Бельченко Гилев Силагадзе Механика частиц и тел в задачах

Ю. И. Бельченко, Е. А. Гилёв, З. К. Силагадзе
Механика частиц и тел в задачах
Рекомендовано Учебно-методическим объединением по
классическому университетскому образованию РФ в качестве
учебного пособия для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по специальности 010701.65 –– Физика
и направлению 010700.62 — Физика
Москва Ижевск
2008
УДК 53 (075.8)
ББК 22.3
К 59
Интернет-магазин
http://shop.rcd.ru
•
•
•
•
ОГЛАВЛЕНИЕ
физика
математика
биология
нефтегазовые
технологии
Предисловие...........................................................................................
Принятые обозначения..........................................................................
Справочные материалы.........................................................................
Задачи Ответы
1. Кинематика
Бельченко Ю. И., Гилёв Е. А., Силагадзе З. К.
Механика частиц и тел в задачах. — М.–Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2008. — 248 с.
Сборник содержит задачи по механике и теории относительности, использующиеся при изучении курса общей физики на младших курсах физических факультетов университетов. Основу пособия составляют оригинальные задачи, предложенные преподавателями Новосибирского государственного университета –– сотрудниками физических институтов Сибирского отделения РАН — для семинаров,
самостоятельной работы студентов, письменных работ. Задачи сгруппированы в соответствии с программой семинаров по механике, принятой в НГУ. Наряду с формулировками приведены ответы и решения задач, что может быть полезно для обучающихся самостоятельно.
ISBN 978-5-93972-???-?
c Ю. И. Бельченко, Е. А. Гилёв, З. К Силагадзе, 2008
c НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2008
http://shop.rcd.ru
http://ics.org.ru
ББК 22.3
5
6
7
1.1. Пространство и время...............................................
1.2. Системы координат. Скорость, ускорение.............
1.3. Векторы......................................................................
1.4. Системы отсчета.......................................................
1.5. Кинематика вращения..............................................
8
9
12
12
13
94
95
98
100
103
16
17
21
23
108
110
125
129
26
133
27
133
31
140
35
38
148
152
2. Релятивистская кинематика
2.1. Скорость света...........................................................
2.2. События. Преобразования Лоренца.........................
2.3. Сложение скоростей..................................................
2.4. Направление движения. Преобразование углов.....
3. Энергия-импульс
3.1. Масса, энергия и импульс релятивистских
частиц.........................................................................
3.2. Преобразования энергии-импульса.
Эффект Доплера.. ...................................................
4. Законы сохранения энергии и импульса
4.1. Распад частиц............................................................
4.2. Неупругие столкновения. Пороги
рождения частиц....
.............................................
4.3. Упругие столкновения ............................................
3
5. Простейшая релятивистская динамика
5.1. Движение в магнитном поле. Сила Лоренца..........
5.2. Движение в электрическом поле.
Релятивистская ракета... .........................................
41
158
44
161
48
50
52
169
171
174
6. Динамика одномерного движения
6.1. Законы движения. Фазовая плоскость....................
6.2. Движение с трением.................................................
6.3. Движение с переменной массой..............................
7. Колебания
7.1. Свободные колебания...............................................
7.2. Колебания с трением................................................
7.3. Вынужденные колебания. Резонанс…………........
7.4. Адиабатические инварианты...................................
55
57
58
60
180
183
184
187
63
65
67
71
74
191
195
199
207
210
77
220
8. Движение в центральном поле
8.1. Потенциал поля.........................................................
8.2. Момент импульса. Центробежный потенциал.......
8.3. Кулоновское поле. Законы Кеплера.......................
8.4. Задача двух тел........................................................
8.5. Рассеяние частиц......................................................
9. Движение твердого тела
9.1. Равновесие тел..........................................................
9.2. Вращение с неизменной ориентацией оси.
Момент инерции, момент импульса.......................
9.3. Физический маятник.................................................
9.4. Плоское движение тел..............................................
9.5. Вращение с изменением ориентации оси.
Гироскоп....................................................................
79
81
84
223
225
229
88
235
10. Неинерциальные системы отсчета..............................
90
238
Литература.............................................................................
245
4
ПРЕДИСЛОВИЕ
Сборник содержит более 500 задач по курсу механики и теории относительности, предлагавшихся в течение многих лет студентам 1-го курса
физического факультета Новосибирского государственного университета. Курс был разработан основателем и первым директором Института
ядерной физики Сибирского отделения РАН академиком Г. И. Будкером.
Особенностью данного курса является изменение «классического»
порядка изложения и введение современных представлений о свойствах
пространства-времени и релятивистских законах движения с самого начала обучения, в рамках курса общей физики.
Основу сборника составляют оригинальные задачи, предложенные
в разные годы коллективом преподавателей физики − научными сотрудниками физических институтов Сибирского отделения РАН и кафедр
Новосибирского государственного университета для семинарских занятий, для контрольных заданий, для письменных и экзаменационных
работ. Также включены классические задачи, взятые из учебников
и учебных пособий, применяемых в курсе общей физики НГУ.
Сборник выпускался в виде учебных пособий в 1978, 1992, 2000
и 2006 гг. Настоящее издание дополнено и переработано. Приведены
ответы и решения задач, что может быть полезно для обучающихся самостоятельно или заочно. Задачи сгруппированы по основным разделам
курса в соответствии с программой семинаров, принятой в НГУ.
Авторы считают своим приятным долгом поблагодарить Б. В. Чирикова, Б. Н. Брейзмана, В. Г. Дудникова, П. А. Багрянского, В. Г. Соколова, Г.В.Федотовича и других физиков-преподавателей НГУ, внесших
большой вклад в составление задач и подготовку предыдущих изданий
сборника.
5
ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
с
Л-система
Ц-система
x, y ,z, t
x', y', z', t'
v , V, u
β , γ , γV
скорость света = 3·108 м/с
лабораторная система отсчета
система центра инерции
координаты в лабораторной системе отсчета
координаты в движущейся системе отсчета
скорость тела, системы отсчета
релятивистские факторы
τ
T
d ,L
a'
r, R, ρ
α, θ, φ
Ω
ω, Ω
ν, f
m, M
E
T
p,P
L
F
G
собственное время
интервал или период движения
расстояние, длина
ускорение в сопутствующей системе отсчета
радиус
угол
телесный угол
угловая скорость
частота колебаний
масса
энергия
кинетическая энергия
импульс
момент импульса
сила
гравитационная постоянная, G = 6,67 ⋅ 10−11 H ⋅ m 2 кг -2
q, Q, e
ε
электрический заряд
напряженность электрического поля
U
B
потенциал
индукция магнитного поля
6
СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
1 астрономическая единица (а. е.)
1 световой год (св. г)
1 парсек (пк)
Постоянная Хаббла
Гравитационная постоянная
Радиус Солнца
Земля
Период обращения вокруг Солнца
Средний радиус орбиты
Орбитальная скорость
Угловая скорость вращения вокруг оси
Угол наклона экватора к эклиптике
Орбитальная скорость
Расстояние до Земли
Период обращения
Масса
Радиус
Луна
1,5·108 км
9,46·1012 км
3,26 св. г = 3,1·1013 км
71 (км/с)/Мпк
G = 6, 67 ⋅10−11 H ⋅ m 2 кг −2
7·105 км
1 год = π ·107 с
1,5·108 км = 500 св. с
30 км/с
7,3·10 −5 рад/с
23о
1 км/с
3,8·105 км
27 сут
1/81 массы Земли
1738 км
Планеты
Марс
Радиус орбиты, а. е.
Период обращения, год
Орбитальная скорость, км/с
1,52
1,9
24
Венера
0,72
0,6
35
Юпитер
5,2
12
13
Масса элементарных частиц
Электрон e−
Позитрон e+
Мюоны µ−, µ +
511 кэВ
511 кэВ
105 МэВ
π-мезоны π− , π+
140 МэВ
π0
135 МэВ
Kаоны K−, K+, K0 500 МэВ
7
Протон p
Нейтрон n
φ -мезон
938 MэВ
940 МэВ
1 ГэВ
Λ -гиперон
J/ψ-мезон
B-мезон
1,1 ГэВ
3,1 ГэВ
5,28 ГэВ
1. Кинематика
ЗАДАЧИ
1.7. Оценить минимальную скорость движения лунной тени по
поверхности Земли при солнечном затмении. Скорость Луны 1 км/с.
1.8. Как должна быть сориентирована спутниковая антенна НГУ для
приема сигнала с геостационарного спутника? Найти максимальный угол
наклона антенны к горизонту. Широта Новосибирска 550.
1.9. Нарисуйте траекторию конца тени от вертикально стоящей палочки в солнечный день 22 июня в Новосибирске. Оцените долготу дня.
Проследите эволюцию траектории со временем. Что будет на других
широтах?
1.2. Системы координат. Скорость, ускорение
1.10. Зависимость скоростей двух автомобилей от времени задается
следующими выражениями:
1. КИНЕМАТИКА
1.1. Пространство и время
1.1. Линейные размеры молекулы O2 0,3 нм, длина волны оранжевой линии криптона 605,8 нм, радиус Земли 6400 км, расстояние
Земля – Луна 384 тыс. км, расстояние до α-Центавра 4,2 св. года. Указать
метод измерения этих величин и физические ограничения на точность
измерения.
1.2. Скорость пули на начальном участке 715 м/с, скорость электрона в кинескопе 4⋅107 м/с, скорость света в вакууме 3⋅108 м/с. Указать
способы измерения этих скоростей и физические ограничения на точность
измерения.
1.3. Вычислить расстояние до звезды α-Центавра по ее годичному
параллаксу π = 0,756" (в парсеках, световых годах и метрах).
⎧ t
⎪V τ
⎪
V1 = ⎨
2
⎪V ⎛ τ ⎞
⎪⎩ ⎜⎝ t ⎟⎠
πt ⎞
⎧ ⎛
⎪V ⎜1 − cos τ ⎟
⎠
⎪⎪ ⎝
V2 = ⎨ 2V
⎪ τ −t
⎪2V 2
⎪⎩ τ 2 −τ1
t ≤τ
;
t >τ
0 < t ≤τ
τ < t ≤ τ1 .
τ1 < t ≤ τ 2
Найти зависимость ускорения и пройденного пути от времени.
Нарисовать синхронные графики ускорения, скорости и пройденного
пути.
1.11. График зависимости скорости объекта от времени имеет вид
половинки окружности, занимающей на оси времени 20 с (в системе СИ),
начальная скорость равна нулю. Какой путь пройден объектом за время
движения? Нарисовать зависимость ускорения и пройденного пути от
времени. Каким будет результат для половинки эллипса высотой 5 м?
1.5. Определить максимальное время наблюдения Венеры после
захода Солнца. Радиус орбиты Венеры 0,72 а. е.
1.12. Нарисовать синхронные графики зависимости от времени
координаты x , скорости x и ускорения центра тяжести упругого шарика, подпрыгивающего в поле тяжести над упругой плитой без потерь
энергии. Рассмотреть случай, когда деформации шарика существенны. За
какое время шарик остановится, если при каждом ударе будет теряться
1 % энергии? Изобразите это движение на плоскости x , x .
1.6. Оценить максимальную продолжительность наблюдения
полного лунного затмения. Видимый с Земли угловой размер Луны
и Солнца имеет одинаковую величину 10−2 рад.
1.13. Упругий шарик подпрыгивает в поле тяжести над горизонтальной плитой, которая движется вниз с постоянной скоростью.
Нарисовать синхронные графики зависимости от времени смещения x
8
9
1.4. Оценить радиус орбиты Венеры, если ее наибольшее угловое
удаление от Солнца составляет 460.
Задачи
1. Кинематика
шарика из начального положения, скорости x и ускорения x в лабораторной системе отсчета. Изобразите это движение на плоскости x, x .
где a, γ – константы. Найти уравнение траектории в декартовых и полярных координатах, выразить скорость и ускорение точки как функцию ее
1.14. Точка описывает фигуру Лиссажу по уравнениям
x = cos ( t τ ) , y = 2cos ( 2 t τ ) ,
где x, y заданы в м, t – в с, τ = 1 c. Определить скорость и ускорение
точки, когда она пересекает ось OY. Нарисовать траекторию.
1.15. Движение точки выражается уравнениями
x = cos ( t τ ) , y = 2sin ( 2 t τ ) ,
где x, y заданы в м, t – в с, τ = 1 c. Определить зависимость проекций
силы, действующей на точку, от координаты. Масса точки 10−3 кг.
1.16. Нарисовать зависимость от времени угла поворота, угловой
скорости и углового ускорения антенны радиолокатора, следящего за
самолетом, летящим по прямой с постоянной скоростью.
1.17. Зависимость скорости точки массой m от времени имеет вид:
Vx = V0 sin (ωt + ϕ ) + V1 , Vy = 0, Vz = 0.
Нарисовать зависимость пути, пройденного точкой, от времени. Определить силу, действующую на точку.
1.18. Напряженность однородного электрического поля изменяется
по закону ε = ε 0 cos (ωt + ϕ ) . Нарисуйте траекторию движения электрона
в таком поле, если в начальный момент t = 0 скорость движения электрона V0 была направлена перпендикулярно полю.
1.19. Исследовать зависимость между напряжением U(t) на пластинах осциллографа и смещением пятна на экране y(t). Как изобразится на
экране прямоугольный импульс напряжения? Найти уравнение кривой,
на которой в момент времени t0 находятся электроны луча.
1.20. На вертикальные пластины осциллографа подается напряжение U1 (t ) , на горизонтальные – U 2 (t ) . Чувствительность осциллографа α1
и α 2 В/м соответственно. Нарисовать траекторию светового пятна на
экране, найти его скорость и ускорение в различные моменты времени
для двух случаев:
1) U1 = at cos ωt , U 2 = at sin ωt;
2) U1 = a cos ωt , U 2 = b sin(ωt + ϕ ).
1.21. Точка движется по закону
x = a ⋅ ch (γ t ) , y = a ⋅ sh (γ t ) ,
10
радиус-вектора r = x 2 + y 2 .
1.22. Нарисовать траекторию точки, движущейся по закону
b
r = , ϕ = γ t (b>0).
t
Найти закон движения и уравнение траектории в декартовых координатах.
1.23. Получить выражение для компонент радиус-вектора, скорости
и ускорения точки в цилиндрической системе координат.
1.24. Tочка движется по закону
ρ = a ekt , φ = kt.
Найти траекторию, скорость, ускорение и радиус кривизны траектории
в зависимости от радиус-вектора точки.
1.25. Точка движется по закону x = 2t, y = t2 (x, y – в м, t – в с).
Определить радиус кривизны траектории в начале движения и через 2 с.
1.26. Установить связь между декартовыми, цилиндрическими
и сферическими координатами. Записать выражения для дифференциала
длины дуги, площади, объема и, используя их, вычислить прямым
интегрированием длину окружности, площадь сферы, объем цилиндра,
конуса, шара.
V
1.27. Четыре собаки преследуют друг друга,
так что скорость догоняющей собаки V всегда
V
направлена на убегающую собаку (см. рисунок).
Через какое время собаки догонят друг друга, если
сначала они находились в углах квадрата со
V
стороной а? Какова траектория собак? Какими
будут время и траектория для N собак?
V
1.28. Корабль движется равномерно, сохраняя постоянный угол
пеленга на маяк (угол между вектором скорости и направлением на
маяк). Нарисовать возможные траектории корабля.
u
1.29. Заяц бежит по прямой линии со
скоростью u. В начальный момент времени из
положения, показанного на рисунке, его начинает преследовать собака со скоростью V.
В ходе погони собака всегда бежит в направ- V
лении зайца. Через какое время собака настигнет зайца? Начальное расстояние между ними L.
11
Задачи
1. Кинематика
1.30. Имеется однородный шнур из взрывчатого вещества. Скорость
распространения реакции взрыва вдоль шнура V, скорость распространения взрывной волны по воздуху с. Найти форму линии, по которой
надо расположить шнур, чтобы волна от всех точек шнура пришла
в заданную точку одновременно. Можно ли сделать то же самое для
поверхности со взрывчаткой и получить сходящуюся сферическую волну
с большой концентрацией энергии?
стороны с одинаковыми начальными скоростями u. Какое положение
в пространстве они займут в момент времени t? Опишите движение
осколков в системе координат, связанной с одним осколком.
1.3. Векторы
1.31. Сферические координаты векторов
r1 = (r1, θ1, ϕ1 ) и r2 = (r2, θ2, ϕ2).
Определить угол между векторами r1 и r2 .
1.32. Найдите кратчайшее расстояние при полете из Новосибирска
(ϕ = 830 вост. долготы, θ = 550 с. ш.) до Рио-де-Жанейро (ϕ = 440 зап.
долготы, θ = 220 ю. ш.).
1.33. Выразить орты сферической и цилиндрической систем координат через орты декартовой системы координат (и наоборот).
1.34. Футболист находится в 20 м от прямолинейной траектории
мяча. Скорость мяча 10 м/с, футболиста 8 м/с. При каких начальных
положениях мяча футболист сможет догнать его? В каких точках
траектории мяча возможен перехват, если вначале мяч был в 25 м от
футболиста?
1.35. Для двух кораблей, движущихся неизменными пересекающимися курсами, выразить расстояние наибольшего сближения и время
до сближения через векторы скоростей и начальных положений.
1.36. Определить векторы скоростей и ускорений траков гусениц
трактора, который движется по прямой дороге с ускорением a при
скорости V (в системе дороги и в системе трактора).
1.37. Самолет облетел стороны треугольника с длинами A, B и C за
время t1 , t2 , t3 соответственно. Найти скорость ветра и самолета
в случае, когда скорость ветра параллельна плоскости треугольника.
1.4. Системы отсчета
1.39. Как изменяются импульс и кинетическая энергия системы
частиц при преобразованиях Галилея? В какой системе отсчета кинетическая энергия частиц минимальна?
1.40. Какова кинетическая энергия гусеницы трактора в системе
дороги и в системе трактора, если скорость трактора V?
1.41. Определите скорость поезда, если при приближении к неподвижному наблюдателю гудок поезда имел частоту в α раз большую, чем
при удалении от наблюдателя.
1.42. Машинисты двух сближающихся поездов сигнализируют друг
другу гудками. Определите скорость поездов, если частоты принимаемых
машинистами сигналов превышают «собственную» частоту гудка в α
и β раз соответственно. Сигнальные устройства локомотивов одинаковы.
1.43. Какова угловая скорость вращения Луны с точки зрения наблюдателя, находящегося на поверхности Земли?
1.44. Найти траекторию и закон движения точки на циферблате
в системе координат, связанной с концом минутной стрелки часов.
1.45. Найти траекторию и закон движения конца часовой стрелки
часов в системе координат, связанной с концом минутной стрелки.
1.46. Найти траекторию и закон движения конца минутной стрелки
часов в системе координат, связанной с концом часовой стрелки.
1.47. Нарисовать траекторию Марса в системе координат, связанной
с центром Земли, начиная с противостояния. Период между двумя последовательными противостояниями Марса 780 земных суток. Расстояние
Земля – Марс меняется от 0,55⋅108 км до 4⋅108 км.
1.48. Нарисовать траекторию Луны в системе координат, неподвижной относительно центра Солнца. Оценить диапазон ускорений центра
Луны в этой системе координат.
1.49. Могут ли на траектории спутника Земли в системе, связанной
с Солнцем, появиться участки с нулевой кривизной?
1.5. Кинематика вращения
1.38. Снаряд, летящий на большой высоте со скоростью V,
разрывается на осколки, которые в системе снаряда разлетаются в разные
1.50. Жесткий стержень AB движется в плоскости XOY, опираясь на
окружность, центр которой находится в начале координат (см. рисунок).
12
13
Задачи
1. Кинематика
Найти угловую скорость стержня, если его
конец B движется вдоль оси x с постоянной
скоростью V.
A
B
O
x
A
O
m
V
1.51. Стержень OA
(см. рисунок) равномерно вращается с угловой
скоростью ω вокруг точки O, расположенной на
окружности радиуса R. Определить скорость и ускорение колечка m, надетого на стержень и окружность.
1.52. Между двумя зубчатыми рейками зажата шестеренка радиусом
R =0,5 м. Ускорения реек a1 = 1,5 м/с2
и a2 = 2,5 м/с2 (см. рисунок). Найти поступательное и угловое ускорение шестеренки.
a2
1.58. Определить закон движения и траекторию точки, находящейся
на расстоянии r от оси диска радиусом R, катящегося без проскальзывания по горизонтальной плоскости со скоростью V.
1.59. Найти угловую скорость, угловое ускорение и мгновенную ось
вращения колеса автомобиля, когда он едет с постоянной по модулю
скоростью V по вогнутому мосту радиусом R. Радиус колеса r.
1.60. Найти мгновенный центр вращения эллиптического колеса,
которое катится по вогнутому мосту с постоянной кривизной.
1.61. Найти угловую скорость, угловое ускорение и мгновенную ось
вращения колеса трамвая при повороте. Колесо движется без проскальзывания с постоянной по модулю скоростью V по рельсу с радиусом
закругления R. Радиус колеса r.
a1
1.53. Стержень AB движется в плоскости XOY, опираясь своими
концами на взаимно-перпендикулярные прямые OX и OY. Найти координаты мгновенного центра вращения в момент, когда угол OAB равен 600.
1.54. По стенке дома затаскивают бревно длиной L, так что его
верхний конец движется вертикально вверх с постоянной скоростью V,
а нижний передвигается по земле. Найти угловую скорость и угловое
ускорение точек бревна в различные моменты времени.
1.55. Найти мгновенный центр вращеV
ния и угловую скорость жесткого стержня,
если известна величина и направление скоa
рости одного конца и направление вектора
скорости второго конца. Скорости концов
стержня лежат в одной плоскости (см. рисунок).
b
1.56. Конус, лежащий боковой поверхностью на горизонтальной
плоскости, катится по ней без проскальзывания, так что его вершина
неподвижна. Угол при вершине конуса α = 900.
w1
Центр основания конуса движется равномерно
и возвращается в начальное положение через 1 с.
Найти вектор углового ускорения конуса.
1.57. В конической зубчатой передаче (см.
рисунок) оси вращения шестерней неподвижны,
ω1 = 10 об/мин; α = 300, β = 600. Найти ω2.
14
w2
a
b
15
2. Релятивистская кинематика
небольшом расстоянии от космонавта по ходу корабля расположено
зеркало. Через какое время космонавт увидит свое изображение в зеркале
после включения источника света, расположенного рядом с космонавтом?
2.5. На ракете, летящей со скоростью, близкой к скорости света, произошла вспышка света. С точки зрения ракеты область, занятая фотонами,
представляет собой равномерно расширяющуюся сферу. Каким представляется волновой фронт от вспышки неподвижному наблюдателю?
2.6. За пять лет наблюдения с Земли светящийся объект, находящийся на расстоянии 105 св. лет, совершил видимое угловое перемещение
10−4 рад, т. е. его кажущаяся скорость перемещения равна удвоенной
скорости света. Найдите, под каким углом к линии наблюдения может
двигаться объект, чтобы его реальная скорость была меньше скорости
света. Какова минимально возможная скорость объекта?
2. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКА
2.7. Каким будет казаться земному наблюдателю время обращения
спутника Ио вокруг Юпитера? Как меняется это время в течение года?
Истинный период обращения Ио 42 часа.
2.1. Скорость света
2.2. События. Преобразования Лоренца
2.1. Две палочки, пересекающиеся под
углом α , движутся поступательно со скоростями V перпендикулярно своей длине (см.
рисунок). Найти скорость перемещения
точки пересечения палочек. Может ли она
превысить скорость света?
2.2. Фронт плоской волны падает под
углом α на плоскую поверхность AB (см.
рисунок). Найти скорость перемещения
точки F вдоль прямой AB. Можно ли считать эту скорость скоростью распространения некоторого сигнала вдоль прямой AB?
Может ли она превысить скорость света?
V
V
a
V
V
A
F
a
B
2.3. «Световой зайчик» от пульсара перемещается по поверхности
Земли со скоростью V =1020 м/с (угловая скорость вращения пульсара ω =
= 10 рад/с, расстояние до пульсара 1019 м). Можно ли скорость
перемещения «зайчика» рассматривать как скорость распространения
светового сигнала?
2.8. На концах стержня с собственной длиной L0, движущегося со
скоростью V, одновременно в системе стержня зажигаются две лампочки.
Какая из них загорится раньше (и насколько) в Л-системе отсчета? Какую
вспышку увидит раньше (и наA
B
сколько) неподвижный наблю- O
V
датель, находящийся в точке O
(см. рисунок)?
2.9. Масштаб A′B ′ собственной длиной L0 движется со скоростью V
вдоль такого же масштаба AB (см. рисунок). Часы, находящиеся на концах масштабов в точках A′ и B′ , A и B, синхронизованы в своих системах
отсчета. В момент совпадения точек B′ и A часы B′ и A показывали одинаковое время t = 0. Какое
A'
B'
время показывают каждые
V
часы в момент совпадения
точек A и A′ ; B и B′ ?
A
B
2.4. Космонавт находится в неосвещенном космическом корабле,
летящем относительно Земли со скоростью, близкой к скорости света. На
2.10. В точках 0 и 2L оси x одновременно происходят вспышки
света. В Л-системе отсчета фотоны этих вспышек «встречаются» в точках,
равноудаленных от вспышек, т. е. в вертикальной плоскости, проходящей
16
17
Задачи
2. Релятивистская кинематика
через точку x = L. Какой будет форма поверхности для точек встречи
фотонов в системе отсчета, движущейся вдоль оси x с релятивистской
скоростью V?
2.18. Из-за распада количество покоящихся нейтронов уменьшается
экспоненциально с постоянной времени 103 с. Какая доля нейтронов
с релятивистским фактором γ = 1010, стартовавших вместе с фотоном,
«останется в живых» к моменту, когда фотон достигнет края галактики
с размером 105 световых лет? Рассмотреть задачу с точки зрения
наблюдателя, движущегося вместе с нейтронами, и с точки зрения Лсистемы отсчета.
2.11. Квадратная (в собственной системе отсчета) платформа со
стороной L движется вдоль своей диагонали со скоростью V. В углах
платформы установлены зеркала. Отражаясь от них, по периметру платформы движется фотон. Найти период его движения в Л-системе отсчета.
2.12. Луч света движется через систему зеркал, расположенных в вершинах
квадрата со стороной L. Найти время
движения фотона через систему с точки
зрения наблюдателей, движущихся со
скоростью V = 0,8 с в направлениях,
указанных на рисунке.
V
V
2.13. Космический корабль удаляется от Земли со скоростью V. Через
время T после его старта с Земли посылают сигнал связи. Каково с точки
зрения космонавтов расстояние между Землей и кораблем в момент
получения сигнала?
V
2.14. Два космических корабля летят встречO
ными курсами со скоростями V = 0,5 c каждый.
V
При пролете мимо друг друга (в точке О рисунка)
их часы были синхронизованы. Через час после встречи (по своим часам)
один из кораблей посылает радиосигнал вдогонку другому. Какое время
покажут часы, установленные на втором корабле, в момент приема
посланного радиосигнала?
2.15. Космический корабль половину времени (по часам корабля)
двигался с релятивистской скоростью V1, а вторую половину – со
скоростью V2. Как далеко улетел корабль, если его путешествие по часам
на Земле длилось время T?
2.16. На сколько должна отличаться от скорости света скорость
образующихся на Солнце мюонов (время жизни 2·10−6 с), чтобы от
Солнца до Земли успевало долететь, не распавшись, 95 % частиц? Свет
идет от Солнца до Земли 500 с.
2.19. Стеклянный брусок длиной L движется со скоростью V параллельно своей грани. Одна из сторон бруска, перпендикулярная к скорости,
посеребрена. Сколько времени по часам неподвижного наблюдателя
потребуется свету, летящему параллельно V, чтобы пройти сквозь брусок,
отразиться от серебряной грани и выйти из бруска? Скорость света
в неподвижном бруске c/n (n – показатель преломления).
2.20. Источник света находится на расстоянии L от неподвижного
зеркала. По пути от источника к зеркалу свет проходит через стеклянную
пластинку толщиной L0 с показателем преломления n, движущуюся вдоль
луча со скоростью V. Найти время движения света от источника до
зеркала и обратно.
2.21. На какое расстояние сдвинется вертикальный луч света после прохождения через стеклянный брусок, летящий горизонтально со скоростью
V ≈ c (см. рисунок)? Какое время фотоны будут
находиться в бруске? Показатель преломления стекла n, толщина бруска d.
2.22. В вершине О прямоугольного треугольника АВО происходит вспышка света (см. рисунок). С какой скоростью и в каких направлениях
может двигаться наблюдатель, чтобы в его системе отсчета свет достиг точки В раньше, чем
точки А? АО = АВ = L.
V
O
A
B
2.17. В системе галактики фотон пролетает ее диаметр за время T =
=105 лет. Сколько времени потребуется фотону на это путешествие в
системе отсчета протона с релятивистским фактором γ = 1010, летящего
следом за фотоном? Как изменится результат, если протон летит
навстречу фотону?
2.23. В релятивистскую реку со скоростью воды V перпендикулярно
линии берега из точки А на берегу бросили камень, упавший в воду на
расстоянии а от берега. За какое время волна от камня достигнет берега?
Через какое время волна придет к точке А? Скорость волны в стоячей
воде u > V.
2.24. Координаты двух событий в Л-системе отсчета (r1 , t1 )
и ( r2 , t 2 ). В какой системе отсчета эти события одновременны? В какой
системе они одноместны? Сколько таких систем отсчета существует?
18
19
Задачи
2. Релятивистская кинематика
2.25. В центре сферы радиусом R произошла вспышка света. С точки
зрения наблюдателя, относительно которого сфера неподвижна, поверхность сферы освещается равномерно. Сколько времени сфера будет
освещена с точки зрения наблюдателя, относительно которого сфера
движется со скоростью V? Как соотносятся количества фотонов, поглощенных передней и задней частями сферы, с точки зрения этого наблююдателя?
2.30. Показать, что площадь поперечного сечения, проведенного
перпендикулярно направлению движения параллельного пучка света,
является релятивистским инвариантом.
2.26. Вдоль оси пенала длиной L, закрывающегося с торцов крышками А и В (см. рисунок a) со скоростью V движется карандаш.
Собственная длина карандаша L0 удовлетворяет условию L0 > L > L0/γ
(где γ – релятивистский фактор карандаша). Сначала крышка А пенала
открыта, а крышка В закрыта. Когда карандаш влетает в пенал, крышка А
закрывается, так что в течение некоторого времени карандаш находится
в закрытом пенале (рис. б). Затем открывается крышка В и карандаш
свободно вылетает из пенала. Опишите явление в системе отсчета
карандаша. Что изменится, если у пенала не открывать крышку В?
2.31. Между двумя линзами сформирован
пучок света, имеющий круглое сечение радиусом R и движущийся вертикально вниз (см.
рисунок). Перпендикулярно пучку вдоль оси x
со скоростью V движется диск такого же
V
радиуса (в собственной системе отсчета).
Плоскость диска перпендикулярна пучку. С точки зрения лабораторной системы отсчета диск
испытывает лоренцево сокращение и не может
перекрыть пучок света. Для наблюдателя на
диске сокращается сечение пучка и должен наступить момент полного
перекрытия света в фокусе второй линзы. Объясните парадокс.
A
B
A
B
V
б
a
2.27. Релятивистский трактор движется по полю с постоянной
скоростью V. Сидящий в кабине тракторист насчитал на каждой половине
гусеницы по N траков. Сколько траков насчитает на верхней и нижней
половинах гусеницы неподвижный наблюдатель?
2.28. Релятивистский танк движется по направлению к крепости со
скоростью V. Он выпускает n снарядов в секунду (по часам стрелка).
Скорость снарядов относительно танка u. Сколько снарядов в секунду
попадает в крепость (по часам гарнизона в крепости)?
2.29. В пучок релятивистских электронов, движущихся со скоростью V и имеющих плотность частиц n− , добавлено некоторое количество
d
2.32. Параллельный пучок света падает на решетку, состоящую из
брусков сечением a x d с расстоянием
между брусками b (см. рисунок).
Какая часть падающего света сможет
пройти через решетку, если ее двигать
V перпендикулярно пучку с релятивистa
ской скоростью V?
b
2.33. Что получится при моментальном фотографировании быстролетящих параллелепипеда, шара? Фотографирование производится в параллельных лучах света, падающих перпендикулярно фотопластинке.
2.3. Сложение скоростей
2.34. Две частицы движутся вдоль оси x навстречу друг другу со
скоростями V1 и V2. Найти скорость сближения частиц в Л-системе
отсчета и сравнить ее с относительной скоростью частиц.
2.35. Один из двух одинаковых стержней покоится, а другой
движется вдоль него со скоростью V. В какой системе отсчета длины
стержней будут равными?
неподвижных однозарядных ионов с концентрацией n+ < n− , так что в Лсистеме отсчета пучок заряжен отрицательно. Найти плотность частиц
каждого сорта в системе отсчета, связанной с электронами. При каком
условии суммарная плотность заряда в этой СО будет положительной, т. е.
электроны будут стягиваться к оси пучка?
2.36. Массивная плита, движущаяся перпендикулярно своей
плоскости со скоростью c/2, налетает на легкую неподвижную частицу.
Найти скорость частицы после упругого столкновения с плитой.
20
21
2.37. В ускорителе на встречных пучках ток электронного пучка
равен току позитронного, а плотность электронов в системе отсчета
Задачи
2. Релятивистская кинематика
позитронного пучка в N раз больше, чем плотность позитронов. Какова
скорость пучков? Лабораторная геометрия пучков одинакова.
2.38. Системы отсчета S1 и S2 движутся вдоль оси x со скоростями V1 и V2 относительно системы S. На часах, покоящихся в системе S1,
секундная стрелка совершает один оборот. Сколько времени длится этот
оборот с точки зрения системы S2?
2.39. Космический корабль, летящий к Земле со скоростью V = 0,6 c,
посылает к Земле ракету связи, движущуюся относительно корабля со
скоростью u = 0,8 с. Через какое время по часам корабля и Земли ракета
встретится с Землей, если в момент ее старта корабль находился на
расстоянии 5 св. лет от Земли (в СО Земли)?
2.40. Найти скорость распространения света относительно покоящегося наблюдателя, если луч движется в среде с показателем преломления n, которая движется относительно наблюдателя со скоростью V
(опыт Физо).
2.41. Релятивистский эскалатор, движущийся со скоростью V = с/3,
имеет N ступенек. Пассажир, опаздывающий на поезд, сбегает по эскалатору со скоростью u = c/2 ( относительно эскалатора), не пропуская ни
одной ступеньки. Сколько шагов сделает пассажир по эскалатору?
2.42. Ширина релятивистской реки 2L = 2 км, скорость воды у берега
равна нулю и нарастает к середине реки. Найти скорость течения в центре
реки, полагая, что в пределах узкой полоски шириной ∆x в системе
отсчета ближайшего к берегу края полоски скорость воды нарастает
линейно по закону ∆V = α ∆x , где α = 3·105 с−1.
2.43. Найти скорость одинаковых частиц в системе центра масс, если
в Л- системе отсчета их скорости параллельны, но не равны по величине.
2.44. Найти скорость двух одинаковых частиц в системе центра масс,
если в Л-системе отсчета их скорости V1 и V2 .
2.45. Из двух точек, разделенных расстоянием L, одновременно вылетают две частицы с перпендикулярными друг другу одинаковыми по
величине скоростями V (см. рисунок). Найти
минимальное расстояние между частицами:
а) в Л-системе отсчета;
б) в системе одной из частиц.
22
V
V
1
2
V
a
V
2.46. Два пучка частиц, летящих со
скоростью V, пересекаются под углом α
(см. рисунок). Найти плотность частиц
в зоне пересечения пучков в системе
отсчета одного из пучков. Плотность каждого из пучков в Л-системе равна n.
2.47. Цилиндрический пенал сечением S и собственной длиной L0
движется с релятивистской скоростью V навстречу неподвижному облаку
пыли плотностью ρ. Когда первые пылинки прилипают к дну пенала В
(см. рисунок), по его стенкам начинает распространяться упругая волна,
движущаяся относительно пенаA
ла со скоростью u. Когда волна
достигает переднего конца пенала, его крышка А закрывается.
B
Сколько вещества окажется внуV
три пенала?
2.4. Направление движения. Преобразование углов
2.48. На берегу релятивистской реки, текущей со скоростью V, стоит
мальчик и кидает в воду камни. Под каким углом к линии берега он
должен кидать камни, чтобы до него доходили волны от места падения?
Скорость волн в стоячей воде равна u.
2.49. Катер, имеющий относительно воды скорость u, движется из
пункта А в пункт В, находящийся строго напротив на другом берегу
релятивистской реки шириной L, текущей со скоростью V. За какое время
он пересечёт реку?
2.50. Скорость течения релятивистской реки V = 0,6 c, скорость релятивистского пловца относительно воды u' = 0,8 c. За какое минимальное
время в системе отсчета берега пловец может переплыть реку, если ее ширина 103 м? Каким будет минимальное время в системе отсчета пловца?
A
2.51. Прозрачная пластинка с показателем преломления n, толщиной d
V
n
движется параллельно своей плоско- d
сти с релятивистской скоростью V. В
X
точке А, расположенной снаружи от
пластинки, произошла вспышка света. В какую точку Х Л-системы отсчета, расположенную на другой стороне пластинки (см. рисунок), свет
23
Задачи
2. Релятивистская кинематика
дойдет раньше всего? Свет в пластинке распространяется со скоростью с/n.
будет длина стержня и под каким углом к полу он будет расположен
с точки зрения наблюдателя, движущегося по полу со скоростью V параллельно плоскости падения стержня?
2.52. На противоположных берегах релятивистской реки со скоростью течения V и шириной L находятся пункты A и B. Пункт A расположен ниже по течению пункта B на расстоянии S в системе берега. Под
каким углом к берегу должен плыть релятивистский пловец, чтобы
попасть из B в A? Скорость пловца относительно воды u'. Рассмотреть
задачу в системе отсчета берега и в системе отсчета воды.
2.53. Луч света падает вертикально к поверхности стеклянного прямоугольного бруска (см. рисунок), движущегося вдоль горизонтальной оси со
скоростью V. Найти угол к вертикали, под которым
V
луч выйдет через боковой торец бруска после преломления, и условие, при котором свет выйдет из
бруска. Показатель преломления стекла n. Закон преломления света на
границе двух сред в системе бруска n1 sin α1 = n2 sin α2.
2.54. При быстром движении наблюдателя относительно небосвода
в передней полусфере насчитывается в N раз больше звезд, чем в задней.
Определите скорость этого движения, если для неподвижного наблюдателя звезды распределены по небу изотропно.
y
V
q
2.60. Стержень движется со скоростью
V = 0,6 c вдоль оси y, причем его ось наклонена под углом θ = 45o к оси x (см. рисунок).
Каким будет угол наклона стержня для
наблюдателя, движущегося со скоростью u =
x = 0,8 c вдоль оси x?
Два стержня с собственной
2.61.
длиной L0, ориентированные перпендикулярно друг другу, движутся с одинаковыми
по величине скоростями V вдоль своей
длины (см. рисунок). Какова длина одного
из стержней в системе отсчета другого
стержня? Каким будет результат в случае,
если стержни движутся перпендикулярно своей длине?
2.55. Звезда, летящая со скоростью V порядка c, «сбрасывает» часть
своего вещества, причем в системе отсчета звезды осколки разлетаются
изотропно со скоростью u'. В какой телесный угол по ходу движения
звезды будет лететь половина сбрасываемого вещества (с точки зрения
неподвижного наблюдателя)? Какая часть сбрасываемого вещества будет
лететь вперед по ходу движения звезды?
2.56. Найти изменение направления скорости частицы при переходе
в движущуюся систему отсчета.
2.57. Космический корабль начинает двигаться, сохраняя постоянным угол α < π/2 между вектором скорости корабля V и направлением на
радиомаяк (в своей системе отсчета). При каких значениях скорости
корабль будет приближаться к маяку? За какое время корабль совершит
полный оборот вокруг маяка, если начальное удаление от маяка было R?
2.58. Найти форму видимой кривой, которую описывает на небосводе очень удаленная звезда вследствие годичной аберрации.
2.59. Стержень длины L падает на пол со скоростью u (ускорением
пренебречь), так что его концы достигают пола одновременно. Какой
24
25
V
V
3. Энергия-импульс
пература» квантов реликтового излучения 3·10−3 эВ, плотность энергии
6·10−14 Дж/м3.
3.7. Плотность мощности солнечного излучения на орбите Земли
имеет величину W = 1,4 кВт/м2. Насколько меняется масса Солнца
в единицу времени за счет излучения света?
3.8. Давлением лазерного луча зеркало удерживается в поле тяжести. Какова масса зеркала, если мощность лазера 200 кВт?
3.2. Преобразования энергии-импульса. Эффект Доплера
3. ЭНЕРГИЯ-ИМПУЛЬС
3.1. Масса, энергия и импульс релятивистских частиц
эВ
3.1. Вычислить скорость и импульс электронов (в
), если их
с
кинетическая энергия равна:
а) 5 кэВ (трубка осциллографа);
б) 3 МэВ (электростатический ускоритель Ван-де-Граафа);
в) 50 ГэВ (Стэнфордский линейный ускоритель).
3.9. Лазер испускает импульс света длительностью T и полной
энергией E, который отражается от идеального зеркала, приближающегося к лазеру со скоростью V. Каковы энергия и длительность
светового импульса после отражения? Свет падает по нормали
к поверхности зеркала.
3.10. Фотон движется между двумя параллельными зеркалами, одно
из которых неподвижно, а другое приближается к первому со скоростью
V c. Фотон движется по нормали к зеркалам. Как изменится энергия
фотона при уменьшении расстояния между зеркалами в два раза?
Изобразить движение фотона на фазовой плоскости. Как изменяется
площадь, ограниченная его фазовой траекторией?
3.2. Заряженные π-мезоны с импульсом 54 МэВ/с пролетают
в среднем расстояние L = 3 м (от момента рождения до распада). Найти
собственное время жизни π-мезонов. Масса π-мезона 140 МэВ.
3.11. На космическом корабле, удаляющемся от Земли со скоростью
V = c/2, вышла из строя энергетическая установка. Чтобы обеспечить
корабль энергией, с Земли посылают лазерный луч. Какова должна быть
мощность лазера, если на борту корабля потребляется мощность N?
3.3. Энергия каждого из протонов в накопительном кольце равна
2·1013 эВ, средний ток пучка 70 мА. Какая мощность будет выделяться,
если этот пучок направить на поглощающую мишень? Сколько энергии
выделится в мишени, если дорожка накопителя имеет длину 87 км?
Пучок заполняет камеру равномерно по ее длине.
3.12. На космическом корабле, удаляющемся от Земли со скоростью V порядка с, включают передатчик мощностью N. Какова максимальная мощность сигнала, принимаемого на Земле антенной площадью πr2? В момент включения передатчика корабль находился на
расстоянии L r.
3.4. Найти давление, производимое пучком электронов с кинетической энергией 3 МэВ и током 1 А, сфокусированным на поглощающей
мишени в пятно площадью 1 мм2.
3.13. Пучок электронов со средней энергией частиц 50 ГэВ и относительным разбросом энергий ± 1 % движется вдоль оси x Л-системы
отсчета. Какова максимальная кинетическая энергия электронов в сопровождающей пучок системе отсчета?
3.5. Оценить давление света, излучаемого настольной лампой, на
лежащий под ней лист бумаги.
3.6. Оцените энергию и давление реликтового излучения, считая, что
оно равномерно заполняет Вселенную размером 1,3·1010 св. лет. «Тем-
3.14. Электроны в пучке имеют среднюю энергию 100 кэВ и энергетический разброс ± 1 эВ. Каков разброс энергий электронов (Te) в сопровождающей пучок системе отсчета?
26
27
Задачи
3.15. Найти скорость центра инерции для системы частиц с импу
льсами p k и энергиями Ek.
3.16. Докажите, что суммарная кинетическая энергия ансамбля
невзаимодействующих частиц имеет минимальную величину в системе
центра масс.
3.17. В 1929 г. Э. Хаббл установил, что галактики разбегаются
с относительными скоростями V = H·r, пропорциональными расстояниям r между ними, где константа Хаббла H = 71 (км/с)/Мпарсек. Найти
расстояние до галактики, если известно, что спектр приходящего от нее
излучения при 10 %-м сжатии шкалы длин волн совпадает со спектром
излучения нашей галактики.
3.18. Определите скорость и рабочую длину волны радиомаяка
НЛО, если при его приближении к Земле принимаемая частота
радиосигнала была ν, а при удалении – ν/4.
3.19. Космический корабль, летящий со скоростью V1, посылает
сигнал частотой ν1 и после его отражения от летящего навстречу другого
космического корабля принимает сигнал частотой ν2 (частоты даны в системе отсчета первого корабля). Найти скорость второго корабля.
3.20. Источник света, движущийся горизонтально со скоростью
V = 0,6 c на расстоянии R от пола, приблиV
жается к стенке высотой H = 0,5 R (см.
рисунок). В какую точку на полу за стенкой
R
свет придет быстрее всего? Свет какой частоты увидит наблюдатель в этой точке
R/2
в момент появления света? Частота света
в системе отсчета источника ω0.
3.21. Релятивистский трактор движется со скоростью V навстречу
неподвижному локатору. Определить максимальную и минимальную
частоту сигналов, возвращающихся к локатору после однократного
отражения от гусениц трактора. Частота сигнала локатора ν0.
3.22. Источник света с частотой ν0 движется со скоростью V в неподвижной среде с показателем преломления n мимо неподвижного наблюдателя. Какую частоту будет регистрировать наблюдатель при приближении источника света и при его удалении?
3.23. Две подводные лодки движутся навстречу друг другу с релятивистскими скоростями V1 и V2 относительно воды. Радары лодок имеют
одинаковую собственную частоту ν 0 , скорость сигнала в воде равна c n . Какова частота сигналов, принимаемых на лодках?
28
3. Энергия-импульс
3.24. Для определения скорости
космического объекта, пролетающего мимо
Земли, его зондируют лазерным лучом
с частотой фотонов ν0. Определите скорость
объекта по частоте νH фотонов, «вернувшихся» к наблюдателю, и по углу θ между
направлением движения объекта и лучом
света (см. рисунок).
V
q
3.25. Ракета летит со скоростью V через скопление, состоящее из N
одинаковых, равномерно распределённых звёзд. Сколько звёзд, по
мнению экипажа, уменьшило длину волны своего излучения более чем
в два раза по сравнению с результатами наблюдений из неподвижного
корабля?
3.26. Луч света, параллельный оси x, отражается от массивного
зеркала, движущегося вдоль оси x. Какова скорость и угол наклона
зеркала, если частота света при отражении уменьшается в 2 раза,
а отраженный луч движется по нормали к оси x?
3.27. Найти изменение направления движения фотона при
отражении от массивного зеркала, движущегося со скоростью V перпендикулярно своей плоскости.
3.28. Уголковый отражатель сделан из двух массивных зеркал,
соединенных под углом 900 (см. рисунок).
Луч света, падающий под любым углом на
неподвижный отражатель, меняет направq
V
ление движения на противоположное.
Какими будут частота и угол отражения
света, если отражатель движется со скоростью V вдоль оси x, а падающий луч –
под углом θ к оси x? Частота падающего
света ν0.
3.29. Система зеркал, закрепленных
под углом 900 друг к другу, движется со
скоростью V = c/2 перпендикулярно лучу
света частотой ν (см. рисунок). Какова
энергия фотонов, испытавших двойное
отражение от зеркал? Под каким углом
будет двигаться свет после двойного отражения от зеркал?
29
V
Задачи
V
3.30.
Идеальное зеркало движется со
скоростью V = 0,6 c через световой поток
с плотностью энергии W = 10−2 Дж/м3. Плоскость зеркала параллельна направлению движения фотонов (см. рисунок). Найти давление
света на зеркало.
3.31. Идеальное двухстороннее зеркало ускоряется лучом лазера.
Какой будет установившаяся скорость зеркала, если с противоположной
стороны его тормозит луч второго лазера в четыре раза меньшей
мощности? Свет падает по нормали к поверхности зеркала.
4. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ
И ИМПУЛЬСА
4.1. Распад частиц
4.1. Пучки мюонов получают при распаде заряженных π-мезонов
на мюон и нейтрино. На каком удалении от мишени, генерирующей
ГэВ
поток π-мезонов импульсом 10
, примесь π-мезонов к потоку
с
мюонов становится меньше 50 % ? Масса заряженного π-мезона 140
МэВ, время жизни 2,6·10−8 с.
4.2. Найти энергию π0-мезонов, распадающихся по схеме π0 →
γ + γ, если счетчик, расположенный по направлению их движения,
регистрирует γ-кванты распада с энергией 270 МэВ. Масса π0-мезона
135 МэВ.
4.3. Найти энергию π0-мезонов, распадающихся по схеме π0 →
γ + γ, если энергия летящих назад γ-квантов распада 10 МэВ. Масса
π0-мезона 135 МэВ.
4.4. Релятивистский снаряд скоростью V = 0,6 c и массой M разрывается на лету на N осколков с нулевой массой. Какова максимально
возможная энергия одного из осколков, если в системе отсчета снаряда
распад изотропен? Сравните со случаем, когда распад в системе снаряда
не изотропен.
4.5. Энергия возбуждения ядра Fe57 равна 14,4 кэВ. На сколько
отличается от энергии возбуждения энергия фотона, испущенного
30
31
Задачи
незакрепленным возбужденным ядром? Какова скорость ядра после
испускания фотона?
4.6. Летящий π-мезон распадается на мюон и нейтрино: π+ → µ+ +
+ νµ. Найти энергию π-мезонов, если известно, что максимальная
энергия рождающихся при распаде нейтрино в α = 100 раз больше
минимальной. Масса π+-мезона 140 МэВ. Массу нейтрино считать
равной нулю.
4.7. При распаде π-мезонов на мюоны и нейтрино: π+ → µ+ + νµ
максимальные импульсы регистрируемых мюонов в α = 10 раз больше
минимальных. Найти энергию π-мезонов. Мπ+ = 140 МэВ, mµ = 105 МэВ.
4.8. Покоящийся φ-мезон распадается на две частицы: φ → X + γ.
X-частица в свою очередь распадается на два γ-кванта: Х → 2γ.
Известно, что отношение максимальной и минимальной энергий этих
двух квантов равно α = 3,47. Найти массу Х-частицы. Масса φ-мезона
1020 МэВ.
4.9. π0-мезон распадается на два γ-кванта. Найти энергию распадающихся π0-мезонов, если счетчик, расположенный под углом 450 к направлению их движения, регистрирует γ-кванты с энергией 27 МэВ.
4.10. Найти массу J/ψ-мезона, распавшегося на электрон и позитрон с одинаковыми энергиями 3,1 ГэВ и углом разлета 600 .
4.11. Какова энергия π+-мезонов, распадающихся на лету по схеме
π → µ+ + ν, если энергия образовавшегося мюона Еµ = 300 МэВ, а угол
разлета образовавшихся частиц θ = 600. Мπ+ = 140 МэВ, Mµ = 105 МэВ.
+
4.12. π0-мезон распадается на лету на два γ-кванта, углы вылета
которых составляют соответственно θ1 и θ2 с начальным направлением
движения π0-мезона. Найти энергию π0-мезона, если его масса равна М.
4.13. Определить угловой размер конуса, в который попадает половина γ-квантов, образующихся при распаде π0-мезонов с энергией E =
= 1010 эВ. Масса π0-мезона 135 МэВ. Найти минимальную и максимальную энергию квантов, попавших в этот конус.
4.14. Определить угловой размер конуса, в который полетят
осколки разрывного снаряда, летящего со скоростью 0,99 c. Масса
снаряда M. Снаряд разлетается на N осколков массой M /3N каждый.
4.15. Пучок π0-мезонов, летящих со скоростью V = 0,5 c, распадается по схеме π0 → γ + γ. Во сколько раз суммарная энергия образо32
4. Законы сохранения энергии и импульса
вавшихся фотонов, летящих в переднюю полусферу (по направлению
движения пионов), больше, чем суммарная энергия фотонов, летящих
назад? В системе отсчета π0 -мезонов распад изотропен.
4.16. Гиперон распадается на нейтрон и π-мезон. При какой минимальной энергии пучка гиперонов будут отсутствовать π-мезоны, летящие навстречу пучку? Масса гиперона 1,2 ГэВ, нейтрона 940 МэВ, πмезона 140 МэВ.
4.17. π-мезон с энергией 500 МэВ распадается на мюон и нейтрино.
Найти максимальный угол вылета мюона по отношению к направлению
движения π-мезона. Масса π-мезона 140 МэВ, мюона 105 МэВ.
4.18. Найти связь между углами вылета θ1 и θ2 в Л-системе при
распаде на две частицы.
4.19. Частица, летящая со скоростью V, распадается на две частицы.
Найти связь между углами вылета и энергией образовавшихся частиц.
4.20. Летящий каон распадается по схеме K+ → π+ + π+ + π−. На
какое максимальное расстояние от линии движения каона успевают удалиться π-мезоны за время своей жизни? При какой минимальной
энергии пучка каонов будут отсутствовать π-мезоны, летящие навстречу
пучку? Собственное время жизни π+-мезона τ = 2,6·10−8 с, его масса Mπ+
= 140 МэВ, масса каона МK = 494 МэВ.
4.21. Определить интервал значений, которые может принимать
угол между направлениями вылета распадных частиц равной массы в Лсистеме при распаде на две частицы.
4.22. При распаде каонов с энергией 510 МэВ по схеме
K 0 → π + + π − минимальный угол разлета π-мезонов равен 1500.
Определите массу каона.
4.23. Kаон с энергией 1010 эВ и массой 5·108 эВ распадается по
схеме K 0 → π + + π − . Найти максимальный угол разлета π-мезонов.
Какова при этом относительная скорость π-мезонов?
