52. Последовательности. Функции. На занятие предложены задачи на свойства последовательностей и функций, взятые из материалов олимпиад последних лет (они достаточно сложны). Две последние задачи - на нахождение предела. В задаче 7 используется теорема о существовании предела монотонной ограниченной последовательности. Переходя к пределу в рекуррентной формуле для хп, составляем уравнение для предела. Теория [19,c.34], [33,c.407], [36,c.300] и др. Задачи на эту тему можно взять в [5], [19], [22,], [27], [15]. Литература Задача 1. Доказать, что уравнение x12 - x9 + x4 - x + 1 = 0 не имеет действительных корней. Решение Задача 2. Дана последовательность an , где an = n2 + n + 1, n 1. Докажите, что произведение любых двух соседних членов этой последовательности также является ее членом. Решение Задача 3. Существует ли многочлен P(x) такой, P(1) = 1, P(2) = 2 и P(n) иррационально для любого целого n, отличного от 1 и 2? Решение Задача 4. Найдите два многочлена P(x) и Q(x) с целыми коэффициентами таких, что множество значений функции f(x) = P(x)/Q(x) есть промежуток [ 2 , ). Решение Задача 5. Дан многочлен P(t) = t2 -4t. Докажите, что при всех x 1, y 1 выполняется неравенство P(x2 + y2) P(2xy). Решение Задача 6. Вычислить предел последовательности {хп}, где 2 3 1 33 1 п3 1 хп 3 , 3 , ..., 3 . 2 1 3 1 п 1 Решение: Задача 7. Последовательность {хп} задана следующими рекуррентными соотношениями: х1=0,5, хп+ 1=хп х п3 . Что можно сказать о пределе? Решение: Содержание: