1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

1
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Московский физико-технический институт (государственный университет)»
(МФТИ)
Кафедра «Системный анализ экономики»
«УТВЕРЖДАЮ»
Проректор по учебной работе
Д.А. Зубцов
201 г.
.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
по дисциплине: Экономика (часть 1 – Микроэкономика)
по направлению: 010900 «Прикладные математика и физика»
профиль подготовки: естественно-научный
факультеты: все
кафедра: Системный анализ экономики
курс: 2–4 (бакалавриат)
семестры: осенний и весенний
Зачет: осенний семестр
Экзамен: весенний семестр
Трудоёмкость в зач. ед.: базовая часть – 2 зач. ед.;
лекции: базовая часть – 34 час.;
семинарские занятия: базовая часть – 34 час.;
ВСЕГО АУДИТОРНЫХ ЧАСОВ 68
Программу составил к.э.н., доцент Е.В. Покатович, Е.А. Левина
Программа обсуждена на заседании кафедры, утвердившей рабочую программу
«____» _______________20
Заведующий кафедрой
г.
Р.М. Энтов
2
ОБЪЁМ УЧЕБНОЙ НАГРУЗКИ И ВИДЫ ОТЧЁТНОСТИ.
Базовая часть, в т.ч. :
__2___ зач. ед.
Лекции
___1__ часов
Практические занятия
___1__ часов
Лабораторные работы
_____ часов
Индивидуальные занятия с преподавателем
_____
часов
_____
часов
Самостоятельные
курсовой работы
занятия,
включая
подготовку
Вариативная часть, включая:
_____ зач. ед.
Мастер- классы, индивидуальные и групповые
_____
зач. ед.
Самостоятельные занятия (работа над коллективными
и индивидуальными проектами, курсовые работы)
_____
зач. ед.
ВСЕГО
2 зач. ед.
Консультации
Итоговая аттестация
зачет
1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ
Цели курса:

знакомство слушателей с классическими разделами микроэкономического анализа:
индивидуальный выбор потребителя и производителя, общее и частичное равновесие в
экономике, общественные блага и экстерналии, монополия и стратегические
взаимодействия фирм (олигополия).

формирование навыков правильной постановки задачи по разрешению экономической
проблемы в рамках микроэкономической проблематики, а также создания
микроэкономической модели и ее анализа;

приобретение умения анализировать и интерпретировать полученные результаты и
формулировать экономические выводы.
Задачи курса. В результате изучения курса студент должен:
3

знать основные результаты современной микроэкономической теории;

обладать навыками микроэкономического моделирования;

уметь интерпретировать полученные результаты.
2. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ООП БАКАЛАВРИАТА
Дисциплина Экономика (часть 1 – Микроэкономика) включает в себя разделы, которые
могут быть отнесены к базовой и вариативным частям цикла _ ГСЭ (Б.1).
Дисциплина Экономика (часть 1 – Микроэкономика) базируется на:
1. модулях _________________________курса Математический анализ;
2. модулях _________________________курса__________________;
3. КОМПЕТЕНЦИИ ОБУЧАЮЩЕГОСЯ,
ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
ФОРМИРУЕМЫЕ
В
РЕЗУЛЬТАТЕ
Курс Экономика (часть 1 – Микроэкономика) является фундаментом для последующего
изучения специальных разделов микроэкономики, а также основой для построения и
анализа современных макроэкономических моделей. Предполагается, что по завершении
курса студенты смогут читать современную экономическую литературу, анализировать и
интерпретировать результаты исследования социально-экономических явлений.
4. КОНКРЕТНЫЕ ЗНАНИЯ, УМЕНИЯ И НАВЫКИ,
РЕЗУЛЬТАТЕ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
ФОРМИРУЕМЫЕ
В
В результате освоения дисциплины Экономика (часть 1 – Микроэкономика) обучающийся
должен:

Знать: основные изложенные в курсе концепции микроэкономической теории, а также
иметь представление о возможностях применения современной микроэкономической
теории для анализа социально-экономических феноменов и современном экономическом
мышлении и направлениях развития микроэкономической науки.

Уметь:
моделировать
и
анализировать
ситуации
с
использованием
микроэкономического инструментария, а также интерпретировать полученные
результаты.

Владеть логикой микроэкономического
микроэкономических задач.
анализа
и
подходами
к
5. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Структура преподавания дисциплины
Перечень разделов дисциплины и распределение времени по темам
№ темы и название
Количество часов
решению
4
1. Введение. Теория поведения потребителя
10
2. Общее равновесие в экономике обмена
10
3. Выбор в условиях неопределенности.
8
4. Теория поведения производителя (фирмы)
8
5. Экономика с производством
8
6. Рыночные структуры: монополия и олигополия
10
7. Провалы рынка: общественные блага и экстерналии
10
8. Провалы рынка: асимметричная информация
4
ВСЕГО (зач. ед.(часов))
68
ВИД ЗАНЯТИЙ
Лекции
№ п.п.
Трудоёмкость в зач. ед.
Темы
(количество часов)
1
Введение. Теория поведения потребителя
5
2
Общее равновесие в экономике обмена
5
3
Выбор в условиях неопределенности
4
4
Теория поведения производителя (фирмы)
4
5
Экономика с производством
4
6
Рыночные структуры:
олигополия
и
5
7
Провалы рынка: общественные блага и
экстерналии
5
8
Провалы
рынка:
информация
2
ВСЕГО (зач. ед.(часов))
монополия
асимметричная
1(34)
Практические (семинарские) занятия
№ п.п.
Темы
Трудоёмкость в зач. ед.
(количество часов)
5
1
Введение. Теория поведения потребителя
5
2
Общее равновесие в экономике обмена
5
3
Выбор в условиях неопределенности
4
4
Теория поведения производителя (фирмы)
4
5
Экономика с производством
4
6
Рыночные структуры:
олигополия
и
5
7
Провалы рынка: общественные блага и
экстерналии
5
8
Провалы
рынка:
информация
2
монополия
асимметричная
ВСЕГО ( зач. ед.(часов))
1(34)
Содержание дисциплины: развернутые темы
Введение
Предмет
микроэкономики.
микроэкономического анализа.
Микроэкономическое
моделирование.
Методы
Раздел 1. Теория поведения потребителя
Пространство товаров (благ). Бюджетное ограничение потребителя, бюджетное множество в
случае двух благ: графическое представление, бюджетная линия; сравнительная статика:
влияние изменения цен и дохода (в результате введения налогов и субсидий).
Предпочтения потребителя. Представление предпочтений с помощью кривых безразличия;
предельная норма замещения; примеры предпочтений (субституты, комплементы, антиблага,
точка насыщения).
Функция полезности потребителя. Построение функции полезности на основе кривых
безразличия. Примеры функций полезности для основных типов предпочтений. Функция
полезности Кобба-Дугласа, квазилинейная функция полезности. Единственность функции
полезности с точностью до положительного монотонного преобразования.
Выбор потребителя. Задача максимизации полезности при бюджетном ограничении:
графическое представление; характеристика решения задачи потребителя и ее интерпретация.
Функции (маршаллианского) спроса. Примеры решения задачи потребителя для основных
типов предпочтений.
Альтернативный подход к теории выбора потребителя: выявленные предпочтения*.1 Слабая
аксиома выявленных предпочтений (WARP - weak axiom of revealed preferences); максимизация
полезности и слабая аксиома выявленных предпочтений.
Поведение потребителя в случае натурального дохода. Понятие первоначального запаса.
Бюджетное ограничение потребителя в случае натурального дохода. Понятия «чистый»
продавец и «чистый» покупатель. Пример: модель предложения труда.*
1
Разделы и задачи помеченные «*» не являются обязательными.
6
Раздел 2. Общее равновесие в экономике обмена
Парето-оптимальные распределения. Допустимые распределения. Ящик Эджворта. Понятие
Парето-оптимального (эффективного) распределения. Графическое представление Паретооптимальных распределений в ящике Эджворта. Дифференциальная характеристика Паретооптимальных распределений.
Равновесие по Вальрасу в экономике обмена. Определение равновесия по Вальрасу.
Графическое представление равновесия по Вальрасу в ящике Эджворта. Закон Вальраса.
Равновесие и оптимальность. Первая теорема благосостояния в экономике обмена:
формулировка и обсуждение предпосылок. Вторая теорема благосостояния: формулировка и
обсуждение предпосылок.
Раздел 3. Выбор в условиях неопределенности
Модель поведения потребителя в условиях неопределенности. Лотереи и предпочтения в
пространстве лотерей. Представление предпочтений функцией ожидаемой полезности.
Денежные лотереи и отношение к риску. Денежный (гарантированный) эквивалент лотереи.
Модель с контингентными (обусловленными) благами. Бюджетное ограничение в пространстве
контингентных благ.
Примеры применения модели выбора в условиях неопределенности. Задача формирования
оптимального портфеля инвестиций (из двух активов). Модель спроса на страховку.
Экономика обмена контингентными благами*. Характеристика Парето-оптимальных
распределений. Определение равновесия Эрроу-Дебре. Равновесие и оптимальность.
Раздел 4. Теория поведения производителя (фирмы)
Технология. Способы описания технологии: изокванты, производственная функция. Примеры
технологий. Предельная норма технологического замещения. Предельный продукт фактора
производства. Отдача от масштаба.
Максимизация прибыли. Формулировка задачи максимизации прибыли; графическое
представление в случае однопродуктовой и однофакторной фирмы; сравнительная статика.
Долгосрочный и краткосрочный периоды. Максимизация прибыли и отдача от масштаба.
Минимизация издержек. Задача минимизации издержек: графическое представление для случая
двух факторов производства. Примеры решения задачи минимизации издержек для основных
видов технологий. Условный спрос на факторы производства и функция издержек.
Раздел 5. Экономика с производством
Парето-оптимальные распределения. Допустимые распределения. Парето-оптимальные
(эффективные) распределения в экономике с производством: определение и поиск;
дифференциальная характеристика Парето-оптимальных распределений.
Равновесие по Вальрасу в экономике с производством. Модификация определения равновесия
(включение производства); графическая иллюстрация (аналог ящика Эджворта). Закон Вальраса
в модели общего равновесия с производством; поиск равновесия; равновесие и оптимальность:
первая и вторая теоремы благосостояния.
Частичное (частное) равновесие. Частичное равновесие как частный случай модели общего
равновесия с производством при квазилинейных предпочтениях потребителей: построение
кривой рыночного спроса, построение кривой рыночного предложения; поиск равновесия и его
графическое представление. Сравнительная статика (введение потоварного налога:
распределение налогового бремени между потребителями и производителями). Равновесие и
оптимальность.
7
Раздел 6. Рыночные структуры: монополия и олигополия
Монополия. Модель поведения монополиста. Неэффективность монополии: чистые
(безвозвратные) потери от монополии. Сравнительная статика. Ценовая дискриминация*.
Олигополия. Одновременный выбор уровня выпуска (модель Курно). Характеристика
равновесия в модели Курно (равновесие по Нэшу). Преимущество первого хода (модель
Штакельберга). Сравнение равновесия в модели Курно с равновесием в модели Штакельберга.
Одновременный выбор цен (модель Бертрана). Модель ценового лидерства.* Кооперативное
поведение олигополистов: формирование картеля; неустойчивость картеля.
Раздел 7. Провалы рынка: общественные блага и экстерналии
Общественные блага в квазилинейной экономики. Понятие чистого общественного блага.
Уравнение Самуэльсона и графическая иллюстрация оптимального количества общественного
блага для случая квазилинейной экономики. Равновесие с добровольным финансированием
общественного блага. Неэффективность равновесия и проблема безбилетника. Решение
проблемы безбилетника: равновесие Линдаля.*
Экстерналии в квазилинейной экономике* с одним потребителем и одной фирмой. Типы
экстерналий. Парето-оптимальные распределения и равновесие по Вальрасу; неэффективность
равновесного распределения. Графическое представление чистых потерь, как при
отрицательных, так и при положительных внешних воздействиях. Подходы к решению
проблемы неэффективности: нормативы выбросов, налоги (субсидии) Пигу. Пример: трагедия
общин.
Раздел 8. Провалы рынка: асимметричная информация
Проблема неблагоприятного отбора. Конкурентное равновесие с рациональными ожиданиями.
Неблагоприятный отбор на рынке труда*. Неблагоприятный отбор на рынке страховых услуг.
Возможные подходы к решению проблемы неблагоприятного отбора: скрининг и сигналинг*.
Проблема морального риска*.
Вопросы и задачи по разделам
Раздел 1. Теория поведения потребителя
1. Пусть доход потребителя составляет m  $40 , единица первого блага стоит p1  $10 , а
единица второго блага стоит p2  $5 .
(а) Выпишите уравнение бюджетной линии и приведите графическую иллюстрацию.
(б) Будет ли потребителю доступен набор, состоящий из четырех единиц первого блага и семи
единиц второго блага, (4, 7) ?
(в) В каждом из следующих случаев выпишите уравнение бюджетной линии и покажите на
графике как изменится положение бюджетной линии:
если цена второго блага снизится до $2 за единицу;
если доход потребителя увеличится в 5 раз;
если доход потребителя увеличится до $100 , а цена первого блага снизится на $5 .
2. Студент имеет доход $120 в месяц и часть его тратит на посещение фитнес-центра, а остаток
- на все остальные товары и услуги (никаких других «спортивно-оздоровительных» услуг он не
потребляет). Один час занятия в фитнес-центре стоит $5; цена «остальных» товаров и услуг
равна $10.
(а) Выпишите уравнение бюджетной линии и изобразите бюджетное множество.
(б) Предположим, накануне 1-го сентября фитнес-центр раздал своим членам, являющимся
студентами, купон на 2 часа бесплатных занятий. Как изменится бюджетное множество?
8
Считайте, что купон не подлежит продаже. Запишите новое уравнение бюджетной линии и
изобразите бюджетное множество.
(в) Как изменится ваш ответ на пункт (б), если купон можно продать?
(г) Предположим теперь, что вместо купона фитнес-центр предлагает студентам такую
программу: каждый час занятий до 10 часов занятий в месяц стоит $5, а сверх этого времени $2. Выведите уравнение бюджетной линии и изобразите бюджетное множество.
(д) Предположим теперь, что фитнес-центр предлагает студентам такую программу: за
абонентскую плату 50$ в месяц студент может заниматься 10 часов в месяц бесплатно, а
каждый час занятий сверх этого времени стоит $2. Выведите уравнение бюджетной линии и
изобразите бюджетное множество.
(е) Что можно сказать о том, какая из программ, описанных в пунктах (г) и (д), для студента
более привлекательна?
3. В каждом из следующих случаев изобразите бюджетное множество потребителя и
выведите уравнение бюджетной линии, считая, что потребитель часть денег тратит на
курсы вождения, а остаток - на все остальные товары и услуги.
(а) Господин М.М., доход которого m  40 000 ден. ед. в неделю, намеревается ходить на
курсы вождения. Он пришел в офис курсов как раз во время рекламной кампании. Всем
пришедшим в этот день в офис предоставляется возможность бесплатно заниматься с
инструктором 4 часа. Если индивид решит продолжить заниматься с инструктором, то час
занятий стоит 2 500 ден. ед. Исходя из этой стоимости, всем клиентам предоставляется
право варьировать продолжительность занятия (таким образом, клиент может заниматься,
например, 5 ч. 40 мин.)
(б) Коллега М.М., г-н Л.Л., доход которого также m  40 000 ден. ед., услышав о столь
заманчивом предложении, пришел на следующий день в офис курсов вождения. Однако,
условия изменились. Теперь всем пришедшим в этот день в офис предоставляется
возможность, заплатив 5 000 ден. ед. за 4 часа, заниматься с инструктором пробный 1 час.
Если занятие не понравится, то клиенту возвращается вся уплаченная сумма. Если клиент
решит продолжить заниматься с инструктором свыше 4 часов, то час занятий (сверх уже
оплаченных 4-х) стоит 2 500 ден. ед. Индивид может варьировать продолжительность
занятия.
(в) Коллега г-д М.М.и Л.Л., получающий доход m  40 000 ден. ед., господин Н.Н., узнав о
рекламной компании от Л.Л., пришел на следующий день в офис курсов вождения.
Условия снова изменились. Теперь всем пришедшим предлагают оплатить 10 000 ден. ед.
за 5 занятий, каждое следующее занятие оплачивается по ставке 3 000 ден. ед. за час.
Индивид может варьировать продолжительность занятия.
(г) Сын господина Н.Н., К., просит у отца разрешение заниматься на курсах вождения. Его
доход m  20 000 ден. ед.. Ему предложили те же условия, что и Н.Н. Отец обещает К., что
если К. самостоятельно оплатит 7 часов занятий, то он за каждый следующий купленный
час вернет сыну 1 000 ден. ед.
4. Семья Ивановых тратит 5000 рублей в месяц на товары X и Y . Цена единицы товара X
равна 40 руб., а цена единицы товара Y равна 50 руб.
(а) Выпишите бюджетное ограничение
соответствующее бюджетное множество.
семьи
Ивановых
и
изобразите
графически
(б) Правительство ввело налог на стоимость на товар Y . Теперь каждая единица товара Y
будет обходиться всем потребителям на 20% дороже. Выпишите бюджетное ограничение семьи
Ивановых в этом случае и изобразите графически новое бюджетное множество. Ограничила ли
такая политика государства множество доступных семье Ивановых потребительских наборов?
9
(в) После введения налога на стоимость администрация региона ввела потоварную субсидию на
товар X в размере 5 руб. Выпишите бюджетное ограничение семьи Ивановых в этом случае и
изобразите графически бюджетное множество. Как изменилось бюджетное множество семьи по
сравнению с начальным бюджетным множеством?
(г) Правительство ввело в действие программу поддержки малообеспеченных семей, таких, как
семья Ивановых, выдавая каждой малообеспеченной семье паушальную субсидию в размере
1000 руб. Данные средства Ивановы решили тратить на товары X и Y . Считая, что
программы, введенные в пунктах (б) и (в), продолжают действовать, выпишите бюджетное
ограничение семьи Ивановых в этом случае и изобразите графически новое бюджетное
множество.
(д) В качестве альтернативной схемы поддержки малообеспеченных семей, рассматривается
программа, по которой каждая семья получает в подарок талон на получение y единиц блага Y ,
который нельзя продавать. Полагая, что условия пунктов (б) и (в) выполнены, выпишите новое
бюджетное ограничение семьи Ивановых и изобразите бюджетное множество. При каком
минимальном значении y Ивановы смогут купить точно такое же количество товара Y , как и в
пункте (а)?
Предположим теперь, что все правительственные программы отменены.
(е) Супермаркет, в котором обычно семья Ивановых делает свои покупки, ввел в действие
следующую систему скидок: при покупке товара X в количестве x ( x  125) , все
дополнительные единицы товара X продаются на 5 руб. дешевле. Выпишите бюджетное
ограничение семьи Ивановых и изобразите графически соответствующее бюджетное
множество.
(ж) Менеджер супермаркета предлагает альтернативную систему скидок: при покупке товара
X в количестве x  x , ( x  125) , все приобретенные единицы товара X продаются на 5 руб.
дешевле. Выпишите бюджетное ограничение семьи Ивановых и изобразите графически
соответствующее бюджетное множество. При какой схеме скидок супермаркета Ивановы
смогли бы приобрести больше товара X , если бы захотели потратить на него все свои деньги,
выделенные на покупку товаров X и Y ?
5. Бюджетное ограничение потребителя представлено неравенством 2 x  5 y  120 . Как оно
изменится, если будет введен потоварный налог на товар x в размере 1 и одновременно с
введением налога потребителю будет выдан купон на 5 единиц блага y , который он не может
продавать. Изобразите на одном рисунке начальное бюджетное множество и бюджетное
множество потребителя после применения данных мер.
6. Рассмотрите предпочтения потребителей относительно двух благ: мясо и салат. В каждом из
следующих случаев изобразите кривые безразличия индивидов в пространстве двух благ
(количество порций мяса и салата в неделю) и приведите пример функции полезности,
описывающей данные предпочтения.
(а) Индивид А считает, что еда есть еда и не заботится о том, как он получает необходимые
калории: чем больше еды, тем лучше.
(б) Индивид В, считает, что чем больше еды, тем лучше, но еда должна быть сбалансированной.
Поэтому он съедает две порции мяса с одной порцией салата, и не ест одно без другого.
(в) Индивид С любит салат (чем больше, тем лучше) и безразличен к мясу.
(г) Индивид D очень разборчив в еде и всегда старается съесть 20 порций мяса и 15 порций
салата в течение недели. Любое отклонение от этого набора крайне расстраивает индивида,
причем чем сильнее отклонение, тем в большей степени.
7. Какие из нижеследующих функций представляют те же предпочтения, что и функция u (x)
(считайте, что функция u (x) принимает значения разных знаков)?
10
(а) u ( x)  u ( x)  ,
(б) 2u ( x )  10 ,
(г) 1 / u ( x ) ,
(д)  1 / u ( x ) .
3
(в) 2  (20  u ( x)) ,
8. Пусть предпочтения индивида описываются функцией полезности Кобба-Дугласа вида
2
u ( x1 , x 2 )   x1 x 2  .
(а) Выведите уравнение кривой безразличия, проходящей через точку (2, 4) . Изобразите
данную кривую безразличия графически. Укажите все наборы, которые для индивида не хуже
набора (2, 4) .
(б) Выведите уравнение кривой безразличия, соответствующей уровню полезности, равному
100. Изобразите данную кривую безразличия графически.
(в) Вычислите предельную норму замещения в точках (2, 4) и (4, 2) . Обсудите полученный
результат.
9. Пусть
предпочтения
2
2
u x1 , x 2   x1  2  x 2  3 .
индивида
представимы
функцией
полезности
(а) Можно ли утверждать, что заданная функция представляет те же предпочтения, что и
2
функция u~x1 , x 2   u x1 , x 2  ? Аргументируйте свой ответ!
(б) Определите выбор потребителя, предпочтения которого представляет функция ux1 , x2  , при
доходе m  16 и ценах p  (4, 2).
10. Пусть предпочтения потребителя представимы функцией полезности u( x1 , x2 ) . Изобразите
на одном рисунке кривые безразличия и бюджетное множество потребителя и определите
выбор потребителя с доходом m  12 при ценах p  (1, 2) если:
(а) u( x1 , x2 )  x2 ,
(б) u ( x1 , x2 )  ( x1  4) 2  ( x2  3) 2 ,
(в) u( x1 , x2 )  4 x1  x2 ,
(г) u ( x1 , x 2 )   x1    x 2  9 ,
(д) u( x1 , x2 )  x11 / 4 x23 / 4 ,
(е) u( x1 , x2 )  10 x1  x2 ,
(ж) u( x1 , x2 )  x1  x2 ,
(з) u( x1 , x2 )  min{ x1 ,4x2 } .
(и) u( x1 , x2 )  max{ x1 ,4x2 } ,
(к) u( x1 , x2 )  x1  4 x2 .
2
2
11. Пусть предпочтения потребителя представимы функцией полезности u( x1 , x2 ) . Выведите
функции (маршаллианского) спроса потребителя на оба блага при доходе m  0 и ценах p  0
в следующих случаях:
(а) u( x1 , x2 )  x1  x2 , где  ,   0 ,
x x 
(б) u ( x1 , x 2 )  min  1 , 2  , где  ,   0 ,
  
