Министерство образования и науки РФ ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет»

Министерство образования и науки РФ
ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет»
Институт экономики и финансов
Кафедра математики и экономической информатики
В. Л. Воронцова
Стохастическая математика в экономике
Конспект лекций
Казань-2014
Направление подготовки :
080100.62: «Экономика» (бакалавриат, I курс, 1 семестр; очное обучение)
Дисциплина: «Стохастическая математика в экономике»
Учебный план: «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», очное, 2014 г.
Количество часов: 72 ч. (в том числе : лекции 18 часов, практические занятия 18 часов, самостоятельная работа – 36; форма контроля: зачет (1-й семестр) )
Аннотация
Основное внимание в курсе уделяется изучению современных методик
стохастической математики для расчета и анализа социально-экономических
показателей, характеризующих экономические процессы и явления на микро- и
макроуровне в условиях неопределенности. Приводятся краткие методические
положения, включающие основные понятия, определения, формулы.
Подготовленный материал можно изучать самостоятельно, проводя
самоконтроль усвоения материала.
Темы:
Тема 1. Системы случайных величин.
Тема 2. Случайные процессы. Цепи Маркова.
Тема 3. Критерии согласия Пирсона и Колмогорова.
Тема 4. Регрессионный и корреляционный анализ в экономических
исследованиях.
Тема 5. Временные ряды.
Тема 6. Системы массового обслуживания.
Ключевые слова: системы случайных величин, ковариация, корреляция,
критерий согласия Пирсона, критерий согласия Колмогорова, случайные
процессы, цепи Маркова, регрессионный анализ, корреляционный анализ,
временной ряд, тренд, метод сглаживания, системы массового обслуживания.
Дата начала использования: 1 сентября 2014 г.
Автор - составитель: Воронцова Валерия Леонидовна, доцент кафедры
математики и экономической информатики, к.ф.-м.н., e-mail:
milen99@narod.ru
2
Оглавление
Тема 1. Системы случайных величин.
Тема 2. Случайные процессы. Цепи Маркова.
Тема 3. Критерии согласия Пирсона и Колмогорова.
Тема 4. Регрессионный
с. 4-7.
c.7-12.
c.12-15.
и корреляционный анализ в экономических
исследованиях.
c.15-24.
Тема 5. Временные ряды.
c.24-30.
Тема 6. Системы массового обслуживания.
c.30-38.
Информационные источники
c.38-40.
Глоссарий
c.40-44.
Вопросы к зачету
c.44-45.
3
Тема 1. Системы случайных величин
Лекция №1 (2 часа)
Аннотация: Данная тема описывает системы случайных величин.
Ключевые слова: закон распределения системы двух случайных
величин, ковариация, коэффициент корреляции, независимые дискретные
случайные величины.
Методические указания по изучению темы.
Вначале необходимо изучить лекционный материал с определениями
основных понятий. После этого следует ответить на контрольные
вопросы. При решении задач по данной теме необходимо опираться на
изученный лекционный материал.
Источники информации:
1. Математика для экономических специальностей вузов. Ч.2 / Под ред.
Р.Ш. Марданова.- Казань: Изд-во КГФЭИ, 2001.
2. Сборник задач по математике для экономистов: учебное пособие для
экономических специальностей вузов./ Р. Ш. Марданов, А. Ю.
Хасанова, Р. А. Султанов, А. Г. Фатыхов; под научной редакцией
проф. Р. Ш. Марданова.- Казань: Казан. Гос. Ун.-т, 2009. - 576 с.
Глоссарий
Ковариацией или корреляционным моментом называется
1,1 и
обозначается cov(X,Y) или cov( X , Y )   ( xi  M ( X ))( y j  M (Y ))  pij .
i, j
Коэффициентом корреляции называется отношение: rXY 
cov( X , Y )
.
 x  y
Матрицей называется прямоугольная таблица чисел из n строк и m столбцов.
Начальным моментом порядка k+s называется математическое ожидание от
k s
произведения xkys :  k , s  M ( X Y ) .
4
Независимыми называются случайные величины X и Y, образующие систему,
если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое значение
приняла другая.
Центральным моментом порядка k+s называется математическое ожидание
от произведения отклонений: k ,s  M (( X  M ( X )) k (Y  M (Y )) s ) .
Вопросы для изучения:
1. Системы случайных величин.
2. Закон распределения двумерной случайной величины
3. Числовые характеристики.
4. Начальные и центральные моменты.
5. Ковариация и коэффициент корреляции.
Рассмотрим систему двух дискретных случайных величин (X;Y).
Пусть X принимает n значений: x1, x2, …,xn; Y-m значений: y1,y2,…,ym. Обозначим
через pij вероятность того, что случайная величина X примет значение xi, а Y значение yj.
Закон распределения такой системы случайных величин задается
матрицей распределения, представленной в таблице:
X\Y
y1
y2
…
yj
…
ym
x1
p1,1
p1,2
…
p1,j
…
p1,m
x2
p2,1
p2,2
…
p2,j
…
p2,m
…
…
…
…
…
…
…
xi
pi,1
pi,2
…
pi,j
…
pi,m
…
…
…
…
…
…
…
xn
pn,1
pn,2
…
pn,j
…
pn,m
6.
pij=P(X=xi;Y=yj), i=1,2,…n;j=1,2,…,m ;
 pij  1
i, j
5
Определение. Прямоугольная таблица чисел из n строк и m столбцов
называется матрицей.
Если задана такая таблица закона распределения системы двух СВ, то по
ней можно составить закон распределения каждой отдельной СВ.
Найдем P( X  xi )   pij -суммирование по i-той строке.
i
P(Y  y j )   pij - суммирование по j-тому столбцу.
j
Числовые характеристики системы двух случайных величин
Наиболее распространенными числовыми характеристиками системы двух СВ
являются начальные и центральные моменты разных порядков.
Определение. Начальным моментом порядка k+s называется математическое
ожидание от произведения xkys
 k , s  M ( X kY s )
Определение. Центральным моментом порядка k+s называется
математическое ожидание от произведения отклонений
k , s  M (( X  M ( X )) k (Y  M (Y )) s )
1,1 называется ковариацией или корреляционным моментом и
обозначается cov(X,Y) или
cov( X , Y )   ( xi  M ( X ))( y j  M (Y ))  pij ;
i, j
D( X )  cov( X , X ); D(Y )  cov(Y , Y )
Отношение
rXY 
cov( X , Y )
, называется коэффициентом корреляции.
 x  y
 x   x ( X )  D( X )
-среднеквадратическое отклонение случайной величины X;
6
 y   y (Y )  D(Y )
- среднеквадратическое отклонение случайной величины Y.
Определение. СВ X и Y, образующие систему, называются независимыми,
если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое значение
приняла другая.
Необходимым и достаточным условием независимости дискретных СВ
X,Y является равенство
Pij  Pxi  Pyj
(i  1,2,..., n; j  1,2,..., m)
Контрольные вопросы к теме 1
1. Что называется матрицей распределения двумерной случайной
величины? Математический смысл элементов матрицы.
2. Дать определения начальных и центральных моментов первого и второго
порядков двумерной дискретной случайной величины.
3. Что такое условный закон распределения X для двумерной случайной
величины (X,Y)?
Тема 2. Случайные процессы. Цепи Маркова.
Лекции №2 и 3 (4 часа)
Аннотация: Данная тема рассматривает виды случайных процессов.
Ключевые слова: случайный процесс, математическое ожидание
случайного процесса, дисперсия случайного процесса, корреляционная
функция случайного процесса, марковский процесс, цепь Маркова,
равенство Маркова, вероятности состояний.
Методические указания по изучению темы.
Вначале необходимо изучить лекционный материал с определениями
основных понятий. После этого следует ответить на контрольные
вопросы. При решении задач по данной теме необходимо опираться на
изученный лекционный материал.
Источники информации:
7
1. Исследование операций в экономике: Учебн. пособие для вузов/
Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; под ред.
проф. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2001. – 407с.
2. Сборник
задач
по
курсу
«Экономико-математическое
моделирование». – M. Ж ОАО Издательский дом «Городец»», 2005.
– 320 с.
3. Теория массового обслуживания в экономической сфере: Учебн.
пособие для вузов/ Лабскер
Л.Г., Бабешко Л.О. – M., Банки и
биржи, ЮНИТИ, 1998. – 319 с.
4. Основы
математики
и
ее
приложения
в
экономическом
образовании: Учебник – М.: Дело, 2003. – 688 с.
5. Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров. Теория вероятностей. – М., 1978, 368
с.
Глоссарий
Дисперсией случайного процесса X (t ) называется неслучайная функция
Dx (t ) , которая при любом значении
t
равна дисперсии соответствующего
сечения случайного процесса.
Корреляционной функцией случайного процесса X (t ) называется
неслучайная функция
паре значений
K x (t , t ) двух аргументов t
и
t  , которая при каждой
t и t  равна ковариации соответствующих сечений случайного
процесса.
Марковским процессом называется случайный процесс
X (t ) ,
если для
любых двух моментов времени t 0 и t1 , t0  t1 , условное распределение
X (t1 )
при условии, что заданы все значения X (t ) при t  t0 , зависит только от
X (t0 ) , и не зависит от того, когда и каким образом система пришла в это
состояние (т. е. как развивался процесс в прошлом) .
8
Математическим ожиданием случайного процесса называется неслучайная
функция mx (t ) , которая при любом значении
t
равна математическому
ожиданию соответствующего сечения случайного процесса.
Однородной называется цепь Маркова, если вероятности перехода не зависят
от номера шага.
Равенство Маркова
p(k )  p(k 1) P(k ) .
Сечением случайного процесса называют случайную величину,
соответствующую фиксированному значению в момент времени t  t0 .
Случайный процесс (СП) – процесс изменения во времени состояния
какой - либо системы в соответствии с вероятностными закономерностями.
Стационарным режимом называется режим, при котором система S
продолжает блуждать по состояниям
зависят от номера шага, т.е.
Si , но вероятности этих состояний не
pi ( k )  pi .
Реализацией случайного процесса X (t ) называют конкретный вид случайного
процесса, который наблюдался на каком-то отрезке времени от 0 до