4.24. Метастабильная молекула, обладающая внутренней энергией E
и кинетической энергией Т, распадается на две частицы массы m1 и m2.
Определить диапазон возможных направлений движения частиц в лабораторной системе.
4.25. Неподвижный φ-мезон распадается на фотон и Х-частицу, которая в свою очередь распадается на два фотона: φ → Х + γ → 2γ + γ.
Минимальный угол разлета двух фотонов при распаде Х-частицы θmin =
=113°. Найти массу Х-частицы, если масса φ-мезона 1020 МэВ.
33
Задачи
4.26. Каоны, летящие в пучке со скоростью V = 2/3 с, распадаются
на мюон и нейтрино. Найти отношение числа мюонов, вылетающих
в одинаковые малые телесные углы вперед и назад относительно
направления движения каона. Масса каона 494 МэВ, мюона – 105 МэВ,
массу нейтрино считать равной нулю. Каким будет это отношение для
нейтрино?
4. Законы сохранения энергии и импульса
разлёта γ-квантов в двух разных парах составили 1200 и 1500. Найти
энергии всех трёх γ-квантов. Энергией связи электрона и позитрона
в атоме позитрония пренебречь.
4.2. Неупругие столкновения. Пороги рождения частиц
γ-квантов распада π 0 → γ + γ . Нарисовать регистрируемое распределение γ-квантов по энергиям.
4.35. При столкновении встречных пучков электронов и позитронов с энергиями 300 МэВ возможна реакция e+ + e− → 2π . Каждый
из образующихся π-мезонов затем распадается на два γ-кванта. Найти
максимальную энергию образующихся γ-квантов.
4.28. Найти распределение распадных частиц по энергиям в Л-системе, если в Ц-системе угловое распределение имеет вид dN ∼
4.36. Счетчик, предназначенный для регистрации π-мезонов, рождающихся при столкновении электронов и позитронов в установке со
4.27. Место распада монохроматического пучка π0-мезонов с энергией 1 ГэВ окружено счетчиками, регистрирующими энергии всех
∼ sin 2 θ d Ω , где θ – угол между скоростью V первичной частицы и направлением вылета распадной частицы в Ц-системе. Скорость распадных
частиц в Ц-системе равна V0.
4.29. Какая доля γ-квантов, рождающихся при распаде летящих
параллельно π0-мезонов с энергией 10 ГэВ на два γ-кванта, имеет
энергии, отличающиеся от максимальной не более чем на 10 %?
Определить угловой раствор конуса, в который попадают γ-кванты.
4.30. Для нейтрино ν, образующихся при распаде π-мезонов с энер-
встречными пучками (по реакции e + + e − → π + + π − ), удален на 6 м от
места встречи. Во сколько раз нужно увеличить показания счетчика,
чтобы скомпенсировать распад π-мезонов за время пролета до счетчика,
если энергия частиц в каждом пучке 280 МэВ? Масса π-мезона 140 МэВ,
время жизни 2,6·10−8 с.
4.37. Доказать, что излучение и поглощение света свободным
электроном в вакууме невозможно. Возможна ли однофотонная аннигиляция электрон-позитронной пары по схеме e + + e − → γ ?
гией 6 ГэВ ( π + → µ + + ν ), определить энергетический спектр, максимальную и среднюю энергию, а также угловое распределение в лабораторной системе отсчета, если известно, что в системе отсчета π-мезона распад изотропен. Массу нейтрино считать равной нулю.
4.38. Найти угол симметричного разлета
фотонов α (см. рисунок), получающихся при
аннигиляции покоящегося электрона с движущимся позитроном.
4.31. Определить наибольшую кинетическую энергию, которую
может получить частица с массой m1, образуемая при распаде
неподвижной частицы массой M на несколько осколков с суммарной
массой m.
4.39. До какой энергии нужно ускорить позитроны, чтобы на
мишени из покоящихся электронов проявлялись эффекты, возможные
на установке со встречными электрон-позитронными пучками при
энергии частиц в каждом пучке 20 ГэВ?
4.32. Найти максимальную энергию электрона, возникающего при
распаде неподвижного мюона: µ − → e + ν +ν .
4.40. Антипротон при столкновении с неподвижным протоном
4.33. При какой максимальной энергии мюона электрон, получающийся при распаде µ − → e + ν +ν , будет покоиться в лабораторной
системе отсчета?
4.34. Неподвижный атом позитрония (связанная кулоновскими
силами электрон-позитронная пара) аннигилирует в три γ-кванта. Углы
34
V
a
образует электрон-позитронную пару: p + + p − → e + + e − . Какова энергия образовавшегося электрона, если он движется перпендикулярно
направлению первоначального движения антипротона?
4.41. При какой энергии протонов становится возможным рождение J/ψ -мезонов с массой 3,1·109 эВ на мишени из неподвижных
протонов по схеме
p + + p + → p + + p + + J /ψ ? При какой энергии
35
Задачи
электронов и позитронов наблюдается рождение J/ψ -мезона в экспериментах на встречных электрон-позитронных пучках?
4.42. Найти пороговую энергию рождения электрон-позитронной
пары при столкновении γ-квантов с разными энергиями: γ + γ →
→ e + + e − . Энергия «холодного» γ-кванта 1 эВ.
4.43. Какова суммарная кинетическая энергия нуклонов, образующихся в реакции γ + d → n + p при пороговой для этой реакции энергии
γ-квантов? Энергия связи дейтрона 2 МэВ.
4.44. При облучении неподвижной водородной мишени π − -мезонами идет реакция π − + p → γ + n . Найти максимальную энергию γкванта, если кинетическая энергия π-мезона 300 МэВ, масса 140 МэВ.
4.45. Определить скорости протона и π-мезона (масса 135 МэВ),
образующихся при столкновении фотона с первоначально покоившимся
протоном γ + p → π + p . Фотон имел пороговую для этой реакции
энергию.
4.46. Движущееся возбужденное ядро массой M и энергией возбуждения E испускает γ-квант. При какой скорости ядра испущенный γквант может возбудить аналогичное неподвижное ядро, находящееся
в основном состоянии, до энергии возбуждения E?
4.47. При каких энергиях π-мезона γ-квант, полученный при распаде π → γ + γ и летящий назад, может при столкновении с тяжелым
ядром образовать электрон-позитронную пару?
4.48. Найти максимальную и минимальную энергию, уносимую
нейтрино в реакции взаимодействия электрона с энергией E и неподвижного протона: e + p → n + ν . Массу нейтрино считать равной
нулю.
4.49. Найти порог рождения пары протон-антипротон при столкновении электрона и позитрона, скорости которых в лабораторной системе
равны по величине и перпендикулярны.
4.50. Электрон и позитрон с энергией 5 ГэВ каждый сталкиваются
и рождают протон и антипротон: e + + e − → e + + e − + p + + p − . При каких
значениях угла между импульсами электрона и позитрона это возможно?
36
4. Законы сохранения энергии и импульса
4.51. Две частицы массами m1 и m2, летящие со скоростями V1
и V2 , слипаются в одну. Найти массу и скорость образовавшейся
частицы.
4.52. Электрон с кинетической энергией 1 МэВ аннигилирует при
столкновении с покоящимся позитроном. Один из двух образовавшихся
при аннигиляции γ-квантов вылетает перпендикулярно направлению
движения электрона. Найти направление вылета и энергию второго γкванта.
4.53. Предполагается, что протоны космических лучей из удаленных источников не доходят до Земли, если их энергия больше
некоторой, так что они поглощаются при столкновениях с фотонами
реликтового излучения в пороговой реакции p + γ → ∆ + . Найти величину пороговой энергии, если масса ∆+ резонанса равна 1232 МэВ.
Масса протона 938 МэВ, энергия фотона реликтового излучения Eγ =
= 3⋅10−4 эВ.
4.54. На встречных электрон-позитронных пучках происходит ре-
акция e + + e − → π + + π − + γ . При какой минимальной энергии встречных пучков энергия образующегося γ-кванта будет больше 50 МэВ?
Масса π-мезона 140 МэВ.
4.55. При столкновении встречных электрон-позитронных пучков
с неодинаковыми энергиями образуется ϒ -мезон массой 10,58 ГэВ,
который распадается на два B-мезона: e + + e − → ϒ → 2 B . При какой
минимальной разнице энергий встречных пучков оба B-мезона будут
двигаться в одну сторону? Какой при этом будет энергия ϒ -мезона?
Масса B-мезона 5,28 ГэВ.
4.56. Во встречных электрон-позитронных столкновениях наблюдается процесс рассеяния с излучением фотона: e+ + e− → e+ + e− + γ .
Электрон и позитрон разлетаются под углами θ1 и θ2 по отношению
к линии движения фотона. Найти энергию фотона, если энергии частиц
встречных пучков Е. Все электроны и позитроны ультрарелятивистские.
4.57. В электрон-позитронных столкновениях с различной энергией
встречных пучков Е2 ≠ Е1 происходит процесс e + + e − → ψ ′ → τ + +τ − .
Масса Ψ ′ -мезона 3,7 ГэВ. Масса τ-лептона 1,8 ГэВ, время жизни
τ = 3⋅10−13 с. Каким должно быть отношение энергий встречных пучков
к = Е2 / Е1, чтобы в случае симметричного разлета τ-лептоны успевали
отлететь от места рождения в среднем на расстояние L = 5⋅10−5 м?
37
Задачи
4.58. Пучок фотонов с энергией E0 сталкивается со встречным пучком фотонов различных энергий. В результате одного из столкновений
рождается частица, которая распадается на два фотона. Найти массу
этой частицы, если один из образовавшихся при распаде фотонов
вылетел с энергией E1 под углом 900 к направлению движения исходного
пучка фотонов. Какова была энергия встречного фотона?
4. Законы сохранения энергии и импульса
льно покоившимся нейтроном? Масса α-частицы в 4 раза больше массы
нейтрона.
4.67. Частица массой m испытывает упругое столкновение с неподвижной частицей массой M. Выразить угол рассеяния в Ц-системе через
угол рассеяния первой частицы в Л-системе (нерелятивистский случай).
4.59. Найдите мощность фотонных двигателей ракеты, необходимую для поддержания ее равномерного движения со скоростью 0,99 c
через межзвездный водородный газ плотностью 106 м−3. Поперечное
сечение ракеты 40 м2, столкновения с водородом считать неупругими.
4.68. Поток нерелятивистских моноэнергетических нейтронов в результате однократных упругих столкновений рассеивается на первоначально покоившихся протонах. Считая рассеяние изотропным в Ц-системе, найти долю нейтронов, рассеявшихся в Л-системе на угол,
больший 600.
4.60. Ракета с фотонным двигателем движется в облаке «космической пыли». Вся пыль, встречающаяся на пути ракеты, улавливается
и используется как топливо при аннигиляции с таким же количеством
антивещества в фотонных двигателях. Найти предельную скорость
ракеты.
4.69. Моноэнергетический пучок нейтронов с кинетической энергией 1 МэВ упруго рассеивается на первоначально покоившихся
ядрах He4. Найти функцию распределения рассеянных нейтронов по
энергиям в Л-системе, если в Ц-системе рассеяние изотропно. Определить среднюю энергию однократно рассеянных нейтронов.
4.3. Упругие столкновения
4.61. Частица массой m1 налетает на покоившуюся частицу массой m2. При каком условии налетающая частица после упругого
лобового столкновения будет двигаться назад? Рассмотреть нерелятивистский и релятивистский случаи.
4.62. Какую максимальную энергию может передать частица массой m с кинетической энергией T при упругом столкновении с первоначально покоившейся частицей массой M? Рассмотреть нерелятивистский и релятивистский случаи.
4.63. Найти минимальную кинетическую энергию, которая может
остаться у частицы массой m1 после упругого столкновения с покоящейся частицей массой m2 в а) нерелятивистском и б) релятивистском
случаях.
4.70. Определить энергию электрона, если при лобовом столкновении с фотоном реликтового излучения с энергией 3·10−4 эВ он
отдает половину своей энергии.
4.71. Электрон испытывает лобовое столкновение с неподвижным
протоном и передает ему половину своей энергии. Найти начальную
энергию электрона.
4.72. Какую максимальную энергию могут приобрести фотоны
с энергией 2 эВ при рассеянии на встречном пучке электронов с энергией 1010 эВ?
4.73. Ультрарелятивистский электрон сталкивается с неподвижным
электроном. Найти его энергию, если известно, что после рассеяния оба
электрона имеют ультрарелятивистские энергии и летят под малыми
углами θ1 и θ2 к линии первоначального движения электрона. Найти
энергии электронов после рассеяния.
4.64. Какую энергию получает покоившийся протон после рассеяния электрона с энергией 1 ГэВ на угол 10−3 рад?
4.74. Фотон с энергией E сталкивается с покоящимся электроном.
Найти энергию фотона, рассеянного на угол θ. На сколько изменится
длина волны фотона при таком столкновении?
4.65. Нерелятивистская частица массой m1, скоростью V упруго
сталкивается с неподвижной частицей массой m2. Выразить скорость
каждой из частиц после столкновения через угол ее рассеяния в Лсистеме.
4.75. Фотон с энергией 10 эВ рассеивается на угол 90o на
электроне, летящем навстречу. Найти энергию рассеянного фотона,
если кинетическая энергия электрона была: a) 100 эВ; б) 10 ГэВ.
4.66. На какой максимальный угол может отклониться α-частица
с кинетической энергией 1 МэВ при упругом столкновении с первонача38
4.76. На какой максимальный угол может отклониться релятивистский протон при столкновении с первоначально неподвижным
электроном?
39
Задачи
4.77. Определить минимальный угол разлета релятивистских
частиц после упругого столкновения, если массы обеих частиц одинаковы, а одна из частиц до удара покоилась.
4.78. Два фотона с энергиями E1 и E2 сталкиваются под углом α
друг к другу и рассеиваются с изменением своих энергий. Чему равна
минимальная и максимальная энергия у рассеянных фотонов? Найдите
минимальный угол между рассеянными фотонами.
4.79. В системе отсчета, движущейся со скоростью V порядка с
относительно Л-системы, два электрона летели навстречу друг другу
с энергией E ′ каждый и рассеялись на малый угол θ ′ . Найти изменение
энергии электронов в Л-системе отсчета.
5. ПРОСТЕЙШАЯ РЕЛЯТИВИСТСКАЯ
ДИНАМИКА
5.1. Движение в магнитном поле. Сила Лоренца
5.1. Во сколько раз различаются кинетические энергии протона
МэВ
и электрона с одинаковыми импульсами 200
? При какой напряженс
ности магнитного поля радиус траекторий таких частиц равен 1 м?
5.2. Оценить кинетические энергии протонов, электронов и мюонов, проходящих по одинаковым траекториям с радиусом 0,3 м через
поворотный магнит с полем 1 Т.
5.3. Оценить напряженность магнитного поля, отклоняющего электроны энергией 10 кэВ на угол 600 в телевизионной трубке. Отклоняющая катушка создает магнитное поле на участке трубки длиной 10 см.
5.4. Оценить максимальное смещение электронного луча на экране
при повороте осциллографа вокруг вертикальной оси. Энергия электронов 10 кэВ, длина трубки 50 см, магнитное поле Земли 0,5 Гс.
5.5. Каким должен быть радиус у кольцевого ускорителя с поворотным магнитным полем 1 Т, предназначенного для ускорения протонов
до энергии 1011 эВ? При какой величине магнитного поля в такой ускоритель следует инжектировать протоны с энергией 3·108 эВ?
5.6. Какой минимальный радиус должен иметь электрон-позитронный ускоритель со встречными пучками, чтобы на нем можно было
40
41
Задачи
5. Простейшая релятивистская динамика
наблюдать рождение Z-бозонов по схеме e + + e − → Z ? Масса Z-бозона
90 ГэВ. Магнитное поле на дорожке ускорителя 1 Т.
5.13. В ускорителе типа микротрон электрон ускоряется из состояния покоя, проходя узкий ускоряющий зазор резонатора, где получает
добавку энергии ∆Е = mc2 = 0,511 MэВ. После
B
этого он совершает оборот во внешнем поперечном магнитном поле и снова попадает в ускоряющий зазор (см. рисунок). Найти время ускорения
электрона до энергии 511 МэВ в магнитном поле
величиной B = 2 Т.
5.7. При столкновении ультрарелятивистских электрон-позитронных
пучков из двух одинаковых по размерам кольцевых накопителей наблюдается рождение ϒ -частицы ( e + + e − → ϒ ). Определите скорость ϒ -частицы, если напряжённости магнитного поля на дорожках накопителей
отличаются в три раза.
a
B
5.8. Показать, что угол падения равен углу
отражения для электрона, влетающего под углом α в полупространство с неоднородным магнитным полем (см. рисунок). Поле перпендикулярно плоскости рисунка и изменяется лишь
в направлении, перпендикулярном границе.
5.9. Мюоны влетают под углом α в полупространство с однородным поперечным магнитным полем величиной B = 10−2 Т. Какая часть
мюонов выйдет из области магнитного поля, не распавшись? Масса
мюона 105 МэВ, собственное время жизни 2·10−6 с.
Z
B
5.10. Пучок протонов со средней энергией
Е = 2 ГэВ и энергоразбросом ± 2 % инжектируется в полупространство с однородным поперечным магнитным полем В = 1 Т (см. рисунок). Каким будет ширина пучка на выходе из
магнитного поля?
5.11. Пучок протонов и электронов с одинаковыми энергиями 2 ГэВ
проходит через магнитный фильтр, который
состоит из двух участков длины 0,2 м с одноe, p
родным и перпендикулярным пучку магнитным полем величиной 1 T разной полярности (см. рисунок). Найти расстояние между пучками протонов и электронов после
прохождения фильтра.
5.12. Мюоны движутся по круговой траектории радиусом 10 м в поперечном магнитном поле величиной 1 Т. За какое время мюонный ток
уменьшится в 20 раз? Собственное время жизни мюона 2·10−6 с, масса 105 МэВ.
42
5.14. Каким будет радиус орбиты электронов в микротроне (см.
рисунок к задаче 5.13) при ускорении до энергии 50 МэВ, если за один
пролет резонатора электрон получает энергию 0,5 МэВ? Во сколько раз
отличаются максимальный и минимальный радиусы орбит в этом случае?
Напряженность магнитного поля 1 Т.
5.15. Гамма-квант с энергией 10 МэВ сталкивается с тяжелым ядром,
рождая электрон-позитронную пару. Треки образовавшихся электрона
и позитрона в детекторе с магнитным полем представляют собой окружности с радиусами 4 и 6 см. Найти кинетические энергии образовавшихся
частиц.
5.16. В пузырьковую камеру, которая находится в поперечном однородном магнитном поле, влетает поток каонов K − . Трек каона в камере
имеет вид дуги окружности (см. рисунок). При распаде каона по схеме
K − → µ − + ν µ отношение максимального ра-
диуса трека образующегося мюона к минимальному радиусу равно N = 3 (для треков,
лежащих в плоскости, перпендикулярной
полю). Найти отношение масс каона и мюона
M K M µ . Время жизни каона 1,2⋅10−8 с, сред-
KB
-
m
няя длина трека каона до распада в камере 1,85 м.
5.17. В пузырьковой камере с магнитным полем B = 2 Т фиксируется распад Λ 0 → π + p. Доказать, что точка пересечения треков протона и π-мезона лежит на линии движения Λ 0 -гиперона. Найти максимальное расстояние L от точки распада до точки пересечения треков.
Треки частиц лежат в плоскости, перпендикулярной магнитному полю.
Mp = 938 МэВ, Mπ = 140 МэВ, MΛ = 1110 МэВ.
5.18. Релятивистская частица массой m, зарядом q и энергией 3mc2
движется в поперечном магнитном поле B. За какое время ее энергия
43
Задачи
5. Простейшая релятивистская динамика
уменьшится до 2mc2, если на частицу действует сила трения F = −αV ?
Сколько оборотов при этом совершит частица?
начальной энергией ускорится до 1010 эВ? Какая доля впущенных
мюонов ускорится до конечной энергии?
5.27. До какой энергии ускорится мюон из состояния покоя
в однородном электрическом поле напряженностью ε =107 В/м за время
жизни в собственной системе отсчета 2·10−6 с? Масса мюона 105 МэВ.
Какой будет казаться длина такого ускорителя с точки зрения
ускоряемых мюонов, если длиной считать суммарную длину участков
ускорителя, измеренную из сопутствующих мюону систем отсчета?
5.28. Протон и электрон ускоряются из состояния покоя навстречу
друг другу однородным электрическим полем напряженностью ε =
=107 В/м. При каком минимальном расстоянии L между точками старта
протона и электрона возможно образование пионов при столкновении
в реакции p + e− → p + e− + π − + π +? Каким будет это расстояние, если
протон стартует раньше электрона на время Т =10−7 с? Mπ = 140 МэВ.
5.29. Две стартовавших одновременно ракеты движутся одна за другой по прямолинейной траектории с одинаковым ускорением g (в сопутствующих системах отсчета). В момент старта, когда расстояние между ракетами было равно d = 0,5 св. года, они послали друг другу радиосигналы частотой ω. Какова частота сигналов, принятых на каждой из
ракет?
5.19. Определить траекторию движения релятивистской заряженной
частицы в поперечном постоянном магнитном поле B при наличии силы
вязкого трения F = −αV .
z
O
B
x
5.20. Электрон со скоростью V влетает по нормали
в область поперечного магнитного поля, увеличивающегося в направлении z по закону B = B0 (1 +
+ z/a). Определите радиус кривизны траектории
электрона в верхней точке траектории O (см. рисунок).
5.21. Релятивистский электрон движется по окружности радиуса r0
в аксиально-симметричном магнитном поле Bz = B0 (r0 / r)n. Как изменится
движение электрона, если его энергию увеличить на δE?
5.2. Движение в электрическом поле. Релятивистская ракета
5.22. Электрон влетает в тормозящее постоянное однородное электрическое поле напряженностью ε с начальной скоростью V0 || ε . Через
какое время электрон вернется в начальную точку? Какой путь он
пройдет за это время?
5.23. Поток мюонов влетает по нормали в область тормозящего
электрического поля напряженностью ε = 106 В/м. При какой энергии
мюонов из области поля после «отражения» выйдет более 50 % частиц?
Масса мюона 105 МэВ, время жизни 2⋅10−6 с.
5.24. Ракета удаляется от Земли с постоянным ускорением a'
в сопутствующей системе отсчета. Через время T после старта ей вдогонку посылается сигнал связи. За какое время он догонит ракету? При
каком T сигнал уже не сможет догнать ракету?
5.25. Сколько времени займет по земным часам и по часам космонавтов путешествие с удалением на 20 световых лет и возвращением
обратно, совершаемое с постоянным по модулю ускорением, равным
a' = 9,8 м/с2 (1 св. г /г2) в сопутствующей системе отсчета? Изобразите
это путешествие в пространстве событий.
5.26. Какой должна быть длина линейного ускорителя со средней
напряженностью электрического поля 107 B/м, предназначенного для
ускорения мюонов до энергии 1010 эВ? За какое время мюон с нулевой
44
5.30. Частица массой m влетает с начальной скоростью V0 в область,
где на нее действует постоянная сила F ⊥ V0 . К каким значениям стремятся составляющие импульса pII , p⊥ и скорости VII ,V⊥ , направленные
соответственно вдоль и поперек начальной скорости?
5.31. Электрон с кинетической энергией
1 МэВ влетает в тормозящее однородное электрическое поле напряженностью ε = 106 В/м под
углом α = 450 (см. рисунок). Какова высота траектории и минимальная скорость электрона? Найти расстояние между точками влета и вылета
электрона и время его пролета через конденсатор.
5.32. При пролете через электростатический отклоняющий конденсатор (см. рисунок) протон с кинетической энергией 106 эВ отклоняется на
угол 0,1 радиана. На какой угол отклонится в этом конденсаторе электрон
с такой же кинетической энергией?
45
e
Задачи
5. Простейшая релятивистская динамика
5.33. Точечный радиоактивный источник, расположенный в однородном электрическом поле с напряженностью 106 B/м, испускает изотропный поток электронов с энергией 104 эВ. Найти диаметр электронного потока на экране, перпендикулярном электрическому полю и находящемся на расстоянии 1 м от источника.
нулевой начальной скорости. Считать, что масса топлива много больше
массы ракеты, а к. п. д. двигателя равен 100 %.
5.34. На наклонной плоскости с углом наклона α в поле тяжести
лежит монета. Монете сообщается реg лятивистская скорость V вдоль горизонтальной оси (см. рисунок). Найти устаV
новившуюся скорость движения монеa
ты u, если коэффициент трения µ = tg α
не зависит от скорости.
5.41. Какую часть топлива израсходует ракета с фотонным двигателем при доускорении от скорости 0,9 с до 0,99 с?
5.42. Первую половину пути ракета ускоряется с постоянным
в сопутствующей системе отсчета ускорением a' = 9,8 м/с2 (1 св. г /г2),
а вторую половину тормозится с таким же ускорением. Сколько горючего
потребуется для полета на расстояние 10 св. лет? Конечная масса ракеты Мk, скорость истечения газов относительно ракеты u.
5.35. Идеальное зеркало массой 1 кг ускоряется лучом лазера, расположенного на Земле. Какой должна быть мощность лазера, чтобы ускорить зеркало до скорости 0,8 c за один год?
5.36. Космический корабль движется по круговой траектории
с постоянной скоростью V = 0,6 c, причем центростремительное ускорение в сопутствующей системе отсчета равно an′ = g . За какое время по
собственным часам корабль совершит полный оборот?
5.37. Релятивистский электрон движется в однородных электриче ском ε и магнитном B полях ( ε || B ). Во сколько раз продолжительность N + 1 периода обращения электрона по винтовой траектории
больше продолжительности предыдущего периода? В начальный момент
времени импульс электрона был перпендикулярен полю.
5.38. Источник излучения свободно движется со скоростью V.
В собственной системе отсчёта источник начинает изотропно излучать
мощность N. Найти силу, действующую на источник в лабораторной
системе отсчёта, и изменение его импульса и скорости за время t.
5.39. Заряженная частица, движущаяся с ускорением, излучает.
Интенсивность излучения в сопутствующей системе отсчёта I ~ a2, где a –
ускорение частицы, причем импульс излучения в сопутствующей системе
отсчета равен нулю. Во сколько раз отличаются скорости потерь энергии
на излучение у релятивистских протона и электрона в Л-системе, если
они движутся:
а) в продольном постоянном однородном электрическом поле,
б) в магнитном поле по окружности одинакового радиуса?
5.40. Какую скорость приобретет космический корабль с фотонным
двигателем, когда его масса уменьшится вдвое? Корабль ускоряется от
46
47
6. Динамика одномерного движения
6.5. Частица движется в статическом
силовом поле по закону, показанному на
рисунке. Найти зависимость силы и потенциала от координаты.
x
a
x ~ -a×ch(t)
t
0
x ~ a×ch(t)
6.6. Найти закон движения частицы
-a
в поле U = − α x 4 в случае, когда ее полная
энергия равна нулю. Нарисовать траекторию
частицы на фазовой плоскости.
6.7. Нарисовать траектории частицы на
фазовой плоскости при движении в одномерном
поле с потенциалом, изображенным на рисунке.
6. ДИНАМИКА ОДНОМЕРНОГО ДВИЖЕНИЯ
6.1. Законы движения. Фазовая плоскость
x
a
0
T
t
2T
x
a
0
2
x~bt
T
2T
t
6.1. Найти зависимость силы, действующей на частицу, от координаты, если частица движется по закону, показанному на
рисунке. Нарисовать зависимость потенциала от координаты. Изобразить движение
на фазовой плоскости.
6.2. Найти зависимость силы, действующей на частицу, от координаты, если
частица движется по закону, показанному
на рисунке. Нарисовать зависимость потенциала от координаты. Изобразить движение
на фазовой плоскости.
6.3. Исследовать движение заряженной частицы в однородном
электрическом поле с синусоидальной зависимостью от времени. Нарисовать синхронные графики зависимости смещения, скорости и ускорения частицы от времени, а также траектории на фазовой плоскости при
различных начальных условиях.
6.8. Нарисовать траектории частицы на
фазовой плоскости для следующих одномерных
полей:
U
-b -a 0 a
(
1) U ( x ) = α 2 ( x 2 − b2 ) , 2) U ( x ) = −α 2 x 2 − b 2
2
3) U ( x ) = U 0 sin kx ,
)
2
b
x
,
⎛ b2 1 ⎞
4) U ( x ) = α 2 ⎜ 2 − ⎟ .
x⎠
⎝x
6.9. Как изменится со временем форма и объем области в фазовом
пространстве, занимаемой группой движущихся вдоль оси x невзаимодействующих друг с другом частиц, помещенных в одномерный ящик
с координатами стенок x1 = 0, x2 = L? Столкновения со стенками упругие.
В начальный момент частицы занимали область x0, x0 + ∆x и p0, p0 + ∆p.
6.10. Функция распределения частиц по скоростям и координатам x
в момент времени t = 0 имеет вид:
⎧⎪α n ⋅ exp(−Vx2 / V02 ) при x ≤ x0 ,
F (Vx , x, 0) = ⎨ 0
0
при x > x0 .
⎪⎩
Найти распределение плотности частиц по x в момент времени t.
6.11. Как зависит период движения частицы в поле U = α x
β
от ее
энергии? α > 0.
6.4. Найти зависимость силы, действующей на частицу массы m, от
координаты, если закон движения частицы имеет вид x (t ) = a sin ωt .
Нарисовать зависимость потенциала от координаты. Изобразить
движение на фазовой плоскости.
6.12. Желая определить распределение потенциала вдоль оси «черного ящика», экспериментатор пускает вдоль оси ионы с различными
скоростями. Ионы, впущенные со скоростью V, возвращаются обратно
через время T = αV β. Восстановите зависимость потенциала от
координаты.
48
49
Задачи
6. Динамика одномерного движения
6.13. Изучая столкновения металлических шаров, студент обнаружил, что время соприкосновения шаров T = αV −1/5, где V – скорость
шаров перед столкновением. Восстановите зависимость силы сопротивления шара деформации от величины деформации. Нарисуйте траектории сталкивающихся шаров на фазовой плоскости в системе центра
масс.
6.14. Найдите зависимость периода колебаний частицы от энергии
⎧⎪kx 2 / 2 при x ≤ a,
в одномерном поле с потенциалом U ( x) = ⎨
.
при x > a.
⎪⎩ ∞
6.21. Найти зависимость скорости тела от пройденного расстояния
при падении в поле тяжести. Сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скорости. Начальная скорость тела равна нулю,
максимальная скорость падения Vmax.
6.15. Определите, по какому закону обращается в бесконечность период движения
E
частицы в поле, изображенном на рисунке,
при приближении полной энергии частицы E
к U(a), если производная потенциала U′ (a) =
=
0, причем U′′ (a) ≠ 0.
x
6.16. Через трубку, соединенную по касательной с тором, влетает шарик, испытывающий упругие отражения от стенок. Объяснить механизм возврата шарика в трубку, который должен иметь
место согласно теореме Пуанкаре. Оценить время
возврата в зависимости от размеров системы и начальных условий влета.
6.23. Исследовать движение частицы в однородном силовом поле
при линейной зависимости силы сопротивления от скорости. Нарисовать
графики зависимости смещения, скорости и ускорения частицы от
времени. Представить движение на фазовой плоскости.
U
a
6.2. Движение с трением
6.17. Сила сопротивления, тормозящая моторную лодку, пропорциональна квадрату скорости. За какое время после выключения мотора ее
скорость уменьшится вдвое? Какое расстояние при этом пройдет лодка?
6.18. На моторной лодке, плывшей против течения, выключили
мотор. Нарисовать синхронные графики зависимости от времени скорости и смещения лодки относительно берега, если сопротивление воды пропорционально квадрату скорости лодки относительно воды. Изобразить
движение на фазовой плоскости.
6.19. Найти закон движения тела при падении в поле тяжести. Сила
сопротивления воздуха F = −αV 2. Начальная скорость тела равна нулю.
6.20. На какую высоту и за какое время поднимется тело, брошенное
вертикально вверх, если сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости?
50
6.22. Мячик подпрыгивает в поле тяжести над упругой плитой. Сила
сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скорости. Как меняются высота и время подскока мячика? Нарисовать синхронные графики
скорости и координаты мячика в зависимости от времени, а также
траекторию движения на фазовой плоскости.
6.24. Найти зависимость скорости движения кальмара от времени,
если он затрачивает мощность N и выбрасывает воду со скоростью u.
Стартовая скорость кальмара равна нулю. Сила трения F = –αV.
6.25. Тело массой m, подброшенное вертикально вверх с малой
скоростью V1, вернулось обратно со скоростью V2. Сила сопротивления
воздуха F = –αV, ускорение свободного падения g. Сколько времени тело
находилось в полете?
6.26. Тело массой m брошено в поле тяжести с малой скоростью V
под углом θ к горизонту. Сила сопротивления F = –αV. Какой будет
скорость тела в верхней точке траектории?
6.27. На тонкое проволочное кольцо радиусом R надета бусинка,
которой сообщили скорость V. Найти путь, который пройдет бусинка до
остановки, если коэффициент трения µ. Кольцо неподвижно и расположено горизонтально в поле тяжести g.
6.28. Исследовать теоретически движение пробки в горлышке бутылки с подогретым шампанским. Нарисовать графики зависимости от
времени скорости и смещения пробки.
6.29. Диск диаметром D, массой М бомбардируется однородным потоком точечных пылинок массой m М, плотностью n, скоростью V
(см. рисунок). За какое время первоначально
неподвижный диск ускорится до скорости u?
Удары пылинок упругие.
51
V
Задачи
6. Динамика одномерного движения
6.30. Диск диаметром D, массой М
летит через однородный поток (см.
рисунок) движущихся навстречу точечных
V0
пылинок массой m М. За какое время
диск остановится? Плотность пылевого
облака ρ, скорость V. Начальная скорость
диска V0, удары пылинок упругие.
6.31. Плоская тележка, двигавшаяся со
скоростью V, попадает под вертикально
падающий дождь (см. рисунок). Скорость
капель u, средняя плотность дождя ρ,
V площадь
горизонтальной поверхности
тележки S. За какое время тележка остановится, если коэффициент трения колес
о плоскость µ. Вода с тележки стекает, так что ее масса М остается постоянной.
Принимая нулевые начальные условия, определить закон движения цепи.
Считать, что звенья цепи поочередно приобретают только вертикальную
скорость.
6.32. Тело движется в разреженном газе со скоростью, много
большей тепловых скоростей молекул. Оценить силу трения для различных случаев взаимодействия молекулы с поверхностью тела. Что будет
в релятивистском случае? Найти закон движения в случае, когда тело захватывает все столкнувшиеся с ним молекулы.
6.3. Движение с переменной массой
6.33. Однородный гибкий канат, висевший вертикально, падает на
площадку весов. Нарисовать зависимость показаний весов от времени.
6.34. Однородная веревка соскальзывает со стола под действием силы тяжести через гладкую направляющую трубку (см. рисунок). Найти время соскальзывания,
если в начальный момент длина свисающей
g
части веревки равна четверти ее полной длины.
g
L
6.35. Однородная веревка длиной 2L соскальзывает под действием силы тяжести через
направляющую трубку со стола высотой L (см.
рисунок). Найти максимальную скорость веревки, если в начальный момент она покоилась,
а длина свисающей части была равна L.
6.36. Свернутая в клубок тяжелая
однородная цепь лежит на краю горизонтального стола, причем вначале одно звено
g
цепи свешивается со стола. Под действием
силы тяжести цепь начинает соскальзывать.
52
6.37. Свернутая в клубок тяжелая однородная
цепь полной длиной 3Н лежит на краю стола высотой Н, так что ее один конец свешивается, касаясь
пола (см. рисунок). Под действием силы тяжести
цепь начинает соскальзывать. Найти зависимость
скорости движущегося участка цепи от времени.
За какое время цепь соскользнет со стола?
g
H
6.38. Какую массу газов должна ежесекундно выбрасывать ракета,
чтобы оставаться неподвижной в поле тяжести?
6.39. При какой минимальной мощности двигателей ракета весом
103 т сможет оторваться от стартового стола? Скорость истечения газов
из сопла ракеты 2 км/с.
6.40. Ракета движется вверх с ускорением a в однородном поле тяжести. За какое время масса ракеты уменьшится в два раза? Сопротивлением воздуха пренебречь. Скорость истечения газов u.
6.41. Определите путь, пройденный ракетой при ускорении из
состояния покоя до скорости u, равной эффективной скорости истечения
газов. Сопротивление воздуха и поле тяжести отсутствуют. Начальная масса ракеты M0, секундный
расход топлива µ.
6.42. Вертикальная открытая трубка длиной L
доверху заполнена водой массой М. Снизу трубка
закрыта тонким поршнем массой М. Под действием
постоянной силы F поршень начинает двигаться
вверх и вытесняет воду (см. рисунок). Найти
скорость поршня в верхней точке. Поле тяжести g.
g
F
6.43. Найти закон движения сферической капли жидкости через
неподвижный туман в поле тяжести. В начальный момент масса капли
мала, а скорость равна нулю.
6.44. Найти закон движения капли жидкости под действием силы
тяжести в пересыщенном паре. Скорость молекул пара много больше
скорости капли. Скорость увеличения массы капли пропорциональна
площади ее поверхности.
53
Задачи
6.45. Ледяной метеорит сферической формы тормозится в атмосфере
Земли. Сила трения о воздух пропорциональна его площади и скорости:
F = –αSV. Скорость испарения вещества метеорита пропорциональна его
площади: dM/dt = –βS, причем в СО метеорита испарение изотропно.
Найти зависимость скорости метеорита от времени, если его плотность
ρ, а начальный радиус равен R0. Силой тяжести пренебречь. Начальная
скорость метеорита V0.
6.46. На невесомый блок намотана тонкая веревка массой m, длиной L. По веревке начинает подниматься обезьянка массой M, при этом
расстояние от нее до блока в процессе подъема остается постоянным
и равным l. Найти зависимость от времени скорости обезьянки относительно веревки, если начальная длина свешивающейся части веревки l0 > l.
6.47. На гладком столе лежит нить, сложенная пополам (см. рисунок). К одному из
ее концов приложена постоянная сила F. Описать движение нити.
F
6.48. Свернутая в клубок однородная цепь длины L, массы m лежит
на шероховатой поверхности с коэффициентом трения µ. Цепь тянут за
крайнее звено с постоянной горизонтальной силой F > µ mg. Какой
будет скорость цепи в момент, когда она полностью распрямится? Звенья
цепи вовлекаются в движение поочередно.
6.49. Исследовать движение тележки, из
которой вытекает вода через отверстие на
дне (см. рисунок). Поверхность воды в тележке остается горизонтальной.
7. КОЛЕБАНИЯ
7.1. Свободные колебания
7.1. Определите частоту колебаний доски,
положенной на два быстро вращающихся в противоположные стороны валика (см. рисунок), если
расстояние между их осями L, коэффициент
трения µ.
7.2. Найти частоту малых колебаний жидкости в трубке, показанной на рисунке. Высота
трубки существенно больше радиуса закругления. Капиллярными эффектами пренебречь.
7.3. Через невесомый блок перекинута нерастяжимая нить массой М, длиной L, концы которой
натянуты пружинами жесткостью k (см. рисунок).
Найти собственную частоту колебаний нити в поле
тяжести. При каком условии колебания устойчивы? Трения нет.
L
2a
H
g
7.4. Определите время столкновения сильно накачанного мяча со
стенкой. Масса мяча m = 0,5 кг, радиус r = 0,1 м. Избыточное давление
P = 7,5·104 Pa в мяче в процессе удара меняется
незначительно. Скорость мяча перпендикулярна
g
стенке.
7.5. Какова амплитуда колебаний пружинных весов (см. рисунок) после быстрого падения
каната длиной L, массой m? Начальная скорость
каната равна нулю.
54
55
Задачи
7.6. На неподвижную чашку весов массой M
с пружиной жесткости k (см. рисунок) упал вертикально со скоростью V кусок пластилина массой m.
Найти зависимость координаты чашки от времени
после падения пластилина.
m
g
M
7.7. Точка массой m, несущая заряд q, может
двигаться по вертикали в поле тяжести. Ниже на той же вертикали
закреплен одноименный заряд Q. Найти частоту малых колебаний точки.
В равновесии расстояние между точкой и зарядом Q равно L.
7.8. Найти частоту малых колебаний частицы с зарядом q, массой m вдоль линии, на
которой закреплены заряды Q (см. рисунок).
Пружины натянуты, их длина в нерастянутом
состоянии l < L, коэффициент жёсткости k. Найти
условие, при котором рассматриваемое положение равновесия станет неустойчивым.
Q
L
q
L
L
L
Q
7.9. В соленоиде с сильным однородным магнитным полем, равномерно заполненном покоившимися электронами, быстро включается
электрическое поле, направленное вдоль оси. Потенциал поля зависит от
координаты x вдоль оси по закону U = ax2 (электроны ускоряются полем
к центру x = 0). Найти зависимость плотности электронов от времени.
Взаимодействием электронов между собой пренебречь.
Как
повлияет на результат конечный разброс начальных
R
скоростей электронов?
g
7.10. На закрепленный цилиндр радиусом R намотана нитка. Длина свисающей части нити L. На ней
подвешен груз массой m (см. рисунок). Найти частоту
малых колебаний.
g
b
a
7.11. Грузик на нити подвешен к стенке с малым
углом наклона к вертикали (см. рисунок). Определить
зависимость периода колебаний грузика от угла
отклонения от вертикали для случаев: а) удар о стенку
упругий, б) удар неупругий.
b
a
7.12. Частица может двигаться в поле
тяжести по эллипсу, малая полуось которого b горизонтальна, а большая a составляет угол α с вертикалью (см. рисунок).
Найти частоту малых колебаний частицы.
56
7. Колебания
7.13. Бусинка надета на невесомую
гладкую нить длиной L, концы которой
закреплены на одинаковой высоте на
расстоянии d друг от друга (см. рисунок). Найти частоту малых колебаний
бусинки вдоль нити.
g
7.14. Найти период колебаний точки массой m, движущейся в поле
тяжести в гладкой циклоидальной чашке x = R(ϕ + sin ϕ), y = R(1 −
− cosϕ).
7.15. Гибкий однородный канат длины L скользит по горизонтали внутри
узкой гладкой трубки со скоростью u.
Сколько времени понадобится канату на
преодоление V-образного углубления трубки (см. рисунок) с углом при вершине 2α и глубиной H = Lcosα?
2a
g
7.16. Гибкий однородный канат длины L скользит по горизонтали внутри
узкой гладкой трубки со скоростью u.
Сколько времени понадобится канату на
преодоление Λ-образного подъема трубки (см. рисунок) с углом при вершине 2α
и высотой H = Lcosα?
g
2a
7.17. В точке максимального (или нулевого) отклонения математического маятника массой M, длиной L от него откололся кусочек
массой m. Найти изменение энергии маятника, нарисовать график на
фазовой плоскости.
7.2. Колебания с трением
7.18. Исследовать движение стрелки амперметра с нулем в центре
шкалы после быстрого разрыва цепи постоянного тока, протекавшего
через него. Учесть момент сил сухого трения в подшипниках оси.
Нарисовать траекторию на фазовой плоскости для угла отклонения
стрелки ϕ и угловой скорости ϕ .
7.19. Лежащая на плоскости шайба
массой М прикреплена к пружинке жесткости k (см. рисунок.) Шайбу сместили из
57
k
M
g
Задачи
7. Колебания
положения равновесия на расстояние А и отпустили. Какой путь пройдет
шайба до остановки? Сила трения мала и пропорциональна скорости F =
−αV (α2 k⋅М).
движения имеет вид: x + 2γ x + ω 2 x = F m, (0 ≤ t ≤ T). Найти энергию,
перешедшую в тепло за все время движения осциллятора. При каком
значении T эта энергия достигает максимума? Нарисовать фазовые
траектории осциллятора при различных соотношениях между ω, γ и T.
7.20. При каком соотношении между сопротивлением R, индуктивностью L и емкостью C контура в цепи гальванометра осуществляется
наиболее «оптимальный» апериодический режим демпфирования колебаний рамки гальванометра?
R
C
L
K
7.21. В контуре, изображенном на
рисунке, конденсатор C заряжен, причем R2 < 4L/C. За какое время после
замыкания ключа K энергия, запасенная
в контуре, уменьшится в 20 раз?
7.22. Собственная частота стрелки амперметра с нулем в центре
шкалы 1 Гц, добротность при затухании колебаний Q = 20. За какое
время амплитуда колебаний стрелки уменьшится в 20 раз, если выключить протекавший через амперметр постоянный ток?
7.3. Вынужденные колебания. Резонанс
7.23. Груз массой m подвешен на пружине жесткостью k и колеблется с амплитудой A в поле тяжести. В момент, когда груз находится
в крайнем нижнем положении, точку подвеса начинают двигать вверх
с постоянной скоростью V. Найти зависимость координаты груза от
времени.
7.24. Груз массой m подвешен на пружине жесткости k. Найти
амплитуду его колебаний, оставшихся после действия прямоугольного
импульса силы амплитудой F, длительностью τ. Сила направлена вдоль
пружины. Начальная скорость груза была равна нулю.
7.25. Найти амплитуду отклонения указателя гальванометра магнитоэлектрической системы (в единицах показываемого тока), если через
его рамку был пропущен прямоугольный импульс тока с амплитудой 1 А
и длительностью 10−2 с. Период собственных колебаний рамки гальванометра 1 с. Затуханием колебаний пренебречь. Какой будет амплитуда
колебаний при «треугольной» форме импульса тока?
7.26. Найти энергию, приобретенную осциллятором за все время действия силы F = F0 − F0 exp( − t τ ). В начальный момент времени t = 0 энергия
y
7.28. Осциллятор, состоящий из грузика массы m, подвешенного в поле тяжес- a
ти на пружине, имеет период собственных
колебаний T. Точку подвеса пружины двигают по вертикали по закону, показанному
T
2T
на рисунке. Какой будет энергия осцил- 0
лятора через N полупериодов, если вначале
осциллятор покоился? Что будет при других начальных условиях?
t
F
7.29. Определить амплитуду колебаF
ний массы m, закрепленной на пружинке
0
жесткостью k, оставшихся после воздействия внешней силы, график которой (один
t
полупериод синусоиды) показан на рисун0
T/2
ке. Период собственных колебаний осциллятора T совпадает с периодом внешней силы. До включения силы осциллятор покоился. Каким будет результат, если внешняя сила действовала
в течение N полупериодов синусоиды?
7.30. Период собственных колебаний рамки амперметра магнитоэлектрической системы равен 1 с, добротность Q = 10. Найти амплитуду
установившихся колебаний стрелки (в единицах показываемого тока), если через амперметр пропускается синусоидальный ток с амплитудой 1 А
и частотой 10 Гц. Какой будет амплитуда колебаний при резонансе?
7.31. Через амперметр магнитоэлектрической системы пропускают
ток, изменяющийся по закону I (t) = I0 sin2 Ωt. Найти зависимость амплитуды установившихся колебаний от Ω. Затухание считать малым. I0 =
= 1 A. Амплитуду колебаний отсчитывать в амперах. Собственная частота ω0.
7.27. На осциллятор с трением, первоначально находившемся в равновесии, в течение времени T действует сила F, при этом уравнение
7.32. Через амперметр магнитоэлектрической системы пропускают
выпрямленный синусоидальный ток с амплитудой 1 А, частотой 100 Гц.
Какими будут среднее отклонение и амплитуда установившихся колебаний стрелки? Частота собственных колебаний стрелки 1 Гц.
58
59
осциллятора была равна E0, и он проходил через положение равновесия.
Задачи
R
L
7.33. Найти амплитуду установившихся
колебаний напряжения на конденсаторе и тока
в контуре (см. рисунок), если на его вход
подается переменное напряжение U = U0 sin Ωt.
C
U0sinWt
7.34. Шарик массой m подвешен в поле тяжести на пружине жесткости k. Точка подвеса пружины движется по вертикали по закону
z = a cos Ωt. Найти амплитуду установившихся малых колебаний шарика.
7.35. Точка подвеса математического маятника длиной L движется
по горизонтали по закону x = b cos Ωt. Найти угловую амплитуду установившихся малых колебаний.
7.36. Рессоры железнодорожного вагона прогибаются под его тяжестью на 4 см, расстояние между стыками железнодорожного полотна
25 м. При какой скорости поезда амплитуда вертикальных колебаний
вагона будет максимальной?
7.37. Предположим, что радиус одного из колец Сатурна периодически изменяется со временем. Найти условия резонанса и проанализировать баланс энергии.
7.38. По какому закону нужно менять длину математического
маятника, чтобы параметрическая раскачка колебаний была наиболее
эффективной (качели)? Изобразить движение на фазовой плоскости.
7.4. Адиабатические инварианты
7.39. Упругий шарик подпрыгивает в поле тяжести над горизонтальной плитой. Поле тяжести медленно
изменяется. Как меняется высота подскока
g
шарика над плитой?
k
m
a
7.40. Масса осциллятора медленно
возрастает. Как при этом изменяются амплитуда и период его колебаний? Рассмотреть оба случая, показанных на рисунке.
b
7. Колебания
7.42. Звезда теряет за счет излучения 10−9 часть своей массы в год.
За какое время радиус круговой орбиты планеты, вращающейся вокруг
звезды, изменится вдвое? Влиянием излучения на планету пренебречь.
7.43. Грузик, подвешенный на нити к наклонной стенке, совершает малые колебания относительно точки подвеса О в поле тяжести (см. рисунок). Стенка медленно поворачивается вокруг точки О и принимает вертикальное положение. Во
сколько раз изменится угловая амплитуда колебаний грузика? Удар упругий, начальный угол наклона стенки больше амплитуды колебаний грузика.
O
g
7.44. Вблизи точки подвеса математического маятника длиной L в точке А забит гвоздь. Точку подвеса
медленно поднимают по вертикали (см. рисунок). Во
сколько раз изменится размах колебаний маятника к моменту, когда расстояние между гвоздем и точкой подвеса
станет равно L/2 ?
7.45. Частица движется со скоростью V вдоль стороны L в расположенном горизонтально прямоугольном
ящике (см. рисунок), упруго отражаясь
от его стенок. Ящик медленно поднимают за один конец, поворачивая вокруг
ребра, перпендикулярного L. При каком
угле наклона α дна ящика частица не
будет достигать его верхней стенки?
7.46. На нижнем конце невесомого стержня сидят два жука массой m каждый. Стержень совершает
малые колебания в поле тяжести (см. рисунок). Один
из жуков медленно ползет вдоль стержня. Как изменится амплитуда колебаний к моменту, когда жук
достигнет середины стержня?
A
g
g
a
L
g
7.41. Масса осциллятора медленно уменьшается (например, из-за
таяния). Как при этом изменяются амплитуда и период его колебаний?
Рассмотреть оба случая, показанных на рисунке к предыдущей задаче.
7.47. Найти период колебаний электронов вдоль
оси z при движении по винтовым траекториям
в магнитной ловушке. Магнитное поле симметрично относительно оси z
и изменяется по закону Bz = (1 + λ th2α z). Вблизи оси компоненты поля
Bx = By = 0. В центре ловушки скорость электронов V0 составляет угол θ0
60
61
Задачи
с осью z. Указание: воспользуйтесь адиабатической инвариантностью
mV⊥2
магнитного момента электрона M =
= const, где V⊥ – компонента
2B
скорости электрона, перпендикулярная «медленно» изменяющемуся
в пространстве магнитному полю.
8. ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ
8.1. Потенциал поля
8.1. Нарисуйте график потенциала и напряженности поля тяготения
Земли в зависимости от расстояния до центра Земли.
8.2. Найти давление в центре «жидкой планеты» шаровой формы.
Плотность жидкости считать однородной и равной 5,5 г/см3. Радиус
планеты 6400 км. Как изменится результат, если не пренебрегать
сжимаемостью жидкости при увеличении давления?
8.3. На какой высоте от поверхности планеты нужно включить
тормозной двигатель космического аппарата, чтобы обеспечить мягкую
посадку на поверхность? Спуск происходит по прямой, проходящей через
центр планеты. Сила торможения F постоянна. Сопротивлением воздуха
и изменением массы аппарата пренебречь. Масса аппарата m, скорость
вдали от Земли V∞ .
8.4. Внутри шара плотностью ρ имеется сферическая полость, центр
которой находится на расстоянии a от центра шара. Найти напряженность поля тяготения внутри полости.
8.5. Оценить относительное изменение ускорения свободного
падения ∆g/g в шахте на глубине 10 км (где g − ускорение на поверхности
Земли). Средняя плотность вещества в земной коре в два раза меньше, чем
средняя плотность Земли.
8.6. В результате сферически-симметричного взрыва однородного
шара массой M, радиусом R образуется множество мелких осколков. При
62
63
Задачи
8. Движение в центральном поле
какой минимальной суммарной кинетической энергии осколков они
смогут разлететься на бесконечное расстояние от точки взрыва?
8.15. На спутник, движущийся по круговой орбите, действует слабая
тормозящая сила F = −αV 2 . Найти зависимость скорости спутника от
времени. За какое время радиус орбиты уменьшится на 2 %, если за месяц
скорость спутника меняется на 1 %?
8.7. Сколько энергии выделится при гравитационном сжатии однородного шарового облака массой M, радиусом R до радиуса r?
8.8. Оценить выход энергии при делении ядер урана
235
92
U. Cчитать,
что радиус ядра с числом нуклонов A равен R = R0 ·A1/3, где R0 = 10−13 см.
8.9. Шарик массой m находится в поле сил, имеющем точку равновесия x = 0, y = 0. Если его вывести из положения равновесия и отпустить,
то он движется по закону x = a sin ω t , y = b cos ω t t. Найти зависимость
силы F = F (x, y) от координат.
