08-05-01

Тема 5 «Многочлены»
Цель темы – выработать у учащихся устойчивые навыки действий с многочленами
от одной переменной, изучить признак делимости многочлена линейный двучлен,
теоремы Виета, Безу, теорему о рациональных корнях многочлена с целыми
коэффициентами, схему Горнера.
Будут рассмотрены многочлены от одной переменной, основные операции над
многочленами. Вы узнаете, как раскладывать многочлен на линейные множители, как
находить рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами и какие имеются
соотношения между корнями многочлена и его коэффициентами.
08-05-01. Основные операции над многочленами
1. Целые буквенные выражения от переменной x .Многочлен от переменной x .
Пусть буква x обозначает переменную. Применяя арифметические операции
сложения, вычитания и умножения к переменной x , к постоянным, обозначенным
буквами, и к числам, мы будем получать целые буквенные выражения, зависящие от
переменной x .
Пример 1. Следующие выражения являются целыми буквенными выражениями от
переменной x :
2 x  5 x  3x  1
(4 x  2)(3 x  4)
( x  1)  ( x  1)( x  1)
 x  2x , где  — число, выражающее отношение длины окружности к ее диаметру;
ax 2  bx  c , где a , b , c — фиксированные числа, обозначенные буквами.
С помощью тождественных преобразований каждое целое выражение от переменной
x можно привести к стандартному виду алгебраической суммы произведений степеней
переменной x с коэффициентами, не содержащими переменную x . Другими словами,
целое буквенное выражение от переменной x можно заменить на тождественно равный
ему многочлен.
(4 x  2)(3 x  4) . Применяя законы
Пример 2. Рассмотрим выражение
арифметических операций, можем записать следующие тождественные равенства:
(4 x  2)(3x  4)  (4 x  2)  3x  (4 x  2)  4 
 4 x  3x  (2)  3x  4 x  4  (2)  4 
 4  3  x  x  (2)  3  x  4  4  x  (2)  4 
 12  x 2  (6)  x  8  x  (8)  12 x 2 
(6  8)  x  (8)  12 x 2  2 x  8
Пример 3. Рассмотрим выражение (bx  1)3 , где b — постоянная. Применяя
тождество ( A  B)3  A3  3 A2 B  3 AB 2  B 2 , можем записать следующие тождественные
равенства:
(bx  1)3  (bx)3  3  (bx)2 1  3  (bx) 12  13 
 b3 x3  3  b 2  x 2 1  3b  x 1  1 
 (b3 )  x3  (3b2 )  x 2  (3b)  x  1
Для краткости целые буквенные выражения от переменной x будем называть
многочленами от переменной x .
Приведенные примеры показывают, что каждый многочлен от переменной x можно
привести к стандартному виду.
2. Многочлен в стандартном виде.
Многочлен от одной переменной x можно определить как выражение вида
P( x)  an x n  an 1 x n 1    a1 x  a0 
(1)
где n — фиксированное натуральное число, или нуль, an , an 1 ,..., a1 , a0 –
постоянные коэффициенты. В этом случае многочлен имеет стандартный вид.
Запись многочлена в виде (1) может содержать нулевые коэффициенты.
Произведения вида 0  x k по определению считают равными нулю, а поэтому часто
опускают. Например, многочлен
0  x5  3  x 4  0  x3  6 x  0
можно записать в виде 3x 4  6 x .
Иногда при записи многочлена P ( x ) в стандартном виде все коэффициенты при
натуральных степенях x оказываются равными нулю. В этом случае многочлен P ( x )
называют постоянным многочленом. Постоянный многочлен имеет вид
P( x)  a0 
где a0 — фиксированная постоянная.
Из постоянных многочленов особо выделяют многочлен, тождественно равный
нулю:
P ( x )  0
Этот многочлен называют нулевым многочленом.
3. Степень и старший коэффициент многочлена.
Для многочленов от одной переменной вводят понятия степени и старшего
коэффициента.
Степень и старший коэффициент нулевого многочлена P ( x )  0 не определяют.
Степень постоянного ненулевого многочлена P( x)  a0 , по определению полагают равной
нулю, а число a0  0 считают старшим коэффициентом этого многочлена.
Пусть многочлен P ( x ) записан в виде (1) и коэффициент an при x n с
положительным показателем отличен от нуля. Тогда число n называют степенью
многочлена P ( x ) , а число an — старшим коэффициентом этого многочлена.
Степени ненулевых многочленов можно сравнивать друг с другом. В многочлене
степени n со старшим коэффициентом an одночлен an x n называется старшим членом
этого многочлена.
Коэффициент a0 всякого многочлена, свободный от положительных степеней
переменной x , называют иногда свободным членом.
Многочлен первой степени имеет вид P( x)  ax  b , где a  0 . Иногда многочлен
первой степени называют линейным многочленом.