в
результате одного опыта.
Цепью Маркова называется цепь, которая обладает марковским свойством:
если в цепи для любого шага k  k 0 условная вероятность состояния системы
на будущем шаге зависит только от состояния системы на настоящем шаге
k  k0 .
Вопросы для изучения:
1. Случайные процессы.
2. Понятие цепи Маркова. Использование цепи Маркова в моделировании
социально-экономических процессов.
3. Однородная цепь Маркова. Переходные вероятности.
4. Матрица перехода. Равенство Маркова. Понятие Марковского процесса.
9
Пусть имеется некоторая система S, состояние которой меняется с течением
времени случайным образом.
Случайный процесс (СП) – процесс изменения во времени состояния
какой - либо системы в соответствии с вероятностными закономерностями.
СП обычно представляют как однопараметрическое семейство случайных
величин X (t ) ,
t  T . Параметр t обычно называется временем.
Реализацией случайного
процесса X (t ) называют
конкретный
вид
случайного процесса, который наблюдался на каком-то отрезке времени от 0 до

в результате одного опыта. Сечением случайного процесса называют
случайную величину, соответствующую фиксированному значению в момент
времени t  t0 .
Неслучайная функция mx (t ) , которая при любом значении
t
равна
математическому ожиданию соответствующего сечения случайного процесса
называется математическим ожиданием случайного процесса.
Дисперсией случайного
функция
Dx (t ) ,
которая
процесса
при
любом
X (t ) называется неслучайная
значении
t
равна
дисперсии
соответствующего сечения случайного процесса.
Корреляционной функцией случайного процесса
неслучайная функция
паре значений
процесса.
t
Она
K x (t , t )
двух аргументов
t
и
X (t ) называется
t  , которая при каждой
и t  равна ковариации соответствующих сечений случайного
характеризует
степень
зависимости
между
сечениями
случайного процесса, относящимся к различным моментам t .
Марковские случайные процессы
Случайный процесс
X (t ) называется марковским процессом, если для
любых двух моментов времени t 0 и t1 , t0  t1 , условное распределение
X (t1 )
при условии, что заданы все значения X (t ) при t  t0 , зависит только от
10
X (t0 ) , и не зависит от того, когда и каким образом система пришла в это
состояние (т. е. как развивался процесс в прошлом) .
Цепь Маркова. Дискретные состояния и дискретное время.
Имеется система S с дискретными состояниями: S1 , S 2 , … S n . Перескоки из
состояний могут происходить в определенные моменты времени t1 , t 2 , …
tk … .
Будем называть эти моменты «шагами» или «этапами» процесса и
рассматривать случайный процесс, происходящий в системе S, как функцию
целочисленного аргумента: 1, 2, , k ,  (номер шага).
Если в цепи для любого шага k  k0 условная вероятность состояния
системы на будущем шаге зависит только от состояния системы на настоящем
шаге k  k0 , то говорят, что цепь обладает марковским свойством и называется
цепью Маркова.
Для любого шага k существуют некоторые вероятности перехода
системы из любого состояния в любое другое. Будем называть их
вероятностями перехода марковской цепи. Они записываются в виде
матрицы:
 p11 (k ) p12 (k )  p1n (k ) 


p
(
k
)
p
(
k
)

p
(
k
)

,
22
2n
P(k )   21




 p (k ) p (k )  p (k ) 
 n1

n2
nn
n
 рij  1 ( i  1, n ).
j 1
(1)
Некоторые из переходных вероятностей pij могут быть равны нулю, что
означает невозможность перехода системы из i -го состояния в
j -е за один
шаг. По главной диагонали матрицы переходных вероятностей стоят
вероятности того, что система не выйдет из состояния Si , а останется в нем.
Сумма членов, стоящих в каждой строке матрицы (1), должна быть равна
11
единице, так как в каком бы состоянии система ни была перед
k -м шагом
события S1( k ) , S 2( k ) ,…, Si(k ) ,…, S n(k ) несовместны и образуют полную группу.
p(k )  p(k 1) P(k )
(*)
Эта формула называется равенством Маркова. Вероятности состояний
вычисляются по формуле (*).
Цепь Маркова называется однородной, если вероятности перехода не
зависят от номера шага. вектор вероятностей состояний системы в k-ый момент
времени (на k-ом шаге) определяется формулой
P(k )  P  P
k
0
Стационарным режимом называется режим, при котором система S
продолжает блуждать по состояниям
зависят от номера шага, т.е.
Si , но вероятности этих состояний не
pi ( k )  pi .
Контрольные вопросы к теме 2:
1.Что называют случайным процессом?
2. Что называют реализацией случайного процесса?
3. Что называют сечением случайного процесса?
4. Что называют математическим ожиданием случайного процесса?
5. Что называют дисперсией случайного процесса?
6. Что называют корреляционной функцией случайного процесса?
7. Какой случайный процесс называется марковским?
8. Что называют цепью Маркова?
9. Что называют вероятностями перехода марковской цепи?
10. Какая формула называется равенством Маркова?
11. Как вычисляют вероятности состояний системы?
12. Что называется стационарным режимом системы?
12
Тема 3. Критерии согласия Пирсона и Колмогорова.
Лекция №4 (2 часа)
Аннотация: Данная тема рассматривает критерии согласия Пирсона и
Колмогорова.
Ключевые слова: накопленные частоты, критерий согласия Пирсона,
критерий согласия Колмогорова.
Методические указания по изучению темы.
Вначале необходимо изучить лекционный материал с определениями
основных понятий. После этого следует ответить на контрольные
вопросы. При решении задач по данной теме необходимо опираться на
изученный лекционный материал.
Источники информации:
1. Математика для экономических специальностей вузов. Ч.2 / Под ред.
Р.Ш. Марданова.- Казань: Изд-во КГФЭИ, 2001.
2. Сборник задач по математике для экономистов: учебное пособие для
экономических специальностей вузов./ Р. Ш. Марданов, А. Ю.
Хасанова, Р. А. Султанов, А. Г. Фатыхов; под научной редакцией
проф. Р. Ш. Марданова.- Казань: Казан. Гос. Ун.-т, 2009. - 576 с.
Глоссарий
Критерий согласия Колмогорова: находят эмпирические и теоретические
значения накопленных частот Fэ, Ft. Затем определяют
наб 
max Fэ  Ft
n
Критерий согласия Пирсона: статистикой критерия служит величина
2
 наб

