УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
УДК 517.91
УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ
ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ВТОРОГО РОДА
ДЛЯ МОДЕЛИ СИСТЕМЫ
ЧАСТОТНО-ФАЗОВОЙ АВТОПОДСТРОЙКИ ЧАСТОТЫ
С.С. Мамонов, А.О. Харламова
Рязанский государственный университет имени С.А. Есенина
CONDITIONS FOR THE EXISTENCE OF LIMIT CYCLES
OF THE SECOND KIND OF MODEL
FOR FREQUENCY-FHASE-LOCKED LOOP
S.S. Mamonov, A.O. Kharlamova
Рассматривается система дифференциальных уравнений, являющаяся математической моделью системы частотно-фазовой автоподстройки частоты. Получены условия существования предельных циклов второго рода, зависящие от
параметров частотного кольца. Рассмотрен пример математической модели системы частотно-фазовой автоподстройки
с фильтрами первого порядка в цепях управления.
We consider a system of differential equations is a
mathematical model of the system-frequency phase-locked loop.
Conditions for the existence of limit cycles of the second kind,
which depend on the frequency of the ring. The example of the
mathematical model of the frequency-phase-locked to the first-order
filter in control circuits.
Ключевые слова: система дифференциальных уравнений, предельный цикл второго рода, система матричных
уравнений.
Keywords: system of differential equations, the limit cycle of the
second sort , the system of matrix equations.
Введение. В работе рассматривается математическая модель системы частотно-фазовой
автоподстройки (ЧФАП) [1–5]. Для систем
ЧФАП решается задача определения асинхронных режимов. Среди асинхронных режимов
выделяют вращательный режим, соответствующий предельному циклу второго рода. Вращательный режим представляет интерес, так как
он предшествует режиму синхронизации.
Известно, что добавление частотного кольца
в систему фазовой автоподстройки приводит
к увеличению области параметров системы для
режимов синхронизации [3, 4, 5]. Базовая математическая модель системы ЧФАП приводится
к системе дифференциальных уравнений [3, 5]
2kc T x
x = Ax + bϕ (σ ) + d
, σ = cT x , (1)
2 T 2
1 + τ (c x )
где x, b, c, d ∈ R n , k ,τ ∈ R , ϕ (σ ) − Δ -периодическая непрерывно дифференцируемая функция.
Среди результатов исследования, полученных
качественно-численными методами [3, 4, 5],
следует отметить применение метода нелокального сведения, предложенное в работах [7, 8].
В указанном методе используются частотные
условия существования решения системы матричных
неравенств, обладающего определенными свойствами. Для системы (1) с матрицей A , имеющей собственные значения с мнимой частью, возникает необходимость нахождения решения системы трех матричных уравнений, два из которых – модифицированные уравнения Ляпунова, третье – уравнение
линейной связи. В данной работе на основе метода
нелокального сведения и результатов, полученных
для нахождения решения системы матричных уравнений, предложен подход к исследованию системы
(1), позволяющий сформулировать условия существования циклов второго рода и определить область
фазового пространства, содержащую цикл.
Теоретические исследования. Условия, обеспечивающие вращательные режимы системы ЧФАП,
определяются результатами следующей теоремы.
Теорема. Пусть для системы (1) выполнены условия:
1) система матричных уравнений
AT H + HA = Q1 + 2q1ccT − 2αH ,
(2)
( A + 2kdcT )T H + H ( A + 2kdcT ) =
= Q2 + 2q2 ccT − 2αH ,
ВЕСТНИК РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК · 2013/4
(3)
51
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Hb = r
(4)
T
при q1 = ε1 > 0 , q2 = ε 2 , α > 0 , c b = −Γ , r = c
имеет решение H = H1 = H1T , Q1 = L1 < 0 , Q2 =
= L2 < 0 , ε 0 = ε 2 − ε1 > 0 , матрица H1 имеет
одно отрицательное и (n − 1) положительное
собственное значение;
2) система матричных уравнений (2)–(4) при
q1 = m1 , q2 = m2 , r = −c имеет решение H =
H 2T
= H2 =
, Q1 = M1 < 0 , Q2 = M 2 < 0 , m2 −
−m1 = − m0 < 0 , матрица H 2 является положительно определенной, H 2 > 0 ;
3) система уравнений
2sλνy
y = −λy − ϕ (σ ) −
, σ = y (5)
1 + (λν ) 2 y 2
ε
ε Γ +α
τ Γ
при λ = λ1 = 1
, s = s1 = 0 , ν = ν1 =
2τ
λ1
Γ
имеет предельный цикл второго рода F1 (σ ) > 0
для любого σ ∈ (−∞;+∞) ;
4) система уравнений (5) при λ = λ2 =
=
α − m1Γ
, s = s2 =
Γ
предельный
m0
τ Γ
, ν =ν 2 =
2τ
λ2
имеет
F2 (σ ) ,
цикл второго рода
F2 (σ ) > F1 (σ ) для любого σ ∈ (−∞;+∞) ;
5) выполняется неравенство F2 (σ ) ≤
αF1 (σ )
Γg1 (σ )
для любого σ ∈ (−∞;+∞) , где
g1 (σ ) = ε1 +
ε0
;
1 + τ ΓF12 (σ )
6) справедливо соотношение g 2 (σ ) = m1 −
−
m0
2
≥ 0 для любого σ ∈ (−∞;+∞) .