(в) u( x1 , x2 )  ( x1 ) ( x2 )  , где  ,   0 .
(г) u( x1 , x2 )  2 x1  x2 .
(д) u ( x1 , x2 )  x1  x2 .
(е) u ( x1 , x2 )  ( x1 ) 2  ( x2 ) 2 .
11
12. Пусть предпочтения потребителя представимы функцией полезности Кобба-Дугласа вида
u ( x1 , x2 )  ( x1 )1 / 2 ( x2 )1 / 2 , цены благ составляют p  (2, 4) , а доход потребителя равен m  80 .
Предположим, первое благо облагается потоварным налогом, величина которого равна 2 за
каждую приобретаемую единицу данного блага.
(а) Какова сумма налоговых поступлений, полученных от данного потребителя?
(б) Пусть потоварный налог на первое благо заменен на паушальный налог, причем доходы от
паушального налога в точности совпадают с доходами от потоварного налога. Как такое
изменение скажется на благосостоянии потребителя? Зависит ли полученный результат от
величины налога, дохода, цен и предпочтений потребителя? Приведите графическую
иллюстрацию.
(в) Возможна ли ситуация, при которой замена потоварного налога на паушальный налог,
превышающий доходы от потоварного налога, повысит благосостояние потребителя?
Приведите графическую иллюстрацию.
13. Рассмотрите потребителя, предпочтения которого описываются функцией полезности
u( x1 , x2 )  x1  x2 . Пусть потребитель имеет доход m  120 д.е. и приобретает блага по
ценам p1  3 д.е. и p2  1 д.е. за единицу соответственно.
(а) Выпишите уравнение бюджетной линии и изобразите бюджетное множество.
(б) Найдите оптимальный потребительский набор. Приведите графическую иллюстрацию.
(в) Предположим теперь, что в силу дефицита товаров правительство ввело следующую схему
рационирования: по цене p2  1 д.е. потребитель может приобрести не более 30 единиц второго
блага, а за каждую последующую единицу второго блага цена устанавливается на уровне
p2  6 д.е. Выпишите уравнение бюджетной линии и изобразите новое бюджетное множество
потребителя.
(г) Предположим теперь, что было решено заменить схему, описанную в пункте (в),
следующей: потребитель получает 90 талонов и для приобретения единицы какого-либо блага
необходимо не только оплатить его денежную стоимость, но и отдать соответствующее
количество талонов. Правительство установило, что за каждую единицу первого блага
необходимо отдать один талон, а за единицу второго блага – два талона. Будем считать, что
талоны являются бесконечно делимыми, и торговля талонами отсутствует. Выпишите
уравнение бюджетной линии и изобразите новое бюджетное множество потребителя.
(д) Какая из схем, описанных в пунктах (в) и (г), наиболее предпочтительна для потребителя?
(е) Найдите оптимальный потребительский набор при схеме рационирования, описанной в
пункте (в).
(ж) Как изменится ваш ответ на пункт (е), если предпочтения потребителя описываются
функцией полезности u( x1 , x2 )  x2  2 x1 ?
14. Индивид А, имеющий доход 410 д.е. в месяц, является клиентом компании «Телесеть»,
предоставляющей услуги телефонной связи.
(а) Согласно тарифному плану компании «Телесеть» каждая минута разговора стоит 6 д.е. при
объеме трафика до 30 минут в месяц, а при большем объеме трафика индивиду предоставляет
скидка за каждую минуту разговора в размере 25% от данной цены. Кроме того, индивид
должен платить абонентскую плату в размере 50 д.е. в месяц. Выпишите уравнение бюджетной
линии индивида и изобразите бюджетное множество.
(б) Предположим, компания «Телесеть» ввела новый тарифный план. Теперь абонентская плата
(50 д.е. в месяц) включает 30 минут разговоров в месяц, а цена каждой минуты трафика сверх
этого времени составляет 6 д.е., если объем трафика не превышает 60 минут в месяц, и на
12
каждую минуту разговоров сверх этого времени предоставляется скидка 25% от данной цены.
Выпишите новое уравнение бюджетной линии индивида и изобразите бюджетное множество.
(в) Пусть предпочтения индивида описываются функцией полезности u( x1 , x2 )  min{ 12x1 , x2 } ,
где x1 - объем телефонного трафика (в минутах), а x 2 - агрегированное потребительское благо.
Какой уровень трафика (в минутах в месяц) выберет индивид при каждом тарифном плане?
Приведите графическую иллюстрацию. Какой тарифный план для данного индивида более
предпочтителен?
15. *Пусть потребитель при ценах p  ( p1 , p2 ) выбрал набор x  ( x1 , x2 ) , а при ценах
q  (q1 , q2 ) – набор y  ( y1 , y2 ) . Будем считать, что потребитель тратит весь свой доход на оба
блага. Рассмотрите следующие случаи:
(а) p  (4, 6) , x  (6, 6) , q  (6, 3) , y  (10, 0) ;
(б) p  (4, 2) , x  (2, 4) , q  (2, 4) , y  (4, 2) ;
(в) p  (4, 2) , x  (8 / 3, 8 / 3) , q  (2, 4) , y  (4, 2) ;
(г) p  (4, 2) , x  (8 / 3, 8 / 3) , q  (2, 4) , y  (2, 3) .
В каждом из случаев, объясните, согласуется ли подобное поведение со слабой аксиомой
выявленных предпочтений. Приведите графическую иллюстрацию. Что можно сказать о том,
какой набор x или y для потребителя более предпочтителен?
16. *Рассмотрите менеджера, имеющего доход $100 в неделю, который часть денег тратит на
посещение фитнес-центра, а остаток - на все остальные товары и услуги (никаких других
«спортивно-оздоровительных» услуг он не потребляет). В сентябре один час занятия в фитнес
центре стоил $4 и при этом менеджер проводил в фитнес-центре 10 часов в неделю.
Предположим, с октября фитнес-центр решил изменить ценовую политику, введя абонентскую
плату $30 в неделю, но снизив цену одного часа занятия до $1. Как отразится такое изменение
на благосостоянии менеджера, если его предпочтения согласуются со слабой аксиомой
выявленных предпочтений? Приведите графическую иллюстрацию.
17. *Пусть потребитель при ценах p  ( p1 , 4) , p1  0 , выбрал набор x  (8, 8) , а при ценах
q  (4, 4) – набор y  (2, 23) . Будем считать, что потребитель тратит весь свой доход на оба
блага.
(а) Сформулируйте слабую аксиому выявленных предпочтений.
(б) При каких значениях p1 слабая аксиома выявленных предпочтений не выполнена?
(в) При каких значениях p1 слабая аксиома выявленных предпочтений выполнена? Какой из
двух наборов ( x или y ) выявлено предпочитается потребителем?
18. Рассмотрите потребителя, не имеющего денег, но обладающего первоначальным запасом
благ: 1  0 единиц первого блага и 2  0 единиц второго блага. Возможна ли такая ситуация,
при которой повышение цены одного из благ увеличило бы благосостояние этого потребителя?
Приведите графическую иллюстрацию.
19. Верны ли следующие утверждения для двухтоварной экономики:
(а) Чистый продавец некоторого товара не может выиграть от снижения цены этого товара.
(б) Чистый покупатель некоторого товара не может выиграть от повышения цены этого товара.
(в) Чистый продавец некоторого товара не может проиграть от повышения цены этого товара.
(г) Чистый покупатель некоторого товара не может проиграть от снижения цены этого товара.
13
20. Рассмотрите потребителя, потребляющего два блага (1 и 2), который так описывает свои
предпочтения: «есть у меня первое благо или второе – мне все равно; я не вижу между ними
разницы». Предположим, у потребителя имеется запас, состоящий из 14 единиц первого блага и
6 единиц второго блага. Пусть цена первого блага в четыре раза выше цены второго.
Потребитель может торговать имеющимся запасом и не имеет другого источника дохода. Какое
количество каждого блага будет потреблять данный индивид? Будет ли он чистым покупателем
или чистым продавцом второго блага?
Раздел 2. Общее равновесие в экономике обмена
1. Рассмотрите экономику обмена с двумя благами (1 и 2) и двумя потребителями (А и В).
Считая, что первоначальные запасы потребителей описываются векторами (i)  A  (2, 3) и
 B  (4, 3) ; (ii)  A  (2, 3) и  B  (6, 1) , изобразите в ящике Эджворта множество Паретооптимальных распределений в каждом из следующих случаев:
(а) u A ( x1A , x2A )  min{ x1A , x2A } и u B ( x1B , x2B )  min{ x1B , x2B } ;
(б) u A ( x1A , x2A )  min{ x1A ,2 x2A } и u B ( x1B , x2B )  min{ x1B , x2B } ;
(в) u A ( x1A , x2A )  max{ x1A , x2A } и u B ( x1B , x2B )  min{ x1B , x2B } .
(г) u A ( x1A , x2A )  x1A  x2A и u B ( x1B , x2B )  x1B  x2B ,
(д) u A ( x1A , x2A )  x1A  2 x2A и u B ( x1B , x2B )  x1B  x2B .
2. Рассмотрите экономику обмена с двумя благами и двумя потребителями (А и В),
предпочтения которых описываются функциями полезности вида u A ( x )  ( x1 ) 0.5  ( x2 ) 0.5 и
u B ( x )  ( x1 )0.25  ( x2 )0.75 . Первоначальные запасы потребителей заданы векторами  A  (12, 4) и
 B  (8, 4) .
(а) Проверьте выполнение закона Вальраса для данной экономики, вычислив избыточный спрос
на каждое благо.
(б) Приведите определение равновесия по Вальрасу для данной экономики.
(в) Найдите равновесие по Вальрасу в данной экономике.
(г) Найдите множество Парето-оптимальных распределений и изобразите в ящике Эджворта.
Будут ли граничные Парето-оптимальные распределения? Будет ли равновесное распределение
Парето-оптимально?
3. Рассмотрите экономику обмена с двумя благами (1 и 2) и двумя потребителями (А и В),
предпочтения которых представимы одинаковыми функциями полезности вида u k ( x k )  x1k x2k ,
где k  A, B . Пусть первоначальные запасы потребителей описываются векторами  A  ( , 1) и
 B  (1, 1) , где   0 . Пронормируем цены, положив цену второго товара равной единице.
Какова равновесная цена первого блага? Как она изменится при увеличении  ?
Проинтерпретируйте полученный результат.
4. Рассмотрите экономику обмена с двумя благами (1 и 2) и двумя потребителями (А и В).
Пусть первоначальные запасы потребителей описываются векторами  A  (10, 3) и  B  (8, 6) .
Пусть функции полезности потребителей имеют вид u A ( x A )  x1A x2A и u B ( x B )  3x1B  x2B .
Найдите равновесие по Вальрасу в данной экономике или покажите, что равновесия не
существует.
5. Рассмотрите экономику обмена с двумя благами (1 и 2) и двумя потребителями (А и В),
предпочтения которых описываются функциями полезности вида u A ( x A )  ( x1A )1/ 2  ( x2A )1/ 2 и
14
u B ( x B )  x1B  4 x2B . Первоначальные запасы потребителей заданы векторами  A  (12, 4) и
 B  (4, 4) .
(а) Найдите равновесие в данной экономике.
(б) Найдите множество Парето-оптимальных распределений и изобразите в ящике Эджворта.
Будут ли граничные Парето-оптимальные распределения? Будет ли равновесное распределение
Парето-оптимальным?
(в) Рассмотрите распределение x  {x A  (8, 2), x B  (8, 6)} . Можно ли данное распределение
реализовать как равновесное в экономике с трансфертами? Если вы считаете, что можно, то
найдите соответствующие цены и трансферты. Если – нет, то объясните почему.
6. Рассмотрите экономику обмена с двумя благами и двумя потребителями (А и В),
предпочтения которых описываются функциями полезности вида u A ( x )  ( x1 ) 0.5  ( x2 ) 0.5 и
u B ( x )  ( x1 )0.25  ( x2 )0.75 . Первоначальные запасы потребителей заданы векторами  A  (12, 4) и
 B  (8, 4) .
(а) Можно ли распределение ~
x  {~
x A  (2, 4), ~
x B  (18, 4)} реализовать как равновесное при
каких-либо ценах и трансфертах? Если вы считаете, что можно, то укажите соответствующие
цены и трансферты. Если – нет, то объясните почему.
(б) Можно ли распределение x  {x A  (6, 1), x B  (14, 7)} реализовать как равновесное при
каких-либо ценах и трансфертах? Если вы считаете, что можно, то укажите соответствующие
цены и трансферты. Если – нет, то объясните почему.
7. Рассмотрите экономику обмена с двумя благами (1 и 2) и двумя потребителями (А и В),
предпочтения которых описываются функциями полезности вида u A ( x A )  2 x1A  x2A и
u B (x B ) 
x1B x 2B . Первоначальные запасы потребителей заданы векторами  A  (6, 2) и
 B  (2, 6) .
(а) Найдите множество Парето-оптимальных распределений и изобразите в ящике Эджворта.
Будут ли граничные Парето-оптимальные распределения?
(б) Приведите определение равновесия в данной экономике.
(в) Найдите равновесие в данной экономике.
(г) Рассмотрите распределение {x A  (2, 0), x B  (6, 8)} . Можно ли данное распределение
реализовать как равновесное в экономике с трансфертами? Если вы считаете, что можно, то
найдите соответствующие цены и трансферты. Если – нет, то объясните почему.
8. Рассмотрите экономику обмена с двумя благами (1 и 2) и двумя потребителями (A и B),
первоначальные запасы которых описываются векторами  A  (6, 1) ,  B  (3, 6) . Предпочтения
обоих потребителей строго монотонны, причем функция полезности потребителя В имеет вид:
u B ( x )  ( x1B )1/ 3 ( x2B )2 / 3 . Известно, что в равновесии ~
x1A  4 . Найдите все недостающие параметры
равновесия.
9. Рассмотрите экономику обмена с двумя товарами (1 и 2) и двумя потребителями (А и В),
предпочтения которых описываются функциями полезности u A ( x1A , x2A )  min{ 2 x1A , x2A } и
u B ( x1B , x2B )  x1B  x2B , соответственно. Известно, что в экономике имеется по четыре единицы
каждого блага.