l (m  m ) 2
эi
ti

i 1
mti
Вопросы для изучения:
Критерии согласия Пирсона и Колмогорова для проверки гипотезы о
нормальном распределении генеральной совокупности.
13
Очень важно по фактическим данным для случайной величины установить
теоретический закон распределения. Для этого необходимо решить две задачи.
Задача 1. На основе теоретических предпосылок подбирается закон
распределения. Если опытные данные удовлетворяют теореме Ляпунова или
правилу трех сигм, то можно ожидать, что изучаемый признак имеет
нормальный закон распределения. Если сделан вывод, что изучаемый признак
распределен по нормальному закону, то нахождение самого закона сводится
нахождению двух параметров a и σ эмпирического распределения. После этого
находят теоретические (выравнивающие) частоты.
Задача 2. Для эмпирического распределения выбран нормальный закон
распределения и найдены его параметры a и σ. Правильно ли выбран закон,
отражает ли он все вытекающие из опытных данных особенности
распределения случайной величины? Ответ на сформулированную задачу дают
критерии согласия.
Критерий согласия Пирсона: статистикой критерия служит величина
2
 наб

l (m  m ) 2
эi
ti

mti
i 1
Сумма в выражении имеет приближенно распределение с k=l-s-1 числом
степеней свободы. Здесь s – число параметров теоретического распределения
(для нормального s=2). Задается уровень значимости

2
2
Затем по таблице критических точек распределения  отыскиваем  кр ( , k )
(приложение 3).
2
2
Если  наб   кр , то случайная величина распределена нормально.
Критерий согласия Колмогорова: находят эмпирические и
теоретические значения накопленных частот Fэ, Ft. Затем определяют
наб 
max Fэ  Ft
n
Задается уровень значимости  как и в критерии Пирсона, по таблице
критических точек распределения находим кр   (приложение 4).
14
Если наб  кр , то случайная величина распределена нормально. Критерий
Колмогорова менее строгий, чем критерий Пирсона.
Контрольные вопросы к теме 3:
1.Как по фактическим данным для случайной величины установить
теоретический закон распределения?
2. Как найти параметры нормального распределения?
3. Как вычисляются теоретические (выравнивающие) частоты?
4. Сформулировать критерии, с помощью которых можно проверить
правильность выбранного закона распределения.
Тема 4. Регрессионный и корреляционный анализ в экономических
исследованиях
Лекции №5 и 6 (4 часа)
Аннотация: Данная тема рассматривает основные проблемы теории
корреляции и их решение с помощью методов регрессионного и
корреляционного анализа.
Ключевые слова: линия регрессии, уравнение регрессии, коэффициент
регрессии, корреляционное отношение, коэффициент корреляции.
Методические указания по изучению темы.
Вначале необходимо изучить лекционный материал с определениями
основных понятий. После этого следует ответить на контрольные
вопросы. При решении задач по данной теме необходимо опираться на
изученный лекционный материал.
Источники информации:
1. Математика для экономических специальностей вузов. Ч.2 / Под ред.
Р.Ш. Марданова.- Казань: Изд-во КГФЭИ, 2001.
2. Сборник задач по математике для экономистов: учебное пособие для
экономических специальностей вузов./ Р. Ш. Марданов, А. Ю.
Хасанова, Р. А. Султанов, А. Г. Фатыхов; под научной редакцией
проф. Р. Ш. Марданова.- Казань: Казан. Гос. Ун.-т, 2009. - 576 с.
15
Глоссарий.
Внутригрупповая дисперсия  в2н.гр. 
1
N
n
  i2  m x , где  i2 
i
i 1
1
m xi
 y
n
i 1

2
i
 y xi mij j ,
характеризует колеблемость Y внутри групп.
2
Межгрупповая дисперсия  м ежгр 
1
N
 y
n
i 1
xi
y
колеблемость групповых (условных) средних
m
2
y xi
xi j
характеризует
относительно общей
средней y .
Корреляционным моментом или ковариацией случайных величин Х и Y
называется линейный коэффициент корреляции
rxy   xy  x   y ,
где
 xy 
1 n

N i 1
 x
t
j 1
i


 x y j  y mij
2
2
Корреляционное отношение  при парной корреляции    межгр  у .
Коэффициент корреляции вычисляется по удобной формуле: rxy 
xy  x  y
.
 x  y
Коэффициентом регрессии Y на Х называется параметр а , где a 
и обозначается
xy  x  y
x 2  x 
2
 y / x . Он показывает, на сколько единиц в среднем изменяется
Y при возрастании Х на одну единицу. Если а>0, то связь прямая, если а<0 –
связь обратная.


2
1 t


y

y
my j

j
Общая дисперсия
N j 1
2
у
характеризует колеблемость
признака Y относительно общей средней y под действием всех факторов.
16
Вопросы для изучения:
1. Статистические методы обработки экспериментальных данных. Метод
наименьших квадратов. Виды взаимосвязей в математической статистике.
2. Регрессионный анализ. Эмпирическая и выравнивающая линии
регрессии. Уравнения регрессии при линейной и нелинейной
зависимостях.
3. Парная корреляция. Определение коэффициента корреляции.
Корреляционное отношение.
4. Оценка достоверности и проверка гипотезы о значимости коэффициента
корреляции в генеральной совокупности.
Статистической
называют
связь,
при
которой
каждому
значению
случайной величины Х соответствует распределение другой случайной
величины Y. Случайная величина Х называется независимой или факторным
признаком, а Y – зависимой случайной величиной, или результативным
признаком.
Корреляционной зависимостью называется статистическая зависимость,
при которой каждому значению случайной величины Х ставится в соответствие
какая-либо числовая характеристика соответствующего распределения Y. В
качестве числовой характеристики чаще всего используется средняя величина
распределения, которая называется условной средней
ух
. Если построить в
декартовой системе координат точки А (хi, у х ) и соединить их отрезками
прямых, то полученная ломаная линия называется эмпирической линией
регрессии. Используя метод наименьших квадратов, построим линию,
наилучшим образом согласующуюся с точками Аi. Полученная линия
называется выравнивающей (теоретической) кривой, ее уравнение
у (х) = ƒ(х) называется уравнением регрессии, а величина у (хi) называется
выравненным средним значением средней Y при Х=х.
Элементы регрессионного анализа
17
Статистический материал (статистическая зависимость) для решения
задачи регрессионного анализа дается в двух формах. Если число наблюдений
невелико и мало число повторений, то материал задается в форме
перечневой таблицы (отдельные пары (хi,уi) могут повторяться). Если число
пар значений (хi,уi), получаемых в результате наблюдения велико и среди них
много повторяющихся, то статистический материал оформляется в виде
таблицы с двумя входами, называемой корреляционной таблицей.
Для получения уравнения регрессии необходимо установить форму
корреляционной зависимости.
Если при монотонном изменении Х равномерно меняется Y, то
зависимость линейная; если Y неравномерно уменьшается, то зависимость
гиперболическая и так далее.
Параметры теоретических линий регрессии
y (x) =ƒ(х) получаются
методом наименьших квадратов.
Приведем формулы для вычисления параметров теоретических уравнений
регрессий.
1. линейная зависимость
y (x) =ax+b
Параметры a, b удовлетворяют системе уравнений
y  aх  b;
yx  a x2  b x.
При задании статистического материала в форме:
перечневой таблицы
1
1 n
х    xi , y  
n
n i 1
1 n 2
y i , х    xi ,

n i 1
i 1
n
2
корреляционной таблицы
x
1
N
n
 xi  m xi
i 1
,
y
1 n
1 n
xi  mxi , x 2   xi2  mx

