Электростатическая теорема Гаусса. Понятия о

2. Электростатическая теорема Гаусса.
Пусть имеется вектор А(x,y,z), определенный во всех точках пространства.
А
dS
В этом случае говорят, что в пространстве задано векторное поле А. Линией вектора
А(r), заданного в пространстве, называется линия, касательная к которой в каждой точке
совпадает с направлением вектора А в этой точке. В соответствии с этим определением,
линией электрического поля, называется линия, касательная к которой в каждой точке
совпадает с напряженностью Е. Условились модуль вектора напряженности поля, т.е. |Е|
характеризовать плотностью линий: чем больше плотность линий, тем больше модуль
поля |Е|.
Рассмотрим некоторую поверхность S. Интеграл
ФА = ∫A·dS,
(2.4)
называется потоком вектора А через поверхность S.
Смысл понятия потока вектора заключается в следующем:
Поток векторного поля ФА=∫АdS сквозь замкнутую поверхность характеризует
интенсивность порождения или уничтожения линий поля внутри объема, ограниченного
поверхностью.
Пусть точечный заряд q находится внутри объема V, ограниченного замкнутой
поверхностью S. Найдем связь между потоком вектора электрического поля Е через
поверхность S и ограниченным этой замкнутой поверхностью зарядом q.
ФE   E d S 
q

s
(2.5)
  ФE 
q

0
E  k 0 2 er 
r

Это и есть электростатическая теорема Гаусса:
Поток электрического поля через произвольную замкнутую поверхность равен
заряду, ограниченному этой поверхностью, деленному на εо.
Для того, чтобы получить наиболее общую формулировку теоремы необходимо
вначале разобраться со случаем произвольного количества или распределения в
пространстве заряда.
Принцип суперпозиции полей:
Если имеется система точечных зарядов q, то напряженность поля Е в каждой
точке пространства является суммой напряженностей полей Ei, создаваемой каждым
зарядом в отдельности:
E=∑Ei
(2.6)
Принцип суперпозиции – является опытным фактом, и одним из фундаментальных
положений электродинамики , которое принимается без доказательства.
Таким образом:
1
ФE   Ed S    E i d S    E i d S   qi
S
Таким образом,
S
i
i
S
0
i
в вакууме поток электрического поля через замкнутую поверхность равен сумме
зарядов, заключенных внутри объема, деленной на электрическую постоянную.
Если расписать величины в левой и правой части последнего выражения, то
общая форма электростатической теоремы Гаусса примет вид:
1
 Ed S     dV (2.7).
S
0
V
В виде (2.7) теорема Гаусса часто называется одним из уравнений системы
уравнений Максвелла.
Вывод (2.7) базировался на выражении для поля точечного заряда (2.2). Поэтому,
можно сказать, что физической основой теоремы Гаусса является закон Кулона. Можно
сказать иначе: теорема Гаусса – это интегральная формулировка закона Кулона,
утверждающая, что электрическое поле создается зарядами.
п.3. Дифференциальная форма теоремы Гаусса.

div E 
(2.11)
0
Физическим содержанием электростатической теоремы Гаусса (2.11) является
утверждение, что источниками и стоками электростатического поля Е являются
положительные и отрицательные заряды соответственно.