Закон полного тока или теорема о циркуляции

Закон полного тока или теорема о циркуляции магнитного поля.
Найдем интегральную и дифференциальную форму законов для магнитного
поля, как это было сделано для электрического поля. Для электрического поля
это было сделано исходя из закона Кулона и принципа суперпозиции, как
экспериментальных положений.
Для магнитного поля будем исходить из закона Био-Савара и принципа
суперпозиции для магнитного поля. Их формулировка называется законом
полного тока.
Индукция магнитного поля, создаваемая системой токов, равна сумме
индукции полей каждого тока в отдельности при отсутствии всех других:


B  Bi
11.1
Интегральная формулировка закона полного тока.
I

B

B

r

dl
d 

dl
dl1
r

dl 
Рассмотрим магнитное поле прямого тока:
  I
B  0 e 11.2
 2 r
Вычислим циркуляцию вектора B по замкнутому контуру L :
 
 
 0 I dl1  0 I
B

d
l

Bdl
cos
B
d
l

Bdl


dL   0 I
1
L
L
L
2 L r
2 2
 
dL
Итак:
 
B
  dl   0 I

dl
11.3
L
d
Если контур не охватывает ток, то
циркуляция равна нулю.
Обобщим закон на произвольное
количество токов в контуре. Согласно
принципу
суперпозиции:


B   Bi
i
 
  
 

B
d
l

B
d
l

B





 i i 
 i dl 
   0 I k   0 I , где I   I k  алгебраическая сумма токов, охватываемых
k
k
контуром.
Итак, циркуляция магнитного поля по замкнутому контуру равна
алгебраической сумме токов, охватываемой им ,умноженной на  0 :
 
B
 dl   0 I
Закон полного тока является интегральной формулировкой закона
Био-Савара и входит в систему уравнений Максвелла.


Знак I n зависит от направления тока и обхода контура L . Если j и dl
составляют правовинтовую систему, то ток считается положительным: I  0 .
I 0
 
 Bdl
I 0
0
L
L
L
L
Ротор вектора. Формула Стокса.


n
L
S
Пусть задано векторное поле A . Выберем

направление вектора нормали к плоскости n
и ограничим малую площадь S контуром L


в плоскости  n . Направление обхода L связано с n
правым винтом. Ротором вектора называется вектор,

проекция, которого на n равна

rot n A  lim
S 0
 
A
 dl
S
10.4
Ротор (вихрь)
характеризует “завихрение” вектора. Вводя оператор

«набла»  можно записать (в декартовых координатах):

i
  

rotA    A 
x
Ax

j

y
Ay

k

z
Az
10.5

Формула Стокса
связывает циркуляцию вектора A по контуру с потоком его

ротора rotA через поверхность:
 
 
A

d
l

rot
A

  dS
L
10.6
S
Запоминать формулу Стокса, конечно,
лучше словами:


«циркуляция вектора A равна потоку его ротора rotA …»
Дифференциальная форма закона полного тока.
Для объемного тока с плотностью j:
 
I   j  dS
 
 

 


B

d
l


0  j  dS

rot

B



j dS  0


0

 

L
S
 
   
  

B

d
l



I
B

d
l

rot

B

d
S



0

L
S
 S  произвольн а




rot  B   0 j

10.7
Таким образом, мы получили дифференциальное соотношение. Это

значит, что его вид не зависит от того, как ведет себя плотность тока j в
других точках. Поэтому, хоть оно и выведено для прямолинейных
токов, оно

справедливо для произвольных токов. Так как магнитное
поле B создается не

только током проводимости, но и током смещения j см , причем, величина
поля от тока смещения равна полю от тока проводимости, то естественным
обобщением (10,7) является его применение и для токов
смещения. Только
  
под током I следует понимать сумму токов I  I см , а под j  j  jсм . Поэтому:

  

E  
L B  dl S   0  j   0   0 t   dS



 
E
rot  B   0 j   0 0
  0  j  jсм 
11.8
t
Введем еще одну характеристику
магнитного поля в вакууменапряженность


магнитного поля H связанную с индукцией поля B соотношением:


B   0 H , где

вектор H  называется вектором напряженности магнитного поля. Тогда, закон
полного тока можно представить в виде:





 H  dl    j  j  dS
см
L
S


E
где jсм   0
t
или
  
rot  H  j  jсм
11.9
Вывод дифференциальной формы закона полного тока из закона Био-Савара.

  0 j  r
rot  B 
dV
4 V r 3

  0 j  r
   r 
rotB 
dV      j  3 dV
4 V r 3
r 

V
  
Распишем двойное векторное произведение :   A  B 
  
   r 

 
  
   j  3   B    A  A    B  A    B  B    A , т.е.
r 

     



r
r
r
r
   j  j    3  j  div 3  3  divj  и т.д.
3
r
r
r
r






 
 


0
0
0




 
 
 ix  j y  k z
  j x
 jy
 jz

y
z 

 x
 x2  y2  z2


….  j x
x



i x  jy  kz
x
2
 y2  z2

3
2


1

  j x i 
 x2  y2  z 2






1  3x 2 
 i  jx 3 1  2 ...
r 
r 
3
2
и т. д.
3
2

ix




5 
2
2
2 2 
x  y  z2 


3
  2x
2
