Задачи по теории вероятностей

Оглавление
Задание 1.........................................................................................................................................3
Задание 2.........................................................................................................................................4
Задание 3.........................................................................................................................................5
Задание 4.........................................................................................................................................5
Задание 5.........................................................................................................................................6
Задание 6.........................................................................................................................................7
Задание 7.........................................................................................................................................8
Задание 8.........................................................................................................................................9
Задание 9.......................................................................................................................................10
Задание 10.....................................................................................................................................11
ЗАДАНИЕ 1.
Испытание – однократное бросание двух игральных кубиков. Пусть n1 – число
очков, выпавших на первом кубике, n2– число очков, выпавших на втором кубике. Найти
вероятность указанного ниже события.
1. А1  п1  п2  7
Решение
Необходимо найти вероятность, что сумма очков, выпавших на обоих кубиках
равна 7.
Пусть m – число благоприятных исходов, а n – общее число исходов.
Тогда искомая вероятность будет равна Р  А  
т
.
п
Для благоприятных исходов возможны следующие варианты: {1;6}; {6;1}; {5;2};
{2;5}; {4;3}; {3;4}. Следовательно, m=6.
У двух кубиков 6 граней, следовательно, общее число исходов равно n=6×6=36.
Тогда искомая вероятность равна Р  А  
6
 0,17
36
2.Найти вероятность, что число очков хотя бы на одном кубике чётно
Решение
Пусть m – число благоприятных исходов, а n – общее число исходов.
Тогда искомая вероятность будет равна Р  А  
т
.
п
Для благоприятных исходов возможны следующие варианты: {1;2}; {1;4}; {1;6};
{2;1}; {2;2}; {2;3}; {2;4}; {2;5}; {2;6}; {3;2}; {3;4}; {3;6}; {4;1}; {4;2}; {4;3}; {4;4}; {4;5};
{4;6}; {5;2}; {5;4}; {5;6}; {6;1}; {6;2}; {6;3}; {6;4}; {6;5}; {6;6}. Следовательно, m=27
У двух кубиков 6 граней, следовательно, общее число исходов равно n=6×6=36.
Тогда искомая вероятность равна Р  А  
27
 0, 75
36
3
ЗАДАНИЕ 2
1.В ящике 10 белых и 15 чёрных шаров. Наугад извлекают 5 шаров. Найти
вероятность события «среди извлечённых шаров будет ровно 2 белых»
Решение
Всего шаров 10+15=25
Общее число исходов при извлечении 5 шаров из ящика:
5
С25

25!
25!

 53130
5!  25  5! 5! 20!
:
Количество способов выбора из 10 белых 2 шаров:
С102 
10!
10!

 45
2! 10  2 ! 2! 8!
Количество способов выбора из 15 черных шаров остальные 3:
С153 
15!
15!

 455
3! 15  3! 3!12!
Вероятность того, что среди выбранных 5 шаров 2 белых равна:
Р
С102 С153 45  455

 0,385
5
С25
53130
2.Из студенческой группы, в которой 10 студентов и 12 студенток, для
анкетирования произвольным образом выбрано 5 человек. Найти вероятность
события «среди выбранных будет хотя бы одна студентка»
Решение
Всего в группе 10+12=22 человека.
Общее число исходов при выборе 5 человек для анкетирования:
5
С22

22!
22!

 26334 :
5!  22  5! 5!17!
Количество способов выбора из 12 студенток одной:
С121 
12!
12!

 12
1! 12  1! 1!11!
Количество способов выбора из 10 студентов остальных 4:
С104 
10!
10!