1 + τ 2 ΓF22 (σ )
Тогда система (1) имеет предельный цикл второго рода.
Доказательство. Рассмотрим функции
V1 ( z ) = xT H1 x + F12 (σ ) , V2 ( z ) = xT H 2 x − F22 (σ ) ,
⎛ x⎞
где z = ⎜⎜ ⎟⎟ , функции F1 (σ ) , F2 (σ ) удовле⎝σ ⎠
творяют условиям 3), 4) теоремы. Пусть
Ω1 = {z : V1 ( z ) ≤ 0, cT x ≥ 0} , Ω 2 = {z : V2 ( z ) ≤ 0} .
Используя (4) при r = c и теорему Шура [7],
найдем определитель матрицы ( H1 + τ1−1ccT ) :
=
(6)
В силу соотношения (6), того, что cc ≥ 0
и матрица H1 имеет одно отрицательное
52
положительное собственное значение,
H1 + Γ −1ccT ≥ 0 .
(7)
Если z ∈ Ω1 , то в силу (7) справедливо неравенство
cT x ≥ Γ F1 (σ ) .
(8)
Используя (4) при r = −c и теорему Шура, най-
дем определитель матрицы ( H 2 − τ 2−1ccT )
det( H 2 − τ 2−1ccT ) = det H 2 det( E − τ 2−1H 2−1ccT ) =
= det H 2 det( E + τ 2−1bcT ) = (1 + τ 2−1bT c) det H 2 =
= (1 − τ 2−1Γ) det H 2 .
(9)
В силу соотношения (9), того, что ccT ≥ 0 и матрица
H 2 является положительно определенной, получим
H 2 − Γ −1ccT ≥ 0 .
(10)
Если z ∈ Ω 2 , то в силу (10) справедливо неравенство
(cT x) 2 ≤ ΓF22 (σ ) .
Пусть
qσ = −Γ
−1 / 2
F2 (σ )b . Тогда
= Γ −1F22 (σ )bT c = − F22 (σ ) < − F12 (σ ) ,
(11)
T
qσ H1qσ =
qσ ∈ Ω1 =
T
= {z : V1 ( z ) < 0, c x > 0} для любого σ ∈ (−∞;+∞) ,
при этом qσT H 2 qσ = −Γ −1F22 (σ )bT c = F22 (σ ) , qσ ∈
∈ Ω 2 для любого σ ∈ (−∞;+∞) . Таким образом,
множество Ω = Ω1 ∩ Ω 2 содержит внутренние точки
и Ω ∩ {z : σ = σ 0 } ≠ Ø для любого
σ ∈ (−∞;+∞) .
Так как матрица H 2 положительно определенная
и функция F2 (σ ) ограниченная, то множества
Ω 2 ∩ {z : σ = σ 0 } , Ω ∩ {z : σ = σ 0 } являются ограниченными для любого σ ∈ (−∞;+∞) . Граница множества Ω имеет вид ∂Ω = ∂Ω1 ∪ ∂Ω 2 , где
∂Ω1 = {z : V1 ( z ) = 0, cT x > 0,V2 ( z ) ≤ 0} ,
∂Ω 2 = {z : V2 ( z ) = 0, cT x > 0, V1 ( z ) ≤ 0 } .
Используя условия 1), 3) теоремы, найдем
производную функции V1 ( z ) в силу системы (1)
на множестве ∂Ω1
V1 ( z ) = x T ( AT H 1 + H 1 A) x + 2cx T ϕ (σ ) +
+
2k
x T (cd T H 1 + H 1 dc T ) x + 2 F1 (σ ) ×
1 + τ (c T x ) 2
dF (σ )
1
× cT x 1
=
τ 2 (c T x ) 2 x T ×
2
dσ
1 + τ (c T x ) 2
2
(
× ( AT H 1 + H 1 A) x + x T (( A + 2kdc T ) T H 1 +
det( H1 + τ1−1ccT ) = det H1 det( E + τ 1−1H1−1ccT ) =
= det H1 det( E + τ1−1bcT ) = (1 + τ 1−1bT c) det H1
= (1 − τ 1−1Γ) det H1 .
