ФГБОУ ВО «МОСКОВСКИЙ ПОЛИТЕХИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
Домашняя работа
Задания 11,12,13,14 Вариант №13
По дисциплине:
Дискретная математика
Выполнил
Студент 2 курса
Группы 171-362
Цапин Д. М.
Проверил
___________Набебин А.А
МОСКВА 2018
Задание 11
Условие:
В заданном неориентированном графе G из задачи 10 найти все
максимальные и все наибольшие внутренне устойчивые (независимые)
множества вершин.
Решение:
Построим граф G = (V,E) по условию из задачи 10.
G = (V,E) = (V={1,2,3,4,5,6,7} ,
E = {(1,2),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(4,6),(4,7),(5,6),(5,7)})
Внутренне устойчивые множества вершин графа
Подмножество S вершин графа G=(V,E) внутренне устойчиво,если никакие
две вершины из S не смежны в G.
S является наибольшим,если среди всех внутренне устойчивых множеств
вершин в G оно имеет наибольшую мощность.
Пусть S - внутренне устойчивое множество вершин графа G=(V,E)
Ребро e = (u,v) ∈ E. С каждой вершиной v ∈ V свяжем логическую
переменную xv и пусть xv означает,что V ∉ S
Алгоритм вычисления всех наибольших внутренне устойчивых множеств
вершин графа G = (V,E)
1. Построить формулу
F= &
(xu V xv) –условие внутренней устойчивости графа G
(u,v) ∈ E
2. Построить минимальную ДНФ D формулы F
3. Для каждого дизъюнктивного слагаемого K = xu,xv……xw в D получить
соответствующее ему максимальное внутренне устойчивое множество
вершин S = V – {u,v………w}
4. Из полученных множеств выбрать все наибольшие
Условие внутренней устойчивости графа G:
F= &
(u V v)
(u,v) ∈ E
=(1V2)(1V4)(1V5)(2V3)(2V4)(2V5)(3V4)(4V6)(4V7)(5V6)(5V7)
Распишем подробно решение:
Шаг 1:
(1 V 2)(1 V 4)=(1 V 14 V 12 V 24)=(1 V 24),тк единица поглощает все
единицы
(1 V 24)(1 V 5)=(1 V 15 V 124 V 245)=(1 V 245)
Из шага 1 получаем (1 V 245)
Шаг 2:
(1 V 245)(2 V 3)=(12 V 13 V 245 V 2345)=(12 V 13 V 245)
(12 V 13 V 245)(2 V 4)=(12 V 124 V 123 V 134 V 245 V 245)=
=(12 V 134 V 245),тк 245 сокращается с 2345 а 12 поглощают все 12
(12 V 134 V 245)(2 V 5)=(12 V 125 V 1234 V 1345 V 245 V 245)=
=(12 V 1345 V 245),тк 12 поглощает все 12 ,а 245 сокращается с 245
Из шага 2 получаем (12 V 1345 V 245)
Шаг 3:
(12 V 1345 V 245)(3 V 4)
Из шага 3 получаем (12 V 1345 V 245)(3 V 4)
Шаг 4:
(4 V 6)(4 V 7)=(4 V 47 V 46 V 67)=(4 V 67),тк 4 поглощает все 4
Из шага 4 получаем (12 V 1345 V 245)(3 V 4)(4 V 67)
Шаг 5:
(5 V 6)(5 V 7)=(5 V 57 V 56 V 67)=(5 V 67),тк 5 поглощает все 5
Из шага 5 получаем (12 V 1345 V 245)(3 V 4)(4 V 67)(5 V 67)
Шаг 6:
(4 V 67)(5 V 67)=(45 V 467 V 567 V 67)=(45 V 67),тк 67 поглощает 67
Из шага 6 получаем (12 V 1345 V 245)(3 V 4)(45 V 67)
Шаг 7:
(3 V 4)(45 V 67)=(345 V 367 V 45 V 467)=(45 V 367),тк 45 поглощает
все 45,а 67 поглощает все 67
Из шага 7 получаем (12 V 1345 V 245)(45 V 367)
Шаг 8:
(12 V 1345 V 245)(45 V 367)=1245 V 12367 V 1345 V 134567 V 245 V
234567= 1245 V 12367 V 1345 V 245
Максимальные внутренне устойчивые множества вершин графа
G=(V,E) есть множества:
V – {1,2,4,5} = {3,6,7}
V – {1,2,3,6,7} = {4,5}
V – {1,3,4,5} = {2,6,7}
V – {2,4,5} = {1,3,6,7}
Выбираем из этих множеств наибольшее.Это {1,3,6,7}
Ответ: Множество {1,3,6,7}-наибольшее внутренне устойчивое множество
вершин графа G = (V,E)
Задание 12
Условие:
В заданном ориентированном графе G из задачи 10 найти все максимальные
и все наибольшие внутренне устойчивые (независимые) множества вершин.
