II_&#39

II (муниципальный) этап Всероссийской олимпиады школьников по математике.
20010 год г. Саратов
Решения
7 класс
1.
2.
3.
Вчера число учеников, присутствовавших в классе, было в 8 раз больше, чем
отсутствующих. Сегодня не пришли еще 2 ученика, и оказалось, что отсутствуют 20% от
числа присутствующих. Сколько учеников в классе?
1
1
Решение. Вчера отсутствовала всех учеников, а сегодня
часть т.е.
9
6
x x 1
x
  x
 2  x  36 .
6 9 18
18
Ответ: 36 учеников.
На доске написано 11 натуральных чисел. Докажите, что можно стереть одно число так,
что сумма оставшихся чисел будет четной.
Решение. Если сумма всех 11 чисел четна, то среди них есть хотя бы одно четное число
(иначе сумма будет нечетной). Его и сотрем, при этом четность суммы не изменится. Если
сумма всех 11 чисел нечетна, то среди них есть хотя бы одно нечетное число (иначе сумма
будет четной). Его и сотрем, при этом сумма оставшихся станет четной.
Найти все n, при которых квадрат n×n можно разрезать на квадраты 5×5 и прямоугольники
1×3. (При разрезании могут получиться либо два вида, либо один).
Решение. Квадраты 1  1, 2  2, 4  4 разрезать нельзя, так как они меньше квадрата 5×5 и
их площадь не делится на 3. Квадраты 3  3, 5  5, 6  6, 7  7 ( 5 5 с каемкой из 8 полосок
вокруг) – можно (см. рис.). Дальше добавляем уголок шириной 3 из полосок 1 3 (см.
рис.).
Ответ: n  3, n  5 .
4.
В выражении
1 2
99
замените все 98 звёздочек знаками арифметических действий (
* *...*
2 3
100
– , + , , : ) таким образом, чтобы значение полученного арифметического выражения
равнялось нулю.
1 2
9 10 11
99
1
1
  ...     ... 


0;
2 3
10 11 12
100 10 10
1 2 3
9 10 11
49 50 51
99 1 1 1 1
   ...     ...    ... 
     0 Возможно, есть и
2 3 4
10 11 12
50 51 52
100 2 5 5 2
другие верные ответы.
Ответ: Например,
5.
6.
В шестом классе 26 учеников. Некоторые из них всегда говорят правду, а остальные всегда
лгут. На уроке физкультуры все ученики этого класса выстроились по кругу лицом к
центру. Учитель физкультуры задал каждому ученику по два вопроса: «Кто стоит слева от
тебя?» и «Кто стоит справа от тебя?»,  и каждый из учеников на оба этих вопроса ответил:
«Мальчик». Сколько в классе мальчиков?
Решение. Если все говорят правду, то в классе 26 мальчиков. Если все лжецы, то
мальчиков нет вообще. Рассмотрим случай, когда есть и лжецы и правдивые, тогда есть
двое: честный и лжец, которые стоят рядом.
…_Л_Ч_... . И тот и другой друг про друга
говорят, что сосед мальчик. Значит честный - это девочка, а лжец - это мальчик. Но тогда у
лжеца-мальчика оба соседа девочки, и обе честные. Получается, что в круге чередуются
девочки и мальчики. Значит, мальчиков 13.
Ответ: 26 или 13 или 0.
1
В одном сосуде 2a литров воды. Другой – пустой. Из первого переливают
воды во
2
1
1
второй, затем из второго переливают воды в первый, затем из первого
воды во второй
3
4
и т.д. Сколько литров будет в первом сосуде после 2009 переливаний?
Решение. После первого шага воды в сосудах поровну. Докажем, что если на каком-то
нечетном шаге воды в сосудах поровну, то и на следующем нечетном шаге тоже будет
поровну. Разделим воду в одном сосуде на n одинаковых частей (после нечетного шага,
когда воды было поровну). Теперь мы добавляем одну часть в другой сосуд и в нем будет
(n+1) таких же частей. Следовательно, на следующем нечетном шаге из второго сосуда
одну из частей возвращаем обратно (так как (n+1)x:(n+1)=x) и, значит, восстановим
предыдущее состояние.
Ответ: По a литров в каждом сосуде.
8 класс
1.
2.
3.
Найдите наименьшее число, записываемое только при помощи двоек, единиц и нулей,
которое бы делилось на 225.
Решение. Число должно делиться на 25, поэтому оно оканчивается не менее чем на два
нуля. Число должно делиться на 9, поэтому сумма цифр должна делиться на 9, значит, она
не менее 9. Представим 9 наименьшим числом слагаемых: 9=2+2+2+2+1. Чтобы число
было меньше, 1 должна стоять в начале числа.
Ответ: 1222200.
Наташа и Инна купили по одинаковой коробке чая в пакетиках. Известно, что с помощью
одного пакетика они заваривали две или три чашки чая. Этой коробки Наташе хватило на
53 чашки чая, а Инне — на 76. Сколько пакетиков было в коробке? Ответ должен быть
обоснован.
2 x  53,
 x  26,5,