T
и (n − 1)
получим
)
+ H 1 ( A + 2kdc T )) x +
⎛ ϕ (σ ) dF1 (σ ) ⎞
1
⎟⎟ =
×
+ 2cT xF1 (σ )⎜⎜
+
2 T 2
(
)
F
σ
d
σ
⎠ 1 + τ (c x )
⎝ 1
× (τ 2 (c T x) 2 x T ( AT H 1 + H 1 A) x +
+ x T (( A + 2kdc T ) T H 1 + H 1 ( A + 2kdc T )) x) −
ВЕСТНИК РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК · 2013/4
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
⎛
⎞
2 s1λ1ν 1
⎟. (12)
− 2cT xF1 (σ )⎜ λ1 +
2 2
⎜
⎟
+
1
(
)
(
)
λ
ν
F
σ
1 1
1
⎝
⎠
⎛
⎞
2s1λ1ν 1
⎟.
Обозначим Φ1 (σ ) = F1 (σ )⎜ λ1 +
⎜
1 + (λ1ν 1 ) 2 F12 (σ ) ⎟⎠
⎝
С помощью условия 1) теоремы и соотношения
(12) получим
1
(2τ 2 ε 1 (c T x) 4 +
V1 ( z ) <
2 T 2
1 + τ (c x )
+ 2τ 2α (c T x) 2 F12 (σ ) + 2ε 2 (c T x) 2 +
+ 2αF12 (σ )) − 2c T
=
2
2
1 + τ (c T x ) 2
(τ 2 (c T x) 2 (ε 1 (c T x) 2 −
(13)
T
=
)
− Φ 1 (σ )(c T x ) + αF12 (σ ) .
Введем обозначения
(15)
⎛
⎞ 2
ε0
⎟y −
G1 ( y ) = ⎜ ε 1 +
2
2
⎜
1 + τ ΓF1 (σ ) ⎟⎠
⎝
(16)
− Φ 1 (σ ) y + αF12 (σ ).
В силу условия 3) теоремы справедливы соотε Γ +α
ε
τ Γ
, ν1 =
, s1 = 0 . Знаношения λ1 = 1
λ
2τ
Γ
1
чит, функция Φ1 (σ ) удовлетворяет равенству
⎛ ε Γ +α
⎞
ε0 Γ
⎟ . (17)
Φ1 (σ ) = F1 (σ )⎜ 1
+
2
2
⎜
⎟
Γ
+
Γ
1
(
)
τ
F
σ
1
⎝
⎠
Найдем значение функции G1 ( y ) при y = y1 =
= Γ F1 (σ ) :
1+τ
2
ΓF12 (σ )
ε ΓF 2 (σ )
+ α ) F12 (σ ) − 0 1
1 + τ 2 ΓF12 (σ )
Пусть
g1 (σ ) = ε1 +
ε0
y = y 2 = Γ F2 (σ )
G1 ( y 2 ) = g1 (σ )ΓF22 (σ ) − F1 (σ ) F2 (σ )Γ(αΓ −1 +
= ( F2 (σ ) − F1 (σ ))( g1 (σ )ΓF2 (σ ) − αF1 (σ )) ≤ 0.
Соотношения (14), (15), (16), (8), (11), (18), (20) позволяют определить знак производной функции
V1 ( z ) в силу системы (1) на множестве ∂Ω1
на множестве ∂Ω 2
V2 ( z ) = xT ( AT H 2 + H 2 A) x − 2cxT ϕ (σ ) +
2k
+
xT (cd T H 2 + H 2 dcT ) x −
2 T 2
1 + τ (c x )
dF (σ )
1
− 2 F2 (σ )cT x 2
=
×
dσ
1 + τ 2 (c T x ) 2
T
(
(
))
+ x ( A + 2kdcT )T H 2 + H 2 ( A + 2kdcT ) x −
⎛ ϕ (σ ) dF2 (σ ) ⎞
1
⎟⎟ =
− 2cT xF2 (σ )⎜⎜
+
×
2 T 2
F
(
σ
)
d
σ
⎝ 2
⎠ 1 + τ (c x )
× (τ 2 (cT x) 2 xT ( AT H 2 + H 2 A) x +
+ xT (( A + 2kdcT )T H 2 + H 2 ( A + 2kdcT )) x) +
⎛
⎞
2 s2λ2ν 2
⎟.
(22)
+ 2cT xF2 (σ )⎜ λ2 +
2 2
⎜
⎟
1
+
(
)
(
)
λ
ν
F
σ
2 2
2
⎝
⎠
⎛
⎞
2 s2 λ2ν 2
⎟ F2 (σ ).