x  x1A  0, x2A  0, x1B  4, x2B  4
(а)
Являются
ли
распределения
~
x ~
x1A  4, ~
x2A  4, ~
x1B  0, ~
x2B  0 Парето-оптимальными?



и
15
(б) Найдите множество Парето-оптимальных распределений и изобразите в ящике Эджворта.
(в) Выполните задание п. (а), если предпочтения потребителя В представимы функцией
полезности u B ( x1B , x2B )  x1B x2B .
10. Рассмотрите экономику обмена с двумя благами (1 и 2) и двумя потребителями (А и В).
Предположим, известно, что оба потребителя тратят постоянную долю дохода на каждое благо
при любых положительных ценах и положительном доходе: потребитель А делит свой доход
между первым и вторым благом в равных долях, а доля расходов на первое благо в доходе
потребителя В составляет одну треть. В экономике имеется десять единиц первого блага и две
единицы второго блага, которые поровну распределены между потребителями. Найдите
равновесие по Вальрасу в данной экономике.
11. Рассмотрите экономику обмена с двумя благами (1 и 2) и двумя потребителями (А и В).
Пусть предпочтения обоих потребителей таковы, что они всегда потребляют блага 1 и 2 вместе
в постоянной пропорции один к одному. Предположим, в экономике имеется по две единицы
каждого блага, которые поровну разделены между потребителями. Верно ли, что точка
первоначального запаса является равновесной. Что можно сказать о равновесных ценах?
12. Рассмотрите экономику обмена с двумя потребителями (А и В) и двумя благами (1 и 2). На
рисунке изображены типичные кривые безразличия для А (сплошная) и для В (пунктирная) и
точка первоначального запаса  . Могут ли указанные цены быть равновесными? Если да, то
укажите на рисунке равновесное распределение. Если нет, то на каком рынке при таких ценах
возникает дефицит блага?
x 2A
OB
x1B
B
бюджетная
линия,
наклон
~
p1 / ~
p2

A
OA
x1A
x 2B
13. Рассмотрите экономику обмена с двумя благами (1 и 2) и двумя потребителями (А и В),
имеющими первоначальные запасы  A  (2, 0) и  B  (0, 2) , соответственно. Предпочтения
потребителя А описываются функцией полезности u A ( x1A , x2A )  x1A  x2A . Предположим известно,
что распределение ~x  ~
x1A  1, ~
x2A  1, ~
x1B  1, ~
x2B  1 является равновесным.
(а) Каково отношение цен в равновесии?
(б) Может ли потребитель В иметь функцию полезности u B ( x1B , x2B )  x1B  x2B ?
(в) Предложите функцию полезности потребителя В, при которой указанное распределение
достижимо как равновесное.
В
u
пунктах
B
( x1B , x2B )

x1B
(г)-(е)
 2 x2B .
считайте,
что
функция
полезности
потребителя
В
имеет
вид:
(г) Найдите равновесие в данной экономике.
(д) Можно ли распределение xˆ  xˆ1A  3 / 2, xˆ2A  3 / 4, xˆ1B  1 / 2, xˆ2B  5 / 4 реализовать как
равновесное в экономике с трансфертами? Если вы считаете, что можно, то найдите
соответствующие цены и трансферты. Если – нет, то объясните почему.
16
(е)
x
~
x
Ответьте


x1A
~A
x1
на
 2 / 8, x2A  2 / 16, x1B
~
~
 2, x2A  1,5, x1B  0,
вопросы
 34 / 16,
~B
x2  0,5 .

x2B
пункта

 15 / 8 ,
x
(д)

x1A
 1 / 3,
x2A
для
 4 / 3,
x1B
распределений
и
 5 / 3,
 2 / 3
x2B
14. Рассмотрите экономику обмена с двумя благами и двумя потребителями (А и В),
предпочтения которых описываются функциями полезности вида u A x1A , x2A  x1A  x2A и
u B x1B , x2B  x1B  x2B . Начальные запасы благ:  A  1A , 2A  3, 5 и  B  1B , 2B  1, 3 .
Найдите равновесие по Вальрасу в данной экономике. Будет ли равновесное распределение
единственно?








15. Рассмотрите экономику обмена с двумя благами (1 и 2) и двумя потребителями (А и В),
которые
имеют
следующие
первоначальные
запасы:
и
 A  1A , 2A  3, 5
B
B
B
  1 ,  2  1, 3 . Пусть предпочтения потребителей представимы функциями полезности
u A x1A , x2A  min x1A , x2A и u B x1B , x2B  min x1B , x2B . Найдите равновесие в данной экономике
(при положительных ценах) либо докажите, что равновесие не существует.