Многочлен второй степени имеет вид P( x)  ax 2  bx  c , где a  0 . Иногда
многочлен второй степени называют квадратным трехчленом.
Многочлен третьей степени имеет вид P( x)  ax3  bx 2  cx  d , где a  0 . Иногда
многочлен третьей степени называют кубическим многочленом.
4. Сумма многочленов.
Сумму многочленов
P( x)  an x n  an 1 x n 1    a1 x  a0
и
Q( x)  bm x m  bm 1 x m 1    b1 x  b0
Определяют как многочлен, который получается из целого буквенного выражения
P( x)  Q( x) приведением к стандартному виду.
Пример
P( x)  Q( x) 
4.
Пусть
P( x)  3x 4  5x 2  6 x  1 ,
Q( x )  2 x 3  3 x 2  6 x  2 .
Тогда
 (3x 4  5x 2  6 x  1)  (2 x3  3x 2  6 x  2) 
 3x 4  2 x3  (5x 2  3x 2 )  (6 x  6 x)  (1  2) 
 3x 4  2 x3  (5  3) x 2  (6  6) x  (1  2) 
 3x 4  2 x3  2 x 2  3
Пример 5. Пусть P( x)  7 x 2  2 x  1 , Q( x)  7 x 2  2 x  3 . Тогда P( x)  Q( x) 
 (7 x 2  2 x  1)  (7 x 2  2 x  3) 
 (7  7) x2  (2  2) x  (1  3)  2
Приведенные примеры показывают, что сумму двух многочленов от переменной x
можно определить как многочлен, коэффициенты которого при каждой степени x k равны
сумме соответствующих коэффициентов при x k у слагаемых.
5. Произведение многочленов.
Произведение многочленов
P( x)  an x n  an 1 x n 1    a1 x  a0
и
Q( x)  bm x m  bm 1 x m 1    b1 x  b0
определяют как многочлен, который получается из целого буквенного выражения
P( x)  Q( x) приведением к стандартному виду.
Пример 6. Пусть P( x)  3x  1 , Q( x)  2 x 2  x  1 . Тогда P ( x)  Q( x) 
 (3x  1)  (2 x 2  x  1)  3x  (2 x 2  x  1) 
1 (2 x 2  x  1)  3x  2 x 2  3x  x  3x 1 
1 2 x 2  1 x  11  6 x3  3x  2 x  x  1 
 6 x3  (3  2) x 2  (3  1) x  6 x3  x 2  4 x  1
Пример 7. Пусть P( x)  x 2  2 x  2 , Q( x)  x 2  2 x  2 . Тогда P ( x)  Q( x) 
 ( x 2  2 x  2)  ( x 2  2 x  2)  (( x 2  2)  2 x) 
(( x 2  2)  2 x)  ( x 2  2)2  (2 x)2 
( x 2 ) 2  2  x 2  2  22  22  x 2  x 4  4 x 2  4  4 x 2 
 x 4  4
В этих примерах мы видим, что степень произведения двух многочленов равна
сумме степеней сомножителей. При этом в произведении коэффициент при старшей
степени x равен произведению коэффициентов при старших степенях x у сомножителей,
а старший коэффициент равен произведению старших коэффициентов сомножителей.
Аналогичное правило выполняется и в общем случае.
Степень произведения двух ненулевых многочленов равна сумме степеней
сомножителей, а старший коэффициент произведения равен произведению
коэффициентов старших сомножителей.
В том случае, когда один из сомножителей тождественно равен 0, степень этого
сомножителя не определена. Но тогда произведение также тождественно равно 0, а значит
и степень произведения тоже не определена.
6. ** Запись многочленов с помощью знака суммирования.
Использование знака суммирования позволяет сокращать записи многочленов.
Например, если m и n — заданные натуральные числа, то
n
m
k 0
l 0
P( x)   ak x k  Q( x)   bl x l
- это записи двух многочленов: многочлена P ( x ) степени n и многочлена Q ( x)
степени m , если an  0 и bm  0 .
Многочлен заданной степени n можно записать в виде суммы многочленов вида
k
ck x с показателем k , превосходящим число n , если ввести нулевые коэффициенты ck
при k  n . Например, пусть P( x)  1  4 x  5 x 2 , и c0  1 , c1  4 , c2  5 . Полагая ck  0 при
100
любом k , 3  k  100 , этот же многочлен можно записать в виде P( x)   ck x k .
k 0
Дополнение многочленов нулевыми слагаемыми удобно при записи арифметических
операций. Пусть
n
m
k 0
l 0
P( x)   ak x k  Q( x)   bl x l
и n  m . Вводя нулевые коэффициенты bk при k  m , многочлен Q ( x) можно
записать в виде
n
b x
k 0
k
k
. Тогда
n
n
k 0
k 0
P( x)  Q( x)   ak x k   bk x k 
n
  (ak  bk ) x k 
k 0
В результате приходим к правилу сложения многочленов, о котором говорилось в
пункте 4.