Обозначим Φ 2 (σ ) = ⎜ λ2 +
2 2
⎜
⎟
λ
ν
σ
1
(
)
F
(
)
+
2 2
2
⎝
⎠
В силу условия 2) теоремы и соотношения (22),
получим
1
V2 ( z ) <
(2τ 2 m1 (c T x) 4 −
2 T 2
1 + τ (c x )
− 2τ 2α (c T x) 2 F22 (σ ) + 2m 2 (c T x) 2 −
− (ε 1Γ +
− 2αF22 (σ )) + 2c T xΦ 2 (σ ) =
(18)
+ αF12 (σ ) = 0.
1 + τ 2 ΓF12 (σ )
пользуя (17), найдем Φ1 (σ ) :
значение функции G1 ( y ) при
удовлетворяет неравенству
× τ 2 (cT x) 2 xT ( AT H 2 + H 2 A) x +
y = c T x , y1 = Γ F1(σ ) , y2 = Γ F2 (σ ) ,
ε 0 ΓF12 (σ )
= F1 (σ ) Γ (αΓ −1 + g1 (σ )) .
(19)
Из (15), (16), (19) и условия 5) теоремы следует, что
V1( z ) < 0 .
(21)
Используя условия 2), 4) теоремы, найдем
производную функции V2 ( z ) в силу системы (1)
1 + τ (c x )
Используя условие теоремы ε 0 = ε 2 − ε1 > 0
и неравенства (8), (13), получим
⎛⎛
⎞ T 2
ε0
⎟(c x ) −
V1 ( z ) < 2⎜ ⎜ ε 1 +
2
2
⎜⎜
⎟
(14)
+
Γ
1
F
(
)
τ
σ
1
⎠
⎝⎝
G1 ( y1 ) = ε 1ΓF12 (σ ) +
= F1 (σ ) Γ (ε1 + αΓ −1 + g1 (σ ) − ε1 ) =
+ g1 (σ )) + αF12 (σ ) = g1 (σ )ΓF2 (σ )( F2 (σ ) − (20)
− F1 (σ )) − αF1 (σ )( F2 (σ ) − F1 (σ )) =
xΦ 1 (σ ) =
− (c x)Φ 1 (σ ) + αF12 (σ )) + ε 1 (c T x) 2 −
− (c T x)Φ 1 (σ ) + αF12 (σ ) + (ε 2 − ε 1 )(c T x) 2 )
= 2(ε 1 (c T x) 2 − (c T x)Φ 1 (σ ) +
2ε 0 (c T x) 2
.
+ αF12 (σ )) +
2 T 2
⎛
⎞
ε0
α
⎟=
Φ1 (σ ) = F1 (σ ) Γ ⎜ ε1 + +
2
2
⎜
Γ 1 + τ ΓF1 (σ ) ⎟⎠
⎝
=
2
2
T
1 + τ (c x )
2
(τ 2 (c T x) 2 (m1 (c T x) 2 +
. Тогда, ис-
ВЕСТНИК РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК · 2013/4
53
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
G 2 ( y1 ) = g 2 (σ )ΓF12 (σ ) + F1 (σ ) F2 (σ )Γ(αΓ −1 −
+ (c T x)Φ 2 (σ ) − αF22 (σ )) + m1 (c T x) 2 +
+ (c T x)Φ 2 (σ ) − αF22 (σ ) +
− g 2 (σ )) − αF22 (σ ) = g 2 (σ )ΓF1 (σ )( F1 (σ ) − (29)
− F2 (σ )) + αF2 (σ )( F1 (σ ) − F2 (σ )) = −( F2 (σ ) −
+ (m 2 − m1 )(c T x) 2 ) = 2(m1 (c T x) 2 +
+ (cT x)Φ 2 (σ ) − αF22 (σ )) −
2m0 (cT x) 2
. (23)
1 + τ 2 (c T x ) 2
Используя условие теоремы m2 − m1 = −m0 < 0
и неравенства (8), (11), (23), получим
⎛⎛
⎞ T 2
m0
⎟(c x ) +
V 2 ( z ) < 2⎜ ⎜ m1 −
2
2
⎜⎜
⎟
(24)
1
+
τ
Γ
F
(
σ
)
2
⎠
⎝⎝
)
+ Φ 2 (σ )(c T x) − αF22 (σ ) .
Введем обозначение
⎞ 2
⎛
m0
⎟y +
G 2 ( y ) = ⎜ m1 −
2
2
⎜
1 + τ ΓF2 (σ ) ⎟⎠
⎝
(25)
+ Φ 2 (σ ) y − αF22 (σ ).
В силу условия 4) теоремы справедливы соотm
α − m1Γ
, s2 = 0 , λ2ν 2 = τ Γ .
