Элективный курс для учащихся 9 классов

Министерство образования и молодёжной политики Чувашской Республики
ГОУ «Чувашский республиканский институт образования»
Элективный курс по математике для
учащихся 9 - ых классов
Алгебра плюс: Элементарная алгебра с точки зрения
высшей математики.
Составитель:
Ермеев Валерий Александрович,
учитель математики МОУ «Цивильская
средняя общеобразовательная школа №1
им. М.В. Силантьева» Цивильского
района
Рецензент: Ярдухин А.К., канд. физ.-мат. наук,
доцент кафедры естественно-научных дисциплин
ГОУ «Чувашский республиканский институт
образования»
Чебоксары 2007
Пояснительная записка.
Программа по математике составлена на основе федерального компонента
государственного стандарта среднего (полного) общего образования.
Элективные занятия рассчитаны на 1 ч в неделю, в общей сложности – на 34 ч в
учебный год. Преподавание элективного курса строится как углублённое изучение
вопросов, предусмотренных программой основного курса. Углубление реализуется на
базе обучения методам и приемам решения математических задач, требующих
применения высокой логической и операционной культуры, развивающих научнотеоретическое и алгоритмическое мышление учащихся. Элективные занятия дают
возможность шире и глубже изучать программный материал, задачи повышенной
трудности, больше рассматривать теоретический материал и работать над ликвидацией
пробелов знаний учащихся, и внедрять принцип опережения. Регулярно проводимые
занятия по расписанию дают возможность разрешить основную задачу: как можно полнее
развить потенциальные творческие способности каждого ученика, не ограничивая заранее
сверху уровень сложности используемого задачного материала, повысить уровень
математической подготовки учащихся. Тематика задач не выходит за рамки основного
курса,
но
уровень
их
трудности
–
повышенный,
существенно
превышающий
обязательный.
Основные цели:
1) развитие личности ребенка;
2) ) распознавание и раскрытие его способностей;
3) освоение системы знаний, необходимых для успешного получения профессионального
образования и самообразования;
4) формирование ответа применения полученных знаний и умений для решения типичных
задач в области математики.
5) знакомство учащихся с математикой как общекультурной ценностью, выработка
понимания ими того, что математика является инструментом познания окружающего
мира и самого себя.
Учебно – тематический план.
№
Содержание курса
часов
n/n
Делимости деление многочленов с остатком. Алгоритмы деления с
1
Количество
2
остатком. Делимость целых чисел.
Деление многочленов на двучлен. Теорема Безу. Корни
2
2
многочленов, следствия из теоремы Безу. Теорема о делимости на
двучлен и о числе корней многочленов. Кратные корни.
Деление многочлена на многочлен. Алгоритмы деления на двучлен.
3
2
Метод Руффини – Горнера.
4
Формулы сокращенного умножения.
2
5
Разложение методом неопределенных коэффициентов.
2
6
Полиномиальные уравнения высших степеней. Понижение степени
6
заменой и разложением. Теорема о рациональных корнях
многочленов с целыми коэффициентами.
Симметрическое, кососимметрическое и возвратные многочлены и
7
4
уравнения.
8
Метод использования монотонности при решении уравнений.
2
9
Дробно – рациональные алгебраические уравнения. Общая схема
4
решения. Метод замены при решении дробно – рациональных
уравнений.
Дробно – рациональные алгебраические неравенства. Общая схема
10
4
решения методом сведения к совокупностям систем. Метод
интервалов дробно – рациональных неравенств.
Однородные уравнения с двумя переменными. Однородные
11
4
системы уравнений с двумя переменными. Замена переменных в
системах уравнений. Метод разложения при решении систем
уравнений. Системы с тремя переменными.
Содержание курса.
1.Делимости деление многочленов с остатком.
Алгоритмы деления с остатком. Делимость целых чисел.
1. Определение и свойства делимости.
Целое число а делится на целое число b ≠ 0, если существует такое целое число с, что
а = bс.
Если а делится на b, то kа делится на b.
Если целые числа а и b делятся на целое число m, то сумма а + b и разность а- b делятся
на m.
Если а кратно m и m кратно b, то а кратно b.
Если а делится на k, b делится на n, то произведение аb делится на произведение kn.
. Задачи для самостоятельного решения
1. Число а кратно 5. Докажите, что число 3а кратно 15.
2. Числа а и b делятся на с. Докажите, что число а – b делится на с.
3. Число а кратно 4, число b кратно 7. Докажите, что число аb кратно 28.
4. Число а кратно 3. Докажите, что число 2а2 + 6а делится на 18.
5. Число а кратно 2, число b кратно 9. Докажите, что число 9а + 2b кратно 18.
6.Число а кратно 4, число b кратно 8. Докажите, что число а2 – 2b кратно 16.
7. Докажите, что сумма двухзначного числа, записанного теми же цифрами в обратном
порядке, делится на 11.
8.Докажите, что разность двухзначного числа и числа, записанного теми же цифрами в
обратном порядке, делится на 9.
9. Докажите, что разность квадрата целого числа и самого числа есть четное число.
10. Докажите, что число вида аb(a – b), где а и b – целые числа, четное.
11. Докажите, что 13+23+…+593 делится на 60.
12. Докажите, что 13+23+…+493 не делится на 50.
Теорема о делении с остатком.
Для любого целого числа а и натурального числа b, существует единственная пара
чиселq и r таких что а = bq + r, где q – целое, r – натуральное или нуль, причем r может
принимать лишь b различных значений 0; 1; 2; . . . , b – 1.
Если остаток r равен нулю, то число а делится на b.
Задачи для самостоятельного решения.
1. Число а при делении на 8 даёт остаток 6. Чему равен остаток от деления числа а на 4?
Ответ: 2 Указание. Записать данное число в виде а = 8k + 6 = 4( 2k + 1) + 2.
2Число b при делении на 10 даёт остаток 7. Чему равен остаток от деления числа b на 2?
