в основном
я вл я ю т с я кр атн ы ми и з а в и с я т от ф о р м а т а ка р т атласов,
территориального охвата картогра фи руе мых областей и могут
иметь зн ачительные различия.
Например, на атласе мира, изд. ГУГК, М., 1982 г. Главные
м асштабы ка р т колеблются от 1:1 000 000 д л я отд ельных
м а л ы х реги он ов и н е б о л ь ш и х г о с у д а р с т в , 1:2 000 000 1:6 000 000 для государств и регионов средних размеров, до
1:15 000 000 - 1:20 000 000 для карт России и до 1:75 000 000
- 1:80 000 000 - для карт мира.
Проектирование главного масштаба карты, обеспечиваю­
щего п о к а з о б ъ е к т а или я в л е н и я в п р е д е л а х з а д а н н о й
ка р то г р а ф и р у е м ой терр ит ори и, может быть осуществлено,
и с п о л ь з у я н ом ог рам му , п р и в е д е н н у ю на р и с . 24, к о т о р а я
построена на основе известных приближенных формул.
Масштаб с помощью этой номограммы опр ед еляется путем
нахождения точки в пересечении ве рт ика льн ых и горизон­
тальных прямых, соответствующих заданной максимальной
протяженности ка р то г р а ф ир у е мо й те рр и т ор ии и заданн ым
размером листа карты. Полученное значение округл яе тся до
масштаба, входящего в традиционный ряд, например,
1:1 000 000, 1:2 500 000, 1:4 000 000 и т.п.
1 .5 .2 . Ф О Р М А Т И К О М П О Н О В К И КАРТ
Ф о р м а т к а р т ы - это общие р а з м е р ы всей карты. При
в ы б о р е ф о р м а т а к а р т ы в п р о и з в о д с т в е у ч и т ы в а ю т ее
р а з м е р ы по в н у т р е н н и м , вн е ш н и м р а м к а м , по о б р е з у с
полями, а т а к ж е фо рм а т бумаги.
В основном ф ор м а т ка р ты опр е д ел яе тс я ее масштабом,
Рис. 24 Номограмма для определения главного масштаба карты
охватом картограф ируем ой территории, особенностями
проекции, ориентированием картографического изображения,
удобством пользования картой в условиях, для которых она
предусмотрена, технико-экономическим факторами. Приступая
к про ектированию карты, ра з р а ба ты ва ю т макет компоновки.
Под компоновкой карты понимают опре деление положения
рамок ка р ты относительно изображаемой на карте области,
ра зме щ ен ие на звания карты, ее легенды, врезны х (дополни­
тельных) ка рт и графиков относительно ка рто гра фи чес кой
сетки, решение вопросов р а з г р а ф к и карты, т.е. ее де ления
на листы.
Рамкой ка рт ы я в л я е т с я линия или система п а ра лл е л ьн ы х
линий, о к а й м л я ю щ и х и з о б р а ж е н и е кар ты . При этом
ра зл ича ют внутреннюю и внешнюю рамки; вну тр ен няя рамка
ограничивает картогр аф иче ско е изображение. На ней могут
б ы т ь н а н е с е н ы д о п о л н и т е л ь н ы е д е л е н и я на о т р е з к и ,
соответствующие линейным величинам градусов, минут или
их долей, внешние рамки, окаймляющие все прочие рамки
карты, в основном я в л я ю т с я де коративн ыми. Ра мк и могут
быть прямоугольными, тр а п е ци е ви д ны м и, э л ли п ти ч ес ки м и
(овальными) и круглыми.
Проектирование компоновки за висит от многих факторов,
к числу которых относятся:
- назначение карты, ее проектируемое содержание;
- кар тограф ическ ая проекция и главный масштаб создав ае ­
мой к а р т ы , к о т о р ы е в ы б и р а ю т с я е щ е до н а ч а л а
проектирования компоновки карты;
- условия применения кар ты (настольная, настенная, мно­
г о л и с т н а я или о д н о л и с т н а я , в а т л а с е или отд е л ьн о ,
ориентировка из о б р а же ни я относительно севера и т.п.)
и анали за ка ртогр афи ческой информации (визуально, с
п о м о щ ью ЭВМ или с по м о щ ью р а з л и ч н ы х м е т о д о в
исследований);
- требования экономической э ффе кти вн ос ти (обеспечение
заданных размер ов карты и ее листов, наиболее полное
использование полезной площади печа тн ых форм при
издании, использование
к а р т о г р а ф и ч е с к о й б ум а ги
станда ртн ых размеров, обеспечение из да ния многолист­
ной к а р т ы при м и н и м а л ь н о в о з м о ж н о м к о л и ч е с т в е
листов и т.п.).
Последовательность проектирования компоновки карты:
1. Определяют исходные данные, а именно: ус тан авливают
с у ч е т о м н а з н а ч е н и я к а р т ы и ее с о д е р ж а н и я , к а к а я
т е р р и т о р и я по д л еж ит ка рто гр аф иро ван ию , какие смеж ны е
области и ком му ни к ац ио нн ы е с вя зи д о л ж н ы быть на ней
п о к а з а н ы , у т о ч н я ю т с о д е р ж а н и е и ко л и ч е с т в о (не более
трех) дополнительных (врезных) карт, уточняют требования
по обеспечению э ф ф е к т и в н о с т и с о з д ан и я к а р т ы (р а з м е р ы
всей ка р т ы и отд е л ьн ых листов, с о д е р ж а н и е зарамочного
оформления и т.п.).
2. Вычисляют по ф ор мул ам выбранной картогр афи ческой
пр о е кц и и к о о р д и н а т ы уг л о вы х (к ра йн их ) то ч е к основной
карты, координаты ра зре жен ной картограф иче ско й сетки. За
средний меридиан создаваем ой карты первоначально
принимают меридиан с долготой, вычисленной как среднее
ар ифм ети че ское из долгот самой восточной и самой западной
точек изображаемой области.
Первые два пункта выполняются одновременно с выбором
главного масштаба основной карты.
3. Устанавливают области наибольших ис каже ний на к а р ­
те, у т о ч н я ю т р а с п о л о ж е н и е г р а ф и к о в и в р е з н ы х к а р т ,
о п р е д е л я ю т пло ща дь , м ас ш т аб и п р и м е р н ы е к о о р д и н а т ы
угловых точек врезных карт.
4. Строят с ис пользованием полученных координат углов
рамок ка рты (обычно на миллиметровке) макет компоновки.
После а на ли за вы ше пер еч ис лен ны х требований бывает,
что приходится вносить изменения в компоновку карты.
5. Уточняя долготу среднего меридиана, обращают вн им а­
ние на следующие вопросы: обеспечивается ли в пре делах
заданного ф ормата карты р азм ещ ение внутреннего и
внешнего с о д е р ж а н и я ка рт ы , как м ен я е т с я о р и е н ти р о в к а
к ар ты относительно севера (это важно для настенных карт),
насколько существенно увелич иваются ис ка же ни я проекции
на уч аст ках карты, для которых возросли разности долгот
из - з а изменения положения среднего меридиана.
6 . Если изменение ориентировки карты не дает ж е л а е м ы х
резу льт ато в, то ставится вопрос о возможности изменения
р а з м е р о в со зд ав аем о й карты . Если такое и зм ен ен и е
д о п у с т и м о , то р е ш а е т с я в о п р о с о д о л г о т е с р е д н е г о
меридиана, чтобы определить жел аемую ориентировку карты
относительно севера и обеспечить минимум искажений.
В случаях, когда недопустимы изменения ф орм ата карты
( например, при компоновке многих атласных карт), ставится
вопрос о возможности изменения главного масштаба карты
в допустимых пределах и с учетом установленной преемствен­
ности и согласованности (кратности) масштабов однотипных
карт, обеспечения системы масштабов карт атласов.
7. За м ена или видоизменение принятой ка рто графической
проекции при проектировании компоновки карты н е ж е л а т е л ь ­
ны, т а к к а к п р о е к ц и я в ы б и р а л а с ь (до у с т а н о в л е н и я
компоновки) с учетом назначе ния данной карты.
После того как принят окончательный вариант компоновки
всей к а р т ы в целом, у с т а н а в л и в а ю т , где и к а ки е именно
разместить дополнительные карты и графики, легенду
(та б ли ц у ус л о вн ых об оз на чен ий и п о я с н и т е л ь н ы й текст),
на зв а ни е карты , ее главный масштаб, выходные данные и
другие эл ементы оф о р мл ен ия карты, окон чательно о п р е д е л я ­
ют г л а в н ы е м а с ш т а б ы д о п о л н и т е л ь н ы х к а р т . П р и этом
н е о б хо ди м о у ч и т ы в а т ь у с л о в и я п р и м е н е н и я к а р т ы . Та к,
н а п р и м е р , на н а с т е н н ы х к а р т а х у до бн о, ч то б ы л е г е н д а
р а с по ла га л а сь на уровне глаз, поло жен ие д оп ол нит ел ьны х
(врезных) карт хорошо сочеталось и воспринималось в единой
композиции с основным с од ерж ан ие м карты.
Д оп ол ни тел ьн ые (врезные) ка р ты не д о л ж н ы у х у д ш а т ь
условий благоприятного во с пр ия т ия основного с о д е р ж а н и я
карты , поэтому жел а те л ьн о, чтобы их было не более д в у х ­
тр е х и чтобы они р ас пол аг ал ис ь на к р а я х карты, главным
образом, в местах наибольших искаже ний принятой проекции.
На дополн ите льн ых ка р т а х главным образом, дается:
- более подробное изо б р аж ен ие уч аст ка основной карты,
пре дставляющего особый интерес для данной тер рит ори и
или дл я и з у ч ен ия данного конкретного явле ния , а т а к ж е
для получения до пол нительных х а р а кт е ри с ти к, особенно
в местах скопления ото б ра жа ем ы х объектов ;
- и зо бр аж ен и й уч аст ка основной те рр и то ри и , выхо дя щей
за р а м к у к а р т ы , н а п р и м е р , н е к о т о р ы х о стр о в о в,
п р и н а д л е ж а щ и х д а нно му го с уд арс тв у, но о т д а л е н н ы х
от основной территории;
- отображение коммуникационных связей, положения
т е р р и т о р и и , и з о б р а ж е н н о й на о с н о в н о й к а р т е , по
отношению к ее окружению.
Как отмечалось, при проектировании к а рт ы с ос та вля етс я
м аке т ее компоновки.
На э т и х м а к е т а х п о к а з ы в а е т с я : р а з р е ж е н н а я с е т ь
меридианов и п а р а лл е л е й , контур (границы) к а р т о г р а ф и р у е ­
мой те рри то ри и, береговая л ини я морей (океанов), оч ер та ни я
кр упн ых водных бассейнов, в а ж н е й ш и е реки и населенные
пункты и другие в а ж н ы е объекты, а т а к ж е рамки и надписи,
п о к а з ы в а ю щ и е р а з м е щ е н и е д о п о л н и т е л ь н ы х ка рт , легенд,
таблиц, графиков и зарамочного оформления, выходных
сведений (название изд а те л ьс тв а , место и год и з д а н и я и т.п.)
и др у ги е д о п о л н и те л ьн ы е данные. П о к а з ы в а ю т с я р а з м е р ы
к а р т ы по внутренним и внешним рамкам.
В а ж ны м вопросом при про ектировании компоновки к а р ты
я в л я е т с я вопрос ее р а з г р а ф к и , т.е. д е ле н и я на листы.
Компоновка однолистных, многолистных карт и карт
атласа имеет свою специфику. Макет компоновки однолистной
ка рт ы и ва ри а нт ы их компоновок пок аз ан ы соответственно
на рис. 25 и 26.
Компоновка
и
ра з г р а ф к а много­
листных
карт
стандартны для
каждого
типа
к а р ты и о п р е д е ­
ляются соответ­
ствующими ин­
с т р у к ц и я м и по
созданию карт
заданного типа
(рис.27) В случае,
когда
при
с о з д а н и и много­
л ис тны х ка р т ис­
пользуется нес­
колько п роек­
ций, с о з д а ю т с я
листы п ерекры ­
тий.
Если ком по­
новка многолист­
ных т о п о г р а ф и ­
ческих ка рт ре г ­
ламентируется
общими п о л о ж е ­
ниями по их созданию и я в л я е т с я стандартной д ля систем
этих ка рт ра зл ич ны х государств, то применительно к с оз д а ­
нию ка рт других систем и типов су ще ств уе т иное положение.
Так, компоновка и р а з г р а ф к а навигационных морских карт
произвольны, опр еделяются условиями их использования.
В с о о т в е т с т в и и с н а з н а ч е н и е м ка ж д о го ти п а м ор ск их
навигационных карт р а з г р а ф к а (нарезка) про ек ти р уе т ся так,
чтобы г е н е р ал ь н ы м и к а р т а м и п о к р ы в а л о сь все море,
путевыми картами - определенная полоса моря вдоль берегов,
частными ка рта м и и планами - отдельные районы (бухты,
узкости, порты и т.д.). при н ар ез ке каждой отдельной ка рты
исходят из того, что она д ол жна и зо б р а ж а ть целостный в
г е о г р а ф и ч е с к о м и н а в и г а ц и о н н о м о т н о ш е н и и р а й о н (не
возникало необходимости при плавании в пр е д ел а х данного
м о р с к о г о р а й о н а и с п о л ь з о в а т ь д р у г и е к а р т ы то го ж е
м асш таб а). М е ж д у сос едн им и од н о м а с ш т а б н ы м и к а р т а м и
б
а
г
Рис.26 Варианты компоновки однолистной карты
предусматривают взаимное перекрытие - находы,
ширина
которых зависит от гидрографических и навигационных
особенностей картографируемых районов - не должна быть
меньше 10 см, а площадь его не превосходить 25% полезной
площади карты (рис.28).
Морские навигационные карты издаются на отдельных
листах стандартного размера: на целом листе - 75 х 100 см,
на половине листа - 50 х 75 см и на четверти листа - 38 х 50
см.
В тех случаях, когда данный морской район (залив, бухту
109
Рис.27 Стандартная компоновка листов международной карты мира
масштаба 1:2 500 ООО
и т.п.) необходимо нанести на одну карту, а его из об ра жен ие
не п о м е щ а е т с я на с т а н д а р т н о м л и с т е , к а р т у и з д а ю т с
к л а п а н о м п р е д с т а в л я ю щ и м собой п р о д о л ж е н и е к а р т ы на
другом не полном листе, подклеенном к основному л ис ту
карты.
Компоновка и р а з г р а ф к а аэронавигационных ка рт т а к ж е
р а з н о о б р а з н ы , з а в и с я т от т и п а и н а з н а ч е н и я к а р т ,
особенностей ка р то гр а ф и р у е м ы х территорий. Многие ка рт ы
создаю тся в прямоугольной р а з г р а ф к е , в виде листов
с тан д ар тн ых размеров и в форме полос прямоугольников.
Р яд при меняемых в гра жданской авиации к а р т яв л яю тс я
многолистными с тр а п е ц и е в и д н о й компоновкой, в которой
рамками листов служ ат изображ ения меридианоп и
па ра л л е л е й .
При к о м п он ов ке а т л а с н ы х к а р т с о б л ю д а е т с я строго
установленный фо рма т листов и геогр афи че ска я целостность
Рис.28 Нарезка навигационных морских карт
с “находами”друг на друга смежных листов
территорий, изо бр аж аем ых в пределах отдельных листов.
1 .5 .3 . К О О Р Д И Н А Т Н Ы Е С Е Т К И , П О К А З Ы В А Е М Ы Е
НА КАРТАХ
На географических карта х дается изображение с заданной
частотой сетки меридианов и паралл ел ей, называем ой
кар то гр а ф и ч е с к о й сеткой.
Меридианы соответствуют
направлению север - юг, паралл ел и - направлению запа д восток. В картограф иче ски х сетках счет п а ра лле ле й всегда
в е д у т от э к в а т о р а , с ч е т м е р и д и а н о в - от н а ч а л ь н о г о
меридиана, за который по международному соглашению 1884
года п р и н и м а ю т м е р и д и а н Г р и н в и ч с к о й о б с е р в а т о р и и
( А н г л и я ) . В то ж е в р е м я на т о п о г р а ф и ч е с к и х к а р т а х
некоторых стран используют местные начала счета долгот,
как правило совпадающие с меридианом главной обсервато­
рии данной страны.
С использованием изоб ражения меридианов и паралл ел ей
можно оп ре дел ит ь по ка рт а м ге огр афи че ски е коо рдинаты
точек местности, или наоборот нанести на карту те или иные
объекты по их координатам, осуществля ть ориентирование
при работе с картой в поле. При выполнении составительских
работ к а р т о г р а ф и ч е с к а я сетка сл у ж и т остовом для
проектирования изобра же ния создаваемых произведений.
Вместе с тем практические задачи решаются с относи­
т е л ь н о й п р о с т о т о й т о л ь к о на к а р т а х , с о с т а в л е н н ы х в
ц и л и н д р и ч е с к и х прое кци ях, в кото рых к а р т о г р а ф и ч е с к а я
сетка представляет собой систему взаимно перпендикулярных
п а р а лл е л ьн ы х линий. В других проекциях картограф иче ск ие
сетки имеют более сложный вид и при решении практических
зад ач приходится прибегать к вспомогательным графическим
построениям и вычислениям.
П о э т о м у на с о в р е м е н н ы х т о п о г р а ф и ч е с к и х к а р т а х
дополнительно к картографической сетке, а на некоторых
ка рт ах (например английских и финских) - взамен ее даются
к о о р д и н а т н ы е сетки, н а з ы в а е м ы е т а к ж е к и л о м е т р о в ы м и
сетками, пр едставляющие собой систему взаимно пе рпе нди ­
к у л я р н ы х пря мых , п а р а л л е л ь н ы х или п е р п е н д и к у л я р н ы х
изображению начального меридиана зоны, принятому за ось
абсцисс.
Та к на топ ог р а ф и че с ки х к а р т а х масшт аба 1:200 ООО и
крупнее стран бывшего СССР дана прямоугольная координат­
ная сетка с частотой, указанной в табл. 1.
Табл.1
Частота координатной сетки
Масштаб
на карте(см.)
на местности(км
1 2 000
1 5 000
1 10 000
1 25 000
1 50 000
1 100 000
1 200 000
10
10
10
4
2
2
2
0,2
0,5
1
1
1
2
4
На к а р т а х м асш таб а 1:500 ООО отм е ча ю тс я на р а м к а х
только выходы прямоугольной сетки.
На топографических картах США применяется достаточна
с ло жна я система координатных сеток. На некоторых из них
(картах изда ния геологической съемки) координатная сетка,
как привило, отсутствует, на других топографических ка рта х
(и зд а ни я AMS) могут о к а з а т ь с я три ко орд ина тны е сетки,
показанные линиями раличного цвета: черными линиями сетка в системе местных прям оугольны х координат,
ко ричневыми - выходы за р ам кам и координатной сетки в
поликонической проекции, красными - координатная сетка
UTM (А.М.Комков. 1961).
И с п о л ь з о в а н и е к о о р д и н а т н ы х се ток с о з д а е т уд об ст ва
и з м е р е н и я по т о п о г р а ф и ч е с к и м к а р т а м п р я м о у г о л ь н ы х
координат в принятой проекции, расстоян и й , углов,
н а п р авл ен и й , площ адей, удобства реш ений многих
инж енерны х и других задач, осущ ествления быстрой
глазомерной оценки и получения ра зл ичн ых количественных
характер ис тик .
К р о м е к а р т о г р а ф и ч е с к и х и к о о р д и н а т н ы х с е то к или
вместо них на некоторых кар та х могут д ав ать ся изо бражение
других систем линий - специальных сеток, пре дн азначенных
для решения навигационных и других задач, например
и з о б р а ж е н и е двух семейств линий гипербол, д л я ка ж д о й
точки которых разность расстояний от двух заданн ых точек
(полюсов) есть в е л и ч и н а п ос то ян н а я, и с п о л ь з у е м а я , д л я
определения координат объектов; двух семейств окружностей
- расстояния от двух базисных станций для дальномерных
РНС; линий изоа зимутов при осуществлении навигации по
радиопеленгам и т.п.
1 .5 .4 . Р А З Г Р А Ф К И И Н Е К О Т О Р Ы Е С И С Т Е М Ы
Н О М Е Н К Л А Т У Р КАРТ
1.5.4.1. РАЗГРАФКИ КАРТ
Система де ления кар ты на листы на зы вае тся разграфкой.
Известны три системы р а зг р а ф к и карт:
- по линиям картографической сетки,
- по линиям координатной сетки,
- по линиям, па ра лле льн ым и перпен дик уля рны м к с р е д ­
нему м ер и д и ан у (так н а з ы в а е м а я п р я м о у го л ь н ая
ра з г р а ф к а )
Р а з г р а ф к а по ли ния м к а р т ог ра ф ич е с ко й сетки широко
и с п о л ь з у е т с я при с о зд ан и и т о п о г р а ф и ч е с к и х и о б з о р н о ­
топографических карт, а т а к ж е многих других государствен­
ных многолистных карт. Так топографические кар ты бывшего
СССР, со ста вля емы е в проекции Г аус са-Крюге ра, на чиная
с масштаба 1:10 ООО до 1:1 ООО ООО строят в шестиградусных
зонах. К о о р д и н а т н ы м и ос ям и я в л я ю т с я п р я м о л и н е й н ы й
с р е д н и й м е р и д и а н (ось абсцисс) зоны и п р я м о л и н е й н ы й
экватор (ось ординат). Счет координатных зон ведется с запада
на восток от Гринвича. Долгота среднего (осевого) меридиана
первой шестиградусной зоны равна 3°. Долгота других осевых
меридианов зон оп ре д ел я е тс я по фо р му л е L 0 = 6N - 3 , где
N - номер зоны. Системы координат в каждой зоне идентичны.
Чтобы исключить из обращения отрицательные ординаты ко
всем ор ди н а та х добавляют постоянное число 500 ООО м, в
р е зу л ь т а т е получаю тся условное значение ординаты,
подписываемое на топографической карте. Например, точка
с условной ординатой 35 350 125 расположена в 35 зоне и ее
истинная ордината равна (-149875 м.). Для стыковки зон на
рамках листов, расположенных вблизи граничного меридиана,
ш трихами показывают выходы координатных линий соседних
зон к востоку и к за па ду от граничного меридиана: 1° до
п а ра лле ле й с широтами 28° , 2° в полосе меж ду широтами
28 - 76° и 3° севернее и южнее па ра лле ли 76°.
Для топографических планов масштабов 1:5 ООО и крупнее
применяют трехградусные зоны, осевые меридианы которых
совпадают с осевыми и граничными меридианами ш е с ти гр а ­
дусных зон.
Листы топографических карт севернее (южнее) па ра лл е л и
60° составляют сдвоенными до долготе, а выше па ра лл е л и
76° - счетверенными по долготе.
В основе р а з г р а ф к и л е ж и т карта мас штаба 1:1 ООО ООО,
которая имеет ра зм ер ы 4° по широте и 6° по долготе.
В одной трапеции карты масштаба 1:1 ООО ООО содерж и тся
4 т р а п е ц и и м а с ш т а б а 1:500 000, 36 т р а п е ц и й м а с ш т а б а
1:200 000 и 144 трапеции масштаба 1:100 000.
В основу р а з г р а ф к и кар т масштабов 1:5 000 и 1:2 000,
с о з д а в а е м ы х на т е р р и т о р и и п л о щ а д ь ю б о л е е 20 к м 2,
принимается лист карты масштаба 1:100 0 0 0 , который делится
на 256 частей для карты масштаба 1:5 000, а к а ж д ы й лист
ка рты масштаба 1:5 000 де лится на 9 листов ка рты масштаба
1:2 0 00 .
Для т о п о г р а ф и че с ки х планов, с о зд ав а ем ы х на уч аст ки
площадью менее 20 км2, применяется разграфка по прямоуголь­
ной координатной сетке с размерами рамок 40 х 40 см 2 для
планов масштаба 1:5 000, а для масштабов 1:2 000 и крупнее 50 х 50 см. В основу разграфки в этом случае принимается лист
карты масштаба 1:5 000, обозначаемый арабскими цифрами. Ему
с о о т в е т с т в у е т 4 л ис та м ас ш т аб а 1:2 000, к а ж д о м у л и с т у
масштаба 1:2 000 соответствует 4 листа масштаба 1:1 000 и 16
листов масштаба 1:500.
Топографические карты США, как и в большинстве других
стран, т а к ж е изда ются на отдельных листах, имеющих форму
трапеций, ограниченных линиями меридианов и параллелей.
Станда рт ные р а з м е р ы рамок листов этих кар т показаны
в табл. 2 .
Табл.2
Р а з м е р ы рамок листов
Масштабы кар т
7’5 х 7’5
1:24000,1:25000,1:31680
15’ х 15’
1:50000,1:62500,1:63360
30’ х 30’
1:100000,1:125000
1° х 2 °
1:250000 (на континентальную
территорию)
1:250000 (на северные районы
Аляски)
1° х 3°
В США пр ин ято именов ать т о п ог ра ф и че с ки е к а р т ы не
по м а с ш т а б а м , а по с т а н д а р т н ы м р а з м е р а м р а м о к
(семисполовинойминутная карта, пя тн ад ц ати м и н у тн ая ка рта
и т.д.).
С и ст ем а р а з г р а ф к и эти х к а р т СШ А т а к ж е с в я з а н а с
международной р а з г р а ф ко й кар ты масштаба 1:1 ООО ООО и
п о с т р о е н а на п о с л е д о в а т е л ь н о м д е л е н и и к а ж д о г о л и с т а
ста нд ар тны х разме ро в на четыре равные (в угловой мере)
части.
Лист ка рты масштаба 1:1 ООО ООО с од ерж и т 12 листов
ка рты масштаба 1:250 ООО. Лист ка рты масштаба 1:250 ООО, в
свою о ч е р е д ь с о д е р ж и т 8 т р и д ц а т и м и н у т н ы х л и с то в
(масштабов 1:125 ООО или 1:100 ООО), 32 пя тн ад ца тим ину тны х
листа (масштабов 1:50 000 или 1:62 500 или 1:63 360), 128
сем и с п о л о ви н о й м и н у тн ы х лист ов (ма сш таб а 1:24 000 или
1:25 000 или 1:31680).
В качестве примера использования трапециевидной
р а з г р а ф к и пр и с о з д а н и и м е л к о м а с ш т а б н ы х к а р т м ож но
привести справочную, многолистную ка рт у мира масштаба
1:2 500 000. Р а з м е р ы ее листов равны 12° по широте для
всех листов, а по долготе 18° - в полосе от эк в а т о р а до
п а р а л л е л е й с ш и р о т а м и ±48°, 24° - в по ло се по ш и р о т е
±(48 - 60°), 36° - в полосе по широте ±(60 - 72°) и 60° - в
полосе ±(72 - 80°). По л яр ны е районы (северный и южный)
составляются ка жд ый на одном листе.
Достоинством р а з г р а ф к и по л ин ия м к а р т о г р а ф и ч е с к о й
сетки я в л я е тс я возможность независимого составления
отдельных листов, симметричность расположения меридианов
и п а р а л л е л е й относительно среднего м еридиана листа.
Однако, и з - з а с б л и ж е н и я м е р и д и а н о в р а з м е р ы л ис то в с
возрастанием географической широты значительно
у м е н ь ш а ю т с я , что в р я д е с л у ч а е в с о з д а е т н е к о т о р ы е
н е у д о б с т в а п о л ь з о в а н и я к а р т а м и . Р а з г р а ф к а по л и н и я м
ко о р д и н а т н о й се тки и с п о л ь з у е т с я редко. П р я м о у г о л ь н а я
р а з г р а ф к а и с п о л ьз у е тс я, гла вны м образом, при со зд ан ии
ра зл ичн ы х мелкомасштабных карт.
Достоинством прямоугольной ра зг р а ф к и я в л я е т с я то, что
во многих с л у ч а я х можно обеспечить, чтобы л и с т ы к а р т
имели одинаковый или близкий ф орм ат листов, возможность
эко но м ич н о и с п о л ь з о в а т ь с т а н д а р т н ы е р а з м е р ы бу маги,
удобство формирования блоков из листов карт, их соединения
(склейки).
Н е д о с т а т к о м я в л я е т с я то, что л и ни и р а м о к к а р т , не
с овпа да ющие с изо б р аж ен ия ми меридианов и па р а л л е л е й ,
з а тр уд н я ю т условия ориентирования по на пра вле ния м север
- юг, з а п а д- во с т ок , а т а к ж е то, - что д л я ка ж д о й к а р т ы
создается своя система нарезки, что за т р у д н я е т совместное
и с п о ль зо ван ие листов р а зн ы х карт. При де лен ии к а р т на
листы негосударственных многолистных карт, д ля которых
р а з г р а ф к а о п р е д е л е н а о д н о з н а ч н о , у с т а н а в л и в а ю т их
р а з м е р ы из р а с ч е т а , ч т о б ы к о л и ч е с т в о л и с т о в б ы л о
м и н и м а л ь н ы м , ч то б ы их р а з м е р ы н а и л у ч ш и м о б р а з о м
соответствовали полезной пощади печатны х форм и
с тандартным разме ра м листов бумаги и чтобы линии рамок
отдельных листов не пересекали объекты, ва жн ы е с точки
зре ния назн ачени я создаваемой карты.
Когда рамки имеют форму окружностей или овалов, карты
как правило издаются на одном листе.
1.5.4.2. НОМЕНКЛАТУРА КАРТ
Ра з г р а ф к а карт на листы требует их обозначений. Система
обозначений листов данной карты на зыв ае т ся ее но м енк лат у­
рой. Сущ е с тв уе т несколько систем номенклатур. Основные
из них - это си стема т а б л и ч н ы х о б оз на че ни й и си с те ма
цифровых указателей. Наибольшее распространение
получили табличные системы - каж д ый лист ка рты получает
ц и ф р о в ы е ил и б у к в е н н ы е о б о з н а ч е н и я . Н а п р и м е р , эта
система номенклатур принята для всех топографических и
обзорно топографических карт стран бывшего СССР. В основу
р а з г р а ф к и и н ом ен кла ту ры этих ка рт п р ин ята р а з г р а ф к а
миллионной карты.
Размеры сторон и номенклатуры листов топог рафических
карт приведены в табл. 3.
Номенклатуры, как и разграфки, листов топог рафических
к а р т ш е л ь ф о в и в н у т р е н н и х во до ем ов т а к и е ж е к а к и
топографических карт суши.
Табл.З.
Масштаб Р а з м ер ы сторон листов
Образец ном е н кл ату ры
по широте
по долготе
для трапеци й , ра споло­
женн ых в ю го-восточном углу ли ста)
4°
1:1 ООО ООО
N-37
1:500 ООО
2
N-37-Г (другие
листы А,Б в)
1:200 ООО
40°
N-37-XXXVi (ПрИ из­
дании кар ты на 36
листах в м иллионном
листе)
1:200000
1°20'
N-37-ХХКДхХДХХУ,
XXXVI (при издании
карты на 9 листах в
миллионном листе)
1:100000
20
30
N-37-144
1:50000
10
15*
Ы-37-144-Г ^другие
листы А,Б, В)
1:25000
5
7'30"
N-37-144-r-r (другИе
листы Г-а,Г-б,Г-в)
1:10000
2-30”
3'45"
N-37-144-Г-г-4 ’
1:5000
1'15"
1’52,5"
Ы-37-144-(25б)
1:2000
25"
37,5"
N-37-144-(256)-(и)
(другие листы (а), (б),
(в), (г), (д), (е), (ж),
°
(з)0
Номенклатуры листов карт, создающихся с д в 0енными по
долготе, м е ж д у п а р а л л е л я м и 60°-76° и с ч е т в е р е н н ы м и по
долготе - севернее параллели 76°, принимают вид;
Номенклатуры сдвоенных листов
1:100 000
Р-40-13,14
1:50 000
Р-40-13-А,Б
1:25 000
Р-40-13-А-а,б
1:10 000
Р- 40 -1 3- А- а -1 2
Номенклатура счетверенных листов
Т-40-13,14,15,16
1:100 ООО
Т-40-13-А,Б;14-А,Б
1:50 ООО
Т-40-13-А-а,б;Б-а,б
1:25 ООО
Т-40-13-А-а-1,2;А-б-1,2
1:10 ООО
В основу номенклатур топографических планов, создаваемых
на участки площадью менее 20 км2, принимается лист плана
масштаба 1:5 000, обозначаемый арабскими цифрами. Порядок
нумерации принимается произвольно, а в городах и поселках обычно устанавливается главным архитектором.
В этом случае каждый из четырех листов плана 1:2 000
обозначается заглавными буквами русского а л ф а ви т а (А, Б,
В, Г), кажд ый из четырех листов плана масштаба 1:1 000 обозначается римскими цифрами (I, II, III, IV). К а ж д ы й из
листов плана 1:2 000 делится на 16 листов плана масштаба 1:500,
о б о з н а ч а е м ы х а р а б с к и м и ц и ф р а м и . С л е д о в а т е л ь н о , при
р а з г р а ф к е л и с т а м а с ш т а б а 1:5 000 по п р я м о у г о л ь н о й
координатной сетке номенклатура входящих в него листов будет
иметь вид, например: 1:5 000 - 4; 1:2 000 - 4-Б; 1:1 000 - 4-БIV; 1:500 - 4-Б-16.
Для обозначения отдельных листов топографических карт
США, и здаваем ы х Геологической съемкой и другими
н е к о т о р ы м и о р г а н и з а ц и я м и , п р и м е н я ю т с я л и ш ь под писи
н аз ван ий главных на каждом листе ка рты географи ческ их
объектов. Эти подписи и подписи наименования штата даются
над северной рамкой листа карты и с лужат его номенклатурным
обозначением.
На картах, изда вае мых д ля военных целей, кроме того,
используется система координатных обозначений, заключ аю­
щаяся в том, что номенклатурой служат координаты одной из
точек данного листа, написанные в определенном порядке.
Но ме нклатура имеет вид дроби - в числителе ук а з ы в а е т с я
широта и долгота угла листа карты, ближайшего к экватору и
Гринвичскому меридиану, а в знаменателе размеры листа (без
разделения градусов и минут).
Например, географический указатель N 3415 - W 8145/15
означает, что индексовая точка данного листа имеет координаты
<р - 34°15' с. ш. и X = 81°45' з. д., размеры рамок листа 15'х15'.,
что соответствует карте одного из трех масштабов - 1:500 000,
1:62 500, 1:63 360.
Дополнительно к системе цифровых указателей на военно­
топографических картах, начиная с 1948 года в США стали
применять номенклатурные обозначения листов карт. Каждый
из 12 листов карты масштаба 1:250 ООО; на которые разделен
лист карты масштаба 1:1 ООО ООО, имеет порядковый номер
(нумерация с запада на восток и с севера на юг), обозначаемый
арабскими цифрами и добавляемый к номенклатуре соответ­
ствующего листа миллионной карты.
При составлении мелкомасштабных карт, как отмечалось, в
большинстве случаев применяют табличную систему номенкла­
тур. Например, н оменклатура листов карты мира масштаба
1:2 500 ООО складывается из указания полушария, номенклатур
листов карты мира масштаба 1:1 ООО ООО, входящих в данный
лист карты масштаба 1:2 500 000, наименования основного
географического объекта и порядкового номера листа,
например, КРАСНОЯРСК NM-0 45-48 39.
Местоположение и рамки листов (нарезка карты) многолист
ных карт, а та кж е их обозначения указываются на сборной
таблице - схематической карте мелкого масштаба, изготавли­
ваемой для данной многолистной карты.
Д л я т а к и х ка рт , ка к изве стн о, и с п о л ь з у е т с я боль шое
разнообразие номенклатур, которые можно, главным образом,
р а з д е л и т ь на две г р у п пы : п р о и з в о л ь н ы е и с в я з а н н ы е с
координатными сетками.
При произвольной номенклатуре каждому листу присваива­
ется порядковый номер. Такая система неудобна - вне данной
карты и сборной таблицы номенклатура не имеет определенного
смысла.
Н о м е н к л а т у р ы , с в я з а н н ы е с г е о г р а ф и ч е с к и м и ил и
прямоугольными координатами, непосредственно определяют
положение каждого листа. Например, как отмечалось,
н о м е н к л а т у р а м еж д у н а р о д н о й миллионной карты. Другим
примером, являются номенклатуры листов топографических
карт Греции в масштабах 1: 20 000, 1:50 000 и 1: 100 000, которые
непосредственно обозначаются координатами центральной точки
листа.
Б о л ь ш и н с т в о р а с с м о т р е н н ы х н и ж е ши ро ко и з в е с т н ы х
карто графических проекций получают классическим а на ли т и­
ческим способом, сущность и последовательность исполь зо ва­
ния которого з а кл юч ает ся в следующем.
- Исходя из на зн а че ни я с озд ава емо й кар ты , р е ш а е м ы х
по ней за дач и особенностей терр ито рий к а р т о г р а ф и р о ­
вания, определяю т целесообразную ориентировку
ка рт ог ра ф ич е с ко й сетки и условия, х а р а к т е р и з у ю щ и е
искомую проекцию.
- На этой основе составляют общие ура вне ния получаемой
проекции.
- С использованием этих уравнений и ф орм ул х а р а к т е р и с ­
т и к из об щ е й т е о р и и к а р т о г р а ф и ч е с к и х п р о е к ц и й
получают в общем виде уравн ен ия частных масштабов
и других ха ра кт е ри с ти к данного класса проекций.
- З а д а ю т ж е л а е м ы й х а р а к т е р и с к а ж е н и й п р о е к ц и й и,
и с п о л ь зу я полученны е в общем виде у р а в н е н и я
характеристик, составляют диф ф еренциальны е
уравнения, интегрирование которых позволяет получить
о т о б р а ж а ю щ и е ф у н к ц и и п р о е кц ии ( ф о р м у л ы п р я м о ­
угольных координат).
- Опред ел яют конкретный вид ф ор му л частных масштабов
и других ха ра кт е ри с ти к получаемой проекции.
- Вычисляют прямоугольные координаты и хара кте рис тик и
проекции с заданным ха ра кте ром искажений.
Изучение теории классов проекций начнем с рассмотрения
тех из них, в которых п а ра лле ли изо бражаются с постоянной
кривизной.
2 . 1 . КАРТО ГРАФ И ЧЕСКИ Е П РОЕКЦИИ С
П РЯ М О Л И Н Е Й Н Ы М И П А РА Л Л Е Л ЬН Ы М И
П А РА Л Л ЕЛ Я М И
К этим проекциям отн осятся
пс евд оци линдрические проекции.
цилиндрические
и
2.1.1.1. ОБЩ ИЕ ФОРМУЛЫ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИИ
Цилиндрическими называю т проекции, в которых
меридианы - равноотстоящие параллельны е прямые, а
параллели - параллельны е прямые, ортогональные
меридианам.
Общие уравнения этих проекций по определению имеют
вид
* = /(ф);
у = ск,
где с - постоянный параметр.
Записав производные по ф и X от этих общих функций и
подставив их значения в формулы ха ра кт е ри с ти к из общей
теории картогра фи чес ких проекций, получаем в общем виде
в ы р а ж е н и я д л я в ы ч и с л е н и я ч а с т н ы х м ас ш т а б о в длин и
площадей, а та кж е наибольших искажений углов
dx
Ашф
с
г
cdx
р =тп=м ф '
sinT2 = ~—
а + Ib ’ е = 0,
где а, Ъ - экстремальные частные масштабы длин.
Так как в этих проекциях к ар то гр аф и ч еск ая сетка
ортогональна, то э к с т р е м а л ь н ы е ч аст ны е м ас ш т аб ы длин
совпадают с частными масштабами длин вдоль меридианов и
па ра лле ле й и вместо а , b можно использовать значения п и
т.
Постоянный па раметр с проекции найдем из условия, что
на заданной п а ра лле ли ф = ф* частный масштаб пк = 1.
Тогда с = гк .
Общие уравне ния цилиндрических проекций принимают
вид
* = /(ф)>
dx
Mdy
т - -------;
У = гк ^
п
г
п= — \
г*
Mr
dx
d<p ’
р - — --------•
.с о
\т-п\
sin — = -------- 1.
2
m+n
Из пр иве де нн ых ф о рм ул видно, что в этих п рое кц ия х
частные масштабы и иска жен ия являю тся ф ун кци ями только
широты. Сл ед ов ате л ьн о , в них линии р а вн ы х и с к а ж е н и й
(изоколы) совпадают с параллелями.
Ц и л и н д р и ч е с к и е п ро е кц ии (по х а р а к т е р у и с к а ж е н и й )
могут быть равноугольными, равновеликими и ра вно про ме жу­
точными вдоль меридианов.
Ра в н о п р о м е ж у т о ч н ы м и вдоль п а р а л л е л е й они быть не
могут, так как на проекции длины дуг па ра лле ле й - ф унк ция
только долготы, а на эллипсоиде (шаре) и долготы и широты.
2.1.1.2. РАВНОУГОЛЬНЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ
При получении равноугольных нормальных ц ил инд рич ес ­
ких проекций должны выполняться условия равноугольного
отображения эллипсоида на плоскости
т = п;
£ = 0.
Так как в этих проекциях е = 0 , то подставив в первое
условие зн ачен и я частных масштабов длин, получаем
д и ф ф е р е н ц и а л ь н о е ура внение
л = гк —
М дер.
л
ах
Интегрирование этого ур авнения с учетом (20)-(23) дает
х - rk I n U + с, = --- -- 1g U + с, ;
mod
где
у = arcsin(esin(p).
Поскольку проекция симметрична относительно экватора,
то на экваторе при ср = 0 и х = 0 , отсюда и Cj = 0 .
Форм улы проекции эллипсоида принимают вид
x = rk \ n U \
у = гкХ°/р°;
т = п = -у-;
р = т 2;
со = 0;
р°. радиан (57,2957795).
Р а в н о у г о л ь н а я ц и л и н д р и ч е с к а я п р о е к ц и я ш а р а б ыл а
п р е д л о ж е н а в 1569 г. Меркатором.
В настоящее время равноугольные цилиндрические
п р о е к ц и и ш а р а и эллипсоида известны под на званием пр о е к­
ций М еркатор а; они обладают свойством локсодромичности,
что о п р е д е л и л о их ш ир о ко е п р и м ен е н и е д л я с о с т а в л е н и я
м о р с к и х и аэ рона вигационных ка рт (см. рис. 29’ОJI оксодромией на з ы в а е т с я линия, п е ре се ка ю щ а я все м е р и ­
д иа н ы под постоянным углом.
В равноугольных цил инд рических проекц иях локсодромии
и з о б р а ж а ю т с я пря м ым и линиями.
Рис.29 Прямая цилиндрическая равноугольная проекция Меркатора.
______ Изоколы величины р._____________________________________
‘Тинзбург Г.А., Карпов Н.С., Салманова Т.Д. Тр. ЦНИИГАиК, вып.99 и
108, 1955.
Докажем это положение.
И з ф о р м у л ы (18) д л я любой то ч к и п р о е к ц и и м ож но
зап ис ать
М ,
ак = t g a — acp,
г
где в данном случае tg a - co ns t.
Интегрирование этого вы р а ж е н и я с учетом (22), (23) дает
X = tg a In U + с,.
Для первой (начальной) точки будем иметь
Х{ = t g a I n Ux + q .
Вычтя из первого ура вне ния второе и умножив обе сторо­
ны разностей на гк , получаем уравнение прямой
У-У\ = t g a ( x - x , ) .
Угол a , под которым локсодромия пе ре секает меридианы,
можно вычислить по ф орм ул е
a = arctg[(y2 - y \)/ {x i - xi)]MepK .
З д е с ь и н д е к с ы 1, 2 о б о з н а ч а ю т к р а й н и е т о ч к и о т р е з к а л о к с о ­
дромии.
Локсодромия не яв л яе тс я кратчай шим расстоянием между
дву мя точками. Ее длину можно определить по фо рм ул ам с о о т в е т с т в е н н о на п о в е р х н о с т и э л л и п с о и д а , ш а р а и на
плоскости проекции Меркатора
5ЛЭ = s e c a (^2
• W = ^seca(cp 2 -<Pi W ;
^пл. = SCCCl(X2 —-Х^мерк. >
где 5], s2 - длины дуг меридианов от экватора до па р ал л ел ей
с широтами ф| и ф 2 , опреде ля емы е по (156).
В морской навигации и з м е р е н и я рас сто яни й в е д у т с я в
морских ми лях (1 миля = 1852 м). Абсциссы х в проекции
Мер катор а (при ф 0 = 0 ) на зывают меридианными частями и
обозначают через D ' :
х = D f = -----У = аХмм (морских миль),
mod
где а = 3437,747 м.м. (морских миль) и ----- - = 7915,705 м.м.
mod
При ото б р аж ен ии поверхности ш а р а е = 0 и ф о р м у л ы
проекции Мер катор а (при ф 0 = 0 ) можно за писать в виде
х = R In tg(45°+ср / 2 ) ; у = Кк°/р° ;
т - п - se c 9 ; р = se c 2 ф ; со = 0.
Анал из ф ор му л проекции Меркатора позволяет отметить,
что в этой проекции изменение масштабов медленнее всего
происходит вблизи экватора, который, как отмечалось,
я в л я е т с я центральной линией цилиндрических проекций.
Сл ед овательно, нор мальную цил ин д ри че ск ую проекцию
целесообразно применять при создании ка рт на э к в а т о р и а л ь ­
ны е о б л а с т и , с и м м е т р и ч н ы е о т н о с и т е л ь н о э к в а т о р а и
существенно вы тян ут ые вдоль параллелей.
2.1.1.3. РАВНОВЕЛИКИЕ Ц ИЛИНДРИЧЕСКИЕ ПРО ЕКЦ И И .
Чтобы проекция
выполнение условия
была
равновеликой
р = т .п =
необходимо
1.
У читывая зна чен ия частных масштабов длин и значения
радиусов кривизны М и г , получаем ди ф ф ерен ц и альн ое
уравнение
,
1 w .
1 а 2(\ - е2) cos<pd<p
dx = — Л /гф = ------------ V >
rk
rk (1 - e sin 2 q>)2
интегри ро вани е которого дает
X = — fMrd(D + с, = —
Гь
Г
rk JJ
r kl
S + с,.
Здесь: S - площадь сфероидической тр ап ец ии от экватора
до данной па ра лл е л и при разности долгот в один
радиан, оп р е д ел я е ма я по фо рму ле
/
2
^
4
А
S = Z>2|^sinф + — е 2 sin3 ф + —е 4 sin5 ф + — ев sin 7 ф+...J;
(183)
с | - постоянная ин тегрирования, которую можно положить
р а в н о й н у л ю , т а к к а к на э к в а т о р е пр и
S =ф = 0 и
х = 0;
е2 = 0.0066934216; b = 6356863.0188 м. - д л я э л ли п со и д а
Красовского.
Р а с с м а т р и в а е м ы е п р о е к ц и и и с п о л ь з у ю т об ычн о при
создании м елком асш табны х обзорных карт, поэтому
к а р т о г р аф и р у ем у ю поверхность принимают за поверхность
с ф е р ы.
Общие ф о р м у л ы равновеликих цилиндрических проекций
ш а р а п р и н и м а ю т в ид
х = R s e c срд. sin(p;
у = /?coscp*k;
coscp £
Yl
coscp
p = 1;
При
coscp
j
171 —
coscp*
)
tg ^ 4 5 ° + ^ = n.
= 0, получаем равновеликую ц и ли н дри ческую
проекцию, сохраняю щую длину экватора, н а зы в а е м а я изоцилиндрической:
х = /? sin ф;
л = sec ф ;
у - Кк\
т = cos(p;
р = 1;
tg^45°+
= s e c 9.
2.1.1.4. РАВНОПРОМЕЖ УТОЧНЫЕ ПО МЕРИДИАНАМ
Ц И Л И Н Д РИ Ч ЕС К И Е П РО ЕК Ц И И
При получении р авн опром еж уточ н ы х вдоль меридианов
н о р м а л ь н ы х ц и л и н д р и ч е с к и х п р о е к ц и й н ео б х о д и м о в ы п о л н е ­
н ие у с л о в и я
Отсюда
dx = Mdq> =
0(1 ~ g2----- ^ .
(1 - е 2 s in 2 фу 2
И н т е г р и р у я э то у р а в н е н и е и п о л о ж и в п о с т о я н н у ю и н ­
т е г р и р о в а н и я с, = 0 , п о л у ч а е м с л е д у ю щ и е ф о р м у л ы
равнопромежуточных цилиндрических проекций, н азы ваем ы х
прямоугольными
- при отображении эллипсоида
x = s-,
у = rkX-
т = 1;
п = р = -
- при отображ ении поверхности ш ара
х = /?ф ;
т - 1;
у = гкХ;
п = р =
coscp* sec ср.
П р и ф* = 0 б у д е м и м е т ь к в а д р а т н у ю р а в н о п р о м е ж у т о ч н у ю
вдоль меридианов ц или н дри ческую проекцию
х = 7?ф;
у = RX;
2.1.1.5. П РО И ЗВО ЛЬН Ы Е ЦИ ЛИ Н ДРИ ЧЕСКИ Е ПРО ЕКЦ И И С
ЗАДАННЫМ РАСП РЕДЕЛЕН И ЕМ ИСКАЖ ЕНИЙ
С пос об и з ы с к а н и я п р о е к ц и и с з а д а н н ы м р а с п р е д е л е н и е м
и ска ж ен и й был п ред лож ен Н.А.Урмаевым, который впервы е
сформ улировал обратную задачу математической к артогра­
ф и и - “ о т ы с к а н и е у р а в н е н и й п р о е к ц и и по з а д а н н ы м
и с к а ж е н и я м и л и м а с ш т а б а м ”. В ц и л и н д р и ч е с к и х п р о е к ц и я х
частные масштабы длин вдоль меридианов я в л яю тс я ф у н к ц и ­
ей ш и р о т ы .
Отсюда при отображ ении с ф е р ы единичного рад и уса м о ж ­
но з а п и с а т ь
И н т е г р и р о в а н и е этого в ы р а ж е н и я
п озволяет определить абсциссы точек проекции.
Для удобства и простоты реш ения задачи частные
м асш табы длин можно представить в виде многочлена
четного относительно ш ироты
где
т = а0 + я 2ф 2 + Д4ф4+...,
и
- к о эф ф и ци ен ты , которые можно найти или
путем реш ения трех уравнений с трем я неизвестными
Ж
)Урмаев Н.А. Изыскание некоторых новых цилиндрических, азимутальных
и псевдоцилиндрических проекций. Сб. ГУГК, вып.XXIX, 1950.
(если з а д а н ы три з н а ч е н и я м асш таба) или ж е путем
интегрирования;
с х - постоянная интегрирования, которую можно положить
р а в н о й нулю.
Р ассмотрим в качестве п рим ера получение произвольной
ц и л и н д р и ч е с к о й п р о е к ц и и , п р е д л о ж е н н о й Н . А . У р м а е в ы м . На
п а р а л л е л я х с ш и р о т о й ср0 = 0 ° , (pj = 6 0 ° и ср2 = 8 0° м а с ш т а б ы
с о о т в е т с т в е н н о р а в н ы т0 = 1.0, т j = 1.5, т2 = 2.0. Б ы л а с о с т а в ­
лена таблица р азд ел енн ы х разностей, в которой в качестве
а р гу м е н то в п р и н я т ы ш ироты , в ы р а ж е н н ы е (при частоте
с е т к и Дф = ДХ = 10° ) к в а д р а т а м и д е с я т к о в г р а д у с о в , а в
к а ч е с т в е ф у н к ц и и - з н а ч е н и я м а с ш т а б а ( та б л. 4).
Табл.4
№№
Ф
точек
Аргумент
(о)
Разделенные разности
Д а ) = т первые / 0|
вторые/0|2
/»
0
0“
0
1.0
1
60°
36
1.5
1
+—
72
1
11
+ 16128
+ 56
2
80'
64
2.0
З н а ч е н и е ф у н к ц и и f ( z ) д ля некоторого ар гу м е н та z были
п о л у ч е н ы по и н т е р п о л я ц и о н н о й ф о р м у л е Н ь ю т о н а с
разделенными разностями
f ( z ) = / ( й 0) + ( z - ao)foi + ( z -
где / 01 и
/ 0 12
a0Xz -
fl|)/oi 2 +— ,
- п ер в ая и в то р ая разд ел е н н ы е разности;
/ (« > )-/ (* < > ).
у
Q\ - а0
/• _ f \ 2 ~ /(И _
У012 -------------- -я2 _
, _ / ( f l 2) - / ( * i ) .
J 12 "
а2 - о j
/ ( 0 2 ) ~ / ( ° l) _ Л ° | ) ~
°2 ~ а 1
Й1 _ °0
а2 ~ °0
>
о)
7
Г
■V-- --- 40 __S
пГ
О.
60
_____
■2(>
■ю1
С
1
гсГ
/
—
....
\
V
60 -----
—
---
—
/О
V
\У
/
.
й
д
V* Г
ц
J
\о
ю
«о ■ cd
л
(_
Л.
10
)\3
.л
—
л
20
1
5ч .... й
ГА
(
Ил
-----
C
D
—С
О-11
-------------------------------------------------------------
Ю__
---
__ <
--- - - -
iи
П
tS
cl
) 80_ _
с >9
« *2
о
й
Рис.30 Прямая цилиндрическая проекция Урмаева (вариант второй).
Изоколы величины со
Приняв
в качестве
аргумента
z величину
Н.А.Урмаев получил
,
188
1 + --------- 7
т
‘
72
16128
16128
2
г"
---------
16128
и после интегрир ования
х = Z
+
188
48384
з
+
ф
arc 10° ’
г
80640'
Окончательные значения прямоугольных координат
проекции опр еделял ись по ф орм ул ам
Х с м = Л(Ио • 1°°)* и К м = *(Цо • Ю0)А.агс 1°.
Макет картограф иче ско й сетки с изоколами величин со
дан на рис.30.
2.1.1.6. КОСЫЕ И ПО П ЕРЕЧН Ы Е ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ
П РО Е К Ц И И
В косых и поперечны х ц и л и н д р и ческ и х п роекц и ях
к а р т о г р а ф и р у е м у ю по ве рх но сть п р и н и м аю т за с ф е р у . Но
нередко о п р е д ел я ю т проек ци и “двойного” от об ра же ни я. В
последнем сл у ча е получе ни е этих проекций с к л а д ы в а е т с я
5
-Зак. ИЗ
из сл едующ их этапов.
1 ) Ос уще ствляют переход от эллипсоида к поверхности
ш а р а (для ка р т к р у п н ы х масштабов) и о п р е д е л я ю т
радиус шара R по способу отображения, соответствую­
щему выбранному х а р а к т е р у искаженний проекции.
2) О пр ед ел яю т координаты полюса С(фоДо) проекции.
3) Выполняют переход от геог ра фич еск их координат к
полярным сферич еск им координатам косой или попе­
речной системы.
4) Вы числяют координаты проекции, масштабы и наи ­
большие и ск аж ен и я углов в соответствующей по х а ­
р а к т е р у ис кажений цилиндрической проекции.
Выполнение этих этапов осуществляется с использованием
ф о р му л и способов, ук аз ан ны х в ра зд ел е 1.
В т е х с л у ч а я х , когда п о л у ч а ю т п р о е к ц и и с ф е р ы , ее
географические координаты ф ' Д ' прира вни ва ют ге одезичес­
ким коорд инатам фД эллипсоида, а все о с тал ьны е этапы
вычислений осущ ествляю т такж е, как и в преды дущ ем
случае.
П о п е р е ч н ы е ц и л и н д р и ч е с к и е пр о е к ц и и ц е л е с о о б р а з н о
использовать при создании карт на территории, вы тян ут ые
вдоль м ер и д и а н о в , а косые - на т е р р и т о р и и , в ы т я н у т ы е
вдоль больших кругов произвольной ориентировки.
2.1.1.7. ПЕРСПЕКТИВНО-ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ
Перспективными называю т проекции, в которых
поверхность Зе мли или других небесных тел о тоб ра жа етс я
прямолинейными визирными лучами из точек пространства,
н а з ы в а е м ы х т о ч к а м и з р е н и я , на р а з в е р т ы в а ю щ и е с я
поверхности цилиндра, конуса или на плоскость.
Последние называют перспективными азимутальны ми
проекциями, они нашли наибольшее ра зви ти е и применение.
П е р с п е к т и в н о - к о н и ч е с к и е п р о е к ц и и р а з р а б о т а н ы еще
недостаточно полно и мало применяются.
Для получения перспективных цилиндрических проекций
используем цилиндр, ось которого совпадает с полярной осью
сф е р ы (эллипсоида).
Этот цилиндр может пе ресекать сфе р у или касать ся его
по э к в а т о р у . П р о е к т и р о в а н и е т о ч е к п о в е р х н о с т и с ф е р ы
о с у щ е с т в л я е т с я из т о ч е к з р е н и я “g ” п р я м о л и н е й н ы м и
в и з и р н ы м и л у ч а м и на о б р а з у ю щ и е ц и л и н д р а от д е л ь н о в
плоскости ка жд ог о м е р и д и а н а в с о отв етс тви и с з а д а н н о й
частотой картогр афи ческой сетки (рис.31).
Р а з в е р н у в боковую поверхность ци линдра, получим на
плоскости ка ртографическую сетку перспективной цил ин д ри ­
ческой проекции, в которой за ось абсцисс приня т один из
меридианов (вертикалов), а за ось орд и нат - экв атор или
па ра ллель (альмукантарат) с наименьшим значением широты.
В этой проекции мер ид иа ны (ве рт ик а л ы) и з о б р а з я т с я
параллельными равноотстоящими прямыми, а параллели
( а л ь м у к а н т а р а т ы) о р т о г о н а л ь н ы м и к ни м п р я м ы м и ,
ра сст оя ни я м еж ду которыми будут за ви с е ть от принятого
способа проектирования (от положения точек зрения).
Форм улы прямоугольных координат проекции принимают
вид:
* = /(ч>); у=сх,
где с = R cos<p* .
Пусть на рис.31 показан секущий цилиндр, образу юща я
А'А'Э которого пе ре секает шар в точках А к , находя щи хся на
п а р а л л е л и с ши ро той ф*; точ ка з р е н и я g н а х о д и т с я от
центра шара о на расстоянии D = og , точка Л(фД) - т е ку щ а я
точка поверхности шара.
Рис.31 Схема получения нормальной перспективно-цилиндрической
проекции
Визирный луч gA пересечет образующую цилиндра А 'А\
в точке А ' и, следовательно, абсцисса и о рдината этой точки
проекции будут равны
х = А'эА ’; у - о А ' э.
Из подобия треугольников gAA3 и gA'A'3 , получим
х = (D + R coscp*)
Л sin <р
D+
coscp ’
Обозначим К = — \ T’ = /T + C0 S9 *.
К
Общие ф орм улы перспективны х
проекций шара п ринимают вид
x = TR
Sincp
К + СОБф
;
цилиндрических
y = Rcosq>k\;
т - — ■= Т{1 + К сс«ф ) / ( К + совф)2;
R
,
п = cos ф * / cos ф ;
. со \ т - п \
sin — = ---------L;
р-тп.
2
т +п
При
ф* * 0 - цилиндр секущей,
Ф* = 0 - цилиндр касательный.
В зависимости от значен ия широты фЛ и положения точек
зре ни я q (ее уд а лен ия D от центра шара о ) могут быть
получены разли чны е вариан ты таких проекций.
П роекция У этча
В ней D = К = 0 - п р о е к т и р о в а н и е о с у щ е с т в л я е т с я из
центра ша ра (по методу гномонических проекций),
Ф* = 0 ° - цилиндр касательный;
х = Rig ф ;
з
р = sec> ;
у = Rk;
т = se с 2 ф;
• 0)
sin — = tg — .
n = szc<p;
тф
Проекция Брауна
К = 1 - проектирование по методу стере огр афи чес ких
проекций,
ер* = 0 ° - цилиндр касательный;
x = 2/?tgy;
у = Rk;
т = sec2 ^ ;
л = se сф;
Проекция Голла
К = 1
ф* - за дается, цилиндр секущий;
х = R(\ + соБф* ) t g y ;
У = R cos<pk \;
р = тп\
Этот вар иант при ф* =30° п рим енялс я для ка рт мира в
1 т. БСАМ (Большом Советском атласе Мира).
Ис ка ж е н и я в нормальных пе рс пек тивно-цилиндрических
п р о е к ц и я х з а в и с я т т о л ьк о от ш и р о ты , п оэ том у и з о к о л ы
совпадают с п а р а л л е л я м и и имеют вид прямых. Проекции
имеют два п а ра ме тра - К и ф* , которые влияют на вид сетки
(изменение расстояний м еж ду па р а л л е л ям и и меридианами)
и ра с п ред ел ени е искажений.
В косых п ер с п ек ти в н о -ц и л и н д р и ч е с к и х проекц и ях
меридианы и п а р а лл е л и имеют вид кривых, а ве р т и ка лы и
а л ь м у к а н т а р а т ы и з о б р а ж а ю т с я д в у м я си сте мам и взаим но
п е р п е н д и к у л я р н ы х п р я м ы х . Эти п р о е к ц и и м о г у т б ы т ь
п о л у че н ы у к а з а н н ы м вы ш е способом, но при этом точ ка
з р е н и я , из к о т о р о й в ы п о л н я е т с я п р о е к т и р о в а н и е т о ч е к
поверхности шара, находится не в плоскости экватора, а в
плоскости э ква то ра косой системы координат (с зенитным
расстоянием ^ = 90°). Общие ф ор му лы косых перспек тив но ­
цилиндрических проекций можно получить и более простым
способом из уравнений нормальных п ер сп ек ти вн о- ци ли нд ри ­
ческих проекций, за менив в них Ф на (90°-<:), X на -а и
положив Ц| - т\ ц 2 = п - Полярные сфер ич еск ие координаты
Z, cl нетрудно вычислить по ф о рму ла м (14).
Рис.32 Косая поперечно-цилиндрическая проекция (вариант
М. Д.Соловьева)
Ря д косых пе рспективно-цилиндрические проекции были
р аз ра бот ан ы для создания учебных карт. В этих проекциях
имеются четыре постоянные величины: ф 0 Д
о » которые,
как и в друг их та ки х про екциях, вли яю т на вид сетки и
р а с пр ед е л ен и е искажений.
Один из вариантов косых пе рс пек тивно-цилиндри ческих
проекций, разрабо танн ый М.Д.Соловьевым (рис.32)’} , широко
при мен ял ся в нашей стране при создании школьных карт,
на кот ор ых п о к а з а н ы г е о г р а ф и ч е с к и й полюс и Севгерный
Л е д о в и т ы й ок е а н ( ф 0 = 75° , \ 0 = -80° , к = 1 и z k = 45° ).
Вариа нт проекции ЦНИИ ГА иК ( ф 0 = 2 5 ° , Х0 = -80° , к = 3,
Ф* =10°; Т = lc + cos<pk ) использован для составления ка рты
СССР в Атласе мира 1954 г.
Комбинация перспективно-цилиндрических проекций с
негативным и позитивным изображ ениям и.
В 1985-86 гг. М . Д а с к а л о в а и М .А н д р е е в п р е д л о ж и л и
проекцию, являю щ ую ся комбинацией персп екти вн о­
цилиндрических проекций с негативным и позитивным
изображениями. Пусть на рис.33 С | , С 2 - точки п р о е кт и р о в а ­
ния, М ' , М " - точки негативного и позитивного отображ ени я
точки М с ф е р ы на о б р а з у ю щ у ю ц и л и н д р а; ф* - ш и р о та
па р а лл е л и сечения шара цилиндром; СхО = d ; С20 = D . Тогда
прямоугольные координаты проекции равны
#)М.Д.Соловьев “Математическая картография”, изд.М.,“Недра”, 1969.
134
Рис. 33 Комбинированная перспективно-цилиндрическая проекция
= к' ХК\
? ++ k
J X" :
/С2
У=
Я.0),
где
n .
d + Rcosvk
n .
D — R c o s cp*
x H = R s m y —— - — — ; х п = Л Б т ф ----d + Rcosy ’ n
D -Rcosy
k r k 2 - постоянные коэф фиц ие нты , вы бираем ые из р а з л и ч ­
ных условий и влияю щие на свойства проекций.
А в т о р ы п р е д л о ж и л и о п р е д е л я т ь эти к о э ф ф и ц и е н т ы с
и с п о л ь з о в а н и е м к р и т е р и я Ейри из у с л о в и я о б е с п е ч е н и я
минимальных искажений в пределах изображ аемой
те рритории.
2.1.1.8. ОБОБЩ ЕННЫ Е ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ
Их общие ур авн ен ия имеют вид
* = /|(<р);
m
т
1М7 ’
у
= /2(*-);
„ у*
п =—
Г
л
В частности можно за пис ать / 2 (Х) = ^ а /Х| ,
/=|
где а. - п о с т о я н н ы е к о э ф ф и ц и е н т ы , п о л у ч а е м ы е из
условия, что частные масштабы длин п вдоль
п а р а л л е л е й прини маю т ж е л а е м ы е з н а ч е н и я в
точках экватора или на зад анн ых п а р а л л е л я х
Ф = Фо •
При отображении поверхности шара а налогично получим
R
R coscp
В этих проекциях меридианы н еравноотстоящ ие
п а р а лл е л ьн ы е прямые, а па ра лл е л и - па ра лл е л ьн ы е прямые,
ортогональные меридианам.
Р а сс ма тр ив аем ые проекции могут быть только пр ои зв ол ь­
ными по ха р а к т е р у искажений, в частности р а в н о п р о м е ж у ­
точными вдоль меридианов.
В последнем случае будем иметь
x = j M d ( ? = s\
у = r0n0 j ( f 2)kd l + c]
ИЛИ
х = /г<р;
.у = « 0tfcos<p0
+
,
где s- о п р ед еля етс я из вы р а ж е н и я (156),
с j- п о с т о я н н а я и н т е г р и р о в а н и я , р а в н а я н у л ю д л я
проекций, симметричных относительно среднего
меридиана.
Во всех цилиндрических проекциях длины дуг меридианов
м е ж д у п а р а л л е л я м и при уд а ле н и и от ц е нт ра л ьн о й линии
(линии экватора) изменяют свои величины:
они в о з р а с т а ю т в р а в н о у г о л ь н ы х и б л и з к и х к ним
проекциям;
у м е н ь ш а ю т с я в р а в н о в е л и к и х и б л и з к и х к ним
проекциях;
остаются неизменными в ра вн оп ро м е ж ут о ч н ы х вдоль
меридианов проекциях.
2.1.1.9. ХАРАКТЕРИСТИКА ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЙ.
Х а р а кт ер и с т и ка ка рто гр аф иче ски х проекций, в том числе
цилиндрических, может быть дана на основе а н али за свойств
проекции. Для этого могут быть испо ль зо ван ы р а з л и ч н ы е
кри тери и оценки достоинств проекций, как например,
в е л и ч и н ы и с к а ж е н и й длин, п л о щ а д е й и углов, вид
ка рто гр аф иче ск их сеток проекций, особенности изоб ра же ни я
линий положения, наличие э ф ф е к т а сферичности и др. (см.
ра зд ел 3), значимость которых в каждом конкретном случае
и зм еняется в соответствии с назначением создаваемой карты.
В ц и л и н д р и ч е с к и х п р о е к ц и я х по с р а в н е н и ю со всеми
др угими к а р т о г р а ф и ч е с к а я сетка имеет наиболее простой
вид, во всех них ординаты (для точек каждого меридиана)
и час тн ые м асш таб ы длин вдоль п а р а л л е л е й (для данной
па раллели) одинаковы.
Проекция Меркатора яв л я е т с я единственной, в которой
локсодромия изо б р а жа ет ся прямой линией, что пре д оп ре д е ­
лило широкое ее использование для создания навигационных
карт, несмотря на то, что в этой проекции кривизна из об ра ­
жени я геодезических линий наибольшая (по сравнению с д р у ­
гими равноугольными проекциями).
П ри в е де м з н а ч е н и я ч ас т ны х масшт або в и н аи бо ль ш их
искажений углов некоторых цилиндрических проекций
Табл.5
Название проекции
Равноугольная
т
Р
п
со
Равновеликая
т
Р
п
со
Равнопромежуточная
т
Р
п
со
Перспективная
Голла
при ф0=0°
т
Р
п
со
0°
30°
60°
1.000
1.000
1.000
0°00
1.155
1.333
1.155
0°00
2.000
4.000
2.000
0°00
1.000
1.000
1.000
0°00
0.866
1.000
1.155
16°26
0.500
1.000
2.000
73°44
1.000
1.000
1.000
0°00
1.000
1.155
1.155
8°14
1.000
2.000
2.000
38°57
1.000
1.000
1.000
0°00
1.072
1.238
1.155
4° 16
1.333
2.667
2.000
23°04
90°
00
00
00
0°00
0.000
1.000
оо
180°00
1.000
00
оо
180°00
4.000
00
оо
180°00
Поскольку в данном случае частные масштабы явл яются
ф у н к ц и е й т о л ь к о ш и р о т ы и, с л е д о в а т е л ь н о , и з о к о л ы
совпадают с прямолинейными параллелями, создаются весьма
благоп ри ятн ые условия для вве ден ия редукции в измере ния ,
выполненные по картам, составленных в этих проекциях.
2.1.2 ПСЕВДОЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ
2.1.2.1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И ОБЩ ИЕ ФОРМУЛЫ
Псевдоцилиндрическими назыв ают ся проекции, в которых
п а р а лл е л и и зо бр аж аю тся прямыми линиями, а м ер ид иа ны кривыми, симметричными относительно среднего п р я м о л и ­
нейного меридиана.
Общие у р а вне ния этих проекций
* = /i(<p);
y = f г(фА)-
В п с е в д о ц и л и н д р и ч е с к и х п р о е к ц и я х можно и з о б р а з и т ь
всю к а р т о г р а ф и р у е м у ю поверхность, а при необходимости
повторить части изо б ра же ни я по долготе.
Г е о г р а ф и ч е с к и е полюса можн о п о к а з а т ь т о ч к а м и или
лин иями , кот орые п а р а л л е л ь н ы и н а з ы в а ю т с я п о л я рн ы м и
линиями (см. рис.34 и 35).
М е р и д и а н ы имеют з а д а н н ы й вид, и з о б р а ж а ю т с я ч ащ е
всего э л л и п с а м и или с и н у с о и д а м и , но м о ж н о п о л у ч и т ь
псевдоцилиндрические проекции, в которых меридианы
имеют вид парабол, гипербол и других линий.
У ч и т ы в а я ф о р м у л ы общей т е о р и и к а р т о г р а ф и ч е с к и х
проекций (37), (43), (60), (61), (80), получаем
Рис.34 Псевдоцилиндрическая проекция
У*У\
tg £ ——
уф
Из опре деления псевдоцилиндрических проекций и этих
ф о р м у л с л е д у е т , что в них к а р т о г р а ф и ч е с к а я с е т к а не
о р т о г о н а л ь н а , г л а в н ы е н а п р а в л е н и я не с о в п а д а ю т с
м ер ид и а н а м и и п а р а л л е л я м и , м ас шт аб ы по м е р ид иа на м и
п а р а л л е л я м не яв л яю тся экстремальными.
По х а р а к т е р у искажений псевдоцилиндрические проекции
п о д р а з д е л я ю т с я на ра в н о в ел и к и е и пр оиз во льн ые, они не
могут быть равно уго ль ны ми, в них не могут с о х р а н я т ь с я
длины вдоль меридианов.
Наибол ьшее ра сп рос тр ан ени е из пс евд оци ли ндр ич ес ких
получили ра вновеликие проекции.
Учит ыва я условие равновеликости / 7 = 1 , получаем
Ух = Мг! х ч
и после интегрирования
у = ------X + Ф(ф),
Ф
где Ф(ф) - прои зволь ная ф ун кц ия широты.
Для проекций симметричных относительно среднего
меридиана должно быть при X = 0 и у - 0 , следовательно, и
Ф(ф) - о .
Псевдоцилиндрические проекции, как правило, п р и м е н я ­
ют д л я с о с т а в л е н и я к а р т м е л к и х м а с ш т а б о в . П о э т о м у
к а р то г ра ф и р у е м ую поверхность обычно принимают за с ф е р у
радиуса R (исключение составляет тр ап ец ие ви д на я псевдоцилин д р и че с ка я проекция - см.3.1.1).
В этих слу чая х
R 2 cosm ,
у = --------- У-Х.
(184)
2.1.2.2. РАВНОВЕЛИКИЕ ПСЕВДОЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ
П РО Е К Ц И И
Р осси й ск и е учен ы е В .В .К аврай ски й и Н .А .Урмаев
п р е д л о ж и л и обобщенный способ по л у ч е н и я р а в н о в е л и к и х
псевдоцилиндрических проекций с учетом условий и з о б р а ж е ­
ния географического полюса, в которых меридианы изо бр а­
жа ю т с я синусоидами или эллипсами.