N i 1
N i 1
18
i
хy 
1 n
  xi y i ;
n i 1
1
1 n
2
xy   xi  y xi mxi , y 
N
N i 1
t
y
j 1
2
j
 my j
2. параболическая зависимость
y ( x)  ax 2  bx  c .
Параметры а, b, с определяются системой уравнений
y  a x2  b x  c ;
yx  a х 3  b x 2  c х ;
yx 2  a х 4  b x 3  c х 2 .
Для данных в виде:
перечневой таблицы
1 n k
х    xi (k  1,4),
n i 1
y
1 n
  yi ,
n i 1
1 n
  yi  xi ,
n i 1
yx 2 
1 n
  yi  xi2 ;
n i 1
k
yx 
корреляционной таблицы
1 n k
x   xi  mxi
N i 1
k
1 n
y   y xi  mxi ,
N i 1
(k= 1,4 ),
1 n
yx    y xi  xi  mxi ,
N i 1
yx 2 
1 n
  y xi  xi2  mxi .
N i 1
3. гиперболическая зависимость
y ( x)  a 
1
b
x
Параметры а, b удовлетворяют системе уравнений
1
y  a     b,
 x
 y
 1  1
   a   2   b .
x
 x   x
19
Для данных в виде:
перечневой таблицы
1 1 n 1
   ,
 x  n i 1 xi
1 n
y   yi ,
n i 1
1 1 n 1
 2  2 ,
 x  n i 1 x
 y  1 n yi
   ;
 x  n i1 xi
корреляционной таблицы
1 1
 
 x N
n
1
 mx i ,

i 1 xi
1 n
1 t
y   y xi  mxi   y j my j ,
N i 1
N j 1
1 1 n 1
 2    2  mxi ,
 x  N i 1 x
 y  1 n y xi
 mxi .
  
x
N
x
 
i 1
i
Параметр а для линейной зависимости определяется следующим
уравнением:
a
Параметр а
обозначается
xy  x  y
x 2  x 
2
.
называется коэффициентом регрессии Y на Х и
 y / x . Он показывает, на сколько единиц в среднем изменяется Y
при возрастании Х на одну единицу. Если а>0, то связь прямая, если а<0 –
связь обратная.
Уравнение регрессии иногда удобнее записать в ином виде:
y ( x)  y  a( x  x)
или
y ( x)  y   y ( x  x) .
x
Корреляционный анализ
Основу решения задач корреляционного анализа составляет правило
сложения
дисперсий
2
 у2   вн2 .гр.   меж
.гр. . Здесь общая дисперсия
20


2
1 t
   y j  y my j
N j 1
2
у
относительно общей
Внутригрупповая
 i2 
1
m xi
 y
n
i 1

2
i
 y xi mij j ,
характеризует колеблемость признака
средней
y

дисперсия
характеризует
2
Межгрупповая дисперсия  м ежгр 
под
2
в н. гр.
действием всех факторов.
1

N
n

i 1
колеблемость
1
N
 y
n
i 1
Y
xi
y
колеблемость групповых (условных) средних
m
2
i
 m xi ,
Y
внутри
2
y xi
где
групп.
характеризует
xi j
относительно общей
средней y .
Универсальной мерой
тесноты
связи
является
корреляционное
2
2
отношение  . При парной корреляции    межгр  у . Корреляционное
отношение 
принимает значения от 0 до 1. Если  межгр  0 , то есть
2
общая дисперсия возникает за счет внутригрупповой дисперсии (за счет
случайных факторов), то η = 0. Если
2
 межгр
  у2 ,
то есть
 вн2 .гр  0
(полностью отсутствует влияние случайных факторов), то
η =1. Промежуточные
значения
η
характеризуют степень
влияния
существенного фактора Х на результативный признак Y. Таким образом,
при η → 1 говорят о тесной связи, а при η → 0 - о слабой связи между
признаками.
Для линейной зависимости y (x) =ax+b существует дополнительный
показатель тесноты связи - линейный коэффициент корреляции
rxy   xy  x   y ,
где
21
1 n
 xy  
N i 1
 x
t
j 1
i


 x y j  y mij
называется корреляционным моментом или ковариацией случайных
величин Х и Y. Если μху ≠ 0, то признаки Х и Y связаны линейной
корреляционной зависимостью.
Удобная для расчетов формула для rху.
rxy 
xy  x  y
 x  y
Коэффициент корреляции rху меняется от -1 до +1.
Если r = 1, то имеем возрастающую линейную функциональную
зависимость. Если r = -1, то - убывающую линейную функциональную
зависимость. Если r = 0, то линейная связь отсутствует (однако признаки
могут быть связаны нелинейной корреляционной зависимостью). Близкое
совпадение значений
|r| = η свидетельствует о
линейной
связи
между
признаками.
Если
корреляционная таблица
совокупности,
то
есть
параметры тесноты
генеральным
в ней
относится
охвачены
все
к
значения
генеральной
Х и Y,
то
связи, вычисленные по этой таблице, называются
корреляционным
отношением
ηген
и
генеральным
коэффициентом корреляции rген.
Если корреляционная таблица относится к выборочной совокупности,
то
параметры
Величины ηвыб, rвыб
тесноты
связи ηвыб, rвыб ,
называются выборочными.
случайны , могут меняться при повторении опытов и в
зависимости от количества проведенных наблюдений.
Если связь между X и Y линейная, то вычисляем выборочный
коэффициент корреляции rвыб, если связь нелинейная- то выборочное
корреляционное отношение ηвыб. Неравенство нулю коэффициентов ηвыб≠0;
rвыб≠0 указывает на наличие корреляционной связи между X и Y.
Возникают две задачи:
22
1. есть ли корреляционная зависимость в генеральной совокупности;
2. если связь имеется, то найти доверительный интервал, в котором
находится параметр тесноты связи в генеральной совокупности.
Обозначим параметр тесноты связи в генеральной совокупности (ηген
или
rген ) через
θген,
а
соответствующие
параметры
в выборочной
совокупности (ηвыб или rвыб) через θвыб .
Первая задача заключается в проверке гипотезы Н0: θген = 0 при
конкурирующей гипотезе Н1: θген ≠ 0 для заданного уровня значимости α.
В качестве критерия выбирается случайная величина
Т набл 
 выб N  2
2
1   выб
,
имеющая распределение Стьюдента с k = N – 2 степенями свободы и
уровнем
значимости α. Если |Тнабл|
> Ткр.дв. (α, k),
то
Н0 отвергается.
Следовательно, в генеральной совокупности существует корреляционная
связь между Х и Y.
Вторая задача – нахождение доверительного интервала для параметра
тесноты связи θген в генеральной совокупности
θвыб – Δ θ ≤ θген ≤
θвыб + Δ θ .
Этот интервал определяется с надежностью γ= 1-α. Для генеральных
совокупностей, распределенных нормально, и для больших объемов (N >
50)
Δ θ =t
2
1   выб
N
,
где t определяется из равенства γ= Ф (t) = 1- α и таблицы значений Ф (t) .
Контрольные вопросы к теме 4:
1. Дайте определение видам взаимосвязи, встречающимся в математической
статистике. В чем их различие?
2. Опишите формы корреляционных таблиц.
23
3. Сформулируйте основные задачи, решаемые методом корреляционного
анализа.
4. Что является эмпирической линией регрессии?
5. Что такое уравнение регрессии?
6. Какими параметрами характеризуется теснота связи при парной
корреляции?
7. Как проводится оценка значимости коэффициента корреляции в
генеральной совокупности?
8. Как определяются доверительные границы для rген?
Тема 5.Временные ряды.
Лекция №7 (2 часа)
Аннотация: Данная тема рассматривает виды временных рядов.
Ключевые слова: прогноз, время упреждения, временной ряд, тренд,
сглаживание.
Методические указания по изучению темы.
Вначале необходимо изучить лекционный материал с определениями
основных понятий. После этого следует ответить на контрольные
вопросы. При решении задач по данной теме необходимо опираться на
изученный лекционный материал.
Источники информации:
1. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов: учеб.
пособие.- СПб.: Питер, 2004.
2. Практикум по эконометрике: учеб. пособие/ И.И.Елисеева, С.В.
Курышева, Н.М. Гордеенко и др.; под. ред. И.И.Елисеевой. – М.:
Финансы и статистика, 2003 – 192 с.
Глоссарий
Временным рядом или динамическим рядом называют ряд
наблюдений за значениями определенного показателя, упорядоченный в
24
зависимости от возрастающих или убывающих значений другого
показателя.
Временем упреждения при прогнозировании называют отрезок времени
от момента, для которого имеются последние данные об изучаемом
объекте до момента, к которому относится прогноз.
Метод сглаживания по простой скользящей средней основан на
переходе от начальных значений членов ряда к их средним значениям на
интервале времени, длина которого определена заранее.
Прогноз - это научно обоснованное описание возможных состояний
систем в будущем и сроков достижения этого состояния.
Трендом- это изменение, определяющее общее направление развития или
основную тенденцию временного ряда.
Вопросы для изучения:
1. Классификация экономических прогнозов.
2. Виды временных рядов.
3. Сглаживание временных рядов.
4. Применение моделей кривых роста в экономическом прогнозировании.
1. Классификация экономических прогнозов.
Под прогнозом понимается научно обоснованное описание возможных
состояний систем в будущем и сроков достижения этого состояния, а процесс
разработки прогнозов называют прогнозированием.
Временем упреждения при прогнозировании называют отрезок времени
от момента, для которого имеются последние данные об изучаемом объекте
до момента, к которому относится прогноз.
По длительности времени упреждения различают следующие виды
прогнозов:

