Программа лекций Общие понятия, определения, примеры

Программа лекций
Общие понятия, определения, примеры. Простейшие ДУ, способы их решений
Теоремы о существовании и единственности решений ОДУ
Теоремы о продолжаемости и непродолжаемости решений
Непрерывная зависимость решений от параметров
Дифференцируемость решения по параметру
Линейные системы. Определения, следствия из общей теории ДУ
Теоремы о свойствах решений однородных линейных систем 1-го порядка.
Определитель Вронского, фундаментальная матрица решений
8. Система неоднородных линейных уравнений 1-го порядка. Метод вариации
постоянных. Следствие для линейных уравнений произвольного порядка.
9. Линейные системы с постоянными коэффициентами. Матричная экспонента, ее
свойства
10. Методы вычислений матричной экспоненты
11. Краевые задачи для линейных систем на конечном отрезке. Условие однозначной
разрешимости. Функция Грина. Непрерывная зависимость решений от параметров
задачи.
12. Решение краевой задачи методом ортогональной прогонки
13. Ограниченные решения систем на прямой и полупрямой. Функция Грина. Условие
Лопатинского.
14. Устойчивость по Ляпунову. Определения, примеры, зависимость от расположения
собственных значений
15. Функции Ляпунова и критерий дихотомии
16. Автономные системы. Критерий существования решения в целом. Теоремы
Ляпунова об устойчивости по первому приближению
17. Траектории автономных систем, особые точки, предельные циклы
18. Задача Штурма-Лиувилля, постановка. Функция Грина, сведение к интегральному
уравнению.
19. Теоремы Фредгольма для интегральных операторов с вырожденным и
непрерывным ядром.
20. Интегральные операторы с эрмитовым ядром. Теорема Гильберта-Шмидта и ее
следствия.
21. Свойства собственных значений и собственных функций задачи ШтурмаЛиувилля. Примеры.
22. Нули решений однородных уравнений второго порядка
23. Элементы аналитической теории дифференциальных уравнений. Уравнение
Бесселя.
24. Асимптотическое поведение решений дифференциальных уравнений. Примеры,
функция Бесселя.
25. Простейшие уравнения с частными производными первого порядка. Первые
интегралы, характеристики.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Программа семинаров
1. Уравнения с разделяющимися переменными
2. Однородные и приводящиеся к однородным уравнения
3. Линейные уравнения первого порядка
4. Уравнения в полных дифференциалах, интегрирующий множитель
5. Уравнения, не разрешенные относительно производной
6. Разные уравнения первого порядка
7. Зависимость решения от начальных условий и параметров
8. Уравнения, допускающие понижение порядка
9. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
10. Линейные системы с постоянными коэффициентами
11. Вычисление матричной экспоненты
12. Решение краевых задач, вычисление функции Грина
13. Краевые задачи на прямой и полупрямой
14. Устойчивость по Ляпунову, уравнения Ляпунова
15. Траектории автономных систем, особые точки
16. Решение краевых задач на отрезке для линейных уравнений второго порядка
при помощи функции Грина
17. Задача Штурма-Лиувилля, разложение функций в ряд по собственным
функциям задачи Штурма-Лиувилля
18. Применение теоремы сравнения для анализа решений уравнений второго
порядка
19. Решение уравнений с помощью рядов
20. Решение практических задач из теории колебаний, упругости, электрических
цепей и др.
21. Уравнения в частных производных первого порядка