H .А .У р м а е в р а з р а б о т а л т а к ж е т е о р и ю р а в н о в е л и к и х
проекций с меридианами в виде гипербол и парабол.
Уравнения прямоугольных координат псевдоцилиндричес­
ких проекций можно представить следующим образом:
- д ля проекций с синусоидальными меридианами:
х = Сое;
у = (Л c o s a + В)Х,
(185)
- дл я проекций с эллиптическими меридианами:
х = С sin a;
у = 04 c o s a + В)Х,
(186)
где А,
В, С- п о с то я н н ы е п а р а м е т р ы , х а р а к т е р и з у ю щ и е
р а з м е р ы и вид сетки.
Для получения этих равнов елики х псевдоцилиндрических
проекций используем уравнение (184) и поставим два условия:
I.
_
71
71
при ф = 0°иa = 0° , а при Ф = — иa =
—;
2 . х р = у р = у э/ 2.
Если полюс изо б р а жа ет ся точкой, то В = у р = 0.
Пр и п о л у ч е н и и п с е в д о ц и л и н д р и ч е с к и х п р о и з в о л ь н ы х
проекций вместо уравн ен ия равновеликости (98) используют
другие условия.
Равновеликая синусоидальная псевдоцилиндрическая
проекция с полюсами в виде точек
На основании приня ты х условий получаем
х = а С;
у = Ж cos а;
^187^
х р =Уэ/2 .
Для из о б р а ж е н и я всей ка р тог ра ф и ру ем ой поверхности
X P = C
C f = /4 f ’
f ;
Уэ = Ап■
С = ^ И из(187) y = CXcosa.
(188)
П ри ра в ня в значе ния ординат (188) и (184), получим
С 2 coscu/a = /?2 coscpi/cp .
Интегрирование этого ура вн е ни я дает
С 2 sin a = Л 2 sincp + сх,
где постоянная интегр ир ов ан ия сх = 0 , та к как при ф = 0 и
a = ОПри
и
71
7С
Ф= — и a = у
С 2 = / ? 2;
sin a = sin ф ;
a = ф.
И с по ль зу я полученные ре з у л ьт а ты , напишем у р а вне ни я
равновеликой синусоидальной псевдоцилиндрической
проекции, которая известна под названием проекции Сансона*} (рис.35).
а) Сансон - французский географ (1600-1667).
х
= /?ф ;
у = /& со8ф ;
tge = Xsin ф ;
p = l;
/1 = 1;
ая0 = 1;
aw = secs;
t g y = (tg s )/2 .
Ч а с т н ы е м ас шт аб ы длин по м е р и д и а н а м и и с к а ж е н и я
углов яв л я ю тся функциями и широты, и долготы; их изоколы
имеют вид равнобочных гипербол, симметричных относитель­
но экватора и среднего меридиана.
П р о е к ц и ю Сансона, п р и м е н я л и в а т л а с а х д л я м е л к о ­
масш табных карт мира. Долгие годы ее считали одной из
наилучших проекций, предназначенных для этих карт.
Равновеликая синусоидальная псевдоцилиндрическая
проекция с полярной линией
Географические полюсы в этой проекции и зоб ражаются
по л яр н ым и линиями, п а р а л л е л ь н ы м и п а р а л л е л я м , длина
которых в два раза меньше длины экватора.
На основании принятых условий
х
= а С;
у = (Л c o s a + В)Х\
„п
п
А +В
С — = Вп = — -— п;
Тогда
л п С
А = В - —.
(189)
С
у = у (cosa + 1)А..
Пр и ра вн яв значения ординат (189) и (184), получим д и ф ф е С2
ренциальное уравнение - у (c o s a + \)da = R 2 cosqdy ,
интегриров ание которого дает
С2
- y ( a + sin а ) = R 2 БШф.
(190)
Постоянная интегрирования равна нулю, т.к. при ф = 0 и a = 0При
Ф=
я
п
— и a = у , следовательно,
отсюда
С = 2Л/л/тг + 2; А = В = R / J k + 2
и с учетом (190) будем иметь
я +2 .
а + sin а = —-— sin ср,
2
где а - в радианах.
Последнее уравнение я вл яе тс я трансцендентным и может
быть решено по способу последовательных приближений.
Формулы равновеликой синусоидальной псевдоцилиндрической проекции с полярными линиями принимают вид
2R
......— а ;
а + sin а =
т-
л/я + 2
2
у -
я +2 .
2
,
2RX
2 ос
- - cos — ;
X .
2
л/я -1-2
В этой проекции и ск аж ен ия длин по па ра лл е л я м я вл яю тся
функ ци ей только широты, поэтому эти изоколы совпадают с
параллелями. И с ка ж е н и я длин по меридианам и и ска же ни я
углов з а в и с я т и от широты, и от долготы, и их изокол ы
являю тся гиперболическими кривыми, симметричными
осевому меридиану и экватору.
Рассмотренную проекцию широко использовали в
довоенных издан ия х советских географических атласов.
Равновеликая синусоидальная псевдоцилиндрическая
проекция Каврайского
Для ее получе ния В.В.Каврайский поставил два дополни­
тельных условия: пара мет р В = 0 и фу н кц и я широты а =
при Ф = ^ 2 У ч и т ы в а я по с та вл е нн ы е у с л ов ия и р а ве н с тв о о р д и н а т
уравнений (184) и (187), получим
А = —С и затем д и ф ф е р е нц иа л ьн ое уравнение
2
—С 2 coscu/a = R 2 соscprfcp .
После интегрирования будем иметь
2 9
?
— С s in a = R sincp + с , ,
(191)
где с j - постоянная интегрирования.
Р а с с м а т р и в а е м а я пр о е к ц и я с и м м е тр и ч н а отн ос ительно
экватора. Следовательно, при ф = 0 и а = 0 и отсюда с, = 0 .
Так как при ф = ^
и a = ^ 3 , то с учетом (191) получаем
,
г ,
С 2 =л/зд2 и
•
л/з .
s in a = — sin<p .
Формулы равновеликой синусоидальной проекции Кав райского принимают вид
х = R V3a;
у = ^ R V3A,cosa;
7з .
s in a = — sin<p;
,
2, .
tge = yksin<p;
V27
/и = ------зесоссоБфзесе;
2
i
P = l;
2
n = —= cos a sec ф;
ЦП
1 I 2
2 л
w
t g y = -V w + я - 2.
Кр ив и зн а меридианов в проекции Каврайского и з м е н я е т с я
медленнее, чем в проекции, рассмотренной выше.
Равновеликая эллиптическая псевдоцилиндрическая проекция с
полюсами в виде точек
Ка рт ог ра фи че ск ая сетка этой проекции помещена на рис.36.
Р и с.36 Равновеликая эллиптическая п севдоц и ли н дри ческая
проекц и я с полю сам и в виде точек
Все меридианы яв л яю тся эллипсами, за исключением осево­
го - прямолинейного и меридиана с долготой X = 90° , который
и з о б р а ж а е т с я окружностью . П р о екц и я носит н а зва н и е
проекции Мольвейде и до настоящего времени ее применяют
для карт океанов и в качестве обзорных в атласах.
У читывая при нятые условия, получаем
х = С sin а ;
у = Ж cos а ;
и
А = 2С/л;
С =
(192)
2С
у = — X co sa.
К
П р и р а в н я в у р а в н е н и я о р д и н а т (192) и (184), п о л у ч и м
д и ф ф е р е н ц и а л ь н о е ура вне ние
С2
— (1 + cos2a)*/a = R 2 cos ср*Ар
я
и после интегрирования
---- ( 2 а + sin 2 а) = R 2 sin(p .
2я
По ст оя нн ая и н т е г р и р ов а ни я равн а нулю, т.к. проекц ия
симметрична относительно экват ор а и, следовательно, при
ф=0 и а =0.
Я
Я
При ф = — и а = — , поэтому
С 2 = 2 R 2;
2 а + sin 2 а = я sin ф.
Это ур авн ен ие трансцендентное; его реша ют обычно по
способу последовательных приближений.
Фо рм ул ы проекции Мольвейде могут быть представлены
в виде
л: = >/2 R sin а;
у =
2 а + sin 2а = я sin ф ;
7t
т= —
Co
я
s
tg г = — tg а;
я
2V 2
sec а cos ф sec е;
п = ------ cos а sec ф;
2V 2
1
Р = 1;
а;
я
. ®
=
1 Г~2
’
+П
Т
-2.
В р а с с м а т р и в а е м о й пр о е к ц и и н а и б о л ь ш и е и с к а ж е н и я
углов имеют примерно такие же значения, что в ра вн ов ел и­
кой с и н у с о и д а л ь н о й п р о е к ц и и В . В . К а в р а й с к о г о , но на
экваторе они несколько меньше (со = 12°), а у крайнего м е р и ­
диана больше (со = 80°).
В проекции ус ил ивается перекос изобра жен ия материков
в высоких широтах и с жа тие их от полюсов к экватору.
Равновеликие псевдоцилиндрические проекции Н .А.Урмаева
Проекции с синусоидальными меридианами
Это проекции шара, в которых геог ра фич еск ие полюса
и зо б р аж аю тся точками. Уравнения проекции пр ед ста вля ют в
виде
п=
a cosa
COS(p
1
m = —sec s sec a cos cp;
a
tg 8 = a 2b2\ s i n y .
Задав ая сь различными значениями параметров а и Ь, полу­
чают р азл и ч н ы е п севдо ц и л и н др и ч еск и е р а в н о в ел и к и е
проекции.
Проекции с гиперболическими меридианами
Уравнения проекций имеют вид
х = A tg а;
у = С (1 - 2к sec а)Х,
где
R2
АС
——sin ф = tg а - к tg a sec а + lntg[45°+ | ]
;
А, В , С, к - постоянные параметры.
Равновеликая псевдоцилиндрическая проекция В.Хойовека
Формулы прямоугольных координат проекции шара
единичного радиуса пр едставл ены в виде
Кроме того В.Хойовек п ре дло жи л вар иант ф орм ул
х = ф + аи2 + Ьи4 + см6+...;
где
у = Х.со5 ф,
и - ^coscp ;
a, b, с - п о с т о я н н ы е п а р а м е т р ы , о п р е д е л я е м ы е из
дополнительных условий.
Однако, второй в а р и а н т д а ет проекцию р а вно вел ику ю ,
но не п с е в д о ц и л и н д р и ч е с к у ю , т а к к а к в ней а б с ц и с с ы
я вл яю тся ф у нкц ия ми и широты и долготы.
Обобщенные вари ан ты равнов елики х псевдоцилиндрических проекций такого типа можно предст ави ть в виде (R = 1)
[9].
*•
х = / ( ф ) , например, х = Х а <ф'
(' = Ь 3> 5> •••);
/=1
y = kcos<p + Y JbjXj (/ = 1,2,3,...);
j= i
т=
*2
кх
у=1
/=1
- A,sincp +
V /=1
1
л = 1;
051 / 2
t g y = — V /и
+ п
2
-Г
— 2,
где о., 6 (. - постоянные пара мет ры , получаемые из дополнительн ых условий.
Эти пр оекции си м м е тр и ч н ы относит ельно э к ва т о р а, но
аси мме тр ичн ы относительно среднего меридиана.
Равновеликая эллиптическая псевдоцилиндрическая проекция
Эккерта (IV )
В данной проекции длины прямолинейного среднего
меридиана и полярной линии равны половине длины экватора.
Ф о р м у лы проекции имеют вид
х = 2Я
л+4
sin а;
у =
2 XR
(1 + cos а).
В с п о м о г а т е л ь н а я в е л и ч и н а а о п р е д е л я е т с я м ет од ом
итерац ий из трансцендентного у ра вне ния
2а + 4 s in a + sin 2а = (л + 4 ) s u ^ .[ 20]
Комбинированная равновеликая псевдоцилиндрическая
проекция
Уравнение абсцисс этой проекции представим в виде
х =R
,
к | + k.i +
—1.
У ч и т ы в а я ус ло вие ра вн ов ел ик ос т и, не тр уд но з а п и с а т ь
уравнение ординат и х а р а к т е р и с т и к данной проекции
У
X R coscp
=
c o s ^ + к 2 + к$ cos
п = 1 \ к { c o s % + к 2 + к ъ coSфJ ;
sin ф(^А:, c o s / ^ + к 2 + к г со 5 ф) - со в ф ^ Л ) sin
sm V
tg 8 = X'
c o s ^ + к 2 + к 3 со5ф
/я =
sec е;
со =
2 arctg ^ (m 2 + п 2 - 2 )
И з м е н я я з н а ч е н и я п а р а м е т р о в k v к 2 и fc3, м о ж н о п о л у ч и т ь
совокупность р а з л и ч н ы х р а в н о в е л и к и х проекций. Т а к при
к3 - к|= 0 и
= 1 п о л у ч и м п р о е к ц и ю С ан со на .
В а р и а н т ы п р о е к ц и й п р и к х =0.5, к 2 = 0 . 4 и к 3 = 0.1, а
т а к ж е п р и к ] =0. 4, к 2 =0. 5 и &3 =0.1 и м е ю т н е к о т о р ы е
п р е и м у щ е с т в а по с р а в н е н и ю с и з в е с т н ы м и р а в н о в е л и к и м и
п с е в д о ц и л и н д р и ч е с к и м и п р о е к ц и я м и [9].
2.1.2.3. ПСЕВДОЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ С
ПРОИЗВОЛЬНЫ М ХАРАКТЕРОМ ИСКАЖЕНИЙ
М ножество таких п роизвольны х проекций можно
получить, у стано в и в р а з л и ч н ы е у сл о в и я их получения. В
частности, если п отреб овать, чтобы в р а с с м а т р и в а е м ы х
п р о е к ц и я х д л и н ы с о х р а н я л и с ь на с р е д н е м м е р и д и а н е , то
б у д е м и м е т ь с л е д у ю щ и е о б щ и е ф о р м у л ы э той с о в о к у п н о с т и
проекций
х=&р;
y = n E R f ( <рД);
Ук
R cos(p
;
.
m Q = 1;
т =
tge = - - j p , , ;
secs;
р-п\
где n E - м а с ш т а б д л и н на э к в а т о р е .
©=
tg —
m 2 +■ n 2
- lp
Произвольная эллиптическая псевдоцилиндрическая проекция
Каврайского
У чит ыва я вы р а ж е ни е (186), запишем
дс = С sin а .
П о с т а в и м у с л о в и е , ч т о б ы д л и н а ос е во г о м е р и д и а н а
со хранялась в этой проекции без искажений, тогда
л: = /?ф и sin а =
;
cos °с =
y j c 2 - R 2ф2 .
После подстановки значения c o s a в ф ор му лу
у - Ж cos a ,
получим
АХ
y = ^ J c 2 - R 2ф2 .
(193)
На о с н о в а н и и у с л о в и я У р = У Э/ 2 п о л у ч а е м с у ч е т о м (193)
С = R-j=
S '
Один из м е р и д и а н о в и з о б р а ж а е т с я ок р у ж н о с т ь ю ; д л я
этого меридиана С = АХ\ , где Х^ - его долгота.
Подставим это вы р а ж е ни е в фо рм ул у (193). Тогда
_ XR j я 2 - Зф'
Х]
Долготу меридиана (Х|), который и з о б р а ж а е т с я о к р у ж ­
н о с т ь ю , м о ж н о н а й т и под у с л о в и е м , ч то на п а р а л л е л я х с
з а д а н н о й ш и р о т о й ±ф* , м а с ш т а б п к = 1 , т.е. д л и н а э т и х
п а р а л л е л е й п е р е д а е т с я на к а р т е б ез и с к а ж е н и й :
X , = д/я2 - Зф^ / у[3 c o s ф к •
Если з а д а т ь значе ние долготы X i , то получим шир оту
п а р а л л е л е й ±фл , д л и н ы к о т о р ы х и з о б р а ж а ю т с я б е з
искажений.
В . В . К а в р а й с к и й п р и н я л д л я св о ей п р о е к ц и и X j = 120°. П р и
этом у с л о в и и с о х р а н я е т с я д л и н а д в у х п а р а л л е л е й с ш и р о т а м и
Ф* = ±35°31 34" .
О т м е т и м т а к ж е , что, в з а в и с и м о с т и от з н а ч е н и я д о л г о т ы
( Aj ) к ру г о в о г о м е р и д и а н а , мо г ут б ы ть п о л у ч е н ы р а з л и ч н ы е
в а р и а н т ы п р о е кц и и, о т л и ч а ю щ и е с я з н а ч е н и я м и ч ас т н ы х
м ас ш т аб о в д ли н по э кв а т о р у . Н а п р и м е р , если п о л о ж и т ь
= 125°13 ,
то
пЕ = 0,829
и
будем
иметь
п р о е к ц и ю В а г н е р а ; е с ли п р и н я т ь
^
= 103°55'23",
то
V3
п Е =1 и получим проекцию Путныньша.
Общие ф орм ул ы проекции Каврайского имеют вид
х = &р;
.у =
~ Зф2;
Рис.37 Псевдоцилиндрическая эллиптическая проекция Каврайского:
а- изоколы величины со ; б - изоколы величины р
х7зФ
т = sec б;
X{yjn2 - Зф2
В этой проекции частн ы е м асш табы длин вдоль
п ар алл ел ей и площадей являю тся ф ункциям и только
широты, а вдоль меридианов и наибольшие ис каж ен ия углов
- ф ун кци ям и и широты и долготы. Поэтому в ней изоколы
искажений длин пар алл ел ей и искажений площадей имеют
вид п рям ы х и совпадаю т с п а р а л л е л я м и ; а изоколы,
х а р а кт е р и зу ю щ и е иска жен ия длин меридианов и наибольшие
и с к а ж е н и я углов имеют вид ги п ерболи чески х кривых,
симметричных относительно среднего меридиана и экватора
(см. рис.37) [Гинзбург Г.А., Карпов Н.С., Салманова Т.Д., 1955].
П севдоцилиндрическая проекция Ц Н И И ГА иК (Гинзбурга).
В этой проекции полярная линия приблизительно равна
промежутки между меридианами
уменьшаются при удалении от среднего, между па ра лл е л я ми
- возрастаю т при удалении от экватора.
Ф орм улы проекции имеют вид
0,6 д л и н ы э к в а т о р а ,
т = ( 1 + 0,25ф2)5есе;
п = (о,87 - 0,0038 IX,31 1 -
6,16
Бесф;
В этой проекции для области на краю карты ис каж ен ия
форм меньше, чем в проекции Каврайского (и скажения углов
доходят до 50%), иска жен ия площадей - больше (масштабы
площадей доходят до 4.00). Проекция использовалась для карт
мира с перекрыв а ющ ими ся участками в направлении востокзапа д (см. рис.38) [Гинзбург Г.А., Карпов Н.С, Салманова Т.Д.,
1955].
Рис.38 Псевдоцилиндрическая проекция ЦНИИГАиК:
а - изоколы величины ю ; б - изоколы величины р\
П севдоцилиндрические проекции Н .А .Урмаева, произвольные
по характеру искаж ений.
Синусоидальная с небольшими искажениями площадей (для
карт океанов)
х = 1,42469/?(сс + 0,138175а3);
у = 0,877383/?Х cos ф,
где sin а = 0,8 sin ф .
Произвольная с заданными значениями постоянных
параметров
(
х =R
, з^
а
ка
;
+
ab
ЪаЬ
р = \ + к а 2\ п =
я
у = RaX cosa;
s in a = 6 sincp;
cos a sec ф ; т = — sec е;
tgs =
a 26 sin X
1+ ка2
Ука3
в л и я е т на и зм ен е н и е п р о м е ж у т к о в м е ж д у
Зяб
па ра лле ля ми;
р - частные масштабы площадей, с же л а ем ым и зна чениями
на зад анн ых параллелях;
к - па ра ме тр , который на ходится по за дан ном у зна чению
масштаба р;
а, Ъ - постоянные параметры, опре дел яе мые из до по л ни тел ь­
ных условий, (см. рис.39) [Гинзбург Г.А., Карп ов Н.С,
Салманова Т.Д., 1955].
где член
П севдоцилиндрическая проекция из О ксфордского атласа
П о л у ч е н а из п е р с п е к т и в н о - ц и л и н д р и ч е с к о й п р о е к ц и и
Рис.39 Псевдоцилиндрическая проекция Урмаева.
Изоколы величины р
Голла (см.2.1.1.7) с п а р а л л е л я м и сечениями ф*. = ±45° путем
н е к о т о р о г о у к о р а ч и в а н и я п а р а л л е л е й при у д а л е н и и от
экватора. Абсциссы в данной проекции, как и в проекции
Голла, вычисляются по ф орм ул е
х = R( 1 + cos< p *)tgy.
Проекция использована в атласе для создания карт мира.
П севдоцилиндрическая проекция М ихайлова А .И .
П рое кци я - п ро из во льн ая по х а р а к т е р у искажений. По
среднему прямолинейному меридиану масштаб увел ичивается
с во зра ста ние м широты. Остальные мер ид иа ны - эллипсы.
Фо рм ул ы проекции
х = 2 /? С7сф;
RCX /72 2
У - ~ г — 4 кI л
/С] 71
где
Л/ 2 2
-4A :V ,
= к 0 + 0,003/:,ф;
С = соБф*;
/с0 , A:j - з а д ав а ем ы е постоянные параметры;
к
т = 2Csece(/c + 0,003/с,ф);
л = - — —---- J k ? n 2 - 4 к 2у 2 ;
А:,ясо5ф
2 А:ф>.
tg 6 = ------ — ----к \ п ^ к 2п 2 - 4/с2ф2
О т м е т им , что кр ом е у к а з а н н ы х , были р а з р а б о т а н ы и
н е к о т о р ы е д р у г и е т а к и е п р о е к ц и и и что р я д п с е в д о ц и ли нд рических проекций использовался при создании карт по
способу Гуда (см. п.4.2.1.6), как с р а з р ы в ам и по материкам
(равновеликая проекция ЦНИИГАиК, разработанная
Г.А.Гинзбургом в 1945 г.), так и по океанам (равновеликая
проекция Эккерта - вариа нт БСАМ, ра зработанный в 1934 г.
Н.М.Волковым) и др.
2.2. К А Р Т О Г Р А Ф И Ч Е С К И Е П Р О Е К Ц И И С
П А Р А Л Л Е Л Я М И В ВИДЕ К О Н Ц Е Н Т Р И Ч Е С К И Х
ОКРУЖНОСТЕЙ.
К ним относятся конические, азиму та льн ые, псевдоконические и пс евд оазимут альные проекции.
2.2.1.1. ОБЩ ИЕ ФОРМ УЛЫ КОНИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЙ
Коническими
называют картографические
проекции, в ко­
тор ы х п а р а л л е ­
ли и з о б р а ж а ю т ­
ся к о н ц е н т р и ­
ческими о к р у ж ­
ностями, а м е­
ридианы - пуч­
ко м
прямых,
проведе нны х из
центра о к р у ж ­
ностей. При этом
углы в точке по­
люса м еж ду м е­
р и д и а н а м и на
п ро ек ции и э л ­
л и п с о и д е (с ф е ре ) п р о п о р ц и о н а л ь н ы и, с л е д о в а т е л ь н о , на
пр ое кци и в точке полюса в о з н и к а е т р а з р ы в и з о б р а ж е н и я
(рис.40).
Исходя из определения, общие фо р му л ы прямоугольных
координат проекции принимают вид
х = рю - pcos5;
у = psinS;
Р = /(ф);
8 = аХ,
где рю - полярный радиус южной параллели.
П р о д и ф ф е р е н ц и р у е м эти ф о р м у л ы по <р и X и получе н­
ные производные подставим в ф о р м у л ы частных масштабов
длин (60) и (61) общей теории кар то г р а ф и че с ки х проекций.
Тогд а п о л у ч и м ф о р м у л ы ч а с т н ы х м а с ш т а б о в данного
класса проекций
т = —р<р/ Л /;
п = ар/r ;
р = т п.
(194)
Так как в этих проекциях м еридианы и п ар а л л е л и
и з о б р а ж а ю тс я ортогонально, то они совпадают с главными
нап ра вл е н и я ми в точках проекции и частные масштабы т и
п я в л я ю тс я экстремальными.
У читывая условия равноугольности т = п, 8 = 0 , получаем
из в ы р а ж е н и я (194) ди ф ф е ре нц иа л ьн ое уравнение
ф
М .
— = - а — аф.
Р
г
После его интегрирования с учетом (22), (23) найдем
In р = In к - a In U
и далее
р=— .
(195)
иа
Фо рм улы частных масштабов длин принимают вид
ак
т =п =— ,
(196)
где а , к - постоянные параметры.
Наименьший масштаб будет иметь место на п а р а лл е л и с
широтой ф0 .
Для ее нахож де ни я запишем из (196) производную по Ф
и при Ф = Фо п р ир авн яе м ее значение нулю.
= ар0М 0 (sin ^ - а ) = 0.
'о
Следовательно
51пф0 = а .
(197)
П р и и з о б р а ж е н и и п о в е р х н о с т и ш а р а ф о р м у л а (195)
обр ащается в следующую
p = * c t g a (4 5 ° + % ].
Если же вместо ш и роты и с п о л ь з о в а т ь
расстояние z = 90°-ф , то будем иметь
полярное
p = £tga | Частные масштабы длин в этом случае будут определяться
по фо р му л е
Постоянные параметры а и к находят различными
способами.
Соответственно получают ра зл ичн ы е равноугольные кони­
ческие проекции.
П роекция с наименьшим частным масш табом длин, равным
единице на заданной параллели
Приняв за фо широту средней па ра лле ли , из (196) и (197)
получаем
а = БШфо;
(198)
а
Подставив (198) в (195), находим
т.е. р 0 - это отрезок касательной к меридиану от точки ф 0
до в с т р е ч и с осью в р а щ е н и я з е м н о г о э л л и п с о и д а . Эту
проекцию часто назы ваю т равноугольной конической
проекцией на касательном конусе.
П роекция с наименьшим м асш табом , равным единице, и с
одинаковыми искажениями на крайних параллелях
Так как по условию тс - тю , то из (196) дл я п а р а л л е ­
лей фс,фю получаем
Igw» - lgгю - а I n и ю = lga£;
lg тс - lg rc - a In Uc = lg a k.
Отсюда
lg r„ - lg rc
lg £/c - lg
a
П роекция с равенством искаж ений на крайних параллелях и
сохраняю щ ая длины на произвольно взятой параллели ф,
В этом случае из (196) аналогично получим
lgUr - l g t / „
a
П роекция, сохраняющ ая длины на двух главных параллелях
ф| « ф 2
Та к как по условию т1 = т2 , то
Igr, - lgr2 .
lgt / 2 - Ig t / , ’
Ш ироты
В.В.Каврайского
и
(p2
Ф г
ф1 =(pw
_М
a
можно
-
Ф/о
— JfcJ—
из (196) найдем
_ r2U%
a
определить
.
Ф с
-
по
способу
Ф ю
ф2 = Ф с -------к {—
’
где к х - величина, з а в и с я щ а я от конф игурац ии и з о б р а ж а е ­
мой территории. Если она имеет форму, близкую к
п р я м о у г о л ь н и к у , в е р ш и н ы к о т о р о г о л е ж а т на
кр айних па р а л л е л я х , то к х = 5.
При этом ( ф г - ф ю) вы ра же но в градусах.
Если те рр ит ор ия к а рт ог ра ф ир ов а ни я имеет фор му круга или
овала (как угодно ориентированного эллипса), то
А, =4.
Если у к а з а н н а я т е р р и т о р и я имеет ф ор му ромба ( ч е ты р е х ­
угольника) с вершинами на средней и крайн их п а р а лл е л ях ,
то
к\ =3.
Для обеспечения наименьшей величины искажений в
пре делах изо бражаемой области ко эф фи ци ен т к х принимает
зн ачение
,
_
(ф „-ф ,)2
К, =7 и тогда v min *
525
П роекция, в которой искаж ения на крайних и средней
параллелях одинаковы по абсолю тной величине.
Положим, что широта средней п а ра лл е л и
Ф« = К +Ф ю)/2 -
а
т•
Равноугольная коническая проекция с наименьшим
среднеквадратическим искаж ением длин
За меру искажений длин из (196) примем величины
v = In ц = In ак - In г - a In U.
(199)
Обозначим
а = - \nV;
Тогда (199) принимает вид
P = ln a £ ;
b = 1;
h = \nr.
(200)
аа + ftp - h = v .
Р а з д е л и в и з о б р а ж а е м у ю те р р и т о р и ю на э л е м е н т а р н ы е
зоны с одинаковым протя жен ие м по широте Дер и п р о т я ж е ­
нием по долготе АХ = Хв - Х3 , составляем систему уравнений
вида ( 2 0 0 ) и из ее ре шения по способу наименьших кв адратов
находим па ра ме тр ы а и к. При решении системы (200) за
веса принимают площади каждой зоны р = Л/гДфДА. .
П роекция, в которой частны е масш табы длин пю и п на
крайних параллелях равны меж ду собой и во столько раз
больш е единицы , во сколько меньше единицы минимальный
частный масш таб п0 (на параллели ф 0 ).
Из определ ен ия имеем
1 :л 0 = пю: 1 и 1 :л 0 = я с: 1 .
Из условия равенства масштабов п ю и пс получаем
а- = № г ю - \ g r c)/(\gUc - l g U J .
Из (197) находим
= arcsina.
По второму условию можно за писать
Ф0
пюп0 = 1 и псп0 = 1 .
П ри ни ма я во внимание ф о р м у л ы (196), получаем
Откуда
k = 4 r „ U Z r 0US = - М а^ о ° .
а
а
Во в с е х р а с с м о т р е н н ы х в а р и а н т а х р а в н о у г о л ь н ы х
конических проекций па ра мет р а < 1 .
При а = 1 будем им еть р а в н о у го л ь н у ю а з и м у т а л ь н у ю
проекцию эллипсоида.
При а = 0 - проекцию Меркатора.
2.2.1.3. РАВНОВЕЛИКИЕ КОНИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ
Зап ис ав условие равновеликости р = тп = 1 и уч ит ы в а я
(194), получаем д и ф ф е ре н ц и ал ьн ое уравнение
а р ф = -Mrdy .
Его интегрирование дает
л
у р 2 - к - ^Mrdy или р 2 = — (к - S ) ,
(201)
где S - площадь сфероидической трапеции от экватора до
данной па раллели при разности долгот в один радиан,
опре дел яе мая по (183).
С учетом (194) и (201) получим
2
2 а (к - S)
П = -------г 2-------;
г
1
т = 7я = ~ар :
. со
IП - т\
8ШТI = ТпГ+^ т
Г-
(202)
Найдем па ра лл е л ь ср0 , вдоль которой частный масштаб
длин п имеет наименьшее значение.
Д и ф ф е р е н ц и р у я п 2 из (202) по Ф , найдем
dn2) = 2а - г 2Mr + ( к - S ) 2 r M sin Ф _
dq>
Г4
_ 2 а М [2 ^ _ iy ) si n (p - r 2J
П риравняв эту пр ои зводную при ф = ф 0 нулю , получаем
2к = 2S0 + г02 совесфо,
и с учетом ( 20 2 ) значение
2
п0 = —
«
Sin фд •
При изображении поверхности шара найдем
Р
2
2Л 2
.
v
= ------- ( * 2 - sin<p);
а
п 2 = —Щ — (к2 - sin ф)
COS ф
где к 2 - постоянный пара мет р проекции.
В равновеликих конических проекциях, как и в других
конических проекциях, постоянная а меньше единицы.
При а = 1 - получим равновеликую ази мут аль ну ю пр ое к­
цию Ламберта;
при а = 0 - изоцилиндрическую проекцию.
В з а в и с и м о с т и от с п о с о б а п о л у ч е н и я п о с т о я н н ы х
параметров а и к получим различны е равновеликие
конические проекции.
Проекция с наименьшим масш табом, равным единице на данной
параллели ф 0
Учит ыва я полученные выше формулы, будем иметь
а = sin ф0 ;
г2
к = -y -co sra p 0 + S о .
Отсюда 2 (к - S 0) = r 02 cos ^ 0 •
Подставив это значение в фор мул у (201), получим
Ро = N o c tS<Po-
П роекция, сохраняющ ая длины вдоль двух заданны х
параллелей
По условию на п а р а л л е л ях ф| и ф 2 значения л, = п2 = 1 .
Тогда из (202) получим
2 а (к - 5 , ) = г,2; 2 а (к - S 2) = г 2.
Отсюда найдем
г\ - г2
.
а —---------------,
2( S 2 - S | )
/
к
г\
—
— + SсI—Г2
— + S о-)
2а
2а
Проекция с равенством искажений на крайних и средней
параллелях
Исходя
из
условия,
что
на
параллелях
фс, фю и
Фс + Фю
Фт = ----------- и ск аж ен ия равны, запишем по фо рм ул е ( 2 0 2 )
к - S с _ к —S ю
2
2
"
' с
' ю
Отсюда получим
Л' ~
S Cd - $югс
9
9
г'/о —г'с
г2
—1С
О 1
г ю—гс
t
С
j-2 S c —S ю
" ГЮ 1
г'/о —г
1Ю
'
'с
Представив величины искажений длин в виде
V
= (n2 - 1)/2
и равенства |ис| = |ида| = |ит | , найдем
a ( k - S c)
1
а(k -S J
2 "
’
ri
1
2 "
а(k -S J
’
rl
1
2 ~
Сложив первые два уравнения, получим
а ( к - S c) / r 2 + а (к - S m) / r 2 = 1
y a = ( k - S c) / rc2 + ( к - S j / r l
и
или
а =
г} r l / [ г 2 ( к - S c) + г 2 (к - S m)]
Исключив из этой ф о р му л ы па ра мет р /с, найдем
(rl - г 2\ r l
а =
гю { $ с ~
^т) + гт { $ с
~ $ ю ) + гс { $ т
~ ^ю )
Во в с е х р а в нНО]
о в е л и к и х конических п р о ек ц и ях полюса
изображаю тся
дугами
окружностей
с
радиусом
ъ, т_______________
„
р = | 2 / а ^ - 5 90°|| У
а к к а к при ф
= ЛАп
90° кI. *. 5о 90°
s
2.2.1.4.
РАВНОПРОМЕЖ УТОЧНЫЕ КОНИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ
К о н и ч е с к и е п р о е к ц и и мог ут б ыт ь р а в н о п р о м е ж у т о ч н ы м и
вдоль меридианов и вдоль п араллелей. П рактически
6*
163
используются только первые. В них т = 1 •
Из (194) получаем
ф = -M dy.
Интегрирование этого у ра вне ния дает
р=k-s,
где s - длина дуги меридиана от экватора до данной п а р а л ­
лели, оп р ед ел я ем ая по (156);
к - па раметр, в ы р а ж а ю щ ий радиус экватора в проекции.
Та к как при ср = 90° к * s , полюс и з о б р а ж а е т с я в этих
проекциях дугой окружности с радиусом
p = k - s 90\
П о д с т а в и в п о л у ч е н н о е з н а ч е н и е р в ф о р м у л у (194)
частного масштаба длин вдоль пара лле ле й, получаем
а (к - s)
п = — -------(203)
г
где а - вт оро й п о с то ян н ы й п а р а м е т р р а с с м а т р и в а е м ы х
конических проекций, принимающий значения
а < 1•
При а = 1 - проекция будет равнопромежуточной вдоль м е р и ­
дианов аз им утальной проекцией эллипсоида.
При а = 0 - равнопромежуточной вдоль меридианов цили ндри ­
ческой проекцией эллипсоида.
В з а в и с и м о с т и от с п о с о б о в п о л у ч е н и я п о с т о я н н ы х
пара мет ров а и к находят р аз ли чн ы е ра вно промежуточные
вдоль меридианов конические проекции.
П роекция с наименьшим масш табом , равным единице,
сохраняю щ имся на данной параллели
П ро д и ф ф е р е н ц и р о в а в (203), получаем
cbA = аЛ*0 | ^
W<p; 0
/о
1
Jsij=0
J
Отсюда к = 50 + N 0 ctgcpQ,
к - $0 = N 0 ctgcp0.
С учетом (203) можно за пис ать
а = 11и а = sm фи.
п0 = —-----sin фо
П роекция с равенством искаж ений на крайних параллелях и с
наименьшим масш табом, равным единице, сохраняющ емся на
параллели с ср0 .
Имеем пс = пю и п0 = 1.
У чит ыва я (203), получаем
к -sc
к -
Отсюда
к _ *СГЮ SK>rc
гю - г с
Ис пользуя значение па ра ме тра к и ф орм ул ы предыдущего
вари а н та проекции, будем иметь
ос = sin(p0 .
П роекция, сохраняю щ ая длины на двух заданны х параллелях
Имеем л, = п 2 = 1 .
Получаем с учетом (203)
< х(Л -5,)/г, = 1;
a ( k - s 2)/r2 =\ .
Вычтя из первого ура вн е ни я второе, находим
_ _ (П-Гг).
к _ .
а - ------------ К - 5]
($2-5,)
. г\ _ „ . г2
+ — - S2 + — •
а
а
П роекция с равенством абсолю тны х величин искаж ений на
крайних и средней параллелях
Условия получения этой проекции пр е д ло ж ен ы В.В.Витко в ск им . ( Т а к и е ж е у с л о в и я б ы л и им п р е д л о ж е н ы д л я
равноугольных и равновеликих проекций). В рассматриваемой
проекции
фо
=
+ ф„);
К -!| = К -!| = К -i|.
Из (203) находим
^ L Z j s l = 1 + и;
Гс
г0
Гю
П ри р а в н я в первое и трет ье ура вне ния и сложив первое
(третье) со вторым, получаем
а =
2г0(гю - г с)
rc(s0 - S„) + Г0(5С - s j + /-w(sf - S0) ’
/
Sc ~ SK>
Sc ~ SK
к = s c + r c -£-2- = s„ + r „ - c
П роекция с равенством искаж ений на крайних параллелях
картограф ируемого пояса и сохраняющ ая ее площадь
Учи т ыв а я (203), получаем (Н.А.Урмаев, 1941)
к -
к - s„
и далее
$СГЮ
5 ЮГС
Sc
„с
"ю
к = — T ~ Z Z — ~ sc + r c
ГЮ
ГС
Ю
_ r
'С
Ю
- sK>+ r H>•(204)
ГС
Площ адь сферои ди чес кой тр ап ец ии с разностью долгот
X равна на поверхности эллипсоида (шара) - \ ( S C - $ ю), на
ка рте - Р с) .
Отсюда
С ~ S ю ) — C l(P j0
+ Р с )(Р /о
— Рс) •
Пр ини мая во внимание (203) и (204), нетрудно вычислить
(р/о + Рс) = (5е - 5ю)(гс + гю)/(гю - гс) и (р» - Рс) = SC - S „ ,
а за тем получить
а =
2 (Sc - З ю)(гю - ге)
(sc - s j
(r„ + rc )
В р а в н о п р о м е ж у т о ч н о й по м е р и д и а н а м п р о е к ц и и
Ф.Н.Красовского с ох р а н я е т с я пло ща дь за д ав а ем ог о пояса,
п р о т я ж е н и е к о т о р о г о по ш и р о т е р а в н о 20 = ср, - <р2 ,
с о б л ю д а е т с я р а в е н с т в о м а с ш т а б о в д л и н на к р а й н и х
п а р а л л е л я х (л, = п 2 ), сумма кв адр ато в ис кажений длин по
п а р а л л е л я м д л я всей т е р р и т о р и и имеет м иним ал ьное
значение.
П а р а м ет р ы а и ф| опр еделяются под условием
= min,
Е =±
где
р' - весовы е к о э ф ф и ц и е н т ы ( п р о т я ж е н и е по долготе
па ра лл е л е й с широтами Ф ).
Ф о р м у л ы пр ое кц ии п р и н и м аю т вид (для о т о б р а ж е н и я
сф е ры единичного радиуса)
р=
Pi
+
/и (ф ,
-
ф)
= р 2 + т( ф 2 -
ф ),
где
ф1,ф2 - широты крайних п а ра лле ле й пояса.
Ф.Н.Красовский ра зра бот ал вариант проекции для изоб ра­
ж е н и я террит ори и СССР с параметрами:
Ф,
= 73°28'42"; ф2 = 39°28'42"; 20 = ф2 - ф, = 34°;
2)/2 = 56°28'42";
Фо = (ф| + Ф
Pi = c o s фj/^ /a c o s0 siiu p 7 ;
а = 0.851568,
р 2 = со5ф 2 Д /а с о Б б в т ф о ;
п = -^ ~ .
COS ф
Проекция с наименьшим средне-квадратическим искажением
длин
Впервые метод опр ед еления таких проекций был дан в
1916 г. Н.Я.Цингером в его работе “О наивыгоднейших видах
конических п р ое кци й”. В 1933 г. В.В.Каврайский значительно
упростил этот метод.
Проведем ряд равноотстоящих параллелей, которые
р а з о б ь ю т и з о б р а ж а е м у ю о б л а с т ь на н е с к о л ь к о з о н ,
поверхность кажд ой из которых будет равна
р = Дф/Л/гагс2 1°,
где Дф, I = Хв - Хзап (данной зоны) в ы р а ж е н ы в градусах,
М , г - вз я т ы д л я средней широты зоны и
arc 1 ° = - ^ = 0.01745329;
р - весовые коэффициенты.
г
г
Введем обозначения
р = а к\
д = - —;
г
А = 1;- =Ь.
г
Тогда получим
аа + бр - А = v .
Составив систему уравн ен ий этого вида и решив ее по
с по с об у н а и м е н ь ш и х к в а д р а т о в из у с л о в и я
получают неизвестные па ра ме тр ы а, р и к = P/ а . После этого
вычисление прямоугольных координат и характеристик
проекции никаких трудностей не вызывает.
При менительно к созданию к а рт ы СССР В.В.Каврайским
были установ ле ны широты главных п а р а л л е л е й cpj =47° и
ф 2 =62° и определены постоянные п а ра м е тр ы а и к.
Из ср авн и тельн ого ан а л и за и скаж ен и й проекций
Каврайского и Красовского следует, что первую це л есо об ра з­
нее при мен ят ь д ля карт тер ри т ор ии России, когда необходи­
мо получить изобра жен ие ее материковой части, а проекцию
К р а с о в с к о г о в с л у ч а я х , когда кр ом е м а т е р и к о в о й ч а с т и
необходимо отобразить полярную область.
Во все х р а с с м о т р е н н ы х к о н и ч е с к и х п р о е к ц и я х , в том
числе в р а в н о п р о м е ж у т о ч н ы х , ч а с т н ы е м а с ш т а б ы д л и н ф у н к ц и я только широты, и изоколы совпадают с п а р а л л е л я ­
ми.
Особенностью всех конических проекций я в л я е т с я то, что
их це нтр ал ьны е линии совпадают со средними па ра лле ля ми .
С ледовательно, конические проекции выгодны для
и зо б ра ж е ни я территорий, ра сп оложенных в средних широ тах
или в ю ж ны х ш иротах, аси м м ет р и чн о к эк в а т о р у , и
значительно вы тя ну т ых по долготе. Именно поэтому многие
ка рт ы б. Советского Союза составлены в этих проекциях.
С л е д у е т отметить, что в кониче ски х пр о е кц и ях дл ины
дуг меридианов между па ра ллелями изменяются при удалении
от ц е н т р а л ь н ы х линий: в о з р а с т а ю т - в р а в н о у г о л ь н ы х и
близких к ним проекциях, ум еньшаются - в р авн ов ели ких и
б л и з к и х к ним п р о е к ц и я х , о с т а ю т с я н е и з м е н н ы м и - в
равнопр ом ежу точ ных вдоль меридианов проекциях.
2.2.1.5. ПЕРСПЕКТИВНЫ Е КОНИЧЕСКИЕ П РО ЕКЦ И И
Одно из н а п р а в л е н и й п о л у ч е н и я т а к и х п ро е кц и й р а с ­
смотрено в работах А.И.Петренко и его учеников С.Ф.Кобыляцко го, А.В.Шапошникова, С.Д.Куроедова, Е.М.Крохмаля,
(1961). И з в е с т н ы п е р с п е к т и в н ы е к о н и ч е с к и е п р о е к ц и и
В.В.Каврайского, Мердока, Христова.
Рассмотрим определение перспективных конических
п р о е к ц и й на о с н о в е р а з р а б о т к и о б щ е й их т е о р и и , в
соответствии с которой можно получить все виды п ер сп ек ти в­
ных проекций по единой методике.
В к а ж д о й из п е р с п е к т и в н ы х п р о е к ц и й п о с т р о е н и е
из о б р а ж е н и я о с ущ е ст вл яе тс я последовательно по ка жд ом у
меридианному сечению X = const (или сечениям по вер тикалам
а = const - Для проекций в косой или поперечной ор ие нт ир ов ­
ках).
С о в ок уп но с ть о т о б р а ж а е м ы х то ч е к в к а ж д о й из э ти х
плоскостей о п р е д е л я е т с я пе ре сеч ени ем ви зи р н ы х лу че й и
линий образующих цилиндра (С-С) или конуса ( P -С), а при
получении азимутальны х проекций - линии картинной
плоскости Т (рис.41).
Для всех этих проекций ур авн ен ия визир ных лучей имеют
вид
x {y a
- y s ) - y (x a - x s ) - x s { y a - y s ) + y s (x a - x s ) = o ,
где Х А , Y a \ X s , Ys - п р я м о у г о л ь н ы е к о о р д и н а т ы т е к у щ и х
прое кти руе мых точек А и точек зре ния
(проектирования) S в системах коорди ­
нат каждой плоскости.
Уравнения образующих конуса, цилиндра, со ответствую­
щи х л и н и й к а р т и н н о й п л о с к о с т и Т м о ж н о п р е д с т а в и т ь
следующим образом:
- дл я конических проекций
x (y 2
- у,) - у ( х 2 - Х х) -
x
\
y2
- д л я цил индр ических проекций
Y = KX
- д л я а зи м ут а ль н ы х проекций
Y = К 2.
- У,) + y ,( x 2 -
х
,) = о
Рис. 41 Схема получения перспективно-конических проекций
Конкретные значе ния X a ,Y a , X s ,Y s , K i и К 2 з а в и с я т от
выбранных систем прямоугольных координат, особенностей
про е кт ир уе м ых поверхностей и пар аме тро в отображения.
М о ж н о п о л у ч и т ь п р о е к ц и и ш а р а или э л л и п с о и д а , с
негативным или позитивным изображением, на касательном
или с екущем конусах.
Д л я при м ер а , рассмо три м пол уче ние пр ое кци и ш а р а с
негативным изо бражением на касательном конусе (рис.41).
Обозначим oS = D и начало координат возьмем в точках
S. Тогда будем иметь в системах координат каждой плоскости
X s - Ys = 0;
^^
Arfl=/?sincp0;
x p = R cosec Фо;
sin ср;
УА = - D - R c o s ср ;
Y в = - D - R coscp0;
y p = - D.
У ра вн ен ия линий визирного лу ча S A и об ра зую ще й PC
конуса принимают вид
X(D + R cosф) + УХЛвШф) = 0 ;
ЛЧсозфо) + У($тф0 - совесфо) - / ? ( c ^ 0) +
+ £>(sin ф0 - cosec ф0) = 0.
Отсюда получаем
_
(R + Z)cos<p0)(Z) + /?coscp)
/? sin 9 sin 9 0 + cos ф0(/) + R c o sy )
_ _ _ K s in < p _
у
D + R co s9
p = [(Z- ^ ) 2 + ( Г - у ,) 2
>2
Следовательно
P
В’
где
2
(i)sin(pcos(p 0 - ctg 9 0(Z) + ЛсоБф)) +
(D sin ф sin ф0 - (D + R c o s ф))
5 = Л м пф йпф о + со5ф0(D + /? cos ф ).
И с п о л ьзу я ф о р м у л у частного масш таба длин вдоль
п а ра лле ле й в конических проекциях, получаем для широты
Ф = ФоRcos(p0
а =
Ро
где R = N 0 = aj{\ - е 2 sin 2 Фо)^
Прям оу го ль ные коорди на ты и частн ые мас шт абы длин
теперь легко вычислить с учетом известных общих форму л
конических проекций (см. п. 2 . 2 . 1 ).
2.2.1.6. КОСЫЕ И П ОПЕРЕЧНЫ Е КОНИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ
Их ц е л е с о о б р а з н о п р и м е н я т ь , когда т е р р и т о р и я
к а р т о г р а ф и р о ва н и я значительно вы тян ут а вдоль какого-то
направления, т.е. вдоль какого-то аль мук ант ара та.
В этих проекциях линии вертикалов изображаются пучком
прямых, сходящихся в выбранной точке полюса (?(фоЛо) П°Д
углами, пропорциональными разностям азимутов, аль мук анта р а т ы - дугами концентрических окружностей с центром в
точке полюса.
Все м е р и д и а н ы и п а р а л л е л и и з о б р а ж а ю т с я к р и в ы м и
линиями, кроме меридиана полюса Q, который показыв ает ся
пр ям ой ли н и ей , п р и н и м а е т с я за ось абсцисс пр ое кц ии и
я в л я е т с я осью симметрии ее картографической сетки.
В косых и поперечных конических проекциях главные
на пра вле ния совпадают с вертик ала ми и а л ьм ук ант ара там и,
а центральной линией в каждой из них я в л я е т с я средний
альмукантарат.
Получение этих проекций сводится к следующему.
- О с у щ е с т в л я ю т по с о о т в е т с т в у ю щ е м у ( х а р а к т е р у
и с к а ж е н и й ) способу о т о б р а ж е н и е э л л и п с о и д а на с ф е р у
(см. п .1.3. 2 ) и в р е з у л ь т а т е п о л у ч а ю т по г е о д е з и ч е с к и м
координатам эллипсоида ф Д значен ия ФШД Ш.
- О п р е д е л я ю т полюс косой ил и п о п е р е ч н о й с и с т е м ы
координат С(фоДо) по ф орм ул ам п.1.3.3.
- Вы чис ля ют по за дан ны м зн аче ния м ФШД Ш поляр ные
сфе рич еск ие координаты (см. п.1.3.4).
- И с п о л ь з у я з н а ч е н и я ф^ = 90°-z и \'ш = - а в м е с т о
с ф е р и ч е с к и х коо рд ин а т ФШД Ш, в ы ч и с л я ю т по ф о р м у л а м
со отв ет с тв ую щ е й конической проекц ии ее пря м оу го ль ны е
координаты, частные масштабы и другие ха ра ктеристики.
2.2.1.7. О БО БЩ ЕН Н Ы Е КОНИЧЕСКИЕ П РОЕКЦИИ
Эти проекции можно получать, как на основе ре ше ния
прямой, так и обратной за дач математической картографии.
В 1947 г. Н .А .У р м а е в, и с п о л ь з у я у р а в н е н и я в ч а с т н ы х
производных, разработал теорию равнопромежуточных
конических проекций шара (см. п.4.2.2). По этой методике были
п о л у ч е н ы в а р и а н т ы и д р у г и х по х а р а к т е р у и с к а ж е н и й
конических проекций.
Ф орм улы прямоугольных координат обобщенных коничес­
ких проекций можно представить в виде
х = рю - p co s6 ; у = p s i n S ,
где р = /|(м), 5 = / 2 (Х).
В частности для равнопромежуточных вдоль меридианов
конических проекций можно за писать
р - к - s\ 6 = а • f ( \ ) - а L; 5Х = а/.
Ф орм улы частных масштабов длин принимают вид
Пре дставив I в виде
получаем
8 —ос^А. + —b2%? + —
+..
= a L.
Для асимметричных контуров можно запис ать вы ра же ни е
/ = 1 + Ь{Х + Ь2Х2 + Ь3Х2+...= 1 +
ЬСХС ,
с=1
интегрирование которого дает
6 = a (b + y X 2 + у Х 3 + - |- Х 4+...] = а [ х + £ ^ у ^ с+1 .
Теперь, задав зн ач ен и я частны х м асш табов вдоль
п а р а л л е л е й п или з а д а в , н а п р и м е р , п = const на к о н т у р е
к а р т о г р а ф и р у е м о й т е р р и т о р и и , можно з а п и с а т ь в общем
виде для каждой точки вы ра же ни е
n r = ( k - j)a(l + b{X + b2X2 + Ь3Х3+..лЬпХп^.
Составив и решив систему уравнений этого вида, получаем
значе ния постоянных коэ ффициентов и затем полярные углы
5, прямоугольные координаты и х ар а к те р и с ти к и этих
обобщенных ра внопроме жуточных конических проекций.
Пря мо уго льн ые коо рд ина ты проекции нетрудно в ы ч и с ­
лить по формул ам
х = рю - (к - s) cos a L\ у = (к - s) sin a L.
Особенностью т а к и х пр ое кци й я в л я е т с я то, что в них
частные масш табы длин вдоль п ар ал л ел ей явл яю тся
ф ун кци ям и и широты и долготы, изоколы в этих проекциях
имеют форму овалов, обеспечивается некоторое уменьшение
величин искажений и лу чш ее их распределение.
Аналогично могут быть получены обобщенные конические
проекции, имеющие другой х а р а к те р искажений.
П р и м е р обобщенной р а в н о п р о м е ж у т о ч н о й кон ич е ск ой
проекции эллипсоида, полученной по методу Н.А.Урмаева,
приведен в табл.7, а ее теория в п.4. 2 .2 .
2.2.1.8. СРАВНИТЕЛЬНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА КОНИЧЕСКИХ
ПРОЕКЦИЙ
Дл я а н а л и з а привед ем зн а ч е н и я час тн ых масштабов и
наибольших искажений углов этих проекций.
В т а б л .6 даны ха ра кт е ри с ти ки вариантов равноугольной
и равновеликой конических проекций.
В табл.7 в первых двух столбцах приведены масштабы и
искаж ен и я равнопром еж уточных конических проекций
В.В.Каврайского и Ф.Н.Красовского, а во всех последующих
- обобщенной р а в н о п р о м е ж у т о ч н о й кониче ск ой п р о е кц и и
Н.А.Урмаева (см. п.4.2.2.).
Т а б л .6
Равноугольная проекция:
а =0.8706192 с =11323960
Оо
п
т
Равновеликая проекция:
а =0.8529262 с =40929460
Р
(0
п
т
Р
(0
1.109
1.229
0
1.075
0.930
1.0
8°1б
40° 1.041
1.041
1.084
0
1.031
0.970
1.0
3°27
0°
1.0
1.0
0
1.0
1.0
1.0
0.985
0.985
0.970
0
0.985
1.015
1.0
1°42
1.0
1.0
1.0
0
1.0
1.0
1.0
0°
1.070
1.145
0
1.152
0.868
1.0
16°09
О
50° 1.0
О о
40
1.109
о
80° 1.070
Из табл. 6 , 7 следует, что иска жен ия конических проекций
зрите льн о практически неощутимы (менее 12 ° и 12 %) и что
к а ж д а я из этих проекций может быть успешно применена
для с оздания соответствующего назн ачени я ка рт России и
с т р а н СНГ. В с л у ч а е , когда о д и н а к о в о н е ж е л а т е л ь н ы и
и с ка ж е ни я углов и и ск аж ен ия площадей, п р е д п о чт ит е л ьн ы ­
ми яв л яю тс я равнопромежуточные конические проекции. При
этом с успехом можно применить проекции В.В.Каврайского
и Ф .Н.Красовского. В тех сл у ч а я х , когда необходимо
обеспечить минимальные величины искажений и их л уч ше е
распределение, например, для выполнения картоме три чес ких
работ, с л е д у е т и с п о л ьз о ва ть прое кци ю Н.А .Урмаева и ее
видоизменения (см. п.4. 2 .2 ).
40 (N
(N
— О•*
0
40
(N
UO о—<
О —
— оо
тг
о
4
0
ГО
V
0О
гч
О
о
(N
ON Г
О
о
о
40
о
40
00
5 ®~
гг ~
тГ
4
0 ГО о
о
о^
W
0
гм
о^
ОО 4
O0
N
Г
O
N
о
го 40
CN
0
о
II
^
О
о *— оо
cd ^ чо
Ои оо on
о ^
~ II 11
о^
O
n
00
00N
Г
ОO
о
т
4
0 40
ГО
О
ГО
о
О О
Оо
д
40 О
о *n го
00
тг
ио оо
^
о
40
о"
d
о
О
—*
N
Г"- O
ОО
ON
Р
о
— еч
— о
о"
го
О
ооn
О O
о"
оо ^
^
о
о"
гм
о^
»/о оо
О
N
0 O
. Го <
±>
о
г- оо
О ON
t-i о"
го
т
оо
o
On
N
г^ оо
го
ON
О O
N
UO о^
ООON
— ON
т
U0 4
O0
N
Р ON
On tJ— О
о
о"
о
3 *
3 *
о^
О
о o'
X
«
о
12*03
1,235
о
—
Г
On
Г"- 40
11*46
1,228
с
ч
ио
го —
»/о
O
иоN Г
ОО«~
о
10°40
1,205
oo
ГО
40 О
<N
—1 ^Г
(N
О
0
(N —~•
9*48
1,187
о
о
9*10
1,174
o'
A
ГО
8*47
1,166
CTJ
H
тГ
С
TJ-Ч (N
^
^
^
о
о
8*39
1,163
VO
о
о
7*28
1,136
tn
ГО
oo
f=i
0
с
О
*
о
>5 22 о
cd (N ®
(N
D.
C
Q 22 <N
^ OO g
ио
О
О4
0
Г
О
О
о
г-> сч
о о^
CQ 9 7
о"
С
3 *
о
ГО
s:
и
0)
d
СО
п
DQ
о
о
40
ио
о
Г"
о
оо
2.2.2.1. О БЩ И Е
ФОРМУЛЫ АЗИМУТАЛЬНЫХ П РОЕКЦИЙ
Азимутальными называют
проекции, в которых па ра лле ли
180
(альмукан тар аты ) изображаются
концентрическими о к р у ж н о с т я ­
ми, а мер идианы (вертикалы) - 120
п р я м ы м и ли ни ям и , п е р е с е к а ю ­
щ и м и ся в ц ен тре ок р уж но с т ей
под углами, равными разностям
долгот с оо тв етс тву ю щи х м е р и ­
дианов (рис.42). Согласно опреде­
л е н и ю , их о б щ и е у р а в н е н и я
пр ед ст а вл яю т в виде
х = pcosa;
(205) Рис.42 Нормальная азимутальная
у = psin я,
проекция
где р = f ( z ) ,
полярные сферические (сфероидические)
2, а
координаты.
П р о д и ф ф е р е н ц и р о в а в в ы р а ж е н и я (205) по 2 и а и
п о д с т а в и в п о л у ч е н н ы е п р о и з в о д н ы е в ф о р м у л ы ч ас т н ы х
масштабов и других ха ра ктеристик общей теории ка р т о г р а ф и ­
ческих проекций (см. п.1.1.7), пол учаем ф о р м у л ы частных
мас шт або в длин вдоль в е р т и к а л о в ( |i| ), а л ь м у к а н т а р а т о в
( ц 2 ), площадей (р) и наибольших искажений углов (со ).
Ф
.
Р
И2 ~ H i .
_
РФ
. (206)
Ш + V>2 ’
R 2 sin zdz
В р а с с м а т р и в а е м ы х п р о е к ц и я х и с к а ж е н и я всех видов
о т с у т с т в у ю т в ц е н т р а л ь н о й точ ке (z = 0) и н а р а с т а ю т с
удале нием от нее. Для умень шени я искажений по абсолютной
величине в формулы вводят редукционный множитель
к < 1, величина которого у с та н авл и вае тся из расчета, чтобы
д л и н ы с о х р а н я л и с ь на з а д а н н о й г л а в н о й п а р а л л е л и
(альмукантарате).
Так как в этих проекциях к а р т о гр а ф и ч е с к а я сетка
ортогональна, главные н а п ра вле ния в их точках совпадают с
н а п р а в л е н и я м и вер ти ка ло в и а л ь м у к а н т а р а т о в , а частные
масштабы длин |ij и ц 2 явл яю тся экстремальными.
Аз и м у та л ьн ы е проекции используются, главным образом,
Hi =
Rdz’
Н2 =
/?sinz
2
для создания мелкомасштабных карт. В этом случае Зе м л я
( д р у г и е н е б е с н ы е т е л а ) п р и н и м а е т с я за ш а р . П о л ю с
используемой системы координат ра сп ола га ют в за данной
точке: обычно в центр е к а р т о г р а ф и р у е м о й т е р р и т о р и и , в
ге о гр аф ич еск ом полюсе - при и с п о л ьз ов а ни и нор м ал ьн ой
сферической (сфероидической) системы координат.
2.2.2.2 РАВНОУГОЛЬНЫЕ АЗИМУТАЛЬНЫЕ
(СТЕРЕОГРАФИЧЕСКИЕ) П РО ЕКЦ И И
Равноугольные азимутальные проекции эллипсоида вращения
Проекция для изображения полярных областей
Я в л я е т с я час тн ым с л у ч а е м ра вн оу го л ьн ой кон ической
проекции при а = 1.
Форм улы (195) и (196) принимают вид
р = k/U; ц = ц, = ц 2 = k/rU\ p = \i.2 \ k = r0U0,
где U - вы чис ля етс я по (22), (23);
г0>
” опр еделяются по заданной широте ф0 главной
параллели, для которой частный масштаб равен единице.
Проекция для изображения территорий с округленными
очертаниями (кроме полярных областей)
Д а нн а я пр о е кц ия я в л я е т с я частным с л у ча е м проекции
Л аг р а нж а при а = 1 (см. п.2.3.1.2).
х =
&sin5
1 + cos б cos X
М
-=
= И2 =
A; cos 5 sin X
к cos 5
г(1 + cos 6 cos X) ’
5 = 2 a r c t g ( p £ / ) - |.
З д е с ь р и к - п ос то ян ны е п а р а м е т р ы , о п р е д е л я е м ы е по
формулам
- sm90
где 50 = 2arctg(sin<p0) ;
Фо - широта заданной па р а л л е л и (средней);
/720 - заданное значение частного масштаба длин в точке
п ер есечения средних меридиана и параллели.
Проекция , получаемая с использованием косой полярной
сфероидической системы координат
Ф о р м у л ы данной проекции с точностью до членов с е4
принимают вид
х = 2 N 0k t g ^ c o s a ;
у = 2 W0£ t g |s i n a ;
ц = A:sec2
где л/ = cos 2 -Zkу
+ -^ -[sin zcosacostp o +sin<p0(co sz - l)]2j+ ...,
- редукционный множитель;
N q - радиус криви зны сечения первого в е рт ик а ла на па ­
ра л ле л и фо , о пре дел яе мый по (2);
Z/t - полярное р асстоян ие а л ь м у к а н т а р а т а , на котором
отсутствуют искажения;
Ф о Д о ” географические координаты точки нового полюса.
Эта проекция может быть использована для к а рт ог ра ф ир о­
вания в средних и крупных масшт абах любых т е рр ит ор ий с
границами округленных очертаний.
Равноугольная азимутальная проекция шара
Запишем условия равноугольного изображения поверхности
шара на плоскости
ц, = ц 2; е = 0.
В т о р о е у с л о в и е в ы п о л н я е т с я а в т о м а т и ч е с к и , т.к. в
а з и м у т а л ь н ы х пр ое кц ия х к а р т о г р а ф и ч е с к а я сетка ортого ­
нальна.
Исп ол ьз уя ф ор му лы частных масштабов \ix и |Л2 из (206),
получаем д иф ф е р е н ц и ал ь н о е ура внение
dp _ dz
р
sin z '
инт егрирование которого д ает
lnp = In к + ln tg ^
P = k i g z/ 2 .
или
П о с т о я н н ы й п а р а м е т р к п о л у ч и м из у с л о в и я , что на
заданном а л ь м у к а н т а р а т е Z - Z k , Ц* =1.
В частности при Z/c = 0 к = 2 R .
Ф орм улы проекции принимают вид
х = 2Rk tg ^c os a;
(I = к sec2
у = 2Rkig^sma\
к - cos2 ^ ;
р - ц 2 = к 2 sec4 ^
Равноугольная азимутальная проекция шара является
единственной, в которой окружности любого конечного р а д и у ­
са на ша ре и зо б ра жа ют ся на плоскости т а к ж е о к р у ж н о с т я ­
ми, но подобными, т.е. в этой проекции нет ис каж ен ий форм.
2.2.2.3. РАВНОВЕЛИКИЕ АЗИМУТАЛЬНЫЕ П РО ЕКЦ И И ШАРА
За пи с а в условие равновеликости проекций р = \i\ • \х2 = 1
и у чи тыв ая ф ор мул ы частных масштабов длин (206), получаем
д и ф ф е р е н ц и ал ьн о е ур авнение
р ф = R 2 sin zdz •
После его ин тег рирования имеем
Потребуем, чтобы при z = 0 и р равнялось нулю.
Тогда
С = R2
и
р 2 = 2 /? 2(1 - cos г)
или
р = 2 R sin
Введя в полученное полярное расстояние редукционный
множитель к из условия, что на а л ь м у к а н т а р а т е z k частный
масштаб |i 2 = 1 , получаем
где к = cos^*/^ .
Ф о р м у л ы част ных масш таб ов и др уг и х х а р а к т е р и с т и к
проекции принимают вид
\хх = к c o s ^ ;
р
= к 2\
ц2 = к s e c ^ ;
= sec
tg^45°+
.
Если потребовать, чтобы и с ка ж е н ия всех видов отсутство­
вали в точке полюса г* = 0, то в этой точке
ц, = ц 2 = 1 ;
р = 1;
к = 1При
/ = cos—
/с
и с к а ж е н и я длин, как было сказан о,
отсутствуют вдоль а л ьм у к ан т ар а т а z =
» но в этом случае
частный масштаб площади равен не единице, а постоянной
величине
р = к 2 - c o s2 Ц - .
2
Проекци я была пре дло же на Ламбертом в 1772 г.
В случае необходимости использования проекций
эллипсоида дл я картографирования полярных областей можно
п р и м е н и т ь р а в н о в е л и к и е к о н и ч е с к и е п ро е к ц и и , п о л о ж и в
а = 1.
2.2.2.4. РАВНОПРОМЕЖ УТОЧНЫЕ ВДОЛЬ ВЕРТИКАЛОВ
(М ЕРИДИАНОВ) АЗИМУТАЛЬНЫЕ П РО ЕК Ц И И .
По у с л о в и ю и м е е м Ц] = 1 и с у ч е т о м (206) п о л у ч и м
д и ф ф е р е н ц и а л ь н о е уравнение
ф = Rdz .
Проинтегрировав это вы р а ж е н и е и для п е р е р а с п р е д е л е ­
ния и с к а ж е н и й и с п о л ьз о ва в р е д у к ц и о н н ы й м н о ж и т е л ь к ,
будем иметь следующие ф о р му л ы проекции
х - Rkz cos а ;
,
\i{ = k ;
у - Rkz sin а ;
, /.
,
ц 2 = k z/ smz\ P = v^k\
со z ~ sin z
sin — = ------- ;— .
2
z + sin z
При к= 1 проекция сохраняет длины вдоль вертикалов,
искажения всех видов отсутствуют в центральной точке (точке
sinZ* сохраняются длины вдоль альмукантаполюса); при к, = -------Zk
рата z = Z/c, частный масштаб длин вдоль вертикалов равен
постоянной величине к.
Проекция предложена Постелем в 1581 г.
В случае необходимости использования проекций
эллипсоида для картографирования полярных областей можно
применить равнопром еж уточны е вдоль м еридианов
конические проекции, положив в них а = 1.
Рассмотренные равноугольные, равнове ликие и равнопро­
м е ж у т о ч н ы е а з и м у т а л ь н ы е п р о е к ц и и о т н о с я т с я к ч и сл у
н а и л уч ш и х при от об ра же нии те р р и т о р и й с округ ле нны ми
очертаниями. В этих проекциях длины дуг отрезков вертикалов
(меридианов) при у д а л е н и и от це нт ра л ьн ой точки (точки
полюса): в о зр а с та ю т - в ра вно уго льн ых и б л и зк и х к ним
п ро е кц и ях ; уб ы в аю т - в р а в н о в е л и к и х и б л и з к и х к ним
проекциях; остаются неизменными - в равнопромежуточных
вдоль вертикалов (меридианов) проекциях.
2.2.2.5. ОБО БЩ ЕН Н Ы Е ФОРМ УЛЫ АЗИМУТАЛЬНЫХ ПРОЕКЦИЙ
Выше были приведены ф орм улы для вы числения
равноугольных, равновеликих и ази мут аль ных проекций.
Для получения этих же проекций и проекций с п р о м е ж у ­
точными свойствами р я д учены х п р е д ло ж ил и обобщенные
формулы.
Так, например, Г.А.Гинзбург пре дложил ф о рм ул у [18]
р= R
L{ Sin^ " + L l t S lc^ ’
где L v fcjj L2, к 2 - постоянные параметры, из мен яя значения
которых можно получить раз ли чны е ази му т а ль ны е проекции.
В частности, будем иметь:
при L = 0 и L2= к 2= 2 - стереографическую проекцию;
L2= к 2= 1 - гномоническую проекцию;
при L2= 0 и Lj= fcj= 2 - проекцию Ламберта;
L = fcj= 1 - ортографическую проекцию.
При Ь 2 = 0 и к б ли зки х к 3-7 - проекции с небольшими
искаже ния ми площадей; при к близких к 1,2 - 1,5 - проекции,
передающие эф ф ект сферичности картографируемой
поверхности.
А.К.Маловичко предложил обобщенную ф орм ул у
p = ^ 2 s i n |] * [ 2 t g |)
*
Здесь при к = 1/2 - получим проекцию Брейзинга.
Пример дальнейшего обобщения этих форму л рассмотрен
в ра зд ел е 4.
Обобщенные ф о р м у л ы а з и м у т а л ь н ы х про ек ци й можно
получить, как и в нормальных а з им ут аль ны х проекциях, из
условий, что в этих проекциях па ра лл е л и (ал ьм укантараты)
я в л я ю т с я ко нц е нт р ич е с ки ми о к р уж н ос т ям и , а м е р и д и а н ы
( в е р т и к а л ы ) - п у ч к о м п р я м ы х , и с х о д я щ и х из ц е н т р а
о к р у ж н о с т е й . Но п ри эт ом у г л ы м е ж д у м е р и д и а н а м и
(вертикалами) на проекции яв ля ю тся функц иям и долгот на
ш ар е (эллипсоиде), а в точке полюса от с у тст вуе т р а з р ы в
изображения.
Общие ура внения проекции принимают вид
х = pcos5;
у - psinS,
где
Р = f(z)\
5 = а + / (a) sin ка;
z, а - полярные сфе рические координаты, определя емы е
по (14);
к - целочисленный параметр.
Ф орм улы частных масштабов длин проекций шара в этом
случае можно записать следующим образом:
Рz
g.
Hi = —=г - частные масшт абы длин вдоль в е р т и ка ло в
К
(меридианов);
Р5Й
1^2 - ^ sjn ^ “ частные масштабы длин вдоль а л ь м у к а н т а ­
ратов (параллелей).
Ф унк ция /(а) может быть представлена в виде многочлена
/(а ) = £ а У
i=i
f
где постоянные п ар ам етр ы а, нетрудно определить, исходя
из з а д а н н ы х у с л о в и й , н а п р и м е р , из з н а ч е н и й ч а с т н ы х
масштабов |i 2 , заданных в точках по одному из а л ьм ук ан таратов или по линии контура картог ра фи руе мой территории.
2.2.2.6. КОСЫЕ И П ОПЕРЕЧНЫ Е АЗИМУТАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ.
При создании карт в этих проекциях, как правило, землю
принимают за шар. Поэтому определение указанных проекций
сводится к получению координат полюса Q(cpoAo) косой или
по перечной системы, вы чис ле нию по л яр н ы х с ф е р и ч е с к и х
к о о р д и н а т 2 , а, о п р е д е л е н и ю п р я м о у г о л ь н ы х ко о р д и н а т,
частных масштабов и других х ар акт ер ис тик соответствующей
азимут аль ной проекции.
60°
Рис.43 Косая азимутальная равновеликая проекция Ламберта.
Изоколы величины со
Р а з н о о б р а з н ы е по х а р а к т е р у и с к а ж е н и й к о с ы е и
поперечные азимутальные проекции получили широкое
применение при создании ка рт мира и крупны х регионов.
Так, н а п р и м е р , ко са я а з и м у т а л ь н а я п р о е к ц и я Л а м б е р т а
(см. п.2.2.2.3) использовалась для создания карт полушарий,
карт Азии (при ф0 = 40° , Я.0 = 90° - см. рис.43) [Гинзбург Г.А.,
Карп ов Н.С., Салм анов а Т.Д., 1955], а т а к ж е к а р т др уги х
материков.
