Из всех языков мира самый лучший- это искусственный, весьма сжатый язык математики Н.И.Лобачевский Понятие функции уходит своими корнями в ту далёкую Одновременно с Декартом к мысли о соответствии эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их между линиями и уравнениями пришёл другой предметы взаимосвязаны. Они ещё не умели считать, но французский математик – Пьер Ферма (1601-1665). Он уже знали, что: был советником тулузского парламента и занимался • чем больше оленей удастся убить на охоте, тем дольше математическими исследованиями лишь в свободное племя будет избавлено от голода; время. Тем не менее Ферма получил ряд первоклассных • чем сильнее натянута тетива лука, тем дальше полетит результатов в различных областях математики. Термин стрела; «функция» начал применять в конце XVIII века • чем дольше горит костёр, тем теплее будет в пещере. Лейбниц (1646-1716) и его ученики.Определение функции, приближенное к современному, дал Иоганн Когда возникли первые цивилизации, образовались Бернулли: «Функцией переменной величины называется большие армии, началось строительство гигантских количество, образованное каким угодно способом из пирамид. Древние учёные стали составлять таблицы для этой переменной величины и постоянных». облегчения вычислений. Функция-одно из важнейших математических понятий. Понятие переменной величины было введено в науку Функцией называют такую зависимость переменной y французским учёным и математиком Рене Декартом от переменной x, при которой каждому значению (1596-1650). Он ввёл идею числовой функции числового переменной x соответствует единственное значение аргумента. При записи зависимостей между величинами переменной y. Декарт стал применять буквы. Он начал геометрически Переменную x называют независимой переменной или изображать не только пары чисел, но и уравнения, аргументом. Переменную y называют зависимой связывающие два числа. переменной. Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты- соответствующим значениям функции Схема исследования функции: *Область определения *Область значений *Четность,нечетность *Периодичность *Пересечение с осями координат *Промежутки монотонности *Промежутки знакопостоянства *Экстремумы и точки экстремума *График функции Свойства функции y=kx+b при k>0 1)D(f)= R 2)E(f)= R 3)Функция не является ни четной, ни нечетной 4)Пересечение с осью Ox при x= - b/k 5)Функция возрастает на промежутке (-∞;+∞) 6)Функция неограниченная Свойства функции y=kx+b при k<0 1)D(f)= R 2)E(f)= R 3)Функция не является ни четной, ни нечетной 4)Пересечение с осью Ox при x=b/k 5)Функция убывает на промежутке (-∞;+∞) 6)Функция неограниченная Свойства функции y=√x 1)D(f)=(0; +∞) 2)E(f)=(0; -∞) 3)Функция не является ни четная, ни нечетная 4)Функция имеет один нуль при x=0 5)Функция возрастает при xЄ(0; +∞) 6)Функция принимает положительные значения при xЄ(0; +∞) 7)Функция имеет минимум при x=0 (y=0) Свойства функции y=│x│: 1)D(y)=(-∞;+∞) 2)E(y)=[0;+∞) 3)Функция нечетная 4)Функция имеет один нуль при x=0 5)Функция убывает при xЄ(-∞ ; 0) Функция возрастает при xЄ(0; +∞) 6)Функция принимает только неотрицательные значения Свойства функции y= k/x ,при k>0 1)D(f)=(-∞;0) U(0; +∞) 2)E(f)=(-∞;0) U(0; +∞) 3)Функция нечетная 4)Функция не имеет нулей 5)Функция убывает при xЄ(-∞ ; 0), а также при xЄ(0;+∞) 6)Функция принимает отрицательные значения при xЄ(-∞ ; 0) и положительные значения при xЄ(0;+∞) 7)Функция не имеет экстремумов Свойства функции y= k/x ,при k<0 1)D(f)=(-∞;0) U(0; +∞) 2)E(f)=(-∞;0) U(0; +∞) 3)Функция нечетная 4)Функция не имеет нулей 5)Функция возрастает при xЄ(-∞ ; 0), а также при xЄ(0;+∞) 6)Функция принимает положительные значения при xЄ(-∞ ; 0) и положительные значения при xЄ(0;+∞) 7)Функция не имеет экстремумов Свойства функции y=x²: 1)D(f)=(-∞;+∞) 2)E(f)=(0; +∞) 3)Функция четная 4)Функция имеет один нуль при x=0 5)Функция возрастает при xЄ(0; +∞) Функция убывает при xЄ(-∞;0) 6)Функция принимает положительные значения при xЄ(-∞;0) U(0; +∞) 7)Функция имеет минимум при x=0 (y=0) Свойства функции y=x³: 1)D(f)=(-∞;+∞) 2)E(f)=(0; +∞) 3)Функция нечетная 4)Функция имеет один нуль при x=0 5)Функция возрастает на всей области определения 6)Функция принимает отрицательные значения при xЄ(-∞;0) Функция принимает положительные значения при xЄ(0; +∞) 7)Функция не имеет экстемумов Функция y=sin x,ее свойства : 1)D(f)=(-∞;+∞) 2)E(f)=[-1;1] 3)Функция y=sin t -нечетная, т.