1 Так как число
Решение. Пусть пакетиков в коробке было x . Тогда 

x  25 .
3
x

76
;


3
пакетиков целое, то единственный ответ 26 штук.
Ответ: 26 штук.
На сторонах BC и AB прямоугольного равнобедренного треугольника ABC(AC=CB)
отметили точки F и E соответственно. Оказалось, что CF=FE=EB. Доказать, что AC=AE.
B
E
F
C
4.
A
Решение.
Так как треугольник ABC прямоугольный и равнобедренный, то ABC  45 . Так как
треугольник BEF равнобедренный, то BFE  FBE  45 . Тогда AEF  90 (как
внешний угол). Тогда ACF  AEF по гипотенузе и катету. Отсюда AC  AE .
a b
a 2  b2 a
 .
Докажите, что если  , то 2
b c
b  c2 c
a b
Решение. Первый способ.   b2  ac, a  0, b  0, c  0 . Тогда
b c
2
2
2
a b
a  ac a(a  c) a


 . Если a  c  0  a  c  b 2  c 2 . Противоречие.
2
2
b c
ac  c 2 c(a  c) c
a b
Второй способ. Обозначим   k ( a  0, b  0, c  0, k  0 ). Тогда
b c
2
a  kb, b  kc  a  k c . Подставим в левую часть равенства:


a 2  b2 k 4c 2  k 2c 2 k 2 k 2c 2  c 2
a k 2c
2



k

 k 2 . Так
и
в
правую
часть
равенства:
c
c
b2  c2
k 2c 2  c 2
k 2c 2  c 2
как получили равные выражения, тотождество верно.
Критерии:
Если не рассмотрен случай a  c  0 - 3 балла.
По кругу стоят 22 человека, каждый из них – рыцарь (который всегда говорит только
правду) или лжец (который всегда лжет). Каждый из них произнес фразу: «Следующие 10
человек по часовой стрелке после меня – лжецы». Сколько среди этих 22 людей лжецов?
Решение. Если более 10 лжецов стоят подряд, то один из них говорит правду, значит, такое
невозможно. Всего 22 человека, поэтому среди них есть рыцарь. Рассмотрим рыцаря, он
говорит правду, значит, 10 следующих за ним людей – лжецы. Так как 11 лжецов подряд
стоять не могут, то за 10 лжецами обязан стоять рыцарь, за которым опять стоят 10 лжецов.
Всего получается 2 рыцаря и 20 лжецов.
Ответ: 20 лжецов
6.
Динозавр ходит на одну клетку только в одном из трех направлений: вниз, вправо и вверхвлево. Сможет ли он пройти из левого нижнего угла в правый верхний угол, побывав во
всех клетках доски ровно по одному разу: а) 8 8 ; б) 9 9 ?
Решение.
а) да
б) нет
5.
Раскрасим доску в три цвета (присвоим клеткам числа) и получим цикл динозавра: 1-2-0.
При полном обходе динозавр проходит полное число циклов и должен попасть на клетку с 0,
а верхняя правая угловая клетка с 1. Противоречие.
Критерии:
Пункт а) – 3 балла,
Пункт б) – 4 балла,
Ответ: а) да; б) нет.
9 класс
1.
2.
Существуют ли различные числа a, b, c такие, что прямые: y  ax  b , y  bx  c , y  cx  a
пересекаются в одной точке?
Решение.
Первый способ. Пусть графики пересекаются в точке x0 , y 0  . Тогда
y0  ax0  b, y0  bx0  c и y 0  cx0  a . Вычитая из первого уравнения второе, из второго
– третье, а из третьего – первое, получаем равенства
a  bx0  c  b, b  c x0  a  c, c  a x0  b  a . Пусть a – наибольшее из чисел a, b, c .
Если a  b , то из первого равенства сразу получаем, что b  c ; случай a  c
рассматривается аналогично. Допустим a  b и a  c . Тогда из равенства c  a x0  b  a
следует, что x0  0 . Теперь из равенства a  bx0  c  b следует, что c  b  0 , а из
равенства b  c x0  a  c следует, что b  c  0 . Противоречие.
Второй способ. Пусть a  b, a  c, b  c .
 y  ax  b
c  b  y  ax  b
ab
 x
 x
; 