16. (а) Рассмотрите экономику обмена с двумя благами (1 и 2) и двумя потребителями (А и В),
имеющими строго выпуклые, строго монотонные предпочтения. Пусть точка первоначальных
запасов   { A ,  B } является равновесным по Вальрасу распределением. Покажите, что тогда
 - единственное равновесное распределение.
(б) Приведите пример ситуации, когда одна из предпосылок утверждения из пункта (а)
нарушена (укажите какая именно!) и точка первоначального запаса не является единственным
равновесным распределением (т.е. утверждение не верно). Обоснуйте свой ответ!
(в) Приведите пример ситуации, когда одна из предпосылок утверждения из пункта (а)
нарушена (укажите какая именно!), но точка первоначального запаса является единственным
равновесным распределением (т.е. утверждение верно). Обоснуйте свой ответ!
Раздел 3. Выбор в условиях неопределенности
1. Рассмотрите г-на А, предпочтения которого представимы функцией ожидаемой полезности с
элементарной функцией полезности u ( x )  x . Все богатство г-на А составляет 100 д.е., но
большая часть этого богатства, а именно 64 д.е., составляет стоимость загородного дома,
расположенного в природоохранной зоне. Росприроднадзор решил провести проверку на
предмет соблюдения природоохранного законодательства при строительстве дома. По оценкам
экспертов вероятность того, что г-н А по результатам проверки лишится дома, составляет 75%.
(а) Предположим, одно из агентств недвижимости предложило г-ну А выкупить у него
загородный дом. По какой минимальной цене г-н А согласится продать дом?
(б) Предположим теперь, что сосед г-на А г-н В предложил г-ну А продать ему загородный дом.
Предпочтения г-на В представимы функцией ожидаемой полезности с элементарной функцией
полезности u( x )  1 / x , а его богатство составляет 156 д.е. Какую максимальную цену г-н В
предложит за дом г-на А?
2. Окончив школу, выпускник решает, какую профессию ему выбрать: если он станет
программистом, то его доход составит $49 тыс. в год. Если же он выберет профессию
инженера-строителя, то станет зарабатывать $100 тыс., если будет рост жилищного
строительства, и $16 тыс. в противном случае. Вероятность того, что рынок жилищного
строительства будет на подъеме, равна 75%. Выпускник может обратиться к услугам
консалтинговой фирмы для составления прогноза поведения рынка, который с
определенностью покажет, будет рост жилищного строительства или нет. Пусть предпочтения
выпускника описываются функцией ожидаемой полезности с элементарной функцией
17
полезности u ( x)  x . Какую максимальную цену будет готов заплатить выпускник за услуги
консалтинговой фирмы?
3. Рассмотрите индивида, которому предложили выбрать между получением 175 руб. и
участием в лотерее L , по которой можно выиграть 400 руб. с вероятностью 1 / 4 и 100 руб. с
вероятностью 3 / 4 .
(а) Если известно, что индивид является рискофобом, то какую альтернативу он выберет?
(б) Предположим теперь, что индивиду предложили выбор между лотерей L и получением
170 руб. Если индивид предпочел участие в лотерее L , то можно ли сделать однозначный
вывод, что он является рискофилом?
(в) Предположим теперь, что предпочтения индивида описываются ожидаемой функцией
полезности с элементарной функцией полезности u ( x )  x . Найдите денежный
(гарантированный) эквивалент лотереи L .
4. Рассмотрите следующие элементарные функции полезности:
(1) u ( x)  x  x ;
(2) u ( x)  ( x  2)  ( x  3) ;
(3) u ( x)  3  exp( 2 x) ;
(4) u ( x)  8(ln x  5) ;
(5) u ( x)  2 / x ;
(6) u ( x)  5 x  2 ;
(7) u( x)  1  exp(  x 2 / 2) ;
(8) u ( x)  x 3 .
(а) Какая/какие из указанных функций полезности описывают предпочтения индивида,
обладающего положительным богатством, если
индивид является рискофобом;
индивид нейтрален к риску;
индивид является рискофилом?
(б) Есть ли среди указанных функций полезности такие, что индивид при одном уровне
богатства является рискофобом, а при другом - рискофилом?
5. Покажите, что для агента-рискофоба денежный (гарантированный) эквивалент любой
простой лотереи меньше ее ожидаемого выигрыша.
6. Начинающий бизнесмен решает, как ему распределить свой доход w  90 д.е. в месяц между
двумя проектами: собственным бизнесом и участием в бизнесе своего родственника
(предполагается, что бизнесмен может одновременно участвовать в обоих проектах). По
оценкам экспертов, каждая денежная единица вложений в собственный бизнес принесет ему
(валовую) доходность a  6 д.е. в месяц при благоприятном развитии событий (вероятность
этого равна   1/ 3 ) и b  3 / 10 д.е. в месяц в противном случае. В то же время единица
вложений в бизнес родственника обещает (валовую) отдачу c  6 / 5 д.е. в месяц
гарантированно. Ежемесячный доход, вырученный от участия в этих бизнес-проектах, если он
превышает w , бизнесмен предполагает потратить на приобретение автомобиля Porsche 911
стоимостью d  460 д.е. Сколько времени в среднем потребуется бизнесмену, чтобы
приобрести автомобиль? Будем считать, что у него нет возможности занимать или вкладывать
средства в другие активы и доходность вложений со временем не меняется. Предположим
также, что предпочтения бизнесмена представимы функцией ожидаемой полезности с
элементарной функцией полезности u ( x)  ln( x) .
7. Фермер на своих полях площадью 90 га может выращивать зерно или картошку или обе
культуры. В случае хорошей погоды один га земли зерновых приносит прибыль в 9 д.е., а один
га картофеля приносит 4 д.е. При неблагоприятных погодных условиях один га зерновых даст 2
18
д.е. прибыли, а один га картофеля принесет 4 д.е. прибыли. Пусть вероятность хорошей погоды
равна   1/ 3 .
(а) Предполагая, что элементарная функция полезности фермера имеет вид u( x )  ln x , найдите,
сколько земли следует отдать под каждую культуру.
(б) Как изменится ваш ответ на пункт (а), если в случае хорошей погоды один гектар зерновых
приносит не 9 д.е., а лишь 8 д.е. прибыли? (Попытайтесь ответить на вопрос, не решая задачу
максимизации ожидаемой полезности).
(в) Предположим теперь, что отдача от зерновых такая же как в пункте (б), но элементарная
функция полезности фермера имеет вид u( x )  x 2 . Сколько земли будет отведено под зерновые
в этом случае? (Попытайтесь ответить на вопрос, не решая задачу максимизации ожидаемой
полезности).
8. Рассмотрите модель спроса на страховку для индивида – рискофоба, предпочтения которого
описываются функцией ожидаемой полезности с дифференцируемой элементарной функцией
полезности. Пусть цена единицы страховки  превышает вероятность наступления страхового
случая  . Покажите, что в этой ситуации индивид не будет покупать полную страховку, а
застрахуется на сумму, меньшую потерь, т.е. выберет страховое покрытие y  L . Приведите
графическую иллюстрацию в пространстве контингентных благ.
9. Господин Д, имеющий доход $800, увлекается большим теннисом и иногда посещает
букмекерскую контору, делая ставки на результаты матчей. Перед финалом Уимблдона
букмекер принимал ставки на выигрыш Роджера Федерера у Рафаэля Надаля из расчета два к
одному, т.е. поставив $1 можно было получить $3 в случае выигрыша Роджера Федерера и
проиграть свою ставку в противном случае. Пусть предпочтения господина Д описываются
функцией ожидаемой полезности с элементарной функцией полезности u ( x)  1 / x . По
оценкам экспертов вероятность выигрыша Роджера Федерера равна 2/3.
(а) Какую ставку сделает господин Д?
(б) Какова максимальная ставка, на которую согласится господин Д?
(в) Проиллюстрируйте свои ответы на рисунке в пространстве контингентных благ. Отметьте
на рисунке наборы контингентных благ, соответствующие оптимальной и максимальной
ставкам.
10. Рассмотрите модель спроса на страховку для индивида, обладающего богатством w  $12
тыс. Предположим, с вероятностью   1 / 2 может произойти несчастный случай, в результате
которого индивид потеряет часть этого богатства, а именно, L  $8 тыс. Индивид имеет
возможность приобрести страховку по цене   1 / 2 за единицу страхового покрытия.
Предпочтения индивида описываются функцией ожидаемой полезности с элементарной
функцией полезности u ( x )  ln( x ) .
(а) Какое количество страховки приобретет данный индивид?
(б) Как изменится ваш ответ на пункт (а), если цена единицы страховки составит   3 / 5 ?
(в) Опишите задачу выбора оптимальной величины страховки в терминах контингентных
(обусловленных) благ.
 Определите состояния природы и соответствующие контингентные блага в данной
модели.
 Выведите бюджетное ограничение в терминах контингентных благ и изобразите
графически.
 Изобразите на графике оптимальную точку при   1 / 2 и   3 / 5 .
19
(г) Предположим теперь, что индивид нейтрален к риску. На какую сумму застрахуется данный
индивид при   3 / 5 ? Изобразите решение графически.
11. Рассмотрите индивида-рискофоба, который решает, как ему распределить свое богатство w
руб. между двумя активами. Первый актив – безрисковый: вложив 1 в этот актив, индивид
получит 4. Вложив 1 во второй актив – рисковый, можно получить a  4 с вероятностью  ,
  (0, 1) , и b  4 в противном случае, причем a  (1   )b  4 . Пусть предпочтения индивида
представимы функцией ожидаемой полезности с дифференцируемой элементарной функцией
полезности.
(а) Выпишите задачу максимизации ожидаемой полезности индивида и условия первого
порядка.
В пунктах (б)-(в) считайте, что индивид предъявляет положительный спрос на оба актива.
(б) Как изменится спрос на безрисковый актив при малом увеличении параметра b ?
Проинтерпретируйте полученный результат.
(в) Как изменится спрос на рисковый актив при малом увеличении вероятности  ?
Проинтерпретируйте полученный результат.
(г) Опишите задачу
(обусловленных) благ:
выбора
оптимального
портфеля
в
терминах
контингентных
 Определите состояния природы и соответствующие контингентные блага в данной
модели.
 Выведите бюджетное ограничение в терминах контингентных благ и изобразите
графически.
 Приведите графическую иллюстрацию условия a  (1   )b  4 , изобразив на одном
рисунке бюджетное ограничение и кривые безразличия индивида.
(д) Предположим теперь, что индивид нейтрален к риску. Найдите оптимальную величину
вложений в рисковый и безрисковый активы. Приведите графическую иллюстрацию.
12. Вы располагаете богатством 500 д.е. Ваш приятель хочет открыть свой магазин и просит у
Вас вложить в его бизнес некоторую сумму денег. В замен он обещает, что Вы станете
совладельцем. Тогда, если торговля будет успешной, то с каждого вложенного Вами рубля Вы
получите 4 д.е. Но если магазин прогорит, то Вы потеряете свои деньги. Изучая статистику Вы
поняли, что вероятность успеха равна 2/5. Ваша элементарная функция полезности имеет вид:
ux   ln x .
(а) Предположим, Ваш приятель просит у Вас вложить в магазин 200 д.е. Согласитесь ли Вы с
предложением приятеля?
(б) Выпишите условие, характеризующее максимальную сумму денег, которую Вы готовы
вложить в магазин.
(в) Предположим, что Ваш приятель просит у Вас не определенную сумму, а предлагает Вам
самому решить, сколько вложить, чтобы стать совладельцем. Какую сумму Вы дадите?
(г) Определите состояния природы и соответствующие контингентные блага в данной модели.
(д) Выведите бюджетное ограничение в терминах контингентных благ и изобразите
графически.
(е) Изобразите на графике Ваш оптимальный выбор.
(ж) Предположим теперь, что Вы нейтральны к риску. Каков будет Ваш оптимальный выбор в
этом случае? Приведите графическую иллюстрацию.
20
13. Владелец квартиры в центре Москвы решил выставить ее на продажу. Согласно
действующему законодательству ему придется заплатить налог на доход, полученный от
продажи квартиры. Собственнику квартиры хотелось бы избежать необходимости выплачивать
всю сумму налога, указав в договоре купли-продажи сумму отличную от фактически
полученной и заплатить требуемый налог с этой заниженной суммы. Но при этом он осознает,
что в случае проведения проверки может быть выявлено нарушение налогового
законодательства и тогда за каждый рубль, полученный от продажи квартиры, но не указанный
в договоре, ему придется заплатить штраф по ставке, превышающей ставку налога. Будем
считать, что в случае проведения проверки налоговая инспекция гарантированно выявит
фактическую стоимость квартиры. Предположим также, что владелец квартиры является
рискофобом с предпочтениями, представимыми функцией ожидаемой полезности.
(а) Специфицируйте все необходимые переменные и опишите задачу владельца квартиры в
терминах теории выбора в условиях неопределенности.
(б) Выпишите условия первого порядка задачи владельца квартиры.
(в) Приведите необходимое и достаточное условие (зависящее от экзогенных параметров
модели) того, что владелец квартиры будет указывать в договоре купли-продажи сумму
меньшую фактически полученной.
(г) Что можно сказать о том, как изменится оптимальная стоимость квартиры, указанная в
договоре купли-продажи, при малом увеличении ставки налога на доход, полученный от
продажи недвижимости?
(д) Опишите состояния природы и контингентные блага.
(е) Выпишите бюджетное ограничение в терминах контингентных благ и приведите
графическую иллюстрацию. Проинтерпретируйте условие, приведенное в пункте (в), исходя из
наклонов бюджетной линии и кривых безразличия.
(ж) Как изменится ваш ответ на пункт (д), если проверка, проводимая налоговой инспекцией,
выявляет фактическую сумму квартиры не гарантированно?
(з) Предположим, условие, приведенное в пункте (в), выполнено. Предположим также, что
владелец квартиры нейтрален к риску. Какая стоимость квартиры будет указана в договоре
купли-продажи в этом случае? Приведите графическую иллюстрацию.
14. *Рассмотрите экономику обмена с одним физическим благом, двумя потребителями (А и В)
и двумя состояниями мира (1 и 2). Пусть первоначальные запасы потребителей описываются
векторами  A  ( , 0) ,  B  (0,  ) , где   0 . Пусть потребитель А считает первое состояние
мира более вероятным, т.е.  1A   1B . Предположим также, что потребители являются
рискофобами с предпочтениями представимыми функцией ожидаемей полезности с
дифференцируемыми элементарными функциями полезности, не зависящими от состояния.
(а) Покажите, что во всех внутренних Парето-оптимальных распределениях уровень
потребления каждого потребителя будет выше в том состоянии мира, которое он считает более
вероятным.
(б) Будет ли верен результат пункта (а), если потребитель А нейтрален к риску?
15. *Рассмотрите экономику обмена с одним физическим благом, двумя потребителями (А и В)
и двумя состояниями мира (1 и 2). Пусть первоначальные запасы потребителей описываются
векторами  A  ( , 0) ,  B  (0,  ) , где   0 . Потребители одинаково оценивают вероятности
наступления обоих состояний мира. Предположим также, что потребители являются
рискофобами с предпочтениями представимыми функцией ожидаемей полезности с
дифференцируемыми элементарными функциями полезности, не зависящими от состояния.
21
(а) Покажите, что во всех внутренних Парето-оптимальных распределениях потребители будут
полностью застрахованы от риска (т.е. x1k  x2k для любого потребителя k ), пользуясь
дифференциальной характеристикой внутреннего Парето-оптимума.
(б) Приведите альтернативное доказательство утверждения из пункта (а): покажите, что для
любого допустимого внутреннего распределения такого, что x1k  x2k , можно построить Паретоулучшение.
(в) Покажите, что во внутреннем равновесии Эрроу-Дебре равновесное отношение цен равно
отношению вероятностей наступления соответствующих состояний мира.
(г) Предположим теперь, что потребитель А нейтрален к риску, а все остальные условия задачи
остаются неизменными. Будет ли потребитель В по-прежнему полностью застрахован от риска
в любом внутреннем Парето-оптимальном распределении?
16. *Рассмотрите экономику обмена с одним физическим благом, двумя состояниями мира (1 и
2) и тремя потребителями (A, B и С). Запасы физического блага у потребителей в состояниях
мира 1 и 2, соответственно, составляют  A  (9, 3) ,  B  (9, 6) ,  C  (9, 3) . Предпочтения всех
потребителей представимы функцией ожидаемой полезности с возрастающими элементарными
функциями полезности, причем элементарная функция полезности потребителя С имеет вид:
u C ( x)  ln x C . Потребитель С считает, что первое состояние мира наступит с вероятностью
p  0 . Найдите
 1C  1 / 3 . Известно, что в равновесии Эрроу-Дебре ~
x A  (12, 2) и ~
недостающие параметры равновесия.
Раздел 4. Теория поведения производителя (фирмы)
1. Обозначим через y количество велосипедов, произведенных из x1 единиц колес и x 2 единиц
велосипедных рам. Пусть для производства каждого велосипеда требуется одна рама и два
колеса. Изобразите изокванты данной технологии производства велосипедов и укажите
производственную функцию.
2. Пусть технология фирмы описывается производственной функцией f ( x1 , x2 )  x1  ( x2 ) 2 .
(а) Вычислите предельные продукты обоих факторов производства. Являются ли они
убывающими, возрастающими, постоянными?
(б) Что можно сказать об отдаче от масштаба данной производственной функции? Укажите
такие комбинации факторов производства, при которых:
(i) увеличение объемов использования обоих факторов производства в два раза приводит к
росту выпуска более чем в два раза;
(ii) увеличение объемов использования обоих факторов производства в два раза приводит к
росту выпуска менее чем в два раза.
3. Пусть технология фирмы описывается производственной функцией Кобба-Дугласа вида
f ( x1 , x2 )  x1a x2b , где a, b  0 .
(а) Может ли в данном случае процесс производства характеризоваться одновременно убыванием
предельного продукта каждого фактора и возрастающей отдачей от масштаба?
(б) Найдите предельную норму технологического замещения второго фактора первым
( MRTS 12 ). При каких значениях параметров будет иметь место убывание предельной нормы
технологического замещения?
(в) Выпишите задачу максимизации прибыли и условия, характеризующие ее решение.
Найдите функции спроса на факторы производства и функцию предложения фирмы.
(г) Покажите, что доля расходов на каждый фактор производства постоянна.
22
(д) Воспользовавшись результатом пункта (в), объясните, что происходит с функцией
предложения в случае постоянной отдачи от масштаба.
4. В приведенной ниже таблице указаны цены выпуска ( p ) и факторов (w1 , w2 ) , спрос фирмы
на факторы ( x1 , x2 ) и выпуск ( y ) в периоды t и s . Совместимы ли эти данные с
максимизацией прибыли?
p
y
Период
w2
x1
w1
x2
t
s
3
2
4
15
5
7
2
3
2
12
4
6
5. Докажите не пользуясь дифференцированием, что выручка максимизирующей прибыль
фирмы не возрастет при пропорциональном увеличении цен всех факторов производства.
6. Пусть технология фирмы описывается производственной функцией y  f ( x1 , x2 ) . Будем
считать, что производственная функция фирмы характеризуются убывающим предельным
продуктом каждого фактора. Пусть в краткосрочном периоде второй фактор фиксирован.
(а) Выпишите задачу максимизации прибыли и условия, характеризующие ее решение.
Приведите графическую иллюстрацию.
(б) Предположим, правительство ввело субсидию s на каждую единицу первого фактора,
используемую фирмой, причем s  w1 , где w1 - цена единицы первого фактора. Как изменится
объем использования первого фактора, предложение готовой продукции и прибыль фирмы в
результате введения субсидии? Приведите графическую иллюстрацию.
7. Пусть производственная функция максимизирующей прибыль фирмы имеет вид
f ( x1 , x2 )  x1  2 x2 .
(а) Найдите спрос фирмы на факторы производства, предложение готовой продукции и
прибыль в краткосрочном периоде, считая, что второй фактор фиксирован на уровне x 2 .
(б) Найдите спрос на факторы производства, предложение готовой продукции и прибыль
фирмы в долгосрочном периоде.
8. Найдите функцию прибыли и функцию предложения готовой продукции для фирмы,
технология которой описывается производственной функцией f ( z)  min{ z1, z2} . Считайте,
что цена готовой продукции равна единице.
9. Рассмотрите фирму, обладающую двумя технологиями, позволяющими производить выпуск,
q , используя два фактора производства - труд, L , и капитал, K , причем эти технологии
описываются
следующими
производственными
функциями:
и
q1  min{ 2K1, L1}
q2  min{ K 2 ,2L2 } .
(а) Изобразите на графике изокванты в пространстве факторов производства; найдите
производственную функцию данной фирмы.
(б) Вычислите предельную норму технологического замещения факторов производства, когда
она существует; охарактеризуйте эти соотношения. Что можно сказать об отдаче от масштаба
для данной фирмы?
10. Пусть производственная функция фирмы имеет вид f ( x1 , x2 )  ( x1a  x2a ) b , где a, b  0 .
(а) При каких значениях параметров данная технология характеризуется убывающей,
постоянной и возрастающей отдачей от масштаба?
(б) Предположим, что b  1/ a . Выпишите задачу минимизации издержек и найдите функции
условного спроса на факторы производства и функцию издержек фирмы. Вычислите
предельные и средние издержки. Проинтерпретируйте полученный результат.
23
11. Покажите, что, если технология фирмы характеризуется постоянной отдачей от масштаба,
то максимальная прибыль либо равна нулю, либо задача максимизации прибыли не имеет
решения.
12. Рассмотрите фирму, которая производит готовую продукцию, используя два фактора
производства, согласно производственной функции f ( x1 , x2 )  2 x1  4 x2 .
(а) Изобразите изокванту, соответствующую уровню выпуска y  4 .
(б) Пусть цена выпуска равна p  4 , а цены факторов составляют w1  2 и w2  3 . Выпишите
задачу максимизации прибыли фирмы; найдите спрос на оба фактора производства и
предложение готовой продукции.
13. Покажите, что минимизация издержек является необходимым условием максимизации
прибыли.
14. Пусть производственная функция фирмы имеет вид f ( x1 , x2 ) . В каждом из следующих
случаев
(i) f ( x1 , x2 )  min{ 4x1 , x2 } .
(ii) f ( x1 , x2 )  4x1  x2 .
(iii) f ( x1 , x2 )  4x1 x2 .
(а) Вычислите минимальные издержки производства выпуска y  4 при ценах факторов
w1  w2  1 . Приведите графическую иллюстрацию.
(б) Найдите функции условного спроса на факторы производства, и функцию издержек фирмы.
15. Верно ли, что если технология характеризуется постоянной отдачей от масштаба, то
функция издержек линейна по выпуску? Что можно сказать в этом случае о средних
издержках?
16. Пусть при ценах ( w1t , w2t )  (10, 20) фирма использовала следующие объемы факторов
производства ( x1t , x2t )  (1, 2) для производства 100 единиц готовой продукции. Затем цены
изменились, и при новых ценах ( w1s , w2s )  (20, 10) фирма производила 100 единиц готовой
продукции, затратив факторы в количестве ( x1s , x2s )  (2, 1) . Совместимо ли подобное поведение
фирмы с минимизацией издержек?
17. Пусть фирма владеет двумя заводами по производству некоторого товара. На первом заводе
продукция производится в соответствии с функцией издержек c1 (q1 )  q12 / 2 , а на втором – в
соответствии с функцией издержек c2 (q2 )  q2 . Найдите функцию издержек фирмы.
18. Рассмотрите фирму, минимизирующую издержки, которая производит готовую продукцию
с помощью двух факторов производства (труда и капитала). Предположим, что заработная
плата, возросла, и фирма на это отреагировала изменением спроса на факторы производства, но
сохранила выпуск постоянным. Что произойдет с объемом труда, используемым фирмой?
19. Пусть функция издержек фирмы в долгосрочном периоде (при фиксированных ценах
факторов производства) имеет вид: c( y )  y 2  T , если y  0 , и c(0)  0 , где T  0 – это затраты
фирмы на вход в отрасль (например, на покупку лицензии).
(а) Найдите средние и предельные издержки фирмы и приведите графическую иллюстрацию.
(б) Найдите функцию предложения фирмы и приведите графическую иллюстрацию.
Раздел 5. Экономика с производством
1. Рассмотрите экономику с одним потребителем (А) и одной фирмой, производящей из
первого блага второе в соответствии с производственной функцией f  x1   3x1 . Пусть
24
потребитель имеет начальный запас благ 1A  4 , 2A  3 , а его предпочтения описываются
функцией полезности u A x1A , x2A   x1A x2A .
(а) Приведите графическую иллюстрацию (изобразив аналог ящика Эджворта). Укажите на
рисунке все допустимые распределения. Является ли распределение x1A  3, x2A  5, x1  1, y 2  2
допустимым?
(б) Будет ли распределение x1A  0, x2A  15, x1  4, y2  12  Парето-оптимальным? Если вы
считаете, что данное распределение Парето-оптимально, тогда приведите доказательство, если
вы считаете, что нет, – укажите Парето-улучшение.
(б) Найдите Парето-оптимальные распределения. Приведите графическую иллюстрацию.
(в) Предположим теперь, что 2A  16 (а все остальные условия задачи неизменны). Найдите
Парето-оптимальные распределения в этом случае. Приведите графическую иллюстрацию.
2. Рассмотрите экономику с одним потребителем А и технологией. Предпочтения потребителя
представимы функцией полезности u A x1A , x2A  . Предпочтения потребителя строго монотонны и
u A xiA  0 , i  1, 2 . Технология позволяет произвести из первого блага второе.
Технологический процесс описывается производственной функцией y 2  f  x1  , такой, что
Известно, что в распределении x1A , x2A , x1 , y2  , все компоненты которого
положительны, выполнено MRS12A x1A , x2A   7. Можно ли утверждать, что такое распределение
Парето-оптимально, если (а) f  x1   12; (б) f  x1   4? Если считаете, что можно, то докажите,
если нет, то постройте Парето-улучшение.
f  x1   0 .
3. Рассмотрите экономику в которой предпочтения потребителя представимы функцией
полезности u A x1A , x2A   x1A  x2A , где параметр   0 . Начальные запасы благ 1A  16 , 2A  1 .
Технология задается производственной функцией f  x1   2 x1 .
(а) Является ли распределение x1A  12, x2A  6, x1  4, y2  4 допустимым? Существуют ли
значения параметра  , при которых распределение Парето-оптимально?
(б) Пусть   3 . Найдите все Парето-оптимальные распределения. Приведите графическую
иллюстрацию.
(в) Пусть   5 . Найдите все Парето-оптимальные распределения. Приведите графическую
иллюстрацию.
(г) Укажите все значения параметра   0 , при которых Парето-оптимальное распределение
внутреннее.
4. Пусть