8.10. На сферически-симметричную потенциальную «яму» радиусом R и глубиной U налетает плоский поток частиц с кинетической
энергией E. В центре ямы расположена «липкая» сфера радиусом a < R.
Найти зависимость сечения прилипания частиц к сфере от энергии частиц,
построить график.
8.11. На сферически-симметричный потенциальный барьер радиусом R и высотой U налетает плоский поток частиц с кинетической энергией E. В центре барьера расположена «липкая» сфера радиусом a < R.
Найти зависимость сечения прилипания частиц к сфере от энергии частиц,
построить график.
8.12. По круговой орбите вокруг звезды массой M движется планета
массой m M. В результате взрыва звезда сбрасывает массу αM. Найти,
при каком значении α планета покинет звезду. Считать, что сбрасываемая
масса выходит за орбиту планеты сферически симметрично и мгновенно.
8.13. Вокруг звезды массой М по круговой орбите радиусом R
двигался космический объект массой m M. В результате взрыва
объекта его осколки стали разлетаться изотропно с начальной скоростью u (в системе отсчета объекта). Найти минимальное значение u, при
котором не менее 25 % осколков покинет систему звезды.
8.14. У быстро вращающейся звезды массой М, радиусом R взрывом
сбрасывается тонкая верхняя шаровая оболочка. Какая часть сброшенного
вещества вернется на звезду, если угловая скорость вращения звезды Ω,
а начальная радиальная скорость оболочки u < 2GM R ? Как выглядит
расширяющаяся оболочка через большое время после взрыва? Масса
оболочки много меньше массы звезды.
64
8.16. Оцените время жизни атома водорода с точки зрения классической физики, считая, что электрон вращается по круговой орбите радиу2e 2 a 2
, где a –
сом ao = 5·10−9 см и в единицу времени излучает энергию
3c 3
ускорение электрона, e – его заряд, c – скорость света (в системе CGSE).
8.17. Сферическая частичка радиусом 1 мм, массой 10−2 г движется
по круговой орбите радиусом 500 св. с вокруг Солнца. Оцените силу
торможения, обусловленную взаимодействием частички с излучением
Солнца. Частичка разогревается и переизлучает тепло изотропно в своей
системе отсчета. Мощность излучения Солнца 4·1026 Вт.
8.18. Оценить силу торможения, обусловленную взаимодействием
Земли с солнечным излучением. Расстояние Земля – Солнце 1,5·1011 м,
мощность излучения Солнца 4·1026 Вт, радиус Земли 6,4·106 м. За какое
время радиус орбиты Земли изменится в два раза?
8.2. Момент импульса. Центробежный потенциал
8.19. Через отверстие в гладком столе
пропущена невесомая нить, к концам которой прикреплены массы m1 и m2. Масса m2
лежит на расстоянии r0 от отверстия (см. рисунок). Ей сообщают импульс P перпендикулярно нити. Найти максимальное удаление массы m2 от отверстия.
m2
P
g
m1
8.20. Электрон движется в плоскости, перпендикулярной положительно заряженной нити, по траектории, близкой к окружности радиуса R.
Сила притяжения, действующая на электрон, равна α r , где r – расстояние до нити. Найти период радиальных колебаний электрона.
8.21. Частица скользит без трения по стенке воронки (см. рисунок).
В начальный момент частица находилась на высоте h и двигалась горизонтально со скоростью V. При какой минимальной скорости V частица не
провалится в воронку, отверстие которой имеет радиус ρ0?
65
Задачи
8. Движение в центральном поле
8.32. Частице массы M, находящейся в центральном поле U = α r –2
на расстоянии r0 от центра, сообщили скорость V0 ⊥ r0 . Найти уравнение
траектории частицы.
z
V
h
g
r0
V
a
g
H
К задаче 8.21
r
К задаче 8.22
8.22. Частица движется без трения по поверхности параболической
чашки, описываемой в цилиндрической системе координат уравнением
z = α ρ 2 . Поле тяжести направлено вдоль оси z. На высоте H скорость
частицы V была горизонтальна (см. рисунок). Найти границы движения
частицы.
8.23. Найти период движения частицы массой m в центральном поле
с потенциалом U = α r 2 (α > 0).
8.24. Найти сечение падения потока метеоритов на Землю. Скорость
метеоритов вдали от Земли V∞ .
8.25. На большом расстоянии R от Земли взорвался космический
объект массой M. Осколки разлетелись сферически симметрично со
скоростью V. Какая масса продуктов взрыва попадет на Землю? Радиус
Земли RЗ, вторая космическая скорость V2 .
8.26. Найти сечение падения частиц энергией Е на сферу радиусом R,
находящуюся в центре поля с потенциалом отталкивания U = α/r.
8.27. Найти сечение падения в центр поля притяжения U = – α/r 4 .
8.28. Найти сечение падения на сферу радиусом R, находящуюся в
центре поля притяжения с потенциалом U = – α / r −3/2.
8.29. Найти сечение падения на сферу радиусом R, находящуюся в
центре поля с потенциалом U = − α/r – β/r 2. α, β > 0. Скорость частиц
на бесконечности V∞ > α (m β) −1/2.
8.33. При движении в центральном поле скорость частицы массой m
изменяется по закону V = α r –1/2. Восстановите зависимость силы от расстояния до центра поля r. Найдите уравнение траектории частицы
в случае, когда ее максимальное приближение к центру поля имеет
величину r0.
8.34. Частица движется в центральном поле по дуге окружности
радиуса R, проходящей через центр поля. Доказать, что потенциал поля
имеет вид U = – α r – 4 (α > 0). Найти начальные условия такого движения.
8.35. Найти время падения массы m в центр поля U = –α/r6 c расстояния R, если ее полная энергия равна нулю, а начальная скорость
перпендикулярна направлению на центр.
8.36. Найти время падения массы m в центр поля U = –α/r4 с расстояния R, если ее полная энергия равна нулю, а начальная скорость
перпендикулярна направлению на центр.
8.37. Найти период малых радиальных колебаний релятивистской
частицы вблизи круговой орбиты при движении в поле с потенциалом
U = – α/r – β/r2.
8.3. Кулоновское поле. Законы Кеплера
8.38. Какой должна быть минимальная скорость ракеты при выходе
из атмосферы Земли, чтобы она смогла покинуть Солнечную систему без
дополнительного ускорения?
8.39. Космический корабль должен покинуть Солнечную систему
в определенном направлении. Какова минимальная скорость корабля при
выходе из атмосферы Земли, необходимая для этого?
8.31. Точка массой m движется в центральном поле, причем ее
скорость V = α / r, где α = const. Найти зависимость силы F от расстояния
до центра поля r и траекторию точки.
8.40. Космический корабль приближается к Луне по параболической
траектории, почти касающейся поверхности Луны. Чтобы перейти на
круговую орбиту, в момент наибольшего сближения включают тормозной
ионный двигатель, выбрасывающий поток ионов цезия 133Сs+ (ускоряющее напряжение 1 кВ). Какую часть общей массы должен потерять
корабль? Радиус Луны 1740 км, ускорение силы тяжести g /6.
66
67
8.30. Найти сечение падения в центр поля U = – α/r + β/r . α, β > 0.
n
2
Задачи
8. Движение в центральном поле
8.41. Находящийся на круговой орбите космический корабль
тангенциальной добавкой скорости переводят на гиперболическую орбиту
со скоростью на бесконечности V∞ . При каком радиусе начальной
круговой орбиты эта добавка скорости минимальна?
8.51. Спутник движется по околоземной круговой орбите радиусом r.
Какую радиальную добавку скорости ему нужно сообщить, чтобы его
орбита стала эллиптической с перигеем r1?
8.42. Оцените, с какой минимальной скоростью нужно стартовать
с поверхности Луны, чтобы вернуться на Землю? Ускорение свободного
падения на Луне g/6, скорость движения Луны по орбите 1 км/с. Радиус
Луны 1740 км.
8.43. Баллистическая ракета стартует с Земли и продолжает свободный полет по траектории, апогей которой равен радиусу орбиты Луны.
Какую максимальную скорость относительно Солнца сможет приобрести
ракета при «правильном» использовании поля тяготения Луны («гравитационный» маневр)?
8.44. Оценить поправку ко второй космической скорости, связанную
с наличием Луны.
8.45. Какой должна быть минимальная скорость запуска тела с поверхности Луны, чтобы оно улетело за пределы Солнечной системы?
Орбитальная скорость Земли 30 км/с, Луны – 1 км/с, ускорение свободного падения на поверхности Луны в шесть раз меньше, чем на Земле,
радиус Луны 1740 км.
8.46. Комета Галлея движется по сильно вытянутой орбите с минимальным расстоянием до Солнца 0,6 а. е. Во сколько раз максимальная
скорость кометы больше скорости движения Земли вокруг Солнца?
8.47. Оценить скорость движения предметов внутри орбитальной
станции, двигающейся по околоземной орбите.
8.48. В перигее величиной rмин скорость спутника V. При каком касательном приросте скорости в перигее высота апогея увеличится на 1 %?
8.49. Орбитальная станция движется по круговой траектории на
расстоянии 200 км от поверхности Земли. Какую наименьшую дополнительную скорость надо сообщить станции, чтобы ее максимальное
удаление от Земли достигло 210 км?
8.50. С какой минимальной скоростью должен покинуть атмосферу
Земли космический корабль, направляющийся к Марсу и стартующий по
касательной к орбите Земли? Каким будет расстояние от Земли до Марса
при посадке корабля на Марс? Радиус орбиты Марса 1,52 а. е. Какова
минимальная начальная скорость при полете на Венеру? Радиус орбиты
Венеры 0,72 а. е.
68
8.52. Баллистическую ракету запускают с Северного полюса, так что
после выхода из атмосферы и выключения двигателей она имеет скорость V0 и угол вылета θ по отношению к горизонту. При каком
соотношении между V0 и θ ракета достигнет Южного полюса?
8.53. Как следует запускать баллистическую ракету на экваторе,
чтобы она попала на Северный полюс? Найти связь между величиной
начальной скорости и направлением запуска.
8.54. Требуется вывести космический корабль на околосолнечную
орбиту с перигелием 0,001 а. е. и периодом обращения один год. С какой
скоростью и в каком направлении относительно линии Земля – Солнце
нужно запустить такой корабль с Земли?
8.55. Астероид, вращавшийся вокруг Солнца по круговой орбите со
скоростью 20 км/с, за счет столкновения с метеоритом получил добавку
тангенциальной скорости 20 км/с. С какой скоростью и под каким углом к
первоначальной скорости астероид покинет пределы Солнечной системы?
8.56. Астероид движется вокруг Солнца по эллиптической орбите
с апогелием 2,8 а. е. и перигелием 1,01 а. е. При каком минимальном относительном изменении скорости в апогелии астероид столкнется с Землей?
Какова при этом максимальная относительная скорость Земли и астероида
при встрече? Орбита астероида лежит в плоскости орбиты Земли.
8.57. С какой скоростью спутник должен покинуть атмосферу Земли,
чтобы выйти на орбиту вокруг Солнца с перигелием r1 = 0,2 а. е. и апогелием r2 =1,8 а. е.? Плоскость орбиты спутника лежит в плоскости
орбиты Земли.
8.58. На космическом аппарате, движущемся по круговой орбите
радиусом 1 а. е. вокруг Солнца, ставится идеально отражающий излучение
парус, ориентированный перпендикулярно лучам Солнца. Найти минимальную площадь паруса, необходимую для того, чтобы покинуть Солнечную систему. Масса аппарата m = 10 т, масса Солнца М = 2·1030 кг,
полная мощность излучения N = 3,86·1026 Вт. Какова минимальная
площадь паруса для полета к орбите Марса (радиус орбиты 1,52 а. е.)?
8.59. Одно тело движется по параболе, другое – по окружности. В
результате неупругого столкновения в перигее они слипаются. Найти
траекторию образовавшегося тела. Массы тел одинаковы.
69
Задачи
8. Движение в центральном поле
8.60. Три звезды одинаковой массы M, находящиеся в вершинах равностороннего треугольника со стороной d, движутся вдоль его сторон
с одинаковыми начальными скоростями V = G M d (см. рис. а). Каким
8.67. Оценить время, через которое возвратится баллистическая
ракета, запущенная с поверхности Земли со скоростью 10 км/с. Сопротивлением атмосферы пренебречь.
будет минимальное расстояние между звездами в процессе движения? Каким будет максимальное расстояние между звездами, если скорости звезд
были направлены перпендикулярно сторонам треугольника (см. рис. b)?
8.68. С какой начальной скоростью добрый молодец подбросил дубинку, если она вернулась на Землю через трое суток?
V
V
V
8.70. Найти закон движения частицы по параболической траектории
в поле с потенциалом U = − α r .
V
V
V
a
8.69. Как изменится период обращения Земли вокруг Солнца после
неупругого столкновения с осколком, масса которого в 106 раз меньше
массы Земли? Относительно Солнца осколок двигался по параболе
и перед столкновением летел под углом α к скорости Земли.
b
8.61. Сколько лет нужно ожидать возвращения кометы, удаляющейся
от Солнца на 35 а. е.? Перигелий кометы 0,6 а. е.
8.62. При каком изменении скорости движения Земли продолжительность года увеличится в два раза?
8.63. Спутник движется по окружности радиусом R с периодом T. За
короткое время скорость спутника была увеличена в k раз без изменения
ее направления. Найти максимальное удаление спутника от центра Земли
и новый период обращения.
8.64. Спутник, двигавшийся по круговой орбите, получил радиальную добавку скорости ∆V. Как изменился период обращения спутника?
Что будет, если добавка скорости перпендикулярна плоскости орбиты?
8.65. Два спутника движутся друг за другом на расстоянии 45 км по
общей круговой орбите вблизи Земли. Чтобы состыковаться, спутники
должны сблизиться и двигаться по общей орбите. Сколько раз нужно
включить двигатель отстающего спутника, чтобы осуществить этот
маневр наиболее экономично? Как зависит время сближения спутников от
величины добавки к скорости? Двигатель сообщает спутнику импульс,
перпендикулярный радиусу орбиты, а его каждое включение изменяет
скорость спутника не более чем на 8 км/ч.
8.71. Найти траекторию частицы в поле
при r ≥ R,
⎧ −α / r
⎪
2
U = ⎨ 3α α r
+
при r < R .
⎪−
⎩ 2r 2 R 3
8.72. Определить траекторию движения релятивистского электрона
в поле закрепленного ядра с зарядом Ze. Исследовать траектории для
случая L < Ze2 /c и L ≥ Ze2/c, где L – момент импульса электрона. Найти
скорость прецессии орбиты, обусловленной релятивистскими поправками.
8.4. Задача двух тел
8.73. Найти период малых продольных колебаний осциллятора ,
состоящего из двух масс m и M, закрепленных на концах пружины
жесткостью k .
8.74. Как изменится скорость хода часов с крутильным маятником,
если их снять с пульта космического корабля и оставить свободно парить
в кабине? От каких параметров и как будет зависеть это изменение?
8.75. Через невесомый блок перекинута нерастяжимая нить, к концам
которой через пружины жесткостью k подвешены грузики массой m и M.
Найти частоту малых колебаний грузиков в поле тяжести. Трения нет.
8.66. За какое время Земля упадет на Солнце, если остановить ее
движение по орбите?
8.76. Два шарика массами m и М соединены пружиной жесткости k.
Шарики заряжают одноименными зарядами, так что пружина растягивается в α раз (пружина электрическое поле не возмущает). Найти частоту
малых продольных колебаний системы.
70
71
Задачи
8. Движение в центральном поле
8.77. В линейной цепочке из трех масс m, 2m и m, соединенных
пружинами жесткостью k, возбуждены симметричные колебания амплитудой А (см. рисунок). В фазе сжатия
2m
m
m пружин средняя масса разваливается на две
равные части. Найти частоту и амплитуду
колебаний новых цепочек.
8.83. Через какое время столкнутся две точки с разными массами,
начавшие двигаться из состояния покоя под действием силы взаимного
гравитационного притяжения?
8.78. Частица массой M, скоростью V испытывает лобовое упругое
столкновение с первоначально неподвижной частицей массой 2M, соеди2M
ненной невесомой пружиной жесткостью k
M
M
с другой массой M (см. рисунок). Найти
законы движения частиц после столкновения. В момент удара пружина была нерастянута и имела длину L.
взаимодействия: а) U = α 2 r 2 ; б) U = α 2 r .
8.79. Кусок пластилина массой m, скоростью V испытывает лобовое
неупругое столкновение с первоначально
2m
m
m
неподвижной частицей такой же массы,
соединенной с другой массой 2m нерастянутой невесомой пружиной длиной L,
жесткостью k (см. рисунок). Найти законы движения частиц. Силу
сцепления пластилина с частицей m считать равной нулю.
R
m
M
m
M
m
8.80. Две одноименно заряженные бусинки
массой m и зарядом q каждая надеты на жесткое
кольцо массой M, которое лежит на гладком
столе (см. рисунок). Каким будет период малых
колебаний системы, если бусинки сместить от
положения равновесия и отпустить? Радиус
кольца R.
8.81. Внутри первоначально неподвижной
гладкой сферы радиусом R, массой М лежит шарик радиусом r, массой m (см. рисунок). Шарику
сообщается начальная поступательная скорость V,
так что он начинает скользить по внутренней поверхности сферы. Описать дальнейшее движение
системы. Силы трения и тяготения не учитывать.
8.84. Частица массой m, скоростью V налетает на первоначально
покоящуюся частицу массой M. Прицельный параметр столкновения ρ.
Найти минимальное расстояние между частицами, если потенциал
4
8.85. Компоненты двойной звезды имеют массы M и 2M. Скорости
звезд в начальный момент направлены перпендикулярно отрезку d,
соединяющему их центры, и равны 2V и V соответственно. Нарисовать
возможные траектории звезд. Сформулировать условие финитности движения для этого случая. Вычислить период их движения, а также максимальное и минимальное расстояния между ними.
8.86. Найти полную массу системы «двойная звезда» по периоду
обращения, минимальному и максимальному расстояниям между составляющими ее звездами.
8.87. Найти расстояние между компонентами двойной звезды, если
их суммарная масса равна удвоенной массе Солнца, а звезды вращаются
по круговым орбитам вокруг общего центра масс с периодом два года.
Расстояние от Земли до Солнца 1,5·108 км.
8.88. Масса шарового астероида M, радиус R. Какой должна быть
минимальная скорость у шара массой m ≤ M, радиусом r < R, запускаемого
с поверхности астероида, чтобы он не вернулся на астероид?
8.89. Две звезды массами m1 и m2 двигаются по окружностям вокруг
общего центра масс. У звезды массой m2 в результате сферически-симметричного взрыва сбрасывается внешняя оболочка массой qm2, которая,
расширяясь с большой скоростью, быстро уходит за пределы двойной
системы. При каком значении q двойная система перестанет быть связанной гравитационными силами?
8.82. Найти энергию связи атома позитрония, состоящего из электрона и позитрона, движущихся по круговой орбите радиусом R вокруг
общего центра масс. Насколько эта энергия отличается от энергии связи
атома водорода в случае, когда радиус орбиты электрона в позитронии
и в атоме водорода одинаковы? Заряд электрона е.
8.90. Две звезды с массами m и 2m движутся по окружностям вокруг
общего центра масс на расстоянии d друг от друга. У звезды с массой 2m
сферически-симметричным взрывом сбрасывается половина массы. Сброшенная оболочка, быстро расширяясь, покидает двойную систему. Каким
будет новое максимальное расстояние между звездами? Во сколько раз
изменится период их обращения?
72
73
Задачи
8.5. Рассеяние частиц
8.91. Найти зависимость угла рассеяния точечных частиц на
абсолютно упругой сфере радиусом R от прицельного параметра ρ.
8.92. Найти сечение рассеяния на угол, больший 900, при упругом
столкновении точечной частицы массой m с первоначально неподвижной
сферой радиусом R, массой 2m.
90°
M
2M
8.93. Сфера радиусом R, массой M
при упругом столкновении с первоначально неподвижным шаром радиусом R
и массой 2M рассеивается на угол 900 (см.
рисунок). Найти прицельный параметр
этого столкновения.
8.94. Точечная частица массой m и энергией T упруго рассеивается
на первоначально неподвижном шаре массой М. Какая часть энергии
в среднем передается шару за одно столкновение?
8.95. Найти зависимость угла рассеяния частиц с энергией E от
прицельного параметра ρ при рассеянии на сферически-симметричном
потенциальном барьере высотой U и радиусом R. Нарисовать график
зависимости максимального угла рассеяния от энергии частиц при
фиксированной высоте барьера. Нарисовать зависимость максимального
угла рассеяния от высоты барьера при фиксированной энергии частиц.
8.96. Найти зависимость угла рассеяния от прицельного параметра
при рассеянии частиц с кинетической энергией E на сферической
потенциальной «яме» глубиной U. Нарисовать график зависимости
максимального угла рассеяния от энергии частиц при фиксированной
глубине ямы. Нарисовать зависимость максимального угла рассеяния от
глубины ямы при фиксированной энергии частиц.
8.97. Найти зависимость угла рассеяния от прицельного параметра
для быстрых электронов, пролетающих мимо тонкой заряженной
проволочки перпендикулярно ее оси (напряженность электрического поля
проволочки обратно пропорциональна расстоянию от нее).
8.98. Найти сечение рассеяния на угол, больший 900, при столкновении электрона с энергией Т = 10 кэВ с неподвижным протоном. Как
изменится результат, если протон не закреплен?
8. Движение в центральном поле
8.100. Плоский поток частиц рассеивается на отталкивающем кулоновском потенциале. Найти область, в которую частицы попасть не могут.
8.101. Найти зависимость энергии, переданной покоившемуся протону
нерелятивистским электроном от прицельного параметра. Каким будет
результат при столкновении ядер дейтерия и гелия? Столкновения упругие.
8.102. Найти сечение упругого рассеяния электрона с кинетической
энергией 1 МэВ на угол, больший 10−2 радиан, при пролете мимо первоначально покоившегося протона. Определить максимальную и минимальную энергию, переданную протону при рассеянии.
8.103. Оценить сечение «ионизации» (отрыва планеты) Солнечной
системы быстрой звездой. Скорость звезды u много больше орбитальной
скорости планеты V0.
8.104. Мюон с кинетической энергией Т упруго рассеивается на
первоначально покоившемся протоне. Прицельный параметр столкновения ρ = 10−8 см. Найти энергии и направления разлета частиц после
столкновения, если: a) Т = 10 эВ; б) Т = 10 МэВ. Определить минимальное расстояние между частицами в обоих случаях.
8.105. Найти зависимость угла рассеяния от прицельного параметра
в поле U = α / r + β /r 2, где α, β > 0.
8.106. Найти уравнение траектории частицы массой m, движущейся
в поле U = α r2 + β / r2, где α, β > 0.
8.107. Описать качественно характер движения и вид траектории
частицы в поле U = −
α
r1 2
−
β
r7 2
.
8.108. Описать качественно характер движения частицы в поле U =
= α r −1 exp ( − r r0 ) при различных значениях момента импульса и энергии
частицы. α > 0.
8.109. Два встречных цилиндрических сгустка нейтральных частиц
имеют радиус a, длину L, скорость V. В каждом сгустке N частиц, радиус
которых r много меньше среднего расстояния между частицами в сгустке.
Найти полное число столкновений частиц за время прохождения сгустков
сквозь друг друга.
8.99. Найти сечение рассеяния на угол, больший 900, при упругом
столкновении протона с энергией Т =10 эВ с летящим навстречу протоном
такой же энергии.
8.110. Пучок α-частиц с энергией 10 МэВ проходит через золотую
фольгу толщиной 10 мк. За час происходит в среднем одно рассеяние на
угол, больший 900. Найти интенсивность пучка α-частиц.
74
75
Задачи
8.111. Оценить скорость потери энергии легким упругим шариком
массой m на покоящихся тяжелых шариках с таким же радиусом
и массой M m.
8.112. Найти толщину графитового замедлителя, понижающего
среднюю кинетическую энергию нейтронов с 5 МэВ до 0,5 кэВ. Считать,
что потери энергии происходят за счет упругих столкновений с ядрами
углерода C12 радиусом 3,5·10−13 см, рассматриваемыми как покоящиеся
упругие шарики.
8.113. Пучок быстрых отрицательных ионов проходит через перезарядную мишень с интегральной плотностью молекул
∫ n dx = N мол/ см .
2
Сечение перезарядки отрицательных ионов в атомы σ−0 см2/мол, сечение
перезарядки атомов в протоны σ0+ см2/мол. Какая доля пучка отрицательных ионов выйдет из мишени в виде отрицательных ионов, атомов
и протонов? При какой толщине мишени выход атомов максимален?
9. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
9.1. Равновесие тел
9.1. Найти натяжение кольцевой цепочки,
надетой на гладкий конус с углом при вершине α.
g
9.2. Найти натяжение кольцевой цепочки
радиусом r, весом P, надетой на гладкую сферу
радиусом R (см. рисунок).
9.3. Обруч радиусом R, весом P лежит горизонтально в параболической чашке, описываемой уравнением y = α ρ 2 . Найти силу упругого
сжатия обруча Т.
9.4. Найти силу упругого сжатия обруча
радиусом r, весом P, лежащего горизонтально
внутри гладкой сферической чашки радиуса R.
g
9.5. Найти силу, сжимающую невесомый B
стержень BD в системе, показанной на рисунке.
Длина каждого стержня равна L, вес P. Стержни соединены шарнирами и образуют квадрат.
9.6. Ромб, составленный из
шарнирно закрепленных стержней
каждый, подвешен за вершину (см.
Найти натяжение невесомой нити,
ющей верхнюю и нижнюю точки АВ
четырех
весом Р
рисунок).
соединяромба.
D
A
g
B
76
77
Задачи
9. Движение твердого тела
9.7. Однородная пластина длиной
3L и весом 3P согнута под прямым углом
и подвешена, как показано на рисунке.
g
L
2L
Найти натяжение невесомой нити. При
каком угле β нить нужно заменить невесомым стержнем?
трения скольжения µ. При каком максимальном угле отклонения α карандаша от горизонтали он еще вернется в положение равновесия?
a
b
A
9.8. Одинаковые стержни AB и BC длиной L,
весом P соединены шарнирно. Точки A и C соедиg нены невесомой нитью длины L. Найти натяжение
нити и угол θ, образуемый стержнем AB с горизонталью в положении равновесия.
q
C
B
9.9. Однородный стержень длиной L, весом P может скользить своими концами без трения по параболе y = α x 2 . Найти положения равновесия стержня и исследовать их устойчивость.
9.10. Нижний конец тонкой деревянной
палочки длиной L шарнирно закреплен на дне
бассейна (см. рисунок). Глубина воды h < L.
Найти положения равновесия и исследовать их
устойчивость.
h
h
9.11. Тонкая деревянная палочка длиной L
шарнирно подвешена за один конец над поверхностью воды (см. рисунок, h < L). Найти положения равновесия палочки и исследовать их устойчивость.
9.12. Невесомая плоская параболическая качалка высотой H = 20 см и шириной
g
L = 40 см установлена вертикально на горизонтальной поверхности в поле тяжести
и может качаться в своей плоскости (см.
рисунок). По вертикальной оси качалки
снизу вверх ползет маленький жук. До
какой высоты он должен доползти, чтобы равновесие качалки стало
неустойчивым и она могла наклониться?
2r
R
g
9.13. Карандаш радиусом r удерживается горизонтально в равновесии
на стержне радиусом R в поле тяжести
(см. рисунок). Оси карандаша и стержня перпендикулярны, коэффициент
78
9.2. Вращение с неизменной ориентацией оси.
Момент инерции, момент импульса
9.14. Крест состоит из однородных стержней, скрепленных посредине под углом α. Найдите его момент инерции относительно конца
одного из стержней. Ось вращения перпендикулярна плоскости креста.
9.15. Из однородной квадратной пластины
стороной а вырезали квадрат стороной а/2 (см.
рисунок). Масса полученной фигуры m. Найти a
момент инерции фигуры относительно оси,
перпендикулярной плоскости рисунка и проходящей через её центр тяжести.
a/2
9.16. При каком соотношении между радиусом и высотой конуса его
главные моменты инерции будут одинаковыми?
9.17. Стержень вращается с угловой скоростью ω, причем ось
вращения проходит через середину стержня, образуя с ним угол α. Найти
величину и направление момента импульса, а также кинетическую энергию стержня.
9.18. На поверхность Земли выпадает метеорная пыль. Поток ее
изотропен, плотность потока µ. Найти зависимость продолжительности
суток от времени.
9.19. Оценить период вращения Солнца, если бы оно превратилось
в нейтронную звезду с плотностью 1014 г/см3. Средняя плотность Солнца
1,4 г/см3, период вращения 2·106 с.
9.20. Масса вращающейся звезды уменьшается за счет быстрого
истечения вещества в пространство. Как изменяется угловая скорость
вращения звезды при уменьшении ее радиуса? Звезду считать однородным твердым шаром. Разлет вещества сферически-симметричен в системе отсчета
звезды.
9.21. Невесомая труба согнута по винтовой линии радиусом R c углом наклона α и имеет N витков
(см. рисунок). Начало и конец трубы выведены по
радиусу на ось винтовой линии. Через подводы,
обеспечивающие свободное вращение трубы вокруг
79
a
V
Задачи
9. Движение твердого тела
оси винтовой линии, прокачивается вода со скоростью V. Найти угловую
скорость вращения трубы.
тормозя первый диск. Какой будет угловая скорость диска к моменту,
когда скорости дисков уравняются?
9.22. Тело массой m соскальзывает с высоты Н по винтовому желобу с радиусом R и
углом наклона 30° (см. рисунок). Желоб массой М может свободно вращаться вокруг своей
вертикальной оси. Найти угловую скорость
вращения желоба после соскальзывания тела.
Трения нет.
9.28. Цилиндрическая банка с жидкостью раскручена вокруг оси
симметрии так, что жидкость не успела закрутиться. Как изменится
угловая скорость вращения к моменту, когда угловые скорости банки
и жидкости уравняются? Сколько энергии перейдет в тепло? Моменты
инерции жидкости и пустой банки равны.
m
g
H
30 °
9.23. Три одинаковые точечные массы соединены невесомыми стержнями длиной L и образуют равносторонний треугольник АВС, который
вращается в своей плоскости с угловой скоростью Ω вокруг оси, проходящей через центр (см. рис. а). Связь AC исчезает. Найти линейные скорости масс в момент, когда они займут положение, показанное на рис. b.
B
9.29. Диск массой M, радиусом R может вращаться вокруг своей
оси без трения. На тонкую шершавую ось, находящуюся на расстоянии ρ от центра диска, насадили диск массой m, радиусом r, вращающийся с угловой скоростью ω0. Найти установившуюся угловую скорость вращения системы.
9.3. Физический маятник
9.30. Найти частоту малых колебаний тонкого стержня длиной L
в поле тяжести вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной стержню
и расположенной на расстоянии x от его середины.
A
C
а
b
9.24. На гладком столе лежит диск массой M, радиусом R, вращающийся с угловой скоростью ω0. На диск падает плашмя без горизонтальной скорости круглая пластилиновая лепешка массой M, радиусом R/2. Край лепешки совпадает с краем диска. Найти угловую скорость
диска с приклеившейся к нему лепешкой.
9.25. Сплошной цилиндр радиусом R, вращающийся с угловой скоростью ω, ставят вертикально на шероховатую горизонтальную плоскость. Коэффициент трения µ. Сколько оборотов сделает цилиндр?
9.26. Два одинаковых диска, насаженных на
гладкие оси, один из которых вращался с угловой
скоростью ω, привели в соприкосновение (см. рисунок). Найти установившуюся скорость вращения
дисков. Какая часть энергии перейдет в тепло?
9.31. Симметричный крест, состоящий из двух взаимно-перпендикулярных тонких однородных стержней длиной L, может колебаться
в поле тяжести вокруг горизонтальной оси, проходящей через один из
стержней и перпендикулярной ему. При каком удалении X оси вращения
от центра креста период его малых колебаний будет минимален? Найдите минимальное значение периода колебаний креста.
9.32. Обруч подвешен за верхнюю точку и может колебаться в вертикальной плоскости. Найти частоту малых колебаний: а) в плоскости
обруча; б) перпендикулярно плоскости обруча.
9.33. Найти частоту малых колебаний тонкостенной сферы вокруг
своей хорды в поле тяжести. Каким будет период малых колебаний для
шара?
9.27. К диску, раскрученному вокруг оси, проходящей через центр
симметрии перпендикулярно плоскости, поднесли два таких же неподвижных диска, так что они начали раскручиваться вокруг своих осей,
9.34. Тонкостенный сферический сосуд радиусом R целиком заполнен водой и совершает малые колебания относительно точки подвеса О,
удаленной на расстояние L = 2R от центра сферы. Вода постепенно, слой
за слоем, намерзает на внутреннюю поверхность сосуда. Во сколько раз
изменится амплитуда колебаний к моменту, когда вся вода замерзнет?
Время полного замерзания воды много больше периода колебаний.
80
81
Задачи
9. Движение твердого тела
9.35. Каркас массой m, сделанный из тонкой проволоки, имеет вид
полуокружности с диаметром. Каркас шарнирно закреплен в средней
точке диаметра и может колебаться перпендикулярно своей плоскости.
Какова частота малых колебаний, если диаметр
полуокружности d?
малых колебаний цилиндра в поле тяжести вокруг горизонтальной оси,
совпадающей с осью большого цилиндра.
g
9.36. Найти частоту малых колебаний проволочного равностороннего треугольника, подвешенного
на шарнире за вершину в поле тяжести (см. рисунок).
Треугольник колеблется в плоскости рисунка.
L
g
2L
2L
а
L
9.37. Однородный стержень согнут
под прямым углом и подвешен на шарнире (см. рисунок). Найти частоту малых
колебаний стержня для двух случаев,
показанных на рис. а и b.
b
L
a
9.38. Найти частоту малых колебаний прямоугольной
пластинки в поле тяжести относительно
g
оси, которая проходит через край пластинки и наклонена под углом α к вертикали (см. рисунок).
9.39. Номерок из гардероба представляет собой диск радиусом R, на
краю которого имеется отверстие радиусом r. Номерок висит на тонком
гвозде. Найти частоту его малых колебаний в своей плоскости.
9.40. В ободе колеса, имеющего форму диска радиусом R, массой M,
застрял камешек массой m. Найти частоту малых колебаний при плоском
покачивании колеса без проскальзывания на горизонтальной плоскости.
9.43. На краю шара радиусом R, плотностью ρ1 вырезана сферическая полость радиусом
R/2 (см. рисунок). В полость вставлена шаровая
вставка плотностью ρ2 < ρ1 того же радиуса. Трения между стенками полости и вставкой нет.
Найти частоту малых колебаний шара в поле
тяжести вокруг горизонтальной оси, совпадающей с диаметром большого шара.
g
9.44. Найти частоту малых колебаний полушара радиусом R на
горизонтальной плоскости в поле тяжести. Проскальзывания нет.
9.45. На неподвижный горизонтальный стержень радиусом r надета
тонкостенная труба радиусом R. Найти частоту малых колебаний трубы
в поле тяжести. Труба движется без проскальзывания.
9.46. Найти частоту малых колебаний шарика радиусом r, двигающегося без проскальзывания по внутренней поверхности сферы радиусом R в поле тяжести.
9.47. Найти частоту малых колебаний стержня массой m, длиной L,
прикрепленного верхним концом к шарниру, а нижним – к середине
нерастянутой горизонтальной пружины жесткостью k, концы которой
закреплены.
9.48. Однородный стержень подвешен к потолку на двух одинаковых нитях, закрепленных на концах стержня. В положении равновесия
нити вертикальны. Найти частоту малых крутильных колебаний стержня
вокруг вертикальной оси, проходящей через центр стержня.
9.41. Обруч радиусом R лежит горизонтально внутри неподвижной
гладкой сферы радиусом 2R. Найти частоту малых колебаний обруча под
действием силы тяжести.
9.49. Найти частоту малых крутильных колебаний вокруг вертикальной оси для однородного кольца, подвешенного к потолку на трех
одинаковых нитях. В положении равновесия нити вертикальны и делят
кольцо на три равные части. Плоскость кольца горизонтальна.
9.42. В цилиндре радиусом R параллельно оси на расстоянии R/2 вырезан цилиндрический канал, в который
вставлена цилиндрическая вставка
g радиусом R/2 и длиной, равной длине
цилиндра (см. рисунок). Плотность вещества цилиндра ρ1, вставки – ρ 2 < ρ 1,
трение между стенками цилиндра и вставкой равно нулю. Найти частоту
9.50. На гладком столе лежат стержни AB
и BC, соединенные в точке B шарниром. Точки A
и C соединены невесомой пружиной жесткостью k (см. рисунок). Длины L и массы M стержней одинаковы. В положении равновесия стержни образуют угол 600. Найти частоту малых
колебаний. Как изменится результат, если закре- A
пить точку В?
82
83
B
C
Задачи
9.51. Диск массой M, радиусом R может катиться без скольжения по
прямолинейному горизонтальному рельсу. К центру диска шарнирно
прикреплен невесомый стержень длиною L, на конце которого находится
точечная масса m. Найти период малых колебаний такого маятника.
9.4. Плоское движение тел
2m
V
9.52. Описать движение гантели, состоящей
m из двух одинаковых шаров массой m и радиусом r каждый, соединенных невесомым стержнем
длины R r (см. рисунок), после упругого
R
лобового столкновения частицы массой 2m,
m скоростью V с одной из масс гантели. До столкновения гантель покоилась.
9.53. По стержню длиной L, лежащему на гладком столе, наносится
удар. Направление удара перпендикулярно стержню. При ударе концы
стержня приобретают скорости V и 2V. Найти расстояние от точки удара
до середины стержня.
9.54. На льду лежит стержень длиной L, массой M, с которым упруго
сталкивается шарик массой m. Скорость шарика V направлена по нормали к стержню. Точка удара близка к концу стержня. Найти скорость
шарика после столкновения.
9.55. На гладком столе лежит стержень массой M, длиной L.
Перпендикулярно стержню движется шарик массой m. После упругого
удара о стержень шарик остановился. На каком расстоянии от середины
стержня произошел удар?
9.56. Каким участком сабли следует рубить лозу, чтобы рука не
чувствовала удара? Саблю считать однородным стержнем длиной L.
9.57. Однородный диск радиусом R, вращавшийся с угловой скоростью ω, разбился по диаметру на две равные части. Найти скорости
поступательного и вращательного движения осколков.
2V
V
9.58. Две одинаковые гантельки, движущиеся навстречу со скоростями V и 2V (см. рисунок),
сталкиваются концами и слипаются. Описать
движение образовавшейся гантельки. Длина каждой гантельки L.
9.59. Две одинаковые гантельки, вращающиеся в одной плоскости
навстречу друг другу с угловыми скоростями Ω и 2Ω (см. рисунок),
84
9. Движение твердого тела
сталкиваются концами и слипаются. Описать
движение образовавшейся гантельки.
9.60. Шайба, двигавшаяся без вращения по
льду со скоростью V, при касательном столкновении склеивается с первоначально неподвижной такой же шайбой (cм. рисунок) и через некоторое время после совместного движения
отрывается от нее. Какой будет максимальная скорость второй шайбы после
отрыва?
V
9.61. На обруч массой m, радиусом R намотана тонкая веревка
линейной плотностью ρ. Обруч катится по плоскости, при этом веревка
разматывается. Считая, что плоскость абсолютно шероховатая, найти
зависимость скорости обруча от времени. Длина веревки L, начальная
скорость обруча V0 .
9.62. В одном из хоккейных матчей шайба, летевшая без вращения
со скоростью V под углом 450 к борту, упруго ударилась о борт и отскочила… по нормали. Найти скорость вращения отскочившей шайбы.
Масса шайбы m, радиус R.
9.63. Какое максимальное число оборотов вокруг своей оси может
сделать футбольный мяч после одиннадцатиметрового удара? Радиус
мяча 0,11 м. Начальная скорость мяча направлена под малым углом
к горизонту. Сопротивлением воздуха пренебречь.
9.64. На шероховатый пол падает шар
V
радиусом R, который вращается с угловой
скоростью ω по часовой стрелке вокруг
горизонтальной оси и имеет горизонтальную скорость V0 > ωR, перпендикулярную оси вращения (см. рисунок). Найти
угловую скорость вращения шара и его
горизонтальную скорость после N упругих отскоков от пола.
9.65. Стержень длиной L, движущийся
поступательно со скоростью V, одним
концом задевает за закрепленную стенку
(см. рисунок). Найти угловую скорость вращения стержня после удара. Угол между
осью стержня и начальной скоростью α.
Удар упругий. Рассмотреть два случая: а) трения нет;
зывания нет.
85
g
a
V
б) проскаль-
Задачи
9. Движение твердого тела
9.66. По льду скользят две шайбы, имевшие одинаковые начальные
скорости. Одна из них при этом вращается, а другая движется только
поступательно. Какая из шайб пройдет большее расстояние? Коэффициент трения не зависит от скорости.
стью V (см. рисунок). Найти установившуюся угловую скорость цилиндра.
9.74. В цилиндре с радиусом основания R
g
параллельно оси вырезан цилиндрический канал
радиусом R/2 (см. рисунок). В канал вставлена
цилиндрическая вставка из того же материала.
a
Расстояние между осями главного цилиндра и
вставки равно R/2, трение между цилиндром и вставкой отсутствует.
Найти угловое ускорение, с которым цилиндр будет скатываться без проскальзывания с наклонной плоскости.
9.67. Лежащей на льду шайбе радиусом R касательным ударом в точку О сообщают импульс Р (см. рисунок). Сколько
оборотов сделает шайба и какое расстояние
пройдет до остановки? Сила трения F =
= −αSV пропорциональна скорости V и площади контакта S шайбы со льдом.
O
P
9.68. Однородный цилиндр раскрутили воg
круг оси и поставили без поступательной скорости на шероховатую горизонтальную плоскость. Ось вращения параллельна плоскости (см.
рисунок). Нарисовать синхронные графики зависимости от времени угловой скорости, поступательной скорости, ускорения и смещения. Какая доля энергии цилиндра перейдет в тепло?
9.69. Определить минимальное значение угловой скорости, при
которой обруч, брошенный вперед с закруткой, сможет покатиться назад.
Определить его установившуюся скорость, если начальная угловая скорость превышает минимальную.
9.70. Определить ускорение скатывания с наклонной плоскости с углом наклона к горизонту α: а) полого и сплошного цилиндров; б) шара.
9.71. Определить ускорение, с которым цилиндрическая бочка
массой m, целиком заполненная жидкостью массой M, скатывается без
проскальзывания с наклонной плоскости с углом наклона α. Вязкостью
жидкости и моментом инерции днищ бочки пренебречь.
9.72. Шар радиусом R, массой М начинает скользить по наклонной
плоскости с углом наклона α. Коэффициент трения скольжения µ.
С какой силой соскальзывающий шар действует
на плоскость?
9.73. В цилиндре с радиусом основания R
параллельно
оси вырезан цилиндрический канал
V
радиусом R/2. В канал вставлена цилиндрическая вставка из того же материала. Расстояние между осями главного
цилиндра и вставки равно R/2, трения между цилиндром и вставкой нет.
Цилиндр поставили на шероховатую плоскость, движущуюся со скоро86
9.75. Однородный цилиндр раскрутили
вокруг оси и поставили без начальной скорости
на наклонную плоскость (см. рисунок). Описать
движение цилиндра при различных соотношениях между коэффициентом трения и углом
наклона.
g
a
9.76. Найти время, за которое цилиндр радиусом r, вращающийся
с начальной угловой скоростью ω, достигнет наивысшего положения,
будучи поставлен на шероховатую наклонную плоскость с углом наклона к горизонту α.
9.77. На какую высоту поднимется поставленный на наклонную плоскость с углом наклона α вращающийся цилиндр радиусом R, энергией T, если имеется проскальзывание? Коэффициент трения µ .
9.78. Рулон тонкой бумаги общей длиной L, намотанный на невесомую трубу
радиусом R, раскручивается под действием
силы тяжести по наклонной плоскости
с углом наклона α к горизонту (см. рисунок). За какое время рулон развернется
наполовину? Проскальзывания нет.
9.79. С верхней точки цилиндрической
горки радиусом R скатывается без проскальзывания и без начальной скорости цилиндр
радиусом r (см. рисунок). На какой высоте
цилиндр оторвется от горки?
g
a
g
9.80. На шероховатом столе стоит палочка, которая начинает падать
из вертикального положения в поле тяжести. При угле наклона палочки
45○ ее нижний конец начинает скользить. Найти коэффициент трения.
87
Задачи
9. Движение твердого тела
9.81. Палочка длиной L, массой М, стоящая вертикально на горизонтальной плоскости, начинает падать с нулевой начальной скоростью.
Найти силу, с которой палочка действует на плоскость перед моментом
полного касания в случаях: а) плоскость гладкая; б) проскальзывания
нет.
9.88. Волчок, имеющий форму диска диаметром
30 см, насаженного посредине оси длиной 20 см,
вращается с угловой скоростью 15 об/с вокруг оси
симметрии (см. рисунок). Определить угловую скорость регулярной прецессии волчка.
9.82. Лестница длиной L, опирающаяся верхним концом на гладкую
вертикальную стену, а нижним – на гладкий горизонтальный пол, начинает падать. Опишите ее движение, если в начальный момент она покоилась, а расстояние от нижнего конца до стены было равно d. Определите силы реакции стены и пола при движении лестницы.
9.89. Исследовать устойчивость движения обруча, катящегося без
проскальзывания с угловой скоростью ω по горизонтальной плоскости.
Плоскость обруча вертикальна. Радиус обруча r.
5
9.83. С каким ускорением надо тянуть
вверх нить, намотанную на катушку, чтобы ка2 тушка не падала? Плотность материала катушки ρ. Размеры катушки указаны на рисунке.
4
7
9.84. Исследовать движение маятника Максвелла с моментом
инерции J, весом mg и радиусом оси r. Найти зависимость натяжения
нитей маятника F от времени.
9.90. Исследовать устойчивость движения однородного обруча, вращающегося вокруг вертикального диаметра с угловой скоростью ω.
Нижней точкой обруч соприкасается с горизонтальной плоскостью. Радиус обруча r.
3
9.91. Исследовать устойчивость свободного вращения спичечного коробка вокруг
оси, проходящей через его центр и параллельной одной из его сторон.
9.5. Вращение с изменением ориентации оси. Гироскоп
a
w
9.85. В укреплённую на вертикальной оси
M,
тонкую
сферическую
оболочку
массой
радиусом R вложен шар массой M и радиусом R. Шар
раскручен до угловой скорости ω под углом α к
вертикали (см. рисунок). Найти установившуюся
угловую скорость вращения оболочки и шара, если
между ними действует сила трения.
9.86. В тонкую сферическую оболочку массой
M, радиусом R вложен шар массой M, радиусом R.
w
Оболочка и шар раскручены до угловых скоростей ω в перпендикулярных направлениях (см. рисунок). Найти установившуюся угловую скорость
вращения оболочки и шара, если между ними
действует сила трения.
9.87. Найти частоту прецессии волчка, вращающегося с большой
угловой скоростью вокруг своей оси, под действием силы тяжести.
w
88
g
89
1
2
10. Неинерциальные системы отсчета
10.7. Оценить влияние вращения Земли на малые колебания математического маятника (маятник Фуко). Нарисовать проекции траектории
на горизонтальную плоскость при различных начальных условиях. Какой
будет частота прецессии маятника на экваторе, если угловая амплитуда
его колебаний θ ?
10.8. Тонкая кольцевая стеклянная трубка заполнена водой и вращается в поле тяжести вокруг своего вертикального диаметра. В трубке
имеется пузырек воздуха. При какой скорости вращения трубки равновесие пузырька в ее нижней точке будет устойчивым? Диаметр кольца D.
10. НЕИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
ОТСЧЕТА
10.1. Оценить силу давления воздуха на пол и потолок в свободно
падающем лифте.
10.2. Оценить, с какой точностью выполняется первый закон Ньютона в системе отсчета спутника, движущегося по круговой орбите и повернутого к поверхности Земли одной и той же стороной.
10.3. Точка движется относительно диска по закону r = r (t). Диск
вращается относительно наблюдателя с постоянной угловой скоростью ω. Найти закон движения точки, ее скорость и ускорение в системе
отсчета неподвижного наблюдателя.
10.4. Тело свободно падает с высоты 500 м на землю. Принимая во
внимание вращение Земли и пренебрегая сопротивлением воздуха, определить, насколько отклонится тело при падении. Географическая широта
места 600.
10.5. Вращение Земли вызывает наклон поверхности воды в реке.
Оценить угол наклона поверхности воды для реки, текущей с севера на
юг на широте ϕ.
10.9. Тонкая U-образная трубка заполнена жидкостью и вращается вокруг своей оси симметрии (см.
рисунок). Найти частоту колебаний столба жидкости
в поле тяжести. Полная длина столба жидкости L.
Капиллярными эффектами пренебречь.
w
g
10.10. Оценить разницу между экваториальным
и полярным радиусами Земли. Землю считать
эллипсоидом вращения, гравитационный потенциал на поверхности
которого меняется по закону
U =−
GM a2 GM ⎡ R 2
3cos2 θ − 1
+
⎢
2 r ⎢⎣ r 2
r
(
⎤
)⎥⎥ ,
⎦
где М – масса Земли, R – ее радиус на экваторе, r, θ – сферические
координаты точки на поверхности эллипсоида, причем угол θ = 0 соответствует северному полюсу. Численный коэффициент a2 = 1,1 ⋅10−3 .
10.11. Вертикальная U-образная трубка, заполненная водой, вращается вокруг одной из своих половин
с угловой скоростью ω. Расстояние между прямолинейными частями трубки L. Концы трубки открыты. Найти
разность уровней воды в трубке. Оценить разность глубины океана на полюсе и на экваторе, обусловленную
вращением Земли. В среднем глубина океана 3 км.
w
L
10.6. На каком расстоянии от орудия упадет снаряд, выпущенный
вертикально вверх со скоростью V на широте ϕ, если пренебречь сопротивлением воздуха?
10.12. Трубка вращается с постоянной угловой скоростью вокруг
вертикальной оси, составляя с ней угол 450. В трубке находится тяжелый
шарик. Определить движение шарика, если в начальный момент его
90
91
Задачи
10. Неинерциальные системы отсчета
скорость относительно трубки была равна нулю, а начальное расстояние
от точки пересечения трубки с осью равнялось L.
10.20. Космическая станция представляет собой гантель длиной d,
вращающуюся с угловой скоростью Ω вокруг вертикальной оси, проходящей через центр масс (см. рисунок).
M
В отсеках станции, каждый из которых
имеет массу M, есть резервуары, один
из которых в начальный момент заполM
нен топливом массой m, а другой пуст.
Какую работу необходимо затратить,
чтобы полностью перекачать топливо
из одного отсека в другой?
m
10.13. Шарик массой m, прикрепленный к концу горизонтальной
пружины жесткостью k, находится в положении равновесия в трубке на
расстоянии L от вертикальной оси. Определить относительное движение
шарика, если трубка, образующая с осью прямой угол, начинает
вращаться вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью ω.
10.14. Горизонтальная трубка длиной L равномерно вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью ω. Внутри трубки свободно
скользит пробка. Определить скорость пробки относительно трубки в момент вылета и время движения пробки в трубке. В начальный момент
пробка покоилась на расстоянии x0 от оси.
10.15. В узкий канал, проходящий через центр Земли и экватор,
опустили тело с нулевой начальной скоростью. Найти время падения тела
до центра Земли и его скорость в центре. Угловая скорость вращения
Земли Ω, коэффициент трения о стенки канала µ.
10.16. На палочку длиной L надета бусинка массой m. Коэффициент
ее трения о палочку µ. Палочка вращается по конусу с углом раствора 2α
с угловой скоростью ω относительно вертикальной оси, проходящей
через конец. Пренебрегая весом бусинки, написать уравнение ее движения во вращающейся системе координат.
10.21. К Z-образной трубке (см.
рисунок) через подвижный подвод того
же сечения посредине трубки подается
вода со скоростью V. Вода вытекает из
обоих концов трубки, вызывая ее вращение. Найти угловую скорость вращения
трубки, если ее длина 2L.
60°
A
B
60°
10.19. Оценить высоту прилива, вызываемого Солнцем и Луной.
92
2L
10.22. Найти закон движения самолета в атмосфере, при котором
наиболее точно имитируется состояние невесомости.
10.17. Стержень длиной L, массой M шарнирно подвешен за верхнюю точку в поле тяжести g и равномерно вращается с угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси. При каком угле
наклона стержня к вертикали может происходить
такое вращение?
w
10.18. Тонкое гладкое проволочное кольцо
радиусом R вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг своего диаметра (см. рисунок). На
кольцо надета бусинка, которая в начальный
момент находилась в точке А c угловой координатой θ0 = 600 и имела относительно кольца скорость ω·R·sinθ0. Найти время движения бусинки до
точки В.
V
93
1. Кинематика
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1. КИНЕМАТИКА
1.1. Пространство и время
1.3. L = 4,3 св.года = 1,3 пк.
1.4. R = 0,72 a. e. = 1,1⋅108 км.
Венера
j
Земля
1.5. При максимальном угловом
удалении Венеры от Солнца линия
наблюдения с Земли касательна к
орбите Венеры (см. рисунок). Отсюда sin ϕ =
0, 72 a. e.
1 a. e.
= 0, 72
стью VЛ = 1 км/c, так что максимальная продолжительность полного
лунного затмения при движении через конус будет
DT − DЛ
6 ⋅103 c = 1 ч 40 мин.
VЛ
1.7. При солнечном затмении скорость движения лунной тени
определяется разностью скоростей движения Луны относительно Земли
(см. рисунок) и скорости поверхности Земли, обусловленной ее суточным вращением. На экваторе скорость вращения поверхности Земли
Луна
максимальна и равна ω З R3 = 0,5 км/с, так
что скорость лунной тени будет минимальна в ближайшей к Солнцу точке
Земля
экватора:
V = VЛ − ωЗ R3 ≈ 0,5 км/c .