оперативные с периодом упреждения до одного месяца;

краткосрочные до одного года;
25

среднесрочные от 1 года до пяти лет;

долгосрочные с периодом упреждения более пяти лет.
Прогнозирование экономических процессов состоит из следующих
этапов:
1)
постановка
задачи
и
сбор
необходимой
информации
для
прогнозирования;
2) первичная обработка исходной информации;
3)определение возможных моделей прогнозирования;
4)оценка параметров рассматриваемых моделей;
5) проверка адекватности выбранных моделей;
6) расчет характеристик моделей.
2. Виды временных рядов.
Происходящие в экономических системах процессы в основном
проявляются как ряд, расположенных в хронологическом порядке значений
определенного показателя, который в своих изменениях отражает развитие
изучаемого явления.
Ряд
наблюдений
за
значениями
определенного
показателя,
упорядоченный в зависимости от возрастающих или убывающих значений
другого показателя, называют динамическим рядом, временным рядом,
рядом динамики. Отдельные наблюдения временного ряда называются
уровнями этого ряда.
Временные ряды бывают моментные, интервальные и производные.
Моментные ряды характеризуют значения показателя на определенные
моменты времени.
Интервальные
ряды
характеризуют
значения
показателя
за
определенные интервалы времени.
Производные ряды получаются из средних или относительных величин
показателя.
26
Уровни ряда могут иметь детерминированные или случайные значения.
Ряд последовательных данных о количестве дней в месяце, квартале, году
являются примерами рядов с детерминированными значения.
Если во временном ряду проявляется длительная тенденция изменения
экономических показателей, то говорят, что имеет место тренд.
Пусть дан временной ряд: y1, у2, … , уz, … , уn.
Значения
уровней
временных
рядов
экономических
показателей
складываются из следующих составляющих: тренда, сезонной, циклической
и случайной.
Под трендом понимают изменение, определяющее общее направление
развития или основную тенденцию временного ряда. Тренд относится к
систематической составляющей долговременного действия.
Если период колебаний не превышает 1 года, то их называют сезонными,
более 1 года – циклическими составляющими. Чаще всего причиной
сезонных
колебаний
являются
природные,
климатические
условия,
циклических – демографические циклы.
Тренд, сезонная и циклическая составляющая называются регулярными,
или систематическими компонентами временного ряда. Если из временного
ряда удалить регулярную компоненту, то останется случайная компонента.
Если временной ряд представлен в виде суммы составляющих компонент,
то модель называется аддитивной, если в виде произведения, то
мультипликативной или смешанного типа.
yt=ut+st+vt+et- аддитивная форма
yt=utstvtet - мультипликативная форма
yt=utstut+et - смешанная форма,
где yt - уровни временного ряда
ut - временной тренд
st - сезонная компонента
vt - циклическая составляющая
et - случайная компонента.
27
3. Сглаживание временных рядов.
Рассмотрим метод сглаживания по простой скользящей средней.
Этот метод основан на переходе от начальных значений членов ряда к их
средним значениям на интервале времени, длина которого определена
заранее.
Получаемый ряд скользящих средних ведет себя более гладко, чем
исходный ряд, из-за усреднения отклонений ряда. Для усреднения могут
быть использованы средняя арифметическая (простая и с некоторыми
весами), медиана и др.
4.
Применение
моделей
кривых
роста
в
экономическом
прогнозировании.
Под кривой роста понимается некоторая функция, аппроксимирующая
заданный динамический ряд.
Разработка
прогноза
с
использованием
кривых
роста
включает
следующие этапы:
1. выбор одной или нескольких кривых, форма которых соответствует
динамике временного ряда;
2. оценка параметров выбранных кривых;
3. проверка адекватности выбранных кривых прогнозируемому процессу
и окончательный выбор кривой;
4. расчет точечного и интервального прогнозов.
Среди кривых роста следует выделить класс полиномов.
Полином первой степени:
~
yt  at  b . Используется для описания
процессов, развивающихся во времени равномерно. Параметр b является
начальным уровнем ряда, при t=0, a – линейным приростом.
Полином второй степени:
~
yt  at 2  bt  c . Применяется в тех случаях,
когда процесс развивается равноускоренно. Здесь с является начальным
уровнем ряда при t=0, b-линейным приростом, а - ускорением роста.
28
Оценки
квадратов,
параметров
согласно
прямой
которому
определяются
система
методом
нормальных
наименьших
уравнений
для
определения коэффициентов прямой имеет вид:
n
n
 yti  b  n  a  t i
 i 1
i 1
n
n
n
 y t b t a t 2
 ti i 

i
i

i 1
i 1
 i 1
(1)
 y  b  at
Иначе систему (1) можно записать в виде 
 yt  bt  at 2
Систему (1) можно упростить, если перенести начало координат в
середину ряда динамики. Если до переноса начала координат t=1,2,3, …m , то
после переноса: для четного числа (m=2n) членов t   ...  5,3,1,1,3,5, …, для
нечетного числа (m=2n+1) членов t  …-3,-2,-1,0,1,2,3,… В этом случае
n
n
n
t
i 1
i
 0 , а коэффициенты прямой: b 
y
i 1
n
ti
;a 
 y t
i 1
n
 t
i 1
Аналогично
определяются
коэффициенты
ti i
2
,
(2)
i
параболы
из
системы
n
n
n