a  b  y  cx  a
ac
 y  bx  c
cb a b
2
2
2

 a 2  b 2  c 2  ab  bc  ac  a  b   a  c   b  c   0  a  b  c .
ab ac
2
Квадратный трехчлен ax  bx  c не имеет корней и a  b  c  0 . Найдите знак
коэффициента с.
Решение. Первый способ. Так как трехчлен не имеет корней, то он принимает всегда
значения одного знака. В точке x  1 его значение a  b  c  0 . Значит, и во всех других
точках его значения положительны. В точке x  0 его значение c  0 .
Второй способ. Так как трехчлен не имеет корней, то дискриминант
D  b 2  4ac  0  4ac  b 2  0  ac  0 . Если a  0, c  0 , то

b   a    c   0  b 2  (a)  (c)  4
2
3.
 a c
2
 4ac . Противоречие.
Остается случай: если a  0, c  0 , значит, c  0 . Пример: x 2  x  1 .
Ответ: c  0 .
Винни-Пух съедает 3 банки сгущенки и банку меда за 25 минут, а Пятачок – за 55 минут.
Одну банку сгущенки и 3 банки меда Пух съедает за 35 минут, а Пятачок – за 1 час 25
минут. За какое время они вместе съедят 6 банок сгущенки?
Решение.
Первый способ. Из условия следует, что 4 банки сгущенки и 4 банки меда Пух съедает за
1 час, а Пятачок — за 2 часа 20 минут. Значит, одну банку сгущенки и одну банку меда
Пух съедает за 15 минут, а Пятачок — за 35 минут. Используя первое из условий, получим,
что 2 банки сгущенки Пух будет есть 10 минут, а Пятачок — 20 минут. Так как Пух ест
сгущенку в два раза быстрее Пятачка, то за 20 минут они съедят 6 банок сгущенки.
Второй способ. Пусть Винни-Пух ест сгущенку со скоростью v1 банки в минуту, а мед —
со скоростью v2 банки в минуту. Тогда можно составить следующую систему уравнений:
3 1
 v  v  25
1
2
.
1 3
 
 35
 v1 v 2
Решив ее, получим, что v1 
1
(банки в минуту).
5
Пусть Пятачок ест сгущенку со скоростью u1 банки в минуту, а мед — со скоростью u2
банки в минуту. Тогда, решая аналогичную систему
4.
3 1
 u  u  55
1
 1
2
, получим, что u1 
(банки в минуту). Таким образом, Пятачок и Винни
1
3
10
 