ношения λ2 =
2τ
Γ
Следовательно, функция Φ 2 (σ ) удовлетворяет
равенству
⎛ α − m1Γ
⎞
m0 Γ
⎟ . (26)
Φ 2 (σ ) = F2 (σ )⎜
+
2
2
⎜
⎟
Γ
+
Γ
1
τ
F
(
σ
)
2
⎝
⎠
Найдем значение функции G2 ( y ) при y = y 2 =
− F1 (σ ))( g 2 (σ )ΓF1 (σ ) + αF2 (σ )) ≤ 0.
Соотношения (24), (27), (8), (11), (29) позволяют определить знак производной функции V2 ( z ) в силу
системы (1) на множестве ∂Ω 2 :
V2 ( z ) < 0 .
(30)
Из (21), (30) следует, что множество Ω –
положительно
инвариантно,
а
множество
Ω ∩ {z : σ = σ 0 } – выпукло замкнуто и ограничено.
В силу соотношения (8) и теоремы Брауэра множество Ω содержит предельный цикл второго рода [7].
Условия разрешимости системы матричных
уравнений (2)–(4) определяются следующими утверждениями.
Лемма 1. Пусть для системы матричных уравнений (2)–(4) выполнены соотношения
A=
⎛−α β ⎞
⎛ 0 − 1⎞
⎟⎟ , α > 0 , β > 0 , J = ⎜⎜
⎟⎟ , c =
= ⎜⎜
⎝− β −α ⎠
⎝1 0 ⎠
⎛c ⎞
⎛b ⎞
⎛d ⎞
= ⎜⎜ 1 ⎟⎟ , b = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ , d = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ , c T b = −Γ < 0 , c T d =
⎝ c2 ⎠
⎝ b2 ⎠
⎝ d2 ⎠
= −ξ , Δb = bT b , τ c = cT Jb = c2b1 − c1b2 , Δ c = cT c ,
h2 = c1b2 + c2b1 , wc = cT Jd = c2 d1 − c1d 2 , wb = bT ×
× Jd = b2 d1 − b1d 2 , r = c , справедливы неравенства
= Γ F2 (σ ) :
m 0 ΓF22 (σ )
+
G 2 ( y 2 ) = m1ΓF22 (σ ) −
1 + τ 2 ΓF22 (σ )
m 0 ΓF22 (σ )
+ (α − m1Γ) F22 (σ ) +
−
1 + τ 2 ΓF22 (σ )
− αF22 (σ ) = 0.
Пусть
g 2 (σ ) = m1 −
m0
1 + τ 2 ΓF22 (σ )
пользуя (26), найдем Φ 2 (σ ) :
ε1 > −
(c1b2 + c2b1 ) , ε1τ c > β ,
(31)
β h2 + 2kwc c1b2 + 2kξc1b1 + ε 2 Δ b c12 > 0 ,
2
(27)
Δ c wb2
(32)
2
k
+ 2kβwc Δb + β Δb − ε 2Δbτ c β < 0 . (33)
Тогда матричные уравнения (2)–(4) имеют решение
H = H1 = H1T ,
Q1 = L1 < 0 ,
Q2 = L2 < 0 ,
q1 = ε1 ,
q2 = ε 2 , где
. Тогда, ис-
⎛α
Φ 2 (σ ) = F2 (σ ) Γ ⎜ − m1 +
⎝Γ
⎞
m0
⎟ = F (σ ) Γ (−m +
+
2
1
2
2
1 + τ ΓF2 (σ ) ⎟⎠
β
c12Δb
H1 = (Δb ) −1(cbT + JcbT J ) ,
−1
T
T T
(34)
T
L1 = 2 β (Δ b ) ( Jcb + cb J ) − 2ε1cc < 0 , (35)
L2 = L0 − 2ε 2ccT < 0 ,
L0 = 2Δ−b1 ( β ( Jcb T + cb T J T ) + kwc (cb T J T +
(28)
+ αΓ −1 − g 2 (σ ) + m1 ) =
= F2 (σ ) Γ (αΓ −1 − g 2 (σ )).
В силу (25), (28) и условия 6) теоремы значение
функции G 2 ( y1 ) при y = y1 удовлетворяет неравенству
(36)
+ Jbc T ) − kξ (cb T + bc T )),
матрица H1 имеет одно отрицательное и одно положительное собственное значение.