Для создания кар т Северного и Южного полушарий, карт
Азии (при ф0 = 40° , А,0 = 85° ) и д ру гих к ру пн ы х регионов
прим енялась косая ази м у т а л ь н ая равнопром еж уточная
проек ция Постеля (см. п.2.2.2.4).
Поперечная ортог ра фи чес ка я проекция пр им енялась для
и зо бр аж ен ия полуш ар ия Луны, Зем ли как планеты и других
небес ных тел. Косая а з и м у т а л ь н а я про екц ия Ц Н ИИ ГА иК ,
разработанная Г.А.Гинзбургом в 1946 г., применялась для карт
част ей земной поверхности, несколько п р е в о с х о д я щ и х по
площади земное полушарие.
В этой проекции
р=
к
Z
М”1 = cos^ ’
к= 1.8; за полюс косой системы принята точка с ф0 =55 °,
Х0 = 50° (при к= 1 - получаем о рто гра фи чес кую проекцию,
при к=2 - равнов еликую проекцию).
Компоновка данной к а р т ы с наклонно р а с п о л о ж е н н ы м
средним меридианом и вид ка рто графической сетки создают
э ф ф е к т сф еричности земной поверхности. Ниж е будут
приведены дополнительные данные о применении этих
проекций.
2.2.3. ПЕРСПЕКТИВНЫЕ АЗИМУТАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ
Перспективные ази му т а ль н ые проекции под ра зд е л я ют на
про ек ци и с нег ати вн ым и поз ит и вн ым и з о б р а ж е н и я м и . В
п е р в ы х п р о е к т и р о в а н и е о т о б р а ж а е м о й п о в е р х н о с т и на
картинную плоскость осуществляют прямолинейными в и з и р ­
н ы м и л у ч а м и из т о ч к и п р о с т р а н с т в а ( т о ч к и з р е н и я ) ,
расположенной со стороны вогнутости этой поверхности, во
вторых - со стороны выпуклости отображаемой поверхности.
При и с п о л ь з о ­
вании п е рс п ек ти в­
ных а з им ут а ль ны х
проекций Земля,
как правило, п р и ­
н и м а е т с я за шар.
Однако в ряде
случаев при созда­
нии ка рт на с р е д ­
ние и крупные по
п л о щ а д и реги оны
(боле е 1 млн. кв.
км) и в масштабах
к р у п н е е
1:10 ООО ООО возни­
кает
необходи­
мость у чета по­
лярного сж атия
эллипсоида.
П у с т ь на п о ­
ве р х н о с ти э л л и п ­
соида вр ащ ен и я
( р и с . 44) з а д а н а
точка
(?0(ФоАо)
нового
полюса,
проведены к аса­
т е л ьн а я плоскость
T Q
и
нормаль
Рис.44 Перспективно-азимутальные проекции
Q0O ' ; в точке Q0
при отображении на горизонтальную
картинную плоскость
установлена про­
странственная
прямоугольная топоцентр иче ска я система координат QqX Y Z ,
ось X которой напра вле на вдоль меридиана Q0P на север,
ось Z совпадает с нормалью O'Q0 , ось Y дополняет систему
до левой.
Введем обозначения
S H0 = DHу S nO' = Dn; O'Qq -
QoSn = H ;
Q0M " = p H,
где S h, S n - точки проектиро ва ния (зрения) при негативном и
позитивном изо бражениях;
N() - ра ди ус кр и в и з н ы сече ния первого в е р т и к а л а в
точке полюса Оо(фо’^о)-
При п о л у ч е н и и э т и х п р о е к ц и й и с п о л ь з у е м ф о р м у л ы
(11) - (14) связи геодезических и полярных с ф ер оид ич еск их и
сферич еских систем координат.
2.2.3.1. ПЕРСПЕКТИВНЫ Е АЗИМУТАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИ И С
НЕГАТИВНЫ М И ЗО БРА Ж ЕН И ЕМ
Среди этих проекций н а ­
иб ол ьш ее р а с п р о с т р а н е н и е по­
л у ч и л и п р о ек ц и и сф ер ы . Из
рис.45 можно записать
. n DX R sin z
Рн = (D + R) —— -------, (207)
D + R cos z
где
R = O'А = O'Q0 = N 0 - радиус сферы;
D = S H0 ' ( D H = D)\ р„ = A'Q0.
В зависимости от положения
точки зрен ия различают следу ю­
щие проекции:
D=
0 гномонические
проекции;
D= R - с т е р е о г р а ф и ч е с к и е
проекции;
D= оо - ор тографические про­
екции;
R< D< оо - внешние пе рс пе к­
тивные аз и м у т а ль н ы е проекции.
Рис.45 Схема определения
перспективных азимутальных
проекций с "негативным
изображением"
Гномическая проекция
По условию D = 0. Ф о р м ул ы проекции с учетом (205),
(206), (207) принимают вид
х = /?tgzcosfl;
2
|!j = sec z\
у - Rt gz $in a\
1
|A2 = s e c z\ /> = secJ z;
.
(0
1 - COS z
2
1 + cosz
2
s in — = ------------= tgz
(!)•
Учитывая, что Ц| = m и | i 2 = n 2 » в соответствии с (63),
получаем
где Р, a
проекци
tgp = c o s z t g a ,
- соответственно а зи м ут ы линейных элементов на
и шаре.
В проекции дуги больших кругов (ортодромии) и з о б р а ж а ­
ются прямыми линиями, в связи с чем она прим еняе тся при
решении навигационных задач.
Стереографическая проекция
По условию D = R. Общие ф о р м у л ы пр ое кци и с учетом
(207) принимают вид
Z
х = 2/?tg —cosa;
Z
у = 2/?tg —sina;
Проекция равноугольная, в ней отсутствуют и ск аж ен ия
ф ор м - л ю б а я о к р у ж н о с т ь кон еч ны х р а з м е р о в на с ф е р е
и зо б ра жа ется в проекции т а к ж е окружностью. Это свойство
данной проекции и сп о л ьзу етс я для графического р еш ен ия
за дач сферической астрономии.
О ртографическая проекция
По условию D = оо, т.е. прое ктирование о су ще ств л яе тся
пучком п а ра лл е л ьн ы х лучей.
Общие фо рм ул ы проекции принимают вид
х = Л sin z cos д ;
|ij = cosz;
у = Rsinzsina;
| i 2 = 1 (проекция сохраняет длины вдоль ( fi2 )
альмукантаратов);
Расстояния между ал ьм ук ан т ар а т ам и (п араллелями ) при
удалении от центральной точки быстро уменьшаются. Косая
и поперечная ортогр афи чески е проекции хорошо передают
э ф ф е к т с ф е р и ч н о с т и . П р о е к ц и я н а ш л а п р и м е н е н и е при
создании некоторых карт небесных тел.
Внешне-перспективные азимутальные проекции сферы
В р а с с м о т р е н н ы х вы ше п е р с п е к т и в н ы х а з и м у т а л ь н ы х
проекциях частные масштабы длин изм еняются следующим
образом:
в с т е р е о г р а ф и ч е с к и х п р о е к ц и я х от 1 до 2, в о з р а с т а я от
ц е н т р а (п ри 2 = 0 ) к к р а я м (при % = 90°),
187
в ор тог ра фи чес кой от 1 до 0 (частный м асштаб длин
вдоль вертикалов), убывая от центра к краям.
Исп о л ьз у я это обстоятельство стали р а з р а б а т ы в а т ь про ­
екции, п р о м е ж у т о ч н ы е м е ж д у у к а з а н н ы м и пр о е к ц и я м и , в
которых R < D < оо- Выполненный а на ли з ис ка же ни й внешних
персп ект ивн ых а з им ут а ль ны х проекций показал, что частные
масш табы длин вдоль в ер ти кал о в для проекций с
D > R, но < 2R в н а ч а л е у в е л и ч и в а ю т с я от ц е н т р а , где
ц, = I , до н е к о т о р о й н а и б о л ь ш е й в е л и ч и н ы , а з а т е м
непрерывно уменьшаются.
Среди множества таких проекций отметим проекцию
Лаира. В этой проекции к а рт ин на я плоскость проведена ч е­
р е з ц е н т р ш а р а . То ч ка з р е н и я S о п р е д е л я е т с я в т о ч к е
п е р е с е ч е н и я л ин ии Р Р ' и А а , где А, а - с о о тв ет с тв е н н о
средние точки квадранта PQ и ра диуса CQ (рис.46).
Ф ор м у лы проекции принимают вид
Z)/? sin
;
/) = /?(! + sin 45°);
D(Dcosz + R)
---------------------- * M-2
Наибольший
масштаб
|.i, = 1,030 д о с т и г а е т с я п р и
z = 57°37 , на а л ьм у к ан т ар а т е
Z = 78°03' он вторично равен
единице. Наибольший масштаб
площадей р= 1,474 до стигает­
ся при z = 91°26', а на а л ь м у ­
к а н т а р а т е £ = 114°2Г м а с ш ­
таб площади /?= 1 вторично.
В п р о е к ц и и Л а и р а не
сохр аня ются площади, она не
равноугольна, но в ней оч ер ­
тания и ска ж а ю т ся меньше,
в е л и ч и н ы и с к а ж е н и й угл ов
D
Р
О
0
Рис.46 Проекция Лаира
и площадей в какой-то мере уравновешены. П ро ек ция мо­
ж е т быть использована д ля из об ра же ния северного и южного
полушарий.
Определенный интерес пре дс т а вл яе т проекция Кла рк а , в
которой положение точки зр ения находилось под условием,
чтобы “сумма кв ад ра тов уклонений частных масштабов по
главным на пр авл ен иям от единицы была на именьшей на всем
п рот яж ени и п ро ек ци и”.
Ра с с мо т ре нн ы е выше внешние а з и м у т а л ь н ы е пр ое кци и
п р е д у с м а т р и в а ю т п р о е к т и р о в а н и е земной пов е рх но с ти из
одной т о ч ки з р е н и я . С л е д у е т о т м е т и т ь , что н е к о т о р ы м и
авторами предложен ряд перспективных азимутальны х
про екций, в кот ор ых и с п о л ь з у е т с я не одна, а м н о ж е ст во
т о ч е к з р е н и я , о п р е д е л я е м ы х ис ход я из д о п о л н и т е л ь н ы х
условий. К таким проекциям, например, относятся проекции
Фиш ер а, Гаммера и др. (В.В.Витковский, 1907).
К р а с с м а т р и в а е м ы м а з и м у т а л ь н ы м п р о е к ц и я м м ож но
т а к ж е отнести пе р с п е к т и в н ы е проекции с мн ого кра тны ми
изобр аже ния ми М.Д.Соловьева. При их получении пр ое кт ир о­
вание земной поверхности ведется последовательно на ряд
вспомогательных сферических поверхностей, радиусы
которых к ра тн ы исходному (2К, 4R и т.д.) и л и ш ь з а в е р ­
шающее проектирование производится на плоскость.
При этом п р ое кт ир о в а ни я на с ф е р и ч е с к и е поверхности
могут ос ущ ествляться по одному из принципов перспективной
п р о е к ц и и ( н а п р и м е р , гномической), а з а в е р ш а ю щ е е - по
принципу другой перспективной проекции (например,
стереографической). Способ позволяет получить многообразие
разнообразных вариантов перспективных азимутальных
проекций.
2.2.3.2 ПЕРСП ЕКТИ ВН Ы Е АЗИМУТАЛЬНЫЕ П РО ЕКЦ И И
ЭЛЛИПСОИДА С НЕГАТИВНЫМ ИЗОБРАЖ ЕНИЕМ
Из рис.44. значение полярного радиуса равно
P = w > + P . > Z)„
n Ni^
z ■
+ /Vo cos z
,:!08>
где с точностью до членов с е4 [9]
Nq = О ’М = yv0| l -
[sin г cos a cos ф0 + 8Шф0(со8г - l)|21+...,(209)
Nq = O'Qo - радиус криви зны сечения первого в е р т и ка л а в
точке полюса (?(ФоАо)*
Общие ф ор м ул ы принимают вид
N 0(N 0 + DH) \
е2
.
х " = “ Я— и / VI + T Tl2('i sin(p - cos<p0) и н + ^ O 'S
[
Z
е
1 + у т 2 sin ф -
Л^0(УУ0 + Р н)
Д , + Л^5
4
+ ^Vs
N 0 cos z
N о + Я,
1 + -Г-Т
2
DH + N 0 cos z.
£)„ + jV0 cos г
sin ^(Z)„ + N 0 cos г)
(Z)„ + JV0 cosz)
2
- T
[
2
Z>„ cos z + N 0
Wp cos г
DH + N 0 cosz
p = \i i(x2;
.0 )
\ l 2 - Hi
sm— =
— 2
ц 2 +Н1
где
2т
tz = —------—---------[ £ > „ ( c o s z c o s a a ^ 0 - 5 т г 5 Ш ф 0) +
/)„ + N q cos z
xDHN 0 sin z
];
2{DH + N 0 cos*)
t6 = 2 N 0(t5 sinip - вшфо);
t = sinq - sinpg;
z, a, t t4, t b - оп ред еляются по фо рм ул ам (12), (11), (13).
П р и в е д е н н ы е ф о р м у л ы Позволяют пол учить множество
перспективных азимутальны х проекций эллипсоида с
негативным изображением в зависимости от положения точки
про ек тир ов ан ия £ н, в том числе вариантов соответствующих
гномонической, о р то гр а ф и ч е с к о й и с те р е о г р а ф и ч е с к о й
проекций сферы.
Так, д ля слу чая центральной перспективы D= 0, с учетом
(208) получаем
* = а д , + - у т[2(г, sin.<p - c o s Vo) - tlt6/ N 0t5 1
y = N 0\ t 4 1 + у ф
sin ф - t6/ N 0ts )
ц, = sec 2 z(l + е 2т 2/ 2 );
р = sec 3 z(l + е 2х2)',
ц 2 = secz(l + т 2е 2/ 2 );
s i n y = tg 2 (j-j.
В данной проекции линия кратчайш его расстояния
и з о бр аж ает ся с малой кривизной.
Для ортографической проекции эллипсоида D —> со .
Из тех же форму л получаем
дс = а д , + у т[2(/, вш ф + совфо) - т/,]1;
1 + — t( 2 sin ф - х)
ц, = с о в ф - e 2t(sin г cos a cos ф0 - sin z tg г sin Ф0)|;
n2 = i;
/> = ц 1И2 ;
. а>
1 - cos z 1 - e 2i(sin z созасовфо - s i n z t g z s h ^ 0)
2
1 + c o s г 1 - e2-t(sin z c o sfla ^ 0 - sin z tg £ sh ^ 0)
sin — =
У к а з а н н у ю п р о е к ц и ю ц е л е с о о б р а з н о и с п о л ь з о в а т ь не
то л ьк о д л я р е ш е н и я к а р т о г р а ф и ч е с к и х з а д а ч , но и при
полу чен ии о р то ф ото сн им ков ср едн их мас штабов, д аю щи х
изображение крупных по р а зм ер у территорий.
Н е т р у д н о в и д е т ь , чт о п р и е 2= 0 в с е п р и в е д е н н ы е
фо р му л ы ото бражения эллипсоида принимают вид форму л
соответствующих проекций сферы, рассмотренных выше.
2.2.3.3. ПЕРСПЕКТИВНО-АЗИМУТАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ
ЭЛЛИПСОИДА (ШАРА) С “П О ЗИ ТИ В Н Ы М ”
И ЗО БРА Ж ЕН И ЕМ (П РО Е К Ц И И КАДРОВЫХ
АЭРОКОСМ ИЧЕСКИХ “ИДЕАЛЬНЫХ”*> СНИМ КОВ)
П роекции с позитивным изображ ением на горизонтальную
картинную плоскость
Из рис.47 для проекции эллипсоида будем иметь
Р/7
HNq sin z
Dn - N q c o s z
’
Z
Рис.47 Схема определения перспективных азимутальных проекций с
________ “позитивным” изображением на горизонтальную плоскость Т
Ф
) Под “идеальными” понимают снимки, на которых отсутствуют
искажения за дисторсию, рефракцию, неприжатие и сползание пленки,
за влияние иллюминатора на построение изображения и т.п.
где D - D n - S f j O ' i pjj - A ' Q 0; N 0 - O ' Q q , N
Ф о р м у л ы п р о ек ц и и п р и н и м а ю т ви д
HN0
I
e2 r- .
q
- O 'A .
.
X n = Ts------- Г Г Г Г 1 + “T t [2 ^ i s in ( P " c o s tPo) и П
~ yv0‘ 5
- (xDn ~ 4 )
Y„ = Dn
Ц'Г
2
+T
1
Dn ~ N 0ts
HNn
- N 0ts
1 + ~z~т 2sincp 2 \
Y Dn - N 0t5/
ff^cosz-^o) f
e2
sin z(Dn - N 0 cosz)
{Dn - N 0coszf j
2
Dn cosz - N о
(211)
N pCOS Z
Dn - N 0 cosz
H
Dn - N 0 cosz
2
D - A ^ q Cosz .
где
2x
= / ) я - N 0 cosz [ ^ ( c o s z c o s a c o s 9 0 - sinz s i r ^ 0) zDn N 0 s m z
]•
2(Dn - N 0 cosz)
Ф о р м у л ы п р я м о у г о л ь н ы х к о о р д и н а т этой п р о е к ц и и м ож н о
п ред стави ть так ж е в виде
X п = #[/v(sin<pcos<p 0 - cos<psin<p0 cos(x - Х0)) +
+ e2(jV0 sin 90 - Аг51пср)со8ф0]/[л г(81пф8тф0 +
+ совфсовфо cos(x - А.0)) + e 2(N 0 втфц - ./V sii^)sir ^ 0 - (212 )
- К
7 Зак. 113
+ Я)];
193
Yn = ЯА^ cos cpsin(A. - X0)/[./V(sir^sii^0 +
+ совфсовфо cos(X - X0)) + e2( N 0 sin(p0 - Л^БШф) x
x япфо ~ ( N 0 + #)].
За метим, что при эксцентриситете в = 0 все приведенные
ф о р м у л ы б у д у т п р е д с т а в л я т ь со бо ю п е р с п е к т и в н у ю
аз и му та ль н у ю проекцию сф ер ы с позитивным из об ражением
на горизонтальную картинную плоскость.
П ерспективная азимутальная проекция с позитивным
изображ ением на наклонную картинную плоскость
(математическая модель идеальных аэр о- и косм о­
фотоснимков).
Бу дем полагать, что заблаговременно по фо рм ул а м (205),
(210) - (212) вычислены прямоугольные коо рдинаты X, Y‘}
перспективной аз им утальной проекции с позитивным изоб­
р а ж е н и е м на г ор из он тал ьну ю ка рти н н ую плоскость и что
известны значения элементов внутреннего и внешнего
ориентирования соответствующего перспективного фотосним­
ка (рис.48).
К элементам внутреннего ориентирования относятся ф о ­
кусное расстояние объектива фотографического а пп а ра т а /,
п р ям оу го ль ны е координаты x Q, y Q главной точки на ф о т о ­
снимке.
Элементы внешнего ориентирования включают:
• г е о д е з и ч е с к и е к о о р д и н а т ы <р0,
, т о ч ки н а д и р а Q0
(точки полюса) и высоту ф о т о г р а ф и р о в а н и я Я (линейны е
элементы);
• t - а зи мут на пр авления “плоскости главного ве рт ика ла
- плоскости ф о т о с ъ е м к и ”;
• е0 “ угол в п л о с к о с т и г л а вн ог о в е р т и к а л а м е ж д у
главным оптическим лучом и нормалью к эллипсоиду из точки
зрения S ;
• ае - у г о л м е ж д у ос ью а б с ц и с с с н и м к а и г л а в н о й
в е р т и к а л ь ю - л и н и е й п е р е с е ч е н и я п л о с к о с т е й гл а вн ог о
вер т и ка ла и снимка.
*> Здесь и далее индексы при X, Y не пишутся (X = Хп, Y = Yn).
■#) Элементы внешнего ориентирования могут быть заданы в других их
системах [25].
Задача опре­
деления прямо­
угольных коорди­
нат х, у этого ф о ­
тоснимка (р ас­
сматриваемой
проекции на н а к­
лонную к а р т и н ­
ную п л о с к о с ть)
м о ж е т быть с в е ­
дена к следующему [6].
П ереместим
паралл ел ьно сис­
тему координат
Q X Y Z так, чтобы
ее начало о к а з а ­
лось в точке S и
з а те м эту с и с т е ­
му координат по­
вернем на углы t,
80,ае , п р е д с т а в ­
ляющ ие собой уг­
ловые элементы
внеш не го о р и е н ­
тирования.
Тогда ф о р м у ­
лы п р я м о у го л ь ­
ных координат х,
у перспективного
кадрового снимка
принимают вид
Рис.48 Перспективно-азимутальная
проекция при позитивном
отображении на наклонную
картинную плоскость
а{Х + bxY - С \ Н
*-*<) = - / а3Х + b3Y ■ с3Н ’
(213)
а2Х + b2Y с2Н
У-Уо = - /
а3Х + b3Y - с3Н
О б р а т н о е п р е о б р а з о в а н и е от к о о р д и н а т п е р с п е к т и в н о г о
снимка к координатам горизонтального снимка можно
выполнить по ф ор мул ам
х
_ п а ^ х ~ х ^ + а ^ у ~ у ^ ~ а^
с ,(х - х 0) + с2(у - у 0) - c3f ’
Y _ _ н Ь{(х - х 0) + Ь2(у - у 0) - Ьъ/
(214)
с ,(х - х 0) + с2(у - >>о) - c3f
З д е с ь а., Ь., с. - н а п р а в л я ю щ и е к о с и н у с ы , к о т о р ы е в
указанной системе координат принимают вид [6, 25]
а, = cos t cos s 0 cos ae - cos t sin ae;
a2 = - cos t cos e 0 sin
ae - sin
t cos ae;
a3 = - cos / sin s 0; b} = sin / cos e 0 cos ae + cos t sin ae;
b2 ——sin t cos e 0 sin ae + cos t cos ae; b3 = - s in /s in e0;
c, = sin Eq cos ae;
(2 1 4 ')
c 2 = - sin e 0 sin ae;
c 3 = co se0.
В р я д е с лу чае в при ис по ль зо ван ии а э р о ко с м и ч ес ки х
к а д р о в ы х снимков п р и м ен я ю т д ру гу ю с и сте му эл ем е н то в
внешнего о р и е н т и р о в а н и я , в которой л и н е й н ы е э л е м е н т ы
остаются такими же, что в первой системе, но в качестве
угловых элементов используют:
- продольный угол наклона снимка, заключенный меж ду
осью Z и проекцией главного луча на плоскость YZ;
- поперечный угол наклона снимка, составленный главным
лучом с плоскостью YZ;
- угол поворота снимка - угол на снимке м еж ду осью х (в
левой системе координат) и следом плоскости,
проходящей через главный луч и ось У.
Ф о р м у лы на пр авл яющ их косинусов для этой системы
принимают вид [25]
ах - cos a cos ae - sin а sin со sin ae;
a2 = - cos a sin ae - sin a sin ae cos ae;
a3 = -sin a c o sc o ;
6, = co sco sin ae;
b2
= co sc o cosae;
b3
-
- sin со;
q = sin a cos ae + cos a sin со sm ae;
c2 = - sin a sin ae + cos a sin со cos ae;
c 3 = cos a cos co.
Если положить, что в первой системе при определении
X, У по ф орм ул ам (205), (210) - (212) вместо сферои ди чес ких
величин были использованы з на чен ия а ’ = а - t и, с л ед ов а­
тельно, абсциссы и ординаты (X, У), были вычислены с учетом
п о в о р о т а t, то м а т р и ц а п р е о б р а з о в а н и я к о о р д и н а т ,
у ч иты ва ющ ая оставшиеся углы 6q и ае, принимает вид
cos Sq cosae
А=
- cos60 sin ae - sine0>
0
sinae
cosae
^ sin60 cosae
- sin£0 sin ae
4
= bx
^2
b2
Ui
c2
cose 0 >
c 3>
Формулы связи координат х, у точек наклонной картинной
плоскости - фотоснимка (начало координат в главной точке)
и координат X, У точек горизонтальной картинной плоскости
(начало координат в точке полюса Q - точке надира)
принимают вид
X=f
y =f
(X cos е 0 - Н sin е0) cos ае + Ysinae
X sin е 0 + Я cos е 0
- (A' cos е 0 - Н sin е0) sin ае + Ycosae
X =Н
Y= Н
(215)
X sin е о + Н cos е 0
(c o se 0 cosae)* - (c o se 0 sin x ) y + / sin e 0
- (sin e 0 cos x ) x + (sin e 0 sin x ) y + f cos e 0 ’
x sin ae + у cos ae
- (sin e 0 cos ae)x + (sin s 0 sin az)y + f cos e 0
(216)
Если сместить начало системы координат х о у наклонной
картинной плоскости Т в точку надира п, поставить условие,
чтобы частный масштаб длин по а л ь м у к а н т а р а т у |i2 в эт ой
точке был равен единице, в ы р а з и т ь зна че ни я координат в
метрах, ввести обозначение tg$ = X / H и Зе млю (или другое
небесное тело) пр инять не за эллипсоид враще ни я, а за шар,
то из ф ор му л (215) получим
х=Х
_ у COSР COS6 о
cosp
c o s ( p - e 0) ’
У
cos(P - е 0)
- ф о р м у л ы п р е д л о ж е н ы д л я этого частного с л у ч а я
Н.М.Волковым.
Т е п е р ь на основании общей тео р ии к а р т о г р а ф и ч е с к и х
проекций получают (с точностью до членов с е4) ф о р м у л ы
частных масштабов длин:
- вдоль верти кало в
Ш =
" sin 2 a sin 2 Eq)72;
(217)
- вдоль ал ьм у к ан т ар а т ов
где
к = Н /( Н cose0 + X sin е0 );
Ра
_
2
D n
р
sin * sin a cos <р0 .
Dn - Nq cos z
p = V *2 + Y 2,
\*-2г - опр ед еля ют ся соответственно из (211).
Из в ы р а ж е н и й (217), (218) следует, что дл я точек главной
в е р т и ка ли будем иметь
Hi
И2 =Р-2г к -
В частности, в главной точке, точках нулевых искаже ний
и надира п получим
= ^ i r cos2 е о;
^2„ =
й 2г
cose0;
^2С
Hln = s e c 2 e0;
n 2„ = s e c e o-
Следовательно, в точке надира имеют место ис ка же ни я
только за счет наклона картинной плоскости на угол £0 , в
точке ну левых ис каже ний - только за счет сфероидичности
(сферичности) отображаемой поверхности, в главной точке,
как и во всех других точках проекции (снимка), - за счет
вл ия ни я обоих факторов.
Частные масштабы площади и м ак сим аль ны е и с ка ж е ни я
углов в точках проекции определ яю тся с точностью до членов
с е 4 по и з в е с т н ы м ф о р м у л а м ( пр и п р о е к т и р о в а н и и на
горизонтальную плоскость)
р = ц , ц 2;
s i n y = (ц2 - ц , ) / ( ц 2 + ц,).
2.2.3.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ КООРДИНАТ ТОЧЕК
ЭЛЛИПСОИДА ПО ПРЯМ ОУГОЛЬНЫ М КООРДИНАТАМ
ТОЧЕК ПЕРСПЕКТИВНОГО КАДРОВОГО СНИМКА
И с п о л ь з у я з н а ч е н и я п р я м о у г о л ь н ы х к о о р д и н а т х, у
перспективного снимка, вычисляем прямоугольные коорд ин а­
ты горизонтального снимка (модели снимка на горизонтальную
плоскость) X, Y по фо р му л ам (214).
О п р е д е л е н и е п о л я р н ы х к о о р д и н а т z , а, а з а т е м
г е о д е з и ч е с к и х ф, X в ы п о л н я е т с я м е т о д о м и т е р а ц и и в
следующей последовательности.
Вычисляем
У
Р-
(219)
где N 0 - вы чис ля етс я по фор мул е (2) д л я зна чен ия широты
Фо •
Далее с точностью до членов с е4 будем получать в первой
и последующих и тер ац и ях
Z - arcs
- V;
(220)
(221)
(222)
С
2
^0 = ^0 1 - y ( s i n c p - s i n < p 0) + ...
Получив из первой итерации значение широты Ф данной
точки, о п р е д е л я е м по (223) уточненную ве л и ч и н у jVq , по
ф о р му л е (220) значение z и по (221), (222) зна чен ия t$, ф во
второй итерации.
Этот процесс повторяется (обычно 3-4 раза) до тех пор
пока ф(п) - ф ^ _1) < 6 - допустимой величины.
(п\
Приняв, что Ф = Ф
из последней итерации, вычисляем
долготу данной точки по фо р му л е
X = Х0 + arcsin(sinzsintf Бесф).
2.2.3.5. ХАРАКТЕРИСТИКА АЗИМУТАЛЬНЫХ ПРОЕКЦ ИЙ
Равноугольные, равновеликие и равнопромежуточные
вд о л ь в е р т и к а л о в ( м е р и д и а н о в ) а з и м у т а л ь н ы е п р о е к ц и и
о т н о с я т с я к ч и с л у н а и л у ч ш и х при к а р т о г р а ф и р о в а н и и
те рр ит ор ий с округленными очертаниями.
При создании ряда карт во зни кает необходимость
ис по льзования аз и му т а ль н ых проекций, имеющих за данный
промежуточный характер искажений. Перспективные
а з и м у т а л ь н ы е проекции, ка к с негативн ым и з о б р а ж е н и е м
(гномическая, ортографическая, стереогр афи чес кая и др.), так
и с п о з и т и в н ы м и з о б р а ж е н и е м о б л ад а ю т о п р е д е л е н н ы м и
сп е ц и ф и ч е ск и м и свойствами, бл аго д ар я чему они н а хо дя т
применение при создании карт и решении р а з л и чн ы х задач.
Так, например, в гномической проекции ортодромии (дуги
больших кругов) изоб раж аю тся прямыми линиями; в
стерео графи ческо й проекции окружности конечных размер ов
на п о в е р х н о с т и ш а р а и з о б р а ж а ю т с я на п р о е к ц и и т а к ж е
о к р у ж н о с т я м и , т.е. в ней нет и с к а ж е н и я ф орм ; в н е ш н е ­
перспективны е азим утальны е проекции с позитивным
изображением являю тся математическими моделями
идеальны х кадровых аэрокосмических снимков.
Н и ж е в т а б л .8 да ны ча с т н ые м ас ш таб ы и н а и бо ль ш ие
и с ка ж е н и я углов ряда а з и м у т а л ь н ы х проекций, а в табл.9 т а к и е ж е в е л и ч и н ы , но д л я д в у х ч а с т н ы х с л у ч а е в
использования проекций идеальны х горизонтальны х
аэрокосмофотоснимков (вари ан т 1: ф0 = 55° , X = L - L0 = 0 ,
Н= 300000 м; вариант 2: ф0 =4 0° , XQ = 0° , Н= 5000000 м).
При вычислении масштабов и искажений использовались
ф орм улы , приведенны е выше, а так ж е ф орм улы
Г.А.Гинзбурга
р = / ^ 2 s i n y + 0.00025z10j,
200
р = 1.5/?sin-^- - д л я п о л у ч е н и я
соответственно проекций с небольшими искаж ениям и
площадей и передающих эф ф ект сферичности, а такж е
фо рмула М.Д.Соловьева
с
Z
Z
р = 2 R i g — = 4/?tg — _ д ЛЯ получения проекции с много­
кратными перспективами (“с те ре о-с тер ео ”, с= 2).
Табл.8
0°
30°
60°
90°
Р
СО
1
1
1
0°
1.333
1.155
1.540
8°. 14
4.000
2.000
8.000
38°.57
00
00
00
180°
Равноугольная
(стереографическая)
Hi
И2
Р
СО
1
1
1
0°
1.072
1.072
1.149
0°
1.333
1.333
1.778
0°
2.000
2.000
4.000
0°
Равновеликая
Hi
М-2
Р
СО
1
1
1
0°
0.966
1.035
1
3°.58
0.866
1.155
1
16°.26
0.707
1.414
1
38°.57
Гинзбурга (с небольшими
искажениями площадей)
Hi
И2
Р
СО
1
1
1
0°
0.966
1.035
1
3°.58
0.870
1.155
1.005
16°. 12
0.853
1.437
1.225
29°.34
Гинзбурга (передающая
сферичность)
Hi
Н2
Р
СО
1
1
1
0°
0.940
1.026
0.964
5°.02
0.766
1.113
0.853
21°.18
0.500
1.299
0.650
52°.44
Соловьева (с многокр.
перспективами)
Hi
Н2
Р
СО
1
1
1
0°
1.017
1.053
1.071
Г.59
1.072
1.238
1.326
8°. 14
1.172
1.657
1.941
19°.45
Ортографическая
Hi
Н2
Р
СО
1
1
1
0
0.866
1
0.866
8°. 14
0.500
1
0.500
38°.57
0.000
1
0
180°
Название проекции
Центральная
(гномическая)
Z
И|
Табл.9
Вариант 1
X
0°
55°
^2
Hi
Р
со
1.000
1.000
1.000
0°00
0.9989
0.9968
0.9957
0°.1252
0.9740
0.9222
0.8983
3°.13Ю
0.8037
0.7257
0.6558
12°.5471
0.8072
0.4886
0.3944
28°.4647
56°
Й2
Hi
Р
0.9968
0.9902
0.9870
0°.3806
0.9957
0.9870
0.9828
0°.5028
0.9716
0.9150
0.8890
3°.4337
0.9033
0.7244
0.6544
12°.6152
0.8090
0.4927
0.3985
28°.1290
0.9250
0.7830
0.7243
9°.5389
0.9242
0.7808
0.7216
9°.6489
0.9055
0.7304
0.6614
12°.2907
0.8518
0.5935
0.5056
20°.5925
0.7756
0.4193
0.3252
34°.6905
0.5793
0.0805
0.0466
98°.2246
0.5791
0.0802
0.0465
98°.3428
0.5741
0.0735
0.0422
101°.22Ю
0.5352
0.5588
0.0541
0.0260
0.0302
0.0139
110°.8464130°.2933
ф
СО
60°
И2
Hi
Р
СО
70°
И2
Р
СО
1°
5°
10°
15°
Вариант 2.
1
40
2
Г
5°
10°
20°
30°
40°
3
4
5
6
7
8
9
1^2
1.0000 0.9999 0.9972 0.9887
0.9567 0.9087 0.8508
Hi
0.8416 0.6779 0.4975
со
1.0000 0.9996 0.9893 0.9578
1.0000 0.9994 0.9864 0.9470
0.0000 0.0182 0.4553 1.8240
М
-2
0.9998 0.9997 0.9970 0.9887
0.9573 0.9098 0.8525
И)
0.9993 0.9988 0.9887 0.9577
0.8431
р
0.9991 0.9985 0.9857 0.9469
0.0310 0.0490 0.4797 1.8282
0.8070 0.6200 0.4285
7.2644 16.5022 29.9220
Р
41
0“
со
0.8052 0.6161 0.4233
7.3430 16.7275 30.3785
0.6814 0.5027
Продолжение таблицы 9.
45
50
2
10°
20°
30е
3
4
5
6
7
8
0.9926 0.9849
0.9555 0.9111
9
0.9952 0.9951
Mi
0.9818 0.9814 0.9720 0.9434
0.8371 0.6857 0.5162
Р
со
0.9771 0.9765 0.9648 0.9291
0.7765 0.7934 1.1984 2.4662
0.7998 0.6248 0.4424
7.5721 16.2279 28.7434
Н2
0.9810 0.9809 0.9787 0.9718
0.9458 0.9061
Hi
0.9290 0.9286 0.9206 0.8957
0.8030 0.6692 0.5166
р
СО
0.9113 0.9109 0.9009 0.8705
3.1184 3.1339 3.5064 5.6722
0.7595 0.6063 0.4428
9.3629 17.2956 28.7097
И2
0.9285 0.9284 0.9269 0.9221
0.9037 0.8752 0.8393
0.7437 0.7434 0.7382 0.7222
0.6616 0.5713 0.4639
0.8571
0.8572
СО
0.6905 0.6902 0.6843 0.6660 0.5979 0.4950 0.3893
12.6910 12.7038 13.0089 13.9635 17.7987 24.2596 33.4835
И2
0.8539 0.8538 0.8529 0.8502
0.8394 0.8224 0.8004
Ml
0.5066 0.5065 0.5039 0.4957
0.4643 0.4159 0.3557
Р
СО
0.4326 0.4325 0.4298 0.4214 0.3897 0.3420 0.2847
29.5739 29.5836 29.8154 30.5403 33.4481 38.3277 45.2419
Н2
0.7699
Ml
0.2769 0.2769 0.2760 0.2731
0.2132 0.2132 0.2124 0.2098
56.1887 56.1946 56.3386 56.7885
Р
80
5°
И2
60
70
Г
О
О
1
0°
Р
СО
0.7699
0.7695
0.7684
0.7639
0.7566
0.7470
0.2619 0.2442 0.2212
0.2001 0.1848 0.1652
58.5884 61.5894 65.7951
Из ан ализа табл.8 и 9 следует, что наибольшие и ска же ни я
имеются в гномической проекции и в проекции го риз онт аль ­
ного аэрокосмофотоснимка. При использовании пе рс пе к ти в­
ных аэрокосмоснимков (внешне-перспективной аз им утальной
п р о е к ц и и с п о з и т и в н ы м и з о б р а ж е н и е м на н а к л о н н у ю
картинную плоскость) к искаже ния м за крив изн у о т о б р а ж а е ­
мой поверхности прибавляются еще ис каж ен ия за пе рс пе к ти ­
ву-
2.2.4.1. ОБЩ ИЕ ФОРМУЛЫ ПСЕВДОКОНИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЙ
П с е в д о к о н и ч е с к и м и н а з ы в а ю т с я п р ое кц и и, в ко т о р ы х
п а р а л л е л и п р е д с т а в л я ю т собой д у г и к о н ц е н т р и ч е с к и х
окружностей, а меридианы - кривые, симметричные
относительно среднего прямолинейного меридиана, на кото­
ром расположен центр п а ра лл е л е й (рис.49).
Общие уравне ни я этих проекций имеют вид
х =q-
p cosS ;
Р = Лф);
у
-
p s in S ;
5=
^224^
где q= const - полярное ра с ст оя ни е южной п а р а л л е л и на
плоскости.
Продиф ференцировав эти уравнения по Ф и X и подставив
зна че н и я производных в ф о р му л ы общей теории к а р т о г р а ф и ­
ческих проекций, будем иметь
/ = Р 25 ф5 х ;
Л = -Р Р < А ;
tge = (p6(p) /p lp ;
Р6 Х
* =-jr;
(225)
р = - ( р р 19Ъх ) /М г Р sece = —Рч->s e e s
т=—
п
М
t ю 1 \т2 + п2 ^
^ 2 = 2V
р
~2'
где р, m, п - частн ые ма с ш т аб ы пл ощ аде й и длин вдоль
меридианов и параллелей.
Из определ ен ия и ф ор му л этих проекций следует, что в
них к а р то г р а ф и че с ки е сетки неортогональны, а длины дуг
меридианов яв л я ю тся фу н кц ия ми и широты, и долготы.
Рис.49 Псевдоконическая проекция
Следовательно, эти проекции не могут быть равно уго ль­
ными и сохранять длины вдоль меридианов. Они могут быть
т о л ь к о р а в н о в е л и к и м и и п р о и з в о л ь н ы м и по х а р а к т е р у
искажений.
В частном с л уч а е , при 8 = аХ или 5 = X м е р и д и а н ы прямые линии и проекции соответственно будут коническими
или а з и м у т а л ь н ы м и . Есл и ц е н т р п а р а л л е л е й у д а л и т ь в
б е с к о н е ч н о с ть , то п а р а л л е л и о б р а т я т с я в п а р а л л е л ь н ы е
прямые - проекция станет псевдоцилиндрической.
Наибольшее применение из псевдоконических получила
равно вел ика я проекция Бонна, которая была пр ед лож ена им
в 1752 г. для создания ка рт ы Франции.
2.2.4.2. РАВНОВЕЛИКИЕ ПСЕВДОКОНИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИ И
Проекция Бонна
О п р е д е л я е т с я т р е м я у с л о в и я м и : она р а в н о в е л и к а ,
сохраняет длины вдоль п араллелей и вдоль среднего
меридиана, т.е. в ней
р = 1; п = 1;
т0 = 1.
За пи ш ем условие равновеликости в виде
А = -РР„&х = Mr.
По д с та в и в в это у р а в н е н и е п ро из в од ну ю 5 Х из (225),
получим д и ф ф е ре нц иа л ьн ое уравнение
ф = - — d(p
п
и отсюда
J
р=С— —
(226)
З а д а в а я раз ли чны е в ы р а ж е н и я для определ ен ия частного
1
к
масштаба п, например в виде
, можно получить
п /=1
новую совокупность равновеликих псевдоконических проекций.
Так как при этом
р = т п • cos 8 = 1,
и з м е н е н и е з н а ч е н и й п п о в л и я е т на в е л и ч и н ы ч а с т н ы х
масштабов длин вдоль меридианов га. Возникает возможность
определ ен ия оптимального соотношения этих масштабов.
В проекции Бонна n = 1 и интегрирова ние (226) дает
Р=C -s,
где s - д л и н а д у г и м е р и д и а н а от э к в а т о р а до д а н н о й
паралл ели , о п ре д ел яе м а я по ф орм ул е (156).
Ис пол ьзу я из (225) фо рм ул у
к
-= -----п г
р
и из нее
5 = f— dk + Ф(ср),
J Р
можно т а к ж е получить совокупность зна чен ий по л яр ны х
у гл о в 5 и з а т е м с о о т в е т с т в у ю щ и х , к а к с и м м е т р и ч н ы х
п р о е к ц и й п р и л = / г(ф) и Ф(ф) = 0 , т а к и а с и м м е т р и ч н ы х
проекций при Ф ( ф ) * 0 .
Так как проекция Бонна симметрична относительно
среднего меридиа на, то при А. = 0 и 6 = 0 и, следовательно,
и Ф(ф) = 0. Тогда получаем
5 = Х-.
Р
Взяв от полученных вы ра же ни й р и 5 производные 5ф и
206
ХрМ
s in
ф - гХМ
sin ф —
Р
и
т = sec
со
s ;
8
‘8 2 = , е Г
Отсюда для точек среднего м еридиана
заданной па ра лл е л и ф = ф 0 находим
X = Х0
sin<po - — = 0; р0 = Лгос18ФоРо
Постоянный пара мет р проекции С будет равен
С = р0 + s0 = s0 + N 0 с1§ф0.
Фо рму лы проекции принимают вид
Р = с - s;
tge = X
5 = —X;
Р
sin ф —
PJ ■
»
т = se c
р = 1;
со
(227)
е;
1
t g 2 = 2 tg8;
C = s0 + N о с ^ ф о
и д а ле е
р = (s0 - s) + N 0 с1§ф0.
Из этих ф о р м у л следует, что все виды ис ка ж е ни й (8 ,
v m ) равны нулю на среднем меридиане X =
= 0 и на
со
заданной па р а лл е л и ф = ф 0 , д ля которой
sin(p0- % 0 = ° Изоколы в проекции Бонна вблизи осевого меридиана и
средней па ра лл е л и я вл яю тся симметричными относительно
этих линий равнобочными гиперболами.
В 40-х годах проф. М.Д.Соловьев п ре дло жи л вид оизменен­
ные ф о рму лы этой проекции, в которой путем введения трех
постоянных п ар ам етр о в уменьшена крив из на и з о б р а ж е н и я
п а р а л л е л е й , что и м е е т в а ж н о е з н а ч е н и е пр и с о з д а н и и
р = С0 + Cj(50 - 5);
8 = С 2 —X.;
Р
tge = С2Л
БШф
I
<» = 1
82
г
Р<
(С, - С 2)2 + С, tg 2 б
2 у
С ,С 2
;
m = Cl secs; п - С 2\ р - С хС2 .
Постоянные п а ра м е тр ы С0,
С2 видоизмененной п ро е к­
ции Бонна опред еля ли сь путем подбора. Однако, их можно
найти и аналитическим способом, исходя из за дан ны х условий
и, п р е ж д е всего, по заданной крив изн е пара лле ле й.
У ч и т ы в а я ф о р м у л ы (228) и что д л я пс е в д о к о н и ч е с к и х
проекций криви зна п а ра лл е л е й равна к п = —1/р получают
_ У1 £
- Q) +
~ **)•
З а д а в к р и в и з н у к п д в у х п а р а л л е л е й , н е т р у д н о на й ти
к о э ф ф и ц и е н ты С0, С г
Рис.50 Видоизмененная проекция Бонна с заданной кривизной
параллелей
К о э ф ф и ц и е н т С 2 легк о на йти по з а д а н н о м у з н а ч е н и ю
частного масштаба п или р.
Соответственно будем иметь
С2 = пк
или
С2 = р к / С 1 .
Если поставить условие, чтобы р= 1, то С2 = 1/Cj .
Д а н н а я п р о е к ц и я я в л я е т с я р а в н о р а з д е л е н н о й по
па р а л л е л я м (см. р а з д е л 4). Ча стн ые масшт абы длин вдоль
параллелей и среднего меридиана, а такж е частные
масшт абы площадей яв ля ю тся постоянными величинами.
П севдоконическая проекция Ш таба-В ернера (серцевидная)
Бы ла пре дло жен а в начале 16 века.
Ф о рм улы этой проекции имеют вид
х = рю ~ pcos5;
(п
Y
w - 4
у = psin5;
\cosy '
8=
<П9 >
tg е = о - X sin ср ;
р = п = 1;
т = sec s.
В п р о е к ц и и нет и с к а ж е н и й на с р е д н е м м е р и д и а н е и
северном полюсе. При удалени и от них и с к а ж е н и я сильно
возрастают, достигая наибольших значен ий на п а р а лл е л и,
близкой к южному полярному кругу.
2.2.4.3. ПСЕВДОКОНИЧЕСКИЕ П РО ЕКЦ И И , П РОИЗВОЛЬНЫ Е ПО
ХАРАКТЕРУ ИСКАЖЕНИЙ
И с п о л ь з о в а н и е о б щ и х ф о р м у л ( 22 4) - ( 2 2 6 ) д а е т
возможность получить множество разнообразных псевдоконических проекций произвольных по х а р а к т е р у искажений, в
зависимости от попарно заданн ых исходных условий
Р - А (ф)
р = /,( ф )
л = / з (ф )
^ = / 4(ф А)
и б = / 2 (срД);
и p = f 4 (<рД);
р = / , ( ф) и л = /з(<р);
и 5 = / 2(фА);
л = / з ( ф ) и p = f 4 ( фА);
и
6 = / 2(ф А);
р = /,( ф ) и е = / 5(фА);
(230)
и др.
2.2.5. ПСЕВДОАЗИМУТАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ
Эти пр ое кц ии были р а з р а б о т а н ы докто ром техн. на ук
Г.А.Гинзбургом в 1952 г. п р и м е н и т е л ь н о к о т о б р а ж е н и ю
поверхности шара на плоскость для случаев, когда необходимо
передать э ф ф е к т сферичности Земли. При меняются они, как
Рис. 51 Нормальная псевдоазимутальная проекция
правило,
в
косой
ориентировке.
Псевдоазимутальными
^до н а з ы в а ю т с я п р о е к ц и и , в
которых па ра лл е л и и зоб ра ­
ж а ю т с я концентрическими
окружностями,
а
меридиа ны - кривыми или
прямыми, сходящимися в
ц е н т р е п а р а л л е л е й . Пр и
0°
этом меридианы с долготами
0°, 36 0° с о в п а д а ю т
и
и з о б р а ж а ю т с я либо п р я м ы м и ( р и с .51), либо к р и в ы м и , в
каждой точке которых имеют одинаковую кривизну.
По определению, общие ур авн ен ия этих проекций имеют
вид
х = pcos5;
у = р sin
(231)
Р = /|(г);
5 = а + f 2(z)sinka,
где 2 , а - полярные сфер ич еск ие координаты,
к - постоянные числа, от значения которых за висит вид
м е р ид иа но в. При к= 1 п р я м ы м и л и н и я м и и з о б р а ж а ю т с я
меридианы с долготами 0°, 180°, 360°; при к = 2 - с долготами
0°, 90°, 180°, 270° и 360°. В случае, когда па ра ме тр к п ол уч а ­
ет дробные значения, проекции становятся псевдоконическими, а не псевдоазимутальными.
Г.А.Гинзбургом дл я опре деления полярного угла 5 между
м ери дианами в проекции была предлож ена фо рм ул а
(232)
q - const
для случая, когда большая ось овала направлена по среднему
меридиану, и
д л я с л у ч а я , к о г д а б о л ь ш а я ос ь
ортогонально среднему меридиану.
овалов
направлена
Проекция была использована для создания карты
Атлантического океана в Атласе мира, где было принято
р = 3/?sin(z/3).
В настоящее время известна равновеликая псевдоазимут а ль на я проекция Вихеля, формулы которой имеют вид
х =
sin A.cos ф - (l - sin ф) cos А.];
у - /?[- cos X cos ф - (l - sin ф) sin A.].
(233)
Ч астные м асштабы и другие х а р а к т е р и с т и к и проекции
легко получить по фо рмулам общей теории ка ртографических
проекций (см. Ра зд е л 1).
Однако, данная проекция не создает эф ф е кт а сферичности.
Для получения равновеликих пс евдоазимутальных проекций,
обе сп е ч и ва ю щ и х по л уч е ни е э ф ф е к т а с ф е р и ч н о с т и , п р е д ­
ставим их плоские полярные координаты в виде
р = /, (*),
b = a + f 2{z).
За писав, например, p = 2^ ?sin z/2, будем иметь
(234)
п = sec ZA ;
tge = - 2 t g z/ 2
m = c o s% sece;
co = 2 arctg Y l i ™ 2 + n 2 - 2 ) X'
2.3. К А Р Т О Г Р А Ф И Ч Е С К И Е П Р О Е К Ц И И С
П А РА Л Л Е Л Я М И В ВИ ДЕ Э К С Ц Е Н Т Р И Ч Е С К И Х
О К РУ Ж Н О С Т Е Й
К ним относятся поликонические проекции в “шир око м”
и “у зк ом ” смыслах.
2.3.1. ПОЛИКОНИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ В ШИРОКОМ
СМЫСЛЕ
2.3.1.1. ОБЩ ИЕ ФОРМУЛЫ ПОЛИКОНИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЙ
П о л и к о н и ч е с к и м и н а з ы в а ю т с я п ро е кт 'и и , в к о т о р ы х
параллели - дуги эксцентрических окружностей с центрами,
расположенными на среднем прямолинейном меридиане,
меридианы
а
- кривые, симметричные относительно среднего
меридиана и экватора(рис.52).
Общие уравнения этих проекций по определению имеют
вид
х=q-pcoso;
где q =/1((fl);
p=/2((fl);
у=psn
i o,
о=/з((fl,Л.).
Продифференцировав по (fJ
х<Р
=
и
А
q<P-р<Р coso +psinоо<Р;
у<Р =p<Psino+pcosM<P;
Тогда
(235)
в соответствии
с
эти
выражения, получаем
x,,_=psinbl>л;
Ул
=
pcosoo,,_.
общей теорией картогра ф ических
проекций будем иметь
f =qqipsinoo).
2
+p oqio._;
h=qqipcosoo,_ -р<Рро1_;
i cS + р&<Р
q<Psn
f
tgE=--=;
q<Pcos&-p<P
h
Р
h
=
-
Mr
q<P cosо- Pqi
=
Р<>1. --'----"-- .
Mr
Рис. 52 Поликоническая проекция
212
(236)
p
q cos5-p
т - — sec s = —------------ - sec s;
n
M
о
1
m 2 + n 2 - 2p
,8t - W —
?—
a = (A + B )/ 2;
;
b = (A - B)/ 2,
где
= V/w2 + л 2 + Imncose; Д = л1т2 + n 2 - Imncose.
Р а сс мат рив аем ые проекции могут быть равноугольными,
равновеликими и произвольными по х а р а кт е р у искажений.
2.3.1.2. ПОЛИКОНИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ С КРУГОВЫМИ
МЕРИДИАНАМИ И ПАРАЛЛЕЛЯМИ
Проекция Лагранжа
Она я в л яе тс я равноугольной поликонической проекцией,
в которой па ра лл е л и и меридианы - окружности.
П у с т ь на р и с . 53 п о к а з а н к р у г р а д и у с а /с, к р у г о в ы е
па ра лл ел ь ВАВ^ и меридиан РАР' , радиусы которых С2В ] и
CjP ортогональны радиусу О В } и касательной к меридиану
точки А (в точке Р). Тогда для меридиана с центром С { и
па ра лле ли с центром С2 будем иметь
х \ = 0; У\ = -kctg<xk;
р, =A:coseca>.;
х 2 = к cosec 5; у 2 = 0 ; р 2 = A; c tg 5.
Уравнения меридианов и па ра лл е л е й принимают
вид
х 2 + (у + /cctga^)2 = к 2 cosec2 аХ
или
х 2 + 2/cyctgaA + у 2 = к 2;
и
(х - к cosecS)2 + у 2 - к 2 ctg2 5
или
х 2 - I k x c o s t c b + у 2 - - к 2.
Р е ш а я совместно эти уравнения, получаем
к cos 5 sin аХ
(237)
У = --------------------- •
1 + cos 5 cosaX
Эти ф орм ул ы сп раведливы для всех круговых поликонических проекций. Например, болгарский ученый М.Андреев с
использованием этих формул получил ряд поликонических
A: sin 5
1 + cos 6 cos
* = ---------------------i
проекций произвольных по х а р а к т е р у искажений.
Функцию 5 определим из условия равноугольности, ис­
пол ьзуя одно из уравн ен ий К ош и- Р им а н а (90). Для этого
найдем частные производные *ф , х х , У<р и у х от (237)
/:[cos5 + cosa^ l
=
хх =
= 7
~
ГТГ^ ф ’
[1 + cosScosaXJ
ак sin 6 cos 5 sin аХ
f-;
[1 + cos 5 cos a l ]
Уф “ ^б^ф ~
ksinbsinaX
~г
т2~ Ф’
[1 + cosS cosaX j
a/:co s6 [co s5 + cosak ]
УX ~
[1 + cosS cosaX j
I*
Подставив эти производные в у ка за н н ые ура вн е ни я (90),
получим
После ин тегрирования будем иметь
In tg|45°+ Yj ) = а 1п
U+
Р»
откуда
tg(45°+ % ) = p tf
а
где U- оп ре дел яе тся из (22), (23).
И с п о л ь з у я з н а ч е н и я час тн ых произ во дны х проекции и
ф ор му л у частных масштабов
из общей те о р и и , на х о д и м в ы р а ж е н и е д л я о п р е д е л е н и я
частных масштабов длин данной проекции
т -п-
а к cos 6
г (1 + cos 5 cosaX)
В проекции имеется три постоянных п ар ам етр а а , Р , к.
Л а г р а н ж о п р е д е л я л п а р а м е т р а пу тем и с с л е д о в а н и я
фо рмы изоколы вблизи центральной точки О(ф0Д 0).
Определим значение а из условия, что одна из изокол
п р о е к ц и и , и м е ю щ а я ф о р м у э л л и п с а с п о л у о с я м и а и Ь,
ап пр оксимирует контур из ображаемой области.
Уравнение изоколы можно записать в виде
где т () - заданное значение масштаба в ц ентральной точке.
Если о б о зн ачи ть полуоси и зоколы , н а п р а в л е н н ы е
соответственно вдоль меридиана и п а ра лле ли через b и а,
то будем иметь
4 R 2 cos2 фо
2cos2 ф >00 + sin2 ф 0 - a 2
4 R 2 cos2 фо
2 фо
a 2 - - sin
2
0
b
Обозначив rl = “ > получаем
1 - Л2 фо2
a = ,1 ------^COS"
1+ Ц
Па р а м ет р P найдем из условия, что в центральной точке
проекции О(фоДо) масштаб экстремален.
Получив прои зводные масштаба и п р и р а вн яв их нулю,
найдем следующие значения
, „ 8 0/
sin<Po
•
tg '%L = -------a
Учит ыва я ф ор мул у для определения полярного угла 5 ,
по лучаем
1
*•0 =
п
5о
Р = tg^45o+-y-j(/0a .
Наконец па раметр к найдем с учетом заданного значения
масштаба т и в центральной точке
"Wo
а
Па ра м ет р а влия ет на форму изоколы:
при а < 1 - изоколы - овалы, вытян ут ые вдоль параллелей;
а > 1 - изоколы - овалы, вытян уты е вдоль меридианов;
а = 1 - изоколы - окружности, а про екция стан овит ся
стереографической;
a =0 - изоколы п р е вр а щ а ю т ся в п а р а л л е л ьн ы е линии,
проекция ста новится равноугольной ц и л и н д р и ­
ческой.
Проекция Л агр ан жа может быть успешно применена для
к а рт огр аф иро ван ия любых территорий, кроме полярных, где
иска жен ия достигают значит ель ных величин.
Я в л я е т с я п р о и з в о л ь н о й по х а р а к т е р у и с к а ж е н и я ,
пр ом еж ут оч но й м е ж д у ра вн оу го л ьн ы ми и р а в н о в е л и к и м и
п р о е к ц и я м и , в кот орой не с ко л ьк о л у ч ш е , чем в д р у г и х,
пе редаются формы материков.
В этой проекции, используемой для соз дан ия мировых
карт, берется основной круг, один из диаметров которого РР' с л уж и т осью х, а другой ЕЕ' - осью у. Экватор ЕЕ'
делится на равные части, в соответствии с принятой частотой
сетки, и через полученные точки деления и оба полюса Р и
Р' проводят дуги окружностей - меридианы.
При этом радиус Р любого мери ди ан а и расстояние Q
его центра от центра проекции О опр еделяю тся фор мул ами
р
=к
co sec
Q =к
c t g X ,,
где Xj = 2 arctg(X/7i ) , к = nR .
П а ра л л ел и проводят через три точки: точки пересечения
данной п а р а л л е л и со ср едн им мер ид иа но м и с основным
кругом.
Р а с с т о я н и е “ с ” от э к в а т о р а до т о ч к и п е р е с е ч е н и я
п ар алл ел и с широтой Ф со средним меридианом равно
Р а с с т о я н и е d Q от э к в а т о р а до т о ч е к п е р е с е ч е н и я
па ра лл е л е й с основным кругом опре деляются формулой
П р и этом р а д и у с pj л юб ой п а р а л л е л и на п р о е к ц и и и
расстояние q ее центра от экватора равно
2с
В данной прое кции сетка не ортогональна
Sin 8 = --- 1----•
Я + ф
Частные масштабы длин на экваторе ш = п = 1 , на полюсе
m и п стрем ятся к бесконечности; в прочих точках
опре дел яю тся по сложным фо рмулам, изменяясь, например,
на п а ра лл е л и ф = 60° для т от 1.537 на среднем меридиане
до 2.598 на меридиане с X = 180° и для п соответственно от
1.708 до 1.789.
За метим, что к числу круговых относятся т а к ж е проекция
Бируни (шаровая глобулярная), которая рассмотрена в
ра з д е л е 4.
2.3.1.3. П РОИЗВОЛЬНЫ Е ПОЛИКОНИЧЕСКИЕ ПРО ЕКЦИ И ДЛЯ
КАРТ МИРА, ПОЛУЧАЕМЫЕ ПО ЭСКИЗАМ
КАРТОГРАФИЧЕСКИХ СЕТОК
Те о р и ю п о л у ч е н и я т а к и х п р о е к ц и й с и с п о л ь з о в а н и е м
методов численного анали за, теорий п ри б л и ж ен и я и
инте рп олирования функций ра з р а бо т ал Н.А.Урмаев.
О п р е д е л е н и е п р о е кц ии м о ж е т быть р а з д е л е н о на два
этапа: построение эскиза сетки и м ат е м а ти ч е ск ая обработка
эскиза.
М ето д и ка и особенности п о л у ч е н и я п о л и к о н и ч е с к и х и
других проекций таким способом частично рассмотрены ниже
(см. п.4.2.2.4) и более подробно в кн и г а х Г и н з б у р г Г.А.,
Салманова Т.Д., 1964 Гинзбург Г.А., Карпов Н.С., Салманова
Т.Д., 1955
В ч астности, у к а з а н н ы м способом р а з р а б о т а н ряд
поликонических проекций ЦНИИГАиК, в том числе для карт
мира.
Первая из них была получена в 1939-49 г.г. Г.А.Гинзбургом.
Было принято (рис.54), что средний меридиан и п а р а л ­
л ели я в л я ю т с я р а в н о р а з д е л е н н ы м и , в к а ч е с т в е ис ходных
ис по ль зо ван ы коорди на ты семи основных точек, в з я т ы е с
эскиза: две из них на среднем меридиане с широтами 0° и
80° и пять на меридиане X = 180° через 20° от экватора.
К о о р д и н а т ы э т и х т о ч е к б ы л и у р а в н е н ы по с п о с о б у
к в а д р а т и ч е с к и х п р и б л и ж е н и й , а з н а ч е н и я ко о р д и н а т д л я
остальных точек сетки (через 10° по долготе и широте) были
получены интерполяцией.
В данном варианте проекции ис каж ен ия углов и площадей
примерно одинаковы. Н аибольш ие и с к а ж е н и я углов и
площадей не превышают 50° и 80% (за исключением полярных
областей, где они больше). Проекция принята для создания
т) Гинзбург Г.А., Салманова Т.Д. Применение в математической карто­
графии методов численного анализа. Тр. ЦНИИГАиК, вып. 153, 1962.
Рис.54 Поликоническая прооекция ЦНИИГАиК (вариант 1939-49 гг.)
а - изоколы величины со;
б - изоколы величины р.
серии мировых кар т в Географическом атла се для уч ителей
средней школы. Поликоническая проекция ЦН ИИ ГА иК 1950
г. была разработана Г.А.Гинзбургом та к ж е для школьных карт
мира. Для ее оп р еделения была использована та же схема
ра сп оло же ни я узловы х точек и та же методика построения
эскиза и вычислений, что и в пре дыдущем варианте. Но во
втором вар и ан те п а р а л л е л и и зо б р аж аю тся дугами
окр ужностей меньшей кривизны, меньше ис ка ж а ю т ся пло­
щади в направлении от центра на за па д и на восток, но зато
иск а же ни я углов доходят до 60°.
Т р е т и й в а р и а н т по ли ко ни ч еск ой про е кц ии р а з р а б о т а н
Г . А . Г и н з б у р г о м в 1950 г. д л я к а р т Б о л ь ш о й С о в е т с к о й
Энциклопедии (БСЭ). Было принято, что средний меридиан
нер ав нора зделенный, использовано 10 узловы х точек (пять
на ср е дн е м и пять на к р а йн е м м е р ид иа на х) , ко о р д и н а ты
которых определились по эскизу (рис.55).
В данном варианте крив изна па ра лл е л е й имеет п р о м е ж у ­
точные значения меж ду кривизной пар алл ел ей в пр едыдущ их
двух вар иа нт а х этих проекций, ис ка ж е ни я углов и площадей
в нем примерно одного порядка.
Видоизмененная поликоническая проекция Т.Д.Салмановой
была разр або тан а в 1949-50 г.г. численными методами для
серии вузовских карт Советского Союза.
П а р а л л е л и этой про екции н е р а в н о р а з д е л е н н ы е , имеют
меньшую кривизну, чем в конических проекциях, что создает
при ч т е н и и к а р т ы бо лее в е р н о е з р и т е л ь н о е в о с п р и я т и е
отно си т ел ьн о с т и г е о гр а ф ич е ск ог о п о л о ж е н и я т е р р и т о р и и .
От резки па р а лл е л е й проекции уменьшаются с удалением от
средн ег о н е р а в н о р а з д е л е н н о г о м ер ид иа на . В ней изокол а
со = 10° б ли зка к с хе м а т и з и р о в а н н о м у ко н ту ру Советского
Союза, и с к а ж е н и я углов достигают на ибольшей ве ли чи ны
со = 20° в районе полюса, ис ка же ни я площадей до 30% - в
приполярной области.
Поликоническая проекция ЦН ИИ ГАи К с составной сеткой
была получена путем соединения по среднему меридиану двух
ч а с т е й п р о е к ц и и , к а ж д а я из к о т о р ы х о п р е д е л я л а с ь под
условием обеспечения лучшего изо б ра же ни я соответственно
западной и восточной половин тер ритории СССР.
В ЦН ИИГАиК были разработаны и другие поликонические
проекции, например, куполообразная асимм етричная
проекция д л я карты мира (А.И.Михайловым в 1949 г.).
Дальнейш ее развитие теоретических положений и
методики получения произвольных по х а р а к т е р у искажений
поликонических и других проекций по эс кизам к а р т о г р а ф и ­
ческих сеток дано в работе В.М.Богинского [4].
Рис.55 Поликоническая проекция ЦНИИГАиК (вариант БСЭ)
а-изоколы величины со; б - изоколы величины р
2.3.1.4. ПОЛИКОНИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ С ПОЛЮСАМИ В ВИДЕ
ПОЛЯРНЫ Х Л И Н И Й
Ф ормулы полярных координат, функции q , частных
масштабов длин п вдоль п а ра лле ле й этих проекций можно
представить в виде
где F((p) - опр ед еляется из за данных условий из об ра же ния
среднего меридиана. В частности для ра вно ра зделенного среднего м ери д и ан а будем иметь
/ ’(ф) = s и отсюда га() - заданному постоянному зна ­
чению частного м асштаба длин вдоль среднего
меридиана;
к, с - постоянные параметры, значения которых могут
быть вычислены, например:
к - из условия обеспечения заданной крив изн ы на
одной из параллелей;
с - из заданного соотношения длин полярной линии
и э к в а т о р а ( и ли из з а д а н н о г о з н а ч е н и я
частного мас шт аба п на выбранной п а р а л ­
лели).
Прямоугольные координаты и другие характеристики
у к а з а н н ы х проекций можно оп ре дел ит ь с испо льзован ием
приведенных выше формул.
2.3.2. ПОЛИКОНИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ В “УЗКОМ
СМЫСЛЕ”
2.3.2.1. ОБЩ ИЕ СВЕДЕНИЯ
Для этих проекций сп раведливы ф орм ул ы (235) и (236)
общей теории поликонических проекций.
Дополнительно на кл ады ваю тся два условия:
- ра д иу сы п а р а л л е л е й на проекции равны р = У У ^ ф образующим конуса, касательного к эллипсоиду (шару)
по этим параллелям;
- длины вдоль среднего меридиана сохраняются, т.е. тп0=1
(в некоторых вариа нта х этих проекций полагают, что
частные м асштабы длин тп{=к - постоянной величине).
У словие Т7г()с= 1 п о з в о л я е т о п р е д ел и т ь абсциссы центров
п а р а л л е л е й q. Если длина осевого меридиана из об р а ж а е т с я
без ис каж ен ий , то
q = s + p = s+ N ctg ф.
З н а ч е н и я про изводны х будут ра вны
= М\
р<р = - М - N ctg 2 ф
;
qv = - N ctg 2 ф.
О б щ ие ф о р м у л ы э т и х п р о е к ц и й с уч ет ом (235), (236)
при ним ают вид
х - s + N ctg ф(1 - cos 8);
п=
у - ./V ctg ф sin 5;
5А.
БШф
jVctg 2 ф s in 6 + jV ctgф5ч>
tg е = —
- N c tg Фc o s 8 + Л/ + Л/ctg ф
tgф5(p- s i n 5
c o s6 _ ^ 1 + . ^ . tg 2 4)
- N ctg 2 ф cos 8 + M + N ctg 2 ф _
--------------- 5‘
' , - ' Vcos<p-------------- m ~ 7 ^
1 + 2 ^ c t g 2 <|>sin! | j - 5 X
Sin ф
m = p sec e.
Из данного класса наибольшее распро стр ан ени е получили
простая поликоническая и видоизмененная простая
полик он ич еск ая проекции.
2.3.2.2. ПРОСТАЯ ПОЛИКОНИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ
Пр и п о л у ч е н и и этой п р о е к ц и и у ч и т ы в а е т с я еще одно
д о п о л н и т е л ь н о е у с л о в и е - д л и н ы в с е х п а р а л л е л е й на
проекции пе ре да ю тс я без ис каж ен ий (n= 1).
Тогда будем иметь
5 = J sin qdk + с | = X sin ф + с , ,
где д л я с и м м е т р и ч н ы х отн ос ит ел ьн о сре дне го м е р и д и а н а
п р о е к ц и й п р и X = 0, 6 = 0 и с j = 0.
З а п и с а в п р о и зв о д н у ю
8 ф = ^COScp t
п о л у ч и м с л е д у ю щ и е общ ие ф о р м у л ы п р о ек ц и и
х
=
s + TV c t g ф(1 -
5 = A,sincp;
co s6 );
tg s =
p = 1 + 2 -^ -ctg 2 ф • sin 2
у
- 7 V c tg (p s in 8 ;
5 - sin 8
m = psece;
(238)
P
И с к а ж е н и я в этой проекции за ви ся т от широты и долготы,
из ок ол ы имеют вид кр ив ых , с и м м е т р и ч н ы х отн ос ит ель но
среднего меридиана. Искажения длин вдоль меридианов, углов
и пл ощ аде й зна чи т е ль но ув е л и ч и в а ю т с я при уд а л е н и и от
осевого меридиана; па ра лл е л и (особенно в высоких широтах)
и з о б р а ж а ю т с я со з н а ч и т е л ь н о й к р и в и з н о й . Т е р р и т о р и и ,
в ы т я н у т ы е вд о л ь м е р и д и а н о в , и з о б р а ж а ю т с я с м а л ы м и
в е л ич ина м и искажений. Следовательно, проекцию выгодно
использовать для из об ра жен ия областей вы тян ут ых от одного
ге огр афического полюса до другого и мало в ы т я н у т ы х по
долготе.
Про екция нашла наиболее широкое применение в США,
как д ля создания карт в широкой, так и в узкой зонах.
В последнем случае, р а зл ож и в в ряд
- . 5 2 84
.
83
б5
c o s 5 = 1 -------------------------+ -----... и sm 5 = 5 - — + ---2
24
6
120
ф о р му л а м проекции (238) придают следующий вид
^ NА/ cos ф sin ф+...;
х =s+—
А.3- Nж,_c o s_ф sin
-. 2 ф+...
у - XN c o s ф - - T
6
П ри X < 3° угол 6 < 3" . П о это м у
<239>
Максимальные ис ка ж е ни я возникают в точках п е р е се ч е ­
ния крайних меридианов с экватором и достигают
v р -
v m =
0.14%;
со = 4'.7.
2.3.2.3. ВИДОИЗМЕНЕННАЯ ПРОСТАЯ ПОЛИКОНИЧЕСКАЯ
П РО ЕК Ц И Я
Идея создания меж дународной карты масштаба
1:1 ООО ООО была вы д ви н у та в 1891 г. проф. А.Пенком. В
1909 г. на Международном географическом конгрессе в Лондоне
была в ы б р а н а д л я этой к а р т ы в и д о и з м е н е н н а я п р о с т а я
поликоническая проекция, а т а к ж е определены р а з г р а ф к а и
но менклатуры листов этой карты.
О т но си тел ьно простой пол ик он ич еск ой пр ое кц ии были
установлены следующие видоизменения:
- проекция пр им еняется как многогранная;
- все меридианы в ней из об ра жа ют ся прямыми линиями;
- крайние па ра лл е л и листов - окружности, описываемые
рад иусами p=yVctgcp из центров, л е ж а щ и х на п ря м ол ин е й­
ном с р е д н е м м е р и д и а н е , д л и н ы на э т и х п а р а л л е л я х
сохраняются;
- сохраняются длины меридианов, удален ны х от средних
на ±2°;
- средние па р а лл е л и проводятся по точкам, полученным
пропорциональным делением всех прямолинейных меридианов
с учетом разностей широт данной и южной па раллелей.
Р а з м е р ы сторон трапеции - Дф = 4° и ДХ = 6° . На ши ротах
от 60° до 76° л и с т ы с д в а и в а ю т с я (ДХ = 12°), в ы ш е 76° у ч етв ер яю тс я ( ДА, = 24° ) по долготе.
Поскольку для каждого листа прим еня ет ся свой вариа нт
п р о е к ц и и , и с к а ж е н и я в п р е д е л а х л и с т о в м а л ы , но при
формировании блоков листов (склейке 4-х листов и более)
возникают угловой (и линейный) разрывы.
