7. Электрическое поле в веществе

Лекция № 7
Электрическое поле веществе
Алексей Викторович
Гуденко
23/10/2014
План лекции
1.
2.
3.
4.
5.
Теорема о циркуляции вектора E.
Уравнение Пуассона
Проводник в электростатическом поле.
Электрическое поле в диэлектрике.
Граничные условия
Демонстрации



Поле проводника: распределение зарядов
(поля) по поверхности
Колесо Франклина и электрический ветер
Клетка Фарадея
Диполь во внешнем поле



В однородном электрическом поле на диполь действует
момент сил
M = [ℓ F] = q[ℓ E] = [p E], M = - pE sinθ – в электрическом
поле диполь ориентируется вдоль вектора
напряжённости E
Энергия точечного диполя: W = qφ(r +ℓ) + qφ(r) =
q (gradφ,ℓ) = - (p,E)
В неоднородном поле на диполь действует сила: Fx =
qEx(r + ℓ) - qEx(r) = qℓx∂Ex/∂x + qℓy∂Ex/∂y + qℓz∂Ex/∂z =
(p,gradEx)  F = px∂E/∂x + py∂E/∂y + pz∂E/∂z = (p,grad)E
–
–
Диполь выстраивается вдоль поля p ↑↑ E;
Ориентированный вдоль поля диполь втягивается в
область более сильного электрического поля.
Теорема Гаусса
(интегральная форма)

Поток вектора E сквозь замкнутую поверхность
равен алгебраической сумме зарядов внутри
этой поверхности, умноженной на 4π:
 
 EdS  4q
S

Теорема Гаусса в дифференциальной форме:
divE = 4πρ
Теорема Ирншоу – следствие
теоремы Гаусса
Q

-q/4
Q
Невозможно создать устойчивую систему только
из покоящихся точечных кулоновских зарядов.
Теорема Гаусса
(дифференциальная форма)

divE  4

 E x E y E z

divE  E 


 дивергенция вектора E
x
y
z
  
  ( ; ; )  векторный оператор " набла"
x y z
дивергенция  это поток вектора из единичного объёма

1  
divE  lim
EdS
V 0 V 
S
в сферически симметричном случае

(вектор E направлен радиально и зависит только от r ) :
 1 d 2
divE  2
(r E )
r dr
Уравнение Пуассона
( )  4
 2  4  уравнение Пуассона
2
2
2



   2  2  2  2  оператор Лапласа лапласиан
x
y
z
  0 - уравнение Лапласа
  4
Пример на уравнение Пуассона
(Овчинкин, № 2.5)





Распределение потенциала в плоском
конденсаторе.
Дано: ρ, d, φ(0) =0; φ(d) = φ0
φ(x) = ?
Пуассон: д2φ/дx2 = -4πρ; φ(0) = φ0
φ(x) = φ0 + 2πρx/d - 2πρx2
Применение теоремы Гаусса:
нить: E = 2ӕ/r
плоскость: E = 2πΔq/ΔS = 2πσ
шар: E = Qr/R3 = 4/3 πρr, r < R; E = Q/r2, r ≥ R



Поле заряженной нити:
E.2πr.L = 4πq E = 2q/Lr = 2ӕ/r
Поле заряженной плоскости:
Ф = Ф1 + Ф2 = EΔS + EΔS = 2EΔS = 4πΔq  E = 2πΔq/ΔS
= 2πσ
Поле равномерно заряженного шара:
1.
2.
Вне шара r > R: E 4πr2 = 4πQ  E = Q/r2
Внутри шара r < R: E 4πr2 = 4πq(r) = 4πQ(r/R)3 
E = Qr/R3 = 4/3 πρr
в векторном виде:
E = Qr/r3, r > R
E = Qr/R3 = 4/3 πρr, r < R
Поле однородно заряженного шара
ρ
E
Qr/R3
Q/R2
Q/r2
R
r
Теорема о циркуляции вектора E


Циркуляция вектора E в любом
электростатическом поле равна нулю:
 
E
d
l

0

Касательная составляющая вектора E при
переходе через границу непрерывна
E 1  E 2
Поле в веществе

Под действием внешнего поля вещество
поляризуется:
возникают индукционные заряды

Полное поле – это поле первичных
зарядов + поле индукционных зарядов
вещества
Проводник в электрическом поле:
внутри проводника и его полостей поля нет!


Проводник – это вещество, способное проводить
электрический ток. Ток переносят свободные
заряды.
В условиях равновесия (ток I = 0) напряжённость
поля в проводнике E = 0 
–
–
Объёмная плотность заряда в проводнике ρ = 0.
нескомпенсированные заряды распределены по
поверхности.
Потенциал всех точек проводника φ = const:


–
проводник – эквипотенциальная область,
поверхность проводника – эквипотенциальная поверхность.
Поле Е ┴ поверхности; E = 4πσ
Электростатическая защита
Электрическое поле в диэлектриках




В электрическом поле диэлектрик поляризуется – в
объёме и на поверхности появляются связанные заряды
 диэлектрик приобретает дипольный момент.
Поляризованность P – дипольный момент единицы
объёма
P = ∑pi/V
Поверхностная плотность поляризационных зарядов
σпол = Pn
Pn1 – Pn2 = σпол – граничное условие для вектора P
Вектор электрической индукции
D = E + 4πP
 
   Pn dS    PdS
qпол

divP    пол


divE  4 (    пол )  4 (   divP) 


div ( E  4P)  4

divD  4
 

D  E  4P
Поляризуемость и диэлектрическая
проницаемость




Для линейных однородных изотропных
диэлектриков
P = αE
α – поляризуемость 
D = E + 4πP = (1 + 4πα)E = εE
ε = 1 + 4πα – диэлектрическая проницаемость
диэлектрика
Для вакуума α = 0  ε = 1
Теорема Гаусса для диэлектриков

Поток вектора D сквозь замкнутую поверхность
равен алгебраической сумме свободных
D
зарядов внутри этойDповерхности,
умноженной


на 4π:
n2
n1
 DdS  4 q

Граничные условия для вектора D:
Dn 2  Dn1  4

Для незаряженной поверхности диэлектрика:
Dn 2  Dn1
Как измерить D и E
-E0
E = E0
D
E0=D
- - - - - - - - - - - ++++++++++++
++


В узком цилиндрическом канале E0 = E
В коротком цилиндре E0 = D
Диэлектрическая проницаемость
ртутного пара (Овчинкин № 3.1)




Концентрация металлических шариков n
Радиус шариков – r
ε=?
Решение:
1.
2.
3.

каждый шарик в поле Е превращается в диполь
p = r 3E
Вектор поляризации P = np = nr3E = αE
α = nr3 – поляризуемость пара
D = E + 4πP = (1 + 4πα)E = εE
Ответ: ε = 1 + 4πα = 1 + 4πnr3
Соотношения между электрическими
единицами СИ и СГСЭ


Заряд:
1 Кулон = 1 Кл = 3.109 единиц СГСЭ
Потенциал:
1 Вольт = 1 В = 1/300 единиц СГСЭ
1 В = 1 Дж /1 Кл = 107 эрг/3 109 = 1/300 единиц СГСЭ потенциала