 85
 u1 u2
3
Пух вместе едят сгущенку со скоростью u1  v1 
банки в минуту, следовательно, 6
10
3
 20 минут.
банок сгущенки они съедят за 6 :
10
Ответ: 20 минут.
Точка M - середина основания BC трапеции ABCD. На основании AD выбрана точка P.
Прямая PM пересекает прямую CD в точке Q, причем C лежит между Q и D.
Перпендикуляр к основаниям, проведенный через точку P, пересекает прямую BQ в точке
K. Докажите, что QBC= KDA.
Q
B
T
5.
6.
A
K
M
P
C
D
Решение.
Продолжим прямую BQ до пересечения с прямой AD в точке T . Получим BQC
подобен TQD по двум углам. Тогда так как QM медиана в BQC , то MP медиана в
TQD . Тогда в TKD высота KP является медианой, значит, треугольник TKD
равнобедренный. Следовательно, KTD  KDT . Кроме того, KTD  QBC , как
соответственные при параллельных прямых. Поэтому QBC  KDA .
Найдите количество трехзначных чисел, которые не делятся ни на 3, ни на 5, ни на 7.
Решение. Всего трехзначных чисел 999-99=900. На 3 делится 300-33=267 чисел. На 5
делится 199-19=180. На 7 делится 142-14=128 чисел. На 15 делится 66-6=60 чисел. На 21
делится 47 чисел. На 35 делится 28-2=26 чисел. На 105 делится 9 чисел.
По формуле включений-исключений получаем 900-(267+180+128)+(60+47+26)-9=449.
Ответ: 449.
В парламент прошли 99 представителей двух партий: «синие» и «красные». На первом
заседании парламента каждый депутат сделал следующее заявление: «В парламенте
представители моей партии составляют большинство». Известно, что каждый красный
говорит правду, если перед ним выступает синий, и обманывает, если перед ним выступает
однопартиец. А каждый синий, наоборот, говорит правду после однопартийца и
обманывает после человека из чужой партии. К какой партии принадлежал первый
выступавший?
Решение. Поскольку 99 нечетно, представители какой-то партии составляют в парламенте
большинство. Все они сказали правду. Допустим, это синие. Тогда все они (кроме, может
быть, первого) выступали после однопартийцев, то есть сначала выступили все синие, а
потом – все красные. Однако тогда первый красный должен был сказать правду.
Противоречие. Значит, правду говорят красные. Стало быть, они чередуются с синими и их
больше. Но это возможно только в случае, когда первый оратор – красный.
Ответ: К красной партии.
10 класс
1.
Докажите, что для любых положительных чисел a, b выполняется неравенство
a 6  b6 
a 9 b9
 .
b3 a 3
Решение. Сделаем замену a 3  x, b 3  y . Тогда неравенство примет вид:
x3 y3