в' =
Дф°ДХ° cos фср,
где р', р° - радианы.
8 Злк. Iи
225
У читы вая четвертое условие, частные масштабы
площадей и длин вдоль меридианов с учетом (240) равны
т=
11 + —
Х —cos 2 ф
2р°4°
/,
и, следовательно,
1 + — —cosa)
2р°
1 + 0,0001523а.°2 COS2 ф
, с-п/ло2
р - т - ------------------------------— = 1 + 0,0001523(Х
1 + 0,0001523 -4° co s 2 ф
ЛОЧ
2
-4 ° ) c o s ф
Отсюда на среднем меридиане (при Х°=0)
т0 = 1 - 0,0006092 c o s 2 ф,
т.е. средний меридиан изо б ра ж а ет ся с укорочением
Дх0 = 0,0006092As co s 2 ф.
П р и н я в с д о с та то ч н о й точ но сть ю , что д л и н а о т р е з к а
меридиана Дф = 4° равна As * 444 км, получим в масштабе
1:1 000 000
Ах0 = 0,271 c o s 2 ф (мм).
Ф о р м у л ы п р я м о у г о л ь н ы х к о о р д и н а т дан но й п р о е кц и и
принимают вид
(sc - s m - Ax0) + — (rc s in Vc - гю s ^ J
ф -ф«,
У=
%
- ' ■
»
) -
у
( '• с
s in 2 фг -
s in 2 ф „ )
Ф ~Ф,0 .
За пи са в производные
г ю
sin
+ (rc sin ф, - гю sin <р„) Ф -Ф„
. 2
-Ух = Гю - у '■«sin Ф * > +
найти
значения частных масштабов длин вдоль па р а лл е л е й в этой
проекции.
2.3.2.4. ПОЛИКОНИЧЕСКИЕ РАВНОВЕЛИКИЕ ПРОЕКЦИИ
ЭЛЛИПСОИДА
Учит ывая общую ф ор мул у частных мас штабов длин вдоль
па р ал л ел ей и условие равновеликости проекции, получим
qvpcosSbK - р р ф5х = Mr;
(241)
где
dq .
_ Ф .
.
_ Э6
п - частные масштабы длин вдоль па раллелей ; г - N coscp радиу сы кри ви зны паралле ле й; М, N - рад иус ы кри ви зны
меридианного сечения и сечения первого вертикала. Система
(241) с о д е р ж и т два ур а в н е н и я , в кот орые в хо д ят ч е т ы р е
функции. Р а с с м а тр и в а я ра зл ич ны е способы доопреде ле ния
этой системы, можно получи ть мн ожество р а з н о о б р а з н ы х
равновеликих поликонических проекций.
В работе [9] рассмот ре ны, не которые та ки е способы и
по лу чен ы новые в а р и а н т ы р а в н о в е л и к и х п о л и ко ни ч ес ки х
проекций, имеющие определенные достоинства.
В качестве примера зададим следующие доопределяющие
уравнения:
(242)
4 = f |(ф). Р = f 1(ф)В этом с л у ч а е р а с с м а т р и в а е м а я з а д а ч а с в о д и т с я к
определению полярного угла 5. И нт ег рир уя ур авн ен ия (241)
при условии получения проекции, симметричных отно си тел ь­
но среднего меридиана, будем иметь в ы р а ж е н и е, подобное
уравнению Кепле ра:
s
Mr
9ф . -
РРф
Рф
8 = -------- X + — sin 5
или
8 = c + £sin6.
(243)
, Mr
с = - X ----- ;
РРФ
(244)
где
Ь = ?±.
Рф
Теперь, положив в первом приближении
с
1-6’
нетрудно по (243), (244) найти методом ите ра ци и искомые
зн аче ни я полярных углов 5 и, следовательно, совокупность
разнооб разны х проекций в зависимости от заданн ых ф ункций
(242).
В частности положим
(I) -
=
p = 7Vctgcp;
q = s + N ctg cp,
(245)
где s - д л и н а д у г и м е р и д и а н а от э к в а т о р а до д а н н о й
п ар ал л ел и .
Переменные коэффиц ие нты (244) переп ишутся следующим
образом
с = Xsin3 срД1 + е '2 co s 4 ф|;
b = c o s 2 ф^1 + е ' 2 c o s 2 ф |Д 1 + е ' 2 co s 4 ф),
где е' - второй эксцентриситет эллипсоида.
И с п о л ь з у я п о л уч е нн ы е по (246), (243), (245) з н а ч е н и я
п о л я р н ы х углов и з н а ч е н и я Р и д , н е т р у д н о в ы ч и с л и т ь
прямоугольные координаты проекции.
Ф орм улы частных масштабов длин проекции принимают
вид
- вдоль па ра лл е л е й
п = с , /(1 - A co sS ),
- вдоль меридианов
1
т = —s e c б .
п
Угол 6 - отклонение от прямого угла м еж ду и з о б р а ж е н и я ­
ми меридианов и п а ра лле ле й в точках проекции о п р е д ел я е тс я
по общей д ля всех поликонических проекций ф о р м у л е
q Sin 5 + р5
tge = —2------------- *РФ -9<pCOs5
Здесь:
+ bvV
sin 5 t
о _ С’Фф___
Ф____
41
1 - b cos 5
Наибольшие и с ка ж е н и я углов опре дел яю тся по известной
формуле
В данной проекции отсутствуют все виды ис ка же ни й в
точках среднего меридиана. Проекция может быть ис пользо­
вана для создани я ка рт на регионы, особенно зн ачительно
в ы т я н у т ы е по ш и р о т е и м е н ь ш е по д о л го т е . П р о е к ц и я
симметрична относительно среднего меридиана и экватора.
2.3.2.5. ПОЛИКОНИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ ЭЛЛИПСОИДА С
ОРТОГОНАЛЬНОЙ КАРТОГРАФИЧЕСКОЙ СЕТКОЙ
Условие ортогональности картогра фи чес кой сетки можно
пр едставить вы р а же н и ем (48)
/ =
х9 хх + Уч>Ух
=0.
П р о д иф ф е ре нц ир ов а в (235), получим
/ = <7<pPsin 55, + р 25 ф5 х .
Тогда с учетом условия (48) найдем
db
sin 5
р
Интегрирование вы р а ж е н и я (248) дает
lntg — = - f-^-dcp + lnc(X)
2
•> р
(249)
где c(X) - ф ун кц ия интегрирования.
Т е п е р ь, з а д а в ф у н к ц и и q и р , можно из (249) по л у чи т ь
множество разнообразных поликонических проекций с
ортогональной ка рто графической сеткой.
В частном случае, если положить
q = s + р;
р = N ctgtp
и учесть, что <7ф = - N ctg2 ф ,
получим
g
In tg — = In sin ф + In c(X)
и
5
t g - = c(X.)sinq>.
(250)
Функцию интегрирования найдем из условия сохранения длин
на экваторе.
Тогда будем иметь
у = аХ = psinS = а{\ + cos 5) cos фс(Х).
У чит ыва я это вы ра ж е ни е и ф ор му лу (250), получим
с(Х) =
5
X .
t g y = ^-sinv.
(251)
Т е п е р ь на йд ем ч аст ны е м ас ш т аб ы проекции. Ч а с тн ы й
масштаб длин вдоль меридианов из (236) запишем в виде
Я<р cos 6 - р
т = ^ ~ М
-----seC£='’
(Е = 0Ь -
У чи т ыв ая з н а че ни я g, Р и их производные будем иметь
т = 1 + -7 7 ctg2 ф(1 - cos5).
М
Прини ма я во внимание (251) и изве стные ф о р м у л ы
cos б =
1 ” tg2 Y l
4-
sin2 ф .
1 + tg2 Y i
4+
sin2 ф
N
—
= л1 + e', 2 cos 2 ф ,
M
п о л уч ае м
л2
m = 1 + — (l + c o s 2 ф + 2 в'2 с о 84 ф) э
где e' - второй э кс це нтрис ите т эллипсоида.
П р о д и ф ф е р е н ц и р о в а в (251) по X и и с п о л ь з у я из (236)
р
ф о р м у л у п = —5 Х, будем иметь д ля данной проекции
4
п = ------- з— г ~ 4 + X sin ф
Частные масштабы площадей и наибольшие ис ка ж е ни я
у г л о в л е г к о в ы ч и с л и т ь по ф о р м у л а м о б щ е й т е о р и и
кар тограф ически х проекций
.со
т- п
sin — = --------.
т+п
2
От ме т и м, что не с к о л ьк о иной способ п о л у ч е н и я этой
проек ции был р ас см отр ен Н.А.Урмаевым в 1962 г., а д ля
с л у ч а я о т о б р а ж е н и я п о ве рхн ос ти ш а р а с о о т в е т с т в у ю щ а я
п р о е к ц и я была и з л о ж е н а В.В.Витк овс ким (на о с н о ва ни и
геоме трических рассуждений) в 1907г.
В р ассм атр и ваем о й проекции эллип соида (шара)
отсутствуют ис ка же ния всех видов на среднем меридиане.
р = тп\
- на полюсе и на среднем меридиане.
В этой проекции меньше и с ка ж е ни я длин и площадей,
чем в простой поликонической проекции, а кар то гр а ф ич е с ка я
сетка ортогональна.
Р а с с м о т р ен н у ю проекц и ю особенно ц ел есо о б р азн о
и с п о л ь з о в а т ь д л я к а р т о г р а ф и р о в а н и я т е р р и т о р и й сильно
вы тян ут ых по широте и сравнительно мало - по долготе.
2.3.2.6 .ХАРАКТЕРИСТИКА ПОЛИКОНИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЙ
П о л и к о н и ч е с к и е п р о е к ц и и о б л а д а ю т по с р а в н е н и ю с
другими рассм отренны м и выше проекциями наиболее
об об щ аю щ им и сво йс тв а ми . В них, как пр а ви л о , ч а с т н ы е
м асш табы я в л я ю т с я ф у н к ц и я м и и широты, и долготы,
изоколы имеют фор му овалов, величины искажений меньше,
а их распреде лен ие лучше, чем в других проекциях.
Поликонические проекции нашли наибольшее применение
при с оздании карт мира.
Дл я х а р а к т е р и с т и к и достоинств этих проекций, кроме
ра ссм отр ен ны х выше макетов с изоколами, пр иведем еще
значен ия частных масштабов и наибольших искажений углов
ряда из них (см. Табл.10).
Таб л.10.
X
ф
1
0°
30°
60°
90°
120°
150°
180’
2
3
4
5
6
7
8
Проекпия Лагранжа
0
30е
60°
т=п
1.000
1.017
1.072
1.172
1.333
1.589
2.000
Р
1.000
1.035
1.149
1.373
1.777
2.524
4.000
о
О’.ОО
О’.ОО
0°.00
О'.ОО
О'.ОО
О'.ОО
О'.ОО
т=п
1.132
1.152
1.212
1.323
1.501
1.780
2.224
1.469
1.749
2.252
3.169
4.947
Р
1.283
1.327
©
О’.ОО
О'.ОО
О'.ОО
О’.ОО
О'.ОО
О’.ОО
О’.ОО
т=п
1.795
1.823
1.910
2.068
2.316
2.693
3.263
Р
3.222
4.275
0°.00
7.253
0°.00
10.649
О'.ОО
3.649
0°.00
5.364
(0
3.323
0°.00
0°.00
О’.ОО
Продолжение таблицы 10
30°
2
3
90°
120 °
150°
180°
4
5
6
7
8
О
1
о°-
о
40
X
ф
Ортогональная поликоническая
0
30°
о
О
чо
90°
т
1.000
1.137
1.548
2.234
3.193
4.427
5.935
п
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
Р
1.000
1.137
1.548
2.234
3.193
4.427
5.935
СО
0°
7.35
24.84
44.86
63.07
78.32
90.73
т
1.000
1 .1 0 1
1.385
1.802
2.239
2.799
3.289
п
1.000
0.983
0.936
0.866
0.785
0.700
0.618
Р
1.000
1.082
1.296
1.561
1.758
1.959
2.033
со
0°
6.49
22.31
41.08
57.48
73.72
86.26
т
1.000
1.033
1.114
1 .2 1 1
1.301
1.375
1.433
п
1.000
0.951
0.829
0.684
0.549
0.438
0.351
Р
1.000
0.982
0.924
0.828
0.714
0.602
0.503
со
0“
4.74
16.87
32.29
47.97
62.24
74.67
т
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
п
1.000
0.936
0.785
0.618
0.477
0.369
0.288
Р
1.000
0.936
0.785
0.618
0.477
0.369
0.288
со
0°
3.79
13.84
27.31
41.48
54.89
67.12
Равновеликая поликоническая
30°
т
1.000
1.138
1.552
2.242
3.208
4.450
5.968
п
1.000
0.879
0.644
0.446
0.312
0.225
0.168
1.000
1.000
Р
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
со
0°0
14.77
48.82
83.85
110.75 129.34 141.95
т
1.000
1.105
1.364
1.688
2.026
2.358
2.677
п
1.000
0.912
0.752
0.619
0.522
0.454
0.403
Р
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
со
0°
13°.09 3 6 4 8
ОО
ОО
о
к)
0
98°.20
58°.07 75°.27
Продолжение таблицы 10
0
О
40
90°
30°
2
3
4
90°
120 °
150°
180°
5
6
7
8
т
1.000
1.034
1.124
1.254
1.406
1.568
1.737
п
1.000
0.968
0.894
0.812
0.742
0.688
0.649
Р
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
со
О’.ОО
4U 8
14°.30
NJ
о
О
О
О
1
0°
О
40
X
ф
т
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
п
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
Р
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
СО
о°.о
о°.о
О’.О
0”.0
о°.о
о°.о
о°.о
39°.91 51°.58 61°.80
Простая поликоническая
0”
30°
О
О
40
90°
т
1.000
1.137
1.548
2.234
п
1.000
1.000
1.000
1.000
Р
1.000
1.138
1.552
2.242
со
0°00
7°24'
24° 54' 44°54'
т
1.000
1.10 2
1.404
1.894
п
1.000
1.000
1.000
1.000
Р
1.000
1.103
1.404
1.883
со
0”00
5°36'
19°36' 3 6 4 2 '
т
1.000
1.034
1.129
1.270
п
1.000
1.000
1.000
1.000
Р
1.000
1.034
1.128
1.264
со
0°00
Г54'
7° 12'
14°06'
т
1.000
1.000
1.000
1.000
п
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0°00
Р
1.000
1.000
1.000
со
0°00
0°00
0°00
А н а л и з и с к а ж е н и й п о к а з ы в а е т , что п о л и к о н и ч е с к и е
п р о е к ц и и м о гу т б ы ть у с п е ш н о п р и м е н е н ы д л я с о з д а н и я к а р т
к р у п н ы х реги онов, особенно в ы т я н у т ы х вдоль средн его
м е р и д и а н а и с р а в н и т е л ь н о м а л о по д олготе.
РАЗДЕЛ 3. КАРТОГРАФИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ
КАРТ КОНКРЕТНОГО НАЗНАЧЕНИЯ
В данном р а зд е л е и злож ен а тео р и я проекций карт,
к о т о р ы е в осн о в н о м п р е д н а з н а ч е н ы д л я р е ш е н и я той и л и иной
со во ку п н о сти ко н к р етн ы х зад ач . Н екоторы е из таки х
п р о е к ц и й , в с о о т в е т с т в и и с их г е о м е т р и ч е с к и м и с в о й с т в а м и ,
р а с с м о т р е н ы в ы ш е . П р и в е д е н ы т а к ж е способы о п р е д е л е н и я
п р о м е ж у т о ч н ы х т о ч е к л и н и й п о л о ж е н и я , т а к к а к при со з д а н и и
и и спользовании рассм атри ваем ы х кар т возникает необходи­
мость н ан есени я этих линий и п остроен и я соответствую щ их
с ето к.
3 .1. П Р О Е К Ц И И Т О П О Г Р А Ф И Ч Е С К И Х К А Р Т
В р азли чн ы х странах для создания топографических карт
п р и м ен ял и сь и частично и сп ользую тся в настоящ ее время:
т р ап ец и ев и д н ая п севд о ц и л и н д р и ческая проекция; р ав н о вел и ­
кая п севд о ко н и ч еская п роекц и я Бонна; равн оугольн ая
ази м у та л ь н ая проекция; р авн оп ром еж уточн ая вдоль
м е р и д и а н о в (в е р т и к а л о в ) а з и м у т а л ь н а я п р о е к ц и я ; р а в н о у г о л ь ­
ная коническая проекция; простая и видоизм ененная простая
п оликонические проекции; п оперечно-ци лин дрически е
п р о е к ц и и ; п р о е к ц и и Л а б о р д а , Г а у с с а - К р ю г е р а и UTM .
3 .1 .1 . ПСЕВДОЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ТРАПЕЦИЕВИДНАЯ
ПРОЕКЦИЯ
В этих проекциях расстоян и я м еж ду п араллелям и
п ропорц и он альн ы длинам дуг м ериди ан ов, которы е
и зо б р а ж аю тс я пучком прямы х.
У р а в н е н и я п рям оугол ьн ы х коорд и н ат п роекции имею т вид
х - ks\
у = а (а - ks)X.
Запи сав производны е
= кМ\ х х = 0; y v = - а к М ; у х = а (о - ks)
и используя ф орм улы характери сти к
к а р то гр аф и ч еск и х проекций, получаем
tg с = aA.;
,
т - к sec е;
из общ ей тео р и и
о.(а - ks)
п ----------------,
(252)
где
s - д л и н ы д у г м е р и д и а н о в от э к в а т о р а до д а н н о й
п а р а л л е л и , опр е д ел яе мы е по ф о р м у л е (156);
к , а , а - по с тоя нны е п а р а м е т р ы проекции, вы ч и с л я е м ы е
из у с л о в и я , чтобы с о х р а н я л и с ь д л и н ы вдоль
п а р а л л е л е й с широтами cpj и ср2 и вдоль меридианов
с долготами ±А.0 от среднего.
Тогда с учетом (252) будем иметь
к = 1-
4 ( П - г2)2
>2
» 1 - -^ -sin 2 ф J фт = - ( ф , + Ф2) ;
(*2 -* 1 )2
1 гх - г 2
1
а = —~i-----* — ЯПф,
к s2 - s {
a = ks, + — = ks2 + — .
а
а
П р о е к ц и я п р и м е н я л а с ь ка к м но гог ран на я и с т р о и л а с ь
г р а ф и ч е с к и по в ы п р я м л е н н ы м д у г а м м е р и д и а н о в и
п а р а л л е л е й л и с т а к а р т ы м а с ш т а б а 1:200 ООО и к р у п н е е ,
на зы в ал а с ь проекцией Мюфлинга и прим еня ла сь в России
с 1848 до 1928 г.
В пред ела х каждого листа кар ты ис ка же ни я составляли
у}
0 • 2
м а л ы е в е л и ч и н ы (не более " 2~sin Фт )> но ПР И с л о ж е н и и
листов карты в блок возникал угловой ( г ' ) и линейный разрыв.
е' = ~ 2"(ф 2 - ф|)°(>-2 - Х,)°С05фср.
3.1.2. ПОПЕРЕЧНО-ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ
Пусть РО - на чальный осевой меридиан. Отложим вдоль
экватора дугу OQ= 90° и соединим полюса Р и Q дугой большого
к р у г а . Т о г д а п о л о ж е н и е лю б ой т о ч к и А о п р е д е л я е т с я
гео гр аф ич еск им и ко орд ина там и ф, X норм альной системы
к о о р д и н а т и л и с о о т в е т с т в у ю щ и м и им с ф е р и ч е с к и м и
п о л я р н ы м и к о о р д и н а т а м и Y, X по п е р е ч н о й с и с т е м ы (см.
рис. 56).
Из с ф ер ич еск их треугольников PQA и AQA2 найдем
P
co s Y cos X = cos ф cos X\
co s К sin A' = sin ф.
Отсюда
tg X = tg ф sec X;
sin Y = cos ф sin X.
При
этом
Y=90°-z\
Х=90°-а,
где Z, о - пол ярные с фе р и ч е с к и е координаты (см.
р а з д е л 1 ).
П о л а г а я , что д л и н ы
А
>
О
Рис.56
в до ль осевого м ери ди ан а
сохраняются, уравнения
всех п о п е р е ч н ы х ц и л и н ­
д ри ч е с к и х проекц ий шара можно
x=RX;
X
А0
2
Q
Связь координат при получении
поперечно-цилиндрической
проекции
пре д ст а ви ть в виде
у = f ( Y) .
3.1.2.1. П РОЕКЦИЯ КАССИНИ-ЗОЛЬДНЕРА
Аналогом проекции я в л я е т с я к в а д р а т н а я р а в н о п р о м е ж у ­
т о ч н а я вдоль меридианов ц ил ин д ри че с ка я про екция
х = R<p;
у = RX.
У ч и т ы в а я , что в п о п е р е ч н ы х п р о е к ц и я х х и у м е н я ю т с я
м естами и что зн аче ния м ф соответствуют У, а X - величина
X , будем иметь
x=RX\
у - RY.
У ч и т ы в а я в ы р а ж е н и я (253), получим
х = Л а г ^ ^ ф Б е с ^ );
у = /? a r c s in (c c ^ s in X).
Ф о р м у л ы частных масштабов длин принимают вид
и , = 1;
Y2
и* = sec Y = 1 + — +... = 1 +
2
3.1.2.2. ПРОЕКЦИЯ ГАУССА-ЛАМБЕРТА
Это поп ер еч но -ц ил ин д ри че с ка я проекция ша ра, аналогом
которой я в л я е т с я проекция Меркатора.
Ф орм улы проекции принимают вид
x=RX;
у = /?lntg^45°+y|.
Так как
2( лео Y 1 1 + sin У
tg 2 45°+- 1 2)
1 —sin У
то ф о р м у л у ординат можно пр едставить в виде
R , 1 + sin Y
>=7
T ^sinT
Учит ыва я вы р а ж е н и я (253), получаем
х = /?arctg(tgcpsec>-);
R , 1 + coscpsin X
у = — In ------------------ 1-.
2
l-coscpsink
Частные масштабы длин можно определить по ф орм ул е
V i
у2
У4
1
1 + л2
г- 4 - -------- — +... у
— — — ------- — .
2R
24 R4
R2
N2
Форм улы проекции имеют замк нут ый вид и могут быть
использованы для получения проекции в полосе X = ±90° за
исключением точки с Фо = 0 и X = 90° и ее окрестности.
|! — SCC У ~ 1 +
3.1.3. ПРОЕКЦИЯ ГАУССА-КРЮГЕРА
К.Ф.Гаусс в 1820-1830 гг. р а зр а б о т ал “д во йн ую ” р а в н о ­
у г о л ь н у ю п р о е к ц и ю , с о х р а н я ю щ у ю д л и н ы на с р е д н е м
м е р и д и а н е , и п р и м е н и л ее на п р а к т и к е при в ы ч и с л е н и и
га нн ов е рс ко й т р и а н г у л я ц и и . Т е о р и я этой п р о е кц ии была
в п е р в ы е о п у б л и к о в а н а Ш р е й б е р о м в 1866 г. П о д р о б н ы е
исследования данной проекции были выполнены JI.Крюгером
в 1912 и 1919 г.г., который пр ед лож ил способ не пос редствен­
ного о т о б р а ж е н и я э л л и п с о и д а на п л о с к о с т ь в з а м е н
опре деления указанной “двойной” проекции. С тех пор эта
проекция стала н а зы в ат ьс я проекцией Гаусса-Крюгера.
Проекция Гаусса-Крюгера опре деляется трем я условиями:
она с и м м е т р и ч н а о т н о с и т е л ь н о с р е д н е г о м е р и д и а н а и
э к в а т о р а , р а в н о у г о л ь н а , с о х р а н я е т д л и н ы на с р е д н е м
меридиане.
Известно несколько способов опре деления уравнений этой
проекции. Приве дем способ, который пр е д л о ж и л в 1941 г.
Н.А.Урмаев. За пиш ем ур авн ен ия проекции в общем виде
* = f\ (фД);
у - Ы фД).
(254)
Полага я, что X - м а л а я ве ли чи на ( X < 3°) и у ч и т ы в а я
первое условие определения данной проекции, р а зл о ж и м (254)
в ряд Тейлора по степеням X .
х = A q + А2Х + А^Х
;
у = А}Х + А3Х3 + А5Х5+
где Л. - переменные коэффи цие нты , яв л яю щ ие с я ф у н к ц и я м и
только широты.
Производные от вы ра же ни й абсцисс и ординат по ф и X
принимают вид
хф = ^Оф + Л 2фХ2 + у44фХ4+...;
= 2 Л2А, + 4у44ф^3+...;
У<р = А{ц>Х + А3ч>Х3 + Л5ф>.5+...;
= Л] + ЗЛ3Х2 + 5А5Х4+... .
Соглас но второго у с л о в и я можно з а п и с а т ь у р а в н е н и я
Кош и- Ри м ан а
г
г
Ух = — х<»
М
М
Отсюда с учетом значения производных получим
= - — Уф;
+ А ^ Х 2 + ^ 5ф^5+-А\ + 3А3Х2 + 5А5Х4+...- ^ ^у40ф + А2{?Х2 + Л4фХ.4 +...
Ср ав ни ва я коэф фи ци ен ты при одинаковых степе нях X с
обеих сторон этих уравнений, получим
А
Г dA° •
1
Л/
1
3
Лр
1
/ 1т - ——
г d/4 2 .
Л/ <Ар
г
dA 1 .
3.
4
Л/ dcp ’
(256)
A
5 hd dip ’
В общем виде буде м иметь
5
Ak+i
1} к + \ М
dip ■
Таким образом, к а ж д ы й ко э ф ф и ц и е н т Ах можно по лучить
путем последовател ьного д и ф ф ер ен ци ро ван ия, если известно
аналитическое в ы р а ж е н и е для коэффи ци ента AQ.
Но согласно т р е т ь е г о условия
А0 = s =
где
s
- д л и н а д у г и м е р и д и а н а от э к в а т о р а до д а н н о й
п а р а л л е л и , опр е д ел яе ма я по фо рм ул е (156);
А0- называется характеристикой равноугольной проекции.
Значения переменных коэффициентов (256) принимают вид
ds _ г
4 = - г г - — = -тт М = г \
М dq> М
А2
1
г
2
М
dAx
1
1
• — = -Nsin(pcos(p = - г • s\nq> ,
ay
2
2
.
N cos3 y ( N 2 ^
TVco s 3 ф л
2.2\
Аз = — 6 — Ы ~ tg v = ~ ^ ( 1 + 11 - tg ф) ;
yVsin0 Cos 3 0 /
А4 = --------24------ (5 + 9л
.
+ 4л
л
0 ч
“ tg ф) ’
где
dr
.
— = г = -А/вЩф;
dy
*
N
1
;2
2
1
2
— = 1 + e'L cos^ ф = 1 + Т] ;
м
rj2 = е'1 co s 2 ф ;
е ' 2 - к в ад р а т второго эксцентриситета эллипсоида, равный
0,006738525 д л я эллипсоида Красовского.
Подставив значе ни я коэффициентов (257) и им аналогичные
в в ы р а ж е н и е (255), п о л у ч а е м ф о р м у л ы п р я м о у г о л ь н ы х
к оо р д и н а т проекции
В этих ф о рм ул а х разность долгот X текущего и осевого
м ер и д и а н ов вы ра же на в радианах. При разности долгот до
3°30' обеспечивается точность вычислений до 0,001 м. Для
с о с та в л е н и я карт масштабов 1:100 000 и мельче в ф о р м у л а х
(258) можно сохранить только первые два члена.
Ра сс мо т ре нн а я проекция не я в л я е т с я строго равно уго ль­
ной - в ней в ы п о л н я е т с я тольк о одно из ус ло вий Ко ши Ри м а на , но при сохранении достаточного количества членов
в (258) она практически равноугольна. При этом с увеличением
ш и р и н ы зоны или укрупнением главного масшт аба с о з д а в а е ­
мой к а р ты в этих фор мул ах , как и в других ф о р м у л а х п ро ек ­
ции Гаусса-Крюгера, количество членов необходимо у в е л и ч и ­
вать.
Для вы чи сл ен ия частных масштабов длин и с б ли ж ени я
м ери ди ан ов проекции используем ф ор м ул ы общей теории
П о д с т а в и в в эт и в ы р а ж е н и я п р о и з в о д н ы е от (258),
п ол уч им
(259)
В проекции Гаусса -Крю гер а отобр аже ние эллипсоида на
плоскости ос ущ е ст вл яе тс я в мерид иа нны х зонах: ш е с т и г р а ­
д у с н ы х - д л я с о з д а н и я к а р т м а с ш т а б о в 1 :1 0 0 0 0 1:1 000 0 0 0 , в тр ех гр ад ус ны х - дл я ка рт масштабов 1:2 000 -
Для топографических карт ряда стран в настоящее время
п р и м е н я е т с я в ш е с т и г р а д у с н ы х з о н а х п р о е к ц и я UTM универсальная поперечно-цилиндрическая проекция
Меркатора, на зы в ае м ая т а к ж е проекцией Гаусса-Боага.
Д а н н а я п р о е к ц и я о т л и ч а е т с я от п р о е к ц и и Г а у с с а - К р ю г е р а
тем , что в ней на с р е д н е м м е р и д и а н е ч а с т н ы й м а с ш т а б д л и н
т 0 р а в е н не е д и н и ц е , а 0,9996.
Для установления связи формул этих проекций необходи­
мо учесть следующее. В нашей стране для реше ния задач
математической карт огр аф ии и геодезии при меняется л е вая
плоская прямоугольная система координат, в которой ось л:
направлена на север, ось у - на восток. В США и в некоторых
других странах прим еняется правая плоская система
координат, в которой ось х идет на восток, ось у - на север.
С учетом этого ф ор му л ы связи этих проекций имеют вид:
- при определении проекции UTM в левой системе координат
X U T M = кХг.к. I Уитм ~ ^У г.к. » m UT M = ^ тг.к.! УU T M = Уг.к.
- при определении проекции UTM в правой прямоугольной
системе координат
X UTM
=кУгк.\ Уитм = к х г к.\
m UTM
= ^ тг.к.\ УUT M = Уг.к.
где к = 0.9996.
Нул евы е изоколы в проекции UTM проходят примерно
па ра лле льн о среднему м еридиану при уда лен ии от него в
обе стороны около 200 км.
3.1.5. ПРОЕКЦИЯ ГАУССА-КРЮГЕРА ДЛЯ ШИРОКОЙ
ПОЛОСЫ
Для ее получения можно использовать несколько способов.
П р и в е д е м способ о п р е д е л е н и я этой п р ое кц ии , п р и н я т ы й
Л .К рю гером и подробно р а с см о т р е н н ы й в р аб о тах
В.В.Каврайского, М.Д.Соловьева, В.П.Морозова.
В данном способе проекцию получают методом тройного
отображения: равноугольно отображают поверхность
эллипсоида на поверхность ша ра по Мольвейде; получают
равноугольную проекцию Гаусса-Ламберта шара на плоскости;
осущ ествляю т конформное преобразование полученной
проекции при условии сохранения длин на среднем меридиане.
При изображении эллипсоида на поверхность шара связь
геодезических координат точек эллипсоида и географических
координат ср', X' шара опре дел яе тся в ы ра ж е ни ям и
X' = Х\
я' = q = Inf/
или
tg^45°+ ^ / 2 ] = 1б ( 45° + / ^ ) [ ( 1 “ в sin ф)/(1 + е в т ф ) ] ^ .
Р а с к л а д ы в а я члены последнего у ра вн е н и я в р я д Тейлора,
п олучаем
Ф'
= ф - а2 sin 2ф + аА sin 4ф - аь sin 6 ф+...,
где
Применительно к эллипсоиду Красовского имеем
а = 0,0033560728;
а = 0,0000046932;
а = 0,0000000082.
Полученные значения ф', X' используются д л я вы чи с л е ­
ния пр ям оугольных координат проекции Га у с с а -Л а м б е р та ,
которые обозначим х = / й , , у = Rr\, где
£ = arctg(tg<p'sec А.')
1 . 1 + cos <р'sin А/1 . 1 + t
- In---------- 1 --------- = —In------2
1 - c o s ф ' sin X' 2 \ - t ‘
Для осуществления третьего преобразования, т.е. перехода
от координат проекции Г аус са-Ламб ерта к проекции ГауссаКрюгера используют ан алитическую функцию
x + iy = F (\ + /г|).
Для точек среднего меридиана эта ф у н кц и я принимает вид
*0 = Щ о ) = 'Р(ф')По условию в проекции Гаусса-Крюгера длины сохра ня ют­
ся на с ре дн ем мер и д и ан е, т.е. х 0 = s , где s - д л ин а дуги
меридиана от экватора до данной параллели.
И с п о л ь зу я и звестн ы е ф о р м у л ы связи длины дуги
меридиана s и геодезической широты ф эллипсоида (156) и
связи широт ф и ф', после преобразований получим
x 0 = s = Л(ф' + a 2 5т 2 ф' + a 4 5т 4 ф'+...),
Применительно к эллипсоиду Красовского
R = 6 367 558,496 9; а 2 = 0,000 837 611 8 ; а 4 = 0,000 000 760 6 ;
а 6 = 0,000 000 0 0 12 .
Д л я а н а л и т и ч е с к о й ф у н к ц и и в общем с л у ч а е с л е д у е т
з а п и с а т ь : в м е с т о х 0 з н а ч е н и я х + iy и в м е с т о £,о= Ф'
зн а че н и я £, + /г|, тогда ф о р м у л ы прямоугольных координат
искомой строго р ав н о у г о л ьн о й п р ое кц ии Г а у с с а - К р ю г е р а
можно пр едставить в виде
х = /?(£ + а 2 sin 2£, ch 2г\ + а 4 sin 4Е, ch 4г| + а 6 sin 6 Е, ch 6 г|+...);
(260)
у = /?(л + а 2 cos 2^ sh 2rj + а 4 cos 4£, sh 4r\ + а 6 cos 6 ^ sh 6 ti+. ..),
где
sh4rj = 2sh 2r|ch 2ri;
ch4r| = sh 2r |2 + c h 2 r |2;
sh 6 r| = sh 4rj ch 2r\ + ch 4r\ sh 2ri;
ch 6 r| = ch 4r| ch 2r| + sh 4rj sh 2r|.
Частные масштабы длин данной проекции равны
т - тхт2тъ,
где m r т 2, т ъ - частные масш таб ы длин у к а з а н н ы х выше
трех равноугольн ых отображений.
В общем виде
Прим ен яя обозначения В.П.Морозова, получим
Н coscp* г-------------------------72--- ~
x s>
т = -------- — J l + e ' z cos' ф J —------ ,
cos ф
V Z
где Н = 0,994 977 825; е ' 2 = 0,006738525 4 (для эллипсоида
Красовского).
Ч а с т н ы е пр оиз во дны е с достаточной точностью можно
определить из вы ра жен ий
х ^ = 1 + 2 а 2 cos 2Е, ch 2г| + 4 а 4 cos4Е, ch 4г| + 6 а 6 cos б£, ch 6 r|+...;
= - 2 а 2 sin 2Е,sh 2r\ - 4 а 4 sin 4^ sh 4r| - 6 а 6 sin 6 ^ sh 6ц~...
Сближение меридианов у в рассматриваемой проекции будет
7 = 7 i +72»
где
у, = a r c t g ( s n ^ ' t g r ) ;
У2 = ~ y j ^ ,
У\ - у ка за н н ые выше частные производные.
До с т о и н ст во м данного способа о п р е д е л е н и я п р о е к ц и и
Г а у с с а - К р ю г е р а я в л я е т с я то, что п о л у ч е н н ы е ф о р м у л ы ,
сохраняя сравнительную простоту, позволяют получить
данную проекцию практически при любой разности долгот
(за исключением особой точки с ф = 0 , X = 90° и ее о к ре с т­
ности).
3.1.6. ПЕРЕВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОСКИХ КООРДИНАТ
ГАУССА-КРЮГЕРА ИЗ ЗОНЫ В ЗОНУ, А ТАКЖЕ В
КООРДИНАТЫ ДРУГИХ ПРОЕКЦИЙ
Пре об разование прямоугольных координат большинства
из п р им еня ем ых проекций рассмотрено ниже в р а з д е л е 4.
Однако, у ч и ты в а я с п ец ифи ку и связь ра зл и ч н ы х аспектов
использования проекции Гаусса, рассмотрим методику
ука за н н ых преобразований этой проекции в данном пункте.
Как отмечалось, проекция Гаусса-Крюгера примен яе тся
для создания карт в 3° зоне, в 6 ° зоне, в широкой полосе (до
±90° ) и п р и с о с т а в л е н и и п л а н о в в т р а п е ц и е в и д н о й и
прямоугольной ра зг рафках.
В о з н и к а е т необходимость п е ре хо да от одной к другой
системе координат, ра зл ича ющ их ся значениями своих осевых
меридианов и видом разграфок.
Для реше ни я этой задачи можно использовать два способа
преобразования координат. Первый состоит в том, что вначале
заданные плоские прямоугольные координаты п е р евы чи сл яю т с я в г е о д е з и ч е с к и е к о о р д и н а т ы ф, X , а з а т е м с
использованием этих значений опре деляют прямоугольные
координаты х, у из о б р а же ни я в новой зоне (илц в другой
проекции).
Второй способ состоит в непосредственном преобразовании
плоских ко о р д и н ат исходного и з о б р а ж е н и я в плоские
к о о р д и н а т ы п о л у ч а е м о г о и з о б р а ж е н и я . О д н а к о д л я его
применения в целях перехода к координатам в другой зоне
(в другой прое кции) с необходимой точностью во многих
с л у ч а ях тр е б у е т с я на личие за р а н е е составле нны х таблиц,
предназначенных только дл я данного конкретного п р ео бр азо ­
вания. На пример в работе [28, стр.288, 289] даны таблицы
для выполнения преобразования карт, составленных только
в 6 ° зонах рассматриваемой проекции. Использование для этих
целей аппроксимирующих зависимостей может не обеспечить
необходимую точность.
Учит ывая, что первый способ не имеет ограничений и,
что в данном слу чае рассма три ваю тся ра зл ич ны е вариан ты
и с п о л ь з о в а н и я п р о е кц ии Г а у с с а - К р ю г е р а , в о с п о л ь з у е м с я
первым способом преобразований, который будем осу ще ств ­
лять методом итерации.
Итак, имеем формулы прямоугольных координат проекции
Гаусса-Крюгера для широкой зоны (260)
х =
+ а 2 sin 2Е, ch 2r| + а 4 sin 4£ ch 4rj + а 6 sin б£, ch 6r|+..
y = Я(л + а 2 cos 2£ sh 2r| + а 4 cos 4£ sh 4r| + а 6 cos 6Е, sh 6r|+...),
где
/
,
л
£ = arctgitgy'secX')\
1 1 1 + c o s ф ' sin X’
л = —In2
1 - c o s ф ' sin X' ’
a зна че ни я гиперболических функций легко определить по
фо рму ла м п.3.1.5.
Последовательность определения геодезических координат
по заданным значениям прямоугольных плоских координат
может быть следующей.
Перепишем ф ор му лы (260) в виде
х
— - а 2 sin 2^ch 2т| - а 4 sin 4£ch 4т| - а 6 sin 6^ch 6т|А
г) = — - a 2 co s2 £ sh 2т| - а 4 cos4^ sh 4т| - а 6 c o s 6^sh 6г|—....
R
В первом при ближении полагаем, что члены при а 2 , а 4
и а 6 р а в н ы нулю и по п р и в е д е н н ы м ф о р м у л а м находим
зн ачения
г|(|). Используя эти значения, вычисляем члены
при к о э ф ф и ц и е н т а х а 2 , а 4 и а 6 и по тем же ф о р м у л а м
находим £(2), л <2> во втором приближении. Этот процесс в ы ­
числений повторяем до тех пор пока з на чен ия
^
и ц (п) < £2 » полученные в двух смежны х ите ра ция х,
будут р а з л и ч а т ь с я на допустимые величины £j и е 2 .
Полагая, что £ =
, ц=
в последнем приближении,
в ы ч и с л я е м з н а ч е н и я к о о р д и н а т ф', X' р а в н о у г о л ь н о г о
отобр аж ен ия эллипсоида на ша ре по фо р му л а м
t = | е 2ц - l ) / ( e 2n + l) = th г |;
tg9' = tg^(l-r2)^/(l + /2tg2^
;
sin / = //coscp';
X1 = X0 + / ;
X0 - долгота осевого меридиана.
Геодезические координаты точек поверхности эллипсоида
тепе рь легко найти из вы р а же н и й
Ф = ф ' + b2 sin 2ср' + Ьл sin 4ф' + b6 sin 6ф ',
где
1
J
II
е1
5 4 е6
+. . .
— + — е + --2
24
12
( 7е 4
29 6
----- + ------ е +...
[ 48
240
J
*‘ = ( ш в‘ +4
Для эллипсоида Красовского
Л2= 0,0033560695; Ь = 0,0000065698; Ь = 0,0000000175.
И с п о л ь з у я п о л у ч е н н ы е г е о д е з и ч е с к и е к о о р д и н а т ы ф,
X точек, нетрудно по ф о рму ла м математической ка р то гр а ф и и
определить абсциссы и ординаты точек в любой зоне проекции
Г а у с с а - К р ю г е р а , н а п р и м е р , по ф о р м у л а м (260), а т а к ж е
вычислить прям оугольны е координаты и характери сти ки
лю бой д р у г о й з а д а н н о й к а р т о г р а ф и ч е с к о й п р о ек ц и и .
В случае, если исходны е прям оугольны е координаты
и з м е р я ю т с я по к а р т е , с о с т а в л е н н о й в п р о е к ц и и U T M , то
предварительно перед вычислением геодезических координат
п е р е х о д я т от п р о е к ц и и U T M к п р о е к ц и и Г а у с с а - К р ю г е р а по
ф о р м у л а м , у к а з а н н ы м в ы ш е в 3.1.4.
При необходимости у ч и ты в аю тся р а з л и ч и я геод ези ческих
с и сте м к о о р д и н а т , к о т о р ы е и с п о л ь з у ю т с я при с о з д а н и и к а р т
в п р о е к ц и я х U T M и Г а у с с а - К р ю г е р а [28].
П ри м ер. В ы п о л н и т ь п р е о б р а з о в а н и е п р я м о у г о л ь н ы х к о о р д и н а т
проекции
Г ау сса-К р ю гер а
из
4-ой
в
5-ую зоны.
Д ан о: д л я т о ч к и ф = 50° ; Х = 23°,8 в ы ч и с л е н ы в 4 -о й з о н е
( Х 0 = 21° ) по ф о р м у л а м (260) п р я м о у г о л ь н ы е к о о р д и н а ­
ты
х = 5544703,5 м;
у = 200737,64 м.
О п р е д е л и т ь : п р я м о у г о л ь н ы е к о о р д и н а т ы этой т о ч к и в 5-ой
зо н е ( А,о = 27°).
- По р а с с м о т р е н н о м у а л г о р и т м у с и с п о л ь з о в а н и е м аб с ц и с с ы
и о р д и н а т ы этой т о ч к и в 4 зо н е в ы ч и с л е н о
Ф
= 50° ,00000425; АХ = I = 2° ,800000011;
Х = Х 0 + / = 23,800000011.
- По э ти м з н а ч е н и я м д л я п я т о й зо н ы п о л у ч е н о
= 50° ,00000425; АХ = / = X - 27°= -3° ,199999989.
- По ф о р м у л а м (260) в ы ч и с л е н о в 5-ой зон е
х = 5545854,5 м;
у = -229409,563 м.
Точные значения равны
х = 5545854,5 м;
у = -229409,594 м.
Ф
3.1.7. О ПРЕОБРАЗОВАНИИ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ
КООРДИНАТ ПЛАНОВ 1:2 ООО И КРУПНЕЕ,
ИМЕЮЩИХ РАЗГРАФКУ ПО ПРЯМОУГОЛЬНОЙ
КООРДИНАТНОЙ СЕТКЕ, В ПРОЕКЦИЮ ГАУССАКРЮГЕРА
П р и р е ш е н и и этой з а д а ч и могут бы ть д ва с л у ч а я . В п ер в ом
- им ею тся в н аличии стар ы е планы (карты ) м асш табов
1 : 2 000 и л и 1:5 0 0 0 , р а м к а м и к о т о р ы х с л у ж а т л и н и и
м е р и д и а н о в и п а р а л л е л е й и н овы е п л а н ы л ю б ы х м а с ш т а б о в
от 1:500 до 1:5 000 в п р я м о у г о л ь н о й р а з г р а ф к е , на к о т о р ы х
дано изо браж ение контурных точек, опознающихся на старых
п л а н а х . Во в т о р о м с л у ч а е и м е ю т с я т о л ь к о п л а н ы в
прямоугольной разграфке.
В п е р в о м с л у ч а е на и м е ю щ и х с я п л а н а х и з м е р я е м
п р я м о у г о л ь н ы е к о о р д и н а т ы н е с к о л ь к и х (не м ен е е д ву х )
конту рных точек.
Преобра зование координат точек и координатной сетки в
систему координат проекции Г ау сса-К р ю гер а можно
выполнить, исходя из следующего.
Поскольку планы масштабов 1:2 ООО и крупнее занимают
очень малую площадь, то, вне зависимости от того, в какой
картог ра фи чес кой проекции они были составлены, (и нстру­
ментально и с необходимой точностью) и с к а ж е н и я длин в
пре дел ах плана будут очень малы и они будут очень мало
и зм ен ят ься при переходе из одной точки в другую. Поэтому
д л я об ра бот ки т а к и х пл ан ов можно и с п о л ь з о в а т ь любые
кар то гр аф ич ес ки е проекции, в том числе проекцию ГауссаКрюгера.
По геодезическим координатам опорных точек, о которых
было с к а за н о выше, вы ч и с л я ю т в с о о тв ет с тв у ю щ е й зоне,
п р я м о у г о л ь н ы е ко о р д и н а ты пр ое кц ии Г а у с с а - К р ю г е р а по
ф орм ул ам математической картограф ии, например, ф о р м у ­
лам (260).
В любой приборной системе выполняют изм ере ния п ря м о­
у гол ьны х ко орд и н ат х , у всех опорных и о п р е д е л я е м ы х
точек, в том числе точек рамок рассматриваемого плана.
Эти координаты будут отлича тьс я от координат ГауссаКрюгера (на этот участок местности) только смещением и
поворотом, так как в пр ед ела х плана ис каж ен ия длин будут
пренебрегаемо малы.
Это позволяет выполнить преобразование координат х и,
у и плана в прямоугольной р а з г р а ф к е в систему координат
проекции Г ауса- Крюгера х г к , у гк по известным фо рм ул а м
п р е о б р а з о в а н и я к о о р д и н а т на п л о с к о с т ь (при н а л и ч и и
координат не менее двух одноименных опорных точек).
х г.к. = ао + х и cos<* + Уи sin а;
Уг. к. = ьо - х „ sin a + Уи cosa ’
/
У? - УI
- arctg У2 - У \
где а = arctgl
\ х2
1 исх.пл.
х 1' г к
а0, Ь{) - велич ины смещения абсцисс и ординат началь ны х
\
~
х \
точек одной системы координат относительно другой.
При наличии трех опорных точек, не расположенных на
одной прямой, или большего их количества можно выполнить
аффинное преобразование
х г.к. = <*0 +<*i х и + а 2у и\
Ут.к. = ьо + Ь \ х и + ь2Уи,
- п о с т о я н н ы е к о э ф ф и ц и е н т ы , п о л у ч а е м ы е из
решения данной системы уравнений.
Преобразование планов масштабов 1:2 ООО, 1:1 ООО и 1:500,
имеющих ра з г р а ф к у по прямоугольной координатной сетке,
в систему координат проекции Гаусса можно выполнить и
графически с точностью, которая во многих слу чая х будет
достаточной.
Для этого на плане, имеющего прямоугольную ра згр афк у,
и планах 1:5 ООО или 1:2 ООО с трапециевидной разг ра фко й
необходимо иметь не менее двух одноименных опорных точек.
В ц е л я х в ы п о л н е н и я п р е о б р а з о в а н и я д о с т а т о ч н о на
пластик нанести прямоугольные координаты этих точек и
картограф ическую сетку в проекции Гаусса-К рю гера в
м а с ш т а б е п р е о б р а з у е м о г о пл а н а , с о в м е с т и т ь п л а с т и к с
планом в п р я м о у г о л ь н о й р а з г р а ф к е по общим то ч ка м и
переколоть на этот план с пластика узлы координатной сетки.
Во втором случае, когда в наличии имеются только планы
в прямоугольной ра зграфке, для их преобразования в систему
координат проекции Гаусса-Крюгера (или в другую проекцию)
необходимо предварительно одним из известных методов ( в
поле) определить геодезические координаты не менее двух
опорных точек, им ею щи еся на р а с см а тр и в ае м ом плане, а
затем вычислить, например, по формулам (260) прямоуголь­
ные координаты проекции Гаусса-Крюгера этих точек.
Пример. Выполнить преобразование прямоугольных координат
из м ер ен ны х на плане, имеющему р а з г р а ф к у по
пр ям о у го ль н о й к оо рд ин а тн ой сетк е, в си с те му
координат проекции Гаусса-Крюгера.
На п л а н е с п р я м о у г о л ь н о й р а з г р а ф к о й и з м е р е н ы в
произвольной системе координат от общей точки x ui=yul = 0
абсциссы и ординаты еще четырех точек;
х = 579,0 м; у =62,42 м; х = 284,5 м; у = 522,78 м;
х [ = -49,0 м; Уи = 492,20 м; х = 284,0 м; уи= 192,95 м.
На плане в проекции Гаусса-Крюгера измерены прямоуголь­
ные координаты этих точек, относительно первой, в которой
Хгх = 5767006,5 м;
у гк ,= 205493,0 м.
где а.9
Координаты других точек приняли зна чения
Ахг
% 2 ~ 581,0 м;
Ау р к
Ах г
к з = 299,0 м; Лу р % з = 503,5 м;
2 ~
44,84 м;
А х р £ 4 = —35,5 м; Ду р % ^ — 482,95 м;
Ах р £ $ = 289,0 м; Ау р к $ = 180,08 м.
По первым трем точкам составлены у р а вне ния аффинного
соотв етствия
х г.к. = °о + а \х „ + а 1Уи\ Уг.к. = Ь 0 + ЬХХ„ + Ь2у и .
Получено:
а = 5767006,5; а = 1,000492801;
Ь = 205493,0;
а = 0,027468095;
6 = -0,028031014; Ь = 0,9783730156.
С использованием измеренных координат 5 точек плана в
прямоугольной р а з г р а ф к е вычислены координаты у ка за нн ых
точек в проекции Гаусса-Крюгера.
По контрольным четвертой и пятой точкам получено:
хг *4= 5766970,996 м;
уг к = 205975,924 м;
хг* = 5767295,919 м;
yrAf5= 205673,078 м.
Точные значения
хГЛ4= 5766971,0 м;
угк = 205975,953 м;
хГА:5= 5767295,5 м;
Уг* 5 = 205673,078 м.
3 .2 . РА В Н О У Г О Л Ь Н Ы Е П Р О Е К Ц И И Э Л Л И П С О И Д А ,
П Р И М Е Н Я Е М Ы Е В Г Е О Д Е ЗИ И [281
При в ы по л не ни и г е о д е з и ч е с к и х работ на иб ол е е часто
используют проекции Гаусса-К рю гера, равноугольную
коническую Ламберта и равноугольную азимутальную
(стереографическую) проекции. Учитывая, что геодезические
по л и го н ы им е ю т обычно с р а в н и т е л ь н о м а л у ю п л о щ а д ь ,
ф ор м ул ы проекций, как правило, предст авл яют в виде рядов.
3.2.1. ПРОЕКЦИЯ ГАУССА-КРЮГЕРА
П рям о у го л ьн ы е коорди н аты проекции могут быть
вычислены по строгим формулам, которые приведены выше,
или по следующим формулам.
X = s0 + 6, 4/, - <J2V 2 -
+ а 4У4 +
- Я6п ;
У ~ ^ 1®| - fl2®2 —^3®3 +
+
—а 6®6>
где у , , 0 , - члены гармонических полиномов, определя емы е
из вы ра же ний
Vi = Д?;
6 | = /;
v„ = % » -i - /en-i; вл = Д4вл_, + / vB-iЗдесь
Aq = q - q 0;
/ = Х - Х 0;
2 2
3
Aq = ^Дф + / Аф + ^з^Ф +
1
*1 = ~~2--------К совфо
0
5 6
+ ^Аф + 7 Дф6+ ...;
, _
*»Фо
п . 1т12 ч.
h - TTTi----------- " + 3тЮ>.
2К0 cos<p0
'з = 5 cos ф- (' + 2tg2 Фо + Л“ + 6т1“ tg2 Фо _ 3т1° + ');
*8 Фо
, _
24cog ф "(5+ 6tg2Фо “ л° " 6л®^
‘
4 ~
's = Ш
Фо +
21т>о+- );
^ ( 5 + 28« ! V” * 24в< 1,0 ' Ч»+ ");
*8 Фо
(б 1 + 180tg2 фо + 120 tg 4 ф0+.
720 cos ф0
6
Ьх = Л^оСОБфо;
ьъ = j N o co s 3 Vo(no - ^ 2 ф0);
= Т^о лг° cos5 Фо^5 ~ 18tg2 Фо + tg4 Фо + 14л° ~ 58т|®tg2 Фо*;
1 S, ■
а 2 = 2 N o Sin<f>oCOS(?o'’
а4 =
эшфо c o s 3 ф0(5 - tg 2 ф 0 + 9ло + 4 л о );
аь = J 2Q N o sin(Po c o s 5 ф0(61 - 58tg2 ф 0 + tg 4 фо + 270Ло - ззоло tg 2 Фо);
К02 = 1 + n g ;
Ло = 1 + е ' 2 cos 2 ф0; N 0 = ------------ ----------j7 ;
(1 - е 2 sin 2 Фо)
2
д ф = ф - ф 0;
e' = (f)
_1-
Длина дуги меридиана, ко эф фи ц ие нт ы Ь{, а. и разности
Дер, Aq в ы ч и с л я ю т с я д л я в ы б ра нн ой а п р е д е л а х об лас ти
из о б р а же ни я широты ф 0 .
Е с л и Дф и / < 4 ° , то в ы ч и с л е н и я по п р и в е д е н н ы м
фо р му л а м дают погрешность не более 0,002 - 0,003 м.
Фо р м у лы частных масштабов длин имеют вид:
- в функ ци и прямоугольных координат
у2
И
у6
тт\ —1 + ---- г- + ------—+ ------- —+...,
2R
24R
720/?6
1+ л2
1
Г Д С
2
J
=
~
N
~
’
(2 6 2 )
- в функ ци и геодезических координат
= 1+ у
c o s 2 ф(1 + л 2) + - |r COS4 ф(5 - 4 tg 2 ф)+....
Tv
1 / 24
С б л и ж е н и е м е р и д и а н о в м о ж е т б ы т ь о п р е д е л е н о по
формуле
2
я?
3
Если за д ан ы плоские прямоугольные координаты, то для
вычисле ни я у вначале обычно опр еделяю тся геодезические
координаты по ф о рму ла м (см.3.1. 6 ).
Поправка в направление геодезической линии за кривизну
ее изо б р а же н и я на плоскости в ы р а ж а е т с я формулой
у = X sin ф + — sin ф cos 2 ф^1 + 3r|2 )+ ....
(
К" 8,2
п **
Ду
У1 + -т- -
Л
з
2
1
У\ „
У\
АУ - -jLLT
2R,2 ' 3R } j
е 2 5ш2ф,
2
2R
где Дх = х2 - х , ; Ду = у 2 - у х\
R { - вычис ля етс я по (262).
Вычисление хорды с учетом поправки в длину геодезичес-
кой линии за масштаб ее и з об ра же ния на плоскость может
быть выполнено по ф о р му л е
f
1
1
А
6 ^
ЛГ
У т
У т
d —s 1 + У2т
2R l
24 R l
24<
120 Rmj
где Rm - оп ре дел яе тся по (262) в средней точке.
Обратная зависимость принимает вид
s =d 1-
У т
Лу2
2 R l 24 R t
$Ут
24 R l
61 у 6
т
720 R,
где d = J ( x 2 - х , ) 2 + ( у 2 - у , ) 2
3.2.2. РАВНОУГОЛЬНАЯ КОНИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ
ЛАМБЕРТА
Прямоугольные координаты проекции определяю тся
формулами
х = р 0 —pcosS;
где
у = p sin 5,
р = ке~ач = ~ ;
5 = а/ = у ;
(263)
У - сближение меридианов,
I = х - хо;
<7 = Inf/ - и з о м е т р и ч е с к а я ши рота, о п р е д е л я е м а я по
ф ор му ла м (22), (23);
р0, а, к - постоянные параметры, равные:
к = Ро =
с 1ёФо;
а = sin<p0 .
Вместо вычисления р по ф ор му ле (263) можно оп ределять
р = Ро - Др,
где малую величину Ар нетрудно найти следующим образом:
при использовании изометрических координат (с учетом
(31) и (32)
Др = ро аАд - i ( a Ад)2 + | ( а Д ? )3 - ^ { а А д ) 4 + ^ ( а Д ? ) 5-... ; (264)
- при использовании прямоугольных координат
у2
ху2
Ар = х - -f— + - А г + .
2ро
2р0
Обращение ряда (264) дает
о
Cl
о
Cl
к \
1 ( Ар
а =—
АР + -1 f Apl ' + —
аД?
3
Ро
2
Вычисление частных масштабов длин ос ущ е ст вл яе тс я по
формулам
^ Др2 + i ^ j g c p ^ / 1 4
v „2 К
6 Wr3 V
т - 1+
+
'
^
7т
( 1
24 jV,
+
3 t g 2 ( p °
-
2\д 3
'
3 Л о + -- - )Л р 4 + - - -
ИЛИ
/я = 1 + ^°- х 2 +
9ЛЛ2
6 А^о
(i _ 4г)о)^ 3 '
'
tg(po ху2+...,
9Л
2 М/.3
где F 0 = 1 + х\1.
Р едукци онн ы е ф орм улы принимаю т вид
« 1*2 =
d-s
6 Л02
=
■(У2
- y i X 2 j C l + J C 2 ) , = 8 0 (>'2
+
*
-
^ l X 2jCl + ^ 2 ) Ю ' 10;
1* 2 + х \ ),
где
Л02 = Л / 0^ 0 = т 4 ;
Vo2
50 =
Ю10.
6RZ
3.2.3. СТЕРЕОГРАФИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ РУССИЛЯ
Прямоугольные координаты данной проекции, п р е д л о ж е н ­
ной в 1924 г., можно определить по ф ор мул ам
X = С,1|/, + С 2\\! 2 + с зМ/3 + C4V4 + C5V|/5+... ;
^ = Сj0 1 + ^202 + ^3^3
С4О4 + ^565 ”*’•••>
где
c , = j V 0 cos(p0;
с2 =
sincp0 cos(p0;
А^о cos 3 Фо(1 + Ло - 2 tg 2 фо);
с3 =
с 4 = -^-/V 0 sir^ 0 co s 3 ф 0(2 - tg 2 фо + 6г|о);
с5 = 2^q ^0 co s 5 ф 0(2 - l l t g 2 фо + 2 tg 4 фо);
У/, 0 , - определяются по (261).
Для перехода с эллипсоида на плоскость применяются еще
следующие формулы:
- частных масштабов длин
_ _ 1 . Х2 +у2
tg<p0^_2
.4 U .
-
- сближения меридианов
if 18 Фо
„ 1 + 2 tg фо
У = Р -s r r ~ y + Р --------°
ху +
W0 '
2 yVn
^Фо(з + 4 tg 2 ф о ) ,
+р"—
,
- 12N,
Щ 1—
- поправки за кривизну
Р"
8 Гг = т Тг{*\Уг ~ * 2? i ) = М З Д
4Я
- * 2^ 1) • Ю-10,
где 80 = _£__Ю10;
4А0
- поправки на масштаб
d ~ s = 7 ^ т (х '2 + х 1х 2 + х 2 + УI2 + ИУ 2 + УгЧ
12«o
где у, р, 6 - в угл. с;
3 .3 .
R q = M 0N 0.
П Р О Е К Ц И И , И С П О Л Ь ЗУ Е М Ы Е Д Л Я
С О З Д А Н И Я К А Р Т М А С Ш Т А Б О В 1:1 ООО ООО И
1 :2 5 0 0 ООО
3.3.1. ВИДОИЗМЕНЕННАЯ ПРОСТАЯ
ПОЛИКОНИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ И ЕЕ
ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ КАРТЫ МАСШТАБА
1:1 ООО ООО
Ф о р м у л ы и основные х а р а к т е р и с т и к и п р о е к ц и и д а н ы
в (п.2.3.2.3). Достоинством видоизмененной простой поликонической п р о е к ц и и , п р и м е н е н н о й к а к м н о го гр ан н а я, я в л я е т с я
не б оль ша я величина ис каж ен ий, но угловые р а з р ы в ы при
с о с т а в л е н и и ч е т ы р е х л ис тов в блок до с ти г а ю т 25 ', 1 . Эта
проек ция примен яе тся для изображений тер рит ори и суши и
островов (978 листов); на акваторию океанов листы этой карты
не с оз даю тся . Со ве тск ий Союз в конвенцию по с озд ан ию
меж дународной ка рты масштаба 1:1 ООО ООО не входил.
3.3.2. ПРОЕКЦИИ КАРТЫ МИРА МАСШТАБА
1:2 500 ООО.
К а р т а м а с ш т а б а 1:2 500 000 п р е д с т а в л я е т собою е д и н у ю
к а р т у м и р а (W O R L D М А Р ), с о с т а в л е н н а я Б о л г а р и е й ,
В е н г р и е й , ГДР, П о л ь ш е й , Р у м ы н и е й , Ч е х о с л о в а к и е й и С С С Р ,
на в с ю п о в е р х н о с т ь З е м л и ( в к л ю ч а я о к е а н ы ) в е д и н ы х
м асш табе, компоновке и оф ормлении; с единым с о д е р ж а н и ­
ем, л е г е н д о й и п р а в и л а м и т р а н с к р и п ц и и . К а р т а с о з д а в а л а с ь
в ш е с т и з о н а х на э л л и п с о и д е К р асов ск ого. Д ве п о л я р н ы е зо н ы
(от ±90° до ±60° ) с о с т а в л е н ы в р а в н о п р о м е ж у т о ч н о й в д о л ь
м ериди ан ов норм альной ази м у та л ь н о й проекции с главной
п а р а л л е л ь ю ср = ±76° , на к о т о р ы х ч а с т н ы й м а с ш т а б д л и н по
м е р и д и а н а м р а в е н 0,99. Ч е т ы р е о с т а л ь н ы е зон ы (по д в е на
к а ж д о е п о л у ш а р и е ) с о з д а н ы в р а в н о п р о м е ж у т о ч н о й по
м е р и д и а н а м к о н и ч е ск о й п р о е к ц и и : п е р в ы й пояс от ±24° до
±64° с г л а в н ы м и п а р а л л е л я м и ср = ±32° и <р = ±64° ; в т о р о й
пояс от 0 ° до +24° с г л а в н ы м и п а р а л л е л я м и ср = ±4° , <р = ±21°.
М а к с и м а л ь н ы е и с к а ж е н и я д о сти гаю т :
на п а р а л л е л я х с ш и р о т а м и
±60° ~ v „ = +3,7%, v p = 2,6%, © = 2,6°;
±48° ~ v n = V P = -3,9% , со = 2,2° ;
±24° - v n = VP = 4,0%,
со = 2,3°.
В пр ед ел а х второго пояса -
v „ - v p = 1%, со <0,7°.
3 .4 . П Р О Е К Ц И И М О Р С К И Х К А Р Т
Не остана вли вая сь на вопросе о кл а с с и ф и к а ц и я х морских
карт, при ня ты х в ра зл ич ны х странах, отметим основные из
этих карт и проекции, в которых они составлены.
В СШ А, В е л и к о б р и т а н и и , К а н а д е , Япони и, Ф р а н ц и и ,
Норвегии и других с тра на х в) с озд ава емы е морские к а р ты
определяются как батиметрические, топографо-батиметрические, гидрографические или океанографиче ские и навигацион­
ные.
В нашей стране создаю тся топограф ические карты
ше льф ов и внутренних водоемов, батим етрич ески е к а р т ы **]
морские навигационные карты, морские ка рт ы для обеспече­
ния ге о л о г о р а зв е д о ч н ы х работ, д л я и з у ч е н и я и освое ния
полезных ископаемых морей и океанов, а т а к ж е вспомога­
тел ьные и справочные карты.
К морским навигационным карта м относятся:
- Ген е ра л ьн ые карты, ис пол ьзу емы е д л я общего изу ч ен ия
условий предстоящего перехода океаном или морем и для
пре два рит ел ьно й прокладки курса следования судна.
- Пут евы е карты, обеспечивающие плавание вдоль берегов
как в их видимости, так и вне видимости.
- Ча стные карты, при меняемые при плавании в сложных в
навигационном отношении ра йо на х (в непос ред ств ен ной
близости от берега, в шхерах, узк остях и т.п.).
- Планы, используемые в качестве руководства при входе и
выходе судов из акв атории портов, бухт, гаваней, рейдов.
О б зо р н ы е мо рс к ие к а р т ы с о д и н а ко во й по др об но сть ю
и з о б р а ж а ю т и море и су шу и позвол яю т п о л у ча т ь общее
пре дс т а вл е ни е о на виг ац ион но- гид рог раф ич еск их, ф и з и к о *>В.П.Глумов, П.А.Шилкин “Топографическая съемка акваторий, “Итоги
науки и техники”, серия Геодезия и аэросъемка, т.26, М., 1988.
Ф,) Л.К.Затонский “ Методы составления батиметрических карт”.
Кандидатская диссертация. М. МИИГАиК, 1967.
ч*
г е о гр аф и че ск и х и эко но м и ко -ге ог ра ф ич е с ки х особенностях
о т д е л ь н ы х районов. К а р т ы р а д и о м а я к о в и р а д и о с т а н ц и й
показ ыв ают их точное расположение, знание чего важно для
о б с лу ж и ва н и я навигации. Соз даются т а к ж е ка р т ы земного
магнетизма, рекомендованных путей, кар ты часовых поясов,
т е л е г р а ф но - те л е ф он ны х и электросиловых кабелей, а т а к ж е
бланковые карты, карты с сетками квадратов и карты-сетки.
И з д а т е л ь с т в о м В М Ф и з д а н о д в а к а п и т а л ь н ы х то м а
м о р с к о г о а т л а с а . Том 1, и з д а н и я М. 1950 г., с о д е р ж и т
н а в и г а ц и о н н о - г е о г р а ф и ч е с к и е к а рт ы . Том 2, и з д а н и я М.
1953 г., - к а р т ы ч е т ы р е х ра зд ел о в : “В а ж н е й ш и е морские
плавания, океанография, климат, земной м аг не т из м ”.
Топо графические ка рт ы ш е л ьф а и вну тренних водоемов’’
в нашей стране создаются в проекции Гаусса-К рю гера
(см. п.3.1), в других стр анах - преимущественно в проекции
Меркатора (см. п.2.1.1.2).
Б а т и м е т р и ч е с к и е к а р т ы , с о с т а в л я е м ы е по д а н н ы м
эхолотных промеров, наз ыв ают ся первичными и с о с та в л я е ­
мые ка рто гр аф иче ски м методом, на зыв аем ые производными,
с о с т а в л я ю т с я т а к ж е в п р о е к ц и и М е р к а т о р а , е с л и они
пр ед наз на че ны для работы в море или с л у ж а т для изуч ения
подводного р е л ь е ф а в связи с з ад ача ми морской геологии,
геоморфологии, гидрологии, биологии и др.
Ос тальные производные ка рты составляются в проекциях
с минимальными величинами искажений, преимущественно
в равнов ели ких и близких к ним проекциях.
Морские навигационные ка рт ы составляются в проекции
М е р к а т о р а . Д л я м о р ск их к а р т с пе ци ал ьн ог о н а з н а ч е н и я ,
навигационны х карт полярных районов, некоторы х
радионавигационных карт и карт радиомаяков и радиостанций
- в стереографической, гномонической, поперечно­
цилиндрической проекции Меркатора.*’’
Ка рт ы первого тома Морского атласа т а к ж е составлены
в проекции М еркатора, а второго тома - в проекции
Меркатора, в равновеликих проекциях Ламберта в н о р м ал ь­
ной, косой и поперечной ориентировках (см. п. 2 . 1. 1.2 . и п. 2 .2 .2.3).
Выбор проекции для других морских карт о пр ед еля етс я
в с о о т в е т с т в и и с р а з р а б о т а н н ы м и м е т о д и к а м и по общим
правилам (см. ра зд ел 4).
Ф)Инструкция по созданию топографических карт шельфа и внутренних
водоемов, М. ЦНИИГ АиК, 1982.
Ф
Ф
)А.В.Павлова “Морские навигационные карты”, изд. ЛГУ, 1961.
Для решения задач навигации, кроме указанных проекций,
могут быть использованы двуазимутальная и двуэквидистант­
ная проекции (п.п. 5.2 и 5.3), а т а к ж е проекция Л иттрова
(п.5.4).
Для морских карт, со зд аваемых в проекции Меркатора
на те или иные акватории, используются следующие широты
главных па ра лле ле й (табл. 11 ).
Пределы
широты
Название моря или района
Восточно-Китайское море
Средиземное море
Японское море
Каспийское море
Черное и Азовское моря
Татарский пролив
Охотское море
Берингово море
Северное море
Балтийское море
Белое море
Берег Норвегии
Берег Норвегии
Мурманский берег Баренцова моря
Обь-Енисейский район Карского
моря
Северный Ледовитый океан
Остальные моря в пределах указан­
ных поясов как в северном, так и
южном полушариях
от
До
22 °
35°
46
45
47
47
52
63
30
30
36
41
45
42
53
51
54
64
58
65
66
62
66
Широта
главной
параллели
30°
40
40
42
44
52
52
59
60
60
66
68
69
65
71
70
67
70
74
82
70
75
0
10
33
46
56
65
72
78
60
69
69
10
0
33
46
56
65
72
78
82
25
40
52
60
69
75
80
Продолжение табл.11
Пределы
широты
Название моря или района
от
до
Широта
главной
паралле ли
Озера
Ладожское
Онежское
Белое
Чудское и Псковское
Аральское море
Балхаш
Байкал
60°
62
60°10'
58°30’
45
46
53°30’
3 .5 . П Р О Е К Ц И И А Э Р О Н А В И Г А Ц И О Н Н Ы Х К А Р Т
3.5.1.
НАЗНАЧЕНИЕ АЭРОНАВИГАЦИОННЫХ КАРТ,
ОСНОВНЫЕ ПРОЕКЦИИ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ПРИ
ИХ СОЗДАНИИ
Авиационные карты по назначению по драз дел яют ся на:
- п о л е т н ы е ( п р и м е н я е м ы е д л я с а м о л е т о в о ж д е н и я по
м ар ш р у т у и районам полетов);
- бортовые (применяемые для самолетовож дения с
использ ова ни ем ра д ио те хн ич е с ки х и астр оно ми чес ких
средств);
- с п е ц и а л ь н ы е ( к а р т ы м а г н и т н ы х с кл о н е н и й , ч а с о в ы х
пояс ов, д л я о п р е д е л е н и я мест а в о з д у ш н ы х су д на с
помощью гиперболи чески х систем, р ад и о м аяко в,
радионавигационные и др.);
- кар ты для выполнения специальных полетов, свя занных
с о т ы с к а н и е м м а л ы х о б ъ е к т о в на м е с т н о с т и , не
обозначенных на полетных картах.
Аэронавигационные карты ИКАО, выпускаемые с т р а н а ­
ми, входящими в международную организацию гражданской
Ф
) “Справочник пилота и штурмана гражданской авиации”, изд. М.,
“Транспорт”, 1988.
авиации, включают карты р азл и ч н ы х типов, которые
применяются только в международной гражданской авиации
и не ра сп ростран яются на полеты государственных судов
(военных, таможенных, полицейских и т.п.).*)
В их состав, например, входят карты для использования
в ходе по л ета м е ж д у э т а п а м и в з л е т а и по садки: к а р т ы
районов, м ар шр ут ны е карты, кар ты стандартного вылета и
прибытия по приборам, карты захода на посадку по приборам
и карты визуального захода на посадку.
Другая группа таких кар т включает карты аэродромных
препятствий, карты местности для точного захода на посадку
и т.п.
Тре ть я группа кар т предназначена для использования во
время наземного аэродромного д виж ен ия воздушных судов.