Решение:
Преобразуем неориентированный граф G = (V,E) из задачи 10 в
ориентированный.
G = (V,E) = (V={1,2,3,4,5,6,7} ,
E = {(1,2),(1,4),( 2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(4,6),(4,7),(5,1),(6,5),(7,5)})
Внутренне устойчивые множества вершин графа
Подмножество S вершин графа G=(V,E) внутренне устойчиво,если никакие
две вершины из S не смежны в G.
S является наибольшим,если среди всех внутренне устойчивых множеств
вершин в G оно имеет наибольшую мощность.
Пусть S - внутренне устойчивое множество вершин графа G=(V,E)
Ребро e = (u,v) ∈ E. С каждой вершиной v ∈ V свяжем логическую
переменную xv и пусть xv означает,что V ∉ S
Алгоритм вычисления всех наибольших внутренне устойчивых множеств
вершин графа G = (V,E)
Замечание: данный алгоритм пригоден и для ориентированных
графов
1. Построить формулу
F= &
(xu V xv) –условие внутренней устойчивости графа G
(u,v) ∈ E
2. Построить минимальную ДНФ D формулы F
3. Для каждого дизъюнктивного слагаемого K = xu,xv……xw в D получить
соответствующее ему максимальное внутренне устойчивое множество
вершин S = V – {u,v………w}
4. Из полученных множеств выбрать все наибольшие
Условие внутренней устойчивости графа G:
F= &
(u V v)
(u,v) ∈ E
=(1 V 2)(1 V 4)( 2 V 3)(2 V 4),
(2 V 5)(3 V 4)(4 V 6)(4 V 7)(5 V 1)(6 V 5)(7 V 5)
Распишем подробно решение:
Шаг 1:
(1 V 2)(1 V 4)=(1 V 14 V 12 V 24)=(1 V 24),тк единица поглощает все
единицы
Из шага 1 получаем (1 V 24)
Шаг 2:
(2 V 3)(2 V 4)=(2 V 24 V 23 V 34)=(2 V 34),тк 2 поглощает все 2
(2 V 34)(2 V 5)=(2 V 25 V 234 V 345)=(2 V 345),тк 2 поглощает все 2
Из шага 2 получаем: (1 V 24)(2 V 345)
Шаг 3:
(1 V 24)(2 V 345)=(12 V 1345 V 24 V 2345)=(12 V 24 V 1345)
Из шага 3 получаем: (12 V 24 V 1345)
Шаг 4:
(12 V 1345 V 24)(3 V 4)=(123 V 124 V 1345 V 1345 V 234 V 24)=
=(123 V 1345 V 24)
Из шага 4 получаем: (12 V 24 V 1345)
Шаг 5:
(4 V 6)(4 V 7)=(4 V 47 V 46 V 67)=(4 V 67),тк 4 поглощает все 4
Из шага 5 получаем: (12 V 24 V 1345)(4 V 67)
Шаг 6:
(5 V 1)(6 V 5)=(56 V 5 V 16 V 15)=(5 V 16),тк 5 поглощает все 5
Из шага 6 получаем: (12 V 24 V 1345)(4 V 67)(5 V 16)
Шаг 7:
(4 V 67)(5 V 16)=(45 V 146 V 567 V 167)=(45 V 146 V 167)
Из шага 7 получаем: (12 V 24 V 1345)(45 V 146 V 167)
Шаг 8:
(45 V 146 V 167)(7 V 5)=(457 V 45 V 1467 V 1456 V 167 V 1567)=
=(45 V 167 V 1456)
Из шага 8 получаем: (12 V 24 V 1345)(45 V 167 V 1456)
Шаг 9:
(12 V 24 V 1345)(45 V 167 V 1456)=1245 V 1267 V 12456 V 245 V
12467 V 12456 V 1345 V 134567 V 13456= 1245 V 1267 V 245 V
12467 V 1345
Максимальные внутренне устойчивые множества вершин графа G=(V,E) есть
множества:
V – {1,2,4,5} = {3,6,7}
V – {1,2,6,7} = {3,4,5}
V – {2,4,5} = {1,3,6,7}
V – {1,2,4,6,7} = {3,5}
V – {1,3,4,5} = {2,6,7}
Выбираем из этих множеств наибольшее.Это {1,3,6,7}
Задание 13
Условие:
В заданном неориентированном графе G из задачи 10 найти все
минимальные и все наименьшие внешне устойчивые (доминирующие)
множества вершин.
Решение:
Построим граф G = (V,E) по условию из задачи 10.