 x 3 y  xy3  x 4  y 4 . Используем неравенство Коши:
y
x
x4  x2 y2
x2 y2  y4
x 4  2x 2 y 2  y 4
. Ещё раз
x3 y  x6 y 2 
, xy3 
 x 3 y  xy3 
2
2
2
x4  y4
воспользуемся неравенством Коши: x 2 y 2 
и получим требуемое неравенство.
2
Пусть p и q простые числа и уравнение x 2  px  q  0 имеет различные целые корни.
Найдите p и q .
Решение. Пусть x1 , x2 - корни данного уравнения, причем x1  x2 . По теореме Виета
x2  y2 
2.
3.
 x  x 2  p,
получим  1
Так как q простое число, то x1  1. Тогда x2  q и p  q  1 . Значит,
 x1  x2  q.
они разной четности. Тогда q  2, p  3 .
Ответ: q  2, p  3
Во вписанном четырехугольнике ABCD стороны AB и AD равны, CD>AB+BC. Докажите,
что  ABC>120.
Решение.
Так как AB  AD , то ACB  ACD . При осевой симметрии относительно AC отрезок
CD переходит в отрезок CF , принадлежащий прямой CB . Тогда ADC  AFC . Та, к
как четырехугольник вписанный, то ADC  ABF . Получаем, что ABF  AFB . Так
как BF  CF  CB  CD  CB  AB (по условию). Значит, BF - самая большая сторона в
треугольнике ABF . Поэтому ABF  60 (иначе сумма углов в треугольнике больше
180 . Значит, смежный с ним угол ABC  120 .
F
A
B
C
D
4.
Докажите, что среди семи натуральных чисел, образующих арифметическую прогрессию с
разностью 30, одно и только одно число делится на 7.
Решение. Семь натуральных чисел, образующих арифметическую прогрессию с разностью
30, можно записать в виде a, a  30, a  2  30,..., a  6  30 . Разность любых двух из этих
чисел представима в виде r  a  30n  a  30m  30n  m, причем можно считать, что
n  m . Тогда n  m  1;2,...;6. Поэтому r не делится на 7. Если среди чисел, были хотя бы
два, дающие одинаковые остатки при делении на 7, то их разность делилась бы на 7, что
5.
6.
противоречит свойству числа r . Значит, все числа имеют различные остатки при делении
на 7. Так как всего остатков 7 и чисел 7, то среди чисел есть ровно одно, делящееся на 7.
У Васи есть три банки с красками разного цвета. Сколькими различными способами он
может покрасить забор, состоящий из 10 досок, так, чтобы любые 2 соседние доски были
разных цветов и при этом он использовал краски всех трех цветов?
Решение. Посчитаем сначала число способов, которыми можно покрасить забор так, чтобы
любые две соседние доски были покрашены в различные цвета. Первую доску можно
покрасить любой из трех красок, вторую — одной из двух оставшихся, третью — одной из
двух красок, отличающихся по цвету от второй доски, и т. д. То есть число способов равно
3  2 9  3  512  1536 . В полученное число вошли и способы покраски забора в два цвета.
Число таких способов равно 6 (первую доску можно покрасить тремя способами, а вторую
— двумя, далее покраска определяется однозначно). Итого 1536 - 6 = 1530 способов.
Ответ: 1530 способов.
Перед зимними каникулами для самостоятельной работы учительница приготовила 5
задач. Кроме того, она заготовила 4 листа для списков. Заголовки были такие: «Решившие
ровно две задачи», «Решившие не более двух задач», «Решившие ровно три задачи» и
«Решившие не менее трех задач». Какие два из этих списков совпасть не могут?
Решение. Если никто не пришел на самостоятельную (отмена занятий из-за гриппа или
холодов), то все списки совпали.
Если самостоятельная состоялась, то совпасть не могут 2 и 4, так как каждый человек
попадает ровно в один из этих списков. Остальные могут совпасть. Если все решили по 5
задач, то совпали 1, 2 и 3. Если все решили по 1 задаче, то совпали 1, 3, 4.
Критерии:
Если не рассмотрен только случай пустого множества – 4 балла.
Если рассмотрен только случай пустого множества. -3 балла.
Нет примеров, показывающих возможность совпадения списков для непустого множества
– (-2) балла (по 1 баллу за пример).
Если указано какие не совпадают, но не объяснено почему – (-1) балл.
11класс
1.
Про квадратный трехчлен f x   ax 2  ax  1 известно, что f x   1 при 0  x  1 . Найдите
наибольшее возможное значение a .
Решение.
Первый способ. Так как f 0  f 1  1 , то графиком трехчлена является парабола,
симметричная относительно прямой x  0,5 . Из условия f x   1 при 0  x  1 следует,
что «ветви» параболы направлены вверх, а наибольшее значение a достигается в случае,
когда наименьшее значение функции равно  1 . Из того, что f 0,5  1 , получаем, что
a  8.
Второй способ.
f x  1  1  ax 2  ax  1  1  2  a x 2  x  0 . При 0  x  1



x 2  x  0 . Поэтому  2  a x 2  x  0 
при 0  x  1
2.
3.