В четвертую группу входят карты, пре дназначенные для
ви зуальн ой аэрон ави гац и и , п рокладки линий пути и
использования в целях планирования. В эту группу например,
входят аэронавигационны е карты ИКАО масштабов
1:1 ООО ООО, 1:500 ООО, а э р о н а в и г а ц и о н н а я к а р т а мелкого
масштаба и карта для прокладки курса.
Имеется группа карт ИКАО специального назначения, на
которых отображаются необходимые сведения д л я самолето­
в о ж д е н и я на р а з л и ч н ы х его э т а п а х , г л а в н ы м о б р а з о м ,
посадки.
Создаются т а к ж е карты для счисления и прокладки пути
(преимущественно по магнитному компасу, угломерным р а ­
диотехническим средствам - ра диомаяку и радиоп еле нга то­
ру) и радионавигационные карты, основанные на принципах
пеленгации, выполнения измерений дальности и их разностей,
т.е. ка рты с дальномерными или гиперболическими сетками.
Таким образом, исходя из назначения аэронавигационных
к а р т и г е о г р а ф и ч е с к и х особенностей к а р т о г р а ф и р у е м ы х
территорий, все аэронавигационные карты можно р аз дел ит ь
на площадные, полимаршрутные, м арш ру тн ые и а эр одр ом ­
ные, с о з д а в а е м ы е в р а з л и ч н ы х м а с ш т а б а х (см. п. 1.5.1) и
картограф иче ск их проекциях.
Для площадных кар т используются:
- проекция Меркатора (см. п.2.1.1.2);
- проекции Гаусса-Крюгера и UTM (см. п.3.1.3-3.1.5);
- равноугольная коническая проекция (см. п. 2 .2 . 1.2 );
- равноугольная а з и м у т а л ь н ая проекция эллипсоида (см.
п. 2 .2 .2 .2 );
Л) Руководство ИКАО по аэронавигационным картам, ИКАО, 1992.
- гномоническая проекция (см. п. 2 .2 .3.1);
- видоизмененная простая поликоническая (см. п. 2 .3.2.3);
- р а вн о п р о м е ж у т о ч н а я вдоль ве р т и ка ло в а з и м у т а л ь н а я
проекция (см. п. 2 .2 .2 .4);
- р а вн ов ели ка я а з и м у т а л ь н ая проекция (см. п. 2 .2 .2.3).
Для м ар ш ру тн ых и полимарш ру тны х карт используются
проекция Меркатора и равноугольная коническая проекция в
косой ориентировке, обеспечивающие хорошую ортодромичность и ло кс од ромичность в п р е д е л а х полосы полетов по
отдельным м арш ру та м или совокупности маршрутов.
Для аэронавигационных карт подходов и аэродромов часто
испо ль зу ют ся проекции то по гр аф иче ски х карт и сами эти
карты (см. п.3.1.).
При с о з д а н и и а э р о н а в и г а ц и о н н ы х к а р т с п е ц и а л ь н о г о
назначения применяются равноугольная коническая проекция,
проекция М еркатора, гномоническая проекция и р авн о­
п р ом еж уто чн ая вдоль верт икалов а з и м у т а ль н ая проекция.
Могут быть использованы д в у а з и м у т а л ь н а я и д в у э к в и д и ­
с та н тн а я проекции (см. п.3.5.2., п.3.5.3), а т а к ж е п ро екц ия
Литтрова (см. п.3.5.4).
О т м е т и м , что при о п р е д е л е н и и д л и н и а з и м у т о в по
картам, составленным в проекци ях Гаусс а-К рюг ер а, UTM,
конической и азимутальной проекциях, можно воспользовать­
ся ф о р му л а ми редукции в а зи му ты и в длины за криви зну
и з о б р а ж е н и я геодезических линий и за изменения масштабов
длин, приведенные в (п.3.2) данного раздела.
3.5.2. ДВУАЗИМУТАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ *>
Прямоугольные координаты точек проекции определяются
в соответствии со следующими заданными условиями:
- все дуги бо ль ш их кругов (ортодромии) на п р ое кци и
и з о бр аж аю тся прямыми линиями;
- углы в двух заданны х точках, например, в точках
положения радиопеленгаторных станций не и с ка жа ют ся
(рис.57).
Формулы для вычисления прямоугольных координат
тек у щ и х точек в данной проекции шара с особыми точками
7’0 (ф 1 Д 1) и v 0(<p2 , k 2) принимают вид
_ А ОДфСО$(А. - Х0) + 2?ОДф$ш(А. - Х0)
1 + ( ^ Ф о С1£фС05(Д. - А.0)
■’ В.В.Каврайский. Математическая картография. М.-Л., 1934.
Рис.57 Построение двуазимутальной
проекции
Cctg<psin(A, - Х0)
1 + ctgcpo ctg(pcos(A, - А,0)
^
Здесь:
А = R c o s 2 С,cos a seep co se c 2 cp0 ;
В =
sin 2 <;sin acosp cosec(p 0 ;
С = /?cos<^sec a cos p cosec сро.
Величины
ф0,
a, P опр еделяю тся из вы ра ж е н и й
COS2 E, = $1п ф 1 sin ф 2 + С05ф, со$ф 2 cos (^ 2 - ^ i ) ;
ctg t / 0 = tg ф, cos ф 2 cosec(A .2 - X {) - $Шф2 ctg(X,2 -
;
s i n y 0 = c o s^ sin ф 2 + sin ^ c o sф 2 c o s U 0 ;
ctg (>-2 - X {) = ctgC, со 5 ф 2 c o se c U 0 - sin ф 2 c tg U 0 ;
c o s a = tgф 2 c o s ф 0 cosec(X 2 - X 0) - sin ф 0 ctg (^ 2 - X.0) ;
tgp = tg a sec £ ;
R- ра диус Земли, ус тан а вл ив а е м ый из условия отсутствия
искаже ний длин в особых точках.
Проекция я в л я е т с я а ф ф и н н ы м пре об разованием гномонической проекции. Она может быть использована для прокладки
радиопеленгов.
3.5.3. ЭКВИДИСТАНТНАЯ ПО ДВУМ ОСОБЫМ ТОЧКАМ
ПРОЕКЦИЯ *>
Прямоугольные координаты точек проекции определяют,
исходя из следующего.
Пусть на рис. 58 РА, ОА - прямолинейные отрезки, р а в ­
ные ортодромическим расстояниям до данной теку ще й точки
Л от двух фи ксированных точек Р и О. Первую примем за
полюс полярной системы координат, а вторую - за начало
п р я м о у г о л ь н о й с и с т е м ы к о о р д и н а т х о у , ось х к о т о р о й
направлена вдоль линии ОР (Г.М.Кирьяков, 1965).
Согласно условию имеем
р = Rz = /?arccos[sincpsin(p, + coscpcoscp, cos(X - X ])]
<70 = Л arccos[sinф | sin<p0 + cosq), coscp0 cos(^, - X0)]
(265)
4 = /?arccos[sincpsin(p 0 + cos(pcos(p 0 cos(A, - A.0)]
8 = arccos
2p<70
(266)
В принятой системе координат прямоугольные координаты
проекции определяются по фор мул ам
х = q0 - pcosS;
у = psin 8.
Ч астны е масш табы длин
вдоль вер тикалов и а л ьм у к ан таратов нетрудно найти из
ц, = secs;
ц2 =
Z о
sin z
P = V 2’
tgs = г • 8 г .
З д е с ь ч ас т н ы е п р о и з в о д н ы е
и другие определяются с
использованием форму л (265),
Рис.58 Эквидистантная по двум
(266), а т а к ж е вы ра же ний
особым точкам проекция
Г.М.Кирьяков Определение кривизны некоторых кривых в геодезии и
картографии. Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка - 1962, № 6 .
s i n ф = s i n z cosa c o s c p 0 + c o s z s i n cp0 ;
sin z sin
s in (A . - >c0 ) =
yj1 -
a
( s i n z cosa c o s q>0 + c o s z s i n 90 ) 2
Поскольку пол уч а е м ые при этом ф о р м у л ы в ы ч и с л е н и я
весьма громоздки, то значен ия частных масштабов це л ес о­
образнее опр еделят ь численными методами по п р ям оу го ль ­
ным координатам данной проекции.
3.5.4. ПРОЕКЦИЯ ЛИТТРОВА
Пусть на рис. 59 л ин ия M qS 0 - геомет рич ес кое место
точек, а зим ут ы ортодромии с точек
которых на пункт
5 0 (фоДо) имеют постоянную величину. Такие линии н а з ы ­
ваются изоазимутами.
Для каждой из точек Л/°(фД) изоазимуты можно за писать
по ф орм ул е четырех смежных элементов сферического т р е ­
угольника PqS qM° соотношение
c tg A sin / = t g фо c o s ф - sin ф c o s /;
(/ - X - Х0)
X
откуда
Чтобы изображение и з о а з и м у ­
та в н е к о т о р о й п р о е к ц и и было
прямой линией, образующей с
Ро
М(х, у )
У
Рис.59 Изоазимута на сфере
Рис.60 Изоазимута на плоскости
(в проекции Литтрова)
осью х н е к о т о р ы й уг ол а = А , п л о с к и е п р я м о у г о л ь н ы е
коо рдинаты х у у точек М и з о б р а ж е н ия и зо аз им ут а в этой
проекции д о л жн ы быть с в я з а н ы соотношением (рис.60)
у = (х 0 - x ) t g a .
Если положить, что ф о р м у л ы прямоугольных координат
проекции имеют вид
х = /? t g c p c o s /;
у = /? s e c cp sin / ,
(267)
то при веденные выше у р а в н е н и я удовлетворяются, прямые
S M изо б ра ж а ю т и з о а з и м у т ы точек осевого меридиана (/=0,
j>=0), ось абсцисс - это и з об ра ж е ни е меридиана X = Х0 = 0 ,
ось орд инат - это из об ра ж е ни е экват ора ср = 0 .
Ча стн ые масштабы длин данной равноугольной проекции
о пр ед ел яю тся из в ы р а ж е н и я
т = —-— [tg 2 ф +
COS(p *■
cos2
X
V
1
j
П ар ал л ел и в проекции - эллипсы, а меридианы гиперболы. К а ж д а я точка картографической сетки изобра жае т
две точки ша ра ( c p i A ] ) и ф 2 = ~(р\,Х] = 180 —Л., ). S - из о б р а ­
ж е н и е т о ч к и п е р е с е ч е н и я и з о а з и м у т ы с осью а б сц ис с .
К а рт ог ра ф ич ес ку ю сетку проекции Литтрова н аз ыв аю т еще
сеткой Вейра.
3 .6 . О Т О Б Р А Ж Е Н И Е Н А К А Р Т А Х Л И Н И Й
ПОЛОЖ ЕНИЯ
Р еш ен ие этих за д ач включает:
- о п р е д е л е н и е г е о д е з и ч е с к и х к о о р д и н а т т о ч е к л и ни й
положения;
- в ы ч и с л е н и е п р я м о у г о л ь н ы х ко о р д и н а т этих то ч е к в
принятой ка рт ог ра ф иче ско й проекции;
- построение линий пол оже ния на к а р т а х по полученным
прямоугольным координатам их точек.
Основной из них я в л я е т с я реш ени е первой за дачи, так
как последующие вычис ле ния и построения тру дностей не
вызывают.
3.6.1. О П РЕД Е Л Е Н И Е ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ КООРДИНАТ
П РОМ ЕЖ УТОЧНЫ Х ТОЧЕК ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ
Л И Н И Й , ЛОКСОДРОМИИ И МАЛЫХ КРУГОВ
3 .6 .1 .1. В Ы Ч И С Л Е Н И Е ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ КООРДИНАТ
П Р О М Е Ж У Т О Ч Н Ы Х ТОЧЕК ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ЛИ Н И Й
Э Л Л И П С ОИДА
Реш ен и е данной задачи может осуществляться двумя
способами. П е р в ы й способ целесообразно исп ол ьзо ват ь для
сл уча ев, когд а конечные точки отрезков ге одезических линий
н а х о д я т с я на большом расстоянии (s>R).
В это м с л у ч а е одним из известных способов ре ша ем на
эл ли п со и д е об ратную геодезическую за дач у и находим ази мут
а 12 с п е р в о й на вторую точку и расстоян ие s l2 м еж ду ними.
З а т е м , и с п о л ь з у я а з и м у т а ,2 в первой точ ке и з н а ч е н и я
о т р е з к о в Sy < s i2 , р е ш а е м п р я м ы е з а д а ч и на э л ли п со и д е ,
н а п р и м е р , по способу Б е с с е л я [28].
В р е з у л ь т а т е находим геодезические коорди на ты первой
и п о с л е д у ю щ и х п р о м еж у то ч н ы х точек геодезической линии.
В т о р о й сп о со б м о ж н о п р и м е н и т ь д л я с л у ч а е в , когд а
р а с с т о я н и я м е ж д у т о ч к а м и не о ч е н ь в е л и к и ( s< R ). С
д о п у с т и м о й то ч н о с ть ю вместо а з и м у т а а 12 ге од ез ич е ск ой
линии о п р е д е л я е м а з и м у т ы нормального^ ]2(н) и центрального
« 12(c) с е ч е н и й по н е с к о л ь к о в и д о и з м е н е н н ы м а в т о р о м
ф о р м у л а м [28]
П р и это м п о л а г а е м , что и з в е с т н ы г е о д е з и ч е с к и е
ко о р д и н а ты первой точки и а зи м у т а ]2 с нее на вторую.
Если ж е а з и м у т Я| 2 с первой точки на вторую неизвестен,
то он м о ж е т быть вы ч и с л е н (при н а л и ч и и г е о д е з и ч е с к и х
к о ор д ин а т обеих точек) по ф о р м у л а м нормального сечения:
COS<p2
sin( ^2 - ^|)
[s in (p 2 COS(Pi - COSCP2 sincp! COs(X.2 - X ]) + 6 J2 ] ’
где
Sin ф| - Sin ф 2
В о с п ол ьз ов ав ш и с ь известной ф о рм ул ой Клеро, находим
постоянную д л я данной геодезической линии велич ину с по
ш ир оте и а з и м у т у в первой точке
Для определения геодезических координат промежуточной
точки геодезической линии за д аем широту <рк этой точки в
интерв але ф] <ф* < ф 2 и находим а зим ут я к1(н) с этой точки
на первую и долготу этой точки.
Для этого вначале вычисляем а зим ут
где
Т е п е р ь м ож но з а п и с а т ь на основе ф о р м у л ы а з и м у т а
нормального сечения
Введем обозначения
(
я
^
Г
С
0 -= tga*i(H) tg<p, лЛс«
costp* +. --------- ; С, = tgo*,(H) sintp* ;
J - е1 sin 2 ер*,
sin ф* —sin ф |
П е ре йд я к ф ун кци ям половинного угла для sin / и c o s /,
получим
tg 2 i - (С 0 + С ,) - 2 t g y - (С, - С0) = О
И
/
1 - д/l + С 2 - С 02
tg 2 ‘
С0 + С,
Аналогичное решение будем иметь, используя фо рм ул у
азимута
центрального сечения
0
c o s ф, sinf>c, - X l )
------------------------------- :---------
{ё ак\(с) =1 + е ' cos
1’
/:------ Г ~ \ '
Sin ф! СОЗф* - c o s ф , sin ф к cos(>., - Х к )
У ч и т ы в а я , чт о а з и м у т а к1 н е т р у д н о п о л у ч и т ь по
формуле Клеро для любой точки с заданной широтой, можно
записать
tgfl/nu) -tgq>i COS9 *
tgfl*1(c) sincp* cos(a, - Xk ) _
— 7--------------------------------------------------------------------------------------- ;----- ;\T2 \2“
II + e'~ cos ф* I
II + e* cos ф* I
Введя рбозначения
t>o = 1ё ° * 1(с) • l6 <Pi cos<p*/(l + e ' 2 c o s 2 <p*);
tgfl^i(C) sin(pt
C,
(l + e ' 2 co s 2 <p*)
(l + e' 2 co s 2 tp* j ’
получим
tg2 | ( A b + Al ) -
2
tg |-(
- f i b) =
6 1
0
;
и
2 5^ _ \
2 =
+ b2 - bl
b0 + b,
;
Xk = a, - 2 a r c t g ( t g ^ ) .
Д л я и л л ю с т р а ц и и сп о с об ов п р и в е д е м т р и п р и м е р а ,
используя в качестве начальных точек и азимутов с первых
на конечные точки данные, приведенные в книге [28, стр.172,
182, 146], и в качестве оп ределяемых конечные точки этих
отрезков геодезических линий.
П р и м е р 1 . Д ано ф, = 60° ; а п = 45° ; ?ч = 10° ; s ]2 = 60 ООО м.
ф2 = 60,°3785718333; Х2 = 10,°76913389;
а 21 = 225, °6673611111..
За д ан а широта ф^ = ф 2 .
Получено:
по способу нормального сечения
Х2 = 10,°7 6 9 132923;
<х21 = 225,°667513038 ;
по способу центрального сечения Х2 = 10,°769133777.
П р и м е р 2 . Д ано (pj = 45° ; а п = 45° ; Х} = 10° ; s l2 = 200 ООО и;
А., = 0 .
Ф2
= 46,°25788525 ; Х2 = 11,°8341788056;
<х21 = 226,°31 12528056.
З а д ан а широта
Получено:
= ф 2.
по способу нормального сечения
Х2 = 11,°834177139 ;
а 21 = 226,°31 12720348;
по способу центрального сечения Х2 = 11,°834178847 ;
П р и м е р 3. Д ан о ф! = 45° ; а 12 = 29.054292222 ; s]2 = 1320284.3 м;
ф2 = 52.998763056; / = 9.998300833.
За д а н а широта ф* = Ф 2 .
Получено:
по способу нормального сечения / = 9.99836314;
по способу центрального сечения / = 9.99830252 .
Та ки м образом, оба ра сс м от ре нн ых способа поз воляют
вычислить координаты промежуточных точек геодезических
линий с весьма высокой точностью.
3.6.1.2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ТОЧЕК ОРТОДРОМ ИИ
tg ф = tg ф j cosec A sin[(/j - X ,) + ^ ];
ctg А = ctg ф, tg(p 2 cosec(X 2 - Х|) - ctg(x 2 -
где ф ], A.j; Ф 2 Д 2 - широты и долготы конечных точек отрезка
ортодромии.
Используя значения А из второй формулы и задав долготы
X п р о м е ж у т о ч н ы х точек ортодромии, находим по первой
ф ор му ле широты этих промежуточных точек.
3.6.1.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ЛОКСОДРОМ ИИ
ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ТОЧЕК
По геодезическим координатам конечных точек локсодро­
мии в ы ч и с л я е м п р ям о у го л ь н ы е коо рд ин а ты этих точек в
проекции Меркатора
x = r0 \nU;
у = г0Х,
где
U = tg^45°+(^ j j tg'?(4 5 0+ % /};
r0 = N 0 cos<p0;
sin у = esincp;
e2 = \ - ( b / a f .
Вычисляем дирекционный угол
= arctg[(y2 - y i) /( x 2 - x,)].
Т е п е р ь , з а д а в ш и р о т ы ср, п р о м е ж у т о ч н ы х т о ч е к
локсодромии, вычисляем In Ui , а затем находим долготы этих
точек по формуле
Xi= X ] + t g a di2(ln i/, - l n t / , ) .
3.6.1.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ТОЧЕК МАЛЫХ
КРУГОВ
В зависимости от исходных данных может быть три случая
решения данной задачи.
В первом з а д аю тс я коо рдинаты точки центра (полюса)
малого круга и зенитное расстояние до круга от полюса, во
втором - географические координаты точки полюса и точки,
л е ж а щ е й на малом круге, и в третьем - координаты трех
точек, л е ж а щ и х на малом круге.
При этом задач а может ре ш а ть с я либо на поверхности
шара, либо - эллипсоида.
Рассмотрим последовательно решение ук а з а н ны х задач,
н ач и н ая с первого с л у ч а я (при ото б ра же ни и поверхности
шара).
Используя значения cp0, Х0, Z и за д а в а я с определенным
шагом азимут ы а = пАа (п = 0 , 1 , 2 , ...), вычисляем
siny' = sin zcostf c o s 9 0 + со 5 £ 5т ф 0 ;
sin(X' - XQ) = sin z sin a se c ф '.
Во в т о р о м
случае
задания
исходной
информации
в ы ч и с л е н и я в ы п о л н я ю т с я по э т и м ж е ф о р м у л а м , но
пр едварительно определ яе тся зенитное расстояние от полюса
до малого круга
c o s z = sincpj sin(p 0 + coscpj
cos<p0 cos(V - X0) •
В третьем случае зад ан и я исходной инф орм ации
последовательно используются ука за нн ые ф о рм у л ы вначале
для определения зенитных расстояний 2 , а затем значения
ср', X' , но пр ед варительно находят широту и долготу точки
полюса по формулам:
^ 0
T(cosy\ cosX\ - созфз cosX'3) -
(а ^ ф | cos^j - cos<pf2 cos^J,)
Г(с05фз s in ^3 - С05ф{ sin A,j) -
(сОБф; sin?lj - С08ф 2 Sin>L2 )
С05ф2 COs(>.2 - XQ) - С05ф! cos(A,j - Х0)
1ёФо = ------------------- :---- ;----- :-----;------------------- =
Sin ф j - Sin ф 2
со 5 фз cos (^3 - Х0) - со 5 фj cos(>.j - Х0)
sin ф 5 - 5Шфз
где
Т = (sin ф| - sin ф 2 )/(s in фj -Б Ш ф з).
3.6.2. ОТОБРАЖЕНИЕ НА КАРТАХ ЛИНИЙ ТРАСС ИСЗ
За д а ч а сводится к определению по заданным элементам
орбиты геодезических координат точек трас сы (орбиты), а
по ним - прямоугольных координат в заданной к а р т о г р а ф и ­
ческой проекции.
В качестве элементов невозмущенного кеплерова д в и ж е ­
ния можно принять: г - на клонение орбиты; Q - долгота
восходящего узла; со - аргумент перицентра; а - большая
полуось эллипса; е - его первый эксцентриситет; т - время
про хож де ни я ИСЗ через перицентр (см. рис.61).
Д л я во з м у щ е н н о г о д в и ж е н и я эти э л е м е н т ы я в л я ю т с я
ф у н к ц и я м и времени, но на о п ре д ел е н н ы й момент (малый
отрезок времени) их можно считать постоянными [34].
Полагая, что на данный момент времени они известны,
определим координаты подснутниковых точек (точек трассы)
в следующем порядке.
- Последовательно зададим значе ния истинной аномалии $
(П.Е.Эльясберг, 1965) и найдем величины эксц ен три чес ких
Г'
Рис. 61 Элементы эллиптической орбиты
аномалии
^
v
Е - 2 arctg C i t g o
1- е
1+е
- Вычислим радиус-векторы г и углы “и ”
где
С, =
г = а( 1 - ecos Е ) ;
и = со + v .
Найдем пространственны е координаты ряда точек
орбиты в инерциальной системе
х = r(cos Q cos и - sin Q sin и cos / ) ;
у - r(sinQcosw + cosQsin и c o s / ) ;
Z = r sin и sin i •
Обозначим
fx
вектор положения объекта в инерциальной
системе координат на эпоху Т 0 задания инерциальной системы;
R=
- вектор положения объекта в гринвичской
\^ /
системе координат.
О с у щ е с т в и м п р е о б р а з о в а н и е и н е р ц и а л ь н о й с и с те м ы
координат в гринвичскую.
В данном с л у ч а е этот п е р е х о д можно о с у щ е с т в и т ь по
ф о р му л е [34]
R = Sr'<
c o s 5 sin s
S = -s in s
0
coss
0
О
0
1
где s - истинное звездное время в Гринвиче
5 = i 0 + UT\ + 9.856
(UTl)h ;
s 0 - з ве з д н о е время в Гринвиче в среднюю Гр инвичскую
полночь;
U T 1- среднее Гринвичское время;
9,856
- ускорение звездного времени относительно среднего
(всемирного).
В ы ч и с л и м г е о д е з и ч е с к и е к о о р д и н а т ы ср, X, Н т о ч е к
орбиты (трассы) [28]
tg Ф =
Z + е'2в • b sin 3 0
р - e]e aojosl 0
Н = р sec ф - N ;
Рис.62 Схема построения проекции реальной поверхности типа
обобщенной перспективной цилиндрической
р = [Л'2 + Y 2]^2;
N = аэв{ 1 - е2в sin 2 ср]
Для эллипсоида Красовского имеем
= 1,0033636058; (e'2b)3e = 42835,883 (м);
-]
Э .в .
(е2а)}в =42692,283 (м); а эв = 6378245 (м).
3 .7 . К А Р Т О Г Р А Ф И Ч Е С К И Е П Р О Е К Ц И И Р Е А Л Ь Н Ы Х
ПО ВЕРХН О СТЕЙ
В связи с изучением космического пространства,
получением материалов дистанционного зондирования многих
небес ных тел воз никла необходимость к а р т о г р а ф и р о в а н и я
поверхностей тел очень сложной формы (астероидов, комет
и др.), которые не п р е д с т а в л я е т с я воз м ож ны м достаточно
точно ап пр окс ими ро ва ть с помощью эллипсоида вр а щ е н и я
или трехосного эллипсоида.
В н а ш е й с т р а н е и за р у б е ж о м ( н а п р и м е р , в р а б о т а х
канадских ученых Ф.Д.Стука, С.Р.Келлера) стали р а з р а б а т ы ­
в а т ь с я пр о е кц и и д л я с о з д а н и я к а р т т а к и х п ов ер хн ос тей ,
весьма наглядно ото бражающих их форму.
П р о е к ц и и р е а л ь н ы х п о ве рх н ос те й можно по л у ч и т ь на
основе обобщения перспективных азиму та льн ых, ци л ин д ри ­
ческих, конических и др угих классов проекций. На рис.62
п оказана схема получения обобщенных п ерспективны х
ц ил ин дрических проекций для ка р то гр а ф и р о ва н и я сложных
поверхностей.
Общие ур авн е н ия обобщенных перспек тивн ых проекций
д ля создания ук аз ан ны х карт можно пре дставить в виде
* = /i(< p A > A );
(2 6 8 )
У = / 2(ФД,Л),
где
ср, X
- широты и долготы точек пром еж уточной
поверхности (как правило, шара) - поверхности
относимости;
h - пре вы шен ия
точек реальной поверхности
относительно про м еж ут оч но й поверх нос ти по
нормалям к ней.
В частности общие ф о рм ул ы прямоугольных координат
обобщенных перспективных азимутальных проекций реальных
поверхностей с “не га тив ны м” изо браж ением принимают вид
[6 ]
X =
( R + A)[sin ф co sф0 - c o s ф sin <p0 cos(>. - >.0)1
( R + D ) ----- ---- ---------------D + ( R +A)l sin ф sin ф0 + со5ф со8ф0 cos(X - Л.0)1
Y=
t R + щ ________(^? + /г) cos ф sin(X. - Х.0)______________
D + ( R + A)[sin ф sin ф0 + со5ф со5ф0 cos(X
или
- A.0 )J
(269)
X = (R + D)
Y - ( R + D)
(R
+ A) sin г cosa
D + (R + A) cos г ’
(R + A) sin z sin а
D + (R + A )cosc '
где ф, X, ф0, Х0 - соответственно г е ог ра фич еск ие к оорд ина ты
т е к у щ и х точ ек и точки н ач ал а к оо рдина т (полюса
косой сфе рич еской системы) на сфере;
R - р а д и у с с ф е р ы , п о в е р х н о с т ь к о т о р о й п р и н я т а за
п р о м е ж у т о ч н у ю при о т о б р а ж е н и и п о в е р х н о с т и
данного конкретного небесного тела;
D - расстояние от точки зрения S до центра сферы.
2 , а - полярные сфер ич еск ие координаты, опред еля емы е
по ф орм ул ам (14).
И з м е н я я п о л о ж е н и е т о ч к и з р е н и я S h ( в е л и ч и н у D),
н е т р у д н о по у к а з а н н ы м ф о р м у л а м с у ч е т о м з н а ч е н и й
пре вы ше ния h получить проекции, ото бражающие реальную
поверхность, соответствующие гномической, с т е р е о г р а ф и ч е с ­
кой, ортографической и другим проекциям из р а с с м а т р и в а е ­
мой совокупности.
Н а п р и м е р , при по л у ч е н и и про ек ци и типа обобщенной
сте реографической, получим
Для проекции типа обобщенной орт огра фической будем
иметь
х = (R + И) sin z cos а ;
у - (R + h) sin z sin а.
3.8. П Р О Е К Ц И И А Н А М О Р Ф И Р О В А Н Н Ы Х К А Р Т
Р а зв и т и е тем атич еской кар то гр а ф ии д ик ту е т необходи­
мость разрабо тки новых видов изображений, ра сш и р яю щ их
ф ункциональны е возможности картограф ирования и
в о з м о ж н о с т и п о к а з а на них п о д ро б но й р а з н о с т о р о н н е й
информации. Из состава этих изоб ражений многими учеными
у д е л я е тс я большое внимание исследованию разл и чн ы х
аспектов создания а на мор фи ров ан ных карт [ 11 , 12 , 14].
В 1985-87 гг. Ю.Л.Бугаевским были ра зр або тан ы основные
положения теории и способов получения для а н а м о р ф и р о в а н ­
ны х к а р т к а р т о г р а ф и ч е с к и х п р о е к ц и й т р е х к л а с с о в :
в а р и а в а л е н т н ы х , п е р е м е н н о - м а с ш т а б н ы х и с изм ен е нн ой
метрикой пространства.
В а риа вал ен тны е проекции сод ержа т в своих уравн ен иях
в неявном виде ч ис л е н н ы е з н а ч е н и я ве л ич ин р а з л и ч н ы х
ка рт огр аф иче ски х показателей.
Общие ур авн ен ия этих проекций могут быть записаны в
следующем виде:
х = /,( с р Д ,Л );
у = / 2 ( ф ,М ) ;
/1 = / 3 (ф, х.),
где о т о б р а ж а ю щ и е ф у н к ц и и / р / 2 в ы р а ж а ю т з а к о н
отобр аж ен ия ка р тог ра ф и ру ем ой поверхности на плоскости,
а / 3 - х а р а к т е р и з у е т распространение явлений природы или
общества в пространстве.
Перем енно-м асш табны е проекции целесообразно
и с п о л ь з о в а т ь д л я о т о б р а ж е н и я на к а р т а х н е р а в н о м е р н о
распространенных в пространстве объектов и явлений
природы и общества. В этих проекциях возникает необходи­
мость в о с у щ е с т в л е н и и с ж а т и я и р а с т я ж е н и я то л ько
отде льных участков из о бр аж ен ия, что треб уе т ра зр а бо т ки
пр оекций с немонотонным из м ене ние м мас шт або в длин и
площади; математическое описание выполняют не для всей
про ек ци и в целом, а отде ль но д л я каж д ого м е р и д и а н а и
параллели. В этих проекциях отдельные участки к а р т о г р а ф и ­
руемой поверхности возможно изоб ра жат ь с увеличением или
уменьшением главного масштаба в два раза и больше (рис.63).
Общие формулы этих проекций можно представить в виде
х = / | [£(ф, X), Т1(ф, А.)]; Y = / 2[£(ф, X), Т|(ф, х.)],
где
ф у н к ц и и £,(фД), г|(фА) _ о п р е д е л я ю т с ж а т и е и л и
р а с тя ж е ни е изобра жен ия на отдельных его участках.
В частности, ф орм ул ы переменно-масштабных проекций
можно представить т а к ж е в виде
п
т
п
т
(271)
Здесь Ру = б,5у - д е ль та -ф у н кц и и
к 2 - соответственно номера вычисляемых па ра лл е л е й
и меридианов;
х у ' У ц " п р я м о у г о ль ны е ко о р д и н а ты точек п е р е с е ч е н и я
из об ра же ни я г па ра лл е л и и j меридиана, которые
можно получить из совместного реше ния системы.
F ^ X j ^ i ,Х,А) = 0 ;
F 2( x , , y , , ( v , B ) = 0,
где А и В - векторы постоянных параметров, применение
которых дает возможность осуществлять заданное р а с т я ж е ­
ние и сжати е из об ра жен ия на данном участке карты.
Поскольку указ ан ные уравнения меридианов и п а р а л л е ­
л е й , к а к п р а в и л о , н е и з в е с т н ы , то и х о п р е д е л я ю т с
использованием аппроксимирующих зависимостей.
Проекции с измененной метрикой пространства существен­
но отличаются от указ ан ных выше проекций а на м ор ф ир ов а н­
ных карт. Это отличие закл юча ется в том, что отображение
объектов осуществляется с учетом не только их ге ог рафичес­
кого м е с т о п о л о ж е н и я , но и с у щ е с т в у ю щ и х м е ж д у ними
ф у н к ц и о н а л ь н ы х с вя зе й , и з м е р я е м ы х тоннами, руб л ям и,
вр е м е н е м и д р у ги м и п о к а з а т е л я м и . При этом в о з н и к а е т
необходимость в, так называемом, преобразовании евклидовой
метрики в заданную.
Общие уравнения этого класса проекций имеют вид
X = F\ [ы(ф, X), у(ф Д ) ] ; у = F2 [ы(ф, X), у(ф, >.)],
где
м(фД),у(фД) - ф у н к ц и и , о п р е д е л я ю щ и е у к а з а н н ы е
преобразования (или дополнения) эвлидовой метрики в
заданную.
В ч а с т н о с т и они мог ут быт ь п р е д с т а в л е н ы т а к ж е в
следующем виде
х = Fi(q>,X,T ) ;
x
= F2( фг Д е) ;
у = F3(q>,X,T) ■,
(272)
y = F4 ( Фг Д е )
или
х \ у ' - прямоугольные координаты в исходной проекции;
Т - вектор ка рт ог ра ф ир уе мы х показателей (время, стоимость
и другие);
Фв, Хе - преобразованные географические координаты под
воздействием вектора Т.
П р и этом все ф у н к ц и и (/,, / 2> F,, Г 2, F 3, F 4, F 6, F g)
непрерывны, однозначны и якобианы их не равны нулю.
П ри в е де м в ка ч е с т в е п р им ер а два способа по л у че н и я
вари ава ле нтн ых проекций типа (270).
В пе рвом, в к а ч е с т в е исходной п р о е к ц и и в з я т а а з и ­
м у т а л ь н а я п р о е к ц и я . Ф у н к ц и я А, х а р а к т е р и з у ю щ а я
ка рто гр аф ир уе мое явление, и р проекции пре дставле ны в
виде
Рис.63 Переменно-масштабная проекция
р = R Asinz;
А - 6, + b2z + b3z 2 + bAzo + bsa 2+... .
Форм улы прямоугольных координат принимают вид
X = pcosа =
+ b2z + b3z 2 + b4za + Z>5fl2+...jsinzcostf ;
Y - psinfl = 7?^ + b2z + b3z 2 + bAza + 65fl2+...]sinzsina ,
где z, a - полярные сфе рические координаты, определя емы е
из (14),
Ъ.
- постоянные параметры, вычисляемые из ре шения
с и с т е м ы у р а в н е н и й в и д а (273) по з н а ч е н и я м
ап пликат изображаемого явл ен ия A(z,a) •
Во в т о р о м с п о с о б е п р е д п о л а г а е т с я , что ч и с л е н н ы е
з н а ч е н и я к а р т о г р а ф и р у е м о г о я в л е н и я о б р а з у ю т собой
некоторую статистическую поверхность, связанную с пове рх­
ностью с ф е р ы вы ражением И = /(срД). Записав:
р = (Л + А ) - / ( г ) ;
5 = а,
где R - радиус Земли, можно получить ф ор му л ы тр е х ва р иа валентных проекций: типов гномонической, с т е р е о г р а ф и ч ес ­
кой и перс пек тив но -а зим ут аль ной . Аналогично могут быть
получены конкретные проекции других типов. На рис 63 дан
вар иа нт переменно-масштабной проекции.
Важной особенностью выполненных исследований является
то, что они подводят черту сомнениям некоторых к а р то г ра ­
фов, которые говорили о с уб ъ е к ти в и зм е , м ат е м а ти ч е ск о й
неопределенности этих карт. Теперь можно сказать однозначно
- анаморф иро ван ные карты, для которых в настоящее время
разработ ан ы теория и методы получения ка рто гра фи чес ких
проекций, обладают всеми ха ра кте рны ми чертами к а р то г р а ­
фичес ких произведений.
3.9. К А Р Т О Г Р А Ф И Ч Е С К И Е П Р О Е К Ц И И ДЛ Я К А Р Т
ГЛОБУСОВ
Глобусы могут и з г о т а в л и в а т ь с я путем и с п о л ь з о в а н и я
шаровых заготовок и их обклеивания или путем ф о р м и р о в а ­
ния полушарий.
В первом случае для обклеивания шаровой поверхности
с тр о я т с я м ер и д и ан н ы е полосы с к а р т о г р а ф и ч е с к и м
и з о б р а ж е н и е м п р о т я ж е н и е м в 30° по д о л г о т е (±15° от
среднего прямолинейного меридиана) и с Дф = ±70° по широте.
Для построения изображений на этих полосах может быть
использована видоизмененная простая поликоническая
проекция, сохраняющая длины на среднем меридиане, на всех
п а р а л л е л я х и имеющая ис каж ен ия на крайнем меридиане,
близкие к графической точности. Формулы проекций для этих
полос шаровых глобусов пре дставляют в виде
х = s + p(l - cos 5);
Р = /са^ф ;
у = р sin 5;
sin cp „
5 = ------ X,
к
где к - постоянный пара мет р (обычно полагают к= 2 ).
Для учета дефор мац ии при обклейке шаровой заготовки
координаты проекции умножают на постоянный коэффициент,
определяемый опытным путем.
И з о б р а ж е н и е на п о л я р н ы е ш ап ки п о л у ча ю т в прям ой
равнопром еж уточной вдоль меридианов ази м у тальн о й
проекции (см. п. 2 .2 .2 ).
Во в т о р о м с п о с о б е , р а з р а б о т а н н о м в Ц Н И И Г А и К ,
п р едусм атри вается использование в качестве носителя
картографического из об ра жен ия тонких пленочных м а т е р и а ­
лов, отличающихся равномерностью в ы тя ж к и в продольном
и поперечных н а пр авл ен иях при преобразовании плоскости
в полусферу. Это преобразование ос уще ствляется на основе
т е р м и ч е с к о й о б р а б о т к и п л е н к и и ее ф о р м и р о в а н и я в
п ол ус фер у на специальном оборудовании.
К а р т о г р а ф и ч е с к о е и зо б ра ж е ни е, наносимое на пленку,
с т р о и т с я в в и д о и з м е н е н н о й р а в н о п р о м е ж у т о ч н о й в д ол ь
меридианов азимутальной проекции (В.М.Богинский, 1985) с
учетом необходимых величин ее ра с тяж е н ий (деформаций),
ос уще ствляемых в процессе выполнения ук аз ан ных работ.
х = pcosfl;
y = p sin fl;
р = k xRz\
z = 90°-ср;
а = -X.
к х - постоянный параметр, определяемый с учетом заданной
степени ра стяжени я.
3 .1 0 . К А Р Т О Г Р А Ф И Ч Е С К И Е П Р О Е К Ц И И
ТРЕХО СН ОГО ЭЛЛ И П СО ИДА.
И ЗО М Е Т Р И Ч Е С К И Е К О О Р Д И Н А Т Ы
Р а з р а б о т к а проекц ий трехосного э л ли п со ид а и более
с л о ж н ы х р е г у л я р н ы х по верхностей при н ци пи ал ьн о м ож ет
вы по лняться с использованием разл ичн ых систем координат.
О д н а к о , н а и б о л е е о б щ и й , с т р о г и й и в то ж е в р е м я
сравнительно простой способ получения проекций, особенно
равн оугольных, св я за н с использ ова ние м так н а з ы в а е м ы х
изометрических систем координат. При ка р тог ра фи ров ан ии
пове рхностей ша ра и эллип сои да в р а щ е н и я р а з р а б о т к а и
и с п о л ь з о в а н и е и з о м е т р и ч е с к и х с и с те м
координат для
получения картог ра фи чес ких проекций больших трудностей
не вызывает.
С л о ж н е е об с то и т во п р о с п о л у ч е н и я и з о м е т р и ч е с к и х
координат для ка р тог ра ф ир ова ния более сложных поверхнос­
тей, в частности поверхности трехосного эллипсоида.
К в адр ат линейного элемента трехосного эллипсоида можно
предста вит ь в виде
ds2 = Edu2 + 2FdudL + GdL2,
(274)
где с учетом принятой системы координат (см. раздел 1, п.1.1.3).
Е = d 2 sin 2 и + с2 cos 2 и >
G = ( d 2 + d 2)cos2 и ;
F = - d d L sin и cos и ;
(275)
За п и ш е м уравне ние связи кв адратов линейных элементов
(274) и плоскости и, с л ед уя К.Якоби, разобьем его на два
м ножителя
dx ± idy = { А± В ’) j E d u +
J l ± (r
£
dL
(276)
Буд ем за д а в а т ь зна чен ия А и В' так, чтобы пра вы е части
этих уравнений стали полными ди фф е ре нц иа л а м и.
Тогда, полагая F = 0 и записав
dx ± idy = / , (u, L)du ± if2 (и, L)-jGdL ,
(277)
будем выполнять преобразования, в ре з у л ь т а т е которых это
ура внение будет действительно соответствовать вы ра жен ию
(276) и обеспечивать получение искомой проекции.
У чит ыва я (275), перепишем уравнение (277) в виде
dx ± idy = bf2(u,L) cos и
A{U' L)
d u t i U d 2 + d 2L )'/ 2 dL
nsuf,(u.L)
b\
L>
bcosuf2(u,
L)
(278)
Рассмотрим все члены этого выражения.
Для равноугольных проекций следует записать
f 2 (ч, L) COSW
= — ,
т
где т - частные масштабы длин проекции.
С учетом приведенных выше ф орм ул имеем
т=
у[Щ>
н
= sec B°ijl - р 2 sin 2 В°
^1 + = . —
Vi + z 2 c o s 2 В°
(279)
(280)
П р и н и м а я во вн им ан ие к в а д р а т линейного э л е м е н т а в
изометрической форме вида (21) и вы р а ж е н и я (279), (280),
можно т а к ж е записать
Р = bf2(u,L)cosu - bc os B 0
Vl + Z2 co s 2 B°
(281)
p 2 sin 2 2?°)
П отребуем , чтобы в получаем ой п роекции длины
сохранялись на экваторе. Тогда из (278) будем иметь
^ . \ ) ^ d L ^ \ L\ ( d ^ d l p d L ,
о
о
Vzez;
y = bx]
Конкретные значения изометрических долгот rj и ординат
у можно вычислить по фор мул ам
г] = B0L + В5 sin 2L - Вь sin 4 L - В7 sin 6 1 - Bs sin L + . ..,
8
(283)
где
d
1
1Ar2
13
4
64
2?0 = 1 + —к + — к
0
о
1/2
4
3
+ Тб
. 4
, 4
326
+ -т ^ гк
, 6
1600
9 5 ;б
1 к 4 + 5 А:6
?6~ 6 4 * + 256*
16384
735 . §
+ 51^
? -
1877 ,g
+ —-----
+ 4096
+
’
(284)
121 £ 8н
4096
Н
д = 15 t.6
175 , 8
.
121
8
7 512
8192
8 16384
Теперь, дл я того чтобы действительно F = 0 и можно было
п е р е й т и от в ы р а ж е н и я (276) к в ы р а ж е н и я м (277), (278),
необходимо только установить конкретное в ы р а ж е н и е для
члена
/,(м Д )
) = -------Т~(—
Т\ •
(285)
cos и/2(и,Ь)
Положим, что в первом приближении
Ф(u,L)du - — ^— j E d u = ( d 2 tg 2 и + c 2)/ 2 du = ddx .
COS U
'
/
Учитывая, что
tgM = -^-tg5°;
d
du = ^-cos2 usee2 B°dB°y
d
и положив
d l l - p 2)
M' = --------i
(l - p 2 sin 2 B°)
d
N ' = ---------- —---------j—;
(l - p 2 sin 2 i?°)
r' = N ' c o s B ° . (286)
М'
dx = — dB°.
(287)
И н т е г р и р у я в ы р а ж е н и е (287) вдоль данного меридиана,
для которого d = const, р = const, напишем
т = In U';
V = tg^45°+ — j j tg ^ 4 5 ° + ^ ° } ;
v|/°= arcsin(psin 5°),
где
t g £ ° = t g 5 ( l + z 2) ^ ;
p 2 = l - ( ^ ) 2-
Из (278) в данном п р иб л иж е ни и будем иметь
x = b d - т = Л;',
(288)
где
- зна чен ие изомет рич ес кой широты
Теперь, имея и зом етрические координаты
г| и
и сп ол ьзуя ф орм ул ы общей теории кар то гр а ф и ч е с к и х
проекций, можно получить различны е равноугольные и
д ругие по х а р а к т е р у и с ка ж е ни й к а р то гр а ф и ч е с к и е проекции
трехосного эллипсоида.
В таблице 12 пр иве де ны р е з у л ь т а т ы вычислений и зо м ет ­
рич еских координат, част ных масштабов длин га - по строгой
фор мул е, га' - по зн а че ни ям абсцисс численными методами,
а т а к ж е прямоуг оль ных координат равноугольной ц и л и н д р и ­
ческой проекции трехосного эллипсоида д ля к а р т о г р а ф и р о в а ­
ния поверхности Фобоса (главный масштаб 1:100 ООО)
Заметим, что трехосные эллипсоиды приняты для аппроксимации
спутников Марса-Фобоса (д=13,5 км; 6=10,7 км; с= 9,6 км), Деймоса (д=7,5
км; 6=6,0 км; с=5,5 км) и для спутника Юпитера - Ам альте я (д=135 км;
6=85 км; с=77,5 км) (Тюфлин Ю.С., Абалкин В.К. Системы координат и
элементы вращения планет и их спутников. Геодезия и картография. М.,
1979, N912, с.34-41.
0°
0°
60°
90°
т
1.0
1.0
1.0
1.0
т'
1.0
0.999662
0.997758
1.0
х
0.0
0.0
0.0
0.0
У
0.0
69.56 мм
133.20 мм 190.54 мм
Л
0.0
0.650120
1.244842
1.605729
т
1.032951
1.042609
1.050631
1.051968
т'
1.032951
1.042051
1.050965
1.052107
X
24,83 мм
27.20 мм
30.04 мм
30.94 мм
4
0.232056
0.254206
0.2800748 0.289159
т
1.164492
1.207692
1.245069
1.251704
1.164923
1.203668
1.244275
1.247087
56.76 мм
61.58 мм
66.59 мм
67.84 мм
0.530467
0.575607
0.622336
0.634019
О
О
20 °
30°
X
%
Аналогично могут получены и вычислены другие проекции
трехосного эллипсоида.
РАЗДЕЛ 4. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ИЗЫСКАНИЯ И ВЫБОРА
НАИЛУЧШИХ, ИДЕАЛЬНЫХ И
ДРУГИХ ПРОЕКЦИЙ. НАПРАВЛЕНИЯ
АВТОМАТИЗАЦИИ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОСНОВЫ КАРТ
4. 1. НАИЛУЧШ ИЕ И ИДЕАЛЬНЫ Е
КАРТО ГРАФ И ЧЕСКИ Е ПРО ЕКЦ И И
4.1.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ О НАИЛУЧШИХ И
ИДЕАЛЬНЫХ ПРОЕКЦИЯХ
Одной из самых ва жны х и сложных проблем м ат ем ати ч ес ­
кой к а р т о г р а ф и и я в л я е т с я р а з р а б о т к а теории и п р а кт и к и
получения на ил учш их и идеальн ых проекций, обладающих
минимальными ис каж ен иям и и (или) другими достоинствами.
П р и о р и т е т в постан овк е этой проблемы, в р а з р а б о т к е
о с но вн ы х п о л о ж е н и й т е о р и и , способов п о л у ч е н и я э ти х
проекций, решении ряда пр а кти че ски х задач, св яз а нн ых с
их использованием, п р и н а д л е ж и т Российским ученым.
Впервые постановка такой проблемы была сделана в
1853 г. в е л и к и м р у с с к и м у ч ен ы м П а ф н у т и е м Л ь в о в и ч е м
Чебышевым, который сф ор м ул ир ов а л теорему о наилучш их
равноугольных проекциях.
С того времени было выполнено много и сс лед ова ни й в
н а ш е й с т р а н е и ч а с т и ч н о за р у б е ж о м ,
касающихся
р а зл ич ны х аспектов ре ше ния этой проблемы. В р е з у л ь т а т е
м о ж н о о т м е т и т ь , что п р о б л е м а и з ы с к а н и я н а и л у ч ш и х
р а в н о у г о л ь н ы х и б л и з к и х к ним п р о е к ц и й , о б л а д а ю щ и х
н а и м е н ь ш и м и в е л и ч и н а м и и с к а ж е н и й в с е х в и д о в по
сравнению со всеми равноугольными проекциями, в основном
решена.
Вместе с тем, решение проблемы определения наилучших
п ро е кц ий в общем виде, р а з р а б о т к а те ор ии и п р а к т и к и
изы скания наилучших равновеликих и других по ха ра кт е ру
иска жен ий проекций находится в начальной стадии.
Большой вкла д в р а зр а б о т к у теории и решен ии задач
получения наилучш их проекций внесли кру пне йш ие русские
ученые П.Л.Чебышев. Д.А.Граве., Н.Я.Цингер, А.А.Марков,
1ОЗак. I13
В.В.Витковский, Н.А.Урмаев, В.В.Каврайский, Г.А.Мещеряков
и другие.
Как отмечается
в картографической литературе,
на ил учш ие проекции можно искать либо из неограниченного
множества ка рт ог ра ф ич е с ки х проекций, либо из какой-то
их частной совокупности. В первом случае, в соответствии с
о п р е д е л е н и е м В . В . К а в р а й с к о г о , п р о е к ц и я и щ е т с я под
е д и н с т в е н н ы м ус ло вие м, чтобы н а и б о л ь ш и е в п р е д е л а х
изоб ра жае мо й области ис ка же ни я длин отклонялись от нуля
как можно меньше. Такие проекции названы идеальными.
Ес ли ж е о п р е д е л я т ь п р о е к ц и и из к а к о й - т о их ч а с т н о й
совокупности, например, из проекций того или иного их вида
по х а р а к т е р у и с к а ж е н и й , то те
из н и х , в к о т о р ы х
о б е сп е ч ив а ю т с я м и н и м а л ьн ы е ве л ич ин ы и с к а ж е н и й длин,
наз ыв аю тся наилучшими.
В настоящее время известны два направления получения
на ил учш их проекций. Первое предполагает решение за дач и
по методу П.Л.Чебышева: ф о р м у л и р у е т с я и д о ка з ы в а е тс я
теорема о на илучшей проекции и на ее основе р а з р а б а т ы в а ­
ются способы п о л уче ни я такой проекции. В этом сл уч а е
оп ре дел яю тся проекции, в которых в пред елах к а р т о г р а ф и ­
р у е м о й об л а с т и м а к с и м у м м о д у л я л о г а р и ф м а м а с ш т а б а
до лже н принимать минимальные значения.
Во втором направлении определение проекции сводится
к решению вар иационных за д ач на условный экстремум,
предусм атри ваю щ и е получение и оценку искаж ений
проекций, как в отдельных точках, так и во всей области
картографирования. При этом используются критерии оценки
достоинств проекций, пред лож ен н ы е Эйри, Иорданом,
В.В.Каврайским, Г.И.Конусовой, Клингачем и другими,
достаточно полно описанные в л и т е р а т у р е (см. п.1.2.3).
Таким образом,
можно оп ределять н аилучш ие и
и д е а л ь н ы е проекции, от но ся щи ес я либо к мин има ксн ом у
типу, у д о в л етв о р я ю щ и х к р и тери ю Ч ебы ш ева, либо к
в а р и а ц и о н н о м у т и п у , о с н о в а н н ы х на и с п о л ь з о в а н и и
ука з а н н ых вариационных критериев.
Однако, в ка рто г р а ф ич е с ко й пр ак ти к е не редки случаи,
когда о п р е д е л я ю щ и м ф а к т о р о м выбора и и с п о л ь з о в а н и я
проекций я в л я е т с я не величина искаже ний и х а р а к т е р их
распр еде лен и я, а иные ф ак то р ы или их совокупности.
Отсюда следуе т отметить, что наилучшие проекции могут
быть двух видов:
1 .Н а и л у ч ш и е п р о е к ц и и , о б е с п е ч и в а ю щ и е м и н и м у м
искажений и на илучшее их распределение: минимаксного
или вариационного типов.
2 .Н а и л у ч ш и е про е кц ии , о б е сп е ч и в а ю щ и е о п ти м а л ьн о е
выполнение всей совокупности требований к проекциям в
соответствии с конкретным назначением создаваемой карты.
Р е ш е н и е проб лем ы и з ы с к а н и я н а и л у ч ш и х пр ое кци й с
ра зличным ха ра кте ром искажений находится в ра зл ичн ых
стадиях развития.
Раз работка теории и способов определения равновеликих
п р о е к ц и й , в том ч и с л е н а и л у ч ш и х , б ы л и п р е д м е т о м
исследований многих ученых.
В 1898 г. Н.Я.Цингер в своем Курсе высшей геодезии
(СПБ, стр.215) высказал предположение: “Для эквивалентных
и зображ ен и й , по-видимом у, должно быть с п р авед ли в о
подобное же правило, как и п равило Ч ебы ш ева для
и з о б р а ж е н и я к о н ф о р м н ы х , а именно: в н а и в ы г о д н е й ш е м
эквив алентном изображении какой-нибудь страны наиболь­
шие и с к а ж е н и я ф и г у р д о л ж н ы быть о д и н а к о в ы м и на
п ротяжении всей ее гр ан ицы ”.
В.В.Каврайский в своих исследованиях отмечал, что:
“И з в е ст н ы три р а в н о в е л и к и е проекции с на им е нь ши м
к р а й н и м и с к а ж е н и е м углов в н у т р и данного к о н т у р а , а
именно а зи м ут а ль на я проекция Ламберта, псевдоконическая
Схольса для сферического сегмента и, вероятно, коническая
проекция Тиссо с наименьшими крайними искажениями углов
внутри пояса - для поя с а ”.
В.В.Каврайский для ан ализа предположения Н.Я.Цингера
использовал псевдоконическую проекцию Схольса и доказал,
что м ак си м а л ь н ы е и с к а ж е н и я углов будут иметь место в
центре области картографирования.
Используя прямую и поперечные системы координат он
показал, что в двух а н а ли зи ру е м ы х в а ри а н та х и с ка ж е н и я
углов в центральной точке будут различны. На этой основе
он отметил, что для получения наилучшей равновеликой
проекции недостаточно выполнения требования, в ы те к а ю щ е ­
го из гипотезы Н.Я.Цингера.
Критика упомянутой гипотезы Н.Я.Цингера и исследований
В.В.Каврайского была дана в работах Г.А.Мещерякова.
Однако убедительных д ока зательств своих утв ер жд ен ий
Г.А.Мещеряков не дал.
Вместе с тем именно Г.А.Мещеряков, не с та вя за д ач и
н а х о ж д е н и я н а и л у ч ш и х р а в н о в е л и к и х пр ое кц ий в общем
случае, сфо рм ул иро вал теорему и получил частный вариант
такой проекции для
картографирования
территории
по луш арий [27].
Критический ан ализ метода Г.А.Мещерякова дан в работе
Г.И.Конусовой. На основе теоремы Ве йе рштрасса: “Вся кая
н еп ре ры вн ая функция, за дан на я на компактном множестве,
достигает на нем верхней и нижней г р а н и ”, Г.И.Конусова
сф орм улировала и доказала теорему сущ ествования
н а и л у ч ш и х проек ци й минимаксного типа д л я з а д ан н о й
ограниченной области. В своих исследованиях она отметила,
что Г.А.Мещеряков сфо рм ул иро вал лишь частную задачу,
что в этой з а д а ч е р еч ь иде т л и ш ь об област и в л и я н и я
исходных данных, начальных условий, при которых во всей
области их влияни я и с ка ж е ни я наименее отк лоняются от
н у л я , но к а к о в а э та о б л а с т ь и и м е е т ли она с в я з ь с
ка рто гр аф ир уе мой терр ит ор ией не ясно.
Р я д исследований выполнили и другие ученые.
А .С .Лисичанский получил об ъединенны е системы
эквив алентных азимуталь но-ц ил инд рич еских и а зи м у т а л ь н о ­
конических проекций, имеющие определенные достоинства.
В т р у д а х В.В.Каврайского и Г.А.Мещерякова доказано,
что т акие проекции еще не явля ют ся наилучшими.
Ю .М.Ю зефович п р ед ло ж и л класс к а р то г р а ф и ч е с к и х
п р о е к ц и й , д л я ко т о р ы х т = п к , где к - п о с т о я н н а я д л я
данного вариа нта проекции величина.
М.А.Топчилов и С.М.Юзефович р ас смо тре ли некоторые
частные ре шения задачи получения проекций, прим ыкающих
к равноугольным.
Весьма интересными и полезными яв ля ю тся исследования
Е . Н . Н о в и к о в о й по в о п р о с у о п о л у ч е н и и и д е а л ь н ы х и
наи лу чши х проекций вариационного и минимаксного типов
с минимальными искаже ния ми (1991 г.), В.Хойовека, давшего
приближенное решение вариационного типа для отображения
г е о г р а ф и ч е с к о й т р а п е ц и и ( П р а г а , 1976), Д ж . С н а й д е р а ,
рассмотревшего вопросы использования численных методов
для получения наилучших равновеликих проекций.
Говоря о полу чен ии и д е а л ь н ы х проекций, необходимо
иметь в виду следующее. Если исходить только из условия
о б е с п е ч е н и я м и н и м у м а и с к а ж е н и й , то в с о о т в е т с т в и и с
определением В.В.Каврайского идеальными проекциями, как
было сказано, можно на звать проекции, получаемые из всего
мыслимого их множества, в которых обеспечивается минимум
ис кажений длин в пределах изображаемой области. И в этом
с л у ч а е и д е а л ь н ы е п р ое кц ии могут быть ми ни ма кс но го и
вариационного (среднеквадратического) типов.
Р а с с м а т р и в а я данную проблему в общем смысле,
и д е а л ь н ы м и п р о е к ц и я м и , о п р е д е л я е м ы м и из вс е го их
множества, можно на звать те из них, в которых обеспечива­
ется оптимальное выполнение всех требований, п р е д ъ я в л я е ­
мых к к а р т о г р а ф и ч е с к и м п р о е к ц и я м д л я с о з д а н и я к а р т
конкретного назначения и на конкретную территорию. Иначе
г о в о р я , е с л и и м е т ь в в и д у не т о л ь к о о б е с п е ч е н и е
м и н и м а л ь н ы х и с к а ж е н и й на к а р т а х , а о п т и м а л ь н о е
удовлетворение всей совокупности требований, то идеальных
проекций, одинаково пригодных для всех случаев практики,
не существует, их необходимо р а з р а б а т ы в а т ь дл я каждого
конкретного задания.
Решение задачи изы ска ния таких проекций относится к
числу очень сложных. Ко н к р ет ны х р е ш е н и й пока еще не
имеется.
4.1.2. ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ЗАДАЧИ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ КАРТОГРАФИИ В ТЕОРИИ
ПРЯМЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ НА
ПЛОСКОСТЬ
Общие у р а в н е н и я к а р т о г р а ф и ч е с к и х проекций, как
отмечалось выше, имеют вид
Если за д ан ы исходны е т р е б о в а н и я (услови я) и в
соответствии с ними получены ф ункции / р / 2, на зы в ае м ы е
отображающими, то их использование позволяет определить
конкретные ф ормулы частных масштабов и других
х а р а к т е р и с ти к проекций на основе уравнений общей теории.
Эти уравнен ия пре дст авл яю т в виде формул:
- частных масштабов длин и площадей
ab = тп c o se ;
а 2 + Ь2 = т 2 + п 2 ;
- сближения меридианов
I)'*
у = arctg — ;
U
, J>//
ЧЛЦ
- углов / в точках проекции м еж ду и зо б р а ж е н и ям и
меридианов и п а ра лле ле й и их отклонений е от прямого
, (
~ х ку„ 1
i = a r c t g ------------------ ;
. ОЛ0
е = / - 90°;
- наибольших ис кажений углов
.©
sin X
2
=
а- b
------ Г
а+Ь
или
^
2
- связи азимутов направлений на
е г
/
т
ctg Р = т “Г7 ct8 а + -7“ = —
h М
h
п
- азимутов главных направлений
^
2 /ил co s/
t g 2 a 0 = — -------- г ;
„
2\
р
проекции и на эллипсоиде
cosec / ctg а + c tg /;
л 2 sin 2 /
t g 2 p 0 = — ------- -----------
т - п
т + п co s2z
и других характеристик.
Р еш ен ие м прямой за д ач и матема тич еск ой к а р т о г р а ф и и
н а з ы в а ю т с я способы о п р е д е л е н и я к а р т о г р а ф и ч е с к и х
п р о е к ц и й , когда в н а ч а л е , и с х о д я из з а д а н н ы х ус л о в и й ,
находят отображающие функции /, и / 2, а затем в зависимости
от этих ф у н кц и й опр е д ел яю т х а р а к т е р и с т и к и проек ции и
выполняют соответствующие вычисления.
Достоинством этих способов определения к а р т о г р а ф и ч е с ­
ких проекций яв ля етс я ср авни тельная простота применяемого
в них математического аппарата. Но возможности использова­
ния этих способов для изыс ка ния новых проекций ог раниче­
ны, а их свойства вы яв л яю т с я только после опре дел ен ия и
а на ли за ото бражающих функций.
Реше ние м обратной задачи математической кар то гр а ф ии
н а з ы в а ю т с я способы о п р е д е л е н и я к а р т о г р а ф и ч е с к и х
проекций, когда вначале за д аю т ха ра к т е р и с т и к и проекции
(или часть из них), а затем с их использованием находят
отоб ража ющи е функции или непосредственно прямоугольные
к о о р д и н а т ы и д р у г и е , не з а д а н н ы е , х а р а к т е р и с т и к и
проекции.
У р а в н е н и я п р я м ы х о т о б р а ж е н и й п о в е р х н о с т е й на
пл ос ко с ти , и с п о л ь з у е м ы е д л я р е ш е н и я об р а тн о й з а д а ч и
математической картограф ии, определяю т следующим
образом.
Обозначим
11 = т М и v = nr (289)
и из ф орм ул частных масштабов длин (60), (61) получим
*<р = м- cos у;
х х = -vsin(y + е);
= jasiny;
у х = v cos(y + е).
(290)
Записа в условия интегрируемости этих уравнений
ж Ы
= ■ £ (* * )»
и подставив в эти в ы р а ж е н и я производные от (290), получим
фун дамен тальную квазилинейную систему уравнений первого
порядка в частных производных
у
=-е
v
М’х,
- — s e c s -------tgs;
V
V
vv
y x = — t g s + — secs.
И
(291)
H
Эта с и с т е м а , н а з в а н н а я Г . А . М е щ е р я к о в ы м с и с т е м о й
Эй ле ра- Ур мае ва, имеет фунда мен таль ное значение, я в л яе тс я
недоопределенной, так как она содерж ит два уравнения, а
входят в нее четыр е характеристики.
Г . А .М е щ е р я к о в р а с с м о т р е л все в о з м о ж н ы е в а р и а н т ы
доопр еделения уравнений (291) и на этой основе пр ед лож ил
генетическую кла сси фи кац ию проекций, отл ичающихся друг
от друга видом д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х уравнений, которые их
описывают [27].
Введя дополнительные функции
/и = г , ( ф Д ) ;
л = г 2 (<рД);
е = г 3(фД );
у = г4 (ф Д ),
он показал, что всего будет 15 вариантов доопределения.
Достоинством у ка за нн ы х способов опре деления к а р т о г р а ­
ф иче ски х проекций яв л я е т с я возможность их использования
для получения всего множества кар то г р а ф ич е с ки х проекций
ре гул ярн ых поверхностей, а т а к ж е то, что в этих способах
из ы с ка ни е проекций ос ущ е ст вл яе тс я, исходя из з а д ан ны х
ж е л а е м ы х их свойств.
Однако при получении этих проекций приходится реша ть
д иф ф еренциальны е уравнения в частных производных
первого порядка эллиптического, гиперболического,
п а ра бо л ич е ск ог о и с м е ш а н н ы х типов, что в б ол ьш и нс тв е
случаев п ре д ст а в л яе т собою достаточно сложную за д ач у и
сопряжено с выполнением громоздких вычислений.
4.1.3. УРАВНЕНИЯ, ОПИСЫВАЮЩИЕ “ОБРАТНЫЕ”
ОТОБРАЖЕНИЯ.
Пр и в ы ч и с л е н и и к а р т о г р а ф и ч е с к и х п р о е к ц и й мо жно
и с х о д и т ь не т о л ь к о из в ы р а ж е н и й (52), но т а к ж е из
уравнений па ра лл е л е й и меридианов (53)
Ф = F\i.x,y)\
X = F2(x,y).
С их помощью могут быть за д ан ы обратные отображения,
в которых искомые координаты х, у точек проекции яв ля ю тся
а р г у м е н т а м и , а г е о д е з и ч е с к и е к о о р д и н а т ы ср, X - их
фу нкциями.
Н.А.Урмаев получил ф ор м ул ы обращения, у с т а н а в л и в а ю ­
щие соотношения м еж ду частными производными
, хк ,
Уч>> Ух прямого и срх , Ц>у, Хх , Ху обратного отображений
Г
x \ = - J < P y >
1
(292)
.Vx=y<P*.
где
После подстановки зна чений этих частных про изводны х в
ф ор м ул ы х а р а к те р и с ти к т , п , р , tg у , tge . . . общей теории
к а р т о гр а ф и ч е с к и х проекций была получена система
д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х уравнений, т а к ж е имеющая ф у н д а м е н ­
тальное зна чение
(293)
1
1
ф Д х +фХ
tge = — :---------- Г фхл^ фуЛ,^
Г.А.Мещеряков назвал ее системой Тиссо-Урмаева. Она может
быть использована для получения картографических проекций
к а к на ос но ве р е ш е н и я п р я м о й , т а к и о б р а т н о й з а д а ч
математической картографии.
Если известны уравне ния п а ра лле ле й и меридианов или
за дан ы условия получения их функций, система уравнений
(293) дает возможность решить прямую за д ач у м атемати чес-
кой картографии, т.е. определить прямоугольные координаты
и затем ха ра кт е ри с ти ки проекции.
В случае, когда з а д а н ы х а р а к т е р и с т и к и проекции или
часть из них, эта ж е система (293) по зв ол яе т о пр е д ел ят ь
у р а в н е н и я п а р а л л е л е й и м ер и д и а н о в (или их ч и сл е н н ы е
значения) и в целом искомые проекции на основе ре шения
обратной за дачи математической картографии.
При этом система (293) не я в л я е т с я линейной, поэтому
ее р е ш е н и е п р е д с т а в л я е т ещ е б о л ь ш и е т р у д н о с т и , чем
р е ш е н и е системы д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х у р а в н е н и й Э й л е р а Урмаева (291).
Учит ывая это, Г.А.Мещеряков получил систему уравнений
а н а л о г и ч н у ю с и с т е м е Э й л е р а - У р м а е в а , но д л я с л у ч а е в
выполнения обратных отображений
(in v)x cosy - (in v)^ siny - e x tgscosy +
tgssiny +
+ у x siny + у у cosy = 0 ;
(In ц ) х sin (y - e) + (In ^
c o s(y - e ) + e x
- ex ^
-
- у x c o s(y - e) + у y sin (y - e) = 0.
4.1.4. ПРОЕКЦИЯ ЧЕБЫШЕВА - НАИЛУЧШАЯ
РАВНОУГОЛЬНАЯ ПРОЕКЦИЯ
В 1853 г. акаде ми к П.JI.Чебышев сфор м у л и р о вал теорему
о н а и л у ч ш и х р а в н о у г о л ь н ы х п р о е к ц и я х . С о г л а с н о этой
теореме, наилучшими равноугольными проекциями для
создания кар т на конкретные терри то рии я в л я е т с я те из них,
в к о т о р ы х на к о н т у р а х э т и х т е р р и т о р и й н а т у р а л ь н ы й
логариф м масштаба я в л я е т с я постоянной величиной. В
частности нулем. До ка за л эту теорему в 1894 г. а ка де м ик
Д.А.Граве. П е р в ы е способы п р а к т и ч е с к о г о п о л у ч е н и я
проекции пр ед ло ж и л в 1947 г. проф. Н.А.Урмаев [35].
П р о е к ц и я Ч е б ы ш е в а о п р е д е л я е т с я на основе р е ш е н и я
обратной зад ачи мат ематической к а р то г р а ф и и и вк лючает
решение двух задач:
- нахождение значений частных масштабов длин и других
х а р а кт е р и с ти к проекции в точках ка р тог ра ф ир уе мо й области
по з а д ан н о м у постоянному зн аче нию л о г а р и ф м а частного
масштаба длин т на контуре этой области;
- о п р е д е л е н и е п р я м о у г о л ь н ы х к о о р д и н а т х, у т о ч е к
проекции по имеющимся зна чен иям частных масштабов длин
в точках кар то гр аф и р уе мо й области.
П е р в а я ч ас т ь з а д а ч и с в о д и т с я к р е ш е н и ю у р а в н е н и й
Пуассона снулевыми граничными условиями или ура вне ния
Л апл ас а сза данными граничными условиями, т.е. к решению
внутренней зад ачи Дирихле:
1пцот + 1пци = 0
(294)
при за д ан н ы х граничных условиях
1п ц |г = 1 пг г ,
(295)
где q, X - изоме трические координаты;
r = N coscp;
l n /и = 1пц - lnr.
(296)
Решен ие м уравне ния Лаплас а (294) я в л я е т с я ф у н к ц и я
\п\х = F(q + iX),
н е п р е р ы в н а я в области к а р т о г р а ф и р о в а н и я , ограниченной
контуром Г.
За п и с а в это уравнение в виде
In ц = (q + iX)n,
после довательно возводя в степени 1 , 2 , 3 ... правую часть и
от де ля я мнимую часть от действительной части полученного
раз вернутого вы ра же ни я, можно найти решение ура вн е ни я
Л апласа в однородных гармонических полиномах для
ка р то г р а ф и р о ва н и я терр ито ри й с любыми оч ертаниям и
к
In =
/=0
к
+ 2 >е,->
/=0
(/ = 1’ 2’ 3’ •••>•
(297)
где viz,-, 0 / - га р мо н и ч е с ки е полиномы, з н а ч е н и я ко т ор ы х
равны:
Ц10 = 1; 0 О = 0 ; у , = q - q0; 0 , = X;
V2 = q 2 - X 2] 0 2 = 2 ( q - q 0 )X;
(298)
ч/„ = viv«-i - Мл-l. e«-i = Vi®n-i + 0iv«-i;
q, qQ - из ометрические широты в теку ще й и средней точках
проекции;
а , Ь. - постоянные п ар ам етр ы проекции.
В с л у ч а е , когда к а р т о г р а ф и р у е м а я т е р р и т о р и я и м ее т
контур, симметричный относительно среднего п р я м о л и н е й ­
ного меридиана, то в ы р а ж е н и е (297) принимает вид
к
1пц = 2 Х ч / , ,
(/ = 1 , 2 , 3 , . . . ) .
(299)
/=0
При этом, как было сказано, на контуре из об ра жа ем ой
тер р и т о р и и соблюдаются граничные условия (295).
В работах проф. Н.А.Урмаева показано, что д ля р е ш ен ия
ур а в н е н и я Л ап л ас а и, следовательно, н а х о ж д е н и я частных
масштабов длин во внутренних точках и з о бр аж аем ой области
могут быть использованы вариационный метод Ритца, метод
сеток, метод построения гармонической фу нкции, наилучш им
о б р а з о м у д о в л е т в о р я ю щ и й г р а н и ч н ы м у с л о в и я м , способ
на име ньших квадратов.
Наиболее удобным и эф ф е кт и в ны м , особенно при к а р т о ­
г ра ф иро ва нии тер ри т ор ий со сложными очертаниями, я в л я ­
ется последний способ.
Воспользуемся ре шением ур ав не ни я Л ап л а с а в виде (297)
и п р е д с т а в и м с у ч е т о м (296) ф о р м у л у д л я о п р е д е л е н и я
натурального л о г а р и фм а частного масштаба длин в точках
ра ссм атр ив аем ой проекции в виде:
- для асимметричного относительно среднего меридиана
в ар иа нта проекции
к
к
In m = In ц - In г = £ 0 , 4/,
/=0
- In г
(зоо)
/=1
- д л я симметричного вари анта
к
1п« =
In г.