G = (V,E) = (V={1,2,3,4,5,6,7} ,
E = {(1,2),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(4,6),(4,7),(5,6),(5,7)})
Внешне устойчивые множества вершин графа
Множество T вершин графа G=(V,E) внешне устойчиво,если Ɐ v ∉T и
каждое u ∈ T (e=(u,v) ∈ E)
Число внешней устойчивости графа G:
B (G) = min { l T l : T < V и T есть внешне устойчивое множество вершин в
G}
T является минимальным,если оно не содержит в себе ни одного
подмножества,которое является внешне устойчивым.T является
наименьшим,если оно имеет наименьшую мощность.
Алгоритм вычисления всех наибольших внутренне устойчивых множеств
вершин графа G = (V,E)
Пусть T - внешне устойчивое множество вершин графа G=(V,E)
С каждой вершиной u ∈ V свяжем логическую переменную xu и пусть xu
означает,что u ∉ T
1. Построить формулу
F= &
(xu V ( V xv)) –условие внешней устойчивости графа G
(u ∈ V) (u,v) ∈ E
2. Построить минимальную ДНФ D формулы F
3. Для каждого дизъюнктивного слагаемого K = xu,xv……xw в D получить
соответствующее ему максимальное внутренне устойчивое множество
вершин S = V – {u,v………w}
4. Из полученных множеств выбрать все наименьшие
Замечание: Этот алгоритм пригоден и для ориентированных
графов
Условие внутренней устойчивости графа G:
F= &
(xu V ( V xv))
(u ∈ V) (u,v) ∈ E
== ( 1 V 2 V 4 V 5)(2 V 1 V 3 V 4 V 5)(3 V 2 V 4)(4 V 1 V 2 V 3 V 6 V 7)
(5 V 1 V 2 V 6 V 7)(6 V 4 V 5)(7 V 4 V 5)
Распишем подробно решение:
Шаг 1:
(1 V 2 V 4 V 5)(2 V 1 V 3 V 4 V 5)=
=(12 V 1 V 13 V 14 V 15 V 2 V 12 V 23 V 24 V 25 V 24 V 14 V 34 V 4 V 45 V
25 V 15 V 35 V 45 V 5)=(1 V 2 V 4 V 5), так как 1,2,4,5 поглощают все 1,2,4,5
Из шага 1 получаем (1 V 2 V 4 V 5)
Шаг 2:
(3 V 2 V 4)(4 V 1 V 2 V 3 V 6 V 7)=
=(34 V 13 V 23 V 3 V 36 V 37 V 24 V 12 V 2 V 23 V 26 V 27 V 4 V 14 V 24 V
34 V 46 V 47)=(2 V 3 V 4 V 12 V 13 V 14),так как 2,3,4 поглощают все 2,3,4
Из шага 2 получаем (1 V 2 V 4 V 5) (2 V 3 V 4 V 12 V 13 V 14)
Шаг 3:
(6 V 4 V 5)(7 V 4 V 5) =(67 V 46 V 56 V 47 V 4 V 45 V 57 V 45 V 5)=
=(4 V 5 V 67 V 64 V 65),так как 4 и 5 поглощают все 4 и 5
Из шага 3 получаем (1 V 2 V 4 V 5) (2 V 3 V 4 V 12 V 13 V 14)
(4 V 5 V 67)
Шаг 4:
(5 V 1 V 2 V 6 V 7)(4 V 5 V 67)=
=(45 V 5 V 567 V 14 V 15 V 167 V 24 V 25 V 267 V 46 V 56 V 67 V 47 V 57 V
67)=(45 V 14 V 15 V 167 V 24 V 25 V 46 V 67 V 47)
Из шага 4 получаем (1 V 2 V 4 V 5) (2 V 3 V 4 V 12 V 13 V 14)(45 V 14 V
15 V 167 V 24 V 25 V 46 V 67 V 47)
Шаг 5:
(1 V 2 V 4 V 5) (2 V 3 V 4 V 12 V 13 V 14)=
=(12 V 13 V 14 V 12 V 13 V 14
V 2 V 23 V 24 V 12 V 123 V 124
V 24 V 34 V 4 V 124 V 134 V 14
V 25 V 35 V 45 V 125 V 135 V 145)=( 2 V 4 V 12 V 13 V 14 V 25 V 34 V 35)
Из шага 5 получаем ( 2 V 4 V 12 V 13 V 14 V 25 V 34 V 35) ( 14 V 15 V 24 V
25 V 45 V 46 V 47 V 67 V 167)
Шаг 6:
( 2 V 4 V 12 V 13 V 14 V 25 V 34 V 35)
( 14 V 15 V 24 V 25 V 45 V 46 V 47 V 67 V 167)=
= 124 V 125 V 24 V 25 V 245 V 246 V 247 V 267 V
14 V 145 V 24 V 245 V 45 V 46 V 47 V 467 V 1467 V
124 V 125 V 124 V 125 V 1245 V 1246 V 1247 V 1267
134 V 135 V 1345
Из всех данных множеств выбираем наименьшие по весу:
Это множества {1,4},{2,4},{4,5},{4,6},{4,7}
Ответ:
Все минимальные и все наименьшие внешне устойчивые (доминирующие)
множества вершин: {1,4},{2,4},{4,5},{4,6},{4,7}
Задание 14
Условие:
В заданном ориентированном графе G из задачи 10 найти все минимальные и
все наименьшие внешне устойчивые (доминирующие) множества вершин.
