Закон полного тока в интегральной форме

Закон полного тока
Аналогичен закону Гаусса в
электростатике
Закон полного тока в интегральной форме
φ
dl
r
d l0
I
dφ
B
Бесконечно длинный проводник
с током I
L – замкнутый контур
произвольной формы.
магнитной индукции
Вектор
 – радиус вектору.
Br
dl – элемент произвольного
контура L.
dl0 – элемент силовой линии
прямого бесконечного тока
(окружности).
L
φ – угол между
  dl и dl0
или   В, dl .
dl 0  dl cos  - проекция dl на В.
Закон полного тока в интегральной форме
φ
dl
r
d l0
I
dφ
Циркуляция вектора В
по замкнутому контуру L:
B
 
 Bdl   Bdl cos   Bdl0 .
L
L
0 I
B
.
2r
dl0  rd .
L
  0 I
 Bdl   2r rd 
L
L
L
2
0 Ir

d  0 I .

2r 0
 
 
 Bdl 0  j dS .
L
S
Закон полного тока в интегральной форме
 
 
 Bdl  0  j dS .
L

S
1. Магнитное поле прямолинейного
тока –
 
вихревое, т.к.
Bdl 0.

L
(Электрическое поле – потенциальное,
 
 Edl  0
L
.)
Магнитное поле не является потенциальным.
2. Циркуляция вектора В прямолинейного тока
одинакова вдоль всех линий магнитной
индукции и равна произведению μ0I.
Закон полного тока в интегральной форме
• Если магнитное поле создано системой
токов, то по принципу суперпозиции:


B   Bi ,
 
 Bdl  0  I i .
L
Ток не пронизывает контур
a
L
2
L
0 I

2
r2
b
I
φ
 Bdl  
r1
2
1
φ
1
1a 2
2

1
Bdl 

Bdl
2b1
1
0 I
d 
d 

2 
2
0 I

2  1  1  2   0.
2
Циркуляция вектора В прямолинейного тока
вдоль замкнутого контура, не охватывающего
этот проводник, равна нулю.
Применение закона полного тока для
вычисления простейших полей
● Поле бесконечного прямого тока
В качестве контура выберем
окружность радиуса r
перпендикулярную току и имеющую
центр на оси тока.
В этом случае контур совпадает с
силовой линией вектора магнитной
индукции В и из соображения
симметрии во всех точках, лежащих
на одинаковом расстоянии от
проводника, модуль вектора В
одинаков.
● Поле бесконечного прямого тока
Закон полного тока:
 
 Bdl  0 I .
L


 
 
 Bdl   Bdl cos B, dl 
L
L
 B  dl  B  2r  0 I .
L
0 I
B
.
2r
● Магнитное поле длинного соленоида
l – длина соленоида.
N – число витков.
l >>d; Bвнутри = const
Bвне соленоида = 0
● Магнитное поле длинного соленоида
Возьмем замкнутый
прямоугольный контур 12-3-4.
  2   3  4  1  
dl   B
dl   B
dl   B
dl  BL.



 Bdl  B

 
 
L
1 B  dl
2 B  dl
3 B 0
 
 Bdl  0 N L I .
L
BL  0 N L I .

n – число витков соленоида на единицу длины
4 B  dl
B
0 N L I
L
 0 nI ,
● Магнитное поле тороида
Тороид – кольцевая катушка, витки
которой намотаны на сердечник,
имеющий форму тора.
● Магнитное поле тороида
• r < R2:
т.к.
окружность радиуса r
не охватывает токи
(I = 0).
В = 0, поле внутри
тороида равно нулю.
• r > R1:
n
 
 Bdl 0  I i  0 N  I  N  I   0,
N – число витков тора.
L
R1 – внешний радиус тора.
R2 – внутренний радиус тора.
r - радиус произвольной окружности.
i 1
В = 0, поле вне тороида
равно нулю.
● Магнитное поле тороида
• R2 < r < R1:
 
 Bdl B  dl  B  2r   0 NI .
L
L

 0 NI
B
.
2r
Поле меняется
0 N
B1 
I
2R1
0 N
B2 
I
2R2
0 N
I  0nI ,
 Bср 
2Rср
n – число витков на единицу длины средней линии тороида
Закон полного тока в
дифференциальной форме

rotA – циркуляция вектора А по контуру
L,
который охватывает площадь S→ 0 и
ориентирован таким образом, чтобы эта
циркуляция
 максимальной (max).
 