(301)
/=0
П о с т о я н н ы е к о э ф ф и ц и е н т ы а , Ь. н а й д е м , и с х о д я из
минимума суммы квадратов н атурал ьн ы х логарифм ов
масштаба длин, о п р е д ел я е м ы х по ф о р м у л е (300) или (301)
д ля нескольких точек контура, число которых больше числа
оп р е д ел я е мы х коэффициентов.
Опред елив постоянные коэффи цие нты , можно вычислить
з н а ч е н и я ч ас т н ы х м асш таб ов длин во вн у т р е н н и х то чк ах
и зо бр аж аем ой области, т.е. решить первую часть задачи.
Вторую часть за д ач и решим с помощью д и ф ф е р е н ц и а л ь ­
ного у р а в н е н и я
» 2 = х 1 + у 1,
(302)
где \i = тг т - частные масштабы длин; г = N coscp - радиус
кри ви зн ы па раллели.
Р а з л и ч н ы е способы о п р е д е л е н и я прям о у го л ь н ы х
координат проекции Ч ебы ш ева рассмотрены в работах
р а зл и ч н ы х авторов (Н .А .У рм аева, Л .М .Бугаевского,
Н.Я.Виленкина и др.).
Рассмотрим способ линейной аппрокси мации, п р е д л о ж е н ­
ный автором данной книги, д л я п о л у ч ен и я п роекции
Ч е б ы ш е ва эллипсоида и ша ра с целью ка рт о гр а ф и р о в а н и я
те р р и т о р и и как с аси мм етр ич н ым и, так и симме три чн ым и
очер та ни ями .
С учетом в ы р а ж е н и я (302) за пи ш е м
xq =
у
ncosy;
= iisiny;
(303)
x x =-jisiny;
) Ч = Ц cosy,
где у - с бли ж ени я меридианов, которые в данном вы ра ж е ни и
неизвес тны и [х - функции, которые легко опр еделить для
к а ж д ой точки, т.к. значения част ных масштабов длин т для
к а ж д о й из них нетрудно вычислить.
Чтобы определить сближ ения меридианов, запишем
у р а вн е н и е Лапл ас а
Удд + Уи = 0
и ра вносильные ему условия Ко ш и- Ри м а на в виде
у 9 = ( 1п ц ) х;
У х = - ( 1п ц ) 9 .
Проинтегрировав эти уравн ен ия , найдем
к
к
У = - 1 > 0, + Е ^ , .
/=1
/=1
(304)
Т е п е р ь д л я любой в н у т р е н н е й т о ч к и о б л а с т и м о ж н о
получить численные значе ния |i и у .
По ск ол ьк у р а с с м а т р и в а е м а я пр ое кц ия я в л я е т с я р а в н о ­
угольной, то можно за пи сать аналит иче ску ю функцию
х + iy = F(q + ik) или в частности х + iy =(q + iX)n .
Тогда последовательно возводя в степени 1,2, 3, ... правую
сторону и о тд ел яя мнимую часть от действительной, получим
в гармонических полиномах
к
к
X = £т,ч/, - 2 >,е,;
/=1
1=1
*
(305)
у = У Ч 0/+
/=1
(=1
где /гг, п. - постоянные коэффициенты.
Для их вычисления про дифференцируем вы ра же ни я (305):
к
к
х ч = Z m' v ' - Z " < T<;
/=1
/=1
*
УЯ
=
Z
*(306)
/I' v < +
Z
m iT <’
i=\
гд е
i= 1
V,. = (Vi )g = (e,)x = Л|//_1;
= (e,)„ = -(Vi)x =(30?)
Введя с ф ор мул ы (303) обозначения
l^cosy = Г";
- (isin у = P",
получим с учетом вы ра же ни й (303) и (306) систему
к
Z '-W -i1/=1
(308)
= Т"
i=1
к
к
Х ' Л / Ч 'ы + Z ' 7”' 0'-! = Р "
/=1
/=1
в котором известными величинами яв ля ю тся Т" ,
, а определяемыми - постоянные коэф фи ци ен ты тр пг
Реш ив эту систему по способу на име ньш их кв адратов,
найдем искомые коэффициенты.
Теперь легко вычислить по фо рмулам (305) прямоуголь­
ные к о ор д и н а ты и по ф о р м у л а м (300) или (301) ч аст н ые
масштабы длин и другие х а ра кте рис тик и в точках вариантов
проекции.
Полученные проекции являю тся непосредственным
о т о б р а ж е н и е м п о в е р х н о с т и э л л и п с о и д а на п л о с к о с т ь и,
согласно вы полненн ы м и сслед о ван и ям многих учены х
(Д.А.Граве, Н.А.Урмаева, В.В.Каврайского и др.), обеспечи­
вает минимальные искаже ния длин в пределах изображаемой
т е р р и т о р и и и л у ч ш е е их р а с п р е д е л е н и е , м и н и м а л ь н у ю
среднюю к р и в и з н у и з о б р а ж е н и я ге од ез ич е ск о й линии по
сравнению с любыми другими равноугольными проекциями.
Некоторым неудобством данного способа яв л я е т с я то, что
для получен ия к о э ф ф и ц и е н то в т., п. в ц ел ях вы чис ле ния
прямоугольных координат этой проекции по (305) в каждом
конкретном случае необходимо составлять и реша ть систему
вида (309). Однако, при кар тографи ровании средних и малых
по площади территорий можно эти коэффиц иен ты получить
по з а м к н у т ы м ф о р м у л а м (Л.М.Бугаевский, С.Б.Мусрепов,
1990г.)
т ^ = е а°;
т2 = ^ е а°а1;
т3 = \ е а*[а? + 2а2 -
п 2 = - ^ е а«Ь{; л3 =
(310)
-
■
+ 6 2];
п\ = - - ^ e a°\Salbx + ва2Ь{ + 4 а}Ь2 + 6 Ьг - 2b2 - ^3],
где а., Ь. - п о с т о я н н ы е к о э ф ф и ц и е н т ы , п о л у ч а е м ы е из
р е ш е н и я с и с т е м ы (300), с о с т а в л е н н о й д л я з а д а н н о г о
к о л и ч е с т в а к о н т у р н ы х т о ч е к (при к а р т о г р а ф и р о в а н и и
террит ор ии с симметричными контурами все ко эф фи цие нты
Ь, = 0).
Для соз дан ия кар т крупны х областей, особенно сильно
в ы т я н у т ы х по ш и р о т е , в р я д е с л у ч а е в ж е л а т е л ь н о
использовать проекцию Чебышева, вы раженную в а н а л и т и ­
ческой конечной форме [38].
Пред ставим решение ур а вн е ни я Лапласа при заданн ых
граничных условиях
1
= —— в виде
сп q
In ц = In с + п ln[ch(p + aq ) + cos(P' - а\)] +
+ п ln[ch(p + а#) + cos(p' + а^)|,
где q - изо метр ическ ая широта;
с, п, р, а, р' - постоянные параметры, з а д а в а я которые
из р а з л и ч н ы х условий можно пол уч ит ь
совокупность н а и л уч ш их равно уго льн ых
проекций.
Т а к , е с л и п о т р е б о в а т ь , ч то б ы в ц е н т р а л ь н о й т о ч к е
q = X = 0 , /л0 = 1 и положить я = - — , р = 0 , получим ра вно­
угольную проекцию В.В.Каврайского
.J[.cha<7 + cos(P' - aX .)|ch a <7 + cos(P' + aA)]
где c = l ± c o s P ' .
Записа в д ля осевого меридиана
1 + COSP'
Но =
ch a q + cosP'
получают уравне ние проекции
Igkax =
tg kay =
sin P' sh a q
cosP 'ch a q + cosaX. ’
sin P'sinaX
c h a + cosP 'cosaX ’
где k = t g y В . В . К а в р а й с к и й п о л о ж и л , что
a
p' = 83°52'23"
и
получил в а р и а н т проекции, когда вся з е м н а я поверхность
и зо б ра жа ется в одном эллипсе с отношением полуосей 1 : 2 .
Аналогично рассмотренному можно п олучить проекцию
Чебышева дл я и зо бр аж ен ия полушарий, а т а к ж е с ф е р и ч е с ­
кой п о в е р х н о с т и , о г р а н и ч е н н о й д в у м я м е р и д и а н а м и с
р а з н о с т ь ю д о л г о т в 60° ( Э й з е н л о р , 1875 г., Н .А .У рм ае в,
1962 г.). Определенный интерес вызывает проекция Чебышева,
п р е д ст а вл яе м а я уравнением
ch
% + cosf — -
-r l I ch -^ + c o s ^ +
\
(311)
у д о вл етв ор яю щ ая граничному условию
1
c h <7
или X = + я .
Для определения прямоугольных координат проекции из (311)
можно за п и с ат ь
1
Но =
• q
я
ch - + cos —
Тогда для точек осевого меридиана и любой точки проекции
будем иметь
и
(х + iy) = F(q + iX).
4.1.5. РАВНОУГОЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ С
ПРИСПОСОБЛЯЕМОЙ ИЗОКОЛОЙ
При к а р т о г р а ф и р о в а н и и м алы х и средн их по площ ади
те рр ит ор ий ( Дф < 30°; АХ < 20° ) ниже рассмотренные прое к­
ции с п р и с п о с о б л я е м о й и зо колой имею т и с к а ж е н и я
п р а к т и ч е с к и р ав н ы е и с к а ж е н и я м проекции Ч е б ы ш е в а , но
значительно более простой математический аппарат.
4.1.5.1. ПРОЕКЦИЯ СХОЛЬСА
П р е д л о ж е н а в 1882
(В.В.Каврайский, 1933)
г.
х = /о + f \ k + f 2X2 + / 3Х3;
Ее
формулы
y = q0 + q ]X + q2X2 + q2X3,
где
f 2 = ^ r 0 sin фо + 3?38;
/ , = - 3 / 352;
q2 = - 3 / 36;
q{ = /q - r0 sin ф05 - 3<735 2 ;
/о = r o S - y / o S h ^ o S 2 -< 735 2;
tfo = / з&2;
5 = Inf/ —In t / 0;
/1 = —(\ - C c o s2 (A
имеют
B = —C sin 2 a ;
вид
а г - Ь'
i - ( y af
a1 + b2 1 + (bjaf '
a, b - п о л у о с и к р и в о й в т о р о г о п о р я д к а ( э л л и п с а )
аппроксимирующей контур картограф ируем ой
те р ри т о р ии
а - а зи мут полуоси а, из мер яе мый от оси абсцисс;
I n U “ оп р ед еля етс я по ф орм ул ам (22), (23);
ф0, Х0 - широта и долгота заданной (средней) точки.
Ч а с т н ы е м а с ш т а б ы д л и н м огу т б ы т ь о п р е д е л е н ы по
приближенной ф ор му ле
т = \ + Ах2 - 2 В х у + { ^ ~ А^у2 .
(313)
4.1.5.2. ПРОЕКЦИЯ ЛАБОРДА
Был а пр едлож ена в 1928 г. для создания кар т и обработки
геодезических измерений на острове Мадагаскар. Это тройная
проекция, по лучаемая следующим образом.
- От об раж ают эл липсоид на с ф е ре по второму способу
Гаусса
У = а\;
tg^45°+y<p'j = c U +a;
а = sinq>0 cosec ф(,;
с = tg(45°+ у Фь ) ^ о “ ;
Ro = j M 0N 0.
U - оп ре дел яе тся по ( 2 2 ), (23).
(Значения ф', X' можно вычислить по фо рм ул ам (157), (158)).
- Отображают с ф е р у на плоскости в поперечной проекции
Мер катор а
=
у ’ = l n tg ^ 4 5 °+ i^ ] ,
где
£=
Ф ' - Фо
+ С/';
s in i/' = sin ф' tg у Л.' tg ri;
sin r| = совф 'вт V.
- Получают прямоугольные координаты проекции
>> = у' + -^ Д х'3 + Ax’2у' - Bx'y'2 - ^ A y '3,
где А, В - определяются по (312).
П р и б л и ж е н н ы е з на че ни я масштабов можно опр е д ел ит ь
про той ж е фор мул е (313).
4.1.5.3. ПРИСПОСОБЛЯЕМАЯ РАВНОУГОЛЬНАЯ ПРОЕКЦИЯ
КАВРАЙСКОГО
Ф о р м у л ы п р я м о у г о л ь н ы х к о о р д и н а т п р о е к ц и и можно
за пис ать в виде
* ^
+1 ^
Y =л+
3 - з ^ 2 ) - } я ( з ^ л - л 3);
- 3 ^ 2) + } л ( з ^ л - Л 3),
где ^ = х - х 0;
Л^Д '-Д'о ;
У-> х о> Уо ” к о о р д и н а т ы п р о е к ц и и Г а у с с а - К р ю г е р а
соответственно в текущей и центральной
точках;
А, В - постоянные коэффициенты, опре дел яе мые
по фо рм ул ам
А = (\ - C c o s2 a )/4 ^ o ;
В = С sin 2a/4/?o ;
„ 1- л '2
, 6
С = -------- 5-;
п' =
1+ л'2
о
а, Ь - полуоси эллиптической изоколы, а п п рок си ми ­
рующей контур изображаемой территории;
a - дирекционный угол ее большой полуоси;
R0 = J M qN о - радиус средней кривизны земного эллипсоида
в центральной точке (ФоДо)4.1.5.4. ПРОЕКЦИИ, ПОЛУЧАЕМЫЕ НА ОСНОВАНИИ
ИСПОЛЬЗОВАНИЯ РЯДОВ И ГАРМОНИЧЕСКИХ ПОЛИНОМОВ
Способы определения этих проекций, я вл яю щ их ся ра вн о­
угольными или близкими к ним по х а р а к т е р у и ск аже ний ,
были разр або тан ы JI.А.Вахрамеев ой. В ук а за нн ы х проекциях
изоколы имеют овальную, о к р у г л у ю или гиперболическую
формы, различно о р ие нт иро ван ны е относительно меридиана
центральной точки [14].
Раб очи е ф о р м у л ы строго р а в н о у г о л ь н ы х п ро ек ций (на
п р и м е р е га р м о н и ч е с к о го п о л и н о м а 3- ей с т е п е н и ) мо жно
представить следующим образом
х = А0 + В хХ + А 2\ 2 + В3Х3',
у = B q + А хХ + В 2\ } + >4з
,
где А к и Вк - переменные к оэ ф ф иц ие нт ы , получаемые по
ф ор му л а м
Л = ао + а\{я - 9о) + аг{я - %)2 + a3(q - qQf ;
1" ^
_
\ d А0
dAp
’
2 ‘ “ 2 dq2 '
3"
1 d zA0
6 dq 3 ’
50 = 60 +6 ,(9 - 90) + Ы ? - + b}{q - q0f ;
n _ ^0 .
в ,= -— ,
n _ 1 d 2B0 .
В , . - —
,
и
1 ^ 0
где q и q0 - изометрические ши рот ы те кущ ей п а ра лл е л и и
па ра лл е л и центральной точки соответственно.
А н а л и з к о э ф ф и ц и е н то в п о ка за л , что им целесообразно
придать следующие значения [14]
г
fА
а 0 = 0, а, = г0 , а 2 = - - |- я п ф 0, а3 = г0 у
COS
2
ф
соз2ф 0
g
Определение коэ ф фициентов Ьк (в проекциях с а си мм ет­
ричными изоколами) целесообразно д ля простоты реш ен ия
зад ачи выполнять по фо рм ул ам
^0 = Ь\ = Ь2 = 0,
Ьг = b = r0 — cos2 ф0 .
В приведенных фо рм ул а х А и В (без индекса) - оп ре д ел е н ­
ные числовые ко эф фи цие нты , вли яющие на фор му изокол
и их поворот относительно мерид иан а центральной точки;
их значения могут быть получены по ф орм ул ам
.
1 - Ceos 2а
_
С sin 2 а
где С =
— и а - угол поворота изоколы относительно
а* + b
мер идиана центральной точки, а и b - полуоси изоколы.
Достоинством проекций, получаемых при помощи гармони­
ческих полиномов, я в л я е т с я простота получения и не большая
величина искажений.
У равнения равноугольных проекций, получаем ы х с
пр им ене ни ем рядов, с изоколами, с им ме три чн ым и отно си ­
тельно осевого меридиана, имеют вид
дс = а0 + fl2s ; + . . . ;
У = ° \s„ + a 3s l+....
Здесь: sn - дуга па ра лл е л и м еж ду меридианом це нтральной
точки и теку щи м меридианом, соответствующим
разности долгот этих меридианов (Л. —Л.0 );
aQ - х а ра кт е ри с ти ка проекции; a v av аъ - переменные
ко э ф ф и ци е нт ы , которые могут быть вы чи с л е ны
по следующим фо рмулам:
kRl
da0
dsm
=
1+
3si
kRl '
tgcp
N
a? = - - r 2a2
on = (- 0 ”
dax
ds
da-,
tg<P
N
(
tg(p
2N
ds m
Л\
kRl ’
tg 2 ф
6 R}о
'
ill
+
к - 6
6kRl ’
da /7-1
dsn
где sm - дуга меридиана между па раллелью центральной точки
и те ку щ ей параллелью;
N - радиус кри визны первого вертикала;
Rq - средний радиус изображ аем ой поверхности в це нт ­
ральной точке проекции.
В проекциях с асимметричными изоколами имеем
х = а0 + bis„ + a 2s 2 + b3s 3„ + . . . ;
y = b0 + a , s „ + b 2s 2n + a3s 3„+....
З н а ч е н и я п е р е м е н н ы х к о э ф ф и ц и е н т о в a k и зв е с тн ы , a
коэффици ен тов bk равны
» _ с3
т
и
_
3s2
т
0 kRl' 1 kRl
'
~
и
’
_3
s
т
L
_
1
1
2~ kRl' 3 kRl
‘
'
Частные масштабы этих проекций в ы р а ж а ю т с я фо рмулой
т =1+
6s 2
m - 12s msn + (к - 6)s2
2kRl
Р ас см от ре нн ая прое кци я может быть использована дл я
с о с т а в л е н и я к а р т на у ч а с т к и м алы х и с р е дн и х р а з м е р о в
масштабов 1:1 ООО ООО и мельче.
С ум еньшением масштаба карт пр ед елы и з о б р а ж а е м ы х
участков соответственно увеличивается.
Вычисления этих проекций могут быть выполнены как при
помощи ЭВМ, так и с применением малой вычислительной
техники.
К приспособляемым проекциям также, относится проекция
Л аг р а н ж а (см. п.2.3.1.2). В частных случа ях, когда контуры
изо б ра жа ем ых областей совпадает с линиями изокол той или
и н о й п р о е к ц и и , то к р а с с м а т р и в а е м ы м п р о е к ц и я м с
приспособляемой изоколой будет относиться и данная
кон кретная равноугольная проекция.
От метим, что пр ое кци и Схольса, Лаб ор д а, К а в р а й с к о го В.В., Вахра мее вой Л.А. целесообразно использовать дл я
кар то гр а ф ир о ва ни я малых и средних по ра зм е р а м т е р р и т о ­
рий.
Проекцию Л агр ан жа можно использовать при к а р т о г р а ф и ­
ровании любых по площади территорий, кроме полярных.
4.1.6. РАВНОУГОЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ,
ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ ПРИ ПОМОЩИ
ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КООРДИНАТ
К а к о т м е ч а л о с ь ( р а з д е л 1, п . 1.2.4) э л л и п т и ч е с к и е
к о о р д и н а т ы з а в и с я т от п о л о ж е н и я на по в е р х н о с ти ш а р а
фокусов с ф ер ич еск их эллипсов ( F , F ' \ F^ F{ ).
В системе Гюйу ф о ку с ы с ф е р и ч е с к и х эллипсов имеют
ш и р о т у фо = ±45° ; в с и с т е м е П и р с а все ч е т ы р е ф о к у с а
рас по лож ены на э к в а т о р е ( ф 0 = 0 ) в точках его пе ресечения
с м е р и д и а н а м и , и м е ю щ и м и д о л г о т у >.0 = ±45° ; в с и с т е м е
координат Адамса ф о к у с ы располагаются и в полюсах и на
экваторе.
Фо р м у лы дл я о п р е д е л е н и я значений а , b соответственно
имеют вид
42, .
. .V
cos а = - у - (sin ф - cos ф sin Xj;
cos b =
■\/2 / .
ч
(sm ф + cos ф cos X);
cos a = o ^ c o s ( 4 5 0+^);
cos b = a ^ c o s ( 4 5 ° - X ) ;
a = 90°-ф;
b = arccos(cos ф sin a.).
З н а ч е н и я и, v я в л я ю щ и х с я и з о м е т р и ч е с к и м д л я всех
систем координат, о пр е д ел яю тс я по ф ор мул ам
sinM = ■Jl cosf(o + b)/ 2];
sin u = л/2 cos[(o - Л)/2].
Прямоугольные коор ди на ты опр ед еля ют ся по ф о р м у л а м
х =&
у = л,
где
Е
г
du
,
. Г ~ ;
о д/l - ^ п2 wsin 2 Фо
г
" 'J '
dv
о >/Г-"sin^Vcos2" ^ "
(315)
У р а в н е н и я (315) в ы р а ж а е т э л л и п т и ч е с к и е ко о р д и н а т ы
п е р в о г о р о д а , з н а ч е н и я к о т о р ы х м о ж н о о п р е д е л и т ь по
изве стн ым способам и н те гр и ро в а н и я или по со ставленным
таблицам (Янке Е., Эмбе Ф., Леш Ф., 1968).
В п р о е к ц и и Гюйу к а р т а м и р а с о с то и т из к а р т д в у х
полуш арий, имеющих формы квадратов с граничны ми
пр ям о л и н е й н ы м и м ери ди ан ами . И с к а ж е н и я от с ут ст ву ю т в
точках пересечения осевых меридианов каждого пол уш а ри я
с экватором и достигает максимума в точках на пересечении
крайних прямолинейных меридианов.
П р о е к ц и я Пирса д а е т своеоб разное и з о б р а ж е н и е всей
зе м н о й п о в е р х н о с т и . И с к а ж е н и я о т с у т с т в у ю т в т о ч к а х
гео гр а ф и ч е ск и х полюсов; м ак си м аль н ы е и с к а ж е н и я
х ар акт ер ны для углов поворота экватора, изображающегося
в форме квадрата.
В проекции Адамса кар то гр а ф и р у е м а я поверхность
и зо бр ажа ется по пол ушариям (западное и восточное) в виде
ромбов. И ска же ни я отсутствуют в точках пересечения осевого
меридиана с экватором, а максимальные ис каж ен ия имеют
место в точках полюса и пересечения экватора с крайними
меридианами полушария.
М акеты к а р т о г р а ф и ч е с к и х сеток с и зоколам и этих
проекций даны в книгах [14, стр. 181-184], [38, стр.59].
4.2.
СПОСОБЫ ИЗЫСКАНИЯ
КАРТОГРАФИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЙ
Задача изыскания проекций связана с дальнейшим
р а з в и т и е м их тео ри и и п р а кт ик и, с с о в е р ш е н с т в о в а н и е м
м а т е м а т и ч е с к о й о с н о в ы к а р т , с п о л у ч е н и е м их но в ы х
множеств и вариантов, обладающих определенными
достоинствами по сравнению с известными проекциями, с
у довлетв орением новых требований, п р е д ъ я в л я е м ы х к
к а р т о г р а ф и ч е с к о м у об е с п е ч е н и ю п о т р е б н о с т е й н а у к и и
народного хозяйс тва.
Все возможные способы получения проекций ре гулярных
поверхностей основаны на ре шении прямой или обратной
задач математической картографии.
4.2.1. ИЗЫСКАНИЕ КАРТОГРАФИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЙ
НА ОСНОВЕ РЕШЕНИЯ ПРЯМОЙ ЗАДАЧИ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ КАРТОГРАФИИ
4.2.1.1. КЛАССИЧЕСКИЙ АНАЛИТИЧЕСКИЙ СПОСОБ ПОЛУЧЕНИЯ
КАРТОГРАФИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЙ
Большинство из известных кар то гр а ф ич е с ки х проекций
получено этим способом (см. ра зд ел ы 2 , 3).
4.2.1.2. ПЕРСПЕКТИВНЫЕ СПОСОБЫ ПОЛУЧЕНИЯ
КАРТОГРАФИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЙ
Эти проекции весьма полно рассмотрены в р а зд ел е 2.
4.2.1.3. СПОСОБ КОМБИНАЦИЙ УРАВНЕНИЙ ИСХОДНЫХ
ПРОЕКЦИЙ (ПРОИЗВОДНЫ Е ПРОЕКЦИИ)
Комбинации могут о с у щ е с т в л я т ь с я м еж д у п р о е кц и ям и
одного или р а з н ы х классов. Н а пр им е р, Г.А.Гинзбургом и
А .К .М ал о в и ч к о б ыли п р е д л о ж е н ы об об ще нны е ф о р м у л ы
а зи м у т а л ь н ы х проекций сф ер ы (см. п. 2 .2 .2 .5).
В б о л е е об щ ем в а р и а н т е д л я э ти х п р о е к ц и й м ож но
за п и сат ь
/
\
Z
L, sin —
с2
+ L
/с2у
+ L3 sin z +
l 4Z
+ L5 tgz
З а д а в а я соответствующие значения постоянных п а р а м е т ­
р о в , м о ж н о п о л у ч и т ь р а з н о о б р а з н ы е по х а р а к т е р у
искаже ни й а з и м у т а ль н ы е проекции.
При с = с2= 1 (во всех вариантах, кроме последнего) и
к = 1 ; L x - к х = 2; Ь 2 = L3 = L4 = L 5 = 0 получим р а вн о в ел и ­
кую п р о е кц и ю Л а м б е р т а ; при к - \ \ L x = L 3 = L4 = L 5 = 0 ;
L 2 = k 2 = 2 - сте ре ографическую проекцию; при к - к 2 =2;
L 2 = L 4 = 1;
= L3 = L s = 0 - круговую проекцию Нелля; при
к - L4 - 1; Lj = L2 = Z/3 = Z/5 = 0 - р ав н о п р о м е ж у то ч н у ю вдоль
в е р т и к а л о в а з и м у т а л ь н у ю п р о е к ц и ю ; п р и к = L 3 = 1;
L { = L 2 = L4 = L5 = 0 о р т о г р а ф и ч е с к у ю п р о е к ц и ю ; п р и
к = L5 = 1; L x - L 2 = L3 = £ 4 = 0 - г н о м и ч е с к у ю п р о е к ц и ю ;
при сх = с 2 = к = у , к х - к 2 - 2 и Lj = L 2 = 1; L3 = L4 = Ls = 0
- проекцию Брейзинга.
Для цилиндрических, конических и других классов
проекций обобщенным фор мул ам можно придать вид
X = к хХ\ + к 2х 2\
Y = к ху\ + к 2у 2,
где х , , у,, х2, у 2 - ф ор мул ы прямоугольных координат одного
класса проекций, но с р а з л ич ны м х а р а кт е р о м ис каж ен ий,
и л и р а з н ы х к л а с с о в п р о е к ц и й ; к {, к 2 - ( к } + к 2 = 1 ) п о с т о я н н ы е п а р а м е т р ы , от и з м е н е н и я к о т о р ы х з а в и с я т
св о й с тв а пр оекций. Н а п р и м е р , А.С .Ли с ич ан ск ий п о л у ч и л
р а в н о у г о л ь н ы е и р а в н о в е л и к и е проекции, с о о тв етс тве н н о
попарно комбинируя конические, цилиндрические и
а з и м у т а л ь н ы е проекции. Д л я о п р е д е л е н и я р а в н о в е л и к и х
проекций у ка з а н н ы х объединенных систем использовалось
условие равновеликости, выраженное в полярных системах
координат
и метод Майера, согласно которому одна из отображающих
фу нкций (х или у) задается. Полученное д иф ф е ре нц иа л ьн ое
у р а в н е н и е ре ш а ло с ь чи сле нны ми мет ода ми по зн а че н и я м
абсцисс, определенных в р е з у л ь т а т е линейной комбинации
абсцисс исходных проекций. П рим ерам и проекций,
п р е д с т а в л я ю щ и х собой к о м б и н а ц и и р а з л и ч н ы х к л а с с о в
проекций, явл яю тся т а к ж е проекции Гаммера и Винкеля. В
первой ординаты определяют как их с ре дн е ар иф м ети че ск ие
значения, в равновеликих проекциях Сансона и цил индричес­
кой
у = RX cos 2 —
2
И с п о л ь з у я у с л о в и е р а в н о в е л и к о с т и и п о л а г а я , что
абсциссы не з а ви ся т от долготы, получено
Фор му лы проекции Винкеля определяют как с р е д н е а р и ф ­
м ет и че с ки е из коо р д и на т проекций: р а в н о п р о м е ж у т о ч н о й
цилиндрической и проекции Айтова (см. ниже).
где к - постоянный коэффициент. Исходя из условия, что
на экваторе частн ый масштаб длин п = 0,85, В.В.Каврайский
получил значение к = 0,7.
П роекция широко п ри м ен яется для карт мира в
з а р у б е ж н о й к а р т о г р а ф и и . В этой п р о е к ц и и и с к а ж е н и я
площадей меньше, чем и ск аж ен ия углов.
4.2.1.4. СПОСОБ АЙТОВА (ПРОИЗВОДНЫЕ ПРОЕКЦИИ)
Айтов п ре дло жи л способ построения проекций для карт
м и р а, в к отором все о р д и н а т ы исх о д н о й п р о е к ц и и
удваиваются, меридианы подписываются соответствующими
удвоенными долготами и затем по координ атам определяются
промеж уто чн ые меридианы.
Им б ы л а и с п о л ь з о в а н а п о п е р е ч н а я а з и м у т а л ь н а я
равнопр ом еж уто чн ая проекция Постеля, ф орм ул ы которой с
учетом у ка за нн ых преобразований принимают вид
х = Rz cos a ;у - 2 Rz sin a ,
где
a - полярные сферич еск ие координаты, о пр ед еля емы е
по фо рм ул ам (14).
По этому методу Е.Гаммером на основе и с по л ьз ов а ни я
р а в н о в е л и к о й п оп ер ечн ой а з и м у т а л ь н о й п р о е к ц и и и при
р а с т я ж е н и и по д о л г о т е р а в н о м 2 б ы л а р а з р а б о т а н а
р ав н о в ел и к ая проекция для карт мира, п о л учи в ш ая
наименование проекции Аит ова-Гаммера
42 R sincp
* = -------------;
------- ;
Л
У = ------------Л
где
М.Д.Соловьев получил фор мул ы проекции Аитова-Гаммера
для общего сл у ч ая и р ассм о тр ел вари ан т, в котором
р а с т я ж е н и е по долготе равно 1 , 6 .
В настоящие время ра зр аб от ан ы ва ри ан ты проекций, в
ко т о р ы х р а с т я ж е н и е о с у щ е с т в л я е т с я не по одному, а по
двум н а п р а в л е н и я м (проекции Е.Зимона, К .В агнера,
Е.Кремлинга).
4.2.1.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАВНОВЕЛИКИХ ПРОЕКЦИЙ С
ОРТОГОНАЛЬНЫМИ КАРТОГРАФИЧЕСКИМИ СЕТКАМИ
(ПРОЕКЦИИ ЭЙЛЕРА)
Проекциями Эйлера назыв ают равновеликие проекции с
ортогональной ка рто графической сеткой.
В этих проекциях по определению
1
п
т = —;
6 = 0,
п
где т, п - ча с т ны е м а с ш т а б ы дли н вдоль м е р и д и а н о в и
п а ра лл е л е й соответственно; е - отклонения от прямого угла
м еж ду из об ра же ния ми меридианов и п а р а л л е л е й в точках
проекции.
Профессор Н.А.Урмаев (1947 г.) рассмотрел ряд положений
по т е ор ии э й л е р о в с к и х пр ое кц ий ша ра и на основе этих
п ол ож е ни й получил р а в н о в е л и к у ю конич еск ую проекцию.
Профессор Г.А.Мещеряков (1968 г.) продолжил теоретические
исследования этих проекций и проиллюстрировал рассмотрен­
ные им тео ре ти ч е с ки е пол ож е ни я на п ри м ер а х пол уче ния
равновеликих конической проекции шара, проекции Корк инаГ р ав е (м е р и д и а н ы в ней - к о н ц е н т р и ч е с к и е о к р у ж н о с т и ,
п а ра лле ли - пучок прямых) и проекции Эйлера, определяемой
и з у с л о в и я , ч то с р е д н и й м е р и д и а н я в л я е т с я л и н и е й
конформности, на которой отсутствуют все виды искажений.
Для получения проекций эллипсоида введем обозначения
ф
S = jMrdy,
g = n 2r 2,
(316)
О
где г = N coscp, Л/, N - радиу сы кривизны пара лле ле й, мери дианного сечения и сечения первого вертикала.
Учит ыва я фо рм ул ы частных масштабов длин, можно, по
аналогии с указ ан ным и работами, за писать
x s = “ 7= cosy;
VS
y s = — F-siny;
* x = V s sin у;
y k = Jg co sy,
vs
где у - сближение меридианов.
Составив условие интегрируемости этих уравнений,
получим известную систему уравнений в частных про из во д ­
ных первого порядка
2 s 2Y ^ + ^ = ° ;
£ j + 2 y x = 0,
(317)
а из нее - д и ф ф е ре н ц и ал ьн ое уравнение в частных про из во д ­
ных второго порядка
- S S x x + 2 g x2 = ° (318)
Система (317) и уравнение (318) явл яю тс я основными в
теории эйлеровских проекций.
В ч а с т н о м с л у ч а е , к ог д а g = f ( s ) из р е ш е н и я (317)
получим с учетом (316) ф о р м у л ы известной равн ов ели кой
конической проекции эллипсоида
y= a l,
g = 2a(C-S),
п2 = 2а(С S ) т р 2 = —(С - 5).
г
а
'
Г.А.Мещеряков т а к ж е показал, что эйлеровские проекции
ш а р а м о ж н о п о л у ч и т ь из р е ш е н и я д и ф ф е р е н ц и а л ь н о г о
уравн ен ия в частных производных
общими интегралами которого явл яю тся
F ( g , S ± gX) = 0 или f ( g ) = S ± g X .
(320)
Выполненные исследов ан ия пок азали, что возможности
п ол уч е ни я о п ти м а л ьн ы х в а ри а н то в э йл ер о в с ки х про екций
ша ра или эллипсоида на основе использ ования вы ра ж е н и й
(319), (320) весьма ограничены.
4.2.1.6. СПОСОБЫ ПОЛУЧЕНИЯ ПРОЕКЦИЙ С СОСТАВНЫМИ
СЕТКАМИ
Известно несколько способов определения таких проекций.
П р о е к ц и я , п о л у ч е н н а я по с п ос об у В . В . К а в р а й с к о г о ,
составлена из двух: равноугольной цилиндрической проекции
Меркатора в полосе с ф = ±70° и в более высоких широтах,
в цилинд рич ес кой ра вн опр ом еж уто чн ой вдоль меридиа нов
проекции.
П р и п о л у ч е н и и п р о е к ц и й по с п о с о б у Н . А . У р м а е в а
п р е д п о л а г а е т с я , что две об ласти э л л ип со ид а (сф ер ы) , не
имеющие общих границ, составлены в раз л ич ны х проекциях
с плавным изображением меридианов и параллелей.
Для определения координат точек промежуточной области
на проекции ус тан авливается аналитиче ска я зависимость при
условии, чтобы три одноименные пар алл ел и (в трех областях)
в общих точках имели общие касательные.
П о с т р о е н и е п р о е к ц и й по с по с о б у Г у д а о с н о в а н о на
п р и м е н е н и и люб ой п с е в д о ц и л и н д р и ч е с к о й п р о е к ц и и , в
к от о ро й и с к а ж е н и я в б л и з и с ре д н е го м е р и д и а н а м а л ы и
зн ачительно возрастают по мере уд аления от него.
Для из ображения каждого материка (океана) используется
т о л ь к о ц е н т р а л ь н а я ч а с т ь п р о е к ц и и со с вои м с р е д н и м
прямолинейным меридианом, а объединение частей
ос ущ ест вля етс я по линии экватора. На участках, где долж ны
и з о б р а ж а т ь с я океаны (материки), возникают ра зр ы в ы , см.,
на пример, рис.64.
Первоначально Гуд в качестве исходной для построения
изо б ра же ни я по секциям использовал псевдоцилиндрическую
ра вновеликую проекцию Мольвейде. Позднее д ля некоторых
карт мира им был предло жен вариа нт проекции, названной
“ г о м а л о с и н ” , в к о т о р о й к а ж д а я с е к ц и я с о с т о я л а из
п с е в д о ц и л и н д р и ч е с к и х п р о е к ц и й Сан с он а и М о л ь в е й д е ,
соединяющихся по п а р а лл е л ям с широтами = ±40° • При этом
на с т ы к е у к а з а н н ы х п р о е к ц и й в о з н и к з а м е т н ы й и з л о м
меридианов.
В с ос та вн ы х п р о е к ц и я х (в отл ич ие от пр ое кц ий Гуда)
э к ва т о р м о ж е т и з о б р а ж а т ь с я не прям ой линией. К та ки м
проекциям относятся “З м еев и д н ая”, “Р еги он альн ая”,
“ Т е т р а э д р а л ь н а я ” , “Л о т о с ” . Т а к , в п р о е к ц и и “Л о т о с ” ,
использованной д л я мировой ка рт ы с р а з р ы в а м и по суше,
сетка состоит из равнопромежуточной конической проекции
в центральной части и псевдоконической проекции на трех
лепестках.
А налогичны е свойства имеют з в е з д ч а т ы е проекции,
п р и м е н я е м ы е в к а ч е с т в е эмблем. К их числу, н а п р и м е р ,
относится з в е з д ч а т а я проекция с составной сеткой, в которой
ц е н т р а л ь н а я ч а с т ь с о с т о и т из р а в н о п р о м е ж у т о ч н о й
азиму т аль ной проекции Постеля, а лучи из псевдоконической
проекции.
К рассматриваемой группе проекций, полученных с
использованием в качестве исходных равновеликой
азимутальной проекции Ламберта, производной АитоваГаммера и псевдоцилиндрической Мольвейде, относятся
т а к ж е “С е в е р н а я ”, и “А т л а н т и ч е с к а я ” проекция Бартоломью
и “Э л л и п т и ч е с к а я ” Б ри зм ей сте ра , в которой один из полюсов
З е м л и и з о б р а ж а е т с я в д ву х мес тах сетки [Гинзбург Г.А.,
Салманова Т.Д., 1964].
4.2.1.7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КВАЗИКОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
ПЛОСКИХ ОБЛАСТЕЙ, КЛАССОВ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ
П РОЕКЦИЙ НАИБОЛЕЕ БЛИЗКИХ К КОНФОРМ НЫ М
П онятие о квазиконформных отображ ениях плоских обл астей
Основные полож ения этих отображ ений излож ен ы
Г . А . М е щ е р я к о в ы м [27] в о с н о в н о м по р а б о т а м а к а д .
М. А. Л ав ре нт ьев а.
Р а с с м а т р и в а е т с я две п лоскости, д а ю тс я основны е
у р а в н е н и я и п о к а з ы в а е т с я , что общие к в а з и к о н ф о р м н ы е
отображени я, соответствующие этим ура внениям, пе ре вод ят
бесконечно малы е к в а д р а т ы одной плоскости в н ек ото ры е
п а р а л л е л о г р а м м ы д р у г о й п л о с к о с т и (с т о ч н о с т ь ю до
бесконечно малых первого порядка).
Отмечается, что использование теории кв аз ик он ф ор м ны х
отображений плоских областей позволяет свести отобра жение
произвольных поверхностей к квазиконформным пре об раз ов а­
ниям плоских областей.
Применительно к математической к а рт о гр а ф ии к о н к р е т ­
ные р а з ра бот ки теории этих отображений и их пра кт ич е с ки х
п ри ло же ни й еще отсутствуют.
О к лассах равновеликих проекций, наиболее близких к
равноугольным
В ы ш е о т м е ч а л о с ь , что в п р о е к ц и и П . Л . Ч е б ы ш е в а по
сравнению с другими равноугольными проекциями и с ка ж е ни я
всех видов, в том числе и пл ощ аде й, имеют н а и м е н ь ш и е
величины. Следовательно, проекция П.Л.Чебышева из всех
этих проекций наиболее близка к равновеликим проекциям.
В равновел ики х проекциях, как известно,
(321)
ab = тп cos 6 = 1,
где а , b- экс тре мал ьны е масштабы длин.
Уравнение (321) я в л я е т с я недоопределенным.
Р а с с м а т р и в а я р а зл и ч н ы е способы д о о п р е д е л е н и я
у р а вн е н и я (321), с учетом условий равноугольности т = п\
6 = 0 получаем р аз ли чны е классы ра внов еликих проекций,
близких к конформным
тп cos с = 1;
т- п=0
и
mn cose = 1;
s = 0.
(323)
П рое кц ии , о п и с ы в а е м ы е у р а в н е н и я м и (322), н а з ы в а ю т
пол у конформными.
В 1935 г. проф. Б.П.Ост ащ енк о-К удр яв це в в докладе на
Всесо юзн ом а с т р о н о м о - г е о д е з и ч е с к о м с ъ е з д е п р е д л о ж и л
наз ыв ать пол уконформными проекции, в которых соблюдает­
ся равенство час тн ых масштабов т —п.
Говоря об ур а в н е н и я х (322) и (323), проф. Г.А.Мещеряков
п р е д л о ж и л с о х р а н и т ь н а и м е н о в а н и я : за п е р в ы м и полуконформных, за вторыми - проекций Эйлера, рассмо трел
вопрос об обобщении этих проекций
Объ еди няя (322) и (323), можно за писать
Р{(т - п) + Р2г = 0
или
mncosz = 1;
(т - п) + кг = 0
(324)
и
mn c o se = 1;
(п - т) + кг = 0 ,
(325)
где Pj, Р2 - веса условий конформности
* 4
В ы р а ж ен и я (324) и (325) называют соответственно первым
и вторым классами эквивалентных квазиравноугольных
проекций.
И с п о л ь з у я эти в ы р а ж е н и я , н е т р у д н о п о л у ч и т ь общие
фо рм ул ы частных масштабов длин и другие ха р а к те р и с ти к и
проекции, в том числе соответствующую систему уравнений
Э й л е р а- У рмаева.
Из у к а з а н н ы х классов проекций весьм а ш ирокое
распространение получили только проекции Эйлера (см. 4.2.1).
4.2.1.8. СПОСОБ ПОЛУЧЕНИЯ ПРОЕКЦИЙ ПУТЕМ ВВЕДЕНИЯ
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ПОСТОЯННЫХ ИЛИ ФУНКЦИЙ
Р яд вариантов проекций, и п ре жд е всего псевдоцилиндрических и псевдоконических, был разрабо тан в ЦНИИГАиК,
Ф.А.Старостиным и др.
В кач естве иллюстрации приведем формулу, п р е д л о ж е н ­
ную Г.А.Гинзбургом дл я вы числения конической проекции с
заданн ыми значениями искажений
где с, к - постоянные величины, т0 - частный масштаб длин
вдоль меридианов в точках с минимальным масштабом по
п а р а лл е л я м.
4.2.1.9. ГРАФИЧЕСКИЕ И ГРАФОАНАЛИТИЧЕСКИЕ СПОСОБЫ
ПОЛУЧЕНИЯ КАРТОГРАФИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЙ
Гр аф и ч еск и е способы в настоящее врем я мало п р и м е н я ­
ю т с я . К р а т к о о с т а н о в и м с я на н е к о т о р ы х п р о е к ц и я х ,
полученных этими способами.
П роекция Бируни
Это ш а р о ва я (глобулярная) проекция. Для ее построения
в окр ужности радиуса к - nR/2 , взятого в масштабе карты,
проводят два взаимно пер пе нд ик ул яр ны х диаметра. Один из
них пр ин имается за экватор, другой - за средний меридиан,
а за крайн ие меридианы принимается окружность.
Р а з д е л и в оба д иа мет ра и к а ж д ы е четверти окружности
на равны е части, а затем, проведя по трем точкам, л е ж а щ и м
на меридианах, и по точкам полюсов и экватора окружности,
получаю т линии меридианов и п араллелей проекции.
Проекц ия была предлож ена в 11 веке.
В 1642 г. Николози пр ед лож ил ее вновь, а в 18 веке эту
проекцию применял А.Арроусмит.
По виду картог ра фи чес кой сетки проекция относится к
круговым поликоническим.
П роекция Апиана
Б ы л а предло жен а в 1520 г. Для ее построения проводят в
окружности произвольного радиуса два вз аи мн о-п ер пе нд ику лярны х диаметра, изображ аю щ ие средний меридиан и
экватор.
Эти д и а ме тр ы д е л я т на равные части и проводят линии
меридианов через две точки полюса и точку на экваторе и
линии п аралл ел ей через точки среднего м еридиана,
ортогонально к нему.
По виду картографической сетки она я вл яе тс я псевдоцилиндрической.
П роекция Лорица
Б ы л а п р е д л о ж е н а в 16 в е к е по ч ти о д н о в р е м е н н о с
проекцией Апиана.
В этой проекции меридианы строятся аналогично, как в
п ро ек ц и и Апиан а, а п а р а л л е л и - п а р а л л е л ь н ы е п р ям ы е ,
проводимые ортогонально к среднему меридиану через точки,
отстоящие от экватора на
х 0 =y/?sin<p.
По ви д у к а р т о г р а ф и ч е с к о й се тк и п р о е к ц и я я в л я е т с я
псевдоцилиндрической.
П роекция Араго
Был а предлож ена в 18 веке.
Для ее построения, как и проекции Апиана, д е л я т на
равные отрезки взаимно-перпендикулярные диаметры,
из ображающие экватор и средний меридиан. Проводят через
равноотстоящие точки среднего меридиана ортогонально к
н е м у п а р а л л е л и и д е л я т их на р а в н ы е ч а с т и . Ч е р е з
соответствующие точки этих параллелей, экватора и точки
полюсов проводят н е п р е р ы в н ы е к р и в ы е - м ер и д и ан ы ,
п р е д с т а в л я ю щ и е с о бо й э л л и п с ы . П р о е к ц и я я в л я е т с я
эллиптической псевдоцилиндрической.
Проекции Апиана, Лорица, Бируни, Араго п р е д н а з н а ч а ­
лись для создания карт полушарий. М атем атическое
описание, таблицы масштабов и ис кажений этих проекций
даны в работе В.В.Витковского “К а р т о г р а ф и я ”, СПб, 1907 г.
П роекция М юфлинга.
О н а с т р о и л а с ь по в ы п р я м л е н н ы м д у г а м о т р е з к о в
п а р а л л е л е й и меридианов (для то п о гр а ф и ч е с ки х карт
масштаба 1:200 ООО и крупнее) методом засечек. Проекция
применялась как многогранная д ля построения топографичес­
ких карт в России с 1848 г. до 1928 г.
В п р е д е л а х кажд ого ли ста , составленного в проекц ии
М ю ф л и н г а , и с к а ж е н и я б ы л и н е з н а ч и т е л ь н ы , но п р и
ф о р м и р о в а н и и блоков ли сто в (их с кл е и ва ни и) в о з н и к а л и
линейный и угловой б' р а з р ы в ы (б' = — Дср'ДЯ/coscpCD).
Р'
Аналитическим аналогом этой проекции я в л я е тс я т р а п е ­
циевидная псевдоцилиндрическая проекция (см. п.3.1.1.).
Графоаналитические способы применялись для построения
цилиндрических, конических, ази м уталь н ы х и других
пр о е к ц и й . В н а с т о я щ е е в р е м я этим мет одо м п о л у ч а ю т ,
главным образом, поликонические проекции, основанные на
аппроксимации
эскиза
картографической
сетки
(см. п.4.2.2.4 ).
Способ получения этих проекций может быть отнесен к
способам реш ения обратной задач и м атем ати ч еск ой
картографии.
4.2.1.10. СПОСОБ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ИСХОДНЫХ ПРОЕКЦИЙ
В качест ве иллюстрации приведем ф ор м ул ы проекции,
п о л у ч е н н ы е пу те м т о м о г р а ф и ч е с к и х п р е о б р а з о в а н и й по
методу Н.А.Урмаева [37]
+ ci2Y +
с ,Х + с2Г + с3 ’
b\ X + b2Y + bз
У= c,X + c2Y + c3 ’
где
X, У; х, у - п р я м о у г о л ь н ы е к о о р д и н а т ы т о ч е к
соответственно исходной и получаемой проекций;
а/9 bj, с, - п о с т о я н н ы е п р о е к ц и и , о п р е д е л я е м ы е с
учетом за данных условий.
4.2.1.11. СПОСОБЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ МОДИФИЦИРОВАННЫХ
ПРОЕКЦИЙ
К а р т о г р а ф и ч е с к и е п р о е к ц и и м ож но п о л у ч а т ь п у т е м
м о д и ф и к а ц и и ура вн е ни й и зве стн ы х проекций. В к ач еств е
примера приведем некоторые такие проекции.
М одифицированная проекция UTM. .
Проекция была получена в 1972 г. на базе проекции UTM.
По свойствам она близка к равнопромежуточной конической
проекции эллипсоида и имеет постоянный масштаб 0.9992 на
всех меридианах.
Фо рм улы проекции имеют вид
х = 1.5616640 - p c os 0 ;
у - psinG,
0 ° = .0.8625111(Х°+150°);
р = 4.1320402 - 0.04441723<ро+0.0064816 sin 2Ф .
П роекция М иллера
Я в л я е т с я п р о и з в о л ь н о й по х а р а к т е р у и с к а ж е н и й
ци ли н д р и че ск о й проекцией. П р е д л о ж е н а О.М.Миллером в
1942 г. д ля кар т мира. Получена мо ди ф и ка ц ие й проекции
Меркатора. Проекция близка к перспективной цили нд рич ес ­
кой проекции Голла (см. п.2.1.1.7)
Форм улы проекции имеют вид
y = R( X- X о)’
т = sec 0 ,8ф ;
п = sec ср;
СО
С О 5 0 ,8 ф
-
С05ф
sin — =
2
СО5 0,8ф + С05ф
Абсциссы можно вычислить та кж е по ф ор мул ам
х = /? [arcsin /i(tg 0 ,8ф)]/ 0,8
или
X = (/г/ 1.6 ) In (1 + sin 0 ,8ф)/(1 - sinOJkp).
М одифицированная стереографическая равноугольная
проекция
Предл оже на Миллером в 1953 г. с учетом работ Лаборда
(1928, 1932 гг.) и Дриенкура (1932 г.).
Для получения проекции вначале используются известные
формулы стереографической проекции ш ара, которым
придают вид
х' = к ^ c o s ф 1 sin ф —sin фj cos(pcos(X. - А.0)|;
у ' = к ' со 8 ф sin(X. - Х0) ;
к ' = 2Д 1 + sinф| siny + cosф, со 5 фсо 8(Х - Х0 ) ] = * • -
Затем определяю т координаты
стереографической проекции
модифицированной
где A., Bj - к о э ф ф и ц и е н т ы , о п р е д е л я е м ы е по с п о с о б у
наименьших квадратов из условия минимума иска жен ий в
пр ед ела х ка рт ог ра фи ру емо й территории.
В ч астн о сти был п р е д л о ж е н в а р и а н т , я в л я ю щ и й с я
производным от косой стереографической проекции
где х, у - координаты косой стереографической проекции
Q = ------- -1-----2_____ •
Та + Та + Т в + Тд ’
1 - cos d a
1 + cos d a
1 - cos d e
1 + cos de
Здесь: da и d e - полуоси граничной овальной изоколы вдоль
осей X, Y, вы ра же нн ые в градусной мере.
Э та п р о е к ц и я п р и м е н я е т с я д л я к а р т о г р а ф и р о в а н и я
Европы, А ф р и ки и частей Азии.
4.2.1.12. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДВУХ И БОЛЕЕ ПОЛЮСНЫХ ПРОЕКЦИЙ
Та кие проекции могут обеспечивать получение сплошного
из о б р а же н и я или быть составными.
Примером первых являю тся двух и трехполюсные
проекции, р азработан н ы е прим енительно к созданию
ана мо р фи ров ан ных ка рт с измененной метрикой. Достаточно
п од ро б но е и з л о ж е н и е способа п о л у ч е н и я д в у х п о л ю с н о й
проекции д ля этих карт дано в работе [32].
Примером других я в л я е т с я биполярная проекция.
Биполярная равноугольная коническая проекция шара
Я в л я е т с я составной п роекц и ей , состоящ ей из двух
р а в н о у г о л ь н ы х к о с ы х к о н и ч е с к и х п р о е к ц и й , п о лю с а с и с т е м
к о о р д и н а т к о т о р ы х по д у г е б ол ьшо г о к р у г а о т с т о я т на 104°
(Ф0 1 = 2 0 °5 ', Л.01 = 1 Ю ° ; ф о2 = 4 5 ° А ^ , Х02 « 20° W ). П р е д л о ­
жена в 1941 г. Миллером и Бри зме йс тер ом для составления
к ар ты Северной и Южной Америк. В проекции сохраняются
длины на двух а л ь м у к а н т а р а т а х с зенитными расстояниями
31° и 73° как для южной, так и северной частей. При этом
с т ы к о в к а ч а с т е й п р о и с х о д и т на л и н и и б ол ьш ого к р у г а ,
прохо дящей через ук аз ан ны е полюса.
О т м е т и м , ч то м н о г и е у ч е н ы е , н а п р и м е р , А д а м с ,
Б ие рх ас ки й Ф., Г р е й ф а р е н д Е., Ли Гуо-цзао, Милнор Дж.,
Панасюк Я., Сн ай д ер Дж. и др уги е р а з р а б о т а л и еще ря д
вариантов проекций различны м и способами, кратк и е
сведения о которых можно найти в работах [7], [8 ], [40].
4.2.2. ИЗЫСКАНИЕ КАРТОГРАФИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЙ
НА ОСНОВЕ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ КАРТОГРАФИИ
В к л ю ч а ю т с по с об ы р е ш е н и я э то й з а д а ч и на ос н о в е
использования уравнений Эйл е ра -У рм а е ва и Тиссо-Урмаева,
а т а к ж е за д ан н ы х х а р а к т е р и с т и к или условий пол уч е ни я
проекций.
4.2.2.1. СПОСОБЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОЕКЦИИ С
ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ УРАВНЕНИЙ ЭЙЛЕРА-УРМАЕВА
Общего способа решений этих уравнений пока не имеется.
В а р и а н т ы строгого их р е ш е н и я да ны Н.А .Урмаевым в
работах [35], [36].
К артографические проекции с равноразделенными
параллелями
В 1953 г. Н.А.Урмаев, принимая Землю за шар единичного
радиуса, р а зр а бо т ал теорию этих проекций [36].
При этом он исходил из условия, что частные масштабы
длин вдоль па ра лл е л е й и площадей равны и что они явл яются
ф у н кц и я м и только широты, т.е.
п = р = /(ф)
(326)
и, следовательно,
т - sec в .
Ис пол ьзу я известные ф ор му л ы
т 2* = 2х ; +2 у ; ;
2
v 2 = 2n l cos'
<р =
2 +2 у { ,
зна чен ия производных можно представить в виде
х ф = sec 6 c 0 s(e + т);
х х = vsinx;
у ф = -secesin(6 + т);
у х = vcost,
(327)
где т - угол меж ду нормалью к па ра лле ли и осью абсцисс.
П р о д и ф ф е р е н ц и р у е м по X и Ф п р о и з в о д н ы е * ф , х х ;
и подставим их значе ния в условия интегрируемости
(328)
Тогда получим
(-
sin т - / cost)tx - sin т/х
=
усо5ттф 4- sin т • уф;
(- cost + /sinT)Tx - c os t/x = - v s i n r ^ + cost • v ,
гд е
t - tge.
(329)
(330)
Умножим первое уравнение на c o s t , а второе на -sinT
и сложим резул ьта ты . За те м первое уравнение умножим на
- s i n T , а второе на - c o s t , и т а к ж е сложим ре зу льтаты.
В итоге получим вар иа нты уравнений Э йл е ра - У рм а е ва в
виде
-tg£ Tx =VTv ,
+ ( tg e ) x = - v p .
(331)
(332)
П о с к о л ь к у v = л cos ф я в л я е т с я ф у н к ц и е й ш и р о т ы , а
р ассм атри ваем ы е проекции симметричны относительно
среднего меридиана, то интегрирование (332) д ает
T + tge = -Xv(p.
Уравнение (331) принимает вид
(333)
Это позволяет записать систему обыкновенных д и ф ф е р е н ­
циальных уравнений
dy _
dk
v
т+
XVy
dx
0
Тогда первый и общий интегралы принимают вид
т = С,;
(334)
тф + Xv = f i t ) ,
где f ( t ) = / ( C j )
- произвольная функция.
У равнения (333) и (334) пре дс т а вл яю т собою основу теории
ка рто графических проекций с равноразделенными п а р а л л е л я ­
ми, в которых соблюдается условие п = р = / ( ф ) . В частных
случаях, если т = 0 и / ( т ) = 0 или /( х ) = с т , то из (333) и
(334) соответственно получим равно велики е псевдоцилиндрическую проекцию Сансона или псевдоконическую проекцию
Бонна.
О бобщ енная равнопромежуточная вдоль меридианов
коническая проекция шара
В 1947 г. Н .А .У р м а е в , к а к о т м е ч а л о с ь (см. п.2.2.1.7),
р а з р а б о т ал теорию равнопромежуточной вдоль меридианов
обобщенной конической проекции шара, в которой частные
м а с ш т аб ы
длин вдоль п а р а л л е л е й я в л я ю т с я ф у н к ц и е й не
тольк о ш ир оты , как вобычных п р о е к ц и я х ,
но и долготы
[35].
Следовательно, в этом случае имеем
т = 1, е = 0 ; п = л(фД); р - п.
Уравн ен ия (291) принимают вид
7<р= °;
Yx = - v <p-
(335)
Отсюда можно зап ис ать
^ f = o.
,336)
Р е ш е н и е этого д и ф ф е р е н ц и а л ь н о г о у р а в н е н и я Н.А.Ур­
маев п р е д с т а в и л в виде п р о и з в е д е н и я д в у х ф у н к ц и й , из
которых одна - ф у н кц ия широты, а д ру га я - ф ун кц и я долготы
v = а (с - cp)/,
гд е / - четн ая ф ун кц ия только долготы;
а и с - произвольные па ра м е тр ы интегрирования.
Учи т ыв а я (335), получаем
ух
= а/
и
у
= а L ,
где
L= \ldX.
(337)
Ф ормулы производных прямоугольных координат
конических проекций по ф и X принимают вид
х ф = c os a L\
х к = а (с - (p)lsinaL;
y 4>= - s i n a L ;
у к = а(с - y)lcosaL.
Интегрирование этих уравнений в полных д и ф ф е р е н ц и а ­
лах дает
х = а - (с - ф )со 8 а L;
у = (с - у) sin clL.
Для оп ределения фу нкц ии L с учетом (337) Н.А.Урмаев
з а д а л ф унк ци и в виде
/ = 1 + ЬХ2
или
/ = 1 + Ь0Х2
+ и4/
ЬлХ4 +
у2л т
где b , bv bv ... - постоянные п а ра м е тр ы , которые можно
определить, задав значения частных
масштабов вдоль п а р а л л е л е й п в некото­
рой сетке точек.
В этих п р о екц и ях изоколы имеют ф орм у овалов,
о б е сп еч и вае тся у м ень ш ени е величин и с ка ж е н и й и л у ч ш е е
их распределение.
П роекции с ортогональной картографической сеткой.
В общем виде у ра вне ния ортогональных проекций шара
рассмотрел Н.А.Урмаев в 1947 г. Применительно к проекциям
эллипсоида вр ащ ен ия у ра вн ен ия Эй л е ра -У рм а е ва (291) при
6 = 0 принимают вид
Их
уФ= — ;
V
уф
Ух = — •
ц
(340)
Отсюда н е тр у д н о з а п и с а т ь д и ф ф е р е н ц и а л ь н о е у р а в н е н и е
1
1
1
^2
1
+ (ДУфф
_п
ц 2 У(р^ ф
Потребовав, чтобы масштабы длин являл ись функцией только
широты, Н.А.Урмаев получил из ре ш е ни я этих уравнен ий
р а в н о в е л и к у ю и. р а в н о п р о м е ж у т о ч н у ю вдоль м е р и д и а н о в
к о н и ч е с к и е п р о е к ц и и ш а р а , а п о с т а в и в у с л о в и е , чт обы
масштабы длин вдоль па ра лл е л е й были ф ун кци ей и широты,
и долготы, - рассмотренную выше обобщенную ра вно про ме ­
жуточную вдоль меридианов коническую проекцию ша ра с
округленными изоколами.
Г . И . К о н у с о в а ( 1 9 7 3 , 1975; 1986 - в с о а в т о р с т в е с
И.А.Бертик) рассм отрела ряд вопросов получения ортогональ­
ных п р о е к ц и й на о с н о в е р е ш е н и я д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х
ур авнений Э й л е р а - У р м а е в а ра зл ич ны х типов, в том числе
ка рт ог ра ф иче ски х проекций с равноотстоящими п а р а л л е л я ­
ми, обобщающие конические, аз им ут а ль ны е и ци л ин д ри че с ­
кие проекции.
Для ортогональных проекций с равноотстоящ ими
п а ра лл е л ям и ура вне ния (340) были пре дст авл ен ы в виде
т = т(ф ) ;
Мтух + ( т ) ф = 0 .
У читывая ф орм улу связи между радиусом кривизны
п а ра лл е л е й р и сближением меридианов у
т
Р=— ,
Ух 9
были определены в ы р а ж е н и я для частных масштабов длин
РФ
р
п
=
У
х
~
М
г’
а затем уравнения в полных д и ф ф е ре н ц и ал а х для вычисления
абсцисс л: и ординат у проекции.
Полагая, что у = у(Х), было получено
т =
х = -(р - Po)cosy + ,v0 (x);
у = (р - p0)sin у + _у0 (Х),
где р 0 - радиус криви зн ы некоторой начальной па ра лл е л и с
широтой фо ;
Уо(^) ” координаты точек этой
параллели;
р - р 0 = м(ф) - ф у н к ц и я , ви д ко т о р о й з а в и с и т от с в о й с т в
проекции.
Во всех рассм отренных проекциях меридианы - прямые
линии.
При мерами проекций с ортогональной сеткой, в которых
меридианы явля ют ся семействами кривых линий, явл яю тся
соответствующие поликонические проекции, рассмотренные
в п. 2 .3.2.5.
В ра бо те Н.А.Урмаева, о пуб ли ков ан ной в 1962 г. [38],
р а с с м о т р е н д р у г о й способ о п р е д е л е н и я о р т о г о н а л ь н ы х
(про из вол ьны х по х а р а к т е р у иска жен ий) проекций. В нем
и с п о л ь зу е тс я одно из з а д ан ны х семейств мерид иа нов или
па ралл ел ей .
Положив, что заданное семейство с одним па раметром F
имеет вид
F(x,y) = 0,
он, д и ф ф е р е н ц и р у я , получил
(341)
5у
+ FyTZ = 0,
Ьх
(342)
dy
где — - тангенс угла касательной к семейству (341).
dy
через — тангенс
^
dx
ортогональной кривой, будем иметь
Обозначив
угла
J
касательной
к
ЁУ.
= _1
Ьх dx
Теперь форму ла (342) принимает вид
F - F — =О
у
х dx
•
Это вы р а ж е н и е и пр ед ст а вл яе т собой д и ф ф е р е н ц и ал ьн о е
ур авнение кривых, ортогональных семейству (341).
Для иллюстрации было получено на основе реше ния этого
у р авн ен ия несколько известных проекций.
4.2.2.2. СПОСОБЫ ПОЛУЧЕНИЯ ПРОЕКЦИЙ, ОСНОВАННЫЕ НА
РЕШ ЕНИИ УРАВНЕНИЙ ТИССО-УРМАЕВА
Общего решен ия этих уравнений еще не имеется.
В 1953 г. Н . А .У р м а е в р а з р а б о т а л т е о р и ю п о л у ч е н и я
некоторых частных вариантов таких проекций [36].
Картографические проекции с равноотстоящими
параллелями
Эти проекции пол учают под условием, что отношение
частных масштабов по п а р а л л е л я м к частным масштабам
площадей яв л я етс я функцией только широты, т.е. ~ ~ /(ф ) .
В этом случае при отображении шара единичного радиуса
одна из формул (293*) принимает вид
Фх + < ? 2у = £ 2 ( ф ) -
Для интегриров ания этого ур авн ен ия было предложено
два способа. В качестве первого применялся способ полного
интеграла Лагр ан жа [36, стр. 11-14].
Во втором способе Н.А.Урмаев вместо широты ф ввел
функцию и по уравнению
Фх =
Ф, = иу8
и представил исходное уравнение в виде
и\ + и у = \
и затем
их = cos т = \ / V1 + t 1 ;
и у - - //V 1 + / 2 ,
где / = tgт , т - угол, образованный нормалью к паралл ел и с
осью х.
Д и ф ф е р е н ц и р у я первую ф орм ул у по у , а вторую по х и
подставляя значения производных в условие интегрируемости
будем иметь
( w . 2) ^
{ l + ' 2f 2
или
tx - tty = 0 .
Таким образом, взамен исходного нелинейного уравнения
получено линейное уравнение в частных производных
первого порядка
Это позволяет составить систему обыкновенных д и ф ф е ­
ренциальных уравнений
и получить первый интеграл / = сх и затем второй и общий
интегра лы
tx + у = с2,
tx+ y = f(t) ,
где f ( t ) - произв ольная зависимость меж ду постоянными с,,
С 2.
И з э т и х ф о р м у л с л е д у е т , что в р а с с м а т р и в а е м ы х
ка рто гра фи чес ких проекциях, для которых
п а р а л л е л и явл яю тс я равноотстоящими кривыми, а ортого­
нальные трае кт ори и (меридианы) к ним предст авл яют собой
семейство прямых с одним параметром t.
Д л я п о с т р о е н и я п а р а л л е л е й не о б х о д и м о у с т а н о в и т ь
п ро и зв о л ь н у ю функцию. У к а з а в дл я данной п а р а л л е л и с
широтой ф 0 ура вне ние некоторой произвольной функции,
например, в виде
Если кр и в и зн у п а р а л л е л и ф 0 полож ить, равной нулю,
получим цилиндрические проекции. Если кривизну параллели
ф 0 п о л о ж и т ь ра в н о й по с то я нн ой в е л и ч и н е , то по л у ч и м
конические проекции. При этом можно получить проекции,
имеющие кривизну п а ра лле ле й меньше, чем в конических и
больше, чем в цил индрических проекциях. Это важно при
создании некоторых, например, школьных карт.
Примеры практического решения таких задач с
использованием теории ук аз ан ных проекций даны в работе
[36, ст р. 15-24].
В этой же раб оте [ с т р .25-36] р а с с м о т р е н а т е о р и я
проекций, опр еделяемых уравнением
Фх + Ф 2 = g 2 .
в которых
g = g(y)
или
g = £(х,у),
п р е д ст а вл яю щ ие собою вар иа нт ы более сложн ых решений
уравнений Тиссо-Урмаева.
4.2.2.3. СПОСОБЫ ПОЛУЧЕНИЯ КАРТОГРАФИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЙ
ПО ЗАДАННОЙ КРИВИЗНЕ МЕРИДИАНОВ, ПАРАЛЛЕЛЕЙ,
ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ЛИНИЙ
Ур ав не ни я кр и в и з н ы мер идианов и п а р а л л е л е й можно
записать в виде (см. п.п.1.2.6 и 1.2.7)
/ / =- i
(их SeCe + Vp tg е) ~ + еч>
;s + v s e c e )— + г }
1П
С р е д н яя кр ив из на ге одезических линий д ля любых по
х а р а к т е р у и с к а ж е н и й к а р т о г р а ф и ч е с к и х проекц ий мо же т
быть определена по ф ор му ле [27]
к
ср
- ±
2г
т . .
sincpl — sin /
1 + cosz
т sin /
1 + cos i f
r
^
i(D
+ ----------- ntn------ m , ----------mn sin / V ф M )
mnM
Используя эти формулы, можно получить группу способов
определения проекций в зависимости от заданн ых свойств.
Рассмотрим два способа определения ка рт огр аф ич ес ки х
проекций по заданным их свойствам.
Способ получения проекции с равноотстоящими п а р а л л е ­
ля м и , с о х р а н я ю щ е й д л и н ы вдоль з а д а н н о й п а р а л л е л и с
ф 0 = 50° был предло жен Н.А.Урмаевым в работе [36].
Уравнение п а р а лл е л и
к п = — = а0 + а , 5 + a 2s 2
Р
в частном случае примет вид
.
1 6 52
кп = - + т — •
5 аь
а
Учитывая, что dx/ds = k n , после интегрирования получим
5 2 f s' 3
т " а + 5 1л
где a=2R (в масштабе 1:10 ООО ООО а = 127.4223);
s - длина дуги параллели.
П р и н я в д л я з а д а н н о й п а р а л л е л и ( ф 0 = 50° ) n = 1,
Н.А.Урмаев составил таблицу величин s , к п , т для точек этой
п ар алл ел и с частотой ДА. по долготе.
Ис пользуя эти данные и известные соотношения
dx/ds = sin т ;
dy/ds =
,
определяют численными методами значения интегралов
c o s t
В р е з у л ь т а т е получают прямоугольные координаты точек
заданной параллели.
Вычисление координат точек остальных параллелей
выполняют по фо рму ла м
х = х 0 + и cos т;
у = у 0 + и sin т,
где
и = R arc ДА;
ДА = 10°.
Ч а с т н ы е мас ш таб ы длин по п а р а л л е л и о п р е д е л я ю т по
формуле
где kj 7 - кривизна заданной параллели.
Второй способ - это способ п о л у че н и я р а в н о у г о л ь н ы х
проекций с заданной кривизной изо бр аже ния меридианов и
пар аллелей.
В равноугольных проекциях
&м = [ 1п ц ] х / ц =
к
к
- £ 4 Т/ + 2 С' 7
/=2
V/=1
/=1
/=2
где Км, Кп - з а д а н н ы е з н а ч е н и я к р и в и з н ы и з о б р а ж е н и я
меридианов и п а ра лле ле й в точках проекции.
З а д а ч а о п р е д е л е н и я прое кци и сводится к вы чи сл ен ию
по с то я н н ы х к о э ф ф и ц и е н т о в а., Ь. и с о о т в е т с т в у ю щ и х им
коэффи ци ен тов А., С ре шения уравне ния Лапла са (294) при
заданны х граничных условиях (295).
Но найти значе ни я коэ ф фи ц и е н то в непосредственно из
ф о р м у л (343) по з а д а н н о й к р и в и з н е м е р и д и а н о в или
п а р а л л е л е й трудно, поэтому з н а че ни я А., С можно ь. .ти
м етодом и т е р а ц и и , и с п о л ь з у я с л е д у ю щ и е п р и б л и ж е н н ы е
фо рмулы:
к
1 + InК и
к
= - X ^ /( v ,
+ * , ■ ) - Z C / ( 0 , - Г,);
/=0
/=1
Л In Яд, = - Х д Л / ( ч / , + т , / [ 1пц] х] - Z AC/ ( e < - ^ / / [ д 1п М-] л);
/=0
/=1
к
к
1 + In К и = - £ л / ( у , + Т,) - ^ с Д в , + Т/);
/=0
/
н*
+
>
к
A In К п — ~ ^ ДА}
i=0
(344)
/=1
[ l n n ] 9J
- Z
(=0
a C;
\
в;
1
Т,
f
[1пц] J
П оследовательность получения методом итераций
равноугольной проекции, например, по заданной кр ив изн е
па ра лл ел ей К п будет следующей:
- за дае м зн а ч е н и я кр ив из ны Кп\ с ос тав ля ем и ре ша ем
систему уравнений (344) и в ре зул ьта те находим к оэ ф ф иц ие н­
ты А', С/;
- используя эти значения, вычисляем производные [in jj.] q
и по ф орм ул е (343) - значения кривизны п а ра лл е л е й К'п , а
затем
Д In К'и = In К п - In К 'п ;
- о п р е д е л я е м п о п р а в к и в к о э ф ф и ц и е н т ы А \ , С/ из
ре ш е ни й систем (345) и в ы чи с л я е м у то чн ен ны е з н а ч е н и я
ко эф фи ци е н то в
А,- = А; + АА/;
С, = С/ + ДС/.
Исп ользуя полученные значения коэффици ен тов Л. и С,
вновь повторяем все вычисления до тех пор, пока не будет
получено А\п К п < £ , е - допустимая величина, о п р е д е л я е ­
мая точностью вычислений.