    
2
2
u A x1A , x2A  x1A  x2A . Технология позволяет из двух единиц первого блага
произвести одну единицу второго блага. Начальные запасы благ 1A  25 , 2A  0 .
(а) Рассмотрите распределение ( x1A  6, x2A  x2  12, x1  24 ). Является ли оно Паретооптимальным? Аргументируйте свой ответ.
(б) Рассмотрите распределение ( x1A  5 , x2A  10 , x1  20 , x2  10 ). Является ли оно Паретооптимальным? Аргументируйте свой ответ.
5. Рассмотрите экономику с одним потребителем и одним производителем. Функция
полезности потребителя u A x1A , x2A   min 2 x1A , x2A . Начальные запасы благ 1A  5 , 2A  0 .
Технология задается производственной функцией f  x1   x1 .
25
(а) Пусть 2A  0 . Найдите Парето-оптимальное распределение/я. Приведите графическую
иллюстрацию.
(б) Существуют ли в модели значения 2A , при которых в Парето-оптимальном распределении
x1  x2  0 ?
6. Рассмотрите экономику в которой предпочтения потребителя представимы функцией
полезности u A x1A , x2A   x1A 3 x2A 3 . Начальные запасы благ 1A  7 , 2A  1 . Технология задается
производственной функцией f  x1   2 x1 . Найдите равновесие по Вальрасу в данной
экономике. Приведите графическую иллюстрацию. Будет ли равновесное распределение
Парето-оптимально?
2
1
7. Рассмотрите экономику с одним потребителем и одним производителем. Функция
2
полезности потребителя u A x1A , x2A   x1A x2A  . Начальные запасы благ 1A  5 , 2A  9 . Технология
позволяет из единицы первого блага произвести три единицы второго блага.
(а) Проверьте выполнение закона Вальраса в рассматриваемой экономике.
(б) Найдите равновесие, следуя определению равновесия. Будет ли равновесное распределение
Парето-оптимальным?
(в) Предположим, правительство ввело 30 % налог на прибыль фирмы. Доходы от сбора налога
передаются потребителю. Не выполняя расчетов, объясните как изменится равновесное
распределение и цены.
8. Рассмотрите экономику с одним потребителем и одним производителем. Функция
полезности потребителя u A x1A , x2A   x1A  2 x2A . Начальные запасы благ 1A  16 , 2A  2 .
Технология задается производственной функцией f  x1   2 x1 .
(а) Найдите равновесие по Вальрасу, следуя определению равновесия. Будет ли равновесное
распределение Парето-оптимальным?
(б) Предложите альтернативный поиск равновесия и реализуйте его.
9. Рассмотрите экономику, в которой предпочтения потребителя представимы функцией
полезности u A x1A , x2A   x1A . Технология позволяет из единицы первого блага произвести две
единицы второго. Начальные запасы 1A  0 , 2A  0 .
(а) Пусть 2A  0 . Рассмотрите распределение x1A  1A , x2A  2A , x1  y2  0 . Является ли оно
Парето-оптимальным? Может ли оно быть реализовано как равновесное при положительных
ценах? Если да, то реализуйте. Если нет, то объясните почему. Согласуется ли этот результат с
теоремами благосостояния?
(б) Выполните задания пункта (а) при предположении, что 2A  0 .
10. Пусть функция полезности потребителя имеет вид: u A x1A , x2A   x1A x2A . Технология
описывается производственной функцией f ( x1 )  x1 . Начальные запасы благ: 1A  7 , 2A  2 .
Можно ли в рассматриваемой экономике распределение ( xˆ1A  6 , xˆ2A  3 , x̂1  1,
реализовать как равновесное? Если да, то при каких ценах?
ŷ 2  1)
11. Предпочтения потребителя представимы функцией полезности u A x1A , x2A   x1A   x2A  . Для
производства единицы второго блага требуется затратить две единицы первого блага.
Начальные запасы 1A  4 , 2A  3 . Найдите все Парето-оптимальные распределение/я. Какое из
найденных распределений может быть реализовано как равновесное?
2
2
26
12. Пусть спрос на шампанское описывается функцией x ( p )  140  2 p , а предложение
шампанского задается функцией y ( p )  2 p  40 .
(а) Найдите равновесную цену и объем производства и потребления шампанского. Приведите
графическую иллюстрацию.
(б) Предположим, правительство решило ввести налог на производителей шампанского в
размере t  6 на каждую произведенную единицу. Найдите равновесие на рынке шампанского
и приведите графическую иллюстрацию.
(в) Как изменится ваш ответ на пункт (б), если налог платит потребитель? Проиллюстрируйте
свой ответ рисунком.
(г) Какова минимальная величина потоварного налога t , при которой в равновесии ничего не
производится и не потребляется?
(д) Как изменятся излишки потребителя и производителя в результате введения налога,
описанного в пункте (б)? Какова величина чистых потерь (DWL) от введения потоварного
налога? Проиллюстрируйте свой ответ рисунком.
(е) Предположим теперь, что накануне Нового года правительство отменила налог на
шампанское, но ввело «потолок» цены, по которой можно продавать шампанское, на уровне
pˆ  40 (т.е. производитель не может продавать товар по цене выше указанной). А для того,
чтобы на рынке шампанского не возникло дефицита, было решено субсидировать
производителя. Какова должна быть величина потоварной субсидии, чтобы на рынке
шампанского спрос был равен предложению?
(ж) Предположим, что теперь вводится 50% субсидия на стоимость каждой проданной единицы
шампанского, т.е. s  1 / 2 . Найдите равновесие в данном случае и проиллюстрируйте свой
ответ рисунком.
(з) Как изменится ваш ответ на пункт (ж), если субсидию получает потребитель?
Проиллюстрируйте свой ответ.
13. Пусть в городе N проживают автовладельцы только двух типов: А и В. Функция спроса на
бензин автовладельца типа А имеет вид: x A ( p)  20  5 p , а автовладельца типа В:
x B ( p)  15  3 p . Предположим, что в городе всего 150 жителей: 100 из них автовладельцы типа
А и 50 – автовладельцы типа В.
(а) Найдите функцию совокупного спроса на бензин всех потребителей типа А и всех
потребителей типа В. Приведите графическую иллюстрацию.
(б) Найдите функцию совокупного (рыночного) спроса на бензин всех жителей города N и
приведите графическую иллюстрацию.
(в) Предположим теперь, что совокупное предложение бензина описывается функцией
y ( p )  50 p  150 . Найдите равновесную цену бензина и объем его производства и потребления.
Проиллюстрируйте свой ответ рисунком.
14. Верно ли, что производители алкогольной продукции неизбежно выигрывают при введении
минимальной цены на их продукцию?
15. Сравните с точки зрения излишка потребителей, излишка производителей, чистых потерь
общества установление максимальной цены молока и потоварное налогообложение
производства молочной продукции, приводящие к одинаковому равновесному объему продаж
этой продукции. Считайте, что кривые спроса и предложения линейны.
16. Пусть совокупный спрос на благо описывается функцией x( p)  120  4 p , а совокупное
предложение: y ( p )  2 p  30 .
(а) Найдите равновесную цену и количество блага. Приведите графическую иллюстрацию.
27
(б) Предположим, правительство решило субсидировать производителей блага, выплачивая им
субсидию s  5 за каждую произведенную единицу блага. Найдите равновесие и приведите
графическую иллюстрацию.
(в) Как изменится ваш ответ на пункт (б), если субсидию получает потребитель?
17. Рассмотрите модель частичного равновесия с одним потребителем (А) и одним
производителем на рынке клубники. Пусть предпочтения потребителя А относительно
клубники (благо 2) и агрегированного потребительского блага (благо 1; положим цену этого
блага равной единице) описываются функцией полезности u A ( x1A , x2A )  20 x2A  x2A   x1A .
Будем считать, что потребитель обладает положительным первоначальным запасом первого
блага (достаточным для того, чтобы потреблять это благо в положительном количестве при
любых ценах), но не имеет запаса второго блага. Фирме, выращивающей клубнику, для
2
производства y 2 единиц клубники требуется затратить  y 2  единиц первого блага. Однако
доля  , 0    1 , полученного фирмой урожая клубники имеет нетоварный вид и не может
быть продана на рынке.
2
(а) Выпишите задачу фирмы и найдите ее предложение клубники. Как зависит прибыль фирмы
от параметра  ? Проинтерпретируйте полученный результат.
(б) Выпишите задачу потребителя и найдите функцию спроса на клубнику.
(в) Найдите равновесную цену и равновесный объем производства и потребления клубники.
Проиллюстрируйте равновесие на графике.
(г) Как зависит равновесная цена и равновесный объем от параметра  ? Проинтерпретируйте
полученный результат. Проиллюстрируйте свой ответ на рисунке.
18. Типичная фирма из Силиконовой долины производит выпуск y в соответствии с
технологией, описываемой функцией издержек c( y ) , которая является возрастающей и строго
выпуклой. Производимая продукция делится на две группы. Первую группу, доля которой
равна  , образуют устройства без дефектов. Товары этой группы продаются на конкурентном
рынке по цене p . Продукция второй группы содержит дефекты и не может быть продана.
(а) Как изменится прибыль и выпуск фирмы при малом увеличении доли продукции без
дефектов  ?
(б) Предположим, что в отрасли J таких фирм. Пусть x ( p ) - функция совокупного спроса на
продукции отрасли; будем считать, что она является убывающей. Как изменится равновесная
цена p при малом увеличении  ?
Раздел 6. Рыночные структуры: монополия и олигополия
1. Рассмотрите фирму-монополиста, технология которой описывается функцией издержек
c( y)  y 2  12 . Пусть обратная функция совокупного спроса на продукцию, производимую
монополистом, имеет вид: p( y )  24  y .
(а) Найдите равновесные цену, выпуск и прибыль монополиста. Приведите графическую
иллюстрацию.
(б) Сравните результат пункта (а) со случаем совершенно конкурентного рынка. Подсчитайте
величину чистых потерь (deadweight loss), связанных с монополистическим поведением фирмы.
(в) Пусть монополист облагается налогом в размере 8 д.е. с каждой единицы выпуска. Как
введение налога отразится на выпуске монополиста? Каковы будут налоговые сборы
государства? Приведите графическую иллюстрацию. Как изменится ваш ответ, если
монополист облагается налогом на прибыль?
2. Монополист обладает функцией издержек вида: c( y )  cy , c  0 . Обратная функция
совокупного спроса на производимую монополистом продукцию имеет вид: p( y)  2 / y . В
28
экономике действует пропорциональный налог с продаж на продукцию, производимую
монополистом. В результате, если потребитель платит за единицу товара цену p c , то
монополист получает лишь p m  (1  ) pc . Рассматривается вариант фискальной политики,
предусматривающий замену пропорционального налога с продаж на потоварный налог (налог
на выпуск) со ставкой t : pm  pc  t . Какова должна быть ставка налога t , чтобы при переходе
к новому налогу потребители платили бы ту же цену, что и раньше, когда действовал
пропорциональный налог с продаж?
3. Покажите, что монополист не имеет функции предложения как взаимооднозначного
соответствия между ценой и объемом выпуска, приведя графическую иллюстрацию.
4. Рассмотрите монополиста, технология которого описывается возрастающей функцией
издержек c( y ) . Предположим, что вводится налог  на доход (выручку) монополиста, 0    1
(т.е. монополист должен выплачивать в качестве налога долю  своего дохода). Обозначим
через y m и y mt равновесный выпуск монополиста до и после введения налога соответственно.
Будем считать, что выпуск монополиста до и после введения налога положителен.
(а) Покажите, что y mt  y m (не предполагая дифференцируемости функций).
(б) Предположим теперь, что функция издержек и обратная функция спроса дифференцируемы,
причем c ( y )  0 , c ( y )  0 для любого y  0 . Покажите, что тогда y mt  y m .
5. (а) Верно ли, что потоварная субсидия на производство товара недискриминирующей
монополии, побуждающая ее производить эффективный объем товара, неизбежно приведет к
чистым потерям общества?
(б) Верно ли, что введение потоварного налога на продукцию монополии неизбежно приведет к
снижению прибыли недискриминирующего монополиста?
(в) Верно ли, что в результате введения потоварного налога по ставке t на выпуск монополиста
монопольная цена вырастет не менее, чем на величину налога?
6. *Рассмотрите монополиста, осуществляющего продажи своей продукции на рынках двух
стран. Перепродажи продукции между странами невозможны. Спрос первой и второй страны на
продукцию монополиста описывается функциями y1  100  p1 и y2  40  p2 , соответственно.
Пусть технология монополиста описывается функцией издержек c( y )  4 y .
(а) Найдите равновесные цены, выпуск для каждой страны и прибыль монополиста.
(б) Предположим теперь, что монополист устанавливает единую цену в обеих странах
(рассматривая их как один рынок)? Найдите равновесную цену, выпуск и прибыль
монополиста. Сравните прибыль монополиста с полученной в пункте (а).
7. *Рассмотрите две группы потребителей со следующими функциями спроса на благо x :
x A  p   6  p и x B  p   8  p . Пусть благо x производится монополистом, технология
которого описывается функцией издержек c( x )  2 x . Пусть количество потребителей в группах
одинаково, а монополист знает функции спроса потребителей и может различать тип
потребителей. Арбитраж между группами невозможен.
(а) Приведите схему оплаты «не хочешь – не бери».
(б) Пусть монополист использует двухкомпонентный тариф: потребитель должен заплатить
фиксированную сумму A за право приобретения блага и цену p за каждую единицу
приобретенного блага. Считая, что монополист может предотвратить перепродажи блага,
найдите оптимальный двухкомпонентный тариф для каждой группы потребителей.
(в) Предположим, что монополист реализует дискриминацию первого типа следующим
образом: разделив количество блага, которое купит потребитель на 3 равные части, он
29
назначает за каждую часть свою цену (за первую  p1 , за вторую  p2 и т.д.) Найдите p1 , p2 и
p 3 для потребителей типа В.
(г) Пусть теперь потребитель не может различить потребителей. Найдите оптимальный
двухкомпонентный тариф.
8. Рассмотрите отрасль с двумя фирмами, производящими однородную продукцию. Технологии
фирм характеризуются одинаковыми функциями издержек c j ( y j )  2 y j для любого j  1, 2 .
Обратная функция совокупного спроса на продукцию, производимую отраслью, имеет вид
p  8  Y , где Y  y1  y2 .
(а) Пусть фирмы конкурируют путем одновременного выбора уровня выпусков. Укажите, какая
модель дуополистической конкуренции имеет место в данном случае, и найдите равновесные
выпуски фирм и прибыль обеих фирм. Каков будет равновесный выпуск отрасли и равновесная
цена?
(б) Предположим теперь, что сначала первая фирма (лидер) решает, какое количество
продукции произвести, а затем вторая фирма (ведомый), рассматривая выбор первой фирмы как
данный, принимает решение о выпуске. Укажите, какая модель дуополистической конкуренции
имеет место в данном случае, и найдите равновесные выпуски фирм в данной модели.
(в) Сравните равновесные уровни выпусков, найденные в пунктах (б) и (в). Приведите
графическую иллюстрацию в пространстве выпусков.
(г) Если бы фирмы, конкурирующие путем одновременного выбора уровня выпуска, сумели
объединиться в картель, сколько суммарной прибыли они бы выиграли?
9. Рассмотрите отрасль с двумя фирмами, производящими однородную продукцию. Технологии
фирм описываются функциями издержек c1 ( y1 )  2 y1 и c2 ( y2 )  6 y2 , соответственно. Функция
совокупного спроса на продукцию, производимую отраслью, имеет вид Y  8  p , где
Y  y1  y2 .
(а) Предположим, что сначала первая фирма (лидер) решает, какое количество продукции
произвести, а затем вторая фирма (ведомый), рассматривая выбор первой фирмы как данный,
принимает решение о выпуске. Найдите равновесные выпуски обеих фирм. Приведите
графическую иллюстрацию.
(б) Сравните найденное в пункте (а) равновесие с равновесием при конкуренции по Курно.
Изобразите равновесные выпуски в модели Курно на том же рисунке.
10. Рассмотрите дуополию Курно в отрасли, обратная функция совокупного спроса на
продукцию которой имеет вид p (Y )  4  4Y , где Y - совокупный выпуск отрасли.
Предположим, фирмы обладают технологиями с функциями издержек c1 ( y1 )  2 y12 и
c2 ( y 2 )  2 y 22 .
(а) Вычислите функции реакции каждой фирмы. Приведите графическую иллюстрацию.
(б) Найдите равновесный выпуск каждой из фирм, совокупный выпуск и равновесную цену
продукции.
11. Рассмотрите отрасль, в которой две фирмы конкурируют по Курно. Предположим,
технологии обеих фирм характеризуются постоянными предельными издержками, c j , причем
c1  c2 . Обратная функция совокупного спроса на продукцию отрасли имеет вид:
p(Q )  a  bQ , где a, b  0 , a  c1 .
(а) При каком условии только одна из фирм будет производить продукцию в равновесии? Какая
именно фирма? Найдите равновесный выпуск данной фирмы.
30
(б) Предположим, условие, полученное в пункте (а), не выполняется. Найдите равновесие в
этом случае.
(в) Как изменятся равновесные выпуски и прибыль каждой из фирм, найденные в пункте (б),
при изменении предельных издержек?
12. Рассмотрите отрасль с двумя фирмами, производящими однородную продукцию.
Технологии фирм описываются функциями издержек c j ( y j )  2 y j , j  1, 2 . Обратная функция
совокупного спроса на продукцию, производимую отраслью, имеет вид p  6  Y .
Предположим, что сначала первая фирма решает, какое количество продукции произвести, а
затем вторая фирма, рассматривая выбор первой фирмы как данный, принимает решение о
выпуске.
(а) Найдите равновесные выпуски обеих фирм. Приведите графическую иллюстрацию.
(б) Предположим теперь, что функция издержек первой фирмы имеет вид c1 ( y1 )  5 y1 . Как
изменится ваш ответ на пункт (а)?
(в) Сравните найденное в пункте (а) равновесие с равновесием при конкуренции по Курно.
13. Рассмотрите рынок процессоров, на котором действуют две компании: «Antel» и «BMD»,
имеющие одинаковые функции издержек c( y )  20 y . Совокупный спрос на процессоры
описывается функцией Y  40  p .
(а) Предположим, что владелец фирмы «Antel» решил удалиться от дел и передать управление
компанией своему сыну. Поскольку способность сына управлять компанией вызывает у отца
некоторые сомнения, то он решил передать управление фирмой на следующих условиях: фирма
«Antel» под руководством сына должна производить определенный уровень выпуска, в
противном случае сын будет отстранен от управления компанией.
Какого уровня выпуска потребует от сына отец? Какой уровень выпуска будет производить
фирма «BMD»?
(б) Предположим теперь, что незадолго до того как владелец компании «Antel» решил
удалиться от дел, владелец «BMD» передал управление компанией своей дочери, причем
публично посоветовал ей производить уровень выпуска, который был получен в пункте (а) для
компании «Antel», но при этом заметил, что она не обязана следовать его совету.
Последует ли дочь совету отца? Каков будет уровень выпуска обеих фирм в этом случае?
14. Рассмотрите отрасль с двумя фирмами, производящими однородную продукцию.
Технологии фирм характеризуются одинаковыми функциями издержек c j ( y j )  2 y j для
любого j  1, 2 . Обратная функция совокупного спроса на продукцию, производимую
отраслью, имеет вид p  8  Y , где Y  y1  y2 .
(а) Пусть фирмы принимают цены заданными. Каков будет равновесный выпуск отрасли и
равновесная цена?
(б) Предположим теперь, что сначала первая фирма (лидер) решает, какое количество
продукции произвести, а затем вторая фирма (ведомый), рассматривая выбор первой фирмы как
данный, принимает решение о выпуске. Укажите, какая модель дуополистической конкуренции
имеет место в данном случае, и найдите равновесные выпуски фирм в данной модели.
(в) Предположим теперь, что фирмы конкурируют путем одновременного выбора уровня
выпусков. Укажите, какая модель дуополистической конкуренции имеет место в данном
случае, и найдите равновесные выпуски фирм и прибыль обеих фирм.
(г) Сравните равновесные уровни выпусков, найденные в пунктах (б) и (в). Приведите
графическую иллюстрацию в пространстве выпусков.
(д) Если бы фирмы, конкурирующие путем одновременного выбора уровня выпуска, сумели
объединиться в картель, сколько суммарной прибыли они бы выиграли?
31
15. Рассмотрите рынок Интернет-услуг, на котором действуют две фирмы. Функция
совокупного спроса на услуги фирм имеет вид Y  20  p , где p – цена за 1 Мбайт данных в
ден. ед. Будем считать, что фирмы имеют одинаковые издержки производства, которые
составляют 0,5 ден. ед. за 1 Мбайт данных. Фирмы одновременно и независимо назначают
цены, а потребители выбирают услуги той фирмы, которая предложила наименьшую цену. В
случае одинаковых цен фирмы поделят клиентов поровну. Каковы равновесные цены?
16. Рассмотрите отрасль, в которой действуют две фирмы, производящие однородную
продукцию, технологии которых описываются одинаковыми функциями издержек
c j ( y j )  2 y j , j  1, 2 . Обратная функция совокупного спроса на продукцию отрасли имеет вид:
p(Y )  10  Y , где Y  y1  y2 - совокупный выпуск отрасли. Предположим, в отрасли вводится
налог на производство каждой единицы продукции t  3 . Как изменится равновесная цена в
результате введения налога, если
(а) фирмы совершенно конкурентны?
(б) фирмы конкурируют путем одновременного выбора выпусков?
(в) фирмы конкурируют путем одновременного установления цен?
(г) фирмы объединяются в картель?
17. Рассмотрите модель конкуренции по Бертрану, изложенную на лекции, для случая трех
фирм, производящих однородную продукцию и имеющих одинаковые постоянные предельные
издержки c  0 . Будет ли ситуация, когда p1  p2  c , p3  c , где p j – цена, установленная
фирмой j , равновесной?
18. *Рассмотрите дуопольную отрасль, в которой фирмы, имеющие функции издержек
c1 ( y1 )  cy1 , где c  0 , и c2 ( y 2 )  y 22 / 2 , производят однородную продукцию. Предположим,
что сначала первая фирма (лидер) устанавливает цену, а затем вторая фирма (ведомый),
принимая эту цену заданной, выбирает объем выпуска, максимизирующий прибыль. Пусть
функция совокупного спроса на продукцию отрасли имеет вид: D( p )  a  bp , где a, b  0 .
Найдите равновесие и изобразите графически.
19. Рассмотрите отрасль, в которой действуют две фирмы, производящие однородную
продукцию. Технологии фирм описываются дифференцируемыми функциями издержек c j ( y j ) ,
j  1, 2 . Обратная функция спроса на продукцию отрасли имеет вид: p(Q)  2  Y . Найдите
равновесие картеля в следующих случаях:
(а) c1 ( y1 )  0.5 y1 , c2 ( y 2 )  y 2 ;
(б) c1 (q1 )  y12 , c2 ( y 2 )  2 y 22 .
Раздел 7. Провалы рынка: общественные блага и экстерналии
1. Рассмотрите экономику с двумя благами (частным и общественным) и двумя потребителями
(А и В), предпочтения которых представимы следующими функциями полезности:
u A ( x1A , x2 )  2 ln( x2 )  x1A , u B ( x1B , x2 )  6 ln( x2 )  x1B , где x2 – количество общественного блага, а x1k –
объем потребления частного блага k-ым потребителем. Общественное благо производится
фирмой, которой для производства y 2 единиц общественного блага требуется затратить
c  y 2   4 y 2 единиц частного блага. Известно, что у потребителей нет запаса общественного
блага, а запасы частного блага составляют 1A  10 , 1B  20 . Найдите (внутренние) Паретооптимальные распределения общественного и частного блага.
2. Рассмотрите экономику с двумя благами (общественным и частным) и двумя потребителями
(А и В), предпочтения которых представимы функциями полезности вида u k x1k , x2   v k x2   x1k ,
где v k x 2   0 , v k x2   0 , x2  потребление общественного блага, x1k  потребление частного
блага потребителем k , k  A, B . Пусть каждый потребитель имеет положительный запас