Решение:
Преобразуем неориентированный граф G = (V,E) из задачи 10 в
ориентированный.
G = (V,E) = (V={1,2,3,4,5,6,7} ,
E = {(1,2),(1,4),( 2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(4,6),(4,7),(5,1),(6,5),(7,5)})
Внешне устойчивые множества вершин графа
Множество T вершин графа G=(V,E) внешне устойчиво,если Ɐ v ∉T и
каждое u ∈ T (e=(u,v) ∈ E)
Число внешней устойчивости графа G:
B (G) = min { l T l : T < V и T есть внешне устойчивое множество вершин в
G}
T является минимальным,если оно не содержит в себе ни одного
подмножества,которое является внешне устойчивым.T является
наименьшим,если оно имеет наименьшую мощность.
Алгоритм вычисления всех наибольших внутренне устойчивых множеств
вершин графа G = (V,E)
Пусть T - внешне устойчивое множество вершин графа G=(V,E)
С каждой вершиной u ∈ V свяжем логическую переменную xu и пусть xu
означает,что u ∉ T
1. Построить формулу
F= &
(xu V ( V xv)) –условие внешней устойчивости графа G
(u ∈ V) (u,v) ∈ E
2. Построить минимальную ДНФ D формулы F
3. Для каждого дизъюнктивного слагаемого K = xu,xv……xw в D получить
соответствующее ему максимальное внутренне устойчивое множество
вершин S = V – {u,v………w}
4. Из полученных множеств выбрать все наименьшие
Замечание: Этот алгоритм пригоден и для ориентированных
графов
Условие внутренней устойчивости графа G:
F= &
(u ∈ V)
(xu V ( V xv))
(u,v) ∈ E
=(1 V 2 V 4)(2 V 3 V 4 V 5)(3V4)(4 V 6 V 7)(5 V 1)(6 V 5)(7 V 5)
Распишем подробно решение
Шаг 1:
(1 V 2 V 4)(2 V 3 V 4 V 5)=(12 V 13 V 14 V 15 V 2 V 23 V 24 V 25 V 24 V 34 V
4 V 45)=( 2 V 12 V 13 V 14 V 15 V 34 V 4)
Из шага 1 получаем ( 2 V 4 V 12 V 13 V 14 V 15 V 34 )
Шаг 2:
(3 V 4)(4 V 6 V 7)=(34 V 36 V 37 V 4 V 46 V 47)=(4 V 34 V 36 V 37)
Из шага 2 получаем ( 2 V 4 V 12 V 13 V 14 V 15 V 34 )(4 V 34 V 36 V 37)
Шаг 3:
(6 V 5)(7 V 5)=(67 V 56 V 57 V 5)=(5 V 67)
Из шага 3 получаем
( 2 V 4 V 12 V 13 V 14 V 15 V 34 )(4 V 34 V 36 V 37)(5 V 67)
Шаг 4:
(5 V 1)(5 V 67)=(5 V 567 V 15 V 167)=(5 V 15 V 167),так как 5 поглощает все
5
Из шага 4 получаем
( 2 V 4 V 12 V 13 V 14 V 15 V 34 )(4 V 34 V 36 V 37)(5 V 15 V 167)
Шаг 5:
(4 V 34 V 36 V 37)(5 V 15 V 167)=
=(45 V 145 V 1467 V 345 V 1345 V 13467 V 356 V 1356 V 1367 V 357 V 1357
V 1367)=( 45 V 356 V 357 V 1367 V 1467)
Из шага 5 получаем
( 2 V 4 V 12 V 13 V 14 V 15 V 34 )(45 V 356 V 357 V 1367 V 1467)
Шаг 6:
( 2 V 4 V 12 V 13 V 14 V 15 V 34 )(45 V 356 V 357 V 1367 V 1467)=
=245 V 2356 V 2357 V 12467 V
V 45 V 12467 V
V 1245 V 12356 V 12357 V 12367 V
V 1345 V 1356 V 1357 V 1367 V
V 145 V 13457 V 1467 V
V 1357 V 345 V 13467
Из всех множеств выбираем наименьшие.Таким является множество {4,5}
Ответ:
Все минимальные и все наименьшие внешне устойчивые (доминирующие)
множества вершин: {4,5}