Доказательство. Непосредственной подстановкой в уравнения (2), (4) показывается, что матрицы
H = H1 , Q1 = L1 , определяемые равенствами (34),
(35), удовлетворяют соотношениям (2), (4). Матрица
h2 ⎞
⎛h
⎟⎟ ,
H1 имеет вид H1 = ⎜⎜ 1
⎝ h2 − h1 ⎠
h1 = Δ−b1 (c1b1 − c2b2 ) , h2 = Δ−b1 (c1b2 + c2b1 )
54
(37)
ВЕСТНИК РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК · 2013/4
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
и имеет одно отрицательное и одно положительное собственные значения. Из критерия
Сильвестра и неравенств (31) следует, что матрица L1 – отрицательно определенная, L1 < 0 .
Используя (2), (34), (35), получим
( A + 2kdc T ) T H 1 + H 1 ( A + 2kdc T ) = L1 +
T
T
+ 2k (cd H 1 + H 1 dc ) = L0 − 2αH 1 =
(38)
= ( L 0 −2ε 2 cc T ) + 2ε 2 cc T − 2αH 1 =
= L2 + 2ε 2 cc T − 2αH 1 ,
где L2 = L0 − 2ε 2ccT , матрица L0 определяется
соотношением (36). Из (38) следует, что матрица H1 является решением уравнения (3), когда
Q2 = L2 , q2 = ε 2 . Неравенства (32), (33) и критерий Сильвестра обеспечивают отрицательную
определенность матрицы L2 . Лемма 1 доказана.
Пусть выполнены обозначения леммы 1,
тогда справедливо утверждение.
Лемма 2. Если для системы матричных
уравнений (2)–(4) выполнены соотношения
μ1 = −Γ −1τ c (c1b1 − c 2 b2 ) ,
2c1Γ −1(Δ cb2 wb −
−Δ b c1ξ ) = δ 1 , r = −c , справедливы неравенства
βτ c
m1 > − 2
(c1b1 − c2b2 ) ,
c1 ΔbΓ
−2 2
Γ β
m1 > βτ c Γ −2 , τ c > 0 ,
(39)
βμ1 + kδ1 − m2Δbc12 < 0 ,
(40)
Δ bτ c2
2
−1
Δ c wb2
− 2kβ Γ τ cξΔ b −
−m2 Δ bτ c β < 0 ,
(41)
то матричные уравнения (2)–(4) имеют решение
H = H 2 = H 2T ,
+k
Q1 = M 1 < 0 ,
Q2 = M 2 < 0 ,
q1 = m1 , q2 = m2 , где
H 2 = −(Δ b ) −1 (cbT + JcbT J ) +
+ 2Δ c Γ −1 ( E − Δ−b1bbT ) ,
M 1 = −2β (Δ b ) −1 ( Jcb T + cb T J T ) +
+ 2 βΔ c Γ −1 ( J − 2Δ−b1 Jbb T ) − 2m1cc T < 0,
(42)
(43)
M 2 = M 0 − 2m2ccT < 0 ,
+ 2k (cd T H 2 + H 2 dc T ),
h22 = Γ −1 (c1c2 Δb − b1b2Δ c ) ,
2
h21 > 0 , det H 2 = Δ−b2 (h21h23 − h22
) = Δ c Δ−b1 > 0 , получим, что матрица H 2 является положительно определенной. Из критерия Сильвестра и неравенств
(39) следует, что матрица M1 является отрицательно
определенной, M 1 < 0 .
В силу (2), (44) получим
( A + 2kdc T ) T H 2 + H 2 ( A + 2kdc T ) =
= M 1 + 2m1cc T − 2αH 2 + 2k (cd T H 2 +
+ H 2 dc T ) = M 0 − 2αH 2 = ( M 0−2m 2 cc T ) +
(44)
матрица H 2 является положительно определенной.
Доказательство. Непосредственной подстановкой в уравнения (2), (4) при r = −c показывается, что матрицы H = H 2 , Q1 = M 1 , опре-
(46)
+ 2m 2 cc T − 2αH 2 = M 2 + 2m 2 cc T − 2αH 2 ,
где M 2 = M 0 − 2m2ccT , матрица M 0 определяется
соотношением (44). Из (46) следует, что матрица H 2
является решением уравнения (3), когда Q2 = M 2 ,
q2 = m2 . Неравенства (40), (41) и критерий Сильвестра обеспечивают отрицательную определенность
матрицы M 2 . Лемма 2 доказана.