1.2. Системы координат. Скорость, ускорение
и ϕ = 46o .
1.11. L = 50 π м.
После захода Солнца Венера будет видна над горизонтом в течение
t = 24 ⋅
1.14. Vx = ± 1 м/c , ay = 8 м/c2 .
460
≅ 3 ч.
3600
1.21. x 2 − y 2 = a 2 , cos2ϕ =
1.6. При полном лунном затмении Луна попадает в конус земной
тени (см. рисунок). Оценим диаметр конуса земной тени DТ на орбите
Луны:
DT
a
DT = DЗ − LЗ − Л ⋅ 2 tgα DЗ −
DС L З − Л
D Л DЗ − D Л ,
LC − З DЛ
где DС, DЗ и DЛ – диаметры Солнца,
Земля
Земли и Луны, LС-З – расстояние СолнСолнце
це–Земля, LЗ-Л – расстояние Земля–Луна, причем
DС
D
2 tgα Л 10−2 .
LC − З LЗ − Л
(Аналогичный результат получается и при рассмотрении подобных треугольников рисунка.) Луна движется относительно земной тени со скоро94
a2
r2
( где
r ≥ a ) , V = γ r, a = γ 2 r .
b
b
γb
y
1.22. x = cos γ t , y = sin γ t , траектория = tg
.
2
t
t
x
x + y2
1.23. В цилиндрических координатах радиус-вектор записывается
через единичные орты eˆρ , eˆϕ , eˆz в виде r = ρ eˆρ + zeˆz . Дифференцируя
выражение для радиус-вектора, получим вектор скорости
ˆz ,
V = ρ eˆρ + ρϕ eˆϕ + ze
где учтено, что орты eˆρ , eˆϕ меняют свое направление при изменении
deˆϕ
dϕ
dϕ
,и
= − eˆρ ⋅
. Дифференцируя выражение
dt
dt
dt
dt
для скорости, получим ускорение точки
) eˆϕ + a = ( ρ − ρϕ 2 ) eˆρ + ( ρϕ + 2 ρϕ
zeˆz .
угла
ϕ , т. е.
deˆρ
= eˆϕ ⋅
95
Ответы и решения
1. Кинематика
1.24. Закон движения ρ = ae kt , ϕ = kt , траектория ρ = aeϕ .
Скорость и ускорение находим дифференцированием:
) eˆϕ = 2 ρ k 2 eˆϕ ,
V = k ρ eˆρ + k ρ eˆϕ , a = ( ρ − ρϕ 2 ) eˆρ + ( ρϕ + 2 ρϕ
ρ = k ρ ,
где использованы соотношения
ϕ = k , ρ = ρ k 2 , ρϕ 2 = ρ k 2 ,
d V
= 2 k 2 ρ , нормальное
dt
V2
ускорение an = a 2 − aτ2 = 2k 2 ρ , а радиус кривизны Rкp =
= 2ρ .
an
ϕ = 0 . Тангенциальное ускорение равно aτ =
1.25. Ускорение точки x = 0 , y = 2 , a = 2 , его тангенциальная
компонента aτ =
=
d V
2t
=
, нормальная компонента an2 = a 2 − aτ2 =
dt
1+ t2
4
. Радиус кривизны
1+ t2
Rкр =
V2
= 2 1 + t2
an
(
)
3/2
при t = 0,
⎧⎪ 2 м
=⎨
⎪⎩ 10 5 м при t = 2 с.
1.26. Связь декартовых координат с цилиндрическими
x = ρ cos ϕ , y = ρ sin ϕ , z = z, и ρ = x 2 + y 2 , ϕ = ± arctg
y
.
x
В цилиндрических координатах:
(d ρ )
Элемент длины дуги dl =
2
+ ( ρ dϕ ) + ( dz ) , объема dV = ρ dϕ dz ×
2
× d ρ . Элементы площади ρ dϕ d ρ , ρ dϕ dz ,
2
dz d ρ . Интегрируя по
элементам объема, найдем объем цилиндра V = ∫ ρ dϕ dz d ρ = π R 2 H
и объем конуса:
H
2
⎛Hz
⎞
( Rz H )
π R2 H
.
V = ∫ dϕ ∫ ⎜ ∫ ρ d ρ ⎟ dz = 2π ∫
dz =
⎜
⎟
2
3
0 ⎝ 0
0
⎠
Связь декартовых координат со сферическими:
x = r sin θ cos ϕ , y = r sin θ sin ϕ , z = r cos ϕ .
В сферических координатах:
H
элемент длины дуги dl =
R
( dr )
2
+ ( rdθ ) + ( r sin θ dϕ ) ;
2
элемент объема dV = r sin θ dθ dϕ dr .
2
96
2
1.27. Расположим начало полярной системы координат в месте
встречи собак. При движении собаки расположены в вершинах правильного N-угольника, а радиальная компонента их скорости равна
ρ = −V sin
π
.
N
Время движения собак до встречи имеет величину
ρ
a
t= 0 =
,
ρ 2V sin 2 π
N
a
где ρ 0 =
– начальное удаление собак от точки встречи.
2 sin π
N
( )
Поделив радиальную скорость ρ на азимутальную ρϕ = −V cos
получим уравнение для траектории
dρ ⎛ π ⎞
= tg
dϕ .
ρ ⎜⎝ N ⎟⎠
Его решением является уравнение логарифмической спирали:
π⎤
a
π⎤
⎡
⎡
exp ⎢(ϕ − ϕ n0 ) tg ⎥ ,
ρ = ρ 0 exp ⎢(ϕ − ϕ n0 ) tg ⎥ =
π
N
N⎦
⎣
⎦ 2 sin
⎣
N
где ϕ n0 – начальная угловая координата n-й собаки.
π
N
,
1.29. Предположим, что собака догонит зайца за время T. При этом
заяц, бегущий со скоростью u, успевает пробежать расстояние uT, которое равно горизонтальной проекции пути, пройденного собакой. Эта
проекция складывается из элементарных участков размером V sin α dt ,
где α – угол между направлением скорости собаки V и нормалью к линии движения зайца. Отсюда получаем соотношение
T
T
0
0
uT = ∫ V sin α ( t ) dt = V ∫ sin α ( t ) dt .
(1)
В системе отсчета собаки скорость сближения собаки и зайца равна V − u sin α , так что
T
∫ ⎡⎣V − u sin α ( t )⎤⎦ dt = L ,
0
где L – начальное расстояние. Отсюда следует, что
T
VT − L
= ∫ sin α ( t ) dt .
u
0
97
Ответы и решения
1. Кинематика
Подставляя последнее выражение в соотношение (1), получим
V
.
T =L 2
V − u2
1.33. Полагая, что оси z декартовой и цилиндрической систем
координат совпадают, для связи ортов получим:
eˆρ = eˆx cos ϕ + eˆ y sin ϕ , eˆϕ = − eˆx sin ϕ + eˆ y cos ϕ , eˆz = eˆz .
1.30. Рассмотрим задачу в полярной системе координат, расположив
шнур по линии вокруг начала координат (см. рисунок). Рассмотрим две
соседние точки шнура А и B, координаты которых различаются на d ρ
и dϕ . Длина дуги между этими точками равна dl = ρ dϕ + d ρ .
Чтобы взрывная волна от этих точек шнура пришла в начало координат
одновременно, время движения взрывной волA
dρ
B
ны по воздуху
в направлении центра
c
dj
должно совпадать с временем «запаздывания»
dr
2
2
2
ρ 2 dϕ 2 + d ρ 2
при распространении реакции
V
взрыва (детонации) по шнуру между точками.
ρ 2 dϕ 2 + d ρ 2 d ρ 2
Полученное уравнение
= 2
V2
c
разделением переменных приводится к виду
⎛ V2
⎞ dρ
= dϕ ,
⎜ ± 2 −1⎟
⎜
⎟ ρ
c
⎝
⎠
и его решением является уравнение логарифмической спирали
⎡
ρ = ρ 0 exp ⎢ ±ϕ
⎣⎢
V2 ⎤
− 1⎥ .
c2
⎥⎦
Знаки ± перед φ соответствуют закрутке спирали по и против
часовой стрелки.
1.3. Векторы
1.31. Угол между векторами α находим с помощью скалярного
произведения векторов:
(r ⋅ r )
α = arc cos 1 2 = sin θ1 sin θ 2 cos (ϕ1 − ϕ 2 ) + cosθ1 cos θ 2 .
r1 ⋅ r2
1.32. L = 14,3 тыс. км.
98
Для сферической системы координат
eˆr = eˆz cos θ + eˆρ sin θ = eˆz cos θ + eˆx sin θ cos ϕ + eˆ y sin θ sin ϕ ;
eˆθ = eˆρ cos θ − eˆz sin θ = eˆx cos θ cos ϕ + eˆ y cos θ sin ϕ − eˆz sin θ ;
eˆϕ = −eˆx sin ϕ + eˆ y cos ϕ .
1.35. В системе отсчета первого корабля расстояние между корабля ми равно R = r2 − r1 , а скорость второго корабля V = V2 − V1 . Минимальным расстоянием между кораблями в этой системе отсчета будет длина
перпендикуляра, опущенного на линию движения второго корабля, при
этом для достижения минимального расстояния второму кораблю
необходимо пройти путь
( r2 − r1 ) ⋅ V2 − V1
R cos α = −
V2 − V1
(здесь косинус угла между векторами R и V записан через скалярное
произведение соответствующих векторов).
Время движения до максимального сближения кораблей определится расстоянием и скоростью сближения кораблей V:
( r2 − r1 ) ⋅ V2 − V1
R cos α
tmin =
.
=−
2
V
V2 − V2
(
(
)
(
)
)
Минимальное расстояние между кораблями получим с помощью
векторного произведения
⎡( r2 − r1 ) × V2 − V1 ⎤
⎦ .
Rmin = R sin α = ⎣
V2 − V2
(
)
1.37. Если скорость ветра u , а скорость самолета относительно
воздуха при облете сторон треугольника A , B , C равна V1 , V2 и V3 , то
A = (V1 + u ) t1 , B = (V2 + u ) t2 , C = (V3 + u ) t3 .
Возводя в квадрат с учетом равенства V12 = V2 2 = V32 = V , получим соотношения
t1 (V 2 − u 2 ) = −2 A ⋅ u + A2 t1 ,
99
Ответы и решения
1. Кинематика
t2 (V 2 − u 2 ) = −2 B ⋅ u + B 2 t2 ,
t3 (V 2 − u 2 ) = −2C ⋅ u + C 2 t3 .
Складывая их и принимая во внимание, что A + B + C = 0 , получим связь
2
gt
= Vt +
– положение начала координат системы S ′ , движущейся отно2
сительно Земли со скоростью V + g t . В системе отсчета Земли поверхность сферы, на которой расположены осколки, описывается уравнением
[ r − r0 ]2 = u 2t 2 .
⎛ A2 B 2 C 2 ⎞
1
+
+
⎜
⎟ = K1 .
t1 + t2 + t3 ⎝ t1
t2
t3 ⎠
A2
A ⋅ u B2
B ⋅u
Далее из равенств
−2
= 2 −2
,
t1
t2
t12
t2
⎛ A⋅ u C ⋅u ⎞
⎛ A A+ B ⎞ A2 C 2
− 2 = 2⎜
−
⎟ = 2⎜ +
⎟⋅u
t12
t3
t3 ⎠
t3 ⎠
⎝ t1
⎝ t1
выражаем величины A ⋅ u и B ⋅ u :
⎛ t2 + t3 2 t1 2 t1 2 ⎞
1
A⋅u =
A − B − C ⎟ = K2 ,
⎜
2(t1 + t2 + t3 ) ⎝ t1
t2
t3
⎠
⎛ t1 + t3 2 t2 2 t2 2 ⎞
1
B ⋅u =
B − A − C ⎟ = K3 .
⎜
t1
t3
2(t1 + t2 + t3 ) ⎝ t2
⎠
Введя систему координат с ортогональными ортами
2
A⋅ B
A ⎛ A⋅ B ⎞
2
B −
e1 = и e2 = ⎜ B − 2 A ⎟
,
A
A2
A
⎝
⎠
V 2 − u2 =
(
(1)
Перейдем в систему отсчета S ′′ осколка, движущегося относительно
снаряда со скоростью u . Радиус-векторы осколков в системах S ′ и S ′′
связаны соотношениями r ′ = r ′′ − r0′′, где r0′′= −u t – положение начала координат системы S ′ относительно системы S ′′ . В системе отсчета S ′′
уравнение поверхности, на которой расположены осколки, будет иметь
вид
2
( r′′ + ut ) = u 2t 2 .
Это сфера радиусом ut и центром в точке −ut .
1.39. Если система отсчета S ′ движется относительно системы S со
скоростью V , то суммарный импульс частиц при переходе из одной
системы отсчета в другую будет равен
P ′ = ∑ mi v′i = ∑ mi (vi − V ) = P − MV ,
)
i
где M = ∑ mi – суммарная масса частиц. Аналогично для энергии час-
запишем выражение для скорости ветра в проекции на орты:
2
2
2 2 A
(
u
⋅
B
)
+
B
(
u
⋅
A
)
−
2
A
⋅B u⋅ A u⋅B
2
u 2 = (u ⋅ e1 ) 2 + (u ⋅ e2 ) 2 =
.
(2)
2 2
A B − ( A ⋅ B)
1
Из C = −( A + B ) следует A ⋅ B = (C 2 − A2 − B 2 ) = K 4 .
2
Формулы (1,2) определяют скорости ветра u и самолета V через
значения K1, K2, K3, K4, т. е. через стороны треугольника A, B, C и время
(
)(
)(
i
)
движения t1 , t2 , t3 . Графическая форма решения приведена в [18, c. 156].
1.4. Системы отсчета
i
тиц
1
1
1
2
2
E ′ = ∑ mi ( v ′i ) = ∑ mi v ′i − V = E + MV 2 − P ⋅V .
2
i 2
i 2
MV 2
≥E,
Если в системе S полный импульс P равен нулю, то E ′ = E +
2
т. е. кинетическая энергия минимальна в системе центра масс.
(
)
1.40. Tлаб = MV 2 ; TЦМ = MV 2 2 , где M, V – масса и скорость
гусеницы относительно трактора.
1.41. V = c
α −1
, где c – скорость звука.
α +1
1.38. В неинерциальной СО снаряда S ′ осколки разлетаются
изотропно и расположены на расширяющейся сфере, описываемой урав
нением r ′2 = u 2t 2 . Радиус-вектор осколка в СО снаряда r′ связан
с радиус-вектором в СО Земли r соотношением r ′ = r − r0 , где r0 =
1.42. Пусть скорости поездов V1 и V2 . Перейдем в систему отсчета
первого поезда. Тогда источник звука приближается к нему со скоростью
V1 + V , а скорость звука равна c + V1 . По эффекту Доплера частота звука,
100
101
Ответы и решения
принимаемого
первым
отношение частот
машинистом,
будет
1. Кинематика
ν1 =
ν
V +V
1− 1 2
c + V1
,
а со-
ν
c + V1
. Аналогично получим значение
α= 1=
ν c − V2
c + V2
. Решая систему V1 + α V2 = (α − 1) c, β V1 + V2 = ( β − 1) c, найдем
c − V1
скорости:
⎡ 2 (α − 1) ⎤
⎡ 2 ( β − 1) ⎤
V1 = c ⎢1 −
.
⎥ и V2 = c ⎢1 −
αβ − 1 ⎦
αβ − 1 ⎥⎦
⎣
⎣
β=
1.43. Луна вращается с запада на восток с угловой скоростью
2π
ω = ω1 −
≅ 7 ⋅ 10−5 рад/c,
T
где ω1 = 7, 3 ⋅ 10−5 рад/с – угловая скорость суточного вращения Земли,
Т = 27 дней – период обращения Луны вокруг Земли.
1.44. Пусть в момент времени t ра
диус-векторы точки А на циферблате r
и минутной стрелки R составляют углы φ
r
и −ω t с осью x декартовой системы коR'
j
2π
x ординат (см. рисунок, ω =
рад/с).
60
wt
Направим ось x ′ системы координат S ′ ,
R
x' связанной с концом минутной стрелки,
в направлении, продолжающем стрелку.
Координаты точки на циферблате в системе S ′ будут меняться по закону
A
y ′ = r sin (ω − ω1 ) t , т. е. конец часовой стрелки в системе S ′ будет двигаться с угловой скоростью ω − ω1 по окружности радиусом r:
( x′ + R )
2
+ y ′2 = r 2 .
1.46. Аналогично предыдущей задаче получаем
x ′ = R cos (ω1 − ω ) t − r , y ′ = R sin (ω1 − ω ) t .
Конец минутной стрелки движется по окружности
( x′ + r )
2
+ y ′2 = R 2
с угловой скоростью ω1 − ω.
1.47. Пусть в начальный момент Земля
и Марс находились в противостоянии на оси x
системы, связанной с Солнцем, и вращались по
часовой стрелке вокруг Солнца. В системе координат, связанной с центром Земли, у которой
Земля
Марс
оси параллельны осям системы Солнца, Марс
1
2
имеет координаты x = R cos Ωt − r cos ωt ,
y = R sin Ωt − r sin ωt , где R, Ω – радиус
орбиты Марса и его угловая частота
обращения вокруг Солнца, а r, ω – радиус
орбиты и частота обращения Земли. Приведенные уравнения в параметрической форме определяют траекторию Марса, которая показана на
рисунке пунктиром. Точками 1 и 2 показаны противостояния Земли
и Марса.
В системе координат, связанной с центром Земли, в которой ось x ′
направлена от Солнца и поворачивается синхронно с вращением Земли,
траектория Марса будет окружностью (см. задачу 1.46):
( x′ + r )
x ′ = r cos (ϕ + ω t ) − R , y ′ = r sin (ϕ + ω t ) .
2
+ y ′2 = R 2 .
1.5. Кинематика вращения
Отсюда получаем связь координат
( x′ + R )
2
+ y ′2 = r 2 ,
т. е. точка на циферблате движется в системе S ′ по окружности.
1.45. Решается аналогично предыдущей задаче, только теперь угол φ
характеризует поворот часовой стрелки и изменяется по закону ϕ = −ω1t ,
где ω1 – угловая скорость часовой стрелки. Координаты конца часовой
стрелки в системе S ′ будут меняться по закону x ′ = r cos (ω − ω1 ) t − R ,
102
1.50. Пусть φ − угол наклона стержня к горизонту, OB = x0 , радиус
окружности R. Тогда sin ϕ =
R
RV
, ϕ ⋅ cos ϕ = −
и угловая
2
x0 + Vt
( x0 + Vt )
скорость стержня
ϕ = −
VR
x x2 − R2
103
, где x = x0 + Vt .
Ответы и решения
1. Кинематика
1.51. Центральный угол ϕ , опирающийся на дугу окружности, вдвое
больше, чем вписанный угол, опирающийся на эту дугу. Следовательно,
угловая частота вращения колечка вдвое больше частоты вращения
стержня. При этом линейная скорость колечка V = 2ω R , а тангенциальная и нормальная компоненты ускорения равны
1.55. Пусть в начальный момент
стержень длиной L ориентирован горизонтально, а его левый конец находится
a
в начале координат. Скорости левого
b
0
x
и правого концов стержня равны соответственно V и u и составляют углы
α и β с осью x (см. рисунок). Проy
дольные проекции скоростей концов
стержня равны: V cos α = u cos β . В сисC
теме правого конца стержня его левый
конец движется со скоростью V sin α − u sin β = V ( sin α − cos α ⋅ tg β ) и
aτ = ϕ = 0, an =
V2
= 4ω 2 R .
R
1.52. Считаем, что шестеренка движется со скоростью V и вращается
с угловой скоростью Ω. Запишем выражения для скоростей верхней
и нижней реек:
V2 = V + ΩR, − V1 = V − ΩR .
R, −a = V − Ω
R . Для ускоДифференцируя их, получим a2 = V + Ω
1
рения шестеренки имеем
a −a
= a2 + a1 = 4 с −2 .
V = 2 1 = 0,5 м/с2, Ω
2
2R
1.53. Мгновенный центр вращения находится на пересечении
перпендикуляров к скоростям концов стержня, т. е. его координаты будут
x = L sin 600 = L 3 2 , y = L cos 600 = L 2 .
1.54. Вертикальная координата верхнего конца бревна изменяется по
закону y = Vt , при этом угол наклона бревна к горизонтали α =
= arcsin
бревна:
Vt
. Дифференцированием найдем угловую скорость и ускорение
L
α =
V
( L2 − V 2 t 2 )
1
2
, α =
V 3t
( L2 − V 2t 2 )
3
.
2
Координаты точки бревна, отстоящей на расстояние l от его правого
l
l
2
конца, запишутся в виде y = Vt , x = (1 − ) L2 − (Vt ) . Дифференцируя,
L
L
найдем ускорение различных точек бревна:
y = 0, x=
( l − L ) LV
⎡⎣ L2 − V 2 t 2 ⎤⎦
104
2
3
.
2
поворачивается с угловой скоростью
V (sin α − cos α ⋅ tgβ )
.
ω=
L
Мгновенный центр вращения C находится на пересечении
перпендикуляров к скоростям концов стержня, т. е. его координаты
x−L
x
= tg β и равны соответственно
удовлетворяют условиям = tg α ,
y
y
tg α
L
x=L
, y=
.
tg α − tg β
tg α − tg β
В случае α = β = π 2 мгновенный центр вращения находится на оси
V
V −u
стержня в точке x = L
, и его угловая скорость равна ω =
.
V −u
L
1.56. Считаем, что конус вращается вокруг своей оси с угловой ско
ростью ω1 , а его ось вращается вокруг вертикали с угловой скорос
тью ω 2 , где ω 2 = 2π с−1. Линейная скорость точек образующей конуса,
касающейся горизонтальной плоскости, равна нулю. Отсюда следует, что
линейная скорость при вращении вокруг оси конуса ( ω1 R для точки,
находящейся на основании конуса с радиусом R) равна линейной
скорости, обусловленной вращением относительно вертикальной оси
( ω 2 R 2 для точки на основании), так что
ω1 = 2 ω 2 .
Результирующая угловая скорость конуса равна ω = ω1 + ω 2 , и так
как ω2 = const , то угловое ускорение конуса ω = ω1 определяется ско105
Ответы и решения
1. Кинематика
ростью вращения вектора ω1 относительно вертикали. Вектор ω1 составляет угол 450 с вертикалью. При повороте вокруг вертикальной оси на
угол dϕ его горизонтальная компонента ω1 sin 450 ⋅ eˆρ меняется на
d ω1 = ω1 sin 450 ⋅ dϕ ⋅ eˆϕ ,
а вертикальная компонента ω1 cos 450 ⋅ eˆz не изменяется (здесь eˆρ , eˆϕ , eˆz –
орты цилиндрической системы координат – см. задачу 1.23). Угловая
dϕ
скорость вращения конуса вокруг вертикали
= ω 2 , поэтому вектор
dt
углового ускорения конуса составляет
ω = ω1 sin 450 ⋅ ω2 ⋅ eˆϕ = ω22 eˆϕ = 4π 2 eˆϕ с−2.
1.57. Линейная скорость точки касания шестерней записывается
через угловые скорости вращения и расстояние до осей шестерней в виде
VA = ω1 R1 = ω 2 R2 .
Отсюда получаем соотношение ω1 H sin
α
= ω2 H sin
β
, где H – длина
2
2
образующей конуса шестерней, и угловую скорость
sin α / 2
ω 2 = ω1
= ω1 ⋅ 1, 92 = 19, 2 об/мин.
sin β / 2
1.58. Введем движущуюся систему координат с началом в центре
диска и осями x ′, y ′ , параллельными осям лабораторной системы координат x, y. Центр диска в ЛСО имеет координаты x = Vt , y = R . Точка
диска, имевшая в момент времени t = 0 координаты x0 = 0, y0 = R − r ,
в движущейся системе будет иметь координаты
x ′ = − r sin ω t , y ′ = − r cos ω t ,
где ω = V R . В Л-системе ее координаты будут
Vt
Vt
x = Vt − r sin , y = R − r cos .
R
R
Исключив t , получим уравнение траектории
между углом поворота оси колеса α относительно центра кривизны
моста и углом поворота ϕ колеса относительно мгновенной точки враR−r
V
щения. Следовательно, Ω = ϕ =
α , и поскольку α = , то
r
r
R−r
=0.
Ω= 2 V и Ω
r
1.61. Точки колеса участвуют в двух движениях: вращении колеса
вокруг своей оси с угловой скоростью ω1 = V r и повороте оси колеса
с угловой скоростью ω 2 = V R . Результирующая угловая скорость колеса
ω = ω1 + ω 2 . Так как ω1 и ω 2 перпендикулярны, то
ω = ω12 + ω22 = = V
Поскольку ω 2 не меняется, угловое ускорение равно ω1 и обусловлено
вращением вектора ω1 вокруг вертикали. При малом повороте горизон
тального вектора ω1 на угол dϕ вокруг вертикали его изменение равно
d ω1 = ω1dϕ ⋅ eˆϕ (здесь êϕ – орт цилиндрической системы координат). Поскольку
dϕ
= ω 2 , то
dt
d ω1
V2
= ω1ω 2 eˆϕ =
eˆϕ .
dt
rR
Мгновенная ось вращения колеса проходит через точку касания колеса
к рельсу и направлена вдоль ω .
2
R− y⎞
2
⎛
2
⎜ x − R arccos
⎟ + ( y − R) = r .
r ⎠
⎝
1.59. Ось колеса движется относительно центра кривизны моста по
дуге радиусом R – r, а относительно мгновенной оси вращения, совпадающей с точкой касания, – по дуге радиуса r. Отсюда найдем связь
α (R − r) = ϕ r
106
1
1
+ 2 .
2
r
R
107
2. Релятивистская кинематика
2. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКА
2.1. Скорость света
2.1. u =
V
может быть больше скорости света.
sin(α / 2)
2.2. Скорость перемещения точки F равна u =
c
> c.
sin α
2.3. Пульсар − это вращающаяся звезда, испускающая часть своего
коротковолнового излучения узким лучом. Испущенные фотоны
в пространстве расположены по спирали, расширяющейся со скоростью
света (см. рисунок). Скорость перемещения «зайчика» по поверхности
Земли V = ω R , где ω – угловая скорость вращения пульсара, R – расстояние до него. При больших R эта скорость может превышать скорость
света.
Однако с помощью такого сверхсветового
«зайчика» организовать передачу сигнала между двумя точками на поверхности Земли нельзя.
w
Например, сигналом может быть определенная
последовательность таких «зайчиков», с помощью которой первый наблюдатель кодирует
свое сообщение второму. Для этого первый
наблюдатель должен соответствующим образом
промодулировать источник «зайчика» − пульсар, а поскольку источник удалён на расстояние R, то второй наблюдатель получит сообщение не раньше, чем через ∆t = 2R/c. Таким образом, скорость передачи
сигнала не превысит скорость света.
2.4. Космонавт увидит свое отражение через t = 2 L c секунд, где L –
расстояние от космонавта до зеркала.
2.5. Волновой фронт излучения от точечного источника будет
сферой во всех инерциальных системах отсчета.
C
V
a
A
q
O
B
2.6. Пусть объект движется со
скоростью V под углом α к линии наблюдения AB (см. рисунок). Если объект
пройдет путь AC, то видимое с Земли перемещение будет равно OC = L = 10 св.
108
лет, при этом AC = L / sin α , AO = L ctgα . Свет, испущенный объектом
из точки A, придет к Земле раньше, чем свет, испущенный из точки C, на
время
AC
AO
L
L ctgα
−
= 5 лет
V
c
V sin α
c
(разностью расстояний BO и BC , имеющей величину ≅ BC ⋅ θ 2 / 2 ≈
T=
−
=
≈ 5 ⋅10−4 св. лет, можно пренебречь). Отсюда найдем скорость объекта:
V=
c
.
cos α + ( cT L ) sin α
α
cT
1
= , т. е. объект
2
L
2
может двигаться к линии наблюдения под углом α < 530.
Из ограничения V < c следует, что tg
<
Скорость движения объекта будет минимальной при условии
d
cT
[cos α +
sin α ] = 0 . Отсюда tgα = cT/L = 1/2, так что минимальdα
L
ная скорость движения объекта будет равна
Vmin
⎛ ⎛ cT ⎞ 2 ⎞
= c⎜⎜
+ 1⎟
⎜ ⎝ L ⎟⎠
⎟
⎝
⎠
−1/ 2
=
2
c 0,89 c .
5
2.7. Положение спутника Ио относительно Юпитера и различные
фазы его движения по орбите будут наблюдаться земным наблюдателем
с задержкой, обусловленной временем распространения света от Ио до
Земли. В течение года эта задержка имеет различную величину (из-за
перемещения планет), а ее изменение за период обращения Ио будет
влиять на величину наблюдаемого периода обращения Ио. Наблюдаемый
на Земле период обращения Ио будет равен
T = To + ∆R/c,
где ∆R – изменение расстояния Юпитер – Земля за время истинного
периода обращения To Ио вокруг Юпитера (дополнительным смещением
планет за время движения света от Ио до Земли ~ 2 ÷ 3 ⋅ 103 с можно
пренебречь). Поскольку To много меньше периодов обращения Юпитера
и Земли вокруг Солнца, то можно считать, что за время To расстояние
dR
между Землей и Юпитером изменяется на ∆R To .
dt
109
Ответы и решения
На рисунке, иллюстрирующем положение Юпитера и Земли относительно Солнца, видно, что
R = r1 − r2 = r12 + r22 − 2r1r2 cosθ ,
V2
Земля
(1)
где r1 и r2 – радиус-векторы
V1
R
r2
Юпитера и Земли, θ(t) – угол
между ними, который изменяется с угловой скоростью
r1
Солнце Ω 2 − Ω1 , где Ω1 и Ω2 – угловые
Юпитер
скорости обращения Юпитера
и Земли вокруг Солнца. Если пренебречь смещением Юпитера за земной
год (Ω 2 ≈ 12 ⋅ Ω1 ) и размерами орбиты Земли ( r1 ≈ 5 ⋅ r2 ) , то получим, что
dR dt ≈ V2 ⋅ sin ( Ω 2 t ) , где V2 – орбитальная скорость Земли. В этом приб-
лижении наблюдаемый на Земле период обращения Ио изменяется по
гармоническому закону и в течение года будет меняться в диапазоне
⎡ V ⎤
To ⋅ ⎢1 ± 2 ⎥ ≈ To ± 15 с.
⎣ c⎦
Чтобы учесть движение Юпитера, разложим выражение (1) в ряд по
степеням малого параметра ε = ( r2 / r1 ) ≈ 0,19 с точностью до членов второго порядка малости по ε :
⎡
⎤
ε
R ≈ r1 ⎢1 − ε ⋅ cos ( Ω 2 − Ω1 ) t + ⋅ sin 2 ( Ω 2 − Ω1 ) t + ...⎥ .
2
⎣
⎦
Продифференцировав это выражение по времени и учитывая, что
при движении по круговым орбитам V = Ωr , получим
2
εV
⎡ V − εV1
⎤
⋅ sin θ ( t ) + 2 ⋅ sin 2 θ ( t ) ⎥ .
T ≈ To ⎢1 + 2
2c
c
⎣
⎦
С учетом численных значений наблюдаемый период обращения равен
T ≈ To + 12,8 ⋅ sin θ ( t ) + 1, 45 ⋅ sin 2θ ( t ) с.
2.2. События. Преобразования Лоренца
2. Релятивистская кинематика
xB = γ ( xB′ + c β t B′ ) ,
tB = γ ( tB′ + β xB′ / c ) .
Поскольку xB′ − x ′A = L0 и t A′ = tB′ , то t B − t A = γβ L0 / c, т. е. в Л-системе лампочка в точке A зажжется раньше, чем в точке B, на время γβ L0 c . Для наблюдателя, находящегося в точке O, свет от точки B
( xB − x A ) = γ ( xB′ − x′A ) = γ L0
проходит путь на
больший, чем свет от
точки A, и будет наблюдаться с дополнительной задержкой во времени γ L0 / c . Суммарная задержка между вспышками A и B для наблюдателя в точке O будет равна
L
L
L 1+ β
1+ β
,
∆t = γ 0 + γβ 0 = 0
= ∆t ′
c
c
c 1− β
1− β
где ∆t ′ = L0 / c – задержка в случае неподвижного стержня. Данное выражение описывает изменение частоты при движении источника света (релятивистский «продольный» эффект Доплера).
2.10. В Л-системе свет от обеих вспышек приходит в точку ( L, y , z )
на вертикальной плоскости в момент времени t = L2 + y 2 + z 2 c . В движущейся СО это событие имеет пространсy'
твенные координаты x ′ = γ ( L − Vt ) , y ′ = y ,
z ′ = z , и форма поверхности описывается
уравнением
2
x'
⎛ x′
1⎞
y′
z′
− ⎟ − 2 − 2 = 1,
⎜
L
⎝ γβ L β ⎠ L
x′
1
причем
− ≤ − 1 . Полученное уравнеγβ L β
ние описывает гиперболоид вращения, асимптоты гипербол которого
1
наклонены под углом α ′ к оси x ′, так что tgα ′ = −
(см. рисунок).
2
2
γβ
2.11. Период движения фотона T =
2.12. tII′ =
γL
c
(3 − β );
t⊥′ = γ
3L
c
4L / c
1 − V 2 c2
.
.
2.8. События зажигания лампочек в точках A и B в Л-системе
отсчета будут иметь пространственно-временные координаты
x A = γ ( x′A + c β t A′ ) ,
t A = γ ( t A′ + β x′A / c ) ,
2.13. В системе отсчета корабля сигнал с Земли будет послан
в момент времени γ T , когда корабль находится на расстоянии γ V T от
110
111
Ответы и решения
2. Релятивистская кинематика
Земли. Сигнал связи пройдет эту дистанцию за время γ β T , в течение
которого Земля удалится еще на γ β T V . Таким образом, общее
расстояние в момент получения сигнала, по мнению экипажа корабля,
составит
1+ β
L = VT ⋅
.
1− β
Аналогичный результат получается при рассмотрении пространственно-временных координат события «встреча фотона и конца галактики». В системе отсчета неподвижного наблюдателя это событие имеет
координаты [L,T], где L – размер галактики, T = L / c = 105 лет – время
пролета через галактику (старт фотона считаем событием с координатами
[0,0]). По преобразованиям Лоренца, в системе отсчета протона это
событие встречи имеет координаты ⎣⎡γ ( L − VT ) , γ (T − VL / c 2 ) ⎦⎤ =
2.15. L = VT =
⎞
⎟ = 3 ч.
⎠
[
γ 1V1 + γ 2V2
T.
γ1 + γ 2
T ′ = γ T (1 − β ) 2.16. Для того чтобы до Земли долетела, не распавшись, значительная доля мюонов, их время жизни в Л-системе должно быть в несколько раз больше времени полета от Солнца до Земли. Из сравнения
величин собственного времени жизни мюонов 2·10−6 с и минимально
возможного времени полета мюонов до Земли (более 500 с) следует, что
мюоны должны быть ультрарелятивистскими частицами, т.е. двигаться
со скоростью, близкой к скорости света. Из уравнения радиоактивного
распада
dN
N
,
=−
γτ µ
dt
где γτ µ – время жизни мюонов в Л-системе отсчета, определим долю
⎛ t ⎞
N
оставшихся мюонов N = N 0 exp ⎜ −
= 0,95 ,
. Подставляя t = 500 с,
⎜ γτ ⎟⎟
N
o
µ ⎠
⎝
найдем релятивистский фактор γ 5 ⋅109 и скорость мюонов
Край галатики
⎛
1 ⎞
V c ⎜ 1 − 2 ⎟ c (1 − 2 ⋅ 10−20 ) .
⎝ 2γ ⎠
V
2.17. а) В системе отсчета протона,
движущегося вслед за фотоном, галактика
g
P
имеет размер L ′ = L γ , причем противоположный край галактики приближается
к протону со скоростью V (см. рисунок).
L/g
В этой системе отсчета фотон и край
галактики сближаются со скоростью V + c
и встретятся через время
T′=
]
= γL(1 − β ), γT (1 − β ) , т. е. в этой системе отсчета прошло время
L′
L
L
=
≈
= 5 ⋅ 10 −6 лет.
V + c γ (V + c ) 2γ c
112
L
.
2γ c
б) Если протон летит навстречу
фотону, то в его системе отсчета край
галактики, к которому летит фотон, P
удаляется со скоростью V, и скорость
сближения фотона с противоположным концом галактики будет равна c –
− V (см. рисунок). В результате фотон
догонит удаляющийся край галактики за время
T′ =
V
g
L/g
Край галактики
⎛ c +V
2.14. T ′ = T ⎜
⎝ c −V
L′
L
L
=
≈ 2γ = 2 ⋅ 1015 лет.
c −V γ (c −V )
c
2.18. a) Наблюдатель находится в системе отсчета нейтронов, т. е.
момент прилета фотона к краю галактики фиксируется по часам системы
отсчета нейтронов. В этом случае (см. предыдущую задачу) в системе
отсчета нейтронов к моменту встречи фотона с концом галактики пройдет время t ′ = L γ (V + c ) ≈ 1, 6 ⋅ 102 с. В системе нейтронов их количество
меняется по закону N = N o exp ( − t ′ τ ) , где τ – время жизни нейтрона.
Через время t ′ ≈ 1, 6 ⋅ 102 с от первоначального количества останется
N / N o = exp ( −0,16 ) ≈ 85 % нейтронов.
б) Наблюдатель находится в Л-системе отсчета, относительно
которой нейтроны движутся со скоростью V, и момент прилета фотона
к краю галактики фиксируется по часам Л-системы отсчета. В этом
случае за время пролета фотона через галактику t = 105 лет (по часам Лсистемы) в системе отсчета нейтронов пройдет время t ′ = t γ ≅ 3,1 ⋅ 102 с,
113
Ответы и решения
и от первоначального количества нейтронов останется
⎛ L
N
= exp ⎜ −
N0
⎝ γ cτ
2nL
.
c
2.20. Рассмотрим два события: А – вход фотона в пластинку, В –
выход фотона из пластинки. В системе отсчета пластинки расстояние
′ =
∆x′AB между этими событиями равно Lo , а временной интервал ∆t AB
2.19. Свет выйдет из бруска через время ∆T = γ
= Lo n / c . По преобразованиям Лоренца, в Л-системе
∆x AB = γ ( ∆x ′AB + V ⋅ ∆t ′AB ) = γ ( Lo + β nLo ) ,
∆t AB = γ ( ∆t ′AB + V ⋅ ∆x ′AB / c 2 ) = γ ( nLo c + β Lo c ) .
Подразумевается, что направления движения фотона и пластинки
совпадают. Полное время движения фотона от источника до зеркала
складывается из времени движения внутри пластинки и вне ее. В Лсистеме это время
L
L − ∆x AB L
= + γ o ( n − 1)(1 − β ) .
c
c
c
Время движения фотона в обратном направлении получается из этого
выражения путем замены V на –V. Суммарное время движения света от
источника и обратно будет равно
T = ∆t AB +
L
L
+ 2γ 0 ( n − 1) .
c
c
2.21. В СО бруска луч падает под углом α ′ к вертикали, который
V
определяется из уравнения sin α ′ = = β . Из закона преломления
с
sin α ′
= n найдем сдвиг и время движения фотонов через брусок в СО
sin ϕ ′
бруска:
x ′ = − d ⋅ tgϕ ′ = −
В Л-системе сдвиг и время движения через брусок будут
⎞
⎟ ≈ 73 % нейтронов.
⎠
В отличие от случая a), в этом случае полученный результат не
зависит от относительного направления движения фотона и нейтронов.
TΣ = 2
2. Релятивистская кинематика
d
2
( n sin α ′) − 1
114
, t′ =
d
n
dn
⋅ =
.
cos ϕ ′ c c 1 − sin α ′ n 2
(
)
x=
(
) , t = γd ⋅
γβ d n 2 − 1
2
n −β
2
n2 − β 2 .
c
2 −1
c > 0, 41 c, α < arccos 2 − 1 660 , где α – угол
cos α
между скоростью наблюдателя и прямой АВ.
(
2.22. V >
)
2.23. а) В СО реки участок волны, движущийся под углом θ ′
a
. В СО
к берегу, придет в точку x ′ = a ctgθ ′ берега за время t ′ =
u sin θ ′
берега этот участок волны придет к берегу за время
a ⎛ Vu
⎞
1 + 2 cos θ ′ ⎟ ,
t = γV
⎜
′
u sin θ ⎝ c
⎠
Vu
которое при cos θ ′ = − 2 достигает минимального значения
c
2
4
a c − ( uV )
tmin =
.
uc
c2 − V 2
б) B системе реки точка А к моменту прихода волны имеет
координату x ′ = − V t ′, где t ′ определяется условием u t ′ = a 2 + V 2t ′2 .
a
Отсюда t ′ =
, а в СО берега время прихода волны в точку А
2
u −V 2
будет
V ⎞ a c2 − V 2
⎛
.
t = γ V ⎜ t ′ + 2 x′ ⎟ =
c
⎝
⎠ c u2 − V 2
2.24. a) Предположим, что данные события будут одновременны
в системе отсчета, движущейся со скоростью V относительно век
торов r1 и r2 Л-системы. Направим ось x' искомой системы отсчета
и ось x Л-системы параллельно вектору V . Согласно преобразованиям
Лоренца, в движущейся СО временные координаты заданных событий
будут равны
V ⎞
V ⎞
⎛
⎛
t1′ = γ ⎜ t1 − 2 x1 ⎟ , t2′ = γ ⎜ t2 − 2 x2 ⎟ ,
c
c
⎝
⎠
⎝
⎠
115
(1)
Ответы и решения
2. Релятивистская кинематика
где x1 , x2 – проекции векторов r1 и r2 на ось x Л-системы отсчета. Из
равенства t1′ = t2′ следует, что искомая СО должна двигаться со скоростью
Поскольку на сфере координаты x ′ меняются в интервале от −R
до +R, то временные координаты t будут меняться в диапазоне
V = c2
t1 − t2
.
x1 − x2
Направление вектора скорости V может меняться в определенном
диапазоне, причем различным его ориентациям относительно векторов r1
и r2 будут соответствовать различные значения проекций x1, x2 на ось x
Л-системы отсчета и различные значения модуля скорости V. Условие
V < с ограничивает возможные направления вектора V в пределах кону са, ось которого направлена вдоль вектора r1 − r2 , а угол при вершине
равен
⎛ t −t ⎞
2 arccos ⎜⎜ c ⋅ 1 2 ⎟⎟ .
⎝ r1 − r2 ⎠
Для времениподобного интервала при c ⋅ ( t1 − t2 ) > r1 − r2 систем
отсчета, в которых указанные события будут одновременными, не существует.
б) Одноместными указанные события могут быть в системе отсчета,
которая движется параллельно вектору r1 − r2 . Направим ось x' искомой
системы отсчета и ось x Л-системы отсчета параллельно вектору r1 − r2 .
В этом случае поперечные к вектору V компоненты векторов r1 и r2
будут равны между собой и при переходе в движущуюся СО не
изменятся. По преобразованиям Лоренца x-компоненты векторов
в движущейся СО будут равны x1′ = γ ( x1 − Vt1 ) , x2′ = γ ( x2 − Vt2 ) . Условие
x1′ = x2′ дает для скорости системы:
r − r
x −x
V = 1 2 или V = 1 2 .
t1 − t2
t1 − t2
Из условия V < c следует, что подобная СО существует (и единст венна) для событий с времениподобным интервалом c ⋅ ( t1 − t2 ) > r1 − r2 .
∆t = 2γ RV / c 2 ,
в течение которого сфера и будет освещена в Л-системе отсчета.
Число фотонов, попавших на переднюю и заднюю полусферы
с точки зрения Л-системы отсчета, будет таким же, как и в системе
отсчета сферы. Для доказательства этого рассмотрим фотоны, летевшие
в системе сферы под полярным углом θ ′ = π / 2 к линии движения сферы
и попавшие на точки окружности, разделяющей в системе сферы ее
переднюю и заднюю части. В Л-системе отсчета эти фотоны будут
двигаться под меньшим полярным углом θ к линии движения, для
которого cos θ = β . Однако эти фотоны будут попадать на точки той же
самой, «догоняющей», их окружности, разделяющей движущуюся сферу
на переднюю и заднюю половины.
Таким образом, несмотря на то что в Л-системе больше фотонов
летит вперед (эффект «прожектора»), на переднюю и заднюю полусферы
в Л-системе отсчета попадет одинаковое число фотонов.
2.26. Считаем, что в СО пенала крышка А имеет координату x = 0,
а крышка В – координату x = L, причем крышка А закрывается в момент
времени t = 0, когда левый конец карандаша имеет координату x = 0,
а правый конец – координату Lo γ . C точки зрения СО пенала движущийся карандаш целиком умещается в пенале. Чтобы карандаш свободно
вылетел из пенала, крышку В нужно открыть не позднее момента
t2 = ⎡⎣ L − ( Lo γ ) ⎤⎦ V .
В системе отсчета карандаша синхронизуем часы и выберем начало
координат так, чтобы событие закрывания левой крышки пенала А имело
координаты x1′ = 0, t1′ = 0 . Событие открывания крышки В имеет координаты в CO пенала x2 = L, t2 = ⎡⎣ L − ( Lo / γ ) ⎤⎦ V , а в СО карандаша –
x2′ = L0 , t2′ = ⎣⎡ ( L / γ ) − Lo ⎦⎤ V . Соотношение t2′ < t1′ показывает, что в сис-
2.25. Пусть сфера движется вдоль оси x Л-системы отсчета,
а вспышка произошла в момент времени t = t' = 0 по часам Л-системы
и системы отсчета сферы. В СО сферы события попадания фотонов на ее
поверхность имеют пространственно-временные координаты (x', y', z',
R/c), которым в Л-системе соответствуют временные координаты
t = γ ( R / c + x ′V / c 2 ) .
теме отсчета карандаша указанные события меняют свою временную
последовательность: сначала открывается крышка В (рис. a) и открытый
с обеих сторон «короткий» пенал пролетает мимо карандаша (рис. b),
тогда как закрывание крышки А происходит в более поздний момент
времени t′1 = 0, когда крышка А уже пролетит мимо левого конца
карандаша (рис. c).
116
117
Ответы и решения
B
A
A
2. Релятивистская кинематика
B
B
V
A
V
а
с
Поскольку указанные события не связаны между собой причинноследственной связью (закрывание крышки А пенала не является причиной или следствием того, что носик карандаша приблизился к крышке В), изменение их временной последовательности в различных инерциальных системах отсчета вполне допустимо и не приводит к какимлибо неожиданным последствиям.
Более парадоксальным выглядит изменение временной последовательности указанных событий, если у пенала не открывать правую крышку В. В этом случае в системе отсчета пенала после закрытия крышки А
«короткий» карандаш некоторое время находится внутри закрытого
пенала, пока его правый конец не столкнется со стенкой В. После
столкновения карандаш и / или стенка пенала начнут деформироваться и
разрушаться (поскольку скорость движения пенала во много раз больше
скорости распространения упругих деформаций, которая соответствует
скорости звука в среде). В целом «сценарий» явления будет зависеть от
геометрии и массы тел, их прочности и упругих свойств и т. п.
Попробуйте промоделировать явление, представив карандаш в виде
линейной цепочки упругих шариков.
В системе же отсчета карандаша (вернее, его не успевшего деформироваться левого конца) к моменту закрытия левой крышки A правый
конец карандаша уже успел столкнуться со стенкой B пенала. В результате в момент закрытия левой крышки пенала правая часть карандаша и / или тело пенала будут деформированы, так что внутри «короткого» пенала в лучшем случае будет «закрыт» деформированный
карандаш. Отметим, что зона деформации карандаша и / или пенала не
успевает достичь левого конца карандаша (или крышки A) к моменту
закрытия крышки А.
2.27. Пусть L – длина рамы трактора, а l – длина отдельного трака
в сопутствующей СО. По условию задачи L / l = N. В СО неподвижного
наблюдателя рама имеет длину L/γ, а каждый из траков нижней половины
гусеницы – длину γl, так как относительно Земли эти траки не движутся.
Отсюда видно, что число траков на нижней половине гусеницы равно
Nниж = N 1 − β 2 .
(
118
)
N (1 + β 2 )
траков приходятся на верхнюю половину гусеницы.
V
b
Поскольку на гусенице всего 2N траков, оставшиеся
2.28. В системе отсчета танка расстояние между двумя последовательно выпущенными снарядами λ' = u/n, причем снаряды попадают
в движущуюся навстречу крепость через промежутки времени ∆t ′ =
= λ ′ ( u + V ) . По преобразованиям Лоренца, эти промежутки времени
V
∆x ) , а в СО
c2
крепости ∆x = 0. Отсюда получаем частоту попаданий снарядов в СО
крепости
в СО крепости равны ∆t = τ γ v поскольку ∆t ′ = γ v ( ∆t −
N=
1
= nγ V
∆t
⎛ V⎞
⎜1 + ⎟ .
u⎠
⎝
Если снаряды летят со скоростью света («фотонная» пушка), то
полученное выражение сводится к обычной формуле эффекта Доплера
1+ β
⎛ V⎞
.
N = nγ V ⎜ 1 + ⎟ = n
c
1− β
⎝
⎠
2.29. Благодаря лоренцевому сокращению продольных размеров,
плотность электронов в Л-системе в γ раз выше, чем в СО, связанной
с электронами n− = γ n−′ . Для ионов, неподвижных в Л-системе отсчета,
их плотность n+′ в СО электронов будет в γ раз выше, чем в Л-системе,
т. е. n+′ = γ n+ . Суммарная плотность заряда в СО электронов положительна при выполнении условия γ n+ > n− γ или n+ > n− γ 2 . При положительной плотности заряда электроны стягиваются к оси пучка (с точки
зрения СО, связанной с электронами). С другой стороны, в Л-системе
n− > n+ , и ионы также стягиваются к оси пучка. Таким образом, при
выполнении неравенств
n− > n+ > n− γ 2
и электроны, и ионы будут притягиваться к оси пучка (стабилизированный пучок, А. М. Будкер, 1956 г).
Стягивание электронов в Л-системе обеспечивается магнитным
полем от «параллельных» токов электронов и ослаблением расталкивающего электрического поля при добавке положительных ионов. Аналогично осуществляется стягивание ионов в СО электронов.
119
Ответы и решения
2. Релятивистская кинематика
2.30. Пусть параллельный пучок света распространяется параллельно оси z, а наблюдатель движется вдоль оси x со скоростью V.
Выделим малый элемент размерами ∆x, ∆y в поперечном сечении пучка
(ABCD на рис. a) и посмотрим, как трансформируются его границы при
переходе в движущуюся систему отсчета. Для этого рассмотрим два
одновременных в лабораторной системе отсчета события – пересечение
фотонами плоскости xy в точках A и B (или в точках C и D), ограничивающих выделенный элемент сечения пучка. В Л-системе отсчета
координаты этих событий будут [0,0]A и [∆x,0]B (для простоты записываем только x- и t-координаты событий).
В движущейся системе отсчета эти события имеют координаты
[0,0]A и [γ ∆x, − γβ ⋅ ∆x / c ]B , т. е. фотон B пересекает ось x' в точке
таком переходе не изменяются конфигурация и площадь выбранного
элемента ∆x·∆y поперечного сечения пучка.
xB′ = γ ⋅ ∆x в момент времени t B′ = −γβ ⋅ ∆x c . Соответствующее положение фотонов А и В на оси x' показано на рис. b точками A и B.
К моменту t' = 0 фотон B успевает пройти дополнительное расстояние
BE = c ( t0′ − t B′ ) = −γβ ⋅ ∆x и занять положение E. Остальные фотоны,
расположенные в Л-системе вдоль отрезка волнового фронта AB, в движущейся системе отсчета к моменту времени t' = 0 будут также расположены вдоль отрезка AE. Так как треугольник АЕВ подобен прямоугольному треугольнику компонент скорости фотона Vx′ = −V и Vz′ =
2.31. а) В системе линз заслонка имеет размер L/γ, и после пролета
заслонки пучок света имеет вид, показанный на рис. а. Высота разреза
∆y = L/βγ, высота треугольного среза пучка ∆h = L/β. Так как ∆h > ∆y, то
любая горизонтальная линия AD (на которой расположены фотоны
волнового фронта, приходящие в фокус нижней линзы одновременно)
непременно пересекает часть пучка, т. е. полного перекрытия света
заслонкой нет.
б) В системе заслонки линзы движутся горизонтально со скоростью V, а фотоны пучка – под углом α к вертикали, где sinα = V/c (рис.
b). Линии волнового фронта пучка в системе заслонки перпендикулярны
скорости фотонов (см. предыдущую задачу), причем фотоны,
находящиеся на линии волнового фронта, приходят в фокус нижней
линзы одновременно. После прохождения через заслонку пучок шириной
L/γ разрезан на две части, причем линии разреза параллельны скорости
фотонов.
V
L/g
= − c γ , то отрезок AE перпендикулярен скорости фотонов пучка и имеет
длину
( γ ⋅ ∆x )
2
L
V
A
− (γβ ⋅ ∆x ) = ∆x ,
2
V
z'
A
D
c/g
D
Dh
Dy
z
a
a
y
D
A
C
Dy
A
Dx B
gDx
B
x'
V
x
E
a
b
которая совпадает с размером данного элемента сечения в Л-системе
отсчета. Поскольку поперечный размер выделенного элемента сечения
пучка ∆y при переходе в движущуюся СО не меняется, то в целом при
120
а
b
Аналогично случаю а) любая прямая линия, проходящая через
разрез параллельно линиям волнового фронта, например AD на рис. b,
будет пересекать часть пучка, так как ширина разреза L cos α = L γ
меньше длины рассекающего отрезка AD = L / (γ cosα) = L. Это означает,
121
Ответы и решения
2. Релятивистская кинематика
что и в системе заслонки часть фотонов волнового фронта не перекрывается заслонкой, т. е. в фокусе второй линзы не наблюдается полного
перекрытия света.