Получив окончательные значения коэффициентов,
производим дальн ейш ие вычисления проекции с испо льз ова ­
нием известных формул.
4.2.2.4. ПОЛУЧЕНИЕ ПРОЕКЦИЙ СПОСОБОМ АППРОКСИМАЦИИ
ЭСКИЗА КАРТОГРАФИЧЕСКОЙ СЕТКИ.
З а д а ч а о п р е д е л е н и я этих проекций, как было ск а з ан о
р е ша ется в два этапа (см. п.2.3.1.3).
На пе рво м , и с хо д я из н а з н а ч е н и я к а р т , р е з у л ь т а т о в
и з у ч е н и я к а р т о г р а ф и ч е с к и х сеток и и с к а ж е н и й проекций
с у щ е с т в у ю щ и х к а р т , с т р о я т (обычно на м и л л и м е т р о в о й
бумаге) м акет к ар то гр аф и ческ о й сетки, оптимально
уд овлетворяющий данному конкретному заданию. Используя
ч и с л е н н ы е м ет од ы , в ы ч и с л я ю т м а с ш т а б ы , и с к а ж е н и я и
другие па ра ме тры построенного макета и при необходимости
вносят необходимые уточнения или строят новый макет.
На втором этапе осуществляют сг лаж ивание прям оуголь­
ных координат точек пересечения меридианов и паралл ел ей
эскиза (как правило, методом коррелат), а за тем по этим
координатам выполняют аппроксимацию эскиза к а р т о г р а ф и ­
ческой сетки.
Д л я этой це л и мог ут быт ь и с п о л ь з о в а н ы р а з л и ч н ы е
апп рокси м и рую щ и е зависимости, например, полиномы,
рассмотренные в работах Богинского В.М., Урмаева Н.А. и
других, применительно к выполнению преобразований
к а р т ог р а ф и че с ки х проекций и их получению. Например, в
[4], в которой полно рассмотрен данный метод применительно
к получению (для м ел ком асш табн ы х карт) проекций
произвольных по х а р а к т е р у искажений, широко ис пол ьзу ют ­
ся алгебраические степенные полиномы
* =Z Z
/=0 у=0
;
у = Z Е V p ' * 7’>
/=0 у=0
(346)
где ф, X - географические координаты точек (узлов сетки
эскиза);
х, у - п ря мо уг оль ные ко ор ди на ты точек, и зм ер е н н ы х
по эскизу и сглаженные, например, по способу
корр ел ат [36],
а., Ь. - п о с то я н н ы е к о э ф ф и ц и е н т ы , о п р е д е л я е м ы е из
решения систем уравне ния вида (346).
У чи т ы ва я х а р а к т е р и з о б р а ж е н ия полюса и с им м е т р и ч ­
ность к а р т о г р а ф и ч е с к о й сетки пол у чаем о й проекц и и
отн о с и т ел ьн о средн его м е р и д и а н а и э к в а т о р а , этим
полиномам п ри да ют со от в ет с тв у ю щ и й к он кр е т ны й вид. В
ч аст н о ст и , при п олу ч ен и и п р о екц и й с и м м е т р и ч н ы х
относительно среднего м ер и д и ан а п р е д с т а в л я ю т абсциссы
четной функ ци ей долготы, ординаты - нечетной функ ци ей
долготы. При получении проекции симметричной относитель­
но э к в а т о р а п р е д с т а в л я ю т а бсц ис сы не чет ной ф у н к ц и е й
широты, ординаты - четной функцией широты. Для получения
проекций с изображением полюса точкой или отрезком прямой
в ы р а ж а ю т абсциссы ф у н кц ие й только широты, ордин аты в п е р в о м с л у ч а е п о л и н о м о м , п р и н и м а ю щ и м на п о л ю с е
н у л е в ы е з н а ч е н и я , во в т о р о м с л у ч а е - ф у н к ц и е й д в у х
аргументов [4].
Для определения равноугольных проекций данным
способом ц е л е с о о б р а з н о и с п о л ь з о в а т ь га р м о н и ч е с к и е
полиномы:
- Для аси мм етр ич н ых вар иантов проекции
к
к
/=0
/=1
к
к
* =
y = ' Z a iQi + ' Z biVii=1
/=0
- Для симме три чн ых проекций
к
* =
/=0
У=
/■=1
где х, у - прямоугольные координаты узлов ка рт ог ра ф иче ск ой
с е т к и , и з м е р е н н ы е по э с к и з у ( с г л а ж е н н ы е п ри
необходимости);
а.у Ь. - постоянные коэф фиц ие нты ;
\ | 0 Х - члены гармонических полиномов, оп ре д ел яе мы е по
(298).
В це ля х опр е д ел е ни я ра вно вел ики х проекций по эскизам
к а р то гр а ф и ч е с к и х сеток проекций, можно поступить
следующим образом:
- Вы б ир аем изв е с тн ую р а вн ов ел и ку ю проекцию, одна из
к р а й н и х и з о к о л к о т о р ой н а и б о л е е б л и з к а к к о н т у р у
картограф ируем ой территории, например, проекцию
Л а м б е р т а д л я и з о б р а ж е н и я об лас тей с о кр у г л е н н ы м и
оч ер та ни ям и (с за мк нут ым контуром)
х = 2 /?sin У2 cosа\
у = 2/? sin ^ sin а
или дл я тер р и т о р и й с н ез ам кн ут ым контуром
х = /?(р;
у = /& c o s ( p .
- По у з л а м к а р т о г р а ф и ч е с к о й с е т к и ф, X в ы ч и с л я е м
координаты х , у выбранной равновеликой проекции.
- И зм е ря е м прямоугольные координаты X , У тех же узлов
картографической сетки и при необходимости осуществля­
ем сг лаж ива ние измеренных координат.
- Составляем аппроксимирующие зависимости:
А. При однократном отображении:
а) д ля проекции с симметричной сеткой относительно
экватора
X = х;
Y = y + j ^ a iX i ,
/=1
где х - а бсц ис са р а в н о в е л и к о й п р ое кц ии , с и м м е т р и ч н о й
относительно экватора;
б) д л я проекций, симметричных относительно среднего
м еридиана
X = x + f t biy' ;
/=1
у
=
у
,
где у - о р д и н а т а пр о е кц и и , с и м м е т р и ч н о й о т н о с и т е л ь н о
средней меридиана.
Б. При двукратном отображении
Х\
+
i =1
*1
Y = y + ' £ c iX l
/=1
ИЛИ
X = x + f i d i Y]‘ -
/=I
*1
У 1 = у + H ,a ix ‘
/=1
.
- Реш ае м полученные системы уравнений и в р е з у л ь т а т е
получаем искомые значе ния постоянных коэффи цие нто в
( a bt, с, d.). Это позволяет по выбранным а п пр окс ими ­
рующим зависимостям вычислить прямоугольные
к о о р д и н а т ы то че к новой р а в н о в е л и к о й про ек ци и, а с
использование м производных по ср, X от этих з а вис им ос ­
т е й и ф о р м у л а м х а р а к т е р и с т и к из о б щ е й т е о р и и
кар то гр а ф ич е с ки х проекции - частные масштабы длин и
н аи б о л ь ш и е и с к а ж е н и я углов этой р а в н о в ел и к о й
проекции.
4 .3 .
ВЫ БОР К А РТО ГРА Ф И ЧЕС К И Х П РО ЕКЦ И Й
4.3.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ВЫБОРА
КАРТОГРАФИЧЕСКОЙ ПРОЕКЦИИ
При создании любых карт важное значение имеет вопрос
о вы б о р е к а р т о г р а ф и ч е с к и х п р о е к ц и й , о б е с п е ч и в а ю щ и х
оптимальное решение по этим картам ра з л и чн ы х задач.
Выбор к а р т о г р а ф и ч е с к и х проекций з а в и с и т от многих
факторов, которые можно ра зд ел ит ь на три группы.
К пе рво й отнесем ф а к т о р ы , х а р а к т е р и з у ю щ и е о б ъ е к т
к а р т о г р а ф и р о в а н и я . Эт о г е о г р а ф и ч е с к о е п о л о ж е н и е
и з о б р а ж а е м о й т е р р и т о р и и , ее р а з м е р ы , ф о р м а г р а н и ц
( конфигурация), степень показа смежны х с к а р т о г р а ф и р у е ­
мой областью территорий, значимость отдельных ее частей.
В т о р а я гр у п п а в к л ю ч а е т ф а к т о р ы , х а р а к т е р и з у ю щ и е
создаваемую карту, способы и условия ее использования. В
эту группу входят назначение и сп ец иализация, масштаб и
со держание карты, задачи, которые будут ре ш а ть с я по ней
( ка р т о м е т р и ч е с к и е , на виг ац ион ны е и пр.) и т р е б о в а н и я к
т о ч н о с т и их р е ш е н и я , с п о с о б ы и с п о л ь з о в а н и я к а р т ы
(настольная, настенная), анализа картограф ической
инфо рма ции (с помощью ЭВМ или без), условия работы с
картой (отдельно, в комплексе с другими картам и, в
с к л е й к е ) , у с л о в и я п е р е д а ч и на н и х о т н о с и т е л ь н ы х
ха ра кте ри сти к кар то гр а ф и р у е мы х объектов (географического
п о л о ж е н и я о д н и х т е р р и т о р и й о т н о с и т е л ь н о д р у г и х , их
площадей и форм), требования по отображению ко мму ни ка ­
ций и связи терри то рий и т.п.
К третьей группе отнесем факторы, которые х а р а к т е р и з у ­
ют п о л у ч а е м у ю к а р т о г р а ф и ч е с к у ю п р о е к ц и ю . Это ее
характер искажений, условия обеспечения минимума
ис ка же н и й и допуст им ые м ак си м а ль н ы е и с к а ж е н и я длин,
углов и пл ощадей, х а р а к т е р их р а с п р е д е л е н и я, кр ив из на
и з о б р а ж е н и я ге одезической линии, ло ксод ромии, у с л о ви я
из о б р а ж е н и я других линий положения, с тер ео гра фич нос ть
проекц ии (степень пе ре да ч и форм т е рр и т ор ии ), кр ив из на
и зоб ра же ни я линий кар тографической сетки, требования об
ее о р т о г о н а л ь н о с т и , о б е с п е ч е н и и з а д а н н ы х в е л и ч и н
о т к л о н е н и й от п р я м о г о у г л а м е ж д у и з о б р а ж е н и я м и
меридианов и па раллелей, их равноразделенности, ха ра кт е р
и з об ра же ния полюсов, условия симметричности к а р т о г р а ф и ­
ческой сетки относительно среднего меридиана и экватора,
ус ло в ия их и з о б р а ж е н и я ( р а з м е р ы и з о б р а ж е н и я э ква то ра
о т н о с и т е л ь н о с р е д н е г о м е р и д и а н а и пол юсов, е с ли они
и з о б р а ж а ю т с я линиями), услови я зри тельного в ос п ри ят и я
и зо б р а ж е н и я , на ли чия э ф ф е к т а сф ер ичности, п е р е кр ы т и й
(повторяемости), участков картограф иче ско го из об р а ж е н ия
и т.п.
Выбор ка рто гра фи чес ких проекций ос ущ ест вля етс я в два
этапа: на первом устанавливается совокупность проекций (или
их сво йс тв а ), из кот орой ц е л е с о о б р а з н о п р о и з в о д и т ь их
выбор; на втором - определяют искомую проекцию.
Все ф ак т о р ы первой группы, как правило, до лжн ы быть
т в е р д о з а д ан ны м и. Их у ч ет п р е д п о л а г а е т , п р е ж д е всего,
выбор та ких проекций, в которых их централ ьны е точки и
ц е н тр а л ь н ы е линии, вблизи которых м асш табы мало
изменяю тся, находятся в центре картограф ируем ой
т е р р и т о р и и , а ц е н т р а л ь н ы е л и н и и н а п р а в л е н ы , по
возможности, по направлению наибольшего п р о тя ж ен и я этих
терри торий .
Поэтому д л я многих карт выбирают:
- цилиндрические проекции - для террит орий, ра споло­
ж е н н ы х вб л и зи и си м м е тр и ч н о от но с ит ел ьн о э к в а т о р а и
вы тян ут ых по долготе;
- конические проекции - дл я таких же те рр ит ори й, но
не симметричных относительно экватора или ра сположенных
в средних широтах;
- аз им ут а ль ны е проекции - для из об ра же ния полярных
областей;
- поперечные и косые цил инд рич ес кие проекции - дл я
и зоб ра же ни я территорий, вытя нут ых вдоль меридианов или
вертикалов;
- поперечные или косые а зи м у т а ль н ы е проекции - для
показа территорий, очертания которых близки к окружности
и т.п.
Т аки м образом , уч ет ф а к т о р о в этой груп п ы д а ет
возможность п редварительно установить совокупность
п р о е к ц и й (или их с в о й с т в ) , из к о т о р о й ц е л е с о о б р а з н о
определять искомую проекцию.
Вторая группа факторов яв л яе тс я основной при решении
п о с т а в л е н н о й з а д а ч и . Име нно , и с х о д я из у с л о в и й этой
группы, о п р е д е л я ю т отн осительную зна чим ос ть ф а к т о р о в
третьей группы: какие из них являются в конкретном случае
н а и б о л е е с у щ е с т в е н н ы м и , а к а к и е ф а к т о р ы м о ж н о не
учитывать. При этом некоторые из требований, например, о
ж е л а е м о м х а р а к т е р е и с к а ж е н и й пр ое кци и, м а к с и м а л ь н о
допустимых их величинах, изображении полюсов, симметрич­
н о с ти и л и а с и м м е т р и ч н о с т и к а р т о г р а ф и ч е с к о й с е т к и ,
разделенности меридианов и параллелей, наличии п е р е к р ы ­
вающихся частой изо браж ения и т.п. в определенных случаях
п о д л е ж а т б е з у с л о в н о м у у ч е т у . Это з н а ч и т , что в ы б о р
проекции должен выполняться в данном случае только из
с ово куп но ст и пр о е кц ий , в которой з а д а н н ы е т р е б о в а н и я
полностью удовлетворяются, например, только из ра вн ов ели ­
ких проекций или только из проекций с ортогональной сеткой
и т.п. Таким образом, ф ак то р ы , пр иоб ре таю щи е в данном
конкретном случае безусловную значимость, в дополнение
к ф ак тор ам первой группы, позволяют, в основном, решить
первую часть задачи - установить совокупность проекций (или
их свойств), из состава которой целесообразно опред еля ть
искомую проекцию.
После вы делен и я всех этих ф акторов, п о д л еж ащ и х
обязательному учету, выполняется ра нж ирование (иерархия)
всех прочих ф ак то р о в, о п р е д ел я е т с я отн о си т ел ьн ая
значимость каждого из них при выборе конкретной проекции.
Выбор картографических проекций может осуществляться
в автоматизированном ре жим е (см. п.4.6.3.) или тр ад ици онн ы­
ми м е т о д а м и , о с н о в а н н ы м и на с р а в н и т е л ь н о м а н а л и з е
раз личных картограф иче ски х проекций, которые могут быть
использованы для создания конкретной карты.
При выборе п р ое кци й по второму способу, который в
настоящее время пока имеет наибольшее распространение,
сравнительны й анализ картограф ических проекций
о с у щ е ст вл яе тс я на основе учета вл ия ни я (в зна чит ель ной
мере субъективного) отдельных ука занных выше факторов.
Как уже отмечалось, учет факторов первой группы
п о з во л я е т ус та но ви т ь совокупность проекций, из состава
которой целесообразно определять искомую проекцию.
В л и я н и е на р е ш е н и е д а н н о й з а д а ч и э т и х ф а к т о р о в
во зр а с та е т вместе с уве личением размеров и з об ра ж а ем ы х
областей.
Для уменьш ения величин искажений и обеспечения
лучшего их распределения, особенно при карто гра фи ров ан ии
кр у п н ы х тер р и т о р и й , с тр е м ят с я , кроме у чет а п о л о ж е н и я
ц е н т р а л ь н ы х точек и линий проекций и их со от в ет с тв ия
г ео гр афи че ск ому положению те рри то рий , добиться, чтобы
и з о ко л ы с о вп а д а ли со с х е м а т и з и р о в а н н ы м и о ч е р т а н и я м и
и з о б р а ж а е м ы х о б л а с т е й . Т оч но т а к ж е а н а л и з и р у е т с я
влияни е назначения, со д ер жа ни я (специализации) карты,
с п о с о ба ее и с п о л ь з о в а н и я , а н а л и з а к а р т о г р а ф и ч е с к о й
и н ф о р м а ц и и (с и с п о л ь з о в а н и е м ЭВМ или без), ф о р м а т а
издания и т.п.
Такой анали з выполняется в каждом конкретном случае
создания карты.
Так, например, при создании школьных карт для учеников
среднего во з р а с т а с т р е м ят с я, чтобы на р а с с м а т р и в а е м ы х
к а р т а х к а р т о г р а ф и ч е с к и е сетки были сим м етрич ны
относительно среднего меридиана и имели равноразд еле нны е
или близкие к ним меридианы и пар алл ел и при минимальной
кр ив из не последних.
П о с к о л ь к у ш к о л ь н ы е к а р т ы не п р е д н а з н а ч е н ы д л я
выполнения по ним измерений, то не пр е д ъ я в л я ю т строгих
требований к характеру, величинам и распределению
искажений. Желательно, чтобы при зрительном восприятии
карты создавался эф ф ект сферичности, а взаимное
р а з м е щ е н и е и з о б р а ж е н и я м а т е р и к о в и о кеан о в было
т р а д и ц и о н н ы м и пр и в ы ч н ы м ; р а й о н ы око не ч но ст и Аз ии
располагались вблизи восточной рамки, а материки Америки
- вблизи западной рамки листа.
В тех сл уча ях , когда из об ра же нию п о д л е ж а т кр уп ны е
по площ ади области и, следовательно, и с к а ж е н и я длин и
площадей будут достигать значительных величин, пренебречь
которыми невозможно, следует выбирать не те проекции, в
которых ис ка же ни я длин минимальны, а те, в которых проще
уч итывать влияние этих искажений.
При создании мелкомасштабных карт, предназначенных
для зрительного восприятия, существенными факторами
я в л я ю т с я наиболее п р а в и л ь н а я п е ре дач а относительности
географического ра сп о ло ж ен ия терри торий , вид к а р т о г р а ­
фической сетки, наличие э ф ф е к т а сферичности и другие.
Для окончательного решения вопроса о выборе искомой
проекции составляются и анализируются макеты к а р то г р а ф и ­
ческих сеток с изоколами (с учетом желаем ой компоновки
с о з д а в а е м ы х к а р т ) во в с е х их о т о б р а н н ы х в а р и а н т а х .
Предпочтение отдается тому из этих вариантов, в котором
оптимально удовлетворяются отмеченные выше требования,
а вид картографической сетки наиболее близок к желаемому.
4.3.2. ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ХАРАКТЕРА ИСКАЖЕНИЙ
ПРОЕКЦИЙ СОЗДАВАЕМЫХ
МЕЛКОМАСШТАБНЫХ КАРТ
О ч е н ь в а ж н о , ч то б ы х а р а к т е р и с к а ж е н и й п р о е к ц и й
наиболее полно со о тв ет с тв о в а л назначе нию , со д ер жа ни ю ,
масштабам создаваемых карт, особенностям реше ния за дач
по этим картам, выбранным способам изо бр аже ния основного
со дер жа ни я на картах.
Ка рт ы масштабов 1:1 ООО ООО и крупнее целесообразно в
большинстве случаев составлять в равноугольных проекциях,
1:2 ООО ООО - 1:10 ООО ООО - в равновеликих и в меньшей мере
в р а в н о у г о л ь н ы х и п р о и з в о л ь н ы х п р о е к ц и я х , м ас ш т аб ов
мельче 1:10 ООО ООО - в произвольных и в меньшей мере в
равновеликих проекциях.
При отображении тематического с од ер ж а ни я способами
картограмм и картодиаграмм более целесообразны ра внов ели­
кие и близкие к ним проекции.
В случаях, когда основная к а рт ог ра ф ич е с ка я инф ормаци я
о т о б р а ж а е т с я способом изо л ин ий , с л е д у е т им еть в вид у
н а з н а ч е н и е , с п е ц и а л и з а ц и ю к а р т , к а к и е з а д а ч и по ним
предполагается решать.
В частности, если предполагается выполнение измерений
площадей, заключенных между изобарами, изотермами,
изогонами и т.п., предпочтительны равновеликие и близкие
к ним проекции. Если же необходимо оп ред елять градиенты
р аз ли чны х явлений (магнитного склонения, солености воды
и т.п.), в ы п о л н я т ь и н т е р п о л и р о в а н и е з н а ч е н и й м е ж д у
изолиниями необходимо применять равноугольные проекции,
в которых частные масштабы длин не з а ви ся т от н а п р а в л е ­
ний.
С точки з р е н и я н а з н а ч е н и я и с о д е р ж а н и я ко н кре тн ых
к а р т , р е ш а е м ы х по ним з а д а ч , с л е д у е т и м е т ь в в и д у
следующее.
На обще г е о г р а ф и ч е с к и х к а р т а х мо гут и з м е р я т ь с я и
сопос тавляться площади р аз ли чны х фи зи ко -ге о гр аф и че ск и х
объектов, и з у ч а т ь с я пр отя ж енн ос ть береговой линии, рек,
до ро г и т.п. - в э т и х с л у ч а я х ц е л е с о о б р а з н о в ы б и р а т ь
р а в н о п р о м е ж у т о ч н ы е или б л и з к и е к ним по х а р а к т е р у
искаже ний проекции.
При с о зд ан и и ф и з и ч е с к и х кар т, на ко т ор ы х основное
з н а ч е н и е им еет и з о б р а ж е н и е г и д ро гр а ф ии и р е л ь е ф а , по
которым изуч ают ся и сопоставляются очертания и н а п р а в л е ­
ния рек, долин, хребтов, а т а к ж е и зм еряются и изу чаются
п л о щ а д и б а с с е й н о в , о р о г р а ф и ч е с к и х о б ъ е к т о в и т.п.
и с п о л ьз у е м ы е проекции могут иметь р а з л и ч н ы й х а р а к т е р
искажений. В первом случае более подходят р а в н оп ро м е ж у­
точные и близкие к ним проекции, а для некоторых ка рт р а в н о у г о л ь н ы е и б л и з к и е к ним п р ое кц ии ; во вт оро м проекции с небольшими иска жен иям и площадей.
На к л и м а т и ч е с к и х и м е т е о р о л о г и ч е с к и х к а р т а х , на
которых ряд закономерностей изучают с помощью изолиний,
с трел ками показывают направления, скорость и с и л у в е т р о в ,
обра щае тся внимание на формы изолиний - пре дпочтительны
р а в н о у г о л ь н ы е п р о е кц и и. Д л я н е к о т о р ы х из э т и х к а р т ,
например, синоптических, по совокупности требований более
д ругих подходят ра вно пр ом е жу то ч ны е или близ кие к ним
проекции.
Для геологических карт, на которых по казывают участки
с р а з л и ч н ы м и геологическим стр оением - це л ес о о б р а зн ее
использовать равновеликие и близкие к ним проекции.
На тектонических, геоморфологических и ка рт ах ре лье фа ,
когда в а ж н о п е р е д а т ь п л о щ а д и о б л а с т е й с к л а д ч а т о с т и ,
ра зл ич ны х видов отложений, бассейнов, а т а к ж е площади,
з а к л ю ч е н н ы е м еж д у высотными с ту пе ням и и т.д. с л ед уе т
выбирать проекции, обладающие небольшими ис каж ен иям и
площадей. В сл учаях, когда основное внимание у д е л я е т с я
правильной передаче направлений разломов, горных цепей
и хребтов, очертаний и направлений рек, выявлению форм
долин, плоскогорий и т.п. - больше подходят ра в н о п р о м е ж у ­
то ч н ые пр ое кци и, а т а к ж е про е кц ии п р и б л и ж а ю щ и е с я к
равноугольным.
На с е й с м и ч е с к и х к а р т а х в ы п о л н я ю т с я и з м е р е н и я
р а с ст о я н и й от э пи це нтр ов з е м л е т р я с е н и й - более д ру ги х
под х о д ят р а вн оу го л ьн ы е и б л и зк и е к ним проекции. Для
из мерения расстояний по ортодромиям от одной сейсмической
станции - подходят карты, составленные в равн оп ро м еж ут оч ­
ной а з и м у т а л ь н о й п р о е к ц и и с полюсом в т о ч к е д а н н о й
станции.
К а р т ы с е л ь с к о г о х о з я й с т в а р а з н о о б р а з н ы по с во е м у
н а з н а ч е н и ю и с о д е р ж а н и ю . Д л я б о л ь ш и н с т в а из них,
например, общесельскохозяйственных карт, о т ра ж а ю щ их как
основные ф а к то ры природы, так и социально-экономические,
св я з а нн ые с состоянием и р а зв ит ие м сельского хозяй ств а,
кар т земе ль ны х фондов и землепользования, его интенс ив­
ности и э ф ф е к т и в н о с т и , к а р т животного и ра с ти те л ьн о г о
мира, почвенных карт грунтов, с тр у к т у р ы посевных
п л о щ а д е й и др. - бол ее ц е л е с о о б р а з н ы р а в н о в е л и к и е и
близкие к ним проекции.
Для а д м и н и с тр а т и в н ы х , п о л и т и к о - а д м и н и с т р а т и в н ы х и
политических карт, по которым к а р то г р а ф и ч е с ка я и н ф о р м а ­
ция о ц е н и в а е т с я п р е и м у щ е с т в е н н о з р и т е л ь н о - на иб оле е
под х о д ят проекц ии, б л и зк и е к р а в н о п р о м е ж у т о ч н ы м , а в
сл у ч а я х , когда п р е д п о л а г а е т с я вы полнени е и зм ер ен и й
площадей - равновеликие и близкие к ним проекции.
При с о з д ан и и многих э к ол ог и че с ки х ка рт: р а з л и ч н ы х
видов з а г р я з н е н и й т е р р и т о р и й , ком плексного н а р у ш е н и я
земель добывающей промышленности и ее продуктивности
при ра зн ых видах хозяйственной деятельности, ин т е г р а л ь ­
ного в о з д е й с т в и я т р а н с п о р т а , п ы л ь н ы х б у рь , вод но й и
ветровой эрозии, демографического давления, карт
р а с т и т е л ь н о с т и ( ф и т о эк оло ги чес ких ), п о з в о л я ю щ и х ч е р е з
реакцию растительности выявля ть и фиксировать пространст­
венные и временные изменения состояния окруж аю щ ей
среды, а т а к ж е других аналогичных карт - целесообразны
равновеликие проекции. Для карт сейсмичности, карт
д е м о гр а ф и че с ко го и экологического пот ен циалов, в з а и м о ­
д ействия ра з л и чн ы х экологических факторов, ко р р е л я ц и о н ­
ные оценки которых отображаются способами изолиний, по
которым вы полняется интерполирование, определение
г р а д и е н т о в - б ол ее п р е д п о ч т и т е л ь н ы р а в н о у г о л ь н ы е и
близкие к ним проекции, а при одновременном отображении
ра з л и ч н ы х экологических ха ра кт е ри с ти к: одних способами
картограм, а других изолиниями - ра вно промеж уточные по
х а р а к т е р у иска жен ий проекции.
Д л я с о з д а н и я и с т о р и ч е с к и х к а р т , на к о т о р ы х в а ж н о
правдоподобно п о ка з а ть р а з м е р ы т е р р и т о ри й, на которых
происходили исторические события, а т а к ж е создания карт
здравоохранения, отображающих распространение болезней
или условий и источников их возникновения - более других
подходят ра вн ов ел ик ие и бл изкие к ним проекции. Такой
же подход целесообразен к созданию больш инства
экономических карт, карт населения народов.
При создании инвентаризационных карт, ка рт динамики
- пр е и мущества т а к ж е имеют равновеликие проекции. Для
оценочных и прогнозных карт, в зависимости от о т о б р а ж а е ­
мых и оцениваемых (прогнозируемых) объектов и явлений могут быть использованы ра зн ые по х а р а к т е р у искаже ний
проекции.
Так оценочные карты, как известно, дают ц е л е н а п р а в л е н ­
ные классификации и оценки отображаемых явлений природы
и о б щ е с т в а , их о т д е л ь н ы х к о м по не нт о в с т оч ки з р е н и я
к о н к р е т н ы х о т р а с л е й д е я т е л ь н о с т и и ли ж и з н и л ю д е й ,
н а п р и м е р , оценку пр ир од ны х комплексов с точки з р е н и я
ор ган и зац и и баз отды ха, курортов, о су щ ест вл ен и я
сельскохозяйственного производства; взаим освязи отдельных
компонентов природы с другими элементами и т.п.
В одном случае содержание таки х карт будет и з о б р а ж а т ь ­
ся способом картограмм и в этом случае пре дпочтительнее
использование ра вновеликих и близких к ним проекций; в
другом более целесообразно использовать (для отображения
с о д е р ж а н и я карты) способ изолинии и со ставлени е ка рт ы
вести в равноугольных и близких к ним проекциях.
4 .4 . О П О З Н А В А Н И Е ( О П Р Е Д Е Л Е Н И Е )
П Р О Е К Ц И Й П О ВИДУ И З О Б Р А Ж Е Н И Я ИХ
МЕРИДИАНОВ И ПАРАЛЛЕЛЕЙ
Как отмечалось выше (раздел 1 , п.4), ка р то гр аф ич ес ки е
пр о ек ц и и по виду о р и е н ти р о в ки к а р т о г р а ф и ч е с к о й сетки
могут быть пол у че ны в но р м ал ьн ой (прямой), косой или
поперечной системах координат, иметь и зображ ен и е
п а р а л л е л е й с п о с т о я н н о й ил и п е р е м е н н о й к р и в и з н о й ,
р а з л и ч а т ь с я своим х а р а к т е р о м и с к а ж е н и й , о тн ос ит ьс я к
одному из многочисленных классов проекций.
В этой связи опред еле ние проекций изд ан ны х к а р т во
многих с л у ч а я х п р е д с т а в л я е т с л о ж н у ю з а д а ч у . По эт ом у
же л а те л ьн о, чтобы на ка рт а х при их создании были даны
сведения о проекциях, в которых они составлены.
Определение проекций по виду кар то графической сетки
особенно осложняется при изучении крупномасштабных карт,
п о с к о л ь к у , чем к р у п н е е м а с ш т а б , тем м е н ь ш е р а з м е р ы
из об ра жен ных на листах территорий, меньше по абсолютной
в е л и ч и н е и с к а ж е н и я всех видов и т р у д н е е у с т а н о в и т ь
р а з л и ч и я проекций.
Опознание проекции по виду изоб ра жен ия меридианов и
п а ра лле ле й на ка р та х включает решение пяти задач:
- установление вида ориентировки кар тографической сетки
по положению полюса системы координат, принятой для
вычисления данной проекции;
- определение ха ра к т е р а изо бражения па ра лл е л е й - имеют
ли они постоянную или переменную кривизну;
- установление класса данной кар тог раф ической проекции;
- определение х а р а кт е ра ее искажений;
- определение постоянных параметров проекции.
Пе р вая задач а более просто р е ша ется в случае, если на
к а рте дано из о бр аж ен ие географического полюса.
Для случая нормальной к ар то гр аф и ческо й сетки
географический полюс будет показан: в центре изображаемой
области - в а зи м у т а л ь н ы х проекциях; у северной (южчой)
рамки - при использовании псевдоконических проекций, в
которых параллели изображаю тся концентрическими
окружностями; не будет показан в пред ела х карты - в случае
использования прочих проекций.
При ре ш е ни и второй з а д ач и - оп р ед ел ен ии х а р а к т е р а
и з о б р а ж е н и я п а р а л л е л е й с п ос то ян но й или п е р е м е н н о й
кривизной, необходимо иметь в виду, что в настоящее время
абсолютное большинство карт со ста вля етс я в про екциях с
постоянной кривизной параллелей. Только в проекции
Чебышева и в некоторых проекциях, получаемых численными
мето дам и, п р и м е н я е м ы х весьм а редко, п а р а л л е л и имеют
переменную кривизну.
Х а р а к т е р к р и в и з н ы п а р а л л е л е й можно у с та н о ви т ь на
ос но в е в ы п о л н е н и я и з м е р е н и й на р а з л и ч н ы х у ч а с т к а х
и з о б р а ж е н и я п а р а л л е л е й пр ое кци и и при необходимости
путем вычисления этих показателей, например, по фор мул ам
(см. п.1.2.7.).
Если кр и в и зн а п а р а л л е л е й о к а ж е т с я переменной, то в
б о л ь ш и н с т в е с л у ч а е в э т о б у д е т о з н а ч а т ь , чт о п р и
с о с т а в л е н и и д а н н о й к а р т ы б ыл а и с п о л ь з о в а н а с и с т е м а
с ф е р и ч е с к и х коо рдинат, в которой полюс не с о вп а д а ет с
географическим полюсом.
Если в р е з у л ь т а т е п р е д в а р и т е л ь н о г о просм отра
установлено, что к а р та со ставлена в норм альной системе
координат, то определение ее класса сводится к ото ж де с тв ­
лению вида кар тог ра фи чес ких сеток данной проекции с теми,
которые даны в рассм отр ен ных выше их к л а с с и ф и к а ц и я х
(см. п.1.4).
С этой ц е л ь ю при а н а л и з е к а р т о г р а ф и ч е с к о й с е т к и
р а с см а тр и в ае м о й проекции у с т а н а в л и в а е т с я какими линия ми
( пр ям ы ми или кривыми) и з о б р а ж а ю тс я меридианы; яв л я ю тс я
ли и з о б р а ж е н и я п а р а л л е л е й к о н ц е н т р и ч е с к и м и или
эксцентр ич еск им и окружностями; опр ед ел яе тс я ортогональна
ли ее к а р т о г р а ф и ч е с к а я сетка, х а р а к т е р ее симметричности
относительно среднего меридиана и экватора, х а р а к т е р
и з о б р а ж е н и я географ и ч еск ого полюса - в виде точки,
о т ре зк ов пр ям ых или кр ив ых линий. Все эти оп ре д ел е н ия
в ы п о л н я ю т с я в и з у а л ь н о , либо с и с п о л ь з о в а н и е м пр о с ты х
г р а ф и ч е с к и х приемов.
При решении четвертой з а д а ч и - определении х а р а к т е р а
и с к а ж е н и й проекции сл еду ет иметь в виду следующее.
В равноугольных проекциях кар то гр аф и ческая сетка
о б яза те л ьн о долж на быть ортогональной, а частны е
ма с ш т аб ы длин не за вис еть от направлений.
В п р о е к ц и я х с ортогональной ка р т о г р а ф и ч е с к о й сеткой
(цилиндрических, конических и азимутальны х) длины
отрезков меридианов между смежными параллелям и
и з м ен я ю тс я при уд алении от це нт ра л ьн ых линий или точек
(линий или точек эк с тр е м ал ьн ы х масштабов): во зр ас таю т - в
р а в н о у г о л ь н ы х и б л и з к и х к ним п р о е кц и я х, у б ы в аю т - в
р а в н о в е л и к и х и б л и з к и х к ним п р о е к ц и я х , о с т а ю т с я
н е и з м е н н ы м и - в р а в н о п р о м е ж у т о ч н ы х вдоль м ер и д и а н о в
проекц иях .
Д л я более точного о п р е д е л е н и я х а р а к т е р а и с к а ж е н и й
п р о е к ц и й , ка к с о рт о гон ал ьно й, т а к и с н е ор то го н а л ьн ой
кар тограф и чески м и сетками, необходимо выполнить
и з м ере ни я прямоугольных координат узлов картографической
сетки в произвольной системе координат, а затем с
использованием способов численного д и ф ф е р е н ц и р о в а н и я (см.
п.4.5.3.), вы чи сл и ть по и зве стн ы м ф о р м у л а м общей теории
частн ые масшт абы длин и другие х а р а к т е р и с т и к и проекции,
что обеспечивает однозначный ответ на поставленный вопрос.
Вычисление постоянных параметров проекций с
ис пользованием фо р му л этих проекций после ус тан овл ен ия
их класса и х а р а к т е р а ис ка же ни й трудностей не вы зывает.
Реш ение задачи опознавания (определения) проекций
карт, с о с та вл е н н ы х в “ко со й” или “п о п е р е ч н о й ” с ис те м а х
координат д а ж е при ка р то г р а ф и р о ва н и и крупны х регионов,
но без и з о б р а ж е н и я географического полюса, п р е д с т а в л я е т
з н а ч и т е л ь н ы е трудности.
Возникает необходимость вы полнения комплекса
и з м е р е н и й и и с с л е д о в а н и й с во йс тв п р о е кц и и , у к а з а н н ы х
в ы ш е и р а с с м о т р е н н ы х в р а з д е л е 2, п . 2,
сравнение
полученных данных с пок а за те л ям и известных проекций и с
их пр и з н а ка ми , рас смо тре нн ых в сп ец иа л ьн ы х пособиях и
таблицах, например в работах [14], [18].
4. 5 .
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ
В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ КАРТОГРАФИИ
4.5.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Т е о р е т и ч е с к и е основы и п р а к т и ч е с к и е п р и л о ж е н и я их
применения были рассмотрены Н.А.Урмаевым (1953) и затем
в работах Гинзбурга Г.А., Салмановой Т.Д. (1962) и др.
В целях решения задач математической картографии
применя ют ся методы теории интерполирования, численного
ди ф ф е р е н ц и р о в а н и я , инт егрирования и аппроксимации. При
этом н е р е д к о и с п о л ь з у ю т с я т а к
называем ые конечные
раз но сти . П ус ть з а д а н ы з н а ч е н и я к а к о й - т о ф у н к ц и и / ( / ) ,
с о о т в е т с т в у ю щ и е з н а ч е н и я м а р г у м е н т а t, о б р а з у ю щ и м
а р и ф м е т и ч е с к у ю п р о г р е с с и ю ( п р и ш а г е со), к о т о р ы е
поместим в таблицу (13).
Та б л .13
Аргуме нты
Ра зно сти
Функция
t
/
/'
/"
/'"
f l v .....
1
2
3
4
5
6
'-2
/-2
'- х
/-.
/К
f -'A
*0
/о
/о"
'•И
' +1
/♦■
*+2
/+ 2
/"
1к
fill
~Уг
f in
f l v
Для образования первых конечных разностей в столбце 2
п о с л е д о в а т е л ь н о из з н а ч е н и й / н и ж н и х с тр ок в ы ч и т а ю т
з н а ч е н и я / вер хн их и ра зн ос ти з а п и с ы в а ю т в столбике 3
(между строчками столбца 2 - в интервале 1/2), т.е.
/+ 2 “
/+1
=
/+1
~ /о = / Д / > /о “
/-1
=
;...
Вторые и последующие разности получают аналогично
гI
г1
У\ 3/
~
А/ '2
Г II _
f II
J + 1
J
“
г II .
J +1
Г III .
»
гI
J
А/ ~
/2
f II
гI
J
_ 1/
г II .
гI
- /о > / _ 1/
гI
”
/_ 3 / -
III
гI
/ -
-1
г II _ г III
У О
"•
К о н е ч н ы е р а з н о с т и м ож н о в ы р а з и т ь ч е р е з з н а ч е н и я
функции
A-J/2 ~ ^ +1’ / / / = /+2 “ 2 / +1 + / 0;
В общем виде имеем
/ +(^/ = / + л “ Ci/ + (/ i-l) + C l f + { n - 2) -
Cn f + ( n - 3 ) + - " + ( - l ) n f o ’
где c ln - биномиальные коэффициенты.
4.5.2.
ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ (ЭКСТРАПОЛИРОВАНИЕ)
Теория интерполирования применяется в математической
к а р т о г р а ф и и д л я о п р е д е л е н и я з н а че н и й ф у н к ц и и вн ут ри
таблицы (интерполирование) и за ее пределами (экст ра по ли­
рование) по заданным их значениям при р авноотстоящих или
нерав ноотстоящих зн ачениях аргумента.
4.5.2.1. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАВНООТСТОЯЩИХ
ЗНАЧЕНИЙ АРГУМЕНТА
В ы ч и с л е н и е з н а ч е н и я ф у н к ц и и д л я любого з н а ч е н и я
аргумента можно выполнить по следующим формулам:
- Ньютона (по разностям, идущим по диагонали вниз)
/•
, П ( п - 1) fII
п ( п - \ ) ( п - 2 ) f ,„
* -------- J]-------- / ц *
п(п - 1)(п - 2)(п - 3)
4!
,у
/2
- Ньютона (по разностям, идущим по диагоналям вверх)
J n
~
J o
+
nJ
_
■ и (” + 1) Г »
2!
y
, я ( я + 1)(И + 2 )
3!
+
n ( n
+
l ) ( n
+
2 ) ( n
,,,
-Й
+ 3)
+ -------------4,-------------/ -2 +...
Б е с с е л я (по р а з н о с т я м , н а х о д я щ и м с я в п р о м е ж у т к е
данной и следующей строк)
Г
г
г'
" ( л - 1) , / /
П(п - 0,5)(п fn - / о + nf y 2 +
2!
+
3!
Лг
+
(п + \)п(п - 1)(л - 2) г/к
+ ------------- 4!------------- V
~
Стирлинга (по разностям по данной строке)
= / о + и/о
fn
+ § т / о ;/ + П - П у
Х) f o n
+ П
(Я4 !
1 ) /о/>/+- - .
где л - любое целое или дробное число.
Можно т а к ж е использовать фор мул ы Гаусса, Эверетта,
Л агр ан жа и др.
Отметим, что при решении многих задач математической
картограф ии достаточно воспользоваться формулой
квад ра ти ч но й ин те рпо ля ции по Бесселю, пре д ста ви в ее в
виде
Г
f
Jn - Jo
■ ,,f i
+ nJ у
.
+
~ !> w/
2!
~
f
. ,,w
/2
4
4.5.2.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ЗАДАННЫМ ЕЕ ЗНАЧЕНИЯМ
ПРИ НЕРАВНООТСТОЯЩЕМ ИЗМЕНЕНИИ АРГУМЕНТА
Для решения задачи интерполирования и экстрапо ли ро ва­
ния, к а к при р а в н о о т с т о я щ и х , т а к и н е р а в н о о т с т о я щ и х
зна че ниях аргумента можно воспользоваться интерполяцион­
ными ф ор м ул а м и Стирлинга, Л аг ра нж а , три го но м е тр ич е с ­
кими и другими полиномами (многочленами) (см. п.п.4.2.2.4;
4.5.2.).
Интерполяционный полином Лагранжа
Требуется построить полином Р(х) степени п, который в
л+1 точках х 0, х х,. .. х п принимал бы соответственно значения
Уо>У\т- Уп > т е- полином вида
Р(х) = а 0Р0 + ахРх+...+а„Рп,
Р(Х) = у у
т=0
(х ~ * о ) ( * - х , ) . . . ( х - хт_,)(х - xm+i) . . . ( х - х „ )
(хт ~ Хд)(хт —Xf)... (хт —Xm_f )(хт —Хт+\ ) . . . (хт — Хп)
Прим ер . Пус ть в т о ч ка х 0, 4, 6 полином Л а г р а н ж а 2-ой
степени принимает значения 1, 3, 2.
Тогда
I з ( * - ° )(* - 6) , 2 ( * ~ ° Х * - 4)
Р(х)
rw
(о - 4)(0 - 6)
(4 - 0)(4 - 6)
(6 - 0)(6 - 4) "
7 - ~7
1 X 2.
= 11 + —х
6
6
Тригонометрические полиномы
Тре бу етс я построить полиномы Р(х) степени п , который в
2л+1
точках
дс0,Х) , . .. х 2л
принимал
бы
значения
У о > У \ > У 2 > - - - У 2 п » т *е * в и Д а
Р(х) = а0 + (а{ cosx + bx sinx)+...+(fl„ cosпх + bn sin их),
sin
. (*-*m+l)
Sin---- ----- ...Sin-
. (х - * 2 л) 1
х s m ------j ------•••sm ■
2
/ { . (х т ~ * l )
sin-
2
. {х т ~ х г)
sin-
...X
. (x m —*m-l) . {x m ~ x m+l)
. (*m ~ *2n)
x... Sin
... sin • sin
Для четного тригонометрического полинома для п+1 точек
х 0, х 1, . . . х п будем иметь
Р(х) = а0 + а] cos х+...+ап cos пх,
т=0
1
x . . . c o s ( x - x m. i ) c o s ( x - x m+1) . . . c o s ( x - x „ ) ) / ( c o s ( x m - X , ) x
X
c o s ( x m - x 2 ) . . . c o s ( x m - x m_ , ) c o s ( x m - X m+I) . .. x
X
. . . c o s ( x m — x n ))].
Для нечетного полинома д л я п точек
Х 0 ,Х | ,...Х П
Р(х) - bx sinx+...+Z>„ sinrtx,
Р {х) = Y , у т
т=
0
мплт
х f ( c o s ( x - x , ) c o s ( x - х 2 ) . . .х
L
х . . . c o s ( x - x m_ , ) c o s ( x - x m+| ) .. . c o s ( x - x „ ) ) / ( c o s ( x m - X , ) x
X
c o s ( x m - x 2) . . . c o s ( x m - x m. , ) c o s ( x m - X m+1) . . . x
x . . . c o s ( x m - X „))].
4 .5 .3 . Ч И С Л Е Н Н О Е Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И Р О В А Н И Е
Прим ен яе тся дл я вычисления частных масштабов длин,
площадей и других х а р а кт е р и с ти к используемых проекций,
когда их ф ор мул ы имеют громоздкий вид либо отсутствуют,
но д ан ы з н а ч е н и я п р я м о у г о л ь н ы х ко о р д и н а т п р о е кц и й в
заданной сетке точек, а т а к ж е при изыскании к а р т о г р а ф и ­
ческих проекций.
При этом в ф ор му лы частных масштабов длин, площадей
и т.п. (см. п.1.1.7.) вместо з н а че н и й ч ас т ны х про из в од ны х
>4, в ы ч и с л я е м ы х о б ы ч н о а н а л и т и ч е с к и м и
способами, п одставляю т соответствую щ ие зн ачен и я
v , но оп р ед ел я ем ы х численными способами
производных —
(отдельно по абсциссам и ор д и на та м в точ ка х проекции).
Ф ормулы, вы раж аю щ ие производные через конечные
раз но сти , по лу чен ны е д и ф ф е р е н ц и р о в а н и е м п р и в е д е н н ы х
выше в ы р а ж е н и й (см. р а з д е л ы 2,3), можно пр е д ст а в и ть в
следующем виде.
Ф о р м у лы Ньютона:
- д л я д и ф ф е р е н ц и р о в а н и я по диагонали вниз
rl
1 fiv
1 f l l , 1 fill
1 fV
АА ~ 2 А +V A72 ~~Л
4
~Э5
д л я д иф ф е р е н ц и р о в а н и я по диагонали
' 4 П = I f>
.Л J ю
72
вверх
+к
. L f i i . L fin
v
2 Л | + 3 7-
...
Ф ор м ул ы Бесс еля (для д и ф ф е р е н ц и р о в а н и я по разностям,
на ход ящ имс я в пр ом еж ут ка х данной и следующей строк):
fi Lfii +Lfiu .Lfiv _L.fv
f /2
V- ~ 2 flA + 12
ГД.
/£ ' 4 ( Л "
+ / |" ) ;
n fl/2 ~ 120 /4
/ £
4
W
' +
Ф о р м ул ы Стирлинга (для д и ф ф е р е н ц и р о в а н и я по данной
строке)
fi
Lfin
/о - 6 / o
_ L fvu
_Lfv
+ 3 0 /0
- 1 40 / о
П р о и з в о д н ы е д л я любой
точки можно о п р е д е л и т ь
неп осредственно по з а д ан ны м зн а че н и ям ф у н к ц и й в ряде
равн оо тст оя щ их точек (по строке или столбцу), ис по льзуя
формулы
4П
dt).
= _}_
12со
dt)
~ 12© l ^ * +1 +
-
dt)
~ 12ю ^ * +3 ~ ^ к+2 +
+ ^ f k -г ~ f к-Ъ]»
_
где (о - шаг аргумента в радианнои мере.
~ ^Л-|]>
П р и м ен я етс я для опр еделения прямоугольных координат
точек проекции по за данным масштабам или искажениям. В
общем случае эта з ад ач а тре бует интегрирования д и ф ф е р е н ­
циальных уравнений в частных производных или обыкновен­
ных д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х уравнений и может быть сведена к
решению уравнений Э й л е ра - У рм а е ва и Тис со-У рмаева (см.
п.4.1.2.).
В ря де случаев, например, при получении ци л ин д ри че с ­
ких и а з иму та ль ных проекций, эта задача может быть сведена
к вычислению определенного интеграла. При этом могут быть
использ ова ны р аз н ос тн ые методы Адамса, Коуэ лл а, метод
кв ад р а ту р Гаусса и др.
Так, ф о р м ул ы Коуэлла имеют вид
х, = х 0 +
= * i + A (i+у 2у
*„+) - х „ + А („+^/);
4 ( » * к )= “ ( л ^ ) + ° ш
где
f (k+lA ) ~ 2^f k + / *+‘) - з н а ч е н и я и с х о д н о й ф у н к ц и и
(например, масштабов) в к и (£+1) точках, т.е. в данной и
последующей точках,
г
(i+lA)
-__L f u
1 2 y (* 4 )
i Ч
r iv
720 (*+|)
^91
f yj
60480 (*+| )
Заметим, что численное интегрирование, как и численное
д и ф ф е р е н ц и р о в а н и е и и н терп оли рован и е, может быть
использовано не только д ля ре шения ука за нн ых выше задач,
но и для изы ска ния новых ка рт огр аф иче ски х проекций.
12 *
Апп р о к си м и р у ющ и е ф у н к ц и и (полиномы) ис пол ьзу ют ся
в математической картогр аф ии для получения и пр ео бр азо ва ­
н ия к а р т о г р а ф и ч е с к и х п р о е к ц и й , д л я м а т е м а т и ч е с к о г о
оп и с а н и я с о с т а в л е н н ы х э с к и з о в к а р т о г р а ф и ч е с к и х сеток,
получен ия значений ф у нк ци й в любой точке по за дан ны м
их зн ачениям в регулярной или произвольной сетке точек и
т.п.
Выше в п.4.2.2, было ра ссм отр ен о прим енени е а л г е б р а ­
ических степенных полиномов д л я получения произвольных
по х а р а к т е р у и с к а ж е н и й п р о е к ц и и , п о л и н о м о в в и д а
гармонических для аппроксимации
с е т к и э с к и з а пр и
определении равноугольны х проекций и полиномов,
обеспечивающих матема тич еск ое описание эскиза сетки при
получении равновеликих проекций. Для определения функции
по за данным ее значениям при неравноотстоящем изменении
а р г у м е н т а б ыли п р и в е д е н ы и н т е р п о л я ц и о н н ы й пол ино м
Л а г р а н ж а и т р и г о н о м е т р и ч е с к и е полиномы. Дл я р е ш е н и я
у ка за н н ы х выше за дач могут быть использованы и другие
полиномы.
К их числу, например, относятся.
4.5.5.1. МУЛЬТИКВАДРАТИЧНЫЕ ПОЛИНОМ Ы
Р = ао +
- ^/ )2 + (л - Л,)2 + а У 2 + v,
/=1 L
к
J
Г
2
в = *о + Z ^ /=1 L
1 У2
2
+ (л -П ,)
+Р,
J
+и ,
где
d
_
г -
*
-
*
o
М-1
е _ Ф - Фо
SИз
р
_
или г -
ИЛИ
Ф
-
Ф
о
Ml
е _ * - *0
S;
Из
а
;
„
М2
-
или
__*■-*■<>
или л Ш
л-
Х
‘
,,
М2
;
„ _У-Уо
М-4
ф Д 1*,У ; ф 0Д о ;
“ соответственно геодезические и
п р я м о у г о л ь н ы е к о о р д и н а т ы т е к у щ и х и н а ч а л ь н ы х то ч е к
п о в е р х н о с т и и п р о е к ц и и ; Ц,,Ц2»Из»И4 “ м а с ш т а б н ы е
коэффициенты, опред еля емы е из условия Ртах < 1; 0 max < 1;
^>тах
Ь
Л m ax
<
^ »
fl,, Ь; - постоянные коэ ффициенты, количество которых /1+1
меньше или равно количеству опорных точек (/ = 1, 2, ... п\
к > п + \)\ осу, Р, - п а р а м е т р ы о п р е д е л я е м ы е по з а д а н н ы м
условиям.
4.5.5.2. ПОЛИНОМЫ НЬЮТОНА
Представим эти полиномы следующим образом
к
к
= Z fl< n ( * - г ; )У-
W
j =1
(347)
7=1
где W = х + iy\ z = q + & или z = X + iY ,
где x , v; X, Y - пр ям о у го л ь н ы е ко ор д ин а ты ра вн о у го л ь н ы х
проекций;
- изометрические координаты.
П ред п олагая возможность использования полиномов
Ньютона д л я ап пр ок с им а ци и пр ям оу го ль ны х ко орд ин ат и
х а р а к т е р и с т и к не только равноугольных, но и других по
х а р а к т е р у иск аж ен ий проекций (изображений), перепишем
вы р а ж е н и е (347) следующим образом
к
к
р = <*о + Z 0;'*'? - Z ь у , + v \
i= 1
/= 1
к
в = ^0 +
где V)/- =
- v(v-_,;
V.- = £-£<;
Vi
+
1=1
+ v’
1=1
v- =
+ v ^ .u
v, = л = л-л ,;
V 2 = 4 - ^ ; ••• vi = л - Л1 ; v2 = л - Л2 i •••
( / = 1,2,...,л;
Например,
Л >/i + l )
V? = Vi = t e - S i ) ;
V? = v, =
к
(л -
Л1) ;
V2
v °2
- 4 i ) - ( л - л г Х л - Л.);
= (£. - ^гХт» -
лО + (л -
ЛгХ^ ~ ^-i)
4.5.5.3. ПОЛИНОМ Ы ТОМОГРАФИЧЕСКОГО И АФФИННОГО
СООТВЕТСТВИЯ
р
_
a i(£ ~ £о) + °2(л ~ Ло) + а г
.
ci ( ^ - ^ o ) + c2( n - n o ) + l
0=
- ^о) +
^2 (л _
Л о) +
Ь ъ
c l(^ _ ^о) + с 2 (л _ Ло) + 1
Р - а \(&~ ^о) + а г(л _ Ло) + аз>
®=
- £о) + ^2(л - Ло) +
•
4.5.S.4. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ ДВУХ
ПЕРЕМ ЕННЫХ. ДВОЙНЫЕ РЯДЫ ФУРЬЕ
р = 'И^пт[апт cos/i^cosmri + bnm sin
п,т=О
+
с „ т
c o s л£, sin
m r \
+
d
n m
c os /ил +
(348)
sin л); sin /ил];
0 = Л ^ п т [а 'пт COS П*>C0S mr\ + Km sin «4 COS mr\ +
n,m
n,m=0
=О
•f 1
c^m cos л^ sin mr\ + d'nm sin n%sin /ил],
где постоянные ко э ф фи ци е нт ы опред еля ют ся по фо рм ул а м
a nm
=- \- f f/( ^ ^) C0S H^C0S/ n n^
;
71 А
bnm = - у | | / ( ^ > л) sin nt, c o s mr\dt,dr\\
71 к
cnm = - у Я / ( ^ , л ) с о 5 л ^ т / л л а д ;
71 к
d пт = - у JJ/(l;,n)sinn$sin/mi<^rfn,
/ ( ^ л ) = - Р ( ^ п ) - при определении значений am , Ьпт, спт, dm
и / ( £ , ч ) = 0 (^ч ) - при определении значений а'пт , b'nm , с'пт , d'nm .
При этом система ортогональна на кв ад ра те
к \-п < ^ < л ;
- я < г] < я}
или
к[а < £ < д + 2л; b < r| < b + 2 л }.
Ч астные суммы £« ,* (/, £ ,г|) ряда (348) можно за пи сат ь в
виде
е
к
^ , * ( / . 4 . n ) = Z I X m K m c o s c o s /ил + Ьпт s i n ^ c o s m r | +
п=От=О
+ спт cos п%sin тц + d nm sin ai£, sin mr\).
Зд есь
/ 4,
т=п =О
У 2 > л > 1, т = 0 и п = 0, т > \
1,
л = О, 1, 2,
п > 1, т > 1,
; т =
0, 1, 2, ... .
4.5.5.5. СГЛАЖИВАНИЕ ИЗМЕРЕННЫХ ВЕЛИЧИН С
ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ И МЕТОДА
КОРРЕЛАТ
При определении проекции по эскизам кар то гр а ф ич е с ки х
проекций, возникает необходимость с гл аж ива ния измеренных
величин.
Пусть для ряда равноотстоящих значений аргумента х0 ,
х х,. . . хп даны (измерены) значен ия фунц и и / o , / i , - /„ •
Тогда посл ед о в ат ель н ы е конечные разности можно
в ы ра зи ть ч ер ез зн аче ния этих функий по ф ор му л е [36]
= /л - Ф п -1 + C l f n_2 - С^/„_з + ...+ (- 1)л/ о ,
где
С„* =
я!
л
к\(п - к}\
~ биномиальные коэффициенты.
Для сг л аж и ва н и я измеренных ф ункций потребуем, чтобы
/ ф была равна нулю и подставим в приведенную ф ор му лу
и м е ю щ и е с я з н а ч е н и я / о , /i ,-■•/„ ( и л и до f n_x ). П о с л е
вычислений в правой части получим не нуль, а величину со .
Сле д ов а те л ьн о, чтобы ко не ч на я ра зн о сть
ввести в величины / поправки v , т.е. за п исать
fn/2 = (frt + v n) - C l{fn-\ +
- 0 надо
+ uo) =
Отсюда получаем условное уравнение
Vn - C\ vn_x + C 2n v n_2+...+vо + со = £а,г>, + © = 0.
Положив, что
= 0 , реша ем это уравне ни е по способу
наименьших квадратов.
Ко р р е л а та к и поправки Vj принимают значе ния
к =-
0
= а, ■к.
/ /=0
Сглаже нн ые ф ункции будут равны
сгл
fi
~ fi + ^/ •
Аналогично р е ш а ет ся задач а при определении и решении
двух и более условных уравнений.
Запише м, для примера, два условных ур авн ен ия
а,и, + a2v 2+...+anv n + ©, =0;
^iu i + b2v 2+...+bnv n + ю2 - 0Нормальные ура вне ния ко рр ел ат принимают вид
\aai\kx +
+ ©| = 0;
\ab\k\ + \bb\k2 + со 2 = 0 .
Поправки v теперь могут быть вычислены по фо рм ул е
Vj = а (к { + bjk2 .
Использование сглаженных величин изм еренных функ ций
поз воляет выполнить интерполяцию и экстрапо ляц ию этих
функц ий.
Дополнительные сведения об аппрокси ми рую щих полино­
мах иих применении можно получить в работах В.JI.Гончаро­
в а , Б о г и н с к о г о В.М. [4], Ж у р к и н а И.Г., Неймана Ю.М. [19] и
других.
4 .6 . О С Н О В Н Ы Е П Р О Б Л Е М Ы И Н А П Р А В Л Е Н И Я
А ВТО М А ТИ ЗА Ц И И ПОЛУЧЕНИЯ И
ПРИМ ЕНЕНИЯ КАРТО ГРАФ И Ч ЕСКИ Х
П РО ЕКЦ И Й
К числу основных задач авт оматизации в математической
*) Гончаров В.Л. “Теория интерполирования и приближений функций”,
М., 1954.
карто гра фи и относятся следующие.
1. Вычисление картограф иче ски х проекций на ЭВМ.
2. Преобразование картограф иче ски х проекций (картог ра ­
фического изображения) исходных карт в заданные проекции.
3. А в т о м а т и з и р о в а н н ы й в ы б о р к а р т о г р а ф и ч е с к и х
проекций, обеспечивающих оптимальное удовлетворение всех
т р е б ов а ни й , п р е д ъ я в л я е м ы х к ним при с о зд ан и и данной
конкретной карты.
4. И з ы с к а н и е н о в ы х к а р т о г р а ф и ч е с к и х п р о е к ц и й в
автом атизированном ре жим е в соответствии с заданными к
ним требованиями.
5. Автоматическое проектирование главного масштаба и
компоновок карт.
6. Опознавание картограф иче ски х проекций в ав т ом а ти з и­
рованном режиме.
7. Автоматическое опре деление и введение ре дукций в
и зм ере ния по карта м (с учетом их математической основы).
8. Автоматическое построение элементов математической
основы.
Решение этих задач тесно связано с теоретическими и
п ракти ч еск и м и полож ениями, рассм отренны м и выше,
дополняет их, но имеет свои особенности, связанные как с
м е т о д и к о й их р а з р а б о т к и , т а к и с в о з м о ж н о с т я м и и
о с об енн ос тя ми и с п о л ь з о в а н и я ЭВМ и у с т р о й с т в ввода и
вывода изображения.
4.6.1. ВЫЧИСЛЕНИЕ КАРТОГРАФИЧЕСКИХ
ПРОЕКЦИЙ ПРИ ПОМОЩИ ЭВМ
За д а ч а может быть решена двумя способами.
В п е рв ом п р е д п о л а г а е т с я с о з д а н и е е д и н ы х м е т о д и к ,
алгоритмов и программ, позволяющих определять конкретные
классы и в а р и а н ты проекций, как частные слу чаи общего
решения.
Во втором способе для каждого класса (и в ряде случаев
для отдельных вариантов картограф ических проекций)
создаются свои методики, алгоритмы и программы, и затем
последовательно организуется библиотека программ.
4.6.1.1. СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ КАРТОГРАФИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЙ
НА ЭВМ ПО ЕДИНЫМ АЛГОРИТМАМ И ПРОГРАММАМ
При р е ш е н и и этой з а д а ч и , п р е ж д е всего, в о з н и к а е т
вопрос об определении множеств картографических проекций,
для которых возможна р азработка единых методик,
я вл я ю щ и х ся теоретической основой создания соответствую­
щих алгоритмов и программ.
Не выполняя общего исследования вопроса об определении
таких множеств проекций, в качестве примера рассмотрим
вопрос о р а з р а б о т к е ед ин ых а л го рит мо в и про гра мм дл я
в ы ч и с л е н и я на ЭВМ п е р с п е к т и в н ы х а з и м у т а л ь н ы х и
равноугольны х проекций различны х классов, а затем
в ы ч и с л е н и я по э ти м п р о г р а м м а м л ю б ы х из у к а з а н н ы х
проекций, исходя из возможности их пр ед ста вле ния в виде
частных случаев общей теории р а ссм атр ив аем ых совокупно­
стей проекций.
Вычисление перспективных азимутальных проекций по
единой методике
П р я м о у г о л ьн ы е коо р д и на ты X, Y и ч аст ны е ма с ш т аб ы
д л и н в д о л ь в е р т и к а л о в (|i|) и а л ь м у к а н т а р а т о в (|i2)
перспективны х азим утальны х проекций
ш ара можно
вычислить по ф ормулам
(D ± /?)/?[sin(pcos(pQ - coscp sin фо cos{X - XQ)]
D ± /l[sin<psin<p0 + cos ф cos ф0 cos(X - k0)]
(Z> ± /?)/?С05ф5т(Х - XQ)
Y =
D
± Л[5Шф5тф0 + СОБф СО5ф0
COs(X - ^ 0)] ’
(Z) ± /?)|/)[sin ф sin фо + cos ф cos ф0 cos{X - X0
Hi =
D ± /?|sin 9 sin 9 0 + со5фсо8ф0 cos(X - X0)l|
D±R
|D ± ^?[sin9 sin 9 0 + совфсовфр cos(k - X0)]|
Соответственно ф ор м ул ы частных масштабов площадей
и наибольших искажений углов имеют вид
Р = И1И2;
П р и в е д е н н ы е ф о р м у л ы п о з в о л я ю т о п р е д е л и т ь любой
конкретный вариант перспективных а зи м ут а ль н ы х проекций
шара.
Если в этих ф о р му л а х везде вместо знаков “ + ” поставить
к о н к р е т н ы й з н а к “ + ” (плюс), то п о л у ч и м с о в о к у п н о с т ь
п ер сп ек ти вн о -а зи му та ль н ых проекций ш ар а с “н ег ати вн ым ”
изображением.
Если везде вместо знаков “ + ” поставить конкретный знак
( м и н у с ) , то п о л у ч и м с о в о к у п н о с т ь п е р с п е к т и в н ы х
ази му т а ль н ых проекций шара с “позити вны м” изображением
(проекцией горизонтальных аэрокосмофотоснимков). Из м е н я я
п ол о ж е н и е точ ек з р е н и я ( з на ч е ни я D), можно в ы ч и с л и т ь
ра зл ичн ы е вариан ты проекций.
Отметим, что если воспользоваться теорией и методикой,
ра ссм отр ен но й в р а з д е л е 2, п.2.1 и более полно в работе
[10], м о ж н о все п е р с п е к т и в н ы е п р о е к ц и и : к о н и ч е с к и е ,
ц и л и н д р и ч е с к и е и а з и м у т а л ь н ы е пр ое кц ии по л у ч и т ь как
частные случаи составленных общих алгоритмов и программ.
Вычисление проекции П .JI.Чебыш ева и любых
равноугольных проекций по единой методике
К а ж д а я из равноугольных проекций имеет свое, только
ей присущее расп ред ел ени е ис кажений или, иначе говоря,
изоколы в каждом случае имеют свою определенную форму.
При построении проекции П.JI.Чебышева одна из ее изокол
должн а совпадать с контуром ка рт огр аф ир уе мо й территории.
Поэтому для получения различны х равноугольны х
проекций можно принять за контурные линии, на которых
задаю тся постоянные значения частных масштабов,
с о о т в е т с т в у ю щ и е и зо к о л ы р а с с м а т р и в а е м ы х п р о е к ц и й и,
след ов ат ел ьн о , вы чи с л е ни е всех р а вн оу го л ьн ы х прое кци й
вы п о л н я т ь по единым мет одике, а л го р и тм у и про гра мме ,
составленным для вычисления проекции П.JI.Чебыш ева (см.
п.4.1.4.).
Всё ра зл ич и е будет за кл ю ч а ть с я в подготовке исходной
информации, характеризую щ ей получаемую конкретную
равноугольную проекцию.
Ее подготовка для ра зл ичн ых ка рто гра фи чес ких проекций
за кл юч ает ся в следующем.
В равноугольной цилиндрической проекции (проекции
Меркатора) искажений нет только на главной па ра лл е л и с
широтой, равной ±ф0 . Выбрав на этой па ра лл е л и достаточное
количество точек, определяют (записывают) их геодезические
коорд ин аты <p0°=const и X = a r c Х° , я в л я ю щ и е с я у ка за н н ой
исходной информацией. Р ас см атр ив аем ую проекцию можно
получить, сохранив в уравнении (301) только ко э ф ф и ц и е н т
aQ (все остальные ко э ф фи ц и е нт ы полагают р авн ы ми нулю).
- В равноугольных конических проекциях частные
м а с ш т а б ы р а в н ы е д и н и ц е на д в у х или од н о й г л а в н ы х
п а р а л л е л я х , на которых выбирают достаточное количество
точек и за пис ыва ю т их геодезические координаты
= const,
X = a r c Х° и ф 2 = const , X = a r c Х° , я в л я ю щ и е с я о с н о в н о й
исходной информацией. Если в ур ав не ни ях (301) сохранить
тол ьк о п е р в ы е два к о э ф ф и ц и е н т а aQи a v то п о л у ч е н н о е
частн ое р е ш е н и е т а к ж е п р е д с т а в и т собой р а в н о у г о л ь н у ю
коническую проекцию.
- В равноугольных а зи м у т а л ь н ы х проек ци ях изоко лы в
нормальной ориентировке совпадают с п а р а л л е л я м и , в косой
- с а л ьм у к ан т ар а т ам и , имеющими форму окружности.
П р о в е д я на к а р т е , с о с т а в л е н н о й в э т о й п р о е к ц и и ,
окру жно ст ь с центром б(фоАо) в заданной точке полюса,
вы б и р аю т на этой о к р у ж н о с т и р я д точек, о п р е д е л я ю т их
г е о г р а ф и ч е с к и е к о о р д и н а т ы ф, X , к о т о р ы е и я в л я ю т с я
исходной информацией.
- В п р о е кц и и Л а г р а н ж а из о к о л ы п р е д с т а в л я ю т собой
овалы. Д л я п о л у ч е н и я исходной и н ф о р м а ц и и н а н о с я т на
карту, составленную в равноугольной проекции ( же лат ель но
в стереографической) эллипс, наилучшим образом ап п р о к с и ­
мирующий контур изображ аем ой террит ории, и снимают с
ка р ты географические координаты ф, X точек этого эллипса.
О т м е т и м , ч т о по р а с с м о т р е н н о й е д и н о й м е т о д и к е
аналогично могут быть получены и другие ра вно уг ол ьны е
проекции.
4.6.1.2. СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ КАРТОГРАФИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЙ
НА ЭВМ ПО МЕТОДИКАМ, АЛГОРИТМАМ И ПРОГРАММАМ,
СОСТАВЛЕННЫМ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОТДЕЛЬНЫХ
ПРОЕКЦИЙ
В этих способах для с о с та в л е н и я со о тв ет с тву ю щ и х
методик, алгоритмов, программ и затем их библиотек, могут
быть и с п о л ь з о в а н ы ф о р м у л ы п р я м о у г о л ь н ы х к о о р д и н а т ,
частных масштабов и других х ар актер и сти к проекций,
при веденные в учебниках, пособиях, статьях, в частности,
т а к и х кл а с со в и в а р и а н т о в , к о т о р ы е р а с с м о т р е н ы выше.
Вычисление каждой конкретной проекции о с у ще ств л яе тся по
соответствующей программе, входящей в общую библиотеку
программ.
4.6.2.ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КАРТОГРАФИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЙ
(КАРТОГРАФИЧЕСКОГО ИЗОБРАЖЕНИЯ) ИСХОДНЫХ
КАРТ В ЗАДАННЫЕ ПРОЕКЦИИ
Эта з а д а ч а в о з н и к а е т во м но ги х с л у ч а я х п р а к т и к и
создания карт и выполнения по ним ра зл ичн ы х исследований.
Пусть
х = /,(фД);
У =Ш * )
ура вне ни я проекции исходной карты;
Jf = /i(q>A);
Y = F2(<p,\) у р авн ен ия проекции создаваемой карты.
Из уравнений (349) запишем
ф= / з
ь = / 4 ( х <у)Подставив (351) в (350), найдем
X =
у
=
(349)
(350)
(351)
= Ф\(Х’УУ’
*2 [ / з
(* .? )> Л ( * . ? ) ] =
Ф
г ( х , у ) '
(3 5 2 )
Из этих уравнений следует, что существуют два основных
способа преобразования кар то гр а ф ич е с ки х проекций.
Первый, предполагающий пре два рит ел ьно е определение
ге о г р а ф и ч е с к и х к о о рд ин а т по пря м оу го ль ны м , и мее т р я д
п р е и м у щ е с т в по с р а в н е н и ю со в т о р ы м , в ы р а ж а е м ы м
ура вне ния ми (352), так как свободен от всяких ограничений.
Во втором способе, в котором устана вли вае тся непосредст­
венная связь прям оугольны х систем координат, для
ос уществления преобразований, как правило, используются
различного вида полиномы.
При этом возникают ограничения, связанн ые с р а з л и ч и я ­
ми в х а р а к т е р е ис ка ж е н и й р а с с м а т р и в а е м ы х проекций, в
р а з л и ч и я х в отоб раж ен и и ге о гр а ф и ч е ск и х полюсов и
х а р а к те р а симм етричности к а р то гр а ф и ч е с к и х сеток
относительно среднего меридиана и экватора.
4.6.2.1. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КАРТОГРАФИЧЕСКИХ
ПРОЕКЦИЙ
Данный способ п ре ду см атр ив ает использование а н а л и т и ­
ческих комплексов, вк лю ча ю щи х ЭВМ и состык ов ан ные с
нею вн еш ни е ус тр о й с тв а ввода и вывода и з о б р а ж е н и я , а
та к ж е ра зра бот ку соответствующих методик, алгоритмов и
программ, обеспечивающих строгое решение данной задачи.
Поскольку ф ор мул ы проекций (350), в которых создаются
кар ты известны (могут быть получены заблаговременно), то
з а д а ч а п р е о б р а з о в а н и я з а к л ю ч а е т с я в том, чтобы на йт и
геодезические координаты (351) точек исходной проекции по
их прямоугольным координатам, а затем в соответствии с
составленными алгоритмами (программами) вычислить
координаты получаемой проекции.