Пример. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
~
~
~
2kc~ T ~
x
~
x = A~
x + b ϕ (σ ) + d
, σ = c~ T ~
x , (47)
2 ~T ~ 2
1 + τ (c x )
⎛ 0⎞
~
~ ⎛ν ⎞
~ ⎛ − α −β 1 ⎞
⎟⎟ , b = ⎜⎜ 0 ⎟⎟ , c~ = ⎜⎜ ⎟⎟ , d =
A = ⎜⎜ 1
0 ⎠
⎝− Γ⎠
⎝1⎠
⎝ 1
~
⎛d ⎞
~
= ⎜⎜ 1 ⎟⎟ , ϕ (σ ) = sin σ − γ . Матрица A имеет собст⎝−ξ ⎠
где
венные значения λ1,2 = ±2 −1 α12 − 4β1 − 2 −1 . Если
~
4β1 − α12 > 0 , то матрица A имеет собственные значения с мнимой частью. В системе (47) сделаем замену переменных ~
x = Sx , получим систему (1), где
~
−1 ~
−1~
A = S A S , b = S b , cT = c~T S , d = S −1d . Пусть
α = α1 / 2 ,
T
M 0 = ( M 1 + 2m1cc ) +
h ⎞
⎛h
H 2 = Δ−b1⎜⎜ 21 22 ⎟⎟ , h21 = Γ −1 (c12 Δ b + b22 Δ c ) ,
h
⎝ 22 h23 ⎠
h23 = Γ −1(b12Δ c + c22Δ b ) .
(45)
Используя критерий Сильвестра и неравенства
+ 2ε 1cc T − 2αH 1 + 2k (cd T H 1 + H 1 dc T ) =
= 2 βΔ−b1 ( Jcb T + cb T J T ) − 2αH 1 +
деляемые равенствами (42), (43), удовлетворяют соотношениям (2), (4). Матрица H 2 имеет вид
⎛ β − β1
⎜⎜
⎝ α
4β 1 − α 12 > 0 ,
β = 2 −1 4β1 − α12 ,
α ⎞
⎟ = S . Тогда det S = Δ s = β (2 β − β1 −
β − 1⎟⎠
⎛ β −1 − α ⎞
⎛ −α β ⎞
⎟⎟ , A = ⎜⎜
⎟⎟ =
S −1 = Δ−s1 ⎜⎜
⎝− β −α ⎠
⎝ − α β − β1 ⎠
⎛ 0 − 1⎞
⎟⎟ .
= −αE + βJ T , E – единичная матрица, J = ⎜⎜
⎝1 0 ⎠
−1) ≠ 0,
ВЕСТНИК РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК · 2013/4
55
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
случай: α1 = 1 , β1 = 0.27 ,
~
ν 0 = 2 , Γ = 9 , d1 = 0 , ξ = 1 , ϕ (σ ) = sin σ − γ ,
Рассмотрим
γ = 0.5 , τ = β = 2 −1 4β1 − α12 . Для системы
(47) определим значение k , при котором
выполняются условия теоремы. Найдем элементы матрицы A ( α = α1 / 2 = 0.5 , β = 2 / 10 )
и элементы векторов b, c, d .
⎛c ⎞
⎛ b ⎞ ⎛ − 19.934 ⎞
⎟⎟ , c = S T c~ = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ =
b = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ = ⎜⎜
b
1
.
126
−
⎠
⎝ c2 ⎠
⎝ 2⎠ ⎝
⎛ 0.5 ⎞
~ ⎛ d ⎞ ⎛ − 3.581⎞
⎟⎟ .
⎟⎟ , d = S −1d = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ = ⎜⎜
= ⎜⎜
⎝ − 0.859 ⎠
⎝ d 2 ⎠ ⎝ − 0.921⎠
Пусть выполнены соотношения
ε1 = 0.008 , ε 0 = ε 2 − ε1 = 0.4k + 0.2033k 2 . (48)
Тогда справедливы условия леммы 1. Если значения m1 , m0 определяются равенствами
2
m1 = 0.03088 , m0 = −0.222k + 0.2033k , (49)
то выполняются условия леммы 2. Таким образом, соотношения (48), (49) определяют значения ε1 , ε 2 , ε 0 , m1 , m2 , m0 , для которых
справедливы условия 1), 2) теоремы. При
проверке условий 3)–6) теоремы целесообразно
использовать следующий алгоритм.
Алгоритм проверки условий 3)–6) теоремы.
1. Выбрать значение k = 0.035 .
2. Используя соотношения (48), (49), определить ε 0 = 0.0142 , m 0 = 0.007 .
3. Найти начальные условия предельного
цикла второго рода F1 (σ ) системы (5)
ε Γ +α
= 0.1907 , 2sλν = 2s1λ1ν 1 =
при λ = λ1 = 1
Γ
= ε 0 Γ = 0.043 , (λν ) 2 = (λ1ν 1 ) 2 = τ 2Γ = 0.18 ,
sin σ − γ = ϕ (σ ) , γ = 0.5 . Численными методами определить начальные условия y1 (0) =
= 2.767 , σ (0) = 0 .