3. Напишите общий вид чисел кратных 4 и дающих при делении на 3 остаток 2
4. Число а при делении на 5 даёт остаток 3. Чему равен остаток от деления на 5 числа
а2 – 3а ?
5. Найдите все числа, которые при делении на 3 дают остаток 2, а при делении на 4 дают
остаток 3.
6. . Найдите все числа, которые при делении на 5 дают остаток 1, а при делении на 4 дают
остаток 2.
7. Докажите, что если число а не кратно 3, то а2 – 1 делится на 3.
8.Существует ли такое целое число, которое при делении на 10 даёт в остатке 3, а при
делении на 15 даёт в остатке 7?
9. Существует ли такое целое число, которое при делении на 24 даёт в остатке 10, а при
делении на 16 даёт в остатке 3?
10. Докажите, что число n3 – n кратно 6 при любом натуральном n.
11. Докажите, что число n3 – n кратно 24 при нечётном n.
12. Известно, а2 + b2 делится на 7. Докажите, что а2 + b2 делится на 49.
13. Известно, а2 + b2 делится на 3. Докажите, что а кратно 3 и b кратно 3.
2. Деление многочленов на двучлен. Теорема Безу. Корни многочленов,
следствия из теоремы Безу. Теорема о делимости на двучлен и о числе корней
многочленов. Кратные корни.
При делении P(х) на х -  в остатке может получиться лишь некоторое число r (если
r = 0, то деление выполняется без остатка):
P(x) = (x -  ) Q (x) + r.
(1)
Чтобы найти значение r, положим в тождестве (1) х =  . При этом двучлен х - 
обращается в нуль, получаем, что P (  ) = r.
Итак, доказано утверждение, называемое теоремой Безу.
Теорема 1 (Безу). Остаток от деления многочлена P(x) на двучлен х -  равен P(  )
(т.е. значению P(x) при х =  ).
Пример 1. Докажем, что х4 – 6х3 + 7х + 18 делится без остатка на х – 2.
Решение. Подставляя в х4 – 6х3 + 7х + 18 вместо х значении 2, получаем 24 – 6 · 23 + 7 · 2 +
18, т.е. нуль.
Пример 2. Найдем остаток от деления хn + an на х + а.
Решение. В данном случае вместо х надо подставить – а. Получаем (- а)n + аn. Это
выражение равно нулю, если n нечетно, и равно 2аn, если n четно. Значит, хn + an делится
без остатка на х + а лишь в случае, когда n нечетно.
Определение 1. Число  называют корнем многочлена P(x), если P(  ) = 0 (т.е. если
 - корень уравнения P(x) = 0).
Если многочлен P(x) делится на х -  , то  - корень этого многочлена. В самом
деле, P(x) = (x -  ) Q (x), и потому P(  ) = (  -  ) Q (  ) = 0.
Справедливо и обратное утверждение. Оно вытекает из доказанной выше теоремы Безу.
Теорема 2. Если число  является корнем многочлена P(x), то этот многочлен
делится на х -  без остатка.
Теорема 3. Если многочлен P(x) имеет попарно различные корни  1,  2, …,  n, то
он делится без остатка на произведение (х -  1)…(х -  n).
Следствие. Многочлен степени n имеет не более n различных корней.
Если многочлен P(x) делится без остатка на (х -  )k, но не делится без остатка на
(х -  )k + 1, то говорят, что число  является корнем кратности k для P(x). Например, при
развертывании выражения (х + 4)2(х – 5)3(х + 1)(х + 2) получаем многочлен P(x), для
которого число – 4 – корень кратности два, число 5 – корень кратности три, а – 1 и – 2 –
корни кратности один.
Формулы Виета сохраняют силу и при наличии кратных корней, но в этом случае
надо каждый корень писать столько раз, какова его кратность. Например, если многочлен
ах2 + bx + c имеет корень а кратности два, то 2  = 
c
b
и2= .
a
a
Пример 3. Составим квадратное уравнение корнями которого являются квадраты
корней уравнения х2 – 6х + 4 = 0.
Решение. Обозначим корни уравнения х2 – 6х + 4 = 0 через х1 и х2. Тогда корнями
искомого уравнения должны быть числа у1 = х12 и у2 = х22. Значит, это уравнение имеет
вид: х2 + px + q = 0, где
p = - (у1 + у2) = - (х12 + х22) = - [(x1 + x2)2 – 2x1x2],
q = у1у2 = х12х22 = (х1х2)2.
Но по формулам Виета имеем: х1 + х2 = 6 и х1 · х2 = 4.
Отсюда находим, что q = (х1х2)2 = 42 = 16, а
p = - [(x1 + x2)2 – 2x1x2] = - (62 – 2 · 4) = - 28.
Итак, искомое уравнение имеет вид: х2 – 28х + 16 = 0.
Задачи для самостоятельного решения.
1. Найдите остаток при делении многочлена х6 – 4х4 + х3 – 2х2 + 5 на х + 3.
2. Напишите формулы Виета при n = 4.
3. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются квадраты корней
уравнения х2 + 8х + 2 = 0.
4. Составьте квадратное уравнение, корни которого обратны корням уравнения
3х2 – 10х + 4 = 0.
5. Составьте квадратное уравнение, корни которого противоположны корням уравнения
х2 – 7х + 1 = 0.
6. Составьте кубический многочлен, имеющий корень 4 кратности два и корень – 2.
7. Определите a и b так, чтобы – 2 было корнем многочлена P(x) = x5 + ax2 + bx + 1,
имеющим по крайней мере кратность два.
Ответ: а = 32,25; b = 49.
8. Какую кратности имеет корень 5 для многочлена
P(x) = x5 – 15x4 + 76x3 – 140х2 + 75х – 125?
Ответ: 3.
9. Какую кратности имеет корень 2 для многочлена
P(x) = x5 – 5x4 + 7x3 – 2х2 + 4х – 8?
Ответ: 3.
10. 1) Составьте кубический многочлен, имеющий корни 7, - 2 и 3 и старший
коэффициент – 5.
2) Составьте кубический многочлен, корни которого равны квадратам корней
многочлена х3 – 6х2 + 11х – 6.
Ответ: х 3 – 14х 2 + 49х – 36.
11. Докажите, что многочлен х2k + 1 + a2k + 1 делится без остатка на х + а.
12. Чему равен коэффициент а, если остаток от деления многочлена х 4 – ах3 + 4х2 – х + 1
на х – 2 равен 7?
13. Докажите, что многочлен х2k + a2n при а  0 не делится ни на х – а, ни на х + а.
14. Разложите на множители:
1) х 6 – 1;
2) х 8 – 1;
3) х 4 – 18х 2 + 81;
4) х 12 – 2х 6 +1;
5) х 5 + х 3 – х 2 – 1;
6) х 4 + х 2 +1;
7) 2х 4 + х 3 + 4х 2 + х + 2;
8) (х 2 + х + 3) (х 2 + х + 4) – 12;
9) (х 2 + х -1) 2 + 3х (х 2 + х -1) + 2х 2.
3. Делание многочлена на многочлен.
Алгоритмы деления на двучлен. Метод Руффини – Горнера.
Чтобы разделить многочлен F(х) на многочлен f(х), надо:
1) расположить делимое и делитель по убывающим степеням х;
