Лекция № 7. Принципы линейной обработки дискретных сигналов. Линейная обработка дискретных сигналов (цифровая обработка, цифровая фильтрация) – произвольная линейная операция над входными дискретными данными. Дискретный фильтр (цифровой фильтр) – дискретная система (физическое устройство или компьютерная программа) преобразующая последовательность дискретных отсчетов x(n) входного сигнала в последовательность отсчетов y(n) выходного сигнала, обладающая свойствами линейности и стационарности: y(n) F x(n) , (7.1) где F – линейный стационарный оператор преобразования. Линейность означает, что выходная реакция системы на сумму сигналов равна сумме реакций на эти сигналы, поданные на вход по отдельности. То есть в линейной системе входной последовательности 1 x1 (n) 2 x2 (n) на выходе соответствует последовательность 1 y1 (n) 2 y2 (n) при любых коэффициентах i . Стационарность системы означает, что задержка входного сигнала приводит к такой же задержке выходного сигнала, не меняя его формы. Преобразование сигналов дискретными (цифровыми) фильтрами описывается разностным уравнением. Дифференциальное уравнение, описывающее линейную систему, преобразуется в форму разностного уравнения, если отсчеты функции происходят в равноотстоящие моменты времени: 0, T , 2T ,..., nT ,... Для аналоговой системы линейное дифференциальное уравнение в операторном виде записывается так: A( p) y (t ) B( p) x(t ), где A( p) a0 a1 p a2 p 2 ... am p m ; B( p) b0 b1 p b2 p 2 ... bl p l ; (7.2) (7.3) (7.4) ai , b j коэффициенты дифференциального уравнения; m порядок уравнения (порядок наивысшей производной в от выходного сигнала); l порядок наивысшей производной от входного сигнала; m l. При переходе от аналоговой формы к дискретной порядок уравнений m и l сохраняется, но значения коэффициентов ai , b j меняются. Введя обозначения: y (n) y (nT ); x(n) x(nT ) , и q r y(n) y(n r ) , получим: a0 a1q 1 a2 q 2 ... am q m y (n) b0 b1q 1 b2 q 2 ... bl q l x (n) . (7.5) 1 Разностное уравнение (7.5) в общем виде записывается следующим образом: m l i 0 j 0 ai y(n i) bj x(n j), или (7.6) y(n) ai y(n i) b j x(n j ). (7.7) m l i 1 j 0 Таким образом, дискретный фильтр представляет собой линейную комбинацию равноотстоящих отсчетов x ( n j ) некоторой функции x(t ) , а также вычисленных значений на выходе фильтра y (n i ) . Если в формуле (7.7) все коэффициенты ai 0 , фильтр называют нерекурсивным (трансверсальным). Он работает по алгоритму: y(n) b0 x(n) b1 x(n 1) b2 x(n 2) ... bl x(n l ). (7.8) Если хотя бы один из коэффициентов ai 0 , то фильтр называют рекурсивным (фильтром с обратной связью). В нем для формирования n го значения выходного сигнала используют предыдущие значения как входного, так и выходного сигналов. Основные структурные элементы дискретных (цифровых) фильтров. В дискретных фильтрах в соответствии с (7.7) используют три операции: задержку на интервал отсчета, сложение и умножение. Соответственно основными элементами дискретных фильтров как физических устройств являются: элемент единичной задержки (на интервал дискретизации сигнала); сумматор; умножитель. Условные обозначения этих элементов и выполняемые ими операции представлены в таблице 7.1. Элемент Символическое обозначение Выполняемая операция Элемент единичной задержки Сумматор x ( n) Z 1 y ( n) y (n) x(n 1) + y ( n) y (n) xi (n) x1 (n) x2 (n) i 1 ... xk (n) Умножитель m x ( n) k y ( n) y ( n) m x ( n) 2 Дискретный сигнал в процессе его цифровой обработки может быть разложен (представлен) только по системам дискретных базисных функций, у которых отсчеты по времени совпадают с отсчетами сигнала. Рассмотрим несколько наиболее важных систем дискретных базисных функций. 1. Цифровой единичный импульс, или единичный отсчет: 1, n k u0 (n k ) 0, n k (7.9) u0 (n k ) 1,0 n k На рисунке показан единичный импульс, задержанный на k отсчетов. Этот импульс в дискретных системах играет такую же роль, как дельта-функция Дирака (t ) в аналоговых системах. Однако единичный импульс – это реализуемый сигнал, а второй – обобщенная функция. Единичный импульс без задержки записывается в виде: 1, n 0 u0 (n) 0, n 0 (7.10) 2. Цифровой единичный скачок, или ступенчатая функция: 1, n 0 u1 (n) 0, n 0 (7.11) u1 (n) 1,0 n 0 3. Экспоненциальная дискретная функция (убывающая экспонента): a n , n 0 e(n) 0, n 0 e( n ) 1,0 (7.12) a 1 n 4. Косинусоидная дискретная функция: 3 C (n) cos(2 n ) n0 (7.13) C ( n) 1, 0 n 1, 0 На рисунке C (n) cos 0 n, 0 2 8. 5. Комплексная дискретная экспонента: e jn cos(n) j sin(n). (7.14) При изменении n модуль функции e j n остается равным единице, а фаза n нарастает по линейному закону. Это значит, что вектор, изображающий данный сигнал в комплексной плоскости, равномерно вращается против часовой стрелки, описывая окружность радиуса 1. Определим некоторые, важные для дальнейшего, виды последовательностей дискретных отсчетов. Последовательность y (n) x(n k ) называется сдвинутой и получается из последовательности x(n) при ее сдвиге по оси n вправо, если k 0 , и влево, если k 0. Периодической является последовательность x(n) , удовлетворяющая условию x(n) x(n mN ) , где m, N целые числа, m 1, 2,... Число N называется периодом последовательности. Периодическую последовательность достаточно задать на интервале одного периода, например при 0 n N 1. Круговой (периодической) сверткой двух периодических с периодом N последовательностей x1 (n) и x2 (n) называется последовательность N 1 N 1 m0 m0 y (n) x1 (m) x2 (n m) x1 (n m) x2 (n) (7.15) Последовательность (7.15) является периодической с периодом N . Введем определение спектра дискретного сигнала. Пусть дискретный сигнал x(n) получен дискретизацией с шагом T непрерывного аналогового сигнала x(t ) . Модель дискретного сигнала xд (t ) может быть записана в виде: xд (t ) x(nT ) (t nT ) (7.16) n Тогда спектральная плотность S ( j ) дискретного сигнала запишется в виде: 4 S ( j ) xд (t )e jt dt x(nT ) e n jt x(nT ) (t nT )e dt n (t nT )dt x(nT )e n jt j nT x(n)e (7.17) j n . n Из (7.17) следует, что спектр дискретного сигнала является периодической функцией частоты с периодом, равным частоте дискретизации д 2 T . Отсюда обратное преобразование Фурье для дискретного сигнала будет иметь вид: T x(n) x(nT ) 2 T S ( j )e jnT d (7.18) T Очевидно, что свойство периодичности спектра распространяется также на его модуль S ( j ) и аргумент arg S ( j). Для вещественных последовательностей модуль спектра S ( j ) является четной функцией частоты, а аргумент – нечетной функцией частоты. 5