 была
 Adl
lim
S 0
L
S

d  Adl
L
dS

 rot n A
-проекция вектора

rot A на
положительную нормаль n
к площадке dS, охватываемой контуром L
( S стремится к точке).
Закон полного тока в дифференциальной форме
• rot характеризует свойства поля в точке
S→ 0

i



rot A  A 
x
Ax
 

j

y
Ay

k


z
Az
 Az Ay    Ax Az    Ax Ay  
  i  
  k .
 



  j  
z 
x 
x 
 z
 y
 y
Закон полного тока в дифференциальной форме
Теорема Стокса:
 
 
 Adl   rot AdS .
L
Закон полного тока
в интегральной форме:
S
 
 
 Bdl  0  j dS .
L
 
 
 rot BdS   0  j dS .
S


rotB  0 j ;
S
S
 
rotH  j .
Действие магнитного поля на проводники и
контур с током 
 
Закон Ампера dF  I dl , B .
A

dF

Элементарная сила dF,
B┴
действующая на малый
элемент длины dl
проводника с током,
находящийся в магнитном
α
поле индукцией В, прямо
пропорционален силе
I
dl
B║
тока I в проводнике и
α – угол между вектором В и
вектором dl, направление которого векторному произведению
А
B
совпадает с направлением тока I.


 
dl , B .
Закон Ампера
dF
А
Сила Ампера,
действующая в
магнитном поле на
проводник с током
конечной длины:
B
B
┴
α
dl
B
║
I


 

FA   I dl , B , FA  IBl sin  ,
l
Закон Ампера
Направление силы
Ампера
определяется
правилом левой
руки
если ладонь левой руки расположить таким образом,
что В┴ входит в ладонь, четыре выпрямленных
пальца направлены по току, то большой палец,
отогнутый на 900, указывает направление FA.
Взаимодействие параллельных токов.
Основная электрическая единица
СИ –Ампер
I
I
Поле бесконечного
проводника:
1
2
B
1
α
l
F
a
0
B1 
2 I1 .
4a
0
  90 ,
F  I 2 B1l
0 2 I1 I 2
F

 l,
4
a
I1  I 2  I ,
  1.
0 2I 2
F
l
4 a
Основная электрическая единица СИ –Ампер
0 2I
F
l
4 a
2
• 1 Ампер (А) – это сила такого постоянного
тока, при прохождении которого по двум
прямолинейным бесконечно длинным
проводникам, находящихся в вакууме на
расстоянии 1 метр друг от друга, сила их
взаимодействия составляет 2·10-7 Н на
каждый метр длины.
Основная электрическая единица СИ –Ампер
Этот опыт является фундаментальным,
так как позволяет выделить силы
взаимодействия в «чистом» виде.
Кулоновские силы в этом случае равны
нулю, так как незаряженный проводник
с током электронейтрален (ρ– = ρ+).
Действие магнитного поля на контур с током
● Прямолинейный контур в
магнитном поле
Вектор магнитной индукции В
находится в плоскости
контура
I
F
a
B
0
A
M  FA  b  IabB  ISB  pm B.

 
M  pm , B .
b
F

A
I
I
F
A
n
F
I
A
FA  IaB sin  ,
  90 .
I
F
A
I
F
A
B

Контур поворачивается таким
образом, что его
положительная нормаль n
совпадает с вектором В
● Контур произвольной формы
B
x
dh
Id l2
α1
Id l1
F1




 

dF1  I dl1, B ,
 

dF2  I dl2 , B ,
dS
dh
F2
d l2
d l1
dF1  Idl1B sin 1  IBdh.
dF2  Idl2 B sin  2  IBdh.
α2
● Контур произвольной формы
На элемент контура действует пара сил:
dM  dF  x  IBdh  x  IBdS,

 
M   IBdS  pm B, M  pm , B .

S

● Между нормалью n к контуру и вектором В
угол α (
 
B, n  
)
Вектор В разложим на два
вектора
• Вn :
 
Bn , n  0 
• В┴ :
B  B sin  ,



 
M  pm , B .



 
M n  pm , B  0.
M   pm B sin  .