2) разделить старший член делимого на старший член делителя; полученный одночлен
является первым членом частного;
3) первый член частного умножить на делитель, результат вычесть из делимого;
полученная разность является первым остатком;
4) чтобы получить следующий член частного, надо с первым остатком поступить так же,
как поступали с делимым в п. 2 и 3.
Это следует продолжить до тех пор, пока не будет получен остаток, равный нулю, или
остаток, степень которого ниже степени делителя.
Пример 1. Выполните деление с остатком х3 – 3х + 2 на х + 2.
Решение.
х 3  0 х 2  3х  2 х + 2
х3 + 2х2
(первый остаток )
х2 – 2х + 1
-2х2 – 3х + 2
-2х2 – 4х
(второй остаток)
х+2
х+2
0
Пример 2. Найдите все такие целые с, при которых дробь
числом.
с7
является целым
с4
Решение. Выделим целую часть из дроби.
с+7
с-4
с–4
1
с7
11
 1
, поэтому исходное число будет целым ,
с4
с4
если 11 кратно с – 4. 11 – простое число, значит, его делителями будут
11
- 11, - 1, 1, 11. Решим 4 уравнения: с – 4 = - 11; с – 4 = - 1; с – 4 = 1; с – 4 = 11.
Получаем с = -7; с = 3; с = 5; с = 15.
Ответ: -7; 3; 5; 15.
Деление многочлена
Р(х) = а 0 х n + а 1 х n – 1 + · · · + а n
на двучлен х -  удобно выполнять по так называемой схеме Горнера.
Вычисление коэффициентов неполного частного Q (х) и остатка b n записывают в виде
следующей таблицы:
а0
а1
а2
···
а n-1
b0 = а 0
b1 = a1 +  b0
b2 = a2 +  b1
···
bn
аn
-1
= a n-1 +  b n-2
b n = a n +  b n-1
В первой строке этой таблицы записаны коэффициенты многочлена Р (х). Во второй
строке получаются коэффициенты частного и остаток. Старший коэффициент частного
равен старшему коэффициенту делимого.
Так как по теореме Безу b n = Р(  ), то схема Горнера позволяет находить значение
многочлена Р (х) при х =  .Во многих случаях вычисление по схеме Горнера удобнее,
чем непосредственная подстановка  в многочлен Р (х).
Пример3.Вычислить Р (3), где Р (х) = 4х 5 – 7х 4 + 5х 3 – 2х + 1.
Решение:
3
4
-7
5
0
-2
4
5
20
60
178
1
535
Значит, Р (3) = 535.
Пример 4.Разложить на множители С целыми коэффициентами многочлен
Р (х) = 2х 4 - 7х 3 – 3х 2 + 5х – 1.
Решение: Ищем целые корни среди делителей свободного члена:  1. Подходит -1. Делим
Р (х) на х + 1:
-1
2
-7
-3
5
-1
2
-9
6
-1
0
Р (х) = (х + 1) (2х 3 -9х 2 + 6х - 1).
Ищем целые корни кубического многочлена среди делителей его свободного
члена:  1. Вычисления показывают, что целых корней нет. Так как старший коэффициент
многочлена не равен 1, то многочлен может иметь дробные рациональные корни.
Дробными корнями могут быть только числа 
1
2
1
1
1
и . Подходит :
2
2
2
2
-9
6
-1
2
-8
2
0
Имеем:
Р (х) = (х + 1) (х -
1
) (2х 2 – 8х + 2) = (х + 1) (2х – 1) (х 2 – 4х + 1).
2
Трехчлен х 2 – 4х + 1 на множители с целыми коэффициентами не раскладывается.
Ответ: Р (х) = (х + 1) (2х – 1) (х 2 – 4х + 1).
Задачи для самостоятельного решения
Выполните деление с остатком:
1.х 4  2 на х - 1;
2.х 6  2 на х2 - х + 1;
3. х 4– 3х2 + 1 на х – 2;
4. х 4 + х + 1 на х3 + 1;
5. х5 – 6х3 + 2х2 – 4 на х2 – х + 1;
6. х 4 + х2 + 1 на х + 5;
7. х7 – 1 на х3 + х + 1;
8. х4 – 64 на х – 3 .
3х 2  6 х  7
с
, где а, b и с – целые числа.
9. а) Представьте выражение
в виде ах  b 
х 1
х 1
.
х3  2х 2  7 х  5
сх  d
, где а, b, с,d б) Представьте выражение
в виде ах +b + 2
2
х  4х  2
х  4х  2
целые числа.
10. При каких натуральных значениях n выражение
2n  3
является целым числом?
n 1
Ответ: 4.
11. При каких целых значения n выражение
3n  1
является натуральным числом?
n2
Ответ: -9; -3; 5.
12. При каких целых значениях n дробь
Ответ: -6: -2; 0; 4.
n2  n  3
есть целое число?
n 1
13. Найти все целые а, при которых дробь
а3 1
принимала бы целые значения.
а 1
Ответ: -1; 0; 2; 3.
14. Разложите на множители с целыми коэффициентами:
а) х 3 -2х 2 -5х +6;
б) 2х 3 + 5х 2 + 5х -2;
в) х 3 - 3х 2 + х + 1;
г) х 3 - 2х - 1;
д) х 4 + 4х 3 – 25х 2 –16х +8.
4.Формулы сокращённого умножения.
( а ± b)2 = а2 ± 2аb + b2;
( а1 + а 2+ … + а n) 2 = а 12 + а 22+ … + а n2 + 2а 1а 2 + 2а1а 3 + … + 2а n-1а n ;
( а ± b) 3 = а3 ± 3а 2b + 3аb 2 ± b 3;
а 2- b 2 = (а + b)(а – b);
а n- b n = (а – b)(а n-1 + а n-2b + … + a n-kbk-1 + …+ a b n-2 + b n-1);
а n – 1 = (a -1)(a n-1 + a n-2 + …+ a n – k+ …+ a + 1);
a 2m +1 + b 2m +1 = ( a + b ) ( a 2m – a 2m -1b + …+ (-1) ka 2m – kb k + …- a b 2m -1 + b 2m ) ;
a 2m +1 + 1 = ( a + 1)( a 2m – a 2m -1 + …+ (-1) ka 2m – k + …- a + 1).
Задачи для самостоятельного решения.
1. Преобразуйте выражение в многочлен:
а) (а + b + с)2;
г) (а – b – с) 2;
б) (p+ х + с + d) 2;
д) (2а – х + 3с) 2;
в) (х+ у – z) 2;
е) (m + 5k – 2b – 3р) 2.
2. Упростите выражение :
а) (2х + у – 3z) 2 – (х -2у + 2z) 2;
б) (m – 4n + 5z) 2 – (3m – n -3k) 2;
в) (4 – 2p + q 2) 2 – (3p 2 – 5q +7) 2;
г) (а + b + с) 2 + (а – b – с) 2 + ( b – а – с) 2 + ( с – а – b) 2.
3. Решите уравнение:
а) х2 + у 2 – 2у + 1 = 0;
б) |х | + у 2 + z 2 -2у+ 4z + 5 = 0;
в) 4х 2- 10ху + 25у 2 = 10ху - | у – 2 | .
1
4.Докажите, что если а + b + с = 0 и а 2 + b 2 + с 2 = 1, то аb + bс + са = - ,
2
5. Докажите, что если а = b + 1, то (а + b) (а 2 + b 2) (а 4 + b 4) (а 8+ b 8) · …· (а 64+ b 64) =
= а 128 – b 128.
6. Докажите, что если а 2 + b 2 + с 2 = аb + bс + са, то а = b = с.
7. Докажите, что если а 3 + b 3 + с 3= 3аbс, если а + b + с = 0.
8. Докажите, что при любом натуральном значении n:
а) 7 n- 1 кратно 6;
б) 3 3n – 1 кратно 13;
в) 5n + 3 делится на 4;
г) 15 n + 6 делится на 7.
9. Сократите дробь:
а2  а 1
а) 4
;
а  а2 1
а 33  1
б ) 11
;
а  а 22  а 33
b4  4
в) 2
.
b  2b  2
10. Докажите, что из равенства (а – b)2 + (b – c)2 + (c – а)2 = (а + b – 2с)2 + (b + с – 2а)2 +
+ ( с + а – 2b)2 следует, что а = b = с.
5.Разложение методом неопределенных коэффициентов.
Метод неопределенных коэффициентов заключается в том, что, когда известен вид
искомых многочленов, но неизвестны их коэффициенты, заменяют в исследуемом