7. Разложимость многочлена на множители.
Говорят, что многочлен P ( x ) разложим, если
P( x)  Q( x)  T ( x)
где Q ( x) и T ( x ) — некоторые многочлены ненулевой степени.
Пример 8. По формуле разности квадратов двух выражений можно записать
равенство
x 2  4  ( x  2)  ( x  2)
Следовательно, многочлен x 2  4 представлен в виде произведения
множителей Q( x)  x  2 и T ( x)  x  2 ненулевой степени и поэтому разложим.
двух
Пример 9. Пусть P( x)  8 x  7 . Запишем тождественное равенство
7
8 x  7  8  ( x  )
8
7
Q
(
x

8
Если обозначить
, T ( x)  x  8 , то получим разложение P ( x ) в произведение
двух многочленов, один из которых имеет нулевую степень. Такие разложения не
учитываются. В действительности многочлен 8x  7 , как и любой другой многочлен
первой степени неразложим.
8. Использование в многочленах в качестве переменных разных букв. Подстановки.
На уроках 1 – 2 мы рассмотрели многочлены от одной переменной x и определили
основные операции над такими многочленами. Аналогично, вместо переменной x можно
взять любую другую букву, например, t . Тогда для многочленов от одной переменной t
все основные операции определяются по таким же правилам, как для многочленов от
переменной x , различие лишь в том, что роль переменной x выполняет другая
переменная t .
Контрольные вопросы
1. Что называется многочленом от переменной x ?
2. Какой многочлен называется постоянным многочленом ?
3. Какой многочлен называется нулевым ?
4. Что такое старший коэффициент и старший член многочлена ?
5. Как определяется понятие степени многочлена ?
6. Что такое линейный многочлен ?
7. Как определяются сумма и произведение многочленов ?
8. Как вычислить степень произведения многочленов ?
9. Какой многочлен называется разложимым ?
Задачи и упражнения
1. Какие из буквенных выражений являются многочленами:
6 x 2  5 , 2 x  1x , 0 5 x3  011 , x 2  ( x 1  x) ?
2. Расположить слагаемое по убывающим степеням переменной x :
1) 1 23 x  4 x 3  7 x 5 ,
2)
1
8
x3  13x 4  111 x 6  1 .
3. Запишите многочлен в стандартном виде:
1) 7 x3  x 2  2 x3  3x  2 ;
2) 13 x 4  12 x  0 4 x 4  1 2 x ;
3) ( x  1)( x  1)( x 2  1) ;
4) ( x  1)( x6  x5  x 4  x3  x 2  x  1) .
4. Определите степень и старший коэффициент многочлена:
1) ( x  3)( x 2  3x  9) ;
2) ( x  2)2  ( x  2)2 ;
3) (1  x)3  (1  x)3 .
5. Вычислить произведение и запишите результат в стандартном виде:
1) ( x 2  x  1)( x 2  x  1) ;
2) ( x 4  1)( x 4  1) ;
3) (3x  5)( x  2)(4  5 x) .
6. Разложим ли многочлен:
1) x 2  x  2 2) ; x 2  0 2 x  0 01 ;
3) 3x  8 4) ; x3  x 2  x  1 ?
7. **Для каких коэффициентов
a и b квадратный трехчлен x 2  ax  b неразложим ?
Ответы и указания
Задача 7. Указание. Предположим, что многочлен x 2  ax  b разложим. Это значит,
x 2  ax  b 
что
существуют
такие
числа
что
m,
n,
k,
l,
 (kx  l )(mx  n)  kmx 2  (lm  nk ) x  ln . Отсюда следует, что km  1 , lm  nk  a , ln  b .
m  1k
Очевидно,
что
поэтому
подставив
получаем:
k  0,
m0,
x2  ax  b  x2   kl  nk  x  ln . Таким образом,
l
k
 nk  a , ln  b или l  ak  nk , ln  b . В
результате получаем (ak  nk )  n  b или (n k  nk )b  0 . В итоге для произведения nk
получим квадратное уравнение t 2  at  b  0 . Это уравнение, как показано в п. 3.3 главы
2
3, имеет решение тогда и только тогда, когда  a2   b  0 . Когда значение t найдено,
2
2
2
можно ненулевое число k взять в качестве параметра, и тогда n  kt , m 
1
k
и наконец
e  ak  nk 2  ak  tk . Полагая, например, k  1 получим: m  1 , l  a  t , n  t , то есть
n — это корень уравнения t 2  at  b  0 . Заметим, что в этом случае число l — это также
корень уравнения t 2  at+b = 0. Таким образом, многочлен x 2  ax  b разложим тогда и
только тогда, когда
a2
4
b  0.