4. Определить начальные условия предельного цикла второго рода F2 (σ ) системы
(5)
при
λ = λ2 =
α − m1Γ
Γ
= 0.074,
6. Численными методами проверить условие 6)
теоремы, определить значение e1 , для которого
m0
выполняется
неравенство
m1 −
≥
2
1 + τ ΓF22 (σ )
≥ e1 = 0.03 для любого σ ∈ (−∞;+∞) .
Результаты теоремы позволяют определить
в фазовом пространстве системы (47) область, содержащую начальные условия предельного цикла
системы (47). Используя соотношения (37), (45) для
элементов матриц H1 , H 2 , в плоскости σ = 0 рассмотрим линии
L : xT H x = − F 2 (0) ⇔ ~
x T ( S −1 )T H S −1~
x=
1
1
1
1
= − F12 (0) ⇔ 1.144 ~
x12 + 2 ⋅ 0.254 ~
x1~
x2 − 0.055~
x22 =
= −2.767 2 ,
L2 : xT H 2 x = F22 (0) ⇔ ~
x T ( S −1 )T H 2 S −1~
x=
2
2
~
~
~
= F (0) ⇔ 1.144 x + 2 ⋅ 0.254 x x + 0.168~
x2 =
2
1
1 2
2
2
= 6.699 ,
L3 : c x = Γ F1 (0) ⇔ c~T ~
x = Γ F1 (0) ⇔
~
⇔ x = 3 ⋅ 2.767 ,
T
2
L4 : c x = Γ F2 (0) ⇔ c~ T ~
x = Γ F2 (0) ⇔
~
⇔ x2 = 3 ⋅ 6.699 .
T
На рисунке 1 изображена область Ω0 , ограниченная
линиями L1 , L2 , L3 , L4 .
Рис.1. Область начальных условий предельного цикла
системы (47)
2sλν =
= 2s 2 λ 2ν 2 = m 0 Γ = 0.021, (λν ) 2 = (λ 2ν 2 ) 2 =
= τ 2 Γ = 0.18, ϕ (σ ) = sin σ − γ , γ = 0.5 . Используя численные методы найти начальные условия
y1 (0) = 6.699 , σ (0) = 0 .
5. Проверить условие 5) теоремы, численно определить значение e , для которого выполняется неравенство
⎛
⎜
⎝
αF1 (σ )⎜ Γε1 +
56
−1
⎞
⎟ − F2 (σ ) ≥ e = 0.028.
1 + τ 2 ΓF12 (σ ) ⎟⎠
Γε 0
Рис.2. Проекция предельного цикла системы (16)
~ ~
на плоскость ( x1, x2 )
ВЕСТНИК РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК · 2013/4
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Область Ω0 содержит начальные условия предельного цикла системы (47). Численными методами показано, что цикл системы (47) опредеx1 (0) = −4.447 ,
ляется начальными условиями ~
ЛИТЕРАТУРА
1. Шахгильдян В.В. Ляховкин А.А. Системы
фазовой автоподстройки частоты. М.:
Связь, 1972. 448 с.
2. Капранов М.В., Кулешов В.Н., Уткин
Г.М. Теория колебаний в радиотехнике.
М.: Наука, 1984. 320 с.
3. Шалфеев В.Д. К исследованию нелинейной
системы частотно-фазовой автоподстройки
частоты с одинаковыми интегрирующими
фильтрами в фазовой и частотной цепях //
Радиофизика. 1969. Т.12. №7. С.1037-1051.
4. Пономаренко В.П. Об устойчивости системы частотной автоподстройки с фильтром
второго порядка // Радиотехника и электроника. 1982. Т.27. №1. С.113-116.
5. Пономаренко В.П., Матросов В.В. Сложная динамика автогенератора, управляемого
петлей частотной автоподстройки // Радиотехника и электроника. 1997. Т.42. №9.
С.1125-1133.
~
x2 (0) = 12.9 , σ (0) = 0 из области Ω0 . На рисунке 2
изображена проекция цикла системы (47) на плосx1, ~
x2 ) .
кость ( ~
6.
7.
8.
Мамонов С.С. Динамика системы частотнофазовой автоподстройки частоты с фильтрами
первого порядка // Вестник Новосиб. гос. ун-та.
Серия. Математика, механика, информатика.
2011. Т 11. Вып. 1. С. 70-81.
Леонов Г.А., Буркин И.М., Шепелявый А.И.
Частотные методы в теории колебаний. СПб.:
Изд-во СПбГУ, 1992. 368 с.
Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М.: Наука, 1978.
400 с.
Мамонов Сергей Станиславович, д. ф.-м. н., профессор кафедры
математики и МПМД Рязанского государственного университета
имени С.А. Есенина
390000, г. Рязань, ул. Свободы, д. 46,
тел.: +7 (4912) 28-05-74, е-mail: s.mamonov@rsu.edu.ru
ВЕСТНИК РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК · 2013/4
57