тождестве эти многочлены их записью с неопределенными коэффициентами, приводят
обе части равенства к каноническому виду, после чего сравнивают слева и справа
коэффициенты при одинаковых степенях х. Это дает систему уравнений, позволяющую
найти искомые коэффициенты.
Покажем его применение на следующем примере.
Пример 1. Разложите на множители методом неопределенных коэффициентов
многочлен х 4 - 10х 3 + 27х 2 –14х +2.
Решение: х 4 - 10х 3 + 27х 2 –14х +2 = (х 2 + ах + b) (х 2 + сх + k), где а, b, с, k – целые числа,
тогда х 4 - 10х 3 + 27х 2 –14х +2 = х 4 + (а + с) х 3 + (b + k + ас) х 2 + (аk + bс) х + bk.
Следовательно, имеем:
а + с = -10,
b + k + ас = 27,
аk + bс = -14,
(2)
bk = 2.
(1)
Для решения задачи достаточно найти одно решение системы в целых числах. Одним из
решением уравнения (1) в целых числах является пара b = 1, k = 2.Одним из решением
системы
а + с = -10,
ас = 24
является а = -4, с = -6. Найденные числа а = -4, b = 1, с = -6 и k = 2 удовлетворяют
уравнению (2), следовательно,
х 4 - 10х 3 + 27х 2 –14х +2 = (х 2 - 4х + 1) (х 2 - 6х +2).
Ответ: (х 2 - 4х + 1) (х 2 - 6х +2).
Задачи для самостоятельного решения
1. Найдите такие а и b, что:
а) 2х 3 – 8х 2 + 9х – 9 = (х – 3) (2х 2 + ах + b);
б) х 5 – 5х 3 + 4х 2 – 3х – 2 = (х – 2) (х 4 + ах 3 + bх 2+ 2х + 1).
Ответ: а) а = -2, b = 3; б) а = 2, b = -1.
2. . Разложите на множители методом неопределенных коэффициентов:
а) х 3 -2х 2 -5х +6;
б) 2х 3 + 5х 2 + 5х -2;
в) х 3 - 3х 2 + х + 1;
г) х 3 - 2х - 1;
д) х 4 + 4х 3 – 25х 2 –16х +8.
3. При каких значениях а и b:
а) многочлен х 4 - 3х 3 +3х 2 + ах +b делится на х 2 – 3х + 2;
б) многочлен х 4 + 6х 3 +5х 2 + ах +b делится на х 2 – 3х +4;
в) многочлен х 4 - 2х 3 + ах +2 делится на х 2 + х +b.
6. Полиномиальные уравнения высших степеней.
Теорема о рациональных корнях многочленов с целыми коэффициентами.
Для того чтобы несократимая дробь
p
была корнем уравнения (1), необходимо,
q
чтобы числитель p этой дроби был делителем свободного члена a0, а знаменатель
q – делителем коэффициента аn при старшем члене.
1) найти все целые делители свободного члена (как положительные, так и отрицательные);
2) найти все натуральные делители коэффициента аn при старшем члене;
3) составить все дроби с найденными возможными значениями числителя и знаменателя;
4) из найденных дробей отобрать те, которые удовлетворяют заданному уравнению.
Пример 1. Найдем корни уравнения2х4 + 17х3 – 17х2 – 8х + 6 = 0.
(3)
Решение. Свободный член 6 заданного уравнения имеет целые делители ±1, ±2, ±3, ±6.
Коэффициент 2 при старшем члене имеет натуральные делители 1 и 2. Значит, надо
испытать следующие числа: 1, - 1, 2, - 2, 3, - 3, 6, - 6,
1
1 3
3
, - , , - . Подставляя эти
2
2 2
2
числа в уравнение (3), отбираем следующие корни: х1 = 1, х2 =
многочлен 2х4 + 17х3 – 17х2 – 8х + 6 делится на 2(х – 1)(х -
1
. Отсюда следует, что
2
1
), т.е. на 2х2 – 3х + 1.
2
Выполнив деление, получим частное х2 + 10х +6. Чтобы найти остальные корни, надо
решить уравнение х2 + 10х +6 = 0. Его корнями являются х3,4 = - 5 ± 19.
Ответ: х1 = 1, х2 =
1
, х3,4 = - 5 ±
2
19.
Задачи для самостоятельного решения.
1. Найти целые корни уравнений:
а) х3 – 5х + 4 = 0;
б) 2х3 + х2 – 13х + 6 = 0;
в) х4 + 2х3 – 4х2 – 8х = 0;
г) 4х4 – 11х2 + 9х – 2 = 0;
д) х5 + 3х4 – 9х3 – 21х2 – 10х – 24 = 0;
е) х5 + 4х4 – 10х3 – 65х2 – 86х – 24 = 0.
Ответы: а) х1 = - 2; б) х1 = 2, х2 = - 3; в) х1 = 0, х2 = 2, х3 = х4 = - 2; г) х1 = 1, х2 = - 2; д) х1 = 4,
х2 = - 2, х3 = - 3; е) х1 = - 4, х2 = - 2, х3 = 3.
2. Найдите рациональные корни уравнений:
а) х3 -3х2 + 2 = 0;
б) 2х3 – 3х2 – 3х +2 = 0;
в) 6х4 – 7х3 – 6х2 + 2х + 1 = 0;
г) 3х4 – 8х3 - 2х2 + 7х – 2 = 0.
Ответы: а) х1 = 1; б) х1 =
1
1
1
2
, х2 = - 1, х3 = 2; в) х1 = , х1 =  ; г) х1 = - 1, х2 = .
2
2
3
3
3. Найдите действительные корни уравнений:
а) х3 – 7х – 6 = 0;
б) х3 + 9х2 + 11х – 21 = 0;
в) х3 – 5х2 + 3х + 1 = 0;
г) х3 + 7х2 + 4х – 2 = 0;
д) 2х4 – 7х3 + 9х2 – 7х + 2 = 0;
е) 2х4 – 5х3 + 5х2 – 2 = 0.
Ответы: х1 = -2, х2 = - 1, х3 = 3; б) х1 = - 7, х2 = - 3, х3 = 1; в) х1 = 1, х2,3 = 2 ±
х2,3 = - 3± 11 ; д) х1 = 2, х2 =
1
1
; е) х1 = 1, х2 =  .
2
2
5; г) х1 = - 1,
7.Симметрические, кососимметрические, возвратные многочлены и уравнения.
Алгебраическое уравнение вида а ox n + a 1x n-1 + ··· + a n = 0 называется возвратным
уравнением, если его коэффициенты, одинаково удаленные от начала и от конца, равны
между собой.
Уравнение четвертой степени ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0
называется возвратным, если оно имеет вид ax 4 + bx 3 + cx 2 + kbx + k 2a = 0, где k – не
равное нулю число.
При k = 1 возвратное уравнение принимает вид ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0. Такое
уравнение называется симметрическим.
При k = -1 возвратное уравнение принимает вид ax 4 + bx 3 + cx 2 - bx + a = 0. Такое
уравнение называется кососимметрическим.
Способ решения возвратных уравнений третьей степени рассмотрим на примере.
Пример 1. Решите уравнение 2х 3 + 7х 2 + 7х + 2 = 0.
Решение: Разлагая левую часть уравнения на множители, получаем
2 (х 3 + 1) + 7х (х +1) = 2 (х + 1) (х 2 – х + 1) + 7х (х + 1) = (х + 1) (2х 2 – 2х + 2 + 7х) =
= (х + 1) (2х 2 + 5х + 2).
Корни квадратного уравнения 2х 2 + 5х + 2 = 0 равны уравнения являются числа -1; -
1
и -2.Поэтому корнями исходного
2
1
; -2.
2
1
Ответ: 1; - ; -2.
2
Способ решения возвратных уравнений четвертой степени рассмотрим на примере.
Пример 2. Решите уравнение 3x 4 – 5x 3 – 30x 2 _ 10x +12 = 0.
Решение: Это уравнение возвратное, так как оно имеет вид
3x 4 – 5x 3 – 30x 2 + 2 · (-5)x +2 2 · 3 = 0. (Здесь k = 2.)
Так как х = 0 не является корнем уравнения, то разделим обе части уравнения на х 2.
Получим:
3x 2 – 5x - 30 -
10 12