 210
4! 10  4 ! 4! 6!
Вероятность того, что среди выбранных 5 человек 1 девушка равна:
Р
С121 С104 12  210

 0, 0957
5
С22
26334
4
ЗАДАНИЕ 3.
Имеется n ящиков и r шаров. Шары наугад размещают по ящикам. Найти
вероятность указанного события.
1.Все шары попадут в один ящик
Решение
Вероятность шара попасть в любой ящик равна 1, поэтому вероятность того, что
все шары попадут в один ящик, равна:
1
р  1  
n
r 1
1
 
n
r 1
2.Все шары попадут в два ящика
Решение
Вероятность шара попасть в любой ящик равна 1, поэтому вероятность того, что
все шары попадут в два ящика, равна:
1
р  1  
п
r 2

1
п 1
ЗАДАНИЕ 4.
Проводятся 10 независимых испытаний с вероятностью успеха p . Найти
вероятность указанного случайного события.
1.Число успехов не меньше трёх
Решение
Решим задачу методом от противного. Найдем вероятность того, что число успехов
меньше трех раз. Это число может равняться 0,1,2.
По формуле Бернулли находим вероятность для каждого варианта.
Pn  m  Cnm pmqnm или Pn  m  
n!
p m q n m
m! n  m !
p10  0   1  p 
10
p10 1  10 p 1  p 
p10  2  
9
10!
8
8
 p 2  1  p   45 p 2 1  p 
2!10  2 !
Тогда Р  1  p   10 p 1  p   45 p 2 1  p 
10
9
8
Отсюда искомая вероятность равна:
5
P  X  3  1  1  p   10 p 1  p   45 p 2 1  p 
10
9
8
2. «Число успехов больше 5, но меньше 8».
Решение
Число успехов может быть 6 или 7.
p10  6  
10!
4
4
 p6  1  p   210 p 6 1  p 
6!10  6 !
p10  7  
10!
3
8
 p7  1  p   120 p 2 1  p 
7!10  7 !
Отсюда
P  5  X  8   210 p 6 1  p   120 p 2 1  p 
4
8
ЗАДАНИЕ 5.
Бросается игральный кубик. Найти математическое ожидание и дисперсию
случайной величины Xn , где n – число выпавших очков.
1. Х  п 2  11п  30
Решение
Вероятность выпадения каждого числа очков равна 1/6. Находим значения Xn:
п  1 ; Х  12  111  30  20
п  2 ; Х  22  11 2  30  12
п  3 ; Х  32  11 3  30  6
п  4 ; Х  42  11 4  30  2
п  5 ; Х  52  11 5  30  0
п  6 ; Х  62  11 6  30  0
Составляем закон распределения:
X(n)
20
12
p
1/6
1/6
Математическое ожидание:
6
1/6
2
1/6
0
1/6
0
1/6
М  Х    Хр
1
1
1
1
1
1 1
20
М  Х   20   12   6   2   0   0    20  12  6  2  
6
6
6
6
6
6 6
3
Дисперсия:
D  Х    Х 2 р   M  X 
2
6
2
1
1
1
1
1
1   20  1

D  Х    400   144   36   4   0   0        400  144  36  4  
6
6
6
6
6
6  3  6

2
292 400 476
 20 
  


3
9
9
 3 
2. Х  п  3
Решение
Вероятность выпадения каждого числа очков равна 1/6. Находим значения Xn:
п  1; Х  1 3  2
п  2 ; Х  2 3 1
п  3; Х  3 3  0
п  4 ; Х  4 3 1
п  5; Х  5  3  2
п  6 ; Х  63  3
Составляем закон распределения:
X(n)
2
1
p
1/6
1/6
Математическое ожидание:
0
1/6
1
1/6
2
1/6
3
1/6
М  Х    Хр
1
1
1
1
1
1 1
3
М  Х   2   1  0   1  2   3    2  1  0  1  2  3 
6
6
6
6
6
6 6
2
Дисперсия:
D  Х    Х 2 р   M  X 
2
2
1
1
1
1
1   20  1
 1
D  Х    4   1  0   1  4   9        4  1  0  1  4  9  
6
6
6
6
6  3  6
 6
2
 3  19 9 11
    
