РАБОЧАЯ ПРОГРАММА_спецдисциплины

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
СТЕРЛИТАМАКСКИЙ ФИЛИАЛ
ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО
УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«Башкирский государственный университет»
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
ОБЯЗАТЕЛЬНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
Математические методы оптимального управления
наименование дисциплины по учебному плану подготовки аспиранта
модуль основной образовательной программы послевузовского профессионального
образования подготовки аспирантов (ООП ППО)
по научной специальности
05.13.18
Математическое моделирование, численные методы и
комплексы программ
Шифр
наименование научной специальности
1. Цели освоения дисциплины.
Целью преподавания дисциплины является изложение математического аппарата,
используемого в теории оптимального управления, постановка задач оптимального
управления и изучение способов их решения. Приобретение навыков применения методов
на конкретных примерах при выполнении практических заданий.
Основными задачами освоения дисциплины являются освоение
принципов
построения математических моделей, методов анализа и синтеза, приобретение навыков
расчета непрерывных и дискретных систем управления.
2. Место дисциплины в структуре ООП.
Дисциплина «Математические методы оптимального управления» (ОД.А.03)
входит в цикл специальной дисциплины отрасли науки и научной специальности «ОД.А.
Обязательная составляющая». Изучается на 1-2 курсах в объеме 36 часов, из которых 18 ч.
аудиторных, 18 ч. на самостоятельную работу.
3. Структура и содержание дисциплины (модуля).
Общая трудоемкость дисциплины составляет 1 зачетную единицу, 36 часов.
№
пп
Наименование разделов и тем
1 Введение.
Аудиторных часов
Всего Лек. Прак. КСР С
Р
задач
4
2
2
Постановка
математических
оптимального управления. Фазовое пространство.
Динамика управляемого движения в форме
обыкновенных дифференциальных уравнений. Класс
допустимых управлений, область управления;
краевые условия; критерий качества управления.
Интегральный функционал, задача быстродействия.
Основные
вопросы
теории
оптимального
управления;
роль
численных
методов
при
построении оптимальных решений. Простейшие
примеры: тележка и маятник. Примеры постановок
задач управления из механики, экономики, биологии
и других прикладных областей знания.
2 Принцип максимума Понтрягина для нелинейных
управляемых систем. Формулировка теоремы о
необходимых
условиях
оптимальности
для
интегрального
функционала
и
задачи
быстродействия в классе кусочно-непрерывных
управлений. Комментарии к теореме. Краевая задача
принципа максимума. Задачи Лагранжа, Майера и
Больца, связь между ними. Примеры применения
принципа максимума Понтрягина для поиска
оптимальных решений.
3 Задача быстродействия для тележки. Релейное
свойство оптимального управления. Программа и
синтез. Задача быстродействия для математического
4
2
2
4
2
2
маятника.
Релейное
свойство
оптимального
управления. Программа и синтез.
Задача о
нагревании чайника до заданной температуры с
минимальным расходом топлива (газа). Задача Дусе.
Линейно-квадратичная
задача
оптимального
управления без геометрических ограничений на
управление. Краевая задача принципа максимума,
сведение ее к задаче Коши (непрерывная версия
прогонки), матричное дифференциальное уравнение
Риккати. Обоснование оптимальности построенного
решения.
Линейно-квадратичная
задача
оптимального
управления
на
бесконечном
промежутке
времени.
Аналитическое
конструирование регуляторов по Летову. Матричное
алгебраическое уравнение Риккати. Минимизация
функционала типа «энергия» на траекториях
линейных управляемых систем а) без геометрических
ограничений на управление, б) с ограниченным
скалярным управлением. Функция насыщения (sat) в
экстремальном законе управления. Экстремальное
описание
неизвестного
начального
значения
сопряженной переменной.
Задача минимизации
функционала типа «расход топлива» на траекториях
линейных управляемых систем со скалярным
ограниченным
управлением.
Функция
нечувствительности («мертвой зоны») (dez) в
экстремальном законе управления.
Задача
быстродействия для систем с инвариантной нормой.
Частный случай: задача о вращении твердого тела
вокруг неподвижной точки. Точные решения, оценки
для оптимального времени. Задача оптимального
управления
с
особыми
режимами
(с
микробиологической
или
экономической
интерпретацией). Линейная задача оптимального
управления
со
скалярным
ограниченным
управлением. Сигнатура в экстремальном законе
управления. Краевая задача принципа максимума.