2
cn

b
t

a
t

y ti



i
i

i

1
i

1
i

1

n
n
n
 n
2
3
c
t

b
t

a
t

y ti t i
нормальных уравнений:   i  i


i
i

1
i

1
i

1
i

1

n
n
 n 2
3
4
c
t

b
t

a
t

y ti t i2
  i



i
i
i 1
i 1
i 1
 i 1
c  bt  at 2  y

Иначе систему уравнений можно записать в виде ct  bt 2  at 3  yt
 2
3
4
2
ct  bt  at  yt
29
После переноса начала координат
n
 ti  0 ,
n
t
i 1
n
имеют вид: c 
y
i 1
n
ti
n

t
i 1
n
i
;b 
y
i 1
и коэффициенты параболы
0
n
n
2
i 1
3
i
ti
 t i
n
 ti2
;a 
i 1
n
n yti  t i   t i
2
i 1
2
i 1
n
y
i 1
2
ti
 n 2
n t     t i 
i 1
 i 1 
n
.
(3)
4
Контрольные вопросы к теме 5:
1. Что называют прогнозом?
2. Что называют временем упреждения?
3. Перечислите виды прогнозов.
4. Назовите этапы прогнозирования.
5. Что называют временным рядом?
6. Перечислите виды временных рядов.
7. Из каких составляющих складываются значения уровней временных
рядов экономических показателей?
8. Что понимают под трендом?
9. В чем состоит метод сглаживания по простой скользящей средней?
10.Перечислите модели временных рядов.
11. Что называют кривой роста?
12. Перечислите этапы разработки прогноза с использованием кривых роста.
13. Как вычислить коэффициенты линейного тренда?
14. Как вычислить коэффициенты параболического тренда?
Тема 6. Системы массового обслуживания.
Лекции № 8 и 9 (4 часа)
Аннотация: В данной теме рассматриваются системы массового
обслуживания.
Ключевые слова: системы массового обслуживания (СМО),
одноканальные и многоканальные СМО, СМО с отказами, СМО с
очередью.
30
Методические указания по изучению темы.
Вначале необходимо изучить лекционный материал с определениями
основных понятий. После этого следует ответить на контрольные
вопросы. При решении задач по данной теме необходимо опираться на
изученный лекционный материал.
Источники информации:
1. Исследование операций в экономике:уч.пособие для вузов/
Н.Ш.Кремер, Б.А.Путко, И.М.Тришин, М.Н.Фридман; под ред.проф.
Н.Ш.Кремера.-М.: ЮНИТИ, 2001.-407 с.
2. Сборник задач по курсу «Экономико-математическое
моделирование». –М. ОАО Издательский дом «Городец»,2005.-320 с.
3. Теория массового обслуживания в экономической сфере:
Учеб.пособие для вузов/ Лабскер Л.Г.,Бабешко Л.О.-М.,Банки и
биржи,ЮНИТИ,1998.-319 с.
4. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании:
Учебник-М.:Дело,2003.-688 с.
5. Е.С.Вентцель, Л.А.Овчаров. Теория вероятностей.-М.,1978,368 с.
Глоссарий
Абсолютная пропускная способность СМО - среднее число заявок,
обслуживаемых в единицу времени.
Каналами обслуживания СМО называются обслуживающие единицы.
Относительная пропускная способность СМО - отношение среднего числа
обслуженных заявок за единицу времени к среднему числу всех поступивших
заявок за то же время, т.е. средняя доля обслуженных заявок среди всех
поступивших.
Предельная интенсивность потока заявок, или интенсивность нагрузки канала
определяется по формуле
  /.
СМО с отказами называются СМО, которые отказывают в выполнении заявки
при занятости всех каналов.
31
СМО с очередью называются такие СМО, в которых находящиеся заявки
могут либо ожидать обслуживания, либо находиться под обслуживанием.
Ожидающие обслуживания заявки образуют очередь.
Вопросы для изучения:
1. Основные понятия СМО
2. СМО с отказами
3. Одноканальная СМО с отказами
4. СМО с неограниченной очередью
5.Одноканальная СМО с неограниченной очередью
1.
Основные понятия СМО. Процесс работы СМО (системы массового
обслуживания) представляет собой случайный процесс с дискретными
состояниями и непрерывным временем. Это означает, что состояние СМО
меняется скачком в случайные моменты времени. Многие процессы можно
приближенно считать марковскими.
Каналами обслуживания СМО называются обслуживающие единицы,
например, такие как приборы, причалы, больницы, торговые площадки и т.д.
По числу каналов СМО делятся на одноканальные и многоканальные.
Потоком событий называется последовательность однородных событий,
следующих одно за другим в случайные моменты времени. Простейшим
(стационарным пуассоновским) потоком событий называется поток, если он
является стационарным, ординарным и без последействия).
Поступающие на вход СМО заявки образуют случайный поток заявок
(требований).
Обслуживание заявки происходит в течение промежутка времени,
длительность которого зависит от сложности заявки. Поэтому данный
промежуток времени также является случайным.
32
Находящиеся в СМО заявки могут либо ожидать обслуживания, либо
находиться под обслуживанием. Ожидающие обслуживания образуют очередь.
Такие системы массового обслуживания называются СМО с очередью.
СМО, которые отказывают в выполнении заявки при занятости всех
каналов, называются СМО с отказами.
Показатели
эффективности
СМО
описывают
ее
возможность
справляться с потоком заявок.
К числу основных показателей эффективности СМО с отказами
относятся:
1) абсолютная пропускная способность СМО (среднее число заявок,
обслуживаемых в единицу времени) ( A );
2) относительная пропускная способность СМО (отношение среднего числа
обслуженных заявок за единицу времени к среднему числу всех поступивших
заявок за то же время, т.е. средняя доля обслуженных заявок среди всех
поступивших ( Q );
3)
вероятность
отказа
(вероятность
того,
что
заявка
покинет
СМО
необслуженной)( pотк );
4) среднее число занятых каналов (k ) .
К числу показателей эффективности СМО с очередью относятся:
a) среднее время ожидания обслуживания (подобслуживания) ( t обс );
б) среднее число заявок в очереди ( Lоч ); в) среднее время пребывания заявки в
очереди ( tоч );
г) вероятность того, что хотя бы один канал занят ( p зан  1  p0 )
( p0 -вероятность простоя канала).
2. СМО с отказами . Пусть n – число каналов. СМО может находиться в
одном из состояний: S0- все n каналов свободны; S1- один канал занят
(обслуживает заявку), все остальные свободны; S2 - 2 канала заняты (каждый
обслуживает свою заявку), все остальные каналы свободны; и т.д., Sk –k каналов
33
заняты (каждый обслуживает свою заявку), остальные n-k каналов свободны; и
т.д., Sn- все n каналов заняты (каждый канал обслуживает свою заявку).
Граф состояний системы массового обслуживания с отказами
представлен на рис.1
Рис.1
Поступающая заявка последовательно переводит систему из любого
левого в соседнее правое состояние с интенсивностью  . Для состояния Sk,
когда в системе на обслуживании находится k заявок, интенсивность
обслуживания равна
  /
k , где 
– интенсивность обслуживания одной заявки.
– предельная интенсивность потока заявок, или интенсивность
нагрузки канала.
Предельные вероятности состояний системы определяются по формулам
Эрланга, выведенные исходя из графа на рис.1

2
k
n 

p0  1   
 .. 
 ... 
2!
k!
n! 

1
2
n
, p1  p0 , p2   p0 , …, p   p . (4)
n
0
2!
n!
Вероятность отказа является предельной вероятностью того, что все n
каналов СМО заняты: pотк 
n
n!
p0 .
(5)
Относительная пропускная способность Q т.е. вероятность того, что
заявка будет обслужена Pобс, определяется соотношением
Q  Pобс  1  pотк  1 
n
n!
p0 .
(6)
Абсолютная пропускная способность СМО, т.е. среднее число заявок,
обслуживаемых в единицу времени,
 n  .
A  Q   (1  pотк )   1 
p0 
n
!