 0.
х х2
Сгруппируем члены уравнения: первый с последним, второй с предпоследним – и
вынесем в каждой группе общий множитель за скобки:
4  
2

3 х 2  2   5 х    30  0.
х
х  

2
2
4
2


Положим у =  х  . Тогда у 2 =  х    х 2  2  4.
х
х
х


Отсюда х 2 
4
 у 2  4.
2
х
Производя замену, получим уравнение 3(у 2 – 4) – 5у – 30 = 0,
3у 2 – 5у – 42 = 0.
Решив это уравнение, найдем его корни: у 1 = -3, у 2 =
14
.
3
Результате имеем совокупность двух уравнений:
2  14
2


 х    3 или  х    .
х 3
х


Приведя их к целому виду, получим: х 2 +3х + 3 =0 или 3х 2 – 14х + 6 = 0.
Отсюда х 1 = -1, х 2 = -2, х 3 =
Ответ: х 1 = -1, х 2 = -2, х 3 =
7  31
7  31
, х4 
.
3
3
7  31
7  31
, х4 
.
3
3
Задачи для самостоятельного решения.
1. Докажите, что уравнение является возвратным:
а) х 4 - 2х 3 – 9х 2 – 6х + 9 = 0;
б) х 4 + х 3 – 10х 2 + 5х + 25 = 0;
в) 2х 4 - х 3 – 7х 2 – 2х + 8 = 0;
г) 3х 4 + 2х 3 – 22х 2 + 6х + 27 = 0.
2. Решите уравнение:
1  