2.32. Рассмотрим прохождение света через решетку в Л-системе отсчета (см. рис. a). Продольные размеры движущейся решетки a и b испытывают лоренцево сокращение a ′ = a γ , b′ = b γ . При движении за ячейкой решетки образуется тень: пока свет проходит путь d вдоль вертикального размера ячейки, сама ячейка смещается по горизонтали на d⋅β
и соответственно обрезает часть проходящего пучка. В итоге через
решетку пройдет
b / γ − d β b − βγ d
часть светового потока.
k=
=
a /γ + b /γ
a+b
V
d
V
V
2R
h
2R/g
L/g
а
2Rb
a
d
j
gbd
bd
a
b
Аналогичный результат получается при рассмотрении задачи
в системе отсчета решетки (см. рис. b). В этом случае свет падает под
углом α к нормали решетки, для которого sinα = V/c . Соответственно
b − βγd
b − d ⋅ tgα
через решетку пройдет k =
=
часть светового потока.
a+b
a+b
В частности, свет не проходит через решетку при
⎞
V ⎛ d2
≥ ⎜ + 1⎟
c ⎝ b2
⎠
bh
2R
L/g
b
−1 2
a
.
h
2.33. При «моментальной» фотографии в параллельных лучах на
фотопластинке регистрируются лучи, одновременно пришедшие в плоскость затвора фотоаппарата. Изображение движущегося тела на такой
фотографии удобно представить в виде суммы изображений различных
слоев тела, параллельных фотопластинке (на рис. а показано разбиение
на слои для параллелепипеда и шара). Из-за лоренцева сокращения каждый из движущихся слоев в системе отсчета фотопластинки имеет
продольный размер, в γ раз меньший, чем его собственная длина, а из-за
разной длины пути света от слоя к фотопластинке изображения различных слоев движущегося тела будут сдвинуты относительно друг друга
вдоль оси x.
На рис. b показано положение различных слоев фотографируемых
тел в моменты времени, когда они испускали регистрируемый фотопластинкой свет. Например, свет, передающий изображение ребра верх-
122
123
L
bh
a
2R
L/g
с
К задаче 2.33.
Ответы и решения
2. Релятивистская кинематика
ней грани параллелепипеда, движется к фотопластинке на время ∆t = h c
дольше, чем свет, отображающий положение нижней грани параллелепипеда. Соответственно изображение верхней грани на фотографии будет расположено на V ∆t = β h левее, чем изображение нижней грани.
Отметим, что если тело непрозрачно, то его внутренние точки вклада
в изображение давать не будут. В результате на фотографии непрозрачного параллелепипеда будет изображена его нижняя грань,
имеющая в продольном направлении размер L/γ, и «неодновременное»
изображение его левой грани шириной β h.
Для шара края изображения будут определяться промежуточными
слоями, отстоящими от среднего сечения на расстояние
y = ± R ⋅ tgϕ = ± βγ R,
открывается в момент времени t = 0 Л–системы отсчета, а точки 1 и 2
контура тела имеют в этот момент координаты ( x1 , y1 ) и ( x2 , y2 ) .
где R – радиус шара, ϕ = −arctg ( βγ ) – угол, при котором x-координата
краев изображения различных сечений шара, определяемая выражением
R cos ϕ
− β R sin ϕ , принимает экстремальные значения
x=
γ
xмин = − R , xmax = + R.
Таким образом, изображение движущегося шара на фотографии
в направлении оси x имеет размер 2R (см. рис. b, справа), а огибающей
семейства спроектированных на фотопластинку сдвинутых эллипсов
является окружность радиусом R. Отметим, что изображение шара на
фотографии также дают слои, расположенные на удаленной от
фотопластинки «тыльной» стороне шара. Это наглядно видно, если слои
фотографируемого шара раскрасить в разные цвета и проследить за
цветом получаемых на фотографии эллиптических полосок. Полученные
фотографии можно интерпретировать как изображения неподвижных
объектов, повернутых на угол
α = arcsin β = arctg ( βγ )
(см. рис. c) и фотографируемых с продолжительной экспозицией.
Докажем, что при «моментальном» фотографировании движу- y
1
щихся тел произвольной формы (рис.
d) изображение на фотографии будет
2
эквивалентно изображению, получаемому при фотографировании с длительной экспозицией неподвижного
тела, повернутого на угол α = arcsinβ
x2F
x1F
относительно линии движения тела.
d
Считаем, что затвор фотоаппарата
124
Изображение точки 1 на фотопластинке будет иметь координату
F
x1 = x1 − β y1 , где добавочный член β y1 учитывает запаздывание света
при движении от точки 1 до фотопластинки. Изображение точки 2 на
фотопластинке будет иметь координату x2F = x2 − β y2 , а размер изображения тела будет соответствовать максимуму величины
x2F − x1F = = x2 − x1 − β ( y2 − y1 ) ,
взятой по всем точкам тела. По преобразованиям Лоренца, если временные координаты событий t1 = t2 = 0, то их пространственные координаты
связаны соотношением
x′ − x′
( x2 − x1 ) − β ( y2 − y1 ) = 2 1 − β ( y2′ − y1′ ) ,
γ
где координаты ( x1′ , y1′ ) и ( x2′ , y2′ ) определены относительно неподвижного тела. Отметим, что величина
x2′ − x1′
γ
− β ( y2′ − y1′ )
соответствует x-проекции отрезка с координатами концов
( x2′ , y2′ ) ,
( x1′ , y1′ ) ,
повернутого на угол α = arcsin β (при таком повороте x =
= x′ ⋅ cos α − y ′ sin α ). Таким образом, изображение движущегося тела
эквивалентно x-проекции неподвижного тела, повернутого на угол
α = arcsin β . Подробно задача о фотографировании быстродвижущихся
объектов рассмотрена в статье [11].
2.3. Сложение скоростей
2.34. Скорость сближения частиц в Л-системе равна Vсближ = V1 + V2 ,
V
относительная скорость Vотн = c
β1 + β 2
.
1 + β1 β 2
2.35. В СО, движущейся со скоростью c ⋅
x
γ −1
.
γβ
2.36. В системе отсчета плиты скорость частицы до столкновения
была c/2, причем после упругого столкновения частица удаляется от
125
Ответы и решения
2. Релятивистская кинематика
плиты со скоростью c/2. Согласно формуле сложения скоростей, в Лсистеме скорость отразившейся частицы будет равна
2β
u= c
= 0,8 c.
1+ β 2
отсчета движущейся ленты ступенек на верхней части эскалатора будет
меньше, чем в Л-системе отсчета «базы» эскалатора.
В системе отсчета ленты «база» эскалатора сокращается в γ раз,
тогда как собственная длина ступеньки будет, наоборот, в γ раз больше,
чем в системе отсчета «базы». Соответственно на укороченной «базе»
умещается в γ 2 меньше ступенек увеличенной длины. Всего в системе
2.37. При равенстве токов и одинаковой геометрии пучков концентрации частиц в Л-системе отсчета одинаковы. В СО позитронов
2V
скорость встречного электронного пучка u =
, где V – ско1 + V 2 c2
рость пучков в Л-системе отсчета. Из-за лоренцевого сокращения размеров плотность электронного пучка в системе позитронов будет в γ u =
= (1 − u 2 /c2 )−1/2 раз больше, чем плотность электронов в собственной СО.
По условию γu = N, откуда
V = c⋅
2.39. Относительно Земли T =
N −1
.
N +1
L ⎛ Vu ⎞ 37
лет,
1+
V + u ⎜⎝ c 2 ⎟⎠ 7
отсчета ленты эскалатора на ее верхней части будет N⋅(1–V 2/c 2) ступенек,
а количество шагов, которые сделает пассажир, будет равно
⎛ V 2⎞3
8
N ⎜1 − 2 ⎟ = N .
c
5
15
⎝
⎠
2.42. По формуле сложения скоростей
⎛ V2 ⎞
V + α∆x
,
и
∆
V
α
∆
x
V + ∆V =
⎜1 − 2 ⎟ .
c ⎠
1 + (V α∆x c 2 )
⎝
Разделив переменные и интегрируя, получим
αL
V = c ⋅ th
= 0, 76 c.
c
пассажир пробегает оставшиеся N – ∆N ступенек и успевает сделать
(1 − V 2 / c 2 ) = 8 ⋅ N шагов.
N – ∆N = N(1– V/ VΣ) = N
1 + 2V / c
15
Аналогичный результат можно получить, используя формулы
лоренцевого сокращения длины ступенек. В системе ленты эскалатора
пассажир и нижний конец эскалатора сближаются со скоростью
c/2
Vсближ = 5c 6 , и к моменту встречи пассажир проходит
= 3/ 5
c / 3+ c / 2
части ступенек, расположенных на верхней части ленты. В системе
2.44. Скорости одинаковых частиц в Ц-системе противоположны:
V1′ = −V2′ . Скалярное произведение 4-скоростей в Ц- и Л-системе будет
1 + β ′2
γ ′c, γ ′V1′ ⋅ γ ′c, γ ′V2′ = c 2
соответственно
и c 2γ 1γ 2 (1 − β1 ⋅ β 2 ).
2
1− β ′
Отсюда для искомой скорости в Ц-системе получим
γ 1γ 2 1 − β1 ⋅ β 2 − 1
.
V′ = c⋅
γ 1γ 2 1 − β1 ⋅ β 2 + 1
2.45. a) В Л-системе частицы «сближаются» со скоростью V2 − V1 , и
вектор скорости сближения составляет угол 45o с осью x. Минимальным
расстоянием между частицами в процессе сближения будет длина
перпендикуляра, опущенного из конца отрезка L на вектор скорости
сближения частиц:
Lмин = L sin 450 = L / 2 .
б) Если в Л-системе частицы имели координаты
x1 = 0 , y1 = 0 , t1 = 0 и x2 = L , y2 = 0 , t2 = 0 ,
то в СО первой частицы их координаты будут равны:
V
x′1 = 0, y′1 = 0 , t′1 = 0 и x2′ = γ L, y′2 = 0 , t2′ = −γ 2 L .
c
126
127
L
V 2 20
корабля: T ′ =
лет.
1− 2 =
V +u
7
c
2.41. Скорость бегущего пассажира относительно станции (Л-сисV +u
, где V – скорость ленты, а u – скотемы отсчета) будет VΣ =
1 + Vu / c 2
рость пассажира. Если в Л-системе лестница эскалатора имеет N
ступенек длиной l каждая, то пассажир пробежит по ней за время
t = Nl VΣ . За это время лестница эскалатора пройдет расстояние Vt ,
а число ее ступенек уменьшится на ∆N = Vt l = NV VΣ . Следовательно,
(
)(
)
(
(
)
)
Ответы и решения
2. Релятивистская кинематика
В СО первой частицы вторая частица движется в направлении ВС со скоростью, компоненты которой равны
y'
C
Vx′ = −V , V y′ = V γ
V/g
(см. рисунок). Минимальным
расстоянием между частицами
A
V
B
gL
будет длина перпендикуляра АС,
опущенного из начала координат А на линию движения второй частицы. Из подобия треугольников:
a
x'
AC
AB
=
V y′
V x′ 2 + V y′ 2
и минимальное расстояние равно
Lmin =
1
=
γL
1+ γ 2
γ 2 +1
2.49. t =
c2 − V 2
L
c
u2 − V 2
.
2.50. Пусть в СО реки пловец плывет под углом α ′ к линии берега. В СО берега скорость пловца поперек реки равна u⊥ =
u ′ sin α ′
. При cos α ′ = − u ′V c 2 она достигает максимума
=
γ v (1 + u ′V cos α ′ / c 2 )
u⊥max =
u′
γ v 1− u ′ 2V 2 / c 4
минимальное время
,
, и в этом случае пловец переплывает реку за
.
−1/ 2
.
2.47. В системе облака пенал имеет длину L0 γ V , а упругая волна
u +V
придет к концу пенала А со скоростью u1 =
за время
1 + β u βV
L0
L
t=
= γ V 0 (1 + β u βV ) .
u
γ V ( u1 − V )
За это время сам конец пенала А передвинется на расстояние V t . Следовательно, внутри пенала окажутся пылинки, которые в момент удара
первых пылинок находились на расстоянии
⎛ β ⎞
+ Vt = L0γ V ⎜ 1 + V ⎟
γV
βu ⎠
⎝
L0
от его дна В. Масса вещества внутри пенала будет
⎛ V⎞
m = ρ L0 Sγ V ⎜ 1 + ⎟ .
u⎠
⎝
L
= 4, 6 ⋅ 10−6 c.
u
В своей системе отсчета пловец пересекает реку за минимальное
время
L
0
τ min
=
= 2,5 ⋅10−6 с,
γu ′ u ′
tmin =
⎛ V2 ⎞
n ⎛ c 2 − V 2 cos α ⎞
2.46. n ′ = 0 ⎜ 1 +
,
где
=
γ
⎜⎜ 1 − 2 ⎟⎟
⎟
γ ⎜⎝
c 2 − V 2 ⎟⎠
c ⎠
⎝
128
2.4. Направление движения. Преобразование углов
max
⊥
при этом в системе реки он плывет под углом α ′ = 90 к линии берега.
2.51. x = d
β γ ( n 2 − 1)
n2 − β 2
.
2.52. а) В СО реки точка A движется
вдоль оси x ′ со скоростью −V, а расстояние S ′ в γ раз меньше, чем в СО берега (см.
рисунок). Пловец, плывущий под углом α ′
B
к оси x ′, достигнет точки A при условии
V
A
u'
L
a'
γ L
u ′ sin α ′
= v .
u ′ cos α ′ + V
S
S/g
б) В СО берега компоненты скорости
пловца будут равны
u ′ cos α ′ + V
ux =
,
1 + u ′V cos α / c 2
B
u ′ sin α ′
.
uy =
γ v (1 + u ′V cos α ′ / c 2 )
A
u
a
S
129
V
L
Ответы и решения
2. Релятивистская кинематика
Чтобы попасть из B в A, эти компоненты скорости должны удовлетворять условию tgα = uy /ux = L/S (см. рисунок), т. е. опять
γ L
u ′ sin α ′
= v .
u ′ cos α ′ + V
S
(здесь β и γ определены относительно скорости наблюдателя). В движущейся системе отсчета расстояние между точками касания A и B концов
стержня с плоскостью составляет ∆x' = x2' – x1' = γL, причем правый
конец касается поверхности пола раньше, чем левый, на
2.53. θ = arc sin
β − 1 + β 2 − n2
1 − β 1 + β 2 − n2
, n < 1 + β , где β = V c .
2.54. Скорость движения наблюдателя V = c
N −1
.
N +1
2.55. Осколок, летящий в системе звезды под углом θ ′ = ±
системе будет двигаться под углом θ, для которого tg θ = ±
2
2 −1/2
(1 – V /c )
∆t1′ =
2
π
2
, в Л-
u′
, где γV =
γVV
. Половина сбрасываемого вещества звезды, летящая в сис-
теме звезды в переднюю полусферу θ ′ ≤
π
, в Л-системе будет лететь
2
в конусе с углом при вершине 2θ, телесный угол которого составляет
−1 2
⎡ ⎛
u ′2 ⎞ ⎤ π
Ω1/ 2 = 2π (1 − cos θ ) = 2π ⎢1 − ⎜ 1 + 2 2 ⎟ ⎥ 2 .
⎢⎣ ⎝ V γ V ⎠ ⎥⎦ γ V
В Л-системе в переднюю полусферу ( θ ≤
у которых
>−
в
системе
1
1 + ( u ′ / V 2 ⋅ γ V2 )
2
отсчета
π
2
угол
звезды
) попадут осколки,
вылета
cos θ ′ >
, т. е. в Л-системе вперед полетит часть осколков:
N вперед
N
1 − cos θ ′
1
1− 2 .
2
4γ V
2.59. Направим ось x Л-системы отсчета вдоль скорости наблюдателя. В этой СО координаты событий «касание пола концами стержня»
[x1, t1] и [x2, t2] связаны условиями x2 – x1 = L, t1 = t2 , где x2 и x1 –
координаты концов стержня.
В движущейся системе отсчета для координат этих событий имеем
x2′ − x1′ = γ ( x2 − x1 ) = γ L , t2′ − t1′ = −γ
130
β
c
( x2 − x1 ) = −
γ VL
c2
γ VL
c2
.
Положение стержня в движущейся
системе отсчета в момент времени t2',
когда правый конец стержня B уже
коснулся пола, показано на рисунке. A
Расстояние AC, отделяющее левый конец стержня от пола, равно
V
C
u/g
B
AC = ∆t ′ V 2 + ( u 2 / γ 2 ) ,
где V и u/γ – компоненты скорости стержня в движущейся системе
отсчета. Для движущегося наблюдателя стержень будет наклонен под
углом
( u / γ ) ⋅ ∆t ′
γ uV
θ = arctg
= arctg 2 .
AB − V ∆t ′
c
Длина стержня с точки зрения движущегося наблюдателя будет равна
L′ =
( AB − V ∆t ′) + ( u∆t ′ / γ )
⎡
2.60. θ ′ = arc tg ⎢γ
⎣
2
uV
⎛
⎜ tgθ + 2
c
⎝
2
= L 1−
V2
V 2u 2
.
+
2
c
c4
⎞⎤
⎟⎥ .
⎠⎦
2.61. а) Пусть первый стержень ориентиV/g
рован вдоль оси x Л-системы отсчета и двиV
жется вдоль нее со скоростью V, а второй
стержень движется вдоль оси y, так что в
момент времени t координаты его концов
2
были равны (x, y1) и (x, y2). В Л-системе оба
1
стержня имеют длину L = L0/γ. В системе
первого стержня второй стержень имеет компоненты скорости Vx' = –V
и V'y = V/γ (см. рисунок), а по преобразованиям Лоренца координаты кон⎛ V ⎞
цов второго стержня в момент времени t ′ = γ ⎜ t − 2 x ⎟ равны
⎝ c ⎠
γ ( x − Vt ) , y1 и γ ( x − Vt ) , y2 .
131
Ответы и решения
Следовательно, стержень остается параллельным оси y', а его длина
равна
3. ЭНЕРГИЯ-ИМПУЛЬС
L′ = y2 − y1 = L0 / γ = L0 ⋅ 1 − β 2 .
3.1. Масса, энергия и импульс релятивистских частиц
б) Если стержни движутся
перпендикулярно своей длине
V
(например, в Л-системе первый
a
q
стержень ориентирован по оси y
и движется вдоль оси x, тогда как
2
второй стержень параллелен
оси x и движется вдоль оси y). В
1
системе отсчета первого стержня
второй стержень будет двигаться под углом θ = arctg(1 γ ) к оси x' (см.
рисунок), причем ось второго стержня будет наклонена под углом
α = arctg(γβ 2 ) к оси x' (см. предыдущую задачу). В этом случае длина
второго стержня будет
V/g
L′ = L0 1 − β 2 + β 4 .
3.1. а) Скорость 4, 2 ⋅ 107 м/с , импульс 72 кэВ с ;
б) скорость 2, 97 ⋅ 108 м/с, импульс 3,47 MэВ с ;
в) скорость c (1 − 5 ⋅ 10−11 ) , импульс 50 ГэВ с .
T [ эВ] ⋅ I [ A ]
=U [ B] ⋅ I [A]=1, 4 ⋅1012
e
Вт, где U = 2⋅1013 В – эквивалентный потенциал электростатического
поля, I – ток пучка. При длине пучка L энергия, выделившаяся на
мишени:
NL
E=
= 4 ⋅108 Дж.
c
3.3. Выделяющаяся мощность N =
3.4. Давление пучка на поглощающую мишень площадью S равно
I
I
P = γ mnV 2 = γ mV ⋅
( T + mc 2 ) ⋅
1, 2 ⋅ 104 Па.
eS
eSc
3.7. Изменение массы Солнца за счет излучения
dM
1 dE W ⋅ 4π a02
= 2
=
= W ⋅ 4π t02 ≅ 5 ⋅ 109 кг/с,
dt
c dt
c2
где a0 = c⋅ t0 – расстояние от Солнца до Земли, а t0 ≅ 500 с – время
движения света от Солнца до Земли. Приведенное значение изменения
массы Солнца за счет излучения сравнимо с потерями массы за счет
потока плазмы (солнечный ветер), которые составляют ≅ 2 ⋅109 кг/с.
3.8. При отражении от неподвижного зеркала фотон передает ему
импульс ∆p = 2E/c, где E – энергия фотона. При интенсивности пучка I
фотонов в секунду и мощности лазера N = E ⋅ I свет действует на
∆p 2 E
2N
=
⋅I =
. Отсюда масса зеркала
зеркало с силой F =
c
c
∆t
2N
m=
= 0,133 г .
cg
3.2. Преобразования энергии-импульса. Эффект Доплера
3.9. В Л-системе импульс света продолжительностью T будет отражаться от движущегося навстречу зеркала в течение времени t =
132
133
Ответы и решения
= cT/(c+V). За это время передний фронт отраженного света успевает
удалиться от зеркала на расстояние
d = (с –V) t = cT(c – V)/(c + V),
т. е. в Л-системе продолжительность отраженного импульса будет
d
1− β
.
Tотр = = T
c
1+ β
При отражении фотона от движущегося навстречу зеркала его энер1+ β
гия увеличивается в
раз. Энергия светового импульса равна сумме
1− β
энергий составляющих его отдельных фотонов:
1+ β
.
Eотр = E ⋅
1− β
3.10. Обозначим через xn расстояние между зеркалами в момент n–
го столкновения фотона с движущимся зеркалом, а через pn – импульс
фотона непосредственно после этого столкновения. Рассмотрение двух
последовательных столкновений показывает, что для величин xn и pn
справедливы следующие рекуррентные соотношения:
1− β
1+ β
xn +1 xn , pn +1 =
pn ,
1+ β
1− β
где β = V c . Таким образом, произведение xn⋅ pn является сохраняющейся величиной, и при уменьшении расстояния между зеркалами наполовину энергия фотона должна увеличиться в два раза. Область, ограничиваемая фазовой траекторией фотона, имеет вид прямоугольника (с точностью до малой поправки порядка V c ), высота которого pn увеличивается по мере сближения зеркал. Площадь этого прямоугольника равна
2 xn pn и не изменяется при медленном сближении зеркал.
3.11. Пусть в СО Земли импульс лазера имеет энергию E и продолжительность T . Свет догоняет корабль, поэтому временной интервал
между приходом переднего и заднего фронтов импульса на корабль в СО
Земли будет равен
T
∆t =
,
1− β
соответственно пространственный интервал между этими событиями
составит ∆x = V ∆t . В системе корабля энергия луча будет E ′ = γ E ×
3. Энергия и импульс
Принимаемая на корабле мощность N =
лазера на Земле должна быть равна
N0 = N
E′ E 1 − β
= ⋅
, т. е. мощность
T ′ T 1+ β
1+ β
= 3N .
1− β
2
3.12. N max = N
r2 ⎛1− β ⎞
⎜
⎟ .
4 L2 ⎝ 1 + β ⎠
3.13. Считаем, что в Л-системе энергия и импульс электронов
лежат в диапазоне p ± ∆p, E ± ∆E. Дифференцируя выражение (pс)2 +
+ (mc2)2 = E2, получим соотношение
p⋅∆p = E⋅∆E /c2.
По преобразованиям Лоренца, в сопровождающей пучок системе отсчета, движущейся со скоростью V = pc2/E, разброс импульсов частиц
будет
∆p' = γ [∆p – ∆E⋅V/c2] .
Учитывая, что p' = 0 и ∆p = E⋅∆E/pc2, для импульса электронов в сопровождающей системе отсчета получим
∆p ′ = γ
⎞ ∆E
∆E ⎛ E
± 5⋅103 эВ/c.
⎜ −V ⎟ =
c2 ⎝ p
V
γ
⎠
Следовательно, максимальная кинетическая энергия электронов в сопровождающей пучок системе отсчета будет равна:
2
( ∆p ′ ) 1 ⎛ ∆ E ⎞ 2 2
2
′ = m 2 c 4 + ( ∆p ′) − mc 2 ≈
Tmax
≈ ⎜
⎟ mc ≈ 25 эВ.
2m
2⎝ E ⎠
3.15. Направим ось x Л-системы отсчета вдоль вектора суммарного
импульса частиц ∑ pi = P . В этом случае Py и Pz компоненты суммарного импульса частиц равны нулю, а Px = P . При переходе в СО,
движущуюся вдоль оси x со скоростью V, поперечные компоненты
импульса останутся равными нулю, а x–компонента станет Px′ = γ ( Px −
V ⎞ ∆t
T
⎛
.
T ′ = γ ⎜ ∆t − ∆ x ⎟ =
=
c ⎠ γ
γ (1 − β )
⎝
V
E ), где E =
E i – суммарная энергия частиц в Л-системе. В Цc2
системе P′x = 0, отсюда скорость Ц-системы:
p
2 P
2 ∑ k
V =c
=c
.
E
∑ Ek
134
135
× (1 − β ) , а длительность принимаемого сигнала
−
∑
Ответы и решения
3. Энергия и импульс
3.17. Из–за эффекта Доплера длины волн в спектре удаляющейся
галактики больше, чем в «собственных» спектрах:
λ
1+ β
=
= 1,1 .
λ0
1− β
Отсюда скорость удаления галактики V = 0,17 c , и по закону Хаббла расстояние до галактики будет
V
L=
7 ⋅108 парсек.
H
распространяющейся по направлению движения источника, и λ2 =
3.18. При приближении радиомаяка частота принимаемого сигнала
1+ β
1− β
ν =ν0 ⋅
, а при его удалении ν / 4 = ν 0 ⋅
. Отсюда находим
1− β
1+ β
скорость и рабочую волну передатчика:
V = 0,6 c , λ0 = 2c / ν .
3.19. V2 = c ⋅
β1 (ν 1 + ν 2 ) − (ν 2 − ν 1 )
.
β1 (ν 2 − ν 1 ) − (ν 2 + ν 1 )
3.20. Свет быстрее всего придет в точку на полу, расположенную за
стенкой на расстоянии
Rc
.
L=
2 4V 2 − c 2
Частота света в Л-системе в момент появления сигнала
2ω 0
ω=
= 1,6 ω 0 .
γ
(c / n) + V
ν
– для волны, испущенной назад. Здесь ν – частота излу-
чаемого света в Л-системе отсчета, которая в γ раз меньше собственной
частоты источника ν0.
Для наблюдателя в Л-системе регистрируемая частота волны (т. е.
частота, с которой к нему приходят максимумы волны) будет равна:
c/n
1
при приближении источника ν прибл =
,
=ν0 ⋅
λ1
γ (1 − nβ )
при удалении ν удал =
c/n
λ2
=ν0
1
γ (1 + nβ )
.
Если V > c/n (но меньше скорости света в вакууме), то источник
обгоняет свое излучение и наблюдатель, находящийся в Л-системе, не
видит приближающийся к нему источник. После того как источник
пройдет мимо наблюдателя и начнет удаляться от него, наблюдатель
будет видеть два изображения. Первое – на частоте νудал со стороны
удаляющегося вдоль оси x источника, второе – запаздывающее изображение приближавшегося источника. Если считать, что при движении
через волновой фронт источник его не разрушает, то частота запаздывающего излучения будет равна ν прибл , причем наблюдатель будет
видеть обращенную во времени эволюцию приближавшегося источника.
3.23. ν 2 = ν 0
γ 2 1 + nβ2
γ 1 + n β1
, ν1 = ν 0 1
, где γ i , βi определены
γ 1 1 − n β1
γ 2 1 − nβ2
относительно скорости Vi .
3.24. Из-за эффекта Доплера частоты падающего ν0' и отраженного νн' излучения в системе отсчета движущегося объекта будут равны
ν 0′ = ν 0 ⋅ (1 − β ⋅ cos θ ) , ν н′ = ν н ⋅ (1 + β ⋅ cos θ ) ,
2
3.21. ν max
=
⎛1+ β ⎞
= ν0 ⋅ ⎜
⎟ ; ν min = ν 0 .
⎝1− β ⎠
3.22. Пусть источник света движется вдоль оси x Л-системы отсчета, а неподвижный наблюдатель находится в ее начале координат.
Скорость света в неподвижной среде с показателем преломления n
равна c/n, т. е. точки электромагнитной волны с постоянной фазой (например, точки с максимальной напряженностью электрического поля) перемещаются относительно среды со скоростью c/n. Источник движется
относительно среды со скоростью V, и расстояние между соседними
(c / n) −V
максимумами волны будет равно λ1 =
– для волны,
где ν 0 и ν н – частоты падающего и отраженного излучения в Л-системе,
θ – угол между вектором скорости объекта и направлением распространения падающего излучения в Л-системе, V = β c – скорость движения
1 + β ⋅ cos θ
объекта. Поскольку ν0' = νн', то ν н = ν 0 ⋅
и скорость объекта
1 − β ⋅ cos θ
равна
ν −ν
1
.
V =c 0 н
ν 0 + ν н cos θ
136
137
ν
Ответы и решения
а угол наклона α к оси x будет
⎛ 1 γ − 2⎞
3.25. N 1/ 2 = N ⎜ +
⎟.
2β ⎠
⎝2
α = arctg
3.26. Пусть в Л-системе энергия падающего фотона E. В системе
′ = γ E (1 − β ) , а отраженный
зеркала падающий фотон имеет энергию Eпад
′ = γ Eотр (1 − β cos θ ) = γ
Eотр
γ E (1 − β ) = γ
E
, которые должны быть одинаковы, т. е.
2
E
. Отсюда для скорости зеркала получим
2
V = β c = 0,5 .
В системе зеркала отраженный фотон имеет x-компоненту импульса
E
p ′x = −γβ , т. е. движется под углом θ ′, для которого выполняется со2c
cp′
отношение cos θ ′ = x = − β и θ ′ =1200. Следовательно, нормаль к зер′
Eотр
калу направлена под углом 1500, а плоскость зеркала – под углом α ′ =
= 600 к оси x′ системы отсчета зеркала. Углы в Л-системе и СО зеркала
связаны соотношением
tgα =
3. Энергия и импульс
c ′′y
cx′′
(1 − β ) sin θ .
(1 + β ) cos θ − 2β
2
= arctg
2
Энергия фотона в СО отражателя E' = γE (1 – β⋅cosθ) при отражении не меняется, а x-компонента импульса px' с = γE (cos – β) меняет
знак. В Л-системе энергия и частота отраженного фотона будут
1 − 2 β cos θ + β 2
1 − 2 β cos θ + β 2
.
Eотр = E
,
ν
=
ν
отр
1− β 2
1− β 2
3.29. Eотр = E ⋅
3.30. P = 2W
3.31. V =
1+ β 2
1− β 2
=
5
hν ;
3
θотр = arcsin
V2
= 1,12 ⋅ 10−2 Па.
c −V 2
2
c
.
3
∆y ′
= γ tgα ′ .
∆x ′ γ
Отсюда tg α = 2 , т. е. в Л-системе зеркало наклонено под углом
α = arc tg2 = 630.
3.28. Пусть отражатель движется вдоль оси x, а фотон – под углом θ
к оси x Л-системы отсчета. В системе отражателя скорость фотона имеет
компоненты
cos θ − β
sin θ
, c′y = c
.
c′x = c ⋅
1 − β ⋅ cos θ
γ (1 − β ⋅ cos θ )
В системе отражателя фотон, последовательно отразившись от двух
зеркал, меняет направление движения на противоположное, и его
компоненты скорости cx', cy' изменяют знак. В Л-системе компоненты
скорости фотона после отражения будут равны
− c′y
V − c′x
cx′′ =
, c′′y =
,
2
1 − cx′V / c
γ (1 − c′xV / c 2 )
138
139
1− β2
1+ β2
≅ 37 0 .
4. Законы сохранения энергии и импульса
4. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ И
ИМПУЛЬСА
Перемножив оба уравнения, получим соотношение EB⋅EH = (E' )2.
Так как E ′ = mc 2 2 , то энергия распадающихся π-мезонов
Eπ = EВ +
4.1. Распад частиц
4.1. Скорость распада движущихся π-мезонов определяется уравнением
dnπ
n
=− π ,
dt
γ πτ π
где nπ – плотность π-мезонов в потоке, γπ – их релятивистский фактор.
Перейдя к новой переменной x = Vπ t – расстояние от мишени, перепишем уравнение в виде
dnπ
nπ
n m
=−
=− π π ,
(1)
dx
Pτ π
γ πτ π Vπ
где P – импульс, а mπ – масса π-мезона. π-мезоны в данном случае
являются ультрарелятивистскими частицами (γπ = 71,4), поэтому можно
считать, что образующиеся при распаде π → µ + ν мюоны летят параллельно пучку π-мезонов. Распадом мюонов на начальном этапе можно
пренебречь, поскольку даже самые медленные из них (имеющие наименьшее время жизни) распадутся в среднем за время
m
τ µ γ µτ µ 0 ≈ γ π µ ⋅τ µ 0 = 10−4 c,
mπ
что много больше времени жизни π-мезонов в пучке γπ τπ . Решая уравнение (1), получим
⎛ x mπ ⎞
nπ = nπ ( 0 ) ⋅ exp ⎜ −
⎟.
⎝ Pτ π ⎠
Плотность π-мезонов в пучке будет меньше половины суммарной плотности частиц, начиная с расстояния
Pτ
L ≥
ln 2 371 м.
mπ
4.2. По преобразованиям Лоренца, энергия фотона, вылетевшего вперед по ходу движения π-мезона, в Л-системе равна
EВ = γ E ′(1 + β ) ,
где E' – его энергия в Ц-системе. Фотон, вылетевший назад, в Л-системе
будет иметь энергию
m2 c4
287 МэB.
4 EВ
4.6. Пусть π-мезон двигался вдоль оси x Л-системы, а в Ц-системе
нейтрино вылетело под углом θ' к оси x'. Если в Ц-системе энергия нейтрино равна E', то в Л-системе его энергия будет EВ = γ E ′(1 + β cos θ ′ ),
где β = V/c определяется скоростью π-мезона. В Л-системе максимальная
энергия будет у нейтрино, вылетающих вперед, а минимальная – у вылетающих назад. Отношение максимальной энергии к минимальной:
E
1+ β
= 100 ,
α = max =
Emin 1 − β
откуда энергия распадающихся π-мезонов равна
α +1 2
Eπ =
mc 707 МэВ.
2 α
⎡ ⎛ M 2 − m2
µ
4.7. Eπ = M π c 2 ⋅ ⎢1 − ⎜ π2
2
⎢ ⎜⎝ M π + mµ
⎣
4.8. M x =
Mφ
α
⎞ ⎛ ±α + 1 ⎞ 2 ⎤
⎟⎟ ⎜
⎟ ⎥
⎠ ⎝ ±α − 1 ⎠ ⎥⎦
2
−1/ 2
⎧1,06 M π c 2
.
=⎨
2
⎩1, 03 M π c
= 547 МэВ.
4.9. Запишем законы сохранения энергии и импульса в четырехмерE ной форме: pπi − pγi = p2i , где pγi ≡ ( γ , pγ ) – 4-вектор энергии-импульса
c
регистрируемого γ-кванта, p2i – 4-импульс второго γ-кванта, образующегося при распаде π-мезона с 4-импульсом pπi . Возведя обе стороны
2
2
в квадрат и считая c ≡ 1 , получим ( Eπ − Eγ ) − ( pπ − pγ ) = 0 . Выразив
модули импульсов через соответствующие энергии и массы частиц,
получим:
m 2 − 2 Eγ ⋅ Eπ + 2 Eγ Eπ2 − m 2 ⋅ cos α = 0 ,
(1)
EН = γ E ′(1 − β ) .
где α – угол вылета регистрируемого γ-кванта по отношению к направлению движения π-мезона. Отсюда находим энергию π-мезона:
2
⎛
⎞
⎛ 2 Eγ sin α ⎞
m2c4 ⎜
⋅ cos α ⎟ 1,13 ГэВ.
Eπ =
1+ 1− ⎜
(2)
⎟
2
2
⎟
2 Eγ sin α ⎜
⎝ mc
⎠
⎝
⎠
140
141
Ответы и решения
4. Законы сохранения энергии и импульса
Перед корнем оставлен знак «+», чтобы обеспечить выполнение
условия Eπ > m2/2Eγ, вытекающего из выражения (1). Значение Eπ =
= 217 МэВ, получающееся из (2) при замене знака перед корнем,
соответствует углу вылета фотона 135º по отношению к направлению
движения π-мезона.
1/ 2
2
⎡⎛ E
θ⎞
θ⎤
4.10. M J ψ = 2 ⎢ ⎜ 2 sin ⎟ + m 2 cos2 ⎥
2⎠
2 ⎦⎥
⎣⎢ ⎝ c
4.11. Eπ = Eµ +
(
(M
2
π
− M µ2 ) c 4
2 Eµ − Eµ2 − M µ2 c 4 cos θ
M c2
4.12. Eπ =
θ + θ2
2 sin 1
2
≈ 3,1 ГэВ.
)
≈ 327 МэВ .
⎛ sin θ1
sin θ 2 ⎞
⎟.
⋅ ⎜⎜
+
sin θ1 ⎟⎠
⎝ sin θ 2
4.13. Пусть π-мезоны летят вдоль оси x Л-системы отсчета. В системе отсчета π-мезонов γ-кванты разлетаются изотропно, причем половина летит в переднюю полусферу, для которой угол вылета θ' меняется
от 0 до π/2. Из формулы преобразования углов для частиц, летящих со
скоростью света
cos θ ′ + β
cos θ =
1 + β cos θ ′
(где β – релятивистский фактор π-мезона), найдем, что при угле вылета
в Ц-системе θ' = π/2 в Л-системе γ-квант будет лететь под углом θ =
= arccos β . Так как γ 1, то arccos β arccos (1 − 1 2γ 2 ) 1 γ , и угло-
вой раствор конуса, в который в Л-системе полетит половина всех γквантов, будет равен 2θ ≈ 2/γ = 2,7⋅10−2 рад, при этом телесный угол
равен
Ω = 2π (1 − cos θ ) =
π
≈ 5, 7 ⋅ 10−4 ср.
γ2
Энергию γ-квантов в Л-системе найдем с помощью преобразований
mc 2
Лоренца: E = γ
(1 + β cosθ ′) . В пределах полученного конуса угол θ'
2
меняется в диапазоне от 0 до π/2, соответственно минимальная и максимальная энергии фотонов равны
γ mc 2
mc 2
= 5 ГэВ и Emax =
⋅ γ (1 + β ) γ mc 2 10 ГэВ.
Emin =
2
2
142
4.15. N =
2 + 3β − β 3
2 − 3β + β 3
≅ 5,4.
2
2
θ ⎞ ⎛E
θ ⎞
⎛
4.22. M K = ⎜ 2mπ cos min ⎟ + ⎜ 2K sin min ⎟ ≅ 500 МэВ.
2 ⎠ ⎝c
2 ⎠
⎝
4.23. Пусть в СО каона π +-мезон вылетает под углом θ ′ относительно скорости движения каона в Л-системе. Тогда в Л-системе проекции скорости π +-мезона на оси равны
β ′ cos θ ′ + β K
βπ′ sin θ ′
βx = π
и βy =
,
1 + βπ′ β K cos θ ′
γ K (1 + βπ′ β K cos θ ′)
т. е. в Л-системе он летит под углом θ1 к оси x, определяемым соотношением tgθ1 =
вылета
βπ′ sin θ ′
(обозначения стандартные). Для угла
γ K ( β K + βπ′ cos θ ′)
π −-мезона
аналогично
получаем
tgθ 2 =
βπ′ sin θ ′
.
γ K ( β K − βπ′ cos θ ′)
Суммарный угол разлета π-мезонов θ = θ1 + θ 2 в Л-системе определится
выражением
2γ K β K βπ′ ⋅ sin θ ′
tgθ1 + tgθ 2
=
tg (θ1 + θ 2 ) =
= 2 2
1 − tgθ1tgθ 2
γ K ( β K − β π′2 cos2 θ ′) − β π′2 sin 2 θ ′
=
2 β K βπ′
γK
sin θ ′
.
β − β π′ + β K2 β π′2 sin 2 θ ′
2
K
Выражение (1) достигает экстремума при
cos θ ′ = 0
=
(симметричный
(1)
2
разлет).
sin θ ′ =
Подставляя
1
1
− 2
2
βπ′ β K
значение
1
1
− 2 , найдем для максимального угла разлета:
2
′
βπ
βK
tgθ max =
С учетом γ π′ mπ =
1
γ K β K2 − β π′2
, т. е. cos θ max = 1 −
γ π′2
.
γ K2
MK
максимальный угол разлета будет равен
2
θ max = arc cos 1 −
M K4 c 4
0,09 рад.
4mπ2 EK2
143
или
sin θ ′ =
Ответы и решения
4. Законы сохранения энергии и импульса
Симметричный разлет ( sin θ ′ = 1 ) соответствует локальному минимуму
угла:
⎡
θ loc min = arccos ⎢1 −
⎢⎣
2 ( M K2 − 4mπ2 ) c 4 ⎤
⎥ 0,08 рад.
E K2 − 4mπ2 c 4 ⎥
⎦
(2)
Локальный минимум (2) также можно найти из условий симметрии.
Для этого запишем равенство 4-векторов энергии-импульса при распаде
K-мезона на два π-мезона в виде ( EK , pK ) = ( E1 , p1 ) + ( E2 , p2 ) . Возведя
его в квадрат, получим (считаем c ≡ 1 )
где θ – угол разлета π-мезонов в Л-системе. Отсюда находим
cos θ =
E12 − mπ2 ⋅ E22 − mπ2
.
(3)
Зависимость cos θ = f ( E1 , E2 ) симметрична относительно перестановки E1 и E2 , и при равных энергиях E1 = E2 производные совпадают:
∂f
∂f
=
.
∂E1 ∂E2
Из равенства E1 + E2 = const следует, что ∆ ( E1 + E2 ) = ∆E1 + ∆E2 = 0 .
Отсюда для E1 = E2 получим
∆ f ( E1 , E2 ) =
γu =
Eπ′
M
= K .
2
mπ c
2mπ
Сравнивая
значения
инварианта,
найдем
относительную скорость π-мезонов:
Vотн
4.25. MX = Mφ
⎛ M2
⎞
= c 1 − ⎜ k2 − 1⎟
⎝ 2 mπ
⎠
−2
0,98 c.
sin(θ min 2)
≅ 546 МэВ.
1 + cos(θ min 2)
4.26. Пусть каоны летят вдоль оси x Л-системы отсчета. В Ц-системе
мюон и нейтрино разлетаются с энергиями Eµ′ , Eν′ и одинаковыми по
M K2 = 2mπ2 + 2 ( E1 E2 − p1 p2 cos θ ) ,
E1 E2 + mπ2 − M K2 / 2
где
∂f
∂f
∆E1 +
∆E2 = 0 ,
∂E1
∂E2
т. е. при равных энергиях π-мезонов значение cos θ (и угла θ) достигает
экстремального значения. В данном случае выражение (3) при E1 = E2
определяет полученное выше значение локального минимума угла (2).
Для нахождения относительной скорости π-мезонов воспользуемся
инвариантностью скалярного произведения 4-векторов скоростей частиц
u1 ⋅ u2 = γ 1γ 2 ( c 2 − u1 ⋅ u2 ) .
величине, но противоположно направленными импульсами p'. Запишем
законы сохранения энергии и импульса (считаем c ≡1):
Eµ′2 − mµ2 = Eν′ .
M K = Eµ′ + Eν′ ,
Отсюда получаем
Eν′ = ( M K2 − mµ2 ) / 2 M K = p ′ и Eµ′ = ( M K2 + mµ2 ) / 2 M K .
Проекции импульса частиц на оси Л-системы равны
p x = γ p ′ ( cos θ ′ + β E ′) , p y = p ′ sin θ ′,
где θ' – угол вылета частицы в системе каона, β и γ – скорость и релятивистские факторы каона. Для угла вылета θ частиц в Л-системе имеем
tgθ =
py
px
=
sin θ ′
.
γ ⎡⎣cos θ ′ + ( β E ′ / p′)⎤⎦
В данном случае ( γ = 1,3, β E ′ / p ′ ∼ 1) при малых θ углы θ' также
имеют малую величину и связаны соотношением
θ' ≈ θ γ (1 + βE'/p').
Для частиц, летящих в направлении движения каона, малому
интервалу углов в Л-системе [0, θ+] в системе каона будет соответствовать интервал углов от 0 до θ +′ = θ +γ ⎡⎣1 + ( β E ′ p ′)⎤⎦ , а интервалу углов
⎛ M2
⎞
A = γ u2 ( c 2 + u 2 ) = c 2 ( 2γ u2 − 1) = c 2 ⎜ K2 − 1⎟ ,
⎝ 2mπ
⎠
⎡
⎛
β E ′ ⎞⎤
[π , π − θ − ] в Л-системе – интервал углов [π , π − θ −′ ]= ⎢π , π − θ −γ ⎜1 −
⎟⎥
p′ ⎠ ⎦
⎝
⎣
в СО каона.
Интервалу углов [0, θ] соответствует телесный угол 2π (1 – cos θ),
который для малых θ равен πθ 2. Таким образом, двум одинаковым по
величине малым телесным углам, в которые в Л-системе частицы летят
144
145
В СО первого π-мезона, где u1 = 0 , γ 1 = 1 , u2 = Vотн , он имеет вели
чину A = c2γ (Vотн). В Ц-системе u1 = −u2 = u , и инвариант равен
Ответы и решения
4. Законы сохранения энергии и импульса
вперед и назад, в системе каона будут соответствовать малые телесные
углы, отношение которых равно
⎛ θ +′ ⎞
( p′ + β E ′) ( β ′ + β )
=
,
⎜ ⎟ =
2
2
′
θ
( p′ − β E ′) ( β ′ − β )
⎝ −⎠
где β ′ = p'/E' – скорость выбранного сорта частиц в системе каона.
Поскольку в системе каона частицы разлетаются изотропно, полу2
ченное отношение телесных углов (θ +′ θ −′ ) равно искомому отношению
2
2
dN dN d Ω′ N
1− β 2
=
⋅
=
⋅
,
d Ω d Ω′ d Ω 4π (1 − β cos θ )2
2
N + N − числа частиц, летящих в Л-системе в одинаковые малые углы
вперед и назад. Подставляя β ′ = 1, β = 2 3 , для числа нейтрино получим
отношение
N + N − = 25.
Для мюонов
β ′ = p′ / Eµ′ = ( M K2 − mµ2 ) / ( M K2 + mµ2 ) 12 /13,
и соотношение числа мюонов, летящих в одинаковые малые телесные
углы вперед и назад, в Л-системе будет равно
N + N − ≈ 38,4.
4.30. В системе центра инерции энергия образующихся нейтрино
равна Eν′ = ( mπ2 − mµ2 ) c 2 / 2mπ 34 МэВ, причем вылет нейтрино изотропен:
dN/dΩ' = N/4π.
В Л-системе энергия нейтрино Eν = γ E'ν (1+β cosθ' ), где γ, β – релятивистские факторы π-мезона, θ' – угол вылета нейтрино относительно
оси x' Ц-системы. Таким образом, энергия нейтрино лежит в диапазоне
0,4 МэВ ÷ 2,9 ГэВ.
Малому интервалу энергий нейтрино в Л-системе соответствует
интервал углов вылета нейтрино в Ц-системе:
dEν = γβ ⋅ Eν′ ⋅ d ( − cos θ ′) = γβ Eν′ ⋅ d Ω′ / 2π ,
где d Ω′ = 2π ⋅ d ( − cos θ ′) – малый телесный угол, ограниченный углами θ'
и θ' + dθ'. Отсюда для энергетического спектра нейтрино в Л-системе
получим
dN dN d Ω′ N 2π
N
,
=
⋅
=
⋅
=
dE d Ω′ dE 4π γβ Eν′ Emax − Emin
которое показывает, что в пределах указанного диапазона энергий любое
значение энергии нейтрино в Л-системе равновероятно, т. е. средняя
энергия нейтрино равна 1,65 ГэВ.
146
Аналогично находим угловое распределение нейтрино в Л-системе:
где выражение для
d Ω′ d cos θ ′
=
d Ω d cos θ
cos θ − β
, связываю1 − β cos θ
щего углы вылета частиц нулевой массы в различных системах отсчета.
получено дифференцированием равенства cos θ ′ =
4.31. Пусть 4-импульс неподвижной частицы до распада P i =
= ( Mc, 0) , 4-импульс одного из образовавшихся осколков P1i , а суммарный 4-импульс остальных осколков PΣi . Возводя в квадрат обе части
равенства P i − P1i = PΣi и считая c ≡ 1, получим соотношение
M 2 + m12 − 2 ME1 = mΣ2 .
2
2
⎛
⎞ ⎛ ⎞
Здесь использовано, что P = M , P = m и P = m = ⎜ ∑ Ei ⎟ − ⎜ ∑ pi ⎟ –
⎝ i ≠1 ⎠ ⎝ i ≠1 ⎠
квадрат инвариантной массы системы остальных осколков. Отсюда найдем
2
1
2
1
2
Σ
2
2
E1 =
M 2 + m12 − mΣ2
,
2M
2
Σ
т. е. кинетическая энергия осколка m1 будет максимальна при минимуме
инвариантной массы mΣ2 .
Перейдем в систему центра масс «остальных осколков». В этой СО
инвариантная величина
2
⎞
⎛
⎞ ⎛
mΣ2 = ⎜ ∑ Ei ⎟ = ⎜ ∑ mi′2 + pi′2 ⎟
⎝ i ≠1 ⎠ ⎝ i ≠1
⎠
2
будет иметь минимальное значение
2
⎛
⎞
2
m = ⎜ ∑ mi′ ⎟ = ( m − m1 )
⎝ i ≠1 ⎠
2
Σ
при условии pi′2 = 0, т. е. когда осколки в этой системе неподвижны,
а в Л-системе имеют одинаковую скорость. Таким образом, максималь147
Ответы и решения
4. Законы сохранения энергии и импульса
ная кинетическая энергия осколка m1 достигается при mΣ2 = ( m − m1 ) и со2
ставляет
M 2 + m12 − ( m − m1 ) 2
( M − m1 ) − ( m − m1 ) 2
c − m1c 2 =
c .
2M
2M
2
T1max =
2
2
4.32. Пусть mΣ – инвариантная масса системы образующихся нейтрино-антинейтрино. Ее величина
mΣ2 = ( Pνi + Pνi ) = 2 Eν Eν (1 − cos θ )
2
достигает минимального значения m = 0 , когда угол разлета частиц
θ = 0, т. е. максимальная энергия электрона (см. решение задачи 4.31)
равна
2
Σ
Eemax =
4.34. E1 =
4mc 2
3+ 3
mµ2 + me2
2 mµ
, E2 =
2mc 2
3+ 3
c2 ≈ 53 МэВ .
, E3 =
2mc 2
1+ 3
.
2
1 + E mc 2
( E + m)
.
2
− p 2 = ( 2m + Mψ ) ,
2
откуда найдем пороговую энергию протона при рождении J/ψ-мезона на
неподвижной мишени
⎛
M2
E p = ⎜ 2 Mψ + M p + ψ
⎜
2M p
⎝
⎞ 2
⎟⎟ c 12, 3 ГэВ.
⎠
Значение пороговой кинетической энергии протона в 3,6 раза превышает массу J/ψ-мезона. Избыток энергии протона величиной 8,2 ГэВ
переходит в кинетическую энергию продуктов реакции, обусловленную
движением центра масс частиц. В ускорителях на встречных пучках вся
энергия сталкивающихся частиц может идти на образование новых частиц. Например, при столкновении электрона и позитрона с одинаковыми по величине и противоположно направленными импульсами образующаяся в реакции e− + e+ → J/ψ частица будет покоиться. Из закона
сохранения энергии следует, что в этом случае каждая из сталкивающихся частиц должна иметь пороговую энергию
Ee =
4.2. Неупругие столкновения. Пороги рождения частиц
4.38. α = 2 arcsin
квадрат длины суммы 4-векторов, получим равенство
Mψ
2
c2 1,55 ГэВ.
4.42. Пороговая энергия будет минимальной, если фотоны будут
двигаться навстречу друг другу. Положим, что энергия первого равна E1,
а второго – E2 = 1 эВ. Квадрат длины 4-вектора энергии-импульса
фотонов до столкновения в Л-системе имеет величину
( E1 + E2 ) − ( p1 − p2 )
2
4.40. Ee = M p c2 = 1 ГэВ .
4.41. Запишем законы сохранения энергии и импульса в четырехмерной форме
Ppi1 + Ppi 2 = Ppi1 + Ppi 2 + Pψi ,
где значком «~» обозначены 4-векторы энергии-импульса рождающихся
частиц. Возведем это равенство в квадрат и, пользуясь инвариантностью
длины 4-вектора, запишем правую часть в Ц-системе, в которой при
пороговой энергии процесса все образующиеся частицы покоятся:
⎣⎡( E , p ) + ( m, 0 ) ⎦⎤ Л = ⎡⎣( m, 0 ) + ( m, 0 ) + ( Mψ , 0 ) ⎤⎦ Ц ,
где (E, p) – 4-вектор энергии-импульса налетающего протона, (m,0) – 4вектор энергии-импульса покоящегося протона, (Mψ ,0) – 4-вектор
энергии-импульса покоящегося J/ψ-мезона (считаем c ≡ 1). Вычисляя
2
2
148
2
= 4 E1 E2
(считаем c ≡ 1). Если энергия фотонов пороговая, то образующаяся электрон-позитронная пара в системе центра инерции должна покоиться,
а квадрат длины 4-вектора энергии-импульса пары в Ц-системе будет
иметь величину (2m )2. Из законов сохранения и инвариантности длины
4-вектора энергии-импульса в Л- и Ц-системах получим 4 E1 E2 = ( 2m ) и
2
m2 c4
≈ 2,5 ⋅1011 эВ.