32
частного блага и не имеет запаса общественного блага. Общественное благо производится
фирмой, которой для производства y 2 единиц общественного блага требуется затратить
c  y 2    y 2 единиц частного блага, где   0 . Предположим, во внутреннем Паретооптимальном распределении при    уровень общественного блага составил x 2  xˆ 2  0 , а при
   , где 0    1 , уровень общественного блага составил x 2  ~x 2  0 . Можно ли утверждать,
что xˆ2  ~x2 или xˆ2  ~x2 ? Обоснуйте свой ответ.
3. Рассмотрите экономику, в которой два потребителя имеют квазилинейные функции
полезности вида u A ( x1A , x2 )  4 ln x2  x1A и u B ( x1B , x2 )  8 ln x2  x1B , где x 2  объем потребления
общественного блага, x1k  объем потребления частного блага k-ым потребителем, k  A, B . В
экономике есть одна фирма, которой для производства y единиц общественного блага
необходимо затратить c( y )  y 2 единиц частного блага. Начального запаса общественного блага
в экономике нет. Начальные запасы частного блага 1 A  120 , 1 B  20 . Доля потребителя A в
прибыли фирмы составляет  A  3 / 4 .
(а) Запишите определение равновесия с добровольным финансированием.
(б) Выведите условие первого порядка для задачи фирмы.
(в) Выведите условие первого порядка для задачи потребителей.
(г) Кто из потребителей будет финансировать покупку общественного блага? Обоснуйте свой
ответ.
(д) Найдите равновесие с добровольным финансированием.
(е) Будет ли найденное равновесное распределение Парето-оптимальным? Аргументируйте.
Найдите множество внутренних Парето-оптимальных распределений, чтобы проверить свой
ответ.
4. Рассмотрите экономику с двумя благами (частным и общественным) и двумя потребителями,
имеющими функции полезности вида u A ( x1A , x2 )  12 x2  x1A , u B ( x1B , x2 )  4 x2  x1B , где x2 
объем потребления общественного блага, x1k  объем потребления частного блага k-ым
потребителем, k  A, B. В экономике есть одна фирма, принадлежащая потребителю А,
которой для производства единицы общественного блага требуется шесть единиц частного
блага. Известно, что у потребителей нет запаса общественного блага, но имеется следующий
запас частного блага: 1 A  80 , 1B  20 . Найдите равновесие с добровольным финансированием
общественного блага. Будет ли равновесный уровень общественного блага Паретооптимальным?
5. Рассмотрите экономику, в которой 2 потребителя имеют квазилинейные функции полезности
вида u A  3 x2  x1A и u B  2 x2  x1B , где x2  количество потребляемого общественного блага, а
x1k потребление частного блага k-ым потребителем, k  A, B . В экономике есть одна фирма,
которая производит общественное благо из частного. Для производства y 2 единиц
общественного блага требуется затратить c( y2 )  ( y2 )3 / 2 единиц частного. Начального запаса
общественного блага в экономике нет. Начальные запасы частного блага 1A  80,5 и 1B  100,5 .
Фирмой полностью владеет потребитель В. Существуют ли цены, при которых набор
~x2  ~y2  1, ~x1A  79, ~x1B  101, ~t A  3 2 , ~t B  0 является равновесным в равновесии с добровольным
финансированием? Если да, то найдите их, если нет, то объясните почему.
6. Рассмотрите экономику с двумя благами (частным и общественным) и тремя потребителями
(1, 2, 3), имеющими функции полезности вида u k ( x1k , x2 )  k 2vx2   x1k , k  1, 2, 3 , причем
v( x2 )  0 , v( x2 )  0 , где x2 - количество общественного блага, а x1k – потребление частного
33
блага k-ым потребителем. В экономике есть одна фирма, принадлежащая потребителю 1,
которая производит общественное благо из частного в соответствии с функцией издержек
c( y2 )  cy 2 , c  0 . Известно, что у потребителей нет запаса общественного блага, но каждый
владеет положительным запасом частного блага.
(а) Приведите определение равновесия с добровольным финансированием в данной экономике.
(б) Пусть в экономике существует внутреннее равновесие с добровольным финансированием.
Охарактеризуйте уровень общественного блага во внутреннем равновесии. Будет ли в этом
равновесии перепроизводство или недопроизводство общественного блага по сравнению с
Парето-оптимумом?
(в)*Приведите определение равновесия Линдаля в данной экономике. Охарактеризуйте уровень
общественного блага во внутреннем равновесии Линдаля.
7. Рассмотрите экономику, в которой два потребителя имеют квазилинейные функции
полезности вида u A ( x1A , x2 )  8 x2  x1 A и u B ( x1B , x 2 )  4 x 2  x1 B , где x2  количество
потребляемого общественного блага, а x1k потребление частного блага k-ым потребителем,
k  A, B. В экономике есть одна фирма, которая производит общественное благо из частного.
3
Для производства y 2 единиц общественного блага требуется затратить с y2    y2 2 единиц
частного. Начального запаса общественного блага в экономике нет. Начальные запасы частного
блага 1 A  1B  10 . Фирмой полностью владеет потребитель В.
(а) Найдите равновесие с добровольным
распределение Парето-оптимально?
финансированием.
Будет
ли
равновесное
(б)*Найдите равновесие по Линдалю.
(в)*Рассмотрите распределение ~x2  ~y2  4 , ~x1  8 , ~x1A  5 , ~x1B  7 . Если возможно, реализуйте
его как равновесное по Линдалю в экономике с трансфертами. Если нет, то объясните, почему.
8. *Рассмотрите экономику с двумя благами (общественным и частным) и с тремя
потребителями (А, В и С), предпочтения которых строго монотонны. Фирмой владеют
потребители В и С в равных долях. Технология фирмы позволяет произвести y 2 единиц
общественного блага используя c y 2   ( y 2 ) 2 / 2 единиц частного. Потребители владеют
начальными запасами частного блага 1A  10 , 1B  26 и 1C  30 . Начальных запасов
общественного блага в экономике нет. Известно, что во внутреннем равновесии Линдаля цена
единицы общественного блага равна ~p  4 . Цены Линдаля для потребителей А и В,
соответственно, q~ A  1 и q~ B  2 . Определите недостающие параметры равновесия Линдаля,
которые возможно.
9. *Рассмотрите экономику с экстерналиями, где предпочтения потребителя представимы
функцией полезности, зависящей от выпуска фирмы: u A x1A , x2A , y 2  50 ln x2A  18 ln y 2  x1A .
Технология позволяет произвести второе благо из первого по технологии, заданной
производственной функцией f x1   x1 . Потребитель владеет начальным запасом только