2
 a  0 . Наибольшее значение функции
x  x2
2
равно 8.
x  x2
Ответ: a  8 .
Можно ли расставить числа 1,2, … 81 в клетки квадратной таблицы 9 9 так, чтобы суммы
чисел во всех горизонтальных рядах будут одинаковы?
Решение. Поставим в первый столбец 1, 2, ….,9; во второй 2, 3, …., 9, 1; и так далее, в
последний поставим 9, 8, … , 1. Тогда в каждой строке сумма чисел равна 45. Затем
элементы первого столбца оставим без изменения, элементы второго столбца увеличим на
9, третьего на 18 и т.д., девятого на 72. Тогда суммы по строкам останутся равными и
будут представлены все числа от 1 до 81.
Ответ: Можно.
В остроугольном треугольнике ABC медиана AM равна высоте BH . Кроме того,
MAB  HBC . Докажите, что треугольник ABC равносторонний.
B
M
A
H
C
Решение.
Из условия задачи следует, что HM медиана прямоугольного треугольника BCH ,
1
проведенная к гипотенузе, значит, HM  BC  BM . Тогда треугольник BMH
2
равнобедренный, значит, MHB  HBC . Используя также, что HBC  MAB (по
условию), получим что MHB  MAB . Таким образом, отрезок BM виден из точек A и
H под одинаковым углами, поэтому точки A, B, M и H лежат на одной окружности. Так
как прямой угол AHB вписанный, то AB диаметр этой окружности, тогда вписанный угол
AMB также прямой. Следовательно, медиана AM треугольника ABC является также и
его высотой, поэтому треугольник ABC равнобедренный: AB  AC . Кроме того, равны
4.
5.
6.
прямоугольные треугольники AMC и BHC ( AM  BH , угол C общий). Следовательно,
AC  BC . Таким образом, треугольник ABC равносторонний, что и требовалось доказать.
Докажите, что все числа вида 10017, 100117, 1001117, . . делятся на 53.
Решение. Проверим 10017:53=189. Каждое следующее число получается из предыдущего
по формуле: a n  10a n1  53 . Поэтому, так как предыдущее число делится на 53, то и
следующее тоже делится.
Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 составлены все возможные четырехзначные числа, не
содержащие повторяющихся цифр. Найдите сумму этих чисел.
Решение.
Первое решение. Подсчитаем, сколько четырехзначных чисел с неповторяющимися
цифрами можно составить из цифр 1, 2, ..., 9. Первую цифру с1 можно выбрать девятью
способами. После того как цифра с1 определена, вторую цифру с2 можно выбрать
восемью способами. Задав первые две цифры с1 и с2 , мы сможем выбрать третью цифру
с3 семью способами, а после того, как определены первые три цифры с1 , с2 , с3 ,
последней цифрой с4 могут оказаться еще 6 цифр. Таким образом, множество всех
допустимых чисел содержит 9  8  7  6 элементов. Для любого числа, принадлежащего
этому множеству, в том же множестве существует вполне определенное число, каждая
цифра которого дополняет соответствующую цифру исходного числа до 10. Таким
образом, все числа множества можно разбить на пары, объединив в одну пару числа, у
которых цифры, стоящие на одном и том же месте, в сумме дают 10, например 3562 и 7548.
Всего имеется 9  8  7  6 : 2  1512 таких пар. Сумма чисел, образующих одну пару, равна
1000 10  100 10  10 10  110  11110 . Следовательно, сумма всех чисел, образующих
рассматриваемое множество, равна 1512 11110  16798320 .
Второе решение. Как подсчитано в первом решении, всего существует 9  8  7  6
допустимых чисел. Столько же цифр приходится на каждый десятичный разряд этих чисел.
В любом десятичном разряде каждая из девяти цифр встречается одинаковое число раз, а
именно 9  8  7  6 : 9  8  7  6  336 раз. Следовательно, сумма цифр, стоящих в любом
десятичном разряде, равна 336  1  2  3  4  5  6  7  8  9  336  45  15120 , а сумма
всех чисел равна 15120 1111  16798320 .
Ответ: 16798320.
В некоторой компании каждый сотрудник либо правдивец, либо лжец (всегда). Каждого из
сотрудников спросили про каждого из остальных, правдивец тот или лжец. Всего было
получено 32 ответа «правдивец» и 40 ответов «лжец». На сколько отличается в этой
компании количество сотрудников-правдивцев от количества сотрудников-лжецов?
Решение. Если всего сотрудников n , то n  n  1  32  40 . Отсюда n  9 . Пусть имеется
k правдивцев и 9  k лжецов. Тогда каждый «правдивец» даст про остальных сотрудников
ответ «правдивец» k  1 раз и ответ «лжец» 9  k раз. А каждый «лжец» даст про
остальных сотрудников ответ «правдивец» 9  k  1  8  k раз и ответ «лжец» k раз. То
есть, всего будет ответов «правдивец» k  k  1  9  k   8  k   2k 2  18k  72 и ответов
«лжец» k  9  k   9  k   k  18k  2k 2 . Получаем уравнение
2k 2  18k  40  0  k 2  9k  20  0 . Отсюда k  4 (тогда 9  k  5 ) или k  5 (тогда
9  k  4 ). И в том, и в другом случае разность равна 1.
Ответ: 1.