Основные принципы построения математических моделей

Ивановский государственный университет
Утверждаю
Декан физического факультета,
___________проф. Сметанин Е.В.
«___»__________________2006 г.
Рабочая программа дисциплины
«Принципы построения математических моделей».
Специальность – 01.04.00 ФИЗИКА
Факультет – физический
Курс – 3
Семестр – 7
Кафедра – Теоретической физики, математического и компьютерного
моделирования
Общая трудоёмкость дисциплины – 88 час.
В том числе:
Лекции –— 68 час.
Практические занятия — нет.
Лабораторные занятия — нет.
Самостоятельная работа — 20 час.
Рабочая программа принята на заседании кафедры
27 февраля 2006 г.
Заведующий кафедрой __________________ Сметанин Е.В.
1
Рабочая программа дисциплины
«Принципы построения математических моделей»
1. Объяснительная записка.
В основу прочтения данной дисциплины положено убеждение в
принципиальной важности постановки курса, стержень которого составляет
то, что можно назвать модельной парадигмой, т.е. представление об
универсальности модельного начала, о его принципиальном месте в системе
знания.
С неизбежностью такое прочтение предполагает с одной стороны —
обсуждение мировоззренческих аспектов, относящихся к процессу познания,
а с другой — прагматику, имеющую в виду потенциальную
востребованность в дальнейшей практической деятельности слушателя.
Рабочая программа составлена на основе авторских разработок и
имеющейся научной литературы.
Материал подается в лекционной форме.
Уровень освоения содержания дисциплины определяется тем, в какой
мере, насколько органично усвоена модельная концепция как
момент, как инструмент применяемый к исследованиям конкретных систем
и явлений.
2. Содержание учебного материала.
2.1. Разделы курса.
Раздел 1. Введение: модельная парадигма.
Раздел 2. Модель и идея подобия.
Раздел 3. Прогностическое назначение модели.
Раздел 4. Математическое моделирование равновесий.
Раздел 5. Математические моделирование медленных
процессов.
Раздел 6. Динамические системы как математические модели
реальных процессов.
Раздел 7. Хаос.
2.2.
Краткое содержание разделов (по темам).
Раздел
Тематическое содержание раздела
1
Тема 1.1. Модельная парадигма и место модели в системе
познания. Опыт как критерий истины. Принципы красоты и
простоты («бритва Оккама») в контексте «критериев истины».
Иллюстрации примеры моделей на «предтеоретической» и
«посттеоретической» стадиях гносеологической схемы.
2
Тема 2.1. Идея подобия в моделировании и критерии подобия
Тема 2.2. Теоретико-групповая основа теории подобия.
Тема 2.3. Самоподобие и фракталы.
2
3
4
5
6
7
Тема 2.4. Идея грубости (структурной устойчивости) в
контексте требований подобия.
Тема 3.1.Детерминизм и эволюция «детерминистических»
ожиданий и требований, налагаемых на модель. (от
Лапласовского детерминизма к корректности по Адамару и
проблемам устойчивости).
Тема 3.2. Хаос и горизонт прогноза.
Тема
4.1. Математическое моделирование равновесий с
помощью функций состояния. Элементы теории катастроф.
Тема 5.1. Математическое моделирование медленных
процессов (движения около равновесий и схема ГинзбургаЛандау).
Тема 6.1. Динамические системы как модели в их различных
проявлениях
(потоки
и
дискретные
отображения;
консервативные и неконсервативные системы; аттракторы).
Тема 6.2. Динамические системы в одномерных евклидовых
пространствах. Логистическое уравнение.
Тема 6.3. Динамические системы в двумерных евклидовых
пространствах.
Тема 6.4. Динамические системы в трехмерных евклидовых
пространствах. Модель Лоренца и ее модификации.
Тема 7.1. Хаос: проявление, признаки, источники.
Тема 7.2. Хаос: внешний шум как источник хаоса. Схема
Ланжевена и схема уравнения Фоккера-Планка.
Тема 7.3. Хаос: сверхчувствительность к изменению
дополнительных (начальных) условий и детерминированный
хаос.
Тема 7.4. Хаос: ляпуновская неустойчивость
( и перемешивание) как механизм, приводящий к хаосу.
Тема 7.5. Хаос: язык хаоса (вероятность, инвариантная мера,
эргодичность).
Тема 7.6. Хаос: энтропия как мера хаоса.
3
3. Тематическое планирование.
№
раздела
Тема
Всего часов
(общая
трудоемкость)
1
2
1.1
2.1
2.2
2.3
2.4
3.1
3.2
4.1
5.1
6.1
6.2
6.3
6.4
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
6
4
2
2
2
2
2
10
2
6
6
10
4
2
10
4
6
5
2
88
3
4
5
6
7
Итого
Аудиторные занятия
Лекции
Практические Самостоятельная
(в часах)
занятия
работа
(в часах)
( в часах)
6
4
2
2
2
2
2
6
2
4
4
6
4
2
6
4
4
4
2
68
-
4
2
2
4
4
2
2
20
4. Формы промежуточного и итогового контроля
Семестр
Форма контроля
6
Экзамен
5. Учебно-методическое обеспечение.
5.1. Рекомендуемая литература (основная)
1. И. Пригожин, И. Стенгерс. Порядок из хаоса. М. Мир, 1986.
2. Г. Хакен. Синергетика. М. Мир, 1980.
3. Е.Н. Князева, С.П. Курдюмов. Законы эволюции и
самоорганизация сложных систем. М., Наука, 1994.
4. Г.Г.Малинецкий, А.Б.Потапов. Современные проблемы
нелинейной динамики. М., Эдиториал УРСС, 2000.
5.2.
Рекомендуемая литература (дополнительная).
1. С.П. Кузнецов, Динамический хаос. М., изд. ФМЛ, 2001.
4
2. Г. Шустер. Детерминированный хаос. М. Мир, 1988.
5.3. Примерный перечень вопросов к зачету.
1. Место модели в системе познания. Модель и прогноз.
2. Лапласовский детерминизм.
3. Хаос как проявление неточности начальных данных. Анализ Борна.
4. Хаос в динамике со странным аттрактором.
5. Подобие как одна из характеристик пары «явление-модель».
Критерии подобия.
6. Самоподобие. Фракталы как модель.
7. Описание равновесий методом функций состояния.
8. Простейшие катастрофы и бифуркационные множества.
9. Катастрофы как модель.
10. Описание медленных движений систем около равновесий по схеме
Гинзбурга-Ландау.
11. Логистическое отображение и его свойства.
12. Консервативные динамические системы.
13. Диссипативные динамические системы.
14. Аттрактор. Странный аттрактор.
15. Грубость (структурная устойчивость).
16. Проблема устойчивости решений.
17. Поведение решений около точек бифуркаций и принцип
подчинения Хакена.
Автор-составитель программы ______________ Маурин Л.Н.
5