первого блага 1A  64 .
(а) Найдите все внутренние оптимальные по Парето распределения.
(б) Запишите определение равновесия по Вальрасу для рассматриваемой экономики.
(в) Найдите все внутренние равновесия в экономике. Прокомментируйте, почему равновесное
распределение не является оптимальным по Парето.
(г) Приведите графическую иллюстрацию к пунктам (а) и (в), на которой изобразите чистые
потери (DWL) в равновесии. Найдите величину чистых потерь.
34
(д) Запишите определение равновесия с квотами на экстерналии. Можно ли реализовать как
равновесное в экономике с квотами внутреннее Парето-оптимальное распределение? Если
можно, то реализуйте, если нет, то объясните почему.
(е) Запишите определение равновесия с налогами/субсидиями на экстерналии. Можно ли
реализовать как равновесное в экономике с налогами внутреннее Парето-оптимальное
распределение? Если можно, то реализуйте, если нет, то объясните почему.
(ж) Запишите определение равновесия с торговлей экстерналией. Можно ли реализовать как
равновесное в экономике с торговлей экстерналией внутреннее Парето-оптимальное
распределение? Если можно, то реализуйте, если нет, то объясните почему.
10. *Верно ли, что эффективный уровень экстерналии (например, загрязнения окружающей
среды) равен нулю? Объясните свой ответ.
11. *(Трагедия общин) Пусть нефтяная отрасль в стране Z совершенно конкурентна и все
фирмы используют одинаковые технологии и добывают нефть из одного (практически
неистощаемого) месторождения. Каждая фирма полагает, что сможет продать всю добытую
нефть по стабильной мировой цене $10 за баррель. Издержки, связанные с содержанием одной
скважины составляют $1000 в год. Совокупный объем нефти, добываемой на данном
месторождении за год ( Q ), зависит от числа скважин ( N ): Q  500 N  N 2 , а количество нефти,
приходящееся на каждую скважину ( q ), одинаково и равно q  Q / N  500  N .
(а) Найдите равновесную добычу отрасли и каждой скважины. Имеет ли место различие между
частными и общественными издержками в данной отрасли?
(б) Предположим, что государство национализировало это месторождение. Сколько нефтяных
скважин будет использовано в этом случае? Чему будет равна добыча нефти в целом и для
каждой скважины в отдельности?
(в) В качестве альтернативы национализации рассматривается выдача годовых лицензий на
каждую скважину. Какова должна быть цена одной лицензии, чтобы на месторождении
действовало оптимальное количество нефтяных скважин?
12. *Прибыль птицефабрики (фирма 1) находится в зависимости от того, насколько сильно два
алюминиевых завода (фирмы 2 и 3) загрязняют атмосферу. Цена на кур равна 6, цена на
алюминий равна 2. Функции издержек равны c1  2 y12  y1  y2  y3  и ci  0,5 yi2 , i  2, 3 , где y1 объем производства куриного мяса, y 2 , y3 - объемы производства алюминия.
(а) Найдите равновесные объемы производства.
(б) Найдите оптимальные объема производства (считая, что фирмы могут делиться прибылью).
(в) Найдите налоги/субсидии Пигу.
(г) Найдите равновесную цену экстерналии и объемы производства при торговле
экстерналиями.
Раздел 8. Провалы рынка: асимметричная информация
1. Рассмотрите следующий вариант модели неблагоприятного отбора на рынке страхования.
Предположим, что страховые компании совершенно конкурентны, нейтральны к риску и не
несут операционных издержек. Рассмотрите индивидов, имеющих одинаковое первоначальное
богатство w  $100 и одинаковые предпочтения представимые функцией ожидаемой
полезности с элементарной функцией полезности u ( x )  x . Если произойдет несчастный
случай, то потери составят L  $36 . Риск несчастного случая различен: для одной половины
индивидов вероятность его наступления равна  L  1 / 6 , а для другой половины –  H  8 / 9 .
Предположим, что индивиды могут страховаться только на полную стоимость потерь (либо не
страховаться вообще).
(а) Найдите равновесие/равновесия при симметричной информации.
(б) Предположим теперь, что страховые компании не могут различить индивидов с высоким и
низким риском. Найдите конкурентное равновесие/равновесия с рациональными ожиданиями.
35
2. Рассмотрите рынок конкурентный рынок страхования, где страховые компании нейтральны к
риску и не несут операционных издержек. Рассмотрите индивидов с одинаковым
первоначальным богатством w  13 . Все индивиды имеют одинаковые предпочтения,
представимые функцией ожидаемой полезности с элементарной функцией полезности
u( x )  1 / x . Если произойдет несчастный случай, то потери составят L  6 . Риск наступления
несчастного случая различен: для одной половины индивидов его вероятность равна  L  1 / 3 , а
для другой половины –  H  2 / 3 . Предположим, что индивиды могут страховаться только на
полную стоимость потерь (либо не страховаться вообще).
(а) Найдите равновесие/равновесия при симметричной информации.
(б) Предположим теперь, что страховые компании не могут различить индивидов с высоким и
низким риском. Найдите конкурентное равновесие/равновесия с рациональными ожиданиями.
3. Рассмотрите рынок автострахования, на котором действуют совершенно конкурентные
нейтральный к риску страховые компании (компании занимаются только автострахованием).
Пусть операционные издержки страховых компаний равны нулю. Рассмотрите автовладельцев,
которые имеют одинаковые автомобили стоимостью L  2 д.е. и обладают одинаковым
первоначальным богатством, равным w  5 д.е. (в эту сумму включена стоимость машины).
Пусть автовладельцы имеют одинаковые предпочтения u( x )  ln x , но риск угона автомобиля
различен: для одной половины автовладельцев вероятность угона равна  L  1 / 4 , а для другой –
 H  1 / 2 . Считайте, что не допускается страхование на сумму, превышающую стоимость
автомобиля. Предположим, страховые компании не могут различать автовладельцев с высоким
и низким риском. Найдите конкурентное равновесие/равновесия с рациональными ожиданиями.
(Обратите внимание, что здесь возможно частичное страхование!)
4. Рассмотрите конкурентный рынок страхования, где страховые компании нейтральны к риску
и не несут операционных издержек. Пусть индивиды-рискофобы имеют одинаковый уровень
богатства, одинаковые предпочтения и сталкиваются с одинаковыми потерями при наступлении
несчастного случая, но его риск различен: для первой группы индивидов его вероятность равна
  (доля таких индивидов равна  ), а для второй -  2 (доля таких индивидов равна (1   ) ),
причем  1   2 . Предположим, что индивиды могут страховаться только на полную стоимость
потерь (либо не страховаться вообще). Верно ли, что
(а) в равновесии при симметричной информации индивиды обоих типов застрахуются
полностью? Обоснуйте свой ответ.
(б) в равновесии при асимметричной информации (когда индивиды знают свой тип, а
страховым компаниям он неизвестен) не существует конкурентного равновесия с
рациональными ожиданиями, в котором страхуются индивиды только второго типа? Обоснуйте
свой ответ.
5. Рассмотрите следующий вариант модели неблагоприятного отбора на рынке страхования.
Предположим, что страховые компании совершенно конкурентны, нейтральны к риску и не
несут операционных издержек. Рассмотрите индивидов рискофобов с одинаковыми
предпочтениями, обладающих одинаковым первоначальным богатством w и сталкивающихся с
одинаковыми потерями L , 0  L  w , при наступлении несчастного случая. Предположим, что
вероятность несчастного случая является случайной величиной, равномерно распределенной на
отрезке [ ,  ]  [0, 1] . Считайте, что индивиды могут страховаться только на полную стоимость
потерь (либо не страховаться вообще), и страховые компании не могут различить индивидов.
(а) Пусть w  20 , L  15 и u( x )  1 / x . Найдите конкурентное равновесие/равновесия с
рациональными ожиданиями.
(б) Как изменится ваш ответ на пункт (а), если L  8 ?
6. *Рассмотрите модель неблагоприятного отбора на рынке труда в экономике с тремя типами
работников с производительностью 10, 20 и 30, соответственно. В каждой группе одинаковое
36
количество работников. Их доход при альтернативной занятости составляет 5, 15 и 25,
соответственно.
(а) Найдите равновесие при симметричной информации.
(б) Найдите совершенно конкурентное (вальрасовское) равновесие/равновесия с
рациональными ожиданиями, если фирмы не могут наблюдать тип работников.
7. *Рассмотрите следующий вариант модели неблагоприятного отбора на рынке труда. Пусть на
рынке присутствуют работники трех типов с производительностью 1  20   ,  2  23   и
 3  26   , где   0 , и доходе при альтернативной занятости r1  20 , r2  23 и r3  26 ,
соответственно. Доля работников каждого типа одинакова и не зависит от типа работника.
(а) Найдите равновесие при симметричной информации.
(б) Предположим теперь, что работники знают свой тип, а работодателю он неизвестен. При
каких значениях параметра  существует конкурентное равновесие с рациональными
ожиданиями, в котором заняты
(i)
работники всех типов;
(ii)
работники первого и второго типов;
(iii) работники первого типа?
Будут ли найденные равновесия единственными?
8. *Пусть в экономике с двумя типами работников с производительностью  H  25 и  L  20
низкопроизводительных работников в три раза больше высокопроизводительных. Доход
высокопроизводительных и низкопроизводительных работников при альтернативной занятости
составляет rH  20 и rL  30 , соответственно. Предположим, фирмы не могут наблюдать тип
работников. Найдите совершенно конкурентное равновесие/равновесия с рациональными
ожиданиями.
9. *Рассмотрите экономику с работниками двух типов: высокопроизводительными (Н) и
низкопрооизводительными (L) с производительностью  H и  L , соответственно, причем
 H   L . Каждый работник знает свой тип, а фирмы знают лишь, что в экономике доля
высокопроизводительных работников равна  . В экономике две фирмы, которые одновременно
предлагают работникам набор контрактов. В каждом контракте специфицируется уровень
образования e и соответствующая оплата  . Будем считать, что образование не влияет на
производительность труда, но для работников связано с издержками, которые выше для
низкопроизводительных работников. Затем каждый работник из предложенного набора
выбирает контракт, который максимизирует его функцию полезности: ut (, e)    ct (e) , где
ct (e) - издержки, связанные с получением образования e , причем ct (0)  0, ct (e)  0, ct(e)  0 ,
cH (e)  cL (e) и cH (e)  cL (e) . Предположим, что альтернативная полезность работников обоих
типов равна нулю.
(а) Найдите равновесные контракты при симметричной информации и изобразите графически.
(б) Покажите, что при асимметричной информации не существует объединяющего равновесия.
(в) Найдите разделяющее равновесие при асимметричной информации.
(г) Покажите, что разделяющее равновесие может не существовать.
10. *Рассмотрите экономику с работниками двух типов: высокопроизводительными ( H ) и
низкопроизводительными ( L ) с производительностью H  16 и  L  4 , соответственно. В
случае, если работник не работает, то альтернативная полезность для работника типа H
составляет uH  10 , а для работника типа L uL  3 . Рассмотрите игру, где сначала работники
выбирают уровень образования e . Затем, фирмы, наблюдая уровень образования, выбранный
каждым работником, одновременно и независимо предлагают схемы заработной платы. После
чего работники решают работать или нет, и если работать, то в какой фирме. Функции
37
полезности работников имеют вид: ut (, e)    e /  t , t  L, H . Образование не влияет на
выпуск, который производят работники.
(а) Найдите равновесие при симметричной информации.
В пунктах (б)-(в) считайте, что каждый работник знает свой тип, а фирмы знают лишь, что в
экономике доля работников типа H равна  .
(б) Укажите любое разделяющее равновесие.
(в) Укажите все (в терминах образования) разделяющие равновесия в этой модели.
11. *(Модель Ротшильда-Стиглица) Рассмотрите рынок страхования, на котором действуют две
нейтральных к риску страховых компании (будем считать, что страховые компании не несут
операционных издержек). На рынке есть два типа индивидов-рискофобов ( t  L, H ), с
одинаковыми предпочтениями, обладающих одинаковым первоначальным богатством w и
сталкивающихся с одинаковыми потерями L , 0  L  w , при наступлении несчастного случая,
но различающимися вероятностью наступления страхового случая: Однако вероятность
несчастного случая у потребителей различна:  H   L . Страховые компании одновременно
предлагают потребителям набор страховых контрактов, в которых специфицируется сумма,
которую потребитель платит за страховку и величина выплаты при наступлении страхового
случая. Затем потребители решают, контракт какой страховой компании приобрести.
Предположим, что потребители не могут купить больше одного страхового полиса.
(а) Найдите равновесные контракты при симметричной информации и изобразите графически.
(б) Покажите, что объединяющее равновесие не существует.
(в) Укажите
разделяющее равновесие при асимметричной информации и приведите
графическую иллюстрацию.
12. *Рассмотрите следующую модель со скрытыми действиями. Владелец фирмы нейтрален к
риску. Пусть возможно два уровня прибыли (без учета заработной платы, выплачиваемой
менеджеру):  1  0 и  2  10 . Уровень усилий менеджера может принимать три значения:
eH , eM и eL . Вероятности получения высокой прибыли в зависимости от уровня
прикладываемых
усилий,
соответственно,
равны:
 ( 2 | eH )  2 / 3,  ( 2 | eM )  1/ 2,  ( 2 | eL )  1/ 3 .
менеджера
имеет
вид:
где
v(, e)  u   ct    ct ,
cH  5 / 3, cM  8 / 5, cL  4 / 3 . Полезность менеджера при альтернативной занятости равна нулю.
Функция
полезности
(а) Найдите оптимальный контракт при наблюдаемых усилиях.
(б) В случае ненаблюдаемых усилий возможно ли реализовать уровень усилий eM ?
(в) Найдите оптимальный контракт при ненаблюдаемых усилиях.
6. ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
Важная роль в курсе отведена семинарским (практическим) занятиям. Для успешного усвоения
курса студентам необходимо не просто получить представление об основных методах
микроэкономического анализа, но и научиться применять эти методы. Это требует
непрерывной практики в решении задач, которая приобретается на семинарских занятиях и при
самостоятельной подготовке к контрольным мероприятиям.
7. ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ,
ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
И
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ
ОБЕСПЕЧЕНИЕ
САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ
РАБОТЫ СТУДЕНТОВ
38
Курс Экономика (часть 1 – Микроэкономика) рассчитан на один семестр. В рамках курса
предусмотрено два домашних задания и две контрольные работы, в конце семестра –зачет.
Домашние задания составляют преподаватели, ведущие семинарские занятия, из банка задач,
предложенного в данной программе. Проверка и оценивание домашнего задания также
осуществляется преподавателями, ведущими семинарские занятия. Промежуточная и итоговая
контрольная составляются лектором.
Итоговая оценка по курсу микроэкономики выставляется на основе статистики по контрольным
мероприятиям и формируется из оценок за домашние задания ( Oд / з ) и оценок за контрольные
работы ( Ок / р ) следующим образом:
Oитог  0,1Oд / з #1  0,1Oд / з # 2  0,2Oк / р #1  0,6Oк / р # 2 .
Студенты, имеющие итоговую оценку «отлично», «хорошо» или «удовлетворительно»,
получают зачет, а остальные студенты для получения зачета по курсу должны не ниже чем на
«удовлетворительно» написать зачетную работу.
Пример заданий для промежуточной контрольной
1. Верно ли, что если потребитель выбрал такой набор ~x , что MRS12 ( ~x )  p1 / p 2 , то потребитель
не рационален, т.е. не максимизирует свою полезность на бюджетном множестве? Если вы
считаете, что утверждение верно, тогда докажите его, если нет – приведите контрпример.
2. Предположим, максимизирующая прибыль конкурентная фирма производит готовую
продукцию, используя два фактора производства: труд и капитал. Покажите, что ростом
заработной платы спрос фирмы на труд не возрастет. (Ответьте на вопрос, не пользуясь
дифференцированием.)
3. Студент имеет доход $420 в месяц и часть его тратит на посещение курсов английского
языка, а остаток – на все остальные товары и услуги. Пусть один час занятий на языковых
курсах стоит $10; цена агрегированного потребительского блага равна $20. Предположим,
накануне Рождества все студенты, посещающие курсы, получили купон на 4 часа бесплатных
занятий, который не подлежит продаже.
(а) Выпишите уравнение бюджетной линии и изобразите бюджетное множество.
(б) Пусть предпочтения студента описываются функцией полезности u ( x1 , x2 )  4 x2  21x1 , где x1
- количество часов занятий английским языком, а x 2 - агрегированное потребительское благо.
Каков оптимальный выбор потребителя? Приведите графическую иллюстрацию.
4. Рассмотрите экономику обмена с двумя благами (1 и 2) и двумя потребителями (А и В),
предпочтения потребителя А описываются функцией полезности u A ( x A )  ( x1A )1/ 4  ( x2A )3 / 4 .
Первоначальные запасы благ у потребителей:  A  (4, 2) и  B  (4, 4) .
(а) Предположим, известно, что в равновесии
параметры равновесия, какие возможно.
~x
A
1