Приведем без вывода строгие ф ор му л ы для оп ределения
г е о д е з и ч е с к и х к о о р д и н а т т о ч е к по их п р я м о у г о л ь н ы м
к о о р д и н а т а м д л я б о л ь ш и н с т в а из н а и б о л е е ш и р о к о
использующ ихся проекций эллипсоида, а затем кратко
рассмотрим решение этой задачи методом итерации.
Равноугольная цилиндрическая проекция М еркатора
И с х о д я из ф о р м у л
проекции, будем иметь
п р я м о у г о л ь н ы х к о о р д и н а т э то й
iЛ- J L
„ - долготы точек;
го
х
q = lnU = -----изометрические широты;
'о
где х, у - прямоугольные координаты точек проекции;
г0 - радиус кри визны па ра лл е л и с широтой заданной
па ра лл е л и ср0.
Обозначим
.
,
.
e 4H - e - q
U2 - 1
el+ e;,4
U 2 +1
sincp' = th g = —------— = — ----- ,
и 53ч
где U вы чис ля етс я по (22), (23);
е - основание на тур ал ьны х логарифмов;
е - первый эксцентриситет эллипсоида.
Ра з л о ж и в в ряд Тейлора формулу изометрической широты
In U , получаем
Ф = ср' + с2 sin 2ф' + с4 sin 4ф' + с6 sin 6ф '+ с8 sin 8ф'+..., (354)
где с,, с4,с6, cg - постоянные ко эф фи цие нты
5 О4 -1- е 6
13 8
Cl = f e 2
+ — e +•••
12
, 2 + 24
+ ‘^ - е 6 +
240 е +
v48
811
e8+...
( 4279
6 ,
сл = U - * + 81 ,«
1120
v 120
e8+...
Учит ыва я эту ф орм ул у, можно за пи с ат ь
sin<p = sin<p'(/>0 + b2 c o s 2cp' + b4 c o s 4ф
(356)
где
,
21 4
96
П5 6
480
bn = 1 + — + — e + -----e +...
2
,2 ,1 0 .4 ,
^ = ~~
+ 24
,
4
, 7
1 „6
+ 64
+
(357)
237 6
= ,192 ^ + 9 6 0 e
Равноугольная коническая проекция
Из ф о р м у л прямоугольных координат этой проекции можно
з а пи сат ь
/
\
У
(358)
\Рю - Х/
/
q = \nU = - l n
а
(359)
V(Pю - х ) 2 + У1
или
г/ =
(360)
V ( p « _ х )2 + ^ 2
где а , с - па ра ме тр ы проекции;
рю - полярное расстояние южной па ра лле ли ка р т о г р а ф и ­
руемой территории.
Вычислив по (353) с учетом (359) или (360) значе ния sincp' ,
определ яе м широты искомых точек по фо р му л ам (354), (355)
или по (356), (357).
Н а х о ж д е н и е д о л г о т т о ч е к по (358) з а т р у д н е н и й не
вызывает.
Равноугольная проекция Лагранжа
И с х о д я и з ф о р м у л п р я м о у г о л ь н ы х к о о р д и н а т э то й
проекции, получаем:
- долготы искомых точек
2 ку
X = —arcsin
а
(361)
(х2 - &2) + у 2( у 2 + 2 х 2 + 2 к 2 )
- изом етрические широты
q = \n U = а
1
2
(х + к ) 2 + у 2
------- L — — - 1пр
{х - к) + у 2
(362)
или
U =
(х + к)
+у2
Р у ( х - к) 2 + у 2
(363)
где а, Р, к - п ар ам етр ы проекции.
Найд я по (353) с учетом (362) или (363) зна чен ия sincp'
оп ре дел яе м широты Ф искомых точек по ф о рм ул а м (354),
(355) или (356), (357).
С тереографическая проекция шара
В ней имеем
Ф = a r c s in (s ir u c o s a c c ^ o + cos
z sin ф 0 );
X = X0 + arcsin(sin z sin a sec ф),
где z, й - полярные с ф е ри че ски е координаты с полюсом в
заданной точке ф0, Х0 ;
R - радиус шара (часто принимают
Zk - з е н и тн о е р а с с т о я н и е а л ь м у к а н т а р а т а , на котором
частные масштабы равны единице).
Равноугольная азимутальная проекция эллипсоида
Для этой проекции па ра мет р а = 1 .
Геодезические координаты точек могут быть определены:
- п р и и з о б р а ж е н и и т о л ь к о п о л я р н ы х о б л а с т е й по
фо р му л а м (358)-(360) и (353)-(355);
- при из ображении любых областей, кроме полярных, по
фо р му л ам (361М363) и (353)-(355).
Равноугольная проекция Г аусса-К рю гера и UTM
Применительно к эллипсоиду Красовского фо рм ул а м для
оп ред ел ен и я геодезических координат можно прид ать
следующий вид
Ф = Фх + [[[fl28^'2 - a lb\ z ' 2 + f l24 Z '2 - 1 Z'2a 22 ;
I = к - Х 0 = [ [ [ ^ n Z '2 + *15У ' 2 + ьп У ' 2 + * Z',
где
Фх = |^2382cos2 р + 293609jcos2 р + 50221747 sin p co sp
Ю"10 + Р;
N x = [(0,605sin2 Фх + 107,155)sin2 ф х + 21346,142]sin 2 фх + 6378245;
a 22 = (0,003369263co s2 ф х +
О ^ ш ф * со5ф х ;
a 24 = [(o,0 0 5 6 154-0,0000151 c o s2 фх ) со52 фх +0,1616128 cos2 ф х
+
+ 0,25;
a 26 = |^0,00389cos2 фх + 0,04310)cos2 Фх - 0,00168]cos2 Фх + 0,125;
a 2S = |(0,013cos2 фх + 0,008)cos2 фх - 0,031 co s2 ф х + 0,078;
b l3 =
(0,16666667 - 0,00112309c o s2 ф х ) с о 5 2 ф х - 0,33333333;
b i5 =
^0,008783 - 0,000112co s2 ф х jc o s 2 ф х - 0,l66667jcos2 ф х + 0,2;
b l7
= (o,l667 - 0 ,0 3 6 lc o s2 фх jc o s 2 фх - 0,1429;
в = _____* _____•
P
*' = ____ у____
N x cosq>x '
6367558,497’
Т о ч н о с т ь в ы ч и с л е н и я г е о д е з и ч е с к и х к о о р д и н а т (при
разности долгот 1 = 9°) составляет 0".0001 •
П р и и с п о л ь з о в а н и и п р о е к ц и и UTM п р е д в а р и т е л ь н о
вычисляют:
- в с л у ч а е , е с л и UT M п о л у ч е н а в л е в о й с и с т е м е
прямоугольных координат
х
=
х
и Т н
/ к
;
у
=
У и т м
- в с л у ч а е , е с л и UTM п о л у ч е н а
прямоугольных координат* >
х ~ Уитм /к ,
У = x vtm
А >
в правой системе
/^ >
где к = 0.9996.
Равнопромежуточная вдоль меридианов цилиндрическая
проекция эллипсоида
Имеем в этой проекции
*) В России и в странах СНГ при получении картографических проекций
используется левая система прямоугольных координат, в США и в
некоторых других странах - правая система.
x-JL
л_
- долготы точек проекции;
го
s = х - д л и н ы дуг м е р и д и а н о в от э к в а т о р а до
данной параллели, определенные по фо рму ла м (156).
О б р а щ е н и е р я д а (156) п р и м е н и т е л ь н о к э л л и п с о и д у
Красовского дает
Ф= т +
50221746 + 293622 + (2350 + 2 2 c o s2 t ) c o s 2 т c o s2 Т
х
(364)
х 10 10 sin т c o st,
s
и
где , = « р ; а =
а„
(f
пи'2
'2
я„-4
'4
л^
= 6367558,4969 м
У
Равнопромежуточны е вдоль меридианов конические проекции
эллипсоида
Из ф орм ул этой проекции получаем
/
X = — arctg
- долготы точек этих проекций; (365)
а
VP» - X )
s = с - у/у2 + (рю - х ) 2 - длины дуг меридианов
(366)
от экватора до данной параллели;
где а , с - па ра ме тры проекции;
рю - полярное расстояние южной параллели.
Используя зна чение S, вычисленные по (366), определяем
по (364) значения х и затем широты ф искомых точек, а по
(365) их долготы.
Равнопромеж уточная вдоль меридианов азимутальная
проекция эллипсоида
Для этой проекции сп раведливы ф орм ул ы (364), (365) и
(366), но при условии, что постоянная а = 1 .
П севдоцилиндрическая трапециевидная проекция
Из форму л ее прямоугольных координат находим
У
£1,(112- toe) #
где a v а2, к - пар аметры проекции.
*
к ’
Исполь зуя значения s , определяем по (364) значен ия т и
ш и р о т ы ф то ч е к. О п р е д е л е н и е д о л г о т т о ч е к п р о е к ц и и
трудностей не вызывает.
Равновеликая коническая проекция
Из ф о р м у л п р я м о у г о л ь н ы х к о о р д и н а т этой пр о е к ц и и
получаем
(367)
О бр ащ ая ряд (183), будем иметь
(368)
где Ь - м ала я полуось эллипсоида (b — 635686 3 .0 1 8 8 - для
эллипсоида Красовского);
а , с - па ра ме тры проекции;
рю - полярное расстояние южной па ра лл е л и ка р т о г р а ­
фи руемой территории.
Вычислив по (367) зна чения т , находим по (368) широты
точек. Определение их долгот трудностей не вызывает.
П севдоконическая равновеликая проекция Бонна
Для этой прое кции получаем
(369)
где рю, фо - заданы.
Получив из (369) значения S, находим по (364) величины
т и широты ф искомых точек. После этого нетрудно из (369)
определить долготы этих точек.
В ы числения выполняем в следую щ ей последовательности.
П р е о б р а з у е м п р я м о у г о л ь н ы е к о о р д и н а т ы х п, у п п р остой
поликонической проекции в координаты проекции ГауссаКрю гера
хг = хп +
v c o s v | a 0 + | a 2 + a 4 sin 2 v jsin 2 vj+...;
Z' 3
3
У т = У n + ~£~ac o s
7 '2
v Po + Pi Sin2 V + — (5
-
sin2 v(23 +
2
+ — ( 1 3 3 - 1 1 5 sin 2 v)))
„t _
УП
.
_ ХП л/.
-
где Z = , v - — p ,
acosv
R
a - б о л ь ш а я п о лу о с ь э л л и п с о и д а ;
R = 63675 58.5 (д л я э л л и п с о и д а К р асов ск ого);
р' - р а д и а н ;
51, Д
a 0 =( 5 + — e "J ;
P o = ( i + « ' 2 );
„ __Г<И А
а 2 =-[5 + - е 'Ч ;
„ _ 6 i ,2.
а 4 = — е" ;
P i = - | g'2 ;
e f - второй эксцентриситет эллипсоида.
Д ля эллипсоида К расовского
а 0 = 5.085916194; а 2 =-5.171832388; а 4 = 0.1027625063;
Ро = 1.006738525;
р, = -0.0084231563; е ' 2 = 0.006738525.
С т о ч н о с т ь ю до 2-3 м. к о о р д и н а т ы x r, y v р а в н ы
*Г = *п + ^jLzS
7 -ftg v ;
24 опJ
3
1
.-.•3
УГ = УП + —
6а" УчИ с п о л ь з у я х т, у г, в ы ч и с л я е м г е о д е з и ч е с к и е к о о р д и н а т ы
д а н н ы х т о ч е к по ф о р м у л а м Г а у с с а - К р ю г е р а .
Видоизмененная простая поликоническая проекция
Из ф орм ул этой проекции (см. п.2.3.2.3.) получаем
X-
(rf s i n фс - r„ s i n фю) ф
+ r„ sin <р
Ф “ Фю
(j c -
Х = у/
{ ' с ~ ГЮ)
2
- 0,0006092 co s2 фср)
ф-ф*
(
/•„sin ф ^ + ^ s i n
2
*2
Фс ~
\Ф — Фа
— —
sin
Вычисления выполняем методом итераций.
За д ае м рю, х, у и определяем (по <рю и фс = фю + 4° ) все
члены, входящие в эти формулы.
П о л о ж и в в п е рв ом п р и б л и ж е н и и (в п р а в о й с то рон е)
(2 )
Л _ ф - Фк> _ о
W2)
Ф - Фю
К ------ ----- -- U , находим значения A v ' = I ---- -----I
л (2)
и Aw во
второй итерации. Подставив эти значения в правые стороны,
/
определяем
Ф “ Фю
\
0)
-
и
в третьей итерации. Эти
вычисления повторяются до получения необходимой точности.
За искомые величины геодезических координат принимаем
Ф = Фю + 4 Л (Л) и X = Х^п) , полученные в последней итерации.
4.6.2.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ КООРДИНАТ ТОЧЕК ПО
ПРЯМОУГОЛЬНЫМ КООРДИНАТАМ ПРОЕКЦИЙ
ЭЛЛИПСОИДА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА ИТЕРАЦИЙ
П р о е к ц и и э л л и п с о и д а по в и д у о с н о в н ы х ф у н к ц и й ,
использованных при их получении, могут быть по дразделены
на:
- проекции типа проекций Гаусса-Крюгера и UTM;
- проекции, в фор мул ы которых входит из ом етр иче ск ая
широта;
- проекции, со держащие ф орм ул ы длин дуг меридианов:
- проекции, со д ер ж а щ и е ф о р му л ы площадей с ф е ро ид и-
ческих трапеций.
При этом, в ф о р м у л ы б о л ь ш и н с т в а п р о е к ц и й в х о д я т
постоянные параметры, значения которых необходимо иметь
при выполнении у каз ан ны х преобразований.
Решение задачи определения геодезических координат по
прямоугольным координатам проекции Гаусса-Крюгера и UTM
рассмотрено выше в р а зд ел е 3.
К п р о е к ц и я м эл ли п со ид а , в ф о р м у л ы ко то ры х входит
из ом е тр иче ска я широта, относятся равноугольные цил ин д ри ­
ч е с к а я , к о н и ч е с к а я и а з и м у т а л ь н а я п р о е кц и и , п р о е к ц и я
Л агр ан жа .
Фо рмула изометрической широты имеет вид
q = \ nU = ln tg (4 5 ° + % ] - еЫ % {45°+У /^,
где
—&тс(е sin ср).
Из этих ф орм ул можно записать
Ф = 2 arctg U - t ge\ 45°+у
-45°
(23)
(22 )
(371)
где U - ф ун кц и я , зна чен ие которой можно оп ре дел ит ь по
прямоугольным координатам ука за нн ых проекций,
исходя из фо р му л их прямоугольных координат (см.
р а з д ел 2).
Для цилиндрических равноугольных п роекций имеем
х/
U = е/г \
где r0 = yVoCOS(po - постоянный па ра мет р проекции;
Фо - ш и р о т а п а р а л л е л и , на к о т о р о й о т с у т с т в у ю т
ис ка же н и я длин.
Для равноугольной конической проекции можно за писать
U =
[(р* - * ) 2 + У2] 2
где к, а - постоянные п ар ам етр ы проекции.
В р ав н о у г о л ьн о й а з и м у т а л ь н о й пр о е кц и и э л л и п с о и д а ,
пр и м ен яе м о й д л я к а р т о г р а ф и р о в а н и я по л яр ны х областей,
а = 1•
В а з и м у т а л ь н ы х проекциях д л я любых областей, кроме
поля рн ых
1
(х + к ) 2 + у 2 72
■ р[(*-х)2
+ у 2 _
В проекции Л аг ра нж а меридианы и па ра лл е л и и з о б р а ж а ­
ются окружностями.
Их ур а вне ни я имеют вид
Ос - к co se c 8 )2 + у 2 = к 2 ctg2 6 •
Отсюда получаем
U =
где а, Р, к - постоянные па ра ме тр ы проекции.
В случа е к а рт ог ра ф и ро ва н и я любых террит ори й, кроме
полярных, имеющих округлую форму, про екция Л а г р а н ж а
п р и н и м а е т с я за р а в н о у г о л ь н у ю а з и м у т а л ь н у ю п ро е кц и ю
эллипсоида, в которой а = 1.
Определение геодезической широты Ф ос ущ ест вля етс я по
форму ле (371) методом итерации в следующей последователь­
ности. В первом пр иб л иж ен ии полагаем, что vj/1* = 0 и по
(371) вычисляем ф(1). З ате м по (22) находим
и по (371)
широту ф(2) во второй итерации.
Вычисления повторяются до тех пор пока в двух смежных
и те р а ц и я х ф(л) - ф*л-1) < е - допустимой величине.
Искомые широты ра ссматриваемой проекции будут равны
Ф= Ф
Долготы точек легко определить по следующим ф ор мул ам
- д л я ци линдрических проекции
У_
Го
- д ля коническ их проекции
1
X = —arctg
а
_(р» - *)
дл я а з и м у т а л ь н ы х проекций на полярные области
X = arctg
(о
У
—лy )\
или X = arctg
у
X
- д ля проекции Л аг ра нж а
2у-к
X = — arctg
а
д ля а зи м ут а ль ны х проекций на любые области, кроме
пол ярн ых
2у • к
X = arctg
к 2 - ( х2 + у 2
К проекциям эллипсоида, со д ер жа щи е ф ор м ул ы длин дуг
м еридианов, относятся равн оп ром еж уточ н ы е вдоль
меридианов цилиндрические, конические, а зи м у тальн ы е
проекции эллипсоида, трапе цие вид на я псевдоцилиндрическая
прое кци я, пс е вд о к он ич ес ка я пр ое кци я Бонна и некотор ые
поликонические проекции.
Из ф орм ул ы длины дуги меридиана s (156) можно записать
ф = — [s/fl0 + а2 s in 2 / - о 4 s in 4 / + а 6 s in 6 / - . . . ] ,
где
а
а0 = --------;
0 1 + п'
. п'г
я'4
а, = 1 + ----- + —— ;
1
4
64 7
а-, = 3/
* /2
-
. а-Ь
=
П’ ~ Л * Ь а, Ь - бо льшая и м ал а я полуоси эллипсоида.
35
(373)
Для эллипсоида Красовского имеем
а = 6378245;
Ь = 6356863.0188;
п' = 0.0016789807;
а 0 = 6367554;
а х = 1.000000715256;
а2 = 0.0025184702 ;
а 4 = 0.0000026428;
ав = 0.00000000345.
З н а ч е н и я д л ин ы дуги м е р и д и а н о в s о п р е д е л я ю т с я по
прямоугольным координатам у ка за нны х проекций.
Для цилиндрических проекций получаем
S = х .
При использовании конических и псевдоконических
проекций имеем
Для трапециевидной псевдоцилиндрической проекции
х
где с, к , рю - постоянные п ар ам етр ы проекции.
З н а ч е н и я г е о д е з и ч е с к и х ш и р о т , к а к было о т м е ч е н о ,
определяем по фор мул е (373) методом итераций.
В первом приближении полагаем, что
= 0 и вы ч и с л я ­
ем по (373) ер*1*. Приняв во втором приближении / (2) = ф(1) ,
находим ф*2*. Этот процесс повторяем до тех пор, пока в
д в у х с м е ж н ы х и т е р а ц и я х ф(л) - ф(п_1) < е
- допустимой
величины.
Искомая широта будет равна ф = ф(л) .
Зна ч ен ия долгот нетрудно получить из вы ра же ний
- д л я цилиндрических проекций
- д ля конических проекций (азимута льн ых при а = 1 )
- дл я псевдоконических проекций
с)2 + у 2
TVcos ср
,(р» - *)
В этих ф о р м у л а х г0 , с, а, рю - постоянные па раметры,
к о т о р ы е либо и з в е с т н ы , либо их м о ж н о о п р е д е л и т ь по
значен иям прямоугольных координат.
К числу проекций эллипсоида, в фо рм ул ы которых входят
значения площадей сфероидических трапеций, входят
равно велики е цилиндрические, конические и аз им ут а ль ны е
проекции.
Из вы р а ж е н и я (183) можно записать
5
3
4 .
3 г
/ ---- е sin
5
ь
з
где для эллипсоида Красовского
•
Sin ф = —------2 е 2 sin
5
f - l e 6 sin7 / - -
(375)
е 2 = 0.0066934216;
6 = 6356863.0188 м.
П л о щ а д и с ф е р о и д и ч е с к и х т р а п е ц и й S от э к в а т о р а до
д а н н о й п а р а л л е л и при р а з н о с т и д о л го т в один р а д и а н
опр еделяем по значениям прямоугольных координат:
- в равновеликих цилиндрических проекциях
S = х г 0;
- в ра вновеликих конических (азим ута льн ых при а = 1 на
полярные районы) проекциях
Г еодезические широты точек вы числяем с учетом
ф о р м у л ы (375) методом итерации, аналогично р а с см о тр е н ­
ному выше (при использовании ф орм ул ы (373)).
Долготы точек вычисляем по формулам:
- д ля цилиндрических проекций
= у/г0 ;
- для конических (азимута льн ых при а = 1 на полярные
районы)
1
X = — arctg
а
,(р» - *)
О т м е т и м , что т о ч н о с т ь о п р е д е л е н и я г е о д е з и ч е с к и х
координат точек по прямоугольным координатам проекции
методом итераций я вл я е тс я достаточной для ре ше ния задач
ка ртографии, фотограмметрии и большинства за дач геодезии
уж е при выполнении только 3-4 приближений.
4.6.2.3. СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КАРТОГРАФИЧЕСКИХ
ПРОЕКЦИЙ НА ОСНОВЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ПОЛИНОМОВ
Составим обобщенный полином, включающий в качестве
составных частей гармонический и степенной алгебраический
полиномы
*,
кх
т=
/=0
*1
к2 к2
- Z а-'0<+ Z Z
1=0
/=0 ;=0
*1
*2
*2
(376)
0 = 2 > а + Z o/v, + Z Z ^ v
/=0
/=0
/=0 j =о
+ и.
Здесь г; - члены, отличающие полиномы от функци она льн ых
зависимостей;
;
(377)
(или 0 = — X );
^2
ц2
Л",
К; ф, X , q - п р я м о у г о л ь н ы е , г е о д е з и ч е с к и е
изометрические координаты получаемой проекции;
или
у ,=4;
^ =
е, = n; V, = ^ , - 1 - л 0 ,-|; 0,- = $e,-_i +
(или Т = — ф , или Т = — q );
Ц|
Hi
рь -- “ Я
(или 4 = —1 ф' , или £, = —1 q ' );
Кз
Из
_
1
1
^~
.. У (или X] = — X' )■
Ц4
ц4
У\
ф'>
Я' “ п р я м о у г о л ь н ы е , г е о д е з и ч е с к и е
или
изометрические координаты исходной проекции;
|Л1, . |Л2 , Цз, Щ - м а с ш т а б н ы е к о э ф ф и ц и е н т ы , к о т о р ы е
вы бираю тся из расчета, чтобы м ак сим аль ны е з н а че н и я Г,
Q,
г| были не больше единицы. При этом часто полагают,
что ц, = уi 2 =...= ц 0 ;
я,, а/, fl/', а ”' - постоянные коэ ффициенты, которые оп р е д е ­
ляют ся по способу наименьших квадратов из реше ния систем
у р а в н е н и й в и д а (376) с о с т а в л е н н ы х д л я д о с т а т о ч н о г о
количества опорных точек, координаты которых определены
в обеих системах координат.
В случае, когда п р е о б р азо в а н и е к а р т о г р а ф и ч е с к и х
пр ое кц ий ( г ео де зич еск их ко орд ин ат в п р ям о у г о л ь н ы е или
наоборот) о с у щ е ст в л я е т с я с помощью ан ал и т и ч еск и х
комплексов пр е д с т а в л я е т с я возможным о су ще ств л ят ь общее
прео бр азовани е на основе использования аппрокс ими рую щих
зависимостей, например, полиномов (376).
При выполнении этих преобразований необходимо
уч и ты в а ть р а з л и ч и я проекций по х а р а к т е р у ис кажений, по
в и д у и з о б р а ж е н и я г е о г р а ф и ч е с к и х п о л ю с о в на. к а р т а х
( т о ч к а м и , о т р е з к а м и п р я м ы х и л и к р и в ы х л и н и й ) , по
х ар а к те р у симметричности картограф ической сетки
относительно среднего меридиана и экват ора (см. п.1.1.6).
Так, например, при преобр азо ва ния х одних р авн оуг ол ь­
ных проекций в другие или любых проекций в равноугольные
с л еду ет использовать гармонические полиномы. Поэтому д ля
вы полнени я этих преобразований следует положить в
в ы р а ж е н и я х (376) все к оэ ф ф иц ие нт ы a-j - а'-- - 0, а\ = ai .
В сл у ча я х п р ео бр азо ва ни я одних р авн ов ели ких проекций
в другие, а т а к ж е любых по х а р а к т е р у ис ка же н ий проекций
в равн о вел и ки е можно во сп ользоваться методикой
оп р ед ел ен и я р авн ов ели ких проекций по эскизам к а р т о г р а ф и ­
ческих проекций, рассмотренной в п.4.2.2.4.
При вы по лн ени и п р е о б р аз о в а н и й др у г и х по х а р а к т е р у
ис ка же н и й проекций в полиномах (376) сохраняются все виды
к о э ф ф и ц и е н т о в , о д н а к о э ти п о л и н о м ы не о б е с п е ч и в а ю т
строгого учета х а р а к т е р а иск аже ний получа ем ых проекций.
При выполнении таки х преобразований можно вос пользовать­
ся и д р у г и м и п о л и н о м а м и , н а п р и м е р , р а с с м о т р е н н ы м и в
п.4.2.2; 4.5.2.2 и п.4.5.5.
Точность преобразо ва ни й на ан али т ич е с ки х комплексах
с и с п о л ьз о ва н и е м а п п р о к с и м и р у ю щ и х за ви с и м о ст е й будет
н и ж е , чем пр и и с п о л ь з о в а н и и с о о т в е т с т в у ю щ и х с тр о г и х
фо р м у л и за вис еть от многих факторов: количества опорных
т о ч е к , их в з а и м н о г о р а с п о л о ж е н и я , к о н к р е т н о г о в и д а
и с п о л ь з у е м ы х полиномов, к о л и ч ес т в а с о х р а н я е м ы х в них
членов и т.п.
Однако, во многих с л у ч а я х эта точн ость буд ет вполне
удовлетворять потребности практики, а получаемые
математические зависимости и алгоритм преобразования
проекций будут проще.
В тех с л у ч а я х , когда отсутствую т а н а л и т и ч е с к и е
комплексы, преобраз ов ан ия проекций (и зображений) могут
в ы п о л н я т ь с я на о с н о в е и с п о л ь з о в а н и я с у щ е с т в у ю щ е й
техники: д и ф ф е р е н ци ал ьн ы х, электронных и оптик оме ха ни ­
ческих трансф орм ато ро в, оптических камер, м еха нических
устройств (например, вида “п а н т о г р а ф ”) и других.
В этом случае общее преобразование, вы ра ж а ем ое (376),
з а м е н я е т с я соотв етс тву ющ им част ным п р е о б р аз о в а н ие м и
вып олняется последовательно (по малым участкам, площади
котор ых ус тан авл ива ют ся из расчета обеспечения заданной
точности преобразований).
Н а п р и м е р , при и с п о л ь з о в а н и и ф о т о т р а н с ф о р м а т о р о в
(типов ФТБ, ФТМ, SEG.1 и др.) пре д ста вл я е тс я возможным
осуще ств ля ть следующие виды преобразований:
- преобразование подобия
X = ах\
Y - ау \
- а ф ф и н н ы е преобразования
X - а0 + ахх + а2у ’у
Y = Ь0 + Ь\Х + Ь2у ;
- томографиче ские преобразования
_ а0 +
+ а 2у
C q + С ХХ + С 2 у
’
Ь0 + у + Ь2у
с0 + с {х + с2у ■
4.6.3. АВТОМАТИЗИРОВАННЫЙ ВЫБОР
КАРТОГРАФИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЙ
Ав тома тизированный выбор ка рто гра фи чес ких проекций
в основном о с у щ е с т в л я е тс я в соответствии с общими
положениями, которые были рассмотрены в п.4.3.
К а к о т м е ч а л о с ь в ы ш е , о п р е д е л я ю щ е е з н а ч е н и е при
ус та нов ле нии совокупности проекции, из которой сл ед уе т
в ы б р а т ь ко н к р е т н у ю про екцию, имеют групп а ф а к т о р о в ,
характеризую щ их объект картографирования, а такж е
ф а к т о р ы гру пп ы, х а р а к т е р и з у ю щ е й с о з д а в а е м у ю к а р т у ,
получающие безусловную значимость для создания данной
конкретной карты.
П о с л е в ы д е л е н и я вс е х э т и х ф а к т о р о в , п о д л е ж а щ и х
об яз а те л ьн ом у учету, вы по л ня ет с я р а н ж и р о в к а (и ерархия)
всех прочих ф ак то р о в данной группы и группы фак торов,
х а р а к т е р и з у ю щ и х получаемую ка рт о гр а ф и че с ку ю проекцию,
о п р е д ел яе тс я относит ельная значимость каждого из них при
решении за д ач и выбора конкретной проекции.
На основе р е ш е н ия этой зад ачи ф о р м и р у е тс я обобщенный
кр ит ери й оценки достоинства ка рт о гр а ф ич е с ки х проекций в
к а ж д о й то ч к е , к о т о р ы й м о ж е т б ыт ь в а р и а ц и о н н о г о или
минимаксного типов.
Б у д е м о п р е д е л я т ь н а и л у ч ш и е про екц ии вариационного
типа.
Дл я этого п р е д в а р и т е л ь н о за п и ш е м ч ас т ны е к р и т е р и и
8/ :
86 —Акп/Акптах
1, 83 ^тЛЧтах Ь е9 ^£/^тах
и др.
Здесь обозначено: а, Ъ - э кс тре мал ьны е частные масштабы
длин; к ср - с р е д н я я к р и в и з н а и з о б р а ж е н и я ге од ези че ско й
линии (вдоль м ер и д и а но в и п а ра лл е л е й) ;
Ad - вели чи на,
х а р а к т е р и з у ю щ а я о т к л о н е н и е л о к с о д р о м и и от п р я м о й ;
Акм = к мj - к м - разность крив из ны меридиана в j - ой точке
проекции и заданного ее значения; Ак п = к П} - к п - разность
кри ви зн ы п а р а лл е л и в j -ой точке проекции и заданного ее
зн аче н и я; ст - вел ич ин а, х а р а к т е р и з у ю щ а я с т е р е о г р а ф и ч н о с т ь п р о е к ц и и , т.е. с т е п е н ь п е р е д а ч и на н е й ф о р м
и з о б р а ж а е м ы х т е р р и т о р и й ; Аг = е, - г' - р а з н о с т ь у г л а
отклонения 8 в j -ой точке проекции и заданного ее значения.
При вычислении этих величин могут быть использованы
ф о р м у л ы общей теории ка рт о гр а ф и че с ки х проекций, ра з д ел
1, п.2.
К а ж д ы й из этих частных крит ери ев д ает х а р а к т е р и с т и к у
проекции в каждой ее точке.
Если р а с с м а т р и в а т ь пол уч е ни е или выбор пр ое кц ии с
точки з р е н и я наиболее полного у д ов л етв оре ния ук а за нн ых
крит ериев , то в целом д л я данной кар ты л учш ей проекцией
б у д ет та, в кот оро й п р и н и м а е т н а и м е н ь ш е е з н а ч е н и е (в
п р е дел ах изоб ра жа емо й области) частные ф ун кци она лы (по
ка жд о му из у ка з а н ны х кр ит ери ев г] ) вида
Для опре деления функционалов Е} достаточно разбить
из об ра жа ем ую область на малые участки, в средних точках
каждого из них вычислить зн аче ния частных к ри т ер и е в и
найти их средние ар иф м е ти ч е ск ие значения
где п - количество участков; к - номера участков, в которых
вычислены значения г ] .
Теперь обобщенный критери й можно пре дставить в виде
где Р. - веса значимости фак тор ов (частных критериев).
Предл аг аем ый обобщенный критери й уч иты ва ет бо льшин­
ство из во зм о ж н ы х тр е б о в а н и й к к а р т о г р а ф и ч е с к и м
проекциям. При этом они предст авл ен ы в фо рма лизованном
виде и в относительных величинах, что д ает возможность
сопоставления и одновременного учета самых ра знооб разных
требований к проекциям.
В ка жд ом конкретном-случае значимость ф ак тор ов будет
м е н я т ь с я , и в обобщ енны й к р и т е р и й , ф о р м и р у е м ы й д л я
выбора проекц ии данной (создаваемой) кар ты , будет, как
правило, вклю чаться меньшее количество требований.
Например, применительно к картам, по которым к а р т о г р а ­
фическая информация определяется и оценивается
п р е и м ущ е с тв е нн о ви зуа льн о, значим ос ть ф а к т о р о в P r Pv
Pv Ps, Р9, Р ]0 может быть принята равной нулю и обобщенный
критерий с измененной соответственно ранж ировкой
пр инимает вид
Вопрос об объективном определении значимости фак торов
и их строгой р а н жи ро вк е при выборе проекций д л я создания
конкретных карт требует д аль ней ш их исследований.
И с п о л ь з у я обобщенный кри тер ий , вы чи с л я ю т д л я всех
к а р т о г р а ф и ч е с к и х пр о е кц ий ус та н о вл е н н о й совокуп нос ти
значения
Е^
и на о с н о в е с р а в н е н и я э т и х з н а ч е н и й
о п р е д е л я ю т проекцию, в которой Е ^ им еет н а и м е н ь ш е е
значение.
Эта проекция, как правило, и будет искомой для создания
данной конкретной карты.
Выбор к а р т о г р а ф и ч е с к и х проекций, как и других
э л е м е н т о в м а т е м а т и ч е с к о й основы, с л е д у е т н а ч и н а т ь с
анализа математической основы (картографических проекций)
ранее созданных аналогичных карт.
Для окончательного реше ния вопроса о выборе проекции
макет кар тог ра фи чес кой сетки этой проекции может быть
построен с помощью внешних устройств или выведен на экран
дисплея.
Построение макета при обретает особое значение, когда
в р е з ул ьт а те указанного выше анализа получено несколько
вариантов проекций, для которых значения Е ^ функционала
близки по своим значениям.
4.6.4. АВТОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОСНОВЫ
К ч и с л у э л е м е н т о в м а т е м а т и ч е с к о й основы, к о т о р ы е
необходимо нанести на карты, относятся кар тог ра фи чес кие
сетки, рамки, линии ра зг р а фк и, а та кж е линии, ограничи­
вающие врезные карты и легенды. Кроме того, на некоторых
к а р т а х п о к а з ы в а ю т с я э л е м е н т ы г е о д е з и ч е с к о й основы г е о д ези че ск ие пун кт ы и с в я з а н н ы е с ними коо р д и н а тн ы е
сетки, разли чны е системы линий положения.
Существует два основных способа реше ния данной задачи.
В первом из них элементы математической и геодезической
о с н о в н а н о с я т с я на к а р т ы с о в м е с т н о и в п р о ц е с с е
авт о м а т и ч е ск о го о т о б р а ж е н и я всей п р е о б р азо в а н н о й
ка р то гр аф и чес кой информации, со ставляющей с од ерж ан и е
карты нового назначения; во втором - элементы мат е ма ти ч е с ­
кой основы наносятся до показа других элементов.
Построение элементов математической основы осущ ест в­
ляе тс я на основе полученных расчетных данных.
Определение компоновок карт выполняется одновременно
с в ы ч и с л е н и е м р а з м е р о в р а м о к , к о о р д и н а т их у г л о в ,
определением положения врезны х карт, зарамочного
о ф о р м л е н и я , р а з г р а ф к и к а р т ы и т.п. и в ы п о л н я е т с я в
диалоговом режиме (см. ра з д ел 1, п.1.5).
13
Зак. 113
Рис.65 Блок-схема автоматизированной разработки математической
основы карт.
Б лок-схема автоматизированной разрабо тки м ат е м а ти ч е с ­
кой основы ка рт пред ста вле на на рис.65.
П оследн и м этапом р е ш е н и я этой з а д а ч и я в л я е т с я
в ы ч е р ч и в а н и е э л е м е н т о в м а т е м а т и ч е с к о й о с н о вы . Д л я
обеспечения необходимой точности вы че р ч и ва ни я м е р и д и а ­
нов, п а р а л л е л е й и других линий в общем случае необходимо
увелич ени е числа точек этих линий, так как уз л о вы х точек
в ы че р ч ив а е м ой сетки м ож ет не хв а т а т ь д л я ка чественной
аппроксимации соответствующих фу нкц ий подпрограммами
математического обеспечения графического вывода.
П р и л о ж е н и е №1
Значения элементов земных референц-эллипсоидов
Эллипсоиды
сжатие
полуоси
а
Ъ
а = (а - Ь)/а
Красовского (1940 г.)
6378245
6356863.0188 1:298.3
Бесселя (1841 г.)
Хейфорда (1909 г.)
6377397.155
6378388
6356079
6356912
1:299.1528128
1:297.0
Кларка 11 (1880 г.)
6378249
6356515
1:293.465
Кларка I (1866 г.)
Эйри (1830 г.)
6378206
6377491
6356584
6356185
1:294.9786982
1:299.3
Эвереста (1830 г.)
6377276.345
6356075
1:300.8017
Эйри (№1)
Модифицированная
Эйри (№2)
Австралийский
национальный
Эвереста (1956)
GRS (1980)
6377563.396
6356257
1:299.3249646
Россия, страны СНГ,
восточно-европейские
страны, Антарктида
Европа и Азия
Европа, Азия, Ю. Аме­
рика, Антарктида
Африка, Барбадос,‘Из­
раиль, Йордан, Иран,
Ямайка
Сев. и Центр. Америка
Великобритания,
Ирландия
Индия, Пакистан,
Непал, Шри-Ланка
Великобритания
6377340,199
6356034
1:299.3249646
Ирландия
6378160
6377301.243
6378137
6356775
6356100
6356752
Международный
Южно-Американский
(1969)
WGS 72
WGS 84
П390
6378388
6356912
Австралия
1:298.25
Индия, Непал
1:300.8017
1:298.257222101 Аляска, Ц.Америка,
Мексика, США,Канада
1:297.
6378160
6378135
6378137
6378136
6356775
6356750
6356752
6356751
1:298.25
1:298.26
1:298.257223563
1:298.258
Россия
Приложение №2
М атематические величины и некоторые формулы
Обозначения
обозначения
п
3.141592654
„ 360 . 60' • 60"
р “
'■ i n .... _ ,угле-
е
2.7182818285
агс1°= —
М (mod)
0.4342944819
arcl' = —
57.29577951
а гс Г = —
о 360
Р =
,
величины
Р =
, градус
360 • 60'
, утл. мин] 3437,746771
Р°
Р'
Р”
величины
206264.8062
0.01745329252
0.0002908882087
0.000004848136811
Продолжение прил. №2
Обращение степенного ряда
х = А,у + А2у 2 + А ,у3 + А4у* + Аьу $+...
у = а,х + а2х 2 + а}х 3 + аАх 4 + я5х 5+...
А, = — , /1г = -fL , Л3 = - - Ц 2 а\ - о,о3)
в|
а]
а] \
’
Л = — ( Ч а 2а ) - а ,Ч - 5о23)
а, '
>
Аь= -5 -(б а ,2д 2д4 + З д 2а 2 + 14 а4 -
- 21д1я 2д 3)
7
ЩV
Тригонометрические функции
•2 х ----------cos2x
1 1 sin
2
2
sin3 x = ^ sin x sin4 x = ^
sin 3x
- j/^ co s2 x + j^ c o s 4 x
sin5 x = S ^ sin x - ^
sin6 x =
-
^ 2
sin3x +
sin5x
co s2* + ^
cos4x -
^ 2
c °s6x
1 +—
1 cos2x
Л
cos 2 x = —
2
2
cos3 x = ^ c o s x + j^ c o s 3 x
cos4 x = ^
+ ^co s2 x + ^co s4 x
cos5 X = 5^COSX +
cos3x + y ^ cos5x
cos6 x = 15^, + 1 5 ^ cos2x + ^
cos4x + у ^ cos6x
sin 2x = 2 sin x cos x
sin 3x = 3 sin x cos2 x - sin3 x
sin 4x = 4 sin x cos3 x - 4 sin3 x cos x
sin5x = 5 sin x cos4 x - 10sin3 x c o s2 x + sin5 x
sin 6x = 6 sin x cos5 x - 20sin3 x cos3 x + 6 sin5 x c o sx
cos2x = cos2 x - sin2 x
cos3x = cos3 x - 3 c o sx sin 2 x
cos4x = cos4 x - 6 cos2 x sin2 x + sin4 x
cos5x = cos5 x - 10cos3 x s in 2 x -1- 5 c o sx s in 4 x
cos6x = cos6 x - 15 cos4 x sin2 x + 15 cos2 x sin 4 x - sin6 x
С П И С О К Л И ТЕРА ТУ РЫ
1. Беспалов Н.А. Методы решения задач сфероидической геодезии - М., Недра,
1980
2. Билибина. Н.А. О получении видоизмененных вариантов равноугольных
проекций В.В.Каврайского / / Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка - 1990, №2, с.
3. Билич Ю.С., Васм ут А.С. Проектирование и составление карт - М., Недра,
1984.
4. Богинский В.М. Способ изыскания произвольных проекций мелкомасштабных
карт - М., Недра, 1972.
5. Богинский В.М. Проекции для создания оригиналов пластмассовых глобусов /
/ Геодезия и картография - 1985, №11, с.23-24.
6. Бугаевский
Портнов А.М. Теория одиночных космических снимков - М.,
Недра, 1984.
7. Бугаевский Л.М., Вахрамеева Л.А. Геодезия, Картографические проекции М., Недра, 1992.
8. B ug ay e vsk iy Lev М., S h yd e r John P. Map Projections. A R eference M anual Taylor & Francis, London, 1995.
9. Б у г а е в с к и й Л .М . К т е о р и и р а з р а б о т к и в а р и а н т о в р а в н о в е л и к и х
картографических проекций разных классов / / Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка
- 1996, № 4, с.66-83.
10. Бугаевский Л.М. Общая теория перспективных проекций небесных тел / /
Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка - 1997, №1, с.88-96
11. Б у г а е в с к и й Ю .Л . П ер ем ен н о -м а с ш таб н ы е п р о екц и и д л я с о зд а н и я
анаморфированных тематических карт / / Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка 1986, № 5, с.139-144.
12. Бугаевский Ю.Л. Вариавалентная проекция типа псевдоцилиндрической для
анаморфированных карт / / Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка - 1987, №1,
с.100-107.
13. В а с м у т А.С ., Б у г а е в с к и й Л .М ., П о р т н о в А.М. А в т о м а т и за ц и я и
математические методы в картосоставлении - М., Недра, 1991.
14. Вахрамеева Л.А.Вугаевский Л.М .Казакова З.Л. Математическая картография
- М., Недра, 1986.
15. Вахрамеева Л.А., Бугаевский Ю.Л. Исследования переменно-масштабных
проекций для социально-экономических карт / / Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка
- 1985, No 3, с.95-99.
16. Верещ ака Т.В., Подобедов Н.С. Полевая картография - М., Недра, 1986.
17. Ганъшин В.Н., Косъков Б.И., Хренов Л.С. Справочное руководство по
крупномасштабным съемкам - М., Недра, 1977.
18. Гинзбург Г.А., Салманова Т.Д. Пособие по математической картографии. Тр.
ЦНИИГАиК, вып. 160, 1964.
19. Ж у р к и н И.Г., Нейман Ю.М. Методы вычислений в геодезии - М., Недра
1988.
20. К аврайский В.В. Избранные труды. Т.И, вып. 2-3, ГС ВМФ, 1958-1960.
21. Конусова Г.И. О классификации картографических проекций по характеру
искажений / / Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка - 1975, №3, с.129-134.
22. Конусова Г.И. К вопросу о наилучших картографических проекциях / / Изв.
вузов. Геодезия и аэрофотосъемка - 1975, №4, с. 105-110.
23. Конусова Г.И., Берт ик Н.А., Исследование картографических проекций с
равноотстоящими параллелями и ортогональной сеткой / / Тр. ЦНИИГАиК - 1985,
с 7-17.
24. Красовский Ф.Н. Новые картографические проекции (1922), Избр. соч., т
III, М., 1956.
25. Лобанов А.Н. Аэрофототопография - М., Недра, 1971.
26. Лобанов А.Н. Фотограмметрия - М., Недра, 1984.
27. Мещеряков Г.А. Теоретические основы математической картографии - М.,
Недра, 1968.
28. Морозов В.П. Курс сфероидической геодезии - М., Недра, 1979.
29. Салищев К.А. Проектирование и составление карт - М., МГУ, 1987.
30. Салищев К.А. Картоведение - М., МГУ, 1990.
31. Соловьев М.Д. Математическая картография - М., Недра, 1969.
32. Суворов А.К., Бугаевский Ю Л . Преобразование длин линий картографических
моделей в соответствии с функциональными единицами - М.; 1987, №4, с. 105-112.
33. Пеллинен Л.П. Высшая геодезия - М., Недра, 1978.
34. Урмаев М.С. Орбитальные методы космической геодезии - М., Недра, 1981.
35. Урмаев Н.А. Методы изыскания новых картографических проекций - М.,
1947.
36. Урмаев Н.А. Исследования по математической картографии - Тр. ЦНИИГАиК,
вып.98, М., 1953.
37. Урмаев Н.А. Теория томографического преобразования и ее применение в
математической картографии и составлении карт - Тр. ЦНИИГАиК, вып. 113, М.,
1956.
38. Урмаев Н.А. Основы математической картографии - Тр. ЦНИИГАиК, вып
144, М., 1962.
39. Хаимов З.С. Основы высшей геодезии - М., Недра, 1984.
40 S n y d e r J.P., and S te w ard Н. Bibliography of Map Projections. Us. Geol. Surv
Bull. - 1988. - No 1856. - iS. 1-110.
П Р Е Д М Е Т Н Ы Й УКАЗАТЕЛЬ
3
А
Автоматизированный выбор
картографической проекции 382
Автоматизация в математической
картограф ии 360
А втом атическое построение
элементов математической основы
385
Азимуты
- л и н е й н ы х элем ентов
- главных направлений
Аитирование 313
Алгебраические полиномы
Альмукантараты
85
Атласы
22, 34
42, 43
336
- Кирилова 7
- Российский
7
В
Вертикалы
85
Выбор картографических проекций 339
Выбор полюсов косой и поперечной
системы
82
Закономерности и общие положения
отображения поверхностей небесных
12
тел на плоскости
зенитное расстояние
85
И
И зоазимута 267
И зображаемая область
67
Идеальные и наилучшие проекции
289
Изоколы
122
Изыскание картографических
проекций (способы) 311
Индикатриса Тиссо 52
Интегрирование численное 355
Интерполирование
349
Интерполяционная схема
350
Интерполяционные формулы 350, 351
И скаж ения
- азим утов
54
- длин
55
- за счет к р и в и зн ы и зоб р аж е н и я
- п р о е к ц и й 3 39
геодезической л и н и и
- теор ети чески е основы
- относительны е
339
- об о п р е д е л е н и и х а р а к т е р а и с к а ж е н и й
проекции
343
Г
д
55
- по л ю бом у н а п р ав л е н и ю
56
22
58
- соотн ош ени е и с к а ж е н и й угл о в и
площ адей
58
- средние к вад рати че ски е
- теория
5 7,5 8
49
- у г л о в н а и б о л ь ш и х 50,53
- ф орм
Двойное изображение эллипсоида на
плоскости
66
Длина дуги меридиана
74
- параллели
- по д ан н о м у н а п р а в л е н и ю
- площ адей
Гармонические полиномы
337
Главные направления42,43
Главный масштаб
38, 97
Глобус (проекции для карт глобусов)
283
63
55, 56
62
- эллипс и скаж ен и й
50
к
Картинная плоскость 184
К арта 4, 6
Проекции карт
- м а с ш т а б а 1:1 0 0 0 0 0 0
2 58
- м а с ш т а б а 1:2 5 00 ООО
К ар тограф и чески е
2 58
проекции
(о п р е д е л е н и я )
3 5 ,3 6
- м ери д и ан ов на п р о е кц и и
59
- п а ра л л ел е й на п р ое кц и и
60, 61
- локсодром ии в точк ах проекций
конкретн ого
назначени я
Линия
236
- топогр аф ических к ар т
- п р и м е н я е м ы е в геодезии
65
Л
К ар тограф ические проекци и кар т
236
- ге о д е зи че ска я
252
269
- трассы И С З
- м а с ш т а б о в 1:1 ООО ООО и 1:2 5 00 ООО
Локсодромия
123
Масштабы
38
274, 2 75
М
258
- м орских к ар т
259
- аэрон ави гаци он ны х к ар т
262
- д ли н по м е р и д и ан ам
39
- ре а л ьн ы х поверхностей
277
- д лин по п а рал л ел я м
40
- анам орф ированны х карт
279
- д ли н по п р о и зво л ьн о м у н а п р ав л е н и ю
- трехосного эл л и п со и д а
284
39,40
36
- п л о щ а д е й 45
- д ля глобусов
283
- к а р т ы (гл а в н ы й , о б щ и й )
К ар тограф и ческая сетка
К л асси ф и кац и я картограф ических
проекций
- экстрем ал ьны е
- по виду норм альной
кар тогр аф и ческой сетки и общ и х
- по ори ен тировке
сетки
85
- уравнения
м акет карты
35,36
Нормаль
14
Нормальная сетка
84, 85
Номенклатура топографических карт
84
95
- п о с п о с о б а м и х п о л у ч е н и я 96
К онтурны й
3
н
кар тогр аф и ческой
- по х а р а к т е р у и ска ж е н и й
42
Математическая картография
Математическая основа
4
Меридиан
84
ур авнений проекций
38,97
113, 116
(э с к и з ) Z18,
О
335
К оорд инатны е
сетки
1 11
Коэф ф ициенты Гаусса
31
К ритерии
- Иордана
56
- И о р д а н а -К а в р а й с к о го
56
- К л и н г а ч а 56
- Конусовой
56
-ср е д н е -к в а д р а т и ч е с к и е
- обобщ енны е
- Эйри
57
3 84
56
- Э й р и -К а в р а й с к о го
56
К ривизна
- и з о б р а ж е н и я г е о д е з и ч е с к о й л и н и и 6 4 ,6 5
- м е ри д и ан н н ого сечен и я
- параллелей
15
22
- сеч е н и я пер вого в е р ти к а л а
15
Общая теория математической
картографии 12
Общая теория картографических
проекций
12
Общие уравнения
35,36
Об определении характера искажений
проекции создаваемых карт 343
Опознавание проекции
346
Определение картографической
проекции
346, 35, 36
Определение промежуточных точек
линий положения 269, 272, 274
Ортодромия 186, 272
Основные положения теории
определения главных масштабов,
компоновки и других элементов
Преобразование картограф ических
проекций
365
математической основы карт
97
Основные проблемы и направления
автоматизации в математической
картографии 360
- Вы числение
- П реобразовани е
374
- с и спол ьзовани ем полином ов
380
- пл анов с пр ям о уго л ьно й ра згр аф к о й в
пр оекц и ю Г а у с с а -К р ю ге р а
361
2 49
Проекции и некоторые публикации о
них
кар тогр аф и че ски х
365
А дам са
- А вто м ати зи р о ва н н ы й вы бор
к ар тогр аф и че ски х проекций
365
- м етодом и т те р а ц и й
кар тогр аф и ч ески х
проекций при пом ощ и Э В М
проекций
- аналитическое
382
21, 3 10
А зим утальны е
176
- косы е и по п е р е ч н ы е
183
элем ентов м ате м ати че ской основы к а р т
- равновеликая
179
385
- р авн оугол ьны е
177, 178
- А втом атическое
построение
Отображение
- р а в н о п р о м е ж у т о ч н ы е 180
- бесконечно м алой сф ер оидической
- обобщ енны е
трапе ц и и
- ортогр аф ическая
187
- стереограф и ческая
187
30
- ге о гр аф и ч еск о го п о л ю са
84
- ге од е зи че ской л и н и и
63
- центральная
181
( г н о м о н и ч е с к а я ) 186
- локсодром ии
269
П еревы числение коорд инат Г а у сс а -
- м ал ы х кругов
269
К р ю ге р а и з зоны в зо н у и в д руги е
- трассы И С З
275
проекции
- одной поверхности на д ругой
67
- с с о х р а н е н и е д л и н ы о с е в о го
м еридиана
77
- теор и я
66
246
П ерспективны е ази м утал ьны е
184
- х а р а к т е р и с ти к а п р о е к ц и и 200204
Айтова
- эл л и п со и д а на ш а р е
70
- р а в н о в е л и к о е 75
3 13
А и т о в а -Г а м м е р а (р а в н о в е л и к а я
пр оизводн ая)
3 14
76
Альберса
- равн оугол ьное
72
А м е р и к а н с к а я (п о л и к о н и ч е ск ая
- перспективное
79
простая)
- н е гати вно е
79
А нам орф ированны х карт
- пози ти вное
81
Апиана
7, 320
А раго
321
- равнопром еж уточное
Оценка достоинств проекций 383
п
223
А эронавигац ионны х кар т
Параллели
- уравнения
8
Бируни
35,36
Плоскость картинная184
Площадь сфероидической трапеции
22,
34
Подобие бесконечно малых фигур 50
Понятие о физической поверхности
Земли и поверхности относимости 12
Боги н ского
Бонна
279
262
6, 3 20
283, 284, 3 35
205
Б о н н а ви дои зм ен ен ная
Брауна
132
Б рей зи нга
182
Б у г а е в с к о г о Л .М .
145,
209
148,
169,
172,
208, 228, 231, 246, 249, 297, 300, 302,
312, 3 34, 338, 339, 343 , 3 60
-р а в н о в е л и к а я
Б ол отова
-р а в н о п р о м е ж у т о ч н а я
9
Б у г а е в с к о г о Ю .Л .
В ар и вал ен тн ая
Вахрам еевой
279, 280, 281
- косы е
279
- перспективны е
3, 11, 201, 202, 280,
1 6 3 -1 6 8
171
169
- хар актер истика проекций
174,
175
306, 3 09
В е р н е р а (Ш т а б а -В е р н е р а )
Конусовой
210
10, 11, 2 92, 297, 3 29
В и дои зм ененная простая
К р асовского
поликоническая
К узн ец ова
11, 2 97
Л аборда
305
Л агран ж а
8, 2 14
Винкеля
1 6 1 -1 6 3
225
9, 3 13
В и тковского
9, 159, 163,
165
10, 167
Вихеля
212
Л аира
186
Волкова
10, 155, 317
Л ам берта
8, 126, 179, 238, 2 55
Гам м ера
313
Л едовской
335
Г ау сса (Г а у с са -К р ю ге р а )
Г ау сса для ш и ро ко й полосы
Г а у сс а -Б о а га ( U T M )
8, 2 39
243
243
Л иси чанского
312
Л и ттр ова
267
Лорица
7, 321
Г а у с с а -Л а м б е р га
238, 244
М а л о в и ч к о 182
Геодезические
252
М ердока
169
М еркатора
123
Ги нзбурга
152, 184, 2 2 0 , 2 21, 2 22,
М ещ ерякова
312, 3 17, 3 4 9
Гном он ическая
10, 291, 292, 295, 314,
318, 3 19
186
Голла
133
М ещ ерякова, Топчилова
Граве
9
М иллера
Гринтена
217
М одиф ицированны е
Гуда
8, 317
М ольвейде
Гю йу
20, 3 09
134
260
н аи л учш и е и идеальны е проекции
Д в о й н ы е э л л и п с о и д а 66
М ю ф линга
321
Д вуазим утальн ая
Н и колози
6
264
322
145
М орских карт
Д аскалавой, А ндреева
318
323
Д в у э к в и д и с т а н т н а я 266
Н о р м а л ь н а я (п о л я р н а я , п р я м а я )
И з о ц и л и н д р и ч е с к а я 126
О с та щ е н к о -К у д р я в ц е в а
К аврай ского
П анасю ка
140, 143, 150, 159, 169,
303, 306, 3 09, 313, 3 16
К а с с и н и -З о л ь д н е р а
238
Квадратная
127
К вази конф орм н ы е
319
289
319
284
П е р е м е н н о -м а с ш т а б н а я
279
П ерем енной м етрики
280
П ерспективная
- с не гати в н ы м и зо б р а ж е н и ем
186,
К в а з и с т е р е о г р а ф и ч е с к а я (Р у с с и л я ) 258
189
К и р ь я н о в а 2 66
- с п о з и т и в н ы м и з о б р а ж е н и е м 192
Кларка
- с м но го кр атны м и зоб раж е н ием
189
201
К о н и ч е с к и е 156
- обощ енная
172, 327
- равн оугол ьная
П ирса
1 5 7 -16 1
20, 310
П ол и ази м утальн ы е
92
П ол и ази м ута л ьн ы е обобщ енные
92
П оликоническая
- в “у з к о м ” с м ы с л е
- простая
224
- в “ш и р о к о м ” с м ы с л е
134, 2 02 , 2 07 , 2 09, 3 1 4
Составн ая
316
С т а р о с т и н а 319
223
- ви доизм ененная пр остая
Соловьева
225, 2 58
213
Схольса
304
Тиссо
52
Т опограф ических кар т проекци и
- с круговы м и м ерид иан ам и и
Топчилова
параллелям и
Т р а п е ц и е в и д н а я (М ю ф л и н га )
214
- с п о л ю са м и в виде п о л я р н ы х
Т ре хосного эл л и п со и д а
линий
Урм аева
223
- обощ енны е
93
228
У этч а
к ар тогр аф и че ской сеткой
эскизам
153, 2 84 ,
325, 3 28, 330, 3 33 , 3 49
- с ортогон ал ьной
произвольны е,
127, 140, 1 46,
2 37 , 321
295, 2 96 , 2 97, 3 00 , 303, 3 0 9 , 3 1 4 , 3 16,
- равновеликая
-
получаем ы е
239
по
218, 3 35
132
U T M (М е р к а то р а поп еречная)
Хойовека
224
147, 2 92
Ц илиндрическая
121
- х ар актер и сти ка проекций
- равн оугол ьн ая
122
2 3 3 -2 3 6
- равновеликая
125
Полуконф орм ны е
319
П олицилиндрические
П остеля
- р а в н о п р о м е ж у т о ч н а я 126
93
- произвольная
180
П севд оазим утальны е
П севдоконические
209
204
- равновеликие
129
- перспективны е
130, 134
Ц ингера
Ц НИ ИГАиК
- произвольны е
149
Чебы ш ева
- равновеликие
140
Ш рейбера
6
П утн ы ньш а
151
160, 167, 291
10, 152, 184, 2 20, 2 83 ,
239
Э й зенл ора
303
Эйлера
8, 9, 3 14
56, 3 83
э к в и в а л е н т н а я , г о м а л о г р а ф и ч е с к а я ) 47
Э ккерта
148
Р а в н о п р о м е ж у т о ч н а я (э к в и д и с та н т н а я )
Э к е р т а -Г у д а
317
48
Ю зеф ови ча
192, 2 92
Р авноугол ьн ая
(ав то го н ал ь н а я ,
к онф орм ная, изогональная,
ортом орф ная)
Промежуточные точки
- геодезической л и н и и
46
- ортодром ии
272
Р авн оугол ьн ы е с приспособляем ой
- локсодром ии
273
и зоколой
- м ал ы х круго в
273
Реальны х
304
поверхностей
Салм ановой
Сансона
Снайдера
277
220
7, 141
7, 11, 2 92
3 17
9, 2 97, 302, 3 0 3
Эйри
(а в та л и ч е с к а я ,
136,
137
138
Равновеликая
127
- косы е и п о п е р е ч н ы е
- хар актер истика проекций
205
- с р а з д е л е н н ы м и п а р а л л е л я м и 325
П севд оцилиндрические
П тол ем ея
237
11, 2 92, 318
П рямая и обратная задачи
математической картографии
- уравнения, опи сы ваю щ и е
отображ ения
296
269
293
“о б р а т н ы е ”
р
- Т и с с о -У р м а е в а
Радиус земного шара
160,165
Разры в изображения 156
Разграф ки и некоторые системы
номенклатур карт
ИЗ
Растяжение изображения
280
Условие ортогональности сетки
- и зо б раж е н и я полю сов
- меридианов и параллелей
сетки
32
36
- ве р ти кал ов и а л ь м у к а н та р а то в
47
- равн оугол ьного о то б р а ж е н и я
46
48,49
ф
85
Формат и компоновка карт 103
X
Х арактер искаж ения95,343
ц
Центральная линия
15
- п о л я р н ая геодезическая
19
- полярная сф ерическая
18,19
- п о л я р н а я с ф е р о и д и ч е с к а я 17
19
- т о п о ц е н т р и ч е с к а я 15
- трехосного эл л и п со и д а
- и зом етри ческая
23,24
- геодезически е
29
24
Сфероидическая трапеция 22
Т
Теорема Апполония 43,44
- Чебышева
297
Теория искажений 49
Теория классов проекций
120
Теория отображения одних
поверхностей на другие
66
Теоретические основы выбора
картографических проекций 339
У
Углы между меридианами и
параллелями на проекции
32
Уравнения меридианов
35,36,37
35,36,37
- п р о е к ц и й (в о б щ е м в и д е )
- Э й л е р а -У р м а е в а
- равн ове л и кого о то б р а ж е н и я
14
- ц е н т р а л ь н а я (го р и з о н т а л ь н а я )
- параллелей
37,38
- р авн опр ом еж уточного отображ ения
36, 85
Сжатие земного эллипсоида 388
Сжатие изображения
280
Система координат 14
- эл л и п ти ческая
37
Условия отображения
Сближение меридианов
Сгущение сетки
280
Сетки картографические
- геоцентрическая
296
33
- си м м етри чности кар тогр аф и че ской
С
- ге о гр аф и ч еская
296
- зад аю щ и е обратны е отображ ения
295
35
25
- точка
125,136, 168
181
ч
Численные методы
э
349
Экстремальные масштабы 42
Эксцентриситет земного эллипсоида
15,27
Эллипс искажений
50
Эллипсоиды земные 388
Эффект сферичности 209
Оглавление
П р е д и с л о в и е ............................................................................................................................... 3
В в е д е н и е ....................................................................................................................................... 4
Р а зд е л 1. О б щ а я т ео р и я м ат ем а т и ч е с к о й к а р т о г р а ф и и ................................... 12
1.1. Закономерности и общие положения отображения поверхностей небесных тел
на плоскости ....................................................................................................................... 12
1.1.1. Понятие о физической поверхности Земли и поверхностях относимости.......................................... 12
1.1.2. Системы координат, применяемые в математической картографии ................................................. 14
1.1.3. Системы координат трехосного эллипсоида.....................................................................................24
1.1.4. Геодезические системы координат и высот, используемые при создании карт.................................. 29
1.1.5 Отображение бесконечно-малой сфероидической трапеции на плоскости......................................... 30
1.1.6. Определение картографической проекции; уравнения меридианов и параллелей; картографическая
сетка и условия ее изображения ..................................................................................................... 35
1.1.7. Масштабы..................................................................................................................................... 38
1.1.8. Условия равноугольного, равновеликого и равнопромежуточного отображения поверхности
эллипсоида (сферы) на плоскости.................................................................................................. 46
1.2. Теория и скаж ен и й ............................................................................................................. 49
1.2.1. Эллипс искажений. Наибольшие искажения углов...............................................................50
1.2.2. Искажения азимутов................................................................................................................54
1.2.3. Искажения длин на проекции................................................................................................ 55
1.2.4. Искажения площадей на проекции........................................................................................ 58
1.2.5. Соотношения искажений углов и площадей на проекции...................................................58
1.2.6. Кривизна меридианов на проекциях..................................................................................... 59
1.2.7. Кривизна параллелей на проекциях....................................................................................... 60
1.2.8. Искажения е углов i между изображениями меридианов и параллелей в точках
проекции.................................................................................................................................... 61
1.2.9. Искажения форм..................................................................................................................... 62
1.2.10. Искажения и поправки за счет кривизны изображения геодезической линии на
проекции.................................................................................................................................... 63
1.2.11. Кривизна локсодромии в точках проекции.........................................................................65
1.2.12. О распределении искажений на картографических проекциях...........................................66
1.3. Теория отображения одних поверхностей на другие, проекции «двойного»
(«тройного») отображения.................................................................................................66
1.31. Общие положения отображения одних поверхностей на другие.......................................... 67
1.3.2. Отображение эллипсоида вращения на поверхности шара.................................................. 70
1.3.3. Определение координат полюсов косой и поперечной полярных сферических систем
координат...................................................................................................................................82
1.3.4. О преобразовании систем сферических координат и получении проекций шара.............. 83
1.4. Классификация картографических п р о ек ц и й .............................................................84
1.4.1. Классификация проекций по ориентировке картографической сетки в зависимости от
положения точки полюса принятой системы координат........................................................84
1.4.2. Классификация проекций по виду нормальной картографической сетки и общих
уравнений картографических проекций.................................................................................. 85
1.4.3. Классификация картографических проекций по характеру искажений.............................. 95
1.4.4. Классификация проекций по способам их получения.......................................................... 96
1.5. Основные положения теории определения главных масштабов, компоновок и
других элементов математической основы карт..........................................................97
1.5.1. Главные масштабы карт.......................................................................................................... 97
1.5.2. Формат и компоновки карт................................................................................................... 103
1.5.3. Координатные сетки, показываемые на картах....................................................................111
1.5.4. Разграфки и некоторые системы номенклатур карт........................................................... 113
Р а зд е л 2. Т ео р и я к л ассо в п р о е к ц и и .......................................................................... 120
2.1. Картографические проекции с прямолинейными параллельными
параллелями .........................................................................................................................120
2.1.1. Цилиндрические проекции.................................................................................................... 121
2.1.2 Псевдоцилиндрические проекции......................................................................................... 138
2.2. Картографические проекции с параллелями в виде концентрических
окружностей.........................................................................................................................155
2.2.1. Конические проекции.............................................................................................................156
2.2.2. Азимутальные проекции....................................................................................................... 176
2.2.3. Перспективные азимутальные проекции............................................................................ 184
2 2.4 Псевдоконические проекции................................................................................................. 204
2.2.5. Псевдоазимутальные проекции ............................................................................................209
2.3. Картографические проекции с параллелями в виде эксцентрических
окруж н остей ....................................................................................................................... 211
2.3.1. Поликонические проекции в “широком смысле” ................................................................211
2.3.2. Поликонические проекции в “узком смысле” .................................................................... 222
Р а зд е л 3. К а р т о гр а ф и ч е с к и е п р оекц и и к а р т к о н к р етн о го н азн а ч е н и я ... 23 6
3.1. Проекции топографических к а р т ................................................................................ 236
3.1.1. Псевдоцилиндрическая трапециевидная проекция............................................................. 236
3.1.2. Поперечно-цилиндрические проекции.................................................................................237
3.1.3. Проекция Гаусса-Крюгера.................................................................................. ...................239
3.1.4. Проекция UTM (Гаусса-Боага).............................................................................................. 243
3.1.5. Проекция Гаусса-Крюгера для широкой полосы................................................................ 243
3 1.6. Перевычисление плоских координат Гаусса-Крюгера из зоны в зону, а также в
координаты других проекций..................................................................................................246
3.1.7. О преобразовании прямоугольных координат планов 1:2 ООО и крупнее, имеющих
разграфку по прямоугольной координатной сетке, в проекцию Гаусса-Крюгера ............249
3.2. Равноугольные проекции эллипсоида, применяемые в геодезии [2 8 ]...........252
3.2.1. Проекция Гаусса-Крюгера..................................................................................................... 252
3.2.2. Равноугольная коническая проекция Ламберта .................................................................. 255
3.2.3. Стереографическая проекция Русс иля ..................................................................................256
3.3. П роекции, используемые для создания карт масштабов 1:1 ООО ООО и
1:2 500 ООО.............................................................................................................................258
3.3.1. Видоизмененная простая поликоническая проекция и ее применение для карты
масштаба 1:1 000 000 ............................................................................................................... 258
3 3.2 Проекции карты мира масштаба 1:2 500 000........................................................................ 258
3.4. Проекции морских к а р т ..................................................................................................259
3.5. Проекции аэронавигационных карг ............................................................................ 262
3.5.1. Назначение аэронавигационных карт, основные проекции, используемые при их
создании ....................................................................................................................................262
3.5.2. Двуазимутальные проекции................................................................................................... 264
3.5.3. Эквидистантная по двум особым точкам проекция............................................................ 266
3.5.4. Проекция Литтрова................................................................................................................ 267
3.6. Отображение на картах линий п олож ен ия................................................................. 268
3.6.1. Определение геодезических координат промежуточных точек геодезических линий,
локсодромии и малых кругов.................................................................................................. 269
3.6.2. Отображение на картах линий трасс И С З........................................................................... 274
3.7. Картографические проекции реальных поверхностей........................................... 277
3.8. Проекции анаморфированных к а р т ............................................................................. 279
3.9. Картографические проекции для карт глобусов.......................................................283
3.10. Картографические проекции трехосного эллипсоида. Изометрические
координаты ........................................................................................................................... 284
Р а зд е л 4. Т е о р ети ч еск и е о сн о вы и зы ск ан и я и в ы б о р а н аи л у ч ш и х ,
и деал ьн ы х и других п р о екц и й . Н ап р а в л е н и я ав то м ати зац и и
м ате м а ти ч е с к о й осн о вы к а р т ................................................................................28 9
4.1. Наилучшие и идеальные картографические п р о екц и и .........................................289
4.11. Обшие положения о наилучших и идеальных проекциях...................................................289
4.1.2. Прямая и обратная задачи математической картографии в теории прямых отображений
поверхностей на плоскость ..................................................................................................... 293
4.1.3. Уравнения, описывающие “обратные” отображения............................................................296
4.1.4. Проекция Чебышева - наилучшая равноугольная проекция...............................................297
4.1.5. Равноугольные проекции с приспособляемой изоколой.....................................................304
4.1.6. Равноугольные проекции, определяемые при помощи эллиптических координат....... 309
4.2. Способы изыскания картографических проекций ............................................... 311
4.2.1. Изыскание картографических проекций на основе решения прямой задачи
математической картографии ...................................................................................................311
4.2.2. Изыскание картографических проекций на основе решения обратной задачи
математической картографии .................................................................................................. 325
4.3. Выбор картографических проекций...........................................................................339
4.3.1. Теоретические основы выбора картографической проекции...............................................339
4.3.2. Об определении характера искажений проекций создаваемых мелкомасштабных карт . 343
4.4. Опознавание (определение) проекций по виду изображения их меридианов и
параллелей........................................................................................................................346
4.5. Использование численных методов в математической картографии............... 349
4.5.1. Общие сведения........................................................................................................................349
4.5.2. Интерполирование (экстраполирование).............................................................................. 350
4.5.3. Численное дифференцирование............................................................................................. 353
4.5.4. Численное интегрирование..................................................................................................... 355
4.5.5. Аппроксимация ........................................................................................................................356
4.6. Основные проблемы и направления автоматизации получения и применения
картографических проекций........................................................................................360
4.6.1. Вычисление картографических проекций при помощи ЭВМ .............................................361
4.6.2.Преобразование картографических проекций (картографического изображения)
исходных карт в заданные проекции.......................................................................................365
4.6.3.
Автоматизированный выбор картографических проекций.......................382
4.6.4. Автоматическое построение элементов математической основы....................................... 385
П р и л о ж е н и е № 1 З н а ч е н и я э л е м е н т о в з е м н ы х р е ф е р е н ц -э л л и п с о и д о в
................................................................................................................................................... 388
П р и л о ж е н и е № 2 М а те м а т и ч е с к и е в е л и ч и н ы и н е к о т о р ы е ф о р м у л ы ........ 388
С п и с о к л и т е р а т у р ы ............................................................................................................. 390
П р ед м етн ы й у к а з а т е л ь .......................................................................................................392
УЧЕБНИК
Бугаевский Лев Моисеевич
М АТЕМ АТИЧЕСКАЯ К А РТО ГРАФ И Я
Главный редактор издательства А. П. Сагалатый
Редактор Ю. Л. Бугаевский
Технический редактор Е. А. Воробьева
Корректор В. В. Тучин
Издательство “Златоуст”, 109316 Москва,
Волгоградский проспект 45.
Подписано в печать 11.03.98.
Формат 60x88/16. Печать офсет. Тираж 2530. Зак. 113.
АООТ ”Политех-4”
129110, Москва, Б. Переяславская, 46.