к. sin(-x)=-sinx; график симметричен относительно начала координат. 4)Функция периодическая с основным периодом T=2π 5)Нули функции: sinx=0 при x=kπ , kЄZ 6)Интервалы возрастания и убывания: функция возрастает на промежутке[-π/2+ 2kπ ] [π/2+2kπ] функция убывает на промежутке [π/2+2kπ, 3π/2+ 2kπ] 7)Интервалы знакопостоянства: sinx>0, если xЄ(2 kπ;π+2kπ ) sinx<0, если xЄ(- π+2kπ; 2kπ) 8)Экстемумы функции:ymax = 1 при x= π/2+2kπ ymax =-1 при x= - π/2+2kπ 9)Функция y=sinx ограничена и снизу, и сверху 10)Функция y=sinx – непрерывная функция Свойства функции y=cosx: 1)D(f)=(-∞;+∞) 2)E(f)=[-1;1] 3)Функция является четной 4)Функция периодическая с основным периодом T=2π 5)Нули функции: cosx=0 при x=π/2+2kπ, kЄZ 6)Интервалы возрастания и убывания: функция y=cosx возрастает на промежутке xЄ(- π+2kπ; 2kπ) функция y=cosx убывает на промежутке xЄ(2 kπ;π+2kπ ) 7)Интервалы знакопостоянства: cosx >0 если xЄ(- π/2+2kπ; π/2+2kπ) cosx<0 если xЄ( π/2+2kπ; 3π/2+ 2kπ) 8)Экстремумы функции:уmax=1 при x= 2 kπ ymax=-1 при x= π+2kπ 9)Функция ограничена и снизу, и сверху 10)y=cosx – непрерывная функция Свойства фунции y=tg x: 1)D(f)множество всех действительных чисел, за исключением чисел вида x= π/2+kπ, kЄ Z 2)E(f)= (-∞;+∞) 3)Функция нечетная 4)Функция периодическая, с основным перидом π 5)Нули функции:tg x=0 при x=kπ 6)Интервалы возрастания и убывания: функция возрастает на промежутках (-π/2 + kπ;π/2 + kπ) 7)Интервалы знакопостоянства: tg x >0 если xЄ(kπ ; π/2+kπ) tg x <0 если xЄ( - π/2+kπ; kπ) 8)Функция экстремумов не имеет 9)Функция неограниченная. Свойства функции y=ctg x: 1)D(f)множество всех действительных чисел, за исключением чисел вида x= kπ, kЄZ 2)E(f)= (-∞;+∞) 3)Функция нечетная 4)Функция периодическая ,с основным перидом π 5)Нули функции: ctg x=0 при x= π/2+kπ 6)Интервалы возрастания и убывания : функция убывает на промежутках xЄ(kπ ; π+kπ), 7)Интервалы знакопостоянства: ctg x>0 если xЄ (kπ ; π/2+kπ) ctg x<0 если xЄ( -π/2+kπ; kπ) 8)Функция экстремумов не имеет 9)Функция y=ctg x неограниченная Функцию вида y=a, где a>0 и a≠0, называют показательной функцией. Основные свойства показательной функции при a>1: 1)D(f)=(-∞;+∞) 2)E(f)=(0;+∞) 3)Функция не является ни четной, ни нечетной 4)Функция возрастающая 5)Функция непрерывная Основные свойства показательной функции при 0<a<1 1)D(f)=(-∞;+∞) 2)E(f)=(0;+∞) 3)Функция не является ни четной, ни нечетной 4)Функция убывающая 5)Функция непрерывная. Свойства функции y=loga x, где a>1 1)D(f)=(0;+∞) 2)E(f)=(-∞;+∞) 3)Функция не является ни четной,ни нечетной 4)Функция возрастает на промежутке (0;+∞) 5)Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений 6)Функция не ограничена сверху, не ограничена снизу 7)Функция непрерывна 8)Функция выпукла вверх. Свойства функции y=loga x, при 0<a<1 1)D(f)=(0;+∞). 2)E(f)=(-∞;+∞). 3)Функция является ни четной,ни нечетной. 4)Функция убывает на промежутке (0;+∞). 5)Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений. 6)Функция не ограничена сверху, не ограничена снизу. 7)Функция непрерывна. 8)Функция выпукла вниз. Свойства функции y=x , где m/n>1 1)D(f)=[0;+∞) 2)E(f)=[0;+∞) 3)Функция не является ни четной, ни нечетной 4)Функция возрастает на [0;+∞) 5)yнаим = 0, а наибольшего значения не имеет 6)Не ограничена сверху, ограничена снизу 7)Функция непрерывна 8)Выпукла вниз Свойства функции y=x , где 0< m/n<1 1)D(f)=[0;+∞) 2)E(f)=[0;+∞) 3)Функция не является ни четной, ни нечетной 4)Функция возрастает на [0;+∞) 5)yнаим = 0, а наибольшего значения не имеет 6)Не ограничена сверху, ограничена снизу 7)Функция непрерывна 8)Выпукла вверх Свойства функции y=x 1)D(f)=(0;+∞) 2)E(f)=(0;+∞) 3)Функция не является ни четной, ни нечетной 4)Функция убывает на (0;+∞) 5)Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения 6)Не ограничена сверху, ограничена снизу 7)Функция непрерывна 8)Выпукла вниз Смещения графиков на примере функции y=x² График функции y=x²: График функции y=x²+1: График функции y=x²-1: График функции y=(x+1)² Мы видим,что график сместился по оси Оу вниз на единицу График сместился налево по оси Ох на единицу График функции y=(x-1)² График сместился направо по оси Ох на единицу Авторы проекта: Сафиуллина Гузель Идрисовна Латыпова Гузель Равгатьевна учащиеся 10 класса МОУ Алькинской СОШ Руководитель проекта: Салимова София Габдельягфаровна-учитель математики МОУ Алькинской СОШ
