Тема: Основы математической логики

I.
1.
2.
Карта занятия №5.
Тема: Основы математической логики
Математическая логика – наука о методах рассуждений, при которых мы отвлекаемся от
содержания рассуждений, а используем только форму и значение.
Понятие. Примеры:
Высказывания, простое и составное. Примеры:
Задание 1. Какие предложения являются высказываниями?
a) Москва – столица нашей Родины.
b) 5-9+8
c) 5-9+8=4
d) Музыка Баха слишком сложна.
e) Земля – спутник Солнца.
3. Логические переменные: 0,1– ЛОЖЬ, ИСТИНА.
4. Логические функции (N переменных – 2N –различных наборов переменных). Значения –: 0,1–
ЛОЖЬ, ИСТИНА.
Логические функции
Инверсия
Конъюнкция
Дизъюнкция
Импликация
Эквивалентность
Логическое
отрицание
умножение
сложение
следование
равенство
В русском языке
частица «не»
союз «и»
союз «или»
оборот речи
оборот речи
«если…,то…»
«…т.т.т,...»
Обозначение
А и В; А  В;
А или В; А  В;
А  В;
АВ
А  В; А  В;
Не А;  А; А ;
А
&
В,
А
and
В
А
+
В;
А
or
В
NOT A
АВ
Значение выражения
Истина, когда
Ложь, когда хотя
Истина, когда
Ложно, когда из
Истина, когда оба
высказывание
бы одно
хотя бы одно
истинного следует
высказывания
ложно,
высказывание
высказывание
ложное
имеют одно
и наоборот
ложно
истинно
значение
Задание 2. Построить таблицы истинности основных логических функций.
Задание 3. Определить значения, которые принимают следующие логические функции при заданных
значениях переменных:
a→ b = ?, при a= 0, b=1
a│ b = ? (штрих Шеффера – антиконъюнкция), при a= 1, b=0
Задание 4. Докажите тождественную истинность формулы X→ (X→Y )
Задание 5. Постройте таблицу истинности для следующей функции: a*b + a*b
Основные законы логических операций
свойство
для логических операций
аналогия для операций с числами
коммутативность
a+b=b+a
XY=YX
(переместительный закон)
ab = ba
XY=YX
ассоциативность (сочетательный
(a + b) + c = a + (b + c)
(X  Y)  Z= X  (Y  Z)
закон)
(ab)c = a(bc)
(X  Y)  Z= X  (Y  Z)
дистрибутивность
a(b + c) = ab + ac
X  (Y Z) =(XY)  (XZ)
(распределительный закон)
закон двойного отрицания
-(-a) = a
Х=Х
закон исключения третьего
Х  Х = 1
законы де Моргана (общая
 (X  Y) = Х  Y
инверсия )
 (X  Y) = Х   Y
Закон непротиворечия
Х  Х = 0
Правила исключения констант:
1) Для логического
сложения,
Х  1 = 1, Х  0 = X
2) Для логического
умножения.
Х 1 = Х, Х  0 = 0
Раскрытие импликации
X→Y= XY
Раскрытие эквивалентности
X↔Y=(XY)(XY)
Задание 6. Для каждого из следующих высказываний 1) найдите символическую форму2) постройте
таблицу истинности. Воспользуйтесь буквенными обозначениями: X – « Джо умён»,Y– «Джим глуп», Z –
«Джо получит приз.
a) Если Джо умен, а Джим глуп, то Джо получит приз.
b) Джо получит приз в том и только том случае, если он умён или Джим глуп.
c) Если Джим глуп, а Джо не удастся получить приз, то Джо не умён.
Задание 7. Брауну, Джонсу и Смиту предъявлено обвинение в соучастии в ограблении банка. В ходе
следствия Браун сказал, что преступники были на синем «Бьюике». Джонс сказал, что это был черный
«Крайслер». Смит утверждал, что это был «Форд», но не синий. Они договорились запутать следствие и
поэтому указывали неправильно либо марку автомобиля, либо цвет. Определите цвет и марку автомобиля.
II.
Логические основы компьютера (три базовых логических элементов называют вентилями)
дизъюнктор
конъюнктор
инвертор
штрих
стрелка Пирса
Шеффера
XY
XY
X
 (X  Y)
 (X  Y)
Задание 9. Построить логическую схему соответствующую логическому выражению AvBA.
Задание 10. По логической схеме получить логическое выражение