E1
4.43. Запишем закон сохранения энергии и импульса при пороговой
энергии γ-кванта Eγ в инвариантном четырехмерном виде (c ≡ 1):
E2 =
⎡( Eγ , pγ ) + ( M d , 0 ) ⎤ = ⎡( mn , 0 ) + ( m p , 0 ) ⎤ .
⎣
⎦Л ⎣
⎦Ц
2
149
2
Ответы и решения
Отсюда Eγ
(m
=
n
+ m p ) − M d2
2
c 2 = ∆E +
( ∆E )
4. Законы сохранения энергии и импульса
2
, где ∆E = (mn + mp – Md )c2
2M d
2M d
– энергия связи дейтрона. Из закона сохранения энергии
Eγ + Md c2 = TΣ + mnc2 + mp c2
найдем кинетическую энергию образующихся нуклонов
TΣ = Eγ − ∆E =
4.48. E max = E −
M n2 − M p2 − me2
2M p
( ∆E )
= 103 эВ.
2
2M d c
c , Emin
1/ 2
Emax
=
.
1 + ( 2E M p c2 )
V = c2
2
( M + m)
(E c )
2 2
2
− m2
−m
2
22o .
4.53. Пороговая энергия протонов, необходимая для поглощения,
минимальна при лобовых столкновениях с реликтовыми фотонами и равна
E=
M ∆2 − M 2p
4 Eγ
c4 +
(
Eγ
)
M ∆2 M 2p − 1
150
E12 − m 2 c 4 − E22 − m 2 c 4
,
E1 + E2
⎛
E − E2
M ϒ2 c 4 ⎞
1
= c ⎜1 +
V 1
.
⎟ , где γ =
2
⎜
⎟
γ M ϒc
1 − V 2 / c2
⎝ ( E1 − E2 ) ⎠
В Л-системе B-мезоны будут двигаться в одну сторону, если V > u,
т. е. при соотношении
1/ 2
⎛ M2
⎞
E1 − E2 > Mϒ c2 ⎜ ϒ2 − 1⎟ 6,5 ⋅108 эВ.
⎝ 4MB ⎠
При этом энергия ϒ -мезона
M 2 c2
E ϒ ≥ ϒ = 10,6 ГэВ.
2M B
( E 2) + ( m c )
2
π
2 2
, т. е .
(
1− (M
1 − 1 − Mψ c 2 Eψ
1+
4.54. Пусть в Л-системе γ-квант имеет необходимую энергию Eγ.
Суммарный импульс образовавшихся π-мезонов равен Eγ/c, а их инвариантная масса будет минимальной, если оба π-мезона летят в одну сторону
с одинаковыми скоростями, т. е. импульс каждого равен Eγ/2c. Энергия
γ
=c
где E1 и E2 – энергии встречных электрон-позитронных пучков. Поскольку энергии E1 и E2, необходимые для рождения ϒ -мезона с массой
10,58 ГэВ, должны быть много больше mc2 = 0,5 МэВ, то можно считать,
что E1 p1c, E2 p2 c, и упростить выражение для скорости центра
масс:
4.57. k =
5 ⋅ 1020 эВ.
образовавшихся частиц в этом случае E = Eγ + 2
i
, а скорость центра масс
−1/ 2
где E – энергия электрона, M и m – массы протона и электрона, θ – угол
между векторами импульсов сталкивающихся частиц, T – суммарная
кинетическая энергия образовавшихся частиц в системе центра инерции.
При пороговой энергии образующиеся частицы в системе центра инерции неподвижны, и образование протон-антипротонной пары возможно,
если
θ ≥ 2 ⋅ arcsin
∑P
∑E
i
⎡ M + m + ( T / 2c 2 ) ⎤ − m 2
⎦
sin
=⎣
,
2 2
2
2
(E c ) − m
θ
2
⎛E ⎞
+ ⎜ γ ⎟ + ( mπ c 2 ) = 167 МэВ.
Ee =
2
⎝ 2 ⎠
теме равны u = c (1 − 4 M B2 / M ϒ2 )
4.50. Из законов сохранения и инвариантности длины 4-вектора
энергии-импульса частиц следует, что
2
2
Eγ
4.55. В системе центра инерции встречных пучков ϒ -мезон покоится и распадается на B-мезоны изотропно. Скорости B-мезонов в Ц-сис-
2
2
минимальная энергия частиц встречных пучков равна
4.58. M =
2 E0
c2
ψc
2
Eψ
E1
,
2 E 0 − E1
)
)
2
2
2
⎛ L⎞
= 0,38, где Eψ = 2 M τ c 2 1 + ⎜ ⎟ .
⎝ cτ ⎠
Eγ =
E 0 E1
.
2 E 0 − E1
4.59. В СО ракеты импульс атома γmV, и в единицу времени в ракету сечением S попадает γnVS атомов (здесь m – масса, n – плотность, V
151
Ответы и решения
4. Законы сохранения энергии и импульса
и γ
– скорость и релятивистский фактор атомов). Сила, тормозящая
dp
ракету, равна
= γ 2 mnV 2 S . Скорость ракеты не меняется, если тяга
dt
dp
двигателей F =
. Мощность фотонных двигателей с тягой F равна
dt
т. е. возрастет на ∆E = M
4.60. V =
2
5
2
1−V
2
Ц
. Подставляя VЦ2 =
E 2 − m2
(E + M )
2
и E = m +T,
для передаваемой энергии получим
∆E = 2 M
N = nγ V Smc 8 ⋅10 Вт.
2
2VЦ2
7
2mT + T 2
(m + M )
2
2
+ 2 MT
.
⎛ m − m1 ⎞
( m2 − m1 )
4.63. a) Tmin = T0 ⎜ 2
.
⎟ , б) Tmin = T0
2
⎝ m2 + m1 ⎠
( m2 + m1 ) + ( 2m2T0 c 2 )
c.
4.3. Упругие столкновения
4.61. Выразим импульс налетающей частицы массой m1 через ее
VE ′ ⎞
⎛
энергию и импульс в системе центра инерции p1 = γ ⎜ p1′ + 2 ⎟ . Лобовое
c ⎠
⎝
столкновение приводит к изменению знака p′1 , и, чтобы частица и в Лсистеме изменила направление своего движения, должно выполняться
условие
VE1′
p1′ >
.
c2
Поскольку p1′ = p2′ , где p'2 – импульс частицы массы m2 в системе
VE2′
(так как в Л-системе частица m2 до столc2
VE1′
кновения покоилась), то условие p1′ >
сводится к виду E1′ < E2′ .
c2
Учитывая равенство p1′ = p2′ , получим искомое соотношение
центра инерции, а p2′ =
m1 < m2 .
4.62. Считаем, что первая частица летит вдоль оси х. Рассмотрим
задачу в Ц-системе. Импульс каждой из сталкивающихся частиц в Цсистеме равен PЦ′ = γ VЦ M . Максимальную энергию частица передает
при лобовом столкновении. После лобового столкновения вторая частица
в Ц-системе летит вперед с импульсом P ′ = γ VЦ M и энергией E ′ = γ M .
Ее энергия в Л-системе будет равна
E = γ ( E ′ + VЦ P ′) = M
152
1 + VЦ2
1 − VЦ2
,
2
4.64. Импульс протона после столкq
новения равeн (с противоположным знаком)
-Dp
Dp
изменению импульса электрона ∆p (см.
рисунок). Угол рассеяния θ мал, и изменение импульса электрона ∆p ≈
≈ p0 θ. Учитывая, что p0 с ≈ E, где E – энергия налетающего электрона,
для кинетической энергии протона получим
2
p 2θ 2
E 2θ 2
Tp = ( M p c 2 ) + p02θ 2 c 2 − M p c 2 0 =
= 0,5 кэВ.
2M p 2M p c 2
2
⎛
⎞
⎛ m2 ⎞
mV
2m1V
1
⎜
cos θ 2 .
4.65. V1 =
cos θ1 ± ⎜
+ cos2 θ1 − 1 ⎟ , V2 =
⎟
⎜
⎟
m1 + m2
m1 + m2
⎝ m1 ⎠
⎝
⎠
При соотношении масс m1 > m2 перед корнем допустимы оба знака. При
m1 < m2 (или при m1 = m2 и θ1 ≠ 0) – только знак «+».
4.66.
αmax = arcsin
4.68.
∆N ≥600
N
=
Mn
= 14,5 0.
Mα
3
.
4
4.71. Если энергия электрона мала по сравнению с энергией покоя
протона, то при столкновении электрон (как легкая частица) может
потерять лишь малую долю своей первоначальной энергии. Отсюда следует, что рассматриваемый электрон должен быть ультрарелятивистским. Поскольку при лобовом столкновении с неподвижным
протоном направление движения электрона меняется на противоположное, импульс протона после столкновения будет равен 3E 2c ,
где E – искомая энергия электрона. Далее из закона сохранения энергии
153
Ответы и решения
4. Законы сохранения энергии и импульса
Подставляя значение β и исходные данные, для максимальной энергии
фотона после столкновения получим
9
E
+ Mc 2 = M 2 c 4 + ⋅ E 2 находим
2
4
Emax = Eγ
2
Mc
E=
.
2
Для точного решения задачи воспользуемся четырехмерной формой
записи законов сохранения: pei − p ei + p ip = p ip , где знаком «~» отмечены
значения 4-импульсов частиц после столкновения. Возведя в квадрат
и для удобства полагая c ≡ 1, найдем
( E − E + M )
2
2
⎡( E − E + M )2 − E 2 − E 2 − M 2 + 2m 2 ⎤ = 4 ( E 2 − m 2 ) ⋅ ( E 2 − m 2 ) .
⎢⎣
⎥⎦
~
Полагая E = E / 2 , получим квадратное уравнение, решение которого
дает
M 2 + m 2 + M 4 + 34 ⋅ M 2 m 2 + m 4 2 Mc 2 9m 2 2
+
E=
c c ≈ 0,5 ГэВ.
4M
2
2M
4.72. Пусть начальные энергия и импульс фотона Eγ и pγ, электрона – E и p. Центр инерции частиц движется со скоростью
p + pγ
E 2 / c 2 − m 2 c 2 − Eγ / c
2
V =c
= c2
,
E + Eγ
E + Eγ
которая направлена вдоль скорости движения электрона. В системе
центра инерции энергия фотона до столкновения Eγ′ = γ Eγ (1 + β ) , где релятивистские факторы γ, β определяются скоростью центра инерции V.
Максимальную энергию фотон приобретет при лобовом столкновении
с электроном. В системе центра инерции при лобовом столкновении
частиц их импульс меняет знак, а энергия не изменяется. Совершив обратный переход в Л-систему отсчета, найдем энергию фотона после лобового столкновения:
Eγ′′ = γ Eγ′ (1 + β ) = γ 2 Eγ (1 + β ) = Eγ
2
154
1+ β
.
1− β
E + 2 Eγ − E − m c
2
2 4
E
2, 4 ⋅109 эВ.
1 + m c / 4 Eγ E
2 4
При увеличении начальной энергии фотона доля энергии, передаваемой
от электрона к фотону, возрастает. В частности, электрон остановится
при энергии фотона
Eγ =
− p 2 − p 2 − M 2 = −2 pp .
Снова возведя обе части равенства в квадрат и выразив импульсы через
энергии, получим
E + E 2 − m2c4
4.73. E =
mc 2 + E 2 − m 2 c 4 − E
260 кэВ.
2
2mc 2
2mc 2
2mc 2
, E1 =
, E2 =
.
θ1 ⋅ θ 2
(θ1 + θ2 ) ⋅ θ1
(θ1 + θ2 ) ⋅ θ2
4.74. Энергия фотона E после рассеяния выражается через его энергию до рассеяния Eγ и угол рассеяния θ (см. рисунок) в виде
−1
E
⎡
⎤
E = Eγ ⎢1 + γ 2 (1 − cos θ ) ⎥ .
⎣ mc
⎦
E
Длина волны света при рассеянии увеличиваh
h
ется на ∆λ =
= 2,4 ×
(1 − cos θ ) , где
mc
mc
×10−12 м – комптоновская длина волны электрона.
Eg
q
4.75. Пусть Eγ , Te – энергия фотона и кинетическая энергия
электрона до рассеяния. Энергия фотона, рассеянного на угол π/2, равна
Eγ′ = Eγ
mc2 + Te + Te2 + 2 mc2Te
mc + Te + Eγ
2
⎧10 эВ
⎨
⎩20 эВ
при Т e = 100 эВ,
при Т e = 10 ГэВ.
4.76. Введем обозначения: V = βс – скорость Ц-системы, p', E' и θ' –
модуль импульса, энергия и угол рассеяния протона в Ц-системе.
Продольная и поперечная составляющие импульса протона в Л-системе
после столкновения: pII = γ ( p ′ cos θ ′ + E ′V / c 2 ) , p⊥ = p ′ ⋅ sin θ ′ . Тангенс
угла отклонения протона в Л-системе
sin θ ′
.
tg θ =
γ ( cos θ ′ + E ′V / p ′c 2 )
155
Ответы и решения
4. Законы сохранения энергии и импульса
Максимальный угол рассеяния θ max достигается при
cos θ m′ = −
где γ = E/m – релятивистский фактор налетающей частицы. Аналогичный
результат можно получить из рассмотрения «эллипса» импульсов рассеянных частиц [3].
p ′c
.
E ′V
2
2
⎛M ⎞
E ′V
1
=−
= β2 +⎜
Подставляя p ′= γ mV , E ′ = p ′ c + M c и
⎟ ,
2
cosθm′
p′c
⎝γm⎠
2 2
2 4
для максимального угла рассеяния получим
1
1
tg θ max =
=
и
2
1
M
−1
γ
−1
cos2 θ m′
m2
m
θ max = arcsin .
M
Примечательно, что максимальный угол рассеяния тяжелой частицы на
легкой не зависит от энергии налетающей частицы.
4.77. Сумма 4-векторов энергии-импульса частиц до и после столкновения не меняется:
(E, p) + (m, 0) = (E1, p1) + (E2, p2),
где E, p – энергия и импульс налетающей частицы, m – масса каждой частицы, E1, E2, p1, p2 – энергии и импульсы частиц после столкновения
(с ≡ 1). При возведении этого равенства в квадрат получим
2m ( E + m ) = 2m2 + 2 ( E1E2 − p1 p2 ⋅ cosθ ) ,
где θ – угол разлета частиц. Отсюда находим
cosθ =
E1 E 2 − mE
E12
− m 2 E 22 − m 2
.
(1)
Полученная зависимость симметрична относительно перестановки E1
и E2 , поэтому при условии
E1 + E2 = E + m = const
одно из экстремальных значений cos θ (и угла θ) будет достигаться при
равенстве энергий E1 = E2, т. е. при симметричном разлете.
В данном случае угол симметричного разлета θ будет являться минимальным углом разлета частиц. Подставляя значения E1 = E2 = (E +
+ m)/2 в выражение (1), найдем
θ min = arccos
156
4.78. Запишем законы сохранения энергии и импульса в виде
E1 + E2 = E0 = E1 + E 2 ,
p1 + p2 = p0 = p1 + p 2 ,
(1)
где E1 , E 2 , p 1 , p 2 – энергии и импульсы фотонов после столкновения.
Из равенства
p1 c + p 2 c = E1 + E 2 = E0
следует, что в треугольнике, образо ванном векторами p0, p 1 , p 2 (см. рисунок), сумма расстояний AC и BC
равна постоянной величине p0 .
qmin
A
p0
B
Таким образом, геометрическое
~
место точек C при различных возможp2
~
p1
ных значениях p1 , p2 будет образоC
вывать эллипс с фокусами в точках A
и B. На рисунке видно, что минимальная и максимальная энергии в спектре рассеянных фотонов реализуются при их разлете вдоль вектора p0,
когда
E max − E min = p0 c .
Учитывая (1), для энергий получим
E1 + E2 − p1 + p2 c
E1 + E2 + p1 + p2 c
Emin =
, Emax =
.
2
2
~
~
Минимальный угол разлета фотонов θmin достигается при E1 = E 2 (см.
рисунок) и равен
⎛ 2 E1 E 2
α⎞
θ min = 2 arcsin ⎜⎜
⋅ sin ⎟⎟ .
2⎠
⎝ E1 + E 2
где α – угол между векторами p1 , p2 фотонов до столкновения.
γ −1
,
γ +3
157
5. Простейшая релятивистская динамика
5. ПРОСТЕЙШАЯ РЕЛЯТИВИСТСКАЯ
ДИНАМИКА
5.1. Движение в магнитном поле. Сила Лоренца
5.1. Кинетическая энергия электрона Te ~ pс ~ 2⋅108 эВ, протона
TP p 2 2 M ≈ 2 ⋅107 эВ. Магнитное поле
B [T] =
pc [МэВ]
300 ⋅ r [м]
=
2
T
3
(в скобках указаны соответствующие коэффициенту 300 единицы измерения величин B, pc и r).
5.7. Vϒ =
4m 2 c
c
1 − 2e .
2
2
Mϒ
5.10. z ≈ 4
∆E ⎛ m2 c4 ⎞
⎜1 +
⎟ ≈ 0,6 м, где ∆E = 0,02 E.
eBc ⎝
2E 2 ⎠
ГэВ
, релятивистский фактор γ ≈
с
≈ 30. Время жизни движущихся мюонов в γ раз больше, чем покоящихся.
Из уравнения
dJ
J
=−
dt
γτ
найдем зависимость тока мюонов от времени J = J 0 exp( − t γτ ) .
Ток уменьшится в 20 ~ е3 раз за время
T = γτ ln 20 1,8 ⋅ 10−4 с .
5.12. Импульс мюонов p = eBR = 3
5.13. Период обращения электрона в однородном магнитном поле T=
= 2π
γm
. После каждого прохождения ускоряющего промежутка энергия
qB
электрона увеличивается на величину mc2, при этом период обращения
электрона возрастает на 2π m/qB. После очередного оборота электроны
будут возвращаться в ускоряющий промежуток микротрона к одной
и той же фазе ускоряющего электрического поля, если последнее меняqB
ется с частотой f =
≅ 5,6 ⋅ 1010 Гц. При ускорении электрона до
2π m
158
энергии 511 МэВ электрон совершит 998 оборотов и время ускорения
будет
T=
2π m
πm 6
⋅10 8,9 ⋅10 −6 с.
( 2 + 3 + ... + 999 ) qB
qB
5.14. rmax = 0,17 м,
rmax
57.
rmin
5.16. Для указанных условий возможные соотношения масс
MK
MK
≈ 4,7 и
≈ 1, 3 .
Mµ
Mµ
Второй результат не соответствует реальным массам частиц.
p1
5.17. Считаем, что распадающаяся
O'
частица двигалась вдоль отрезка АС,
b
а импульсы образовавшихся частиц p1
A
a
C C'
и p2 составляют углы α и β с отрезком
b
АС (см. рисунок). После поворота в магнитном поле на угол α и β импульсы
B
a
p2
обеих частиц будут параллельны отрезку АС. Радиусы поворота частиц равны
O
R1 = p1 eB и R2 = p2 eB . Точки пересечения C ′ и С треков образующихся частиц с линией движения Λo-гиперона удалены от точки распада на расстояние
AC′ = 2 R1 sin α и AC = 2 R2 sin β .
Так как p1 sin α = p2 sin β , то AC = AC′ и точка пересечения треков
C ′ = С также лежит на линии движения Λo-гиперона.
Поперечная к скорости Λo-гиперона компонента импульса частицы
p⊥= p1 sin α = p2 sin β не меняется при переходе из Л-системы в Ц-систему. Ее максимальная величина равна импульсу каждой из частиц в Цсистеме p0, который определяем из закона сохранения энергии при распаде Λo-гиперона: M Λ = m 2p + po2 + mπ2 + po2
(здесь c ≡ 1). Окон-
чательно для максимального расстояния АС получим
L=
M Λ c2
eB
⎛ ( M P + M π )2 ⎞ ⎛ ( M P − M π )2 ⎞ 1
⎜1 −
⎟ ⎜1 −
⎟ м.
⎜
⎟⎜
⎟ 3
M Λ2
M Λ2
⎝
⎠⎝
⎠
159
Ответы и решения
5. Простейшая релятивистская динамика
5.18. Изменение энергии частицы описывается уравнением
dE
m2c4 − E 2
= FTP ⋅V = −α ⋅V 2 = α ⋅ c 2
.
dt
E2
найдем связь между φ и z-координатой электрона. В точке поворота
(1)
Разделяя переменные, получим время торможения от энергии E0 до E1:
t=
E
( E1 + mc2 )( E0 − mc 2 ) .
E0 − E1 m
1 1
E2
ln
⋅
dE
=
+
⋅
α c 2 E∫0 m 2 c 4 − E 2
α c2
2α
( E1 − mc2 )( E0 + mc 2 )
2
мя
ϕ=
π
2
,и
2γ mV
⎛ z ⎞
B0 ⎜ 1 + max ⎟ = B0
+1 .
a ⎠
e B0 a
⎝
Отсюда находим минимальный радиус кривизны:
ρ min =
2
Следовательно, энергия частицы уменьшится с 3mc до 2mc за вре-
T=
m⎛ 1 3⎞
m
⎜ 1 + ln ⎟ 1, 2 .
α ⎝ 2 2⎠
α
Поделив обе части уравнения (1) на циклотронную частоту
получим уравнение
⎞
+ 1⎟
⎜
eB0 ⎝ eB0 a
⎠
−1/ 2
.
5.2. Движение в электрическом поле. Релятивистская ракета
dϕ qB 2
=
c ,
dt
E
dE ⎛ α ⎞ m 2 c 4 − E 2
⎟⋅
=⎜
,
dϕ ⎜⎝ qB ⎟⎠
E
решение которого имеет вид
E 2 − m 2 c 4 2α
ln o2
=
⋅ (ϕ − ϕ 0 ) .
E − m 2 c 4 qB
Из него следует, что частица при торможении до энергии 2mc2 совершит
qB
8
N=
ln оборотов.
4πα 3
dp
= − qε . Отdt
сюда p = p0 − qε t , и полное время движения электрона в поле будет рав2γ mV
но t =
. Приравнивая работу электрического поля изменению киqε
нетической энергии электрона, найдем полный путь, пройденный электроном:
2 (γ − 1) mc 2
L=
.
qε
5.22. Импульс электрона определяется уравнением
5.24. Ракета, движущаяся с ускорением a' в сопутствующей системе
отсчета, в Л-системе за время t пройдет путь
z
5.20. Пусть ось z проходит через
верхнюю точку траектории частицы (см.
рисунок), а скорость электрона в точке А
траектории направлена под углом φ к
B
оси z. При малом смещении ∆L из точdz
A
ки А в точку В z-координата электрона
изменяется на ∆z = ∆L cos ϕ =ρ dϕ ⋅ cos ϕ ,
j
γ mV
x
где ρ =
– радиус кривизны траекeB
тории в точке А (γ – релятивистский фактор электрона, который не изменяется). Интегрируя уравнение
e
z⎞
⎛
B 1 + dz = cos ϕ ⋅ dϕ ,
γ mV 0 ⎜⎝ a ⎟⎠
160
γ mV ⎛ 2γ mV
L=
2
⎞
c2 ⎛
a ′t
⎜ 1 + ⎛⎜ ⎞⎟ − 1⎟ .
⎟
a′ ⎜
⎝ c ⎠
⎝
⎠
x
Сигнал, посланный через время Т, пройдет
расстояние x = c ( t − T ) и догонит ракету за
время
t −T = T
a ′T
.
2 ( c − a ′T )
Сигналы, посланные с задержкой T ≥ c a ′ ,
не смогут догнать ракету (см. рисунок).
ракета
0
сигналы
c/a'
t
5.27. Движение мюона в продольном однородном электрическом
поле осуществляется с постоянным ускорением a ′ = eε m относительно
161
Ответы и решения
5. Простейшая релятивистская динамика
сопутствующей мюону системы отсчета. За время τ = 2 ⋅ 10−6 c в сопутствующей системе отсчета мюон ускорится до энергии
a ′τ
E = mc 2 ch
= 5,7 ⋅ 1033 эВ.
c
Положим, что в Л-системе ускоритель имеет длину L и состоит из
элементарных участков длиной dL каждый. В сопутствующей мюону
системе отсчета движущийся навстречу элементарный участок ускорителя имеет длину dL′ = dL γ , а полная длина ускорителя, измеренная из
сопутствующих мюону систем отсчета, будет равна
τ
Vdt
c 2 ⎡ ⎛ a ′τ ⎞ ⎤
c2
⎛ a ′t ′ ⎞
′
dL
c
=
=
∫
∫ γ ∫0 th ⎜⎝ c ⎟⎠ dt ′ = a′ ln ⎢⎣ch ⎜⎝ c ⎟⎠⎥⎦ = cτ − a′ ln 2 = 593 м.
5.28. L =
(M
+ me + 2Mπ ) + ( eε T c ) − M p − me
2
p
2
eε
c2 =
⎧ 28 м при Т = 0,
=⎨
−7
⎩31,6 м при Т = 10 с.
5.30. Компоненты импульса частицы меняются в соответствии с ураdp⊥
dpII
внениями
=F,
= 0 . Отсюда p⊥ = Ft , pII = p0 = γ 0mV0 . Энерdt
dt
гия частицы изменяется по закону E = Eo2 + F 2 t2 c2 , где Eo = γomc2. Компоненты скорости частицы будут равны
p
F ⋅t
V⊥ = ⊥ c 2 = c 2
→c,
2
E
E 2 + ( Ftc )
o
po 2
Vo
→0 .
c =c
2
E
1 + ( Ft / γ o mc )
Поперечная компонента скорости частицы возрастает, а продольная компонента уменьшается, несмотря на отсутствие продольной силы.
5.31. В точке поворота у электрона остается только продольная компонента импульса, а энергия равна
E = m 2 c 4 + ⎡⎢( mc 2 + T ) − m 2 c 4 ⎤⎥ cos2 α .
⎣
⎦
2
162
( mc
p
V =c
=с
E
2
H=
( mc
( mc
2
2
2
+ T ) − m2 c 4
2
+ T ) + m 2 c 4 tg 2α
2
+T )− E
eε
Расстояние от точки влета до вылета L =
0,89 c,
= 0, 38 м .
2 P0 x c
arcsh
eε
P0 y
( mc )2 + P02x
= 1,8 м.
2 P0 y
= 6,7 ⋅ 10−9 с.
eε
5.32. Положим, что электрическое поле ε направлено вдоль оси y,
а частицы влетают в конденсатор вдоль оси x. Поперечный импульс, приобретенный частицей за время пролета τ через конденсатор, равен
p y = qετ . Продольная скорость релятивистской частицы определяется
Время пролета через конденсатор T =
выражением
⎛ dg ⎞ 3
⎛ dg ⎞ 1
5.29. ω1 = ω0 ⎜ 1 + 2 ⎟ ≈ ω0 , ω2 = ω0 ⎜ 1 − 2 ⎟ ≈ ω0 .
⎝ c ⎠ 2
⎝ c ⎠ 2
VΙΙ =
Соответственно скорость и высота траектории будут
p0 c 2
dx p x c 2
,
=
=
1/ 2
dt
E
⎡ E02 + ( qε tc )2 ⎤
⎣
⎦
где E0 , p0 – ее начальные энергия и импульс. Интегрируя это уравнение,
найдем время пролета через конденсатор
⎛ qε L ⎞
E
τ = 0 sh ⎜
⎟,
qε c ⎝ p0 c ⎠
где L – размер конденсатора вдоль оси x.
Для угла θ отклонения частицы в поперечном электрическом поле
имеем
py
⎛ qε L ⎞
E
(1)
tgθ =
= o sh ⎜
⎟.
p x p0 c ⎝ p0 c ⎠
У протона с кинетической энергией T = 1 МэВ начальная энергия
pc
E0 p0 c = 43,3 МэВ, при этом 0 tgθ p 1 , и можно считать, что
E0
qε L qε L
sh
. Отсюда находим величину
p0 c
p0 c
qε L ( p0 c )
E0
2
tgθ p 2T ⋅ tgθ p ≅ 0,2 МэВ.
163
Ответы и решения
5. Простейшая релятивистская динамика
(Аналогичный результат можно получить из нерелятивистского рассмоqε ⋅ L / V0 qε L
=
трения, при котором tgθ =
.)
p0
2T
5.35. Энергия E и импульс p идеального зеркала, ускоряемого лучом
света частотой ν1, изменяются по уравнениям
dE
dp
= Sn ( c − V ) h (ν 1 − ν 2 ) и c
= Sn ( c − V ) h (ν 1 + ν 2 ) ,
dt
dt
где S – сечение луча, n – плотность фотонов, ν2 – частота отраженного
излучения, V – скорость зеркала. Складывая эти уравнения, получим
Электрон с начальной кинетической энергией 1 МэВ (p0c ≅ 1,4
МэВ) при пролете такого конденсатора, в соответствии с выражением (1),
отклонится на угол θe ≅ 0,15 рад. Заметим, что для электрона с кинетичесqε L
кой энергией 1 МэВ соотношение
= 0,15 также имеет малую велиp0 c
qε ⋅ L / V0
чину, и из выражения (1) следует, что tgθ . Последнее ознаpo
чает, что при определении угла отклонения электрона его продольную
скорость тоже можно было считать постоянной.
Если же величина p0c порядка qε L , то ускорение поперечным полем существенно влияет на величину продольной скорости частицы, и ее
угол отклонения определяется точной формулой (1).
Fтр
5.34. При µ = tg α скатывающая сила Fск = P sin α и сила трения
= µ P cos α равны (здесь P – вес монеты). Полагая Fск = Fтр = F , за-
d
V
( E + pc ) = 2 N ⎛⎜ 1 − ⎞⎟ ,
dt
c⎠
⎝
здесь N = Snhν1c – мощность лазера.
Выражая энергию и импульс зеркала через его скорость, получим
уравнение для β зеркала:
d ⎛ 1 + β ⎞ 2N
(1 − β ) .
⎜
⎟=
dt ⎝ 1 − β ⎠ Mc 2
1+ β
оно сводится к более простому уравнению, интегри1− β
руя которое получаем соотношение
Заменой ξ =
пишем закон изменения компоненты импульса монеты pY в направлении
скатывающей силы и закон изменения модуля импульса p :
d p
dpY
= F − F cos θ и
= F cos θ − F ,
dt
dt
где θ – угол между векторами скатывающей силы и силы трения. Отсюда видно, что
d ( p + pY )
= 0,
dt
т. е. величина p + pY является инвариантом. Начальное значение инвари-
ξ+
Отсюда
⎛
V2 ⎞
u =V ⎜4−3 2 ⎟
c ⎠
⎝
aЛ =
.
В частности, в нерелятивистском случае u =
164
γ 2V 2
g
V
.
2
4 Nt 4
+ .
Mc 2 3
V
2
R
=
g
γ
γ 2 меньше, чем в сопут-
.
2
и время полного оборота в Л-системе
t=
−1/ 2
=
5.36. Поперечное ускорение в Л-системе в
ствующей системе, т. е.
Отсюда находим R =
p + pY = 2 pY = 2γ u u m .
3
При V = 0,8 c ( т. е. ξ = 3) для мощности лазера получим значение
8Mc2
N=
= 8 ⋅109 Вт .
3T
анта p = γ V Vm, при установившейся скорости монеты u инвариант равен
ξ3
2π R
2πγ V
2
=
.
V
g
В сопутствующей СО время оборота будет
2πγ V
= 4, 8 года.
t′ =
g
165
Ответы и решения
5. Простейшая релятивистская динамика
5.37. Угол поворота электрона в магнитном поле описывается выра-
eB
⎛ P ⎞ ⎛ eε t ⎞
dt , где релятивистский фактор γ = 1 + ⎜ 0 ⎟ + ⎜
⎟
γm
⎝ mc ⎠ ⎝ mc ⎠
определяется ускорением электрона в электрическом поле. Интегрируя,
Bc
eε t
ar sh
получим для угла поворота ϕ =
, т. е. ( N + 1) -й обо2
ε
( mc ) + P02
2
5.41. Будет израсходована
M1 − M 2
0,69 часть топлива,
M1
2
жением dϕ =
рот электрон совершает за время
TN +1 =
+ P ⎡ 2πε ( N + 1)
2πε N ⎤
− sh
⎢ sh
⎥.
eε
Bc
Bc ⎦
⎣
( mc )
2
2
0
TN +1
TN
⎧
ε2
Bc
2
при N <<
;
⎪1 + 8 N π
2 2
⎪
ε
Bc
Bc
=
=⎨
πε
ch
( 2 N − 1) ⎪ exp ⎛⎜ 2π ε ⎞⎟ при N >> Bc .
Bc
⎪⎩
Bc ⎠
ε
⎝
πε
( 2 N + 1)
5.38. F = 0, ∆p = −
VN
c2
t,
V = const.
2
5.39. а)
4
Im ⎛ M ⎞
I
⎛M ⎞
∼ ⎜ ⎟ ; б) m ∼ ⎜ ⎟ .
IM ⎝ m ⎠
IM ⎝ m ⎠
2 2
2
2
2 4
E – p c = Е – (∑Eγ) = M c ,
то можно найти значения p, E и скорости ракеты:
V =c
∑ Eγ
E
= c⋅
M 02 − M 2
= 0,6 c .
M 02 + M 2
166
– масса ракеты при скорости V1 = 0, 9 c,
а
M 2 = M1 ×
c − V2 c + V1
⋅
– масса ракеты при скорости V2 = 0, 99 c .
c − V1 c + V2
5.42. При движении с постоянным ускорением a' в сопутствующей
СО скорость ракеты относительно Л-системы и пройденный ею путь
равны соответственно
a ′t
1 + ( a ′t / c )
2
и L=
2
⎤
c2 ⎡
a ′t
⎢ 1 + ⎛⎜ ⎞⎟ − 1⎥ ,
a′ ⎢
⎝ c ⎠
⎣
⎦⎥
где t – время движения в Л-системе. Отсюда
V
=
c
1−
1
⎡1 + ( a ′L / c 2 ) ⎤
⎣
⎦
2
.
При ускорении a' = 1 св. год /год2 на участке L = 5 св. лет ракета достигнет скорости
35
.
Vmax = c
36
Масса ракеты M, ускоренной до скорости Vmax = βmax c, связана с начальной массой ракеты M0 соотношением
c / 2u
5.40. Из закона сохранения импульса следует, что импульс ракеты p
равен суммарному импульсу испущенных при полете фотонов p = ∑ Eγ /c.
Энергия ракеты E и суммарная энергия фотонов ∑Eγ связаны законом
сохранения энергии E + ∑Eγ = M0c2, где M0 – начальная масса ракеты.
Поскольку для ракеты массой M выполняется соотношение
2
×
M1
V=
Искомое соотношение периодов равно
ch
где
M ⎛ 1 − β max ⎞
=⎜
⎟ ,
M 0 ⎝ 1 + β max ⎠
где u – скорость истечения газов относительно ракеты.
Процесс торможения удобно рассматривать в СО, движущейся со
скоростью Vmax , относительно которой ракета должна ускориться из состояния покоя до скорости Vmax. После такого торможения масса ракеты
c / 2u
⎛ 1 − β max ⎞
будет в ⎜
раз меньше, чем была до торможения. Масса раке⎟
⎝ 1 + β max ⎠
ты в конце пути составит
⎛ 1 − β max ⎞
Mk = M0 ⎜
⎟
⎝ 1 + β max ⎠
167
c/u
,
Ответы и решения
при этом потребуется горючего:
⎡⎛ 1 + β ⎞ c / u ⎤
c/u
max
M 0 − M k = M k ⎢⎜
⎟ − 1⎥ ≅ M k (142 − 1) .
⎢⎝ 1 − β max ⎠
⎥
⎣
⎦
6. ДИНАМИКА ОДНОМЕРНОГО ДВИЖЕНИЯ
6.1. Законы движения. Фазовая плоскость
2
⎛a⎞
U > U 0 + 2m ⎜ ⎟ при
⎝T ⎠
Для фотонной ракеты расход горючего:
M 0 − M k = M k ⋅ 141 ,
6.1. U = U0 при a > x >0 ,
для ракеты с химическим топливом (u ≈ 3⋅103 м/с) :
6.2. U = U 0 + 2mbx при a > x > 0,
U > U 0 + 2mba при x = 0.
105
⎛ 1 + β max ⎞
M0 − Mk Mk ⎜
⎟
⎝ 1 − β max ⎠
M k ⋅ 10215 000 !
6.4. U = k
x2
+ U 0 , k = mω 2 , где m – масса частицы.
2
⎧ m( x − 2a )
6.5. F = ⎨
⎩ m( x + 2a )
6.6. x =
x = 0, a.
при a ≥ x > 0;
при − a ≤ x < 0.
x0
1± x0 t 2α m
.
6.8. В верхней части рисунков a, b, с и d приведены графики заданных потенциалов и показаны отдельные характерные уровни полной
энергии частицы E 1 , E 2 , E 3 , E 4 , в нижней части каждого рисунка – фазовые траектории частиц, соответствующие этим уровням полной энергии частицы. Стрелками показано направление движения частицы по
фазовой траектории.
6.11. Период движения T = 4
xmax
∫
0
dx
=4
V
Произведя замену переменной Y = x E
E 1/ β
T = 1/ 2
E
1
β
( E / α )1 / β
∫
0
⎡2
β ⎤
⎢⎣ m ( E − α x ) ⎥⎦
−1 2
dx .
, преобразуем интеграл к виду
1β
−1 2
⎧⎪ (1 α ) 2
⎫⎪
⎡
β ⎤
⎨4 ∫ ⎢ (1 − α Y ) ⎥ dY ⎬ .
⎦
⎪⎩ 0 ⎣ m
⎪⎭
Определенный интеграл в скобках не зависит от Е, т. е. зависимость периода движения от энергии определяется предынтегральным множителем
1
T ∼ Eβ
168
169
−
1
2
.
Ответы и решения
U(x)
6. Динамика одномерного движения
U(x)
E1
2
E1
E2
E3
0
E2
E3
6.13. Считаем, что потенциал взаимодействия шаров изменяется по
закону U = α x β . Время движения от момента соприкосновения шаров до
их остановки в таком поле будет равно четверти периода колебаний часβ
тицы в поле с потенциалом U = α x . Поскольку период колебаний
E4
0
6.12. U = k x β +1 при x ≥ 0 .
в таком поле зависит от полной энергии как
•
•
x
1
x
1
3
2
1
4
0
T ~ Eβ
2
(см. задачу 6.11), то β =
0
мации имеет вид
0
U(x)
U(x)
E1
E2
E3
0
E3
E4
x
x
1
1
2
0
4
0
-p/k
3
2
0
c
К задаче 6.8.
m
,
αV0
обозначение Vпр2 =
x
d
170
6.2. Движение с трением
S1/ 2 =
m
α
ln 2 .
6.19. Уравнение движения при падении mV = mg − αV 2 . Введем
3
0
p/k x
⎡ −U ′′ ( a ) ⎤
T ∼ ln ⎢
⎥.
⎣U ( a ) − E ⎦
6.17. t1/ 2 =
•
•
−1
⎧⎪ 4 m k arcsin ka 2 2 E при E ≥ ka 2 2,
6.14. T = ⎨
2
при E ≤ ka 2 .
⎪⎩ 2π m k
6.15.
E2
0
x
b
E1
2
~V β
F ∼ x3 2 .
0
x
1
2
5
, а зависимость силы сопротивления от дефор2
3
a
−
mg
α
и разделим переменные:
dV
α
= dt .
2
m
V −V
2
пр
Интегрируя с учетом начальных условий, получим скорость и длину пути при падении:
V = Vпр ⋅ th
gt
,
Vпр
t
H = ∫ V dt =
0
171
Vпр2
g
ln ch
gt
.
Vпр
Ответы и решения
6. Динамика одномерного движения
6.20. Уравнение движения при подъеме mV = − mg − αV 2 . Введя обо-
Vпр2 =
значение
mg
α
, из уравнения
(
dV
α
= − dt
2
m
V +V
2
пр
с учетом начальных условий получим скорость подъема
⎡⎛
V
V
= tg ⎢⎜ arctg 0
⎜
Vпр
Vпр
⎢⎣⎝
Vпр
arctg
tN =
g
⎞ gt ⎤
⎥.
⎟⎟ −
⎠ Vпр ⎥⎦
При N Время и высота подъема будут равны соответственно
tп =
Vпр
g
6.21. V = Vmax
arctg
V0
,
Vпр
tn
H = ∫Vdt =
0
⎛ V2
ln ⎜1 + 02
2 g ⎜⎝ Vпр
2
пр
V
⎞
⎟ .
⎟
⎠
⎛ 2 gH ⎞
1 − exp⎜⎜ − 2 ⎟⎟ .
⎝ Vmax ⎠
6.22. При начальной скорости V0 тело поднимется на высоту
Vпр2
⎛ V2
H1 =
ln ⎜1 + 02
2 g ⎜⎝ Vпр
где Vпр2 =
mg
V = Vпр ⋅ th
α
⎞
⎟⎟ ,
⎠
(см. задачу 6.20). При спуске скорость тела растет как
gt
, а пройденный путь связан с набранной скоростью соотVпр
ношением
Vпр2 ⎛ V 2
gt
ln ch
=−
ln ⎜1 −
H1 =
2 g ⎜⎝ Vпр2
g
Vпр
Vпр2
⎞
⎟⎟ .
⎠
Для скорости тела в конце первого спуска V1 получим
⎛V
1− ⎜ 1
⎜V
⎝ пр
2
⎞
1
1
1
1
или 2 = 2 + 2 .
⎟⎟ =
2
V
V
V
1
пр
0
⎠ 1 + (V0 Vпр )
172
Скорость в конце N-го спуска VN и высота последущего подскока H N +1
будут соответственно равны
⎤
Vпр2 ⎡
1
1
⎥.
ln ⎢1 +
VN = Vпр
, H N +1 =
2
2
2
⎢
⎥
2
g
N + Vпр V0
⎣ N + (Vпр V0 ) ⎦
Аналогично найдем время N-го подъема tN и последущего спуска tN :
)
1
( N − 1) + (V
2
пр
2
0
V
)
,
Vпр
1
ar th
tN =
.
g
N + (Vпр2 V02 )
3
2
пр
2
0
V
высота и время
V
подскока уменьшаются как
Vпр2 2 g
Vпр g
и tN ≈
.
H N +1 ≈
N
N
Фазовая траектория первых
четырех подскоков мячика, подброшенного с начальной скоростью V0 = 3Vпр , показана на ри-
2
x•
Vпр
1
0
-1
0
сунке в приведенных координаx
x
тах (
,
).
Vпр Vпр2 2 g
2
1
2
2,5
x
Vпр /2g
6.24. Уравнение движения кальмара
mV = −αV + µ ( u − V ) .
Здесь учтено, что в единицу времени кальмар захватывает движущуюся
навстречу порцию воды величиной µ = 2 N u 2 , а затем отбрасывает ее
назад. Введя обозначение Vnр =
µu
, запишем уравнение в виде
α +µ
dV
α +µ .
=−
dt
V −Vnр
m
Его решение
α +µ t ⎞
α +µ t ⎞
−
−
⎛
µ ⎛
V = Vnр ⎜⎜1 − e m ⎟⎟ = u
⎜⎜1 − e m ⎟⎟ .
α +µ⎝
⎝
⎠
⎠
V
V
α
−
⎡
⎤
( 1 2)
m mg + αV1 V1 + V2
6.25. T = ln
⎢1 −
⎥.
g ⎣
2mg ⎦
α mg − αV2
173
Ответы и решения
6.26. Vmin =
6. Динамика одномерного движения
V cos θ
.
αV
1+
sin θ
mg
2⎤
⎡
⎛V 2 ⎞ ⎥
R ⎢V 2
⎟ .
6.27. S =
ln
+ 1+ ⎜
2µ ⎢ gR
⎝ gR ⎠ ⎥
⎢⎣
⎥⎦
6.29. T =
6.3. Движение с переменной массой
3M 22
g t , Fmax = 3 Mg.
2 L
6.34. Уравнение движения веревки ρ Lx = ρ gx , т. е.
g
x − x = 0 .
L
g
g
Его общее решение удобно представить в виде x = A ⋅ sh
t + B ⋅ ch
t.
L
L
Подставляя начальные условия, найдем x =
зывания
T=
L
g
ch
t и время соскаль4
L
L
L
arch 4 2
.
g
g
6.35. Vmax = 2 gL(1 + ln 2) .
6.36. x =
gt 2
.
6
⎛ g
6.37. V = gH th ⎜⎜ t
⎝ H
6.38. µ =
⎞
⎟⎟ , T =
⎠
( )
H
H
arch e2 2, 7
.
g
g
M0 g
⎛ gt ⎞
exp ⎜ − ⎟ , где u – скорость истечения газов.
⎝ u⎠
u
174
Mgu
= 1010 Вт .
2
6.40. t1/ 2 =
u
ln 2 .
a+g
⎛
6.41. L = ⎜1 −
⎝
u
2M
⋅
.
V (V − u ) nmπ D 2
6.33. F =
6.39. N ≥
2⎞ u M0
.
⎟
e⎠ µ
6.42. Уравнение движения mV = F − mg , где m – суммарная масса
L
поршня и воды в трубке. Интегрируя с заменой dt = −
dm , найдем
MV
⎛F
⎞
V = 2 L ⎜ ln 2 − g ⎟ .
M
⎝
⎠
6.43. Считаем, что масса капли по мере движения через стоящий
туман возрастает пропорционально ее площади S , скорости движения V
и плотности ρ T тумана:
M ρ SV = α M 2 / 3V .
T
Отсюда получим, что масса капли растет как M 1/ 3 =
α
x , где x –
3
= Mg
пройденный каплей путь. Уравнение движения капли MV + MV
запишется в виде
3x 2
x+
=g.
x
Его решением при начальных условиях x0 = V0 = 0 будет
x=
gt 2
.
14
6.44. Если скорость молекул много больше скорости капли, то можно считать, что масса последней возрастает пропорционально ее площади S и плотности пара ρ п и не зависит от скорости капли:
M = k ρ S = α ⋅ M 2 / 3 .
п
Отсюда найдем, что при M 0 = 0 масса капли растет как M = (α t 3) .
3
Сила трения, обусловленная столкновениями молекул пара с каплей, увеличивается пропорционально площади капли и ее скорости V :
,
Fтр = − β SV = −γ MV
175
Ответы и решения
6. Динамика одномерного движения
где γ = β k ρ п . Следовательно, уравнение движения капли запишется в
d
. Подставляя V = x и M = (α t 3)3 , преобразуем
виде
MV = Mg − γ MV
dt
d
уравнение к виду
( xt 3 ) = gt 3 − 3γ t 2 x или
dt
(здесь ρ – плотность метеорита). Отсюда находим зависимость радиуса
и массы метеорита от времени:
3 (1 + γ )
x+
x = g .
t
gt 2
.
2 ( 4 + 3γ )
В частности, в одномерном случае, когда быстрые молекулы летят
навстречу или догоняют каплю, γ = β k ρ п = 2 , и капля будет падать по
закону
gt 2
.
x=
20
6.45. В СО метеорита при симметричном испарении последний остается неподвижным, и относительно Л-системы его скорость не изменяется. В этом случае для описания торможения основной части метеорита
можно использовать уравнение
M
(вместо уравнения
dV
= Fтр
dt
dp
= Fтр , описывающего поведение всей системы).
dt
Используя Fтр = −α SV =
α MV , получим уравнение
β
α MV = MV
,
β
решением которого будет
α
V ⎛ M ⎞β
=⎜
⎟ .
V0 ⎝ M 0 ⎠
Изменение массы метеорита определяется уравнением
d ⎛ 4π 3 ⎞
M = ⎜ ρ
R ⎟ = − β ⋅ 4π R 2
dt ⎝ 3
⎠
176
4π
βt
, M =ρ
3
ρ
α
3α
⎛ M ⎞β
⎛
β ⎞β
V = V0 ⎜
t⎟ .
⎟ = V0 ⎜ 1 −
⎝ M0 ⎠
⎝ ρ R0 ⎠
Его решением при начальных условиях x0 = V0 = 0 будет зависимость
x=
3
⎛
βt⎞
.
⎜ R0 −
ρ ⎟⎠
⎝
Следовательно, скорость метеорита уменьшается по закону
R = R0 −
6.46. V =
⎛ M l0 ⎞ ⎛ g ⎞
gL ⎜
+ ⎟ sh ⎜
⋅ t⎟ .
⎝ m L ⎠ ⎜⎝ L ⎟⎠
6.47. Пусть вытягиваемый конец нити переместился на расстояние x.
L+ x
, а ее ускорение описывается
Длина движущейся части нити равна
2
уравнением
d λ ( L + x ) x
=F,
dt
2
где λ – линейная плотность нити. Интегрируя, найдем
( L + x ) x =
2F
λ
Lx +
t и
x2 2F t 2
=
.
2
λ 2
Закон движения конца нити имеет вид x = L2 +
T =L
2F
λ
t 2 − L . Через время
3λ
нить выпрямится полностью, при этом ее скорость будет
2F
V=
3F
.
2λ
6.48. Уравнение движения цепи имеет вид
d ⎛m
m
⎞
⎜ xV ⎟ = F − µ xg.
dt ⎝ L
L
⎠
d
FL
dx
Заменой dt =
преобразуем уравнение к виду V ( xV ) =
− µ gx
V
dx
m
или
1 d ( xV )
FL
x − µ gx 2 .
=
2 dx
m
2
177
Ответы и решения
Интегрируя, найдем
6. Динамика одномерного движения
ке уменьшается по закону
1
FL L2 µ g 3
2
L , откуда скорость цепи
−
( LV ) =
2
m 2
3
2
αt⎞
2
⎛
M = ⎜ M0 −
⎟ = M 0 (1 − λ t ) ,
2
⎝
⎠
⎞
⎛F 2
V = ⎜ − µg ⎟ L .
⎝m 3
⎠
где M0 – масса воды в тележке при t = 0 и λ =
6.49. Пусть масса тележки m, масса воды M, а отверстие, из которого вытекает вода, смещено относительно центра тележки на расстояние L. Считаем, что в начальный момент времени t = 0 центр тележки
находится в точке x0 = 0. В отсутствие трения центр тяжести системы
должен оставаться на месте. Напишем это условие для момента времени t. За малый интервал времени (τ ,τ + dτ ) порция воды массой
− M (τ )dτ вытекает через отверстие с координатой x (τ ) + L , где x (τ ) –
координата центра тележки. При вытекании горизонтальная компонента
скорости воды равна скорости тележки x (τ ), и к моменту времени t эта
порция воды сдвинется к координате x (τ ) + L + x (τ )(t − τ ) . Так как центр
тяжести системы остается на месте, то
t
( m + M ) x = ∫ M (τ )[ x(τ ) + L + x (τ )(t − τ )]dτ
.
(1)
0
Из выражения (1) видно, что в момент времени t = 0 скорость теM (0) L
лежки V0 =
отрицательна. Эту скорость тележка приобретает за
m + M0
короткое время при установлении течения воды к смещенному вправо
отверстию.
В установившемся режиме вода вытекает со скоростью V = 2 gh ,
где h – уровень воды в тележке. Расход воды определяется уравнением
M = − ρ V σ = −α M ,
2ρ g
, ρ – плотность воды, σ – площадь отверстия, S –
S
площадь дна тележки. Интегрированием найдем, что масса воды в тележ178
− 2L
⎡
⎤
M0
M
M
(1 − λ t ) ⎢ arc tg 0 − arc tg 0 (1 − λ t )⎥ .
m
m
m
⎣
⎦
λ
t
здесь α = σ
⎡ 2M
⎤
m + M0
0
x = −L ⎢
λ t − ln
−
2⎥
m + M 0 (1 − λ t ) ⎦⎥
⎣⎢ m + M 0
Здесь учтено, что x (0) = −
Продифференцируем это равенство, используя правило
t
t
d
∂F (t ,τ )
F
(
t
,
)
d
=
F
(
t
,
t
)
+
dτ .
τ
τ
∫
∫
dt 0
∂t
0
В результате получим соотношение
( m + M ) x = M L + ∫ M x dτ .
откуда найдем скорость и координату тележки при вытекании воды:
⎤
2M 0
M0 ⎡
M0
M0
x = 2λ L
− arc tg
,
(1 − λ t )⎥ − λ L
⎢ arctg
+ M0
m ⎣
m
m
m
⎦
2λ LM 0
и x0 = 0.
m + M0
1
Когда вода вытечет (при t ≥ T = ),
0
α
.
2 M0
, получим уравнение
Дифференцируя (1) и подставляя значение M
2
2λ LM 0
ML
x=
=
,
m + M m + M 0 (1 − λ t )2
тележка будет двигаться с положительной
скоростью
⎛ M0
M0
M0 ⎞
−
arctg
Vп = 2λ L ⎜
⎟>0.
⎜ m
m m + M 0 ⎟⎠
⎝
Последнее следует из неравенства arctg z >
1
x
0
L
-1
M0 = 10m
M0 = m
0
2
1
z
(при z > 0), которое можно полу>
t/T
2
1+ z
чить интегрированием соотношения
1
1− z2
.
>
2
1+ z
(1 + z 2 )2
Графики смещения тележки в зависимости от времени в приведенных координатах ( t , x ) для соотношений масс M 0 = 10 m и M 0 = m
T L
показаны на рисунке. Подробно задача рассмотрена в статье [19].
179
7. Колебания
7. КОЛЕБАНИЯ
7.1. Свободные колебания
7.1. Пусть доска сместилась на расстояние x от положения равновесия. Моменты силы тяжести Mg и сил реакций опоры F1 , F2 относитель⎛L
⎞
⎛L
⎞
но точек опоры уравновешены: F1 L = Mg ⎜ + x ⎟ и F2 L = Mg ⎜ − x ⎟ .