а) 6 х 2  2   5 х 
х  

1
  38  0;
х
1 
1


б)  х 2  2   7 х    10  0;
х
х 


4

в)  х 2  2
х

2
 
   х    8  0;
х
 
16  
4

г)  х 2  2    х    12  0.
х
х  

3. Решите уравнение:
а) х 4 - 2х 3 – х 2 – 2х + 1 = 0;
б) х 4 - 5х 3 + 6х 2 – 5х + 1 = 0;
в) х 4 - 5х 3 + 10х 2 –10х + 4 = 0;
г) х 4 - х 3 – 10х 2 +2х + 4 = 0;
д) 78х 4 - 133х 3 +78х 2 –133х + 78= 0;
е) х 3 -5х 2 -5х + 1 = 0;
ж) 2х 3 -3х 2 -3х + 2 = 0.
Ответ: а)
3 5
3  17
2 3
1
; б) 2  3; в) 1; 2; г)  1  3;
; д) ; ; е) -1; 3  2 2 ; ж) -1; ;
3 2
2
2
2
8. Метод использования монотонности при решении уравнений.
Теорема 1. Если функция f(х) возрастает (убывает) на промежутке Х, а функция g(х)
убывает (возрастает) на этом промежутке, то уравнение f(х) = g(х) имеет не более одного
корня на промежутке Х.
Теорема 2. . Если функция f(х) возрастает (убывает) на промежутке Х, то уравнение
f(х) = b имеет не более одного корня на промежутке Х.
Пример 1. Решите уравнение (х + 1) 2 = 41 – 3х – х 3.
Решение: ОДЗ: х Є R. На данном промежутке функция у = (х + 1) 2 возрастает, а функция
у = 41 – 3х – х 3 убывает. Следовательно, уравнение имеет не более одного решения.
Угадываем корень: х = 2.
Ответ: 2.
Пример 2.Решите уравнение
х 2  3х  6  х  1  2.
Решение: ОДЗ: х Є  1;. На данном промежутке функция у =
у=
х 2  3х  6 возрастает,
х  1 возрастает, откуда следует, что левая часть уравнения – возрастающая на
1; функция (как сумма двух возрастающих функций). Правая часть уравнения –
постоянная, уравнение, следовательно, имеет не более одного решения. Угадываем
корень: х = -1.
Ответ: -1.
Задачи для самостоятельного решения.
Решите уравнение:
а) 3х 3 + 2х = 4 + (2 – х) 3;
б) (х – 1) 5 + х 5 = 45 – х 3 – 2х;
в) 4х 5 + 2х 3 + 71 = (3 – х) 3 + 1;
5  х;
г) х 2007 + 1 =
д) 10  х  5  2 х 13  6 х;
е) 2 х  2 
9
 1;
х
5
;
х4
ж)
3  х 1
з)
3х 2  х  2  х  1  3  х.
Ответ: а) 1; б) 2; в) -1; г) 1; д) -1; е) 3; ж) -1; з)
9.Дробно-рациональные алгебраические уравнения.
Общая схема решения. Метод замены при решении дробно-рациональных
уравнений.
Рациональным уравнением называют уравнение, у которого левая и правая части
являются рациональными выражениями. Если левая или правая часть рационального
уравнения является дробным выражением, то такое уравнение называют дробнорациональным уравнением.
Дробно-рациональное уравнение можно представить в виде
P ( x)
 0, где P(x) и Q(x)
Q( x)
многочлены.
Уравнению
P( x)
 0 удовлетворяют те и только те значения х, при которых P(x) = 0 и
Q( x)
Q(х)  0.Поэтому уравнение
P( x)
 0 равносильно системе P(x) = 0,
Q( x)
Q(х)  0.
Дробно-рациональное уравнение можно решать так: привести обе части уравнения к
виду
P ( x)
 0, затем решить уравнение P(x) = 0 и из его корней исключить те, при
Q( x)
которых Q(х) = 0.
Однако на практике иногда поступают иначе: приводя обе части уравнения к общему
знаменателю, умножают обе части уравнения на этот знаменатель, затем решают
получившееся целое уравнение и, наконец, исключаю из его корней те, которые общий
знаменатель обращает в нуль.
Пример 1. Решим уравнение
35
4
3х  1

 2
.
х  7 х  6 х  3 х  3х  2
3
Решение:
35
4
3х  1

 2
.
2
( х  3)( х  3 х  2) х  3 х  3 х  2
Общий знаменатель: (х -3) (х 2 + 3х + 2).
35 = 4 (х 2 + 3х + 2) + (х – 3) (3х – 1),
35 = 4х 2+ 12х + 8 + 3х 2 – 10х + 3,
7х 2 + 2х – 24 = 0.
5
Отсюда х 1 = -2, х 2 = 1 .
7
При х = -2 общий знаменатель (х -3) (х 2 + 3х + 2) обращается в нуль. Значит, число -2
не является корнем исходного уравнения. При х = 1
отлично от нуля. Значит, число 1
5
7
5
- корень уравнения.
7
выражение (х -3) (х 2 + 3х + 2)
Ответ: 1
5
7
Пример 2. Решите уравнение
х3  х
 1,2.
( х 2  5 х  1) 2
Решение: Число 0 не является корнем уравнения. Разделим числитель и знаменатель
дроби, расположенной в левой части уравнения, на х 2.
1
6
х
 .
1
5
(х  5  ) 2
х
х
Введем новую переменную, положив х 
Отсюда 6у 2 – 65у + 150 = 0. у 1 =
1
 у:
х
у
6
 .
2
5
( у  5)
15
10
, у2 =
.
2
3
Имеем совокупность двух уравнений:
х
1 10
1 15

или х   ,
х 3
х 2
3х 2 – 10х + 3 = 0 или 2х 2 – 15х + 2 = 0.
Решив эти уравнения, найдем все корни исходного уравнения:
х1 =
Ответ: х 1 =
15  209
1
.
, х 2 = 3, х 3,4 =
3
4
15  209
1
.
, х 2 = 3, х 3,4 =
3
4
Задачи для самостоятельного решения.
1. Решите уравнение:
а)
12
3
2х

 2
;
х  х  2 х 1 х  х  2
б)
1
3х
1
 2
 3
 0;
х  2 х  х  3 х  3х 2  х  6
в)
14
2
10
 2
 4
.
х  7 х  6 х  4 х  3х 2  4
2
2
1
Ответ: а) 6; б)  ; в) корней нет.
4
2. Решите уравнение:
10( х  1)
 х 
 х  1
;
а) 3
  8
 
х 1
 х  1
 х 
2
2
6х 2
х3
 х  3

;
б) 
 
2
х3
( х  3)
 х 
2
6( х  5) 2
 х 1
в) 
 7.
 
( х  1) 2
 х  5
2
1
Ответ: а)  2; 2 ; б)  3; в) -3; 2; 6,2; 4 .
7
3. Решите уравнение:
а)
х3  х
 6;
( х 2  2 х  1) 2
б)
х 3  4х
 4;
( х 2  5 х  4) 2
( х 2  1) 3 х 2  1 2 х 4  4 х 2  2


.
в)
х
х3
х2
25  369
1 5
1
1
; в)
;  1.
Ответ: а) 2; 3;  ;  ; б) 2;
2
2
2
3
4. Решите уравнение:
а) х 2 
Ответ: а) -1;
3х  2
;
2х  3
б) х 2 
5х  3
.
3х  5
1
; 2; б) -1; 1.
2
5. Решите уравнение:
а) х 3 
1
1