6 4 12
2
ЗАДАНИЕ 6.
Бросаются два игральных кубика. Найти вероятность указанного события.
1. Сумма числа очков равна 7
Решение
Пусть m – число благоприятных исходов, а n – общее число исходов.
7
Тогда искомая вероятность будет равна Р  А  
т
.
п
Для благоприятных исходов возможны следующие варианты: 1 и 6; 6 и 1; 5 и 2; 2 и
5; 4 и 3; 3 и 4. Следовательно, m=6.
У двух кубиков 6 граней, следовательно, общее число исходов равно n=6×6=36.
Тогда искомая вероятность равна Р  А  
6
 0,17
36
2. Число очков хотя бы на одном кубике чётно.
Решение
Пусть m – число благоприятных исходов, а n – общее число исходов.
Тогда искомая вероятность будет равна Р  А  
т
.
п
Для благоприятных исходов возможны следующие варианты: 1 и 2; 1 и 4; 1 и 6; 2 и
1; 2 и 2; 2 и 3; 2 и 4; 2 и 5; 2 и 6; 3 и 2; 3 и 4; 3 и 6; 4 и 1; 4 и 2; 4 и 3; 4 и 4; 4 и 5; 4 и 6; 5 и
2; 5 и 4; 5 и 6; 6 и 1; 6 и 2; 6 и 3; 6 и 4; 6 и 5; 6 и 6. Следовательно, m=27
У двух кубиков 6 граней, следовательно, общее число исходов равно n=6×6=36.
Тогда искомая вероятность равна Р  А  
27
 0, 75
36
ЗАДАНИЕ 7.
1. В ящике 12 шаров: 3 белых, 4 чёрных, 5 красных. Из ящика изымается один
шар. Какова вероятность, что изъятый шар чёрный?
Решение
Эксперимент состоит в случайном выборе из закрытой урны одного шара.
Элементарным исходом опыта является номер шара и его цвет. Поскольку все исходы
равновероятны, можно использовать классическое определение вероятности. Общее число
элементарных исходов п  12 (количество шаров в урне). Событию А={извлекли черный
шар} благоприятствуют т  4
Р  А 
исходов
(количество
черных
шаров).
Получаем:
т 4 1
 
п 12 3
Задачу можно решить через формулы комбинаторики.
1
черный
шар
из
4
можно
выбрать
С41  4
способами.
1 черный шар можно вытащить С121  12 способами.
Тогда, искомая вероятность будет р 
4 1
 ...
12 3
8
2.В лотерее 1000 билетов, из которых 500 билетов – выигрышные и 500
билетов – невыигрышные. Какова вероятность того, что из двух купленных билетов
оба билета выигрышные?
Решение
Вероятность того, что первый билет выигрышный р1 
второй билет выигрышный р2 
р  р1  р2 
500
. Вероятность того, что
1000
499
. Вероятность того, что оба билета выигрышные
999
500 499

 0, 2498
1000 999
Задачу можно решить через формулы комбинаторики.
Два билета из
Два
выигрышных
1000 можно выбрать
билета
можно
Тогда, искомая вероятность будет р 
2
С1000