34
(7)
Среднее число занятых каналов является интенсивностью потока
n
обслуженных СМО заявок в единицу времени: k  A   1   p  .
0


n!


3.Одноканальная СМО с отказами (или без очереди).
Простейшим случаем СМО с отказами является одноканальная система,
граф состояний которой представлен на рис.2. СМО может находиться в одном
из состояний S0 и S1, где S0 - канал свободен; S1- канал занят (обслуживает
заявку).
Рис.2
Предельные вероятности могут быть определены из (4):
p0  1   
1
1
 ,
 
 .
 
 1   
p1    p0  


  
 
pотк  p1 
 .

Относительная пропускная способность
Q  1  pотк  1 





.
Абсолютная пропускная способность СМО, т.е. среднее число заявок,
обслуживаемых в единицу времени, определяется следующим образом:
A  Q 

.

Среднее число занятых каналов, являющееся интенсивностью потока
обслуженных СМО заявок в единицу времени : k 
 .

Среднее время обслуживания одной заявки обратно пропорционально
интенсивности обслуживания: tабс  1 .

4. СМО с неограниченной очередью.
35
Имеется n– канальная СМО с неограниченной очередью. Поток заявок,
поступающих в СМО, имеет интенсивность
интенсивность
 , а поток обслуживания
 . Необходимо определить предельные вероятности и
показатели ее эффективности. Граф приведен на рис.3.
Рис.3
Система может находиться в одном из состояний: S0- все n каналов
свободны, очереди нет; S1- один канал занят (обслуживает заявку), все
остальные свободны, очереди нет; Sk– k каналов заняты (каждый обслуживает
заявку), остальные n-k каналов свободны, очереди нет; и т.д. Sn- все n каналов
заняты (каждый канал обслуживает заявку), очереди нет; Sn+1- все n каналов
заняты (каждый канал обслуживает заявку), в очереди одна заявка; Sn+2- все n
каналов заняты (каждый канал обслуживает заявку), 2 заявки стоят в очереди и
т.д..… Sn+r – все n каналов заняты (каждый канал обслуживает заявку), r заявок
стоят в очереди и т.д. Если  / n  1, то очередь растет до бесконечности. При
 / n  1 предельные вероятности существуют и определяются на основе
графа из рис.3 по формулам:
1

2
n
n  ,

p0  1   
 .. 

2
!
n
!
n
!
(
n


)


p1  p0 , p2 
pn 1 
 n 1
n  n!
p0 ,
2
2!
p0 , …, pn 
pn  2 
 n2
n 2  n!
n
n!
p0 ,
p0 , …, pn  r 
(9)
 nr
n r  n!
p0 ,…. (10)
 n 1
Вероятность того, что заявка окажется в очереди, равна Pоч 
p0 ,
n!(n   )
36
Среднее число занятых каналов k 

 ,

Среднее число заявок в очереди L 
оч
 n 1 p0
,
2
n  n!(1   / n)
Среднее число заявок в системе Lсист  Lоч  
Среднее время пребывания заявки в очереди и среднее время пребывания
заявки в системе, как и ранее, находятся по формулам Литтла
tсист 
1

Lсист , tоч 
1

Lоч .
5. Одноканальная СМО с неограниченной очередью
Имеется одноканальная СМО с неограниченной очередью. Поток заявок,
поступающих в СМО, имеет интенсивность  , а поток обслуживания –
интенсивность  . Необходимо определить предельные вероятности и
показатели ее эффективности.
Система может находиться в одном из состояний: S0- канал свободен; S1канал занят (обслуживает заявку), очереди нет; S2- канал занят (обслуживает
заявку), 1 заявка стоит в очереди и т.д..… Sk– канал занят, ( k  1) – заявок стоят
в очереди и т.д.
Граф состояний СМО представлен на рис.4
Рис.4
Это процесс с бесконечным числом состояний, в котором
интенсивность
потока заявок, а
–
–
интенсивность потока обслуживания.
Предельные вероятности равны
p0  1   , p1   (1  p ) , p2   2 (1  p) ,…, pk   k (1  p) ,…
Среднее число заявок в системе Lсист   /(1   ) .
Среднее число заявок под обслуживанием равно вероятности того, что канал
занят
Lоб  p зан   .
37
Среднее число заявок в очереди Lоч   2 /(1   ) .
Среднее время пребывания заявки в системе tсист 
Среднее время пребывания заявки в очереди tоч 

 (1   )
2
 (1   )

1


1

Lсист .
Lоч .
Контрольные вопросы к теме 6:
1. Что называется каналами обслуживания СМО?
2. Что называется СМО с отказами?
3. Что относится к числу основных показателей эффективности СМО с
отказами?
4. Что относится к числу основных показателей эффективности СМО с
очередью?
5. Что называется предельной интенсивностью потока заявок?
6. Записать формулы Эрланга для предельных вероятностей состояний
многоканальной системы с отказами.
7. Записать формулы для определения основных показателей эффективности
одноканальной СМО с отказами.
8. Записать формулы для определения основных показателей эффективности
многоканальной СМО с неограниченной очередью.
9. Записать формулы для определения основных показателей эффективности
одноканальной СМО с неограниченной очередью.
Информационные источники
Основная литература:
1. Математика для экономических специальностей вузов. Ч.2 / Под ред.
Р.Ш. Марданова.- Казань: Изд-во КГФЭИ, 2001.
2. Сборник задач по математике для экономистов: учебное пособие для
экономических специальностей вузов./ Р. Ш. Марданов, А. Ю.
38
Хасанова, Р. А. Султанов, А. Г. Фатыхов; под научной редакцией
проф. Р. Ш. Марданова.- Казань: Казан. Гос. Ун.-т, 2009. - 576 с.
3. Исследование операций в экономике: уч.пособие для вузов/
Н.Ш.Кремер, Б.А.Путко, И.М.Тришин, М.Н.Фридман; под ред.проф.
Н.Ш.Кремера.-М.: ЮНИТИ, 2001.-407 с.
4. Сборник задач по курсу «Экономико-математическое моделирование».
–М. ОАО Издательский дом «Городец»,2005.-320 с.
5. Теория массового обслуживания в экономической сфере:
Учеб.пособие для вузов/ Лабскер Л.Г.,Бабешко Л.О.-М.,Банки и
биржи,ЮНИТИ,1998.-319 с.
6. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании:
Учебник-М.:Дело,2003.-688 с.
7. Е.С.Вентцель, Л.А.Овчаров. Теория вероятностей.-М.,1978,368 с.
8. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов: учеб.
пособие.- СПб.: Питер, 2004.
9. Практикум по эконометрике: учеб. пособие/ И.И.Елисеева, С.В.
Курышева, Н.М. Гордеенко и др.; под. ред. И.И.Елисеевой. – М.:
Финансы и статистика, 2003 – 192 с.
10. Теория вероятностей и математическая статистика, Билялов, Ранат
Фаизович; Аминов, Линар Кашифович, 2004г.
11. Теория вероятностей и математическая статистика, Гмурман,
Владимир Ефимович, 2004г.
Дополнительная литература:
1. Теория вероятностей: Учебное пособие / И.А. Палий. - М.: ИНФРА-М,
2011. - 236 с.
http://znanium.com/catalog.php?bookinfo=225156
2. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие /
С.В. Павлов. - М.: ИЦ РИОР: ИНФРА-М, 2010. - 186 с.:
http://znanium.com/catalog.php?bookinfo=217167
3.Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник / Е.С.
39
Кочетков, С.О. Смерчинская, В.В. Соколов. - 2-e изд., испр. и перераб. - М.:
Форум:
НИЦ
ИНФРА-М,
2014.
240
с.
http://znanium.com/catalog.php?bookinfo=447828
Интернет-ресурсы:
1. Электронный образовательный ресурс по дисциплине "Теория
вероятностей
и
математическая
статистика"
http://bars.kfuelearning.ru/course/view.php?id=729
2. Электронная библиотечная система - www.znanium.com
3."МАТЕМАТИКА".
Интерактивный
обучающий
курс
http://math.immf.ru/lections/206.html
4. Информационный портал "Большая библиотека" - http://www.eng.ru/ekonomika_i_ekonomicheskaya_teoriya/analiz_vremennyx_ryadov.html
5."ТеорВер-Онлайн".
Интернет-учебник.
http://teorveronline.narod.ru/teorver9.html
Глоссарий
Абсолютная пропускная способность СМО - среднее число заявок,
обслуживаемых в единицу времени.
Внутригрупповая дисперсия  в2н.гр. 
1
N
n
  i2  m x , где  i2 
i
i 1
1
m xi
 y
n
i 1

