Бюджетное профессиональное образовательное учреждение Омской области «Омский авиационный колледж имени Н.Е. Жуковского» ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ Подготовил преподаватель Смирнова Е.Е. Источники погрешностей: 1 математическое описание задачи является неточным, приближенным 2 применяемый для решения поставленной математической задачи метод не является точным 3 производятся округления Классификация погрешностей: погрешность задачи 1 погрешность задачи погрешность математической модели 2 погрешность метода 3 вычислительная погрешность Полная погрешность результата решения задачи 1 погрешность задачи 2 погрешность метода 3 вычислительная погрешность Приближенные значения числа приближенное значение числа - число, представляемое конечной десятичной дробью, полученной в результате обрывания бесконечной десятичной дроби приближенное значение числа х - число а , если а в определенном смысле мало отличается от х и заменяет х в вычислениях xa 3.14159... 3.1 3.14 3.142 Погрешность Погрешность - величина, характеризующая точность результата Погрешность приближенного значения а числа х - a x a Если x 0 , то а взято с недостатком Если x 0 , то а взято с избытком абсолютная погрешность - модуль погрешности x Относительная погрешность приближенного значения а числа х wa a ,a 0 a Граница погрешности приближенного значения а числа х всякое неотрицательное число hа, которое не меньше модуля погрешности: a ha приближение а приближает число х с точностью до hа , если a ha x a ha Пример 1. а=0,273 hа =0,001 x a ha 0,272 x 0,274 Пример 2. Округлить до десятых число 27,52 и найти абсолютную погрешность и относительную погрешность округления a x a 27.52 27.5 0.02 a a 0.02 1 a 27.5 1375 x a ha Правила округления: 1 Если отбрасываемый разряд меньше 5, то предшествующая ему цифра в числе не меняется (округление с недостатком). 2 Если отбрасываемый разряд больше 5, то предшествующая ему цифра в числе увеличивается на 1 (округление с избытком). 3 Если отбрасываемый разряд равен 5, то по общепринятому соглашению предшествующая ему четная цифра в числе не меняется, а нечетная цифра увеличивается на 1 Примеры. 1) х=2,967393 округлить до 5 знаков после запятой а=2,96739 2) х=2,967393 округлить до 4 знаков после запятой а=2,6974 3) х=3,965 х=3,915 округлить до 2 знаков после запятой х=3,96 х=3,92 Значащие цифры Значащие цифры в десятичной записи числа все его цифры кроме нулей, записанных слева от первой цифры не равной 0 Примеры: 1) х=2,396029 2) х=0,00267 x 2.67 103 3) х=0,02000 x 0.02 4) х=2270000 x 2.27 106 Верные цифры Значащая цифра называется верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит ½ единицы разряда, соответствующей этой цифре: 1 a 10 2 все цифры, стоящие справа от верной цифры - верные все остальные цифры называются сомнительными Примеры: 1) а=12,396 и a 0.03 2) а=0,037862 и 3) а=4,193785 и a 0.007 a 0.0004 верные цифры - 1. 2,3, сомнительные - 9 , 6 все цифры сомнительные Вычисления без учета погрешностей Принцип Крылова А.Н. приближенное число должно записываться так, чтобы в нем все значащие цифры, кроме последней, были верными и лишь последняя была бы сомнительна, и при том в среднем не более чем на одну единицу Правила выполнения арифметических действий над приближенными числами 1) при сложении и вычитании приближенных чисел в результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их в приближенном данном с наименьшим количеством десятичных знаков 2) при умножении и делении в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное данное с наименьшим числом значащих цифр 3) результаты промежуточных вычислений должны иметь один-два запасных знака (которые затем должны быть отброшены) 4) При возведении приближенного значения в квадрат или куб, при извлечении квадратного или кубического корня, в результате следует оставлять столько значащих цифр, сколько их имеет основание Правило сложения приближенных чисел: Пример. S = 2,17+12,3971+1,198683+0,006732 1) среди слагаемых выбрать наименее точное (имеет наименьшее число разрядов после запятой) - 2,17 2) все остальные слагаемые округлить, сохраняя один запасной разряд, следующий за последним разрядом выделенного слагаемого - 12,3971, 1,1987, 0,0067 3) сложить полученные после округления числа - S=15,7725 4) округлить полученный результат до предпоследнего разряда - 15,772 Ответ : S 2.74 0.78 27 / 1 0.28 30.90 30.9 Правило умножения приближенных чисел: Пример. S=2,25 х 1,0113 1) выделить сомножитель, содержащий наименьшее число значащих цифр – 2,25 2) округлить остальные сомножители, оставляя на одну значащую цифру больше, чем в выделенном сомножителе – 1,011 3) произвести умножение (деление) – 2,27475 4) округлить полученный результат, сохраняя столько значащих цифр, сколько их в выделенном сомножителе – S=2,27 Ответ: S 2.25x1.0113 2.27475 2.27 Контроль знаний 1 2 Результатом округления числа 3.9156 до сотых будет А) 3.91 Б) 3.92 В) 3.915 Г) 3.9 Значащими цифрами в записи десятичного числа называются А) все цифры после запятой Б) все его цифры кроме нулей, записанных справа от первой цифры не равной 0 В) все его цифры кроме нулей, записанных слева от первой цифры не равной 0 Г) все цифры, стоящие слева от верной цифры 3 Сколько значащих цифр в записи приближенного числа а=0.001004506 А) Б) В) Г) 4 7 9 10 Контроль знаний 4 Приближенное значение а числа х взято с недостатком, если погрешность … А) равна 0 Б) меньше 0 В) больше 0 Г) не равно 5 Пусть приближенное число равно 9.999785. Погрешность приближения равна 0.0004. Сколько верных цифр в записи приближенного числа? А) 3 Б) 4 В) 6 Г) 7 Ответы к тесту 1) 2) 3) 4) 5) Б В Б В Б