вытащить
1000  999
 499500 способами.
2
2
С500

500  499
 124750 способами.
2
124750
 0, 2498 .
499500
ЗАДАНИЕ 8.
В ящике 10 белых, 15 черных, 20 синих и 25 красных шаров. Найти
вероятность того, что изъятый шар: белый; черный; синий; красный; белый или
черный; синий или красный; белый, черный или синий.
Решение.
Всего шаров n=10+15+20+25=70.
Вероятность, что шар белый: P(Б)=10/70=1/7,
Вероятность, что шар черный: P(Ч)=15/70=3/14,
Вероятность, что шар синий: P(С)=20/70=2/7,
Вероятность, что шар красный: P(К)=25/70=5/14.
Применив теорему сложения вероятностей, получим
Вероятность, что шар белый или черный:
P(Б или Ч)=P(Б)+P(Ч)=1/7+3/14=5/14;
Вероятность, что шар синий или красный:
P(С или К)=P(С)+P(К)=2/7+5/14=9/14;
Вероятность, что шар белый черный или синий:
P(Б или Ч или С)=1−P(К)=1−5/14=9/14.
9
2.В ящике 6 белых и 8 чёрных шаров. Из ящика извлекли последовательно
два шара (не возвращая извлечённый шар в ящик). Найти вероятность того, что оба
шара белые.
Решение.
В данном случае речь идет о совмещении событий A и B, где событие Л —
появление белого шара из первого ящика, событие
В — появление белого шара из
второго ящика.
При этом A и B — независимые события.
Имеем P(A)=2/12=1/6, P(B)=8/12=2/3.
Применив теорему умножения вероятностей, находим:
P(AB)=P(A)⋅P(B)=(1/6)⋅(2/3)=1/9.
ЗАДАНИЕ 9.
1. В ящике 20 белых и 10 чёрных шаров. Производится серия из 4 испытаний,
состоящих в изъятии одного шара из ящика, причём после каждого испытания шар
возвращается в ящик и шары перемешиваются. Какова вероятность того, что из
четырёх изъятых шаров окажется два белых?
Решение
Вероятность извлечения белого шара p 
всех четырех испытаниях; q  1  p 
2
Р4  2   С42 р 2 q 2  6   
3
2
20 2
 можно считать одной и той же во
30 3
1
. Используя формулу Бернулли, получаем:
3
2
8
1
  
27
 3
2. Предполагая рождение девочки и мальчика равновероятными событиями,
найти вероятность того, что в семье, имеющей 5 детей, будет:
а) 3 девочки и 2 мальчика;
б) не больше трёх девочек.
Решение
Вероятность
рождения
девочки p  0,5 ,
тогда q  1  p  0,5
(вероятность
рождения мальчика). Значит, искомая вероятность:
10
5 4 3
5
3
2
P5  3  C53 p 3q 2      0,5    0,5  
1 2 3
16
Найдем вероятность того, что среди детей будет не больше трех девочек.
5
5
5
1
5
5
1
1
1
Р5  0     
; Р5 1  5    
; Р5  2   10     ;
 2  32
 2  32
 2  16
5
5
3
Р5  3  10     .
 5  16
Применим теорему сложения вероятностей:
Р  Р5  0   Р5 1  Р5  2   Р5  3 
1
5 5 5 26 13
   

32 32 16 16 32 16
ЗАДАНИЕ 10.
1. Дан ряд распределения случайной величины X:
xi
pi
10
0,2
20
0,3
30
0,35
40
0,1
50
0,05
Найти функцию распределения этой случайной величины.
Решение
Находим функцию распределения F(X):
F  x  10  0
F 10  x  20  0, 2
F  20  x  30  0,3  0, 2  0,5
F  30  x  40  0,35  0,5  0,85
F  40  x  50  0,1  0,85  0,95
F  x  50  1
Функция распределения имеет вид:
 0
 0, 2

 0,5
F  x  
0,85
0,95

 1
при
x  10
при 10  x  20
при 20  x  30
при 30  x  40
при 40  x  50
при
x  50
11
2.Случайная величина X задана функцией распределения
x2
 0,

2
F  x    x  2  , 2  x  3
 1,
x3

Вычислить вероятность попадания случайной величины X в интервалы 1,0;
2,5 и 2,5; 3,5.
Решение
Вероятность того, что случайная величина Х примет значение из интервала  a, b
равна: P  a  x  b   F b   F  a 
P 1  x  2,5   F  2,5   F  x  2    2,5  2  0  0, 25  0  0, 25
2
P  2,5  x  3,5   F  x  3  F  2,5   1  2,5  2   1  0, 25  0, 75
2
12