2
i
 y xi mij j
характеризует колеблемость Y внутри групп.
Временным рядом или динамическим рядом называют ряд наблюдений за
значениями определенного показателя, упорядоченный в зависимости от
возрастающих или убывающих значений другого показателя.
Временем упреждения при прогнозировании называют отрезок времени от
момента, для которого имеются последние данные об изучаемом объекте до
момента, к которому относится прогноз.
Дисперсией случайного процесса X (t ) называется неслучайная функция
Dx (t ) , которая при любом значении
t
сечения случайного процесса.
40
равна дисперсии соответствующего
Каналами обслуживания СМО называются обслуживающие единицы.
Ковариацией или корреляционным моментом называется
1,1 и
обозначается cov(X,Y) или cov( X , Y )   ( xi  M ( X ))( y j  M (Y ))  pij .
i, j
Корреляционным моментом или ковариацией случайных величин Х и Y
называется линейный коэффициент корреляции
rxy   xy  x   y ,
где
 xy
 x
1 n
 
N i 1
t
j 1
i


 x y j  y mij
2
2
Корреляционное отношение  при парной корреляции    межгр  у .
Корреляционной функцией случайного процесса X (t ) называется
неслучайная функция
паре значений
K x (t , t ) двух аргументов t
и
t  , которая при каждой
t и t  равна ковариации соответствующих сечений случайного
процесса.
Коэффициент корреляции вычисляется по удобной формуле: rxy 
Коэффициентом корреляции называется отношение: rXY 
xy  x  y
.
 x  y
cov( X , Y )
.
 x  y
Коэффициентом регрессии Y на Х называется параметр а , где a 
и обозначается
xy  x  y
x 2  x 
2
 y / x . Он показывает, на сколько единиц в среднем изменяется
Y при возрастании Х на одну единицу. Если а>0, то связь прямая, если а<0 –
связь обратная.
Критерий согласия Колмогорова: находят эмпирические и теоретические
значения накопленных частот Fэ, Ft. Затем определяют
наб 
max Fэ  Ft
n
41
Критерий согласия Пирсона: статистикой критерия служит величина
2
 наб

l (m  m ) 2
эi
ti

i 1
mti
Матрицей называется прямоугольная таблица чисел из n строк и m столбцов.
Марковским процессом называется случайный процесс
X (t ) ,
если для
любых двух моментов времени t 0 и t1 , t0  t1 , условное распределение
X (t1 )
при условии, что заданы все значения X (t ) при t  t0 , зависит только от
X (t0 ) , и не зависит от того, когда и каким образом система пришла в это
состояние (т. е. как развивался процесс в прошлом) .
Математическим ожиданием случайного процесса называется неслучайная
функция mx (t ) , которая при любом значении
t
равна математическому
ожиданию соответствующего сечения случайного процесса.
2
Межгрупповая дисперсия  м ежгр 
1
N
 y
n
i 1
xi
y
колеблемость групповых (условных) средних
m
2
y xi
xi j
характеризует
относительно общей
средней y .
Метод сглаживания по простой скользящей средней основан на переходе от
начальных значений членов ряда к их средним значениям на интервале
времени, длина которого определена заранее.
Начальным моментом порядка k+s называется математическое ожидание от
k s
произведения xkys :  k , s  M ( X Y ) .
Независимыми называются случайные величины X и Y, образующие систему,
если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое значение
приняла другая.
42


2
1 t


y

y
my j
 j
Общая дисперсия
N j 1
2
у
характеризует колеблемость
признака Y относительно общей средней y под действием всех факторов.
Однородной называется цепь Маркова, если вероятности перехода не зависят
от номера шага.
Относительная пропускная способность СМО - отношение среднего числа
обслуженных заявок за единицу времени к среднему числу всех поступивших
заявок за то же время, т.е. средняя доля обслуженных заявок среди всех
поступивших.
Предельная интенсивность потока заявок, или интенсивность нагрузки канала
определяется по формуле
  /.
Прогноз - это научно обоснованное описание возможных состояний систем в
будущем и сроков достижения этого состояния.
Равенство Маркова
p(k )  p(k 1) P(k )
Реализацией случайного процесса X (t ) называют конкретный вид случайного
процесса, который наблюдался на каком-то отрезке времени от 0 до

в
результате одного опыта.
Сечением случайного процесса называют случайную величину,
соответствующую фиксированному значению в момент времени t  t0 .
Случайный процесс (СП) – процесс изменения во времени состояния
какой - либо системы в соответствии с вероятностными закономерностями.
СМО с отказами называются СМО, которые отказывают в выполнении заявки
при занятости всех каналов.
СМО с очередью называются такие СМО, в которых находящиеся заявки
могут либо ожидать обслуживания, либо находиться под обслуживанием.
Ожидающие обслуживания заявки образуют очередь.
43
Стационарным режимом называется режим, при котором система S
продолжает блуждать по состояниям
зависят от номера шага, т.е.
Si , но вероятности этих состояний не
pi ( k )  pi .
Тренд -это изменение, определяющее общее направление развития или
основную тенденцию временного ряда.
Центральным моментом порядка k+s называется математическое ожидание
от произведения отклонений: k ,s  M (( X  M ( X )) k (Y  M (Y )) s )
Цепью Маркова называется цепь, которая обладает марковским свойством:
если в цепи для любого шага k  k 0 условная вероятность состояния системы
на будущем шаге зависит только от состояния системы на настоящем шаге
k  k0 .
Вопросы к зачету
1. Матрица распределения двумерной случайной величины.
2. Математический смысл элементов матрицы распределения.
3. Начальные и центральные моменты первого и второго порядков двумерной
дискретной случайной величины.
4. Условный закон распределения X для двумерной случайной величины
(X, Y).
5. Коэффициент ковариации.
6. Коэффициент корреляции.
7. Случайный процесс.
8. Дискретный и непрерывный случайные процессы.
9. Марковский процесс.
10. Связь между понятиями: случайное событие, случайная величина и
случайный процесс.
11. Марковский процесс.
12. Граф состояний.
13. Марковская цепь.
44
14. Вероятности состояний.
15. Начальное распределение вероятностей.
16. Переходная вероятность.
17. Однородная марковская цепь.
18. Матрица перехода.
19. Равенство Маркова.
20.Критерий согласия 𝜒2Пирсона.
21.Критерий согласия Колмогорова.
22.Виды взаимосвязей, встречающихся в математической статистике.
23.Основные задачи метода корреляционного анализа.
24.Эмпирическая линия регрессии.
25.Уравнение регрессии.
26.Параметрытесноты связи при парной корреляции.
27.Оценка значимости коэффициента корреляции в генеральной
совокупности.
28.Доверительные границы для rген .
29.Свойства выборочного коэффициента корреляции.
30.Виды временных рядов.
31.Требования, предъявляемые к исходной информации по временным рядам.
32.Компоненты временных рядов.
33.Сглаживание временных рядов.
34.Основные элементы систем массового обслуживания
35.Эффективность использования ресурсов в СМО.
45