 13 х  ;
3
х
х

б) х 3 
1

 2 х 
3
х

1
.
х
Ответ: а)  2  3; 2  3.
10. Дробно-рациональные алгебраические неравенства. Общая схема решения
методом сведения к совокупностям систем. Метод интервалов дробно-рациональных
алгебраических неравенств.
Рациональным неравенством, так же как и рациональным уравнением, называется
неравенство, левая и правая части которого являются рациональными выражениями.
Вообще всякое рациональное неравенство с одной переменной х можно заменить
равносильным неравенством, левая часть которого имеет вид
P( x)
, а правая – нуль, где
Q( x)
P(x) и Q(x) – многочлены.
В частности, при Q(x) = а, где а – число, не равное нулю, мы получим целое
неравенство, т.е. неравенство, левая часть которого – многочлен.
Неравенство
P( x)
< 0 равносильно неравенству P(x) · Q(x) < 0, так как те значения х,
Q( x)
при которых P(x) и Q(x) имеют значения разных знаков, являются решениями как
неравенства
P( x)
< 0, так и неравенства P(x) · Q(x) < 0. Аналогично равносильны и
Q( x)
неравенства
P( x)
> 0 и P(x) · Q(x) > 0. Как первому, так и второму неравенству удовлетворяют те
Q( x)
значения х, при которых P(x) и Q(x) имеют значения одинаковых знаков.
Поэтому при решении неравенств вида
P( x)
P( x)
< 0 и
> 0 их обычно заменяют
Q( x)
Q( x)
соответственно неравенствами вида P(x) · Q(x) < 0 и P(x) · Q(x) > 0.
Таким образом, решение дробно-рациональных неравенств можно свести к решению
целых неравенств.
Вы знаете из основного курса, что если функция задана формулой
f(x) = (x – x1)(x – x2)…(x – xn),
где х1, х2, …, хn – не равные друг другу числа, то в каждом из промежутков ( -  ; х1),
(х1; х2), …, (xn; +  ) функция f сохраняет знак, а при переходе через нуль функции ее знак
изменяется на противоположный.
Воспользовавшись этим свойством, легко определить промежутки, в которых
функция f положительна и в которых она отрицательна, т.е. решить неравенство f(x) > 0
или f(х) < 0.
Заметим, что неравенство вида P(x) > 0 можно свести к неравенству вида P(x) < 0,
если обе части неравенства P(x) > 0 умножить на – 1.
При а < b каждое из неравенств (х –а) (х –b) > 0,
ха
хb
 0,
 0 равносильно
хb
ха
 х  а,
совокупности неравенств 
 х  b.
Рациональные неравенства решают обычно методом интервалов.
Пример 1. Решим неравенство
х4 – 3х3 + х2 + 3х – 2 < 0.
Испытывая делители свободного члена – 2, находим корни многочлена: х1 = - 1,
х2 = х3 = 1, х4 = 2.
В результате получаем неравенство (х + 1)(х – 2)(х – 1)2 < 0, равносильное данному.
Это неравенство равносильно системе
(х + 1)(х – 2) < 0,
х1
так как множитель (х – 1)2 при х  1 положительное число. Поэтому если его опустить, то
знак неравенства не изменится.
Неравенству (х + 1)(х – 2) < 0 удовлетворяют числа, принадлежащие промежутку (- 1; 2).
Исключив из этого промежутка число 1, получим окончательный ответ: (- 1; 1)  (1; 2).
Пример 2. Решим неравенство
х3  4х 2  х  4
> 0.
х 3  3х 2  х  3
Это неравенство равносильно неравенству
(х3 + 4х2 – х – 4)(х3 – 3х2 + х – 3) > 0.
Разложив каждый многочлен произведения в левой части на множители, получим
неравенство (х + 4) (х + 1)(х – 1)(х – 3)(х2 + 1) > 0.
Так как х2 + 1 > 0 при любом х, множитель х2 + 1 можно опустить:
(х + 4) (х + 1)(х – 1)(х – 3) > 0.
Отметив на координатной прямой нули функции у = (х + 4) (х + 1)(х – 1)(х – 3),
найдем знаки этой функции в каждом из промежутков: (-  ; - 4), (- 4; - 1), (-1; 1), (1; 3),
(3; +  ).
Ответ: (-  ; - 4)  (- 1; 1)  (3; +  ).
Задачи для самостоятельного решения.
1. Укажите два каких-нибудь целых решения неравенства:
2х  1
 0;
х  х 1
а) х 2 – 7х + 3 < 0;
б)
в) х + х + 4 > 0;
х2  3
 0.
г) 2
х  5х  6
3
2
2. Решите неравенство:
а) (х – 5) (2х + 3) < (х + 3) (Х – 4).
Ответ: (3  2 3;3  2 3 ).
б) (х – 2) (х 2 + 3) > 2х (2 – х) – 12.
Ответ: (2;).
в)
х 2  5 3х  3