⎝2
⎠
⎝2
⎠
x
Сила, возвращающая доску, равна µ ( F2 − F1 ) = −2 µ Mg , и уравнение
L
для горизонтальных колебаний доски будет
M x+
2 µ Mgx
= 0.
L
Частота колебаний равна
ω=
2µ g
.
L
7.2. При повышении уровня воды в одном из колен пробирки на
высоту ∆H перепад давлений будет 2 ρ g ∆H , вода массой M = 2 ρ SH
переместится на расстояние x = ∆H cos α , при этом возвращающая сила
будет равна
x
Fвозв = −2 ρ gS ∆H cos α = − Mg cos2 α
H
(здесь S –горизонтальное сечение столба воды, а S cos α – поперечное
сечение). Уравнение колебаний будет
x
M x + Mg cos2 α = 0 .
H
Частота колебаний
g
ω=
cos α .
H
⎛ k g⎞
7.3. ω = 2 ⎜ − ⎟ .
⎝M L⎠
7.4. Tстолкн. =
7.5. Уравнение движения для системы переменной массы «чашка
весов + упавшая часть каната» имеет вид
ρ g 2t 2
dP
= − kx +
+ ρ g 2t 2 ,
dt
2
где ρ = m / L , второй член описывает вес лежащего каната, а третий –
передачу импульса системе из-за присоединения новых частей. Считаем,
что за время падения каната чашка весов сдвинуться не успевает
2L
и членом − kx можно пренебречь. За время падения tпад =
системе
g
передается импульс
3
∆P = ∫ ρ g 2 t 2 dt = m 2 Lg ,
2
так что начальная скорость чашки после падения каната
m
V0 =
⋅ 2 gL ,
m+M
k
. Вес каm+M
mg
ната смещает положение равновесия колебаний на x0 =
, где k – сумk
марная жесткость пружин. Амплитуда колебаний чашки с канатом будет
где M – масса чашки. Частота колебаний системы ω =
A = x02 +
ω
2
mg
k
1+
k 2 L mg
=
m+M g
k
(
)
2
1 + ω tпад .
mg
.
k
7.6. После падения пластилина чашка приобретает скорость V0 =
mV
k
и колеблется с частотой ω =
. Положение равновесия
m+ M
m +M
mg
смещается в точку x =
. Подставляя начальные значения x(0) = 0
k
и V (0) = V0 в общее решение уравнения колебаний типа x = A sin ω t +
=
mg
, получим
k
x=
180
=
При условии ωtпад 1 амплитуда колебаний будет A + B cos ω t +
mπ
10−2 с.
2rP
V02
mV
k (m + M )
⋅ sin ω t +
181
mg
(1 − cos ω t ) .
k
Ответы и решения
7. Колебания
qQ
= mg. При небольшом смещении x от полоL2
жения равновесия, например при уменьшении расстояния между зарядами, сила расталкивания возрастает:
7.7. В равновесии
Fкул =
qQ
( L − x)
2
qQ 2qQ
+ 3 x,
L2
L
т. е. появляется возвращающая сила, пропорциональная малому смещению x. При малых x уравнение колебаний для заряда будет иметь вид
2qQ
mx + 3 x = 0, откуда частота колебаний
L
ω=
7.8. ω =
2 gQ
2g
mg
.
=
= 2g
3
mL
L
Qq
2 k ( L − l ) + 4 Q q L2
mL
7.9. n ( t ) =
(
7.13. ω 2 =
7.14. Запишем кинетическую, потенциальную и полную энергию
частицы при движении в циклоидальной чашке:
T=
cos t ⋅ 2α / m
)
)
В процессе колебаний параметр ϕ меняется монотонно в пределах
g ⎡sin 2 (ϕ max 2 ) − sin 2 (ϕ 2 ) ⎤⎦
. Период двиϕ ≤ ϕmax < π , при этом ϕ 2 = ⎣
2
R cos (ϕ 2 )
ϕ max
T =4
∫
dϕ
=4
ϕ
R
g
cos (ϕ 2 )
ϕ max
∫
0
⎡⎣sin (ϕ max 2 ) − sin (ϕ 2 ) ⎤⎦
2
2
dϕ = 4π
R
.
g
Полученный результат справедлив при ϕmax < π .
.
7.12. Запишем уравнение эллипса в виде x = b sin ϕ , y = a cos ϕ . Компоненты скорости частицы при движении по эллиптической траектории
равны x = bϕ cos ϕ , y = − aϕ sin ϕ , так что ее кинетическая энергия равна
mϕ 2 2
mb2ϕ 2
b cos2 ϕ + a 2 sin 2 ϕ ) (при ϕ 1 ).
(
2
2
Так как потенциальная энергия частицы
a ⋅ mg sin α (1 − cos ϕ ) a ⋅ mg
ϕ2
2
E = a mg sin α ⋅
ϕ2
2
+ mb2
Отсюда найдем частоту колебаний
a g sin α
.
b
182
ϕ 2
2
7.15. T =
gH
gH
2L ⎛
1
+
arc sin
⎜ arcsh
u
2u 2 + 3 gH
gH ⎜⎝
2
⎞
⎟⎟ .
⎠
7.2. Колебания с трением
7.19. L = A cth
βT
4
A
4
kM
π
α
, где β =
α
2M
.
7.20. Отклонение стрелки гальванометра описывается уравнением
sin α ,
то для полной энергии получим
ω=
(
E = T + U = 2mgR sin 2 (ϕmax 2 ) .
0
n0
2
m 2
ϕ⎞
⎛
x + y 2 = 2 m ⎜ Rϕ cos ⎟ ,
2
2⎠
⎝
U = mgR (1 − cos ϕ ) = 2mgR sin 2 (ϕ 2 ) ,
жения равен
.
2g
d2
1− 2 .
L
L
.
ϕ + 2γ ϕ + ω 02ϕ = 0.
Наиболее выгодный режим демпфирования колебаний реализуется
в случае «апериодического затухания», когда γ ≥ ω0 , а стрелка совершает
одно отклонение и плавно возвращается к положению равновесия (см.
рисунок). При таком демпфировании амплитуда отклонения и его продолжительность будут максимальными, если декремент затухания γ
и собственная частота колебаний ω0 совпадают. В этом случае общее
решение приведенного уравнения имеет вид ϕ = Ae λ t + Bte λ t , где λ =
= −γ .
183
Ответы и решения
j
Для эквивалентной цепи гальванометра с последовательно соединенными R, L, C оптимальное демпфирование будет при условии
-gt
2
j = j0te
1
⎛ R ⎞
ω02 =
=γ2 =⎜
⎟ ,
LC
⎝ 2L ⎠
L
. При таком демпфиC
ровании стрелка гальванометра после подачи короткого импульса тока
отклоняется от нулевого положения по закону
ϕ = ϕ 0 t e −γ t ,
ϕ
1
достигая максимального отклонения ϕ max = 0 через время t = .
γe
γ
т. е. R = 2
t
7.3. Вынужденные колебания. Резонанс
7.24. Уравнения колебаний в течение действия постоянной силы
и после ее отключения имеют вид и решение (при нулевых начальных
условиях)
⎧⎪F ,
решение
x = F (1 − cos ω t ) k
+ kx = ⎨
mx
.
x = A sin (ω t + ϕ )
решение
⎪⎩0,
Энергия осциллятора после выключения силы
E=
kxτ2 mVτ2 2 F 2 2 ωτ
.
sin
+
=
2
2
k
2
kA 2
Из условия E =
найдем амплитуду колебаний после отключения
2
силы:
2F
ωτ
.
A=
sin
k
2
7.25. Для прямоугольного импульса A = 62,8 mA, для импульса треугольной формы A =31,4 mA.
7.27. Для γ < ω частота колебаний Ω = ω 2 − γ 2 , а выделяемое тепло
Q=
F2 ⎡
γ
⎛
⎞⎤
1 − e −γ T ⎜ cos ΩT + sin ΩT ⎟ ⎥
mω 2 ⎢⎣
Ω
⎝
⎠⎦
достигает максимума при T =
π
Ω
.
184
7. Колебания
При γ > ω и β = γ 2 − ω 2 выделяемое тепло возрастает с увеличением T :
⎛
⎞⎤
F2 ⎡
γ
Q=
1 − e −γ T ⎜ ch β T + sh β T ⎟ ⎥ .
2 ⎢
mω ⎣
β
⎝
⎠⎦
7.28. E N = 2mV 2 N 2 , где V = 2a T .
7.29. Уравнение колебаний при действии силы x + ω2 x =
Его общее решение
x = A sin ω t + B t cos ω t −
F0
sin ω t .
m
F0
t cos ω t .
2mω
Подставляя начальные условия x0 = 0 , x0 = 0, найдем A =
B = 0 , т. е.
F0
F
= 0 ,
2
2k
2mω
F0
( sin ω t − ω t cos ω t ) .
2k
Если сила действовала в течение N полупериодов ( ω t = N π ), амплитуда колебаний после выключения силы будет
x=
A= x =
F0
F
( sin N π − N π cos N π ) = 0 π N .
2k
2k
7.30. Амплитуда вынужденных колебаний с частотой Ω ω0
i0 =
ω2
Ω −ω
2
2
I0 ω2
Ω2
I 0 = 1 0 −2 A
.
Амплитуда колебаний при резонансе Ω = ω0 (с учетом затухания β )
i0 =
ω0
2β
I 0 = Q I 0 = 10 A.
7.31. Колебания стрелки описываются уравнением
F
F 1 − cos 2Ω t
.
x + 2 β x + ω02 x = 0 sin 2 Ωt = 0
m
m
2
Для установившихся колебаний решение в комплексной форме имеF
ет вид x =
+ Bei 2Ωt . Подстановкой в уравнение найдем величину
2k
− F0 2m
.
B= 2
(ω0 − 4Ω2 ) + i 4Ω β
185
Ответы и решения
Ее модуль
B =
F0 2m
(ω
2
0
− 4 Ω 2 ) + 16 Ω 2 β 2
2
характеризует амплитуду вынужденных колебаний, которая при малом
затухании зависит от Ω как
B F0
ω02
ω2
= [ 0,5 A ] ⋅ 2 0 2 .
2
2
2k ω0 − 4Ω
ω0 − 4Ω
Здесь учтено, что пропорциональная току вынуждающая сила F0 при
F
постоянном токе величиной 1 A вызывает отклонение стрелки 0 = [1 A]
k
по шкале амперметра.
7.32. Выпрямленный ток можно представить в виде ряда Фурье:
sin x =
2
π
−
4 ⎛ cos 2 x cos 4 x cos 6 x
⎞
+
+
+ ⋅⋅⋅ ⎟ .
3
15
35
⎠
π ⎜⎝
Ограничиваясь двумя первыми членами разложения, получим уравF ⎛2 4
⎞
cos 2Ω t ⎟ . Его решенение колебаний стрелки x + 2 β x + ω 02 x = 0 ⎜ −
m ⎝ π 3π
⎠
2 F0
2 F0
ние x =
+ Re Bei 2Ω t включает среднее отклонение I =
=
π k
π k
= 0,64 A и вынужденные колебания относительно среднего отклонения,
амплитуда которых при Ω = 100 Гц, ω0 = 1 Гц и малом трении равна
(
)
ω02
F0
4
B=
10−5 A .
3π 4Ω 2 − ω02 k
Здесь учтено, что при постоянном токе величиной 1 A пропорциональная
F
току вынуждающая сила F0 вызывает отклонение стрелки 0 = [1 A] по
k
шкале амперметра.
7.33. Падение напряжения при обходе контура
LI + RI + U c = U 0 sin Ω t.
Так как I = Q = CU , уравнение колебаний будет
U
R
U
U + U +
= 0 sin Ω t .
L
LC LC
186
7. Колебания
Амплитуда вынужденных колебаний равна
U0
B =
.
2
(1 − LCΩ2 ) + Ω2 R 2C 2
7.34. Уравнение колебаний с двигающейся точкой подвеса
x + ω02 x = aω02 cos Ω t .
mx + k ( x − a cos Ωt ) = 0 или Амплитуда установившихся колебаний равна
1
.
B=a
1 − (Ω2 ω 2 )
7.35. При отклонении маятника на угол α его скорость обусловлена
скоростью поворота относительно точки подвеса L α eτ , где eτ – единичный вектор в тангенциальном направлении, и скоростью переме
щения x i точки подвеса А относительно Л-системы (см. рисунок). Тангенциальная проекция скорости равна
) ⋅ eτ = Lα + x cos α ≈ Lα + x . При малых α уравнение
Vτ = ( Lα eτ + xi
движения маятника запишется в виде
m ( Lα + x ) = − mgα или α + ω02α = −
b 2
x
Ω cos Ωt ,
=
L
L
g
. Установившиеся вынужденные
0
L
колебания имеют вид
α = B cos Ωt .
Их угловая амплитуда равна
b Ω2
B=
.
L ω02 − Ω 2
где ω02 =
A
x
L
a
et
Колебания малы, если В 1, т. е. если b mg
g
2 − L . В случае Ω > ω0 колебания соверΩ
шаются в противофазе с колебаниями точки подвеса, а в случае Ω < ω0
маятник и точка подвеса колеблются синфазно.
7.4 Адиабатические инварианты
7.39. H ∼ g −1/ 3 .
7.40. Адиабатическим инвариантом является величина E / ω .
187
Ответы и решения
7. Колебания
маха колебаний получим
а) Период не меняется, амплитуда A ∼ m −1/ 2 ,
1/ 2
б) T ∼ m
, A∼ m
−1/ 4
7.41. Адиабатическим инвариантом является величина E / mω.
а) Период и амплитуда не меняются,
б) T ∼ m1 / 2 , A ∼ m1/ 4 .
Подробно задача рассмотрена в статье [20].
7.42. T = 109 ln 2 лет.
7.43. Угловая амплитуда колебаний возрастёт в
2 раз.
7.44. Фазовая траектория состоит из двух половинок эллипса, первая
из которых соответствует гармоническому осциллятору с частотой ω1 =
g
, вторая – с частотой ω2 =
L
тории равна
=
g
. Площадь внутри фазовой траекL−h
(если L ≥
3
9V2
). Скорость частицы в нижней точке будет Vmax = V .
8 g
2
(
)
V⊥2 = V⊥20 1 + λ th 2α z .
Параллельная компонента скорости равна
V112 = V02 − V⊥20 (1 + λ th 2α z ) .
Начальный размах колебаний был равен A0 = 2 A10 , а при h =
188
9V2
8 gL
α = arcsin
7.47. С помощью адиабатического инварианта
L
размах колебаний составит
2
⎛
h⎞
1 ⎞
⎛
A = A1 + A2 = A1 ⎜ 1 + 1 − ⎟ = A1 ⎜ 1 +
⎟.
L⎠
2⎠
⎝
⎝
A
2 + 1 A1
A
=
раз. Подставляя 1 =
A0
A10
2 2 A10
x
V⊥2
= const ([2], C. 242)
2B
найдем поперечную полю компоненту скорости электрона:
h
A2 = A1 1 − ,
L
мах увеличится в
L
m 32 L3 g sin α
.
3
0
В адиабатическом процессе эта площадь не изменяется, так что искомый угол наклона
2 2
раз больше
2 +1
первоначальной.
Амплитуды колебаний маятника влево A1 и вправо A2 от положения
равновесия связаны соотношением
и при h =
x
7.45. Пусть x – координата частицы, отсчитываемая относительно дна ящика. При
Vm
горизонтальном положении ящика траектория частицы на фазовой плоскости – прямоV
угольник площадью S1 = 2 LmV . Если ящик
поднят на «критический» угол α , при кото0
ром скорость частицы в верхней точке равна
нулю, траектория на фазовой плоскости превращается в параболу (см. рисунок). При та- -V
ком наклоне ящика скорость частицы в ниж- -Vm
ней точке Vmax = 2 gL sin α , а площадь, ограниченная фазовой траекторией:
S2 = 2m ∫ 2 xg sin α dx =
где h – сдвиг точки подвеса. Эта площадь является адиабатическим ин-
L
энергия маятника станет в
2
2 +1
0, 92 .
2 2
L
⎛ L
⎛ 1
1 ⎞
L−h ⎞
+
S =πE⎜ +
⎟,
⎟ =πE⎜
g ⎠
⎝ ω1 ω2 ⎠
⎝ g
вариантом, и при h =
A
=
A0
.
L
раз2
E
, для разE0
Так как V11 = z , для z-координаты электрона получим уравнение
2 z z = −2V⊥20 λ
189
th α z
α z .
ch 2α z
Ответы и решения
При малых z уравнение можно упростить:
z + V02 sin 2 θ ⋅ λα 2 ⋅ z = 0 ,
где V0 – скорость электрона, а θ – угол между вектором скорости
и осью z в точке z = 0. Его решением являются гармонические колебания
электрона вдоль оси z с частотой
ω = λ ⋅ αV0 sin θ .
8. ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ
8.1. Потенциал поля
⎧ ⎛ r2
3⎞
− ⎟ при r < R,
⎪ gR ⎜
8.1. U = ⎨ ⎝ 2 R 2 2 ⎠
⎪− g R2 r
при r ≥ R.
⎩
8.2. а) Для однородного шара давление в центре
ρ 0 gR
0
6
Pц =
2 ⋅10 атм.
2
б) Если плотность жидкости линейно спадает от центра к периферии по закону ρ = ρ (1 − α r ) , то
ц
Pц = Pц0 ⋅
1 − ( 7α R 6 ) + ( 3α 2 R 2 8 )
⎡⎣1 − ( 3α R 4 ) ⎤⎦
2
.
Полагая αR =0,75, т. е. ρ ц = 4 ρ ( R ) , получим Pц ≈ 1, 75 ⋅ Pц0 3,5 ⋅ 106 атм.
m ⎛⎜⎝V∞2 + V22 ⎞⎟⎠
, где V22 = 2 gRЗемли .
8.3. H =
2F
8.5.
∆g
h
=
8 ⋅10−4 .
g 2 RЗемли
8.6. TΣ =
3GM2
.
5 R
8.8. Считаем, что радиус ядра равен R = R0 ⋅ A1 / 3 , где R0 = 10−13 см,
А – число нуклонов в ядре (235 для урана), и что ядро урана делится на
два одинаковых равномерно заряженных осколка. Потенциальная энергия равномерно заряженного шара зарядом Ze, радиусом R равна
3 ( Ze )
,
5 R
2
а для шара с зарядом Ze/2 и радиусом R 21/ 3 соответственно
3 ( Ze ) 1/ 3
⋅2 .
20 R
2
190
191
Ответы и решения
8. Движение в центральном поле
Разность энергий ядра урана и двух осколков деления будет (при Z = 92)
3
e2 Z 2
∆E = (1 − 2 −2 / 3 )
4 ⋅ 102 МэВ .
5
R0 A1/ 3
8.9. F = − mω 2 r .
8.10. Пусть частица налетает на яму со
скоростью V0 и с прицельным параметром
a
ρ ≤ R (см. рисунок). После доускорения
потенциалом ямы U частица будет двигатьr
ся со скоростью
b
V = V0 1 + (U E )
под углом к нормали β , определяемым
движении внутри барьера
8.13. u >
V
ρ R
sin β = t =
,
V
1 + (U E )
rmin = R sin β =
ρ
1 + (U E )
.
Условие прилипания к сфере rmin ≤ a реализуется для прицельных
параметров ρ ≤ a 1 + (U E ) , соответственно сечение прилипания равно
⎛ U⎞
σ = π a ⎜1 + ⎟ .
⎝ E⎠
2
Поскольку σ ≤ π R , полученное выражение справедливо при кинеU
. Для частиц с энергией E <
тической энергии частиц E ≥
2
(R a) −1
8.14.
V
2
(
U
( R a)
2
−1
прилипания
минимальное удаление от центра rmin ≤ a
ρ
R
,
mвернув
mсброш
)
M .
5 − 1 0,62 V , где V = G
R
= 1− 1−
( 2G M
R) − u
Ω R2
2
2
.
8.15. Считаем, что орбита спутника остается круговой, так что
dV
dR
mV
GmM
, то есть радиус орбиты уменьшает=
. Отсюда 2
=−
R
R2
V
R
mV 2 GmM
mV 2
ся на 2 % в месяц. Полная энергия спутника E =
−
=−
2
R
2
изменяется по закону
2
2
<
1 − (U E )
где ρ – прицельный параметр столкновения, U – высота барьера, E –
кинетическая энергия частицы (cм. предыдущую задачу). При энергии
частицы E ≥ U сечение прилипания к сфере радиуса a будет равно
⎛ U⎞
σ = π a 2 ⎜1 − ⎟ .
⎝ E⎠
При E < U частица от барьера отразится, и сечение прилипания σ = 0.
8.12. α ≥ 1 .
2
соотношением
где Vt = V sin α = V ρ R – тангенциальная компонента скорости частицы,
не меняющаяся при влете в яму. Минимальное удаление частицы от центра будет
ρ
rmin =
Преобразуя к виду
α
m
d ⎛ mV 2
⎜−
2
dt ⎝
dt =
dV
V2
⎞
2
⎟ = FтрV = −αV ⋅ V .
⎠
и интегрируя, для скорости спутника по-
лучим
V =
< a , и сечение
V0
.
1 − (αV0 t m)
8.11. Для частицы, тормозящейся сферически-симметричным потенциальным барьером, минимальное удаление частицы от центра при
mV 2 e 2
= 2 , и скорость уменьшения полR
R
ной энергии за счет излучения будет равна
d ⎛ mV 2 ⎞
2e 2V 4
2 m 2V 8
.
⎜−
⎟=− 3 2 =−
dt ⎝
2 ⎠
3c R
3 e2c3
192
193
8.16. Для круговой орбиты
σ = π R2 .
Ответы и решения
Интегрируя, получим
1 ⎛⎜ 1
1 ⎞ 2 mt
− 6 ⎟=
, т. е. время падения будет
6
⎜
6 ⎝ V0 V ⎟⎠ 3 e 2 c 3
m 2 c 3a03
e2c3
T=
=
= 1,6 ⋅10−11 c .
4mV06
4e 4
8. Движение в центральном поле
Уменьшение полной энергии равно работе сил торможения:
−
RЗ2 Nα 1
d ⎛ α ⎞ RЗ2 N V
,
=
V
⎜−
⎟=
dt ⎝ 2 R ⎠ 4c 2 R 2
4M З c 2 R3
где α = GM З M = M ЗV 2 R . Отсюда −
8.17. Пусть в системе Солнца на частичку падает излучение
с энергией E , причем тангенциальная к орбите компонента импульса
излучения Px = 0 . В системе отсчета частички падающее излучение имеет энергию E ′ = γ ( E − VPx ) ≈ E и переизлучается изотропно, т. е. E ′′ = E ′
и P′′= 0 . Импульс, теряемый частичкой при переизлучении, в системе
Солнца равен
β ⎞
E′ V
⎛
Px = γ ⎜ Px′′+ E ′′ ⎟ γβ
E,
c
c c2
⎝
⎠
R dR = −
2
Интегрируя, найдем Rорб
− R2 =
здесь учтено, что скорость частички на орбите Земли V = 10−4 ⋅ c , а мощность падающего излучения N n = N
T1/ 2 =
Давление света P = N
8.18. Сила торможения (см. предыдущую задачу) имеет величину
VN ⎛ R
F= 2 ⎜ З
c ⎜⎝ 2 Rорб
194
2
⎞
4
⎟⎟ = 5 ⋅ 10 Н .
⎠
4M З c R
RЗ2 N
dt .
2M З c 2
RЗ2 N
t , т. е. радиус орбиты уменьшится
M Зc2
3 MЗ c2
4 N
2
⎛ Rорб ⎞
15
⎜
⎟ ≈ 2 ⋅10 лет.
R
⎝ З ⎠
a2
≈ 5 ⋅107 H уменьшает силу притяжения, но
2
4 Rорб
c
не влияет на величину T1/ 2 .
π a2
, где N – мощность, излучае4π R 2
мая Солнцем, πa – сечение частички, R – радиус орбиты.
Если перекрыть солнечный свет, пылинка при остывании будет продолжать терять импульс и начнет терять массу:
dp x
dP
dm
1 dE ′
βγ dE ′
=− 2
,
=− x =−
dt
dt
c dt
dt
c dt
(здесь p x – x-компонента импульса пылинки в системе Солнца, m – ее
масса). Скорость пылинки не меняется, поскольку из
dpx
βγ dE ′
dm
d (V γ )
d (V γ )
= γV
+m
=−
+m
dt
dt
dt
c dt
dt
d (V γ )
следует
= 0.
dt
2
2R
в два раза за время
и сила торможения будет
V Na 2
F= 2
= 1,5 ⋅10−15 H;
c 4R2
α Rз2 Nα 1
или
R=
2
2
3
8.2. Момент импульса. Центробежный потенциал
8.19. Максимальное удаление массы m2 от отверстия
P2
.
4 m1 m2 g
8.20. Момент импульса электрона L = mVR, эффективный потен-
Rmax = R + R 2 + 2 R ⋅ r0 , где R =
циал
r
L2
r α R2
+
= α ln + 2 .
2
R 2 mr
R 2r
При малом отклонении x = r − R от равновесной траектории на электрон
dU эфф
2α
действует возвращающая сила F = −
− 2 x. Уравнение радиdr
R
2α
альных колебаний mx = − 2 x , частота
R
2α
ω=
.
mR 2
U эфф = α ln
195
Ответы и решения
8. Движение в центральном поле
Отметим, что частота радиальных колебаний в 2 раз больше угловой
частоты вращения, и траектория электрона при таких колебаниях не
замкнута.
∂
∂r x
= ).
(α r 2 ) = −2α x (т.к.
∂x
∂x r
Аналогично найдем Fy = −2α y и Fz = −2α z . Следовательно, частица
8.21. При движении сохраняется компонента момента импульса
вдоль оси воронки
Lz = mρ 2ϕ = mV ( ρ 0 + h ctgα ) .
совершает гармонические колебания с периодом
8.23. x-компонента силы равна Fx = −
Энергия частицы равна
L2z
m
m ρ 2
1 + tg 2α ) +
+ mgz ,
E = ( ρ 2 + ρ 2ϕ 2 + z 2 ) + mgz =
(
2
2
2m ρ 2
⎛ 2 gRЗ ⎞
⎟⎟ .
8.24. σ = π R32 ⎜⎜1 +
V∞2 ⎠
⎝
ρ min точках траектории ρ = 0 , т. е.
8.25.
где учтено, что z = ( ρ − ρ 0 ) tgα . В верхней ρ max = ρ 0 + h ctgα и нижней
2
⎞
2 g ρ min
2
V
tgα .
=
ρ
−
ρ
α
или
=
mg
tg
(
)
⎟
max
min
ρ max + ρ min
⎠
При ρ min > ρ 0 частица в воронку не проваливается, при этом скорость
в верхней точке должна удовлетворять соотношению
L2z ⎛ 1
1
⎜ 2 − 2
2m ⎝ ρ min ρ max
V>
2 g ρ 02 tgα
g ρ 0 tgα
.
=
ρ max + ρ 0
1 + ( h ctgα 2 ρ o )
8.22. При движении сохраняется вертикальная компонента момента
импульса
Lz = mρ 2ϕ = mV H α .
Для параболической чашки z = 2αρρ , и энергия частицы в цилиндрических координатах запишется как
⎤
m
m⎡
V 2H
E = ( ρ 2 + ρ 2ϕ 2 + z 2 ) + mgz = ⎢ (1 + 4α 2 ρ 2 ) ρ 2 +
+ 2 gz ⎥ .
2
2⎣
z
⎦
В крайних точках ρ = 0 , а энергия равна
Отсюда найдем
mV 2 H
mV 2
+ mgz =
+ mgH .
2 z
2
2
⎛H
⎞⎛ V ⎞
−
1
z
−
⎟=0
⎜
⎟⎜
2g ⎠
⎝ z
⎠⎝
и границы движения по вертикали
V2
z1 = H , z2 =
.
2g
196
m
.
2α
T = 2π
2
2
RЗ2 ⎛ V22 ⎞ RЗ3 V22
∆M ⎧⎪k 2 при V R ≥ V2 RЗ ,
.
=⎨
=
1
−
1
−
k
⎜1 +
⎟+
2
2
R 2 ⎝ V 2 ⎠ R3 V 2
M
⎪⎩ k при V R < V2 RЗ ,
α ⎞
⎧ 2⎛
⎪⎪π R ⎜ 1 − ER ⎟
⎝
⎠
8.26. σ = ⎨
⎪0
⎪⎩
при
E≥
при
E<
α
R
α
R
,
.
L2
α Eρ 2 α
− 4 = 2 − 4 , где ρ –
2
2mr
r
r
r
2
L
прицельный параметр, L = mV ρ – момент импульса, E =
– полная
2m ρ 2
8.27. Эффективный потенциал U эфф =
энергия частицы. При r =
2α
эффективный потенциал достигает макEρ 2
max
симума величиной U эфф
=
E2ρ 4
max
. Условие падения в центр E ≥ U эфф
,
4α
т. е. сечение падения
σ = 2π
⎛
α ⎞
8.28. σ = π R 2 ⎜ 1 +
⎟.
E
R 3/ 2 ⎠
⎝
α ⎞
β
⎛
8.29. σ = π R2 ⎜1 +
⎟ +π .
E
⎝ ER ⎠
197
α
E
.
Ответы и решения
8. Движение в центральном поле
2
⎧⎪
⎫⎪
mα 2 ⎛ αm ⎞
8.31. F = − 4 r ; траектория r = r0 exp ⎨ ± (ϕ − ϕ 0 ) ⎜
⎟ −1⎬ ,
r
⎝ L ⎠
⎪⎩
⎪⎭
d=0,3
e=0,7
V0
где L – момент импульса частицы.
8.32. Полная энергия частицы E =
ее момент импульса. Уравнение
α
mr 2
L2
+
− , где L = mV0 r0 –
2
2mr 2 r 2
1
преобразуется к виду
r
2
E
1 ⎛ dz ⎞ ⎛ 1 α ⎞ 2
=
− ⎟z
⎜
⎟ +⎜
2
L 2m ⎝ dϕ ⎠ ⎝ 2m L2 ⎠
r
r
1 dr
1 dz
(здесь использовано соотношение
=
=
=−
).
m dϕ
L mr 2ϕ mr 2 dϕ
Дифференцированием по z получаем 0 =
1 dz d 2 z ⎛ 1
α ⎞ dz
+⎜
− 2 ⎟ 2z
2
m dϕ dϕ
⎝ 2m L ⎠ d ϕ
d 2z ⎛
2α ⎞
+ ⎜1 −
⎟z = 0.
2
dϕ ⎝ mV02 r02 ⎠
2) окружность r = r0
3) r =
r0
2α
, ε = 1−
cos(εϕ )
mV02 r02
при
mV02 α
< 2 ,
2
r0
при
mV
α
= 2 ,
2
r0
при
mV02 α
> 2 .
2
r0
2
0
(Угол ϕ отсчитывается относительно вектора r0 , параллельного оси x.)
198
r0
b
Вид траекторий r =
r0
для значений δ = 0,3 (пунктир) и δ =1
ch (δ ϕ )
(сплошная линия) показан выше на рис. а, траекторий r =
r0
для ε=
cos(εϕ )
= 0,4 и ε = 0,7 – на рис. b.
2r0
mα 2 8.33. F = − 3 r , траектория – парабола r =
.
1 + cos ϕ
2r
8.34. E = 0, L =
или
Его решением будут траектории:
r0
2α
1) r =
−1
, δ=
ch (δ ϕ )
mV02 r02
e=0,4
r0
а
E mr 2
1
α
= 2 +
− 2 2
2
2
L
2 L 2mr
Lr
при переходе к новой переменной z =
V0
d=1
8.35. T =
m 4
R .
8α
8.36. T =
m
π R3.
32α
mα
2R2
.
8.3. Кулоновское поле. Законы Кеплера
8.38. Чтобы тело, находящееся на расстоянии 1 а. е. от Солнца, могло покинуть пределы Солнечной системы, ему необходимо сообщить
начальную скорость, в 2 раз большую, чем орбитальная скорость Земли Vo. При старте с Земли можно использовать скорость движения Земли
по орбите. Для этого нужно стартовать так, чтобы после преодоления
поля тяготения Земли ракета двигалась в том же направлении, что и Земля на орбите. При этом относительно Земли ракете достаточно иметь
199
Ответы и решения
скорость
V0
(
8. Движение в центральном поле
V max ≈ V2 и скорость в апогее должна быть равна
)
2 −1 .
Минимальная скорость при старте с Земли Vстарт определится соотношением
2
Vстарт
−V22 = V02
(
)
2
2 −1 ,
где V2 – вторая космическая скорость, необходимая для преодоления тяготения Земли. Отсюда находим минимальную стартовую (третью
космическую) скорость:
V3 = V02
8.39. Vmin = V + V
2
2
2
орб
(
(
)
2
2 − 1 + V22 ≈ 16,7 км/с.
1 + cos θ − cos θ
2
) , где θ –
2
V2Л = 2 g Л RЛ =
угол между на-
правлением вылета и скоростью Земли.
∆M
2 − 1 gRЛ
⋅
= 1,8 ⋅ 10−2.
8.40.
6
M
VCs
∆V = V∞2 + 2V02 − V0
gRЛ 3 ≈ 2, 4 км/с,
(V )
Л
2
2
2
gRЛ ⎛
R ⎞
+ ⎜ VЛ − V2 З ⎟ 2, 6 км/с.
3
RЗ-Л ⎠
⎝
2
+ Vотн
=
8.44. ∆V = V2 − V 0, 2 км/с.
⎛
2
8.45. Vmin = ⎜ Vорб
⎝
(
2
)
2
⎞ gR
2 − 1 + 2VЛ2 −VЛ ⎟ + Л 11,8 км/с,
3
⎠
где Vорб, VЛ – орбитальные скорости Земли и Луны.
8.46. Орбита кометы сильно вытянута, поэтому ее полную энергию
можно считать равной нулю. В перигелии
2
2
GmM GmM mVорб
mVmax
=
=
=
,
2
rmin
0,6 a0
0,6
2 . Начальный радиус круговой орбиты спут2
Луна
где RЛ – радиус Луны. Стартовая скорость с поверхности Луны
Vmin =
8.41. На круговой орбите выполняется соотношение между скоростью и радиусом орбиты mV02 = GmM З R0 . Энергия корабля после вывода на гиперболическую орбиту будет
mV∞2
m
2
= − mV02 + (V0 + ∆V ) .
2
2
Добавка скорости
минимальна при V0 = V∞
ника при этом равен
R3
0, 2 км/с.
RЗ-Л
Луна движется по орбите со скоростью 1 км/с, т. е. для возврата на Землю
нужно преодолеть поле тяготения Луны
и двигаться относительно Луны со ско- Земля
ростью Vотн = 0,8 км/с в направлении,
противоположном ее орбитальной скорости. Для Луны вторая космическая
скорость
Vmin V2
⎛V ⎞
Rопт = RЗ ⎜ 2 ⎟ ,
⎝ V∞ ⎠
где RЗ – радиус околоземной круговой орбиты.
8.42. После выхода из поля тяготения Луны корабль должен перейти на эллиптическую орбиту вокруг Земли, у которой высота перигея
равна радиусу Земли RЗ , а высота апогея равна расстоянию Земля–Луна
RЗ-Л (см. рисунок). Момент количества движения в апогее и перигее
одинаков: Vmin RЗ-Л = RЗ Vmax . Так как орбита сильно вытянута, то
где Vорб – орбитальная скорость Земли. Отсюда находим максимальную
200
201
скорость кометы:
Vmax Vорб
2aо
= 55 км/с.
rmin
8.47. Центр масс орбитальной станции движется по окружности, для
GmM mV12
которой
=
. Если в начальный момент предметы покоились
R2
R
Ответы и решения
относительно станции и находились в разных по радиусу точках R1 =
= R + r и R2 = R − r (см. рисунок), то относительно Земли они движутся
по эллипсам, большие оси которых
−1
GmM ⎛ 1
1 ⎞
R±r
2a± =
= ⎜−
+
≈ 2 R ± 4r
⎟ = 2R
E±
R∓r
⎝ 2R R ± r ⎠
окружность
на величину 4 r отличаются от
диаметра окружности, по котоэллипс
рой движется центр станции. За
полпериода дальний предмет
3r 3r
rr
сместится относительно центра
станции от точки + r до точки
−3 r , а ближний (к Земле) – от
станция точки − r до +3 r . Полагая, что
станция совершает оборот за
время T ~ 90 мин, найдем, что при характерном размере станции r = 1 м
средняя скорость перемещения предметов относительно станции будет
4r
V≈
≈ 0,15 см/с.
(T 2 )
∆V 1 ⎛ V 2 rmin ⎞ ∆rmax
= ⎜1 −
, где V – скорость в перигее, RЗ –
⎟⋅
V
2 ⎝ 2 gRЗ2 ⎠ rmax
радиус Земли. Для околоземной орбиты
8.48.
∆V 1 ∆rmax
≅
= 0,25 %.
V
4 rmax
8. Движение в центральном поле
полуосей получим
2
2
2
⎡
⎤
⎛ ∆Vт ⎞
R3 + 200 км V1 − ⎣(V1 + ∆Vт ) 2 ⎦
=
=
2
−
1
+
⎜
⎟ ,
R3 + 205 км
V1 ⎠
V12 2
⎝
здесь V1 = gR З – первая космическая скорость. Отсюда находим величину тангенциальной добавки скорости
⎡
∆Vт = V1 ⎢
⎣
была ( 200 км + RЗ ) =
ла ( 205 км + RЗ ) =
α
2E
α
2 E′
R3 + 200 км ⎤
5 км
− 1⎥ V1
3 м/с.
R3 + 205 км ⎦
2 ( R3 + 205 км )
8.50. а) При путешествии к Марсу наиболее экономичная траектория – эллипс, касающийся орбит Земли и Марса (см. пунктир на
рис.), большая полуось которого
a=
R + RМ
2
в 1,26 раза больше радиуса орбиты Земли R .
Для эллиптической орбиты a =
α
2E
, где E –
полная энергия корабля и α = GmM , т. е. полная энергия корабля для
полета к Марсу E ′ будет в 1,26 раза меньше, чем энергия при полете на
орбите Земли. Из равенства
E′ =
mV 2 α
α
− =−
R
R + RМ
2
получим, что скорость корабля для полета к Марсу после преодоления
тяготения Земли должна быть равна
8.49. При добавке скорости ∆V изменение кинетической энергии
2
m ( ∆V )
+ mV ⋅ ∆V
2
и большой полуоси эллиптической орбиты будет максимальным, если
добавка скорости ∆V тангенциальна. Сначала полуось орбиты станции
2 −
V=
α
2 RM
6 ,
Vорб
mR ( R + RM )
5
α
∆T = =
где Vорб =
, после тангенциальной добавки скорости ста-
⎛
⎞
должен иметь скорость Vотн = Vорб ⎜ 6 − 1⎟ ≈ 2,86 км/c. С учетом земного
⎜ 5 ⎟
(здесь R3 – радиус Земли, E и E ′ – полная энер-
гия станции до и после добавки скорости, α = GmM ). Из соотношения
202
– орбитальная скорость движения Земли. Если корабль
mR
после преодоления тяготения Земли будет двигаться в том же направлении, что и Земля, то относительно Земли корабль для полета к Марсу
⎝
⎠
тяготения с Земли надо стартовать со скоростью
2
⎛ 2 RM
⎞
2
Vmin = V22 + Vорб
− 1⎟ 11,56 км/с.
⎜⎜
⎟
⎝ R + RM
⎠
203
Ответы и решения
8. Движение в центральном поле
1 ⎛ R + RM ⎞
Время полета к Марсу будет T = ⎜
2 ⎝ 2 R ⎟⎠
встрече ракеты с Марсом расстояние до Земли будет
32
≈ 0,7 года. При
RЗ-М = R 2 + RM2 − 2 RRM cos ( 0, 4π ) 1,5 R .
б) Для полета к Венере аналогично находим энергию на орбите
и необходимую скорость
E′ =
mV 2 α
α
,
− =−
R
2
1,72 R
V=
8.52. Уравнение эллиптической траектории, проходящей через оба
полюса:
r=
R=
Относительно Земли скорость должна быть Vотн = – 2,55 км/с. Стартовать
с Земли надо со скоростью
так, чтобы после преодоления тяготения Земли скорость ракеты относительно Земли Vотн была направлена против орбитальной скорости Земли. Время полета к Венере T ≈ 0, 4 года. При встрече ракеты с Венерой
расстояние Земля – Венера будет
RЗ-В 0, 6 R .
8.51. В перигее rmin =
P
. На круговой орбите скорость V1 = gr ,
1+ ε
2 EL2
= 0. При радиальной добавке скоmα 2
рости ∆Vr момент импульса и параметр орбиты P не меняются, энергия
эксцентриситет орбиты ε = 1 +
2
возрастает на
ε′ =
m ( ∆Vr )
, а эксцентриситет орбиты становится равным
2
∆Vr
. Из соотношения
V1
r1
1
1
=
=
r 1 + ε ′ 1 + ( ∆Vr V1 )
получим для радиальной добавки скорости
⎛r
⎞
∆Vr = ± ⎜ − 1⎟ ⋅ gr .
r
⎝ 1 ⎠
204
α
= mg , L = mVR cos θ (здесь θ –
R2
угол вылета по отношению к горизонту), получим искомое соотношение
где R – радиус Земли. Подставляя
1, 44
Vорб = 0,91 Vорб .
1,72
Vстарт 11,5 км /с
L2 mα
R
=
,
1 + ε cos ϕ 1 + ε cos ϕ
L2 V 2 cos2 θ
=
mα
g
8.55. V = V0 2 = 28,3 км/c ,
или V cos θ = gR = V1 .
ϕ = arcsin
1
ε
= 19,50 ,
2 ⋅ mV02 ( 2mV0 R0 )
2 EL2
=
1
+
= 3.
2
mα 2
m ( mV 2 R )
2
где V0 – начальная скорость, ε = 1 +
0
8.56.
0
r
R − rmin
∆V
= max ⋅
≈ −4 ⋅ 10−3 , где R = 1 а. е.
V
2rmin rmin + rmax
2
⎛ 2 rmax
⎞
⎧67 км/с,
2
Vотн = VЗем
± 1⎟ + V22 = ⎨
⎜⎜
⎟
r
R
+
⎩13 км/с.
⎝ max
⎠
8.57. Пусть скорость спутника после вывода на эллиптическую орбиту вокруг Солнца равна Vc . Полная энергия спутника равна
E=
mVc2 α
α
,
−
=−
R0
2
2a
1
( r1 + r2 ) = R0 – большая полуось орбиты. Отсюда
2
mVc2
α α
α
найдем кинетическую энергию спутника
и его
=−
+
=
2
2a R0 2 R0
где R0 = 1 а. е. и a =
скорость Vс = Vорб = 30 км/с.
Уравнение орбиты вокруг Солнца r =
r2 =
p
p
, где r1 =
,
1 + ε cos ϕ
1+ ε
2r r
p
L2
, p = 1 2 . Так как p =
, причем L = mVc ⋅ R0 sin β , то для
1− ε
r1 + r2
mα
205
Ответы и решения
8. Движение в центральном поле
угла β между скоростью спутника и направлением к Солнцу получим
p
p
α
p mα
=
⋅
=
= 0,36 .
sin 2 β = =
2
2
( mVc ⋅ R0 ) R0 mVc R0 R0
Относительная скорость Земли и спутника после вывода на орбиту
Vотн = Vc2 ⋅ cos2 β + (Vорб −Vc sin β ) = Vорб 2 (1 − sin β ) 0,9 Vорб .
2
Стартовая скорость спутника после выхода из атмосферы Земли должна
быть равна
2
Vстарт = Vотн
+ V22 29 км/с.
8.58. Чтобы покинуть Солнечную систему, необходим парус плоπ GM mc
щадью S ≥
3,3 ⋅106 м2 .
N
8.60. а) Из симметрии видно, что положение звезд всегда составляет
правильный треугольник, центр масс которого неподвижен. Расположим
x
начало системы координат в центре треугольника. Тогда r1 = r2 = r3 =
,
3
где x – сторона треугольника, уменьшающаяся по мере сближения звезд.
Сила, действующая на каждую звезду, направлена к центру и равна
G M2
,
2 F cos 30 0 =
2
3 r
т. е. каждая звезда движется в центральном поле с потенциалом U = −
(здесь α = G
α
r
круговой орбите, равна E = −
полная энергия будет
M
MVd
и отрицательную
), имеет момент импульса L =
3
2 3
MV 2 GM 2
GM 2
. Траектория каждой из звезд
−
=−
2
2d
3r0
будет эллипсом, причем минимальное расстояние от звезды до центра
поля rmin определяется соотношением
3⎞
d ⎛
⎜⎜ 1 −
⎟ , и минимальное расстояние между звездами
2 ⎟⎠
3⎝
⎛
d min = d ⎜⎜1 −
⎝
206
3⎞
⎟.
2 ⎟⎠
mV12
= E (2 − k 2 ) .
2
Полуось орбиты возросла в
a′
E
1
раз,
=
=
R
E′ 2 − k2
при этом апогей орбиты и период обращения будут иметь величину
R ′ = 2a ′ − R = R
⎛ a′ ⎞
T′ = T ⎜ ⎟
⎝a⎠
8.66. tпад 1
4 2
3/ 2
k2
,
2 − k2
⎛ 1 ⎞
=T⎜
2 ⎟
⎝2−k ⎠
3/ 2
.
года 2,1 месяца.
−3/ 2
⎛
V2 ⎞
5,5 ч,
⎜2−
⎟
gRЗ ⎠
⎝
где RЗ – радиус Земли, V – скорость ракеты после выхода из атмосферы.
8.67. T = 2π
L2
α
−
=E.
2
2 Mrmin
rmin
Отсюда rmin =
mV12
. После увеличения скорости в k раз
2
E ′ = − mV12 + k 2
,
2
полную энергию E =
В случае б), когда скорости звезд перпендикулярны сторонам треугольника, каждая из звезд движется по эллипсу с моментом импульса
MVd
d 3
и максимальным расстоянием до центра rmax =
. МаксиL=
2
2
мальное расстояние между звездами в этом случае
3
d max = d .
2
8.63. Полная энергия спутника, движущегося со скоростью V1 по
RЗ
g
8.4. Задача двух тел
8.73. T = 2π
mM 1
⋅ .
m+ M k
8.75. T = 2π
2mM 1
⋅ .
m+ M k
207
Ответы и решения
8.76. ω =
8. Движение в центральном поле
минимальном расстоянии, эффективный потенциал равен полной энергии:
k(m + M ) ⎛
2⎞
⎜3 − ⎟ .
mM ⎝
α⎠
µV∞2 ρ 2
∆x
2k
1 + sin 2 ϕ
8.77. ω =
, а ∆x – смещение
, A′ = A
, где sinϕ =
A
m
8
каждой из масс от положения равновесия в момент развала системы.
4
2V
4 ⎛ sin ω t ⎞
8.78. x 2 M = V t +
sin ω t , x M = L + V ⎜ t −
⎟,
9
9ω
ω ⎠
9 ⎝
ω=
где ω =
k
, ω1 =
m
π
;
ω
π
при t > .
ω
при
t≤
Vπ
3k
. Пластилин остановится в точке x =
.
2m
4ω
α2
2
rmin
=E=
µV 2
2
,
mM
– приведенная масса частицы, V – ее начальная скорость.
m+ M
Отсюда найдем
где µ =
rmin = ρ 1 +
3k
.
2M
⎧V ⎛
sin ω t ⎞
⎪ 4 ⎜t + ω ⎟
⎠
⎪ ⎝
8.79. xm = ⎨
π
V
V
⎛ π⎞ V
⎛ π⎞
⎪
t−
sin ω1 ⎜ t − ⎟
+
−
⎪⎩ 4 ω 3 ⎜⎝ ω ⎟⎠ 6 ω1
⎝ ω⎠
2
2 rmin
+
б) Для потенциала
α2
r4
8.85. Финитно при V 2 <
2α2 m + M
.
ρ 2V 2 mM
получим rmin =
ρ
1+ 1+
2
8α 2 ( m + M )
ρ 4V 2 mM
2GM
π ⎛ 1 3 V2 ⎞
, причем T =
⎜ −
⎟
3d
6GM ⎝ d 2 GM ⎠
Апогей и перигей орбиты равны rmin =
.
−3 2
.
p
p
V 2d 2
,
, rmax =
, где p = 3
GM
1+ ε
1− ε
8.80. ω =
q 2 ( M + 2m )
.
4 R 3mM
ε = 1+ 6
8.82. Eп =
e2 EH
6,8 эВ.
4R
2
8.86. Период обращения двойной звезды равен периоду вращения
тела приведенной массы µ вокруг неподвижного центра
8.83. В системе центра масс задача эквивалентна падению на центр
mM
частицы приведенной массы µ =
c расстояния d. Время такого
m+M
падения равно половине периода обращения по вытянутому эллипсу
с полуосью d 2 , которое можно найти по времени вращения частицы по
окружности того же радиуса:
T
π d3 2
Tпад = =
.
2
8G ( m + M )
H ⋅ м2
время падения T = 105 с.
кг 2
8.84. а) Перейдем к эквивалентной задаче о рассеянии частицы приведенной массы на неподвижном силовом центре. В точке поворота, на
Для d = 1 м, M = m = 1 кг, G = 6, 7 ⋅ 10−11
208
V 2d 2 ⎛ 3 V 2
1⎞
− ⎟.
⎜
GM ⎝ 2 GM d ⎠
T = 2π
( rmin + rmax )
2G ( m + M )
3
µa3
GmM
= =π
,
rmin + rmax
– большая полуось орбиты тела. Отсюда находим сум2
марную массу двойной звезды:
где a =
m+M =
π 2 ( rmin + rmax )
T2
2G
3
.
8.87. Период обращения двойной звезды равен
T = 2π
209
d3
,
G ⋅ 2M Ответы и решения
8. Движение в центральном поле
где d – расстояние между движущимися по круговым орбитам компонентами двойной звезды. Период вращения Земли вокруг Солнца
ной сфере. Угол рассеяния частиц в Ц-системе совпадает с углом рассеяния частицы приведенной массы на неподвижной сфере. При этом рассеяние на угол > θ происходит при условии
ρ
θ
M −m
< cos =
,
2
2M
R
т. е. сечение рассеяния равно
M − m π R2
σ = π R2
=
.
4
2M
8.93. Перейдем к эквивалентной задаче о рассеянии частицы приведенной
c
массы на неподвижной сфере радиусом 2R (при упругом столкновении действуют силы, направленные вдоль линии,
r
2R
соединяющей центры сфер). Углы рассеяния частицы в Л- и Ц-системах связаны соотношением
p ′ sin χ
,
tg θ =
m 1V Ц + p ′ cos χ
T⊗ = 2π
R3
= 1 год,
GM T
d3
=
= 2. Отсюда найдем расстояние между компоT
2R3
нентами двойной звезды
d = 2 R = 2 a. e.
и по условию
8.88. Перейдя от задачи двух тел к движению частицы приведенной
массы относительно неподвижного центра, найдем энергию, необходимую для удаления частицы от центра:
µV 2 GmM
−
>0.
2
R+r
Т. е. скорость частицы (и скорость шара относительно астероида)
должна быть
V≥
2G ( m + M )
.
r+R
где VЦ – скорость Ц-системы, p′ = m2VЦ – импульс частиц в Ц-системе.
По условию θ = 90 0 , т. е.
8.90. d max = 3d , T = T0 ⋅ 12 .
8.5. Рассеяние частиц
8.91. Угол рассеяния θ на неподвижной сфере связан с углом α между направлением начального движения и нормалью к поверхности
в точке падения соотношением θ = π − 2α ( 0 < θ < π ). Прицельный параметр столкновения и радиус сферы связаны соотношением ρ = R sin α .
Отсюда для угла рассеяния (при ρ ≤ R ) получим
ρ
θ = 2 arccos .
R
8.92. При рассеянии массы m на первоначально неподвижной сфере
массы M углу рассеяния 900 в Л-системе соответствует угол θ в Цсистеме, определяемый соотношением
m
θ
M −m
.
cos θ = −
или cos =
2
2M
M
Рассеяние частиц в Ц-системе удобно рассматривать, перейдя к эквивалентной задаче о рассеянии частицы приведенной массы на неподвиж210
cos χ = −
m1VЦ
1
=− ,
p′
2
и угол рассеяния в Ц-системе χ = 120 0 .
Прицельный параметр столкновения и угол рассеяния на неподвижном центре радиуса 2R связаны соотношением (см. рисунок)
ρ
π −χ 1
= sin
= .
2R
2
2
Т. е. искомый прицельный параметр равен
ρ =R.
8.94. В системе центра масс угол рассеяния θ связан с прицельным
параметром ρ соотношением
θ
π − 2α
ρ
cos = cos
= sin α = .
2
2
R
В Л-системе скорость шара после рассеяния равна
2mV
θ
V2′ =
sin .
m+M
2
211
Ответы и решения
Переданная энергия ∆T =
8. Движение в центральном поле
p
MV2′2
4mM mV 2
θ
sin 2 , причем
=
2
2
2
2
m
M
+
(
)
a
∆T
4mM ⎛ ρ 2 ⎞
=
1−
⎟,
2 ⎜
T
(m + M ) ⎝ R2 ⎠
ρ
θ = 2arc cos .
ρ⎤
⎡
⎛ ρ ⎞
θ = 2 ( β − α ) = 2 ⎢ arcsin ⎜
⎟ − arcsin ⎥ ,
kR
R
где использовано соотношение sin α =
⎠
⎦
. При E > U и kR ≤ ρ < R часR
тица от барьера отражается, и угол рассеяния определяется формулой (1).
Графики угла рассеяния частицы θ в зависимости от приведенного
прицельного параметра ρ R показаны на рис. b (пунктирной линией –
при отражении от барьера, сплошными линиями – при преломлении
в случае ρ ≤ kR для значений k = 0,2, k = 0,5 и k = 0,8).