 2,5, ~
x2A  2,5 . Найдите все остальные
(б) Может ли потребитель В иметь функцию полезности u B ( x B )  3x1B x2B ?
В пунктах (в)-(г) считайте, что u B ( x B )  x1B  3x2B .
(в) Будет ли распределение ~
x  ~
x1A  7, ~
x2A  6, ~
x1B  1, ~
x2B  0 Парето-оптимальным? Приведите
графическую иллюстрацию.
39
(г) Можно ли распределение ~
x  ~
x1A  7, ~
x2A  6, ~
x1B  1, ~
x2B  0 реализовать как равновесное в
экономике с трансфертами? Если вы считаете, что можно, то найдите соответствующие цены и
трансферты. Если – нет, то объясните почему.
5. Рассмотрите модель спроса на страховку для индивида, обладающего богатством w  150 д.е.
Предположим, с вероятностью   (0, 1) может произойти несчастный случай, в результате
которого индивид потеряет часть этого богатства, а именно L  50 д.е. Индивид имеет
возможность приобрести страховку по цене   3 / 4 за единицу страхового покрытия у
нейтральной к риску страховой компании, не имеющей операционных издержек, причем
страхование на сумму, превышающую потери, запрещено. Элементарная функция полезности
индивида имеет вид u( x)  ln( x) .
(а) Определите состояния природы и соответствующие контингентные блага в данной модели.
Выведите бюджетное ограничение в терминах контингентных благ и изобразите графически.
(б) При каких значениях  индивид страхуется полностью? Приведите иллюстрацию в
пространстве контингентных благ.
(в) Существуют ли значения  такие, что индивид откажется от страховки? Если да, то найдите
все такие значения. Если нет, то аргументируйте почему. Проиллюстрируйте свой ответ в
пространстве контингентных благ.
6. Рассмотрите отрасль с двумя фирмами, производящими однородную продукцию. Технологии
фирм характеризуются одинаковыми функциями издержек c j ( y j )  2 y j для любого j  1, 2 .
Обратная функция совокупного спроса на продукцию, производимую отраслью, имеет вид
p  8  Y , где Y  y1  y2 .
(а) Пусть фирмы принимают цены заданными. Каков будет равновесный выпуск отрасли и
равновесная цена?
(б) Предположим теперь, что сначала первая фирма (лидер) решает, какое количество
продукции произвести, а затем вторая фирма (ведомый), рассматривая выбор первой фирмы как
данный, принимает решение о выпуске. Укажите, какая модель дуополистической конкуренции
имеет место в данном случае, и найдите равновесные выпуски фирм в данной модели.
(в) Предположим теперь, что фирмы конкурируют путем одновременного выбора уровня
выпусков. Укажите, какая модель дуополистической конкуренции имеет место в данном
случае, и найдите равновесные выпуски фирм и прибыль обеих фирм.
(г) Сравните равновесные уровни выпусков, найденные в пунктах (б) и (в). Приведите
графическую иллюстрацию в пространстве выпусков.
(д) Если бы фирмы, конкурирующие путем одновременного выбора уровня выпуска, сумели
объединиться в картель, сколько суммарной прибыли они бы выиграли?
7. Рассмотрите экономику с двумя благами (частным и общественным) и тремя потребителями
(1, 2, 3), имеющими функции полезности вида u k ( x1k , x2 )  (k  1)2 vx2   x1k , k  1, 2, 3 , причем
v( x2 )  0 , v ( x2 )  0 , где x2 - объем потребления общественного блага, а x1k – объем
потребления частного блага k-ым потребителем. В экономике есть одна фирма, принадлежащая
потребителю 1, которая производит общественное благо из частного в соответствии с функцией
издержек c( y2 )  cy 2 , c  0 . Известно, что у потребителей нет запаса общественного блага, но
каждый владеет положительным запасом частного блага.
40
(а) Охарактеризуйте внутреннее Парето-оптимальное распределение общественного блага.
Приведите графическую иллюстрацию.
(б) Пусть в экономике существует внутреннее равновесие с добровольным финансированием.
Охарактеризуйте уровень общественного блага в этом равновесии. Приведите графическую
иллюстрацию.
(в) Будет ли в равновесии, описанном в пункте (б), перепроизводство или недопроизводство
общественного блага по сравнению с Парето-оптимумом? Если равновесное распределение не
Парето-оптимально, тогда отметьте на рисунке чистые потери благосостояния. Обоснуйте свой
ответ.
8. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ
ДИСЦИПЛИНЫ
И
ИНФОРМАЦИОННОЕ
ОБЕСПЕЧЕНИЕ
Основная литература
1. Вэриан Х.Р. Микроэкономика. Промежуточный уровень. Современный подход. Москва:
Юнити, 1997.
2. Кац М.Л., Роузен М.С. Микроэкономика. Минск: Новое знание, 2004.
3. Пиндайк Р.С., Рубинфельд Д.Л. Микроэкономика. Москва: Дело, 2000.
Дополнительная литература
1. Балакина Т., Левина Е., Покатович Е., Попова Е. Микроэкономика: промежуточный уровень.
Сборник задач с решениями и ответами. М.: НИУ ВШЭ, 2013.
2. Бусыгин В., Покатович Е., Фридман А. Сборник задач по курсу микроэкономики
продвинутого уровня. М.: ГУ-ВШЭ, 2008.
3. Бусыгин В., Желободько Е., Цыплаков А. Микроэкономика – третий уровень. Новосибирск:
СО РАН, 2005.
4. Левина Е., Покатович Е. Микроэкономика: задачи и решения. М.: ГУ-ВШЭ, 2008.
5. Коуэлл Ф. Микроэкономика: принципы и анализ. М.: Дело, 2011.
6. Джейли Дж., Рени Ф. Микроэкономика: продвинутый уровень. М.: ГУ-ВШЭ, 2011.
«_____»_________2014 г.