.
2
х
г)
3х 2  1 5 х 2  1

.
2х
х2
д)
х
3х  4
 2
.
х  3 х 1
Ответ: (;
 3  13
 3  13
)  (0;
)  (3;).
2
2
Ответ: (2;0)  1;.
Ответ: (;3)   2;2  3;.
3. Найдите область определения функции:
а) у =
х 2  5х  6
;
х2  х 1
в) у =
2х  3
;
3
х  11х 2  35 х  25
б) у =
9 х 3  24 х 2  13х  2
;
х5
г) у =
х6 1
.
х3  х2  х  2
4. Сколько решений имеет неравенство
( х 2  5х  6) 2  0 ?
Ответ: Два решения: числа 2 и 3.
5. Найдите целые решения неравенства:
а) ( х 2  9)( х 2  2 х  35)  0.
б)
Ответ: -5, -4, -3, 3, 4, 5, 6, 7.
х2  х  6
 0.
х 2  6х  1
Ответ: -3, -2, -1, 0, 2, 3, 4, 5.
6. Докажите, что множество решений неравенства х 4  8 х 3  24 х 2  32 х  16  0 состоит
из одного числа.
11. Однородные уравнения с двумя переменными. Однородные системы
уравнений с двумя переменными. Замена переменных в системах уравнений. Метод
разложения при решении систем уравнений. Системы с тремя переменными.
Многочлен от двух переменных х и у такой, что степень каждого его члена равна
одному и тому же числу k, называется однородным многочленом степени k.
Уравнение вида Р (х; у) = 0 называется однородным уравнением степени k
относительно х и у, если Р (х; у) – однородный многочлен степени k. Однородное
уравнение относительно х и у делением на у k (если у = 0 не является корнем уравнения)
превращается в уравнение относительно неизвестного
х
.
у
Основные методы решения нелинейных систем:
1) системы, содержащие одно уравнение второй степени и одно – первой;
2) системы, приводящие к простейшим путем алгебраического сложения;
3) системы, одно из уравнений которых имеет вид (ах + b) (су + d) = 0;
4) системы, приводящие к системе вида
(ах + b) (су + d) = 0,
f (х, у) = 0,
которая распадается на следующие две системы:
ах + b = 0,
f (х, у) = 0
су + d = 0,
или
f (х, у) = 0.
5) системы, одно уравнение которых однородное;
6) системы, состоящие из уравнений, левые части которых являются однородными
многочленами второй степени, а правые части – свободные члены;
7) системы, решаемые методом введения вспомогательных переменных;
8) системы, вида
а 1 х 2 + b 1ху + с 1 у 2 + d 1 х + e 1y + k 1 = 0,
а 2 х 2 + b 2ху + с 2 у 2 + d 2 х + e 2y + k 2 = 0.
В общем случае подобные системы решают так:
а) способом алгебраического сложения исключают член, содержащий х 2 (или у 2);
б) из полученного уравнения выражают х через у или у через х);
в) решение продолжают способом подстановки;
9) системы, решаемые графическим методом.
Пример 1. Решите уравнение 7у 2 – 10ху + 3х 2 = 0.
Решение: Разделим обе части уравнения на х 2, предполагая, что х  0. Получим
2
у
у
у
 у
квадратное уравнение 7   10  3  0 относительно . Обозначим  t и решим
х
х
х
 х
уравнение 7t 2 – 10 t + 3 = 0. Отсюда t 1 = 1, t 2 =
у=
у
у 3
3
, т. е.  1 или  . Значит, у = х или
7
х 7
х
3
х.
7
Ответ: у = х , у =
3
х.
7
Пример 2. Решите систему уравнений
8х 2
– 6ху + у 2 = 0,
х 2 + у 2 = 5.
Решение: Для решений системы выполняется условие у  0. Разделим первое уравнение
на у 2. Получится уравнение
2
 х
х
8   6  1  0.
у
 у
Введем вспомогательное неизвестное u =
х
. Уравнение примет вид 8u 2 - 6u + 1 = 0.
у
Это квадратное уравнение, имеющее корни u 1 =
1
1
, либо u 2 = . Находим , что у = 2х или
2
4
у = 4х.В первом случае получается уравнение 5х 2 = 5, откуда х 1 = 1, х 2 = -1;
соответственно у 1 = 2, у 2 = -2. Во втором случае получается уравнение 17х 2 = 5, откуда
х3=
5
5
5
5
,х4 = 
; соответственно у 3 = 4
,у 4 = 4
.
17
17
17
17
Ответ: (1; 2), (-1; -2), (
5
5
5
5
,4
), ( 
; 4
).
17
17
17
17
Системы, в которых замена х на у и у на х приводит к той же системе уравнений,
называют симметрическими системами. При решении симметрических систем удобно
пользоваться формулами
х 2 + у 2 = (х + у) 2 – 2ху,
х 3 + у 3 = (х + у) ((х + у) 2 – 3ху),
х 4 + у 4 = (х 2 + у 2) 2 – 2 (ху) 2
с последующей заменой х + у и ху соответственно переменными u и v.
Пример 3. Решите систему уравнений
х 2 + ху + у 2 = 7,
х + ху + у = 5.
Решение: Обозначим х + у = u, ху = v. Тогда х 2 + у 2 = (х + у) 2 – 2ху = u 2 – 2v. В
результате этой замены получим систему
u 2 – 2v + v = 7,
u 2 – v = 7,
u + v = 5,
или
u + v = 5.
Решив эту систему способом подстановки, найдем u 1 = - 4, v 2 = 9; u 2 = 3, v 2 = 2.
Возвращаясь к переменным х и у, имеем совокупность двух систем:
 х  у  4,

 ху  9;
 х  у  3,

 ху  2.
Первая из этих систем не имеет решений, а решениями второй служат пары (1; 2) и (2; 1).
Ответ: (1; 2) , (2; 1).
Задачи для самостоятельного решения.
Решите систему уравнений:
1)
2х2 – ху + 3у 2 – 7х - 12у + 1 = 0,
х - у = -1.
2)
Ответ: (5; 1), (5; 
Ответ: (-4; 2), (-4; -3), (3; 2), (3; -3).
х 2 -2ху – 3у 2 = 0,
3 1
3 3
Ответ: (6; 2), ( ( ; ), (2;2), ( ; ).
2 2
2 2
х 2 – ху – 2х – 3у = 0.
5)
3х 2 – ху + 4у 2 = 14,
Ответ: (2;1), (2;1), (
2х 2 – ху + 2у 2 = 8.
6)
6 2 6  6 2 6
;
), (
;
).
3
3
3
3
6х 2 + ху – у 2 – 3х – 4у – 15 = 0,
3х 2 – 4ху + у 2 – 15х + 7у + 18 = 0.
7)
17
), (6  46 ;4), (6  46 ;4).
2
х 2 + у 2 + х + у = 18,
х 2 - у 2 + х - у = 6.
4)
1 1
; ).
2 2
х 2 + 3ху + 2у 2 = 42,
(х – 5) (у + 4) = 0.
3)
Ответ: (4; 5), ( 
х у х у 5

 ,
х у х у 2
х 2  у 2  20.
Ответ: (2; 1), (3; 5).
Ответ: (3 2 ; 2 ), (3 2 ; 2 ), (3 2 ; 2 ), (3 2 ; 2 ).
3х  2 у
2х

 2,
2х
3х  2 у
8)
Ответ: (2; 1), (4; 2).
х 2  8  2 х(2 у  3).
9)
х 3 – у 3 = 19,
х 2у – ху 2 = 6.
10)
Ответ: (3; 2), (-2; -3).
ху = 6,
хz = 10,
уz = 15.
11)
Ответ: (2; 3; 5).
х + у = 2,
ху + хz + уz = 5,
х 2 + у 2 + z 2 = 6.
Ответ: (1; 1; 2).
12) Найдите двузначное число, зная, что число его единиц на 2 больше числа десятков, а
произведение искомого числа на сумму его цифр равно 280.
Ответ: 35.
Зачетная работа.
1) Двузначное число в 4 раза больше суммы своих цифр, а квадрат этой суммы в 2,25 раза
больше самого числа. Найдите это число.
Ответ: 35.
2) Решите уравнение х 4 – 7х 3 + 14х 2 – 7х + 1 = 0.
Ответ:
3 5
;2  3.
2
3) Решите неравенство
3х  1
 3.
2х  5
 16 5 
Ответ: х    ; .
 3 2
4) При каких натуральных значениях n выражение
2n  3
является целым числом?
n 1
Ответ: 4.
5) Выполните деление с остатком х 4 – 2 на х2 - х + 1
Использованная литература.
1. Галицкий М. Л. и др. Сборник задач по алгебре для 8 – 9 классов: Учебное пособие для
учащихся школ и классов с углубленным изучением курса математики. М.: Просвещение,
1992.
2. Виленкин Н. Я. и др. Алгебра: Для 8 классов.: Учебное пособие для учащихся школ и
классов с углубленным изучением математики. М.: Просвещение, 1995.
3. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. Алгебра: Учебное пособие для учащихся школ и
классов с углубленным изучением математики. М.: Просвещение, 1997
4. Абрамович М. И., Стародубцев М. Т. Математика (алгебра и элементарные функции).
Учебное пособие. М., Высшая школа, 1976.