Максимальный угол рассеяния при E > U равен
θ max = 2 arccos 1 − (U E ) .
212
b
При ρ ≥ R рассеяния не происходит.
область барьера, при этом радиальная компонента скорости частицы
уменьшается, а тангенциальная компонента не меняется. В результате
траектория частицы на границе барьера «преломляется» (см. рис. а), причем угол преломления β связан с углом падения α, отсчитываемыми от
нормали к поверхности, соотношением
sin α
=k.
sin β
В этом случае угол рассеяния равен
⎝
1
r/R
а
Если E > U , то при ρ < kR , где k = 1 − (U E ) , частица влетает в
ρ
k=0,5
0
(1)
R
k=0,2
q
k=0,8
8.95. Если кинетическая энергия частиц E ≤ U , то частица от
барьера отражается, и угол рассеяния составляет (при ρ ≤ R )
⎣
q/2
b
mV 2
.
где T =
2
Усредняя по прицельным параметрам, найдем среднее значение
R
⎛
ρ2 ⎞
⎜ 1 − 2 ⎟ 2πρ d ρ
∫
R ⎠
4 mM
2 mM
∆T
0 ⎝
.
=
=
2
2
2
πR
T
(m + M )
(m + M )
отражение
q
ρ
ρ
⎧
, если ρ ≤ R ;
⎪2 arcsin R − 2 arcsin
R 1 + (U E )
8.96. θ = ⎨
⎪
если ρ ≥ R.
⎩ 0,
Максимальный угол рассеяния достигается при ρ → R и составляет
1
.
θ max = 2 arccos
1 + (U E )
8.97. Считаем, что при рассеянии на малые углы скорость частицы
изменяется несущественно. Для поперечного импульса частицы имеем
∞
α
x ∞ πα
α y dx
αρ
dx
Py = ∫ F y dt = ∫ ⋅
≈
= arctg
=
,
2
2
∫
r r V
V ρ +x
ρ −∞ V
V
−∞
α
α y
где использовано Fy = ⋅ sin ϕ =
(см.
r
r r
рисунок). Таким образом, угол рассеяния
q
не зависит от прицельного параметра:
V
r
πα πα
y r
θ= y =
=
.
2
2T
V mV
213
x
1,6 ⋅ 10−26 м2.
4T 2
⎡ ⎛ m ⎞2 ⎤
= ⎢1 − ⎜ e ⎟ ⎥ σ 0 .
⎢ ⎜⎝ M p ⎟⎠ ⎥
⎣
⎦
8.98. Для неподвижного протона σ 0 =
Для незакрепленного протона σ незакр
π e4
Ответы и решения
8. Движение в центральном поле
8.100. Для потока, падающего слева направо параллельно оси x,
недоступна область, ограниченная параболой
2α E
r=
1 − cos ϕ
(здесь Е – кинетическая энергия налетающей частицы, а угол φ отсчитывается от оси x ).
Максимальная энергия передается при лобовом столкновении:
2 M p ( E 2 − me2 c 4 )
⎡⎛ 1 + β 2 ⎞ ⎤
T + 2me c 2
−
=
Tmax = M p c 2 ⎢⎜
1
2
T
4 кэВ
⎥
⎟
2
2 2
2 2
M p c2
⎣⎝ 1 − β ⎠ ⎦ 2 EM p + M p c + me c
8.101. Протон в Ц-системе имеет импульс
mM
q
MVЦ =
V = µV . Пусть электрон в Ц-сисm+M
теме рассеялся на угол θ (см. рисунок). В этом
c
p'p
случае в Л-системе протон после рассеяния буpp
дет двигаться под углом χ к линии первоначального движения электрона, так что
2
⎛ π −θ ⎞
θ = e ,
ctg χ = ctg ⎜
=
tg
⎟
2 µ V 2ρ
⎝ 2 ⎠
и его энергия будет равна
4mM
1
4m
1
,
T
Tp = T ⋅
2
2
4T 2 2
M
( m + M ) 1 + ⎛ M 2T ρ ⎞
+
ρ
1
⎜
2 ⎟
e4
⎝m+M e ⎠
8.103. Произведем оценку в случае, когда скорость звезды u параллельна скорости планеты V0, причем u V0 . В системе отсчета звезды
планета при отклонении на малый угол приобретает поперечную ско2 GM
рость V⊥ =
, где ρ – прицельный параметр столкновения, M и u –
ρu
масса и скорость звезды (см. предыдущую задачу).
Планета покинет Солнечную систему при условии
GmM m 2
V0 + V⊥2 ) ≥
,
(
R
2
где M – масса Солнца, R - радиус круговой орбиты планеты. С учетом
p'e
где T =
mV 2
– кинетическая энергия электрона до столкновения.
2
8.102. Рассеяние релятивистской частицы на малый угол описывается выражением
∞
2 ρ e2
dr
2e2
θ=
=
= 10−2 рад
pV ∫ρ r 2 r 2 − ρ 2 ρ pV
E 2 − me2
E + mp
– скорость Ц-системы).
V02 G M =
условие отрыва запишется в виде V⊥ ≥ V0 . ОтR
R2
M V0
сюда найдем прицельный параметр ρ ≤ 2 R ⋅
и сечение «иониM u
зации»
соотношения
2
σ = πρ 2 = 4π
214
⎛ M V0 ⎞
G2M 2
= 4π R 2 ⎜
⎟ .
2 2
V0 u
⎝ M u ⎠
Для звезды, подобной Солнцу,
2
⎛ V0 ⎞
⎟ .
⎝u⎠
σ = 4π R 2 ⎜
ρ2
= u ). Отсюда находим прицельный
r2
параметр и сечение рассеяния на угол, больший 10−2 рад:
4π e 4
2e 2
ρ=
= 2 ⋅ 10−13 м, σ = 2 2 2 ≈ 1,5 ⋅10−25 м 2 .
θ pV
θ pV
Минимальная энергия будет передаваться протону при рассеянии электрона на угол 10−2 рад:
2
( Pθ ) ( E 2 − me2 c 4 ) θ 2
P⊥2
0,1 эВ.
Tmin ≈
=
=
2m p
2m p
2m p c 2
(интеграл вычисляется заменой
(здесь β =
ем:
8.104. Угол рассеяния мюона в Ц-системе определяется выражени-
θ Ц = 2 arc tg
Из соотношений tgθ Л =
α
2
µV ρ
sin θЦ
m
+ cosθЦ
M
= 2 arc tg
и θp =
215
e2 m + M
.
2T ρ M
π − θЦ
2
находим направление
Ответы и решения
8. Движение в центральном поле
движения мюона и протона в Л-системе после рассеяния:
⎧710
θµ ≈ ⎨
−6
⎩1,4 ⋅10 рад
,
⎧510
θр ≈ ⎨
⎩90
0
при T = 10 эВ,
при T = 10 МэВ.
Энергия протона (здесь p′ – импульс частиц в Ц-системе):
(2 p′ cosθ )
=
2
θЦ
при T = 10 эВ,
⎧1,4 эВ
≈⎨
−6
2M
2 ⎩2,3 ⋅10 эВ при T = 10 МэВ.
(m + M )
Энергия мюона после рассеяния равна 8,6 эВ и 10 МэВ.
Tp
p
=4
mM
2
T sin2
Минимальное расстояние («+» – для притяжения, «–» – отталкивания ):
cos (θ ц 2 )
L2
µV 2 ρ 2
rmin =
=
=ρ
≈
µα ( ε ± 1)
1 ± sin (θ ц 2 )
⎛
⎞
µ 2V 4 ρ 2
α ⎜ 1+
± 1⎟
⎜
⎟
α2
⎝
⎠
⎧2 ρ для T = 10 эВ ( одноименные заряды ) ,
⎪⎪
≈ ⎨ ρ 2 для T = 10 эВ ( разноименные заряды ) ,
⎪
для T = 10 МэВ.
⎪⎩ ρ
8.106. Из законов сохранения следует уравнение
2
dϕ
L r
.
(1)
β ⎞ L2
⎛
2
2m ⎜ E − α r − 2 ⎟ − 2
r ⎠ r
⎝
1
Интегрируя с помощью замены z = 2 , при L ≠ 0 для траектории получим
r
dr
=
p
r
где k = 1 +
2mβ
L
2
2
2
= 1 + ε cos ( 2kϕ ) ,
2
2α ( L2 + 2mβ )
+ 2 mβ
< 1.
, p2 = L
> 0, ε = 1 −
mE
mE 2
Траектории замкнуты, если k является рациональным числом. Примеры траекторий для k = 0, 25 и k = 1, 25 (при ε = 0,9) показаны на рисунках. Для наглядности один из витков траектории показан сплошной
линией, последущий – пунктирной линией.
216
а
b
⎛
L2 ⎞
⎝
⎠
При E = 4α ⎜ β + ⎟ эксцентриситет ε = 0 , а траектория является
2m
14
⎡ β + L2
⎤
2m ⎥ .
окружностью радиусом r = p = ⎢
⎢
⎥
α
⎣
⎦
При L = 0 уравнение (1) упрощается, и траектория представляет
собой отрезок прямой
ϕ = ϕ0 ,
E ⎛
4αβ ⎞ 2 E ⎛
4αβ ⎞
⎜1 + 1 − 2 ⎟ ≥ r ≥
⎜1 − 1 − 2 ⎟ ,
2α ⎝
E ⎠
2α ⎝
E ⎠
который при минимальной энергии частицы E = 2 αβ превращается
в точку r =
β
, ϕ = ϕ0 .
α
8.108. Траектория частицы определяется эффективным потенциалом
2
α ⋅ exp ( −r r0 )
+ L 2 ,
U eff = −
r
2mr
где L – момент импульса частицы. Дифференцируя выражение для поdU eff
тенциала и произведя замену переменной ξ = r r0 , из условия
=0
dr
получим соотношение
−
2
L + ξ (1 + ξ )exp(−ξ ) = 0 .
mα r0
Функция F = ξ (1 + ξ ) exp( −ξ ) показана на рис. а. Ее максимум Fmax ≈
≈ 0,84 достигается при ξ =
1+ 5
.
2
217
Ответы и решения
1,2
8. Движение в центральном поле
где N − – поток отрицательных ионов на входе в слой. Уравнения для
изменения количества атомов dN0 и положительных ионов dN+ в пучке
имеют вид
Ueff
0,8
F
0,4
0
E2
0
4
2
x
8
6
r
E1
10
a
При
b
2
L
< Fmax зависимость эффективного потенциала от расстоmα r0
яния до центра имеет два экстремума E1 и E2 , как это показано на рис. b,
причем один из экстремумов является минимумом. Если энергия частицы E удовлетворяет условию E1 < E < E2 , то возможно финитное движение частицы вокруг центра в окрестности минимума потенциала. При
условии E2 > E > 0 также возможно инфинитное движение во внешней
области за барьером E2 (рассеяние). При энергии E > E2 возможно только рассеяние.
(
)
dN 0 = σ −0 N − − σ 0+ N 0 n dx , dN + = σ 0+ N 0n dx .
Совместное решение уравнений дает для доли отрицательных ионов
N−
N0
N+
k − = − , доли атомов k 0 = − и доли положительных ионов k + = −
N0
N0
N0
выражения
k − = exp( −σ −0 N ),
k0 =
σ −0
{exp( −σ 0+ N ) − exp( −σ −0 N )},
σ − 0 − σ 0+
k+ = 1− k− − k0 .
Выход атомов k 0 максимален при толщине мишени N =
8.111. За одно столкновение легкий шарик теряет в среднем энергию
m
∆Eсредн = −2 E .
M
Шарик сечением σ , скоростью V испытывает N = nσV столкновений в
единицу времени, т. е. скорость потери энергии будет
∆E
2m
2m
2E
.
EN = −
Enσ
=−
∆t
M
M
m
Отсюда найдем
−2
−3
nσ t ⎞
dE
m
nσ t ⎞
⎛
⎛
E = E0 ⎜ 1 + V0
и
= −2 n σ V0 E0 ⎜ 1 + V0
⎟
⎟ .
M ⎠
dt
M
M ⎠
⎝
⎝
Энергия шарика уменьшается вдвое за время
M
τ 1/ 2 = 2 − 1
.
nσ V0
(
)
8.113. Обдирка отрицательных ионов при прохождении слоя мишени толщиной dx описывается уравнением
dN − = −σ −0 N − n dx ,
218
219
ln(σ − 0 σ 0+ )
σ − 0 − σ 0+
.
9. Движение твердого тела
9. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
9.1. Равновесие тел
9.1. При виртуальном перемещении ∆h цепочки вниз по конусу ее
радиус увеличится на ∆R = ∆h ⋅ tg
α
, а работа силы натяжения цепочки
2
равна работе силы тяжести 2π ⋅ ∆R ⋅ T = mg∆h . Отсюда найдем силу натяжения
mg
α
T=
ctg .
2π
2
9.2. T =
Pr
2π R 2 − r 2
9.3. T = P
9.4. T =
2π R − r
2
2
cos β − 2 PL sin β + T 2 L cos ( β − α ) = 0 .
Сила натяжения равна
4 sin β − cos β
T =P
.
4 cos ( β − α )
a
b-a
KM
3
(здесь учтено, что
sin120 =
AK
2 7
KM =
7
L
L
, AM = , и по теореме косинусов AK =
L ). Отсюда
4
4
2
sin 90 − θ
θ = arccos
3
71 .
2 7
A
q
В равновесии моменты силы веса
стержня СВ и натяжения нити относительно точки В одинаковы:
C
L
P cos θ − 60 = Th ,
2
g
M
K
)
(
.
9.7. В равновесии суммарный момент сил тяжести и натяжения нити относительно точки подвеса палочки равен нулю (см. рисунок):
b
)
, то cosθ =
sin120
N
9.6. T = 2 P.
2
(
KM
B
3
здесь h =
L – высота треугольни2
3 3
ка ABC. Но cos θ − 60 =
, так что для натяжения нити получим
2 7
3
T=
P 0,57 P.
2 7
9.5. T = 2 P.
PL
=
(
.
αR
.
π
Pr
AK
g
tg β <
Она становится отрицательной,
т. е. нить надо заменить на стержень, при
1
или β < 140.
4
9.8. В равновесии центр тяжести К системы лежит на вертикали
в центре средней линии NМ (см. рисунок). Угол AMK = 120 , и так как
220
)
9.9. Пусть координаты левого
конца палочки x1 , y1 , правого –
x 2 , y 2 , а угол наклона палочки φ
(см. рисунок). Координаты и угол
связаны соотношением
x2 − x1 = L cos ϕ ,
j
g
y2 − y1 = α ( x22 − x12 ) = L sin ϕ .
Центр тяжести палочки находится
на высоте
x1
tg 2ϕ + (α L cos ϕ )
y + y1
.
H= 2
=
4α
2
dH
В положении равновесия
= 0 , или
dϕ
sin ϕ
2
= (α L ) cos ϕ ⋅ sinϕ .
cos3 ϕ
2
221
x2
Ответы и решения
1
, то возможны три положения равновесия: горизонL
1
тальное при sin ϕ = 0 и наклонные – при cos ϕ = ±
. Горизонтальное
αL
положение равновесия неустойчиво, так как при ϕ = 0 вторая производная
1) Если α >
d 2 H 3 − 2 cos2 ϕ
2
2
∝
+ (α L ) (1 − 2 cos2 ϕ ) ∝ 1 − (α L )
dϕ 2
cos4 ϕ
отрицательна. Наклонные положения равновесия устойчивы, поскольку
1
d 2H
1 ⎞
2⎛
при cos ϕ = ±
вторая производная
∝ 4 (α L ) ⎜ 1 −
⎟ положи2
dϕ
αL
⎝ αL ⎠
тельна.
1
2) Для α ≤ («пологая» парабола) наклонные положения равновеL
сия отсутствуют, а единственное горизонтальное положение равновесия
устойчиво.
9. Движение твердого тела
9.12. Уравнение параболы y = α x 2 =
4H 2
⋅ x . В точке (x, y) параL2
болы (В на рис. а) касательная к параболе имеет наклон
маль OB к касательной пересекает ось y в точке О, как это показано на
рис. а, и расстояние
1
L2
OC = x ⋅ ctgθ =
=
2α 8 H
не зависит от величины x ≠ 0 . Следовательно, пока жук находится на
небольшой высоте, при случайном небольшом наклоне качалки момент
силы веса жука будет возвращать качалку в вертикальное положение (см.
рис. b).
y
g
O
g
q
C
B
9.10. Если L > h ≥ L ρ ρ в ( ρ в − плотность воды, ρ − плотность
O
x
палочки), то существует только вертикальное положение равновесия, которое устойчиво. Для меньших глубин, при h < L ρ ρ в , существуют
три положения равновесия. Вертикальное положение равновесия становится неустойчивым, устойчивы равновесия с углом наклона θ к вертикали:
h ρв
.
sin θ = ±
L ρ
(
)
9.11. При h ≥ L 1 − ρ ρ в вертикальное положение равновесия палочки единственно и отвечает устойчивому равновесию. Для меньшей
(
высоты подвеса h < L 1 − ρ ρ в
)
A
cos θ =
h
1
.
L 1 − ρ ρв
222
B
a
b
Если же жук находится на большей высоте
L2
= 5 см,
8H
то вертикальное положение равновесия системы становится неустойчивым, и при малом наклоне качалки момент силы веса жука может повернуть качалку к наклонному положению равновесия.
h>
9.2. Вращение с неизменной ориентацией оси.
Момент инерции, момент импульса
существуют три положения равнове-
сия. Вертикальное положение равновесия становится неустойчивым, устойчивы равновесия с углом наклона ±θ к вертикали, отвечающим условию
dy
= 2α x . Норdx
9.14. I =
mL2
, m − масса креста, L − длина стержня.
3
9.15. I =
11
ma 2 .
72
223
Ответы и решения
9. Движение твердого тела
9.16. H = 2 R.
9.29. ω =
9.19. T ≅ 10 −3 с.
9.21. ω =
9.22. ω =
m 6 gH
R m 2 + 5 Mm + 4 M 2
3 +1
2 3
, VB =
9.30. ω =
.
ΩL
3
, V C = ΩL ⋅
3 −1
2 3
.
9.25. Выделим малый элемент с площадью dS, находящийся на нижней плоскости цилиндра и отстоящий на расстоянии r от его оси. ДавлеdS
ние на этот элемент mg
, и при повороте на угол φ сила трения элеπ R2
dS
мента совершает работу dA = µ mgrϕ
. Просуммировав по всем элеπ R2
ментам соприкасающейся поверхности, найдем полную работу силы трения при таком повороте:
2
A = µ mgRϕ .
3
Энергия вращения цилиндра полностью израсходуется при повороте на
3 ω2R
угол ϕ =
, при этом число оборотов будет
8 µg
N=
ω0
2
, Q=
ϕ
3 ω2R
=
.
2π 16π µ g
T0
.
2
9.27. ω = ω 0 3.
ω0
2
, Q=
)
⋅ ω0 .
9.3. Физический маятник
9.24. ω = 2ω 0 3.
9.28. ω =
(
MR 2 + m r 2 + 2 ρ 2
V cos α
.
⎡ cosα ⎤
R ⎢1 +
⎣ 3π N ⎥⎦
9.23. V A = ΩL ⋅
9.26. ω =
mr 2
T0
.
2
9.31. X =
(
x + L /12 x
L
12
)
.
, Tmin = 2π
L
g 3
.
9.34. Вода при колебаниях сосуда не вращается, и частота колебаний
g
маятника ω0 =
. Когда вода превратится в лед, момент инерции
2R
2
маятника станет равен I = mR 2 + 4mR 2 , а частота колебаний умень5
2mgR
5g
шится ω =
=
. При замерзании воды момент инерции меI
11R
E
няется медленно, поэтому величина
(где E – энергия системы) будет
ω
адиабатическим инвариантом. Т. е. энергия колебаний после замерзания
11
воды уменьшится в
раз, а амплитуда колебаний станет меньше в
10
14
⎛ 11 ⎞
⎜ ⎟
⎝ 10 ⎠
9.35. ω =
g
6
.
R ( 3π + 2)
9.36. ω 2 =
2 g
.
3 L
9.37. а) ω 2 =
224
g
2
1,02 раза.
g 17
g 41
; б) ω 2 =
.
L 6
L 10
225
Ответы и решения
3g sin α
.
2L
9.38. ω =
3
M R R 2 − M r r 2 ) , а частота малых колебаний
(
2
ω=
2g M R R − M rr
2 g R3 − r3
N
=
=
.
3 M R R2 − M r r2
3 R4 − r4
Iϕ
2 m g
.
3 M R
9.40. ω =
9.41. Обруч поворачивается относительно оси, проходящей через
центр сферы, причем центр обруча отстоит от оси вращения на расстояние L = R 3 . Момент инерции обруча относительно оси вращения
7
I = mR 2 , а частота малых колебаний
2
ω2 =
9.42. ω 2 = 4
9.43. ω 2 =
mgL g 2 3
= ⋅
.
I
R 7
ρ − ρ2
g
⋅ 1
.
R 13ρ1 + 2ρ 2
10 R ρ1 − ρ 2
⋅
.
g 57 ρ1 + 5ρ 2
g
9.44. Момент инерции относительно
точки О (см. рисунок) равен I 0 =
13
MR 2 , где M – масса полушара.
20
Центр масс полушара находится в точке
O
3
А на расстоянии R от его плоской гра8
ни. При малом отклонении на угол φ от положения равновесия момент
возвращающей силы относительно точки опоры равен MgA sin ϕ A
3
MgRϕ , и уравнение колебаний имеет вид
8
3
I oϕ + MgRϕ = 0
8
(изменением момента инерции Io относительно точки опоры пренебрегаем). Частота малых колебаний будет равна
15 g
ω=
.
26 R
9.39. Номерок можно представить как сумму двух дисков, меньший
из которых имеет отрицательную массу. При отклонении на малый угол
от положения равновесия на номерок действует возвращающий момент
N = ( M R R − M r r ) gϕ . Момент инерции номерка относительно точки подвеса равен I =
9. Движение твердого тела
=
226
9.45. ω =
g
.
2( R − r )
9.46. Выразим поступательную скорость центра шарика через его угловую
скорость ϕ и скорость поворота α относиa
тельно центра сферы (см. рисунок):
rϕ = (R − r )α .
g
Потенциальная энергия шарика при малых
j
отклонениях:
2
α
mg ( R − r ) (1 − cos α ) ≅ mg ( R − r ) .
2
Кинетическая энергия:
2 2 2 ϕ 2 7
2
2α
2α
m( R − r )
+ mr
= m(R − r )
,
2 5
2 5
2
где первый член учитывает поступательное движение, а второй член –
вращение шарика относительно центра. Сравнивая энергию шарика
2
7
α2
2 α
m(R − r)
+ mg ( R − r )
5
2
2
с энергией гармонического осциллятора E =
тоту колебаний
ω=
9.47. ω =
mx 2 mω 2 x 2
+
, найдем час2
2
5 g
.
7 (R − r )
3g
k
+6 .
2L
m
227
Ответы и решения
9.48. ω =
3g
, H − длина нити.
H
9.49. ω =
g
, H − длина нити.
H
9. Движение твердого тела
9.50. Расположим начало системы координат в центре масс системы
так, чтобы в положении равновесия ось x была параллельна пружине.
Пусть левый стержень AB составляет угол ϕ1 , а правый стержень BC –
угол ϕ 2 с осью x. Введем относительную координату ϕ = ϕ 2 − ϕ1 . Если система в целом не вращается, то угловые скорости стержней равны по величине ϕ1 = −ϕ2 и ϕ = 2ϕ2 . Координаты средних точек стержней M и N
связаны уравнениями
L
L
N x = M x + cos ϕ1 + cos (π − ϕ 2 )
2
2
L
L
N y = M y + sin ϕ1 − sin (π − ϕ 2 ) ,
2
2
L
L
причем M x = ( cos ϕ 2 − cos ϕ1 ) , M y = ( sin ϕ 2 − sin ϕ1 ) и, следовательно,
4
4
N x = − M x , N y = − M y . Кинетическая энергия системы
T=
m
( M
2
2
x
)
+ M y + N x + N y +
2
2
2
mL2
24
(ϕ
2
1
)
+ ϕ 2 .
2
Выражая M , N , ϕ1 , ϕ2 через ϕ , для кинетической энергии получим
⎛ 5 cos ϕ ⎞ 2 2
T =⎜ +
⎟ mL ϕ .
32 ⎠
⎝ 96
Длина пружины AC = 2 L2 (1 − cos ϕ ) = 2 L sin
ϕ
2
. Ее потенциальная
2
энергия U =
2
k
kL2 ⎛
ϕ ⎞
AC − L ) =
(
⎜ 2 sin − 1⎟ . При малых колебаниях ϕ =
2
2 ⎝
2 ⎠
1
3 ∆ϕ
ϕ 1
+
, cos , и с точ2 2 2 2
2 2
ностью до членов второго порядка энергия системы запишется в виде
= 600 + ∆ϕ , где ∆ϕ 1 , при этом sin
ϕ
2
E = T +U =
13
2
⎛ d ∆ϕ ⎞ 3 2
mL2 ⎜
⎟ + kL ( ∆ϕ ) .
192
⎝ dt ⎠ 8
228
dE 13 d 2 ∆ϕ 3
∝ m
+ k ∆ϕ = 0 . Из поdt 96
dt 2
4
лученного уравнения найдем частоту колебаний системы:
72 k
ω=
.
13 m
Если точка B закреплена, то кинетическая энергия системы будет
1 mL2 2
mL2 2
T=
ϕ1 + ϕ22 ) =
ϕ . Полная энергия при малых колебаниях име(
2 3
12
2
mL2 ⎛ d ∆ϕ ⎞ 3 2
2
ет вид E =
⎜
⎟ + kL ( ∆ϕ ) , т. е. частота колебаний равна
12 ⎝ dt ⎠ 8
Полная энергия сохраняется:
ω=
9k
.
2m
9.4. Плоское движение тел
2
4V
9.52. Vц. и. = V , ω =
.
3
3( R + 2r )
9.53. x =
9.55. x =
L
.
18
L
12
⋅
M
− 1.
m
9.57. Считаем, что диск распался на две половинRц
ки вдоль горизонтального диаметра (см. рисунок).
Центр масс каждой из половинок удален от центра
O
4
диска О на расстояние Rц =
R (для нахождения
3π
положения центра масс удобно воспользоваться 2-ой
теоремой Гульдена). В момент разъединения центр масс каждой из половинок имел горизонтальную скорость Vx = ω Rц . После разъединения
половинки будут продолжать двигаться в противоположные стороны
с такой же поступательной скоростью
4
Vx = ± ω R .
3π
и вращаться вокруг своих центров масс с угловой скоростью ω ′ . В момент разъединения точка О половинок имела нулевую скорость, т. е.
229
Ответы и решения
9. Движение твердого тела
Vx − ω ′Rц = 0 . Отсюда найдем, что угловая скорость вращения половинок
после разъединения не изменится:
ω ′ = ω.
Заметим, что после поворота на угол ϕ ~1340
ϕ
= ϕ ) половинки
2
заденут друг друга, как это показано на рисунке слева.
(определяемым уравнением
9.58. Vцм =
tg
3V
V
; Ω=
.
2
2 L
3
9.59. Vцм = 0; ω = Ω.
4
9.60. В Ц-системе шайбы движутся навстречу со скоростью V/2 каждая, а их моменты импульса относительно центра равны L = MVR 2 , где
М – масса, а R – радиус шайбы. В Л-системе после слипания шайбы движутся поступательно со скоростью V/2 и вращаются вокруг центра масс
3
c суммарным моментом импульса 2 I ω , где I = MR 2 – момент инер2
ции каждой шайбы относительно точки склеивания. Момент импульса
сохраняется 2 L = 2 I ω , так что угловая скорость вращения шайб равна
V
. Максимальную скорость вторая шайба получит при отрыве
ω=
3R
в верхней точке, в которой скорость центра масс и линейная скорость
вращения направлены в одну сторону:
V 5
V2max = ω R + = V .
2 6
где Fyтр ρ – момент силы трения, I – момент инерции
шайбы относительно центра инерции. Пренебрегая деmR 2
формацией при ударе и полагая I =
, ρ = R , по2
лучим
V 2
.
ω=
R
3L
9.63. N =
≈ 24 оборота.
4πR
O
45°
w
V
9.64. После первого (и нечетного) числа отскоков
10 V0 3
3
4
− ω.
V1 = V0 + ω R , ω1 =
7 R 7
7
7
После второго (и четного числа) отскоков горизонтальная и угловая скорости равны первоначальным значениям:
V2 = V0 , ω2 = ω .
9.65. а) В отсутствие трения по горизонтали силы на стержень не
действуют, центр масс стержня продолжает двигаться вертикально, и законы сохранения энергии и момента импульса относительно края плиты
запишутся в виде
скорости шайбы и раскручивает ее относительно центра масс. Уравнения
движения можно записать в виде
d ( Iω )
mVy = Fyтр ,
= Fyтр ρ ,
dt
mV 2 mV ′2 mL2 ω 2
=
+
,
2
2
12 2
mVL
mV ′ L
mL2ω
,
sin α =
sin α +
2
2
12
где V ′ – вертикальная поступательная скорость центра масс стержня после удара, а ω – его угловая скорость вращения. Отсюда угловая скорость и вертикальная компонента скорости нижнего конца стержня после
удара
ωL
12V
sin α
′
ω=
=V ′ −
, Vнижн
sin α = −V .
L 3sin 2 α + 1
2
ωL
б) В отсутствие проскальзывания Vx′ =
cos α (ось x направлена
2
горизонтально), а законы сохранения энергии и момента импульса имеют
вид
mV 2 mV ′2 mL2 ω 2
=
+
2
2
12 2
230
231
2 ρV0t ⎞
⎛
9.61. V = V0 ⋅ ⎜ 1 −
⎟
m
+ ρL ⎠
⎝
−1 2
.
9.62. Направим ось y вдоль борта, а ось x – перпендикулярно ему.
При ударе о борт y-компонента силы трения Fyтр гасит y-компоненту
Ответы и решения
9. Движение твердого тела
L
mL
mL2
sin α =
ω.
Vx′ cos α + V y′ sin α +
2
2
12
Отсюда найдем угловую скорость и вертикальную компоненту скорости нижнего конца стержня после удара:
3V
′
= −V .
sin α , Vнижн
ω=
L
(
mV
)
9.66. У вращающейся шайбы силы трения большинства участков,
соприкасающихся с плоскостью, непараллельны поступательной скорости шайбы и при векторном сложении они частично вычитаются. В результате сила трения, действующая на вращающуюся шайбу, будет
меньше, чем у шайбы, движущейся поступательно, и при одинаковых
начальных поступательных скоростях вращающаяся шайба пройдет больший путь.
9.67. N =
P
2
απ R
3
, L=
P
.
αS
2
9.68. Q = Tвращения .
3
9.69. Пусть обруч брошен со скоростью V0 и закручен против дви-
жения с угловой скоростью ω0 . Сила трения уменьшает поступательную
и угловую скорость обруча:
µ gt
,
V = V0 − µ gt и ω = −ω0 +
R
где µ – коэффициент трения, R – радиус обруча. При выравнивании скоV + ω0 R
ростей V = ω R через время T = 0
проскальзывание прекратится,
2µ g
и обруч будет двигаться с неизменной скоростью
V0 − ω0 R
.
2
Обруч покатится назад, если угловая скорость закрутки
V
ω0 > 0 .
R
V уст =
9.71. a =
m+M
g sin α .
2m + M
232
9.72. Если tg α ≤
7
2
µ , то fτ = Mg sin α , f n = Mg cos α .
2
7
7
µ fτ = µ Mg cos α ,
2
32 V
9.73. ω =
⋅ .
47 R
Для tg α >
9.74. ω =
32 g sin α
.
⋅
47
R
9.76. t =
ωR
.
2 g sin α
f n = Mg cos α .
µ cos α − sin α
.
mg 3µ cos α − sin α
9.77. H = T
9.79. Угол поворота α относительно цилиндрической горки (см. рисунок) связан с углом поворота скатывающегося цилиндра относительно
своей оси φ соотношением
α R = (ϕ − α ) r .
r
a
R
Кинетическая энергия скатываемого цилиндра
определяется энергией поступательного движения
2
2
mV 2 mα ( R + r )
mr 2ϕ 2
=
=
2
2
2
и вращательного движения
I ϕ 2 mr 2ϕ 2
.
=
2
4
Закон сохранения энергии запишется в виде
3 2 2
mr ϕ = mg ( R + r )(1 − cos α ) .
4
В точке отрыва сила реакции опоры равна нулю, а центростремительное ускорение создается нормальной компонентой силы тяжести
mr 2ϕ 2
= mg cos α .
R+r
4
Отсюда cos α = , и высота точки отрыва равна
7
4
H = ( R + r ) cos α = ( R + r ) .
7
233
Ответы и решения
9. Движение твердого тела
9.80. Когда палочка повернется без проскальзывания на угол φ, ее
3g
угловая скорость станет ϕ =
(1 − cos ϕ ) , а угловое ускорение – ϕ =
L
3g
sin ϕ (угол отсчитывается от вертикали). Скорость центра палочки
=
2L
будет иметь составляющие
Здесь использовано, что для указанных размеров катушки ее масса и мо29
87
мент инерции при плотности ρ имеют величину m = πρ и I = πρ .
3
10
L
L
Vx = ϕ cos ϕ и V y = ϕ sin ϕ
2
2
(если направить ось y вниз, вдоль поля тяжести). Горизонтальная и вертикальная компоненты ускорения центра палочки будут иметь величину
L
L
L
L
a x = ϕ cos ϕ − ϕ 2 sin ϕ и a y = ϕ sin ϕ + ϕ 2 cos ϕ .
2
2
2
2
Проскальзывание начнется, когда сила трения не сможет обеспечить
горизонтальное ускорение a x палочки. В предельном случае перед началом проскальзывания
9.84. Если нити маятника натянуты с суммарной силой Т, то при
движении вниз уравнения движения имеют вид
mV = mg − T ,
I ω = T ⋅ r ,
где V – поступательная скорость маятника, ω –
угловая скорость его вращения, r – радиус оси
маятника (см. рис. а). Поскольку V = ω r , то
ускорение маятника
V =
(
g
1 + I mr 2
)
= const ,
T = mg
где N = mg − ma y – сила нормального давления палочки на стол. Отсюда
ax
3sin ϕ cos ϕ − 2 sin ϕ
.
=
g − a y (1 3) − 2 cos ϕ + 3cos2 ϕ
В случае ϕ = 450 коэффициент трения равен µ ≈ 0, 2 .
T = mg
9.81. a) f n =
a=
mr 2
10
g = g.
9
I
234
b
(
1
1 + mr 2 I
)
.
В нижней точке нить перебрасывается на другую сторону, скорость
маятника меняет знак, и маятник начинает подниматься (см. рис. b).
Уравнение движения имеет вид mV = T − mg , а натяжение нитей становится равным
найдем коэффициент трения
Mg
3
Mg
, fτ = 0; б) fn =
, fτ = Mg.
4
4
2
9.83. Если нить тянуть вверх с силой F (см. рисунок),
то катушка будет вращаться с угловым ускорением
Fr
, где I – момент инерции катушки относительно
ω =
I
оси симметрии r – ее малый радиус. Нить будет разматываться с ускорением a = ω ⋅ r . Поскольку катушка не падает, то F = mg , и ускорение нити
а
mg
и натяжение нитей при движении маятника вниз
Fтр = µ N = max ,
µ=
mg
(
1
1 − mr 2 I
)
.
9.5. Вращение с изменением ориентации оси. Гироскоп
F
3
9.85. ωуст = ω cos α .
8
9.86. ωуст = ω
mg
9.88. Ω =
gL
ωR 2
34
≅ 0,73 ω.
8
≈ 0,9 рад/c.
235
Ответы и решения
9.89. Устойчиво при ω >
9. Движение твердого тела
положителен, и случайные возмущения ω2 , ω3 в последующем меняются
по гармоническому закону вида
g
.
4r
9.90. Вращение устойчиво при ω >
ω2 ≈ ω2 ( 0 ) ⋅ e ±i ω t .
2g
.
3r
9.91. Пусть моменты инерции относительно главных осей 1,2 и 3
имеют величину I1 , I2 и I3 , а волчок закручен относительно оси 1 с уг-
Экспоненциального нарастания случайных отклонений нет, и вращение относительно оси с экстремальными значениями момента устойчиво.
ловой скоростью ω1 . Небольшие возмущения вращения ω2 , ω3 ω1 описываются уравнениями Эйлера:
⎛ ( I1 − I 3 )
ω 2 + ⎜
I2
⎝
⎞
ω1 ⎟ ω3 = 0,
⎠
⎛ ( I 2 − I1 ) ⎞
ω1 ⎟ ω2 = 0 .
I3
⎝
⎠
ω 3 + ⎜
Считая ω1 = const, продифференцируем первое уравнение по времени
и, подставив в него ω 3 из второго уравнения, для ω2 получим
⎡ ( I1 − I 3 ) ( I1 − I 2 )
ω2 + ⎢
⎣
I2 I3
⎤
ω12 ⎥ ⋅ ω2 = 0 .
(1)
⎦
Если I 2 < I1 < I 3 , то коэффициент
( I1 − I 3 ) ( I1 − I 2 )
I2 I3
ω12 = −γ 2
отрицателен, и решение уравнения (1) имеет вид
ω2 ≈ ω2 ( 0 ) ⋅ e ±γ t ,
т. е. случайное отклонение вращения от оси со средним значением момента инерции приводит к экспоненциальному нарастанию скорости ω2
(и ω3 ), и система становится неустойчивой.
При начальной закрутке ω1 вокруг оси с экстремальными значениями момента инерции ( I1 < I 2 < I 3 или I1 > I 2 > I 3 ) коэффициент
( I1 − I3 ) ( I1 − I 2 ) ω 2 = ω 2
I 2 I3
236
1
237
10. Неинерциальные системы отсчета
10. НЕИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА
10.3. Пусть iˆ0 и ĵ0 – орты Л-системы координат, iˆ и ĵ – орты, свя
занные с диском, а вектор ω направлен вдоль оси z. Проекции вращающихся ортов на оси Л-системы равны
ix = iˆ ⋅ iˆ0 = cos ω t , i y = iˆ ⋅ ˆj0 = sin ω t ,
jx = − sin ω t , j y = cos ω t .
Скорость изменения ортов можно записать в виде
ix = −ω sin ω t = −ω i y = (ω × iˆ) x ,
iy = ω cos ω t = ω ix = (ω × iˆ) y .
Отсюда получим связь между ортами и их производными по времени:
iˆ = ω × iˆ и ˆj = ω × ˆj .
Радиус-вектор точки на диске в проекции на вращающиеся орты имеет
вид r0 (t ) = r (t ) = x (t ) iˆ(t ) + y (t ) ˆj (t ) =
= ( x cos ω t − y sin ω t ) iˆ0 + ( x sin ω t + y cos ω t ) ˆj0 ,
так что закон ее движения в Л-системе будет
x0 (t ) = x (t ) cos ω t − y (t ) sin ω t ,
y0 (t ) = x (t ) sin ω t + y (t ) cos ω t .
Для скорости точки в Л-системе соответственно имеем
V0 (t ) = r0 (t ) = x iˆ + y ˆj + x iˆ + y ˆj = V (t ) + x ω × iˆ + y ω × ˆj = V (t ) + ω × r (t ) .
Полученное соотношение типа
V (t ) = r (t ) = V (t ) + ω × r (t )
0
0
справедливо для производной по времени любого вектора. В частности,
для связи ускорений в инерциальной и вращающейся системах отсчета
можно записать
a0 (t ) = V0 (t ) = V (t ) + ω × r (t ) = a (t ) + ω ×V (t ) + ω × ⎡⎣V (t ) + ω × r (t ) ⎤⎦ .
Т. е.
aин = aвр + 2 ω ×Vвр + ω × [ω × r ] .
238
10.4.
При угловой скорости вращения Земли ω = 7,3 ⋅10−5 рад с
и максимальной скорости падения Vmax ≈ 2 gh ≈ 102 м с ускорение Кориолиса
2(V × ω ) max ≈ 1,5 ⋅10−2 м с2 << g,
т. е. можно считать, что в вертикальном направлении тело движется
с ускорением g, а под действием силы Кориолиса отклоняется к востоку.
Направив в системе Земли ось y к востоку, найдем ускорение для широты ϕ = 60° :
a y = V ω ≈ gω t ,
(здесь использована зависимость V ≈ gt ). Интегрируя, найдем, что за
время падения t = 2h g ≈ 10 с тело отклонится к востоку на
1
gω t3 ≈ 0,12 м.
6
10.5. Поверхность воды перпендикулярна к равнодействующей силы
тяжести и силы Кориолиса (центробежная сила на наклон воды влияет
несущественно). Сила Кориолиса направлена на запад и по модулю равна
F = 2mV ω sin (180° − ϕ ) = 2mV ω sin ϕ .
y( t ) ≈
На западном берегу уровень воды будет выше, и угол наклона воды θ
определяется соотношением
F
Vω
tg θ ∼
=2
sin ϕ .
mg
g
Но V ω g , поэтому θ ≈ tg θ . Для угла наклона получаем
2V ω sin ϕ
θ≈
.
g
10.6. Отклонение ∆y =
4 ΩV 3
cos ϕ к западу.
3 g2
10.8. Из рассмотрения сил, возникающих при
малом смещении пузырька из нижнего положения
равновесия (см. рис., tgα 1 ), найдем условие
устойчивости равновесия
т. е.
ω>
mω 2 r cos α > mg sin α ,
2g
.
D
w
a
mg
2
mw r
D
239
Ответы и решения
10.9. ω =
10. Неинерциальные системы отсчета
2g
.
L
10.10. В СО Земли полный (гравитационный и центробежный) потенциал имеет вид
⎤ ω 2 r 2 sin 2 θ
GM a2 GM ⎡ R 2
2
U =−
+
.
⎢ 2 3cos θ − 1 ⎥ −
r
2 r ⎢⎣ r
2
⎥⎦
На северном полюсе ( r = RP , θ = 0 ) потенциал имеет величину
(
UP −
на экваторе
GM
R
)
⎛ R − RP
⎞
− a2 ⎟ ,
⎜1 +
R
⎝
⎠
GM ⎛ a2 ⎞ ω 2 R 2
.
⎜1 + ⎟ −
R ⎝
2 ⎠
2
получим соотношение
UE −
Из равенства U E = U P
10.14. T =
⎛ L
⎞
L2
ln ⎜ + 2 − 1 ⎟ , V = x0ω sh ωT .
⎟
ω ⎜ x0
x0
⎝
⎠
10.15. T =
1 ⎛π
Ω⎞
⎛ πµΩ ⎞
⎜ − µ ⎟ , V = ω R exp ⎜ −
⎟ , где ω =
ω⎝2
ω⎠
⎝ 2ω ⎠
2
10.16. x = x ⋅ (ω sin α ) − µω
ω 2 R3
=
ω2R
3,5 ⋅ 10−3 , α 2 = 1,1 ⋅ 10−3 , найдем разность эква-
GM
g
ториального и полярного радиусов:
L
∫ω
∆H =
⎛
ωt
g 2⎞
g 2
10.12. x = ⎜⎜ L − 2 ⎟⎟ ch
+ 2 .
ω ⎠
ω
2
⎝
)
(
)
L ⎡ 2
ω − ω 2 cos t ω02 − ω 2 ⎤⎥ .
⎦
ω − ω 2 ⎣⎢ 0
2
0
240
l sin α ⋅ l cos α ⋅
M ω 2 L2
M
sin α ⋅ cos α .
dl =
L
3
mω 2 L2
mgL
sin α ⋅ cos α =
sin α ,
3
2
1) sin α = 0 или 2) cos α =
Если ω 2 ≤
k
10.13. При ω = ω0 = k m закон движения имеет вид x =
Lt 2 + L,
2m
L
⎡ω 2 ch t ω 2 − ω 2 − ω 2 ⎤ ,
при ω > ω0 x = 2
0
0⎥
⎦
ω − ω02 ⎢⎣
x=
2
Равновесие возможно, если
≈ 10 м,
g
где R – радиус Земли, H = 3 км – средняя глубина океана.
при ω < ω0
4 x 2 + ( xω cos α ) ⋅ sin α .
при этом угол наклона определяется условиями
ω 2 RH
(
2
0
R − RP = 3, 4 ⋅ 10−3 ⋅ R 20 км.
10.11. Разность глубин океана
x
x
g
.
R
10.17. Рассмотрим равновесие стержня в неинерциальной системе
отсчета, относительно которой стержень неподвижен. Момент силы тяMgL
жести относительно точки подвеса
sin α . Момент центробежной
2
силы
R − RP 3a2 ω 2 R 3
.
=
+
R
2
2GM
Подставляя
1
3 g
.
2 ω2L
3g
, то равновесие возможно только при α = 0 .
2L
3g
, то равновесие при α = 0 становится неустойчивым,
2L
3 g
тогда как устойчивому равновесию отвечает cos α =
.
2 ω2L
Если ω 2 >
10.18. t =
ln 3
ω
.
241
Ответы и решения
10. Неинерциальные системы отсчета
10.19. Оценим высоту прилива на экваторе, считая, что Земля
и Луна вращаются вокруг оси, удаленной от центра Земли на расстояние x и перпендикулярной к плоскости экватора (см. рисунок).
В системе центра масс Земля−Луна, вращающейся с угловой скоростью ω, потенциал в точках A и В обусловлен гравитационными потенциалами Земли и Луны, а также центробежным потенциалом относительно оси вращения:
UA = −
ω
GM
Gm
−
−
r+h R+r+h
UB = −
r
B
2
2
,
где M , r − масса и радиус Земли,
m − масса Луны, R – расстояние
между Луной и Землей, x =
m
=
R – координата центра
m+M
масс, h – искомая разность уровней океана в точках A и B. Так как
h r R , то считаем
Луна
x
( x + r + h)
ω2 ( r2 + x2 )
GM
Gm
−
−
,
r
2
R2 + r2
w
A
2
R
1
1 h
− ,
r + h r r2
1
1 r + h r2
−
+ 3 .
R+r+h R
R2
R
Поверхность воды эквипотенциальна U A = U B , откуда
GM
3Gm 2 Gm
h−
r + 2 ( r + h ) ω 2 ( rx + rh + xh ) .
2R3
r2
R
Из соотношения M ω 2 x =
GMm
m+M
найдем ω 2 = G
и высоту прилива
2
R
R3
h
3 m r4
= 0,6 м.
2 M R3
242
Высота прилива, вызванного Солнцем:
hС = hЛ ⋅
3
MС ⎛ R ⎞
⎜
⎟ ≈ 0,2 м,
m ⎝ RЗС ⎠
где MС – масса Солнца, RЗС − расстояние Земля – Солнце.
10.20. Представим станцию как гантель из двух тел массой m1 и m2,
которые вращаются вокруг общего центра масс с угловой скоростью ω.
При перекачке топлива полный момент количества движения сохраняется:
⎛ m2 d
L = m1 ⎜
⎜ m +m
⎝ 1 2
здесь µ =
2
⎞
⎛ m1d
⎟ ω + m2 ⎜
⎟
⎜ m +m
⎠
⎝ 1 2
2
⎞
2
⎟ ω = µ d ω = Iω,
⎟
⎠
m1m 2
– приведенная масса, I = µ d 2 – момент инерции станm1 + m 2
ции.
В системе отсчета, вращающейся с угловой скоростью ω, действует
центробежный потенциал и энергия станции в этой СО запишется как
1 ⎛ m2 d
E = − m1 ⎜
2 ⎜⎝ m1 + m2
2
⎞
1 ⎛ md
⎟ ω 2 − m2 ⎜ 1
⎟
2 ⎜⎝ m1 + m2
⎠
2
2
⎞
Iω 2
=−L .
⎟ ω2 = −
⎟
2
2I
⎠
При перекачке топлива момент инерции станции I достигает максимума
при равном количестве топлива в резервуарах, а потом убывает до первоначального значения. Необходимы затраты на перекачку только половины топлива, потом оно потечет само. Затраты энергии на перекачку половины топлива равны
−3
2 ⎛ 1 1 ⎞
Md 2 Ω 2 ⎛ M ⎞ ⎛
M⎞
A = L ⋅⎜ − ⎟ =
⋅ ⎜1 + ⎟ ⎜1 + 2 ⎟ .
2 ⎝ I1 I 2 ⎠
2
m ⎠⎝
m⎠
⎝
10.21. В установившемся режиме трубка будет вращаться равномерно. Перейдем в систему отсчета, вращающуюся вместе с трубкой с
угловой скоростью Ω. В этой СО на трубку со стороны воды, текущей со
V
скоростью , действует сила Кориолиса
2
V
FK = 2Ωρ SL ,
2
243
Ответы и решения
ЛИТЕРАТУРА
а также действует реактивная сила
2
⎛V ⎞
Fp = ρ S ⎜ ⎟ .
⎝2⎠
Трубка в выбранной системе отсчета покоится, и суммарная сила равна
нулю. Отсюда получаем
V
Ω=
.
4L
[1] Ч. Киттель, У. Найт, М. Рудерман. Берклеевский курс физики //
Механика. – Наука, 1971.
[2] А. Н. Матвеев. Механика и теория относительности. – Высшая
школа, 1976.
[3] Л. Д. Ландау, Е. М. Лившиц. Теория поля. – Наука, 1988.
[4] Л. Д. Ландау, Е. М. Лившиц. Механика. – Наука, 1988.
[5] Г. И. Копылов. Всего лишь кинематика. – Наука, 1981.
[6] Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс. Фейнмановские лекции по физике. – Мир, 1977.
[7] Э. Тэйлор, Дж. А. Уиллер. Физика пространства-времени. – Мир,
1971.
[8] В. В. Батыгин, И. Н. Топтыгин. Сборник задач по электродинамике. – Наука, 1970.
[9] А. Лайтман, В. Пресс, Р. Прайс, С. Тюкольски. Сборник задач
по теории относительности и гравитации. – Мир, 1979.
[10] Л. Б. Окунь. Понятие массы // УФН, 158, 511 (1989).
[11] В. Вайскопф. Видимая форма быстродвижущихся тел // УФН,
84, 183 (1964)
[12] Д. В. Сивухин. Общий курс физики. – Т.1. – Наука, 1989.
[13] Г. Л. Коткин и В. Г. Сербо. Сборник задач по классической механике. – Наука, 1977.
[14] С. М. Козел, Э. И. Рашба, С. А. Славатинский // Сборник задач
по физике. – Наука, 1987.
[15] И. Е. Иродов, И. В. Савельев, О. И. Замша. Сборник задач по
общей физике. – Наука, 1975.
[16] С. П. Стрелков, Д. А. Сивухин, В. А. Угаров, И. А. Яковлев //
Сборник задач по общему курсу физики. Механика. – Наука, 1977.
[17] Е. С. Пятницкий, Н. М. Трухан, Ю. И. Ханукаев, Г. Н. Яковенко //
244
245
Сборник задач по аналитической механике. – Наука, Физматлит, 1996.
[18] И. В. Мещерский. Задачи по теоретической механике. – СПб.:
Лань, 1998.
[19] K. T. McDonald. Motion of a leaky tank car // American Journal
of Phys., 59, 813 (1991).
[20] М. Д. Спектор. Об изменении энергии осциллятора с переменной
массой // Сибирский физический журнал, № 2, 6 (1993).
Юрий Иванович Бельченко,
Евгений Александрович Гилёв,
Зураб Карлович Силагадзе
МЕХАНИКА ЧАСТИЦ И ТЕЛ В ЗАДАЧАХ
Учебное пособие
Дизайнер ??????
Рисунки Е. А. Гилева, В. В. Разоренова
Технический редактор А. В. Широбоков
Компьютерный набор и верстка А. В. Моторин
Корректор Г. Г. Тетерина
Подписано в печать ??.??.2008. Формат 60×84 1/16.
Усл. печ. л. ???? Уч. изд. л. 12,12. Гарнитура ????.
Бумага офсетная №1. Печать офсетная. Заказ ????.
Научно-издательский центр «Регулярная и хаотическая динамика»
426034, г. Ижевск, ул. Университетская, 1.
http://shop.rcd.ru
E-mail: mail@rcd.ru
Уважаемые читатели!
Интересующие Вас книги нашего издательства можно заказать через наш Интернет-магазин:
http://shop.rcd.ru
а также заказать по электронной почте subscribe@rcd.ru
Книги также можно приобрести в наших представительствах:
Институт машиноведения им. А. А. Благонравова РАН
ул. Бардина, д. 4, корп. 3, к. 414, тел.: (499) 135–54–37
ИЖЕВСК
Удмуртский государственный университет
ул. Университетская, д. 1, корп. 4, 2 эт., к. 211, тел./факс: (3412) 500–295
Также книги можно приобрести:
МОСКВА
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
ГЗ (1 эт.), Физический ф-т (1 эт.), Гуманитарный ф-т (0 и 1 эт.),
Биологический ф-т (1 эт.).
Российский государственный университет нефти и газа им. И. М. Губкина
ГЗ (3–4 эт.), книжные киоски фирмы «Аргумент».
Магазины:
МОСКВА:
«Дом научно-технической книги»
Ленинский пр., 40. тел.: 137–06–33
«Московский дом книги»
ул. Новый Арбат, 8. тел.: 290–45–07
ДОЛГОПРУДНЫЙ:
САНКТПЕТЕРБУРГ:
«Библиоглобус»
м. «Лубянка», ул. Мясницкая, 6. тел.: 928–87–44
Книжный магазин «Физматкнига»
новый корп. МФТИ, 1 эт. тел.: 409–93–28
«Санкт-Петербургский дом книги»
Невский проспект, 28
Издательство СПбГУ, Магазин №1
Университетская набережная, 7/9