Метод потенциалов для нахождения оптимального
времени и начального значения сопряженной
переменной. Формулировка алгоритма решения
линейной задачи быстродействия на основе метода
потенциалов. Графические пакеты ТАЙМЕР,
ТАХИОН, ПОНТРЯГИН, АЛЬФА для решения
линейной задачи быстродействия. Конечность числа
точек переключения в релейном законе управления.
Формулировка теоремы о числе точек переключения
в случае матрицы с действительным спектром.
Задача о подъеме ракеты на максимальную высоту.
Задача о брахистохроне с позиций оптимального
управления. Модельный пример Фуллера: эффект
бесконечного числа точек переключения на
конечном отрезке времени. Обсуждение вопроса о
практической
нереализуемости
теоретического
4
5
6
7
8
9
10
закона оптимального управления; приближение
оптимального закона управлением с конечным
числом точек переключения.
Аэродинамическая
задача Ньютона.
Численный метод решения линейной задачи
быстродействия с гладкой областью управления.
Метод проектирования на изохрону. Сведение
краевой задачи принципа максимума Понтрягина к
задаче Коши.
Схема продолжения по параметру и ее применение к
системам конечных уравнений и краевым задачам
для обыкновенных дифференциальных уравнений.
Особенности применения схемы продолжения к
краевым задачам принципа максимума с разрывными
правыми частями.
Математическое
моделирование
элементов
управляемых систем.
Формулировка теоремы о необходимых условиях
оптимальности в форме принципа максимума для
нелинейных управляемых систем. Эквивалентная
формулировка задачи управления в расширенном
фазовом пространстве. Схема доказательства
принципа максимума Понтрягина на основе
вариаций Макшейна.
Обоснование дополнения к основной теореме (об
обращении в нуль функции Гамильтона-Понтрягина
на оптимальной тройке).
Обоснование дополнения к основной теореме (об
обращении в нуль функции Гамильтона-Понтрягина
на оптимальной тройке).
Задачи Лагранжа, Майера и Больца. Запись
необходимых условий оптимальности. Связь между
сопряженными переменными
ИТОГО
2
4
2
2
2
2
2
4
4
4
2
2
4
2
2
4
2
2
36
18
18
Литература
(обязательная)
1) Пантелеев А.В., Бортаковский А.С., Летова Т.А. Оптимальное управление в
примерах и задачах: Учебное пособие. – М.: Изд-во МАИ, 1996.
2) Теория управления в примерах и задачах. Учебное пособие. – М.: Изд-во Высшая
школа. 2003.
3) Основы теории оптимального управления. Под ред. Кротова В.Ф. – М.: Изд-во
Высшая школа. 1990.
4) Беллман Р., Калаба Р. Динамическое программирование и современная теория
управления. – М.: Наука, 1969.
5) Охорзин. В.А. Оптимизация экономических систем. Примеры и алгоритмы в среде
MathCad: Учебное пособие. М.: Финансы и статистика, 2005.
(дополнительная):
1. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М. 1968.
2. Киселёв Ю.Н. Линейная теория быстродействия с возмущениями. Изд-во Моск.
Ун-та. 1986.
3. Квакернаак Х., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М. 1975.
4. Летов А.М. Динамика полета и управление. М. 1968.
5. Данскин Л. Максимин. М. Изд-во Иностранная Литература, 1970.
6. Киселев Ю.Н., Орлов М.В. Линейно-квадратичная задача оптимального
управления. Методическая разработка. МГУ. 1991.
7. Киселев Ю.Н., Орлов М.В. Задачи оптимального управления с особыми режимами
для одной модели из микробиологии. – Вестник Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл.
матем. и киберн., 1998, N 3, с. 23 – 26.
8. H. van den Berg, Yu.N. Kiselev, S.A.L.M. Kooijman, M.V. Orlov. Optimal Allocation
Between Nutrient Uptake and Growth in a Microbial Trichome. J. Math. Biol., 37, 1998,
p. 28 - 48.
9. Аввакумов С.Н., Киселев Ю.Н., Орлов М.В. Методы решение задач оптимального
управления на основе принципа максимума Понтрягина. Труды Математического
института им, В.А. Стеклова, т. 216. 1995, стр. 3-31.
Автор: профессор кафедры математического моделирования, д.ф.-м.н. Мустафина С.А.
Программа одобрена на заседании кафедры ММ
от _____________ 201_ г., протокол № __.